Robotica3

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ROBÓTICAROBÓTICA
CINEMÁTICA DE ROBÔSCINEMÁTICA DE ROBÔS
Au to r ( a ) : E s p . R u b e m N e ro G o m e s X av i e r
R ev i s o r : B r u n o H e n r i q u e O l i ve i ra M u l i n a
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Introdução
Olá, estudante! Na Física, a Cinemática é de�nida como um ramo da Mecânica
que estuda o movimento de corpos, sem analisar as forças envolvidas. Outra
de�nição encontrada na literatura retrata a Cinemática como um ramo físico
que estuda os movimentos desprezando a relação destes com a própria
origem. Dessa forma, a Cinemática em robôs pode ser de�nida como o estudo
das posições e das velocidades do efetuador (�ange) de um manipulador
robótico.
Ao analisarmos a posição de um efetuador (garra ou ferramenta), é possível
notar que esta depende de um conjunto de relações e de valores de�nidos a
partir das juntas. Dessa forma, havendo uma relação matemática estabelecida,
é possível determinar a posição de um efetuador por meio dos valores das
posições estabelecidas nas juntas e, de forma inversa, encontrar os valores das
posições existentes nas juntas a partir da posição da ferramenta.
Nesta unidade, estudaremos os principais modelos cinemáticos utilizados para
determinação de posições em manipuladores robóticos.
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Basicamente, a Cinemática Direta consiste na obtenção de uma posição e de
uma velocidade para um efetuador (garra ou ferramenta), de acordo com a
posição das juntas (articulações). De forma oposta, temos a Cinemática
Inversa, sendo que, a partir das informações de posição e de velocidade de
determinado efetuador, são obtidos os valores de posições e de velocidades
existentes nas articulações, conforme Alciatore e Histand (2014).
Segundo Craig (2012), algumas ferramentas matemáticas permitem a
veri�cação de posições e da orientação de corpos rígidos — tais ferramentas
são baseadas na transformação de coordenadas. Assim, a Cinemática Direta
possibilita o cálculo da posição, da orientação e das velocidades linear e
angular de uma garra ou de uma ferramenta em um manipulador robótico.
Cinemática Direta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Cinemática Direta: possibilita, a
partir das posições das
articulações, encontrar a
posição e a orientação da
ferramenta no espaço
cartesiano da base.
< >
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O manipulador robótico é uma cadeia cinética composta de elos (corpos) e de
juntas (articulações), no qual os elos são conectados pelas juntas, e estas
possibilitam a movimentação de um elo em relação ao elo anterior, de acordo
com Dumba (2017).
Analisando a situação de um pêndulo simples, temos um sistema análogo a um
manipulador robótico com apenas um grau de liberdade (Figura 3.1).
Analisando matematicamente, com o intuito de realizar o deslocamento da
extremidade (M) do segmento do manipulador robótico, de comprimento L, para
uma posição desejada, temos os pontos x e y dados por:
Desta forma, é possível veri�car que a coordenada �nal do efetuador depende,
diretamente, da coordenada do ângulo θ. Dessa forma, temos que θ = arc sen
(x/L), sendo y≤L.
x = L. senθ
y = L. (1– cosθ)
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Figura 3.1 — Manipulador robótico com um grau de liberdade
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual é possível
visualizar a representação de um manipulador com apenas um grau de liberdade, a
partir da representação de um pêndulo simples. A �gura tem a base em um plano
com dois eixos: na vertical, o eixo Y; na horizontal, o eixo X. A posição �nal do
manipulador é representada por um círculo de cor azul com a letra “M” maiúscula
inscrita. Essa posição está afastada do eixo vertical por uma distância angular,
representada por um ângulo Θ (Theta). A posição �nal do manipulador (M) tem uma
orientação representada como x e y (ambas letras minúsculas).
Um manipulador robótico com dois graus de liberdade (Figura 3.2) consiste,
basicamente, no sistema de um pêndulo duplo. Matematicamente, para realizar
o deslocamento da extremidade do segundo elo do manipulador robótico (M),
sendo os comprimentos L1 e L2 correspondentes aos dois elos, para uma
posição desejada, temos os pontos x e y dados por:
x = L1.senθ1 + L2.senθ2
y = L1.(1– cosθ1) + L2.(1– cosθ2)
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Figura 3.2 — Manipulador robótico com dois graus de liberdade
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual é possível
visualizar a representação de um manipulador com dois graus de liberdade, a partir
da representação de um pêndulo duplo. A �gura tem a base em um plano com dois
eixos: na vertical, o eixo Y; na horizontal, o eixo X. A posição �nal do manipulador é
representada por um círculo de cor azul com a letra “M” maiúscula inscrita. Ao �nal
do primeiro elo, temos uma junta, representada por um círculo de cor azul. O
posicionamento da junta está afastado do eixo vertical por uma distância angular
representada por um ângulo Θ1 (Theta um), �nalizando, assim, o primeiro elo. A
posição �nal do manipulador (M) está afastada do eixo vertical por uma distância
angular representada por um ângulo Θ2 (Theta dois) e tem uma orientação
representada como x e y (ambas letras minúsculas).
A partir da análise dos sistemas apresentados, é possível concluir que, com o
aumento do número de articulações, temos uma equação mais complexa para
representar a posição �nal do manipulador robótico.
A cadeia de um manipulador robótico tem modelagem semelhante a um
sistema de corpos rígidos, no qual a localização de cada corpo é descrita pela
posição e pela orientação. Sendo a origem de um sistema de coordenadas um
ponto qualquer no espaço, temos a possibilidade de atribuir posições as quais
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demonstram as coordenadas de um novo referencial de coordenadas em
relação ao anterior. Dessa forma, é possível desenvolver a translação de
coordenadas entre sistemas referenciais.
Transformações homogêneas
Segundo Craig (2012), os recursos matemáticos convencionais, aplicados ao
desenvolvimento da composição de translação e rotação entre sistemas
referenciais, tornam-se muito complicados quando são necessárias mudanças
consecutivas combinadas, como nos manipuladores robóticos, com muitos
graus de liberdade. As transformações homogêneas, que consistem,
basicamente, em matrizes 4x4, possibilitam a combinação das posições de
rotação e de translação, de forma que as matrizes de transformações
homogêneas possibilitam a composição de transformações em qualquer
dimensão do espaço. Dessa forma, a transformação homogênea é muito útil
para transformações consecutivas, justi�cando, assim, a aplicação dela aos
cálculos da Cinemática de robôs.
Na aplicação da Cinemática dos movimentos de um manipulador robótico, é
necessário realizar a especi�cação dos sistemas de referência entre as juntas e
os elos que sofrem movimentação. Seja ela rotacional ou translacional, a matriz
de transformação homogênea que possibilita o referenciamento do sistema de
coordenadas é de�nida conforme a Figura 3.3.
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Figura 3.3 — Matriz de transformação homogênea
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, que representa uma
matriz de transformação homogênea 4x4, ou seja, quatro colunas e quatro linhas. A
matriz está dividida em quatro partes por linhas tracejadas de cor vermelha. A
primeira parte da matriz é retratada pelas primeiras três colunas, da esquerda para a
direita, e pelas primeiras três linhas, sendo, assim, uma matriz 3x3, composta de
nove elementos, de r1 a r9, representando as rotações nos eixos x, y e z. A última
linha nas primeiras três colunas está preenchida, nos três campos, com o número
zero e representa a perspectiva ou o valor de escalonamento da matriz. A quarta
coluna, nas três primeiras linhas, tem três posições preenchidas, respectivamente,
com Δx, Δy e Δz, representando uma matriz de translação dos movimentos em x, y
e z. A última posição, na quarta coluna de cima para baixo, está preenchida com o
número 1, de forma �xa, representando o fator de escala global.
A matriz de rotação 3x3 pode ser representada de acordo com o eixo que sofre
rotação, tendo três estruturas, uma para cada eixo de rotação, sendo 𝛳 o ângulo
de giro, conforme representado a seguir.
=Rx
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
cos θ
sin θ
0
− sin θ
cos θ
⎤
⎦
⎥
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Como exemplo de aplicação, temos um caso no qual um sistema de referência
tridimensional {B} que se encontra rotacionado com relação a um sistema de
referência tridimensional {A} por 30 graus (sobre o eixo z) e transladado 8
unidades no eixo x e 4 unidades no eixo y. Estando um ponto na posição (3,7,0)
no sistema de referência {B}, podemos utilizar a matriz de transformação
homogênea 4x4 para encontrar a posição no sistema de referência {A}.
Aplicando a matriz de transformação homogênea, devemos substituir a matriz
3x3 de rotação (r1 a r9) por uma estrutura de rotação no eixo z. As colunas de
translação representadas por (Δ1, Δ2 e Δ3) devem ser substituídas pelos
movimentos de translação; assim, temos a matriz de transformação
homogênea, conforme mostrado a seguir.
Por �m, multiplicamos a matriz de transformação homogênea por uma matriz
que representa o vetor da posição no sistema de referência {B}, assim:
=Ry
⎡
⎣
⎢
cos θ
0
− sin θ
0
1
0
sin θ
0
cos θ
⎤
⎦
⎥
=Rz
⎡
⎣
⎢
cos θ
sin θ
0
− sin θ
cos θ
0
0
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
r1   r2   r3   Δx
r4   r5   r6   Δy
r7   r8   r9   Δz
0   0   0   1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cosθ    − sinθ   0    8
sinθ    cosθ    0    4
0       0       1       0
0       0       0       1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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Dessa forma, podemos concluir que a posição (3,7,0) no sistema de referência
{B} corresponde à posição (7.1, 11.5, 0) no sistema de referência {A}. E
podemos concluir que a matriz de transformação homogênea possibilita a
veri�cação de uma mesma posição em sistemas de orientação diferentes.
No caso de um robô com dois graus de liberdade, a matriz de transformação
homogênea 4x4 é e�ciente apenas para se determinar as coordenadas de um
efetuador no caso de existir alteração apenas na junta da base. Quando
necessitamos combinar a movimentação de mais de uma junta em
movimentos rotacionais e translacionais, precisamos utilizar outras
ferramentas, como o algoritmo de Denavit-Hartenberg. Este consiste,
basicamente, em um método sistemático de descrever a posição e a orientação
relativa entre dois ligamentos consecutivos, com base na transformação
homogênea, de acordo com Abreu (2002).
praticar
Vamos Praticar
No desenvolvimento de placas eletrônicas, existem dois tipos de robôs
principais, que são altamente aplicados: SCARA e Planares. O que justi�ca a
ampla utilização deles nessas aplicações é a necessidade de altíssima precisão
e velocidade, em conjunto com uma grande quantidade de movimentos
limitados à ação em uma base plana, onde as placas são depositadas. A
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos 30
sin 30
0
0
  − sin 30
  cos 30
 0
0
 0
 0
 1
0
  8
  4
  0
  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
3
7
0
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
7, 1
11, 5
0
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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utilização desses robôs proporciona melhor relação custo-benefício na
produção.
O manipulador robótico planar mostrado a seguir possui dois elos, sendo que
o comprimento do elo 1 é de 250 mm, e o comprimento do elo 2 é de 200 mm.
Figura — Matriz de transformação homogênea
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, que representa
um robô planar com dois graus de liberdade. A base do robô é formada por
dois cilindros: um cilindro de raio maior, no plano de apoio, de cor bege; e
um cilindro de raio menor, no entanto mais comprido, no sentido vertical,
de cor rosa. Um elo de cor azul é alocado sobre a base, de forma a
possibilitar que o elo tenha movimento rotativo em torno da base. Ao �nal
do primeiro elo, existe um segundo elo alocado à junta, o que possibilita o
movimento rotativo. Ao �nal do segundo elo, existe um suporte de cor
amarela, no qual está alocada uma ferramenta de cor bege, semelhante a
uma ventosa. No lado esquerdo inferior da imagem, está representado o
sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor amarela,
sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido dos elos
completamente esticados.
Considerando que o manipulador robótico planar tem os elos totalmente
esticados, ocorre um movimento rotativo de 40º do eixo da base (em torno do
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eixo z) no sentido anti-horário. Considerando que apenas o eixo da junta da
base rotaciona, e que a junta 1 não é rotacionada em torno do próprio eixo,
calcule a posição �nal do efetuador em relação ao sistema de coordenadas da
origem.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Leia o trecho a seguir.
“A capacidade de força‐momento de um robô depende dos torques em seus
atuadores, de sua con�guração, da posição e orientação de seu efetuador e
das ações presentes no contato com o meio”.
WEIHMANN, L. Modelagem e otimização de forças e torques aplicados por
robôs com redundância cinemática e de atuação em contato com o meio.
2011. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) — Universidade Federal de
Santa Catarina, Florianópolis, 2011. p. 11. Disponível em:
https://bit.ly/3QyUNOi. Acesso em: 2 jun. 2022.
Assinale a alternativa que apresenta, de forma correta, o objeto de estudo da
Cinemática dos manipuladores robóticos.
a) Movimento dos corpos ligados por mecanismos mobiles, sendo
consideradas as forças que geram a movimentação.
b) Movimentação dos robôs, considerando as forças e os torques que
impulsionaram o movimento das juntas.
https://bit.ly/3QyUNOi
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c) Movimentação dos manipuladores robóticos, desconsiderando as
causas que lhes dão origem.
d) De�nição dos pesos e do torque envolvidos na movimentação dos
robôs industriais.
e) De�nição e aferição da quantidade de graus de liberdade existentes
em um sistema robotizado.
De acordo com Santos (2015), o algoritmo de Denavit-Hartenberg é baseado no
conceito de que, com apenas dois parâmetros, é possível veri�car a posição
relativa de duas retas no espaço. O primeiro dos parâmetros utilizados é a
distância medida ao longo do eixo comumentre as duas retas; o segundo
parâmetro é o ângulo de rotação em torno do eixo comum no qual uma das
retas deve girar, sendo que uma se encontra paralela à outra. Dessa forma,
temos o eixo comum entre as duas retas no espaço de�nido a partir da terceira
reta, a qual intercepta as duas primeiras retas, de forma perpendicular, segundo
Antunes (2015). Com isso, temos a menor distância possível entre as duas
retas, conforme a Figura 3.4.
Algoritmo de
Denavit-Hartenberg
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Figura 3.4 — Representação da distância entre retas
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual há duas retas
verticais de cor laranja. Ligando-as aos respectivos centros, temos uma reta
horizontal de cor preta. A reta de cor preta é perpendicular à segunda reta vertical
de cor laranja. Existe uma reta tracejada vertical em azul, representando a
orientação da segunda reta angular, de forma que esteja paralela à primeira reta
vertical. A diferença entre a segunda reta vertical, em laranja, e a reta tracejada
vertical em azul é de�nida por um ângulo 𝝰 (alpha). Uma seta circular em cor azul,
associada a outro ângulo 𝝰 (alpha), demonstra a rotação do eixo representado pela
reta horizontal preta.
Segundo Antunes (2015), a relação entre dois eixos de coordenadas de forma
direta tem seis parâmetros, sendo estes: três de translação, representados pelo
movimento axial de cada eixo; e três de rotação, visto que, em cada eixo, existe
a rotação radial. Uma vez que são necessários apenas dois parâmetros para
de�nir a posição relativa de duas retas no espaço, na de�nição da posição
relativa de dois sistemas de coordenadas, são necessários apenas quatro
parâmetros, pois um sistema de coordenadas é de�nido, basicamente, por três
retas, que são os três eixos de orientação. Dessa forma, a partir do
reconhecimento de dois eixos do sistema, o terceiro é de�nido.
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Consideramos que a intercessão dos eixos de um sistema de coordenadas
de�ne a origem deste; assim, mediante a de�nição da posição relativa entre
dois eixos, é possível descrever a posição relativa entre os dois sistemas de
coordenadas, de modo que teremos as três orientações, conforme propõe a
regra da mão direita (HARTENBERG; DENAVIT, 1964).
Fonte: Adaptado de
normaals; udaix /
123RF.
Regra da mão direita
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De acordo com Hartenberg e Denavit (1964), o algoritmo de Denavit-Hartenberg
especi�ca que a posição e a orientação relativa entre os dois ligamentos são
descritas pelas transformações de translação e de rotação entre os dois
sistemas de coordenadas �xos a esses ligamentos. A sistemática de trabalho
que possibilita utilizar o algoritmo de Denavit-Hartenberg para de�nir os
sistemas de coordenadas de um robô consiste, inicialmente, em localizar os
eixos z do manipulador robótico em todas as juntas. As demais orientações em
cada junta são avaliadas de forma que o sistema resultante O - x y z seja um
sistema de coordenadas de acordo com a regra da mão direita.
De acordo com Santos (2015), o algoritmo de Denavit-Hartenberg parte da
premissa de que a posição relativa entre dois sistemas de coordenadas
consecutivos, sendo estes sistemas O -x y z e O -x y z , pode ser
determinada pelas posições relativas entre os eixos x e x , e entre os eixos z e
z . Dessa forma, é possível descrever a orientação de um sistema de
coordenadas de um elo em relação ao elo anterior, considerando apenas quatro
parâmetros, sendo eles:
θ — ângulo de rotação (com orientação de positivo ou negativo) do eixo
x em torno do eixo z até este �car paralelo a x .
d — deslocamento medido sobre o eixo z até a interseção entre os eixos
z e x .
a — deslocamento medido sobre o eixo x até a interseção entre os eixos
z e x .
𝝰 — ângulo de torção (com orientação de positivo ou negativo) do eixo z
em torno do eixo x até este �car paralelo a z .
A partir desses quatro parâmetros, é possível determinar a posição e a
orientação do sistema de coordenadas i em relação ao sistema i-1 com a
i i i i
i-1 i-1 i-1 i-1 i i i i
i-1 i i
i-1
i i i+1
i
i i+1
i
i i+1
i
i+1 i+1
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aplicação de quatro transformações, consecutivamente, conforme Alciatore e
Histand (2014).
A primeira transformação consiste, basicamente, na rotação desenvolvida, em
torno de z , de um ângulo θ , de forma que permita alinhar xi-1 com x . A
segunda transformação consiste na translação sobre o eixo z , referente à
distância d , até chegar à interseção entre z e z . A terceira transformação é o
desenvolvimento de uma nova translação sobre o eixo xi, sendo esta referente a
distância a , partindo-se do ponto inicial até encontrar o eixo z (ponto O ). A
quarta transformação consiste em uma rotação, em torno do eixo x , de um
ângulo 𝝰 , de forma a alinhar o eixo z com o eixo z .
Representando matematicamente, temos:
=Rotação(z,θ ) Translação(z,d ) Translação(x,a ) Rotação(x,α )
Por �m, temos as transformações aplicadas a matrizes de transformação
homogênea 4x4, que, após serem multiplicadas, geram a matriz de
transformação homogênea genérica — esta, por sua vez, nos permite veri�car a
orientação de uma junta em relação à junta anterior. Cabe destacar que a matriz
de transformação homogênea encontrada é referente a uma junta com a
anterior; no caso de um robô com quatro graus de liberdade, são necessárias
i-1 i i
i-1
i i-1 i
i i i
i
i i-1 i
Aii−1 i i i i
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cosθ i   − sinθ i  0  0
sinθ i     cosθ i   0  0
0           0         1  0
0           0         0  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1  0  0  0
0  1  0  0
0  0  1  di
0  0  0  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1  0  0  ai
0  1  0  0
0  0  1  0
0  0  0  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1     0           0        0
0   cos ai   − sin ai   0
0     sin ai   cos ai    0
0     0           0        1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos θi
sin θi
0
0
   − sin θi cosαi
  cos θi cosαi
  sinαi
0
  sinθi sinαi
   − cos θi sinαi
  cosαi
 0
  ai cos θi
  ai sin θi
  di
  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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quatro matrizes, sendo que o modelo, sempre, é feito desde a base do robô até
o efetuador, conforme Dumba (2017).
De acordo com Craig (2012), algumas condições de exceção devem ser
veri�cadas na aplicação do algoritmo de Denavit-Hartenberg. Primeiramente,
ao estabelecer o sistema de coordenadas da base, a origem do sistema pode
ser de�nida em qualquer ponto do eixo z . Os eixos x e y podem ser
escolhidos de forma arbitrária, contanto que estejam de acordo com a regra da
mão direita. No estabelecimento do sistema de coordenadas de referência do
efetuador, a orientação dos eixos necessita, obrigatoriamente, satisfazer a
condição de x perpendicular a z . Se os eixos das duas articulações de um
ligamento são paralelos, pode haver mais de um eixo comum; nessa condição,
a deve ser perpendicular a ambos os eixos, e a origem O se torna arbitrária.
Caso os eixos principais das duas articulações de um elo se interceptem, de
forma que z intercepta z , teremos a origem O localizada na interseção dos
dois eixos, de forma que x seja perpendicular a ambos os eixos.
De acordo com Abreu (2002), basicamente, implementamos o algoritmo de
Denavit-Hartenberg para um manipulador robótico a partir três etapas,
conforme a seguir.
De acordo com Hibbeler (2012) e Souza (2021), para �xar um sistema de
referênciaslocal nos elos de um manipulador, é necessário seguir uma
convenção dada pelo algoritmo de Denavit-Hartenberg. Os frames (sistemas de
referência) devem estar numerados de acordo com o elo a que estão ligados,
iniciando a partir da base, sendo a base o frame 0 e assim sucessivamente, até
o último elo.
0 0 0
n i-1
i-1 i
i-1 i i
i 
Fixar um sistema de coordenadas local em cada elemento do
manipulador robótico. 
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i. Fixar o sistema de eixos de coordenadas (frame) 0 da base ao longo do eixo
z .
ii. Veri�car se existe um ponto de interseção entre a junta que está sendo
analisada e a junta anterior, z e z ; se houver, considerar o ponto de interseção
como a origem do frame.
iii. No caso de z e z serem paralelos, então é necessário convencionar a
origem do frame anterior (i-1) na junta i.
iv. A partir das veri�cações anteriores, é possível enumerar todos os eixos das
articulações (juntas), sendo o eixo das juntas z0 até zn-1, sendo que o eixo da
articulação i é o eixo zi-1. O sentido do eixo z deve ser de�nido a partir da regra
da mão direita, de acordo com o sentido de rotação da junta.
v. Após a de�nição dos eixos Z de cada articulação, será de�nido o sistema de
coordenadas da base. A origem pode ser escolhida em qualquer posição do
eixo z0, e os eixos, x0 e y0, podem ser escolhidos, desde que de acordo com a
regra da mão direita e sendo x0 perpendicular a z0. Por convenção, adotamos
como primeiro frame o local em que a junta está localizada no eixo.
vi. Após a de�nição do frame de origem da base, são de�nidos os frames das
próximas articulações, sendo que o eixo x deve ser perpendicular ao z da
articulação e ao z anterior. Quando os eixos z da junta analisada e o próximo
eixo z não estão paralelos, temos, na interseção, o ponto de origem do frame.
Caso estejam paralelos, podemos utilizar qualquer ponto do eixo z analisado
como origem.
vii. O mesmo procedimento deve ser realizado em todas as articulações, com o
intuito de determinar cada frame.
viii. Por �m, deve ser estabelecido o sistema de coordenadas (frame) do
efetuador (garra ou ferramenta). A origem pode ser escolhida de forma
arbitrária, porém, em geral, utiliza-se, como origem, o centro da garra ou um
outro ponto de interesse. Os eixos podem ser de�nidos arbitrariamente, desde
que seja respeitada a condição de a orientação x ser perpendicular ao eixo z
anterior.
0
i i-1
i i-1
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ix. Com o intuito de facilitar os cálculos matemáticos, utilizamos a mesma
orientação do frame anterior no último frame do efetuador.
x. Após estabelecer todo o sistema de coordenadas, em todo o manipulador
robótico, vamos ao próximo passo, sendo este a de�nição dos parâmetros de
Denavit-Hartenberg para cada elemento. A �m de facilitar a obtenção dos
parâmetros, criamos uma tabela sintetizada dos quatro parâmetros de Denavit-
Hartenberg. Os parâmetros de Denavit-Hartenberg podem ser obtidos por meio
de quatro análises para cada junta.
xi. Para obtermos θi, é necessário rotacionar o eixo x em torno de z até este
�car paralelo a x .
xii. Para obtermos di, é necessário transladar o sistema de coordenadas (frame)
da junta anterior em z até a interseção entre z e x .
xiii. Para obtermos ai, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta analisada ao longo de x até a interseção entre z e x .
xiv. Para obtermos 𝝰i, é necessário rotacionar o eixo z em torno de x até este
�car paralelo a z .
xv. Após o preenchimento da tabela com os parâmetros de Denavit-Hartenberg
em cada frame, é possível inserir os valores na matriz de transformação
homogênea de Denavit-Hartenberg para cada frame em relação ao anterior.
xvi. Por �m, podemos calcular a matriz de transformação homogênea
considerando todo o manipulador, iniciando a partir da base até o efetuador.
Multiplicando as matrizes de transformação homogênea de Denavit-Hartenberg
de cada frame, temos a matriz 4x4 resultante do manipulador.
Na aplicação dos procedimentos para aplicação do algoritmo de Denavit-
Hartenberg, os passos devem ser seguidos com todo o cuidado e de forma
sistemática, visto que apenas um parâmetro referente a um frame obtido
incorretamente inutiliza toda a modelagem desenvolvida, de acordo com Souza
(2021).
i-1 i-1 
i
i-1 i-1 i
i i-1 i
i-1 i
i
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Aplicação do algoritmo D-H no robô
SCARA
Analisando a estrutura do robô SCARA na Figura 3.5, podemos veri�car que o
robô tem quatro graus de liberdade, sendo três para o posicionamento
(referente a duas juntas rotativas e uma prismática) e um para orientação da
garra (junta rotativa). Na Figura 3.5, temos alguns parâmetros do manipulador,
como:
A. LM — altura mínima do efetuador.
B. L1 — comprimento do Elo 1.
C. L2 — comprimento do Elo 2.
D. C — curso para movimentação linear do Elo 3.
E. θ1 — ângulo de rotação do Elo 1 a partir do eixo X.
F. θ2 — ângulo de rotação do Elo 2 a partir do Elo 1.
 
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Figura 3.5 — Estrutura do robô SCARA 4GDL
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um robô
do tipo SCARA apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da parte
superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a base dele,
informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta que possibilita
o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo corpo de um segundo elo,
identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado um terceiro elo,
identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o �nal do primeiro elo.
O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica, e, no centro dele, está identi�cada
uma junta prismática de movimentação, chamada de Elo 3. Ao �nal deste elo, no
sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta representada por uma área
quadrada de cor amarela. Na base do robô, está representado o sistema
tridimensional de referência da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da
base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Na parte inferior da imagem, temos a
representação da vista frontal à esquerda, em que são demonstrados os
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comprimentos existentes no robô. Na parte inferior da imagem, temos a
representação da vista superior à direita, em que são demonstrados os ângulos de
movimentação dos elementos (Elo1 e Elo 2) do robô.
Inicialmente, é necessário identi�car os elos do manipulador robótico e os
sentidos de rotação, como visto na Figura 3.5. Com isso, é possível �xar os
sistemas de coordenadas 0 ao longo do eixo Z e nos frames do manipulador, de
acordo com a regra da mão direita; assim, teremos a representação conforme a
Figura 3.6. Como o deslocamento do Elo 3 em Z para chegar a uma peça é para
baixo, inserimos a orientação de Z2 para baixo, no sentido da peça.
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Figura 3.6 — Representação do eixo Z em cada junta
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um robô
do tipo SCARA apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da parte
superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a base dele,
informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma juntaque possibilita
o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo corpo de um segundo elo,
identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado um terceiro elo,
identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o �nal do primeiro elo.
O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica, e, no centro dele, está identi�cada
uma junta prismática de movimentação, chamada de Elo 3. Ao �nal deste elo, no
sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta representada por uma área
quadrada de cor amarela. Na base do robô, está representado o sistema
tridimensional de referência da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da
base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre cada junta de movimentação do
manipulador, está representada a orientação Z para a junta, com uma seta de cor
laranja, sendo que, na primeira, na segunda e na quarta juntas, as orientações estão
no eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a orientação está para baixo. À direita
da imagem, temos a representação de uma mão, demonstrando a regra da mão
direita; a mão está com os dedos fechados, e apenas o polegar está esticado; o
polegar representa o eixo Z, e os dedos indicam o sentido de rotação.
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A partir do referenciamento dos eixos Z de cada frame, é possível de�nir o
sistema de orientação (frame) da base. Denavit-Hartenberg recomenda que este
pode estar em qualquer posição no eixo Z0, sendo que a orientação X0 da
origem deve ser perpendicular a Z0, de acordo com a regra da mão direita. No
entanto, seguindo essa especi�cação, existem várias possibilidades para a
orientação em X0; por conta disso, consideramos que a junta é variável. Alguns
autores, na aplicação do algoritmo de Danavit-Hartenberg, de�nem o sistema de
orientação da base ligado ao plano onde o robô está alocado. Contudo, quando
temos uma base �xa, como no exemplo do robô SCARA, é mais interessante
considerar o sistema de orientação da base na primeira junta. O eixo X0 deve
ser escolhido de forma que di seja igual a zero; dessa forma, convencionamos o
eixo X0 paralelo ao Elo 1. Após a de�nição de X0, o eixo Y0 pode ser de�nido
utilizando a regra da mão direita, conforme a Figura 3.7.
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Figura 3.7 — Representação do sistema de orientação da base
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um robô
do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da
parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a
base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta que
possibilita o movimento rotativo em torno da base, e esta possui o mesmo corpo de
um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado
um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o �nal
do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica. No centro do
terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática de movimentação, chamada de Elo
3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta
representada por uma área quadrada de cor amarela. Na base do robô, está
representado o sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor
amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre
cada junta de movimentação do manipulador, está representada a orientação Z para
a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que, na primeira, na segunda e na
quarta juntas, as orientações estão no eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a
orientação está para baixo. Temos representado o sistema de coordenadas da base,
na altura da primeira junta de movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o
eixo Y0 em verde, e o eixo X0 em azul-claro. À direita da imagem, temos a
representação de uma mão, demonstrando a regra da mão direita, com ela virada
para cima, os dedos esticados ao máximo e perpendiculares entre si; o polegar
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representa o eixo X, o dedo indicador representa o eixo Y, e o dedo médio representa
o eixo Z.
Convencionamos as três orientações do frame 0, visto que o sistema é
tridimensional, no entanto somente as orientações X e Z serão utilizadas no
algoritmo de Denavit-Hartenberg.
Após ser de�nido o primeiro (frame 0), podem ser de�nidos os demais frames
para cada articulação. Considerando as restrições do algoritmo de Denavit-
Hartenberg, podemos convencionar os frames 1, 2 e 3, conforme a Figura 3.8.
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Figura 3.8 — Representação dos frames em todo o manipulador
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um robô
do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da
parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a
base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta que
possibilita o movimento rotativo em torno da base, e esta possui o mesmo corpo de
um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado
um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o �nal
do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica. No centro do
terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática de movimentação, chamada de Elo
3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta
representada por uma área quadrada de cor amarela. Na base do robô, está
representado o sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor
amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre
cada junta de movimentação do manipulador, está representada a orientação Z para
a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que, na primeira, na segunda e na
quarta juntas, as orientações estão no eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a
orientação está para baixo. Temos representado o sistema de coordenadas da base,
na altura da primeira junta de movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o
eixo Y0 em verde, e o eixo X0 em azul-claro. De acordo com a regra da mão direita,
em cada junta, temos a representação de um sistema de orientação (frame)
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tridimensional, no qual estão representados cada eixo Z em laranja, cada eixo Y em
verde e cada eixo X em azul-claro.
Após serem de�nidos todos os sistemas de coordenadas presentes no corpo
do manipulador robótico, pode ser de�nido o sistema de coordenadas do
efetuador. Como o efetuador de um manipulador pode ser caracterizado por
elementos diferentes, como uma garra ou uma ferramenta, segundo o algoritmo
de Denavit-Hartenberg, o sistema de orientação do efetuador deve ser,
obrigatoriamente, o último, sendo este O -x y z . Dessa forma, a posição da
origem do frame do efetuador pode ser escolhida de forma arbitrária; no
entanto, com o intuito de facilitar a modelagem cinemática do manipulador
robótico, é usual utilizar o centro da garra ou da ferramenta, ou um ponto de
ação da ferramenta, como origem do sistema de coordenadas, conforme a
Figura 3.9.
n n n n
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Figura 3.9 — Representação do frame do efetuador
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagemapresenta uma ilustração colorida, na qual temos um robô
do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da
parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a
base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta que
possibilita o movimento rotativo em torno da base, e esta possui o mesmo corpo de
um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado
um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o �nal
do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica. No centro do
terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática de movimentação, chamada de Elo
3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta
representada por uma área quadrada de cor amarela. Na base do robô, está
representado o sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor
amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre
cada junta de movimentação do manipulador, está representada a orientação Z para
a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que, na primeira, na segunda e na
quarta juntas, as orientações estão no eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a
orientação está para baixo. Temos representado o sistema de coordenadas da base,
na altura da primeira junta de movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o
eixo Y0 em verde, e o eixo X0 em azul-claro. De acordo com a regra da mão direita,
em cada junta, temos a representação de um sistema de orientação (frame)
tridimensional, no qual estão representados cada eixo Z em laranja, cada eixo Y em
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verde e cada eixo X em azul-claro. Abaixo da ferramenta, no sentido vertical, existe o
frame do efetuador, último sistema de orientação, de acordo com a regra da mão
direita, com o eixo Z4 em laranja, o eixo Y4 em verde, e cada eixo X4 em azul-claro.
Após todos os frames serem referenciados, é possível preencher a tabela com
os parâmetros de Denavit-Hartenberg, considerando os passos a seguir.
Para obtermos θi, é necessário rotacionar o eixo x em torno de z até
este �car paralelo a x .
Para obtermos di, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta anterior em z até a interseção entre z e x .
Para obtermos ai, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta analisada ao longo de x até a interseção entre z e x .
Para obtermos 𝝰i, é necessário rotacionar o eixo z em torno de x até
este �car paralelo a z .
Se a junta for de rotação, temos di igual a zero, e o 𝝷i variável de acordo
com o ângulo de movimentação. Se a junta for prismática, temos di
variável de acordo com o translado, e 𝝷i igual a zero.
Dessa forma, para o manipulador SCARA analisado, teremos a tabela a seguir.
i-1 i-1
i
i-1 i-1 i
i i-1 i
i-1 i
i
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Por �m, podemos montar as matrizes de transformação homogênea de
Denavit-Hartenberg para cada junta, ou seja, para cada linha da Tabela 3.1, após
a análise do manipulador. Dessa forma, teremos:
Tabela 3.1 — Parâmetros de Denavit-Hartenberg para robô SCARA 4 GDL
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a tabela, dividida em quatro colunas e cinco linhas, resume
os parâmetros de Denavit-Hartenberg para o robô SCARA de quatro graus
de liberdade. Seguindo as colunas, da esquerda para a direita, temos, na
primeira linha, os itens “i”, “𝝷i”, “di”, “ai” e “𝝰i”. Na segunda linha, na coluna
“i”, está “1”; na coluna “𝝷i”, “𝝷1”; na coluna “di”, “0”; na coluna “ai”, “L1”; na
coluna “𝝰i”, “0”. Na terceira linha, está a junta (i) 2 com “𝝷2”, para o qual há
um di igual a “0”; na coluna “ai”, “L2”; na coluna “𝝰i”, “180º”. Na quarta linha,
está a junta 3, para a qual há, na coluna, “𝝷i”, “0”; na coluna “di”, “C” (curso
do Elo 3); na coluna “ai”, “0”; na coluna “𝝰i”, “180º”. Na quinta linha, está a
junta “4”, para a qual há, na coluna “𝝷i”, “𝝷3”; na coluna “di”, “LF” (altura da
ferramenta somada ao curso do Elo 3); na coluna “ai”, “0”; na coluna “𝝰i”,
“0”.
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Após obtermos, individualmente, as transformações homogêneas em relação à
orientação anterior, é possível obter a matriz de transformação homogênea 
, que relaciona a posição e a orientação do efetuador em relação ao sistema da
base, sendo esta para o robô SCARA analisado:
=Aii−1
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos θi
sin θi
0
0
   − sin θi cosαi
  cos θi cosαi
  sinαi
0
  sinθi sinαi
   − cos θi sinαi
  cosαi
 0
  ai cos θi
  ai sin θi
  di
  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=A01
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos θ1
sin θ1
0
0
    − sin θ1
    cos θ1
0
0
  0
  0
  1
  0
   L1 cos θ1
   L1 sin θ1
  0
  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=A12
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos θ2
sin θ2
0
0
   sinθ2
    − cos θ2
0
0
   0
   0
  − 1
   0
   L2 cos θ2
   L2 sin θ2
  0
  1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=A23
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1
0
0
0
    0
   − 1
    0
    0
    0
    0
   1
    0
   0
   0
   C
   1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=A34
⎡
⎣
⎢⎢⎢
cos θ3
sin θ3
0
0
    − sin θ3
    cos θ3
0
0
    0
    0
   1
    0
   0
   0
   LF
   1
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A0n
=A0n A01A
1
2A
2
3A
3
4
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É importante destacar que, na aplicação do caso, foram convencionadas várias
direções x e y, mesmo havendo outras possibilidades, visto que o algoritmo de
Denavit-Hartenberg permite variadas possibilidades para de�nição dos
sistemas de orientação, desde que sejam respeitadas as regras do algoritmo.
Parâmetros do algoritmo D-H aplicados
ao robô esférico polar
Analisando a estrutura do robô esférico, temos que o robô possui três graus de
liberdade, sendo composto de duas juntas rotativas e uma prismática.
Consideramos que, neste caso, a primeira junta rotativa do robô (i = 1) está
localizada na base do manipulador. Após o referenciamento de cada articulação
existente no manipulador, considerando o algoritmo de Denavit-Hartenberg,
teremos a estrutura cinemática do robô, conforme a Figura 3.10.
S A I B A M A I S
Existem outras formas de modelagem para a cinemática de robôs, além do algoritmo
de Denavit-Hartenberg. A dissertação de Gustavo Sobral Toscano explica a utilização
de um método Zero-Moment Point no desenvolvimento de um gerador de trajetórias
de um modelamento cinemático para um manipulador robótico antropomór�co
bípede.
Para saber mais, acesse: https://bit.ly/3tKfYmr
https://bit.ly/3tKfYmr
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Figura 3.10 — Representação do robô esférico polar
Fonte: Adaptada de nicolasprimola / 123RF.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida de um robô do tipo
esférico polar, com cor predominantemente bege. A imagem apresenta a visão
isométrica do robô, sendo possível visualizar a base dele. Alocada à base, temos
uma junta que possibilita o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo
corpo de um segundo elo, de forma perpendicular ao eixo da base. Ao �nal do
segundo elo, temos um terceiro elo, com uma junta prismática de movimentação;
ao �nal deste, temos a posição da �ange, na qual deve estar a ferramenta do robô.
Na base do robô, está representado o sistema tridimensional de referência da base
do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido
do eixo. Sobre cada junta de movimentação do manipulador, está representada a
orientação Z para a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que, na primeira, na
segunda e na quartajuntas, as orientações estão no eixo vertical para cima, e, na
terceira junta, a orientação está para baixo. Temos representado o sistema de
coordenadas da base, na altura da primeira junta de movimentação rotativa, com o
eixo Z0 em laranja, o eixo Y0 em verde, e o eixo X0 em azul-claro. De acordo com a
regra da mão direita, em cada junta, temos a representação de um sistema de
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orientação (frame) tridimensional, no qual estão representados cada eixo Z em
laranja, cada eixo Y em verde e cada eixo X em azul-claro.
Considerando a distância entre o sistema de referência da base e a segunda
junta do robô como L; considerando o curso da junta prismática como D, após a
análise do manipulador esférico polar; e considerando os procedimentos
sistemáticos do algoritmo de Denavit-Hartenberg, temos, por �m, esta tabela.
Por �m, ao analisarmos as diferenças entre o robô SCARA e o robô esférico
polar, quanto à aplicação do algoritmo para obtenção dos parâmetros de
Tabela 3.2 — Parâmetros de Denavit-Hartenberg para robô esférico polar 3 GDL
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: o quadro, dividido em cinco colunas e quatro linhas, resume
os parâmetros de Denavit-Hartenberg para o robô esférico polar de três
graus de liberdade. Seguindo as colunas, da esquerda para a direita, temos,
na primeira linha, os itens “i”, “𝝷i”, “di”, “ai” e “𝝰i”. Na segunda linha, na
coluna “i”, está “1”; na coluna “𝝷i”, “𝝷1”; na coluna “di”, “L”; na coluna “ai”, “0”;
na coluna “𝝰i”, “90º”. Na terceira linha, está a junta (i) 2 com “𝝷2”, para o
qual há um “di” igual a “0”; na coluna “ai”, “0”; na coluna “𝝰i”, “-90º”. Na
quarta linha, está a junta 3, para o qual há na coluna “𝝷i”, “0”; na coluna “di”,
“D” (curso do Elo 3); na coluna “ai”, “0”; na coluna “𝝰i”, “0”.
i 𝝷i di ai 𝝰i
1 𝝷1 L 0 90º
2 𝝷2 0 0 -90º
3 0 D 0 0
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Denavit-Hartenberg, podemos concluir que a existência da junta no sistema de
referência da base do manipulador robótico in�uencia, diretamente, o ângulo 𝝷.
Concluímos também que a diferença entre a orientação dos eixos rotativos
altera, diretamente, o ângulo 𝝰.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Leia o trecho a seguir.
“Jacques Denavit e Richard Hartenberg introduziram em 1955 uma convenção
para a de�nição das matrizes das juntas de um robô e segmentos por forma a
normalizar os eixos de coordenadas para ligações espaciais. Esta convenção
proporciona uma forma sistemática simpli�cada para executar a análise da
Cinemática Direta”.
MONTEIRO, R. E. V. Desenvolvimento de um controlador dinâmico para
robôs humanoides. 2012. Dissertação (Mestrado em Engenharia Eletrotécnica
e Computadores) — Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto, Porto,
2012. p. 28. Disponível em: https://bit.ly/3u4kXid. Acesso em: 3 jun. 2022.
A respeito da notação de Denavit-Hartenberg, assinale a alternativa correta.
a) Na de�nição das orientações, o eixo de junta é associado ao eixo x, e
cada matriz é representada pelo produto de duas transformações
básicas envolvendo rotações e translações.
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b) Este método conduz a uma representação baseada em
transformações heterogêneas, que exprimem cada referencial em
relação ao referencial anterior.
c) A notação de Denavit-Hartenberg constitui, basicamente, um
procedimento sistemático para alocação de sistemas de coordenadas
ao longo da cadeia de segmentos rígidos, em que os sistemas têm uma
orientação de acordo com a regra da mão direita.
d) Denavit e Hartenberg desenvolveram uma proposta de notação
sistemática para atribuir um sistema de orientação a partir da regra da
mão esquerda, um para cada junta, em uma cadeia cinemática fechada
de juntas.
e) Na aplicação da notação de Denavit-Hartenberg para a obtenção do
ângulo de uma junta θi, é necessário rotacionar o eixo z em torno de
x até este �car paralelo a x .
De acordo com Toscano (2011), com a Cinemática Direta, é possível obter o
desenvolvimento direto das expressões do manipulador robótico,
diferentemente do que ocorre na Cinemática Inversa, em que é procurado o
conjunto de valores possíveis das juntas, os quais se adequam a uma dada
i-1
i-1 i
Cinemática Inversa
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con�guração do espaço de operação do manipulador robótico. A Cinemática
Inversa é conceituada como o conjunto de procedimentos para realizar a
determinação das funções inversas das expressões matemáticas obtidas na
Cinemática Direta.
A Cinemática Inversa, em geral, não é um problema com solução analítica, de
forma que não existe uma metodologia única de aplicação direta, como o
algoritmo de Denavit-Hartenberg no caso da Cinemática Direta. Como as
soluções de interesse prático — por exemplo, os principais manipuladores
robóticos utilizados — já foram estudados, a aplicação de equações de�nidas
de Cinemática Inversa é simples, no entanto, em casos especiais, como o
desenvolvimento de novos manipuladores, com cinemática diferenciada, é
necessário o desenvolvimento de novas soluções, conforme Hibbeler (2012).
Segundo Dumba (2017), como a Cinemática Inversa consiste em calcular os
valores das variáveis de junta que produzirão a posição e a orientação
desejadas do órgão terminal, teremos diversas condições possíveis para as
posições das juntas que possibilitem, ao efetuador, estar em uma mesma
posição �nal. Dessa forma, as soluções da Cinemática Inversa são obtidas por
meio da solução de sistemas não lineares. A solução de sistemas não lineares
tem três condições complexas na resolução: as soluções podem não existir;
podem existir múltiplas soluções; e são possíveis métodos de solução
diferenciados a serem aplicados em cada caso.
Assim, um ponto primordial no estudo da Cinemática Inversa para um
manipulador robótico é a de�nição do volume de trabalho do manipulador,
juntamente com a divisão entre os pontos alcançáveis com, pelo menos, uma
orientação do manipulador (reachable) e os pontos alcançáveis em todas as
orientações possíveis (dexterous).
A quantidade de soluções possíveis para cada manipulador no estudo da
Cinemática Inversa tem relação direta com alguns parâmetros do manipulador.
De acordo com o número de juntas, dos parâmetros de movimentação dos elos
e dos limites de movimento das juntas, teremos diferentes tipos de soluções
para o estudo do manipulador.
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Como não existem algoritmos gerais que resolvam sistemas de equações não
lineares, temos um manipulador solucionável quando as variáveis de junta são
determinadas por um algoritmo que calcula todos os conjuntos de variáveis
associadas a uma posição e a uma orientação, podendo ser resolvidos por
soluções numéricas ou analíticas. As soluções numéricas, em geral, são
métodos mais genéricos, computacionalmente custosos e interativos, com
resultados aproximados. Já as soluções analíticas são aplicáveis a problemas
mais simples, aos quais é possível aplicar a inversão das equações de
Cinemática Direta e obter um resultado matemático exato.
É importante destacar que métodos mais utilizados, matematicamente, para
solucionar casos de Cinemática Inversa estão relacionados a métodos
REFLITA
Hoje, possuímos diversas ferramentas que podem
ser utilizadas para fazer a modelagem cinemática
de um manipulador robótico. Em 1955, quando a
notação de Denavit-Hartenberg foi desenvolvida,não existiam grandes recursos de software que
auxiliassem no desenvolvimento das pesquisas
referentes à movimentação dos manipuladores
robóticos. Atualmente, com uma vasta quantidade
de softwares de modelamento matemático,
programação de recursos de inteligência arti�cial
e interfaces de comunicação, o que ainda pode ser
desenvolvido na robótica? Como esses recursos
podem ajudar na elaboração de novos tipos de
manipuladores robóticos?
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numéricos, aos quais são aplicados métodos de minimização da Cinemática
Direta. Assim, mesmo não existindo métodos diretos de resolução da
Cinemática Inversa, podemos realizar a adequação a partir da Cinemática
Direta, o que representa a importância do modelo direto em todo o processo de
controle do manipulador robótico.
Cinemática Diferencial
Conforme Toscano (2011), na Cinemática Inversa e na Direta, são abordadas as
relações entre coordenadas no espaço operacional e no espaço das juntas de
um manipulador robótico. No entanto as relações não trazem dados sobre as
características do movimento entre duas con�gurações diferentes, ou seja,
quais são as relações entre as movimentações temporais das coordenadas nos
dois espaços. Analisando esse ponto, por exemplo, a extremidade do
manipulador deve descrever uma certa trajetória (incremento) no espaço a
quatro coordenadas, durante um dado intervalo de tempo, como são de�nidos
os valores dos deslocamentos e dos incrementos no tempo. O estudo dos
incrementos ou das diferenças na posição é designado como Cinemática
Diferencial. Essa relação entre os deslocamentos in�nitesimais no espaço
operacional e as juntas é dada pelo jacobiano do manipulador.
Resumo da cinemática dos manipuladores robóticos
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A partir da Cinemática Diferencial, ocorre o estabelecimento de duas de�nições
importantes: caminho e trajetória. Caminho é o conjunto de pontos no espaço,
seja este operacional ou das juntas, o qual deve ser percorrido em uma
sequência predeterminada. A trajetória de�ne como o caminho será
desenvolvido, considerando as restrições temporais; dessa forma, são de�nidos
intervalos de tempo para o deslocamento entre dois elos sucessivos, conforme
Craig (2012).
praticar
Vamos Praticar
No desenvolvimento de atividades Pick and Place para peças pequenas, os
robôs planares são muito aplicados, geralmente, em conjunto com esteiras
seletoras e sensoriamento por sistemas de visão, visto que são robôs de
Cinemática direta
A partir das posições das articulações,
encontra a posição e a orientação da
ferramenta no espaço cartesiano da base.
Ferramenta: algoritmo de Denavit-
Hartenberg.
Fonte: ryzhov / 123RF.
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controle mais simples e de menor custo em relação aos robôs delta, também
muito utilizados nas mesmas aplicações.
O manipulador robótico planar mostrado a seguir possui dois elos, sendo que
o comprimento do elo 1 é de 250 mm, e o comprimento do elo 2 é de 200 mm.
Figura — Matriz de transformação homogênea
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem mostra uma ilustração colorida, que representa
uma matriz de transformação homogênea 4x4, ou seja, com quatro
colunas e quatro linhas. A matriz está dividida em quatro partes, por linhas
tracejadas de cor vermelha.
Considerando que o manipulador robótico planar possui elos totalmente
esticados na condição inicial, o movimento rotativo de 60º do primeiro elo no
sentido anti-horário, e o movimento rotativo de 80º do segundo elo no sentido
anti-horário, calcule a posição �nal (x, y) do efetuador, utilizando o algoritmo
de Denavit-Hartenberg.
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Material
Complementar
L I V R O
Robótica industrial: fundamentos,
tecnologias, programação e simulação
Autor: Winderson Eugênio dos Santos
Editora: Érica
Capítulo: 4 — Cinemática dos robôs
Ano: 2015
ISBN: 978-8536512044
Comentário: o livro apresenta a robótica de forma clara e
objetiva e comenta, em especial, a nomenclatura técnica
referente a robôs industriais. Ele apresenta os sistemas de
servoacionamento mais utilizados para manipuladores
robóticos e faz a análise a partir de modelos matemáticos e
da programação de robôs, demonstrando o equacionamento
cinemático de um manipulador robótico.
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W E B
Como funciona um robô de verdade
Ano: 2019
Comentário: neste vídeo do canal Manual do Mundo, é
desenvolvida uma perspectiva analítica sobre os robôs
industriais, funcionalidades e formas de utilização deles. No
vídeo, podemos veri�car os principais elementos que
compõem um robô industrial e as células robóticas e
relacionar as diversas aplicações de sistemas produtivos
que, atualmente, utilizam robôs industriais, na busca por
realizar qualquer atividade.
Para conhecer mais sobre o assunto, acesse ao vídeo
disponível em:
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=UsaLpDb3HHA&t=19s
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Conclusão
Caro(a) estudante, neste estudo, você pôde ver a importância da Cinemática de
robôs, principalmente, para aplicações em robôs industriais. A partir do estudo da
Cinemática, é possível determinar as capacidades de movimentação de um
manipulador robótico e o volume de trabalho dele.
Veri�camos a importância do estudo da Cinemática Direta, para a obtenção do valor
�nal de posição de um manipulador robótico, a partir das posições individuais das
juntas, e como o algoritmo de Denavit-Hartenberg pode nos auxiliar e facilitar o
processo de modelagem da Cinemática Direta de um manipulador. Atualmente, a
maior parte dos manipuladores robóticos já tem equações de transferência para
sistemas de orientação de�nidas. No entanto é importante compreender o processo
de dedução da Cinemática de um robô, pois o desenvolvimento de pesquisas e de
manipuladores no meio industrial e comercial está em constante expansão.
Veri�camos a importância da Cinemática Inversa no estudo dos movimentos das
juntas robóticas e as possibilidades que o estudo da Cinemática Diferencial
proporciona na de�nição dos modelos de trajetórias dos manipuladores robóticos.
Por �m, cabe destacar que os estudos relacionados à Cinemática dos robôs, ainda
que muito avançados atualmente, podem ser elaborados no desenvolvimento de
novos manipuladores. Usualmente, na programação de robôs industriais, a
Cinemática é pouco utilizada, diretamente, no entanto ela possibilita, ao programador
e ao operador de um robô, compreender melhor as características de funcionamento
do sistema, de modo a evitar erros que gerem travamentos nas juntas do
manipulador robótico.
Até a próxima!
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Referênc
ias
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WEIHMANN, L. Modelagem e otimização de forças e torques aplicados por robôs
com redundância cinemática e de atuação em contato com o meio. 2011. Tese
(Doutorado em Engenharia Mecânica) — Universidade Federal de Santa Catarina,
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