Análise Combinatória

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 RESUMO  
 
 Fatorial 
 
 Definições: 0! = 1 1! = 1 
 
Para n natural e maior que 1, teremos: 
 
n! = n  (n  1)  (n  2)  ...  3  2  1 
 
Então se n é um número maior que 1, podemos dizer que n! é o produto de todos os números 
naturais de 1 até n. 
 
Exemplos: 
3! = 3  2  1 = 6 
4! = 4  3  2  1 = 24 
5! = 5  4  3  2  1 = 120 
 
 Princípio Fundamental da Contagem 
 
“ Se um acontecimento pode ser analisado em K fases de escolhas sucessivas de maneira que: 
 
n1 = no de opções da 1a fase de escolha 
n2 = no de opções da 2a fase de escolha 
n3 = no de opções da 3a fase de escolha 
 ⋮ 
nk = no de opções da k-ésima fase de escolha 
 
então o número total N de opções de ocorrência do acontecimento é 
 
k321 n...nnnN  ” 
 
 Dica: “ O estudo do número de opções deve começar pelas fases em que há restrições priorizando a 
fase com maior restrição. ” 
 
 Dica: “ No cálculo dos anagramas de uma palavra com uma letra repetida m vezes, calculamos o total 
como se todas as letras fossem diferentes e, depois, dividimos o total por m! para que seja desprezada a 
mudança de ordem da letra repetida. Se ocorrer também outra letra repetida n vezes, então o total deve ser 
dividido também por n! , ou seja, após o cálculo como se todas letras fossem diferentes o total deve ser 
dividido por m!n! .” 
 
2 
 
 Arranjos Simples 
“Agrupamentos que diferem uns dos outros pela ordem ou pela natureza dos elementos.” 
 
Exemplo: Dado o conjunto X = { a, b, c } 
Seqüências (ou arranjos) de 2 elementos escolhidos dentre os 3 elementos de X. 
Seqüências: ab, ac, ba, bc, ca, cb 
 
 Fórmula: An,p = 
p)! (n 
!n 

 ( n, p N / 0  n  p) 
 
 Permutações Simples 
“Agrupamentos que diferem uns dos outros apenas pela ordem dos elementos.” 
 
Exemplo: Dado o conjunto X = { a, b, c } 
Seqüências de 3 elementos escolhidos dentre os 3 elementos de X. 
Seqüências: abc, acb, bac, bca, cab, cba 
 
 Fórmula: Pn = n! ( n N e n elementos diferentes) 
 
Note que trata-se de uma arranjo onde todos os elementos do conjunto foram escolhidos. 
 
 Combinações Simples: 
“Agrupamentos que diferem uns dos outros apenas pela natureza dos elementos.” 
 
Exemplo: Dado o conjunto X = { a, b, c } 
Subconjuntos (ou combinações) de 2 elementos escolhidos dentre os 3 elementos de X 
Subconjuntos: { a, b }, { a, c } , { b, c } 
 
 Fórmula: Cn,p =
p! p)! (n 
!n 

 (n, p N / 0  n  p) 
 
Note que trata-se de uma arranjo dividido por uma permutação (desprezando-se assim, a ordem dos 
elementos do arranjo). 
A fórmula de Combinação também é expressa como Número Binomial: Cn,p = 





p
n
 = 
p! p)! (n 
!n 

 
 
 
 
3 
 
 ATIVIDADES  
 
 PARTE A  
 
1) Numa sala há três homens e quatro mulheres. De quantos modos é possível escolher um 
casal homem-mulher? 
 
2) Uma pessoa tem na mala duas calças e três camisas. De quantos modos ela pode se vestir 
usando uma calça e uma camisa? 
 
3) Em um restaurante uma pessoa deve escolher uma entre três saladas, um entre quatro 
pratos quentes e uma entre duas sobremesas. De quantos modos ele pode fazer a escolha da 
refeição? 
 
4) Para fazer uma viagem Campinas – São Paulo – Campinas posso usar como transporte o 
carro, o ônibus, o trem ou o avião. 
a) De quantos modos posso escolher os transportes para a viagem? 
b) De quantos modos posso escolher os transportes para a viagem se não uso na volta o 
mesmo transporte da ida? 
 
 Dica: O estudo do número de opções deve começar pelas fases em que há restrições 
priorizando a fase com maior restrição. 
 
5) Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem? 
 
6) Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e 
divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
7) A diretoria de uma empresa deve ser formada a partir dos dez membros de seu conselho. A 
diretoria da empresa deve ter um presidente, um vice-presidente, um secretário e um 
tesoureiro, sendo que o presidente do conselho não pode ser o presidente da empresa. De 
quantos modos diferentes essa diretoria pode ser formada? 
 
8) Quantos números naturais de quatro algarismos distintos se podem formar com os 
algarismos dos conjunto { 0, 1, 2, 6, 7, 8 } ? 
 
9) Quantos números naturais ímpares de três algarismos distintos podem ser formados com os 
algarismos do conjunto { 2, 3, 4, 5 }? 
 
10) Quantos números pares de quatro algarismos distintos, maiores que 1999, existem no 
nosso sistema de numeração? 
 
11) Quantos números ímpares, com 4 algarismos distintos, podemos obter empregando os 
algarismos significativos? (Obs.: Algarismos significativos  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 
4 
 
 
12) Quantos números, de 3 algarismos distintos, maiores que 499, podem ser formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 
 
13) Quantos são os números de três algarismos distintos que são divisíveis por 5 no nosso 
sistema de numeração? 
 
14) Quantos são os anagramas da palavra AMOR? 
 
15) Quantos são os anagramas da palavra ABRIL? 
 
16) Quantos são os anagramas da palavra CEBOLA? 
 
17) Quantos são os anagramas da palavra ABRIL que começam por consoante? 
 
18) Quantos são os anagramas da palavra REVISTA que começam e terminam por vogal? 
 
19) Quantos são os anagramas da palavra CEBOLA, em que as vogais sempre aparecem nos 
lugares de ordem par? 
 
20) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as letras V, E, S aparecem 
juntas? 
 
21) Quantos são os anagramas da palavra RITMO, em que as consoantes aparecem sempre 
juntas? 
 
 “ No cálculo dos anagramas de uma palavra com uma letra repetida m vezes, calculamos o 
total como se todas as letras fossem diferentes e, depois, dividimos o total por m! para que 
seja desprezada a mudança de ordem da letra repetida. Se ocorrer também outra letra repetida 
n vezes, então o total deve ser dividido também por n! , ou seja, após o cálculo como se 
todas letras fossem diferentes o total deve ser dividido por m!n! .” 
 
22) Quantos são os anagramas da palavra: 
a) AMOR? b) AMAR? c) ARAR? 
d) AMORE? e) AMARA? f) ARARA? 
 
23) Quantos são os anagramas da palavra: 
a) SOCORRO? b) SOCORROS? c) MATEMÁTICA? 
 
24) De um grupo de 10 pessoas, 5 são escolhidas para comporem uma comissão que é 
formada por um presidente, um vice-presidente, com um 1 o secretário, um 2 o secretário e um 
tesoureiro. Quantas comissões podem ser formadas? 
 
5 
 
25) Dez carros disputam uma corrida, na qual serão premiados os 4 primeiros colocados. 
Quantos são os resultados possíveis para essa corrida? 
 
26) Dez times de futebol de um estado disputam um campeonato para classificar os quatro 
representantes no campeonato brasileiro. De quantos modos diferentes pode acontecer essa 
classificação? 
 
27) Quantos times de vôlei podem ser formados, sabendo-se que um treinador dispõe de 10 
atletas, e que um time tem 6 atletas? 
 
28) Com os 6 cardiologistas e 4 neurologistas de um hospital deseja-se formar uma junta de 4 
médicos. Quantas juntas podem ser formadas? 
 
29) Com os 6 cardiologistas e 4 neurologistas de um hospital deseja-se formar uma junta de 4 
médicos. Quantas juntas podem ser formadas considerando a condição de que a junta deve ter 
2 especialistas de cada área citada? 
 
30) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em um banco de cinco lugares? 
 
31) De quantos modos diferentes duas pessoas podem sentar-se em um cinema que 
apresenta 500 lugares? 
 
32) Dez escoteiros devem ser distribuídos em duas patrulhas que terão missões diferentes. De 
quantos modos isso pode ocorrer se cada patrulha deve ter o mesmo número de escoteiros? 
 
33) Dez livros devem ser distribuídos em dois grupos de cinco livros cada. De quantos modos 
isso pode ser feito?34) Considere dez pontos distintos em uma circunferência. Quantos são as retas que passam 
pro esses pontos? 
 
35) Considere dez pontos distintos em uma circunferência. Quantos são os triângulos que 
podem ser formados com vértices nesses pontos? 
 
36) Considere dez pontos distintos em uma circunferência. Quantos são os quadriláteros que 
podem ser formados com vértices nesses pontos? 
 
37) Em um jogo de futebol a equipe A enfrentou a equipe B e o placar foi 46 . De quantas 
formas diferentes o placar pode evoluir do 00
 
 até 46 ? 
 
38) Considere a equação linear 7 yx . Determine o número de soluções inteiras não 
negativas da mesma. 
 
6 
 
39) Considere a equação linear 7 zyx . Determine o número de soluções inteiras não 
negativas da mesma. 
 
40) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa 
pode comer 5 pastéis? 
 
41) Uma mercearia tem em seu estoque,pacotes de café com 6 marcas diferentes. Uma 
pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo? 
 
42) Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja comprar 3 doces. De quantas 
formas isto pode ser feito? 
 
43) De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? 
 
44) De quantas formas 10 crianças podem formar uma roda? 
 
45) Quantos colares podemos formar usando cinco contas, todas diferentes? 
 
46) Temos m meninos e m meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de 
modo que os meninos e as meninas se alternem? 
 
47) Resolva as equações: 
a) 302, xA b) 282, xC c) 2,4, 12 nn AA  d) xCx 62,  
 
 PARTE B  
 
48) Uma moça possui 4 camisas e 3 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e 
uma saia? 
 
49) Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne, uma só 
sobremesa e beber um só suco. O cardápio oferece cinco pratos distintos de carne, duas 
sobremesas diferentes e três sabores de suco. De quantas formas pode o homem fazer sua 
refeição? 
 
50) Usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5: 
a) Quantos números de três algarismos podemos formar? 
b) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
c) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar? 
 
51) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá 
ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 
 
 
7 
 
52) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser 
formados? 
 
53) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair 
por uma porta diferente da que usou para entrar? 
 
54) Uma prova consta de 10 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa 
poderá responder os 10 testes? 
 
55) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, e 7: 
a) Quantos números de três algarismos podemos formar? 
b) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
c) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar? 
d) Quantos números pares de três algarismos podemos formar? 
 
56) Quantos são os anagramas da palavra: 
a) APERTOU? b) APERTAS? c) APARTAS? 
d) APARTAR? e) APERTOU começados com vogal? 
 
57) Três rapazes e duas moças formam uma fila de modo que na primeira posição da fila deve 
estar uma moça. De quantas maneiras esta fila pode ser formada? 
 
58) Para cadastrar seus clientes, uma empresa utiliza 5 dígitos. Os algarismos utilizados são 1, 
2, 3, 4 e 5. Não é permitido repetir algarismo no mesmo código. 
Exemplos de códigos: 1 3 5 4 2 e 4 3 5 2 1 
Qual o número de códigos possíveis? 
 
59) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante? 
 
60) Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas elas podem ficar em fila se meninos e 
meninas ficam em posições alternadas? 
 
61) Num concurso para escolha da garota mais bonita de uma certa cidade, as cinco finalistas 
são: Andréia, Bruna, Carla, Daniela e Elisa. 
a) De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e terceiro lugares neste 
concurso? 
b) De quantas formas os juízes poderão escolher três das cinco finalistas para representar a 
cidade no concurso estadual? 
 
62) Podendo usar, sem repetição, os algarismos do conjunto { 5, 6, 7, 8, 9, 0} : 
a) Quantos são os números de 3 algarismos que podemos formar? (Lembre-se que o número 
zero não pode ser usado na primeira posição, pois neste caso teríamos números de dois 
algarismos! Ex.: 057 é o mesmo que 57, o que não nos interessa!) 
b) Quantos são os números pares de 3 algarismos que podemos formar? 
8 
 
 
63) Consideremos, no plano, cinco pontos de sorte que quaisquer três pontos não sejam 
colineares. Qual o número total de triângulos que podemos formar tomando estes pontos como 
vértices? 
 
64) Quantos são os números de três algarismos distintos que começam por número par e são 
ímpares? 
 
65) Considere a palavra ESCOLA: 
a) Quantos são seus anagramas? 
b) Quantos começam e terminam por vogal? 
c) Quantos possuem as letras COL juntas e nesta ordem? 
 
66) Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA? 
 
67) Quantos times de volei podem ser formado sabendo-se que um treinador dispõe de 8 
atletas, e que um time tem 6 atletas? 
 
68) De quantos modos 2 pessoas podem ocupar as poltronas de um cinema de 100 lugares? 
 
69) Um automóvel será ocupado por três pessoas, para uma viagem. Todas as pessoas são 
habilitadas e podem ocupar o lugar do motorista. De quantas maneiras o automóvel pode ser 
ocupado para a viagem? 
 
70) Oito livros devem ser distribuídos em dois grupos de quatro livros cada. De quantos modos 
isso pode ser feito? 
 
71) Consideremos, no plano, seis pontos de sorte que quaisquer três pontos não sejam 
colineares. Qual o número total de quadriláteros que podemos formar tomando estes pontos 
como vértices? 
 
72) Quantos números compreendidos entre 3000 e 4000, formados de algarismos distintos, 
podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 
 
73) Considere a palavra ESCOLA: 
a) Quantos de seus anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A? 
b) Quantos possuem as letras COL juntas? 
 
74) De quantos modos um casal pode ter cinco filhos, sendo necessariamente dois homens e 
três mulheres? 
 
75) Dispomos de 10 músicos que tocam bateria, guitarra e contrabaixo indistintamente e dois 
pianistas. Quantos conjuntos musicais diferentes podem ser formados se cada conjunto deve 
ter um pianista, um baterista, um guitarrista e um contrabaixista? 
9 
 
 
76) Com 5 cardiologistas e 3 neurologistas de um hospital. Quantas são as juntas de 4 médicos 
que podemos formar, considerando a condição de que a junta deve ter 2 especialistas de cada 
área? 
 
77) De quantos modos diferentes 4 rapazes e 3 moças podem sentar-se em volta de uma 
mesa retangular que tem 7 cadeiras, sendo 4 de um lado e 3 do outro, sem haver um rapaz 
junto de uma moça? 
 
78) Dez objetos diferentes devem ser guardados em 3 gavetas A, B e C, sendo 4 objetos em A, 
3 em B, 3 em C. De quantas maneiras isso pode se feito? 
 
79) Quantas são as retas determinadas por cinco pontos distintos em uma circunferência? 
 
80) Num concurso para escolha da garota mais bonita de uma certa cidade, as sete finalistas 
são: Ana, Bruna, Carla, Daniela, Elisa, Fátima e Gisele. 
a) De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e terceiro lugares neste 
concurso? 
b) Sabendo que as vencedoras foram Ana, Carla e Elisa, de quantas formas poderá ocorrer a 
premiação do primeiro, segundo e terceiro lugares? 
c) De quantas formas os juízes poderão escolher três das sete finalistas para representar a 
cidade no concurso estadual? 
 
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