Planos Parte 2 - Laura Helena de Melo Passoni

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Planos Parte 2 – Laura Helena de Melo Passoni 
 
31) Dada a equação geral do plano 𝜋: 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − 6 = 0 , determinar o sistema de 
equações paramétricas de 𝜋. 
 
//inicialmente encontramos os pontos A, B, C para que depois possamos definir dois 
vetores diretores. 
 
Ponto A 
 
Se: 
X = 0 
Y = 0 
Z = ? 
 
 0x − 0y − z − 6 = 0 
 
−𝑧 − 6 = 0 
 
𝑧 = 6 
 
𝐴 (0,0,6) 
 
Ponto B 
 
Se: 
X = 0 
Y = ? 
Z = 0 
 
 
0𝑥 − 2𝑦 − 0 − 6 = 0 
 
−2𝑦 − 6 = 0 
 
𝑦 = −3 
 
𝐵(0,−3,0) 
 
 
Ponto C 
 
Se: 
X = ? 
Y = 0 
Z = 0 
 
 
3𝑥 − 0𝑦 − 0 − 6 = 0 
 
3𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥 = 2 
 
𝐶(2,0, 0) 
 
 
//Agora usamos os pontos para encontrar os vetores diretores 
 
Vetor 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 
𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 
 
𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−3,0) − (0,0,6) 
 
𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−3,−6) 
 
Vetor 𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 
 
𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 
 
𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (
1
3
, 0, 0) − (0,0,6) 
 
𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (2,0,−6) 
 
//Para montarmos a equação paramétrica temos: 
 
{
x = 0 + 0λ + 2λ2 
y = 0 + −3λ + 0λ2
z = 6 + −6λ − 6λ2
 
 
 
{
x = 2λ2 
y = −3λ 
z = 6 + −6λ − 6λ2
 
 
 
 
33) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: 
 
a) 𝜋1: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 10 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 
 
// para calcular o ângulo dos planos utilizamos a seguinte formula: 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
 
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
 
//para o plano π₁: x + 2y + z - 10 = 0 
 
𝑢 = (1,2,1) 
 
//para o plano π₂: 2x + y - z + 1 = 0 
 
v = (2,1,-1) 
 
//Calculando o produto escalar entre os vetores u e v: 
 
𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 1.2 + 2.1 + 1. (−1) 
 
𝑢𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 + 2 − 1 
 
𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 3 
 
//Calculando a norma do vetor u: 
 
|𝑢|² = 1² + 2² + 1² 
 
||𝑢||² = 1 + 4 + 1 
 
|𝑢| = √6 
 
//Calculando a norma do vetor v: 
 
|𝑣|² = 2² + 1² + (−1)² 
 
|𝑣||² = 4 + 1 + 1 
 
|𝑣|² = 6 
 
|𝑣| = √6 
 
//Sendo assim, temos que o ângulo entre os vetores u e v é igual a: 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 
3
√6
. √6 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 
3
6
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 
1
2
 
 
𝜃 = 60º 
 
 
b) 𝜋1: 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 
 
 
//para o plano 𝜋1: 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 
 
𝑢 = (2,−2, 0) 
 
//para o plano 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 
 
𝑣 = (2, −1,−1) 
 
//Calculando o produto escalar entre os vetores u e v: 
 
𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 2.2 + (−2). (−1) + 0. (−1) 
 
𝑢𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 + 2 − 0 
 
𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 6 
 
//Calculando a norma do vetor u: 
 
|u|² = 2² + (−2)² + 0² 
 
|𝑢|² = 4 + 4 + 0 
 
|𝑢| = √8. 
 
//Calculando a norma do vetor v: 
 
|𝑣|² = 2² + (−1)² + (−1)² 
 
|𝑣||² = 4 + 1 + 1 
 
|𝑣|² = 6 
 
|𝑣| = √6 
 
//Sendo assim, temos que o ângulo entre os vetores u e v é igual a: 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 
6
√8 . √6
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 
6
√48
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
6
√(24 ⋅ 3)
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
6
4√3
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
3
2√3
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
3
2√3
 .
√3
√3
 
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
3√3
2. 3
 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
√3
2
 
 
 
√3
2
 = 𝑐𝑜𝑠30° 
 
∴ 
 
𝜃 = 30° 
 
 
35) Determinar a e b, de modo que os planos 
 
π1: ax + by + 4z − 1 = 0 e π2: 3x − 5y − 2z + 5 = 0 
 
Sejam Paralelos. 
 
//Encontrar os vetores normais (classifica o plano), portanto 
 
𝑁1 (𝑎, 𝑏, 4) 𝑒 𝑁2 (3,−5,−2) 
 
//Os vetores precisam ser paralelos para que os planos sejam paralelos através de uma 
constante 𝜉, portanto 
 
𝑁2 = 𝜉.𝑁1 
 
(3, −5,−2) = 𝜉. (𝑎, 𝑏, 4) 
 
(3, −5,−2)
(𝑎, 𝑏, 4) 
= 𝜉 
 
∴ 
 
• 3. 𝜉 = 𝑎 
• −5. 𝜉 = 𝑏 
• −2. 𝜉 = 4 → 𝜉 = −2 
 
 
//Assim utiliza-se o valor de 𝜉 = −2 nas outras equações para encontrar os valores de a e b 
 
 
Para a 
 
3. 𝜉 = 𝑎 
3.−2 = 𝑎 
𝑎 = −6 
 
Para b 
 
−5. 𝜉 = 𝑏 
−5.−2 = 𝑏 
 
𝑏 = 10 
 
 
36) Determinar m de modo que os planos (1/2) 
 
𝜋1: 2𝑚𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 𝑒 𝜋2: 3𝑥 − 𝑚𝑦 + 2z − 1 = 0 
 
Sejam Perpendiculares. 
 
//Para que os planos sejam perpendiculares, o produto escalar dos vetores normais deve 
ser igual a 0. Portanto os vetores são 
 
𝑁1 (2𝑚, 2, −1) 𝑒 𝑁2 (3, −𝑚, 2) 
 
//Fazer o produto e igualar a 0 
 
 𝑁1 𝑁2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2𝑚, 2, −1) . (3, −𝑚, 2) = 0 
 
 𝑁1 𝑁2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 6𝑚 − 2𝑚 − 2 = 0 
 
4𝑚 − 2 = 0 
 
4𝑚 = 2 
 
𝑚 =
2
4
 
∴ 
 
𝑚 =
1
2
 
 
//Para que os planos sejam perpendiculares o valor de 𝑚  = 1 2⁄ 
 
 
42) Mostrar que a reta 
 
r {
𝑥 = 3𝑡 + 1
𝑦 = −2𝑡 − 1
𝑧 = 𝑡 
 
 
É paralela ao plano 𝜋: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 
 
// Tendo o vetor normal do plano (1, 2, 1) e o reta vetor diretor (3, −2, 1), para que a 
reta seja paralela o produto escalar entre os vetores deve ser 0, já que o cos90 = 0 
 
 
𝑟 . �⃗� = (1, 2, 1) . (3, −2, 1) = 0 
 
r . n⃗ = (3 − 4 + 1) = 0 
 
r . n⃗ = 0 = 0 
 
∴ 
 
O ângulo formado entre os componentes(vetores) é de 90°, assim o plano e a reta são 
paralelos.