17 - Derivada de Funções Trigonométricas

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Derivada de Funções
Trigonométricas
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Agora, falaremos a respeito de derivadas voltadas a funções trigonométricas. Elas
são muito importantes devido a um número grande de fenômenos físicos que são
modelados a partir de funções trigonométricas.
A primeira coisa que você deve lembrar é que a derivada ainda terá as mesmas
de�nições e teoremas vistos até aqui. Portanto, a derivada ainda estará relacionada à
reta tangente em um determinado ponto.
Para as derivadas mais básicas faremos algumas demonstrações.
Derivada de sen(x) e cos(x)
Começaremos pela derivada de sen(x), mas antes de começarmos é importante
lembrá-los das relações trigonométricas abaixo.
Aplicando a de�nição de limite, teremos a seguinte expressão:
Aqui, substituímos a função sen(x), �cando com a expressão abaixo:
Agora, aplicamos a relação trigonométrica equivalente.
Agora, agrupamos de forma estratégica e dividimos em parcelas os limites.
Nesta etapa, colocamos sen(x) em evidência.
Aqui, deixamos (-1) em evidência para trocar a ordem e �camos com 1-cos(x).
sen (a + b) = sen (a) cos (b) + cos (a) sen (b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) − sen (a) sen (b)
lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x)
Δx
lim
Δx→0
sen (x + Δx) − sen (x)
Δx
lim
Δx→0
sen (x) cos (Δx) + cos (x) sen (Δx) − sen (x)
Δx
lim
Δx→0
+ lim
Δx→0
sen (x) cos (Δx) − sen (x)
Δx
cos (x) sen (Δx)
Δx
lim
Δx→0
+ lim
Δx→0
sen (x) (cos (Δx) − 1)
Δx
cos (x) sen (Δx)
Δx
Usando os teoremas apresentados nas aulas anteriores, �caremos com a seguinte
expressão:
Portanto, a derivada de sen(x) vale cos(x).
Agora, iremos para a demonstração da derivada de cos(x). Segue abaixo o passo a
passo.
Aplicando a de�nição de limite, teremos a seguinte expressão:
Aqui, substituímos a função cos(x) �cando com a expressão abaixo:
Agora, aplicamos a relação trigonométrica equivalente.
Agora, agrupamos de forma estratégica e dividimos em parcelas os limites.
Nesta etapa, colocamos cos(x) em evidência.
Aqui, deixamos (-1) em evidência para trocar a ordem e �camos com 1-cos(x).
Usando os teoremas apresentados nas aulas anteriores, �caremos com a seguinte
expressão:
− lim
Δx→0
∗ lim
Δx→0
sen (x) + lim
Δx→0
∗ lim
Δx→0
cos (x)
1 − cos (x)
Δx
sen (Δx)
Δx
f ′ (x) = −0sen (x) + cos (x) 1
f ′ (x) = cos (x)
lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x)
Δx
lim
Δx→0
cos (x + Δx) − cos (x)
Δx
lim
Δx→0
cos (x) cos (Δx) − sen (x) sen (Δx) − cos (x)
Δx
lim
Δx→0
− lim
Δx→0
cos (x) cos (Δx) − cos (x)
Δx
sen (x) sen (Δx)
Δx
lim
Δx→0
− lim
Δx→0
cos (x) (cos (Δx) − 1)
Δx
cos (x) sen (Δx)
Δx
− lim
Δx→0
∗ lim
Δx→0
cos (x) + lim
Δx→0
∗ lim
Δx→0
sen (x)
1 − cos (x)
Δx
sen (Δx)
Δx
Portanto, a derivada da função cos(x) vale [-sen(x)], assim como demonstramos
acima.
Aqui, já podemos falar a respeito das demonstrações de derivadas em geral. Todas as
derivadas são demonstradas a partir dos limites. É claro que algumas são bem
complexas e outras mais fáceis de entender.
f ′ (x) = −0cos (x) − sen (x) 1
f ′ (x) = −sen (x)
Outras Derivadas
Trigonométricas
Neste item, iremos apenas trabalhar com as respostas clássicas das derivadas
trigonométricas.
a derivada de tangente de x vale secante ao quadrado de x.
a derivada de cotangente de x vale menos cossecante
ao quadrado de x.
a derivada de secante de x vale a multiplicação entre
secante de x e tangente de x.
a derivada de cossecante de x vale menos
cossecante de x vezes cotangente de x.
= sec2 (x)
d(tg(x))
dx
= −cosec2 (x)
d(cotg(x))
dx
= sec (x) tg (x)
d(sec(x))
dx
= −cosec (x) cotg (x)
d(cosec(x))
dx
Exercícios
a) Faça a derivada da função abaixo usando as regras da função seno.
Resposta:
Para começar a resolver este problema é necessário se lembrar da aula passada, em
que vimos a expressão abaixo:
f (x) = x(2)sen (x)
Para aplicar esta expressão, precisamos identi�car o que é f(x) e o que é g(x).
Dito isto, podemos escrever a seguinte equação:
b) Faça a derivada da função abaixo usando as regras da função cosseno.
Resposta:
Este exercício é análogo ao anterior.
h′ (x) = f (x) g′ (x) + f ′ (x) g (x)
f (x) = x2
g (x) = sen (x)
f ′ (x) = x(2)cos (x) + 2xsen (x)
f (x) = x(3)cos (x)
f ′ (x) = −x(3)sen (x) + 3x2cos (x)
CONECTE-SE
Veja uma tabela com as regras de derivadas.
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