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ESTATÍSTICA APLICADA 
À EDUCAÇÃO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro áreas 
do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando pela 
qualidade de seu ensino e pela formação 
de profissionais com consciência cidadã 
para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institu-
ições avaliadas no Brasil, apenas 15% conquis-
taram notas 4 e 5, que são consideradas 
conceitos de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MISSÃO
Formar profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho, com elevado 
padrão de qualidade, sempre mantendo a credibil-
idade, segurança e modernidade, visando à satis-
fação dos clientes e colaboradores.
 
VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
2
MULTIVIX EAD
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Haroldo Augusto Santos de Sant Anna.
Estatística Aplicada à Educação / De Sant Anna, Haroldo Augusto Santos. - Multivix, 2020.
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2020 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
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LISTA DE QUADROS E TABELAS
 Tabela 1 – Matriz de respostas: dupla entrada 29
 Tabela 2 - Ranking de competitividade digital da escola de 
negócios suíça IMD 30
 Tabela 3 - Impacto das restrições do Fies – Renda 
(salários mínimos) 2018 31
 Tabela 4 - Tabela de contingência 33
 Tabela 5 – Ramos e folhas 36
 Tabela 6 - Distribuição de alunos do primeiro grau por faixa etária do 
Colégio A – maio 2017 40
 Tabela 1 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 50
 Tabela 2 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 54
 Tabela 3 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 56
 Tabela 4 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 59
 Tabela 1 - Frequência de notas 70
 Tabela 2 - Frequência de notas 71
 Tabela 3 - Frequência de notas 71
 Tabela 4 - Frequência de notas 75
 Tabela 5 - Frequência de notas 76
 Tabela 6 - Frequência de notas 77
 Tabela 7 - Frequência de notas 78
 Tabela 8 - Frequência de notas 79
 Tabela 9 - Frequência de notas 80
 Tabela 10 - Frequência de notas 81
 Tabela 1 – Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha do curso 91
 Tabela 2 – Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha do curso 93
 Tabela 3 - Distribuição de variável aleatória X 95
 Tabela 4 – Número de pontos no lançamento de um dado 97
 Tabela 5 – Modelos para variáveis discretas 98
 Quadro 1 – Principais características da Distribuição Normal 99
 Quadro 1 – Resumo das estatísticas por distribuição de probabilidade 
amostral 106
 Quadro 2 – Estimativas pontuais ou intervalares 111
 Quadro 3 - Tabela escala de significância de Fisher 119
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LISTA DE FIGURAS E GRÁFICOS
 Figura 1 – Porcentagem 21
 Gráfico 1 – Setores 41
 Gráfico 2 - Colunas 42
 Gráfico 3 - Barras 42
 Gráfico 4 - Linhas 43
 Gráfico 5 – Demonstrativos 43
 Gráfico 1 – Distribuição de frequências por faixa etária 48
 Gráfico 2 – Curva da distribuição de frequências por faixa etária 51
 Gráfico 3 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 62
 Gráfico 4 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda 63
 Gráfico 5 - Demonstrativo Distribuição de frequências por faixa etária e 
renda 64
 Gráfico 1 – Distribuição de frequências por notas 68
 Gráfico 2 – Distribuição de frequências por notas 72
 Gráfico 3 – Distribuição de frequências por classes 72
 Gráfico 4 – Distribuição de frequências por notas 73
 Gráfico 5 – Distribuição de frequências por classes 73
 Demonstrativo 1 – Distribuição de notas por classes e frequências 82
 Demonstrativo 2 – Distribuição de notas por classes e frequências 83
 Figura 1 86
 Gráfico 1 – Distribuição Normal –médias e desvios 99
 Gráfico 2 – Representação do exercício 1 100
 Gráfico 1 – Distribuição Normal –Médias e Desvios 112
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1UNIDADE
2UNIDADE
3UNIDADE
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 9
1 ESTATÍSTICA – CONCEITO, FINALIDADE E SURGIMENTO 13
INTRODUÇÃO 13
1.1 EVOLUÇÃO DO PENSAMENTO ESTATÍSTICO 13
1.2 CONCEITOS E OBJETIVOS 16
1.3 ESTUDOS E APLICAÇÕES DO ENSINO DA ESTATÍSTICA 19
1.4 RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM 21
1.5 SOMATÓRIO 23
2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 27
INTRODUÇÃO 27
2.1 PLANEJAMENTO, COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS 27
2.2 VARIÁVEIS 30
2.3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DOS DADOS 32
2.4 RAMOS E FOLHAS 36
2.5 NÚMEROS ÍNDICES 37
2.6 SÉRIES E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS, ESPACIAIS, ESPECÍFICAS 
E TEMPORAIS 39
2.7 GRÁFICOS EM SETORES, LINHA, POLÍGONO, HISTOGRAMA E OUTROS 
DIAGRAMAS 41
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES 47
INTRODUÇÃO 47
3.1 MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA GEOMÉTRICA, MÉDIA HARMÔNICA E 
MÉDIA PONDERADA 49
3.2 QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (QUANTIS) – MEDIDAS SEPARATRIZES. 57
3.3 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 61
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4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 67
INTRODUÇÃO 67
4.1 VARIÂNCIA ( ) 69
4.2 DESVIO PADRÃO 74
4.3 DESVIO MÉDIO (Dm.) 76
4.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.V.) 78
4.5 AMPLITUDE TOTAL 80
4.6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 81
5 PROBABILIDADE - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS - DISTRIBUIÇÕES 85
INTRODUÇÃO 85
5.1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 85
5.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 90
5.3 INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 92
5.4 TEOREMA DE BAYES 93
5.5 DISTRIBUIÇÕES UNIFORME, BINOMIAL, HIPERGEOMÉTRICA E 
POISSON 95
5.6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA ÁREA DA 
CURVA NORMAL 98
6 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 103
INTRODUÇÃO 103
6.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA, DISTRIBUIÇÕES E TAMANHO 
DA AMOSTRA 104
6.2 ESTIMAÇÃO: PROPRIEDADES, ESTIMADORES, INTERVALOS DE 
CONFIANÇA E ERRO PADRÃO 110
6.3 TESTES DE HIPÓTESES: TESTE SOBRE A MÉDIA, PROPORÇÃO, 
VARIÂNCIA E VALOR “P” 115
6.4 INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES E INFERÊNCIA PARA 
VÁRIAS POPULAÇÕES 120
6.5 ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO 122
6.6 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 123
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Bem-vindos! É um prazer tê-los na disciplina de Estatística Aplicada à Educa-
ção, que nos auxilia na interpretação da realidade. 
Nela, aprenderemos sobre os conceitos e as aplicações das ferramentas estatís-
ticas e aprofundaremos os nossos conhecimentos com relação à importância 
da análise, interpretação e compreensão dos fluxos de dados e informações. 
A EstatísticaAplicada à Educação vem ganhando espaço significativo nos 
currículos escolares, na medida que volumes consideráveis de dados e infor-
mações atingem diferentes contingentes da população através do uso con-
tínuo das redes sociais e das tecnologias disponíveis, alertando para a neces-
sária formação da consciência crítica em torno do que é divulgado e das suas 
possíveis implicações.
Nesse cenário complexo a utilização adequada das ferramentas constitui um 
recurso imprescindível à interpretação, à análise e à decisão sobre as alterna-
tivas mais adequadas dentro dos mais variados contextos. Ainda assim, reco-
nhecendo a sua importância, é preciso lidar com as resistências e limitações 
de todos nós com os números. 
O nosso objetivo é viabilizar a integração, acesso e participação das popula-
ções no compartilhamento e reuso de forma livre e lícita dessas técnicas para 
construção da Sociedade do Conhecimento.
Essa orientação tem sido praticada com o incentivo à expansão da internet 
nas escolas, nos ambientes públicos, na divulgação e em parcerias com ins-
tituições da sociedade civil na promoção de cursos e programas de inclusão 
digital, e muitas outras inciativas conhecidas e difundidas no mundo todo.
Dentre todos esses esforços, distribuídos nos diferentes níveis de acesso e atu-
ação, a responsabilidade das instituições de ensino, sobretudo as de nível su-
perior, é desenvolver conteúdos teóricos visando a formação de profissionais 
qualificados e aptos a desempenhar ações estratégicas e efetivas.
É nessa perspectiva que o estudo da disciplina de Estatística Aplicada à Edu-
cação poderá contribuir na formulação, no compartilhamento e na formação 
do cidadão com uma postura crítica diante das novas tendências, aconteci-
mentos e decisões.
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Então, longe de qualquer pretensão de formar um especialista, a metodolo-
gia proposta na presente disciplina visa qualificar você diante da realidade. Os 
desafios sugeridos no desenvolvimento dos textos, exemplos e exercícios vêm 
ao encontro de prioridades e práticas consagradas internacionalmente. 
Para que o nosso estudo seja proveitoso, recomendamos que você faça a lei-
tura dos textos com atenção e realize as consultas indicadas na bibliografia e 
nas dicas de conteúdo complementar destacadas nos tópicos. Pode ser ne-
cessário que você recorra aos recursos externos para uma melhor compreen-
são do conteúdo ou até mesmo se aprofunde em alguns conteúdos já vistos 
anteriormente. 
Por fim, convidamos-lhe a percorrer conosco as várias unidades que com-
põem a disciplina, percebendo gradativamente sua utilidade no seu dia a dia 
e a importância para a sua área profissional. 
Até breve!
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
UNIDADE 1
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
> Identificar 
a origem da 
Estatística, 
sua história, 
fundamentos e as 
principais aplicações 
no cotidiano 
das pessoas, das 
organizações e dos 
governos;
> Possibilitar o 
entendimento e a 
aplicação prática 
do conhecimento 
estatístico, através 
dos fatos históricos 
que marcaram o seu 
desenvolvimento 
enquanto Ciência.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
1 ESTATÍSTICA – CONCEITO, 
FINALIDADE E SURGIMENTO
INTRODUÇÃO
Esta unidade se propõe a apresentar uma reflexão sobre o estudo da Edu-
cação Estatística e sua contribuição para a Pedagogia de ensino aplicada à 
Educação.
Auxiliar na efetiva compreensão, análise e interpretação dos conceitos são 
condições fundamentais para alcançarmos os objetivos propostos. Outro fa-
tor motivador do estudo reside no uso das ferramentas para selecionar, orga-
nizar e proporcionar análises das informações veiculadas nas redes sociais e 
plataformas disponíveis no mundo digital. 
Apresentaremos, nesta unidade, o relato sobre as pesquisas realizadas por 
especialistas voltadas à realidade profissional e à prática dos métodos estatís-
ticos baseados na realidade de alunos e usuários das ferramentas.
1.1 EVOLUÇÃO DO PENSAMENTO ESTATÍSTICO
A partir de agora iniciaremos a nossa trajetória. Neste tópico, você compreen-
derá a origem e o percurso da Estatística, bem como saberá o seu significado. 
Vamos começar! 
Primeiramente, é importante que você saiba o significado de Estatística e a 
sua importância. Você poderia conceituá-la? Ao responder o questionamen-
to anterior você deve ter dito que a Estatística estuda os números. Mas ela é 
mais do que isso. 
A Estatística é utilizada em várias áreas da sociedade e em nosso cotidiano. Ela 
tem por objetivo realizar pesquisas, coletar dados, processá-los e analisá-los. Há 
Estatística na relação candidato-vaga em concursos públicos, nas pesquisas de 
intenção de voto que são realizadas no período eleitoral e ao contratar o seguro 
do seu automóvel. Você sabia que o valor pago à seguradora é baseado em es-
tatísticas de outros clientes? Perceba que a Estatística é importante por vários 
motivos e que ela está envolvida em muito do que se fala hoje. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
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Segundo Crespo (1995, p. 13), “A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada 
que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpreta-
ção de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões [...]”.
Assim como as demais ciências que tiveram uma ascensão significativa a par-
tir do século XVII, a Estatística se destacou enquanto pensamento inovador 
para a compreensão dos processos de produção, de estudo e de pesquisa re-
lacionados a todos os tipos de eventos e fenômenos mensuráveis. Porém, isso 
não significa que antes disso não existissem preocupações com os cálculos 
de grandes números. 
Na História, vemos que a palavra Estatística apareceu pela primeira vez no 
século XVIII e foi sugerida pelo alemão Gottfried Achemmel (1719-1772). “Esta-
tística” é um nome que deriva de estado (statu, em Latim) e, de fato, as ativi-
dades da Estatística em sua origem eram, basicamente, atividades de Estado. 
Mas hoje isso mudou bastante.
Avanços importantes da evolução da Estatística se traduziram em teorias 
como: 
• 1654 - O Cálculo das Probabilidades, pelos matemáticos italianos Blaise 
Pascal e Pierre de Fermat, que são considerados os primeiros estudos.
• 1662 - Aritmética Política, de John Grant na Inglaterra.
• 1693- Tábua de Sobrevivência, pelo astrônomo inglês Edmond Halley.
• 1823 - Curva de Gauss ou Curva Normal, pelo matemático Carl Friedrich 
Gauss.
Além dos estudos apresentados anteriormente, outros influenciaram na for-
mulação das teorias estatísticas durante a primeira metade do século XX. Se 
destacaram os estudos realizados por Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), Karl 
Pearson (1857-1936), William Sealy Gosset (1876-1937), Frank Yates (1902-1994) 
e muitos outros, que possibilitaram a descoberta e o aprimoramento de con-
ceitos relacionados a Inferência Estatística em toda a sua complexidade (este 
conteúdo será objeto de estudo nas próximas unidades).
A Estatística ganhou maior destaque na proporção em que a as chamadas 
Ciências da Natureza (Matemática, Química e Física) se desenvolveram e con-
quistaram espaços importantes no meio científico e acadêmico. Não menos 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
importante foram as influências e aplicações nas áreas da administração, da 
economia e das ciências sociais, se tornando uma disciplina fundamental noplanejamento de empresas, governos e entidades voltadas à produção de 
pesquisas. 
Destaca-se, ainda, o desenvolvimento das tecnologias nos períodos das duas 
grandes guerras mundiais, que proporcionaram investimentos pesados em 
direção a ampliação dos armamentos e na capacidade de precisão e poderio 
bélicos. Dentre esses avanços está a construção do primeiro protótipo que 
serviu de base para criação dos computadores. 
O filme “O jogo da imitação” (EUA, 2014) trata da história 
de Alan Turing. O matemático britânico foi decisivo para 
a derrota do nazismo e precursor dos computadores e 
da inteligência artificial.
Atualmente, a Estatística é uma ciência consolidada, com fundamentos ajus-
tados ao convívio com o que há de melhor no mundo digital, com aplicações 
dos seus métodos em programas e aplicativos de fácil acesso e manuseio, 
capazes de produzir e oferecer dados e informações em tempo real. O retorno 
desse aprimoramento se reflete no aumento da utilidade nos diversos setores 
da atividade humana, democratizando e integrando conhecimentos.
Efeito idêntico se constata junto aos profissionais, usuários e especialistas quan-
to as exigências na capacitação e aperfeiçoamento contínuos das suas funções 
para um desempenho profissional à altura da expectativa. Da mesma maneira, 
empresas, instituições compartilhadoras, produtoras e consumidoras de dados 
e informações, reestruturam e aperfeiçoam procedimentos, controles e cultura 
organizacional para se manterem atualizadas e competitivas.
Estudos de ponta promovidos por Institutos Técnicos e Universidades em te-
mas relacionados a Rede Neural, Teoria do Caos, Softwares para análise de 
Dados, Probabilidade, Estatísticas Multivariadas, Teoria dos Grafos, Modela-
gem Estocástica e dezenas de outros, que sugerem aplicações em sistemas 
complexos e, cada vez mais sofisticados, multiplicam-se com facilidade e pos-
sibilitam um diagnóstico promissor na área de ciência e tecnologia com a 
contribuição da Estatística.
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Em que pese todo o desenvolvimento, muitos confundem os papéis exer-
cidos pela Estatística e a Matemática no campo das Ciências Exatas, assim 
como interpretam de forma equivocada conceitos e resultados obtidos pela 
aplicação de uma medida ou parâmetro estatístico. O problema não são 
as dúvidas porventura existentes nesse ou naquele termo ou definição, ou 
mesmo nos resultados alcançados, a questão central está na ausência de 
uma “Educação Estatística” permanente e atualizada, que se diferencie no 
enriquecimento da discussão e da abordagem (essas questões serão apro-
fundadas nas unidades seguintes).
1.2 CONCEITOS E OBJETIVOS
Após o breve relato de ocorrências históricas e dos desafios impostos à evo-
lução do pensamento estatístico, os argumentos para a implementação da 
Educação Estatística nos currículos escolares ganham maior escala, muito 
embora tenham aumentado as preocupações e os cuidados quanto a meto-
dologia mais apropriada a ser adotada.
Nesse aspecto, o presente tópico busca demonstrar alguns critérios que fo-
ram levados em consideração na superação das dificuldades geradas pelo 
chamado “ensino tradicional”, a partir dos esforços realizados pela comunida-
de acadêmica representadas na bibliografia indicada por Garfield e Bem-Zvi 
no sentido de incorporar os conceitos da Literacia Estatística, Raciocínio Esta-
tístico e Pensamento Estatístico à pedagogia de ensino da Estatística.
Literacia: diz respeito à habilidade de comunicação estatística, que envolve 
ler, escrever, demonstrar e trocar informações, interpretar gráficos e tabelas 
e entender as informações estatísticas dadas nos jornais e outras mídias, 
sendo capaz de se pensar criticamente sobre elas. (CAMPOS; WODEWOTZI; 
JACOBINI, 2011, p. 44)
Essa visão da Literacia Estatística foi construída por diversos autores no de-
correr de décadas de debates, em que aspectos voltados ao entendimento 
básico, atitudes, interpretações, questionamentos sobre conceitos e termino-
logias, amadureceram a ponto de formar um entendimento mínimo sobre a 
aplicação.
Durante o processo, o fortalecimento das ideias em torno de conceitos es-
tatísticos dividia espaço entre a importância do preparo do aluno para lidar 
com volume considerável de dados e informações, ao mesmo tempo que se 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
buscava o compromisso social de formação da cidadania crítica capaz de dis-
tinguir e analisar os contextos apresentados. Esta concepção fez surgir o ter-
mo “cidadania estatística, se referindo às habilidades adquiridas pela pessoa 
como resultado dessa atuação.
A Literacia prioriza o entendimento e a razão de ser dos conceitos explorados 
na teoria estatística ao invés das fórmulas e cálculos propriamente ditos. A 
interpretação nos diversos níveis de alcance do estudante deve ser explorada 
com devida complementação de exemplos e exercícios baseados na realida-
de social e profissional. Deseja-se que haja um aumento na capacidade de o 
aluno desenvolver a habilidade de comunicação estatística, discussão e cons-
trução de argumentos sólidos sobre o significado das fases e resultados do 
experimento ou assunto. Vejamos o que Campos, Wodewotzi e Jacobini (2011, 
p. 44) nos dizem com relação ao Raciocínio Estatístico: 
O Raciocínio Estatístico pode ser categorizado, envolve a conexão ou a 
combinação de ideias e conceitos estatísticos, significa compreender 
um processo estatístico e ser capaz de explicá-lo, significa interpretar por 
completo os resultados de um problema baseado em dados reais.;
Entende-se por Raciocínio Estatístico a capacidade desenvolvida para racioci-
nar sobre dados, realizar a sua representação, ter o entendimento sobre as me-
didas estatísticas, sobre as incertezas, amostras e associações entre variáveis. 
Por ser uma fase caracterizada pelo contato mais imediato com fórmulas e 
cálculo das medidas, os autores priorizam avaliar se essas atividades estão 
proporcionando condições de interpretação e conclusão satisfatórias do con-
teúdo estudado. 
A experiência demonstrou que a capacidade de aumento do raciocínio es-
tatístico não está diretamente relacionada somente com a aplicação de tra-
balhos, procedimentos e conceitos conectados com a realidade. A pesquisa 
apontou que o aluno possui níveis diferentes de raciocínio que vão determi-
nar o grau de assimilação e desenvolvimento dos conteúdos.
Dentre os vários autores, Garfield (2002) foi o pesquisador que identificou es-
ses níveis e os classificou objetivando o acompanhamento da evolução dos 
estudantes. Vejamos. 
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Nível 1 – Raciocínio idiossincrático. 
O estudante sabe algumas palavras e símbolos estatísticos, usa-
os mesmo sem entende-los completamente e mistura-os com 
informações não relacionadas. [...] 
Nível 2 - Raciocínio verbal. 
O estudante tem entendimento verbal de certos conceitos, mas não 
aplica isso em seu comportamento. [...] 
Nível 3 – Raciocínio transicional. 
O estudante é capaz de identificar uma ou duas dimensões de 
um processo estatístico, mas sem integrar completamente essas 
dimensões. [...]
Nível 4 – Raciocínio processivo. 
O estudante é capaz de identificar corretamente as dimensões de 
um conceito ou processo estatístico, mas não integra completamente 
essas dimensões ou não entende o processo por completo. [...] 
Nível 5 – Raciocínio processual integrado. 
O estudante tem um completo entendimento sobre um processo 
estatístico, coordenando as regras e o comportamento da variável. Ele 
pode até explicar o processo com suas próprias palavras. [...] 
(CAMPOS; WODEWOTZI; JACOBINI, 2011, p. 33-4)
Em 2008, Garfield e Bem-Zvi, propõem o Ambiente de Aprendizagemdo Ra-
ciocínio Estatístico (AARE). Nesse estudo, os autores “estabelecem seis prin-
cípios que combinam sugestões de atividades de classe, textos, discussões, 
tecnologia, procedimentos de ensino e de avaliação” (apud CAMPOS; WO-
DEWOTZI; JACOBINI, 2011, p. 36). 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
O Pensamento Estatístico é a capacidade de relacionar dados quantitativos 
com situações concretas, admitindo a presença da variabilidade e da 
incerteza, escolher adequadamente as ferramentas estatísticas, enxergar 
o processo de maneira global, explorar os dados além do que os textos 
prescrevem e questionar espontaneamente os dados e os resultados. 
(CAMPOS, WODEWOTZI; JACOBINI, 2011, p.44). 
Como mencionado anteriormente, a pesquisa em torno da aplicação dos mé-
todos mais adequados para o desenvolvimento da Educação Estatística con-
sidera o Pensamento Estatístico como mais um aspecto imprescindível na 
sequência de estudos dos conceitos.
Nas formulações dos pesquisadores, o pensamento é o estágio onde o estu-
dante deve estar capacitado a relacionar dados quantitativos com situações 
concretas, conhecer precisamente os conceitos de variabilidade e da incerte-
za, tendo facilidade em comunicá-los, entendê-los de forma global e resolver 
problemas.
Esperamos que os conceitos abordados neste tópico possam auxiliar o aluno 
na identificação de qual em quais estágio ele se encontra no aprendizado da 
disciplina Estatística.
1.3 ESTUDOS E APLICAÇÕES DO ENSINO DA 
ESTATÍSTICA
Neste tópico, reunimos alguns exemplos que resumem as aspirações levan-
tadas pelos autores com o objetivo de difundir os métodos de aprendizagem 
e experiências de sucesso da Educação Estatística.
Foram vários os casos relatados e todas se assemelharam quanto ao método 
e a forma de construção. 
O envolvimento dos alunos também se fez presente em todo processo. A par-
ticipação ativa na busca de temas em comum resultou em maiores contribui-
ções individuais e motivação entre os grupos.
A apresentação dos trabalhos como forma de enriquecer a discussão de con-
teúdo e exercitar a comunicação da estatística fortalece o perfil do Pensa-
mento Estatístico.
Ao final, o docente realiza um resumo de tudo que foi objeto de estudo nos 
grupos e apresentações e faz uma conclusão geral do assunto. 
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Diante desses pressupostos, verificamos que o estabelecimento de critérios 
claros nas atividades desenvolvidas pode ser um determinante para o cum-
primento dos objetivos propostos.
Critérios que aproximem professor e aluno; permitam o uso do conhecimen-
to estatístico ao longo do projeto com base no conteúdo estudado; estabe-
leçam o foco nos métodos e processos estatísticos; façam a interface com a 
Educação Crítica e a contextualização dos fatos; estimulem a escrita, interpre-
tação, discussão e conclusão dos dados e informações; fortaleçam o trabalho 
de grupo; e que proporcione avaliação constante do raciocínio, pensamento 
e da literacia estatística.
Por fim, constatamos nas bibliografias apresentadas o quanto foi positivo a 
escolha dos modelos para a aplicação prática dos conhecimentos estatísti-
cos que cumpriram os requisitos necessários para o cumprimento das metas 
propostas.
Destacamos a escolha de temas como eleições, mercado acionário, temas 
que utilizam diversas variáveis (drogas, sexo, religião, raça, renda); e tantos 
outros que demandaram conteúdos ligados à análise exploratória de dados, 
amostragem, teste de significância, uso e interpretação de medidas de ten-
dência central, variabilidade, correlação e analise de regressão.
Outras aplicações ligadas à área de tecnologia e produção como o número 
de defeitos ou porcentagem de peças defeituosas, custo médio da produção, 
expectativa de durabilidade de equipamentos e sazonalidades no consumo, 
poderiam fazer parte de mais outros modelos.
Observamos nos relatos que o resultado foi extremamente positivo tanto para 
alunos quanto para professores que construíram juntos os processos de elabo-
ração de questionários, do uso de softwares com a plotagem dos resultados, 
da elaboração de diversos gráficos e tabelas, além de possibilitar a consulta e 
utilização completa de tábuas com os valores dos testes de significância.
Mais do que o uso eficaz dos métodos e processos, os experimentos demons-
traram que é perfeitamente possível o emprego dessas metodologias na bus-
ca do aperfeiçoamento do ensino da Estatística. Tornando-o mais acessível, 
incorporado às demais disciplinas e importante no cumprimento dos objeti-
vos propostos no Ensino da Estatística.
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1.4 RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM
O objetivo deste tópico é estabelecer algumas correlações consideradas im-
portantes para o uso e interpretação dos resultados advindos de conclusões 
ou processos envolvendo dados estatísticos.
Portanto, reafirmar as definições e conceitos importantes para estabelecermos 
parâmetros e tirarmos algumas conclusões acerca de algumas observações.
FIGURA 1 – PORCENTAGEM
Fonte: Plataforma Deduca (2019).
• Razão é o quociente encontrado na divisão de dois números racionais a e b, 
sendo b diferente de zero, ou seja: a/b=d, sendo b≠0. Significa dizer o quanto 
cada unidade de a corresponde a unidades de b.
• Proporção é quando duas ou mais razões possuem o mesmo resultado, elas 
recebem o nome de proporção, isto é: a/b=c/d, sendo b e d≠0 
• Porcentagem é o resultado do quociente representados por uma fração 
centesimal, ou seja, a/100. Proporção é a igualdade entre duas razões.
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Em várias fórmulas e cálculos utilizados na estatística nos deparamos com 
a necessidade de aplicar os conhecimentos de razão e proporção para com-
pletar dados numéricos em tabelas, gráficos etc., em face da importância de 
comparar valores das variáveis, parâmetros e medidas. 
Todavia, elas são as bases para outros conceitos derivados das suas aplicações 
que vão contribuir na qualidade para comparação de resultados, interpreta-
ções e conclusões importantes.
• Índice: mede variações quantitativas ao longo do tempo. Muito utilizado para 
comparar grupo de varáveis distintas relacionadas entre si, exemplos: preços 
x quantidades, produtos x tempo, produto x área, pessoa x área, pessoa x 
produto, pessoa x preço e assim por diante.
Índice de aceitação do produto 
 
quantidades vendidasA
consumo das pessoas
= 
• Coeficiente: obtido pela comparação entre duas quantidades de mesma 
grandeza, ou seja, razão parte/todo, exemplos: pessoa/ população, 
comprimento/área, tempo/tempo médio, quantidade/volume médio etc.
 
 
tempo disponível para visitaçãoCoeficiente de rotação
duração média das visitas
=
• Taxa: expressa em frações cujo denominador é uma potência de 10, ou uma 
porcentagem, exemplo: 
 1 00 
 
quartos ocupadosTaxa de ocupação
total de quartos disponíveis
×=
Observa-se que os resultados alcançados nos exemplos acima poderão ser 
transformados e interpretados de forma relativa.
Nos processos estatísticos essas aplicações são fundamentais na concepção e 
utilização do cálculo dos índices de Laspeyres, de Paache e de Fisher, funda-
mentais para aplicação no cálculo de preços e quantidades. 
Os coeficientes na estatística são importantes na mensuração da variabilida-
de, relação entre variáveis, erros, distribuições, como por exemplo: Coeficiente 
de Variação, Coeficiente de Pearson, Coeficiente de Determinação, Coeficien-
te de Correlação etc.
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O uso das taxas, geralmente, está associado à transformação de valores ab-
solutos em valores relativos para a realização de comparações entre variáveis, 
classes de distribuições, colunas de frequência e cálculo de proporções entre 
amostras e populações. 
Através desses contextos que os conceitos de razão, proporção e porcenta-
gem se apresentam enquanto alternativas viáveis no uso dos métodos e fer-
ramentas estatísticas, contribuindo para a interpretação e conclusão dos ex-
perimentos.
1.5 SOMATÓRIO
Os somatórios compõem um conjunto de notações, fórmulas e demonstra-
ções, que sintetizam bem a razão de ser do raciocínio e pensamento estatís-
ticos. É representado pela letra grega sigma ∑ que significa soma, sendo 
muito utilizado como recurso para a dedução e desenvolvimento de fórmu-
las, princípios, teoremas etc. que auxiliam na fundamentação teórica daquilo 
que se deseja provar ou demonstrar. 
Muitas vezes nos deparamos com o uso indiscriminado do termo somatório 
enquanto sinônimo da soma de simples parcelas ou totais. No entanto, so-
matório é uma notação científica complexa e robusta, capaz de oferecer ao 
operador a capacidade de argumentar sobre o padrão e o comportamento 
de eventos. Vejamos alguns exemplos: X1, X2, X3, X4... Xn - observações de uma 
determinada população.
X1 corresponde ao número de ordem da primeira observação.
i = 1, sub-índice (primeiro) 
i = n, sub-índice (enésimo)
XI=índice de soma ou do somatório
Os sub-índices também podem ser representados por j, l, m, n etc., geralmen-
te podem ser utilizados simultaneamente para representar limites entre os 
intervalos de observações. Os índices de soma podem ser substituídos por 
qualquer outra letra (desde que não intervenha na soma), como por exemplo 
a letra K.
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Exemplo 1: 
X1+ X2+ X3+ X4 +...+ Xn
Então, 1 2 3 41 ...
n
ni
x x x x x
=
+ + + + +∑ 
Com base na demonstração acima, é possível operar a soma de n variáveis 
desde a primeira observação até a última, perfazendo o entendimento resu-
mido através de uma única notação de somatório: 
Logo 1
n
ni
x
=∑ 
Leia-se, somatório de n variáveis X compreendidas entre a primeira e a última 
observação.
Exemplo 2:
2 2 2 2
1 2 3 ... nX X X X+ + + +
Então 2 2 2 22 31 ...
n
i ni
X X X X
=
+ + + +∑ 
Logo 2
1
n
ni
x
=∑ 
Leia-se, somatório de variável X elevada a potência 2 compreendidos entre a 
primeira até primeira até última observação.
Essas notações são a base para a demonstração das fórmulas que utilizam a 
soma de variáveis e compõem boa parte dos processos estatísticos.
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CONCLUSÃO
Esta unidade objetivou-se a apresentar uma reflexão sobre o estudo da Ed-
ucação Estatística e sua contribuição para a pedagogia de ensino da ciência 
Estatística, aplicadas aos diversos setores e atividades. O exemplo dos pesqui-
sadores Garfield e Bem-Zvi – que propuseram o “Ambiente de Aprendizagem 
do Raciocínio Estatístico” – vem oferecendo subsídios ao aperfeiçoamento do 
ensino da Estatística.
Registrou-se a sua efetiva utilidade e importância para a compreensão, análise 
e interpretação dos fluxos de dados e informações veiculados nas redes soci-
ais e plataformas disponíveis no mundo digital.
Por último, comprovou-se através dos resultados o uso satisfatório dos méto-
dos e processos experimentados com a utilização dos conceitos e exemplos 
voltados a realidade dos alunos, indicam alternativas concretas para o desen-
volvimento pleno da disciplina.
ANOTAÇÕES
UNIDADE 2
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> Estudar como 
estruturar os dados 
e transformá-los em 
informações.
> Aplicar as 
metodologias para a 
coleta, classificação, 
organização e 
apresentação.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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2 DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIAS E REPRESENTAÇÃO 
GRÁFICA
INTRODUÇÃO
Esta unidade se propõe a apresentar uma reflexão sobre o estudo da distri-
buição de frequências e representação gráfica, destacando a importância da 
aplicação das suas metodologias para a coleta, classificação, organização e 
apresentação dos dados. Além do emprego sobre o cálculo de índices e taxas, 
distinguindo as diferentes formas de distribuição, séries e gráficos.
Ao final, espera-se que você tenha condições de interpretar as informações a 
partir da coleta e da organização dos dados. 
Serão, também, objetos desta unidade os exemplos de tabelas de distribui-
ção de frequências e das séries estatísticas, devidamente relacionadas com 
os gráficos e demonstrativos, buscando adequar o conteúdo à realidade e à 
prática profissional.
2.1 PLANEJAMENTO, COLETA E APRESENTAÇÃO 
DE DADOS
O planejamento, a coleta e a apresentação de dados tratam-se das etapas ini-
ciais e importantes do processo estatístico. Geralmente, o objetivo é produzir 
informações e relatórios, auxiliar na elaboração de estudos, pareceres, ações 
e decisões, além de subsidiar políticas, diretrizes e o atingimento de metas.
Para tanto, é fundamental organizar os processos de trabalho através de 
um planejamento que ofereça as condições para o desenvolvimento ade-
quado de todas as fases, considerando o foco e o interesse no objeto. Pla-
nejamento é uma função administrativa importante em toda organização, 
seja em uma empresa, entidade ou mesmo na vida pessoal. O seu desen-
volvimento adequado significa organicidade, economia e racionalidade 
aos processos.
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O planejamento figura como a primeira função 
administrativa, por ser aquela que serve de base para 
as demais funções. Ele é a função administrativa que 
determina antecipadamente quais são os objetivos a 
serem atingidos e como s e deve fazer para alcançá-los. 
Trata-se, pois, de um modelo teórico para a ação futura. 
Começa com a determinação dos objetivos e detalha os 
planos necessários para atingi-los da melhor maneira 
possível. Planejar é definir os objetivos e escolher 
antecipadamente o melhor curso de ação para alcançá-
los. O planejamento define onde se pretende chegar, o 
que deve ser feito, quando, como e em que sequência. 
(CHIAVENATO, 2004, p. 167-168) 
Diante dessa constatação, passa-se a escolha das melhores alternativas dis-
poníveis com base nas metodologias e processos estatísticos, considerando, 
sobretudo, a natureza daquilo que se deseja pesquisar. Essa definição é fun-
damental, pois tudo que vier a partir do objeto de estudo estará dentro do 
planejamento que, por sua vez, determinará os melhores meios para a reali-
zação dos trabalhos.
Como o objetivo desta unidade não é o detalhamento de um planejamento 
estatístico para pesquisa ou projeto, que passaria obrigatoriamente pela es-
colha do processo de coleta, justificativas, fundamentação teórica, plano de 
trabalho, testes piloto e instrumentos de análise definitivos, partiremos do 
princípio de que o objeto a ser estudado ou o foco do nosso trabalho seja des-
critivo, isto é, apenas descrever as características de um determinado fenô-
meno ou evento e as etapas para coleta, organização e divulgação dos dados 
e informações.
Já a coleta de dados pode ser realizada por meio de vários processos: pes-
quisas, levantamentos, consultas, entrevistas, acessos a arquivos, documentos 
etc. Podendo ser feita, ainda, de maneira direta pelo próprio pesquisador por 
meio de pesquisas ou aplicação de questionários, ou indireta, através do uso 
de fontes de consulta para extrair dadose informações.
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A partir da definição do planejamento e da forma de coleta, faz-se necessária 
a realização da tabulação dos dados. Na tabulação, os dados são ordenados 
de acordo com o tipo de informação que se deseja obter, elencando as variá-
veis e os respectivos atributos.
Exemplo
TABELA 1 – MATRIZ DE RESPOSTAS: DUPLA ENTRADA
Funcionários
 Atributos
Idade 
(Em 
anos)
Tempo na 
empresa 
(em anos)
Gênero
Grau de 
escolaridade
Número de 
dependentes
Função na 
empresa
Funcionário 1
Funcionário 2
[...]
Fonte: Novaes (2013, p. 33) .
Matriz de respostas das características dos funcionários da empresa X. Dessa 
forma, cada coluna representa uma variável estatística que se quer estudar. 
Vamos pensar em cada uma dessas colunas separadamente. Se considerarmos 
a ordem na qual esses dados foram coletados, o conjunto assim constituído 
recebe o nome de conjunto de dados brutos. Na empresa (em anos) Gênero, 
Grau de escolaridade e Número de dependentes [...]
Nesse estágio, alguns conceitos são utilizados para melhor precisão e diferen-
ciação do trabalho:
1. Dados brutos – são os dados obtidos na sua forma natural, sem qualquer 
organização.
2. Rol – são os dados brutos ordenados.
3. Tabelas – são os dados ordenados em linhas e colunas indicadoras das 
variáveis e valores. Têm como elementos: título, corpo, cabeçalho e co-
luna indicadora (no decorrer dos tópicos estaremos trabalhando com 
vários exemplos).
4. Gráficos – imagens e figuras representativas dos dados tabulados e or-
denados. Apresentam diferentes tipos e funcionalidades (a serem deta-
lhados nos próximos tópicos).
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A apresentação ou divulgação são etapas finais após a coleta e a tabulação. 
Nelas, o trabalho é resumido e apresentado sob a forma de tabela, gráficos e 
demonstrativos para melhor garantir a transparência dos resultados
2.2 VARIÁVEIS
As variáveis são elementos importantes e decorrentes do objeto planejado. 
Conhecer a origem do evento, a pesquisa ou o experimento a ser estudado 
passa pelo conhecimento da variável ou das variáveis que podem interferir na 
condução dos métodos e processos de trabalho.
“A variável é uma condição ou característica dos elementos da população que 
pode assumir valores diferentes em diferentes elementos” (VIEIRA, 2015, p. 2).
Ela pode ser qualitativa ou nominal, ou, ainda, quantitativa. A primeira se ca-
racteriza por um atributo do objeto de pesquisa. Pode ser categorizada como 
nominal ou ordinal. Uma variável qualitativa nominal é aquela em que não 
se pode estabelecer uma relação de ordem ou hierarquia, exemplo: cor dos 
olhos, sexo, estado civil etc. Quanto à variável qualitativa ordinal, esta permite 
a hierarquização e ordenação, exemplo: grau de satisfação, cargo hierárquico, 
grau de concordância, grau de instrução, classe social etc.
“Variável qualitativa ou categorizada é quando se distribui em categorias, ou 
seja, em classes diferentes. É expressa por meio de palavras” (VIEIRA, 2015, p. 2).
Para ilustrar um exemplo de variável qualitativa, a tabela a seguir apresenta 
duas colunas contendo informações sobre o ranking de países mais bem 
colocados em competitividade digital. Algumas características se destacam, 
tais como: o tratamento da variável país associada a uma classificação ou 
categoria.
TABELA 2 - RANKING DE COMPETITIVIDADE DIGITAL DA ESCOLA DE NE-
GÓCIOS SUÍÇA IMD
Países Ranking
Estados Unidos 1
Singapura 2
Suécia 3
Dinamarca 4
Fonte: Adaptada de Tuon (2019) . 
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A Tabela 2 é parte do estudo avaliar competitividade digital econômica dos 
países, foram analisados três fatores: conhecimento, que significa a capaci-
dade do país de entender e aprender novas tecnologias; tecnologia, que é a 
competência para desenvolver inovações digitais; e preparação para o futuro. 
A variável quantitativa é aquela que pode ser mensurada numericamente. Divi-
de-se em discreta e contínua. Discretas são aquelas variáveis que podem repre-
sentar quantidade finita ou enumerável de valores, exemplo: número de filhos, 
quantidade de gols, salários etc. Já contínuas são aquelas que podem assumir 
qualquer valor dentro de um intervalo; exemplo: altura, peso, salários etc. 
Vale lembrar que, em todos os casos citados, o contexto em que estão inse-
ridas as variáveis é que determina a sua classificação. “A variável quantitativa 
ou numérica é quando resulta de um processo de contagem ou medição. É 
expressa por meio de números” (VIEIRA, 2015, p. 2).
Para ilustrar um exemplo de variável quantitativa, a tabela a seguir mostra 
duas colunas contendo informações sobre a quantidade de salários mínimos 
distribuídos em faixas de 0,5 salários, relacionados ao valor per capta.
TABELA 3 - IMPACTO DAS RESTRIÇÕES DO FIES – RENDA (SALÁRIOS MÍNI-
MOS) 2018
Faixa de Renda SM Per Capita Renda Per Capita
Até 0,5 R$ 499,00
De 0,5 a 1,0 R$ 998,00
De 1,0 a 1,5 R$ 1.497,00
De 1,5 a 2,0 R$ 1.996,00
De 2,0 a 3,0 R$ 2.495,00
Fonte: Brasil (2019) 
A Tabela 3 faz parte do estudo de impacto das restrições do Fies para o finan-
ciamento do ensino superior no Brasil, apresentado por especialistas que de-
bateram sobre a readequação do atual modelo de financiamento em direção 
a um sistema que seja condicionado à renda, em Brasília, no ano de 2019.
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2.3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DOS DADOS
A análise exploratória aborda um campo vasto de conceitos e aplicações. Es-
tende-se desde a coleta, tabulação e organização dos dados, passando pela 
elaboração das medidas de tendência central, separatrizes e variabilidade. 
Trata-se da própria estatística descritiva na maior parte das suas aplicações.
Com o objetivo de facilitar o seu entendimento, resolvemos fazê-la de forma 
destacada para termos a oportunidade de apontar detalhes e observações que 
serão mais proveitosas no entendimento da matéria. Para tanto, priorizamos 
métodos cuja observação das variáveis, da dispersão e dos aspectos das distri-
buições fiquem mais visíveis a partir da adoção de alguns procedimentos.
As bibliografias apresentadas exploram alguns processos que entendemos 
serem mais adequados enquanto análise exploratória. Tratam da análise bi-
dimensional – que são as diferentes formas de verificar, analisar e medir a 
associação, dependência e correlação entre as variáveis; e o método de ramos 
e folhas – identificação das distribuições, medidas de posição ou centrais, de 
variabilidade e separatrizes, a partir das observações das frequências e classes 
das variáveis.
2.3.1 Análise bidimensional
Analisar variáveis de forma conjunta e identificar as possíveis relações entre 
elas são importantes para aprofundarmos os conhecimentos sobre objeto de 
estudo em todas as suas dimensões.
O principal objetivo das análises nessa situação é explorar relações 
(similaridades) entre as colunas, ou algumas vezes entre as linhas. Como 
no caso de apenas uma variável que estudamos, a distribuição conjunta 
das frequências será́ um instrumento poderoso para a compreensão do 
comportamento dos dados. (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 80)
Geralmente, são expressas sob a forma de matriz em que as variáveis são dis-
postas em linhas e colunas, perfazendo totais e estabelecendo campos de in-
tersecção entre os dados. Essa construção visual favorece o estabelecimento de 
relações entre as variáveis e permite deduzir possíveis associações entre elas.
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Durante o processo nos depararemoscom três situações:
1. Duas variáveis são qualitativas.
2. Duas variáveis são quantitativas.
3. Uma variável é qualitativa e outra é quantitativa.
Vejamos o exemplo da Tabela 4 a seguir. Nela, são dispostas as variáveis em 
linhas (1, 2..., i...., n) e colunas (X1, X2..., Xj... Xp), em que é possível verificar os 
pontos comuns entre a linha 1 e a coluna 1 11X ; entre a linha 2 e a coluna 2 22X ; 
e assim sucessivamente; assim como os totais por linhas e colunas.
TABELA 4 - TABELA DE CONTINGÊNCIA
Indivíduos
Variáveis
1X 2X ... jX ... pX 
1 11X 12X ... 1 jX ... 1pX 
2 21X 2 jX ... 2 jX ... 2 pX 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
i 1iX 2iX ... ijX ... ipX 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
n 1nX 2nX ... njX ... npX 
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 80) .
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2.3.2 Associação entre variáveis qualitativas
Associação entre variáveis qualitativas significa identificar entre duas ou mais 
variáveis aleatórias como elas se comportam quando comparadas umas com 
as outras. 
Geralmente são dispostas em tabelas de dupla entrada para representar as 
frequências nas linhas e colunas. Importante que estejam apresentadas sob 
a forma de números relativos para a realização de uma boa análise, dessa ma-
neira a comparação entre as variáveis fica facilitada.
Conforme conteúdo complementar indicado abaixo, destacamos as tabelas 
de dupla entrada para representação das variáveis qualitativas, também cha-
mada tabelas de contingências. Ressaltamos, ainda, as distribuições conjun-
tas- representadas pelos pares ordenados formados pela interseção de linhas 
e colunas das variáveis; e das distribuições marginais - resultado do valor total 
da coluna ou linha de uma variável específica.
(BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 9. 
ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 71 a 73).
2.3.3 Medidas de associação entre variáveis 
qualitativas
O coeficiente de contingência de Pearson é uma das medidas que quantifica 
o grau de associação entre as variáveis qualitativas. Sua representação é re-
sultado do comparativo entre os valores relativos das distribuições conjuntas 
das variáveis relacionados na tabela de contingência, considerando os desvios 
entre valores esperados e valores observados.
A diferença é que o coeficiente de Pearson tem como resultado a utilização 
do 2X Qui− . Quadrado (uma medida do afastamento global dada pela soma 
de todos os desvios em relação à média), ou seja, quanto maior a discrepância, 
maior a associação entre as variáveis. O segundo método (Tschuprov) utiliza, 
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assim como o primeiro, o 2X e o n (nº de variáveis) e acrescenta as categorias 
das variáveis, representadas por r e s. A vantagem do segundo método é que 
o resultado fica dentro do limite de 0 1T≤ ≤ . Quanto mais próximo de 1, maior 
a associação entre as variáveis.
2.3.4 Medidas de associação entre variáveis 
quantitativas
O coeficiente de correlação de Pearson mensura o grau de associação entre 
as variáveis quantitativas. Sua representação é resultado do comparativo en-
tre os valores relativos das distribuições conjuntas das variáveis relacionados 
na tabela de contingência ou dupla entrada, considerando a média dos pro-
dutos dos valores padronizados das variáveis. Como resultado da operação, o 
coeficiente calculado estará entre –1 ≤ corr (XY) ≤ 1, indicando forte associação 
negativa ou positiva na medida que o resultado aponta para os extremos.
1
1( , )
( ) ( )
n i ix x y yCorr X Y
n dp X dp Y
   − −=    
   
∑ ou 
cov( , )( , )
( ). ( )
X YCorr X Y
dp X dp Y
= 
Em que cov = covariância
2.3.5 Medidas de associação entre variáveis 
qualitativas e quantitativas
Nesses casos, a associação se faz através da análise da variância total (global) e 
da variância calculada dentro da categoria. A variância global é calculada pela 
variável quantitativa; a variância dentro da categoria representa a variabilida-
de da variável qualitativa. Se a variância da variável qualitativa for menor que a 
quantitativa, podemos afirmar que a variável qualitativa melhora a capacida-
de de previsão da quantitativa, ou seja, existe uma relação entre elas.
2 var( ) var(S)
var( )
SR
S
−= sendo:
Var (S) = Variância global
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var(S) = Variância da categoria
2R = ² 0 ² 1Coeficiente de Determinação R= ≤ ≤ 
2.4 RAMOS E FOLHAS
Para Morettin (2017, p. 20), “ramos e folhas é um procedimento alternativo 
para resumir um conjunto de valores, com o objetivo de se obter uma ideia da 
forma de sua distribuição”. 
Na Tabela 5 a seguir, reproduzimos o exemplo do uso do ramos e folhas dos 
salários de 36 empregados da Companhia MB. As observações são divididas 
em duas partes: a primeira (o ramo) é colocada à esquerda de uma linha ver-
tical, a segunda (a folha) é colocada à direita. Nesse caso, para os salários 4,00 
e 4,56, o 4 é o ramo e 00 e 56 são as folhas, e assim sucessivamente.
TABELA 5 – RAMOS E FOLHAS
4 00 56
5 25 73
6 26 66 86
7 39 44 59
8 12 46 74 95
9 13 35 77 80
10 53 76
11 06 59
12 00 79
13 23 60 85
14 69 71
15 99
16 22 61
17 26
18 75
19 40
20
21
22
23 30
Fonte: Vieira (2015, p. 20).
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Observando os valores anteriores, identificamos que:
I. Os valores estão concentrados entre os salários 4,00 e 19,40.
II. O valor 23,20 é um ponto distante da distribuição, e deve ser desconside-
rado para efeito de cálculo das medidas principais.
III. A distribuição dos valores é assimétrica devido à concentração nos salá-
rios iniciais.
Outras considerações podem ser realizadas em torno das medidas de ten-
dência central, variabilidade, medidas separatrizes etc. Como havíamos co-
mentado no início, a nossa intenção era trazer para a análise exploratória de 
dados aqueles procedimentos mais exclusivos, sendo que os conceitos das 
medidas mencionadas anteriormente serão objeto de aprofundamento em 
unidade específica. 
Recomendamos a leitura do conteúdo relativo ao método 
de ramos e folhas e seus exercícios para fixação dos 
conceitos: BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística 
básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 20-23.
2.5 NÚMEROS ÍNDICES
É o quociente entre valores pertencentes a variáveis idênticas, cujo resultado 
geralmente se remete a uma comparação de preços, quantidades ou valores 
entre períodos distintos. 
 100
 
valor consideradoÍndice
valor de referência
= ×
Na economia, os índices são utilizados para comparar valores em datas distin-
tas. São as denominados valor na data corrente e o valor na data base. Na data 
base, o índice vale 100 e a variação do período é acrescida ou retirada para 
refletir a comparação entre os valores no tempo. 
 100
 
valor data correnteÍndice
valor na data base
= ×
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IV. Índice 110 significa 110% do valor da variável na data 
base, ou seja, ocorreu um aumento de 10% no valor da 
variável.
V. Índice 80 significa 80% do valor na data base, ocorreu 
um decréscimo no valor da variável de 20% (VIEIRA, 
2015, p. 101).
2.5.1 Índices relativos simples
Refere-se ao cálculo de preços ou quantidades relativas a um único bem ou 
serviço em determinado período.
• Índice relativo de preço ou preço relativo
0 0
100tt PPI P P
  = ×  
• Índice relativo de quantidade ou quantidade relativa
0 0
100tt QQI Q Q
  = ×   
2.5.1 Índices gerais
Trata da média aritmética dospreços relativos, ou seja, é a representação de 
vários preços através de um único índice de valores correspondente a um 
conjunto de bens e serviços. Difere-se do índice simples pelo fato de conter 
mais de um valor ou item de análise.
 ( ) 100
º 
soma dos preços relativosÍndice geral média dos preços relativos
n de produtos
= ×
0 0
1Im 100itt
i
PP
P n P
  = ×   ∑
 
 
 100
 
Índice agregativo simples ou índice agregativo simples de preços
soma dos preços na data t
soma dos preços na data base
=
×
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Índice agregativo simples ou índice agregativo simples de qualidades
soma das quantidades na data t
soma das quantidades na data base
=
0 0
100itt
i
QQIa Q Q
  = ×   ∑
Recomendamos a leitura do conteúdo relativo aos 
números índices e seus exercícios para fixação dos 
conceitos: VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: 
Cengage Learning, 2015. cap. 7-8.
2.6 SÉRIES E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS, 
ESPACIAIS, ESPECÍFICAS E TEMPORAIS
Distribuição de frequências é a forma como organizamos os dados, e as va-
riáveis com as respectivas frequências de acordo com suas características e 
especificidades.
Distribuição de frequências: relação estabelecida, na 
qual cada opção tem apenas um valor de observações 
feitas e todas as opções são associadas a um único valo. 
(NOVAES, 2013, p. 35).
Nela, encontramos a base para a realização dos cálculos das medidas e a or-
ganização por meio de tabelas.
As distribuições podem ser classificadas pelo tipo de série estatística: 
I. Série de distribuição específica: em que o fenômeno ou o fato estudado é o 
principal fator de organização das informações.
II. Série de distribuição espacial: deve-se ao fato de a análise envolver regiões, 
locais e relacioná-los com aspectos econômicos, sociais etc.
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III. Série de distribuições temporais: ênfase no tempo ou período em que o fato 
foi observado.
As distribuições de frequências são formadas a partir da construção de uma 
tabela baseada no número total de observações realizadas e distribuídas se-
gundo as suas frequências. A sequência a seguir demonstra como realizar a 
sua elaboração:
I. Calcula-se a amplitude total = maior valor menos o menor valor observado.
Aplica-se a fórmula de Sturges = 1 3,3 K log X= + , em que k é nº de classes a ser 
calculado, X é a amplitude total.
Calcula-se a classe e a sua amplitude, distribuindo as observações nos respec-
tivos intervalos de classe. 
TABELA 6 - DISTRIBUIÇÃO DE ALUNOS DO PRIMEIRO GRAU POR FAIXA 
ETÁRIA DO COLÉGIO A – MAIO 2017
Distribuição de alunos por idade Valores por idade
13 a 14 77
15 a 16 150
17 a 18 50
Total 277
Fonte: Elaborada pelo autor (2019). 
Recomendamos a leitura do conteúdo relativo ao 
método de ramos e folhas e seus exercícios para fixação 
dos conceitos: NOVAES, D. V. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 
p. 33-36.
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2.7 GRÁFICOS EM SETORES, LINHA, POLÍGONO, 
HISTOGRAMA E OUTROS DIAGRAMAS
A forma de representação gráfica mais adequada está relacionada à distribui-
ção e ao tipo de série em que estão organizados os dados coletados. 
Outro aspecto importante são os tipos de variáveis incluídas no estudo. Se 
qualitativa ou quantitativa; com dados discretos ou contínuos. Todos devem 
possuir fontes, títulos e legendas para efeito de complemento e integridade 
da informação (os demonstrativos a seguir são ilustrativos e não contêm o 
rigor das recomendações acima).
Gráfico em setores: objetiva a representação de partes relativas ao todo pes-
quisado. Pode oferecer variações de cores, estilos e legendas de forma a evi-
denciar o que se deseja divulgar. Não há restrições quanto ao tipo de dado ou 
variável.
GRÁFICO 1 – SETORES
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
Gráfico em colunas: demonstra a evolução de determinado fato em períodos. 
Nos eixos, estão o período e a escala de valores. As legendas expressam as va-
riáveis estudadas com as respectivas porcentagens. No primeiro modelo, as 
colunas apresentam pequenos espaços, o que evidencia a apresentação de 
dados discretos.
No segundo, a forma estilizada contempla a continuidade das observações e, 
portanto, melhor representa as variáveis contínuas. O histograma é o exem-
plo mais clássico onde as colunas são dispostas de forma contínua para a re-
presentação da distribuição.
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GRÁFICO 2 - COLUNAS
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
Gráfico em barras é uma variação do gráfico em colunas. É aconselhável para 
informações cujos títulos sejam melhores dispostos na forma horizontal (vari-
áveis qualitativas).
GRÁFICO 3 - BARRAS
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
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Gráfico em linhas também deriva dos dois anteriores. Aconselhável para a 
demonstração de períodos longos com quantidades grandes de dados. Não 
tem restrições quanto ao tipo de variável e a dados na sua apresentação. No 
caso do polígono de frequência, as linhas são ligadas por um ponto médio do 
histograma.
GRÁFICO 4 - LINHAS
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
Existem vários outros gráficos e demonstrativos que visam aumentar o grau 
de sensibilidade para o que se deseja informar, em que o uso de figuras, fotos 
e ilustrações auxiliam na comunicação e no entendimento.
GRÁFICO 5 – DEMONSTRATIVOS
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
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O fundamental nesses trabalhos é atentar-se para as normas que regem tais 
apresentações, como os títulos, as fontes, as notas e as chamadas. A informa-
ção é que deve ser a prioridade na construção das imagens e dos conteúdos 
divulgados.
CONCLUSÃO
Esta unidade objetivou-se a apresentar uma reflexão sobre o estudo da dis-
tribuição de frequências e a representação gráfica, destacando a importância 
da aplicação das suas metodologias para a coleta, classificação, organização e 
apresentação dos dados, bem como no cálculo de índices e taxas, buscando 
distinguir as diferentes formas de distribuição, séries e gráficos 
Esperamos que faça bom uso do conteúdo e atente-se para os estudos com-
plementares indicados nos tópicos.
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ANOTAÇÕES
UNIDADE 3
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> Calcular e 
diferenciar cada uma 
das medidas, realizar 
a devida aplicação 
nos casos concretos 
e estabelecer a 
devida comparação 
gráfica entre elas.
> Ênfase na 
compreensão sobre 
a distribuição, 
concentração e 
dispersão dos 
valores.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL, DE POSIÇÃO E 
SEPARATRIZES
INTRODUÇÃO
As Medidas de Tendência Central, as Medidas de Posição ou Medidas Resumo 
são as denominações representativas do grupo de medidas importantes na 
análise da concentração dos dados dentro da distribuição, mais precisamen-
te daqueles dados que se posicionam aocentro. Eles são representados pelas 
Médias, Mediana e Moda. Cada uma delas possui características e funções 
singulares na mensuração do tipo de distribuição resultante do trabalho de 
coleta dos dados.
As Medidas Separatrizes são as responsáveis pelo posicionamento dos dados 
dentro da distribuição, estendendo a análise para as informações do centro 
até as extremidades. Elas são representadas pelos Quartis, Decis e Percentis.
Por fim, a amplitude ou intervalo interquartílico detalha, ainda mais, o posi-
cionamento dos valores entre os Quartis e seus valores máximos e mínimos, 
proporcionando uma análise mais apurada. Nesse caso encontramos uma 
representação gráfica muito utilizada chamada box-plots, onde são demons-
tradas tais relações.
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GRÁFICO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Medidas de Posição: “Vimos que o resumo de 
dados por meio de tabelas de frequências e ramo-
e-folhas fornece muito mais informações sobre o 
comportamento de uma variável do que a própria 
tabela original de dados. Muitas vezes, queremos 
resumir ainda mais estes dados, apresentando um 
ou alguns valores que sejam representativos da 
série toda. Quando usamos um só́ valor, obtemos 
uma redução drástica dos dados. Usualmente, 
emprega-se uma das seguintes medidas de 
posição (ou localização) central: media, mediana 
ou moda” (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
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3.1 MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA GEOMÉTRICA, 
MÉDIA HARMÔNICA E MÉDIA PONDERADA
As medidas de tendência central ou de posição são muito semelhantes na 
sua composição teórica e finalidades quando se trata de representação de 
um conjunto de números. Tal constatação se deve ao fato de que nas suas 
formulações a preocupação em quantificar os valores estudados, ponderá-
-los com frequências e outras variáveis, e atribuir a estes um resultado mais 
próximo possível e representativo do todo, estão presentes em todas as fases 
do processo de cálculo.
As suas aplicações dependem do objetivo e de como os valores estão dispos-
tos na sua distribuição. Podemos nos deparar com maiores ou menores con-
centrações de valores na parte central, que torna a escolha da melhor medida 
uma decisão estratégica para expressar corretamente o fenômeno estudado. 
Há casos em que as características das variáveis, em razão do tipo de even-
to, determina o melhor processo para a representação do todo pesquisado. 
Portanto, estaremos priorizando esses e outros aspectos mais direcionados à 
composição das medidas e suas influencias no processo decisório. 
Quando elaboramos uma tabela de distribuição de frequências ou outro mo-
delo qualquer, devemos estar atentos às informações necessárias que devem 
constar das linhas e colunas que auxiliem na montagem do cálculo da medi-
da desejada. No caso da média aritmética, a mais usual de todas as medidas 
representativas de conjunto de valores, devemos estar atentos sobre quais in-
formações desejamos expressar na tabela e utilizadas na obtenção da média. 
Então, partimos do princípio de que Média Aritmética ( ) é calculada pela 
fórmula:
1
n i
n
x
n=∑ ; para dados não agrupados e
1
( . )n i i
n
i
x f
f=∑ ; para dados agrupados ou em classes.
A considerar o tipo de distribuição e a organização dos dados na Tabela 1, 
temos que construir as colunas de modo que expresse a necessidade de cál-
culo contido nas fórmulas. Relacionamos a seguir um exemplo de tabela de 
distribuição de frequências onde as variáveis estão agrupadas e dispostas em 
classes / intervalos.
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TABELA 1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi) Xi x fi Freq Yi x fi Rend
17 a 19 100 R$ 950 1800 R$ 95.000
20 a 22 200 R$ 1.500 4200 R$ 300.000
23 a 25 300 R$ 2.000 7200 R$ 600.000
26 a 28 400 R$ 3.000 10800 R$ 1.200.000
29 a 31 450 R$ 4.000 13500 R$ 1.800.000
32 a 34 400 R$ 5.000 13200 R$ 2.000.000
35 a 37 300 R$ 5.500 10800 R$ 1.650.000
38 a 40 200 R$ 6.000 7800 R$ 1.200.000
41 a 43 100 R$ 6.500 4200 R$ 650.000
Total 2450 R$ 34.450 73500 R$ 9.495.000
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Em que: 
n
i i ix=∑ = total da coluna alunos; 
1
n
i if=∑ = total da coluna frequência;
 
2
Limite inferior Limite superior+
 
Logo: 1
( . ) 73.500 30
2.450
n i i
i
i
x fX
f=
= = =∑ , ou seja, por se tratar de cálculo da variável 
idade temos como resultado a média de idade dos alunos pesquisados.
Perceba que, na Tabela 1, no caso da renda, o procedimento é idêntico. Substi-
tuindo o somatório de Xi. por Yi, em que teremos 1
(Y . ) 9.495.000 3.875,51
2.450
n i i
i
i
fX
f=
= = =∑ , 
representando o valor médio da renda dos estudantes.
A média aritmética possui propriedades que fazem dela uma medida sensível 
aos valores extremos, de forma que se deve observar se a assimetria da curva 
de distribuição está próxima da forma de “sino” ou curva normal. Quanto mais 
próxima da curva normal, mais representativa será a média. Esse conteúdo 
será objeto de estudo nas nossas próximas unidades.
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Demonstramos no Gráfico 2 a seguir a correspondente à curva da distribui-
ção de idades, indicando a média de idade (30 anos) e a concentração dos 
valores nas classes centrais.
GRÁFICO 2 – CURVA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA
500
400
300
200
100
0
20 a 22 23 a 25 26 a 28 29 a 31 32 a 34 35 a 37 38 a 40 41 a 4317 a 19
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Apesar de não constar de forma explicita na bibliografia apresentada, enten-
demos que informar os demais tipos de Médias seria interessante a título de 
conhecimento e, quem sabe, dependendo do estudo, oferecer alternativas 
para melhor interpretação dos valores e da distribuição estatística.
Média Aritmética: “[...] ou simplesmente média, é a 
medida de tendência central mais conhecida e utilizada 
para resumir a informação contida em um conjunto de 
dados” (VIEIRA, 2015, p. 38).
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Média Geométrica ( X g ) 
É a raiz enésima do produto de todas as observações. Pode ser 
utilizada de forma simples ou ponderada (variáveis e frequências). 
Normalmente, é utilizada quando pretendemos calcular valores 
representativos de índices, multiplicadores e de coeficientes.
Média Harmônica ( Xh ) 
É o inverso da média aritmética dos inversos. Pode ser utilizada de 
forma simples ou ponderada (variáveis e frequências). Normalmente, 
é utilizada quando nos deparamos com variáveis fracionadas e 
desejamos manter tal representação no resultado calculado. Não deve 
ser utilizada em distribuições com valor nulo.
1 1 1
1 2
nXh
x x xn
=
+ + ⋅⋅⋅+
, simples; 
fi
Xhp fi
xi
= ∑
∑
 dados agrupados 
(ponderada).
Moda
Dentre as medidas de tendência central ou de posição, a moda 
expressa o valor de maior frequência dentro de uma distribuição. Nada 
difícil de imaginar na medida em que o número de repetições de um 
ou mais valores acaba por influenciar a distribuição como um todo. E 
quando a moda está próxima do centro da distribuição ela acaba por 
fortalecer a média e a própria mediana enquanto medidas correlatas. 
Moda: é definida como a realização mais frequente do 
conjunto de valores observado (BUSSAB; MORETTIN, 
2017).
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Seguindo a mesma dinâmica de cálculo da Média, a Moda pode ser cal-
culada paradados simples ou agrupados. Na forma simplificada, a Moda será 
o valor de maior frequência da distribuição. As distribuições podem ter mais 
de uma Moda ou nenhuma. No caso dos dados agrupados, ela é expressa 
pela seguinte fórmula:
Em que:
Lim. inf. = limite inferior da classe modal;
fc = frequência da classe modal;
fant = frequência da classe anterior à modal;
fpost = frequência da classe posterior à modal;
h = Amplitude da classe modal.
Esse método foi desenvolvido por Czuber. Existem outros como o de King – 
que utiliza a mesma construção da fórmula de Czuber, mas se diferencia por 
não utilizar a frequência da classe moda ( fc ).
Para cálculos mais simples, a Moda Bruta também pode ser uma alternativa 
menos complexa , sendo os limites pertencentes à classe de 
maior frequência (ou classe modal) 
A seguir, relacionamos o exemplo de tabela de distribuição de frequências 
utilizado no exemplo anterior, onde as variáveis estão agrupadas e dispostas 
em classes / intervalos.
54
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TABELA 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi) Xi x fi Freq Yi x fi Rend
17 a 19 100 R$ 950 1800 R$ 95.000
20 a 22 200 R$ 1.500 4200 R$ 300.000
23 a 25 300 R$ 2.000 7200 R$ 600.000
26 a 28 400 R$ 3.000 10800 R$ 1.200.000
29 a 31 450 R$ 4.000 13500 R$ 1.800.000
32 a 34 400 R$ 5.000 13200 R$ 2.000.000
35 a 37 300 R$ 5.500 10800 R$ 1.650.000
38 a 40 200 R$ 6.000 7800 R$ 1.200.000
41 a 43 100 R$ 6.500 4200 R$ 650.000
Total 2450 R$ 34.450 73500 R$ 9.495.000
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Lim. inf. = limite inferior da classe modal = 29
fc = frequência da classe modal = 450
fant = frequência da classe anterior à modal = 400
fpost = frequência da classe posterior à modal = 400
h = Amplitude da classe modal = 3
O resultado representa a idade de maior frequência dentro da distribuição.
No caso da renda, a própria distribuição já indica que o valor de R$ 4.000,00 é 
o que apresenta maior frequência estando no intervalo 29 a 31 anos.
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• Mediana
Dentre as medidas de Tendência Central, a Mediana se encontra entre aquelas 
que não sofrem influência dos valores extremos, pois a sua concepção está na 
ordenação do conjunto de observações e separá-lo em duas partes iguais de 
forma que o valor central corresponda à Mediana da distribuição. Essa é uma 
vantagem comparativa importante porque na hipótese de a média não ser um 
parâmetro representativo, justamente por sofrer a influência de valores extre-
mos, como visto no tópico anterior, a mediana pode assumir o papel de melhor 
estimador (amostra) ou valor representativo da distribuição (população).
Essa concepção permite oferecer recursos importantes à análise dos dados 
como, por exemplo: qual o valor de salário, renda, idade etc. divide em duas 
partes iguais o quantitativo de observações realizadas. Daí a importância de 
se estabelecer a diferença entre valor médio e valor mediano. Também possui 
grande utilidade quando a distribuição possui variáveis com características 
de ordem ou classificação.
Mediana: “[...] é a realização que ocupa a posição central 
da série de observações, quando estão ordenadas em 
ordem crescente [...]” (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
A Mediana ( xMd ) é calculada para dados simples ou agrupados, assim como 
as médias e a moda. Na forma simplificada, a Mediana será o valor central 
após a ordenação da distribuição. Quando o número de observações for ím-
par, o valor que divide em duas partes o conjunto corresponderá à Mediana. 
No caso de distribuições com número par de observações, a mediana será 
calculada através da média aritmética dos dois valores centrais. Vejamos os 
exemplos:
Considere a distribuição devidamente ordenada, 1 2 3 4 5x x x x x+ + + + a Mediana 
será o valor central que divide duas em partes iguais, ou seja, 1 2 3 4 5x x x x x+ + + +. Na distribui-
ção com número par de observações ordenadas 2 3
2x
x xMd += . 
Logo, a notação geral será:
 1
2
n
x
xMd += = se n=ímpar; 
 
1
2 2
2
n n
x
x x
Md
 +  
+
=
, se par;
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Com n = número de observações.
No caso dos dados agrupados a xMd é expressa pela seguinte fórmula:
inf
2
x
med
fi Fant h
Md Lim
f
  − ×    = +
∑
, onde:
2
fi∑ = somatório da coluna de frequência divido por 2 para achar em qual 
classe está o valor da mediana; 
Lim. inf. = limite inferior da classe da mediana;
medf = frequência simples da classe da mediana;
antF = frequência acumulada anterior da classe da mediana;
h = Amplitude da classe.
A seguir, relacionamos a tabela de distribuição de frequências utilizada no 
exemplo anterior, em que foram acrescentadas as colunas de Frequência 
Acumulada para o cálculo da Mediana.
TABELA 3 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi) Xi x fi Freq Yi x fi Rend
17 a 19 100 R$ 950 100 R$ 950
20 a 22 200 R$ 1.500 300 R$ 2.450
23 a 25 300 R$ 2.000 600 R$ 4.450
26 a 28 400 R$ 3.000 1000 R$ 7.450
29 a 31 450 R$ 4.000 1450 R$ 11.450
32 a 34 400 R$ 5.000 1850 R$ 16.450
35 a 37 300 R$ 5.500 2150 R$ 21.950
38 a 40 200 R$ 6.000 2350 R$ 27.950
41 a 43 100 R$ 6.500 2450 R$ 34.450
Total 2450 R$ 34.450 12250 R$ 127.550
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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2
fi∑ = somatório da coluna de frequência divido por 2.4502 1.2252= = , através 
da coluna Fac. (xi) ou frequência acumulada verifica-se que o valor está inclu-
so na classe 29 a 31(5ª classe).
Lim. inf. = limite inferior da classe da mediana = 29
medf = frequência simples da classe da mediana = 450
antF = frequência acumulada anterior da classe da mediana = 1.000
h = Amplitude da classe = 3
Interpretando o resultado anterior, a distribuição tem exatamente a metade 
dos estudantes com idades superiores e inferiores a 30,5 anos.
No caso da renda, a própria distribuição já indica que o valor em torno de 
R$ 4.000,00 divide em partes iguais a distribuição da renda dos alunos. Valor 
mais preciso poderá ser calculado empregando a mesma metodologia e uti-
lizando as colunas relativas à renda dos estudantes.
3.2 QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (QUANTIS) – 
MEDIDAS SEPARATRIZES.
Tão importante quanto as demais medidas de Tendência Central, as Medidas 
Separatrizes acrescentam detalhes na análise das distribuições. Os Quartis, 
Decis e Percentis são, nada mais nada menos, do que a divisão da distribui-
ção em:
1. Quatro partes, no caso dos Quartis.
2. Dez partes, nos Decis.
3. 100 partes iguais nos Percentis.
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Logo, por esse entendimento, fica mais fácil compreender o papel que esses 
conceitos desempenham no processo estatístico, mais precisamente, no po-
sicionamento das variáveis dentro de uma distribuição.
As possibilidades de se estabelecer relações entre as Medidas Separatrizes e 
as Medidas de tendência Central são múltiplas. Ao calcular a Mediana de uma 
distribuição, tem-se a divisão em duas partes iguais do conjunto de dados 
observados. Da mesma maneira que, ao calcularmos 2º Quartil e o 50º Per-
centil, obtemos valores iguais. A vantagem nessa relação é que os resultados 
obtidos não estão sujeitos a distorção de valores extremos, o que oferece mais 
credibilidade para conclusões em torno de valores representativos, como as 
médias, bem como abre possibilidades de análise sobre a variabilidade ou 
dispersão das observações.
Outras relações são possíveisem torno dos conceitos anteriores, o que faz 
desses recursos tão importantes quanto a Média, a Moda e Mediana de uma 
Distribuição, apesar de menos conhecidos ou restritos a quem utiliza as ferra-
mentas estatísticas com certa frequência.
Indicamos a leitura do livro: BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, 
P. A. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 
43-48.
As Medidas Separatrizes ( xMs ) são calculadas para dados simples ou agrupa-
dos, assim como as médias e a moda. Na forma simplificada, será o valor cor-
respondente ao respectivo percentual da distribuição, após a sua ordenação. 
Considere a distribuição devidamente ordenada ou Quantis (p) = 0≤p≤1 para 
todo Quartil, Decil ou Percentil calculado:
1 2 3 4 5 6 7 8 9x x x x x x x x x< < < < < < < < 
2º Quartil e 50º Percentil = 5x ; 
1º Quartil e 25º Percentil = 2 3
2
x x+
 
3º Quartil e 75º Percentil =. 7 8
2
x x+ 
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Nos dados agrupados ou em frequência, a fórmula é bem parecida com a da 
Mediana:
inf
i
ant
x
f F h
p
Ms Lim
fp
  − ×  
  = +
∑
, onde:
fi
p∑ = somatório da coluna de frequência divido por p para achar em qual 
classe está o valor do Quartil, Decil ou Percentil; 
Lim. inf. = limite inferior da classe;
medf = frequência simples da classe;
antF = frequência acumulada anterior à classe;
h = Amplitude da classe.
A seguir, relacionamos o exemplo de tabela de distribuição de frequências 
utilizado no exemplo anterior, mantendo-se as colunas de Frequência Acu-
mulada para o cálculo das Medidas. Calculando o 3º Quartil:
TABELA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi) Xi x fi Freq Yi x fi Rend
17 a 19 100 R$ 950 100 R$ 950
20 a 22 200 R$ 1.500 300 R$ 2.450
23 a 25 300 R$ 2.000 600 R$ 4.450
26 a 28 400 R$ 3.000 1000 R$ 7.450
29 a 31 450 R$ 4.000 1450 R$ 11.450
32 a 34 400 R$ 5.000 1850 R$ 16.450
35 a 37 300 R$ 5.500 2150 R$ 21.950
38 a 40 200 R$ 6.000 2350 R$ 27.950
41 a 43 100 R$ 6.500 2450 R$ 34.450
Total 2450 R$ 34.450 12250 R$ 127.550
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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3
4
fi∑ = somatório da coluna de frequência = 3(2.450) 1.8384 = , através da coluna 
Fac. (xi) ou frequência acumulada verifica-se que o valor do terceiro quartil 
está incluso na classe 32 a 34(6ª classe).
Lim. inf. = limite inferior da classe = 32
antF = frequência simples da classe = 400
antF = frequência acumulada anterior da classe = 1.450
h = Amplitude da classe = 3
Interpretando o resultado anterior, a distribuição tem 75% dos estudantes 
com idades até a 34,91anos.
Procedimento análogo pode ser adotado em relação ao cálculo da renda, con-
siderando, obviamente, as colunas e linhas correspondentes a essa variável.
3.2.1 Intervalo interquartílico
Apesar de ser uma medida de variabilidade ou dispersão, o objetivo de tratar 
esse assunto dentro das medidas separatrizes se deve ao fato de que a teo-
ria contida no cálculo entre os Quantis permite uma maior compreensão da 
sua importância no posicionamento das observações e auxilia em conclusões 
preliminares sobre as variáveis envolvidas.
É bem verdade que a sua análise conjugada com a dispersão oferece maiores 
condições para uma conclusão definitiva sobre a assimetria da distribuição e 
o desenvolvimento dos demais parâmetros estatísticos. O que não impede de 
realizarmos a devida comparação no momento oportuno.
O significado do Intervalo ou Amplitude Interquartílica expressa a diferença 
entre o 3º e 1º Quartil, ou seja, Dint = Q3 – Q1. Através dele, temos a dimen-
são aproximada do posicionamento entre os limites inferiores e superiores e 
a sua distância das observações centralizadas. Em outras palavras, entre o 1º e 
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3º Quartil estão compreendidas 50% das observações, restando 25% abaixo e 
acima da distribuição. Esses elementos oferecem condições de identificamos 
as cinco medidas base.
Segundo Bussab e Morenttin (2017, p. 47), os cinco valores correspondem: 
X (1), = limite inferior
Q 1, = primeiro quartil
Q 2, = segundo quartil ou a mediana
Q 3 = terceiro quartil 
X (n) = limite superior
E são importantes para identificar a assimetria ou simetria aproximada quan-
do:
(a) Q2 - X (1) ≈ X (n) - Q2;
(b) Q2 - Q1 ≈ Q3 - Q2;
(c) Q1 - X (1) ≈ X (n) - Q3; 
(d) distâncias entre mediana e Q1, Q3 menores do que distâncias entre os ex-
tremos e Q1, Q3.
Logo, concluímos que a diferença Q2 – X (1) - dispersão inferior e X (n) - Q2 
- dispersões superiores deve ser a menor possível para uma distribuição seja 
considerada, aproximadamente, simétrica.
Recomendamos leitura do conteúdo relativo aos Quantis 
e seus exercícios para fixação dos conceitos BUSSAB, W. 
de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2017. Cap. 3.
3.3 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
Vimos o quanto as Medidas de Tendência Central, Separatrizes e Intervalo In-
terquartílico são importantes na fundamentação dos métodos e processos 
estatísticos. Todas são passíveis de representação gráfica como demonstra-
ção geométrica das suas relações com as variáveis e destas com o conjun-
to da distribuição. Os conteúdos complementares indicados apontam vários 
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desses exemplos gráficos estimulando a devida correspondência com a teo-
ria apresentada. Nesse sentido, apresentaremos alguns exemplos ligados aos 
conteúdos abordados para ilustrar essas relações.
O importante é fixar que os gráficos, assim como as fórmulas, são recursos 
complementares e importantes no processo de aprendizagem e compreen-
são dos conceitos.
GRÁFICO 3 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi)
17 a 19 100 R$ 950
20 a 22 200 R$ 1.500
23 a 25 300 R$ 2.000
26 a 28 400 R$ 3.000
29 a 31 450 R$ 4.000
32 a 34 400 R$ 5.000
35 a 37 300 R$ 5.500
38 a 40 200 R$ 6.000
41 a 43 100 R$ 6.500
Total 2450 R$ 34.450
Frequência por Alunos
500
400
300
200
100
0
20 a 22 23 a 25 26 a 28 29 a 31 32 a 34 35 a 37 38 a 40 41 a 4317 a 19
500
400
300
200
100
0
20 a 22 23 a 25 26 a 28 29 a 31 32 a 34 35 a 37 38 a 40 41 a 4317 a 19
17 a 19
20 a 22
23 a 25 
26 a 28
29 a 31
32 a 34
35 a 37
38 a 40
41 a 43
100
100
200
200
300
300
400
400
450
Frequência po Alunos
100%
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
O demonstrativo anterior resume a disposição gráfica do modelo adotado 
como exemplo nesta Unidade - distribuição de frequências por faixa etária e 
renda. Nela, vemos como a distribuição é aproximadamente simétrica para 
os valores observados em relação à frequência da faixa etária dos estudantes, 
através do gráfico em curvas (simulando a curva normal) e o de colunas (si-
mulando um histograma). Além da tabela de valores – que representa a orga-
nização dos dados, e do Gráfico tipo “Funil”, que oferece uma forma diferente 
de distribuir graficamente as idades e as frequências. 
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GRÁFICO 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E RENDA
FAC po Alunos
2500
2000
1500
1000
500
0
20 a 22 23 a 25 26 a 28 29 a 31 32 a 34 35 a 37 38 a 40 41 a 4317 a 19
100
300
1000
400
1450
1850
2150
2350
2450
Alunos (xi) Frequência (fi) Renda (yi) Xi x fi Freq Yi x fi Rend
17 a 19 100 R$ 950 100 R$ 950
20 a 22 200 R$ 1.500 300 R$ 2.450
23 a 25 300 R$ 2.000 600 R$ 4.450
26 a 28 400 R$ 3.000 1000 R$ 7.450
29 a 31 450 R$ 4.000 1450 R$ 11.450
32 a 34 400 R$ 5.000 1850 R$ 16.450
35 a 37 300R$ 5.500 2150 R$ 21.950
38 a 40 200 R$ 6.000 2350 R$ 27.950
41 a 43 100 R$ 6.500 2450 R$ 34.450
Total 2450 R$ 34.450 12250 R$ 127.550
Quartis
1° = 600
2º = 1.450
3° = 2.150
Decis
2,5º = 600
5º = 1.450
7,5 = 2.150
Percentis
25º = 600
50° = 1.450
75° = 2.150
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Em seguida, temos o Demonstrativo 2 com a visualização dos Quantis por 
idade dos alunos, com destaque para os cálculos realizados e as devidas re-
presentações gráficas.
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GRÁFICO 5 - DEMONSTRATIVO DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR FAIXA ETÁRIA E 
RENDA
FAC por Alunos
R$ 40 Mil
R$ 30 Mil
R$ 20 Mil
R$ 10 Mil
R$ 0 Mil
20 a 22 23 a 25 26 a 28 29 a 31 32 a 34 35 a 37 38 a 40 41 a 4317 a 19
R$ 1 Mil
R$ 2 Mil
R$ 4 Mil
R$ 7 Mil
R$ 11 Mil
R$ 16 Mil
R$ 22 Mil
R$ 28 Mil
R$ 34 Mil
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
O Demonstrativo 3 detalha a visualização dos Quantis por renda dos alunos, 
demonstrando graficamente os cálculos realizados nesta Unidade e seguin-
do a sequência apresentada no Demonstrativo 2, ou seja, a linha inferior do 
gráfico corresponde a 25% das observações; a linha intermediária está a Me-
diana da distribuição – 50% dos valores; e a linha superior corresponde a 75% 
das observações.
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CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou uma reflexão sobre o estudo da Medidas de Tendên-
cia Central, as Medidas Separatriz, Intervalo Interquartílico e suas Representa-
ções Gráficas, destacando a importância da aplicação das suas metodologias 
para a análise dos valores centrais da distribuição, assim como a simetria. 
Esperamos que faça bom uso do conteúdo e atente para os estudos comple-
mentares indicados nos tópicos.
ANOTAÇÕES
UNIDADE 4
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> Possibilitar 
a análise das 
distribuições a 
partir do grau 
de concentração 
ou dispersão dos 
dados em torno das 
medidas apuradas.
> Ênfase na 
representatividade 
da distribuição.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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4 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU 
VARIABILIDADE
INTRODUÇÃO
A Variabilidade ou Dispersão são as denominações representativas do grupo 
de medidas importantes na análise da concentração dos dados dentro da 
distribuição, mais precisamente ao centro. Elas são representadas pela Vari-
ância, pelo Desvio Padrão, pelo Desvio Médio, pelo Coeficiente de Variação e 
pela Amplitude Total.
Cada uma delas possui características e funções singulares na mensuração 
do grau de dispersão das informações.
Calcular a dispersão entre os valores observados significa mensurar o quanto 
o posicionamento dos dados dentro da distribuição pode afetar o resultado 
dos demais parâmetros, principalmente as medidas de tendência central, 
que dependem de uma representatividade mínima para serem consideradas 
boas estatísticas tanto para populações quanto para amostras.
A Variância, o Desvio Médio e o Desvio Padrão são medidas que têm na sua 
base de cálculo a atribuição de medir o distanciamento de cada observação 
da média da distribuição. Como veremos mais adiante, cada uma das medi-
das tem suas características, uma vez que o formato do resultado poderá ser 
utilizado de acordo com o objetivo da pesquisa ou da própria condução do 
cálculo ou medida que se deseja utilizar.
Medidas de Variabilidade ou Dispersão: “Tanto 
a variância como o desvio médio são medidas 
de dispersão calculadas em relação à média das 
observações. Assim como a média, a variância 
(ou o desvio padrão) é uma boa medida se a 
distribuição dos dados for aproximadamente 
normal. O desvio médio é mais resistente que o 
desvio padrão” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 42).
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Nesse sentido, o Coeficiente de Variação e a Amplitude total são métodos 
mais simples, pois não necessitam de tantas transformações para a sua ob-
tenção. Eles caminham no mesmo sentido das demais medidas, ou seja, bus-
cam oferecer subsídios para a análise geral dos valores.
Dessa forma, quando elaboramos uma tabela de distribuição de frequências 
ou outro modelo qualquer, devemos estar atentos às informações necessárias 
que devem constar das linhas e colunas que auxiliem na montagem do cál-
culo da medida desejada.
Portanto, seguindo os objetivos desta Unidade, buscamos oferecer a você o 
máximo de informações sobre a importância dessas medidas na mensuração 
da variabilidade das distribuições e suas principais características na formula-
ção teórica e prática dos processos e processos estatísticos. Vamos começar 
os nossos estudos! 
GRÁFICO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR NOTAS
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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4.1 VARIÂNCIA ( )
Iniciaremos este tópico conceituando Variância. Vamos entender o seu signi-
ficado. 
A Variância é calculada a partir do somatório das diferenças entre variáveis e a 
média, elevado ao quadrado.
Sua notação corresponde a:
 ∑ dados simples com = média; e 
 ∑ dados agrupados ou em classes, em que = ponto médio.
Variância: “Quando a média é usada como medida de 
tendência central, ou seja, quando a média indica o 
centro da distribuição, podemos calcular o desvio de 
cada observação em relação à média como segue: desvio 
= observação - média desvio = x – . Se os desvios em 
relação à média são pequenos, podemos concluir que 
as observações estão aglomeradas em torno da média. 
A variabilidade dos dados é, portanto, pequena. Se os 
desvios são grandes, os dados estão muito dispersos. 
Logo, a variabilidade dos dados é grande. A variância 
é uma medida de variabilidade que capta essas duas 
situações” (VIEIRA, 2015).
Essas formulações permitem calcular as distâncias de cada variável em rela-
ção à média da distribuição, elevando-se a diferença ao quadrado com o obje-
tivo neutralizar a influência dos valores negativos. O símbolo de ∑ (somatório), 
conforme estudado na Unidade 1, representa o total de cada diferença das 
parcelas somadas n vezes. Os valores de corresponde à frequência 
da distribuição e n a quantidade de observações.
A considerar o tipo de distribuição e a organização dos dados na tabela, te-
mos que construir as colunas de modo que expresse a necessidade de cálculo 
70
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contido nas fórmulas. Relacionamos a seguir um exemplo de tabela de distri-
buição de frequências onde as variáveis estão agrupadas e dispostas em clas-
ses/intervalos. A seguir, a Tabela 1 que corresponde à distribuição hipotética 
de notas agrupadas como exemplo de aplicação da Variância.
TABELA 1 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi)
1 29
2 21
3 16
4 18
5 16
6 15
7 12
8 16
9 20
10 16
Total 179
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
A coluna de notas (x) apresenta as dez observações com as respectivas frequ-
ências (fi), onde é computado o total de todas as observações realizadas.
O objetivo de calcular a Variância da distribuição nos remete ao acréscimo de 
outras colunas de modo a fornecer os dados complementares à aplicação da 
fórmula, ou seja, ∑ deverão ser calculadas as colunas para obtermos 
a média e os demais valores para a Variância Registra-se que no exemplo em 
questão a variável (nota) foi disposta de forma agrupada (frequências), atra-
vés dos seus valores individualizados,diferentemente dos intervalos de classe 
que serão objeto do segundo exemplo.
A seguir, relacionamos os novos valores da Tabela 2.
71
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
TABELA 2 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi.fi x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 . fi
1 29 29 -4,10 16,81 487,49
2 21 42 -3,10 9,61 201,81
3 16 48 -2,10 4,41 70,56
4 18 72 -1,10 1,21 21,78
5 16 80 -0,10 0,01 0,16
6 15 90 0,90 0,81 12,15
7 12 84 1,90 3,61 43,32
8 16 128 2,90 8,41 134,56
9 20 180 3,90 15,21 304,20
10 16 160 4,90 24,01 384,16
Total 179 913 4,00 84,10 1660,19
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Logo, obtemos Variância = ∑ = 9,2748
No Exemplo 2, a Tabela 3 corresponde a uma distribuição de notas agrupadas 
e organizadas em classes.
TABELA 3 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi xi.fi xi- µ (xi- µ)2 (xi- µ)2 . fi
1 a 10 50 1,50 75,00 -3,6201 13,1052 655,2604
3 a 4 34 3,60 119,00 -1,6201 2,6248 89,2419
5 a 6 31 5,50 170,50 0,3799 0,1443 4,4738
7 a 8 28 7,50 210,00 2,3799 5,6639 158,5883
9 a 10 36 9,50 342,00 4,3799 19,1834 690,6032
Total 179 27,50 916,50 1,8994 40,7216 1598,1676
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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MULTIVIX EAD
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Logo, obtemos Variância = ∑ = 8,9283
Nos exemplos anteriores, conclui-se que a variância da distribuição das notas 
agrupadas do Exemplo 2 tem o valor menor do que a obtida no Exemplo 1. 
Em que se deduz que os valores do Exemplo 2 estão mais próximos da média 
das observações. Os demonstrativos a seguir ilustram a dispersão e a frequ-
ência das notas dos Exemplos 1 e 2.
GRÁFICO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR NOTAS 
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(f
r)
xi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dispersão das notas
Notas (xi) 1 a 2 3 a 4 5 a 6 7 a 8 9 a 10
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
GRÁFICO 3 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR CLASSES
1 a 2
9 a10
3 a 4
5 a 6
7 a 8
0 10 20 30 40 50
Frequência por classe de notas
50
36
34
31
28
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
GRÁFICO 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR NOTAS
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(f
r)
xi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dispersão das notas
Notas (xi) 1 a 2 3 a 4 5 a 6 7 a 8 9 a 10
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
GRÁFICO 5 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR CLASSES
1 a 2
9 a10
3 a 4
5 a 6
7 a 8
0 10 20 30 40 50
Frequência por classe de notas
50
36
34
31
28
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
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4.2 DESVIO PADRÃO 
O Desvio Padrão é a medida de dispersão mais utilizada no cálculo da disper-
são entre os valores das observações e a média.
É obtido através do cálculo da raiz quadrada da Variância. Na verdade, o seu 
resultado retoma os valores anteriormente elevados ao quadrado, conforme 
explicado na composição da fórmula da variância no Tópico 4.1, à realidade 
inicial da distribuição, ou seja, retoma à medida de grandeza original.
A compreensão deste conceito vai além do simples cálculo ou interpretação 
do grau de variabilidade entre a média e as respectivas observações. Sua apli-
cação também está vinculada a uma série de outros processos e métodos 
estatísticos que vão desde a combinação com outras medidas, a exemplo do 
coeficiente de variação – que estaremos abordando nesse tópico, bem como 
na sua utilização em várias distribuições de probabilidade que serão objeto de 
estudo nas Unidades 5 e 6. 
Desvio Padrão: “Para obter uma medida de variabilidade 
na mesma unidade de medida dos dados, extrai-se a raiz 
quadrada da variância. Obtém-se, assim, o desvio padrão. 
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância, com sinal 
positivo. O desvio padrão é uma medida de variabilidade 
muito usada porque mede de maneira eficaz a dispersão 
dos dados” (VIEIRA, 2015).
Um exemplo da sua importância, enquanto principal conceito de medida de 
dispersão, está na sua aplicação no mercado financeiro, mais precisamente 
no cálculo do risco em determinados investimentos. O Desvio Padrão é consi-
derado uma medida para calcular o retorno de ativos em relação à sua média, 
cujo resultado indicará a margem de possíveis ganhos ou perdas conside-
rando o valor médio da distribuição desses ativos. Todavia, deixaremos esse 
aprofundamento para as próximas Unidades.
75
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
Retornando aos exemplos da distribuição notas agrupadas por frequência e 
classes, os resultados para o Desvio Padrão dos exemplos 1 e 2 são:
Exemplo 1 – Desvio Padrão = 3,04545
A seguir, a Tabela 4 referente ao Exemplo 1. 
TABELA 4 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi.fi x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 . fi
1 29 29 -4,10 16,81 487,49
2 21 42 -3,10 9,61 201,81
3 16 48 -2,10 4,41 70,56
4 18 72 -1,10 1,21 21,78
5 16 80 -0,10 0,01 0,16
6 15 90 0,90 0,81 12,15
7 12 84 1,90 3,61 43,32
8 16 128 2,90 8,41 134,56
9 20 180 3,90 15,21 304,20
10 16 160 4,90 24,01 384,16
Total 179 913 4,00 84,10 1660,19
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Em que a Variância =∑ = 9,2748
Exemplo 2 – Desvio Padrão = 2,98803
A seguir, a Tabela 5 referente ao Exemplo 2. 
76
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TABELA 5 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi xi.fi xi- µ (xi- µ)2 (xi- µ)2 . fi
1 a 10 50 1,50 75,00 -3,6201 13,1052 655,2604
3 a 4 34 3,60 119,00 -1,6201 2,6248 89,2419
5 a 6 31 5,50 170,50 0,3799 0,1443 4,4738
7 a 8 28 7,50 210,00 2,3799 5,6639 158,5883
9 a 10 36 9,50 342,00 4,3799 19,1834 690,6032
Total 179 27,50 916,50 1,8994 40,7216 1598,1676
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Em que a Variância = ∑ = = 
Por fim, confirma-se que os valores do Exemplo 2 estão mais próximos da 
média das observações, como expresso acima no cálculo da variância, no en-
tanto, os resultados obtidos com o desvio padrão estão na mesma grandeza 
das notas, ou seja, o resultado da média estará entre 2,98803 ≤ µ ≤ + 2,98803, 
ou 2,11≤ 5,10 ≤ 8,09.
4.3 DESVIO MÉDIO (Dm.)
O Desvio Médio é uma medida de dispersão pouco utilizada. O seu cálculo 
também segue a lógica do Desvio Padrão quando utiliza as diferenças entre 
as observações e a média – quanto maior o resultado maior a variabilidade 
em relação à média, no entanto, o resultado acaba expressando somente a 
média das diferenças entre valores absolutos, não sendo passíveis de uma 
utilização mais extensa.
É calculado através da fórmula: 
Dm = para dados não agrupados; e
Dm = para dados agrupados.
77
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
Desvio Médio: “[...] é a média do valor absoluto dos desvios 
de cada valor em relação à média da distribuição” 
(NOVAES, 2013).
Retornando aos exemplos da distribuição notas agrupadas por frequência e 
classes, os resultados para o Desvio Médio dos Exemplos 1 e 2 são:
Exemplo 1 – Desvio Médio Dm = = = 2,67095, 
A seguir, a Tabela 6 do Exemplo 1. 
TABELA 6 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi.fi x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 . fi
1 29 29 -4,10 16,81 487,49
2 21 42 -3,10 9,61 201,81
3 16 48 -2,10 4,41 70,56
4 18 72 -1,10 1,21 21,78
5 16 80 -0,10 0,01 0,16
6 15 90 0,90 0,81 12,15
7 12 84 1,90 3,61 43,32
8 16 128 2,90 8,41 134,56
9 20 180 3,90 15,21 304,20
10 16 160 4,90 24,01 384,16
Total 179 913 4,00 84,10 1660,19
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Obs.: ∑ = 478,01
Exemplo 2 – Desvio Médio Dm == = 2,6378
A seguir, a Tabela 7 do Exemplo 2. 
78
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TABELA 7 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi xi.fi xi- µ (xi- µ)2 (xi- µ)2 . fi
1 a 10 50 1,50 75,00 -3,6201 13,1052 655,2604
3 a 4 34 3,60 119,00 -1,6201 2,6248 89,2419
5 a 6 31 5,50 170,50 0,3799 0,1443 4,4738
7 a 8 28 7,50 210,00 2,3799 5,6639 158,5883
9 a 10 36 9,50 342,00 4,3799 19,1834 690,6032
Total 179 27,50 916,50 1,8994 40,7216 1598,1676
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Obs.: ∑ = 472,17
4.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.V.)
O Coeficiente de Variação altera a lógica predominante nas medidas anterio-
res. A sua formulação privilegia as características de um coeficiente, ou seja, 
ele oferece resultado entre grandezas diferentes e como número relativo.
A sua utilidade reside em medir o quanto há de variação percentual entre a 
média e o desvio padrão, ou seja, ele representa uma taxa volatilidade, uma 
medida comparativa entre a média e o desvio padrão.
Assim como o desvio padrão, o coeficiente de variação também é bastante em-
pregado no mercado financeiro na avaliação de riscos e análise de investimentos
Coeficiente de Variação: “Para analisar a variabilidade dos 
dados nessas situações, podemos usar o coeficiente de 
variação (CV), que é uma medida relativa de dispersão, ou 
seja, serve para comparação em termos relativos do grau 
de concentração em torno da média de distribuições 
diferentes” (NOVAES, 2013).
79
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
É calculado através da fórmula:
(C.v.) = , em que = média aritmética; e
= desvio padrão
Retornando aos exemplos da distribuição notas agrupadas por frequência e 
classes, os resultados para o Coeficiente de Variação dos Exemplos 1 e 2 são:
Exemplo 1 – Coeficiente de Variação (C.v.) = = = 0,5970
A seguir, a Tabela 8 do Exemplo 1.
TABELA 8 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi.fi x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 . fi
1 29 29 -4,10 16,81 487,49
2 21 42 -3,10 9,61 201,81
3 16 48 -2,10 4,41 70,56
4 18 72 -1,10 1,21 21,78
5 16 80 -0,10 0,01 0,16
6 15 90 0,90 0,81 12,15
7 12 84 1,90 3,61 43,32
8 16 128 2,90 8,41 134,56
9 20 180 3,90 15,21 304,20
10 16 160 4,90 24,01 384,16
Total 179 913 4,00 84,10 1660,19
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Exemplo 2 – Coeficiente de Variação (C.v.) = = = 0,5835
A seguir, a Tabela 9 do Exemplo 2. 
80
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TABELA 9 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi) xi xi.fi xi- µ (xi- µ)2 (xi- µ)2 . fi
1 a 10 50 1,50 75,00 -3,6201 13,1052 655,2604
3 a 4 34 3,60 119,00 -1,6201 2,6248 89,2419
5 a 6 31 5,50 170,50 0,3799 0,1443 4,4738
7 a 8 28 7,50 210,00 2,3799 5,6639 158,5883
9 a 10 36 9,50 342,00 4,3799 19,1834 690,6032
Total 179 27,50 916,50 1,8994 40,7216 1598,1676
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Por fim, confirma-se que os valores do Exemplo 2 estão mais próximos da 
média das observações, pois a taxa de variação ou dispersão está em torno de 
58% contra 59% do primeiro exemplo.
Aprofunde seus estudos com a leitura do livro: NOVAES, 
Diva Valério. Estatística para educação profissional e 
tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. Parte II; 4.
4.5 AMPLITUDE TOTAL
Na sequência do nosso estudo, o conceito de Amplitude Total significa o in-
tervalo entre o menor e o maior valor dos valores observados. Geralmente 
utilizada na construção da fórmula de Sturges para o cálculo do número de 
classes e seus intervalos. Amplitude Total = Valor da maior observação – valor 
da menor observação
81
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
TABELA 10 - FREQUÊNCIA DE NOTAS
Notas (x) Frequência (fi)
1 29
2 21
3 16
4 18
5 16
6 15
7 12
8 16
9 20
10 16
Total 179
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
A coluna de notas (x) apresenta as dez observações com as respectivas fre-
quências (fi), onde é computado o total de todas as observações realizadas. A 
Amplitude Total das notas será: 10 – 1 = 9.
4.6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
Vimos o quanto as Medidas de Dispersão ou de Variabilidade são importantes 
na fundamentação dos métodos e processos estatísticos.
Todas são passíveis de representação gráfica como demonstração geométri-
ca das suas relações com as variáveis e destas com o conjunto da distribuição.
Os conteúdos complementares indicados apontam vários desses exemplos 
gráficos estimulando a devida correspondência com a teoria apresentada. 
Nesse sentido, apresentaremos alguns exemplos ligados aos conteúdos abor-
dados para ilustrar essas relações.
O importante é fixar que os gráficos, assim como as fórmulas, são recursos 
complementares e importantes no processo de aprendizagem e compreen-
são dos conceitos. 
82
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DEMONSTRATIVO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE NOTAS POR CLASSES E FREQUÊNCIAS
Notas (x)
Frequência
 (fi)
xi xi.fi xi- µ (xi- µ)2 (xi- µ)2 . fi
1 a 10 50 1,50 75,00 -3,6201 13,1052 655,2604
3 a 4 34 3,60 119,00 -1,6201 2,6248 89,2419
5 a 6 31 5,50 170,50 0,3799 0,1443 4,4738
7 a 8 28 7,50 210,00 2,3799 5,6639 158,5883
9 a 10 36 9,50 342,00 4,3799 19,1834 690,6032
Total 179 27,50 916,50 1,8994 40,7216 1598,1676
5,12 Média das notas
8,9283 Variância
2,9880279 Desvio padrão
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(f
r)
xi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dispersão das notas
Notas (xi) 1 a 2 3 a 4 5 a 6 7 a 8 9 a 10
1 a 2
9 a10
3 a 4
5 a 6
7 a 8
0 10 20 30 40 50
Frequência por classe de notas
50
36
34
31
28
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
O Demonstrativo anterior resume a disposição gráfica do modelo adotado 
como Exemplo 1 nesta Unidade. Consta de uma tabela contendo as informa-
ções necessárias para o cálculo das medidas, um gráfico de dispersão das 
notas e outro gráfico em barras representando a distribuição das notas em 
classes e frequências. 
83
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
DEMONSTRATIVO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE NOTAS POR CLASSES E FREQUÊNCIAS
Notas 
(x)
Frequência 
(fi)
xi.fi x- µ (x- µ)2 (x- µ)2 . fi
1 29 29 -4,10 16,81 487,49
2 21 42 -3,10 9,61 201,81
3 16 48 -2,10 4,41 70,56
4 18 72 -1,10 1,21 21,78
5 16 80 -0,10 0,01 0,16
6 15 90 0,90 0,81 12,15
7 12 84 1,90 3,61 43,32
8 16 128 2,90 8,41 134,56
9 20 180 3,90 15,21 304,20
10 16 160 4,90 24,01 384,16
Total 179 913 4,00 84,10 1660,19
Fr
eq
u
ên
ci
a 
(f
r)
xi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dispersão das notas
Notas (xi) 1 a 2 3 a 4 5 a 6 7 a 8 9 a 10
1 a 2
9 a10
3 a 4
5 a 6
7 a 8
0 10 20 30 40 50
Frequência por classe de notas
50
36
34
31
28
5 Média 
9,27 Variância
3,0454564 Desvio padrão
Fonte: Banco de imagens autor (2019).
Em seguida, temos o Demonstrativo 2 com a visualização da distribuição 
das notas por frequências. Constam tabela, gráfico de dispersão e gráfico 
em barras.
CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou uma reflexão sobre o estudo das Medidas de Variabili-
dade e de Dispersão, destacando a importância na aplicação das suas metodo-
logias para a análise dos valores centrais da distribuição em relação aos desvios. 
Esses procedimentos se demonstram indispensáveis na decisão da melhor 
medida representativa da distribuição considerando a dispersão dos dados.
Esperamos que façam bom uso do conteúdo e atentem para as informações 
indicadas nos tópicos.
UNIDADE 5
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
> Fornecer os conceitosnecessários ao entendimento 
e à compreensão da teoria 
das probabilidades e suas 
aplicações básicas, assim como 
as distribuições baseadas 
nos conceitos das variáveis 
contínuas e discretas.
> Possibilitar a análise das 
distribuições a partir do grau 
de concentração ou dispersão 
dos dados em torno das 
medidas apuradas.
> Dar ênfase no emprego de 
modelos voltados às práticas 
de pesquisas e aos processos 
de trabalho, estimulando a 
identificação com a realidade 
do aluno.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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5 PROBABILIDADE - 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS - 
DISTRIBUIÇÕES
INTRODUÇÃO
O estudo da probabilidade tem se destacado, ultimamente, através da sua in-
clusão nos livros didáticos de segundo grau com abordagens básicas do seu 
emprego aliado à análise combinatória e à teoria dos conjuntos.
Essas iniciativas constituem em avanços no caminho de despertar o interesse 
dos alunos para temas que fazem parte de estudos avançados nas áreas de 
tecnologia e inovação, além de motivá-los na ampliação dos conhecimentos 
na área de ciências exatas e suas mais variadas aplicações.
A nossa abordagem estará voltada à aplicação dos conceitos de probabilida-
de no estudo da Estatística. Sem perder de vista que muitos dos conceitos 
básicos farão parte da nossa exposição e utilização.
Fazem parte deste tópico estudos sobre a introdução de alguns conceitos de 
probabilidade: a probabilidade condicional e independência; o Teorema de 
Bayes; e as respectivas distribuições de probabilidade (algumas mais impor-
tantes).
Esperamos que você faça um ótimo proveito e que o conteúdo possa lhe aju-
dar a compreender e auxiliar na sua vida acadêmica e profissional.
5.1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Como vimos na Unidade 1 do nosso estudo, os ensaios sobre probabilidade ini-
ciaram na primeira metade do século XVII com experimentos ligados a jogos de 
azar. Com o decorrer do tempo, a partir da evolução da matemática e da estatís-
tica, a probabilidade teve suas aplicações ampliadas para as diversas áreas, tor-
nando-se uma importante teoria para compreensão dos fenômenos aleatórios 
e elaboração de cálculos aproximados, visando mensurar as suas ocorrências.
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Atualmente, a probabilidade é utilizada nas diversas áreas das ciências, go-
vernos, empresas etc. enquanto ferramenta importante de análise e decisão.
Nesta introdução, apresentaremos alguns conceitos básicos para a funda-
mentação teórica, considerando a bibliografia apresentada e a complexidade 
do tema, visto que, a partir dos demais tópicos, veremos exemplos práticos 
para a sua compreensão e aplicação.
FIGURA 1
Fonte: Plataforma Deduca (2019).
Probabilidade: “a teoria das probabilidades estuda os 
fenômenos que envolvem a aleatoriedade, ou seja, a 
ação do acaso. Alguns desses fenômenos podem ser 
interpreta- dos como experimentos (intencionalidade 
humana para seu desenvolvimento) e recebem o 
nome de experimentos aleatórios. Os que possuem 
uma evolução que independe da intencionalidade 
humana recebem o nome de fenômenos aleatórios 
(por exemplo, fenômenos meteorológicos)” (NOVAES; 
COUTINHO, 2013, p. 137). 
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5.1.1 Espaço amostral (ᾨ)
Veremos a seguir a definição de espaço amostral: “[...] conjunto de todos os 
possíveis resultados para um experimento aleatório é denominado conjunto 
universo ou espaço amostral. Cada um desses possíveis resultados recebe o 
nome de evento” (NOVAES; COUTINHO, 2013, p. 138).
A definição anterior resume bem os limites de ocorrência dos eventos e as 
suas relações no espaço. Assim podemos resumir alguns conceitos e repre-
sentações gráficas:
A probabilidade de qualquer evento A é representada por um número entre 0 
e 1 = 0 ≤ P (A) ≤ 0.
A probabilidade representada pelo espaço amostral é de 100%.
A probabilidade de não ocorrência de um evento 1 – a probabilidade da sua 
ocorrência 1 – P (A) = P (A’) ou P (A) + P (A’) = 1,00.
5.1.2 Enfoque subjetivo
Para Novaes e Coutinho (2013, p. 138): 
A probabilidade subjetiva é determinada por especialistas, que analisam 
todo o contexto e os resultados já́ conhecidos de experimentos ocorridos 
nas mesmas condições (série histórica de resultados) para então estimar um 
valor a ser adotado. Tal valor é testado no final do processo, para avaliar sua 
adequação. Este tipo de enfoque está́ na base do que se chama Métodos 
Bayesianos. 
É o método mais utilizado para a realização dos estudos probabilísticos. Di-
ferentemente dos chamados métodos clássicos ou objetivos, que têm na 
experiência empírica a base para o atingimento do resultado. Os métodos 
subjetivos generalizam os eventos a serem estudados e passam a expressar 
a experiência, o histórico e as características do evento. Um exemplo da sua 
utilização é nas pesquisas de opinião, eleições, censos demográficos etc.
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5.1.3 Enfoque combinatório
Vejamos a seguir o conceito de probabilidade combinatória por Novaes e 
Coutinho (2013):
A probabilidade combinatória (que é a mais conhecida e estudada até́ o 
Ensino Médio) é aquela determinada pela razão entre o número de sucessos 
e o número total de casos, quando se considera cada um dos casos possíveis 
igualmente prováveis. (NOVAES; COUTINHO, 2013, p. 138)
É utilizado para a explicação das primeiras noções de probabilidade em que 
são adotadas técnicas de contagem, análise combinatória, teoria dos conjun-
tos e outras formas e exemplos mais simples de como aplicar a teoria. Tem 
como característica a teórica clássica e com métodos empíricos e objetivos. 
Um exemplo seria o cálculo de probabilidade de retirada de uma carta de um 
determinado naipe em um baralho do resultado do lançamento de dados e a 
probabilidade de determinada face ser registrada, etc.
Representação: 
5.1.4 Enfoque frequentista
Sobre a probabilidade frequentista, vejamos o que Novaes e Coutinho (2013) 
nos dizem na citação a seguir. 
A probabilidade frequentista é determinada pela observação da estabilização 
da frequência relativa acumulada de um evento que se quer estudar, quando 
o experimento é repetido um número infinito de vezes. Dessa forma, a 
probabilidade frequentista é, na prática, obtida por meio de uma estimação 
feita a partir do estudo das frequências relativas acumuladas. (NOVAES; 
COUTINHO, 2013, p. 138)
Seguindo o exemplo clássico e empírico, a obtenção da probabilidade é resul-
tante do número de vezes que determinado experimento é repetido. Quanto 
maior a amostra, melhor será a estimativa da frequência relativa.
Um exemplo da probabilidade frequentista seria o lançamento de uma moe-
da repetidas vezes, a quantificação do diâmetro de uma grande quantidade 
de peças produzidas etc.
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Representação: 
“Primeiras noções de Probabilidade” (NOVAES; 
COUTINHO, 2013, p. 138-141).
5.1.5 Propriedades
As propriedades são importantes para entendermos a probabilidade de ocor-
rência dos eventos (probabilidade conjunta). Apresentam várias as possibili-
dades de relações entre os conjuntos de eventos. 
Os conceitos de eventos independente, dependente e mutuamente exclusivo 
ou excludente aumentam as possibilidades de representação dos diferentes 
situações dentro do espaço amostral.
Vejamos as propriedades:
P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) = P (A ou B) ambos ocorrem.
Significa a probabilidade do evento A ou B ocorrerem conjuntamente. 
A exclusão da intersecção P (A ∩B) significa a retirada dos elementos 
comuns ou repetidos entre os dois conjuntos.
P (A U B) = P (A) + P (B) = mutuamente exclusivos = (A ou B) 
ocorrerá.
Significa a probabilidade do evento A ou B ocorrerem conjuntamente, 
sendo que ambos são mutuamente exclusivos, ou seja, não há 
intersecção ou elementos comuns entre eles, P (A ∩ B) = ∅.
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P (A e B) = P (A) x P (B) = eventos independentes.
Significa a probabilidade do evento A ou B ocorrerem conjuntamente, 
sendo que ambos são independentes, ou seja, ocorrem independente 
do outro, P (A ∩ B) = ∅.
P (A e B) = P (B) x (A\B) ou P (A) x P (B\A) = eventos 
dependentes.
Significa a probabilidade do primeiro evento ocorrer dado que 
o segundo já ocorreu, isto é, P (B) x (A\B) equivale dizer que 
probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu, logo B depende de 
A, sendo P (B) > 0.
Realizadas as devidas considerações iniciais nesta introdução, passamos para 
os tópicos desta unidade.
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 
9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p.106-118. 
5.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA
A probabilidade condicional é calculada entre dois eventos, sendo que um 
deles depende do outro para ocorrer.
É representada como: P (A\B) = 
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TABELA 1 – DISTRIBUIÇÃO DE ALUNOS SEGUNDO O SEXO E ESCOLHA DO 
CURSO
 Sexo
Curso Homens Mulheres Total
Matemática Pura 70 40 110
Matemática Aplicada 15 15 30
Estatística 10 20 30
Computação 20 10 30
Total 115 85 200
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 109).
Considerando a Tabela 1, se escolhermos um estudante ao acaso, matricula-
do no curso de computação, a probabilidade de que seja mulher será aquela 
que, ao verificar o posicionamento das colunas e das linhas na direção curso 
de computação, mulheres e total, informar os valores necessários ao preen-
chimento da formulação, conforme detalhado na sequência.
Teremos na terceira coluna, correspondente ao curso de computação, um to-
tal de dez mulheres e um total de 30 alunos para todo curso de computação. 
Assim, fazendo a divisão das mulheres do curso de computação pelo total de 
alunos do curso de computação, teremos:
Na Formulação 1, observando a Tabela 1, na terceira e quarta colunas e quarta 
linha, temos: 
 = = 
Utilizando a fórmula de probabilidade condicional, teremos:
Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P (B) > 0, definimos probabilidade 
condicional de A dado B, P (A\B) como sendo:
P (A\B) = 
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Logo, para o exemplo anterior, se B e A correspondem, respectivamente, aos 
eventos “alunos matriculados em Computação” e “aluno mulher computa-
ção”, então:
Na Formulação 2, observando a Tabela 1, na terceira e quarta colunas e quarta 
linha e quinta linha, temos: 
P (A\B) = = = 
Assim, teremos o mesmo resultado calculado na Formulação 1 (em que as ob-
servações foram realizadas diretamente na Tabela 1, sem a adoção do cálculo 
da probabilidade). A questão principal é que nem sempre será possível visu-
alizar os valores de forma simples, por isso, a Formulação 2, com a aplicação 
do conceito de probabilidade condicional, é a indicada na resolução desses 
problemas.
5.3 INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Como visto nas propriedades, um evento B é dito interdependente de um 
evento A se a probabilidade de B ocorrer não é influenciada pelo fato de A ter 
ocorrido ou não. A relevância de trazer essa definição reside no fato de que 
a probabilidade condicional entre eventos independentes contribuiu com a 
dedução do conceito de independência, conforme a seguir: 
A probabilidade de B é igual a probabilidade condicional de B dado A: P (B) = 
P (B\A); se B é um evento independente, então ele ocorre independente de A, 
logo a P (B\A), dado que A ocorreu será igual a probabilidade de B.
Pelo Teorema das Multiplicações, P (A ∩ B) = P (A). P (B\A), substituindo P (B\A) 
por P (B) teremos a definição formal da independência: 
P (A ∩ B) = P (B). P (A)
Conceitos como a probabilidade condicional e independência serão muito 
utilizados na interpretação das aplicações do Teorema de Bayes, tema do nos-
so próximo tópico.
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5.4 TEOREMA DE BAYES
Como vimos, a probabilidade condicional é calculada entre dois eventos 
quando um deles depende do outro para ocorrer, agora, quando essa relação 
de dependência é ampliada com a inclusão de novas condições que se rela-
cionam com essa dependência, temos a elaboração de um novo conceito, o 
Teorema de Bayes.
Para facilitar o entendimento, refizemos a Tabela 1 – Distribuição de alunos 
segundo o sexo e escolha do curso, e substituímos os valores absolutos por 
relativos com base no total de alunos dos cursos, ou seja, cada valor foi divido 
pelo total de 200 alunos. Os resultados passaram a expressar o quanto cada 
curso e aluno do sexo masculino e feminino representam do total apurado.
TABELA 2 – DISTRIBUIÇÃO DE ALUNOS SEGUNDO O SEXO E ESCOLHA DO 
CURSO
 Sexo
Curso Homens (%) Mulheres (%) Total (%)
Matemática Pura 0,35 0,20 0,55
Matemática Aplicada 0,08 0,08 0,15
Estatística 0,05 0,10 0,15
Computação 0,10 0,05 0,15
Total 0,58 0,43 1,00
Fonte: Adaptada Bussab e Morettin (2017, p. 109).
Iremos considerar o evento a seguir. Vejamos. 
Uma universidade escolhe uma aluna para a realização de um curso de mes-
trado dentre as matriculadas nos cursos listados na tabela anterior, se a esco-
lha é uma aluna, qual a probabilidade de pertencer ao curso de Matemática 
Aplicada?
Logo, para o cálculo da probabilidade de escolha de uma aluna para a rea-
lização do curso de mestrado ser uma aluna do curso de matemática pura, 
dentre os outros três cursos existentes, será, segundo o Teorema de Bayes, a 
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probabilidade condicionada de escolha de uma aluna dado que pertence ao 
curso de matemática pura, dividido por todas as possibilidades de escolha de 
uma aluna.
Nesse raciocínio, entra em cena outra notação importante, o teorema da pro-
babilidade total, que significa o espaço amostral de todas probabilidades de 
ocorrência do evento. Aplicando ao Teorema de Bayes, o espaço amostral se-
ria todas as possibilidades de ocorrência do evento considerando as probabi-
lidades condicionais:
Logo, a formulação do Teorema de Bayes será:
P (Bj\A) = 
• Sendo P(A) = a probabilidade do evento A ocorrer.
• Sendo P(Bj) = a probabilidade do evento B ocorrer.
• Sendo P(A\Bj) = a probabilidade do evento A ocorrer dado que B ocorreu. 
São diversos os modelos para aplicação. Recomendamos a leitura e os exer-
cícios.
O exemplo da Tabela 2 poderá ser resolvido com a aplicação dos pressupostos 
acima, acrescido das propriedades e das relações estabelecidas na probabili-
dade condicional. Como o tema é extenso e os exercícios variados, recomen-
damos a leitura do conteúdo complementar.
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 
9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 119-131. 
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5.5 DISTRIBUIÇÕES UNIFORME, BINOMIAL, 
HIPERGEOMÉTRICA E POISSON
O estudo das probabilidades aliado com às distribuições significa o início do 
processo de transição dos métodos relacionados à Estatística Descritiva para 
a Estatística Indutiva ou Inferencial.
E, para que possamos compreendê-lo, faz-se necessário entender que as dis-
tribuições deprobabilidade são os espaços amostrais onde as variáveis pas-
sam a atuar. Dessa associação entre probabilidade e variável surge a função 
de probabilidade que representa os resultados dos eventos no espaço amos-
tral da distribuição, assumindo valores relativos entre 0 e 1, de acordo com as 
características da distribuição.
As variáveis discretas são denominadas função de probabilidade ou função (x, 
p (x)) ou f (x) = p (x), chamada função de probabilidade da v.a. X (variável ale-
atória de X). Ao assumir esse papel, as variáveis incorporam as características 
da distribuição, e os parâmetros naturais como a média e variância podem ser 
calculados considerando essa relação entre variável e a distribuição de proba-
bilidade.
“Chama-se função de probabilidade da v.a. discreta X, que assume os valores 
x1, x2, Κ, xn, Κ, a função {(xi, p (xi)), i = 1, 2, Κ}, que a cada valor de xi associa a 
sua probabilidade de ocorrência, isto é, p(xi) = P(X = xi) = pi, i = 1, 2, Κ” (BUSSAB; 
MORETTIN, 2017, p. 138).
Vejamos a Tabela 3 a seguir. 
TABELA 3 - DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA X
x P (x)
15 0,56
10 0,23
5 0,02
-5 0,19
Total 1
Fonte: Adaptada Bussab e Morettin (2017, p. 135).
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O raciocínio é valido para as variáveis contínuas, em que a representação no 
espaço amostral ou na distribuição de probabilidade se faz através de interva-
lo contínuo de dados, são classificadas como função de densidade de proba-
bilidade = da variável aleatória v.a.X.
“Uma função X, definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num 
intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória continua” (BUSSAB; 
MORETTIN, 2017, p. 168).
As distribuições de probabilidade são o resultado de experimentos, estudo e 
aplicações que fizeram delas modelos para representar determinados even-
tos. A Tabela 3 representa uma distribuição de probabilidade da variável alea-
tória X, isto é, cada variável aleatória possui uma probabilidade corresponden-
te no espaço amostral ou na distribuição.
5.5.1 Valor médio de uma variável aleatória 
(discreta e contínua)
“Dada a v.a. X discreta, assumindo os valores , Κ, , chamamos valor médio 
ou esperança matemática de X ao valor [...]” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 139).
E (x) = ∑ , em que xi é o valor da variável aleatória e é a sua probabili-
dade associada. 
“Define uma v.a. continua X, ou seja, cria um modelo teórico para as frequên-
cias relativas de uma v.a. continua. A área compreendida entre dois valores, a 
e b, da abscissa x, sob a curva representativa de f (x), dá a probabilidade [...]” 
(BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 172).
E (x) = 
5.5.2 Valor da variância de uma variável 
aleatória (discreta e contínua)
Var (x) = ∑ , em que xi é o valor da variável aleatória, E (x) a mé-
dia e pi é a sua probabilidade ou frequência. 
Var (x) = 
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5.5.3 Função distribuição acumulada de uma 
variável aleatória (discreta e contínua)
“Definição: Dada a variável aleatória X, chamaremos de função de distribuição 
acumulada (f.d.a.), ou simplesmente função de distribuição (f.d.) F (x)” (MO-
RETTIN, 2017, p. 142).
F (X) = P (X ≤ x) ou F (x) = ∑ f ), para ≤ x
F’ (x) = = f(x) – utilizada para todos os valores de x para os quais F(x)é de-
rivável.
5.5.4 Distribuição uniforme
É a distribuição de variáveis aleatórias discretas em que todas possuem a 
mesma probabilidade de ocorrer dentro da distribuição ou espaço amostral. 
Representação: P (X ≤ x) = P ( = p = , em que todo i = 1, 2, 3..., k.
Média = E (x) = ∑ 
Variância = Var (X) = 
Frequência Acumulada = F (x) = ∑ 
Vejamos o exemplo a seguir expresso na Tabela 4 que retrata o evento de um 
lançamento de um dado. 
TABELA 4 – NÚMERO DE PONTOS NO LANÇAMENTO DE UM DADO
x 1 2 3 4 5 6 Total
P (x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 145).
Média = E (x) = ∑ 1/6(1+2+3+4+5+6) = 21/6=3,5
Variância = Var (X) = = 1/6 ((1+4+... +36) - (21) / 6) = 2,9
A Tabela 5 a seguir relaciona algumas distribuições discretas e detalha a sua 
função de probabilidade, parâmetros e respectivas médias e variâncias. Adap-
tamos a tabela a seguir acrescentando algumas funcionalidades de cada dis-
tribuição.
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TABELA 5 – MODELOS PARA VARIÁVEIS DISCRETAS
Modelo P (X=x) Parâmetros E (X), Var (X)
Bernoulli
Eventos de sucesso 
e fracasso x = 0,1
p p, p
Binomial
Eventos de sucesso 
e fracasso. Admite 
dois resultados
n, p np, np
Poisson
Eventos de 
tempo e espaço 
(ocorrências)
 , x = 0, 1, ...
Geométrica
Eventos relativos a 
tempo, fila, espera 
ou repetições x = 1, 2, ...
p
 , 
Hipergeométrica
Uusada na 
extração de 
amostras com e 
sem reposição. 
Sucesso e fracasso 
do evento. Admite 
vários resultados.
N, r, n
n
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 145).
5.6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL E REPRESENTAÇÃO 
GRÁFICA DA ÁREA DA CURVA NORMAL
A Distribuição Normal, ou Gaussiana, é a principal distribuição de variáveis 
contínuas e a mais utilizada para no cálculo da probabilidade e da inferência 
estatística. 
Ela é o resultado da distribuição de probabilidade dos parâmetros média e 
desvio padrão. “Dizemos que a v.a. X tem distribuição normal com parâmetros 
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µ e σ², -∞ < μ < +∞ e 0 < σ < ∞, se a sua densidade é dada por f(x; µ, σ) = 
, -∞<x<∞” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 181).
Parâmetros da Distribuição Normal:
E (X) = μ, e Var (X) = 
QUADRO 1 – PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Forma Limites Parâmetros Utilizada
Forma de Sino.
Simétrica em 
relação à média
-∞ a +∞
Área sob a curva 
normal
100%
µ, σ²
A probabilidade de uma 
variável aleatória tomar 
um valor entre dois 
pontos é igual a área da 
curva entre os pontos.
Distribuição teórica mais utilizada 
seja por aplicação direta ou por 
aproximação com outras distribuições.
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
Vejamos o Gráfico 1 a seguir. 
GRÁFICO 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL –MÉDIAS E DESVIOS
 
Va
lo
re
s
-3s +3s
-2s +2s
-1s +1s
68,26%
95,44%
99,74%
Fonte: Sigma (2018).
100
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No Gráfico 1 anterior, as áreas cobertas pela curva são representadas pelos 
intervalos entre o desvio padrão e a média, de forma que a diferença entre o 
primeiro até o terceiro desvio, correspondem aos percentuais de 68%, 95% e 
99% das observações. Na próxima unidade, aprofundaremos essas relações 
com a estimação dos parâmetros dentro de uma amostra ou população.
5.6.1 Curva normal padrão reduzida
Quando a média (µ) e o desvio padrão (σ) são respectivamente 0 e 1. 
Logo, a variável aleatória passa a ser representada:
Z = 
Z = escores padronizados da variável X em relação a curva normal.
“Exemplos de Aplicação sob a área da curva normal padrão reduzida, onde 
Z≈N (0;1)” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 185).
Calculemos algumas probabilidades
1) P (-1,73 ≤ Z ≤ 0) = P (0 ≤ Z ≤ 1,73) = 0,4582, devido à simetria da curva. 
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO DO EXERCÍCIO 1
0 1,73
45%
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 185).
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Procedimento: consultar a tabela de distribuição de escores ou probabilida-
des e localizar o valor 1,73 visualizando a coluna e a linha correspondente. O 
resultado será a área da curva normal padrão reduzida 0,4582. Esse é o valor 
que corresponde à probabilidade de Z pertencer ao intervalo desejado.
2) P (Z <-1,73) = P (Z 1,73) = 0,0418. 
O procedimento de consulta à tabela é idêntico ao da questão anterior. O re-
sultado será a área de 0,0418 ou 4%. Esse é o valor que corresponde à probabi-
lidade de Z estar entre o intervalo desejado. E faz sentido, pois, se verificarmos 
que a área está ao lado direito, ou seja, 50% dos resultados se concentram em 
um dos lados da curva e, como havíamos calculado no exercício anterior, a 
área compreendida entre a média (0) e o ponto 1,73 = 45%, aproximadamente, 
logo as observações anteriores de 1,73, corresponderão, aproximadamente, a 
0,5 - 0,45 = 4 % ou 5 % da área.
São inúmeras as aplicações e formas de calcular a área ou a probabilidade 
de ocorrência de um determinado evento numa curva normal padrão. Reco-
mendamos o aprofundamento desses conceitos com o intuito de auxiliar nos 
trabalhos e na aplicação prática em pesquisas e experimentos.
CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou uma reflexão sobre o estudo das probabilidades e 
suas distribuições, destacando a importância na aplicação das suas metodo-
logias para a análise dos eventos, das características de cada evento e as dis-
tribuições de probabilidades correspondentes, assim como a apresentação 
de algumas distribuições, com ênfase nas distribuições normal (contínua) e 
uniforme (discreta).
Esperamos que faça bom uso do conteúdo e atente-se para as informações 
indicadas nos tópicos.
UNIDADE 6
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> Estudar as 
diversas formas 
de análise dos 
dados estimados, 
buscando oferecer 
o instrumental 
necessário para 
a decisão mais 
próxima da realidade 
apurada nas 
distribuições e nos 
modelos aferidos.
> Explicar a 
apresentação 
de exemplos 
calculados com 
base em planilhas 
e programas 
específicos.
OBJETIVO 
Ao final da 
unidade, 
esperamos que 
você seja capaz 
de:
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6 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO
Até a Unidade 5 foram analisados os métodos para a análise de variáveis, pa-
râmetros e distribuições de probabilidade com base em medidas populacio-
nais. A partir de agora, começaremos a aprofundar como estimar parâmetros 
e estatísticas que melhor representem populações e amostras.
A inferência estatística é resultado de toda essa construção. As propriedades, 
os métodos e os processos da estatística, aliados às teorias probabilísticas dão 
o contorno aos assuntos que serão abordados nesta unidade.
O presente estudo obedecerá ao modelo clássico, metodologia sugerida na 
bibliografia principal, cujo objetivo é estudar exemplos aplicáveis à distribui-
ção normal e distribuições aproximadamente normais; logo, a tarefa principal 
seria oferecer instrumentos para compreensão desses conceitos dentro dos 
limites estabelecidos na ementa.
Outros enfoques como o bayesiano e modelos não paramétricos serão obje-
to de citações dado o seu caráter extenso que poderia tirar o foco do objeto 
principal do nosso estudo.
Esperamos que possa fazer um ótimo proveito dos conteúdos aqui apresen-
tados e que as aplicações e exemplos tratados nesta unidade se ajustem aos 
interesses do seu desenvolvimento profissional e pessoal.
Inferência estatística: “o objetivo da Inferência Estatística 
é produzir afirmações sobre dada característica da 
população, na qual estamos interessados, a partir de 
informações colhidas de uma parte dessa população” 
(BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 268).
104
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6.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA, DISTRIBUIÇÕES E 
TAMANHO DA AMOSTRA
Os termos população e amostra referem-se a coletivos diversos formados por 
pessoas, objetos, produtos, escolas, notas de alunos, preços, quantidades, en-
fim, tudo que possa ser mensurado e reunido sob determinadas características 
e semelhanças em grupos. O que difere cada um dos conceitos é a finalidade 
e a forma como cada um é constituído e como são mantidas certas caracterís-
ticas. A população concentra todos os elementos do grupo. Já a amostra é uma 
parte representativa desses elementos, ou seja, uma parcela da população.
População: “[...] é o conjunto de todos os elementos 
ou resultados sob investigação. Amostra é qualquer 
subconjunto da população” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, 
p. 266). 
Também há que se diferenciar os termos utilizados quando nos referirmos a 
uma população ou amostra. Vejamos. 
Parâmetros: 
significam as medidas calculadas levando em consideração os dados 
da população, exemplo: média, mediana, variância, desvio padrão etc.
Estatísticas ou estimadores: 
significam as medidas calculadas levando em consideração a 
distribuição amostral enquanto população estimada pela amostra. 
Trata-se dos mesmos parâmetros da população devidamente 
alterados na sua formulação para atender a especificidade da amostra.
Na sequência do presente estudo, verificamos que muitas são as dúvidas em 
relação ao método de escolha das amostras e a sua importância na represen-
tatividade junto à população. Afinal, qual deve ser o tamanho da amostra e 
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como podemos calculá-la para atender aos objetivos da Inferência Estatísti-
ca? Os parâmetros e as estimativas? Como saber se são representativos? Es-
sas e outras questões serão aprofundadas nos próximos tópicos.
Em princípio, devemos ter claro que todo processo estatístico é precedido de 
planejamento das etapas considerando uma série de informações, dentre as 
quais se destacam os critérios técnicos para a elaboração do estudo. 
A determinação do processo de amostragem é realizada no planejamento e 
poderá ser executada considerando os seguintes aspectos:
1. Se a população é finita ou infinita; discreta ou contínua.
2. Se a escolha do método amostral será probabilístico ou não.
3. Em relação ao tipo de extração amostral, se aleatória, sistemática, estrati-
ficada ou por conglomerado.
Essas definições fazem parte dos processos de levantamentos amostrais, pla-
nejamento de investimentos e levantamentos observacionais, sendo os dois 
primeiros mais utilizados.
Para efeito de processo de amostragem, consideraremos as amostragens ale-
atórias simples como método, seguindo orientação bibliográfica principal. A 
sua utilização é mais simples e pode ser aplicada de forma probabilística e su-
jeita a análise da variabilidade da distribuição amostral, que vem ao encontro 
do nosso objetivo.
Para obter mais informações sobre o processo de 
amostragem, acesse a obra a seguir. 
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Introdução à 
Inferência Estatística. In: Estatística Básica. 9. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2017. p. 265-276.
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6.1.1 Distribuições amostrais
São os espaços amostrais em que estão representadas as probabilidades das 
estatísticas e suas variabilidades em relação a amostra. Em outras palavras, 
significa que, ao escolher um processo amostral, o cálculo de uma estatística, 
como a média, variância, mediana, desvio padrão etc., deverá ser comparado 
e avaliado diante das possíveis variações que a amostra está sujeita. Vejamos 
o exemplo a seguir. 
Se escolhida certa amostra, a sua distribuição amostral 
deverá ser analisada a partir do cálculo da média e das 
suas variações em torno dos valores centrais da amostra. 
Por fim, será realizada análise semelhante na população 
para saber se a distribuição se enquadra realmente 
no modelo adotado e compatível com a distribuição 
de probabilidade da população. Os parâmetros 
populacionais e a proporção entre os valores da amostra 
definirão as estimativas ou estatísticas.
QUADRO 1 – RESUMO DASESTATÍSTICAS POR DISTRI-
BUIÇÃO DE PROBABILIDADE AMOSTRAL 
Distribuição 
amostral
Médias Desvio 
padrão 
população 
infinita
Desvio padrão 
população finita
Médias
 = = 
Proporções
= = = 
Fonte: Elaborado pelo autor (2019).
Baseando-se nas informações apresentadas no exemplo anterior, observem 
que as formulações se referem a dois parâmetros mais utilizados. As estatís-
ticas média e desvio padrão estão relacionadas à proporção da população ou 
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da amostra (p), número de amostras (n), quantidade populacional (N). Essa 
relação expressa o quanto um evento binomial ou hipergeométrico (falso ou 
verdadeiro, sim ou não, positivo ou negativo etc.) pode ser generalizado no 
cálculo de tais estimativas. O resultado indica uma proporção que poderá ser 
representada através de uma distribuição normal. O fator determinante para 
essa conclusão está no fato de que o aumento do tamanho da amostra apro-
xima o valor dos estimadores amostrais dos parâmetros populacionais, en-
quanto a variância diminui.
Essas observações são consagradas através do Teorema do Limite Central que 
veremos a seguir. 
6.1.2 Teorema do limite central
O conceito intrínseco do Teorema explica a aproximação de algumas distri-
buições da distribuição normal devido ao aumento da amostra, ou à repeti-
ção dos experimentos.
“[...] quando o tamanho da amostra aumenta, 
independentemente da forma da distribuição da 
população, a distribuição amostral de X– aproxima-
se cada vez mais de uma distribuição normal. Esse 
resultado, fundamental na teoria da Inferência 
Estatísticas, é conhecido como Teorema Limite Central 
(TLC).” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 282)
Convencionou-se, ainda, que uma população 30 observações é considerada 
grande e, portanto, apta a ser tratada pela distribuição normal e as distribui-
ções aproximadamente normais. As observações a seguir (abaixo) de 30 serão 
consideradas pequenas e tratadas pela tabela “t” (student) ou assemelhadas. 
A distribuição “t” (student) também é utilizada quando o desvio padrão é des-
conhecido, independentemente do tamanho da amostra, nesse caso, o des-
vio padrão a ser utilizado é o desvio amostral.
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6.1.3 Distribuições de médias
É o processo que procura analisar as médias extraídas das amostras e compa-
rá-las à distribuição amostral buscando identificar o valor que melhor repre-
senta a distribuição.
São caracterizadas por representarem a média da população e por se tratar 
de distribuição normal ou normal aproximada, tendo sua probabilidade au-
mentada e a sua variabilidade reduzida, na medida que cresce o número de 
observações da amostra. 
µ = Média amostral será sempre igual a média da população.
 = = Desvio padrão amostral populações infinitas, em que = Desvio 
padrão populacional; n = tamanho da amostra.
= = desvio padrão amostral populações finitas, em que = des-
vio padrão populacional; n = tamanho da amostra; N = tamanho da população.
Vejamos o exemplo a seguir. 
Uma população muito grande tem média 27,0 e desvio 
padrão 1,5. Extrai-se uma amostra de 50 observações. 
Calcule a média e o desvio padrão da distribuição 
amostral.
µ = média da amostra = média da população = 27,0
 = = desvio padrão amostral = = = = 0,21
6.1.4 Distribuições de proporções (binomial e 
hipergeométrica)
também apresentam características semelhantes à distribuição de médias 
determinados pelo Teorema do Limite Central, ou seja, distribuições bino-
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miais, hipergeométricas e poisson são aproximadamente normais para gran-
des amostras, mesmo quando a população básica não é normal. 
 = média da proporção - média amostral sempre igual à média populacional 
– distribuição binomial aproximada para normal.
= = desvio padrão amostral de uma proporção, em que p = pro-
porção da amostra e (1 – p) a proporção complementar.
Vejamos o exemplo a seguir. 
Uma universidade deseja aumentar a sua qualificação 
nas avaliações do MEC. Periodicamente, é realizada 
uma avaliação dos alunos para determinar a proporção 
de notas satisfatórias. Nos últimos anos, 40% dos 
alunos obtiveram aprovação. Sabendo que foram feitos 
investimentos significativos na estrutura e capacitação, 
qual a probabilidade de que a aprovação pelo MEC seja 
de 50% para uma amostra de 100 alunos? 
A média de aprovação segue a proporção de 40% e um 
objetivo de atingir 50% em uma amostra de 100 alunos. 
Logo, vamos trabalhar em cima da dispersão dos valores 
e compará-los através da tabela normal.
= = = = 0,04889
Determinando z = Z = = 10%/4,8% = 2,08
Consultando a tabela normal temos: z = 0,5 - 0,4812 = 
0,0188 ou 2%
Portanto será de 2% a probabilidade de uma amostra de 
100 alunos da universidade atingir 50% de aprovação.
Recomendamos os exercícios da bibliografia indicada 
para fixação.
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6.1.5 Tamanho da amostra
O tamanho ideal da amostra será uma combinação entre o grau de confiança 
desejado, o valor do desvio padrão (dispersão) e o valor de erro tolerável. É uti-
lizada para a determinação do tamanho da amostra para o desvio padrão co-
nhecido. Em caso de desvio padrão desconhecido, adota-se o desvio padrão 
amostral ( ) e a distribuição t de student que é aproximadamente normal 
para amostras 30.
 = Z = erro tolerável ou erro padrão (objeto de estudo no tópico seguinte); 
isolando o n, teremos: n = 
Em que n = tamanho da amostra.
= desvio padrão
 = erro provável 
Outros exemplos do uso do tamanho e amostra podem ser encontrados na 
bibliografia indicada, conforme a seguir.
Recomendamos a leitura da obra indicada a seguir no que 
se refere ao aprofundamento do tamanho da amostra. 
BUSSAB, W. de O; MORETTIN, P. A. Introdução à Inferência 
Estatística. In: Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2017. p. 291-299
A seguir, trataremos de um outro assunto que será estimação. 
6.2 ESTIMAÇÃO: PROPRIEDADES, ESTIMADORES, 
INTERVALOS DE CONFIANÇA E ERRO PADRÃO
Estimação é o processo pelo qual são utilizados dados amostrais para estimar 
valores populacionais desconhecidos.
Conforme afirmamos no início dos nossos estudos, a base das informações será 
extraída de uma amostra aleatória. As características mais comuns buscadas 
em uma população são a média, o desvio padrão e a proporção populacional.
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No entanto, para que uma amostra expresse as características de uma popu-
lação, é necessário que, além da distribuição amostral ser igual à populacio-
nal, as estatísticas ou estimadores sejam representativos dessa distribuição 
amostral e, por consequência, representativos da própria população.
Nesse contexto, o estudo prévio dos estimadores e sua representatividade 
através das suas propriedades é fundamental para a sequência do processo.
As estimativas podem ser pontuais ou intervalares. Pontuais quando o obje-
tivo é identificar um determinado ponto ou medida exata de uma estatística 
ou estimador amostral. Intervalar, quando o processo leva em conta um inter-
valo onde o estimador ou a estatística está representado. 
É importante entender que, ao analisarmos uma estatística ou estimativa re-
presentativas de uma distribuição amostral, estamos falando da sua aplica-
ção e uso na distribuição normal, enquanto variável z (padrão normalizada), 
para avaliarmos de maneira relativa o quão representativo é o estimador ou a 
estatística em relação à média e o desvio padrão. 
Vejamos o Quadro 2 aseguir com os valores médios per capta representando 
valor pontual e valor intervalar do consumo de carne de frango num determi-
nado restaurante (valores hipotéticos).
QUADRO 2 – ESTIMATIVAS PONTUAIS OU INTERVALARES 
 Estimativa
Parâmetro
Pontual Intervalar
Média Um restaurante apurou um 
consumo médio de 41 kg de 
carne de frango em 2016
O consumo médio de carne 
de frango esteve entre 37 a 45 
kg por pessoa 
Proporção O destino da produção de 
carne de frango foi de 66% 
o almoço contra 34% para o 
jantar 
A estimativa de consumo 
de carne de frango para o 
almoço foi calculada entre 
63% a 69%
Desvio padrão O desvio padrão do consumo 
de carne de frango foi de 2kg 
per capta em 2016
O desvio padrão do consumo 
de frango per capta ficou 
entre 1,5 kg e 2,5 kg 
Fonte: Elaborado pelo autor (2019). 
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Supondo que os valores calculados da média de consumo per capta de car-
ne de frango seja representativo da população pesquisada, segundo a tabela 
normal padronizada, poderíamos afirmar que que a média da amostra está a 
menos de 1,96 desvios padrões a contar da média verdadeira em de 95% das 
vezes e, em 5% das vezes fora do valor calculado.
O Gráfico 1 a seguir ilustra os valores dos desvios padrões distribuídos na cur-
va normal considerando os afastamentos em torno da média (valor central). 
O resultado são as probabilidades obtidas em cada lado da curva normal. No 
exemplo anterior, a tabela da curva normal padronizada correlaciona ao va-
lor de z = 1,96 a probabilidade 0,4750 do lado direito da curva (z = positivo). 
Quando subtraímos 0,5 – 0,4750 (metade da área da curva menos a área da 
probabilidade de z=1,96), obtemos 0,05, que multiplicado por 100 é igual a 5 %.
O valor de z = 1,96 desvios padrões está entre a área correspondente à µ =
 e “+2s” desvios padrões, representando, aproximadamente, 
95% de certeza de que a média amostral se encontra nesse intervalo.
GRÁFICO 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL –MÉDIAS E DESVIOS 
 
68%
95%
99,7%
μ
-1σ +1σ
-2σ +2σ
-3σ +3σ
Fonte: IBM Knowledge Center (2019).
No tópico a seguir, aprenderemos as propriedades dos estimadores. 
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6.2.1 Propriedades dos estimadores
O estimador seria um candidato a uma estatística de uma distribuição amos-
tral, associado a um parâmetro (média ou variância). Para se tornar uma esta-
tística, deve ser testado perante as propriedades. Essas propriedades são uti-
lizadas para estimar de forma pontual o parâmetro ou estatística, bem como 
testar se o estimador pode ser ou não a melhor estatística para a distribuição 
amostral.
Estimador T do parâmetro θ: um estimador T do parâmetro 
θ é qualquer função das observações da amostra, ou seja, 
T = g (X1, ... Xn) (BUSSAB; MORETTIN, 2017, p. 302). 
1. Estimador não viesado = E ( ) = θ, expectância, esperança ou média de T 
= θ.
2. Estimador não viesado = = proporção amostral e proporção p indi-
víduos.
3. Estimador consistente = .
4. Estimador eficiente = Var ( ) < Var ( ’), T diz-se mais eficiente do que T’.
Outros estimadores como o de momentos ( = = e = , mínimos qua-
drados (Y= g (X; θ) + ε) e de máxima verossimilhança (L (θ; x1..., xn) = f (x1; θ)...f 
(xn;θ) ) são objeto de estudo mais apurado na bibliografia indicada.
Em suma, ao tratarmos deste tópico, buscamos registrar que as amostras são 
submetidas a determinadas condições para que sejam aceitas como repre-
sentativas. Outras condições como teste de significância, erro padrão, etc. se-
rão objeto de estudo nos próximos tópicos.
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Recomendamos a leitura da obra indicada a seguir no 
que se refere ao aprofundamento de Propriedade de 
Estimadores. 
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Introdução à Inferência 
Estatística. In: Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 
2017. p. 302-315.
6.2.2 Intervalo de confiança
É o intervalo de valores em que presumimos estar contido o parâmetro ou 
estatística representativa da amostra ou população, considerando o risco co-
nhecido de erro. Em outras palavras, quando escolhemos um parâmetro ou 
estatística, estamos presumindo que esse valor será tão representativo quan-
to os limites que determinarmos em função do erro esperado. No exemplo 
do consumo de carne de frango tratado no tópico anterior, se consideramos 
a média calculada igual a 41 kg per capta, o desvio padrão de 2kg, e um nível 
de confiança de 95%, conforme estabelecido anteriormente, com base nesses 
valores, acrescido de que a amostra extraída foi de 31 pessoas, teríamos o se-
guinte intervalo de confiança para a média de consumo:
 ± 1,96 = 41± 1,96 = 41 ± 1,96(5,57) = 41± 10,91
Em que: = média da amostra.
1,96 = z equivalente a 95% de confiança desejada
 = desvio padrão da amostra
n = tamanho da amostra
Logo, a média se encontrará no intervalo de 30,09 a 51,91 kg per capta com 
95% de probabilidade de certeza contra 5% (risco calculado).
Os intervalos de confiança seguem a mesma construção lógica: o parâmetro 
é calculado no intervalo superior e inferior considerando a variação do desvio 
padrão e o nível de significância que determinará a margem de erro no re-
sultado. As formulações vão variar de acordo com a distribuição amostral e o 
parâmetro ou estatística a ser calculada.
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Um estimador T do parâmetro θ é qualquer função das 
observações da amostra, ou seja, T = g (X1, ... Xn) (BUSSAB; 
MORETTIN, 2017, p. 302).
6.2.3 Erro padrão
É a diferença entre os valores estimados na amostra e os valores reais da po-
pulação. É determinado pela confiança desejada (valor de ”z”), a dispersão da 
população ( ) e o tamanho da amostra (n) = z 
Recomendamos a leitura da obra indicada a seguir no 
que se refere ao aprofundamento de erro padrão de um 
estimador e inferência bayesiana. 
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Introdução à 
Inferência Estatística. In: Estatística Básica. 9. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2017. p. 321-329. 
6.3 TESTES DE HIPÓTESES: TESTE SOBRE A 
MÉDIA, PROPORÇÃO, VARIÂNCIA E VALOR “P”
6.3.1 Teste de hipóteses
É o teste realizado nas estatísticas e parâmetros amostrais visando identificar 
a existência ou não de variações casuais ou significativas desses valores esti-
mados diante da distribuição amostral.
A realização do teste requer a formulação das possíveis hipóteses para que 
um determinado valor estimado seja aceito ou não. A hipótese nula ou 
representa o parâmetro ou estatística calculada e que se deseja testar a sua 
veracidade. A hipótese alternativa significa afirmar que a alegação de ve-
racidade de é discutível e que o valor pode ser maior ou menor do que o 
calculado.
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Os testes são realizados a partir do cálculo do desvio padrão da distribuição 
amostral e comparados com a hipótese alternativa no cálculo da variável pa-
dronizada “z”. O resultado corresponderá na quantidade relativa de desvios 
padrões em relação à média amostral e será considerado o valor crítico do pa-
râmetro. Por fim, observado o valor da área correspondente na curva normal, 
tem-se o resultado do teste.
 
Em que:
 = estatística teste
 = estatística alegada - valor alternativo à hipótese nula
 = estatística amostral valor da hipótese nula calculado na amostra e que 
se deseja testar
 = desvio padrão amostral
O teste bilateral é aplicado considerando as duas caudas da curva normal. 
Essa hipótese visa aferir os valores máximos e mínimos em que o parâmetro 
ou aestatística poderá ser aceita. O teste unilateral à esquerda significa o limi-
te mínimo aceito e, o unilateral à direita, o limite máximo de aceitação.
Por fim, objetivando apresentar uma visão mais geral sobre esses conceitos, 
e após a realização dos testes, os valores apurados estão sujeitos à análise do 
tipo de erro a partir da decisão tomada na escolha do parâmetro.
Erro do Tipo I – quando rejeitamos a quando verdadeira. Probabilidade = .
Erro do Tipo II – quando aceitamos como verdadeiro a falsa. Probabilidade 
= .
A aplicação desses conceitos é estendida à análise de médias, proporção, vari-
ância, conforme tópicos posteriores. As sugestões de exercícios da bibliografia 
serão ideais para o aperfeiçoamento e entendimento das práticas.
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Recomendamos a leitura da obra indicada a seguir 
no que se refere ao aprofundamento sobre testes de 
hipóteses.
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Testes de Hipóteses. 
In: Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 
336-329. 
6.3.2 Teste sobre a média
O método é semelhante ao adotado no tópico anterior, a diferença é que o 
teste de significância será realizado para a média de uma amostra objetivan-
do identificar possíveis variações e determinar se elas são ou não casuais a 
ponto de rejeitar ou aceitar a Hipótese nula ( ). São divididos entre grandes 
e pequenas amostras.
 
Em que:
 = estatística teste
 = média alegada - valor alternativo à hipótese nula
 = média amostral valor da hipótese nula calculado na amostra e que se 
deseja testar.
 = desvio padrão amostral (desvio conhecido)
Obs.: quando o desvio padrão for desconhecido ou uma pequena amostra, 
usar - desvio amostral e t (student) = estatística teste.
6.3.3 TESTE SOBRE A PROPORÇÃO
Refere-se à análise sobre a proporção amostral em relação à população. O 
objetivo é testar se a proporção é representativa da distribuição amostral ou 
se a sua variabilidade pode ser causada por algum fator significativo que re-
comende a rejeição de : p = po e :
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H1: p ≠ p0 (teste bilateral); 
H1: p p0 (teste unilateral à direita); e 
H1: p < p0 (teste unilateral à esquerda).
 = onde:
= estatística teste
 = proporção alegada - valor alternativo à hipótese nula
= proporção amostral valor da hipótese nula calculado na amostra e que 
se deseja testar.
= = desvio padrão amostral (desvio conhecido)
Obs.: quando o desvio padrão for desconhecido ou uma pequena amostra, 
usar - desvio amostral e t (student) = estatística teste.
6.3.4 Variância
A análise da variância tem por objetivo verificar se as populações estudadas 
são iguais a partir dos resultados obtidos com no cálculo das respectivas es-
timativas de variâncias. Se as estimativas tiverem o mesmo resultado, as po-
pulações são iguais, caso contrário, deverá ser testada para identificar se 
a variabilidade pode ter ocorrido em razão de algum fator significativo que 
recomende a sua rejeição.
No entanto, para chegarmos ao resultado esperado na análise, faz-se neces-
sário a adoção de dois processos distintos:
1. Se as populações tiverem distribuição normal, a média das populações 
serão iguais e, consequentemente, as suas variâncias também. Logo,
é verdadeira; caso contrário, deve-se calcular as estimativas “dentro” e 
“entre” variâncias.
2. Estimativa “dentro” da variância é calculada através da média de todas as 
variâncias amostrais = 
3. Estimativa “entre” da variância é calculada através da determinação da 
média da população e das respectivas variâncias amostrais = 
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4. Ao final, compara-se e se for aproximadamente igual a 
a variação poderá ser considerada casual da amostra, caso contrário, 
aplica-se razão entre os dois métodos e o resultado é comparado 
em tabela apropriada chamada razão “F”.
A distribuição “F” indica o valor máximo da estatística no caso de for ver-
dadeira, a um determinado nível de significância.
As observações quanto ao valor desconhecido da estatística seguem a me-
todologia dos demais casos, ou seja, utiliza-se o valor amostral e aplica-se a 
tabela t (student).
6.3.5 Valor “P”
O valor “p” do teste consiste em determinar um nível de significância para 
teste do valor da amostra sem construir a região crítica onde os valores fora 
do padrão seriam automaticamente rejeitados.
“O que se faz é indicar a probabilidade de ocorrer valores da estatística mais 
extremos do que o observado, sob a hipótese de ser verdadeira” (BUSSAB; 
MORETTIN, 2017, p. 354).
Portanto, o valor “p” poderá ser determinado considerando a sua relevância 
específica em face do evento estudado e a amostra calculada. O quadro a se-
guir expressa a escala de significância de Fisher para ilustrar a sua utilização.
QUADRO 3 - TABELA ESCALA DE SIGNIFICÂNCIA DE FISHER
Valor p 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001
Natureza da 
evidência
Marginal Moderada Substancial Forte
Muito 
Forte
Fortíssima
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 356).
Logo, um valor de = 0,0025,0,01, 0,005 ou 0,001, indica uma gradação estabe-
lecendo uma importância para avaliação de , ou seja, para essas faixas (de 
substancial a fortíssima), a hipótese nula seria rejeitada (para qualquer valor α 
p, você não deve rejeitar H0, e, para qualquer valor α p, você rejeita H0.) .
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6.4 INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES E 
INFERÊNCIA PARA VÁRIAS POPULAÇÕES
6.4.1 Inferência para duas populações
O método é semelhante ao adotado para uma média amostral, a diferença é 
que o teste de significância será realizado para duas médias independentes 
sobre duas populações diferentes. O objetivo é identificar se ( ) tem médias 
iguais apesar de serem populações diferentes, e se variações existentes são ou 
não casuais a ponto de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. São utilizadas para 
comparação entre duas marcas, dois métodos de ensino, dois municípios, etc. 
 é também conhecida como hipótese de homogeneidade.
 
Em que:
 = estatística teste
 = média amostral da população 1
 = média amostral da população 2.
 = variância amostral da população 1
 = variância amostral da população 2
Obs.: quando o desvio padrão for desconhecido, usar - desvio amostral e t 
(student) = estatística teste.
6.4.2 Inferência para várias populações
Este estudo tem por objetivo analisar as diversas subpopulações ou estratos 
contidos nas populações, extraindo destes as informações de interesse. A apu-
ração das variâncias de cada subpopulação ou estrato é o método adotado para 
estabelecer a confiabilidade dos estimadores e a aceitação ou rejeição de .
121
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A análise da variância (ANOVA) inclui uma série de testes para verificar a igual-
dade de três ou mais médias populacionais, fundamentada na análise das 
variâncias amostrais.
Fator – característica que distingue os diferentes estratos ou populações e 
podem ser subdivididos em níveis co-fatores.
: µ₁ = µ₂ = ... = µj = µ → hipótese de interesse – a média de todas as popula-
ções são iguais ou o fator não tem efeito (não existe variação das médias entre 
os estratos)
: µi µj→ hipótese alternativa – nem todas as médias populacionais 
são iguais (pelo menos uma é diferente ou existe efeito do fator sobre as 
populações).
Modelo com efeitos fixos: significa que o pesquisador escolhe as subpopula-
ções determinadas pelos níveis do fator:
“Uma escola analisa seu curso por meio de um 
questionário com 50 questões sobre diversosaspectos 
de interesse. Cada pergunta tem uma resposta, numa 
escala de 1 a 5 (v.a. Y), em que a maior nota significa 
melhor desempenho [...]. O fator é o período e os três 
níveis: i = 1: manhã. I = 2: tarde, i = 3: noite, com n1 = 7, n2 = 
6 e n3 = 8 (tamanho da amostra)” (BUSSAB; MORETTIN, 
2017, p. 431).
Existe o modelo para duas subpopulações = = + 
Em que: 
 = efeito comum a todos os elementos do nível i = 1, 2
 = efeito aleatório, não controlado, do j-ésimo indivíduo do nível i
 = tempo de reação ao estímulo do j-ésimo indivíduo do nível i
Os demais passos no sentido de se apurar e testar seguem metodologias 
já mencionadas na presente unidade. Algumas particularidades em relação a 
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conceitos de variância, mas, ao final, busca-se a demonstração dos valores crí-
ticos e decisão sobre as estatísticas calculadas amparadas na tabela F (ANO-
VA) que são explicadas por Bussab e Morettin (2017) nas páginas de 515 a 529. 
Recomendamos a leitura da obra indicada a seguir no 
que se refere ao aprofundamento de inferência para 
várias populações. 
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Inferência para Várias 
Populações. In: Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2017. p. 427-453.
6.5 ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO
6.5.1 Aderência e associação
São testes realizados para julgar se determinada população está associada a 
alguma distribuição de probabilidade. São utilizados também para verificar 
se determinados métodos podem diferir na medida que se altera a distribui-
ção de probabilidade. Os resultados obtidos são importantes na decisão so-
bre alternativas seguirem diante de situações distintas, à medida que se tem 
algum nível de confiança com base nos testes registrados.
 = 
São realizados testes de homogeneidade, independência e para coeficiente 
de correlação.
“Temos uma população P e queremos verificar se ela 
segue uma distribuição especificada P0, isto é, queremos 
testar a hipótese H0 : P = p0 [...] Aqui, o teste comparará 
o número de casos ocorridos em caselas especificadas, 
com o número esperado de casos nelas, quando a 
hipótese H0 for verdadeira” (BUSSAB; MORETTIN, 2017, 
p. 406-407).
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A tabela utilizada para a verificação dos testes de aderência é a Tabela qui-
-quadrado, visto que os procedimentos se assemelham aos demais quando 
o objetivo é identificar se é verdadeira ou falsa e qual a probabilidade de 
aceitação com base na estatística teste e dos valores críticos.
6.6 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
São métodos que buscam estimar uma relação ou associação entre variá-
veis e estabelecer um modelo matemático que explique essa relação. Nosso 
objetivo não será o aprofundamento dos cálculos, mas tão somente oferecer 
algumas informações acerca dos conceitos e utilidade.
6.6.1 Correlação simples e múltipla
A correlação mede o grau de relacionamento entre uma ou mais variáveis. 
A correlação simples mensura o grau de associação entre uma variável in-
dependente e outra dependente. A correlação múltipla analisa a associação 
entre várias variáveis independentes com as demais.
Os estudos da correlação podem nos levar a conclusão sob três aspectos dis-
tintos: existência de relação de causa e efeito; que as variáveis podem estar 
relacionadas com uma terceira variável; ou a correlação é devida ao acaso.
Os resultados obtidos podem ser submetidos a testes de significância ou 
apresentados enquanto intervalos de confiança.
6.6.2 Regressão linear e múltipla
As equações de regressão linear são dispostas na forma Yc = a + bx. Em que 
Yc é a variável independente, “a” a constante e bx a variável dependente. Tem 
como técnica para a utilização dos mínimos quadrados para determinação da 
equação de regressão. A reta explica ou descreve a relação matemática entre 
as variáveis independente e dependente com base nos valores da amostra.
A análise de regressão integra a inferência estatística pois os valores das vari-
áveis x e y precisam ser testados quanto a sua normalidade (distribuição nor-
mal), teste de significância e construção de intervalos de confiança.
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Outro dado importante diz respeito ao cálculo do coeficiente de determina-
ção que verifica se os valores de x e y realmente ajustam os valores à reta, de 
forma a garantir a menor variação e maior representatividade.
A regressão múltipla se aplica a mais de uma variável independente e depen-
dente. Possui cálculos complexos e as características semelhantes a regressão 
simples quando o objetivo é testar e ajustar as variáveis ao modelo adequado.
CONCLUSÃO
Esta unidade concluiu os estudos da estatística aplicada oferecendo um pa-
norama sobre os principais conceitos da inferência estatística. A importân-
cia deste estudo reside no fato de que ele representa uma síntese das de-
mais unidades, uma vez que todos os conceitos foram revistos sob um olhar 
mais prático da sua aplicação quando o estudo dos problemas e eventos é 
aplicado à realidade.
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REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Financiamento Vinculado à Renda pode 
ser uma alternativa para ensino superior. 12 jul. 2019. Disponível em: http://www.ipea.gov.br/
portal/index.php?option=com_content&view=article&id=34901&catid=9&Itemid=8. Acesso em: 4 
dez. 2019.
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
CAMPOS, C. R.; WODEWOTZI, M. L. L.; JACOBINI, O. R.. Educação Estatística: teoria e prática em 
ambientes de modelagem matemática. Belo horizonte: Autêntica, 2011. 
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 1995.
NOVAES, D. V. Estatística para educação profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 
2013.
NOVAES, D. V.; COUTINHO, C. de Q. e S. Estatística para educação profissional e tecnológica. 2. 
ed. São Paulo: Atlas, 2013.
TUON, L. O que faz o Brasil ser um dos piores no ranking de competitividade digital. Exame, 26 
set. 2019. Disponível em: https://exame.abril.com.br/economia/o-que-faz-o-brasil-ser-um-dos-
-piores-no-ranking-de-competitividade-digital/. Acesso em: 4 dez. 2019.
VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
http://www.ipea.gov.br/portal/index.php?option=com_content&view=article&id=34901&catid=9&Itemid=8.
http://www.ipea.gov.br/portal/index.php?option=com_content&view=article&id=34901&catid=9&Itemid=8.
https://exame.abril.com.br/economia/o-que-faz-o-brasil-ser-um-dos-piores-no-ranking-de-competitividade-digital/
https://exame.abril.com.br/economia/o-que-faz-o-brasil-ser-um-dos-piores-no-ranking-de-competitividade-digital/
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	Quadro 1 – Principais características da Distribuição Normal 
	Quadro 1 – Resumo das estatísticas por distribuição de probabilidade amostral 
	Quadro 2 – Estimativas pontuais ou intervalares 
	Quadro 3 - Tabela escala de significância de Fisher
	Figura 1 – Porcentagem
	Gráfico 1 – Setores
	Gráfico 2 - Colunas
	Gráfico 3 - Barras
	Gráfico 4 - Linhas
	Gráfico 5 – Demonstrativos
	Gráfico 1 – Distribuição de frequências por faixa etária
	Gráfico 2 – Curva da distribuição de frequências por faixa etária
	Gráfico 3 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda
	Gráfico 4 – Distribuição de frequências por faixa etária e renda
	Gráfico 5 - Demonstrativo Distribuição de frequências por faixa etária e renda
	Gráfico 1 – Distribuição de frequências por notas
	Gráfico 2 – Distribuição de frequências por notas 
	Gráfico 3 – Distribuição de frequências por classes
	Gráfico 4 – Distribuição de frequências por notas
	Gráfico 5 – Distribuição de frequências por classes
	Demonstrativo 1 – Distribuição de notas por classes e frequências
	Demonstrativo 2 – Distribuição de notas por classes e frequências
	Figura 1
	Gráfico 1 – Distribuição Normal –médias e desvios
	Gráfico 2 – Representação do exercício 1
	Gráfico 1 – Distribuição Normal –Médias e Desvios 
	Apresentação da disciplina
	1 ESTATÍSTICA – CONCEITO, FINALIDADE E SURGIMENTO
	INTRODUÇÃO
	1.1 EVOLUÇÃO DO PENSAMENTO ESTATÍSTICO
	1.2 CONCEITOS E OBJETIVOS
	1.3 ESTUDOS E APLICAÇÕES DO ENSINO DA ESTATÍSTICA
	1.4 RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM
	1.5 SOMATÓRIO
	2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	INTRODUÇÃO
	2.1 PLANEJAMENTO, COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS
	2.2 VARIÁVEIS
	2.3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DOS DADOS
	2.4 RAMOS E FOLHAS
	2.5 NÚMEROS ÍNDICES
	2.6 SÉRIES E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS, ESPACIAIS, ESPECÍFICAS E TEMPORAIS
	2.7 GRÁFICOS EM SETORES, LINHA, POLÍGONO, HISTOGRAMA E OUTROS DIAGRAMAS
	3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES
	INTRODUÇÃO
	3.1 MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA GEOMÉTRICA, MÉDIA HARMÔNICA E MÉDIA PONDERADA
	3.2 QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (QUANTIS) – MEDIDAS SEPARATRIZES.
	3.3 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
	4 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
	INTRODUÇÃO
	4.1 VARIÂNCIA ( )
	4.2 DESVIO PADRÃO 
	4.3 DESVIO MÉDIO (Dm.)
	4.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.v.)
	4.5 AMPLITUDE TOTAL
	4.6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
	5 PROBABILIDADE - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS - DISTRIBUIÇÕES
	INTRODUÇÃO
	5.1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
	5.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA
	5.3 INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
	5.4 TEOREMA DE BAYES
	5.5 DISTRIBUIÇÕES UNIFORME, BINOMIAL, HIPERGEOMÉTRICA E POISSON
	5.6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA ÁREA DA CURVA NORMAL
	6 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
	INTRODUÇÃO
	6.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA, DISTRIBUIÇÕES E TAMANHO DA AMOSTRA
	6.2 ESTIMAÇÃO: PROPRIEDADES, ESTIMADORES, INTERVALOS DE CONFIANÇA E ERRO PADRÃO
	6.3 TESTES DE HIPÓTESES: TESTE SOBRE A MÉDIA, PROPORÇÃO, VARIÂNCIA E VALOR “P”
	6.4 INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES E INFERÊNCIA PARA VÁRIAS POPULAÇÕES
	6.5 ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO
	6.6 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO