Transformada Inversa de Laplace

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Transformada Inversa de Laplace
1. 
Para o exemplo de função complexa de polo duplo a seguir, encontre a sua respectiva função F(S) na forma de frações parciais:
FS = (s+2)/s.(s+1)2​​​​​​​
Resposta correta.
A. 
(2/s)-2/(s+1)-1/(s+1)2
O denominador trata-se polo duplo. Então, reescrevendo: F(S), vem: FS = A/s+B/s+1+C/(s+1)2
Agora, deve-se encontrar A, B e C por meio do método a seguir:
Multiplica-se ambos os lados da equação por s.(s+1)2
s+2 = (A/s).s.(s+1)2+[B/s+1].[s.(s+1)2 ]+C/(s+1)2.s.(s+1)2
s+2 = A.s.(s+1)2+B.s.(s+1)+C.s
s+2 = A.(s2+2s+1)+Bs2+Bs+Cs
s+2 = A.s2+2As+A+Bs2+Bs+Cs
Juntando os coeficientes, temos:
s+2 = (A+B).s2+(2A+B+C)s+A
Comparando os dois lados, temos:
- Coeficiente de s: 1 = 2.A + B + C
- 2 = A
- Coeficiente de s2: 0 = A + B, com A = 2, B = -2 e C = 1-2A - B = 1-4-(-2) = -1
Portanto: FS=/s+B/(s+1)+C/(s+1)2=2/s+-2/(s+1)+-1/(s+1)2
2. 
Dada a função complexa: F(S) = 2s+12/s2+2s+5, encontre a sua respectiva função f(t):
Resposta correta.
C. 
5.e-t.sen(2t)+2.e-t.cos⁡(2t)
Primeiramente, o denominador tem raízes complexas. Por meio do método das frações parciais pode-se escrever F(S) como: F(S) = 2s+12/s2+2s+5=2s+12/(s+1+2j).(s+1-2j),portanto,nãoconvémtalmétodo.
Então, recorrendo à tabela de transformadas das funções trigonométricas e fatorando o polinômio de denominador novamente por meio de seu produto notável, reescreve-se a função F(S):
F(S) = 2s+12/s2+2s+5=2s+12/(s+1)2+4=10+2.(s+1)/(s+1)2+4
Precisa-se chegar às seguintes formas:
F(S) = w/(s+a) 2+ w 2
f(t) = e -at .sen(w.t)
F(S) = s+a/(s+a) 2+ w 2
f(t) = e -at .cos(w.t)
Então, agora sim, por meio do método das frações parciais chegaremos ao domínio do tempo: F(S) = 10/[(s+1)2+4]+2.(s+1)/[(s+1)2+4]
E ainda: F(S) = 5.2/[(s+1)2+4]+2.(s+1)/[(s+1)2+4], comparando a tabela:
a=1, w=2
Assim, aplicando a tabela acima, antitransforma-se a função F(S) e obtém-se f(t):
f(t)=5.e-t.sen(2.t)+2.e-t.cos(2.t)​​​​​
​​​​​​​
3. 
Para a função Y(S), retorná-la ao domínio do tempo:
Y(S) = as+b+3a/(s2+3s+2)
Você acertou!
B. 
(2 a + b) . e - t - ( a + b) . e - 2 t
Reescrevendo Y(S):
Y(S) = as+b+3a/s2+3s+2=as+b+3a/(s+1).(s+2)
Parcializando fica: Y(S) = (2a+b)/(s+1)-((a+b)/(s+2))
Comparando-se às tabelas de transformadas e antitransformadas:
y(t) = (2.a +b).e—t – (a+b).e-2t
4. 
Obter a transformada inversa de Laplace de F(S) = (s+3)/(s+1).(s+2)
Você acertou!
D. 
2. e - t ​​​​​​​- e - 2t
F(S) = s+3/(s+1).(s+2)=A/s+1+B/s+2
Multiplicando-se ambos os lados por: (s+1).(s+2):
S+3 = A.(s+2)+B.(s+1)
S+3 = As+2.A+Bs+B
Juntando-se os coeficientes: s+3 = (A+B)s+2.A+B
Então, comparando: 1 = A+B
E 3 = 2.A+B
Resolvendo por substituição: A = 1-B,
Substituindo em 3 = 2.(1-B)+B
3 = 2-2B+B
1 = -B ou B = -1
Assim: A = 1-(-1) = 2
Reescrevendo:
F(S) = s+3/(s+1).(s+2)=(2/(s+1))-(1/(s+2))
Comparando com a tabela de transformadas:
1/ s+a - e -at
f(t) = 2.e-t-e-2t
	
5 - Obter a transformada inversa de
Resposta correta.
C. 
t+cos⁡(2π.t)