APOSTILADEINTRODUOECONOMETRIAUSANDOOSOFTWARESTATA

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APOSTILA DE INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA 
USANDO O SOFTWARE STATA 
 
 
 
 
 
 
 
Cezar Augusto Pereira dos Santos 
Dieison Lenon Casagrande 
Paulo Henrique de Oliveira Hoeckel 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS, Brasil. 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
NOTAS SOBRE OS ORGANIZADORES 
 
CEZAR AUGUSTO PEREIRA DOS SANTOS 
Professor da Universidade Comunitária da Região de Chapecó – UNOCHAPECÓ. 
Mestre em Economia e Desenvolvimento pela Universidade Federal de Santa Maria 
(PPGED-UFSM). 
E-mail: cezarsantos1975@hotmail.com 
 
DIEISON LENON CASAGRANDE 
Doutorando em Economia pela Universidade Federal de Pernambuco – PIMES/UFPE. 
Mestre em Economia e Desenvolvimento pela Universidade Federal de Santa Maria 
(PPGED-UFSM). 
E-mail: dieisonlenon@yahoo.com.br 
 
PAULO HENRIQUE DE OLIVEIRA HOECKEL 
Doutorando em Economia do Desenvolvimento pela Pontifícia Universidade Católica 
do Rio Grande do Sul - PUCRS. Mestre em Economia e Desenvolvimento pela 
Universidade Federal de Santa Maria (PPGED-UFSM). 
E-mail: ph.hoeckel@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:cezarsantos1975@hotmail.com
mailto:dieisonlenon@yahoo.com.br
mailto:ph.hoeckel@gmail.com
 3 
APRESENTAÇÃO 
 
O presente material foi desenvolvido em paralelo à função de colaborador no 
curso de Introdução à Econometria e Econometria I do curso de Graduação em Economia 
da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) com base nos conhecimentos obtidos 
em sala de aula, com a apostila de apoio ao uso do Stata formulada pelos alunos do curso 
em Pós-Graduação em Economia da Universidade Federal de Viçosa (UFV) e, sobretudo, 
com o excelente livro “Econometria Básica” de Damodar Gujarat (do qual foi feito uma 
espécie de resumo – o qual não substitui a leitura do livro). 
O objetivo deste material é auxiliar quem por ventura se interesse em dar os 
primeiros passos nesta matéria que é uma ferramenta importantíssima (mas que sem um 
forte embasamento teórico de nada serve) aos economistas através do uso dos comandos 
básicos do software Stata. 
Faço minhas as palavras dos alunos do curso em Pós-Graduação em Economia da 
Universidade Federal de Viçosa (UFV) ao afirmar que o presente material não é um 
manual, no sentido exato do termo, do programa Stata e sim uma tentativa de auxiliar na 
descoberta dos primeiros passos para quem está sendo apresentado ao mundo da 
Econometria. Um mundo que a princípio parece estar tremendamente além de nossa 
capacidade de entendimento, mas que com o tempo se mostra extremamente apaixonante 
ao notarmos que o mesmo ajuda a firmar ou derrubar muitas teorias no campo da 
Economia. 
Os erros e omissões encontrados no decorrer deste material são de minha inteira 
responsabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Sumário 
COMANDOS BÁSICOS.......................................................................................5 
ECONOMETRIA BÁSICA – GUJARAT – INTRODUÇÃO............................13 
CAPÍTULO I – A NATUREZA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO..................17 
CAPÍTULO II – CONCEITOS BÁSICOS.........................................................27 
CAPÍTULO III – O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS 
(MQO).............................................................................................................................37 
CAPÍTULO IV – A HIPÓTESE DA NORMALIDADE....................................55 
CAPÍTULO V – ESTIMATIVA DE INTERVALO E TESTE DE HIPÓTESES 
DE CONFIANÇA............................................................................................................56 
CAPÍTULO VI – EXTENSÃO DO MODELO DE REGRESSÃO LINEAR DE 
DUAS VARIÁVEIS........................................................................................................74 
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA........................102 
CAPÍTULO VIII – O PROBLEMA DA INFERÊNCIA...................................131 
CAPÍTULO IX – VARIÁVEIS BINÁRIAS.....................................................192 
CAPÍTULO X – MULTICOLINEARIDADE (OS REGRESSORES 
CORRELACIONADOS)...............................................................................................235 
CAPÍTULO XIII – MODELAGEM (ESPECIFICAÇÃO E DIAGNÓSTICO DE 
MODELOS ECONOMÉTRICOS)................................................................................269 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
COMANDOS BÁSICOS 
 1) Para trocar vírgula por ponto no bloco de notas (que é onde serão apresentadas 
as tabelas para realizar os exemplos e exercícios apresentados no livro Econometria 
Básica de Damodar Gujarat) selecione a parte numérica da tabela, clique em editar, clique 
em substituir, na janela localizar digite o símbolo da vírgula (,), na janela substituir digite 
o símbolo do ponto (.), clique em substituir tudo. Retorne ao bloco de notas, selecione 
toda a tabela, com o botão direito do mouse clique em copiar. Na seqüência, abra o 
programa Excel, clique com o botão direito do mouse na primeira célula e clique em colar. 
Muitas vezes as tabelas dadas por Gujarat aparecerão desformatadas no Excel, para 
resolver tal problema, clique no ícone opções de colagem (que aparece no canto inferior 
direito da tabela), clique em usar assistente para importação de texto, clique em avançar, 
clique em tabulação, clique em avançar, clique em concluir. Assim, sua tabela estará 
pronta para ser encaminhada ao programa Stata (nota: Algumas vezes basta encaminhar 
a tabela do Excel para o Stata, mas como em muitos exemplos e exercícios as tabelas 
precisaram ser “arrumadas”, achei por bem expor passo a passo o caminho para sanar tal 
inconveniente). 
 2) Para trocar vírgula por ponto no Excel, Office 2007, clique no Botão Office 
(canto superior esquerdo), Opções do Excel, Avançado: 
Separador decimal: Digite o símbolo de ponto (.). 
Separador de milhar: Digite o símbolo da vírgula (,). 
3) Para entrar com os dados no Stata: 
Selecione a tabela do Excel (nome da coluna e parte numérica), clique com o botão 
direito do mouse, clique em copiar (Ctrl C), abra o programa Stata e na janela command 
(na qual aparecerá automaticamente o cursor) digite edit. Na tela do editor cole a tabela 
do Excel (Ctrl V). Todas as variáveis devem aparecer na cor preta. Se alguma aparecer 
na cor vermelha, existe algum erro. Como exemplo segue abaixo a janela do data editor 
com uma tabela já pronta (inclusive com as colunas dos resíduos, resíduos ao quadrado, 
resíduos defasados e diferenciados). 
ano ipc ipp timevar yest res resdef resdif res2 
1960 29.8 31.7 1960 26.48346 3.316543 10.99946 
1961 30 31.6 1961 26.35646 3.643543 3.316543 .3270006 13.27541 
1962 30.4 31.6 1962 26.35646 4.043543 3.643543 .3999996 16.35024 
1963 30.9 31.6 1963 26.35646 4.543543 4.043543 .5 20.64378 
1964 31.2 31.7 1964 26.48346 4.716544 4.543543 .1730013 22.24579 
1965 31.8 32.8 1965 27.88045 3.919551 4.716544 -.796993 15.36288 
1966 32.9 33.3 1966 28.51545 4.384556 3.919551 .4650052 19.22433 
 6 
1967 33.9 33.7 1967 29.02345 4.876557 4.384556 .4920006 23.78081 
1968 35.5 34.6 1968 30.16644 5.333564 4.876557 .4570069 28.4469 
1969 37.7 36.3 1969 32.32543 5.374574 5.333564 .0410099 28.88604 
1970 39.8 37.1 1970 33.34142 6.458578 5.374574 1.084004 41.71323 
1971 41.1 38.6 1971 35.24641 5.853586 6.458578 -.6049919 34.26447 
1972 42.5 41.1 1972 38.4214 4.078602 5.853586 -1.774983 16.635 
1973 46.2 47.4 1973 46.42236 -.2223633 4.078602 -4.300966 .0494454 
1974 51.9 57.3 1974 58.9953 -7.095301 -.2223633 -6.872937 50.34329 
1975 55.5 59.7 1975 62.04329 -6.54329 -7.095301 .552011 42.81464 
1976 58.2 62.5 1976 65.59927 -7.399271 -6.54329 -.8559818 54.74922 
1977 62.1 66.2 1977 70.29825 -8.198248 -7.399271 -.7989764 67.21127 
1978 67.7 72.7 1978 78.55321 -10.85321 -8.198248 -2.654963 117.7922 
1979 76.7 83.4 1979 92.14215 -15.44215 -10.85321 -4.588943238.4601 
1980 86.3 93.8 1980 105.3501 -19.05009 -15.44215 -3.607934 362.9058 
1981 94 98.8 1981 111.7001 -17.70006 -19.05009 1.350027 313.2921 
1982 97.6 100.5 1982 113.859 -16.25905 -17.70006 1.441013 264.3566 
1983 101.3 102.3 1983 116.145 -14.84504 -16.25905 1.414011 220.3751 
1984 105.3 103.5 1984 117.669 -12.36902 -14.84504 2.476011 152.9928 
1985 109.3 103.6 1985 117.796 -8.496022 -12.36902 3.873002 72.1824 
1986 110.5 99.7 1986 112.843 -2.343046 -8.496022 6.152976 5.489867 
1987 115.4 104.2 1987 118.558 -3.158018 -2.343046 -.8149717 9.973079 
1988 120.5 109 1988 124.654 -4.153995 -3.158018 -.9959769 17.25567 
1989 126.1 113 1989 129.734 -3.633973 -4.153995 .5200224 13.20576 
1990 133.8 118.7 1990 136.9729 -3.17293 -3.633973 .4610424 10.06749 
1991 137.9 115.9 1991 133.417 4.483038 -3.17293 7.655968 20.09763 
1992 141.9 117.6 1992 135.5759 6.324052 4.483038 1.841014 39.99363 
1993 145.8 118.6 1993 136.8459 8.954067 6.324052 2.630015 80.17532 
1994 149.7 121.9 1994 141.0369 8.663077 8.954067 -.2909899 75.04891 
1995 153.5 125.7 1995 145.8629 7.637108 8.663077 -1.025969 58.32542 
1996 158.6 128.8 1996 149.7999 8.800125 7.637108 1.163017 77.4422 
1997 161.3 126.7 1997 147.1329 14.16712 8.800125 5.366992 200.7072 
1998 163.9 122.7 1998 142.0529 21.84708 14.16712 7.679967 477.2951 
1999 168.3 128 1999 148.7839 19.51612 21.84708 -2.330963 380.879 
4) Para aumentar a memória do Stata: 
Na janela command do Stata digite, set mem 1m 
 5) Para mostrar estatísticas descritivas das variáveis (como média, desvio-padrão, 
valor mínimo e valor máximo): 
Na janela command do Stata digite summarize ou sum e digitar o nome da variável 
ou variáveis em questão. 
Obs: Para copiar os resultados do stata para o word selecione o que deseja copiar, 
clique com o botão direito do mouse, clique copi as text ou copi as picture, abra o word e 
cole. 
 7 
 
6) Para deletar dados: 
Na janela command do Stata digite edit, no data editor selecione a linha, coluna 
ou dado individual que pretende deletar, clique em delete e está pronto. Pode-se deletar 
dados digitando na janela command a palavra drop e o nome da variável que se pretende 
deletar. 
 7) Para fazer uma regressão pelo Stata é bastante simples: 
Na janela command do Stata digite reg ou regress e adicionar as variáveis. A 
variável dependente sempre é a primeira a ser colocada após o reg. 
 
8) Para obter os valores estimados de Y: 
Rode a regressão (conforme mostrado no item sete) e na janela command do Stata 
digite predict Yest (tal procedimento irá gerar no data editor os valores estimados da 
variável dependente). 
 
9) Para obter a matriz de variância e covariância (Matriz var-cov): 
Rode a regressão (conforme mostrado no item sete) e na janela command do Stata 
digite vce. 
 
10) Para criar a variável de tendência no Stata: 
Na janela command do Stata digite gen trend = _n (começa em 1) ou gen trend = 
_n-1 (começa em zero). 
 
 res2 40 92.88274 119.751 .0494454 477.2951
 resdif 39 .4153738 2.991246 -6.872937 7.679967
 resdef 39 -.5004134 9.353671 -19.05009 21.84708
 res 40 -3.05e-08 9.760346 -19.05009 21.84708
 
 yest 40 86.17 47.02296 26.35646 149.7999
 timevar 40 1979.5 11.69045 1960 1999
 ipp 40 78.6975 37.02613 31.6 128.8
 ipc 40 86.17 48.02523 29.8 168.3
 ano 40 1979.5 11.69045 1960 1999
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
. sum
 
 _cons -13.77536 3.710747 -3.71 0.001 -21.28737 -6.263341
 ipp 1.269994 .0427627 29.70 0.000 1.183425 1.356563
 
 ipc Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 89950.5042 39 2306.42318 Root MSE = 9.8879
 Adj R-squared = 0.9576
 Residual 3715.30949 38 97.7713024 R-squared = 0.9587
 Model 86235.1947 1 86235.1947 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 38) = 882.01
 Source SS df MS Number of obs = 40
. reg ipc ipp
. predict yest
 _cons -.14391006 13.769644 
 ipp .00182865 
 
 e(V) ipp _cons 
Covariance matrix of coefficients of regress model
. vce
. gen trend = _n
 8 
11) Para informar ao Stata que é uma série temporal: 
 11.1) ANUAL 
Na janela command do Stata digite: 
gen timevar = y(1959)+_n-1 
format timevar %ty 
tsset timevar 
 
11.2) TRIMESTRAL 
gen timevar = q(1973q2) +_n-1 
format timevar %tq 
tsset timevar 
11.3) MENSAL 
gen timevar = m(2005m7)+_n-1 
format timevar %tm 
tsset timevar 
11.4) SEMANAL 
gen timevar = w(1981w1)+_n-1 
format timevar %tw 
tsset timevar 
11.5) CAMINHO ALTERNATIVO PARA CRIAR A VARIÁVEL DE TEMPO: 
No Stata clique em statistics, time series, setup and utilities, declare data-set to be 
time-series data, na janela time variables clique a opção conforme seus dados disponíveis 
(hora, dia, semana, mês, trimestre, ano). 
12) Para obter os resíduos da regressão estimada: 
Rode a regressão (conforme mostrado no item sete) e na janela command do Stata 
digite predict res, residual (tal procedimento irá gerar no data editor os valores dos 
resíduos da regressão estimada). Observação: O nome não necessariamente precisa ser 
res, pode ser resid, resíduo ou o nome que se quiser dar aos resíduos da regressão. 
 
13) Para elevar uma variável ao quadrado: 
Na janela command do Stata digite gen, o nome da variável seguido da 
identificação do quadrado (pode ser o número 2 ou a palavra quad), o sinal de igual, o 
nome da variável original, o símbolo do sinal de acento circunflexo (^) e o número 2. 
. tsset timevar
. format timevar %ty
. gen timevar=y(1960)+_n-1
. predict res,residual
 9 
 
14) Para criar uma variável defasada: 
Na janela command do Stata digite gen, o nome da variável seguido da 
identificação de defasagem (geralmente uso a palavra def), o sinal igual, a palavra l1 junto 
com o sinal de ponto, dê espaço e digite a variável original. 
 
15) Para criar uma variável diferenciada: 
Na janela command do Stata digite gen, o nome da variável seguido da 
identificação de diferenciação (geralmente uso a palavra dif), o sinal igual, a palavra d1 
junto com o sinal de ponto, dê espaço e digite a variável original. 
 
Obs: Tanto para criar uma variável defasada quanto uma diferenciada é preciso 
ANTES, definir uma variável de tempo no software Stata. 
16) Para realizar o teste Jarque Bera (analise de distribuição normal dos resíduos): 
O teste de Jarque Bera deve ser instalado no Stata (para isto, é necessário estar 
conectado à internet – depois de instalado o teste nas próximas vezes em que for usá-lo 
não é necessário estar on-line) de acordo com o seguinte os seguintes comandos: 
Na janela command do Stata digite: 
ssc des jb 
ssc install jb 
Rode a regressão e obtenha os resíduos. Na seqüência digite na janela command: 
jb nome da variável de resíduo. 
 
17) Para realizar o teste do histograma de normalidade dos resíduos: 
Rode a regressão e obtenha os resíduos. Na seqüência digite na janela command 
a palavra histogram e o nome da variável de resíduos. 
 
18) Pararealizar o teste Durbin-Watson para analisar a correlação residual: 
 Rode a regressão e obtenha os resíduos. Na seqüência digite na janela command 
dwstat (observação para obter tal estatística é necessário antes criar a variável de tempo). 
 
 
19) Para criar gráficos pelo Stata: 
19.1) Gráficos em forma de pontos: 
. gen res2=res^2
. gen resdef=l1.res
. gen resdif=d1.res
. jb res
. histogram res
. dwstat
 10 
Na janela command do Stata digite twoway (scatter o nome da variável que será 
representada no eixo vertical espaço e o nome da variável que será representada no eixo 
horizontal). 
 
 
19.2) Gráfico em forma de linha: 
Na janela command do Stata digite twoway (line o nome da variável que será 
representada no eixo vertical espaço e o nome da variável que será representada no eixo 
horizontal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. twoway (scatter ipc ano)
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
IP
C
1960 1970 1980 1990 2000
ANO
. twoway (line ipc ano)
 11 
 
20) Para obter o coeficiente de correlação entre duas ou mais variáveis: 
Na janela command do Stata digite corr espaço e o nome das diferentes variáveis. 
 
21) Para obter a FIV (Fator de Inflação de Variância) pelo Stata: 
Na janela command do Stata, após rodar a regressão, digite vif (se não existir 
colinearidade entre as variáveis explicativas, a FIV será igual à 1, O inverso da FIV será 
a Tolerância - TOL). 
 
 
 
 
 
 
22) Para criar uma linha de regressão junto aos pontos de Y estimados no stata 
basta digitar o seguinte comando: 
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
IP
C
1960 1970 1980 1990 2000
ANO
 ipp 0.9791 1.0000
 ipc 1.0000
 
 ipc ipp
(obs=40)
. corr ipc ipp
 Mean VIF 1.00
 
 ipp 1.00 1.000000
 
 Variable VIF 1/VIF 
. vif
 12 
. graph twoway lfit y x ||scatter y x 
 
Para comparação, veja os mesmos dados pela tabela Excel: 
 
 
 
 
ECONOMETRIA BÁSICA (GUJARAT): 
0,5091
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
1
4
0
1
6
0
100 150 200 250
X
Fitted values Y
24,45
RELAÇÃO DESPESAS FAMILIARES X RENDA FAMILIAR
y = 0,5091x + 24,455
R
2
 = 0,9621
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 100 200 300
X (RENDA FAMILIAR SEMANAL)
Y
 (
D
E
S
P
E
S
A
S
 F
A
M
IL
IA
R
E
S
 C
O
N
S
U
M
O
 
S
E
M
A
N
A
L
)
 13 
INTRODUÇÃO: 
1) O que é econometria? 
Ciência social com base nas ferramentas das teorias econômicas, matemática e 
inferência estatística com o objetivo de analisar de forma quantitativa fenômenos 
econômicos. 
2) Qual o caminho a seguir na metodologia econométrica tradicional? 
a) formulação da teoria ou hipótese; 
b) especificação do modelo matemático da teoria; 
c) especificação do modelo econométrico da teoria; 
d) obter os dados; 
e) estimar os parâmetros do modelo econométrico (os diferentes 
s
). 
f) teste de hipóteses; 
g) previsão; 
h) uso do modelo para fins de controle ou política; 
3) Qual a especificação matemática do modelo de consumo keynesiano? 
Y = 
1
+ 
2
X sendo 0 < 
2
<1 
Onde: 
 Y = despesa com consumo; X = renda; 

1
= intercepto (consumo autônomo); B2 = declividade (PMgC). 
 
 
 
4) Por que o modelo puramente matemático da função consumo não tem muito 
interesse para o econometrista? 
 14 
Porque supõe uma relação exata ou determinista entre consumo e renda (todos os 
pontos que representam as diferentes famílias em estudo estão situados exatamente sobre 
a reta de regressão, o que não ocorre na realidade, já que além da renda existem diversas 
variáveis que afetam o consumo e influenciam de maneiras diferentes o consumo das 
diferentes famílias da população em estudo). 
5) Para admitir relações inexatas entre as variáveis que função consumo o 
econometrista deve usar? 
Y = 
1
+ 
2
X + u sendo u = termo de erro (variável aleatória – estocástica). 
6) qual o significado do termo de erro? 
Representa todas as variáveis que afetam o consumo, mas que não entram de 
forma explicita no modelo. 
7) O que nos diz a equação Y = 
1
+ 
2
X + u ? 
Que a variável dependente Y (consumo) tem uma relação linear com a variável 
explicativa X (renda), mas que tal relação não é exata (está sujeita as variações individuais 
– pontos fora da reta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de um modelo econométrico: 
 Tabela 3.2 - Dados hipotéticos de despesas familiares de consumo semanal 
 e renda familiar semanal 
 15 
 
 Y = despesas familiares de consumo semanal, $ 
 X = renda familiar semanal, $ 
 Resíduo 
 Y X yi = Yi - Ymédio xi = Xi - Xmédio xi² yi² xi*yi Yestimado ui = Y - Yestimado 
 70 80 -41 -90 8100 1681 3690 65,18181818 4,818181818 
 65 100 -46 -70 4900 2116 3220 75,36363636 -10,36363636 
 90 120 -21 -50 2500 441 1050 85,54545455 4,454545455 
 95 140 -16 -30 900 256 480 95,72727273 -0,727272727 
 110 160 -1 -10 100 1 10 105,9090909 4,090909091 
 115 180 4 10 100 16 40 116,0909091 -1,090909091 
 120 200 9 30 900 81 270 126,2727273 -6,272727273 
 140 220 29 50 2500 841 1450 136,4545455 3,545454545 
 155 240 44 70 4900 1936 3080 146,6363636 8,363636364 
 150 260 39 90 8100 1521 3510 156,8181818 -6,818181818 
 
soma 1110 1700 0 0 33000 8890 16800 
média 111 170 
 
O modelo de regressão é Y = β1 + β2*X + ui 
Onde: 
β1 = 24,454545 
β2 = 0,5090909 
 
 
 
 
 
8) Analise a questão da estimação dos parâmetros (
s
)? 
RELAÇÃO DESPESAS FAMILIARES X RENDA FAMILIAR
y = 0,5091x + 24,455
R
2
 = 0,9621
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 100 200 300
X (RENDA FAMILIAR SEMANAL)
Y
 (
D
E
S
P
E
S
A
S
 F
A
M
IL
IA
R
E
S
 C
O
N
S
U
M
O
 
S
E
M
A
N
A
L
)
 16 
O modelo de regressão é 
^
Y = 24,455 + 0,5091 X (onde o acento circunflexo 
significa que é uma estimativa, ou seja, o valor é estimado). A interpretação da equação 
é a seguinte: 
No período analisado a PMgC foi de aproximadamente 0,51(corroborando a teoria 
de Keynes que dizia que quando a renda aumenta, o consumo aumenta, porém em uma 
proporção menor do que o aumento da renda), sugerindo que um aumento em digamos 1 
Real na renda provocará um aumento, em média, de cerca de 51 centavos de Real no 
consumo (fala-se em média porque a relação entre consumo e renda é inexata- veja os 
pontos fora da linha de regressão). 
Já o consumo autônomo foi de cerca de 24,45 unidades monetárias. Ou seja, 
mesmo não tendo renda as pessoas precisam consumir o mínimo para sua sobrevivência 
– despoupando ou buscando empréstimos. 
9) O que significa inferência estatística ou teste de hipóteses? 
È um ramo da teoria estatística que com base na evidência da amostra confirma 
ou não uma teoria econômica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
PARTE 1: MODELOS DE EQUAÇÃO 
ÚNICA: 
CAPÍTULO 1: A NATUREZA DA ANÁLISE 
DE REGRESSÃO 
1) Qual é o conceito de análise de regressão? 
É o estudo da dependência de uma variável (y) em relação a uma ou mais variáveis 
explicativas (x) com o objetivo de estimar e/ou prever o valor médio da variável 
dependente em termos dos valores conhecidos ou fixos (em amostragem repetida) das 
variáveis explicativas. 
2) o que significa variáveis aleatórias ou estocásticas? Dê exemplo: 
Estocástica vem do grego stoklos (alvo), o resultado do lançamento de dardos 
contra um alvo é um processo estocástico (repleto de erros). Por exemplo, a dependência 
do rendimento da colheita em relação à temperatura, chuva e fertilizantes é de natureza 
estatística, já que variáveis explicativas embora importantes não permitirão ao agrônomo 
prever de forma exata o rendimento da colheita por causa dos erros envolvidos na 
medição dessas variáveis, assim como de muitas outras variáveis, que em conjunto afetam 
o rendimento, mas que muitas vezes são difíceis de identificarde forma individual (fazem 
parte do termo de erro aleatório). 
3) Analise a questão da regressão versus causação: 
Embora a análise de regressão lide com a dependência de uma variável em relação 
a outras, isso não implica necessariamente causação. Para atribuir causalidade, deve-se 
recorrer a considerações apriorísticas ou teóricas. 
4) O que significa variável aleatória ou estocástica? 
È aquela que pode assumir qualquer conjunto de valores, positivos ou negativos, 
com uma dada probabilidade. 
 
 
 
 
 18 
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1: 
1.1) A tabela a seguir mostra as taxas de inflação de 7 países: 
Tabela 1.2 
IPC em sete países industrializados. 1973-1997. (1982-1984=100) 
 
ANO CANADÁ FRANÇA ALEMANHA ITÁLIA JAPÃO R.UNIDO EUA 
1973 40.8 34.6 62.8 20.6 47.9 27.9 44.4 
1974 45.2 39.3 67.1 24.6 59 32.3 49.3 
1975 50.1 43.9 71.1 28.8 65.9 40.2 53.8 
1976 53.9 48.1 74.2 33.6 72.2 46.8 56.9 
1977 58.1 52.7 76.9 40.1 78.1 54.2 60.6 
1978 63.3 57.5 79 45.1 81.4 58.7 65.2 
1979 69.2 63.6 82.2 52.1 84.4 66.6 72.6 
1980 76.1 72.3 86.7 63.2 90.9 78.5 82.4 
1981 85.6 81.9 92.2 75.4 95.3 87.9 90.9 
1982 94.9 91.7 97.1 87.7 98.1 95.4 96.5 
1983 100.4 100.4 100.3 100.8 99.8 99.8 99.6 
1984 104.7 108.1 102.7 111.5 102.1 104.8 103.9 
1985 109 114.4 104.8 121.1 104.1 111.1 107.6 
1986 113.5 117.3 104.7 128.5 104.8 114.9 109.6 
1987 118.4 121.1 104.9 134.4 104.8 119.7 113.6 
1988 123.2 124.4 106.3 141.1 105.6 125.6 118.3 
1989 129.3 128.7 109.2 150.4 108.1 135.3 124.0 
1990 135.5 133 112.2 159.6 111.4 148.2 130.7 
1991 143.1 137.2 116.3 169.8 115 156.9 136.2 
1992 145.3 140.5 122.1 178.8 116.9 162.7 140.3 
1993 147.9 143.5 127.6 186.4 118.4 165.3 144.5 
1994 148.2 145.8 131.1 193.7 119.3 169.4 148.2 
1995 151.4 148.4 133.5 204.1 119.1 175.1 152.4 
1996 153.8 151.4 135.5 212 119.3 179.4 156.9 
1997 156.3 153.2 137.8 215.7 121.3 185 160.5 
A) Trace um gráfico da taxa de inflação de cada país em relação ao tempo. 
. tsset ano, yearly 
 time variable: ano, 1973 to 1997 
 delta: 1 year 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
. twoway (line canad ano) 
 
. twoway (line frana ano) 
 
 
 
 
 
5
0
1
0
0
1
5
0
C
A
N
A
D
Á
1970 1980 1990 2000
ANO
0
5
0
1
0
0
1
5
0
F
R
A
N
Ç
A
1970 1980 1990 2000
ANO
 20 
 . twoway (line alemanha ano) 
 
 
. twoway (line itlia ano) 
 
 
 
 
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
1
4
0
A
L
E
M
A
N
H
A
1970 1980 1990 2000
ANO
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
IT
Á
L
IA
1970 1980 1990 2000
ANO
 21 
. twoway (line runido ano) 
 
 
. twoway (line eua ano) 
 
 
 
 
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
R
.U
N
ID
O
1970 1980 1990 2000
ANO
5
0
1
0
0
1
5
0
E
U
A
1970 1980 1990 2000
ANO
 22 
B) Que conclusões gerais você pode tirar a respeito da evolução inflacionária 
nesses países? 
Pelos gráficos pode-se ver que, com o passar dos anos, houve, em geral, aumento 
significativo no IPC, refletindo-se no aumento das taxas de inflação. 
C) Em qual país as taxas de inflação parecem variar mais? E menos? 
Pode-se usar o desvio padrão como medida de flutuação das taxas de inflação (no 
stata clica-se em statistics, summarize, summary statistics, seleciona a variável e ok). 
Segue abaixo os resultados: 
. summarize canad 
 
 
 
 
. summarize frana 
 
 
. summarize alemanha 
 
 
. summarize itlia 
 
 
. summarize japo 
 
 
. summarize runido 
 
 
. summarize eua 
 
 
Encontramos a maior flutuação nas taxas da Itália (desvio padrão de 64,92) e a 
menor flutuação nas taxas do Japão (20,500) seguido pelas da Alemanha (22,44). 
 
 
 canad 25 104.688 38.69952 40.8 156.3
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 frana 25 102.12 40.09199 34.6 153.2
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 alemanha 25 101.532 22.44448 62.8 137.8
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 itlia 25 115.164 64.92786 20.6 215.7
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 japo 25 97.728 20.50038 47.9 121.3
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 runido 25 109.668 49.91649 27.9 185
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 eua 25 104.756 36.56767 44.4 160.5
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 23 
1.2) Utilize os dados do exercício anterior: 
A) faça um gráfico representando as taxas de inflação no Reino Unido, Japão, 
Alemanha, França e Itália em relação a taxa de inflação nos EUA: 
. twoway (scatter canad frana alemanha itlia japo runido eua) 
 
O gráfico mostra que existe correlação positiva entre as taxas de inflação dos seis 
países e a dos EUA. 
C) Existe uma relação causal entre a taxa de inflação dos EUA e as dos outros 
países? 
Sabemos que correlação não implica necessariamente causalidade (no sentido 
exato do termo). Talvez seja bom consultar um livro de Macroeconomia ou de Economia 
Internacional para saber se existe relação causal entre a taxa de inflação dos EUA e as 
dos outros países. 
1.3) Utilizando os dados de a tabela a seguir: 
Tabela 1.1 
Produção de ovos nos Estados Unidos 
ESTADO = Estado 
Y1 = milhões de ovos produzidos em 1990 
Y2 = milhões de ovos produzidos em 1991 
X1 = preço dos ovos em 1990 (centavos de dólar por dúzia) 
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
50 100 150
EUA
CANADÁ FRANÇA
ALEMANHA ITÁLIA
JAPÃO R.UNIDO
 24 
X2 = preço dos ovos em 1991 (centavos de dólar por dúzia) 
ESTADO Y1 Y2 X1 X2 
AL 2206.0 2186.0 92.7 91.4 
AK 0.7 0.7 151.0 149.0 
AZ 73.0 74.0 61.0 56.0 
AR 3620.0 3737.0 86.3 91.8 
CA 7472.0 7444.0 63.4 58.4 
CO 788.0 873.0 77.8 73.0 
CT 1029.0 948.0 106.0 104.0 
DE 168.0 164.0 117.0 113.0 
FL 2568.0 2537.0 62.0 57.2 
GA 4302.0 4301.0 80.6 80.8 
HI 227.5 224.5 85.0 85.5 
ID 187.0 203.0 79.1 72.9 
IL 793.0 809.0 65.0 70.5 
IN 5445.0 5290.0 62.7 60.1 
IA 2151.0 2247.0 56.5 53.0 
KS 404.0 389.0 54.5 47.8 
KY 412.0 483.0 67.7 73.5 
LA 273.0 254.0 115.0 115.0 
ME 1069.0 1070.0 101.0 97.0 
MD 885.0 898.0 76.6 75.4 
MA 235.0 237.0 105.0 102.0 
MI 1406.0 1396.0 58.0 53.8 
MN 2499.0 2697.0 57.7 54.0 
MS 1434.0 1468.0 87.8 86.7 
MO 1580.0 1622.0 55.4 51.5 
MT 172.0 164.0 68.0 66.0 
NE 1202.0 1400.0 50.3 48.9 
NV 2.2 1.8 53.9 52.7 
NH 43.0 49.0 109.0 104.0 
NJ 442.0 491.0 85.0 83.0 
NM 283.0 302.0 74.0 70.0 
NY 975.0 987.0 68.1 64.0 
NC 3033.0 3045.0 82.8 78.7 
ND 51.0 45.0 55.2 48.0 
OH 4667.0 4637.0 59.1 54.7 
OK 869.0 830.0 101.0 100.0 
OR 652.0 686.0 77.0 74.6 
PA 4976.0 5130.0 61.0 52.0 
RI 53.0 50.0 102.0 99.0 
SC 1422.0 1420.0 70.1 65.9 
SD 435.0 602.0 48.0 45.8 
TN 277.0 279.0 71.0 80.7 
TX 3317.0 3356.0 76.7 72.6 
UT 456.0 486.0 64.0 59.0 
VT 31.0 30.0 106.0 102.0 
VA 934.0 988.0 86.3 81.2 
WA 1287.0 1313.0 74.1 71.5 
WV 136.0 174.0 104.0 109.0 
WI 910.0 873.0 60.1 54.0 
WY 1.7 1.7 83.0 83.0 
 25 
A) Represente graficamente a quantidade de ovos no eixo vertical e o preço da 
dúzia no eixo horizontal para cada ano separadamente: 
Ano de 1990: 
. twoway (scatter y1 x1) 
 
 
Para o primeiro ano, embora pareça mostrar um padrão de crescimento, não dá 
para ter certeza. 
. twoway (scatter y2 x2) 
0
2
0
0
0
4
00
0
6
0
0
0
8
0
0
0
Y
1
50 100 150
X1
 26 
 
Para o segundo ano, embora pareça mostrar um padrão de crescimento, não dá 
para ter certeza. 
B) Encontre as equações das retas de regressão dos 2 anos: 
PARA O PRIMEIRO ANO: 
. reg y1 x1 
 
Y = 3118,484 – 22,49843X (temos uma equação de demanda e não de oferta). 
PARA O SEGUNDO ANO: 
. reg y2 x2 
 
Não mudou a análise. Assim, para os dois anos temos uma equação de demanda 
(relação inversa entre preço e quantidade). 
0
2
0
0
0
4
0
0
0
6
0
0
0
8
0
0
0
Y
2
50 100 150
X2
 
 _cons 3118.484 873.0751 3.57 0.001 1363.049 4873.919
 x1 -22.49843 10.76749 -2.09 0.042 -44.14793 -.8489352
 
 y1 Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 135190199 49 2758983.65 Root MSE = 1606.7
 Adj R-squared = 0.0643
 Residual 123918957 48 2581644.93 R-squared = 0.0834
 Model 11271242 1 11271242 Prob > F = 0.0420
 F( 1, 48) = 4.37
 Source SS df MS Number of obs = 50
 
 _cons 3149.356 810.9056 3.88 0.000 1518.921 4779.791
 x2 -23.34856 10.26652 -2.27 0.027 -43.99078 -2.706329
 
 y2 Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 135104793 49 2757240.67 Root MSE = 1594
 Adj R-squared = 0.0785
 Residual 121962847 48 2540892.65 R-squared = 0.0973
 Model 13141945.4 1 13141945.4 Prob > F = 0.0275
 F( 1, 48) = 5.17
 Source SS df MS Number of obs = 50
 27 
CAPÍTULO 2: 
ANÁLISE DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: 
ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS 
 
1) A análise de regressão se preocupa com o que? 
Em estimar e/ou prever o valor médio das variáveis dependentes a partir dos 
valores conhecidos ou fixados de uma ou mais variáveis explicativas. 
2) No livro Econometria Básica de Gujarat, o que significa o termo regressão 
linear? 
Regressão linear nos parâmetros (
s
são elevados somente à primeira potência), 
já as variáveis explicativas ( X s ) podem ou não ser lineares. 
3) O que significa a equação Y i =  X iY /( ) + ui ? 
Sendo: Y = consumo; X = renda; 
Que a despesa de uma família individual, dado seu nível de renda é igual a soma 
do consumo médio de todas as famílias com o mesmo nível de renda com um substituto 
de todas as variáveis omitidas que podem afetar Y mas não estão incluídas no modelo de 
regressão. 
4) Já que o termo de erro ui é um substituto de todas as variáveis omitidas do 
modelo, mas que de forma coletiva afetam a variável dependente, por que não fazer um 
modelo com o maior número possível de variáveis? 
Pelos seguintes motivos: 
a) IMPRECISÃO DA TEORIA: Podemos não ter dúvidas de que a renda semanal 
(X) influencie o consumo (Y), mas podemos não ter certeza sobre quais as outras 
variáveis que o afetam. Portanto, ui pode ser usado como substituto para tais variáveis. 
b) INDISPONIBILIDADE DE DADOS: Mesmo se soubermos quais são algumas 
das variáveis excluídas, podemos não ter informações quantitativas sobre elas (exemplo 
da riqueza). 
C) VARIÁVEIS ESSENCIAIS VERSUS VARIÁVEIS PERIFÉRICAS: 
Podemos supor que além da renda (x1), também outras variáveis como o número 
de crianças na família (x2), sexo (x3) e religião (x4) afetem o consumo. Porém, é bem 
possível que a influência conjunta de todas essas variáveis seja tão pequena – que por 
 28 
questões de praticidade e custos não vale a pena introduzi-las de forma explicita no 
modelo. 
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2: 
2.1) O que nos informa a função Y i =  X iY /( )? 
A função nos informa como varia a resposta MÉDIA das subpopulações de Y com 
os valores dados das variáveis explicativas Xs. 
2.2) Por que é importante saber a diferença entre as funções de regressão amostral 
e populacional? 
Porque a regressão amostral é um estimador da regressão populacional, já que na 
maioria das vezes o que temos é uma amostra de observações da qual tentamos extrair 
informações sobre a população a que ela se refere. 
2.3) Um modelo de regressão é uma descrição fiel da realidade? 
NÃO. Existem diferenças entre o valor real do regressando e seus valores 
estimados. Tal diferença é simplesmente o termo de erro. 
2.4) Por que precisamos da análise de regressão? Por que não usar simplesmente 
o valor médio do regressando como sendo o melhor valor? 
 Embora seja certo que podemos usar o valor médio, o desvio-padrão e outras 
medidas sumárias para descrever o comportamento do regressando, estamos, em geral, 
interessados em saber se há alguma força causal que o afeta. Se existir, poderemos fazer 
um melhor prognóstico de seu valor médio com a análise de regressão. 
2.5) O que podemos entender por modelo de regressão linear? 
 É o tipo de modelo que é linear nos parâmetros (betas), mas que pode ou não 
ser linear nas variáveis. 
2.6) Determine se os seguintes modelos são lineares nos parâmetros, nas variáveis 
ou em ambos. Quais deles são lineares? 
a) Y i =  1 -  2 ( X i
1
) + ui modelo recíproco. 
b) Y i =  1 + 2 X iln +ui modelo semilogaritmo 
C) ln Y i =  1 + 2 X i +ui modelo semilogarítmico inverso 
d) lnY i = ln 1 + 2 ln X i +ui modelo duplo logaritmo 
 29 
e) lnY i =  1 - )
1
(
2 X i
 +ui logarítmico recíproco 
Os três primeiros modelos são lineares nos parâmetros. O da letra d também será 
linear se fizermos  = ln
1
 e o da letra e é linear nos parâmetros. 
2.7) Os modelos a seguir são de regressão linear? 
a) Y i = e
uiXi++ 21 
 
Aplicando o logaritmo natural, obtemos lnY i =  1 + 2 X i +ui que é um 
modelo de regressão linear. 
b) Y i = 
e
iuX ii+++

211
1 
Transformamos o modelo em: 
Y i *( e
iuX ii+++

21
1
1 ) = 1 
Y i + Y i e
iuX ii++ 211 = 1 
Y i e
iuX ii++ 211 = 1- Y i 
e
iuX ii++ 211 = (1- Y i )/Y i 
lne
iuX ii++ 211 = ln(1- Y i )/Y i 
ln(1- Y i )/Y i =  1 +  2 X i + ui que é um modelo de regressão linear. 
c) lnY i =  1 +  2 (1/ X i ) + ui 
É um modelo de regressão linear. 
d) Y i =  1 + (0,75 -  1 )*e
uiXi +−− )2(2
 
É um modelo de regressão não linear. 
e) Y i = uX ii ++
3
21
 
Não é um modelo de regressão linear, pois 
2
 está ao cubo. 
 
 
 
 
 30 
2.8) O que entendemos por um modelo de regressão intrinsecamente linear? Se 

2
 = 0,8 na letra d, o modelo se tornaria um modelo de regressão linear? 
É aquele que se pode fazer linear nos parâmetros (exemplo do modelo da questão 
2.7 a). Sim. Porque ficaríamos com e
uiXi +−− )2(8,0
que pode ser facilmente calculado. 
2.9) Considere os seguintes modelos não estocásticos. Eles são modelos lineares, 
isto é modelos lineares nos parâmetros? Se não forem, como convertê-los em modelos 
lineares? 
a) Y i = Xi21 
1
 +
 
Basta transformar o modelo para que vire linear. 
Y i *( 1 + 2 X i ) = 1 

1
+
2 X i = Y i
1 que é um modelo linear. 
b) Y i = 
1
X i + 
2 X i 
Basta transformar o modelo para que vire linear. 
Y i *( 1 + 2 X i ) = X i 
Y
X
i
i = 
1
+
2 X i que é um modelo linear. 
c) Y i = 
)exp(1
1
21 X i −−+1)exp(1(
21
=−−+ XY ii  
1)exp(
21
=−−+ XYY iii  
1- Y i = )exp( 21 XY ii  −− 
Y
Y
i
i
−1
 = )exp(
21 X i −− 
)
1
ln(
Y
Y
i
i
−
= X i 21−− 
 
2.13) 
 31 
Tabela I.1 (em bilhões de dólares em 1992) 
Y (Despesas de consumo pessoal) 
X (Produto Interno Bruto) 
ano Y X 
1982 3081.5 4620.3 
1983 3240.6 4803.7 
1984 3407.6 5140.1 
1985 3566.5 5323.5 
1986 3708.7 5487.7 
1987 3822.3 5649.5 
1988 3972.7 5865.2 
1989 4064.6 6062 
1990 4132.2 6136.3 
1991 4105.8 6079.4 
1992 4219.8 6244.4 
1993 4343.6 6389.6 
1994 4486 6610.7 
1995 4595.3 6742.1 
1996 4714.1 6928.4 
 
. reg y x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. graph twoway lfit y x || scatter y x 
 
 _cons -184.0779 46.26183 -3.98 0.002 -284.0205 -84.13525
 x .706408 .0078275 90.25 0.000 .6894978 .7233182
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 3356755.58 14 239768.256 Root MSE = 20.285
 Adj R-squared = 0.9983
 Residual 5349.35306 13 411.488697 R-squared = 0.9984
 Model 3351406.23 1 3351406.23 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 13) = 8144.59
 Source SS df MS Number of obs = 15
 32 
 
A linha de regressão apresentada acima é uma Função de Regressão populacional 
(FRP) ou uma Função de Regressão Amostral (FRA)? Por quê? Como você interpretaria 
os pontos situados em torno da linha de regressão? Além do PIB, que outros fatores ou 
variáveis poderiam determinar as despesas pessoais com consumo? 
É uma FRA porque se baseia numa amostra de 15 observações. Os pontos 
dispersos em torno da linha de regressão são dados reais. A diferença entre as despesas 
em consumo reais e as estimadas pela linha representam o termo de erro (amostral), ou 
seja, os resíduos. Além do PIB, fatores como riqueza, taxa de juros, preferências, podem 
afetar as despesas com consumo. 
2.14) Conforme a tabela abaixo: 
Tabela 2.7: Participação da força de trabalho 
Taxa de participação da força de trabalho civil, homens, (TPFTCH, %) 
Taxa de participação da força de trabalho civil, mulheres (TPFTCM, %) 
Taxa de desemprego civil, homens (TDCH, %) 
Taxa de desemprego civil, mulheres (TDCM, %) 
Ganho horário médio (GHM82, dólares de 1982) 
Ganho horário médio (GHM, dólares correntes) 
ANO TPFTCH TPFTCM TDCH TDCM GHM82 GHM 
1980 77.4 51.5 6.9 7.4 7.78 6.66 
1981 77 52.1 7.4 7.9 7.69 7.25 
1982 76.6 52.6 9.9 9.4 7.68 7.68 
1983 76.4 52.9 9.9 9.2 7.79 8.02 
1984 76.4 53.6 7.4 7.6 7.8 8.32 
3
0
0
0
3
5
0
0
4
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
4500 5000 5500 6000 6500 7000
X
Fitted values Y
 33 
1985 76.3 54.5 7 7.4 7.77 8.57 
1986 76.3 55.3 6.9 7.1 7.81 8.76 
1987 76.2 56 6.2 6.2 7.73 8.98 
1988 76.2 56.6 5.5 5.6 7.69 9.28 
1989 76.4 57.4 5.2 5.4 7.64 9.66 
1990 76.4 57.5 5.7 5.5 7.52 10.01 
1991 75.8 57.4 7.2 6.4 7.45 10.32 
1992 75.8 57.8 7.9 7 7.41 10.57 
1993 75.4 57.9 7.2 6.6 7.39 10.83 
1994 75.1 58.8 6.2 6 7.4 11.12 
1995 75 58.9 5.6 5.6 7.4 11.44 
1996 74.9 59.3 5.4 5.4 7.43 11.82 
a) Faça um gráfico entre TPFTCH e TDCH e análise o resultado: 
. twoway (scatter tpftch tdch) 
 
A relação positiva entre as duas variáveis parece surpreendente porque, a priori, 
se esperaria que fossem negativamente relacionadas. Mas, a hipótese do efeito do 
trabalhador adicional da Economia do Trabalho sugere que quando o desemprego 
aumenta, a força de trabalho secundária (mulher e filhos) pode ingressar no mercado de 
trabalho para garantir a renda familiar. 
 
 
 
 
b) Faça um gráfico TPFTCM e TDCM e analise o resultado: 
7
5
7
5
.5
7
6
7
6
.5
7
7
7
7
.5
T
P
F
T
C
H
5 6 7 8 9 10
TDCH
 34 
.twoway (scatter tpftcm tdcm) 
 
Parece que aqui temos a chamada “hipótese do efeito desalento” da Economia do 
trabalho: o desemprego desestimula as mulheres a participarem da força de trabalho por 
não acreditarem que haja oportunidades de emprego. 
2.15) A tabela 2.8 abaixo apresenta dados sobre as despesas com alimentação e 
totais, em rúpias, para uma amostra de 55 domicílios rurais da Índia. 
a) Represente graficamente os dados colocando no eixo vertical as despesas com 
alimentação e no eixo horizontal as despesas totais. Trace uma linha de regressão. 
obs despalim desptot 
1 217 382 
2 196 388 
3 303 391 
4 270 415 
5 325 456 
6 260 460 
7 300 472 
8 325 478 
9 336 494 
10 345 516 
11 325 525 
12 362 554 
13 315 575 
14 355 579 
15 325 585 
16 370 586 
17 390 590 
5
2
5
4
5
6
5
8
6
0
T
P
F
T
C
M
5 6 7 8 9
TDCM
 35 
18 420 608 
19 410 610 
20 383 616 
21 315 618 
22 267 623 
23 420 627 
24 300 630 
25 410 635 
26 220 640 
27 403 648 
28 350 650 
29 390 655 
30 385 662 
31 470 663 
32 322 677 
33 540 680 
34 433 690 
35 295 695 
36 340 695 
37 500 695 
38 450 720 
39 415 721 
40 540 730 
41 360 731 
42 450 733 
43 395 745 
44 430 751 
45 332 752 
46 397 752 
47 446 769 
48 480 773 
49 352 773 
50 410 775 
51 380 785 
52 610 788 
53 530 790 
54 360 795 
55 305 801 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.Twoway (scatter despalim desptot) 
 36 
 
b) Que conclusões gerais tiraria desse exemplo? 
Na média, à medida que crescem as despesas totais, também crescem as despesas 
com alimentação. Mas, existe uma flutuação maior entre as duas variáveis depois que as 
despesas totais passam de 600 rúpias. 
c) Você esperaria, a priori, que as despesas com alimentação aumentassem com o 
aumento das despesas totais, independentemente do nível destas? Por quê? Utilize a 
despesa total como proxi para o nível de renda total? 
Não esperaríamos que as despesas com alimentação crescessem indefinidamente 
de forma linear (como uma linha reta). Satisfeitas as necessidades básicas dos indivíduos, 
eles gastarão (em termos percentuais) uma parte menor de sua renda com alimentação, 
conforme esta renda aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3: 
0,44
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
d
e
s
p
a
lim
400 500 600 700 800
desptot
94,21
 37 
MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS 
VARIÁVEIS: O PROBLEMA DA ESTIMATIVA 
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
ORDINÁRIOS 
1) Relembrando, qual a Função de Regressão Populacional (FRP)? 
Y i =  1 +  2 X i +ui 
2) Como a FRP não é diretamente observável, nós a estimamos através da Função 
de Regressão Amostral (FRA), que é? 
Y i = 
^
1
+ 
^
2 X i + ui
^
 
Ou seja, tal equação nada mais é que: 
Y i = Y i
^
 + ui
^
 
Se isolarmos os resíduos, ficamos com: 
ui
^
= Y i
^
- 
^
1
- 
^
2 X i 
O que mostra que os resíduos nada mais são do que a diferença entre os valores 
reais de Y e os seus valores estimados. 
FIGURA DO MÉTODO DOS MÍMIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS: 
 
 
 
 38 
3) Qual a formula dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e o que ela 
representa? 
ui
2^
=  Y i( - 
^
1
- 
^
2 X i )
2
 
Assim, ao elevar os resíduos ao quadrado, este método dá maior peso a resíduos 
como u1 e u4 do que a resíduos como u2 e u3. 
O princípio de MQO escolhe 
^
1
e 
^
2
de tal maneira que, para uma dada amostra 
de dados, ui
2
 é a menor possível. 
4) Dada à equação ui
2^
=  Y i( - 
^
1
- 
^
2 X i )
2
, encontre 
^
1
e 
^
2
: 
 ui
2^
/ 
^
1
= 2 − Y i( 
^
1
- 
^
2 X i )* (-1) = 
-2 − Y i( 
^
1
- 
^
2 X i ) = 0 EQUAÇÃO 1. 
 −−−=


)(*)(2
^
2
^
1^
2
2^
XXY
u
iii
i 

 = 0. 
 =−−− 0)(*)(2
^
2
^
1 XXY iii  EQUAÇÃO 2. 
VOU ISOLAR O 
^
1
 DA EQUAÇÃO 1: 
-2 − Y i( 
^
1
- 
^
2 X i ) = 0 
−Y i  −
^
1

^
2
X i = 0 
−Y i 
^
1
n -^
2
X i = 0 
−Y i 
^
2
X i = 
^
1
n 
n
XY ii −
=


^
2
^
1
 
 
 
 
 
 
 
 39 
USANDO A EQUAÇÃO 2: 
 =−−− 0)(*)(2
^
2
^
1 XXY iii  
VOU SUBSTITUIR 
^
1
 NA EQUAÇÃO 2: 
0)(*])([
^
2
^
2 =−
−
− 
 
XX
XY
Y ii
ii
i n


 
0}]
(
[{
2^
2
2^
2
)
=−
−
− 
 
X
XXY
XY i
iii
ii n


 
0
(
2^
2
2^
2
)
=−
+
− 
 
X
XXY
XY i
iii
ii n


 
n
n
nn
n XXXYXY iiiiii    −
+
−
2^
2
2^
2
)( 
=
n
0
 
    −+− XXXYXY iiiiii nn
2^
2
2^
2
)(  = 0 
]([
2^
2
2^
2
)    +−−− XXXYXY iiiiii nn  = 0 
]([
2^
2
2^
2
)    +−=− XXXYXY iiiiii nn  
 
  
−
−
=
)
22
^
2
( XX
XYXY
ii
iiii
n
n
 
PARA OS DADOS DO EXEMPLO CONSUMO-RENDA (Tabela 3.2): 
Sendo: n = 10;  XY ii = 205500; Y i = 1110; X i = 1700; 
X i
2
 = 322000; (  )
2
( X i = 2890000 
5091,0
)2890000()322000*10(
)1700*1110()205500*10(^
2
=
−
−
= 
SENDO 
n
XY ii −
=


^
2
^
1
 

 
  
−
−
−= X
XX
XYXY
Yn i
ii
iiii
i
n
n
*]
(
[
)
22
^
1
 
]
(
(
[
)
)
22
2
^
1

 
  
−
−
−=
XX
XYXXY
Yn
ii
iiiii
i
n
n
 
 40 
TIRO O M.M.C 
 
  
 
 
 
 −
−
−
−
−
−
=
− )
)
)
)
)
*)(
22
2
22
22
22
^
1
(
(
(
)(*(
(
22
XX
XYXXY
XX
YXX
XX
nXXn
ii
iiiii
ii
iii
ii
n
n
n
n
n
ii 
 
  =− )
2^
1
2^
1
2
( XXn ii n        +−− ))
222
(( XYXXYXYYX iiiiiiiii nn 
 − ]([ )
22^
1 XXn iin =    − XXYYX iiiii nn
2
 
 − ]([ )
22^
1 XXn iin = ][
2
   − XXYYX iiiiin 
 − ]([ )
22^
1 XX iin = ][
2
   − XXYYX iiiii 
 
   
−
−
=
)
22
2
^
1
( XX
XXYYX
ii
iiiii
n
 
 
 4545,24
1700()322000*10(
)1700*205500()1110*322000(
)
2
^
1
=
−
−
= 
 5) Dadas as chamadas EQUAÇÕES NORMAIS abaixo, encontre os 
estimadores: 
Y i = n 
^
1
+ 
^
2
X i (equação normal 1) 
Y i X i = 
^
1
X i + 
^
2
X i
2
 (equação normal 2) 
Resolvendo as duas ao mesmo tempo, obtemos: 

^
2
= (  XY iin -  XY ii )/( )
2
(X i + X in
2
) 

^
2
=  −
−
−
−
−
−
)(/))(
2
(
XXYYX
X
ii
i
 
Sendo 
−
X e 
−
Y as médias amostrais de X e Y e sendo xi = ( X i - 
−
X ) e y
i
= (Y i - 
−
Y ), ficamos com: 

^
2
=  xyx iii
2
/ onde: as letras minúsculas representam desvios dos 
valores médios. 
Já para 
^
1
=      −− )
222
(/ XXYXXYX iiiiiii n 
 41 

^
1
= 
−
Y - 
^
2
−
X 
6) Dada a seguinte formula, ui
2
=  Y i( - 
^
1
- 
^
2 X i )
2
encontre a 
equação da reta de regressão amostral pela forma de desvio: 
A derivada da equação acima é igualada a zero, já que a soma dos quadrados dos 
resíduos por convenção é igual a zero (como veremos adiante). 
-2 − Y i( 
^
1
- 
^
2 X i ) = 0 
Mas, como ui
^
= Y i
^
- 
^
1
- 
^
2 X i , a equação anterior se reduz a -2ui
2
= 0 
(passa o -2 para o outro lado da equação). 
Como resultado da propriedade operatória, a regressão da amostra Y i = 
^
1
+ 

^
2 X i + ui
^
 (equação 1) pode ser expressa de uma forma alternativa, na qual tanto Y 
como X são expressos como desvios de seus valores médios. Para ver isso use o 
somatório nos dois lados da equação 1. 
Y i = 
^
1
+ 
^
2
X i + ui sendo ui = 0, ficamos com: 
Y i =  1n + 
^
2
X i (equação 2). 
Dividimos a equação 2 por n : 
n
Y i = 
n
n
^
1 + 
n
X i
^
2 e obtemos: 
Y
−
= 
^
1
+ X
−

^
2
(equação 3). Subtraindo a equação 3 da equação 1 obtemos: 
Y i - Y
−
 = 
^
1
- 
^
1
+ 
^
2
( X i - X
−
) + ui . Assim, ficamos com: 
uxy iii += 
^
2
 que é a equação na forma de desvio. 
7) Com a equação em forma de desvio encontre 
^
2
: 
uxy iii += 
^
2
 
xyu iii 
^
2
−= 
  −= )
2^
2
2
( xyu iii  
 42 

^
2
2^

ui = 2 − )(
^
2 xy ii  = 0 
 − xy ii 
^
2
= 0 
xi
^
2
=  y
i
 
Multiplica os dois lados por xi 

^
2
xi
2
=  y
i xi 
 
Isolando o 
^
2
: 

^
2
= 


x
xy
i
ii
2
 
8) O que são propriedades numéricas dos estimadores obtidos pelo método de 
MQO? 
São as propriedades que se aplicam em conseqüência do uso dos MQO, 
independentemente de como os dados foram gerados. 
9) O que são propriedades estatísticas dos estimadores obtidos pelo método de 
MQO? 
São propriedades válidas apenas sob certas hipóteses sobre a forma como os dados 
foram gerados. 
10) Quais são as 5 propriedades numéricas dos estimadores obtidos por MQO? 
a) Os estimadores por MQO são expressos em termos das quantidades (ou seja, X 
e Y) observáveis (ou seja, por amostra). Por isso, podem ser calculados. 
b) Eles são estimadores de ponto, ou seja, dada uma amostra, cada estimador 
fornecerá um único valor (ponto) do parâmetro relevante da população. 
c) Depois de obter as estimativas de MQO a partir dos dados da amostra pode-se 
obter a reta de regressão da amostra, a qual tem as seguintes propriedades: 
c1) Ela passa pelas médias da amostra de Y e X; 
c2) O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y real. 
C3) O valor médio dos resíduos é zero; 
d) Os resíduos não têm correlação com o Y previsto (a prova está abaixo). 
 43 
 uy ii
^^
= 
^
2
xi ui
^
 
  uy ii
^^
=  − )(
^
2
^
2 xyx iii  
 uy ii
^^
=  − xyx iii
22
2
^
2
 
Sendo 
^
2
= 


x
yx
i
ii
2
 
 uy ii
^^
= 


x
yx
i
ii
2
*  yx ii - ( 

x
yx
i
ii
2 )
2
*xi
2
 
 
 uy ii
^^
= 


x
yx
i
ii
2
22
 - 

 
xx
xyx
ii
iii
22
22
*
*( )
 
  uy ii
^^
= 


x
yx
i
ii
2
2
)(
 - 


x
yx
i
ii
2
2
)(
= 0 
e) Os resíduos não têm correlação com X i ; Ou seja,  Xu ii
^
= 0. 
11) Cite 5 das 10 hipóteses do MRLC? 
a) O modelo de regressão deve ser linear nos parâmetros (
s
). 
b) O valor médio dos resíduos é zero (ui ) = 0. 
c) Homocedasticidade ou variância igual dos resíduos. 
d) Inexistência de autocorrelação dos resíduos. 
e) O número de observações deve ser maior que o número de parâmetros a serem 
estimados. 
12) Em estatística, o que mede o grau de precisão de uma estimativa? 
È o seu erro-padrão. 
13) Qual é a característica importante das variâncias (e dos erros-padrão) dos 
estimadores betas que precisa ser lavada em conta? 
 Quanto menor a variação nos valores X, menor a variância dos betas e maior a 
precisão com que os verdadeiros betas podem ser estimados, além disso, quanto maior o 
tamanho da amostra maior a precisão com que os verdadeiros betas podem ser estimados. 
14) quais são as 3 propriedades dos estimadores de mínimos quadrados – beta - 
(Teorema de Gauss-Markov)? 
 44 
a) É LINEAR. Ou seja, uma função linear de uma variável aleatória (Y) no modelo 
de regressão; 
b) É NÃO VIESADO. Ou seja, o valor médio (esperado) de um beta estimado é 
igual ao verdadeiro, porém desconhecido beta; 
c) É EFICIENTE. Ou seja, tem variância mínima; 
d) tal estimador é MELNV (melhor estimador linear não viesado). 
15) O que nos diz o coeficiente de determinação R
2
? 
Mede o grau de ajuste da reta de regressão aos dados. Se todas as observações se 
situassem na linha de regressão teríamos um ajuste perfeito (mas, isto é raro, visto que 
sempre existem resíduos positivos e negativos. O que esperamos é que estes resíduos 
junto à linha sejam tão pequenos quanto possível). Mede o percentual da variação em Y 
explicada pelo modelo de regressão, sendo um número positivo que varia de zero a um. 
16) Qual é a formula do R
2
? 
R
2
= 1- 


−
− )
2(
2
YY
u
i
i = 1- 
SQT
SQR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3: 
3.2) Determinação experimental da FRA: 
 45 
Y i X i Y i
^
1
 u i
^
1
 u i
2
1
 Y i
^
2
 u i
^
2
 u i
^
2
 
4 1 2,929 1,071 1,147 4 0 0 
5 4 7,000 -2,000 4,000 7 -2 4 
7 5 8,357 -1,357 1,841 8 -1 1 
12 6 9,714 2,286 5,226 9 3 9 
Soma = 
28 
16 0,0 12,214 0 14 
 
Mostre que as estimativas 
^
1
= 1,572 e 
^
2
= 1,357 sãode fato os estimadores de 
MQO: 
Y i X i y
i
 xi yx ii xi
2
 
 
4 1 -3 -3 9 9 
5 4 -2 0 0 0 
7 5 0 1 0 1 
12 6 5 2 10 4 
28 16 0 0 19 14 Soma 
7=
−
Y 4=
−
X 
Nota 
 
Logo, 
^
2
= 


x
yx
i
ii
2
 = 
14
19
 = 1,357; 
^
1
= Y
−
- 
^
2 X
−
= 1,572; 
3.15) Mostre que 
 

=
yy
yy
r
ii
ii
22
2^
2
)((
( )
 mede, de fato, o coeficiente de 
determinação. 
Dica: Aplique a definição de r dada em 
 

=
yy
yy
r
ii
ii
22
2^
2
)((
( )
 = 
   
  
−−
−
=
))
2222
([(.[
))((
YYXX
YXYX
iiii
iiii
nn
n
r e recorde que  yy
ii
^
 = (
yuy iii
^^^
)+ =  y
i
2^
, bem como r
2
 = 


y
x
i
i
2
22^
2

 . 
Sabendo que rr
2
= , podemos escrever que r
2
 pode ser calculado como o 
coeficiente de correlação entre Y i observado e o estimado (elevado ao quadrado). Assim, 
podemos partir do coeficiente de correlação amostral para: 
 46 
   
  
−−
−
=
))
2222
([(.[
))((
YYXX
YXYX
iiii
iiii
nn
n
r 
 

=
yy
yy
r
ii
ii
22
2^
2
)((
( )
 
A partir da relação de igualdade dada pelo exercício: 
 yy
ii
^
 = ( yuy iii
^^^
)+ =  y
i
2^
 
Combinando com a fórmula do coeficiente de determinação. Temos: 
yy
ii
^
 = )(
2^
 y
i
 
 

=
yy
yy
r
ii
ii
22
2^
2
)((
( )
 


=
y
y
r
i
i
2
2^
2
 = 
 y
i
2
2
2

 


=
y
y
r
i
i
2
2^
2
 = 


y
x
i
i
2
22
2

 
3.19) Relação entre a taxa de câmbio nominal e os preços relativos. A partir de 
observações anuais feitas de 1980 a 1994, foi elaborada a seguinte regressão: 
Y i
^
 = 6,682 – 4,318 X i 
Ep = (1,22) (1,33) r2 = 0,528 
Onde: Y = taxa de câmbio do marco alemão em relação ao US$ (US$ marco). 
X = quociente do IPC americano dividido pelo IPC alemão, isto é, X representa 
os preços relativos dos dois países. 
a) Interprete a regressão. Como interpretaria o r
2
? 
O valor de - 4,318 para o coeficiente angular indica que durante o período 
analisado a taxa de câmbio caiu cerca de 4,32 unidades de medida para cada unidade de 
aumento no preço relativo, EM MÉDIA. Ou seja, o US$ depreciou, porque com 1 US$ 
se passou a comprar MENOS marcos alemães. O valor de 6,682 para o intercepto 
significa que se a relação de preços relativos fosse fixada como zero, 1 US$ valeria 6,682 
 47 
marcos alemães. O r
2
 (coeficiente de determinação) mede o percentual da variação em 
Y explicada pelo modelo de regressão. Ou seja, o r
2
de 0,52 mostra que as variáveis do 
modelo explicam RAZOAVELMENTE a variação ocorrida na variável dependente. 
b) O valor negativo de Xi faz sentido econômico? Qual a teoria econômica que 
está por traz dele? 
SIM. Faz muito sentido econômico, por que se os preços nos EUA subirem mais 
rapidamente do que os da Alemanha, os consumidores americanos irão demandar mais 
produtos alemães, aumentando a demanda por marcos alemães (apreciando-o). A teoria 
por trás de tal análise é a da Paridade Poder de Compra (PPC), ou Lei do Preço Único. 
c) Imagine que se redefina X como a razão entre o IPC alemão e o IPC americano. 
Isso mudaria o sinal de X? Por quê? 
SIM. Esperamos que nesse caso, o coeficiente angular seja positivo, pois quanto 
maior for o IPC alemão em relação ao IPC americano, maior será a taxa de inflação 
relativa na Alemanha, o que leva à apreciação do US$. Temos, outra vez, por trás de tudo 
a PPC. 
20) A tabela 3.6 abaixo apresenta dados relativos a índices de produção por hora 
(Y) e remuneração real por hora (X) para os setores empresarial (SEMP) e empresarial 
não agrícola (SENA) da economia dos EUA no período de 1959 – 1997. O ano base dos 
índices é 1992 = 100 e os índices foram ajustados sazonalmente. 
Produtividade e dados relacionados. 
setor empresarial. 1959-1998. 
Y1 = produção horária. Setor empresarial 
Y2 = produção horária. Setor empresarial não agrícola 
X1 = remuneração horária. Setor empresarial 
X2 = remuneração horária. Setor empresarial não agrícola 
Y1 Y2 X1 X2 
50.5 54.2 13.1 13.7 
51.4 54.8 13.7 14.3 
53.2 56.6 14.2 14.8 
55.7 59.2 14.8 15.4 
57.9 61.2 15.4 15.9 
60.6 63.8 16.2 16.7 
62.7 65.8 16.8 17.2 
65.2 68 17.9 18.2 
66.6 69.2 18.9 19.3 
68.9 71.6 20.5 20.8 
69.2 71.7 21.9 22.2 
70.6 72.7 23.6 23.8 
73.6 75.7 25.1 25.4 
 48 
76 78.3 26.7 27 
78.4 80.7 29 29.2 
77.1 79.4 31.8 32.1 
79.8 81.6 35.1 35.3 
82.5 84.5 38.2 38.4 
84 85.8 41.2 41.5 
84.9 87 44.9 45.2 
84.5 86.3 49.2 49.5 
84.2 86 54.5 54.8 
85.8 87 59.6 60.2 
85.3 86.3 64.1 64.6 
88 89.9 66.8 67.3 
90.2 91.4 69.7 70.2 
91.7 92.3 73.1 73.4 
94.1 94.7 76.8 77.2 
94 94.5 79.8 80.1 
94.7 95.3 83.6 83.7 
95.5 95.8 85.9 86 
96.1 96.3 90.8 90.7 
96.7 97 95.1 95.1 
100 100 100 100 
100.1 100.1 102.5 102.2 
100.7 100.6 104.4 104.2 
101 101.2 106.8 106.7 
103.7 103.7 110.7 110.4 
105.4 105.1 114.9 114.5 
a) represente graficamente X contra Y para os dois setores da economia de forma 
separada. 
. edit 
(4 vars, 39 obs pasted into editor) 
. edit 
- preserve 
- rename x1 remsemp 
- rename x2 remsena 
- rename y1 prodsemp 
- rename y2 prodsena 
 
 
 
 
 
 
 
 
. twoway (scatter remsemp prodsemp) 
 49 
 
 
. twoway (scatter remsena prodsena) 
 
 
 
 
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
X
1
40 60 80 100 120
Y1
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
X
2
40 60 80 100
Y2
 50 
b) Qual a teoria econômica que embasa a relação entre as duas variáveis, nos dois 
setores? Os gráficos de dispersão feitos antes, confirmam tal teoria? 
Os dois gráficos mostraram que existe uma relação POSITIVA entre a 
remuneração e a produção, o que NÃO é de se espantar, considerando-se a TEORIA DA 
PRODUTIVIDADE MARGINAL DA ECONOMIA DO TRABALHO. 
c) Estime uma regressão de MQO de X contra Y e interprete o sinal do coeficiente 
angular? 
. reg remsemp prodsemp 
 
. reg remsena prodsena 
 
Como esperado, a relação entre produção e remuneração é POSITIVA nos dois 
setores em pauta. O que surpreende é o alto valor do coeficiente de determinação - r
2
 - 
(0,8669 e 0,8777). 
22) A tabela a seguir fornece dados sobre preços do ouro, o índice de preços ao 
consumidor (IPC) e o índice da Bolsa de Nova York (NYSE), para os EUA, no período 
1977-1991. 
Tabela 3.7 - Preço do ouro. IPC e Índice NYSE. Estados Unidos. 1977-1991 
 ANO = ano 
PREÇO = preço do ouro em Nova York. US$/onça troy 
IPC = Índice de Preço ao Consumidor. 1982-1984=100 
NYSE = Índice da Bolsa de Valores de Nova York 31 de dezembro. 1965=100 
ANO PREÇO IPC NYSE 
1977 147.98 60.6 53.69 
1978 193.44 65.2 53.70 
1979 307.62 72.6 58.32 
1980 612.51 82.4 68.10 
1981 459.61 90.9 74.02 
1982 376.01 96.5 68.93 
1983 423.83 99.6 92.63 
1984 360.29 103.9 92.46 
1985 317.30 107.6 108.90 
1986 367.87 109.6 136.00 
1987 446.50 113.6 161.70 
 
 _cons -109.3833 9.711983 -11.26 0.000 -129.0616 -89.70493
 prodsemp 2.003875 .1176518 17.03 0.000 1.76549 2.24226
 
 remsemp Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 43620.1483 38 1147.89864 Root MSE = 11.548
 Adj R-squared = 0.8838
 Residual 4934.13866 37 133.355099 R-squared = 0.8869
 Model 38686.0097 1 38686.0097 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 37) = 290.10
 Source SS df MS Number of obs = 39
 
 _cons -123.6 11.01983 -11.22 0.000 -145.9283 -101.2717
 prodsena 2.138592 .1312311 16.30 0.000 1.872693 2.404491remsena Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 43109.0508 38 1134.44871 Root MSE = 11.936
 Adj R-squared = 0.8744
 Residual 5271.58538 37 142.475281 R-squared = 0.8777
 Model 37837.4654 1 37837.4654 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 37) = 265.57
 Source SS df MS Number of obs = 39
 51 
1988 436.93 118.3 149.91 
1989 381.28 124.0 180.02 
1990 384.08 130.7 183.46 
1991 362.04 136.2 206.33 
a) Represente, em um único gráfico de dispersão, o preço do ouro, o IPC e o índice 
NYSE. 
. tsset ano, yearly 
 time variable: ano, 1977 to 1991 
 delta: 1 year 
. twoway (scatter prouro ipc nyse ano) 
 
 
Ao representarmos as variáveis em relação ao tempo, vemos que, em geral, 
apresentaram crescimento. O ouro apresentou considerável volatilidade de preço no 
período analisado. 
b) Supõe-se que um investimento esteja protegido contra a inflação se seu preço 
e/ou taxa de retorno pelo menos acompanhar a inflação. Para testar esta hipótese, suponha 
que você decida ajustar o modelo a seguir, admitindo que o gráfico em (a) sugere que isto 
seja apropriado: 
opreçodoour = uiIPC ++ 21 
índiceNYSE = uiIPC ++ 21 
Se a hipótese estiver correta, que valor você esperaria para 
2
? 
Um valor positivo ( 1
2
 ). 
0
2
0
0
4
0
0
6
0
0
1975 1980 1985 1990
ANO
PREÇO IPC
NYSE
 52 
c) Qual a melhor salvaguarda contra a inflação: ouro ou ações? 
. reg prouro ipc 
 
. reg nyse ipc 
 
 
Parece que o mercado de ações é melhor garantia contra a inflação do que o ouro 
(seus erros-padrão são menores do que a equação do ouro). Sem falar que o coeficiente 
angular da equação do ouro não é estatisticamente significativo. 
23) A tabela 3.8 a seguir fornece dados sobre o Produto Interno Bruto (PIB) dos EUA. 
PIB nominal e real. EUA. 1959-1997 
Ano PIB nominal PIB real 
1959 507.2000 2210.200 
1960 526.6000 2262.900 
1961 544.8000 2314.300 
1962 585.2000 2454.800 
1963 617.4000 2559.400 
1964 663.0000 2708.400 
1965 719.1000 2881.100 
1966 787.7000 3069.200 
1967 833.6000 3147.200 
1968 910.6000 3293.900 
1969 982.2000 3393.600 
1970 1035.600 3397.600 
1971 1125.400 3510.000 
1972 1237.300 3702.300 
1973 1382.600 3916.300 
1974 1496.900 3891.200 
1975 1630.600 3873.900 
1976 1819.000 4082.900 
1977 2026.900 4273.600 
1978 2291.400 4503.000 
1979 2557.500 4630.600 
1980 2784.200 4615.000 
1981 3115.900 4720.700 
1982 3242.100 4620.300 
1983 3514.500 4803.700 
 
 _cons 186.1833 125.4039 1.48 0.161 -84.7353 457.1019
 ipc 1.841993 1.21508 1.52 0.153 -.7830275 4.467013
 
 prouro Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 167679.604 14 11977.1146 Root MSE = 104.69
 Adj R-squared = 0.0849
 Residual 142490.692 13 10960.8225 R-squared = 0.1502
 Model 25188.9123 1 25188.9123 Prob > F = 0.1535
 F( 1, 13) = 2.30
 Source SS df MS Number of obs = 15
 
 _cons -102.0606 23.76678 -4.29 0.001 -153.4056 -50.71554
 ipc 2.129443 .2302843 9.25 0.000 1.631944 2.626941
 
 nyse Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 38782.0338 14 2770.14527 Root MSE = 19.842
 Adj R-squared = 0.8579
 Residual 5118.06058 13 393.696968 R-squared = 0.8680
 Model 33663.9732 1 33663.9732 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 13) = 85.51
 Source SS df MS Number of obs = 15
 53 
1984 3902.400 5140.100 
1985 4180.700 5323.500 
1986 4422.200 5487.700 
1987 4692.300 5649.500 
1988 5049.600 5865.200 
1989 5438.700 6062.000 
1990 5743.800 6136.300 
1991 5916.700 6079.400 
1992 6244.400 6244.400 
1993 6558.100 6389.600 
1994 6947.000 6610.700 
1995 7269.600 6761.700 
1996 7661.600 6994.800 
1997 8110.900 7269.800 
a) Represente graficamente os dados sobre o PIB tanto nominal quanto real em 
relação ao tempo: 
. tsset ano, yearly 
 time variable: ano, 1959 to 1997 
 delta: 1 year 
. twoway (scatter pibn pibr ano) 
 
 
 
 
 
 
0
2
0
0
0
4
0
0
0
6
0
0
0
8
0
0
0
1960 1970 1980 1990 2000
Ano
PIB nominal PIB real
 54 
b) Estime os modelos tanto do PIB nominal quanto do PIB real em relação ao 
tempo: 
. reg pibn ano 
 
 
. reg pibr ano 
 
 
c) Como você interpretaria 
2
? 
Informa a taxa de variação do PIB por intervalo de tempo. 
d) Se houver uma diferença entre o 
2
do PIB nominal e do real, o que explica 
esta diferença? 
A inflação ao longo do tempo. 
e) Pelos resultados obtidos, o que você pode dizer sobre a natureza da inflação nos 
EUA no período da amostra? 
Como indicam tanto o gráfico quanto as regressões o PIB nominal tem crescido 
mais rápido do que o real, sugerindo que a inflação tem crescido com o passar do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4: 
 
 _cons -396457.7 18331.39 -21.63 0.000 -433600.7 -359314.8
 ano 201.9772 9.267489 21.79 0.000 183.1995 220.7549
 
 pibn Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 217224623 38 5716437.45 Root MSE = 651.37
 Adj R-squared = 0.9258
 Residual 15698308.1 37 424278.598 R-squared = 0.9277
 Model 201526315 1 201526315 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 37) = 474.99
 Source SS df MS Number of obs = 39
 
 _cons -250247.4 3890.087 -64.33 0.000 -258129.4 -242365.3
 ano 128.782 1.966645 65.48 0.000 124.7972 132.7668
 
 pibr Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 82635821.1 38 2174626.87 Root MSE = 138.23
 Adj R-squared = 0.9912
 Residual 706937.099 37 19106.4081 R-squared = 0.9914
 Model 81928884 1 81928884 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 37) = 4288.03Source SS df MS Number of obs = 39
 55 
A HIPÓTESE DA NORMALIDADE 
 
1) Quais os pressupostos da regressão linear normal clássica? 
Que cada ui tem distribuição normal com média  = 0)(ui ; com variância 
 =
22
)(ui e com covariância  = 0),(:),cov( uuuu jiji . Tais pressupostos podem 
ser resumidos como: ui ~ N (0; 
2
). Ou seja, o resíduo tem distribuição normal com 
média zero e variância sigma dois. Assim, para duas variáveis distribuídas normalmente, 
correlação ou covariância zero significa independência das duas variáveis. 
2) Quais são as propriedades estatísticas dos estimadores de MQO, sob a hipótese 
da normalidade? 
a) São não viesados; 
b) Têm variância mínima, combinando com ser não viesados, isto significa que 
eles são não viesados com variância mínima. Ou seja, são estimadores eficientes; 
c) São consistentes, isto é, conforme o tamanho da amostra aumenta, os 
estimadores convergem para o seu verdadeiro valor na população; 
d) 
^
1
e 
^
2
 têm variância mínima em toda a classe de estimadores não viesados, 
sejam lineares ou não. Este resultado, ao contrário do teorema de Gauss-Markov, não se 
restringe à classe de estimadores lineares. Assim, podemos dizer que os estimadores por 
MQO são os melhores estimadores não viesados (MENV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5: 
 56 
REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: 
ESTIMATIVA DE INTERVALO E TESTE DE 
HIPÓTESE 
1) Em linhas gerais, o que está por trás da estimativa de intervalo? 
No exemplo do capítulo 3 (PMgC igual a 0,5091) obtivemos um estimador de 
ponto (uma única estimativa) que por causa das flutuações da amostra, provavelmente vai 
diferir do valor verdadeiro, apesar de se esperar que, em amostragem repetida, seu valor 
médio seja igual ao valor verdadeiro. Na estatística, como sabemos, a confiabilidade de 
um estimador de ponto é dada pelo seu erro padrão. Por isso, em vez de confiar apenas 
na estimativa de ponto, podemos construir um intervalo em torno do estimador de ponto 
– digamos de dois ou três erros-padrão em ambos os lados do estimador de ponto, de 
modo que este intervalo tenha, digamos, 95% de probabilidade de incluir o valor 
verdadeiro do parâmetro. 
2) O que significa a seguinte equação   −=+− 1)(
^
22
^
2
prob ? 
Esta equação é chamada de intervalo de confiança; −1 é o coeficiente de 
confiança e )10(  é o nível de significância (também conhecido como 
probabilidade de cometer um erro tipo 1 – rejeitar uma hipótese verdadeira, ao contrario 
do tipo 2 que é aceitar uma hipótese falsa). Assim, o estimador de intervalo fornece uma 
série de valores entre os quais pode estar o verdadeiro 
2
. 
3) O que nos diz a seguinte equação: 
  −=+− 1)](*)(*[
^
22/
^
22
^
22/
^
2
epepprob tt (equação 1)? 
O intervalo de confiança para beta 2, que pode ser resumido para: 
(equação 2). 
 
Os mesmos passos são usados para 
^
1
. 
Retornando ao nosso exemplo do capítulo 3 para consumo-renda, tínhamos um 

^
2
 = 0,5091 e um )(
^
2
ep = 0,0357 e graus de liberdade, GL = 8 (sendo gl = número de 
observações menos número de regressores) e admitindo  = 5% (ou seja, um coeficiente 
)(
^
22/
^
2
  ept
 57 
de confiança de 95%). Substituindo estes valores na equação 1 obteremos o seguinte 
intervalo de confiança: 
0,4268  
2
 0,5914. 
Ou usando a equação 2 obtemos: 
0,5091  2,306*(0,0357). Ou seja, 0,5091  0,0823. 
4) O que nos diz o intervalo acima? 
Dado o coeficiente de confiança de 95%, a longo prazo, em 95 de cada 100 casos, 
intervalos como (0,4268; 0,5914) conterão o verdadeiro 
2
. Note, porém, que não 
podemos dizer que é de 95% a probabilidade de o intervalo específico (0,4268 a 0,5914) 
conter o 
2
 verdadeiro, pois, este intervalo agora está fixado, já não é mais aleatório. 
Logo, ou 
2
 se encontra nele ou não se encontra: a probabilidade de o intervalo fixado 
específico incluir o verdadeiro 
2
 é, portanto, de 1 ou 0. O mesmo é válido para 
^
1
. 
5) Formule as hipóteses nula e alternativa e análise o intervalo de confiança para 
o exemplo consumo-renda? 
A nossa PMgC estimada (
^
2
) é 0,5091. Supondo que postulamos o seguinte: 
H0: 
2
= 0,3 
H1: 
2
 0,3 
Para saber se 
^
2
 observado é compatível com H0 veremos o intervalo (0,4268; 
0,5914). Se, 
^
2
, segundo H0, estiver dentro do intervalo de confiança, dado o nível de 
significância escolhido, não rejeitamos H0. 
 
 58 
Assim, para nosso exemplo como H0: 
2
= 0,3 está fora do intervalo de confiança 
de 95%, podemos rejeitar a hipótese nula de que 0,3 é a verdadeira PMgC com 95% de 
confiança. 
6) Analise o teste de normalidade dos resíduos Jarque-Bera (JB)? 
È um teste assintótico (para grandes amostras) baseado nos resíduos de MQO. Sob 
a hipótese nula (H0) de que os resíduos têm distribuição normal, Jarque e Bera 
mostraram que em grandes amostras, a estatística JB segue a distribuição qui-quadrado 
com 2 graus de liberdade. Se o valor p da estatística JB calculada for suficientemente 
baixo, podemos rejeitar a hipótese de que os resíduos têm distribuição normal (no 
exemplo consumo-renda o valor JB é de 0,7769 com um p de aproximadamente 0,68, 
logo, não rejeitamos H0). Segue abaixo os passos no stata. 
reg y x 
predict res, residual 
jb res 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 5: 
5.1) Justifique se os enunciados a seguir são verdadeiros, falsos ou duvidosos. 
Seja rigoroso em sua análise. 
a) O teste t de significância, discutido neste capítulo, requer que as distribuições 
de amostragem dos estimadores 
^
1
 e 
^
2
 sigam a distribuição normal. 
Jarque-Bera test for Ho: normality:
Jarque-Bera normality test: .7769 Chi(2) .6781
. jb res
. predict res, residual
 
 _cons 24.45455 6.413817 3.81 0.005 9.664256 39.24483
 x .5090909 .0357428 14.24 0.000 .4266678 .591514
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 8890 9 987.777778 Root MSE = 6.493
 Adj R-squared = 0.9573
 Residual 337.272727 8 42.1590909 R-squared = 0.9621
 Model 8552.72727 1 8552.72727 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 8) = 202.87
 Source SS df MS Number of obs = 10
. reg y x
 59 
VERDADEIRA. O teste t baseia-se em varáveis com uma distribuição normal. Os 
estimadores 
1
e 
2
 seguem tal distribuição, pois são combinações lineares do erro ui 
o qual presumimos ter distribuição normal no MRLC. 
b) Embora o termo de perturbação não se distribua normalmente no MCRL, os 
estimadores por MQO são ainda assim não-viesados. 
VERDADEIRA. Uma vez que  = 0)(ui , os estimadores de MQO são não 
tendenciosos. 
c) Se não houver intercepto no modelo de regressão, o )(
^
uu ii = estimado não 
chegará à zero. 
VERDADEIRA. Nesse caso a equação (1) da seção 3.A.1 do apêndice 3 A, não 
será usada. Tal tópico será mais aprofundado no capítulo 6 do livro texto de Gujarat. 
d) O valor p e o tamanho de uma estatística de teste significam a mesma coisa. 
VERDADEIRA. O valor p é o menor nível de significância em que se pode rejeitar 
a hipótese nula (H0). Os termos nível de significância e tamanho de teste são sinônimos. 
e) Em um modelo de regressão que contenha o intercepto, a soma dos resíduos é 
sempre zero. 
VERDADEIRA. Isto resulta da equação 1 da seção 3.A.1 do apêndice 3 A.1. 
f) Se uma hipótese nula não for rejeitada, ela é verdadeira. 
FALSA. Tudo o que podemos dizer é que os dados disponíveisNÃO nos 
permitem rejeitar H0. 
 
 
g) Quanto maior o valor de 
2
, maior a variância de 
^
2
 dada em 

=
xi
2
2
^
2
)var(  . 
FALSA. Um valor mais alto de 
2
 deve ser contrabalanceado por um valor mais 
alto de xi
2
. Somente se este for mantido constante, a afirmação pode ser verdadeira. 
h) As médias condicional e incondicional de uma variável aleatória são as mesmas 
coisas. 
 60 
Falsa. A média condicional de uma variável aleatória depende dos valores 
tomados por outra variável (condicionante). A média condicional e não-condicional só 
pode ser igual se as duas variáveis forem independentes. 
i) Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente de inclinação 
2
 for zero, o 
intercepto 
1
 será estimado pela média Y
−
 da amostra. 
VERDADEIRA. Isso fica óbvio pela equação 
^
1
= Y
−
- 
^
2 X
−
. 
j) A variância condicional, 
2
)var( =
X
Y
i
i , e a variância incondicional de Y, 

2
)var(
y
Y = , serão iguais se X não tiver qualquer influência sobre Y. 
VERDADEIRA. Consulte a equação (3.5.2 no livro texto de Gujarat). Se X não 
tem influência sobre Y, 
^
2
 será zero, e nesse caso  y
i
2
 = ui
2
. 
5.2) Monte a tabela ANOVA para despesas com alimentos na Índia (Tabela 2.8): 
. tsset obs, yearly 
 time variable: obs, 1 to 55 
 delta: 1 year 
. reg despalim desptot 
 
 
 
Tabela ANOVA para despesas com alimentos na Índia: 
Fonte de 
variação 
SQ GL SQM 
Devido à 
regressão 
(SQE) 
139023 1 139023 
Devido aos 
resíduos 
(SQR) 
236894 53 4470 
STQ 375916 F = 
139023/4470 = 
31,1013 com gl 
igual a 1 e 53 
respectivamente. 
 
 _cons 94.20878 50.85635 1.85 0.070 -7.796134 196.2137
 desptot .4368088 .0783226 5.58 0.000 .2797135 .593904
 
 despalim Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 375916.436 54 6961.41549 Root MSE = 66.856
 Adj R-squared = 0.3579
 Residual 236893.616 53 4469.69087 R-squared = 0.3698
 Model 139022.82 1 139022.82 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 53) = 31.10
 Source SS df MS Number of obs = 55
 61 
 
H0: não há relação entre despesas com alimentos e despesas totais. 
H1: Há relação. 
F calculado (31,10) > F crítico (4,17) de 5%. Como o F calculado é maior que o 
crítico, rejeita-se H0. (Para um calculo manual ver capítulo 5 do livro texto de Gujarat). 
5.5) O que se conhece por “linha característica” na moderna análise de 
investimentos nada mais é do que a regressão obtida a partir do seguinte modelo: 
r it =  i +  i rmt + ut 
Onde: r it = taxa de retorno do i-ésimo título no período t. 
 rmt = taxa de retorno do portfólio de mercado no período t. 
 ut = termo de erro estocástico. 
Neste modelo 
2
é conhecido como o coeficiente beta do i-ésimo título, uma 
medida do risco de mercado (ou risco do sistema) de um título. 
Com base em 240 taxas de retorno mensais do período de 1956-1976, Fogler 
Ganaphaty obtiveram a seguinte linha característica para as ações da IBM em relação ao 
índice de portfólio de mercado calculado pela Universidade de Chicago. 
r it
^
= 0,7264 + 1,0598rmt r
2
= 0,4710 gl = 238 
Ep = (0,3001) (0,0728) F 238,1 = 211,896 
 
 
 
 
a) Diz-se que um título cujo coeficiente beta é maior que 1 é um papel volátil ou 
agressivo. Durante o período estudado, as ações da IBM foram voláteis? 
Para testar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é estatisticamente 
igual a 1 usamos o teste t. 
t = 
)(
1
^
2
^
2


ep
−
= 
0728,0
10598,1 −
 = 0,821 que é o t calculado. 
H0: 
^
2
 = 1 
H1: 
^
2
 1 
 62 
Sendo:  = 5% e gl = 238 temos um t crítico de 1,98 (já que 238 é mais próximo 
de 120 do que de oo - infinito). 
Como o t calculado é MENOR que o t crítico, com um nível de significância de 5 
%, NÃO SE REJEITA H0. Logo, as ações da IBM, no período, NÃO foram voláteis. 
b) O coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero? Se for, qual 
é o significado prático disso? 
t = 
3001,0
7264,0
= 2,4205 que é o t calculado. O t crítico continua sendo 1,98. 
H0: 
^
1
= 0 
H1: 
^
1
 0 
Como o t calculado é maior que o t crítico, ao nível de significância de 5%, rejeita-
se H0. Ou seja, o intercepto é significativamente diferente de zero. Porém, 
economicamente, isso tem pouco significado prático (página 72 do livro texto de Gujarat 
– interpretação mecânica do intercepto). Interpretado de forma literal, o valor de 0,7264 
para o intercepto implica que mesmo que o retorno do portfólio de mercado seja ZERO, 
ainda assim, o do título será de aproximadamente 0,73% (usamos taxas de retorno). 
 
 
 
 
5.6) A equação   −=+− 1)](*)(*[
^
22/
^
22
^
22/
^
2
epepprob tt 
também pode ser escrita como: 
  −=+− 1)](*)(*[
^
22/
^
22
^
22/
^
2
epepprob tt 
Isto é, a desigualdade fraca ( ) pode ser substituída pela desigualdade forte (<). 
Por quê? 
Sob a premissa da NORMALIDADE, 
^
2
 tem distribuição normal. Mas, como 
uma variável que tem distribuição normal é contínua, e como pela TEORIA DAS 
PROBABILIDADES a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um 
valor específico é ZERO, não faz, portanto, nenhuma diferença o fato de a desigualdade 
ser forte ou fraca. 
 63 
5.9) A tabela 5.5 apresenta dados sobre a remuneração anual (salário médio em 
US$) dos professores e as despesas por aluno das escolas (em US$) no ano de 1985 em 
50 estados e no distrito de Columbia. Para verificar se há alguma relação entre a 
remuneração dos professores e as despesas por aluno nas escolas públicas, foi sugerido o 
seguinte modelo: miRe =  1 + uGas ii + 2 . Onde Rem representa o salário dos 
professores e Gas, as despesas por aluno. 
a) Represente graficamente os dados e trace uma linha de regressão a olho. 
SALÁRIO DESPESA 
19583 3346 
20263 3114 
20325 3554 
26800 4642 
29470 4669 
26610 4888 
30678 5710 
27170 5536 
25853 4168 
24500 3547 
24274 3159 
27170 3621 
30168 3782 
26525 4247 
27360 3982 
21690 3568 
21974 3155 
20816 3059 
18095 2967 
20939 3285 
22644 3914 
24624 4517 
27186 4349 
33990 5020 
23382 3594 
20627 2821 
22795 3366 
21570 2920 
22080 2980 
22250 3731 
20940 2853 
21800 2533 
22934 2729 
18443 2305 
19538 2642 
20460 3124 
21419 2752 
25160 3429 
22482 3947 
20969 2509 
 64 
27224 5440 
25892 4042 
22644 3402 
24640 2829 
22341 2297 
25610 2932 
26015 3705 
25788 4123 
29132 3608 
41480 8349 
25845 3766 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. twoway (scatter salrio despesa) 
 65 
 
. twoway (line salrio despesa) 
 
Dado o gráfico acima, fica complicado traçar a olho uma linha de regressão. 
 
 
2
0
0
0
0
2
5
0
0
0
3
0
0
0
0
3
5
0
0
0
4
0
0
0
0
S
A
L
Á
R
IO
2000 4000 6000 8000
DESPESA
2
0
0
0
0
2
5
0
0
0
3
0
0
0
0
3
5
0
0
0
4
0
0
0
0
S
A
L
Á
R
IO
2000 4000 6000 8000
DESPESA
 66 
b) Com base na letra a estime o modelo de regressão acima. Obtenha as 
estimativas dos parâmetros, os erros-padrão, r
2
, SQR e SQE. 
. reg salrio despesa 
 
 
 
 ep = (1197,351) (0,3117043) 
r
2
 = 0,6968 SQE = 608555015 SQR = 264825250 
 
c) Interprete os resultados da regressão. Faz sentido do ponto de vista econômico? 
Se a despesa por aluno aumentar em, digamos um dólar, a remuneração dos 
professores aumentará, em média, três dólares e trinta centavos. O intercepto não tem 
sentido econômico viável.d) Estabeleça um intervalo de confiança de 95% para 
2
. Você rejeitaria a 
hipótese de que o verdadeiro coeficiente angular é 3,0? 
%5= gl = 51 (mais próximo é 60). 
  −=+− 1)](*)(*[
^
22/
^
22
^
22/
^
2
epepprob tt 
%95)]3117,0(*00,23076,3)3117,0(*00,23076,3[
2
=+− prob 
%95]931,36842,2[
2
= prob 
H0: 3
2
= 
H1: 3
2
 
Como 3,0 não está fora do intervalo, com um nível de confiança de 95%, não 
rejeitamos H0. 
 
 
 
 
 _cons 12129.37 1197.351 10.13 0.000 9723.204 14535.54
 despesa 3.307585 .3117043 10.61 0.000 2.681192 3.933978
 
 salrio Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 873380265 50 17467605.3 Root MSE = 2324.8
 Adj R-squared = 0.6906
 Residual 264825250 49 5404596.94 R-squared = 0.6968
 Model 608555015 1 608555015 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 49) = 112.60
 Source SS df MS Number of obs = 51
Gasmi 307585,337,12129Re +=
 67 
 e) Obtenha a média e o valor individual previsto de Rem se as despesas por aluno 
forem de US$ 5.000. Estabeleça, também, intervalos de confiança para a média real e 
para o valor individual de Rem, para a despesa citada. 
Em primeiro lugar, para nível de simplificação, nomearemos Rem = Y e gastos = 
X. Na seqüência regredimos Y contra X e obtemos seus valores médios. 
. reg y x 
 
. sum 
 
A seguir, criamos a variável X – Xmédio. Elevando tal variável ao quadrado e 
multiplicando o resultado pelo número de observações, obteremos o somatório de xizinho 
ao quadrado (que é igual a 55626,006). 
. gen xizinho=(x - 3696.608) 
. gen xizinhoquad=xizinho^2 
. sum 
 
RESPOSTA: 
Os valores previsto médio e individual são os mesmos: 
12129,37 + 3,3076 *(5000) = 28667,37 
O erro-padrão do valor médio previsto, usando a seguinte equação: 
]
2(1
[)var(
2
02^
0
)

−
−
+=
x
XX
Y
i
n
 = ]00,55626006
2608,36965000(
51
1
[94,5404596
)−
+ = 
271030,0923. 
)(
^
0YEp = var = 0923,271030 = 520,61. 
 
 
 
 _cons 12129.37 1197.351 10.13 0.000 9723.204 14535.54
 x 3.307585 .3117043 10.61 0.000 2.681192 3.933978
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 873380265 50 17467605.3 Root MSE = 2324.8
 Adj R-squared = 0.6906
 Residual 264825250 49 5404596.94 R-squared = 0.6968
 Model 608555015 1 608555015 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 49) = 112.60
 Source SS df MS Number of obs = 51
 x 51 3696.608 1054.761 2297 8349
 y 51 24356.22 4179.426 18095 41480
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 xizinhoquad 51 1090706 3067288 70.42567 2.16e+07
 xizinho 51 -.0001514 1054.761 -1399.608 4652.392
 x 51 3696.608 1054.761 2297 8349
 y 51 24356.22 4179.426 18095 41480
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 68 
 
O erro-padrão da previsão individual, usando a seguinte equação: 
]
2(1
1[)var(
2
02^
0
)

−
−
++=
x
XX
Y
i
n
 = ]00,55626006
2608,36965000(
51
1
1[94,5404596
)−
++ = 
5675627,032. 
)(
^
0YEp = var = 032,5675627 = 2382,36. 
Os intervalos de confiança são: 
PREVISÃO MÉDIA: 
%95)]61,520(*00,237,28667)
5000
()61,520(*00,237,28667[ =+
=
−
X
Y
Eprob 
%95]59,29708)
5000
(15,27626[ =
=

X
Y
Eprob 
 
PREVISÃO INDIVIDUAL: 
%95)]36,2382(*00,237,28667)
5000
()36,2382(*00,237,28667[
0
0 =+
=
−
X
Y
Eprob
%95]72,33431)
5000
(65,23902[
0
0 =
=

X
Y
Eprob 
 
Pode-se notar que o intervalo de confiança para a previsão individual é mais largo 
do que para a previsão média. A largura do intervalo de confiança se amplia quanto mais 
X 0 se afasta de X
−
. Isto sugere que a capacidade de a capacidade de previsão da linha 
de regressão amostral HISTÓRICA vai DIMINUINDO à medida que X 0 se afasta 
progressivamente de X
−
. 
f) Como poderíamos testar a premissa da normalidade do termo de erro? Mostre 
o (os) teste(s) a ser (em) empregado(s). 
Usaremos o teste do histograma dos resíduos e em segundo lugar o teste Jarque-
Bera. 
NO STATA: VER GRÁFICO DO HISTOGRAMA ABAIXO. 
. predict res, residual 
. histogram res 
(bin=7, start=-3847.9758, width=1339.6169) 
 69 
 
 
O histograma dos resíduos pode ser aproximado de uma curva de distribuição 
normal (o que é um bom indicativo de que a premissa da normalidade é aceita). 
 
 
TESTE JB: 
H0: Os resíduos têm distribuição normal 
H1: Os resíduos não têm distribuição normal. 
Como temos um valor p de aproximadamente 0,33 não rejeitamos a premissa da 
normalidade dos resíduos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
.0
e
-0
5
1
.0
e
-0
4
1
.5
e
-0
4
2
.0
e
-0
4
D
e
n
s
it
y
-4000 -2000 0 2000 4000
Residuals
Jarque-Bera test for Ho: normality:
Jarque-Bera normality test: 2.196 Chi(2) .3335
. jb res
 70 
5.14) A tabela 5.6 apresenta dados sobre o PNB e quatro definições do estoque de 
moedas dos EUA no período 1970-1983. Fazendo as regressões do PNB contra as várias 
definições de moeda, obtemos os resultados na tabela (a) abaixo: 
1) 
PNB t
^
 = 
- 787,4723 
 (77,9664) 
+ 8,0863 1M t 
 (0,2197) 
r
2
 = 0,9912 
2) 
PNB t
^
 = 
- 44,0626 
 (61,0134) 
+1,5875
2M t 
 (0,4448) 
r
2
 = 0,9905 
3) 
PNB t
^
 = 
159,1366 
 (42,9882) 
+1,2034 3M t 
 (0,0260) 
r
2
 = 0,9943 
4) 
PNB t
^
 = 
164,2071 
 (44,7658) 
+1,0290 Lt 
 (0,0234) 
r
2
 = 0,9938 
Sendo Lt igual a 3M t mais outros ativos financeiros (ver página 126 de Gujarat) 
Os monetaristas afirmam que a renda nominal (ou seja, PNB nominal) é 
determinada, em grande parte, pela variação no estoque de moeda, embora não haja 
consenso quanto a definição “certa” de moeda. Dados os resultados da tabela acima, 
responda as perguntas: 
ANO PNB M1 M2 M3 L 
1970 992.7 216.6 628.2 677.5 816.3 
1971 1077.6 230.8 712.8 776.2 903.1 
1972 1185.9 252.0 805.2 886.0 1023.0 
1973 1326.4 265.9 861.0 985.0 1141.7 
1974 1434.2 277.6 908.5 1070.5 1249.3 
1975 1549.2 291.2 1023.3 1174.2 1367.9 
1976 1718.0 310.4 1163.6 1311.9 1516.6 
1977 1918.3 335.4 1286.7 1472.9 1704.7 
1978 2163.9 363.1 1389.1 1647.1 1910.6 
1979 2417.8 389.1 1498.5 1804.8 2117.1 
1980 2631.7 414.9 1632.6 1990.0 2326.2 
1981 2957.8 441.9 1796.6 2238.2 2599.8 
1982 3069.3 480.5 1965.4 2462.5 2870.8 
1983 3304.8 525.4 2196.3 2710.4 3183.1 
a) Que definição de moeda parece apresentar relação mais estreita com o PNB 
nominal? 
Não parece existir uma melhor do que a outra. Todos os coeficientes angulares 
(M1, M2, M3, L) são estatisticamente significativos a um nível de confiança de 95% 
(basta dividir o coeficiente angular pelo seu erro-padrão que está entre parênteses). 
 
 
 
 
 71 
b) Como os r
2
sãotodos altos, isso significa que a escolha da definição de moeda 
não tem importância? 
Bem, não podemos usar os r
2
 bastantes altos para decidir qual a melhor definição 
de moeda. Porém, não quer dizer que podemos usar qualquer definição de moeda a bel-
prazer. 
c) Se o FED (banco central americano) desejar controlar a oferta de moeda, qual 
desses indicadores de moeda seria o melhor para alcançar tal fim? Isso pode ser dito a 
partir dos resultados da regressão? 
Não se pode afirmar qual indicador com base nos resultados das regressões. 
5.16) A revista The Economist divulga desde 1986 o índice Big Mac, uma 
tentativa pouco refinada, mas engraçada, de avaliar se as taxas de câmbio das diversas 
moedas estão “no ponto certo”, de acordo com os preceitos da teoria da Paridade Poder 
de Compra (PPC). Essa teoria afirma que uma unidade monetária deveria poder comprar 
a mesma cesta de bens em todas as economias. Seus proponentes argumentam que, no 
longo prazo, as moedas tendem a convergir para a PPC. A revista adota o Big Mac como 
cesta de bens representativa e apresenta as informações constantes da tabela abaixo. 
PAÍS = País 
PBMACML = Preços do Big Mac em moeda local. 
PBMACUS = Preços do Big Mac em dólares. 
TXC = Taxa de câmbio vigente em 17/04/2001. 
PPP = PPC implícita do dólar: paridade do poder de compra: preço local dividido pelo 
preço nos Estados Unidos 
VLOCAL = Super (+) ou sub(-) valorização em relação ao dólar (%) 
Nota: -99999 = nenhum valor fornecido 
Tabela 5.9 
PAÍS PBMACML PBMACUS TXC PPP VLOCAL 
Estados Unidos 2.54 2.54 -99999 -99999 -99999 
Argentina 2.50 2.50 1.00 0.98 -40 
Austrália 3.00 1.52 1.98 1.18 -35 
Brasil 3.60 1.64 2.19 1.42 -31 
Grã-Bretanha 1.99 2.85 1.43 1.28 12 
Canadá 3.33 2.14 1.56 1.31 -16 
Chile 1260.00 2.10 601.00 496.00 -17 
China 9.90 1.20 8.28 3.90 -53 
República 
Tcheca 56.00 1.43 39.00 22.00 -44 
 72 
Dinamarca 24.75 2.93 8.46 9.74 15 
área do euro 2.57 2.27 0.88 0.99 -15 
França 18.50 2.49 7.44 7.28 -2 
Alemanha 5.10 2.30 2.22 2.01 -9 
Itália 4300.00 1.96 2195.00 1693.00 -23 
Espanha 395.00 2.09 189.00 156.00 -18 
Hong Kong 10.70 1.37 7.80 4.21 -46 
Hungria 399.00 1.32 303.00 157.00 -48 
Indonésia 14700.00 1.35 10855.00 5787.00 -47 
Japão 294.00 2.38 124.00 116.00 -6 
Malásia 4.52 1.19 3.80 1.78 -53 
México 21.90 2.36 9.29 8.62 -7 
Nova Zelândia 3.60 1.46 2.47 1.42 -43 
Filipinas 59.00 1.17 50.30 23.20 -54 
Polônia 5.90 1.46 4.03 2.32 -42 
Russia 35.00 1.21 28.90 13.80 -52 
Cingapura 3.30 1.82 1.81 1.30 -28 
África do Sul 9.70 1.19 8.13 3.82 -53 
Coréia do Sul 3000.00 2.27 1325.00 1181.00 -11 
Suécia 24.00 2.33 10.28 9.45 -8 
Suíça 6.30 3.65 1.73 2.48 44 
Taiwan 70.00 2.13 32.90 27.60 -16 
Tailândia 55.00 1.21 45.50 21.70 -52 
Considere o seguinte modelo: 
uXY iii ++= 221
^
 
Onde Y = a taxa de câmbio vigente e X = PPC implica do dólar. 
A) Caso a PPC esteja certa, que valores de 
1
 e 
2
 poderíamos esperar a priori? 
Caso a PPC esteja certa, espera-se, a priori, que o intercepto seja zero e o 
coeficiente angular um. 
B) Os resultados da regressão confirmam suas expectativas? Que testes formais 
empregaria para testar suas hipóteses? 
. reg txc ppp 
 
 
PPCTXC ii
^^
004873,17906,204 += 
EP = (162,1218) (0,0091537) 
 
 _cons 204.7906 162.1218 1.26 0.216 -126.3063 535.8875
 ppp 1.004873 .0091537 109.78 0.000 .9861784 1.023567
 
 txc Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 9.9036e+09 31 319469594 Root MSE = 905.4
 Adj R-squared = 0.9974
 Residual 24592477.9 30 819749.265 R-squared = 0.9975
 Model 9.8790e+09 1 9.8790e+09 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 30) = 12051.20
 Source SS df MS Number of obs = 32
 73 
T = (1,26) (109,78) 
Para testar a hipótese nula de que 
1
 = 0, temos um teste t de 1,26, o qual é 
bastante baixo. A probabilidade de aceitar a hipótese nula é de 21,6 %. Assim, 
confirmamos, com um nível de confiança de 95 %, que estatisticamente o intercepto é 
igual à zero. 
Para testar a hipótese nula de que 
2
 = 1, aplicamos o teste t: 
5324,0
0091537,0
1004873,1
=
−
=t . Como esse valor é NÃO significativo, NÃO 
rejeitamos, com um nível de confiança de 95 %, a hipótese nula de que o coeficiente 
angular é, estatisticamente, igual a 1. Ou seja, os resultados da regressão confirmaram as 
expectativas. 
C) A revista deveria continuar divulgando o Índice Big Mac? Justifique? 
Sim. Embora tal índice não seja um retrato fiel da realidade econômica por trás do 
complexo mundo das diferentes taxas de câmbio entre os países, ele não deixa de ser uma 
ferramenta interessante para a discussão das variáveis que influenciam o preço de 
produtos similares em diferentes lugares do globo (custos de logística, mão-de-obra, 
matérias primas, etc...). Por exemplo, certos estudos empíricos comprovaram que o preço 
do Big Mac, muitas vezes não é o mesmo nem mesmo dentro do próprio EUA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6: 
 74 
EXTENSÃO DO MODELO DE REGRESSÃO 
LINEAR DE DUAS VARIÁVEIS 
1) O que significa o seguinte modelo uXY iii +=  2 ? 
Um modelo no qual o intercepto (
1
) está ausente, ou seja, é igual a zero. Por 
isso é chamado de regressão que passa pela origem. 
2) Como estimamos o modelo uXY iii +=  2 e que problemas especiais eles 
implicam? 
Para responder tais perguntas usaremos a Função de Regressão Amostral (FRA): 
Y i = 
^
2 X i + ui
^
 
Vamos aplicar o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) a formula 
acima para obter as formulas para 
^
2
 e sua variância. 
Precisamos minimizar ui
2^
 =  − )
2^
2
( XY ii  em relação à 
^
2
 

^
2
2^

ui
= 2 − )
^
2
( XY ii  * ( X i− ) = 0 

^
2
2^

ui
 = − XY ii + X i
2^
2
 = 0 
X i
2^
2
 =  XY ii 

^
2
= 


X
XY
i
ii
2
 
Agora substituiremos a FRP (Y i ) por seu valor uX ii + 2 na equação acima. 

^
2
 = 

 +
X
uXX
i
iii
2
2
)(
 

^
2
 = 


X
X
i
i
2
2
2

 + 


X
uX
i
ii
2
 
 75 

^
2
 = 
2
+ 


X
uX
i
ii
2
 

^
2
- 
2
= 


X
uX
i
ii
2
 
Para chegar à variância usa-se a esperança matemática e elevam-se ao quadrado 
os dois lados da equação. Lembrando que  = 
2
^
2
)( . 
 − )
2
2
^
2
(  = 


][
2
2
X
uX
i
ii
 
No modelo que passa pela origem, diferentemente de quando o intercepto está 
presente o   0ui . Assim, ficamos com: 
)var(
^
2
 =  − )
2
2
^
2
(  = 
X i
2
2
 . 
Onde 
2
 é estimado por: 
^
2
= 
1
2^
−

n
ui 
È interessante comparar tais formulas com aquelas obtidas quando o intercepto 
está presente no modelo: 

^
2
= 


x
yx
i
ii
2
 
)var(
^
2
 = 
xi
2
2
 

^
2
= 
2
2^
−

n
ui 
Assim, no modelo em que não usamos o intercepto, usamos somas BRUTAS de 
quadrados e multiplicações entre variáveis. No modelo com intercepto usamos somas 
AJUSTADAS (a partir da média) de quadrados e multiplicações entre variáveis. Além 
disso, os graus de liberdade para calcular 
^
2
 são (n-1) no primeiro caso (só temos um 
regressor) e (n-2) no segundo caso (temos dois regressores - 
^
1
e 
^
2
). 
 
 
 
 76 
3) O que deve ser observado no modelo onde o intercepto é igual a zero? 
a) O somatório dos resíduos estimados (ui
^
) que é sempre zero no modelo 
tradicional (com 
^
1
) não precisa ser zero no modelo que passa pela origem. 
b) O r
2
(coeficiente de determinação)que é sempre não negativo no modelo 
tradicional, pode, em alguns casos, ser negativo no modelo sem intercepto, porque o r
2
 
assume de forma explicita que o intercepto está presente no modelo. Assim, o r
2
 
calculado de forma convencional pode não ser adequado para modelos que passam pela 
origem. 
Para isso usamos o chamado r
2
BRUTO que é dado pela seguinte formula: 
r
2
bruto = 
 

YX
YX
ii
ii
22
2
)(
 Ou seja, esta soma dos quadrados e esta multiplicação 
de variáveis são BRUTAS (não corrigidas pela média). Embora esse r
2
bruto atenda a 
relação 0<r
2
<1, ele NÃO PODE ser comparado de forma direta ao valor do r
2
convencional. POR ISSO ALGUNS AUTORES NÃO INFORMAM O VALOR DO r
2
 
NO CASO DE MODELOS DE REGRESSÃO QUE PASSAM PELA ORIGEM. 
EXEMPLO DE MODELO SEM INTERCEPTO: 
 
A linha característica da Teoria do Portfólio. 
Tabela 6.1 
Taxas de retorno anual sobre o Afuture Fund e sobre o índice Fisher 
 (Portfólio de mercado). 1971-1980 
ANO = Ano 
Y = Retorno sobre o Afuture Fund (em %) 
X = Retorno sobre o Fisher Index (em %) 
ANO Y X 
1971 67.5 19.5 
1972 19.2 8.5 
1973 -35.2 -29.3 
1974 -42.0 -26.5 
1975 63.7 61.9 
1976 19.3 45.5 
1977 3.6 9.5 
1978 20.0 14.0 
1979 40.3 35.3 
1980 37.5 31.0 
 77 
 
A chamada Linha Característica da Análise do Investimento pode ser descrita 
como: 
Y i =  i + uX iii + (modelo 1). 
Na literatura NÃO HÁ consenso quanto o valor a priori de  i . Alguns resultados 
empíricos o mostram positivo e estatisticamente significativo. Porém, em outros casos ele 
não difere estatisticamente de zero. Neste caso o modelo pode ser representado por: 
Y i = uX iii + (modelo 2). Ou seja, uma regressão que passa pela origem. 
Usando o modelo 1 através do stata obtivemos: 
. reg y x 
 
 
Note que o valor da estatística t (0,17) do intercepto não é estatisticamente 
significativo a 5% e que a probabilidade de aceitar a hipótese nula ( i é igual à zero) é 
bastante alta (cerca de 87% - 0,872). 
Usando o modelo 2 através do stata obtivemos: 
. reg y x, noconst 
 
 
Note que o valor da estatística t (5,69) do intercepto é estatisticamente 
significativo a 5% e que a probabilidade de aceitar a hipótese nula ( i é igual à zero) é 
bastante pequena (cerca de 0%). Lembrando que os graus de liberdade para a tabela t são 
n (número de observações) menos k (número de parâmetros do modelo em pauta). 
Assim, devemos escolher o modelo que passa pela origem. 
 
 
4) O que são variáveis padronizadas e quais suas formulas? 
 
 _cons 1.279718 7.68856 0.17 0.872 -16.45013 19.00957
 x 1.069084 .2383154 4.49 0.002 .5195275 1.61864
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 12041.6891 9 1337.96546 Root MSE = 20.692
 Adj R-squared = 0.6800
 Residual 3425.2855 8 428.160687 R-squared = 0.7155
 Model 8616.40362 1 8616.40362 Prob > F = 0.0020
 F( 1, 8) = 20.12
 Source SS df MS Number of obs = 10
 
 x 1.089912 .1915512 5.69 0.000 .6565926 1.523231
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 15801.4101 10 1580.14101 Root MSE = 19.542
 Adj R-squared = 0.7583
 Residual 3437.14716 9 381.90524 R-squared = 0.7825
 Model 12364.2629 1 12364.2629 Prob > F = 0.0003
 F( 1, 9) = 32.38
 Source SS df MS Number of obs = 10
 78 
São variáveis nas quais subtraímos o valor da média da variável de seus valores 
individuais e dividimos a diferença pelo desvio padrão dessa variável. Assim, evitamos o 
problema de interpretar os coeficientes de uma regressão na qual o regressando e os 
regressores estão expressos em unidades diferentes. As formulas dessas variáveis são as 
seguintes: 
Y i
*
= 
S
YY
Y
i
−
−
 e X i
*
= 
S
XX
X
i
−
−
 
Onde: Y
−
= média amostral de Y, SY = desvio-padrão amostral de Y. O mesmo 
vale para X. As variáveis Y i
*
 e X i
*
são chamadas de padronizadas. Além disso, nas 
variáveis padronizadas sua média é SEMPRE zero e seu desvio-padrão é SEMPRE 1. 
Logo, ao invés de calcular a regressão padrão uY ii ++=  21 , podemos calcular a 
regressão padronizada Y i
*
= 
*
1
+ uX ii
***
2
+ 
Porém, sabemos que o intercepto (
1
) é igual ao valor médio da variável 
dependente menos o coeficiente angular multiplicado pelo valor médio do regressor. Mas, 
no caso das variáveis padronizadas, os valores médios da variável dependente e do 
regressor são zero. Assim, o valor do intercepto será zero. Logo, a regressão padronizada 
ficará igual a Y i
*
= uX ii
***
2
+ . 
5) Como interpretamos os coeficientes da regressão padronizada? 
Se o regressor (padronizado) aumentar em um desvio-padrão, EM MÉDIA, o 
regressando (padronizado) aumenta em 
*
2
 unidades de desvio-padrão. Assim, medimos 
o efeito não em termos de unidades originais e sim em termos de unidades de desvio-
padrão. 
 
 
 
 
 
 
 79 
6) Como interpretamos as equações abaixo, onde I = investimento e PIB = Produto 
Interno Bruto e na primeira equação os coeficientes são medidos em unidades absolutas 
(bilhões de dólares) e as variáveis com asteriscos são as padronizadas? 
=I t -1026,498 + 0,3016 PIBt 
 Ep = (257,5874) (0,0399) r
2
= 0,8872 
Interpretação: Se o PIB aumentar em um dólar, o investimento aumentará, em 
média, trinta centavos de dólar. 
I t
*
= 0,9387 PIB t
*
 
 Ep = (0,1149) 
Interpretação: Se o PIB (padronizado) aumentar em um desvio-padrão, em média, 
o investimento (padronizado) aumentará em cerca de 0,94 desvio-padrão. 
7) Qual é a grande vantagem do modelo padronizado de regressão em relação ao 
tradicional? 
Em um modelo com mais de um regressor (X), ao padronizar TODOS os 
regressores, colocamos todos eles na mesma base e, assim, podemos compará-los de 
forma direta. Se o coeficiente de um regressor padronizado for maior que outro, o que for 
maior contribui mais para explicar a variação do regressando do que o que tem o 
coeficiente menor (estando os dois inseridos dentro do mesmo modelo é claro). 
COMO MEDIR A ELASTICIDADE: O 
MODELO LOG-LINEAR 
Tendo o seguinte modelo de regressão exponencial: 
Y i =  1 + X i

2 eu i 
Usando as propriedades dos logaritmos, o modelo vira: 
Y iln = ln 1 + uX ii +ln2 
Se considerarmos ln
1
=  , o modelo fica: 
Y iln =  + uX ii +ln2 que é um modelo que pode ser estimado por MQO 
e é chamado de log-log, duplo-log ou log-linear. 
1) Qual a vantagem do modelo duplo-log? 
O coeficiente angular 
2
 mede a ELASTICIDADE de Y em relação a X. Ou 
seja, a variação percentual que ocorre em Y dada uma pequena variação percentual em 
 80 
X. Por exemplo, se Y é a quantidade demandada de um produto e X é o seu preço por 
unidade, 
2
 mede a elasticidade preço da demanda desse produto. 
EXEMPLO DO MODELO DUPLO-LOG: 
Com base na tabela abaixo queremos encontrar a elasticidade das despesas com 
bens duráveis em relação às despesas totais de consumo pessoal. Representando 
graficamente olog das despesas com bens duráveis contra as despesas totais de consumo, 
vemos que a relação entre as duas variáveis é linear. Portanto, o modelo duplo-log pode 
ser indicado. 
Tabela 6.3 Despesas pessoais total e por categorias, em bilhões de dólares de 1992 
 
Y1 = despesas com serviços 
 
Y2 = despesas em bens duráveis 
 
Y3 = despesas em bens não duráveis 
 
X = despesas totais de consumo pessoal 
Y1 Y2 Y3 X 
 
2445.3 504 1337.5 4286.8 
2455.9 519.3 1347.8 4322.8 
2480 529.9 1356.8 4366.6 
2494.4 542.1 1361.8 4398 
2510.9 550.7 1378.4 4439.4 
2531.4 558.8 1385.5 4472.2 
2543.8 561.7 1393.2 4498.2 
2555.9 576.6 1402.5 4534.1 
2570.4 575.2 1410.4 4555.3 
2594.8 583.5 1415.9 4593.6 
2610.3 595.3 1418.5 4623.4 
2622.9 602.4 1425.6 4650 
2648.5 611 1433.5 4692.1 
2668.4 629.5 1450.4 4746.6 
2688.1 626.5 1454.7 4768.3 
2701.7 637.5 1465.1 4802.6 
2722.1 656.3 1477.9 4853.4 
2743.6 653.8 1477.1 4872.7 
2775.4 679.6 1495.7 4947 
2804.8 648.8 1494.3 4981 
2829.3 710.3 1521.2 5055.1 
2866.8 729.4 1540.9 5130.2 
2904.8 733.7 1549.1 5181.8 
 
 
 
 
 81 
PELO EDITOR DO STATA: 
 
y1 despdur y3 desptcp lndespdur lndesptcp 
2445.3 504 1337.5 4286.8 6.222576 8.363296 
2455.9 519.3 1347.8 4322.8 6.252482 8.371658 
2480 529.9 1356.8 4366.6 6.272688 8.38174 
2494.4 542.1 1361.8 4398 6.29545 8.388906 
2510.9 550.7 1378.4 4439.4 6.31119 8.398274 
2531.4 558.8 1385.5 4472.2 6.325792 8.405636 
2543.8 561.7 1393.2 4498.2 6.330968 8.411432 
2555.9 576.6 1402.5 4534.1 6.357149 8.419382 
2570.4 575.2 1410.4 4555.3 6.354718 8.424047 
2594.8 583.5 1415.9 4593.6 6.369044 8.43242 
2610.3 595.3 1418.5 4623.4 6.389065 8.438886 
2622.9 602.4 1425.6 4650 6.400922 8.444622 
2648.5 611 1433.5 4692.1 6.415097 8.453635 
2668.4 629.5 1450.4 4746.6 6.444926 8.465184 
2688.1 626.5 1454.7 4768.3 6.440149 8.469745 
2701.7 637.5 1465.1 4802.6 6.457554 8.476912 
2722.1 656.3 1477.9 4853.4 6.486618 8.487434 
2743.6 653.8 1477.1 4872.7 6.482801 8.491404 
2775.4 679.6 1495.7 4947 6.521504 8.506536 
2804.8 648.8 1494.3 4981 6.475124 8.513386 
2829.3 710.3 1521.2 5055.1 6.565687 8.528152 
2866.8 729.4 1540.9 5130.2 6.592222 8.5429 
2904.8 733.7 1549.1 5181.8 6.5981 8.552908 
gen lndespdur=ln(despdur) 
gen lndesptcp=ln(desptcp) 
. twoway (line lndespdur lndesptcp) 
 
 
6
.2
6
.3
6
.4
6
.5
6
.6
ln
d
e
s
p
d
u
r
8.35 8.4 8.45 8.5 8.55
lndesptcp
 82 
. reg lndespdur lndesptcp 
 
 
 
A elasticidade de DESPDUR em relação à DESPTCP é de cerca de 1,9. Ou seja, 
quando as despesas totais aumentam 1%, as despesas com bens duráveis aumentam, em 
média, cerca de 1,9%. Logo, as despesas com bens duráveis são muito sensíveis às 
variações nas despesas com consumo pessoal. 
MODELOS SEMILOGARÍTIMICOS: 
LOG-LIN E LIN-LOG 
MODELO LOG-LIN 
1) Basicamente, para que serve? 
Para medir taxas de crescimento. 
Imagine que desejamos conhecer a taxa de crescimento das despesas pessoais em 
serviços para certo período de tempo t. Denotamos por Y t as despesas reais em serviços 
no período t e por Y 0 o valor inicial dessas despesas. Assim, usaremos o seguinte 
modelo: 
Y t = Y 0 )( 1
t
r+ onde r é a taxa de crescimento composta ou geométrica (isto 
é ao longo do tempo) de Y. Podemos transformar tal modelo em: 
Y tln = Yln 0 + t ln )( 1 r+ 
Transformando Yln 0 =  1 e ln )( 1 r+ =  2 
O modelo fica: Y tln =  1 +  2 t 
Incluindo o termo de erro no modelo, este fica igual a: 
Y tln =  1 +  2 t + ut onde o regressor será o tempo. 
Neste modelo, o coeficiente de 
2
 mede a variação relativa (percentual) 
constante em Y para dada variação absoluta no valor do regressor (no caso o tempo). 
 
 _cons -9.697093 .4341243 -22.34 0.000 -10.5999 -8.794282
 lndesptcp 1.905633 .0513697 37.10 0.000 1.798804 2.012462
 
 lndespdur Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .247947686 22 .011270349 Root MSE = .01332
 Adj R-squared = 0.9843
 Residual .003726817 21 .000177467 R-squared = 0.9850
 Model .24422087 1 .24422087 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 21) = 1376.14
 Source SS df MS Number of obs = 23
 83 
Se multiplicarmos a variação absoluta de Y por 100 teremos a variação 
percentual ou TAXA DE CRESCIMENTO de Y para cada variação absoluta de em X 
(o regressor). Ou seja, 
2
 multiplicado por 100 nos dá a taxa de crescimento de Y (ou 
semi-elasticidade de Y em relação a X). Com o 
2
 teremos a taxa de crescimento 
INSTANTÂNEA (em um ponto do tempo). Para obter a COMPOSTA (ao longo de um 
período) devemos tomar o antilogarítimo do 
2
 estimado, subtraindo-o de 1 e 
multiplicando a diferença por 100. 
EXEMPLO DO MODELO LOG-LIN: 
Para ilustrar o modelo de crescimento usaremos a tabela 6.3 abaixo: 
despserv y2 y3x var1 timevar lndespserv 
2445.3 504 1337.5 4286.8 1 7.801923 
2455.9 519.3 1347.8 4322.8 2 7.806249 
2480 529.9 1356.8 4366.6 3 7.816014 
2494.4 542.1 1361.8 4398 4 7.821804 
2510.9 550.7 1378.4 4439.4 5 7.828396 
2531.4 558.8 1385.5 4472.2 6 7.836528 
2543.8 561.7 1393.2 4498.2 7 7.841414 
2555.9 576.6 1402.5 4534.1 8 7.846159 
2570.4 575.2 1410.4 4555.3 9 7.851817 
2594.8 583.5 1415.9 4593.6 10 7.861265 
2610.3 595.3 1418.5 4623.4 11 7.86722 
2622.9 602.4 1425.6 4650 12 7.872036 
2648.5 611 1433.5 4692.1 13 7.881749 
2668.4 629.5 1450.4 4746.6 14 7.889234 
2688.1 626.5 1454.7 4768.3 15 7.89659 
2701.7 637.5 1465.1 4802.6 16 7.901637 
2722.1 656.3 1477.9 4853.4 17 7.909159 
2743.6 653.8 1477.1 4872.7 18 7.917026 
2775.4 679.6 1495.7 4947 19 7.92855 
2804.8 648.8 1494.3 4981 20 7.939087 
2829.3 710.3 1521.2 5055.1 21 7.947784 
2866.8 729.4 1540.9 5130.2 22 7.960952 
2904.8 733.7 1549.1 5181.8 23 7.97412 
 
gen timevar =_n 
gen lndespserv= ln(despserv) 
. reg lndespserv timevar 
 
 
 _cons 7.789009 .0022993 3387.62 0.000 7.784227 7.79379
 timevar .0074258 .0001677 44.28 0.000 .007077 .0077745
 
 lndespserv Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .056401429 22 .002563701 Root MSE = .00533
 Adj R-squared = 0.9889
 Residual .000597608 21 .000028458 R-squared = 0.9894
 Model .055803821 1 .055803821 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 21) = 1960.95
 Source SS df MS Number of obs = 23
 84 
. twoway (scatter lndespserv timevar) 
 
 
Durante o período em pauta as despesas com serviços aumentaram a uma taxa 
(trimestral, por exemplo, se for a unidade de tempo usada) de 0,74% (multiplicamos 
0,0074258 por 100). Isto é, aproximadamente igual a uma taxa de crescimento anual de 
3%. Como 7,7890 = log de DESPSERV no início do período examinado, ao tomar seu 
antilogarítimo, obtemos 2413,90 (bilhões de dólares) como o valor inicial de 
DESPSERV. OBSERVAÇÃO: Para calcular o antilogarítimo basta fazer na calculadora 
e elevado no valor do intercepto. 
Para o cálculo da taxa de crescimento composta calculamos o antilogarítimo de 
0,0074258 que é 1,007453. Usamos então a seguinte fórmula [1,007453 – 1] e 
multiplicamos o resultadopor 100 que fica igual a 0,745%. Assim, a taxa de crescimento 
composta das despesas com serviços foi de cerca de 0,745% ao trimestre que é um pouco 
mais alta do que a taxa de crescimento instantânea de 0,742%. Tal diferença se deve ao 
efeito da decomposição. 
MODELO DE TENDÊNCIA LINEAR: 
Em lugar de estimar o modelo Y tln =  1 +  2 t + ut , os pesquisadores 
muitas vezes estimam o seguinte modelo Y t =  1 +  2 t + ut . Tal modelo é 
conhecido como o modelo de tendência linear e a variável t é conhecida como variável 
7
.8
7
.8
5
7
.9
7
.9
5
8
ln
d
e
s
p
s
e
rv
0 5 10 15 20 25
timevar
 85 
de tendência, onde o coeficiente angular positivo ou negativo mostra se Y tem tendência 
crescente ou decrescente no período em questão. Para nossos dados eis a regressão: 
.reg despserv timevar 
 
 
Interpretação: 
No período em pauta as despesas com serviços aumentaram, em média, a taxa 
absoluta (NÃO PERCENTUAL) de cerca de US$ 19,69 bilhões por trimestre (tendência 
crescente). 
. twoway (scatter despserv timevar) 
 
Repare que o eixo vertical do gráfico agora apresenta valores absolutos e não 
percentuais. 
2) A escolha de um modelo de taxa de crescimento e de um de tendência linear 
depende de que? 
De estarmos interessados na variação relativa ou absoluta (A VARIAÇÃO 
RELATIVA, EM GERAL, É O QUE NOS INTERESSA). Não podemos comparar os r
2
 
dos dois modelos, pois, temos regressandos (Y) diferentes. 
 
 _cons 2405.848 7.448785 322.99 0.000 2390.358 2421.339
 timevar 19.692 .5432585 36.25 0.000 18.56223 20.82177
 
 despserv Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 398700.297 22 18122.7408 Root MSE = 17.282
 Adj R-squared = 0.9835
 Residual 6272.09807 21 298.671337 R-squared = 0.9843
 Model 392428.199 1 392428.199 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 21) = 1313.91
 Source SS df MS Number of obs = 23
2
4
0
0
2
5
0
0
2
6
0
0
2
7
0
0
2
8
0
0
2
9
0
0
Y
1
0 5 10 15 20 25
timevar
 86 
MODELO LIN-LOG: 
1) Basicamente para que serve? 
Para conhecer a variação absoluta em Y dada uma variação percentual em X. Para 
isso, temos o seguinte modelo: 
Y i =  1 +  2 X iln + ui 
2) Como se interpreta o coeficiente angular 
2
? 
ntualdeXiaçãoperce
iaçãodeY
var
var
 
Assim, a variação absoluta de Y é igual ao coeficiente angular 
2
 multiplicado 
pela variação percentual em X. Se esta última for multiplicada por 0,01 (ou dividida por 
100), então teremos a variação absoluta em Y dada uma variação percentual em X. Ou 
seja, AO ESTIMARMOS A EQUAÇÃO POR MQO, NÃO PODEMOS ESQUECER DE 
MULTIPLICAR 
2
 POR 0,01 (OU DIVIDI-LO POR 100). 
EXEMPLO DO MODELO LIN-LOG: 
Usaremos a tabela 2.8 abaixo para inicialmente representar graficamente os dados 
(o que é sempre útil para ter uma idéia inicial sobre qual modelo usar). 
obs despalim desptot lndesptot 
1 217 382 5.945421 
2 196 388 5.961005 
3 303 391 5.968708 
4 270 415 6.028278 
5 325 456 6.122493 
6 260 460 6.131227 
7 300 472 6.156979 
8 325 478 6.169611 
9 336 494 6.202536 
10 345 516 6.246107 
11 325 525 6.263398 
12 362 554 6.317165 
13 315 575 6.35437 
14 355 579 6.361302 
15 325 585 6.371612 
16 370 586 6.37332 
17 390 590 6.380123 
18 420 608 6.410175 
19 410 610 6.413459 
20 383 616 6.423247 
21 315 618 6.426488 
22 267 623 6.434546 
23 420 627 6.440947 
 87 
24 300 630 6.44572 
25 410 635 6.453625 
26 220 640 6.461468 
27 403 648 6.473891 
28 350 650 6.476973 
29 390 655 6.484635 
30 385 662 6.495265 
31 470 663 6.496775 
32 322 677 6.517671 
33 540 680 6.522093 
34 433 690 6.536692 
35 295 695 6.543912 
36 340 695 6.543912 
37 500 695 6.543912 
38 450 720 6.579251 
39 415 721 6.580639 
40 540 730 6.593045 
41 360 731 6.594413 
42 450 733 6.597146 
43 395 745 6.613384 
44 430 751 6.621406 
45 332 752 6.622736 
46 397 752 6.622736 
47 446 769 6.645091 
48 480 773 6.650279 
49 352 773 6.650279 
50 410 775 6.652863 
51 380 785 6.665684 
52 610 788 6.669498 
53 530 790 6.672033 
54 360 795 6.678342 
55 305 801 6.685861 
 
. tsset obs, yearly 
 time variable: obs, 1 to 55 
 delta: 1 year 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 88 
 
. twoway (scatter despalim lndesptot) 
 
O gráfico sugere que as despesas com alimentos (DESPALIM) aumentam mais 
lentamente que as despesas totais (LNDESPTOT), o que parece confirmar a chamada 
“LEI DE ENGEL” (o total das despesas com alimentação tende a aumentar em progressão 
aritmética enquanto as despesas totais aumentam em progressão geométrica). 
Segue abaixo os resultados do modelo estimado como LIN-LOG: 
. gen lndesptot= ln(desptot) 
. reg despalim lndesptot 
 
INTERPRETAÇÃO: 
O coeficiente angular de 257,27 (LEMBRE DE DIVIDI-LO POR 100) significa 
que com um aumento de 1%, em média, nas despesas totais será acompanhado de um 
aumento de cerca de 2,57 unidades monetárias nas despesas com alimentos das famílias 
da amostra. 
 
MODELOS RECÍPROCOS: 
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
d
e
s
p
a
lim
6 6.2 6.4 6.6 6.8
lndesptot
 
 _cons -1283.912 292.8105 -4.38 0.000 -1871.215 -696.6083
 lndesptot 257.27 45.43413 5.66 0.000 166.1407 348.3993
 
 despalim Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 375916.436 54 6961.41549 Root MSE = 66.477
 Adj R-squared = 0.3652
 Residual 234219.388 53 4419.23374 R-squared = 0.3769
 Model 141697.048 1 141697.048 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 53) = 32.06
 Source SS df MS Number of obs = 55
 89 
1) Qual a fórmula básica de tais modelos e o que ela nos diz? 
Y i =  1 +  2 )
1
(
X i
 + ui 
Mesmo este modelo não sendo linear na variável X porque entra de modo inverso 
(recíproco), o modelo é linear em 
1
 e 
2
. Assim, é um modelo linear nos parâmetros 
(betas). Neste modelo quando X aumenta indefinidamente (tende ao infinito), o termo 

2
)
1
(
X i
 se aproxima de zero e Y se aproxima do valor limite (assintótico) 
1
. Se 
2
 
for POSITIVO, o coeficiente angular é SEMPRE NEGATIVO. Se 
2
 for NEGATIVO, 
o coeficiente angular é SEMPRE POSITIVO. 
EXEMPLO DE MODELO RECÍPROCO: 
Usando dados da tabela 6.4 abaixo relativos à mortalidade infantil (MI) e Produto 
Nacional Bruto per capta (PNBpc) de 64 países representaremos graficamente os dados: 
Fertilidade e outros dados de 64 países 
 
MI = mortalidade infantil 
TAF = taxa de alfabetização feminina, em % 
 
PNBpc = PNB per capita em 1980 
TTF = taxa total de fertilidade 
mi taf pnbpc ttf pnbpcrec 
128 37 1870 6.66 .0005348 
204 22 130 6.15 .0076923 
202 16 310 7 .0032258 
197 65 570 6.25 .0017544 
96 76 2050 3.81 .0004878 
209 26 200 6.44 .005 
170 45 670 6.19 .0014925 
240 29 300 5.89 .0033333 
241 11 120 5.89 .0083333 
55 55 290 2.36 .0034483 
75 87 1180 3.93 .0008475 
129 55 900 5.99 .0011111 
24 93 1730 3.5 .000578 
165 31 1150 7.41 .0008696 
94 77 1160 4.21 .0008621 
96 80 1270 5 .0007874 
148 30 580 5.27 .0017241 
98 69 660 5.21 .0015152161 43 420 6.5 .002381 
118 47 1080 6.12 .0009259 
269 17 290 6.19 .0034483 
189 35 270 5.05 .0037037 
 90 
126 58 560 6.16 .0017857 
12 81 4240 1.8 .0002358 
167 29 240 4.75 .0041667 
135 65 430 4.1 .0023256 
107 87 3020 6.66 .0003311 
72 63 1420 7.28 .0007042 
128 49 420 8.12 .002381 
27 63 19830 5.23 .0000504 
152 84 420 5.79 .002381 
224 23 530 6.5 .0018868 
142 50 8640 7.17 .0001157 
104 62 350 6.6 .0028571 
287 31 230 7 .0043478 
41 66 1620 3.91 .0006173 
312 11 190 6.7 .0052632 
77 88 2090 4.2 .0004785 
142 22 900 5.43 .0011111 
262 22 230 6.5 .0043478 
215 12 140 6.25 .0071429 
246 9 330 7.1 .0030303 
191 31 1010 7.1 .0009901 
182 19 300 7 .0033333 
37 88 1730 3.46 .000578 
103 35 780 5.66 .0012821 
67 85 1300 4.82 .0007692 
143 78 930 5 .0010753 
83 85 690 4.74 .0014493 
223 33 200 8.49 .005 
240 19 450 6.5 .0022222 
312 21 280 6.5 .0035714 
12 79 4430 1.69 .0002257 
52 83 270 3.25 .0037037 
79 43 1340 7.17 .0007463 
61 88 670 3.52 .0014925 
168 28 410 6.09 .002439 
28 95 4370 2.86 .0002288 
121 41 1310 4.88 .0007634 
115 62 1470 3.89 .0006803 
186 45 300 6.9 .0033333 
47 85 3630 4.1 .0002755 
178 45 220 6.09 .0045455 
142 67 560 7.2 .0017857 
 
 
 
 
 
 
. twoway (scatter mi pnbpc) 
 91 
 
Pelo gráfico se pode ver que com o aumento do PNB per capta (PNBpc), seria de 
se esperar uma redução da mortalidade infantil (MI) porque as pessoas podem se permitir 
maiores gastos com saúde. Porém, essa relação não é uma linha reta: Quando o PNB per 
capta aumenta há, no início, uma redução grande na mortalidade infantil, mas a queda se 
ameniza com o contínuo aumento do PNB per capta. 
Ao estimar a regressão obtivemos: 
. gen pnbpcrec= (1/pnbpc) 
. reg mi pnbpcrec 
 
 
M i = 81,79436 + 27273,16 )
1
(
PNB pc
 
Ep = (10,83206) (3759,999) 
NÃO ESQUECER DE TROCAR O SINAL DO COEFICIENTE 
ANGULAR: 
M i = 81,79436 - 27273,16 )
1
(
PNB pc
 
0
1
0
0
2
0
0
3
0
0
M
I
0 5000 10000 15000 20000
PNBpc
 
 _cons 81.79436 10.83206 7.55 0.000 60.14138 103.4473
 pnbpcrec 27273.16 3759.999 7.25 0.000 19757.03 34789.3
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 56.33
 Adj R-squared = 0.4503
 Residual 196731.405 62 3173.08717 R-squared = 0.4591
 Model 166946.595 1 166946.595 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 62) = 52.61
 Source SS df MS Number of obs = 64
 92 
Ep = (10,83206) (3759,999) 
INTERPRETAÇÃO: 
Na medida em que o PNB per capta aumenta indefinidamente, a mortalidade 
infantil se aproxima de seu valor limite de cerca de 82 mortes para cada mil nascimentos 
(com a troca do sinal temos a relação negativa – como se espera- entre a taxa de variação 
da mortalidade infantil e o PNB per capta). 
2) Por que ao escolher dentre as diversas formas funcionais para modelos 
econométricos deve se prestar bastante atenção ao termo de erro estocástico ui ? 
Porque o modelo de regressão linear clássico pressupõe de forma explicita que o 
termo de erro apresenta valor da média igual a zero e variância constante 
(HOMOCEDÁSTICA), além de ausência de autocorrelação com os regressores. È sob 
estas premissas que os estimadores obtidos por MQO são o melhor estimador linear não 
viesado (não tendencioso). Além disso, o modelo tem de ter distribuição normal. Assim, 
é preciso verificar se tais pressupostos se sustentam na forma funcional escolhida através 
de diferentes testes após ser feita a regressão. Por exemplo, se o modelo não tiver 
distribuição normal os testes clássicos (t, F, x
2
 que têm como base a premissa de 
normalidade do termo de erro) estão completamente errados o que leva a interpretações 
errôneas sobre o modelo em pauta. 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 6: 
6.1) Considere o seguinte modelo de regressão: 
y
i
= ux ii ++ 21 
Onde y
i
= )( YY i
−
− e )( XXx ii
−
−= . Neste caso, a linha de regressão deve 
passar pela origem. Verdadeiro ou falso? Mostre seus cálculos. 
Verdadeiro. A formula por MQO para estimar o intercepto é: 

1
= (Y
−
- 
2 X
−
). 
Mas, quando X e Y estão em forma de desvio seus valores são sempre zero. Daí 
o intercepto ser sempre zero nesse caso. 
y
i
= ux ii ++ 21 
)( YY i
−
− = 
1
+ 
2
 ( XX i
−
− ) 
 93 
0 = 
1
 + 0 

1
 = 0. 
6.2) Os seguintes resultados de uma regressão tomaram como base dados mensais 
do período de janeiro de 1978 a dezembro de 1987: 
Y t
^
 = 0,00681 + 0,75815 X t (MODELO A) 
Ep = (0,02596) (0,27009) 
T = (0,26229) (2,80700) r
2
 = 0,4406 
 
Y t
^
 = 0,76214 X t (MODELO B) 
Ep = (0,265799) 
T = (2,95408) r
2
= 0,43684 
Onde: Y = taxa mensal de retorno das ações ordinárias da Texaco, em %, e X = 
taxa mensal de retorno do mercado, em %. 
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão? 
No primeiro modelo temos dois parâmetros (
1
 e 
2
) diferentemente do 
segundo modelo no qual temos apenas um. Além disso, no primeiro modelo o intercepto 
(
1
) não é estatisticamente diferente de zero. Logo, o mesmo pode ser retirado do 
modelo. 
b) Dados os dados obtidos você manteria o termo de intercepto no primeiro 
modelo? 
Não. Usando um teste t com um nível de significância de 5%, com os graus de 
liberdade sendo 118 (GL = n (120) menos k (2)) temos um t crítico de 1,980. Com as 
seguintes hipóteses: 
H0: 
1
 = 0 
H1: 
1
 0 
Como o t calculado (0,265799) é < que o t crítico (1,980), não rejeitamos a 
hipótese nula de que o intercepto é nulo. Ou seja, devemos escolher o segundo modelo. 
 
c) Como interpretar os coeficientes angulares dos dois modelos? 
 94 
Para os dois modelos a interpretação é a mesma, um aumento de, digamos 1% na 
taxa de retorno mensal do mercado leva, em média, a um aumento de cerca de 0,76% na 
taxa de retorno mensal das ações ordinárias da Texaco ao longo do período em questão. 
d) Qual é a teoria que serve de alicerce para os dois modelos? 
A chamada Teoria do Portfólio, a qual relaciona o retorno mensal das ações da 
Texaco ao retorno mensal do mercado, como representado por um amplo índice de 
mercado. 
e) Podemos comparar os r
2
 dos dois modelos? 
Não. Pois o r
2
(coeficiente de determinação) que é sempre não negativo no 
modelo tradicional, pode, em alguns casos, ser negativo no modelo sem intercepto, 
porque o r
2
 assume de forma explicita que o intercepto está presente no modelo. Assim, 
o r
2
 calculado de forma convencional pode não ser adequado para modelos que passam 
pela origem. 
Para isso usamos o chamado r
2
BRUTO que é dado pela seguinte formula: 
r
2
bruto = 
 

YX
YX
ii
ii
22
2
)(
 Ou seja, esta soma dos quadrados e esta multiplicação 
de variáveis são BRUTAS (não corrigidas pela média). Embora esse r
2
bruto atenda a 
relação 0<r
2
<1, ele NÃO PODE ser comparado de forma direta ao valor do r
2
convencional. 
f) A estatística Jarque-Bera (JB) de normalidade do termo de erro do primeiro 
modelo é igual a 1,1167 e a 1,1170 para o segundo modelo. Que conclusões poderíamos 
tirar destas estatísticas? 
Como a amostra é grande podemos usar o teste JB para descobrir se os modelos 
têm distribuição normal. A estatística JB calculada é praticamente a mesma para os dois 
modelos (1,12). Como a estatística JB segue a distribuição x
2
 com graus de liberdade 
igual a 2 para o primeiro modelo (
1
 e 
2
) e igual a 1 para o segundo modelo (apenas 

1
) e um nível de significância de 5% para ambos os modelos, chegamosa um x
2
 
crítico de 5,99 para o primeiro modelo e de 3,84 para o segundo modelo. Com as seguintes 
hipóteses: 
 95 
H0: O modelo tem distribuição normal. 
H1: O modelo NÃO tem distribuição normal. 
Como o x
2
calculado (1,12) é menor que o x
2
crítico em ambos os modelos, não 
podemos rejeitar a hipótese nula ao nível de significância escolhido. Ou seja, os dois 
modelos têm distribuição normal. 
g) O valor t do coeficiente angular (
2
) do modelo sem intercepto é de cerca de 
2,95, enquanto o do modelo com intercepto é de 2,81. Há uma lógica por trás deste 
resultado? 
Conforme Theil (nota de rodapé número 4, página 139 do livro texto de Gujarat), 
se o intercepto estiver ausente do modelo, então passar a regressão pela origem, isto pode 
resultar em uma estimativa muito melhor (precisão) do coeficiente angular (
2
). 
6.3) Considere o seguinte modelo de regressão: 
Y i
1
 = 
1
 + 
2
(
X i
1
) + ui 
Nota: Nem X, nem Y assumem valor zero. 
a) É um modelo linear? 
Sim, já que é linear nos parâmetros (betas). 
b) Como poderíamos estimar este modelo? 
Definindo Y i
*
 = 
Y i
1
 e X i
*
 = 
X i
1
 e fazendo a regressão por MQO de Y i
*
 contra 
X i
*
. 
c) O que ocorre com Y quando X tende ao infinito? 
Y i
1
 = 
1
 + 
2
(
X i
1
) 
 
 
 
 
Quando X tende ao infinito, 
2
(
X i
1
) tende a zero. Com isso, ficamos com: 
 96 

1
 = 
Y i
1
. Ou seja, ficamos com Y i = 
1
1
. Então, quando X tende ao infinito, 
Y tende a 

1
1
. 
d) Pode dar um exemplo em que este tipo de modelo seria adequado? 
Este modelo pode ser adequado para analisar a relação entre o aumento da renda 
e a queda no consumo de um determinado bem (bem inferior ou os chamados Bens de 
Giffen). 
6.13) A partir dos dados da tabela 6.7 abaixo ajuste o seguinte modelo e obtenha 
as estatísticas de regressão habituais. Interprete os resultados. 
Y i−100
100
 = 
1
 + 
2
(
X i
1
) 
y x ynovo xrecip 
86 3 7.142857 .3333333 
79 7 4.761905 .1428571 
76 12 4.166667 .0833333 
69 17 3.225806 .0588235 
65 25 2.857143 .04 
62 35 2.631579 .0285714 
52 45 2.083333 .0222222 
51 55 2.040816 .0181818 
51 70 2.040816 .0142857 
48 120 1.923077 .0083333 
 
. gen ynovo= 100/(100-y) 
. gen xrecip= (1/x) 
. reg ynovo xrecip 
 
 
 
 
 
 
 
O modelo encontrado é o seguinte: 
 
 _cons 2.067528 .1595715 12.96 0.000 1.699555 2.4355
 xrecip 16.26623 1.323171 12.29 0.000 13.21499 19.31746
 
 ynovo Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 24.8499353 9 2.76110393 Root MSE = .39518
 Adj R-squared = 0.9434
 Residual 1.24931491 8 .156164364 R-squared = 0.9497
 Model 23.6006204 1 23.6006204 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 8) = 151.13
 Source SS df MS Number of obs = 10
 97 
Y i−100
100
 = 2,0675 + 16,2662 (
X i
1
) 
EP = (0,1596) (1,3232) r
2
 = 0,9497 
Na medida em que X tende ao infinito, 
Y i−100
100
 se aproxima do valor limite de 
2,0675, o que significa que Y tende ao valor limite aproximado de 51,6324. 
6.14) Para medir a elasticidade de substituição entre capital e trabalho, Arrow, 
Chenery, Minhas e Solow, os autores da agora famosa função de produção CES 
(elasticidade de substituição constante) recorreram ao seguinte modelo: 
)log(
L
V
= 
1
log + 
2
wlog + u 
Onde: )(
L
V
= valor adicionado por unidade de trabalho 
w = salário real 
O coeficiente 
2
 mede a elasticidade de substituição entre capital e trabalho (isto 
é, a alteração proporcional nos fatores em relação à variação proporcional nos preços 
relativos dos fatores). Com base nos dados da tabela 6.8 abaixo, verifique se a elasticidade 
estimada é igual 1,3338 e se ela não difere de maneira estatística e significativa de 1. 
logvl logw 
3.6973 2.9617 
3.4795 2.8532 
4.0004 3.1158 
3.6609 3.0371 
3.2321 2.8727 
3.3418 2.9745 
3.4308 2.8287 
3.3158 3.0888 
3.5062 3.0086 
3.2352 2.968 
3.8823 3.0909 
3.7309 3.0881 
3.7716 3.2256 
3.6601 3.1025 
3.7554 3.1354 
 
 
 
 
. reg logvl logw 
 
 98 
 
Segue abaixo o modelo estimado: 
 )log(
L
V
= -0,4526 + 1,3338 wlog + u 
EP = (1,3514) (0,4467) 
T = (-0,33) (2,99) r
2
 = 0,4068 
Podemos verificar através do resultado da regressão que a elasticidade estimada é 
igual a 1,3338. 
Para verificar se a elasticidade não difere de maneira estatística e significativa de 
1, usaremos: 

^
2
 = 1,3338 e 
*
2
= 1 (que o que vamos testar). 
A fórmula será: t calculado = 
)(
^
2
*
2
^
2


ep
−
 = 
44671,0
13338,1 −
 = t calculado = 0,7472 
Com um nível de significância de 5% e graus de liberdade iguais a 13 temos um t 
crítico de 2,16. Usaremos as seguintes hipóteses: 
H0: 
2
 = 1 
H1: 
2
 1 
Como, com um nível de significância de 5%, o t calculado é menor que o t crítico 
não rejeitamos a hipótese nula de que o verdadeiro 
2
 (elasticidade de substituição 
verdadeira entre capital e trabalho) seja 1 (lembre-se que estamos falando em termos 
estatísticos). 
 
 _cons -.4526 1.351479 -0.33 0.743 -3.372292 2.467092
 logw 1.333785 .4467064 2.99 0.011 .3687349 2.298836
 
 logvl Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .789357813 14 .056382701 Root MSE = .18979
 Adj R-squared = 0.3612
 Residual .468245114 13 .036018855 R-squared = 0.4068
 Model .321112699 1 .321112699 Prob > F = 0.0105
 F( 1, 13) = 8.92
 Source SS df MS Number of obs = 15
 99 
 
6.15) A tabela 6.9 abaixo apresenta os dados do deflator do PIB (que funciona 
como um índice de preços que retira os efeitos da inflação sobre a medida do produto – é 
a razão entre a soma de todos os preços no instante atual multiplicados pelas quantidades 
no instante atual e a soma de todos os preços no instante anterior multiplicados pelas 
quantidades do instante atual) para os bens produzidos internamente e o deflator do PIB 
para as importações de Cingapura no período 1962-1982. O deflator do PIB é muitas 
vezes usado como indicador de inflação no lugar do IPC (índice de preços ao 
consumidor). Cingapura é uma pequena economia aberta que depende em grande medida 
das importações para sua sobrevivência. 
Deflator do PIB para bens produzidos internamente 
Deflator do PIB para importações, Cingapura, 1968-1982. 
 
 YEAR = Ano 
 Y = Deflator do PIB para bens produzidos internamente 
 X = Deflator do PIB para importações 
YEAR Y X 
1968 1000 1000 
1969 1023 1042 
1970 1040 1092 
1971 1087 1105 
1972 1146 1110 
1973 1285 1257 
1974 1485 1749 
1975 1521 1770 
1976 1543 1889 
1977 1567 1974 
1978 1592 2015 
1979 1714 2260 
1980 1841 2621 
1981 1959 2777 
1982 2033 2735 
 
 
 
 100 
Para estudar a relação entre os preços internos e preços mundiais são propostos os 
seguintes modelos: 
1. Y t = uX tt ++ 21 
2. Y t = uX tt + 2 
a) Como faria uma escolha a priori entre os dois modelos? 
Se estivermos convictos, a priori, deque há uma relação de um para um, rigorosa 
entre os dois deflatores, o modelo adequado seria aquele SEM o intercepto. 
b) Ajuste os dois modelos aos dados e veja qual deles proporciona um melhor 
ajustamento. 
Modelo 1: 
. tsset year, yearly 
 time variable: year, 1968 to 1982 
 delta: 1 year 
. reg y x 
 
 
 
Y t = 516,0898 + 0,53397 X t 
Ep = (40,56311) (0,0217446) r
2
 = 0,9789 
Modelo 2. 
. reg y x, noconst 
 
 
Y t = 0,79495 X t 
Ep = (0,0255) r
2
 = 0,9858 
Como o intercepto é altamente significativo no primeiro modelo, ajustar o 
segundo modelo terá como resultado um grave erro de especificação (modelo viesado). 
 
 _cons 516.0898 40.56311 12.72 0.000 428.4586 603.7211
 x .5339693 .0217446 24.56 0.000 .4869929 .5809456
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1674160.93 14 119582.924 Root MSE = 52.132
 Adj R-squared = 0.9773
 Residual 35330.2877 13 2717.71444 R-squared = 0.9789
 Model 1638830.65 1 1638830.65 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 13) = 603.02
 Source SS df MS Number of obs = 15
 
 x .7949521 .0255023 31.17 0.000 .740255 .8496491
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 33461554 15 2230770.27 Root MSE = 184.25
 Adj R-squared = 0.9848
 Residual 475268.713 14 33947.7652 R-squared = 0.9858
 Model 32986285.3 1 32986285.3 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 14) = 971.68
 Source SS df MS Number of obs = 15
 101 
 c) Que outro modelo poderia ser ajustado a esses dados? 
Poderia ser usado um modelo duplo-log, conforme mostrado abaixo. 
. gen lny=ln(y) 
. gen lnx=ln(x) 
. reg lny lnx 
 
Modelo duplo-log: 
Y tln = 2,49359 – 0,642829 X tln 
Ep = (0,1817) (0,0245) r
2
 = 0,9815 
Para este modelo o coeficiente angular (
2
), mede a elasticidade de Y em 
relação a uma variação percentual (pequena) em X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 _cons 2.493591 .1817771 13.72 0.000 2.100885 2.886296
 lnx .6428293 .0245062 26.23 0.000 .5898868 .6957717
 
 lny Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .826306457 14 .05902189 Root MSE = .03433
 Adj R-squared = 0.9800
 Residual .015322036 13 .001178618 R-squared = 0.9815
 Model .81098442 1 .81098442 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 13) = 688.08
 Source SS df MS Number of obs = 15
 102 
CAPÍTULO 7: 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA: O 
PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO 
1) Qual é a fórmula do modelo de regressão de três variáveis? 
Y i =  1 +  2 X i2 +  3 X i3 + ui 
Onde Y é a variável dependente e X i2 e X i3 , as variáveis explicativas 
(regressores). 
2) O que nos diz o coeficiente 
1
? 
É o intercepto que como de costume dá o efeito médio sobre Y de todas as 
variáveis excluídas do modelo, embora sua interpretação mecânica seja que se trata do 
valor médio de Y quando X i2 e X i3 são igualados a zero. 
3) Como são conhecidos os coeficientes de regressão 
2
 e 
3
 e qual o seu 
significado? 
São conhecidos como coeficientes angulares parciais. Seu significado é o 
seguinte: 

2
 mede a variação no valor médio de Y, por unidade de variação em X 2 , 
mantendo-se o valor de X 3 constante. Ou seja, ele nos dá o efeito direto de uma variação 
de uma unidade de variação em X 2 sobre o valor médio de Y, excluídos os efeitos que 
X 3 possa ter sobre a média de Y. Do mesmo modo,  3 mede a variação do valor médio 
de Y por unidade de variação em X 3 , mantendo-se constante o valor de X 2 . 
 4) Obtenha os estimadores de MQO do modelo de três variáveis? 
Y i =  1 +  2 X i2 +  3 X i3 + ui (FRP) 
Usaremos o seguinte modelo: 
Y i = 
^
1
 + 
^
2 X i2 + 
^
3 X i3 + ui
^
 
O procedimento de MQO consiste em escolher valores dos parâmetros 
desconhecidos tais que a soma do quadrado dos resíduos (SQR) ui
2^
 seja a menor 
possível. Ou seja: 
 103 
minui
2^
 =  −−− )
2
3
^
3
^
2
^
1
( XY ii  parcialmente em relação às três 
incógnitas e igualando as três equações resultantes, obtemos: 

^
1
2^

ui = 2  −−− )3
^
3
^
2
^
1
( XY ii  (-1) = 0. 

^
2
2^

ui = 2  −−− )3
^
3
^
2
^
1
( XY ii  ( X i2− ) = 0. 

^
3
2^

ui = 2  −−− )3
^
3
^
2
^
1
( XY ii  ( X i3− ) = 0. 
Com isso, chegaremos as seguintes equações: 

^
1
 = Y
−
 - X
−
2
^
2
 - X
−
3
^
3
 
Seguindo a convenção de denotar por minúsculas os valores médios amostrais, 
podemos deduzir as seguintes fórmulas: 

^
2
 = 
  
   
−
−
)
2
32
2
3
2
2
323
2
32
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii 

^
3
 = 
  
   
−
−
)
2
32
2
3
2
2
322
2
23
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii 
5) Qual a diferença entre o r
2
 e o R
2
? 
No caso de duas variáveis o r
2
 mede a qualidade do ajustamento da equação de 
regressão, isto é nos mostra a variação percentual da variação total da variável 
dependente Y que é explicada pela variável explicativa (única) X. Essa notação pode ser 
estendida aos modelos com mais de duas variáveis. Assim, no caso do modelo de três 
variáveis queremos conhecer a proporção da variação de Y que é explicada, 
conjuntamente, pelas variáveis X 2 e X 3 . O número que nos oferece essa informação 
é o COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO MÚLTIPLO, chamado de R
2
, 
conceitualmente igual a r
2
. 
6) Deduza a fórmula de R
2
? 
Y i = 
^
1
 + 
^
2 X i2 + 
^
3 X i3 + ui
^
 que é igual a: 
 104 
Y i = Y i
^
 + ui
^
 
Onde Y i
^
 é o valor estimado de Y i dado pela linha de regressão ajustada aos 
dados e é um estimador da verdadeira  )
,
(
32 XX
Y
ii
i .Passando a usar as letras 
minúsculas para indicar os desvios em relação à média, a equação Y i = Y i
^
 + ui
^
 pode 
ser escrita como: 
y
i
 = 
^
2 x i2 + 
^
3 x i3 + ui
^
 que é igual a: 
 y
i
 = y
i
^
+ ui
^
 
Elevando os dois lados da equação e somando os valores amostrais, chegamos a: 
 y
i
2
 =  y
i
2^
 + ui
2^
 + 2 uy ii
^^
 
Como pressupomos não haver autocorrelação entre os regressandos e o termo de 
erro (2 uy ii
^^
 = 0), nossa equação fica igual a: 
 y
i
2
 =  y
i
2^
 + ui
2^
 
Que nos diz que a soma total dos quadrados (STQ) é igual à soma dos quadrados 
explicados pela regressão (SQE) mais (+) a soma dos quadrados dos resíduos (SQR). 
Substituindo ui
2^
por   −− xyxyy iiiii 3
^
32
^
2
2
 (VER APÊNDICE 
7A DO LIVRO TEXTODE GUJARAT), obtemos: 
 y
i
2
 =  y
i
2^
+   −− xyxyy iiiii 3
^
32
^
2
2
 que reorganizada se 
transforma em: 
SQE =  y
i
2^
 =  + xyxy iiii 3
^
32
^
2
 
 
 
Por definição: 
R
2
= 
STQ
SQE
 = 

 +
y
xyxy
i
iiii
2
3
^
32
^
2

 = 1- 
STQ
SQR
 = 1 - 


y
u
i
i
2
2^
 
 105 
7) Qual a diferença entre r (coeficiente de correlação que mede o grau de 
associação linear entre duas variáveis) e R (coeficiente análogo da regressão 
MÚLTIPLA que mede o grau de associação entre Y e TODAS as variáveis em conjunto)? 
Embora r possa ser positivo ou negativo, R é SEMPRE positivo (porém, na 
prática, R tem pouca importância, o que tem relevância é o R
2
). 
8) Em uma regressão múltipla, qual é a fórmula da variância? 

2^
 = 
kn
ui
−

2^
 onde: n = número de observações e k = número de regressores da 
regressão múltipla. 
8) Exemplo de regressão múltipla? 
No capítulo 6 analisamos o comportamento da mortalidade infantil (MI) em 
relação ao PNB per capta (PNBpc) e verificamos que essa variável tinha uma influência 
negativa na mortalidade infantil, como seria de se esperar. Agora analisaremos a 
influência da alfabetização feminina (TAF) em relação à mortalidade infantil (MI), 
esperando, a priori, uma relação negativa. Agora, devemos isolar a influência de cada um 
dos regressores. Vamos usar a mesma tabela 6.4 de antes. 
Fertilidade e outros dados de 64 países 
 
MI = mortalidade infantil 
TAF = taxa de alfabetização feminina, em % 
 
PNBpc = PNB per capita em 1980 
Miest = mortalidade infantil estrela (Variável padronizada) 
Tafest = taxa de alfabetização feminina estrela (variável padronizada) 
Pnbpcest = PNB estrela (variável padronizada) 
mi taf pnbpc miest tafest pnbpcest 
128 37 1870 -.1776828 -.5455081 .1719744 
204 22 130 .8226058 -1.122257 -.4663946 
202 16 310 .7962824 -1.352956 -.4003565 
197 65 570 .7304739 .5310894 -.304968 
96 76 2050 -.598857 .9540385 .2380126 
209 26 200 .8884143 -.9684572 -.4407131 
170 45 670 .3751082 -.2379088 -.2682801 
240 29 300 1.296427 -.8531075 -.4040253 
241 11 120 1.309588 -1.545206 -.4700634 
55 55 290 -1.138486 .1465903 -.407694 
75 87 1180 -.8752525 1.376988 -.0811719 
129 55 900 -.1645212 .1465903 -.183898 
24 93 1730 -1.546499 1.607687 .1206114 
165 31 1150 .3092998 -.7762076 -.0921783 
94 77 1160 -.6251804 .9924884 -.0885095 
96 80 1270 -.598857 1.107838 -.0481528 
 106 
148 30 580 .085551 -.8146576 -.3012992 
98 69 660 -.5725336 .6848891 -.2719489 
161 43 420 .256653 -.3148087 -.3599998 
118 47 1080 -.3092998 -.161009 -.1178598 
269 17 290 1.678116 -1.314506 -.407694 
189 35 270 .6251804 -.622408 -.4150316 
126 58 560 -.2040062 .26194 -.3086368 
12 81 4240 -1.704439 1.146288 1.041477 
167 29 240 .3356232 -.8531075 -.426038 
135 65 430 -.085551 .5310894 -.356331 
107 87 3020 -.4540784 1.376988 .593885 
72 63 1420 -.9147376 .4541896 .006879 
128 49 420 -.1776828 -.0841092 -.3599998 
27 63 19830 -1.507014 .4541896 6.761117 
152 84 420 .1381978 1.261638 -.3599998 
224 23 530 1.08584 -1.083807 -.3196431 
142 50 8640 .0065808 -.0456593 2.655744 
104 62 350 -.4935635 .4157397 -.3856813 
287 31 230 1.915026 -.7762076 -.4297068 
41 66 1620 -1.32275 .5695394 .0802547 
312 11 190 2.244069 -1.545206 -.4443819 
77 88 2090 -.8489292 1.415437 .2526878 
142 22 900 .0065808 -1.122257 -.183898 
262 22 230 1.585984 -1.122257 -.4297068 
215 12 140 .9673844 -1.506756 -.4627258 
246 9 330 1.375397 -1.622106 -.3930189 
191 31 1010 .6515038 -.7762076 -.1435413 
182 19 300 .5330486 -1.237607 -.4040253 
37 88 1730 -1.375397 1.415437 .1206114 
103 35 780 -.5067252 -.622408 -.2279234 
67 85 1300 -.9805461 1.300088 -.0371465 
143 78 930 .0197425 1.030938 -.1728916 
83 85 690 -.769959 1.300088 -.2609425 
223 33 200 1.072678 -.6993078 -.4407131 
240 19 450 1.296427 -1.237607 -.3489934 
312 21 280 2.244069 -1.160707 -.4113628 
12 79 4430 -1.704439 1.069388 1.111184 
52 83 270 -1.177971 1.223188 -.4150316 
79 43 1340 -.8226058 -.3148087 -.0224713 
61 88 670 -1.059516 1.415437 -.2682801 
168 28 410 .3487849 -.8915574 -.3636686 
28 95 4370 -1.493852 1.684587 1.089171 
121 41 1310 -.2698147 -.3917085 -.0334777 
115 62 1470 -.3487849 .4157397 .0252229 
186 45 300 .5856953 -.2379088 -.4040253 
47 85 3630 -1.24378 1.300088 .8176811 
178 45 220 .4804018 -.2379088 -.4333755 
142 67 560 .0065808 .6079893 -.3086368 
 
Vamos usar inicialmente o seguinte o modelo: 
MI i =  1 +  2 PNB pc +  3 TAF i + ui 
 107 
Usando o STATA chegamos a: 
. reg mi pnbpc taf 
 
 
 
MI i = 263,6416 – 0,005647 PNB pc - 2,231586TAF i 
EP = (11,59318) (0,0020) (0,2099) R
2
 = 0,7077 
INTERPRETAÇÃO: 

2
: Mantida constante a influência da TAF, quando o PNBpc aumenta, em 
digamos, uma unidade monetária, a mortalidade infantil cai, em média, de 0,0056 
unidades de medida. Ou então, se o PNB per capta aumenta em, digamos, R$ 1.000,00, o 
número de mortes de crianças até cinco anos cai, em média, de cerca de 5,6 por mil 
nascidos vivos. 

3
: Mantida constante a influência do PNBPC, o número de mortes de crianças 
de menos de cinco anos se reduz, em média, em cerca de 2,23 por mil nascidos vivos 
quando a taxa de alfabetização feminina aumenta em, digamos, um ponto percentual. 

1
: O valor do intercepto de cerca de 263, interpretado de forma mecânica, nos 
diz que se os valores do PNBpc e da TAF fossem fixados como zero, ainda assim, a 
mortalidade infantil seria de cerca de 263 mortes a cada mil nascidos vivos (ANALISAR 
TAL TERMO SEMPRE COM CERTA RESSALVA). 
R
2
: Cerca de 71% da variação da mortalidade infantil pode ser explicada pela 
taxa de alfabetização feminina e o produto nacional bruto per capta. 
Enfim, os sinais encontrados para os coeficientes fazem sentido do ponto de vista 
econômico. 
USANDO OS MESMOS DADOS PARA FAZER UMA REGRESSÃO 
PADRONIZADA: 
Fórmula para padronização: 
 
 _cons 263.6416 11.59318 22.74 0.000 240.4596 286.8236
 taf -2.231586 .2099472 -10.63 0.000 -2.651401 -1.81177
 pnbpc -.0056466 .0020033 -2.82 0.006 -.0096524 -.0016408
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 41.748
 Adj R-squared = 0.6981
 Residual 106315.627 61 1742.87913 R-squared = 0.7077
 Model 257362.373 2 128681.187 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 61) = 73.83
 Source SS df MS Number of obs = 64
 108 
Y i
*
= 
S
YY
Y
i
−
−
 e X i
*
= 
S
XX
X
i
−
−
 
Onde: Y
−
= média amostral de Y, SY = desvio-padrão amostral de Y. O mesmo 
vale para X. As variáveis Y i
*
 e X i
*
são chamadas de padronizadas. Além disso, nas 
variáveis padronizadas sua média é SEMPRE zero e seu desvio-padrão é SEMPRE 1. 
Logo, ao invés de calcular a regressão padrão uY ii ++=  21 , podemos calcular a 
regressão padronizada Y i
*
= 
*
1
+ uX ii
***
2
+ 
Porém, sabemos que o intercepto (
1
) é igual ao valor médio da variável 
dependente menos o coeficiente angular multiplicado pelo valor médio do regressor. Mas, 
no caso das variáveis padronizadas, os valores médios da variável dependente e do 
regressor são zero. Assim, o valor do intercepto será zero. Logo, a regressão padronizada 
ficará igual a Y i
*
= uX ii
***
2
+ . 
Pelo stata: 
Através do programa obteremos a média amostral e o desvio-padrão amostral de 
cada uma das variáveis do modelo. 
. sum 
 
 
 
. gen miest= (mi-141.5)/75.97807 
. gen tafest=(taf-51.1875)/26.00786 
. gen pnbpcest=( pnbpc-1401.25)/2725.696 
 
 
 
 
LEMBRANDO: Que no modelo padronizado a regressão passa pela origem. 
. reg miest tafest pnbpcest, noconst 
 
 pnbpc 64 1401.25 2725.696 120 19830
 taf 64 51.1875 26.00786 9 95
 mi 64 141.5 75.97807 12 312
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 109 
 
 
Ficamos então com o seguinte modelo: 
MI i
*
 = -0,20257 PNB pc
*
 - 0,76389TAF i
*
 
Ep = (0,07128) (0,07128) R
2
 = 0,7077 
INTERPRETAÇÃO: 
PNB pc
*
: Com a TAF mantida constante, um aumento de UM DESVIO-
PADRÃO no PNBpc conduz, em média, a uma redução de 0,20257 DESVIO-PADRÃO 
na mortalidade infantil (MI). 
TAF i
*
: Com o PNBpc mantido constante, um aumento de UM DESVI-
PADRÃO na TAF provoca, em média, uma queda de 0,76389 DESVIO-PADRÃO na 
mortalidade infantil (MI). 
FALANDO EM TERMOS RELATIVOS: A alfabetização das mulheres – TAF – 
tem mais influência (0,76) sobre a mortalidade infantil do que o Produto Nacional Bruto 
per capta – PNBpc – (0,20). Ou seja, as variáveis padronizadas permitem colocar todas 
as variáveis do modelo em pé de igualdade já que todas as variáveis padronizadas têm 
MÉDIA ZERO e VARIÂNCIA IGUAL A 1. 
 9) Ao levar em conta as duas regressões a seguir: 
uXXY iiii +++= 33221ln  
XXY iii 33221  ++= 
É possível comparar os R
2
 obtidos? 
Ao comparar dois modelos com base no coeficiente de determinação ( R
2
), o 
tamanho da amostra (n) e a variável dependente (Y) devem ser os mesmos. Já, as variáveis 
explicativas (x) podem assumir qualquer forma. No caso acima, então, os R
2
 obtidos 
NÃO podem ser comparados. 
 
 pnbpcest -.2025703 .0712846 -2.84 0.006 -.3450662 -.0600745
 tafest -.7638884 .0712846 -10.72 0.000 -.9063843 -.6213926
 
 miest Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 62.999996 64 .984374938 Root MSE = .54502
 Adj R-squared = 0.6982
 Residual 18.4170725 62 .297049557 R-squared = 0.7077
 Model 44.5829235 2 22.2914618 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 62) = 75.04
 Source SS df MS Number of obs = 64
 110 
10) Por que é importante tomar cuidado com o que Gujarat chama de “Jogo da 
maximização de R
2
”? 
Porque em uma análise empírica não é raro obter um R
2
 muito alto, mas com 
alguns dos coeficientes estatisticamente insignificantes ou com sinais contrários aos 
esperados a priori. Portanto, o pesquisador deve se preocupar com a relevância lógica ou 
teórica das variáveis explicativas em relação a variável dependente e em suas 
significâncias estatísticas. Se nesse processo obtivermos um R
2
 alto, ótimo; por outro 
lado, se o coeficiente for baixo, isso não significa que o modelo seja necessariamente 
ruim. Segundo Goldberger, para melhor medir o sucesso de uma previsão (ou melhor, 
fracasso) ou qualidade de ajustamento da amostra, então, talvez a 
2
 seja suficiente, já 
que é o quadrado do erro de previsão esperado que resultaria se a população (FRP) fosse 
usada como previssor. 
11) EXEMPLO DE FORMAS FUNCIONAIS: 
A FUNÇÃO COBB-DOUGLAS 
Dada a seguinte fórmula: 
Y i =  1 X i

2
2 X i

3
3 e
u i 
Onde: Y = produção 
 X 2 = insumo de mão-de-obra 
 X 3 = insumo de capital 
 u = termo de erro 
 e = logaritmo de base natural 
A equação acima mostra claramente que a relação entre a produção e os dois 
insumos não é linear. Porém, se transformamos logaritmicamente este modelo, 
obteremos: 
Y iln =  1ln + X i22 ln + X i33 ln + ui 
Definindo 
1
ln = 
0
, ficamos com o seguinte modelo: 
Y iln =  0 + X i22 ln + X i33 ln + ui 
 111 
Assim, ficamos com um modelo linear nos parâmetros (betas). Ou seja, temos um 
modelo que não é linear nas variáveis Y e X, mas é linear nos logaritmos dessas variáveis, 
transformando-se em um modelo duplo-log de regressão múltipla. 
12) Quais são as principais características da função de produção Coob-Douglas? 
a) 
2
: é a elasticidade (parcial) do produto em relação ao insumo mão-de-obra (
X 2 ), isto é, mede a variação percentual da produção quando ocorre, digamos, uma 
variação de 1% no insumo de mão-de-obra, enquanto o capital ( X 3 ) é mantido constante. 
b) 
3
: é a elasticidade (parcial) do produto em relação ao insumo de capital ( X 3
), isto é, mede a variação percentual da produção quando ocorre, digamos, uma variação 
de 1% no insumo de capital, enquanto a mão-de-obra ( X 2 ) é mantida constante. 
c) A soma (
2
+
3
) nos informa sobre os RETORNOS DE ESCALA. Ou seja, 
a resposta do produto a uma variação PROPORCIONAL dos insumos. Se a soma for 
igual a 1 existe retornos constantes de escala (se dobrarmos o uso de insumos, a produção 
dobrará, se triplicarmos os insumos, a produção triplicará). Se a soma for menor que 1 
existe retornos decrescentes de escala (se dobrarmos o uso de insumos, a produção 
aumentará menos que o dobro). Se a soma for maior que 1 existe retornos crescentes de 
escala (se dobrarmos o uso de insumos, a produção aumentará mais que o dobro). 
Para um exemplo numérico usaremos a tabela 7.3 abaixo: 
Produto bruto real. Dias trabalhados e insumo de capital real no setor 
 Agrícola de Taiwan. 1958-1972 
ANO = Ano 
Y = Produto bruto real. Milhões de NT $ 
X2 = Dias trabalhados (em milhões) 
X3 = Insumo de capital real (em milhões de NT $) 
 Ano y x2 x3 lny lnx2 lnx3 
1958 16607.7 275.5 17803.7 9.717622 5.618587 9.787162 
1959 17511.3 274.4 18096.8 9.770601 5.614587 9.803491 
1960 20171.2 269.7 18271.8 9.912011 5.59731 9.813114 
1961 20932.9 267 19167.3 9.949078 5.587249 9.860961 
1962 20406 267.8 19647.6 9.923584 5.59024 9.885711 
1963 20831.6 275 20803.5 9.944226 5.616771 9.942877 
1964 24806.3 283 22076.6 10.11885 5.645447 10.00227 
1965 26465.8 300.7 23445.2 10.18361 5.706113 10.06242 
1966 27403 307.5 24939 10.21841 5.728475 10.12419 
1967 28628.7 303.7 26713.7 10.26217 5.716041 10.19293 
1968 29904.5 304.7 29957.8 10.30576 5.719328 10.30754 
1969 27508.2 298.6 31585.9 10.22224 5.699105 10.36047 
1970 29035.5 295.5 33474.5 10.27627 5.688669 10.41854 
1971 29281.5 299 34821.8 10.28471 5.700444 10.458 
 112 
1972 31535.8 288.1 41794.3 10.35888 5.663308 10.64052 
 
. tsset ano, yearly 
 time variable: ano, 1958 to 1972 
 delta: 1 year 
. gen lny=ln(y) 
. gen lnx2=ln(x2) 
. gen lnx3=ln(x3) 
. reg lny lnx3 lnx2 
 
 
 
Segue abaixo o modelo estimado: 
Y iln = -3,33846 + 1,498767 X i2ln + 0,489859 X i3ln 
Ep = (2,4495) (0,5398) (0,1020) 
T = (-1,36) (2,78) (4,80) R
2
 = 0,8890 
INTERPRETAÇÃO: 

2
: No período analisado, mantido constante o capital, um aumento de, digamos, 
1% no insumo de mão-de-obra provocava, em média, um aumento de cerca de 1,5% na 
produção. 

3
: No período analisado, mantido constante o insumo de mão-de-obra, um 
aumento de , digamos, 1% no aumento do insumo de capital provocava, em média, um 
aumento de cerca de 0,5% na produção. 

2
+ 
3
: Somando as duas elasticidades parciais, verificamos que o parâmetro 
que mede os retornos de escala foi de 1,99. Ou seja, durante o período analisado, a 
agricultura de Taiwan apresentou retornos CRESCENTES de escala.R
2
: O valor de cerca de 0,8890 mostra que cerca de 89% da variação (do 
logaritmo) da produção é explicada pelos logaritmos da mão-de-obra e do capital. 
13) Qual é a forma geral e o que são os chamados “modelos de regressão 
polinomial”? 
=Y i  0 +  1 X i +  2 X i
2
 + .......+ 
k X
k
i
 + ui 
 
 _cons -3.338459 2.449504 -1.36 0.198 -8.675471 1.998552
 lnx2 1.498767 .5398018 2.78 0.017 .3226405 2.674894
 lnx3 .4898585 .1020435 4.80 0.000 .2675249 .7121922
 
 lny Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .605196377 14 .043228313 Root MSE = .07481
 Adj R-squared = 0.8705
 Residual .067158351 12 .005596529 R-squared = 0.8890
 Model .538038027 2 .269019013 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 12) = 48.07
 Source SS df MS Number of obs = 15
 113 
São tipos de regressão em que só existe uma variável explicativa do lado direito 
da equação, mas ela aparece elevada a várias potências, o que a torna um modelo de 
regressão múltipla. Além disso, como os parâmetros betas são lineares, tal modelo pode 
ser estimado por MQO. 
14) Dê um exemplo de modelos polinomiais? 
Para exemplificar a regressão polinomial, usaremos os dados da tabela 7.4 abaixo 
sobre produção e custo total de um produto no curto prazo. 
Custo total e produção 
 
Y = custo total em dólares 
 
X = produção 
x y x2 x3 
1 193 1 1 
2 226 4 8 
3 240 9 27 
4 244 16 64 
5 257 25 125 
6 260 36 216 
7 274 49 343 
8 297 64 512 
9 350 81 729 
10 420 100 1000 
 
Para ter uma primeira idéia sobre qual modelo usar faremos um gráfico com os 
dados iniciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. twoway (scatter y x) 
 114 
 
Através do gráfico fica claro que a relação entre custo total e produção é parecida 
com uma curva em “S” alongado. Ou seja, a curva de custo total começa aumentando 
pouco a pouco no início e depois aceleradamente, como previsto pela LEI DOS 
RETORNOS DECRESCENTES. A forma “S” da curva de custo total pode ser capturada 
pelo seguinte modelo cúbico (polinômio de terceiro grau). 
=Y i  0 +  1 X i +  2 X i
2
 + 
3 X i
3
 + ui 
O que nos diz a teoria econômica sobre a função cúbica de custos no curto prazo? 
A teoria elementar dos preços mostra que, no curto prazo, as curvas de custo marginal 
(CMg) e de custo médio (CM) apresentam, de modo geral, o formato de um “U” – no 
início, tanto o CMg quanto o CM caem, mas depois de atingir certo nível de produção, as 
duas curvas se voltam para cima por causa da lei dos retornos decrescentes. Além disso, 
já que tanto a curva de CMg quanto a de CM derivam da curva de custo total, a natureza 
de U impõe certas restrições aos parâmetros da curva de custo total (certas restrições para 
que seja possível observar o típico formato de U das curvas de CMg e de CM de curto 
prazo). São eles: 
a) 
0
, 
1
 e 
3
 > 0. 
b) 
2
 < 0. 
2
0
0
2
5
0
3
0
0
3
5
0
4
0
0
Y
0 2 4 6 8 10
X
 115 
c) 
2
2
 < 3
1

3
 
Os resultados empíricos têm de estar de acordo com estas expectativas a priori, 
caso contrário, terá ocorrido um erro de especificação (escolha do modelo errado). 
Segue abaixo o modelo estimado através do Stata. 
. gen x2=x^2 
. gen x3=x^3 
. reg y x x2 x3 
 
=Y i 141,7667+ 63,4777 X i - 12,9615 X i
2
 + 0,9396 X i
3
 
Ep = (6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591) R
2
 = 0,9983 
Interpretação: Todos os coeficientes são de forma individuais, estatisticamente 
significativos e corroboram as expectativas existentes a priori quanto aos sinais. E, além 
disso, 
2
2
 (168) é MENOR que 3
1

3
 (399,62). 
CUSTO FIXO = 141,77. 
CUSTO MARGINAL = 63,48. 
O custo total de produção diminui até certo nível de produção (-12,96), após este 
nível ele aumenta em 0,94 unidades monetárias para cada unidade produzida. 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 7: 
7.2) A partir dos dados abaixo, estime os coeficientes de regressão parcial, seus 
erros-padrão e os valores de R
2
 ajustado e não ajustado: 
Y
−
 = 367,693 X
−
2
 = 402,760 X
−
3
 = 8,0 

−
− )
2( YY i = 66042,269 
−
− )
2
22
( XX i = 84855,096 

−
− )
2
33
( XX i = 280,00 
−
−
−− )
2
(
2)( XXYY ii = 74778,346 

−
−
−− )
3
(
3)( XXYY ii = 4250,90 
−−
−− ))((
3322 XXXX ii = 4796,00 
 
 _cons 141.7667 6.375322 22.24 0.000 126.1668 157.3665
 x3 .9395882 .0591056 15.90 0.000 .794962 1.084214
 x2 -12.96154 .9856646 -13.15 0.000 -15.37337 -10.5497
 x 63.47766 4.778607 13.28 0.000 51.78483 75.17049
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 38982.9 9 4331.43333 Root MSE = 3.2849
 Adj R-squared = 0.9975
 Residual 64.7438228 6 10.7906371 R-squared = 0.9983
 Model 38918.1562 3 12972.7187 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 6) = 1202.22
 Source SS df MS Number of obs = 10
 116 
n =15 
X
−
2
 = média de xis dois. 
X
−
3
 = média de xis três. 
)(
22 XX i
−
− = xis dois menos a média de xis dois. 
XX i
−
−
33
 = xis três menos a média de xis três. 
A partir dos dados acima, estime os coeficientes da regressão parcial, seus erros 
padrão e os valores de R
2−
 e R
2−
 (ajustado). 
RESPOSTAS: Para calcular os betas. 

^
2
 = 
  
   
−
−
)
2
32
2
3
2
2
323
2
32
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii 
 
^
2
 = 
  
 −−−−−−−
−−−−
−−−−−
  
−−−−−−−−
]))
)])(()][)(([])()][)(
2
3322
2
33
2
22
))(([](][([
332233
2
3322
([
XXXXXXXX
XXXXXXYYXXXXYY
iiii
i iiiiii
 

^
2
 = 
)
2
4796()280)(096,84855(
)4796)(9,4250()280)(346,74778(
−
−
 = 0,7266. 

^
3
= 
  
 −−−−−−−
−−−−
−−−−−
  
−−−−−−−−
]))
)])(()][)(([])()][)(
2
3322
2
33
2
22
))(([](][([
332222
2
2233
([
XXXXXXXX
XXXXXXYYXXXXYY
iiii
i iiiiii

^
3
= 
)
2
4796()280)(096,84855(
)4796)(346,74778()096,84855)(9,4250(
−
−
 = 2,7363. 

^
1
 = Y
−
 - 
^
2 X
−
2
 - 
^
3 X
−
3
 

^
1
= 367,693 – [(0,7266*402,76)]- [(2,7363*8)] = 53,1572. 
Para calcular 
2^
. 
   −−= xyxyyu iiiiii 3
^
32
^
2
22^
 
 117 
   
−−−−−
−−−−−−−= ))(())(((
33
^
322
^
2
22^
) XXYYXXYYYYu iiiiii  
ui
2^
 = 66042,269 – 0,7266(74778,346) – 2,7363(4250,9) = 76,59 

2^
 = 
3
2^
−

n
ui = 
12
59,76
 = 6,38. 
Para calcular o erro-padrão de 
^
1
: 
Ep (
^
1
) = 
  
  
−
−+
+
−−−−
)
2
32
2
3
2
2
3232
2
2
2
3
2
3
2
2
(
21
[
xxxx
xxXXxXxX
iiii
iiii
n
 * 
2^
 
Ep (
^
1
) = 
)
))
2
22
4796()280)(096,84855(
)4796)(8*76,402(2)096,84855(8()280(76,402(
15
1
[
−
−+
+ * 
6,38 
Ep (
^
1
) = 12,97. 
Para calcular o erro-padrão de 
^
2
: 
Ep (
^
2
) = 
2^
2
32
2
3
2
2
2
3 *
())(( )  

− xxxx
x
iiii
i 
Ep (
^
2
) = )38,6(*
4796()280)(096,84855(
280
)
2
−
 = 0,04855. 
Para calcular o erro-padrão de 
^
3
: 
Ep (
^
3
) = 
2^
2
32
2
3
2
2
2
2 *
())(( )  

− xxxx
x
iiii
i 
Ep(
^
3
) = )38,6(*
4796()280)(096,84855(
096,84855
)
2
−
 = 0,8452. 
Para calcular o R
2
: 
R
2
 = 1- 


y
u
i
i
2
2^
 = 1 - 
269,66042
59,76
 = 0,9988. 
Para calcular o R
2−
 (ajustado): 
 118 
R
2
 = 1- 
)1/(
)/(
2
2^
−
−


n
kn
y
u
i
i = 1 - 
)115/()269,66042(
)315/()59,76(
−
−
 = 0,9986. 
7.8) Considere o seguinte modelo: 
Y i =  1 +  2 Escolaridade +  3 Anos de experiência + ui 
Imagine que você deixa de fora do cálculo a variável anos de experiência. Que 
tipos de problemas ou vieses você esperaria encontrar? Explique verbalmente. 
Se fosse deixada essa variável de lado, o novo modelo de regressão apresentaria 
uma série de vieses em relação à regressão original. Com isso, teríamos algumas 
conseqüências da omissão dessa variável: 
a) Se a variável anos de experiência está correlacionada com a variável incluída 
(anos de escolaridade), o coeficiente de correlação entre as duas variáveis é diferente de 
zero. Ao não incluir no modelo a variável anos de experiência, os novos parâmetros serão 
tanto tendenciosos quanto inconsistentes. 
b) Mesmo que anos de experiência e escolaridade não estejam correlacionados, 
um dos parâmetros será tendencioso, mesmo que o outro não seja. 
c) A variância do termo erro será estimada de modo incorreto. 
d) A variância do novo parâmetro da escolaridade é um estimador tendencioso da 
variância do verdadeiro estimador. 
e) Os procedimentos para determinação de intervalos de confiança e teste de 
hipóteses provavelmente conduzirão a conclusões equivocadas quanto a significância 
estatística dos parâmetros estimados. 
f) As previsões alicerçadas no modelo incorreto e os intervalos previstos não serão 
confiáveis. 
Isto tudo nos leva a concluir que os anos de experiência ao longo da vida que o 
sujeito acumula são importantes, assim como a escolaridade. Ou seja, tanto uma quanto 
a outra deve ser levada em conta no modelo. 
7.16) A demanda por rosas. Com base na tabela 7.6 abaixo: 
ANO = ano e trimestre 
Y = Quantidade de rosas vendidas, em dúzias 
X2 = preço médio das rosas no atacado, US$ por dúzia 
X3 = preço médio dos cravos no atacado, US$ por dúzia 
X4 = renda média familiar disponível, US$/semana 
X5 = variável de tendência, com valores de 1, 2 e assim por diante, para o período 
 que vai do terceiro trimestre de 1971 ao segundo trimestre de 1975 
 na área metropolitana de Detroit 
 119 
ano y x2 x3 x4 x5 timevar lny lnx2 lnx3 lnx4 
1971.3 11484 2.26 3.49 158.11 1 1971q3 9.34871 .8153648 1.249902 5.063291 
1971.4 9348 2.54 2.85 173.36 2 1971q4 9.142918 .9321641 1.047319 5.15537 
1972.1 8429 3.07 4.06 165.26 3 1972q1 9.039433 1.121678 1.401183 5.10752 
1972.2 10079 2.91 3.64 172.92 4 1972q2 9.218209 1.068153 1.291984 5.152829 
1972.3 9240 2.73 3.21 178.46 5 1972q3 9.131297 1.004302 1.166271 5.184364 
1972.4 8862 2.77 3.66 198.62 6 1972q4 9.089528 1.018847 1.297463 5.291393 
1973.1 6216 3.59 3.76 186.28 7 1973q1 8.734882 1.278152 1.324419 5.227251 
1973.2 8253 3.23 3.49 188.98 8 1973q2 9.018332 1.172482 1.249902 5.241641 
1973.3 8038 2.6 3.13 180.49 9 1973q3 8.991936 .9555114 1.141033 5.195675 
1973.4 7476 2.89 3.2 183.33 10 1973q4 8.919454 1.061257 1.163151 5.211288 
1974.1 5911 3.77 3.65 181.87 11 1974q1 8.68457 1.327075 1.294727 5.203292 
1974.2 7950 3.64 3.6 185 12 1974q2 8.980927 1.291984 1.280934 5.220356 
1974.3 6134 2.82 2.94 184 13 1974q3 8.721602 1.036737 1.07841 5.214936 
1974.4 5868 2.96 3.12 188.2 14 1974q4 8.677269 1.085189 1.137833 5.237505 
1975.1 3160 4.24 3.58 175.67 15 1975q1 8.058328 1.444563 1.275363 5.168607 
1975.2 5872 3.69 3.53 188 16 1975q2 8.677951 1.305627 1.261298 5.236442 
 
E levando em conta as seguintes funções de demanda: 
Y t = 1 +  2 X t2 +  3 X t3 +  4 X t4 +  5 X t5 + ut 
lnY t =  1 +  2 ln X t2 +  3 ln X t3 +  4 ln X t4 +  5 X t5 + ut 
a) Estime os parâmetros do modelo linear e interprete os resultados. 
. gen timevar=q(1971q3)+_n-1 
. format timevar %tq 
. tsset timevar 
. gen lny=ln(y) 
. gen lnx2=ln(x2) 
. gen lnx3=ln(x3) 
. gen lnx4=ln(x4) 
. gen lnx5=ln(x5) 
. reg y x2 x3 x4 x5 
 
 
 
Y t = 10816,04 - 2227,704 X t2 + 1251,141 X t3 + 6,2830 X t4 - 197,4 X t5 
Adotando um nível de significância de 5% e sendo os graus de liberdade iguais a 
n-k, temos um t crítico igual a 2,201. Dentre os coeficientes estimados apenas o preço das 
rosas ( X t2 ) se mostrou estatisticamente significativo (t calculado = 2,42 em módulo). 
 
 _cons 10816.04 5988.35 1.81 0.098 -2364.229 23996.31
 x5 -197.4 101.5612 -1.94 0.078 -420.9348 26.13479
 x4 6.283002 30.62166 0.21 0.841 -61.11482 73.68083
 x3 1251.141 1157.021 1.08 0.303 -1295.445 3797.726
 x2 -2227.704 920.4659 -2.42 0.034 -4253.636 -201.772
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 62596356 15 4173090.4 Root MSE = 969.87
 Adj R-squared = 0.7746
 Residual 10347222.8 11 940656.615 R-squared = 0.8347
 Model 52249133.2 4 13062283.3 Prob > F = 0.0003
 F( 4, 11) = 13.89
 Source SS df MS Number of obs = 16
 120 
Assim, se o preço das rosas variar em, digamos uma unidade monetária, a 
demanda por rosas, diminuirá, em média, cerca de 2228 dúzias, mantidas constantes as 
demais variáveis do modelo. 
b) Estime os parâmetros do modelo log-linear e interprete os resultados. 
. reg lny lnx2 lnx3 lnx4 lnx5 
 
 
lnY t = 0,6268 – 1,2736ln X t2 + 0,9373ln X t3 + 1,7129ln X t4 - 0,1816ln X t5 
Neste modelo todos os coeficientes angulares parciais são elasticidades parciais 
de Y em relação as variáveis explicativas X. Porém, ainda assim, apenas a variável preço 
continua estatisticamente significativa. 
Assim, se o preço das rosas variar em, digamos 1%, a demanda de rosas diminuirá, 
em média, cerca de 1,27%, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
c) 
2
, 
3
 e 
4
 nos dão, respectivamente, as elasticidades preço, própria e 
cruzada, e a elasticidade de renda da demanda. Quais são os seus sinais a priori? Os 
resultados obtidos confirmam as expectativas a priori? 
Para a elasticidade-preço própria, espera-se um sinal negativo, já que quando o 
preço médio da rosa aumenta, a quantidade demandada diminui (o sinal corroborou o que 
se esperava a priori). Para a elasticidade cruzada esperava-se um sinal positivo, pois 
quando o preço médio dos cravos aumenta, tende a aumentar a quantidade demandada de 
rosas, já que são bens substitutos (o sinal corroborou o que se esperava a priori). Para a 
elasticidade-renda esperava-se um sinal positivo, já que as rosas são consideradas como 
um bem normal (o sinal corroborou o que se esperava a priori). 
 
 
 
 
d) Como poderíamos calcular a elasticidade-preço própria, a cruzada e a 
elasticidade-renda do modelo linear? 
 
 _cons .6267931 6.148269 0.10 0.921 -12.90546 14.15904
 lnx5 -.1815971 .1278934 -1.42 0.183 -.4630885 .0998943
 lnx4 1.712982 1.200845 1.43 0.181 -.9300591 4.356023
 lnx3 .9373044 .6591908 1.42 0.183 -.5135649 2.388174
 lnx2 -1.273553 .5266487 -2.42 0.034 -2.432699 -.1144073
 
 lny Coef.Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1.41259884 15 .094173256 Root MSE = .16886
 Adj R-squared = 0.6972
 Residual .313663843 11 .028514895 R-squared = 0.7780
 Model 1.098935 4 .27473375 Prob > F = 0.0013
 F( 4, 11) = 9.63
 Source SS df MS Number of obs = 16
 121 
Usando as formulas dada em microeconomia. 
Elasticidade-preço própria: E p = 
Y
X
X
Y
−
−

 2
2
* 
Elasticidade cruzada: E XY 3, = 
Y
X
X
Y
−
−

 3
3
* 
Elasticidade renda: ER = 
Y
X
X
Y
−
−

 4
4
* 
e) Com base em sua análise, qual dos modelos escolheria e por quê? 
Os dois modelos apresentam resultados semelhantes. Uma vantagem do modelo 
log-linear é que os coeficientes angulares fornecem estimativas diretas da elasticidade 
(constante) da variável em pauta em relação ao regressor que está sendo avaliado. Mas 
tenha cuidado, já que os R
2
 dos dois modelos não podem ser comparados diretamente. 
7.17) Atividades de prospecção de petróleo. Os poços experimentais são 
perfurados para encontrar e extrair petróleo e/ou gás em uma área expandida ou para 
encontrar novos reservatórios em áreas conhecidas como produtivas ou para ampliar os 
limites de reservatórios existentes, conforme a tabela abaixo: 
Tabela 7.7 Preço do petróleo no poço 
 
Y = Número de poços experimentais perfurados (em milhares). 
 
X2 = Preço do petróleo na boca do poço no período anterior (em dólares constantes. 
1972=100). 
 
 X3 = produção interna (milhões de barris por dia). 
 
X4 = PNB (bilhões de dólares constantes 1972=100). 
 
X5 = variável de tendência. 1948=1. 1949=2.....1978=31 
y x2 x3 x4 x5 
8.01 4.89 5.52 487.67 1 
9.06 4.83 5.05 490.59 2 
10.31 4.68 5.41 533.55 3 
11.76 4.42 6.16 576.57 4 
12.43 4.36 6.26 598.62 5 
13.31 4.55 6.34 621.77 6 
13.1 4.66 6.81 613.67 7 
14.94 4.54 7.15 654.8 8 
16.17 4.44 7.17 668.84 9 
14.71 4.75 6.71 681.02 10 
 122 
13.2 4.56 7.05 679.53 11 
13.19 4.29 7.04 720.53 12 
11.7 4.19 7.18 736.86 13 
10.99 4.17 7.33 755.34 14 
10.8 4.11 7.54 799.15 15 
10.66 4.04 7.61 830.7 16 
10.75 3.96 7.8 874.29 17 
9.74 3.85 8.3 925.86 18 
10.31 3.75 8.81 980.98 19 
8.88 3.69 8.66 1007.72 20 
8.88 3.56 8.78 1051.83 21 
9.7 3.56 9.18 1078.76 22 
7.69 3.48 9.03 1075.31 23 
6.92 3.53 9 1107.48 24 
7.54 3.39 8.78 1171.1 25 
7.47 3.68 8.38 1234.97 26 
8.63 5.92 8.01 1217.81 27 
9.21 6.03 7.78 1202.36 28 
9.23 6.12 7.88 1271.01 29 
9.96 6.05 7.88 1332.67 30 
10.78 5.89 8.67 1385.1 31 
 
Verifique se o seguinte modelo se ajusta aos dados: 
Y t =  1 +  2 X t2 +  3 X t3ln +  4 X t4 +  5 X t5 
a) Poderia mostrar a lógica a priori deste modelo? 
A priori todas as variáveis parecem relevantes para explicar a atividade de 
prospecção de petróleo. Espera-se que todos os coeficientes angulares sejam positivos, 
exceto o da variável de tendência, que pode ser positivo ou negativo. 
b) Supondo que o modelo seja aceitável, estime os parâmetros do modelo e seus 
erros-padrão e obtenha o R
2
 e o R
2−
 (ajustado). 
. tsset x5, yearly 
 time variable: x5, 1 to 31 
 delta: 1 year 
. gen lnx3=ln(x3) 
. reg y x2 lnx3 x4 x5 
 
Y t = -37,3218 + 2,7744 X t2 + 24,2445 X t3ln - 0,0109 X t4 - 0,2132 X t5 
Ep = (12,81) (0,5676) (5,5568) (0,0075) (0,2578) 
 
 _cons -37.32179 12.80847 -2.91 0.007 -63.64997 -10.99361
 x5 -.2131936 .2577797 -0.83 0.416 -.7430674 .3166802
 x4 -.0108904 .0075347 -1.45 0.160 -.0263782 .0045974
 lnx3 24.24451 5.556835 4.36 0.000 12.82227 35.66675
 x2 2.77437 .5675899 4.89 0.000 1.607672 3.941068
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 165.888733 30 5.52962444 Root MSE = 1.4762
 Adj R-squared = 0.6059
 Residual 56.6569849 26 2.1791148 R-squared = 0.6585
 Model 109.231748 4 27.3079371 Prob > F = 0.0000
 F( 4, 26) = 12.53
 Source SS df MS Number of obs = 31
 123 
R
2
 = 0,6585 R
2−
 (ajustado) = 0,6059 
c) Comente os resultados obtidos, comparando-os com suas expectativas prévias? 
As variáveis preço por barril e produção interna (em forma de logaritmo) são 
estatisticamente significativas ao nível de significância de 5% e seus sinais estão de 
acordo com as expectativas a priori, já as variáveis PNB e de tendência se mostraram 
estatisticamente não significativas (não são estatisticamente diferentes de zero). Além 
disso, o valor negativo do intercepto se mostra não apropriado, pois se considerarmos as 
demais variáveis do modelo como zero tal valor nos levaria a hipótese absurda de menos 
trinta e sete poços de petróleo perfurados no período analisado (claro que esta é uma 
interpretação mecânica que deve ser vista com certa ressalva). 
d) Que outra especificação você sugeriria para explicar a atividade de prospecção? 
Por quê? 
Outro modelo que poderia ser usado é o modelo duplo-log que, além de fornecer 
estimativas diretas das elasticidades, pode levar em conta características não lineares nas 
VARIÁVEIS, caso elas existam. 
7.20) Em um estudo sobre a rotatividade no mercado de trabalho, James Ragan 
obteve os seguintes resultados para a economia americana no período que vai do primeiro 
trimestre de 1950 ao quarto trimestre de 1979. Os dados entre parênteses são as 
estatísticas t estimadas. 
Y tln = 4,47 – 0,34 X t2ln + 1,22 X t3ln + 1,22 X t4ln + 0,8 X t5ln - 0,0055
X t6ln 
T = (4,28) (-5,31) (3,64) (3,10) (1,10) (-3,09) 
R
2−
 (ajustado) = 0,5370 
Onde: Y = taxa de saídas do emprego na indústria de transformação, definida 
como o número de pessoas que saem voluntariamente da empresa por 100 empregados. 
 X 2 = variável instrumental ou proxi para a taxa de desemprego masculino. 
 X 3 = percentual de empregados com menos de 25 anos. 
 X 4 = 
N
N
t
t
4
1
−
− = razão de empregados da indústria no trimestre (t -1) em 
relação aos do trimestre (t - 4). 
 X 5 = percentual de mulheres empregadas. 
 124 
 X 6 = tendência temporal (primeiro trimestre de 1950 = 1). 
a) Interprete os resultados acima? 
* Um aumento de, digamos 1% na taxa de desemprego masculino leva, em média, 
a uma queda de cerca de 0,34% na taxa de desistência do emprego. Mantendo constantes 
as demais variáveis do modelo. (tal coeficiente é estatisticamente significativo, ou seja, 
estatisticamente diferente de zero). 
* Um aumento de, digamos 1% no percentual de empregados com menos de 25 
anos leva, em média, a um aumento de cerca de 1,22% na taxa de desistência de do 
emprego. Mantendo constantes as demais variáveis do modelo. (tal coeficiente é 
estatisticamente significativo, ou seja, estatisticamente diferente de zero). 
* Um aumento de, digamos 1% na razão de empregados na indústria no trimestre 
leva, em média, a um aumento de cerca de 1,22% na taxa de desistência de do emprego. 
Mantendo constantes as demais variáveis do modelo. (tal coeficiente é estatisticamente 
significativo, ou seja, estatisticamente diferente de zero). 
* Um aumentode, digamos 1% no percentual de mulheres empregadas leva, em 
média, a um aumento de cerca de 0,8% na taxa de desistência de do emprego. Mantendo 
constantes as demais variáveis do modelo. (tal coeficiente não é estatisticamente 
significativo, ou seja, não é estatisticamente diferente de zero). 
* Ao longo do período analisado a taxa de desistência de do emprego baixou á 
razão de 0,55 % ao ano (multiplicamos o coeficiente obtido por 100). Além disso, tal 
coeficiente é estatisticamente significativo, ou seja, estatisticamente diferente de zero. 
 
b) A relação negativa entre os logaritmos de Y e X 2 observada é justificável a 
priori? 
Sim, espera-se que a taxa de desistência de emprego e a taxa de desemprego 
tenham uma relação negativa. 
c) Por que o coeficiente de X t3ln é positivo? 
Por que na medida em que aumenta a contratação de pessoas com menos de 25 
anos, a expectativa é que a taxa de desistência de emprego aumente por causa da 
rotatividade entre os trabalhadores mais jovens. 
d) Como o coeficiente de tendência é negativo, há uma queda secular de quantos 
por cento da taxa de saída do emprego e por que há essa queda? 
 125 
A taxa de queda é de 0,55%. Os motivos PROVÁVEIS para tal queda seriam, por 
exemplo, as melhorias nas condições de trabalho e nos benefícios de pensões ao longo do 
tempo. 
e) O R
2−
 (ajustado) = 0,5370 é baixo “demais”? 
O significado de baixo é relativo. É importante tomar cuidado com o que Gujarat 
chama de “Jogo da maximização de R
2
”. Porque em uma análise empírica não é raro 
obter um R
2
 muito alto, mas com alguns dos coeficientes estatisticamente insignificantes 
ou com sinais contrários aos esperados a priori. Portanto, o pesquisador deve se preocupar 
com a relevância lógica ou teórica das variáveis explicativas em relação a variável 
dependente e em suas significâncias estatísticas. Se nesse processo obtivermos um R
2
 
alto, ótimo; por outro lado, se o coeficiente for baixo, isso não significa que o modelo 
seja necessariamente ruim. Segundo Goldberger, para melhor medir o sucesso de uma 
previsão (ou melhor, fracasso) ou qualidade de ajustamento da amostra, então, talvez a 

2
 seja suficiente (que não foi apresentado no modelo em pauta), já que é o quadrado 
do erro de previsão esperado que resultaria se a população (FRP) fosse usada como 
previssor. 
f) É possível estimar os erros-padrão dos coeficientes a partir dos dados 
disponíveis? Justifique. 
Sim. Basta dividir cada um dos coeficientes dados pelos seus respectivos valores 
“t” dados entre parênteses. 
 
7.21) Considere a seguinte função de demanda por moeda dos Estados Unidos no 
período 1980-1988: 
M t =  1 Y t

2 rt

3 eu i 
Onde: M = demanda real por moeda, usando o conceito M 2 como definição de 
moeda. 
 Y = PIB real. 
 r = a taxa de juros. 
 A função de demanda por moeda acima pode ser estimada a partir dos dados da 
tabela 7.10 abaixo. 
Demanda por moeda nos Estados Unidos. 1980-1998 
 126 
ano pib m2 ipc tjlp tjcp mreal pibreal lnmreal lnpibreal 
1980 2795.6 1600.4 82.4 11.27 
11.50
6 
19.4223
3 
33.9271
9 
2.96642
4 
3.52421
7 
1981 3131.3 1756.1 90.9 13.45 
14.02
9 
19.3190
3 
34.4477
5 
2.96109
1 
3.53944
3 
1982 3259.2 1911.2 96.5 12.76 
10.68
6 
19.8051
8 
33.7740
9 
2.98594
4 
3.51969
4 
1983 3534.9 2127.8 99.6 11.18 8.63 
21.3634
5 
35.4909
6 
3.06168
2 
3.56927
8 
1984 3932.7 2311.7 103.9 12.41 9.58 
22.2492
8 
37.8508
2 
3.10230
9 
3.63365
3 
1985 4213 2497.4 107.6 10.79 7.48 
23.2100
4 
39.1542
7 
3.14458
5 3.66751 
1986 4452.9 2734 109.6 7.78 5.98 
24.9452
6 
40.6286
5 
3.21668
4 
3.70447
3 
1987 4742.5 2832.8 113.6 8.59 5.82 
24.9366
2 
41.7473
6 
3.21633
7 
3.73163
6 
1988 5108.3 2995.8 118.3 8.96 6.69 
25.3237
5 
43.1808
9 
3.23174
3 
3.76539
8 
1989 5489.1 3159.9 124 8.45 8.12 
25.4830
6 
44.2669
4 
3.23801
4 
3.79023
8 
1990 5803.2 3279.1 130.7 8.61 7.51 
25.0887
5 
44.4009
2 3.22242 3.79326 
1991 5986.2 3379.8 136.2 8.14 5.42 
24.8149
8 
43.9515
5 
3.21144
7 
3.78308
8 
1992 6318.9 3434.1 140.3 7.67 3.45 
24.4768
4 
45.0384
9 
3.19772
7 
3.80751
7 
1993 6642.3 3487.5 144.5 6.59 3.02 
24.1349
5 
45.9674
7 
3.18366
1 
3.82793
4 
1994 7054.3 3502.2 148.2 7.37 4.29 
23.6315
8 
47.5998
6 
3.16258
4 3.86283 
1995 7400.5 3649.3 152.4 6.88 5.51 
23.9455
4 
48.5597
1 
3.17578
2 
3.88279
4 
1996 7813.2 3824.2 156.9 6.71 5.02 
24.3734
9 
49.7973
3 
3.19349
6 
3.90796
1 
1997 8300.8 4046.7 160.5 6.61 5.07 
25.2130
8 
51.7183
8 
3.22736
3 
3.94581
3 
1998 8759.9 4401.4 163 5.58 4.81 
27.0024
5 
53.7417
2 
3.29592
8 3.98419 
 
Nota: Para converter os valores nominais em valores reais, divida M e PIB pelo 
IPC (índice de preços ao consumidor dos EUA). 
a) Com os dados acima, estime a função de demanda de curto prazo. Quais são as 
elasticidades renda e taxa de juros da demanda por moeda? 
. gen mreal=m2/ipc 
. gen pibreal=pib/ipc 
. gen lnmreal=ln(mreal) 
. gen lnpibreal=ln(pibreal) 
 
 
 
 
. reg lnmreal lnpibreal lntjcp 
 
 127 
 
M tln = 1,2394 + 0,5243 PIBREALtln - 0,0255 TJCPtln 
Ep = (0,6245) (0,1456) (0,0513) R
2
 = 0,7292 
Os resultados da regressão com a TJLP são os seguintes: 
. reg lnmreal lnpibreal lntjlp 
 
 
 
M tln = 1,4145 + 0,4946 PIBREALtln - 0,0516 TJLPtln 
Ep = (1,3175) (0,2686) (0,1501) R
2
 = 0,7270 
As elasticidades renda (0,5243 ou 0,4946) e a taxa de juros (-0,0255 ou -0,0516) 
NÃO são muito diferentes, mas a regressão usando a TJCP apresenta melhores resultados 
estatísticos (valores do teste “t” são maiores). 
b) Imagine que em lugar de estimar a função de demanda acima, você ajustasse a função 
abaixo: 
)(
tY
M
= 1 r t
 2 eu i 
Interprete os resultados. Mostre os cálculos necessários. 
ln )(
tY
M
 = 1 + rtln2 + ut 
. gen k= m2 / pibreal 
. gen lnk=ln(k) 
. gen lntjcp=ln(tjcp) 
ano pib m2 ipc tjlp tjcp pibreal k lnk lntjcp lntjlp mreal 
1980 2795.6 1600.4 82.4 11.27 11.506 33.92719 47.17161 3.853792 2.442869 2.422144 19.42233 
1981 3131.3 1756.1 90.9 13.45 14.029 34.44775 50.97866 3.931407 2.641127 2.598979 19.31903 
1982 3259.2 1911.2 96.5 12.76 10.686 33.77409 56.58775 4.035792 2.368934 2.546315 19.80518 
1983 3534.9 2127.8 99.6 11.18 8.63 35.49096 59.95329 4.093566 2.155245 2.414126 21.36345 
1984 3932.7 2311.7 103.9 12.41 9.58 37.85082 61.07397 4.112086 2.259678 2.518502 22.24928 
1985 4213 2497.4 107.6 10.79 7.48 39.15427 63.78358 4.155496 2.012233 2.37862 23.21004 
1986 4452.9 2734 109.6 7.78 5.98 40.62865 67.29241 4.209047 1.788421 2.051556 24.94526 
1987 4742.5 2832.8 113.6 8.59 5.82 41.74736 67.85579 4.217385 1.7613 2.150599 24.93662 
 
 _cons 1.239355 .6244524 1.98 0.065 -.0844248 2.563135
 lntjcp -.0255289 .0513334 -0.50 0.626 -.1343509 .0832931
 lnpibreal .5243102 .1455502 3.60 0.002 .2157575 .8328628
 
 lnmreal Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .170997511 18 .009499862 Root MSE = .0538
 Adj R-squared = 0.6954
 Residual .04630475 16 .002894047 R-squared = 0.7292
 Model .124692762 2 .062346381 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 16) = 21.54
 Source SS df MS Number of obs = 19
 
 _cons 1.414534 1.317491 1.07 0.299 -1.378423 4.207491
 lntjlp -.0515797.1501432 -0.34 0.736 -.3698689 .2667096
 lnpibreal .4945859 .2686455 1.84 0.084 -.074917 1.064089
 
 lnmreal Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .170997511 18 .009499862 Root MSE = .05401
 Adj R-squared = 0.6929
 Residual .046676225 16 .002917264 R-squared = 0.7270
 Model .124321287 2 .062160643 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 16) = 21.31
 Source SS df MS Number of obs = 19
 128 
1988 5108.3 2995.8 118.3 8.96 6.69 43.18089 69.37791 4.239568 1.900614 2.19277 25.32375 
1989 5489.1 3159.9 124 8.45 8.12 44.26694 71.38284 4.268057 2.09433 2.134166 25.48306 
1990 5803.2 3279.1 130.7 8.61 7.51 44.40092 73.85207 4.302064 2.016236 2.152924 25.08875 
1991 5986.2 3379.8 136.2 8.14 5.42 43.95155 76.89832 4.342484 1.690096 2.09679 24.81498 
1992 6318.9 3434.1 140.3 7.67 3.45 45.03849 76.24812 4.333993 1.238374 2.037317 24.47684 
1993 6642.3 3487.5 144.5 6.59 3.02 45.96747 75.86887 4.329006 1.105257 1.885553 24.13495 
1994 7054.3 3502.2 148.2 7.37 4.29 47.59986 73.57584 4.298316 1.456287 1.997418 23.63158 
1995 7400.5 3649.3 152.4 6.88 5.51 48.55971 75.15078 4.319497 1.706565 1.928619 23.94554 
1996 7813.2 3824.2 156.9 6.71 5.02 49.79733 76.79529 4.341143 1.61343 1.903599 24.37349 
1997 8300.8 4046.7 160.5 6.61 5.07 51.71838 78.24491 4.359844 1.623341 1.888584 25.21308 
1998 8759.9 4401.4 163 5.58 4.81 53.74172 81.89913 4.405488 1.570697 1.719189 27.00245 
. reg lnk lntjcp 
 
. gen lntjlp=ln(tjlp) 
. reg lnk lntjlp 
 
 
Segue abaixo os resultados das duas regressões: 
TJCPk ln3171,08099,4ln −= 
Ep = (0,0937) (0,0491) R
2
 = 0,7102 
TJLPk ln5259,03536,5ln −= 
Ep = (0,1482) (0,0682) R
2
 = 0,7777 
 Sendo ambas as regressões bivariadas, podemos verificar que em termos 
estatísticos, o Cambridge K (a razão M/PIB é conhecida na literatura como K da equação 
de Cambridge, que representa a proporção de renda que as pessoas querem ter em 
dinheiro, é uma relação sensível à taxa de juros, uma vez que esta representa o custo de 
se guardar dinheiro, o qual em geral não produz grandes ganhos com juros) está 
inversamente relacionado à taxa de juros (tanto de curto quanto de longo prazo) 
corroborando as expectativas com base na teoria. Em termos numéricos é mais sensível 
às taxas de longo prazo do que as de curto prazo. Como a variável DEPENDENTE é a 
 
 _cons 4.809893 .0936769 51.35 0.000 4.612252 5.007534
 lntjcp -.3171089 .049132 -6.45 0.000 -.4207685 -.2134494
 
 lnk Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .417168231 18 .023176013 Root MSE = .08433
 Adj R-squared = 0.6931
 Residual .120904022 17 .007112001 R-squared = 0.7102
 Model .296264209 1 .296264209 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 17) = 41.66
 Source SS df MS Number of obs = 19
 
 _cons 5.353554 .1481801 36.13 0.000 5.040921 5.666186
 lntjlp -.5258571 .0681888 -7.71 0.000 -.669723 -.3819912
 
 lnk Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .417168231 18 .023176013 Root MSE = .07386
 Adj R-squared = 0.7646
 Residual .092738599 17 .005455212 R-squared = 0.7777
 Model .324429632 1 .324429632 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 17) = 59.47
 Source SS df MS Number of obs = 19
 129 
mesma nos DOIS modelos, pode-se ver que o modelo da TJLP apresenta um ajuste 
melhor ( R
2
 maior). 
c) Como você decidiria qual é a melhor especificação? (Nota: um teste estatístico 
formal será visto no capítulo8). 
Como as variáveis dependentes são diferentes nos dois modelos, través do teste F 
dos mínimos quadrados restritos (MQR). Onde: 
uSR
2^
 = SQR da regressão SEM restrições. Ou seja: 
Y iln =  0 + X i23 ln)1( − + X i33 ln + ui . 
uR
2^
 = SQR da regressão COM restrições. Ou seja: 
ln )(
2X
Y
i
i = 
0
 + 
3
ln )(
2
3
X
X
i
i + ui . 
m = número de RESTRIÇÕES lineares (no exemplo, 1). 
k = número de parâmetros da regressão SEM restrições. 
n = número de observações. 
Então, F = 
)/()(
/)(
kn
m
SQR
SQRSQR
SR
SRR
−
−
 
Segue a distribuição “F” com m (numerador), kn − (denominador) graus de 
liberdade e com o número de significância ( ) escolhido. (observação: SR = equação 
sem restrição e R = equação com restrição). 
Discutiremos apenas os resultados baseados na TJCP, pois a mecânica é a mesma 
para a TJLP. 
O modelo da letra A é o modelo sem restrição (leva em conta como variáveis o 
logaritmo do PIB real e da moeda real) e o modelo da letra B é o modelo restrito. As SQR 
com e sem restrições valem, respectivamente, 0,1209 e 0,0463. REPARE QUE 
APLICAMOS APENAS UMA RESTRIÇÃO, A DE QUE O COEFICIENTE DE Y NO 
PRIMEIRO MODELO É 1. 
F = 78,25
)319/()0463,0(
1/)0463,01209,0(
=
−
−
 
Para graus de liberdade 1 e 16, numerador e denominador, respectivamente, o 
valor F crítico a 5% é 4,49. 
H0: Elasticidade Renda = 1 (usar o modelo restrito) 
 130 
H1: Elasticidade Renda < 1 (usar o modelo sem restrição) 
Como, ao nível de significância de 5% o F calculado (25,78) > F crítico (4,49) 
rejeitamos a hipótese nula. Assim, rejeitamos o modelo restrito e concluímos que a 
verdadeira elasticidade renda é MENOR do que 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8: 
 131 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA: O 
PROBLEMA DA INFERÊNCIA 
1) Se o nosso objetivo for apenas à estimação pontual dos parâmetros do modelo 
de regressão, o que nos basta? 
O método dos MQO que não faz qualquer pressuposição sobre a distribuição de 
probabilidade dos termos de erro (ui ). 
2) Mas, se além da estimação nosso objetivo for também a inferência (análise 
estatística), o que precisaremos? 
Pressupor que os ui seguem a distribuição de probabilidade normal com média 
zero e variância constante. Assim, com a premissa da normalidade verificamos que os 
estimadores de MQO dos coeficientes de regressão parcial são os melhores estimadores 
lineares não tendenciosos – variância mínima - (BLUE). 
3) Quais as fórmulas do teste “t” para os três coeficientes betas do modelo de 
regressão múltipla? 
t = 
)(
^
1
1
^
1


ep
−
 t = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 t = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 
Cada uma das variáveis acima segue a distribuição “t” com n (número de 
observações) menos 3 graus de liberdade (ao nível de significância escolhido). 
4) Analise a significância estatística dos coeficientes da regressão abaixo 
(exemplo já dado da mortalidade infantil). 
MI i = 263,6416 – 0,005647 PNB pc - 2,231586TAF i 
EP = (11,59318) (0,0020) (0,2099) 
T= (22,7411) (-2,8187) (-10,6293) 
Valor p = (0,0000) (0,0065) (0,0000) 
R
2
 = 0,7077 R
2−
 (ajustado) = 0,6981 
 
 
 
 
 132 
TESTE DE HIPÒTESES RELATIVO AOS COEFICIENTES DE 
REGRESSÃO INDIVIDUAIS (TESTE “t”): 
Formularemos as seguintes hipóteses: 
H0: 
2
 = 0 
H1: 
2
 0 
A hipótese nula (H0) afirma que, quando a taxa de alfabetização feminina ( X 3 ) 
é mantida constante, o PNBpc ( X 2 ) NÃO exerce influência (linear) sobre a mortalidade 
infantil (Y ). Assim, se o valor “t” calculado for maior que o valor “t” crítico ao nível de 
significância escolhido, podemos REJEITAR a hipótese nula. Caso contrário NÃO 
podemos rejeitá-la. 
Para nosso exemplo: 
H0: 
2
 = 0 
H1: 
2
 0 
t = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
0020,0
00056,0 −−
 = -2,8187. 
Temos: n = 64 observações.  (nível de significância – PROBABILIDADE DE 
COMETER UM ERRO TIPO 1. Ou seja, rejeitar uma hipótese verdadeira. Ao passo que 
o erro tipo 2 consiste em aceitar uma hipótese falsa) = 5% k (número de parâmetros) = 3 
(Y , X 2 e X 3 ). Então, GL (graus de liberdade) = 61. 
Ao consultar a tabela “t” não encontramos informações correspondentes a 61 
graus de liberdade. Assim, usamos o valor mais próximo que corresponde a 60 graus de 
liberdade. Para um teste bicaudal, o valor “t” crítico é igual a 2,0. 
Como o “t” calculado (em módulo) de 2,8187 é MAIOR que o “t” crítico de 2,0 
REJEITAMOS A HIPÓTESE NULA de que o PNBpc não afeta a mortalidade infantil. 
Assim, mantida constante a alfabetização feminina, o PNBpc tem um 
“significativo” (do ponto de vista estatístico) efeito sobre a mortalidade infantil – como 
seria de esperar a priori. 
 133 
 
Além disso, ao invés de conduzir todo o teste “t”, poderíamos empregar o valor 
“p” (exato nível de significância) para analisar os coeficientes da regressão. Assim, o 
valor “p” nos dá a probabilidade de aceitar a hipótese nula (H0). No exemplo, a 
probabilidade de aceitar que 
2
 = 0 é de apenas 0,0065 (0,65%). Ou seja, uma 
probabilidade muito pequena. Os mesmos testes podem ser feitos para 
1
 e 
3
. 
5) Já que o teste “t” se embasa na premissa de que o termo de erro (ui ) segue a 
distribuição normal, no caso da regressão da mortalidade infantil, isto se confirma? 
Não podemos observar diretamente ui , mas podemos observa sua proxi ui
^
 
(resíduos da regressão) através do histograma dos resíduos. 
. reg mi pnbpc taf 
 
 
 
. predict res, residual (para criar os resíduos da regressão). 
*clica em graphics – histogram 
*em variable seleciona res (nome que deu para os resíduos). 
*ok. 
Ou então digita direto o comando abaixo para gerar o gráfico: 
. histogram res 
(bin=8, start=-84.266861, width=22.633703) 
 
 
 _cons 263.6416 11.59318 22.74 0.000 240.4596 286.8236
 taf -2.231586 .2099472 -10.63 0.000 -2.651401 -1.81177
 pnbpc -.0056466 .0020033 -2.82 0.006 -.0096524 -.0016408
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 41.748
 Adj R-squared = 0.6981
 Residual 106315.627 61 1742.87913 R-squared = 0.7077
 Model 257362.373 2 128681.187 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 61) = 73.83
 Source SS df MS Number of obs = 64
 134 
 
 
 De acordo com o histograma, parece que os resíduos estão NORMALMENTE 
distribuídos. 
Além disso, podemos calcular o teste Jarque-Bera (JB) de normalidade: 
. jb res 
 
 
H0: Os resíduos têm distribuição normal 
H1: Os resíduos não têm distribuição normal. 
Como temos um valor p de aproximadamente 0,76 não rejeitamos a premissa 
da normalidade dos resíduos (NÃO PODEMOS ESQUECER QUE O TESTE JB É 
VÁLIDO PARA GRANDES AMOSTRAS). 
 
 
 
 
 
0
.0
0
2
.0
0
4
.0
0
6
.0
0
8
.0
1
D
e
n
s
it
y
-100 -50 0 50 100
Residuals
Jarque-Bera test for Ho: normality:
Jarque-Bera normality test: .5594 Chi(2) .756
 135 
TESTE DA SIGNIFICÂNCIA GERAL DA 
REGRESSÃO AMOSTRAL: 
6) Para que serve? 
Para ao invés de testar separadamente a hipótese de que cada verdadeiro 
coeficiente parcial da regressão POPULACIONAL seja igual à zero, testar a seguinte 
hipótese: 
H0: 
2
 = 
3
 = 0 
H1: 
2
 
3
  0 (nem todos os coeficientes angulares são simultaneamente 
iguais a zero). 
Esta hipótese nula (H0) propõe que 
2
 e 
3
 são, conjunta ou simultaneamente, 
iguais à zero. Assim, o teste de significância GERAL da linha de regressão estimada serve 
para testar se existe uma relação linear de Y com X 2 e X 3 . 
7) Por que a hipótese conjunta 
2
 = 
3
 = 0 NÃO pode ser testada verificando-
se as significâncias individuais de 
2
 e 
3
, como fizemos antes? 
Por que ao testar a significância individual de um coeficiente de regressão parcial 
observado, se supõe de forma IMPLICITA que cada teste de significância está embasado 
em uma amostra diferente (ou seja, independente). Assim, ao testar a significância de 
2
 
sob a hipótese nula de que 
2
= 0, pressume-se que o teste é feito com uma amostra 
diferente da usada para testar a significância de 
3
 sob a hipótese de que 
3
 = 0. Assim, 
Não podemos usar o teste “t” para verificar a hipótese conjunta de que os verdadeiros 
coeficientes parciais angulares são ao mesmo tempo iguais a zero. 
8) Então, que teste pode ser usado? Explique. 
O teste de análise da variância (teste F) através da tabela ANOVA. Recordemos a 
seguinte identidade: 
 y
i
2
 = 
^
2
 xy ii 2 + 
^
3
 xy ii 3 + ui
^
 
STQ = (SQE) (SQR) 
Onde: STQ (soma total dos quadrados) tem n – 1 graus de liberdade. 
 136 
 SQR (soma do quadrado dos resíduos) tem 2 graus de liberdade, já que é 
uma função de 
^
2
 e 
^
3
. Assim, podemos montar a tabela abaixo. 
 TABELA ANOVA PARA A REGRESSÃO COM TRÊS VARIÁVEIS 
Fonte 
de 
variaçã
o 
SQ GL SQM 
Devido 
à 
regress
ão 
(SQE) 
 + xyxy iiii 3
^
32
^
2
 2 
2
3
^
32
^
2
 + xyxy iiii  
 
Devido 
aos 
resíduo
s (SQR) 
ui
2^
 n-3 

2^
= 
3
2^
−

n
ui 
 
STQ 
 y
i
2
 
n-1 F = valor. 
Agora sob a premissa de normalidade para ui e a hipótese nula  2 =  3 = 0, a 
variável F = (

 
−
+
)3/(
2/)(
^
3
^
32
^
2
nu
xyxy
i
iiii

 = 
glSQR
glSQE
/
/
 se distribui como a 
distribuição F, com 2 e n – 3 graus de liberdade. 
Assim, o valor F nos oferece um teste para a hipótese nula de que os verdadeiros 
coeficientes angulares são ao mesmo tempo iguais a zero. Se o valor do F calculado for 
maior que o F crítico ao nível de significância escolhido ( ), rejeitamos a hipótese nula. 
Alternativamente, se o valor “p” do teste F for bastante baixo, podemos rejeitar a hipótese 
nula. Para o nosso exemplo, segue abaixo a tabela ANOVA. 
Tabela ANOVA para o exemplo da mortalidade infantil 
Fonte de variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 257.362,4 2 128.681,2 
Devido aos 
resíduos 
106.315,6 61 1.742,88 
Total 363.678 63 F = 73,8325 
 Temos então um F calculado de 73,83 que é maior que o F crítico (com 2 graus 
de liberdade no numerador e 60 – mais próximo de 61 – no denominador, para um nível 
de significância de 5%) de 3,15. 
 137 
Assim, rejeita-se a hipótese nula de que existe uma relação trivial entre Y , X 2 
e X 3 . Isto confirma a expectativa a priori de que X 2 e X 3 exercem uma influência 
definitiva sobre Y . 
Além disso, alternativamente podemos ver que o valor “p” daestatística F da 
regressão é bastante baixo (0,0000). Ou seja, a probabilidade de aceitar H0 é igual a zero. 
9) Qual a relação entre o teste F e o R
2
? Qual a fórmula do teste F que leva em 
conta tal relação? 
Sendo o R
2
 = 
SQT
SQE
, temos uma fórmula onde F = 
)/()1(
)1/(
2
2
kn
k
R
R
−−
−
. Assim, F e 
R
2
 variam diretamente. Quando R
2
 = zero, F é zero. QUANTO MAIOR O R
2
, 
MAIOR O VALOR DE F. No limite, quando R
2
 = 1, F é infinito. Ou seja, o teste F que 
é uma medida da significância GERAL da regressão também é um teste da significância 
de R
2
. Para nosso exemplo: 
F = 
)/()1(
)1/(
2
2
kn
k
R
R
−−
−
 = 
61/)7077,01(
2/7077,0
−
 = 73,8726 (praticamente o mesmo valor 
da tabela ANOVA). Para procurar na tabela F, k – 1 é o numerador e n – k é o 
denominador. As hipóteses e as análises são as mesmas do teste com a tabela ANOVA. 
10) Use o teste F dado acima para descobrir se o valor do R
2
 da regressão abaixo 
é “BAIXO” ou diferente de zero do ponto de vista estatístico. 
TCPIBt = 0,013 + 0,062 PIBPCRt - 0,061 PIBPCR t
2
 
EP = (0,004) (0,027) (0,033) R
2
 = 0,053 n = 119 
Como vimos no exercício anterior se R
2
 for zero, então de forma automática F é 
zero, o que ocorre quando os regressores NÃO INFLUENCIAM de forma alguma o 
regressando. Assim, colocaremos R
2
 = 0,053 na fórmula F = 
)/()1(
)1/(
2
2
kn
k
R
R
−−
−
. 
F = 
)116/()053,01(
2/053,0
−
 = 3,2475 
 
H0: R
2
 = 0. 
 138 
H1: R
2
 0. 
Sendo:  = 5%; k - 1 = 2 (numerador); n – k = 116 (denominador); Na tabela F 
encontramos um F crítico de 3,07. 
Como o F calculado é maior que o F crítico, rejeita-se a hipótese nula de que os 
dois regressores não influenciam o regressando, apesar de R
2
 parecer baixo a primeira 
vista. 
11) O que significa “contribuição incremental ou marginal” de uma variável 
explicativa? 
Tem a ver com o fato de que se a inclusão de uma variável explicativa a mais no 
modelo aumenta a SQE (e, por conseqüência R
2
) de maneira “SIGNIFICATIVA” 
(estatisticamente) em relação à SQR. Para decidir a inclusão ou não de tal variável, em 
primeiro lugar, deve se estar embasado em uma teoria, e, como complemento, pode se 
usar a chamada “técnica de análise de variância”. 
 12) Análise a chamada “técnica de análise de variância” com relação ao exemplo 
da mortalidade infantil. 
. reg mi pnbpc 
 
 
 
MI i = 157,4244 – 0,01136 PNB pc 
Ep = (9,8456) (0,0032) 
T = (15,99) (-3,52) 
Valor p = (0,000) (0,001) R
2
 = 0,1662 
Tabela ANOVA para o exemplo da mortalidade infantil (regressão acima) 
Fonte de variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 60.449,5 1 60.449,5 
Devido aos 
resíduos 
30.328,5 62 4.890,78 
Total 363.678 63 F = 12,36 
 
 
 _cons 157.4244 9.845583 15.99 0.000 137.7434 177.1055
 pnbpc -.0113645 .0032325 -3.52 0.001 -.0178262 -.0049027
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 69.934
 Adj R-squared = 0.1528
 Residual 303228.539 62 4890.78289 R-squared = 0.1662
 Model 60449.4605 1 60449.4605 Prob > F = 0.0008
 F( 1, 62) = 12.36
 Source SS df MS Number of obs = 64
 139 
Supondo que os termos de erro sejam distribuídos normalmente e com a hipótese 
de que o PNBpc NÃO influencia diretamente a MI (H0: 
2
= 0), obtemos um F calculado 
de: 
F = 
glSQR
glSQE
/
/
 = 
62/228.303
1/5,449.60
 = 12,3599 que segue a distribuição F com 1 
(numerador) e 62 (denominador) graus de liberdade e  = 5%. 
Como o F calculado (12,36) é maior que o F crítico (4,00), rejeitamos a hipótese 
nula de que o PNBpc NÃO influencia diretamente a MI. (Observação: t
2
 = )
2
52,3(− = 
12,39). 
AGORA FAREMOS O MESMO PROCESSO PARA ACRESCENTAR A TAF 
AO MODELO: 
Primeiro vamos montar a tabela ANOVA com o modelo de regressão múltipla 
(com o PNBpc e a TAF ao mesmo tempo). 
. reg mi pnbpc taf 
 
 
 
MI i = 263,6416 – 0,005647 PNB pc - 2,231586TAF i 
EP = (11,59318) (0,0020) (0,2099) 
T = (22,7411) (-2,8187) (-10,6293) 
Valor p = (0,0000) (0,0065) (0,0000) 
R
2
 = 0,7077 R
2−
 (ajustado) = 0,6981 F = 73,83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 _cons 263.6416 11.59318 22.74 0.000 240.4596 286.8236
 taf -2.231586 .2099472 -10.63 0.000 -2.651401 -1.81177
 pnbpc -.0056466 .0020033 -2.82 0.006 -.0096524 -.0016408
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 41.748
 Adj R-squared = 0.6981
 Residual 106315.627 61 1742.87913 R-squared = 0.7077
 Model 257362.373 2 128681.187 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 61) = 73.83
 Source SS df MS Number of obs = 64
 140 
Tabela ANOVA para o exemplo de análise incremental 
Fonte de variação SQ gl MSQ 
SQE devido apenas 
ao PNBpc 
60.449,5 1 60.449,5 
SQE devido ao 
incremento da TAF 
196.912,9 1 196.912,9 
SQE devido tanto 
ao PNBpc quanto à 
TAF 
257.362,4 2 128.681,2 
SQR 106.315,6 61 1.742,8787 
Total 363.678 63 F = 112,9809 
 
A nova fórmula do teste F a ser usada é a seguinte: 
F = 
)mod(/
)/()(
elonovorâmetrosdonúmerodepangl
oresvosregressnúmerodeno
SQR
SQESQE
novo
velhonovo
−=
−
 
F = 
)61/(6,106315
)1/()5,604494,257362( −
 = 112,9814 que segue a distribuição F com 1 
(numerador) e 61 (denominador) graus de liberdade e  = 5%. 
Como o F calculado (112,98) é maior que o F crítico (4,00), rejeitamos a hipótese 
nula de que a TAF NÃO influencia diretamente a MI. Este F altamente significativo 
sugere que o acréscimo da TAF ao modelo AUMENTA SIGNIFICATIVAMENTE o 
valor da SQE, e assim do R
2
. 
13) Reformule o teste F do exemplo da mortalidade infantil usando os diferentes 
R
2
. 
Usam-se as seguintes fórmulas: 
F = 
)/()1(
)/()(
2
22
gl
gl
R
RR
novo
velhonovo
−
−
 
F = 
)mod/()1(
)/()(
2
22
elonovorâmetrosdonúmerodepan
oresvosregressnúmerodeno
R
RR
novo
velhonovo
−−
−
 
F = 
)61/()7077,01(
)1/()1662,07077,0(
−
−
 = 113,05 que é praticamente o mesmo valor obtido no 
teste F anterior (salvo erros de arredondamento). 
Como o F calculado (113,05) é maior que o F crítico (que continua o mesmo), 
rejeita-se a hipótese nula, reforçando o teste anterior de que é importante manter a TAF 
no modelo. 
 141 
IMPORTANTE: Ao usar a versão do R
2
 para o teste F é preciso VERIFICAR se 
as variáveis DEPENDENTES dos modelos novo e antigo são as mesmas. Caso o 
contrário, deve ser usado o teste F = 
)mod(/
)/()(
elonovorâmetrosdonúmerodepangl
oresvosregressnúmerodeno
SQR
SQESQE
novo
velhonovo
−=
−
. 
14) Analise a questão do chamado “TESTE DA IGUALDADE DE DOIS 
COEFICIENTES” e dê um exemplo prático. 
Imagine o seguinte modelo: 
Y t =  1 +  2 X t2 +  3 X t3 +  4 X t4 + ut 
Caso desejemos testar as seguintes hipóteses: 
H0: 3
 = 
4
 ou (
3
 -
4
 = 0). 
H1: 
3
  
4
 ou (
3
  
4
 = 0). 
Isto é, que os dois coeficientes angulares, 
3
 e 
4
 são iguais (se forem, não há 
motivo para manter as duas variáveis ao mesmo tempo no modelo). 
Para testar uma hipótese nula desse tipo usamos a seguinte fórmula: 
)(
)()(
^
4
^
3
43
^
4
^
3


−
−−−
=
ep
t Segue a distribuição “t” com n – 4 graus de liberdade 
(n – k) onde k é o número total de parâmetros estimados (incluindo a constante). 
O erro-padrão (
^
3
 - 
^
4
) é obtido por meio da seguinte fórmula: 
Ep (
^
3
 - 
^
4
) = ),cov(2)var()var(
^
4
^
3
^
4
^
3
 −+ 
Então, o teste “t” fica igual a: 
),cov(2)var()var(
^
4
^
3
^
4
^
3
^
4
^
3


−+
−
=t 
 
EXEMPLO USANDO A FUNÇÃO CÚBICA 
ESTIMADA NO CAPÍTULO 7: 
 142 
Produção e custo total de um produto no curto prazo. 
Tabela 7.4 Custo total e produção 
 
Y = custo total em dólares 
 
X = produção 
x y x2 x3 
1 193 1 1 
2 226 4 8 
3 240 9 27 
4 244 16 64 
5 257 25 125 
6 260 36 216 
7 274 49 343 
8 297 64 512 
9 350 81 729 
10 420 100 1000 
 
. gen x2=x^2 
. gen x3=x^3 
. reg y x x2 x3 
 
 
. vce 
 
 
=Y i 141,7667+ 63,4777 X i - 12,9615 X i
2
 + 0,9396 X i
3
 
Ep = (6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591) R
2
 = 0,9983 
)var(
^
3
 = (0,97153470) )var(
^
4
 = (0,00349347) 
)var(
^
1
 = (40,64473060) )var(
^
2
 = (22,83508486) 
),cov(
^
4
^
3
 = -0,05764229 
 
 _cons 141.7667 6.375322 22.24 0.000 126.1668 157.3665
 x3 .9395882 .0591056 15.90 0.000 .794962 1.084214
 x2 -12.96154 .9856646 -13.15 0.000 -15.37337 -10.5497
 x 63.47766 4.778607 13.28 0.000 51.78483 75.17049
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 38982.9 9 4331.43333 Root MSE = 3.2849
 Adj R-squared = 0.9975
 Residual 64.7438228 6 10.7906371 R-squared = 0.9983
 Model 38918.1562 3 12972.7187 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 6) = 1202.22
 Source SS df MS Number of obs = 10
 _cons -28.475292 5.3953186 -.29973992 40.644733 
 x3 .26585324 -.05764229 .00349347 
 x2 -4.6113834 .97153464 
 x 22.835081 
 
 e(V) x x2 x3 _cons 
Covariance matrix of coefficients of regress model
 143 
),cov(2)var()var(
^
4
^
3
^
4
^
3
^
4
^
3


−+
−
=t 
)05764229,0(200349347,097153470,0
9396,09615,12
−−+
−−
=t = -12,5865. 
Sendo:  = 5% e n – k = 6 (10 – 4) temos um t crítico de 2,44. 
H0: 
3
 = 
4
 ou (
3
 -
4
 = 0). 
H1: 
3
  
4
 ou (
3
  
4
 = 0). 
Como, ao nível de significância escolhido o t calculado (12,59) é MAIOR que o t 
crítico (2,44), rejeita-se a hipótese nula de que os coeficientes de X
2
 e X
3
 da função 
cúbica de custo são idênticos. 
15) Analise o chamado “MÍNIMO QUADRADOS RESTRITOS (MQR) – 
TESTE DAS RESTRIÇÕES DE IGUALDADE LINEAR”. 
Tal teste tem a ver com o fato de que existem ocasiões em que a teoria sugere que 
os coeficientes de um modelo estão sujeitos a algum tipo de restrição de igualdade linear. 
Um bom exemplo é o da função de produção Coob-Douglas abaixo: 
 Y i =  1 X i

2
2 X i

3
3 e
u i 
Onde: Y = produção 
 X 2 = insumo de mão-de-obra 
 X 3 = insumo de capital 
 u = termo de erro 
 e = logaritmo de base natural 
A equação acima mostra claramente que a relação entre a produção e os dois 
insumos não é linear. Porém, se transformamos logaritmicamente este modelo, 
obteremos: 
Y iln =  1ln + X i22 ln + X i33 ln + ui 
Definindo 
1
ln = 
0
, ficamos com o seguinte modelo: 
Y iln =  0 + X i22 ln + X i33 ln + ui 
 144 
Assim, ficamos com um modelo linear nos parâmetros (betas). Ou seja, temos um 
modelo que não é linear nas variáveis Y e X, mas é linear nos logaritmos dessas variáveis, 
transformando-se em um modelo duplo-log de regressão múltipla. 
Agora se houver RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA (variação em igual 
proporção da produção dada uma variação igual nos insumos) a teoria sugere que: 

2
 + 
3
 = 1, que é um exemplo de restrição linear. Para verificar se tal restrição 
é válida. Ou seja, se: H0: 
2
 + 
3
 = 1 contra H1: 
2
 + 
3
  1 podemos usar dois 
testes: O teste “t” ou o teste “F”. 
O TESTE “t”: 
Em primeiro lugar é preciso estimar Y iln =  0 + X i22 ln + X i33 ln + ui 
De modo habitual (por MQO), sem levar em conta de forma explicita as restrições 

2
 + 
3
 = 1. Tal regressão será chamada de “REGRESSÃO SEM RESTRIÇÃO”. 
Após estimar 
2
, 
3
 é feito um teste de da hipótese ou restrição, conforme segue 
abaixo: 
 H0: 
2
 + 
3
 = 1. 
H1: 
2
 + 
3
  1. 
Para encontrar o “t” calculado se usa a seguinte fórmula: 
),cov(2)var()var(
1)
^
3
^
2
^
3
^
2
^
3
^
2
(


++
−+
=t 
Para encontrar o “t” crítico se usa os seguintes elementos: 
 (número de significância) = 5% ou 10% ou 1% - conforme escolha do 
econometrista. 
gl (graus de liberdade) = n (número de observações) menos k (número de 
parâmetros do modelo – Y e X). 
Assim, se o “t” calculado for MAIOR que o “t” crítico, rejeita-se a hipótese nula, 
ou seja, a HIPÓTESE de RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA. 
15.1) Por que Gujarat diz que o teste “t” é uma espécie de exame post-mortem? 
Porque com tal teste tentamos verificar se a restrição linear é satisfeita DEPOIS 
de estimar a regressão “sem restrições”. 
 145 
 
O TESTE “F”: 
É uma abordagem direta que incorpora, desde o início, a restrição 
2
 + 
3
 = 1 
ao procedimento de estimação. Assim, rearrumando os termos da equação temos: 

2
= 1 - 
3
 ou 
3
 = 1 - 
2
. Assim, empregando qualquer uma das igualdades 
acima podemos eliminar um dos coeficientes  em Y iln =  0 + X i22 ln + 
X i33 ln + ui e estimar a regressão resultante. Assim, usando a primeira das duas 
equações, podemos escrever a função Coob-Douglas como: 
Y iln =  0 + X i23 ln)1( − + X i33 ln + ui 
Y iln =  0 + X i2ln + )ln(ln 233 XX ii − + ui 
)ln(ln
2XY ii − =  0 + )ln(ln 233 XX ii − + ui 
ln )(
2X
Y
i
i = 
0
 + 
3
ln )(
2
3
X
X
i
i + ui 
Onde: )(
2X
Y
i
i = razão produção/mão-de-obra e )(
2
3
X
X
i
i = razão capital/mão-de-
obra. 
Observe a transformação da equação original Y iln =  0 + X i23 ln)1( − + 
X i33 ln + ui . Uma vez estimado  3 a partir de )ln(ln 2XY ii − =  0 + 
)ln(ln
233 XX ii − + ui ,  2 pode ser estimado com base na relação  2 = 1 -  3 
(tal processo garante que a soma dos coeficientes estimados dos insumos será igual a 1). 
O procedimento adotado acima é conhecido como “MÍNIMOS QUADRADOS 
RESTRITOS” (MQR) que irá gerar o teste “F” abaixo. 
16) Como comparar as regressões com mínimos quadrados não restritos e 
restritos. Ou seja, como sabemos que a restrição 
2
 + 
3
 = 1 é válida? 
Usando o seguinte teste ‘F’, onde: 
uSR
2^
 = SQR da regressão SEM restrições. Ou seja: 
Y iln =  0 + X i23 ln)1( − + X i33 ln + ui . 
 146 
uR
2^
 = SQR da regressão COM restrições. Ou seja: 
ln )(
2X
Y
i
i = 
0
 + 
3
ln )(
2
3
X
X
i
i + ui . 
m = número de RESTRIÇÕES lineares (no exemplo, 1). 
k = número de parâmetros da regressão SEM restrições. 
n = número de observações.Então, F = 
)/()(
/)(
kn
m
SQR
SQRSQR
SR
SRR
−
−
 
Segue a distribuição “F” com m (numerador), kn − (denominador) graus de 
liberdade e com o número de significância ( ) escolhido. (observação: SR = equação 
sem restrição e R = equação com restrição). 
O teste “F” pode ser expresso, também, em termos de R
2
: 
F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 
Observações: 
1) RR RSR
22
 
 2) uSR
2^
  uR
2^
 
 3) Ao usar o teste F = 
)/()(
/)(
kn
m
SQR
SQRSQR
SR
SRR
−
−
 devemos ter em mente que, se A 
VARIÁVEL DEPENDENTE nos modelos com e sem restrição NÃO FOR A MESMA, 
RSR
2
 e RR
2
 NÃO PODEM SER COMPARADOS de forma direta. Nesse caso, é melhor 
usar o teste F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 . 
EXEMPLO DO TESTE “F” GERAL PARA 
A DEMANDA DE FRANGOS NOS EUA: 
Tabela 7.9 Demanda por frangos nos Estados Unidos. 1960-1982 
ANO = Ano 
 
 Y = consumo per capita de frango em libras-peso. 
 147 
 
X2 = renda real disponível per capita. Em US$ 
 
X3 = preço real do frango, no varejo. Centavos de dólar por libra-peso. 
 
 X4 = preço real da carne suína, no varejo. Centavos de dólar por libra-peso. 
 
 X5 = preço real da carne bovina, no varejo. Centavos de dólar por libra-peso. 
 
 X6 = preço real dos substitutos da carne de frango em centavos de dólar por 
libra-peso. 
ANO Y X2 X3 X4 X5 X6 
1960 27.8 397.5 42.2 50.7 78.3 65.8 
1961 29.9 413.3 38.1 52.0 79.2 66.9 
1962 29.8 439.2 40.3 54.0 79.2 67.8 
1963 30.8 459.7 39.5 55.3 79.2 69.6 
1964 31.2 492.9 37.3 54.7 77.4 68.7 
1965 33.3 528.6 38.1 63.7 80.2 73.6 
1966 35.6 560.3 39.3 69.8 80.4 76.3 
1967 36.4 624.6 37.8 65.9 83.9 77.2 
1968 36.7 666.4 38.4 64.5 85.5 78.1 
1969 38.4 717.8 40.1 70.0 93.7 84.7 
1970 40.4 768.2 38.6 73.2 106.1 93.3 
1971 40.3 843.3 39.8 67.8 104.8 89.7 
1972 41.8 911.6 39.7 79.1 114.0 100.7 
1973 40.4 931.1 52.1 95.4 124.1 113.5 
1974 40.7 1021.5 48.9 94.2 127.6 115.3 
1975 40.1 1165.9 58.3 123.5 142.9 136.7 
1976 42.7 1349.6 57.9 129.9 143.6 139.2 
1977 44.1 1449.4 56.5 117.6 139.2 132.0 
1978 46.7 1575.5 63.7 130.9 165.5 132.1 
1979 50.6 1759.1 61.6 129.8 203.3 154.4 
1980 50.1 1994.2 58.9 128.0 219.6 174.9 
1981 51.7 2258.1 66.4 141.0 221.6 180.8 
1982 52.9 2478.7 70.4 168.2 232.6 189.4 
Usando o seguinte modelo: 
Y tln =  1ln + X t22 ln + X t33 ln + X t44 ln + X t55 ln +ut (equação 
sem restrições). 
Nesse modelo, 
2
, 
3
, 
4
 e 
5
 são, respectivamente, as elasticidades renda, 
preço próprio, preço cruzado (carne suína), preço cruzado (carne bovina). De acordo com 
a teoria econômica: 

2
>0. 

3
<0. 

4
>0, se as carnes de frango e de suíno forem produtos concorrentes. 
 148 

4
<0, se as carnes de frango e de suíno forem produtos complementares. 

4
 = 0, se as carnes de frango e de suíno não tiverem relação. 

5
>0, se as carnes de frango e bovino forem produtos concorrentes. 

5
<0, se as carnes de frango e bovino forem produtos complementares. 

5
 = 0, se as carnes de frango e bovino não tiverem relação. 
Imagine a seguinte restrição. Alguém afirma que as carnes de frango, suíno e 
bovino não têm qualquer relação. Ou seja, o consumo de frango não é afetado pelo preço 
das carnes suína e bovina. Em resumo: 
H0: 
4
 = 
5
 = 0. 
H1: 
4
  
5
  
5
. 
Assim, a regressão com restrição será dada por: 
Y tln =  1ln + X t22 ln + X t33 ln + ut (equação com restrição). 
Seguem abaixo os resultados das regressões: 
REGRESSÃO SEM RESTRIÇÕES: 
. gen lnx2=ln(x2) 
. gen lnx3=ln(x3) 
. gen lnx4=ln(x4) 
. gen lnx5=ln(x5) 
. gen lnx6=ln(x6) 
. reg lny lnx2 lnx3 lnx4 lnx5 
 
 
Y tln = 2,1898 + X t2ln3426,0 X t3ln5046,0− + X t4ln1485,0 + X t5ln0911,0 
Ep = (0,1557) (0,0833) (0,1109) (0,0997) (0,1007) 
RSR
2
 = 0,9823 uSR
2^
 = 0,0137 
 
REGRESSÃO COM RESTRIÇÕES: 
 
 _cons 2.189793 .1557149 14.06 0.000 1.862648 2.516938
 lnx5 .0911056 .1007164 0.90 0.378 -.1204917 .302703
 lnx4 .1485461 .0996726 1.49 0.153 -.0608583 .3579505
 lnx3 -.5045934 .1108943 -4.55 0.000 -.7375737 -.2716132
 lnx2 .3425546 .0832663 4.11 0.001 .1676186 .5174907
 
 lny Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .77475309 22 .03521605 Root MSE = .02759
 Adj R-squared = 0.9784
 Residual .013702848 18 .000761269 R-squared = 0.9823
 Model .761050242 4 .190262561 Prob > F = 0.0000
 F( 4, 18) = 249.93
 Source SS df MS Number of obs = 23
 149 
. reg lny lnx2 lnx3 
 
 
 
Y tln = 2,0328 + X t2ln4515,0 X t3ln3722,0− 
Ep = (0,1162) (0,0247) (0,0635) 
RR
2
 = 0,9801 uR
2^
 = 0,0154 
OS VALORES DE RSR
2
 E RR
2
 SÃO COMPARÁVEIS, JÁ QUE A VARIÁVEL 
DEPENDENTE DOS DOIS MODELOS É A MESMA. 
Usando o teste “F” abaixo: 
F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 = 
)523/()9823,01(
2/)9801,09823,0(
−−
−
 = 1,1224. 
Onde: m = 2 (temos duas restrições - 
4
 e 
5
 = 0) é o numerador dos graus de 
liberdade; n – k = 18 (n = número de observações e k = número de coeficientes betas da 
equação sem restrição) e  = 5% (número de significância escolhido). Assim, o “F” 
crítico será igual a 3,55. 
Como o F calculado (1,12) é MENOR que o F crítico, NÂO REJEITAMOS a 
hipótese nula de que a demanda por frango NÃO depende dos preços das carnes suína e 
bovina. 
Assim, podemos aceitar a regressão COM restrições Y tln =  1ln + X t22 ln
+ X t33 ln + ut como representativa da função demanda de frango. 
Além disso, observe que a função demanda satisfaz as expectativas econômicas a 
priori, já que a elasticidade preço própria é NEGATIVA e a elasticidade renda é 
POSITIVA. Contudo, a elasticidade preço estimada, em valor absoluto, é estatisticamente 
MENOR que a unidade, implicando que a demanda por frango é elástica em relação ao 
preço. Também a elasticidade renda, embora positiva é estatisticamente MENOR que a 
unidade, sugerindo que o frango NÃO é um bem de luxo; Por convenção, considera-se 
que bens de luxo possuem elasticidade renda MAIOR que a unidade. 
 
 _cons 2.03282 .116183 17.50 0.000 1.790466 2.275173
 lnx3 -.3722119 .0634661 -5.86 0.000 -.5045998 -.239824
 lnx2 .4515277 .0246948 18.28 0.000 .4000153 .5030401
 
 lny Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total .77475309 22 .03521605 Root MSE = .02778
 Adj R-squared = 0.9781
 Residual .015437406 20 .00077187 R-squared = 0.9801
 Model .759315684 2 .379657842 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 20) = 491.87
 Source SS df MS Number of obs = 23
 150 
17) Analise o chamado “TESTE DA ESTABILIDADE ESTRURAL” ou dos 
“PARÂMETROS NOS MODELOS DE REGRESSÃO”, conhecido como “TESTE DE 
CHOW”. 
Tal teste está ligado ao fato de que quando usamos um modelo de regressão que 
envolve o uso de séries temporais, muitas vezes, podem ocorrermudanças estruturais na 
relação entre o regressando (Y) e os regressores (X). 
18) O que se entende por “MUDANÇAS ESTRUTURAIS”? 
É quando os valores dos parâmetros do modelo NÃO se mantêm IGUAIS durante 
TODO o período considerado. Às vezes, a mudança estrutural ocorre por causa de forças 
externas (embargos do petróleo impostos pela OPEP em 1973) ou por mudanças na 
política econômica (mudança do regime de câmbio fixo para flexível nos EUA em 1973) 
ou por medidas impostas pelo Governo (reforma tributária no governo Reagan). 
19) Através da tabela 8.9 abaixo vamos verificar se ocorreu ou não uma quebra 
estrutural na economia americana no período de abrangência dos dados. 
Poupança e renda pessoal disponível (em US$ bilhões). Estados Unidos. 1970-
1995 
ano poupança renda 
1970 61 727.1 
1971 68.6 790.2 
1972 63.6 855.3 
1973 89.6 965 
1974 97.6 1054.2 
1975 104.4 1159.2 
1976 96.4 1273 
1977 92.5 1401.4 
1978 112.6 1580.1 
1979 130.1 1769.5 
1980 161.8 1973.3 
1981 199.1 2200.2 
1982 205.5 2347.3 
1983 167 2522.4 
1984 235.7 2810 
1985 206.2 3002 
1986 196.5 3187.6 
1987 168.4 3363.1 
1988 189.1 3640.8 
1989 187.8 3894.5 
1990 208.7 4166.8 
1991 246.4 4343.7 
1992 272.6 4613.7 
1993 214.4 4790.2 
1994 189.4 5021.7 
1995 249.3 5320.8 
 151 
Através da tabela acima queremos estimar uma simples FUNÇÃO POUPANÇA 
que relacione a POUPANÇA (Y) com a RENDA PESSOAL DISPONÍVEL – RPD – (X). 
Ao fazer uma regressão com TODOS os dados estamos sustentando que a relação entre 
poupança e renda pessoal disponível NÃO mudou muito dentro deste período de 26 anos. 
Mas, com isso, não estamos levando em conta que em 1982, os EUA registraram uma 
grande RECESSÃO que pode ter perturbado bastante a relação entre poupança e renda. 
Para ver se isto ocorreu vamos dividir os dados da amostra em dois períodos:1970 – 1981 
e 1982 – 1995. Ou seja, os períodos anterior e posterior à recessão de 1982. 
Agora temos três possíveis regressões: 
1970 – 1981: Y t = 1 + 2 X t + u t1 n = 12 (equação 1). 
1982 – 1995: Y t =  1 +  2 X t + u t2 n = 14 (equação 2). 
1970 – 1995: Y t = 1 +  2 X t + u t3 n = 12 + 14 (equação 3). 
A regressão 3 pressupõe que NÃO EXISTE DIFERENÇA ENTRE OS DOIS 
PERÍODOS e, portanto, estima a relação entre poupança e renda pessoal para todo o 
período, que consiste de 26 observações. Assim, esta regressão considera que o 
INTERCEPTO e o COEFICIENTE ANGULAR da regressão PERMANECEM OS 
MESMOS DURANTE TODO O PERÍODO, ou seja, NÃO SE VERIFICA MUDANÇA 
ESTRUTURAL. Se esta for de fato a situação, então 1 =  1 e  2 =  2 . 
As regressões 2 e 3 pressupõem que as regressões dos dois períodos SÃO 
DIFERENTES. Isto é, o INTERCEPTO e os COEFICIENTES ANGULARES 
DIFEREM. Segue abaixo os resultados das três regressões obtidos através do programa 
Stata: 
 
 
 
 
 
 
 
reg poupança renda 
 
 
 _cons 1.016115 11.63771 0.09 0.932 -24.91432 26.94655
 renda .0803319 .0083665 9.60 0.000 .0616901 .0989737
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 18241.2912 11 1658.2992 Root MSE = 13.361
 Adj R-squared = 0.8924
 Residual 1785.03254 10 178.503254 R-squared = 0.9021
 Model 16456.2587 1 16456.2587 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 10) = 92.19
 Source SS df MS Number of obs = 12
 152 
1970 – 1981: Y t = 1,01611 + 0,0803 X t n = 12 (equação 1). 
T = (0,09) (9,60) R
2
 = 0,9021 SQR
t
 = 1785,0325 
gl = 10. 
. reg poupança renda 
 
 
1982 – 1995: Y t = 153,4947 + 0,0149 X t n = 14 (equação 2). 
T = (4,69) (1,77) R
2
 = 0,2072 SQR
t
 = 10005,22 
gl = 12. 
. reg poupança renda 
 
1970 – 1995: Y t = 62,4227+ 0,0377 X t n = 12 + 14 (equação 3). 
T = (4,89) (8,89) R
2
 = 0,7672 SQR
t
 = 23248,79 
gl = 24. 
A observação das regressões estimadas sugere que a relação entre poupança e a 
renda pessoal disponível não é a mesma nos dois subperiodos. O coeficiente angular das 
regressões de poupança contra a renda representa a “PROPENSÃO MARGINAL A 
POUPAR” (PMgS). Isto é, a variação (média) das poupanças decorrente do aumento de 
uma unidade monetária na renda pessoal disponível. No período 1970 – 1981, a PMgS é 
de cerca de 0,08, enquanto no período seguinte, cai para cerca de 0,015. Segue abaixo os 
gráficos da equação 1 e da equação 2. 
.twoway (scatter poupança renda) 
 
 _cons 153.4947 32.71227 4.69 0.001 82.22075 224.7686
 renda .0148624 .0083932 1.77 0.102 -.0034248 .0331496
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 12619.6179 13 970.739837 Root MSE = 28.875
 Adj R-squared = 0.1411
 Residual 10005.2214 12 833.768451 R-squared = 0.2072
 Model 2614.39647 1 2614.39647 Prob > F = 0.1020
 F( 1, 12) = 3.14
 Source SS df MS Number of obs = 14
 
 _cons 62.42267 12.76075 4.89 0.000 36.08578 88.75957
 renda .0376791 .0042366 8.89 0.000 .0289353 .046423
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 99870.0867 25 3994.80347 Root MSE = 31.124
 Adj R-squared = 0.7575
 Residual 23248.3 24 968.679166 R-squared = 0.7672
 Model 76621.7867 1 76621.7867 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 24) = 79.10
 Source SS df MS Number of obs = 26
 153 
 
.twoway (scatter poupança renda) 
 
As possíveis diferenças nos dois períodos (as quais são visíveis através dos 
gráficos – decisão que deve ser corroborada pelos testes estatísticos pertinentes), ou seja, 
as MUDANÇAS ESTRUTURAIS podem ser provocadas por diferenças no 
INTERCEPTO ou no COEFICIENTE ANGULAR, ou em AMBOS. 
20) Qual é a mecânica do teste de CHOW? 
1970-1981
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
p
o
u
p
a
n
ç
a
500 1000 1500 2000 2500
renda
1982-1995
1
5
0
2
0
0
2
5
0
3
0
0
p
o
u
p
a
n
ç
a
2000 3000 4000 5000 6000
renda
 154 
a) Estima-se a regressão 3, que é adequada SE NÃO existir instabilidade dos 
parâmetros (quebra estrutural) e obtém-se a SQR
3
 com (n1 + n2 - k ) graus de 
liberdade, onde k é o número de parâmetros estimados, 2 nesse caso. Em nosso exemplo, 
SQR
3
 = 23248,3. Chamamos SQR
3
 de “soma dos quadrados dos resíduos restrita” (
SQR
R
) por que é obtida pela imposição da restrição de que 1 =  1 e 2 =  2 , isto 
é, as regressões dos subperiodos NÃO são diferentes. 
b) Estima-se a regressão 1, e obtém-se SQR
1
, com n1 - k graus de liberdade.Em nosso exemplo, SQR
1
 = 1785,0325 e 10 graus de liberdade. 
c) Estima-se a regressão 2, e obtém-se a SQR
2
, com n2 - k graus de liberdade. 
Em nosso exemplo, SQR
2
 = 10005,2214 e 12 graus de liberdade. 
d) Já que consideramos que os dois grupos de amostras são independentes, 
podemos somar SQR
1
 + SQR
2
 para obter a chamada “SOMA DOS QUADRADOS 
SEM RESTRIÇÕES” ( SQR
SR
), ou seja: 
SQR
SR
 = SQR
1
 + SQR
2
 com (n1 + n2 - 2 k ) graus de liberdade. 
Em nosso exemplo: 
SQR
SR
 = (1.785,0325 + 10.005,2214) = 11.790,2539. Com 22 graus de 
liberdade. 
e) A idéia que embasa o teste de Chow é que, SE NÃO EXISTE MUDANÇA 
ESTRUTURAL (isto é, se as regressões 1 e 2 são essencialmente iguais), então a 
SQR
SR
 e a SQR
R
 NÃO DEVERIAM SER ESTATISTICAMENTE DIFERENTES. 
Segue abaixo o teste “F” de Chow. 
H0: NÃO existe quebra estrutural (equação 1 e 2 são estatisticamente iguais). 
H1: Existe quebra estrutural. 
 
 
Para o cálculo do “F” crítico: 
 155 
 = 5%; graus de liberdade: k = 2 (2 restrições foram impostas) no numerador e 
n1 + n2 - 2 k = 26 – 4 = 22 (no denominador). Olhando na tabela “F”, nosso “F” crítico 
é de 3,44. 
Para o cálculo do “F” calculado, segue a fórmula abaixo: 
F = 
)2/()(
/)(
21
k
k
nnSQR
SQRSQR
SR
SRR
−+
−
= (
)22/()2539,790.11(
2/)2539,790.113,248.23( −
 = 10,69. 
Como o “F” calculado é MAIOR que o “F” crítico, ao nível de significância 
escolhido, REJEITAMOS a hipótese nula de ausência de quebra estrutural nos dados. 
Logo, as regressões 1 e 2 são estatisticamente diferentes, e nesse caso, o uso da regressão 
combinada seria um erro. 
 21) Quais as 3 advertências que devem ser levadas em conta em relação ao teste 
de Chow? 
a) As premissas que norteiam o teste devem ser levadas respeitadas. Ou seja, os 
termos de erro nas regressões dos subperiodos devem ter distribuição normal com a 
mesma variância (homocedástica) e os dois termos de erro devem ter distribuição 
independente. 
b) O teste de Chow APENAS nos diz se as duas regressões em pauta são 
diferentes, SEM indicar se essa diferença decorre dos interceptos, dos coeficientes 
angulares ou de ambos. 
c) O teste de Chow pressupõe que conhecemos os pontos de quebra estrutural. Se, 
não for possível determinar tal momento, podemos ter de recorrer a outros métodos (além 
do alcance de tal nível de estudo). 
22) Analise, para o exemplo dado, se a premissa que embasa o teste de Chow 
(variâncias dos termos de ERROS são iguais nos subperiodos) é válida? 
Como NÃO podemos observar as verdadeiras variâncias dos erros nos dois 
períodos, temos de obter suas estimativas com base nas SQR dadas nas regressões 1 e 2, 
que são: 

2
1
 = 
2
1
1
−n
SQR
 = 
212
0325,1785
−
 = 178,5032 (que é dado de forma direta no output 
da regressão 1). 
 156 

2
2
 = 
2
2
2
−n
SQR
 = 
214
2214,005.10
−
 = 833,7683 (que é dado de forma direta no output 
da regressão 2). 
Na seqüência, se faz um teste “F” no qual o “F” calculado se obtém conforme a 
seguinte fórmula: 
F = 


2^
2
2^
1 = 
5032,178
7683,833
 = 4,67 (POR CONVENÇÃO SE COLOCA A MAIOR 
VARIÂNCIA NO NUMERADOR). 
Para o “F” crítico segue-se a distribuição “F” com n1 - k graus de liberdade no 
NUMERADOR e n2 - k graus de liberdade no denominador. Temos então: 
 = 5%; k = 2; numerador = 12. Denominador = 10. Nosso “F” crítico é igual a 
2,91. 
H0: As variâncias dos termos de erro são iguais nos dois grupos. 
H1: Não são iguais. 
Como o F calculado (4,67) é MAIOR que o F crítico, REJEITAMOS a hipótese 
nula, ao nível de significância escolhido (5%). 
Assim, podemos concluir que as variâncias dos termos de erro dos dois 
subperiodos NÃO são, estatisticamente, as mesmas e, portanto, EM TERMOS 
RIGOROSOS, NÃO poderíamos aplicar o teste de Chow (porém, se usássemos um nível 
de significância de 1%, encontraríamos um “F” crítico de 4,71 e acabaríamos aceitando 
a hipótese nula). 
 
 
 
 
 
 
 
 157 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 8: 
8.2) Demonstre que a razão “F” de 
 F = 
)mod(/
)/()(
elonovorâmetrosdonúmerodepangl
oresvosregressnúmerodeno
SQR
SQESQE
novo
velhonovo
−=
−
 é igual à razão 
“F” de 
F = 
)mod/()1(
)/()(
2
22
glelonovorâmetrosdonúmerodepan
oresvosregressnúmerodeno
R
RR
novo
velhonovo
=−−
−
 . (Dica: 
SQE/SQT = R
2
). 
 
Partindo da primeira equação: 
F = 
SQR
SQESQE
novo
velhonovo
−(
 * 
oresvosregressnúmerodeno
gl
 
Se dividirmos SQE por SQT, onde a divisão resultará no valor do R
2
, e, 
substituirmos SQR
novo
 por (SQT – SQE), teremos: 
F = 
SQTSQT
SQT
SQTSQT
SQE
SQESQE
novo
velhonovo
−
−
 * 
oresvosregressnúmerodeno
gl
 
Substituindo a dica dentro da equação acima, chegamos à: 
F = 
)mod/()1(
)/()(
2
22
glelonovorâmetrosdonúmerodepan
oresvosregressnúmerodeno
R
RR
novo
velhonovo
=−−
−
 
8.3) Mostre que a razão “F” de 
 F = 
)mod/()1(
)/()(
2
22
glelonovorâmetrosdonúmerodepan
oresvosregressnúmerodeno
R
RR
novo
velhonovo
=−−
−
 (equação 1) é 
equivalente à razão “F” de F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 (equação 2). 
 
 
 
 158 
As equações 1 e 2 sugerem: 
F = 
)mod/()1(
)/()(
2
22
glelonovorâmetrosdonúmerodepan
oresvosregressnúmerodeno
R
RR
novo
velhonovo
=−−
−
 = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 
Temos na equação 1 uma relação entre os valores do coeficiente de determinação 
( R
2
) para uma regressão com Rvelho
2
, que faz menção ao modelo base (MODELO 
RESTRITO), e ao Rnovo
2
 que corresponde ao coeficiente da regressão após a adição de 
um novo regressor (modelo irrestrito). Desta forma, testamos a contribuição 
INCREMENTAL da adição de uma variável explicativa ao modelo de regressão. 
Na equação 2, temos a relação entre o coeficiente de determinação da regressão 
SEM a restrição ( RSR
2
) e o da regressão COM restrição ( RR
2
); a variável m representa o 
número de restrições lineares impostas. 
Podemos observar que em ambos os casos existem um modelo onde uma variável 
é OMITIDA e um modelo com TODAS as variáveis expressas INDIVIDUALMENTE 
(sem restrição). Assim, Rvelho
2
 e RSR
2
 terão o mesmo princípio, bem como Rnovo
2
 e RR
2
. 
8.4) Estabeleça as seguintes afirmações: 
1) RR RSR
22
 . 
2) uSR
2^
  uR
2^
. 
Nas estimações por MQO, tornamos mínimas a SQR SEM aplicar NENHUMA 
RESTRIÇÃO AOS ESTIMADORES. Desse modo, a SQR nesse caso representa a 
MÍNIMA verdadeira, ou SQR
SR
 . Quando aplicamos restrições a um ou mais 
parâmetros, podemos NÃO obter SQR mínima ABSOLUTA devido às restrições 
impostas. Então, SQR
R
  SQR
SR
 (que é o mesmo que dizer que uSR
2^
  uR
2^
), A MENOS que as RESTRIÇÕES sejam VÁLIDAS, caso em que os dois termos serão 
IGUAIS. 
 159 
Relembrando que R
2
 = 1 - 
SQT
SQR
, temos que RSR
2
 = 1 - 
SQT
SQR
SR  RR
2
 = 1- 
SQT
SQR
R . 
Repare que quer usemos a regressão COM restrições, quer usemos aquela SEM 
restrições, a SQT permanece a mesma, já que é igual a 
−
− )( YY i . 
8.5) Considere a seguinte função de produção Coob-Douglas: 
Y =  1 L

2 K

3 (equação 1). 
Onde: Y = produto; L = insumo de mão-de-obra e K = insumo de capital. 
Dividindo a equação 1 por K, obtemos: 
)(
K
Y
 = 
1
) 2(

K
L
)
1
32(
−+
K (equação 2). 
Tomando o logaritmo natural da equação 2, e acrescentando o termo de erro, 
obtemos: 
)ln(
K
Y
 = 
0
 + 
2
)ln(
K
L
 + (
2
+
3
 - 1) Kln + ui (equação 3). 
Onde: 
0
 = 
1
ln . 
a) Imagine que tenha os dados para calcular a equação 3.Como você testaria a 
hipótese de RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA, isto é, (
2
+
3
) = 1? 
Estipulando 
*
 = (
2
+
3
 - 1) como o coeficiente de Kln . Assim, testaria as 
seguintes hipóteses: 
H0: 
*
 = 0. 
H1: 
*
 0. 
Através do teste “t” habitual, se o “t” calculado for MENOR que o “t” crítico, ao 
nível de significância escolhido, NÃO SE REJEITA a hipótese nula. Ou seja, se EXISTIR 
mesmo RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA, o valor“t” será PEQUENO. 
 
 
b) Se os retornos de escala forem constantes, como você interpreta a regressão 3? 
 160 
Se definirmos que a relação produção/capital – medida da produtividade do capital 
– é (Y/K), e que a relação mão-de-obra/capital é (L/K), o coeficiente angular dessa 
regressão dará a variação média percentual da produtividade do capital para um 
percentual de variação da relação mão-de-obra/capital. 
c) Faz diferença dividir na equação 1 dividir por L no lugar de K? 
Embora a análise seja simétrica, se assumirmos que existem retornos constantes 
de escala, então o coeficiente angular dará a variação MÉDIA percentual da produtividade 
da mão-de-obra (Y/L) para um percentual de variação da relação capital/mão-de-obra 
(K/L). Tal análise é importante, porque o que diferencia os países desenvolvidos daqueles 
em desenvolvimento é a ALTA relação capital/mão-de-obra existente nos primeiros. 
8.6) Valores críticos de R
2
 quando o verdadeiro R
2
 = 0. 
A equação F = 
)1)(1(
)(
2
2
R
R
k
kn
−−
−
 dá a relação entre “F” e R
2
 sob a hipótese de que 
todos os coeficientes parciais angulares são simultaneamente iguais à zero (ou seja, R
2
 
= 0). Do mesmo modo que podemos encontrar o valor crítico de “F” no nível de 
significância  na tabela “F”, podemos encontrar o valor crítico de R
2
 a partir da 
seguinte relação: 
R
2
 = 
)()1(
)1(
knFk
Fk
−+−
−
. Onde: k = número de parâmetros do modelo de 
regressão, incluído o intercepto; F = valor crítico de “F” no nível de significância  . Se 
o R
2
 observado for maior que o R
2
 crítico obtido a partir da fórmula acima, podemos 
rejeitar a hipótese de que o verdadeiro R
2
 é zero. 
Demonstre a fórmula e encontre o valor crítico de R
2
 para  = 5% no caso da 
regressão abaixo: 
MI i = 263,6416 – 0,005647 PNB pc - 2,231586TAF i 
EP = (11,59318) (0,0020) (0,2099) 
T = (22,7411) (-2,8187) (-10,6293) 
Valor p = (0,0000) (0,0065) (0,0000) 
R
2
 = 0,7077 R
2−
 (ajustado) = 0,6981 F = 73,83 
Partindo da seguinte fórmula: 
 161 
F = 
)/()1(
)1(
2
2
kn
k
R
R
−−
−
 = 
)1(
2
2
R
R
−
 * 
)1(
)(
−
−
k
kn
 = F(1- R
2
)(k-1) = R
2
(n-k) 
(F - F R
2
)(k – 1) = n R
2
 - k R
2
 
kF – F - F R
2
k + F R
2
 = n R
2
 - k R
2
 
F R
2
k - F R
2
 + n R
2
 - k R
2
 = kF – F 
R
2
(Fk – F + n – k) = F (k – 1) 
R
2
 F (k-1) + (n-k) = F (k – 1) 
R
2
 = 
)()1(
)1(
knkF
kF
−+−
−
 que é igual à fórmula dada na questão. 
Adotando  = 5%; k = 3; n = 64, temos um “F” crítico F )62;2(05,0 = 3,15. 
Substituindo os valores na fórmula acima: 
R
2
 = 
)()1(
)1(
knkF
kF
−+−
−
 = R
2
 = 
)364()13(15,3
)13(15,3
−+−
−
 = 0,094 (que é o R
2
 
crítico). 
Assim, formulamos as seguintes hipóteses: 
H0: R
2
 = 0. 
H1: R
2
 0. 
Como o R
2
 crítico (0,094) é MENOR que o R
2
 calculado (0,7077), ao nível de 
significância de 5%, REJEITAMOS a hipótese nula de que o verdadeiro R
2
 é igual à 
zero (hipótese de que todos os coeficientes parciais angulares são simultaneamente iguais 
à zero). 
8.11) Com base no que estudamos sobre o uso dos testes “t” e “F” para tester 
hipóteses, individual e em conjunto, quais das seguintes situações seriam possíveis? 
1) Rejeição da hipótese nula com base na estatística “F”, sem, contudo rejeitar 
cada hipótese nula isolada com base no teste “t” individual? 
Improvável, a não ser para o caso de colinearidade (capítulo 10) muito alta. 
2) Rejeição da hipótese nula com base na estatística “F”, rejeitar uma hipótese 
nula isolada com base no teste “t” individual e não rejeitar as demais hipóteses individuais 
com base no mesmo teste “t”? 
 162 
Provável, casos assim ocorrem com freqüência na prática. 
3) Rejeição da hipótese nula com base na estatística “F” e rejeitar todas as 
hipóteses nulas individuais com base nos testes “t” individuais? 
Provável. Essa seria, em verdade, uma situação ideal. 
4) Não rejeitar a hipótese nula conjunta com base na estatística “F” e não rejeitar 
nenhuma das hipóteses nulas individuais com base nos testes “t”? 
Provável. O modelo de regressão é inútil nesse caso. 
5) Não rejeitar a hipótese nula conjunta com base na estatística “F”, rejeitar uma 
das hipóteses individuais com base no teste “t”, e não rejeitar as demais hipóteses nulas 
individuais com base nos testes “t”? 
Poderia ocorrer no caso de a significância de um coeficiente ser insuficiente para 
compensar a insignificância do outro. 
6) Não rejeitar a hipótese nula conjunta com base na estatística “F”, mas rejeitar 
todas as hipóteses nulas individuais com base nos testes “t”? 
Improvável. 
8.13) Com dados relativos a 46 estados dos EUA, para o ano de 1992, Baltagi 
obteve os seguintes resultados de uma regressão: 
Clog = 4,30 – 1,34 Plog + 0,17 Ylog 
Ep = (0,91) (0,32) (0,20) R
2−
 = 0,27 
Onde: C = consumo de cigarros, em maços/ano. 
 P = preço real do maço. 
 Y = renda disponível per capta. 
a) Qual a elasticidade preço da demanda por cigarros? É estatisticamente 
significativa? É estatisticamente diferente de 1? 
A elasticidade preço da demanda por cigarros é de (-1,34). Para testar se ela é 
significativa, temos: 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
 0. 
Com  = 5%; gl = 43 (n – k = 46 – 3 ) – mais próximo na tabela é 40, “t” crítico 
= 2,02 
Para o “t” calculado: t = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
32,0
034,1 −−
 = - 4,19. 
 163 
Como, em módulo, o “t” calculado (4,19) é maior que o “t” crítico (2,02), ao nível 
de significância escolhido, REJEITA-SE a hipótese nula de que o verdadeiro coeficiente 
angular seja igual à zero. Logo, o coeficiente é significativo. 
Para testar se o mesmo parâmetro é diferente de um, temos: 
H0: 
2
 = 1. 
H1: 
2
 1. 
O “t” crítico continua sendo 2,02. Enquanto o “t” calculado passa a ser: 
t = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
32,0
134,1 −−
 = - 7,31. 
Como, em módulo, o “t” calculado (7,31) é maior que o “t” crítico (2,02), ao nível 
de significância escolhido, REJEITA-SE a hipótese nula de que o verdadeiro coeficiente 
angular seja igual a 1. Assim, o preço real do maço é estatisticamente diferente de 1. 
b) Qual é a elasticidade renda da demanda por cigarros? É estatisticamente 
significativa? Se não for, qual seria (m) a(s) razão (ões)? 
A elasticidade renda da demanda por cigarros é de 0,17. 
Testando a hipótese de significância ou não de 
3
. 
“t” crítico continua sendo 2,02. 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
20,0
017,0 −
 = 0,85. 
H0: 
3
 = 0. 
H1: 
3
 0. 
Como o “t” calculado, ao nível de significância escolhido, é MENOR que o “t” 
crítico, NÃO SE REJEITA a hipótese nula. Assim, temos que a renda real disponível 
NÃO é estatisticamente significativa, o que reflete o fato do consumo de cigarros SER 
UM VÍCIO, ou seja, pouco depende da renda individual. Assim, um aumento na renda 
não significa, necessariamente, um aumento no consumo de cigarros. 
c) Como poderíamos obter o R
2
 a partir do R
2−
 (ajustado) dado acima? 
A partir da seguinte fórmula: 
R
2−
 = 1- (1 - R
2
)
kn
n
−
−1
 
 164 
0,27 = 1 – (1 – R
2
)
346
146
−
−
 
R
2
 = 0,3. 
 
8.16) Ao examinar a demanda de tratores agrícolas dos EUA, nos períodos 1921 
– 1941 e 1948 – 1957, Griliches obteve os seguintes resultados: 
Y tlog = constante – 0,519 X t2log - 4,933 X t3log 
Ep = (0,231) (0,477) 
T = (-2,247) (-10,342) R
2
 = 0,793 
Onde: 
Y t = valor do estoque de tratores existentes nos estabelecimentos agrícolas em 
primeiro de janeiro, em dólares de 1935 – 1939; 
X t2 = índice de preços dos tratores dividido por um índice de preços recebidos 
por todos os produtos agrícolas no período t – 1; 
X t3 = taxa de juros vigente no ano t – 1; 
a) interprete a regressão? 
Temos que um aumento de 10%no índice de preços dos tratores dividido por um 
índice de preços recebidos por todos os produtos agrícolas no período t – 1 irá, no período 
analisado, ocasionar, em média, uma redução de 5,19% no valor do estoque de tratores 
existentes nos estabelecimentos agrícolas, mantidas constantes as demais variáveis do 
modelo. 
Por outro lado, um aumento de 10% na taxa de juros vigente para o período 
analisado irá ocasionar, em média, uma redução de 49,33% no valor do estoque de tratores 
existentes nos estabelecimentos agrícolas, mantidas constantes as demais variáveis do 
modelo. 
b) Os coeficientes angulares estimados apresentam, individualmente, 
significância estatística? São significativamente diferentes de 1? 
Tendo:  = 5%; gl = (n – k) = (31 – 3) = 28; “t” crítico = 2,048. 
Para 
2
 = 0. 
Para o “t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
231,0
0519,0 −−
 = - 2,247. 
 165 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
 0. 
Como “t” calculado > “t” crítico (em módulo), REJEITA-SE H0. 
Temos que o no índice de preços dos tratores dividido por um índice de preços 
recebidos por todos os produtos agrícolas no período t – 1 É ESTATISTICAMENTE 
SIGNIFICATIVO. 
Para 
2
 = 1. 
O “t” crítico = 2,048 continua o mesmo. 
H0: 
2
 = 1. 
H1: 
2
 1. 
Para o “t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
231,0
1519,0 −−
 = -6,576. 
Como, em módulo, “t” calculado > “t” crítico. REJEITA-SE H0. 
Temos que o no índice de preços dos tratores dividido por um índice de preços 
recebidos por todos os produtos agrícolas no período t – 1 É ESTATISTICAMENTE 
diferente de zero. 
Para 
3
 = 0. 
O “t” crítico = 2,048 continua o mesmo. 
H0: 
3
 = 0. 
H1: 
3
 0. 
Para o “t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
4777,0
0933,4 −−
 = -10,342. 
Em módulo, “t” calculado > “t” crítico, REJEITA-SE H0. 
Temos que a taxa de juros vigente no período é ESTATISTICAMENTE 
SIGNIFICATIVA. 
Para 
3
 = 1. 
H0: 
3
 = 1. 
 166 
H1: 
3
 1. 
O “t” crítico = 2,048 continua o mesmo. 
Para o “t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
4777,0
1933,4 −−
 = -12,438. 
Em módulo, “t” calculado > “t” crítico. REJEITA-SE H0. 
Temos que a taxa de juros vigente é ESTATISTICAMENTE diferente de 1. 
c) Aplique a técnica de análise de variância para testar a significância da regressão 
geral. (Dica: use a variante R
2
 da técnica ANOVA). 
H0: 
2
 = 
3
 = 0. 
H1: 
2
  
3
  0. 
Para n = 31; k = 3;  = 5%; numerador = 2; denominador = 28; 
“F” crítico = 3,34. 
Para “F” calculado: 
F = 
)(
)1(
)1(
2
2
kn
k
R
R
−
−
−
 = 
)331(
)793,01(
)13(
793,0
−
−
−
 = 53,63. 
Como, ao nível de significância escolhido, “F” calculado > “F” crítico, REJEITA-
SE a hipótese nula de que as variáveis explicativas NÃO são conjuntamente 
significativas. Ou seja, as variáveis explanatórias explicam conjuntamente as variações 
na variável dependente. 
 
d) Como seria possível calcular a elasticidade da demanda por tratores agrícolas 
em relação à taxa de juros? 
Para medir a elasticidade da demanda por tratores agrícolas em relação à taxa de 
juros, devemos recorrer ao modelo duplo-log. 
e) Como seria possível testar a significância do R
2
 estimado? 
Através do seguinte teste “F”: 
Adotando  = 5%; k = 3; n = 31, temos um “F” crítico F )62;2(05,0 = 3,34. 
Substituindo os valores na fórmula acima: 
 167 
R
2
 = 
)()1(
)1(
knkF
kF
−+−
−
 = R
2
 = 
)331()13(34,3
)13(34,3
−+−
−
 = 0,193 (que é o R
2
 
crítico). 
Assim, formulamos as seguintes hipóteses: 
H0: R
2
 = 0. 
H1: R
2
 0. 
Como o R
2
 crítico (0,193) é MENOR que o R
2
 calculado (0,793), ao nível de 
significância de 5%, REJEITAMOS a hipótese nula de que o verdadeiro R
2
 é igual à 
zero (hipótese de que todos os coeficientes parciais angulares são simultaneamente iguais 
à zero). 
8.17) Considere a seguinte equação de determinação dos salários para a economia 
britânica no período 1950 – 1969: 
W t = 8,582 + 0,364 PF t + 0,004 PF t 1− - 2,56 U t 
EP = (1,129) (0,080) (0,072) (0,658) R
2
 = 0,873 gl = 15 
Onde: 
W = salários e ordenados por funcionário. 
PF = preços do produto final a custo de fatores. 
U = taxa de desemprego na Grã-Bretanha, em % do total de empregados do país. 
a) Interprete a regressão acima? 
Tudo o mais permanecendo constante, um aumento em uma unidade monetária 
do preço do produto final a custo de fatores ocasionará, no período analisado, um 
aumento, em média, de 0,36 unidades monetárias nos salários e ordenados por 
funcionário. 
Além disso, um aumento de um ponto percentual na taxa de desemprego na Grã-
Bretanha, no período analisado, leva, em média, a uma redução de cerca de 2,56 unidades 
monetárias nos salários e ordenados por empregado, mantendo-se constantes as demais 
variáveis do modelo. Além do mais, os três regressores em conjunto explicam, no período 
analisado, cerca de 87% na variação do regressando. 
b) Os coeficientes estimados são, individualmente, significativos? 
Tendo  = 5%; gl = 15; “t” crítico = 2,131; 
Para 
1
: 
 168 
H0: 
1
 = 0. 
H1: 
1
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
1
1
^
1


ep
−
 = 
129,1
0852,8 −
 = 7,601. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. O intercepto é estatisticamente 
significativo. 
Para 
2
: 
“t” crítico = 2,131; 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
08,0
0364,0 −
 = 4,55. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. O preço do produto final a custo 
de fatores no tempo t é estatisticamente significativo. 
Para 
3
: 
“t” crítico = 2,131; 
H0: 
3
 = 0. 
H1: 
3
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
072,0
0004,0 −
 = 0,056. 
Como o “t” calculado < “t” crítico, NÃO SE rejeita H0. O preço do produto final 
a custo de fatores no tempo t – 1 NÃO é estatisticamente significativo. 
Para 
4
: 
“t” crítico = 2,131; 
 169 
H0: 
4
 = 0. 
H1: 
4
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
4
4
^
4


ep
−
 = 
658,0
0560,2 −−
 = -3,891. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. A taxa de 
desemprego na Grã-Bretanha é estatisticamente significativa. 
c) Qual a lógica do uso da variável PF t 1− ? 
É incluída para medir o efeito da DEFASAGEM (se houver) dos preços do 
produto final um ano antes. 
d) A variável PF t 1− deveria ser excluída do modelo? Por quê? 
O coeficiente se mostrou NÃO SIGNIFICATIVO, por isso, ela pode ser excluída 
do modelo. Desde que, isso não gere um erro de especificação (omissão de uma variável 
relevante). 
e) Como poderíamos calcular a elasticidade dos salários e ordenados por 
funcionário em relação à taxa de desemprego (U)? 
Para que a regressão revelasse a elasticidade dos salários e ordenados por 
funcionário em relação à taxa de desemprego, deveríamos recorrer a um modelo duplo-
log. Ou, calcular o valor pelas fórmulas de elasticidade da Microeconomia (ver Pindick e 
Rubbenfeldt – Microeconomia). 
−
−


W
U
U
W
* = - 2,56 * 
−
−
W
U
 em que as barras sobre as variáveis denotam seus valores 
MÉDIOS em toda a amostra. 
8.18) A equação a seguir é uma variante daquela dada no exercício 8.17: 
W t = 1,073 + 5,288 V t - 0,116 X t + 0,054 M t + 0,046 M t 1− 
Ep = (0,797) (0,812) (0,11) (0,022) (0,019) R
2
 = 0,934 
gl = 14. 
Onde: 
W = salários e ordenados na Grã-Bretanha. 
 170 
V = vagas abertas na Grã-Bretanha como percentual do número de empregados 
do país. 
X = produto interno bruto por pessoa empregada. 
M = preço das importações. 
M t 1− = preços das importações no ano anterior (ou defasado). 
a) Interprete a equação acima? 
Tudo o mais permanecendo constante, um aumento de um ponto percentual na 
taxa de vagas abertas, no período analisado, leva a um aumento médio de 5,29 unidades 
monetárias nossalários e ordenados por empregado. 
Um aumento de uma unidade monetária no PIB por pessoa, no período analisado, 
leva a uma redução de cerca de 0,12 unidades monetárias nos salários e ordenados por 
empregado, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
Além disso, um aumento de uma unidade monetária nos preços das importações 
no ano corrente e anterior leva, em média, a um aumento de cerca de 0,05 unidades 
monetárias nos salários e ordenados, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
b) Quais dos coeficientes estimados são do ponto de vista estatístico, 
individualmente significativos? 
Tendo  = 5%; gl = 14; “t” crítico = 2,145; 
Para 
1
: 
H0: 
1
 = 0. 
H1: 
1
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
1
1
^
1


ep
−
 = 
797,0
0073,1 −
 = 1,346. 
Como o “t” calculado < “t” crítico, NÃO se rejeita H0. O intercepto NÃO é 
estatisticamente significativo. 
Para 
2
: 
“t” crítico = 2,145; 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
  0. 
 171 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
812,0
0288,5 −
 = 6,512. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. As vagas abertas na Grã-
Bretanha como percentual do número de empregados do país é estatisticamente 
significativa. 
Para 
3
: 
“t” crítico = 2,145; 
H0: 
3
 = 0. 
H1: 
3
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
111,0
0116,0 −−
 = -1,045. 
Como o “t” calculado (em módulo) < “t” crítico, NÃO SE rejeita H0. O PIB por 
pessoa empregada NÃO é estatisticamente significativo. 
Para 
4
: 
“t” crítico = 2,145; 
H0: 
4
 = 0. 
H1: 
4
  0. 
 
 
 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
4
4
^
4


ep
−
 = 
022,0
0054,0 −
 = 2,455. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. O preço das importações é 
estatisticamente significativo ao nível de significância escolhido. 
Para 
5
: 
 172 
“t” crítico = 2,145; 
H0: 
5
 = 0. 
H1: 
5
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
5
5
^
5


ep
−
 = 
019,0
0046,0 −
 = 2,421. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. O preço das importações no ano 
anterior é estatisticamente significativo ao nível de significância escolhido. 
c) Qual é a lógica da inclusão da variável X? A priori, seria de esperar que seu 
sinal fosse negativo? 
A variável X corresponde ao PIB por pessoa empregada. Sendo assim, é de se 
esperar que quanto maior for o PIB por pessoa empregada, maior será a demanda por 
mão-de-obra para a produção, o que resulta em um maior valor dos salários e ordenados 
por funcionário. Neste caso, espera-se um sinal positivo. Porém, em nosso exemplo, tal 
coeficiente estimado, em termos estatísticos, NÃO é significativamente diferente de zero, 
já que seu valor “t” é de apenas 1,045 (em módulo). 
d) Qual o motivo da inclusão de M t e M t 1− no modelo? 
O objetivo é levar em conta o efeito sobre os salários e ordenados da defasagem 
distribuída dos preços das importações do ano corrente e do ano anterior. Se tais preços 
sobem, espera-se que o custo de vida também suba e, conseqüentemente, os salários e 
ordenados. 
e) Qual das variáveis poderia ser excluída do modelo? Por quê? 
As variáveis que podem ser excluídas do modelo, reveladas pelo teste “t” serão: o 
intercepto (
1
) – mas, mesmo que este não seja estatisticamente significativo é 
preferível permanecer no modelo para melhores comparações com outras regressões. O 
PIB por pessoa (
3
), pois apresenta o sinal errado e seu valor “t” é baixo estatisticamente 
falando – porém, só podemos retirá-lo se isto não levar a um erro de especificação. 
f) Teste a significância geral da regressão observada? 
H0: 
2
 = 
3
 = 0. 
H1: 
2
  
3
  0. 
 173 
Para n = 19; k = 5;  = 5%; numerador = 4; denominador = 14; 
“F” crítico = 3,34. 
Para “F” calculado: 
F = 
)(
)1(
)1(
2
2
kn
k
R
R
−
−
−
 = 
)519(
)934,01(
)15(
934,0
−
−
−
 = 49,53. 
Como, ao nível de significância escolhido, “F” calculado > “F” crítico, REJEITA-
SE a hipótese nula de que as variáveis explicativas NÃO são conjuntamente 
significativas. Ou seja, as variáveis explanatórias explicam conjuntamente as variações 
na variável dependente. 
8.25) Preços da energia e formação de capital: EUA, 1948-1978. Para testar a 
hipótese de que um aumento nos preços da energia em relação ao produto provoca uma 
queda da produtividade dos recursos de capital e trabalho existentes, John Tatom estimou 
a seguinte função de produção para os EUA no período que vai do primeiro trimestre de 
1948 ao segundo trimestre de 1978: 
)ln(
k
y
 = 1,5492 + 0,7135 )ln(
k
h
 - 0,1081 )ln(
P
Pe + 0,0045 t 
T = (16,33) (21,69) (-6,42) (15,82) R
2
 = 0,98 
Onde: 
y = produção real do setor privado. 
k = indicador do fluxo de serviços de capital. 
h = horas/homem trabalhadas no setor privado. 
Pe = índice de preços ao produtor para combustíveis e produtos correlatos. 
P = deflator de preços para o setor privado. 
t = tempo (trimestres). 
a) Os números entre parênteses confirmam a hipótese do autor? 
Sim. Pois o índice de preços do combustível é negativo e estatisticamente 
significativo a 5%. 
b) Entre 1972 e 1977, o preço relativo da energia ( Pe /P) aumentou 60%. Com 
base na regressão estimada, qual foi a perda de produtividade? 
O aumento de 60% do preço relativo de energia (0,1081 * 60%) provoca uma 
PERDA na produtividade de 6,48%. 
 174 
c) Depois de levar em conta as alterações de h / k e Pe /P, qual foi a taxa de 
crescimento tendencial da produtividade no período analisado? 
A taxa de crescimento tendencial da produtividade no período analisado foi de 
0,45%. Ou seja, 0,0045 * 100. 
d) Como poderíamos interpretar o valor de 0,7135 para o coeficiente )ln(
k
h
? 
Um aumento de, digamos 1% na relação mão-de-obra/capital leva, no período 
analisado, a um aumento médio de 0,7135% na produtividade, mantidas constantes as 
demais variáveis do modelo. 
e) O fato de que cada um dos coeficientes angulares parciais é estatisticamente 
significativo quer dizer que podemos rejeitar a hipótese nula de que R
2
 = 0? Justifique 
sua resposta. 
Sim. 
Tendo:  = 5%; n = 122; k = 4; gl = 118. “t” crítico = 1,98 F )118;3(05,0 = 2,65. 
Os valores para os “t” calculados para os coeficientes (apresentados pelo 
exercício) são todos maiores que o “t” crítico, o que nos leva a rejeitar a hipótese nula de 
que o coeficiente em pauta é estatisticamente igual a zero. Portanto, todos os coeficientes 
são estatisticamente significativos ao nível de significância escolhido. 
Para saber se podemos ou não rejeitar a hipótese do R
2
 ser igual a zero usamos 
a fórmula abaixo: 
R
2
 = 
)()1(
)1(
knkF
kF
−+−
−
 = R
2
 = 
)4122()14(65,2
)14(65,2
−+−
−
 = 0,063 (que é o R
2
 
crítico). 
Assim, formulamos as seguintes hipóteses: 
H0: R
2
 = 0. 
H1: R
2
 0. 
Como o R
2
 crítico (0,063) é MENOR que o R
2
 calculado (0,98), ao nível de 
significância de 5%, REJEITAMOS a hipótese nula de que o verdadeiro R
2
 é igual à 
zero (hipótese de que todos os coeficientes parciais angulares são simultaneamente iguais 
à zero). 
 175 
8.26) A demanda por cabos. A tabela abaixo fornece dados usados por um 
fabricante de cabos telefônicos para prever as vendas a um dos seus principais clientes: 
Tabela 8.10 Demanda por cabo. 1968-1983 
 Y = vendas anuais em milhões de pés de pares 
 
X2 = produto nacional bruto (PNB) em bilhões de US$ 
 
X3 = construção de moradias. Milhares de unidades 
X4 = taxa de desemprego. % 
 
X5 = taxa de juros preferencial com defasagem de 6 meses 
X6 = ganhos de cliente por linha. % 
Ano x2 x3 x4 x5 x6 y 
1968 1051.8 1503.6 3.6 5.8 5.9 5873 
1969 1078.8 1486.7 3.5 6.7 4.5 7852 
1970 1075.3 1434.8 5 8.4 4.2 8189 
1971 1107.5 2035.6 6 6.2 4.2 7497 
1972 1171.1 2360.8 5.6 5.4 4.9 8534 
1973 1235 2043.9 4.9 5.9 5 8688 
1974 1217.81331.9 5.6 9.4 4.1 7270 
1975 1202.3 1160 8.5 9.4 3.4 5020 
1976 1271 1535 7.7 7.2 4.2 6035 
1977 1332.7 1961.8 7 6.6 4.5 7425 
1978 1399.2 2009.3 6 7.6 3.9 9400 
1979 1431.6 1721.9 6 10.6 4.4 9350 
1980 1480.7 1298 7.2 14.9 3.9 6540 
1981 1510.3 1100 7.6 16.6 3.1 7675 
1982 1492.2 1039 9.2 17.5 .6 7419 
1983 1535.4 1200 8.8 16 1.5 7923 
O modelo empregado é: 
Y t =  1 +  2 X t2 +  3 X t3 +  4 X t4 +  5 X t5 +  6 X t6 + ut 
a) Estime a regressão? 
. reg y x2 x3 x4 x5 x6 
 
Y t = 5962,654 + 4,8837 X t2 + 2,3640 X t3 - 819,1288 X t4 + 12,0104 X t5 - 851,3928 X t6 
 b) Quais são os sinais esperados para os coeficientes do modelo? 
Seria esperado que 
2
, 
3
 e 
6
 fossem positivos, e 
4
 e 
5
, negativos. 
 
 _cons 5962.654 2507.723 2.38 0.039 375.0981 11550.21
 x6 -851.3928 292.1447 -2.91 0.015 -1502.332 -200.454
 x5 12.01042 147.0496 0.08 0.937 -315.6365 339.6574
 x4 -819.1288 187.7072 -4.36 0.001 -1237.366 -400.8911
 x3 2.363956 .8435583 2.80 0.019 .4843914 4.243521
 x2 4.883665 2.512542 1.94 0.081 -.7146281 10.48196
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 22221871.8 15 1481458.12 Root MSE = 627.6
 Adj R-squared = 0.7341
 Residual 3938822.14 10 393882.214 R-squared = 0.8228
 Model 18283049.6 5 3656609.92 Prob > F = 0.0016
 F( 5, 10) = 9.28
 Source SS df MS Number of obs = 16
 176 
c) Os resultados empíricos estão de acordo com as expectativas? 

2
, 
3
 e 
4
 estão de acordo com as expectativas, mas os outros não. 
d) Os coeficientes estimados são, individualmente, significativos ao nível de 
significância de 5%? 
Tendo  = 5%; gl = 10; “t” crítico = 2,228; 
Para 
1
: 
H0: 
1
 = 0. 
H1: 
1
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
1
1
^
1


ep
−
 = 
724,2507
0656,5962 −
 = 2,378. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. O intercepto é estatisticamente 
significativo. 
Para 
2
: 
“t” crítico = 2,228; 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
5125,2
08837,4 −
 = 1,9437. 
Como o “t” calculado < “t” crítico, NÃO se rejeita H0. O PNB NÃO é 
estatisticamente significativo. 
Para 
3
: 
“t” crítico = 2,228; 
H0: 
3
 = 0. 
H1: 
3
  0. 
Para “t” calculado: 
 177 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
8436,0
03640,2 −
 = 2,8024. 
Como o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. A construção de moradias é 
estatisticamente significativa. 
Para 
4
: 
“t” crítico = 2,228; 
H0: 
4
 = 0. 
H1: 
4
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
4
4
^
4


ep
−
 = 
7072,187
01287,819 −−
 = -4,3639. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. A taxa de 
desemprego é estatisticamente significativa ao nível de significância escolhido. 
Para 
5
: 
“t” crítico = 2,228; 
H0: 
5
 = 0. 
H1: 
5
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
5
5
^
5


ep
−
 = 
0496,147
00105,12 −
 = 0,0817. 
Como o “t” calculado < “t” crítico, NÃO se rejeita H0. A taxa de juros preferencial 
NÃO é estatisticamente significativa ao nível de significância escolhido. 
Para 
6
: 
“t” crítico = 2,228; 
H0: 
6
 = 0. 
H1: 
6
  0. 
Para “t” calculado: 
 178 
“t” calculado = 
)(
^
6
6
^
6


ep
−
 = 
1447,292
03927,851 −−
 = -2,9143. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se H0. A variável - ganhos 
de clientes por linha é estatisticamente significativa ao nível de significância escolhido. 
e) Imagine que seja feita, em primeiro lugar, a regressão de Y t contra X t2 , X t3
, X t4 , e só depois disso se decida incluir as variáveis X t5 e X t6 . Como poderíamos 
verificar se vale a pena o acréscimo das novas variáveis? Que teste poderia ser usado? 
Mostre os cálculos necessários. 
Aplicamos o método dos mínimos quadrados restritos (MQR). Fazendo a 
regressão de Y t =  1 +  2 X t2 +  3 X t3 +  4 X t4 vamos obter o RR
2
 (restrito). 
Incluindo todas as variáveis obtivemos o RSR
2
 (sem restrição), conforme os dados abaixo. 
. reg y x2 x3 x4 
 
Para verificar se vale a pena o acréscimo de novas variáveis usa-se o seguinte teste 
“F”: 
Sendo: 
 = 5%; m = 2 (número de restrições); k = 6 (número de parâmetros do modelo 
sem restrição); n = 16 (número de observações); RR
2
 (restrito) = 0,6013; RSR
2
 (sem 
restrição) = 0,8228; F )10;2(05,0 = 4,10. 
F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 = 
)616/()8228,01(
2/)6013,08228,0(
−−
−
 = 6,25. 
 
 
H0: X t5 e X t6 NÃO se encaixam no modelo. 
H1: X t5 e X t6 se encaixam no modelo. 
 
 _cons 195.602 2308.317 0.08 0.934 -4833.789 5224.993
 x4 -469.7181 198.5697 -2.37 0.036 -902.3643 -37.07189
 x3 1.495421 .6254024 2.39 0.034 .1327868 2.858056
 x2 6.208394 1.905791 3.26 0.007 2.056031 10.36076
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 22221871.8 15 1481458.12 Root MSE = 859.31
 Adj R-squared = 0.5016
 Residual 8860876.61 12 738406.384 R-squared = 0.6013
 Model 13360995.1 3 4453665.05 Prob > F = 0.0096
 F( 3, 12) = 6.03
 Source SS df MS Number of obs = 16
 179 
Como “F” calculado > “F” crítico, REJEITAMOS a hipótese nula ao nível de 
significância escolhido. (LEMBRANDO: Apenas se pode comparar, através da fórmula 
acima, modelos nos quais a variável dependente seja a mesma). 
8.27) Marc Nerlove estimou a seguinte função de custo para a geração de energia 
elétrica: 
Y = A X

P

P 2 P 3 u (equação 1). 
Onde: 
Y = custo total de produção; 
X = produção em quilowatts/hora; 
P1 = preço da mão-de-obra; 
P2 = preço do capital; 
P3 = preço do combustível; 
u = termo de erro; 
Teoricamente, espera-se que a soma das elasticidades preço seja igual a unidade, 
isto é, (1 +  2 +  3 ) = 1. Ao impor essa restrição, a função anterior pode ser escrita 
como: 
)(
3P
Y
 = A X

) 1
3
1(

P
P ) 2
3
2(

P
P u (equação 2). 
Em outras palavras, a equação 1 é uma função de custo sem restrições, enquanto 
a equação 2 é uma função restrita. 
Com base em uma amostra de 29 empresas de tamanho médio e após efetuar uma 
transformação logarítmica, Nerlove obteve os seguintes resultados: 
Y iln = -4,93 + 0,94 X iln + 0,31 P1ln - 0,26 P2ln + 0,44 P3ln (equação 3). 
Ep = (1,96) (0,11) (0,23) (0,29) (0,07) SQR = 0,336 
 
)ln(
3P
Y
 = -6,55 + 0,91 X iln + 0,51 )ln(
3
1
P
P
 + 0,09 )ln(
3
2
P
P
 (equação 4). 
Ep = (0,16) (0,11) (0,16) SQR = 0,364 
 
a) Interprete as equações 3 e 4. 
Para a equação 3: 
 180 
Variando em 10% a produção em quilowatts/hora, ocorrerá, em média, uma 
variação no mesmo sentido de 9,4% no custototal de produção, mantidas constantes as 
demais variáveis do modelo. 
Variando em 10% o preço do capital, ocorrerá, em média, uma variação contrária 
de 2,6% no custo total de produção, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
Variando em 10% o preço da mão-de-obra, ocorrerá, em média, uma variação no 
mesmo sentido de 3,1% no custo total de produção, mantidas constantes as demais 
variáveis do modelo. 
O intercepto mostra que o custo mínimo de produção é 4,93 unidades monetárias 
(interpretação mecânica). 
Para a equação 4: 
Variando em 10% a produção em quilowatts/hora, ocorrerá, em média, uma 
variação no mesmo sentido de 9,1% na relação custo total de produção/preço do 
combustível, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
Variando em 10% a relação entre preço de mão-de-obra/preço do combustível, 
ocorrerá, em média, uma variação no mesmo sentido de 5,1% na relação custo total de 
produção/preço do combustível, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
Variando em 10% a relação entre preço do capital/preço do combustível, ocorrerá, 
em média, uma variação no mesmo sentido de 0,9% na relação custo total de 
produção/preço do combustível, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. 
O intercepto mostra que o valor mínimo da relação custo total de produção/preço 
do combustível é de 6,55 unidades monetárias. 
b) Como poderia ser possível verificar se a restrição (1 +  2 +  3 ) = 1 é 
válida? Mostre seus cálculos. 
Usa-se o seguinte teste “F”: 
Para o “F” crítico:  = 5%; m = 1 (uma restrição); k = 5 (números de parâmetros 
do modelo sem restrição); n = 29 (número de observações); SQR
SR
 = 0,336; 
SQR
R
 = 0,364; F )24;1(05,0 = 4,26. 
H0: 1 +  2 +  3 = 1 
H1: 1 +  2 +  3  1 
 181 
F = 
)/()(
/)(
kn
m
SQR
SQRSQR
SR
SRR
−
−
 = F = 
)24/()364,0(
1/)336,0364,0( −
 = 2,0. 
Como, ao nível de significância escolhido, “F” calculado é MENOR que o “F” 
crítico, NÃO SE REJEITA a hipótese nula de que a soma das elasticidades preço é igual 
a 1. 
8.28) Estimação do modelo de formação de preços de ativos (CAPM), conhecido 
como modelo da teoria moderna do portfólio. Na análise empírica, a sua estimativa é feita 
em duas etapas. 
I) REGRESSÃO DE SÉRIE TEMPORAL: Para cada um dos N títulos 
incluídos na amostra, calcula-se a seguinte regressão: 
Rit = 
^
i
 + 
^
i Rmt + eit (equação 1) 
Onde: Rit e Rmt são as taxas de retorno do i-ésimo título e do portfólio de 
mercado (digamos, do índice PS e 500) no ano t;  i é o coeficiente de volatilidade de 
mercado do i-ésimo título; eit é o resíduo. Ao todo, são N regressões desse tipo, uma 
para cada título, com o que temos N estimativas de 
i
. 
II) REGRESSÃO DE CORTE TRANSVERSAL: Nesta etapa calculamos a 
seguinte regressão para os N títulos: 
Ri
−
 = 
^
1
 + 
^
2

^
i
 + ui (equação 2) 
Onde: Ri
−
 é a taxa média de retorno do título i calculada para o período coberto 
pelo período da amostra da etapa I; 
^
i
 é o coeficiente estimado na regressão da primeira 
parte; e ui é o termo de erro. 
Comparando a regressão da segunda parte com a equação do CAPM que é a 
seguinte: 
RiE = r f +  i ( RmE - r f ) (equação 3). 
Onde: r f é a taxa de retorno livre de risco, sabe-se 
^
1
 é uma estimativa de r f 
e 
^
2
 é uma estimativa de ( RmE - r f ), o prêmio de risco do mercado. 
 182 
Assim, ao testar empiricamente o CAPM, Ri
−
 e 
^
i
 são usados como 
estimadores de RiE e  i , respectivamente. Agora, se o CAPM for válido, 
estatisticamente: 

^
1
 = r f 

^
2
 = Rm - r f , o estimador de ( RmE - r f ). 
Considere agora um modelo alternativo: 
Ri
−
 = 
^
1
 + 
^
2

^
i
 + 
^
3 sei
2
 + ui (equação 4) 
Onde: sei
2
 é a variância residual do i-ésimo título da regressão estimada na 
primeira etapa. Então, se o CAPM for válido, 
^
3
 NÃO deve ser significativamente 
diferente de zero. 
Para testar o modelo, Levy estimou as regressões (2) e (4) usando uma amostra de 
101 ações para o período de 1948-1968 e obteve os seguintes resultados: 
Ri
−
 = 0,109 + 0,037
^
i
 (equação 2). 
Ep = (0,009) (0,008) 
T = (12,0) (5,1) R
2
 = 0,21 
Ri
−
 = 0,106 + 0,0024
^
i
 + 0,201 sei
2
 (equação 4). 
Ep = (0,008) (0,007) (0,038) 
T = (13,2) (3,3) (5,3) R
2
 = 0,39 
a) Estes resultados confirmam o CAPM? 
Sendo:  = 5%. N = 101; k = 3. Temos um “t” crítico de 1,98. 
Formulando as seguintes hipóteses: 
H0: 
^
3
 = 0 (o CAPM é válido). 
H1: 
^
3
 0 (o CAPM NÃO é válido). 
Como, ao nível de significância escolhido, o “t” calculado (5,3) é MAIOR que o 
“t” crítico, rejeita-se H0. A resposta então é que os resultados não confirmam o CAPM. 
b) Vale a pena acrescentar a variável sei
2
 ao modelo? Justifique. 
 183 
Sim, já que ela lança luz sobre a validade da teoria. Além disso, é estatisticamente 
significativa (razão “t” igual a 5,3). 
c) Se o modelo CAPM for válido, 
^
1
 na equação 2 deveria se aproximar do valor 
médio da taxa de livre de risco r f . O valor estimado é 10,9%. Isso parece uma estimativa 
razoável da taxa de retorno livre de risco no período analisado? (podemos considerar a 
taxa de retorno das letras do tesouro dos EUA ou outro ativo comparativamente livre de 
risco). 
Não. O retorno parece alto demais para as letras do tesouro dos EUA no período 
analisado. 
d) Se o modelo CAPM for válido, o prêmio de risco de mercado ( Rm - r f ) da 
equação 2 é de cerca de 3,7%. Se supomos que r f seja igual a 10,9%, isso implica que 
Rm para o período analisado é de cerca de 14,6%. Essa estimativa parece razoável? 
Não. Novamente parece muito alta. 
e) O que podemos dizer sobre a CAPM em geral? 
Pesquisas recentes sobre o CAPM indicam que o modelo pode não ser adequado 
a todas as situações. 
 8.31) Voltemos a regressão da mortalidade infantil (tabela 6.4). Na regressão 
abaixo estimamos a Mortalidade infantil (MI) contra o PNB per capta (PNBpc) e a taxa 
de alfabetização feminina (TAF). 
Agora vamos incluir no modelo a taxa de fertilidade total (TFT), conforme a tabela 
abaixo. 
Fertilidade e outros dados de 64 países. 
MI = mortalidade infantil 
 
TAF = taxa de alfabetização feminina, em %. 
 
PNBpc = PNB per capita em 1980 
 
TTF = taxa total de fertilidade 
MI TAF PNBpc TTF 
128 37 1870 6.66 
204 22 130 6.15 
202 16 310 7 
197 65 570 6.25 
96 76 2050 3.81 
209 26 200 6.44 
170 45 670 6.19 
 184 
240 29 300 5.89 
241 11 120 5.89 
55 55 290 2.36 
75 87 1180 3.93 
129 55 900 5.99 
24 93 1730 3.5 
165 31 1150 7.41 
94 77 1160 4.21 
96 80 1270 5 
148 30 580 5.27 
98 69 660 5.21 
161 43 420 6.5 
118 47 1080 6.12 
269 17 290 6.19 
189 35 270 5.05 
126 58 560 6.16 
12 81 4240 1.8 
167 29 240 4.75 
135 65 430 4.1 
107 87 3020 6.66 
72 63 1420 7.28 
128 49 420 8.12 
27 63 19830 5.23 
152 84 420 5.79 
224 23 530 6.5 
142 50 8640 7.17 
104 62 350 6.6 
287 31 230 7 
41 66 1620 3.91 
312 11 190 6.7 
77 88 2090 4.2 
142 22 900 5.43 
262 22 230 6.5 
215 12 140 6.25 
246 9 330 7.1 
191 31 1010 7.1 
182 19 300 7 
37 88 1730 3.46 
103 35 780 5.66 
67 85 1300 4.82 
143 78 930 5 
83 85 690 4.74 
223 33 200 8.49 
240 19 450 6.5 
312 21 280 6.5 
12 79 4430 1.69 
52 83 270 3.25 
79 43 1340 7.17 
61 88 670 3.52 
168 28 410 6.09 
28 95 4370 2.86 
121 41 1310 4.88 
 185 
115 62 1470 3.89 
186 45 300 6.9 
47 85 3630 4.1 
178 45 220 6.09 
142 67 560 7.2 
 
Reproduzimos abaixo o resultado da regressão SEM levar em conta a TTF. 
MI i = 263,6416 – 0,005647 PNB pc - 2,231586TAF i (equação 1). 
EP = (11,59318) (0,0020) (0,2099) R
2
 = 0,7077 
Mostramos a seguir os resultados da nova regressão: 
. reg mi taf pnbpc ttf 
 
 
 
MI i = 168,3067 – 0,0055 PNB pc - 1,7680TAF i + 12,8686 TTF i 
EP = (32,8917) (0,0019) (0,2480) ( ?) R
2
 = 0,7474 
a) Interpreteo coeficiente de TTF. A priori, deveríamos esperar uma relação 
positiva ou negativa entre MI e TTF? Justifique sua resposta? 
Quando, no período analisado, a taxa total de fertilidade variar em uma unidade 
de medida, a mortalidade infantil irá apresentar uma variação média de 12,87 unidades 
de mediada, mantidas constantes as demais variáveis do modelo. Esta relação de variação 
é no mesmo sentido (ou seja, positiva). 
b) Os valores dos coeficientes de PNBpc e de TAF se alteraram com o cálculo da 
nova regressão? Em caso afirmativo, qual poderia (m) ser a (s) razão (ões)? A diferença 
observada é estatisticamente significativa? Que teste você usou e por quê? 
Os coeficientes do PNBpc não são muito diferentes, mas os da TAF sim. Podemos 
usar o teste “t” para descobrir se a diferença é real. Supondo que usemos a equação 1 e 
que, por hipótese, o coeficiente VERDADEIRO coeficiente da TAF seja igual a -1,7680, 
podemos aplicar o seguinte teste: 
H0: TAF i = -1,7680. 
 
 _cons 168.3067 32.89166 5.12 0.000 102.5136 234.0998
 ttf 12.86864 4.190533 3.07 0.003 4.486323 21.25095
 pnbpc -.0055112 .0018782 -2.93 0.005 -.0092682 -.0017542
 taf -1.768029 .2480169 -7.13 0.000 -2.264137 -1.271921
 
 mi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 363678 63 5772.66667 Root MSE = 39.131
 Adj R-squared = 0.7347
 Residual 91875.3836 60 1531.25639 R-squared = 0.7474
 Model 271802.616 3 90600.8721 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 60) = 59.17
 Source SS df MS Number of obs = 64
 186 
H1: TAF i  -1,7680. 
Para 
2
: 
 = 5%, gl = 60. 
“t” crítico = 2,0; 
H0: 
2
 = 0. 
H1: 
2
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
2099,0
)7680,1(2316,2 −−−
 = -2,2086. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se a hipótese nula de que 
o verdadeiro coeficiente da TAF é igual a -1,7680. 
c) Como faria para escolher entre os modelos 1 e 2? Que testes estatísticos 
aplicaria para responder essa pergunta? Mostre os cálculos necessários. 
Dentre os modelos, parece ser mais adequado o uso do segundo modelo, já que a 
nova variável se mostrou estatisticamente significativa. Porém, o melhor é comparar os 
dois modelos através de um teste “F” (as variáveis dependentes são as mesmas nos dois 
modelos): 
Para verificar se vale a pena o acréscimo de novas variáveis usa-se o seguinte teste 
“F”: 
Sendo: 
 = 5%; m = 1 (número de restrições); k = 4 (número de parâmetros do modelo 
sem restrição); n = 64 (número de observações); RR
2
 (restrito) = 0,7077; RSR
2
 (sem 
restrição) = 0,7474; F )60;1(05,0 = 4. 
F = 
)/()1(
/)(
2
22
kn
m
R
RR
SR
RSR
−−
−
 = 
)464/()7474,01(
1/)7077,07474,0(
−−
−
 = 9,43. 
H0: TTF NÃO se encaixa no modelo. 
H1: TTF se encaixa no modelo. 
Como “F” calculado > “F” crítico, REJEITAMOS a hipótese nula ao nível de 
significância escolhido. (LEMBRANDO: Apenas se pode comparar, através da fórmula 
 187 
acima, modelos nos quais a variável dependente seja a mesma). Assim, a TTF deve fazer 
parte do modelo. Logo, devemos escolher o modelo 2. 
d) Não apresentamos o erro-padrão do coeficiente de TTF. É possível verificar 
qual é? 
(Dica: recorde as relações entre as distribuições “t” e “F”). 
Lembrando que tF kkt
2
,
= . Portanto, extraindo a raiz quadrada (positiva) do valor 
“F” dado na letra C (9,43), temos 43,9=t = 3,07. 
Formulando as seguintes hipóteses em relação ao modelo 2: 
H0: 
4
 = 0. 
H1: 
4
  0. 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
4
4
^
4


ep
−
 = 
)(
08686,12
^
4
ep
−
 = 3,07. 
)(
^
4
ep = 
07,3
8686,12
 = 4,19 (que é o mesmo valor que aparece no output da 
regressão). 
8.34) Consideremos a regressão da poupança contra a renda dada no exemplo 
sobre o teste de Chow (tabela 8.9). Imagine que dividamos a amostra em dois períodos, 
de 1970 a 1982 e de 1983 a 1995. Verifique, aplicando o teste de Chow, se houve uma 
mudança estrutural na relação poupança-renda nos dois períodos. Comparando os 
resultados obtidos agora com aqueles do exemplo que conclusões gerais podem ser tiradas 
a respeito da sensibilidade do teste de Chow à escolha do ponto de quebra que divide uma 
amostra em dois (ou mais) períodos? 
ANO Poupança Renda 
1970 61 727.1 
1971 68.6 790.2 
1972 63.6 855.3 
1973 89.6 965 
1974 97.6 1054.2 
1975 104.4 1159.2 
1976 96.4 1273 
1977 92.5 1401.4 
1978 112.6 1580.1 
1979 130.1 1769.5 
1980 161.8 1973.3 
1981 199.1 2200.2 
 188 
1982 205.5 2347.3 
1983 167 2522.4 
1984 235.7 2810 
1985 206.2 3002 
1986 196.5 3187.6 
1987 168.4 3363.1 
1988 189.1 3640.8 
1989 187.8 3894.5 
1990 208.7 4166.8 
1991 246.4 4343.7 
1992 272.6 4613.7 
1993 214.4 4790.2 
1994 189.4 5021.7 
1995 249.3 5320.8 
 
REGRESSÃO 1970-1982: 
. reg poupança renda 
 
 
 
Y t = -3,7419 + 0,0846 X t 
Ep = (10,53) (0,0071) R
2
 = 0,9284 SQR
1
 = 1953,64 
. twoway (scatter poupança renda) 
 
 _cons -3.74188 10.53124 -0.36 0.729 -26.92099 19.43723
 renda .0846298 .0070843 11.95 0.000 .0690373 .1002224
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 27299.0326 12 2274.91939 Root MSE = 13.327
 Adj R-squared = 0.9219
 Residual 1953.63882 11 177.603529 R-squared = 0.9284
 Model 25345.3938 1 25345.3938 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 11) = 142.71
 Source SS df MS Number of obs = 13
 189 
 
 
REGRESSÃO 1983-1995: 
. reg poupança renda 
 
 
 
Y t = 141,3998 + 0,0176 X t 
Ep = (38,0891) (0,0095) R
2
 = 0,2368 SQR
2
 = 9616,21. 
. twoway (scatter poupança renda) 
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
P
o
u
p
a
n
ç
a
500 1000 1500 2000 2500
Renda
 
 _cons 141.3988 38.08912 3.71 0.003 57.56523 225.2324
 renda .0176275 .0095417 1.85 0.092 -.0033736 .0386286
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 12599.8377 12 1049.98647 Root MSE = 29.567
 Adj R-squared = 0.1674
 Residual 9616.21363 11 874.201239 R-squared = 0.2368
 Model 2983.62405 1 2983.62405 Prob > F = 0.0917
 F( 1, 11) = 3.41
 Source SS df MS Number of obs = 13
 190 
 
REGRESSÃO 1970-1995: 
. reg poupança renda 
 
Y t = 62,4227 + 0,0377 X t 
Ep = (12,7608) (0,0042) R
2
 = 0,7672 SQR
3
 = 23248,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
5
0
2
0
0
2
5
0
3
0
0
p
o
u
p
a
n
ç
a
2000 3000 4000 5000 6000
renda_cons 62.42267 12.76075 4.89 0.000 36.08578 88.75957
 renda .0376791 .0042366 8.89 0.000 .0289353 .046423
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 99870.0867 25 3994.80347 Root MSE = 31.124
 Adj R-squared = 0.7575
 Residual 23248.3 24 968.679166 R-squared = 0.7672
 Model 76621.7867 1 76621.7867 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 24) = 79.10
 Source SS df MS Number of obs = 26
 191 
. twoway (scatter poupança renda) 
 
Cálculo da SQR
SR
 = SQR
1
+ SQR
2
 = 1953,64 + 9616,21 = 11.569.8. 
Cálculo da SQR
R
 = SQR
3
 = 23248,3. 
Sendo: 
n1 = 13; n2 = 13; k = 2;  = 5%. 
Olhando na tabela “F”, nosso “F” crítico é de 3,44. 
Para o cálculo do “F” calculado, segue a fórmula abaixo: 
F = 
)2/()(
/)(
21
k
k
nnSQR
SQRSQR
SR
SRR
−+
−
= (
)22/()8,569.11(
2/)8,569.113,248.23( −
 = 11,1033. 
Como o “F” calculado é MAIOR que o “F” crítico, ao nível de significância 
escolhido, REJEITAMOS a hipótese nula de ausência de quebra estrutural nos dados. 
Logo, as regressões 1 e 2 são estatisticamente diferentes, e nesse caso, o uso da regressão 
combinada seria um erro. 
Comparando os dois resultados (do exercício e do exemplo) notamos que as 
conclusões gerais SÃO SEMELHANTES. Houve uma variação estatisticamente 
significativa na regressão poupança-renda. A resposta depende do ponto de quebra 
escolhido para dividir a amostra. 
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
2
5
0
3
0
0
P
o
u
p
a
n
ç
a
1000 2000 3000 4000 5000
Renda
 192 
CAPÍTULO 9: MODELOS DE REGRESSÃO 
COM VARIÁVEIS BINÁRIAS 
1) Como são conhecidas as variáveis binárias? 
Variáveis indicadoras, de categoria, dummies ou qualitativas. 
2) Análise rapidamente a natureza das variáveis binárias? 
Na análise de regressão, a variável dependente é, com freqüência, influenciada 
não apenas pelas variáveis PROPORCIONAIS (como renda, produto, preços, custos, 
altura, temperatura), mas por outras que são de natureza QUALITATIVA (como sexo, 
raça, religião, nacionalidade, filiação partidária ). Assim, variáveis qualitativas que têm 
grande influência sobre a variável dependente deveriam estar especificadas no modelo de 
regressão. 
3) Qual a maneira mais simples de “QUANTIFICAR” tais qualidades? 
Formulando variáveis que assumam os valores 1 ou 0, o 1 indicando a presença 
de certa qualidade e 0 indicando sua falta. Por exemplo, o 1 pode indicar que a pessoa é 
mulher e o 0, que é homem. Tais tipos de variáveis são chamadas binárias. 
4) Em essência, para que servem as variáveis binárias? 
Para classificar DADOS em categorias mutuamente EXCLUSIVAS como, por 
exemplo, masculino e feminino. 
5) O que são os chamados “MODELOS DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA” 
(ANOVA)? 
São modelos usados para avaliar a significância estatística de relações entre 
regressandos quantitativos e regressores qualitativos (binários). 
6) Analise um exemplo sobre modelos ANOVA: 
Salários dos professores da escola pública segundo região geográfica. 
A tabela 9.1 abaixo apresenta dados referentes ao salário médio (em US$) dos 
professores das escolas públicas de 50 estados e do Distrito de Columbia no ano de 1985. 
Essas 51 áreas estão divididas em 3 regiões geográficas: (1) Nordeste e Centro-Norte (ao 
todo 21 estados); (2) Sul (17 estados); e (3) Oeste (13 estados). 
obs salarios gastos d1 d2 
1 19583 3346 1 0 
2 20263 3114 1 0 
3 20325 3554 1 0 
4 26800 4642 1 0 
5 29470 4669 1 0 
 193 
6 26610 4888 1 0 
7 30678 5710 1 0 
8 27170 5536 1 0 
9 25853 4168 1 0 
10 24500 3547 1 0 
11 24274 3159 1 0 
12 27170 3621 1 0 
13 30168 3782 1 0 
14 26525 4247 1 0 
15 27360 3982 1 0 
16 21690 3568 1 0 
17 21974 3155 1 0 
18 20816 3059 1 0 
19 18095 2967 1 0 
20 20939 3285 1 0 
21 22644 3914 1 0 
22 24624 4517 0 1 
23 27186 4349 0 1 
24 33990 5020 0 1 
25 23382 3594 0 1 
26 20627 2821 0 1 
27 22795 3366 0 1 
28 21570 2920 0 1 
29 22080 2980 0 1 
30 22250 3731 0 1 
31 20940 2853 0 1 
32 21800 2533 0 1 
33 22934 2729 0 1 
34 18443 2305 0 1 
35 19538 2642 0 1 
36 20460 3124 0 1 
37 21419 2752 0 1 
38 25160 3429 0 1 
39 22482 3947 0 0 
40 20969 2509 0 0 
41 27224 5440 0 0 
42 25892 4042 0 0 
43 22644 3402 0 0 
44 24640 2829 0 0 
45 22341 2297 0 0 
46 25610 2932 0 0 
47 26015 3705 0 0 
48 25788 4123 0 0 
49 29132 3608 0 0 
50 41480 8349 0 0 
51 25845 3766 0 0 
 
Imagine que desejamos verificar se o salário médio anual (SMA) dos professores 
das escolas públicas difere segundo as regiões em que o país foi dividido. Se calcularmos 
uma média aritmética simples dos salários médios vigentes nessas regiões, 
obteremos os seguintes resultados: 
 194 
 obs Salários Gastos D1 D2 
1 19583.00 3346.000 1.000000 0.000000 
2 20263.00 3114.000 1.000000 0.000000 
3 20325.00 3554.000 1.000000 0.000000 
4 26800.00 4642.000 1.000000 0.000000 
5 29470.00 4669.000 1.000000 0.000000 
6 26610.00 4888.000 1.000000 0.000000 
7 30678.00 5710.000 1.000000 0.000000 
8 27170.00 5536.000 1.000000 0.000000 
9 25853.00 4168.000 1.000000 0.000000 
10 24500.00 3547.000 1.000000 0.000000 
11 24274.00 3159.000 1.000000 0.000000 
12 27170.00 3621.000 1.000000 0.000000 
13 30168.00 3782.000 1.000000 0.000000 
14 26525.00 4247.000 1.000000 0.000000 
15 27360.00 3982.000 1.000000 0.000000 
16 21690.00 3568.000 1.000000 0.000000 
17 21974.00 3155.000 1.000000 0.000000 
18 20816.00 3059.000 1.000000 0.000000 
19 18095.00 2967.000 1.000000 0.000000 
20 20939.00 3285.000 1.000000 0.000000 
21 22644.00 3914.000 1.000000 0.000000 
 
. sum 
 
Nordeste e Centro-Norte = 24.424,14. 
22 24624.00 4517.000 0.000000 1.000000 
23 27186.00 4349.000 0.000000 1.000000 
24 33990.00 5020.000 0.000000 1.000000 
25 23382.00 3594.000 0.000000 1.000000 
26 20627.00 2821.000 0.000000 1.000000 
27 22795.00 3366.000 0.000000 1.000000 
28 21570.00 2920.000 0.000000 1.000000 
29 22080.00 2980.000 0.000000 1.000000 
30 22250.00 3731.000 0.000000 1.000000 
31 20940.00 2853.000 0.000000 1.000000 
32 21800.00 2533.000 0.000000 1.000000 
33 22934.00 2729.000 0.000000 1.000000 
34 18443.00 2305.000 0.000000 1.000000 
35 19538.00 2642.000 0.000000 1.000000 
36 20460.00 3124.000 0.000000 1.000000 
37 21419.00 2752.000 0.000000 1.000000 
38 25160.00 3429.000 0.000000 1.000000 
 
 
 
 
 
 d2 21 0 0 0 0
 d1 21 1 0 1 1
 gastos 21 3900.619 796.8983 2967 5710
 salrios 21 24424.14 3725.544 18095 30678
 obs 21 11 6.204837 1 21
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 195 
. sum 
 
 
Sul = 22.894. 
39 22482.00 3947.000 0.000000 0.000000 
40 20969.00 2509.000 0.000000 0.000000 
41 27224.00 5440.000 0.000000 0.000000 
42 25892.00 4042.000 0.000000 0.000000 
43 22644.00 3402.000 0.000000 0.000000 
44 24640.00 2829.000 0.000000 0.000000 
45 22341.00 2297.000 0.000000 0.000000 
46 25610.00 2932.000 0.000000 0.000000 
47 26015.00 3705.000 0.000000 0.000000 
48 25788.00 4123.000 0.000000 0.000000 
49 29132.00 3608.000 0.000000 0.000000 
50 41480.00 8349.000 0.000000 0.000000 
51 25845.00 3766.000 0.000000 0.000000 
 
. sum 
 
Oeste = 26.158,62. 
As médias encontradas acima parecem diferentes, MAS O SERÃO SOB O 
ASPECTO ESTATÍSTICO? Para ver isso, imaginemos o seguinte modelo: 
Y i =  1 +  2 D i1 +  3 D i2 + ui (equação1). 
Onde: 
Y i = salário médio dos professores das escolas públicas no estado i; 
D i1 = 1 para estados das regiões Nordeste e Centro-Norte; 
D i1 = 0 para os demais; 
D i2 = 1 para os estados da região Sul; 
D i2 = 0 para os demais; 
Observe que a equação 1 se parece com os modelos de regressão múltipla, 
EXCETO que, em lugar de REGRESSORES QUANTITATIVOS, apenas há 
REGRESSORES QUALITATIVOS (binários), que assumem o valor de 1 se a 
observação pertence a uma categoria específica e zero se não pertence. 
 D2 17 1 0 1 1
 D1 17 0 0 0 0
 gastos 17 3274.412 756.9099 2305 5020
 salários 17 22894 3553.857 18443 33990
 obs 17 30 5.049752 22 38
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 D2 13 0 0 0 0
 D1 13 0 0 0 0
 gastos 13 3919.154 1560.191 2297 8349
 salarios 13 26158.62 5123.734 20969 41480
 obs 13 45 3.89444 39 51
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
 196 
O modelo acima nos diz que, supondo que o termo de erro satisfaça as premissas 
de MQO, tomando as esperanças matemáticas dos dois lados do modelo, obteremos: 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO NORDESTE E CENTRO-
NORTE: 
)0,1)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
2
. 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO SUL: 
)1,0)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
3
. 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO OESTE: 
)0,0)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 
Então: 

1
 = intercepto = Salário médio dos professores das escolas públicas do oeste; 

2
 e 
3
 = coeficientes “angulares” = a diferença dos salários médios dos 
professores das regiões Nordeste e Centre-Norte da região Sul em relação aos dos 
professores do OESTE (dummies iguais a zero). 
Para saber se tais diferenças são estatisticamente significativas precisamos 
estimar a regressão dada pela equação 1. Segue abaixo a regressão estimada: 
 
 
 
. reg salarios d1 d2 
 
 
 
 
 d2 51 .3333333 .4760952 0 1
 d1 51 .4117647 .4970501 0 1
 gastos 51 3696.608 1054.761 2297 8349
 salarios 51 24356.22 4179.426 18095 41480
 obs 51 26 14.86607 1 51
 
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
. sum
 
 _cons 26158.62 1128.523 23.18 0.000 23889.57 28427.66
 d2 -3264.615 1499.155 -2.18 0.034 -6278.868 -250.3625
 d1 -1734.473 1435.953 -1.21 0.233 -4621.649 1152.704
 
 salarios Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 873380265 50 17467605.3 Root MSE = 4068.9
 Adj R-squared = 0.0522
 Residual 794703718 48 16556327.5 R-squared = 0.0901
 Model 78676547 2 39338273.5 Prob > F = 0.1038
 F( 2, 48) = 2.38
 Source SS df MS Number of obs = 51
 197 
Y i = 26.158,62 – 1.734,473 D i1 - 3.264,615 D i2 
Ep = (1.128,52) (1.435,95) (1.499,16) 
T = (23,18) (-1,21) (-2,18) R
2
 = 0,0901 
Interpretação: 
• Salário médio dos professores do OESTE é de cerca de US$ 
26.159. 
• Salário médio dos professores do NORDESTE e CENTRO-
NORTE está ABAIXO do salário médio dos professores do OESTE em cerca de 
US$ 1.734,5. 
• Salário médio dos professores do SUL está ABAIXO do salário 
médio dos professores do OESTE em cerca de US$ 3.265. 
Os salários médios das regiões NORDESTE e CENTRO-NORTE e SUL podem 
ser conhecidos se somarmos as diferenças acima ao salário médio dos professores do 
OESTE: 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO NORDESTE E CENTRO-
NORTE: 
)0,1)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
2
 = 26.158,62 – 1.734,473 = 24.424,147. 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO SUL: 
)1,0)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
3
 = 26.158,62 - 3.264,615 = 22.894,00. 
Para saber se esses salários médios são “estatisticamente” DIFERENTES DOS 
SALÁRIOS MÉDIOS DOS PROFESSORES DO OESTE (categoria de referência) 
precisamos analisar se os coeficientes angulares são estatisticamente significativos 
através do teste “t”. 
PARA REGIÃO NORDESTE E CENTRO-NORTE: 
Para o “t” crítico: 
 = 5%; n = 51; k = 3; gl = n – k = 48. “t” crítico = 2,0. 
H0: 
2
 = 0 (salários na região Nordeste e Centro-Norte igual ao do Oeste). 
H1: 
2
 0 (salários na região Nordeste e Centro-Norte diferente da região 
Oeste). 
 
 198 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
953,1435
0473,1734 −−
 = -1,2078. 
Como, em módulo, o “t” calculado < “t” crítico, Não se rejeita a hipótese nula de 
que estatisticamente o salário médio dos professores da região Nordeste e Centro-Norte 
é igual ao dos professores da região Oeste. 
PARA REGIÃO SUL: 
Para o “t” crítico: 
 = 5%; n = 51; k = 3; gl = n – k = 48. “t” crítico = 2,0. 
H0: 
3
 = 0 (salários na região Sul igual ao do Oeste). 
H1: 
3
 0 (salários na região Sul diferente da região Oeste). 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
615,1499
0615,3264 −−
 = -2,18. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se a hipótese nula de que 
estatisticamente o salário médio dos professores da região Sul é igual ao dos professores 
da região Oeste. 
Logo, a conclusão geral é de que os salários médios dos professores das regiões 
Nordeste e Centro-Norte e da região Oeste são quase iguais. Por outro lado, os salários 
dos professores da região Sul são estatisticamente mais baixos do que os salários dos 
professores da região Oeste em cerca de US$ 3.265 (assim, o importante neste exemplo 
é analisar se as variáveis binárias são estatisticamente significativas). 
7) Qual o cuidado que devemos ter ao usar variáveis binárias? 
Se uma variável qualitativa tem m categorias, só podemos introduzir m – 1 
variáveis binárias no modelo. No exemplo acima, a variável qualitativa “região” tem 3 
categorias, logo incluímos apenas 2 variáveis binárias. Quando não seguimos tal regra, 
caímos na chamada armadilha das variáveis binárias. 
8) O que é ARMADILHA DE VARIÁVEIS BINÁRIAS? 
Situação de multicolinearidade PERFEITA que surge quando há uma relação 
exata entre as variáveis. 
 
 199 
9) Então, o que temos em mente? 
Se no exemplo acima tivéssemos informações sobre o sexo dos professores, 
poderíamos usar uma variável binária adicional (mas não duas) com valor 1 para feminino 
e 0 para masculino (ou vice-versa). 
10) O que significa categoria de referência, base, de controle, de comparação ou 
omitida? 
É a categoria para a qual NÃO se designa uma variável binária. E todas as 
comparações são feitas em relação a ela. 
11) O que representa o valor do intercepto (
1
)? 
O valor médio da categoria de referência. No exemplo acima a categoria de 
referência foi a região Oeste. O valor do intercepto de US$ 26.159 representa o saláriomédio dos professores da região OESTE. 
12) Como são conhecidos os coeficientes angulares das variáveis binárias do 
exemplo? Por quê? 
COEFICIENTES DIFERENCIAIS DE INTERCEPTO, por que mostram de 
quanto o valor do intercepto que recebe o valor 1 DIFERE do coeficiente da categoria de 
referência. No exemplo, o valor de -1734 nos diz que o salário médio dos professores da 
região Nordeste ou Centro-Norte é de cerca de US$ 1734 MENOR que o salário médio 
de US$ 26159 da categoria de referência, os professores do Oeste. 
13) Como se pode evitar a armadilha das variáveis binárias? 
Incluindo tantas variáveis binárias quantas forem as categorias, DESDE QUE 
NÃO se inclua o INTERCEPTO no modelo. Assim, SUPRIMINDO O INTERCEPTO E 
INCLUINDO UMA VARIÁVEL PARA CADA CATEGORIA OBTEMOS 
DIRETAMENTE OS VALORES MÉDIOS DAS DIVERSAS CATEGORIAS. 
Assim, acrescentando à tabela anterior uma coluna D3 (tabela 9.1b), com o valor 
igual a 1 para os estados do OESTE e 0 para os demais, EXCLUIRMOS O INTERCEPTO 
e estimarmos o seguinte modelo: 
Y i =  1 D i1 +  2 D i2 +  3 D i3 + ui 
Sendo: 

1
 = salário médio dos professores do Oeste; 

2
 = salário médio dos professores do Nordeste e Centro-Norte; 
 200 

3
 = salário médio dos professores do Sul. 
obs Salários Gastos D1 D2 D3 
1 19583.00 3346.000 1.000000 0.000000 0.000000 
2 20263.00 3114.000 1.000000 0.000000 0.000000 
3 20325.00 3554.000 1.000000 0.000000 0.000000 
4 26800.00 4642.000 1.000000 0.000000 0.000000 
5 29470.00 4669.000 1.000000 0.000000 0.000000 
6 26610.00 4888.000 1.000000 0.000000 0.000000 
7 30678.00 5710.000 1.000000 0.000000 0.000000 
8 27170.00 5536.000 1.000000 0.000000 0.000000 
9 25853.00 4168.000 1.000000 0.000000 0.000000 
10 24500.00 3547.000 1.000000 0.000000 0.000000 
11 24274.00 3159.000 1.000000 0.000000 0.000000 
12 27170.00 3621.000 1.000000 0.000000 0.000000 
13 30168.00 3782.000 1.000000 0.000000 0.000000 
14 26525.00 4247.000 1.000000 0.000000 0.000000 
15 27360.00 3982.000 1.000000 0.000000 0.000000 
16 21690.00 3568.000 1.000000 0.000000 0.000000 
17 21974.00 3155.000 1.000000 0.000000 0.000000 
18 20816.00 3059.000 1.000000 0.000000 0.000000 
19 18095.00 2967.000 1.000000 0.000000 0.000000 
20 20939.00 3285.000 1.000000 0.000000 0.000000 
21 22644.00 3914.000 1.000000 0.000000 0.000000 
22 24624.00 4517.000 0.000000 1.000000 0.000000 
23 27186.00 4349.000 0.000000 1.000000 0.000000 
24 33990.00 5020.000 0.000000 1.000000 0.000000 
25 23382.00 3594.000 0.000000 1.000000 0.000000 
26 20627.00 2821.000 0.000000 1.000000 0.000000 
27 22795.00 3366.000 0.000000 1.000000 0.000000 
28 21570.00 2920.000 0.000000 1.000000 0.000000 
29 22080.00 2980.000 0.000000 1.000000 0.000000 
30 22250.00 3731.000 0.000000 1.000000 0.000000 
31 20940.00 2853.000 0.000000 1.000000 0.000000 
32 21800.00 2533.000 0.000000 1.000000 0.000000 
33 22934.00 2729.000 0.000000 1.000000 0.000000 
34 18443.00 2305.000 0.000000 1.000000 0.000000 
35 19538.00 2642.000 0.000000 1.000000 0.000000 
36 20460.00 3124.000 0.000000 1.000000 0.000000 
37 21419.00 2752.000 0.000000 1.000000 0.000000 
38 25160.00 3429.000 0.000000 1.000000 0.000000 
39 22482.00 3947.000 0.000000 0.000000 1.000000 
40 20969.00 2509.000 0.000000 0.000000 1.000000 
41 27224.00 5440.000 0.000000 0.000000 1.000000 
42 25892.00 4042.000 0.000000 0.000000 1.000000 
43 22644.00 3402.000 0.000000 0.000000 1.000000 
44 24640.00 2829.000 0.000000 0.000000 1.000000 
45 22341.00 2297.000 0.000000 0.000000 1.000000 
46 25610.00 2932.000 0.000000 0.000000 1.000000 
47 26015.00 3705.000 0.000000 0.000000 1.000000 
48 25788.00 4123.000 0.000000 0.000000 1.000000 
49 29132.00 3608.000 0.000000 0.000000 1.000000 
 201 
50 41480.00 8349.000 0.000000 0.000000 1.000000 
51 25845.00 3766.000 0.000000 0.000000 1.000000 
. reg salarios d1 d2 d3, noconst 
 
Y i = 26.158,62 D i1 + 24.424,14 D i2 + 22.894 D i3 
Ep = (887,917) (986,8645) (1.128,523) 
T = (27,51) (23,20) (23,18) R
2
 = 0,9745. 
14) Analise um modelo ANOVA com 2 variáveis qualitativas: 
Salários-hora, estado civil e região de residência. 
A partir de uma amostra de 528 entrevistados em maio de 1985, foi calculada a 
seguinte regressão: 
Y i = 8,8148 + 1,0997 D i2 - 1,6729 D i3 
Ep = (0,4015) (0,4642) (0,4854) 
T = (21,9528) (2,3688) (-3,4462) 
P = (0,0000) (0,0182) (0,0006) R
2
 = 0,0322. 
Onde: 
Y i = salário-hora em US$; 
D i2 = estado civil: 1 = casado, 0 = outros; 
D i3 = região de residência: 1 = sul, 0 = outras; 
Neste exemplo, temos 2 REGRESSORES QUALITATIVOS (estado civil e 
região de residência, cada um deles com duas categorias). Portanto, atribuímos UMA 
ÚNICA variável binária a cada categoria. 
A CATEGORIA DE REFERÊNCIA é NÃO CASADO, NÃO RESIDENTE NO 
SUL (0;0). 
SALÁRIO MÉDIO PARA A CATEGORIA DE REFERÊNCIA = US$ 8,81 por 
hora. 
SALÁRIO MÉDIO PARA OS CASADOS: 
8,8148 + 1,0997 = US$ 9,91 por hora. 
 
 d3 26158.62 1128.523 23.18 0.000 23889.57 28427.66
 d2 22894 986.8645 23.20 0.000 20909.78 24878.22
 d1 24424.14 887.917 27.51 0.000 22638.87 26209.42
 
 salarios Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 3.1128e+10 51 610350346 Root MSE = 4068.9
 Adj R-squared = 0.9729
 Residual 794703718 48 16556327.5 R-squared = 0.9745
 Model 3.0333e+10 3 1.0111e+10 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 48) = 610.71
 Source SS df MS Number of obs = 51
 202 
SALÁRIO MÉDIO PARA OS RESIDENTES DO SUL: 
8,8148 – 1,6729 = US$ 7,14 por hora. 
Estes valores são estatisticamente diferentes daquele da categoria de referência? 
PARA SALÁRIO MÉDIO PARA OS CASADOS: 
Para o “t” crítico: 
 = 5%; n = 528; k = 3; gl = n – k = 525. “t” crítico = 1,98. 
H0: 
2
 = 0 (salário-hora para os casados é igual ao da categoria de referência). 
H1: 
2
 0 (salário-hora para os casados diferente do da categoria de referência). 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
2
2
^
2


ep
−
 = 
4642,0
00997,1 −
 = 2,3688. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se a hipótese nula de que 
estatisticamente o salário-hora para os casados é igual ao da categoria de referência. 
PARA SALÁRIO MÉDIO PARA OS RESIDENTES DO SUL: 
Para o “t” crítico: 
 = 5%; n = 528; k = 3; gl = n – k = 525. “t” crítico = 1,98. 
H0: 
3
 = 0 (salário-hora para os residentes no sul é igual ao da categoria de 
referência). 
H1: 
3
 0 (salário-hora para os residentes no sul não é igual ao da categoria de 
referência). 
Para “t” calculado: 
“t” calculado = 
)(
^
3
3
^
3


ep
−
 = 
4854,0
06729,1 −−
 = -3,45. 
Como, em módulo, o “t” calculado > “t” crítico, rejeita-se a hipótese nula de que 
estatisticamente salário-hora para os residentes no sul é igual ao da categoria de 
referência. 
Além disso, fica fácil de perceber que os salários-hora são estatisticamente 
diferentes daquele da categoria de referência através dos valores da estatística p 
(probabilidade de aceitar a hipótese nula) que são bastantes baixos. 
15) O que são modelos ANCOVA? 
 203 
São extensões dos modelos ANOVA. Ou seja, modelos de regressão onde se 
misturam variáveis quantitativas e qualitativas. Tais modelos oferecem um método de 
controlar estatisticamente os efeitos dos regressores quantitativos, chamados 
COVARIÁVEIS ou VARIÁVEIS DE CONTROLE. 
16) Analise um exemplosobre modelos ANCOVA: 
Usaremos a mesma tabela do exemplo anterior, afirmando que o salário médio 
dos professores das escolas públicas pode NÃO ser diferente nas três regiões quando se 
leva em conta quaisquer variáveis que não podem ser padronizadas entre as regiões. 
Vejam, por exemplo, a variável GASTOS DAS AUTORIDADES LOCAIS COM 
ESCOLA PÚBLICA, já que o ensino público é principalmente uma questão municipal e 
estadual. 
obs salarios gastos d1 d2 
1 19583 3346 1 0 
2 20263 3114 1 0 
3 20325 3554 1 0 
4 26800 4642 1 0 
5 29470 4669 1 0 
6 26610 4888 1 0 
7 30678 5710 1 0 
8 27170 5536 1 0 
9 25853 4168 1 0 
10 24500 3547 1 0 
11 24274 3159 1 0 
12 27170 3621 1 0 
13 30168 3782 1 0 
14 26525 4247 1 0 
15 27360 3982 1 0 
16 21690 3568 1 0 
17 21974 3155 1 0 
18 20816 3059 1 0 
19 18095 2967 1 0 
20 20939 3285 1 0 
21 22644 3914 1 0 
22 24624 4517 0 1 
23 27186 4349 0 1 
24 33990 5020 0 1 
25 23382 3594 0 1 
26 20627 2821 0 1 
27 22795 3366 0 1 
28 21570 2920 0 1 
29 22080 2980 0 1 
30 22250 3731 0 1 
31 20940 2853 0 1 
32 21800 2533 0 1 
33 22934 2729 0 1 
34 18443 2305 0 1 
 204 
35 19538 2642 0 1 
36 20460 3124 0 1 
37 21419 2752 0 1 
38 25160 3429 0 1 
39 22482 3947 0 0 
40 20969 2509 0 0 
41 27224 5440 0 0 
42 25892 4042 0 0 
43 22644 3402 0 0 
44 24640 2829 0 0 
45 22341 2297 0 0 
46 25610 2932 0 0 
47 26015 3705 0 0 
48 25788 4123 0 0 
49 29132 3608 0 0 
50 41480 8349 0 0 
51 25845 3766 0 0 
 
Para verificar se isso de fato ocorre, formulamos o seguinte modelo: 
Y i =  1 +  2 D i1 +  3 D i2 +  4 X i + ui . 
Onde: 
Y i = salário médio dos professores das escolas públicas no estado i; 
X i = gastos com ensino público, em US$ por aluno; 
D i1 = 1 para estados das regiões Nordeste e Centro-Norte; 
D i1 = 0 para os demais; 
D i2 = 1 para os estados da região Sul; 
D i2 = 0 para os demais; 
Lembrando: Continuamos considerando a região OESTE como categoria de 
referência. Além dos 2 regressores qualitativos, agora temos uma variável quantitativa X, 
que é a covariável (variável de controle). 
Segue abaixo a regressão dos SALÁRIOS DOS PROFESSORES EM RELAÇÃO 
À REGIÃO E GASTOS COM ALUNOS DA ESCOLA PÚBLICA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
. reg salarios gastos d1 d2 
 205 
 
 
Y i = 13.269,11 – 1.673,514 D i1 - 1.144,157 D i2 + 3,2889 X i 
Ep = (1.395,056) (801,1703) (861,1182) (0,3176) 
T = (9,51) (-2,09) (-1,33) (10,35) R
2
 = 0,7227 
Interpretação: 
• Tudo o mais permanecendo constante, quando os gastos públicos 
aumentam um dólar, em média, os salários dos professores das escolas públicas 
dos estados em questão aumentam em cerca de US$ 3,29. 
• Salário médio dos professores do OESTE é de cerca de US$ 
13.269,11. 
• Salário médio dos professores do NORDESTE e CENTRO-
NORTE está ABAIXO do salário médio dos professores do OESTE em cerca de 
US$ 1.673,51. 
• Salário médio dos professores do SUL está ABAIXO do salário 
médio dos professores do OESTE em cerca de US$ 1.144,16. 
Os salários médios das regiões NORDESTE e CENTRO-NORTE e SUL podem 
ser conhecidos se somarmos as diferenças acima ao salário médio dos professores do 
OESTE: 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO NORDESTE E CENTRO-
NORTE: 
)0,1)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
2
 = 13.269,11 – 1.673,51 = 11.595,60. 
SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DO SUL: 
)1,0)(
2
1
== D
D
Y
i
i
iE = 
1
 + 
3
 = 13.269,11 – 1.144,16 = 12.124,95. 
Para saber se esses salários médios são “estatisticamente” DIFERENTES DOS 
SALÁRIOS MÉDIOS DOS PROFESSORES DO OESTE precisamos analisar se os 
 
 _cons 13269.11 1395.056 9.51 0.000 10462.62 16075.6
 d2 -1144.157 861.1182 -1.33 0.190 -2876.503 588.1896
 d1 -1673.514 801.1703 -2.09 0.042 -3285.261 -61.76764
 gastos 3.288848 .3176425 10.35 0.000 2.649834 3.927862
 
 salarios Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 873380265 50 17467605.3 Root MSE = 2270.2
 Adj R-squared = 0.7050
 Residual 242218782 47 5153591.11 R-squared = 0.7227
 Model 631161483 3 210387161 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 47) = 40.82
 Source SS df MS Number of obs = 51
 206 
coeficientes angulares são estatisticamente significativos através da estatística p 
(probabilidade de aceitar a hipótese nula de que estatisticamente o salário médio dos 
professores da região em questão é igual ao dos professores da região Oeste – categoria 
de referência). 
Verificamos agora que o coeficiente de intercepto diferencial é SIGNIFICATIVO 
para as regiões NORDESTE E CENTRO-NORTE (probabilidade de aceitar H0 de 4 % - 
baixa). Ou seja, o salário médio dos professores das regiões NORDESTE E CENTRO-
NORTE NÃO É IGUAL AO DOS PROFESSORES DA REGIÃO OESTE. 
Observação: Antes eram quase iguais. 
 Porém, o coeficiente de intercepto diferencial é NÃO SIGNIFICATIVO para a 
região SUL (probabilidade de aceitar H0 de 19 % - bastante alta). Ou seja, o salário médio 
dos professores da região SUL É IGUAL AO DOS PROFESSORES DA REGIÃO 
OESTE. 
Observação: Antes eram diferentes – sendo os salários do Sul mais baixos do que 
os do Oeste. 
Os resultados acima são diferentes dos obtidos no primeiro exemplo, POIS 
AGORA INCLUÍMOS A VARIÁVEL DE CONTROLE (covariável). Ou seja, NÃO 
levamos em conta a diferença dos gastos por aluno de escola pública. 
A figura abaixo ilustra graficamente a situação: 
 
Embora tenhamos mostrado as três linhas regionais de regressão, estatisticamente 
as linhas de regressão do Oeste e Sul são iguais. As três linhas de regressão são paralelas 
já que possuem o mesmo coeficiente angular – dado pela variável dos gastos públicos. 
17) Analise a questão da variável binária como alternativa ao teste de Chow: 
 207 
Sabendo que o teste de Chow serve para examinar a estabilidade estrutural de um 
modelo de regressão, no capítulo oito analisamos a relação entre poupança e renda nos 
EUA durante o período 1970-1995. Dividimos tal período em duas partes (1970-1981 e 
1982-1995) e confirmamos que as duas regressões eram estatisticamente diferentes 
(quebra estrutural). 
Contudo, não podíamos dizer se essas diferenças se deviam ao termo de 
intercepto, aos coeficientes angulares ou aos dois. 
Voltando as equações: 
1970 – 1981: Y t = 1 + 2 X t + u t1 n = 12 (equação 1). 
1982 – 1995: Y t =  1 +  2 X t + u t2 n = 14 (equação 2). 
Vemos nos gráficos abaixo que existem 4 possibilidades: 
a) REGRESSÕES COINCIDENTES: 
Tanto o intercepto quanto os coeficientes angulares SÃO OS MESMOS nas 
duas regressões. 
b) REGRESSÕES PARALELAS: 
Os interceptos das duas regressões SÃO DIFERENTES, mas seus coeficientes 
angulares SÃO IGUAIS. 
c) REGRESSÕES CONCORRENTES: 
Os interceptos das duas regressões SÃO IGUAIS, mas seus coeficientes 
angulares SÃO DIFERENTES. 
d) REGRESSÕES DESSEMELHANTES: 
Tanto os interceptos, quanto os coeficientes angulares SÃO DIFERENTES. 
 
 208 
 
Como sabemos o teste de Chow apenas nos diz se dois ou mais regressores são 
diferentes, SEM IDENTIFICAR QUAL É A FONTE DA DIFERENÇA. Esta fonte pode 
ser detectada COMBINANDO-SE TODAS as observações (26) e calculando uma única 
regressão múltipla como mostrado abaixo: 
Y t = 1 +  2 Dt +  1 X t +  2 ( Dt X t ) + ut (equação 3). 
Onde: 
Y t = poupança; 
X t = renda; 
Dt = 1, para as observações do período de 1982-1995. 
Dt = 0, nos demais casos(isto é, observações do período 1970-1981). 
Calculamos: 
FUNÇÃO DE POUPANÇA MÉDIA, 1970-1981: 
),0( X
D
Y
t
t
tE = = 1 +  1 X t (equação 4). 
 . FUNÇÃO DE POUPANÇA MÉDIA, 1982-1995: 
),1( X
D
Y
t
t
tE = = (1 +  2 ) + ( 1 +  2 ) X t (equação 5). 
 209 
Essas funções são iguais as equações 1 e 2 com 1 = 1 , 2 =  1 ,  1 = (1 
+  2 ) e  2 = ( 1 +  2 ). 
Portanto, estimar Y t = 1 +  2 Dt +  1 X t +  2 ( Dt X t ) + ut é 
equivalente a estimar as duas funções de poupança individuais (1970 – 1981: Y t = 1 
+ 2 X t + u t1 n = 12 (equação 1) e 1982 – 1995: Y t =  1 +  2 X t + u t2 n = 14 
(equação 2)). 
Na equação Y t = 1 +  2 Dt +  1 X t +  2 ( Dt X t ) + ut ,  2 é o 
INTERCEPTO DIFERENCIAL, 
2
 é o COEFICIENTE ANGULAR DIFERENCIAL 
(também chamado de DESLOCADOR DO COEFICIENTE ANGULAR), que indica de 
quanto o coeficiente angular da função de poupança do segundo período (a categoria que 
tem como valor da variável binária 1) difere daquele do primeiro período. 
A inclusão de uma variável binária D na forma multiplicativa (D multiplicado por 
X) nos permite distinguir os coeficientes angulares dos dois períodos do mesmo modo 
como a inclusão de uma variável binária na forma aditiva nos permitiu distinguir os 
interceptos dos dois períodos. 
18) Continuando a explicação acima, analise o exemplo da variável binária como 
alternativa ao teste de Chow: 
Tabela 9.2 Poupança e renda. Estados Unidos. 1970-1995. 
ano poupança renda binaria dx 
1970 61 727.1 0 0 
1971 68.6 790.2 0 0 
1972 63.6 855.3 0 0 
1973 89.6 965 0 0 
1974 97.6 1054.2 0 0 
1975 104.4 1159.2 0 0 
1976 96.4 1273 0 0 
1977 92.5 1401.4 0 0 
1978 112.6 1580.1 0 0 
1979 130.1 1769.5 0 0 
1980 161.8 1973.3 0 0 
1981 199.1 2200.2 0 0 
1982 205.5 2347.3 1 2347.3 
1983 167 2522.4 1 2522.4 
1984 235.7 2810 1 2810 
1985 206.2 3002 1 3002 
1986 196.5 3187.6 1 3187.6 
1987 168.4 3363.1 1 3363.1 
1988 189.1 3640.8 1 3640.8 
 210 
1989 187.8 3894.5 1 3894.5 
1990 208.7 4166.8 1 4166.8 
1991 246.4 4343.7 1 4343.7 
1992 272.6 4613.7 1 4613.7 
1993 214.4 4790.2 1 4790.2 
1994 189.4 5021.7 1 5021.7 
1995 249.3 5320.8 1 5320.8 
 
. tsset ano, yearly 
 time variable: ano, 1970 to 1995 
 delta: 1 year 
. gen dx= binaria* renda 
. reg poupança binaria renda dx 
 
 
Y t = 1 +  2 Dt +  1 X t +  2 ( Dt X t ) + ut 
Y t = 1,0161 + 152,4786 Dt + 0,0803 X t - 0,0655( Dt X t ) 
Ep = (20,1648) (33,0823) (0,0145) (0,01598) 
T = (0,05) (4,61) (5,54) (-4,10) 
P = (0,960) (0,000) (0,000) (0,000) R
2
 = 0,8819 
H0:  2 = 0 (o intercepto diferencial é igual nas duas regressões). 
H1:  2  0 (o intercepto diferencial não é igual nas duas regressões). 
Através da estatística p vemos que a probabilidade de aceitar a hipótese nula é 
igual a zero. Ou seja, o intercepto diferencial não é igual nas duas regressões. 
H0: 
2
 = 0 (o coeficiente angular diferencial nas duas regressões é igual). 
H1: 
2
  0 (o coeficiente angular diferencial nas duas regressões não é igual). 
Através da estatística p vemos que a probabilidade de aceitar a hipótese nula é 
igual a zero. Ou seja, o coeficiente angular diferencial nas duas regressões não é igual. 
Ou seja, as regressões dos dois períodos SÃO DIFERENTES como no gráfico d 
acima (regressões dessemelhantes). 
Da equação 3 podemos deduzir as equações 4 e 5 acima. 
 
 _cons 1.016115 20.16483 0.05 0.960 -40.80319 42.83542
 dx -.0654694 .0159824 -4.10 0.000 -.098615 -.0323239
 renda .0803319 .0144968 5.54 0.000 .0502673 .1103964
 binaria 152.4786 33.08237 4.61 0.000 83.86992 221.0872
 
 poupança Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 99870.0867 25 3994.80347 Root MSE = 23.15
 Adj R-squared = 0.8658
 Residual 11790.2539 22 535.920634 R-squared = 0.8819
 Model 88079.8327 3 29359.9442 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 22) = 54.78
 Source SS df MS Number of obs = 26
 211 
FUNÇÃO DE POUPANÇA MÉDIA, 1970-1981: 
),0( X
D
Y
t
t
tE = = 1 +  1 X t (equação 4). 
Y t = 1,0161 + 0,0803 X t 
FUNÇÃO DE POUPANÇA MÉDIA, 1982-1995: 
),1( X
D
Y
t
t
tE = = (1 +  2 ) + ( 1 +  2 ) X t (equação 5). 
Y t = (1,0161 + 152,4786) + (0,0803 – 0,0655) X t 
Y t = 153,4947 + 0,0148 X t 
Tais resultados são os mesmos obtidos no capítulo oito. 
19) Quais as vantagens da técnica das variáveis binárias em relação ao teste de 
Chow? 
a) Só precisamos calcular UMA única regressão porque as regressões individuais 
podem ser deduzidas dela; 
b) A regressão única pode ser usada para testar várias hipóteses. Assim, por 
exemplo, se o coeficiente diferencial de intercepto ( 2 ) for estatisticamente não 
significativo, podemos aceitar a hipótese de que as duas regressões têm o mesmo 
intercepto, isto é, que são regressões concorrentes; 
c) a abordagem das variáveis binárias, diferente do teste de Chow, não apenas 
revela a diferença entre as regressões, como aponta sua fonte (intercepto, coeficiente 
angular ou ambos); 
d) Já que a combinação (isto é, a inclusão de todas as observações em uma única 
regressão) aumenta os graus de liberdade, ela pode aumentar a precisão dos parâmetros 
estimados (por que cada variável binária acrescentada representa a perda de um grau de 
liberdade). 
20) Analise a questão dos EFEITOS DE INTERAÇÃO COM O USO DE 
VARIÁVEIS BINÁRIAS. 
Tomando o seguinte modelo: 
Y i = 1 +  2 D i2 +  3 D i3 +  X i + ui (equação 1). 
Onde: 
Y i = salários-hora em US$; 
 212 
X i = escolaridade (anos de freqüência escolar); 
D i2 = 1 mulheres, 0 homens; 
D i3 = 1 não brancos e não hispânicos, 0 outros; 
Categoria de referência: homens brancos ou hispânicos. 
Neste modelo, o gênero e a raça são regressores qualitativos e a escolaridade é um 
regressor quantitativo (se definíssemos a escolaridade como ensino fundamental, médio 
e superior, poderíamos usar duas variáveis binárias para representar as três classes). Está 
implícita no modelo a premissa de que o efeito diferencial da variável binária gênero - 
D i2 - é constante entre as duas categorias de raça e que o efeito diferencial da variável 
binária raça - D i3 - também é constante entre os dois sexos. Ou seja, se o salário médio 
é maior para os homens em relação às mulheres, isso ocorre sejam eles não brancos/não 
hispânicos ou não. Do mesmo modo, se, digamos, os não brancos/não hispânicos 
receberem salários médios menores isso ocorrerá tanto no caso dos homens quanto das 
mulheres. Em muitos casos, premissas desse tipo não se sustentam. Uma mulher não 
branca/não hispânica pode ganhar salário menor do que de um homem não branco/não 
hispânico. Ou seja, pode haver uma INTERAÇÃO ENTRE AS DUAS VARIÁVEIS 
QUALITATIVAS - D i2 e D i3 . Assim, seu efeito sobre Y médio pode NÃO SER 
APENAS ADITIVO – como na equação 1 – MAS TAMBÉM MULTIPLICATIVO como 
no modelo abaixo. 
 Y i = 1 +  2 D i2 +  3 D i3 +  4 ( D i2 D i3 ) + X i + ui (equação 2). 
Da equação 2 obtemos: 
),1,1(
3 XD
D
Y
ii
i
iE == = (1 +  2 +  3 +  4 ) +  X i (equação 3). 
Que é a função de salário médio de mulheres não brancas/não hispânicas. 
Sendo: 
1 = efeito diferencial de pertencer ao gênero feminino; 
 3 = efeito diferencial de ser não branco/não hispânico; 
 4 = efeito diferencialde ser mulher não branca/não hispânica; 
A equação acima mostra que o salário-hora médio de mulheres não brancas/não 
hispânicas é DIFERENTE EM  4 do salário médio das mulheres OU das pessoas não 
 213 
brancas/não hispânicas. Se, por exemplo, TODOS os três coeficientes binários 
diferenciais forem NEGATIVOS, isso implicará que as TRABALHADORAS NÃO 
BRANCAS/NÃO HISPÂNICAS RECEBEM UM SALÁRIO-HORA MÉDIO MENOR 
QUE O DAS MULHERES OU DOS TRABALHADORES NÃO BRANCOS/NÃO 
HISPÂNICOS. 
Assim, a INTERAÇÃO BINÁRIA MUDA os efeitos dos dois atributos 
considerados de forma individuais – modo aditivo. 
EXEMPLO DOS EFEITOS DE INTERAÇÃO COM O USO DE VARIÁVEIS 
BINÁRIAS: 
GANHOS MÉDIOS POR HORA EM RELAÇÃO À ESCOLARIDADE, AO 
GÊNERO E À RAÇA: 
Comecemos apresentando os resultados da regressão com base na equação 1. 
Empregando os dados que foram usados para estimar a regressão da questão 14 
(MODELO ANOVA), obtivemos os resultados abaixo: 
Y i = 1 +  2 D i2 +  3 D i3 +  X i 
Y i = -0,2610 – 2,3606 D i2 - 1,7327 D i3 + 0,8028 X i 
T = (-0,2357) (-5,4873) (-2,1803) (9,9094) R
2
 = 0,2032 n = 528. 
Os coeficientes diferenciais são estatisticamente significativos, apresentam os 
sinais esperados (espera-se a priori que o salário-hora médio das mulheres seja menor do 
que o dos homens e que o salário-hora médio dos não brancos/não hispânicos seja menor 
do que o dos homens brancos – dada a questão problemática do preconceito de gênero e 
raça) e a escolaridade tem um efeito positivo sobre o salário-hora. 
 Como mostra a regressão acima, tudo o mais permanecendo constante, salário-
hora médio das mulheres é inferior em cerca de US$ 2,36 e o dos trabalhadores não 
brancos/não hispânicos é inferior em cerca de US$ 1,73 em relação a categoria de 
referência – trabalhadores homens e brancos. 
Vejamos agora os resultados com base na equação 2. 
Y i = 1 +  2 D i2 +  3 D i3 +  4 ( D i2 D i3 ) + X i 
Y i = -0,2610 – 2,3606 D i2 - 1,7327 D i3 + 2,1289 D i2 D i3 + 0,8028 X i 
T = (-0,2357) (-5,4873) (-2,1803) (1,7420) (9,9095) R
2
 = 
0,2032 n = 528. 
 214 
Vemos que as duas variáveis aditivas ( 2 D i2 +  3 D i3 ) continuam 
SIGNIFICATIVAS, mas a variável de INTERAÇÃO ( D i2 D i3 ) NÃO É 
SIGNIFICATIVA ao nível de significância de 5 %. 
Como mostra a regressão acima, mantendo os níveis de escolaridade constante, 
SE SOMARMOS OS TRÊS COEFICIENTES BINÁRIOS, OBTEREMOS -1,964 (= -
2,3605 – 1,7327 + 2,1289). Isto significa que OS SALÁRIOS-HORA MÉDIOS DE 
TRABALHADORAS NÃO BRANCAS/NÃO HISPÂNICAS SÃO CERCA DE US$ 
1,96 MENORES DO QUE OS DOS TRABALHADORES BRANCOS/HISPÂNICOS (o 
que está entre -2,3605 (apenas a diferença de gênero) e -1,7327 (apenas a diferença de 
raça). 
21) O que são séries temporais sazonais? Dê exemplos. 
São séries temporais formadas a partir de dados mensais ou trimestrais que 
apresentam MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS REGULARES. Exemplos são as vendas 
de lojas de brinquedos no natal, das lojas de doces na páscoa e a demanda de sorvetes no 
verão. 
22) Qual a relação da sazonalidade com as análises econômicas? 
É necessário remover a sazonalidade de uma série temporal a fim de analisarmos 
outros componentes da série, como a tendência (já que as séries temporais podem conter 
quatro componentes: o sazonal, o cíclico, o de tendência e o aleatório). Tal processo de 
remoção da sazonalidade é conhecido como ajustamento sazonal. 
23) Dê exemplos de séries temporais que são apresentadas ao público 
dessazonalisadas: 
Taxas de desemprego, índices de preços ao consumidor (IPC), índices de 
produção industrial. 
24) Analise um exemplo de dessazonalisação de série temporal usando o método 
das variáveis binárias: 
Para tal análise, usaremos a tabela abaixo: 
. gen timevar=q(1978q1)+_n-1 
. format timevar %tq 
. tsset timevar 
 time variable: timevar, 1978q1 to 1985q4 
 delta: 1 quarter 
 
 215 
 
 
Tabela 9.3 Vendas trimestrais de geladeiras (em mil unidades). 1978 
1995. 
geladeiras gastosbedur d2 d3 d4 timevar 
1317 252.6 0 0 0 1978q1 
1615 272.4 1 0 0 1978q2 
1662 270.9 0 1 0 1978q3 
1295 273.9 0 0 1 1978q4 
1271 268.9 0 0 0 1979q1 
1555 262.9 1 0 0 1979q2 
1639 270.9 0 1 0 1979q3 
1238 263.4 0 0 1 1979q4 
1277 260.6 0 0 0 1980q1 
1258 231.9 1 0 0 1980q2 
1417 242.7 0 1 0 1980q3 
1185 248.6 0 0 1 1980q4 
1196 258.7 0 0 0 1981q1 
1410 248.4 1 0 0 1981q2 
1417 255.5 0 1 0 1981q3 
919 240.4 0 0 1 1981q4 
943 247.7 0 0 0 1982q1 
1175 249.1 1 0 0 1982q2 
1269 251.8 0 1 0 1982q3 
973 262 0 0 1 1982q4 
1102 263.3 0 0 0 1983q1 
1344 280 1 0 0 1983q2 
1641 288.5 0 1 0 1983q3 
1225 300.5 0 0 1 1983q4 
1429 312.6 0 0 0 1984q1 
1699 322.5 1 0 0 1984q2 
1749 324.3 0 1 0 1984q3 
1117 333.1 0 0 1 1984q4 
1242 344.8 0 0 0 1985q1 
1684 350.3 1 0 0 1985q2 
1764 369.1 0 1 0 1985q3 
1328 356.4 0 0 1 1985q4 
 
Plotando um gráfico dos dados da tabela podemos ter uma idéia inicial sobre a 
existência ou não de sazonalidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 216 
 
 
 
. twoway (line geladeiras timevar) 
 
O gráfico acima sugere que a série talvez apresente um padrão de sazonalidade 
(terceiro trimestre de alta). 
Além disso, estimaremos o seguinte modelo: 
Y t = 1 +  2 D t2 +  3 D t3 +  4 D t4 + ut (equação 1). 
Sendo: 
Y t = Vendas trimestrais de geladeiras (em mil unidades). 
D t2 =1 se for segundo trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
D t3 =1 se for terceiro trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
D t4 = 1 se for quarto trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
CATEGORIA DE REFERÊNCIA: Primeiro trimestre (0;0) 
Para evitar a ARMADILHA DAS VARIÁVEIS BINÁRIAS, atribuiremos uma 
variável binária para cada trimestre do ano, mas OMITIREMOS o INTERCEPTO. 
Se EXISTIR qualquer efeito SAZONAL em certo TRIMESTRE, isso será 
INDICADO por um valor “t” estatisticamente SIGNIFICATIVO do coeficiente binário 
associado a esse trimestre. 
1
0
0
0
1
2
0
0
1
4
0
0
1
6
0
0
1
8
0
0
G
e
la
d
e
ir
a
s
1978q1 1980q1 1982q1 1984q1 1986q1
timevar
 217 
Na equação acima calculamos a regressão de Y COM INTERCEPTO, mas 
levando em conta UM INTERCEPTO PARA CADA TRIMESTRE. Assim, o coeficiente 
binário de cada trimestre nos dará AS VENDAS MÉDIAS DE GELADEIRAS EM 
CADA TRIMESTRE. 
Estimando o modelo acima obtivemos os seguintes resultados: 
. reg geladeiras d2 d3 d4 
 
 
Y t = 1222,125 + 245,375 D t2 + 347,625 D t3 - 62,125 D t4 
Ep = (59,9904) (84,8393) (84,8393) (84,8393) 
T = (20,37) (2,89) (4,10) (-0,73) R
2
 = 0,5318 
Vendas médias de geladeiras: 
Primeiro trimestre: 1222 
Segundo trimestre: 1468 
Terceiro trimestre: 1570 
Quarto trimestre: 1160 
LEMBRANDO: Empregamos TRÊS variáveis binárias e INCLUIMOS o 
INTERCEPTO (representando a categoria de referência, ou seja, o primeiro trimestre). 
Como consideramos o primeiro trimestre a categoria de referência, os coeficientes 
das diversas variáveis binárias são agora os INTERCEPTOS DIFERENCIAIS, 
mostrando de quanto o VLOR MÉDIO DE Y no trimestre cuja variável binária recebe o 
valor 1 difere do trimestre de referência. Assim, os coeficientes das variáveis binárias 
sazonais indicam de quanto o valor MÉDIO SAZONAL do trimestre em pauta aumenta 
ou diminui em relação ao valor médio de Y no trimestre base. 
A grande vantagem de tratar um trimestre como categoria de referência é que a 
regressão acima mostra que o valor de Y no quarto trimestre NÃO È estatisticamente 
SIGNIFICATIVO (valor “t” de 0,73), ou seja, É ESTATISTICAMENTE IGUAL AO 
VALOR MÉDIO DO PRIMEIRO TRIMESTRE (se aceita H0 – o valor médio do quarto 
trimestre é estatisticamente igual ao valor médio do trimestre de referência). 
 
 _cons 1222.125 59.99041 20.37 0.000 1099.24 1345.01
 d4-62.125 84.83926 -0.73 0.470 -235.9103 111.6603
 d3 347.625 84.83926 4.10 0.000 173.8397 521.4103
 d2 245.375 84.83926 2.89 0.007 71.58966 419.1603
 
 geladeiras Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1721778.22 31 55541.2329 Root MSE = 169.68
 Adj R-squared = 0.4816
 Residual 806142.375 28 28790.7991 R-squared = 0.5318
 Model 915635.844 3 305211.948 Prob > F = 0.0001
 F( 3, 28) = 10.60
 Source SS df MS Number of obs = 32
 218 
PARA OBTER A SÉRIE DESSAZONALIZADA DAS VENDAS DE 
GELADEIRAS: 
• Estimamos a regressão, como feito acima, obtendo os valores de Y 
para cada observação e subtraímos deles os valores efetivos de Y (ou seja, 
YY tt
^
− ), que terá como resultado os resíduos da regressão estimada (ver tabela 
abaixo). 
predict gelest 
predict resid,residual 
 
Vendas trimestrais de geladeiras (em mil unidades). 1978 
1995. 
gastosbedur d2 d3 d4 timevar (e) gelest resid 
252.6 0 0 0 1978q1 1 1222.125 94.875 
272.4 1 0 0 1978q2 1 1467.5 147.5 
270.9 0 1 0 1978q3 1 1569.75 92.25 
273.9 0 0 1 1978q4 1 1160 135 
268.9 0 0 0 1979q1 1 1222.125 48.875 
262.9 1 0 0 1979q2 1 1467.5 87.5 
270.9 0 1 0 1979q3 1 1569.75 69.25 
263.4 0 0 1 1979q4 1 1160 78 
260.6 0 0 0 1980q1 1 1222.125 54.875 
231.9 1 0 0 1980q2 1 1467.5 -209.5 
242.7 0 1 0 1980q3 1 1569.75 -152.75 
248.6 0 0 1 1980q4 1 1160 25 
258.7 0 0 0 1981q1 1 1222.125 -26.125 
248.4 1 0 0 1981q2 1 1467.5 -57.5 
255.5 0 1 0 1981q3 1 1569.75 -152.75 
240.4 0 0 1 1981q4 1 1160 -241 
247.7 0 0 0 1982q1 1 1222.125 -279.125 
249.1 1 0 0 1982q2 1 1467.5 -292.5 
251.8 0 1 0 1982q3 1 1569.75 -300.75 
262 0 0 1 1982q4 1 1160 -187 
263.3 0 0 0 1983q1 1 1222.125 -120.125 
280 1 0 0 1983q2 1 1467.5 -123.5 
288.5 0 1 0 1983q3 1 1569.75 71.25 
300.5 0 0 1 1983q4 1 1160 65 
312.6 0 0 0 1984q1 1 1222.125 206.875 
322.5 1 0 0 1984q2 1 1467.5 231.5 
324.3 0 1 0 1984q3 1 1569.75 179.25 
333.1 0 0 1 1984q4 1 1160 -43 
344.8 0 0 0 1985q1 1 1222.125 19.875 
350.3 1 0 0 1985q2 1 1467.5 216.5 
369.1 0 1 0 1985q3 1 1569.75 194.25 
356.4 0 0 1 1985q4 1 1160 168 
 
O QUE ESSES RESÍDUOS SIGNIFICAM? 
 219 
São os componentes da série de vendas de geladeiras (SEM O EFEITO DA 
SAZONALIDADE). Ou seja, os componentes de tendência, cíclico e aleatório. Segue 
abaixo um gráfico da série vendas de geladeiras livre do efeito da sazonalidade. 
. twoway (line resid timevar) 
 
 25) Como o modelo do exemplo acima NÃO inclui quaisquer COVARIÁVEL 
(variável de controle) será que o quadro MUDA se INCLUIRMOS um REGRESSOR 
QUANTITATIVO no modelo? 
Como a priori se espera que os gastos com bens duráveis tenham grande influência 
sobre a demanda por geladeiras, vamos incluir tal variável no modelo. 
Y t = 1 +  2 D t2 +  3 D t3 +  4 D t4 +  4 X t + ut 
Sendo: 
Y t = Vendas trimestrais de geladeiras (em mil unidades). 
D t2 =1 se for segundo trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
D t3 =1 se for terceiro trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
D t4 = 1 se for quarto trimestre e = 0 se for outros trimestres; 
X t = gastos com bens duráveis, em bilhões de US$ (variável quantitativa). 
CATEGORIA DE REFERÊNCIA: Primeiro trimestre (0;0) 
-3
0
0
-2
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
R
e
s
id
u
a
ls
1978q1 1980q1 1982q1 1984q1 1986q1
timevar
 220 
. reg geladeiras d2 d3 d4 gastosbedur 
 
Y t = 456,244 + 242,4976 D t2 + 325,2643 D t3 - 86,0805 D t4 + 2,7734 X t 
Ep = (178,2652) (65,6259) (65,8148) (65,8432) (0,6233) 
T = (2,56) (3,70) (4,94) (-1,31) (4,45) R
2
 = 
0,7299 
Como estamos considerando o primeiro trimestre como categoria de referência, 
vemos que OS COEFICIENTES DE INTERCEPTO DIFERENCIAIS do segundo e do 
terceiro trimestre SÃO ESTATISTICAMENTE DIFERENTES AO COEFICIENTE DO 
PRIMEIRO TRIMESTRE (“t” calculados significativos, o que nos leva a rejeitar a 
hipótese nula de que tais coeficientes sejam iguais estatisticamente ao coeficiente da 
categoria de referência). 
Por outro lado, O COEFICIENTE DE INTERCEPTO DIFERENCIAL do quarto 
trimestre É ESTATISTICAMENTE IGUAL AO COEFICIENTE DO PRIMEIRO 
TRIMESTRE (“t” calculado NÃO significativo, o que nos leva a NÃO REJEITAR a 
hipótese nula de que tal coeficiente seja igual estatisticamente ao coeficiente da categoria 
de referência). 
Então, o coeficiente dos gastos com bens duráveis de cerca de US$ 2,77 nos diz 
que, DESCONTANDO OS EFEITOS DA SAZONALIDADE, se os gastos com bens 
duráveis aumentam em um dólar, EM MÉDIA, as vendas de geladeiras aumentam em 
cerca de 2,77 unidades – praticamente 3 unidades (NÃO ESQUECER QUE AS 
GELADEIRAS ESTÃO EM MIL UNIDADES E OS GASTOS EM BILHÕES DE 
DÓLARES DE 1982). Observação: as variáveis binárias ao remover a sazonalidade de 
Y, também removem a sazonalidade de X – quando ela existe. 
 
 _cons 456.244 178.2652 2.56 0.016 90.47396 822.014
 gastosbedur 2.773424 .6232847 4.45 0.000 1.494549 4.052299
 d4 -86.08045 65.84317 -1.31 0.202 -221.1795 49.01858
 d3 325.2643 65.81483 4.94 0.000 190.2234 460.3052
 d2 242.4976 65.62589 3.70 0.001 107.8444 377.1508
 
 geladeiras Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 1721778.22 31 55541.2329 Root MSE = 131.25
 Adj R-squared = 0.6899
 Residual 465084.661 27 17225.3578 R-squared = 0.7299
 Model 1256693.56 4 314173.389 Prob > F = 0.0000
 F( 4, 27) = 18.24
 Source SS df MS Number of obs = 32
 221 
Ao plotar um gráfico dos resíduos da nova regressão dessazonalizada é possível 
perceber que ele é quase idêntico ao gráfico dos resíduos da regressão anterior, como era 
de esperar. 
. predict gelest 
. predict res,residual 
. twoway (line res timevar) 
 
26) Analise a relação entre as variáveis binárias e as regressões semilogarítmicas? 
Sabemos que nos modelos “LOG-LINEARES” o regressando está expresso na 
forma de logaritmos e os regressores na forma linear. Em tais modelos, os coeficientes 
angulares dos regressores nos dão a SEMI-ELASTICIDADE, isto é, a variação percentual 
do regressando para uma variação unitária do regressor. Isso só se aplica se o regressor 
for uma variável quantitativa. Quando temos variáveis binárias como regressores o que 
acontece? Para saber, partiremos do seguinte modelo: 
Y iln =  1 +  2 Di + ui 
Onde: 
Y = salário-hora em US$ e D =1 para mulheres e = 0 para homens. 
 
-2
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
R
e
s
id
u
a
ls
1978q1 1980q1 1982q1 1984q1 1986q1
timevar
 222 
Como interpretamos tal modelo? 
FUNÇÃO SALÁRIO PARA OS TRABALHADORES: 
)0
ln
( =
Di
Y
E = 
1
 
FUNÇÃO SALÁRIO PARA AS TRABALHADORAS: 
)1
ln
( =
Di
Y
E = 
1
 + 
2
 
Assim, o intercepto (
1
) nos dá o “LOGARITMO MÉDIODOS SALÁRIOS-
HORA” e o coeficiente angular (
2
) a “DIFERENÇA ENTRE O SALÁRIO MÉDIO 
DE HOMENS E MULHERES”. Porém, se tomarmos o antilogarítimo de 
1
, o que 
obtemos NÃO é o salário MÉDIO dos trabalhadorese sim seus salários MEDIANOS. Se, 
porém, tomarmos o antilogarítimo de (
2
 + 
2
), obtemos o salário MEDIANO das 
trabalhadoras. 
27) Exemplifique a relação entre as variáveis binárias e as regressões 
semilogarítmicas: 
Logaritmo dos salários por hora em relação ao gênero: 
Para analisar o modelo Y iln =  1 +  2 Di + ui usaremos os dados da 
regressão da questão 20 embasada em 528 observações. Os resultados seguem abaixo: 
Y iln = 2,1763 – 0,2437 Di 
T = (72,2943) (-5,5048) R
2
 = 0,0544 
Tomando o antilog de 2,1763, encontramos 8,8136 (US$), que é o SALÁRIO 
MEDIANO DOS TRABALHADORES. E, tomando o antilog de (2,1763-0,2437 = 
1,9326) encontramos 6,9074 (US$), que é o SALÁRIO MEDIANO DAS 
TRABALHADORAS. Ou seja, o salário MEDIANO das trabalhadoras é cerca de 21,63 
% MENOR que o dos trabalhadores. 
Podemos obter a SEMI-ELASTICIDADE DE UM REGRESSOR BINÁRIO, 
basta tomar o antilog (base e) do COEFICIENTE BINÁRIO ESTIMADO, SUBTRAILA 
DE 1 E MULTIPLICAR A DIFERENÇA POR 100. 
Para o exemplo acima, tomando o antilog de -0,2437, obtemos 0,7837. Fazendo 1 
– 0, 7837, obtemos 0, 2163, que multiplicado por 100 nos dá 21,63 %. Tal número sugere 
 223 
que o salário mediano da trabalhadora (D = 1) é INFERIOR ao do trabalhador em cerca 
de 21,63 % - confirmando o resultado anterior. 
28) Qual relação entre variáveis binárias, teste de Chow e heterocedasticidade? 
Ao testar a estabilidade estrutural do modelo econométrico recorrendo à técnica 
das variáveis binárias, assim como com o teste de Chow, partimos da premissa de que 

2
21
)var()var( == uu ii , isto é, as variâncias dos erros nos dois períodos sejam iguais. 
Se essa premissa não for válida, as conclusões em relação ao modelo podem estar erradas. 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 9: 
9.1 Diante de uma série de dados mensais referentes a vários anos, quantas 
variáveis binárias podem ser incluídas para testar as seguintes hipóteses: 
a) Todos os meses do ano apresentam padrões sazonais? 
Se o intercepto estiver incluído no modelo, inclua 11 variáveis binárias. Caso 
contrário inclua 12. 
b) Apenas os meses de fevereiro, abril, junho, agosto, outubro e dezembro 
apresentam padrões sazonais? 
Se o intercepto estiver incluído no modelo, inclua 5 variáveis binárias. Caso 
contrário inclua 6. 
9.2) Considere os seguintes resultados de uma regressão empírica: 
Y i = 1286 + 104,97 X i2 - 0,026 X i3 + 1,20 X i4 + 0,69 X i5 - 19,47 X i6 
T = (4,67) (3,70) (-3,80) (0,24) (0,08) (-0,40) 
 + 266,06 X i7 -118,64 X i8 - 110 X i9 
 (6,94) (-3,04) (-6,14) R
2
 = 0,383 n = 1542 
Sendo: 
Y i = horas de trabalho anuais desejadas pela esposa, calculadas como horas 
habituais de trabalho por ano mais semanas de busca de emprego; 
X i2 = ganhos reais por hora da esposa, descontados os impostos; 
X i3 = ganhos reais anuais do marido, descontados os impostos; 
X i4 = idade da esposa, em anos; 
X i5 = escolaridade da esposa, em anos de estudos completados; 
X i6 = variável de atitude; 
 224 
 = 1 se a informante sente que não há problemas em trabalhar se assim o 
desejar e o marido estiver de acordo; 
 = 0 caso contrário; 
X i7 = variável de atitude; 
 = 1 se o marido da informante está de acordo com o trabalho da mulher; 
 = 0 caso contrário; 
X i8 = número de filhos com menos de 6 anos; 
X i9 = número de filhos com idade entre 6 e 13 anos; 
a) Os sinais dos coeficientes NÃO binários fazem sentido do ponto de vista 
econômico? 
De acordo com a teoria econômica, espera-se que os coeficientes de X i2 e X i5 
sejam positivos (os sinais encontrados para tais coeficientes corroboraram a teoria 
econômica) e os de X i3 , X i8 e X i9 sejam negativos (os sinais encontrados para tais 
coeficientes corroboraram a teoria econômica), o de X i4 tanto pode ser positivo quanto 
negativo, dependendo da idade da esposa e do número de filhos. 
b) Como poderíamos interpretar as variáveis binárias X i6 e X i7 ? Essas 
variáveis são estatisticamente significativas? Como a amostra é bastante grande, seria 
possível recorrer à regra prática “2 – t” para responder esta pergunta. 
Mantendo-se constantes as demais variáveis do modelo, espera-se que a variável 
horas de trabalho desejadas seja maior que o valor do intercepto (comum) de 1286 horas, 
mas esse coeficiente tem sinal negativo, e como NÃO é significativo (razão “t” igual a 
0,40), pouco se pode dizer sobre o impacto de X i6 em Y i (média). Quanto à X i7 , 
espera-se que seu coeficiente seja positivo, e é mesmo. Além disso, É estatisticamente 
significativo (razão “t” igual a 6,94). 
 
 
 
 
c) Como podemos explicar que as variáveis idade e escolaridade não sejam, neste 
estudo, fatores significativos na decisão da mulher em participar na força de trabalho? 
 225 
Isso talvez se deva às colinearidades (capítulo 10) entre a idade e a escolaridade e 
entre estas e o número de filhos. Além disso, o modelo também não incluiu os anos de 
estudo completados pelo marido. 
9.4) Com dados anuais para o período de 1972-1979, Nordhaus estimou o 
seguindo modelo para explicar o comportamento dos preços de petróleo pela OPEP: 
y
i
 = 0,3 x t1 + 5,22 x t2 
Ep = (0,03) (5,0) 
T = (10,0) (1,044) 
Sendo: 
y
i
 = diferença entre os preços atuais e os do ano anterior (US$ por barril); 
x t1 = diferença entre o preço spot do ano corrente e o preço da OPEP no ano 
anterior; 
x t2 = 1 para 1974; 
 = 0 para os demais anos; 
Interprete esses resultados e os represente graficamente. O que esses resultados 
sugerem em relação ao poder de monopólio da OPEP? 
Sendo o modelo acima igual a; 
Y t = 1 +  2 Dt + ut 
H0: 1 = 0 (o intercepto é igual para todos os anos). 
H1: 1  0 (o intercepto não é igual para todos os anos). 
Através da estatística “t” (10,0) vemos que o coeficiente do intercepto É 
ESTATISTICAMENTE SIGNIFICATIVO, o que nos leva a REJEITAR a hipótese nula. 
Ou seja, o intercepto NÃO é igual para todos os anos da amostra. 
H0:  2 = 0 (o coeficiente angular é igual para todos os anos). 
H1:  2  0 (o coeficiente angular não é igual para todos os anos). 
Através da estatística “t” (1,044) vemos que o coeficiente angular NÃO É 
ESTATISTICAMENTE SIGNIFICATIVO, o que nos leva a ACEITAR a hipótese nula. 
Ou seja, o coeficiente angular É igual para todos os anos da amostra. 
 226 
 
O gráfico se assemelha ao de uma regressão paralela com o preço médio por barril 
em 1974 estando US$ 5,22 MAIS ALTO do que os demais anos da amostra. Por isso, a 
linha de regressão para 1974 inicia no ponto 5,22 do eixo vertical e para os demais anos 
passa pela origem. Porém, o coeficiente angular de US$ 0,3 é o mesmo tanto para a linha 
de regressão para 1974, quanto para os demais anos. 
9.12) Sen e Srivastava obtiveram os seguintes resultados de uma regressão com 
dados de 101 países referentes ao início da década de 1970. As variáveis consideradas 
foram renda per capta em US$ (X), e expectativa de vida, em anos (Y): 
Y i = -2,40 + 9,39 X iln - 3,36 [ Di ( X iln - 7)] 
Ep = (4,73) (0,859) (2,42) R
2
 = 0,752 
Sendo: 
Di = 1 se X iln > 7; 
 = 0 nos demais casos; (nota: quando X iln = 7, X = US$ 1,097 
aproximadamente). 
a) Quais podem ser os motivos que levaram ao emprego da forma logarítmica da 
variável renda? 
Por que assim ela nos dá a semi-elasticidade, ou seja, a variação absoluta da 
expectativa de vida para uma variação percentual da renda. 
b) Como podemos interpretar o coeficiente 9,39 de X iln ? 
Tal coeficiente mostra que é provável que, tudo o mais permanecendo constante, 
um aumento de 1% na renda per capta leva a expectativa média de vida a aumentar 0,0939 
(= 9,39/100). 
 227 
c) Qual é a razão da inclusão do regressor Di ( X iln - 7)? Como podemos 
explicar verbalmente esse regressor? Como podemosinterpretar o coeficiente -3,36 deste 
regressor? (Dica: regressão linear segmentada). 
Esse regressor foi incluído para CONTORNAR O EFEITO SOBRE A 
EXPECTATIVA DE VIDA DOS AUMENTOS CRESCENTES DA RENDA PER 
CAPTA ACIMA DO VALOR LÍMITE DE US$ 1.097. O regressor também informa o 
número de anos adicionais que se pode esperar viver quando a renda passa de US$ 1.097. 
O valor do coeficiente estimado NÃO É ESTATISTICAMENTE SIGNIFICATIVO 
(razão “t” = -1,39). 
d) supondo uma renda per capta de US$ 1.097 como sendo a linha divisória entre 
os países ricos e pobres, como poderíamos obter a regressão para os países em que a renda 
per capta é maior que esse patamar? 
A equação da regressão para os países cuja renda está acima desse patamar é: 
-2,40 + (9,39 – 3,36) X iln + (3,36)*(7) = 21,12 + 6,03 X iln . 
A equação da regressão para os países cuja renda está abaixo desse patamar é: 
-2,40 + 9,39 X iln . 
e) Que conclusão geral se pode tirar do resultado da regressão apresentada e dos 
exercícios feitos neste problema? 
Que embora a equação da regressão para os países pobres pareça diferente da dos 
países ricos, elas não o são estatisticamente. O coeficiente do último termo é zero em 
termos estatísticos. Se considerarmos países mais ricos como aqueles com renda per capta 
maior que US$ 1.097, parece NÃO HAVER entre estes e os mais pobres NENHUMA 
diferença ESTATÍSTICA perceptível na EXPECTATIVA DE VIDA. 
9.16) Para estudar a taxa de crescimento da população de Belize no período de 
1970-1992, Mukherjee estimou os seguintes modelos: 
Modelo 1: ln( POPt ) = 4,73 + 0,24 t 
 T = (781,25) (54,71) 
Modelo 2: : ln( POPt ) = 4,77 + 0,015 t - 0,075 Dt + 0,011( Dt t ) 
 T = (2.477,92) (34,01) (-17,03) (25,24) 
 
 
 
 228 
Sendo: 
POPt = população, em milhões. 
t = variável de tendência. 
Dt = 1 para observações a partir de 1978. 
 = 0 para as demais. 
a) no modelo 1, qual é a taxa de crescimento da população no período analisado? 
2,4 % (= 0,24*100). 
b) As taxas de crescimento anteriores e posteriores a 1978 são estatisticamente 
diferentes? Como sabe? Se forem diferentes, quais são as taxas de crescimento dos 
períodos 1972-1977 e 1978-1992? 
Como tanto o intercepto diferencial quanto os coeficientes angulares diferenciais 
são MUITO SIGNIFICATIVOS, os níveis e as taxas de crescimento da população são 
diferentes nos dois períodos. A taxa de crescimento para o período anterior a 1978 é de 
1,5 % (= 0,015*100) e para o período posterior a 1978 é de 2,6 % (= 1,5 % + 1,1 %). 
9.21) usando os dados da tabela 8.9 abaixo e considerando o seguinte modelo: ln
poupança
i
 = 
1
 + 
2
ln rendai +  3 ln Di + ui 
Sendo: 
Di = 1 para 1970-1981. 
 = 10 para 1982-1995. 
ano poupança renda Dt dnova lnpoup lnrenda lndt lndnova 
1970 61 727.1 0 10 4.110874 6.589064 2.302585 
1971 68.6 790.2 0 10 4.228292 6.672286 2.302585 
1972 63.6 855.3 0 10 4.152614 6.751452 2.302585 
1973 89.6 965 0 10 4.495355 6.872128 2.302585 
1974 97.6 1054.2 0 10 4.580877 6.960537 2.302585 
1975 104.4 1159.2 0 10 4.64823 7.055485 2.302585 
1976 96.4 1273 0 10 4.568506 7.149132 2.302585 
1977 92.5 1401.4 0 10 4.527209 7.245227 2.302585 
1978 112.6 1580.1 0 10 4.723842 7.365243 2.302585 
1979 130.1 1769.5 0 10 4.868303 7.478452 2.302585 
1980 161.8 1973.3 0 10 5.086361 7.587462 2.302585 
1981 199.1 2200.2 0 10 5.293807 7.696303 2.302585 
1982 205.5 2347.3 1 1 5.325446 7.761021 0 0 
1983 167 2522.4 1 1 5.117994 7.832966 0 0 
1984 235.7 2810 1 1 5.46256 7.94094 0 0 
1985 206.2 3002 1 1 5.328846 8.007034 0 0 
1986 196.5 3187.6 1 1 5.280663 8.067023 0 0 
1987 168.4 3363.1 1 1 5.126342 8.120619 0 0 
1988 189.1 3640.8 1 1 5.242276 8.199959 0 0 
1989 187.8 3894.5 1 1 5.235378 8.267321 0 0 
 229 
1990 208.7 4166.8 1 1 5.340898 8.334904 0 0 
1991 246.4 4343.7 1 1 5.506956 8.376482 0 0 
1992 272.6 4613.7 1 1 5.608006 8.436786 0 0 
1993 214.4 4790.2 1 1 5.367844 8.474327 0 0 
1994 189.4 5021.7 1 1 5.243861 8.521523 0 0 
1995 249.3 5320.8 1 1 5.518657 8.579379 0 0 
 
a) Qual é a lógica da inclusão da variável binária da forma sugerida? 
Como a variável binária está na forma logarítmica, e o logarítmico de zero NÃO 
EXISTE, redefinindo-a como 1 e 10 será possível obter logaritmos. 
b) Estime o modelo acima e interprete os resultados. 
. gen lnpoup=ln(poupança) 
. gen lnrenda=ln(renda) 
. gen lndt=ln(Dt) 
. gen lndnova=ln( dnova) 
 
. reg lnpoup lnrenda lndnova 
 
 
ln poupança
i
 = -0,1589 + 0,6695 ln rendai + 0,00029 ln Di 
Ep = (0,8824) (0,1074) (0,0581) 
T = (-0,18) (6,24) (0,01) R
2
 = 0,8780 
H0: As regressões são iguais nos dois períodos. 
H1: As regressões não são iguais nos dois períodos. 
 = 5 %; gl = n – k (26 – 3) = 23; “t” crítico = 2,069. 
Como “t” calculado (0,01) < “crítico” (2,069) ao nível de significância escolhido, 
NÃO SE REJEITA a hipótese de que as linhas de regressões são ESTATISTICAMENTE 
iguais nos dois períodos analisados. 
A interpretação do valor de -0,1589 do coeficiente de intercepto diferencial é que 
ele representa o valor do logaritmo da poupança quando os demais regressores do modelo 
tomam o valor de zero. 
 
 _cons -.1595591 .8823502 -0.18 0.858 -1.98484 1.665721
 lndnova .0002938 .0580883 0.01 0.996 -.119871 .1204585
 lnrenda .6695037 .1073573 6.24 0.000 .4474182 .8915892
 
 lnpoup Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 5.11275987 25 .204510395 Root MSE = .16465
 Adj R-squared = 0.8674
 Residual .623542452 23 .027110541 R-squared = 0.8780
 Model 4.48921742 2 2.24460871 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 23) = 82.79
 Source SS df MS Number of obs = 26
 230 
A interpretação do valor de 0,67 do coeficiente angular do logaritmo da renda é 
que, mantidas constantes as demais variáveis do modelo, quando a renda aumenta em 1 
%, a poupança aumenta, em média, 0,67 %. 
c) Quais são os valores do intercepto da função poupança nos dois subperiodos e 
como podem ser interpretados? 
 Para o período de 1970-1981 o valor do intercepto é de -0,1589. E para o período 
de 1982-1995 é de -0,1586. Se tirarmos o antilog desse valor obtemos 0,8531 (unidades 
monetárias – US$ bilhões ?) – número que, segundo Gujarat, não tem muito significado 
econômico. O problema é que no modelo acima não foi levada em conta a questão da 
interação entre variáveis. 
O modelo abaixo apresenta tal interação: 
gen x = lndnova* lnrenda 
. reg lnpoup lnrenda lndnova x 
 
 
ln poupança
i
 = 3,3552 + 0,2413 ln rendai -2,3278 ln Di + 0,2986 ln Di * ln rendai 
Ep = (1,1189) (0,1363) (0,5864) (0,0749) 
T = (3,00) (1,77) (-3,97) (3,98) R
2
 = 0,9291 
Temos agora um quadro completamente diferente, pois tanto o intercepto quanto 
os coeficientes angulares diferenciais binários são significativos. Ou seja, o intercepto 
diferencial é diferente de um período para o outro (valor da razão “t” passou de -0,18 em 
uma regressão para 3,0 na outra). Porém, o coeficiente angular que representa o logaritmo 
da renda é estatisticamente igual nos dois períodos (já que na segunda regressão se aceita 
a hipótese nula de igualdade detal coeficiente entre os dois períodos – razão “t” passou 
de 6,24 para 1,77). 
Agora, para o período de 1970-1981 a propensão a poupar é de 0,24, ao passo que 
no período 1982-1995 tal valor é de 0,5399. Além disso, o sinal do intercepto que era 
negativo na primeira regressão, passou a positivo na segunda. 
Tais resultados servem para mostrar como mudanças de especificação de modelo 
podem fazer diferença no resultado final. 
 
 
 _cons 3.355222 1.118973 3.00 0.007 1.034614 5.67583
 x .2985769 .0749812 3.98 0.001 .1430755 .4540783
 lndnova -2.327844 .5864124 -3.97 0.001 -3.543989 -1.111699
 lnrenda .2413205 .1362532 1.77 0.090 -.0412514 .5238924
 
 lnpoup Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 5.11275987 25 .204510395 Root MSE = .12834
 Adj R-squared = 0.9195
 Residual .362366467 22 .016471203 R-squared = 0.9291
 Model 4.75039341 3 1.58346447 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 22) = 96.14
 Source SS df MS Number of obs = 26
 231 
9.22) Voltemos aos dados de vendas trimestrais de eletrodomésticos da tabela 
abaixo: 
Vendas trimestrais de eletrodomésticos (em milhares) e gastos com bens duráveis 
(1978:I a 1985:4) 
maqlouças geladeiras maqroupas gastbdurav d2 d3 d4 
841 1317 1271 252.6 0 0 0 
957 1615 1295 272.4 1 0 0 
999 1662 1313 270.9 0 1 0 
960 1295 1150 273.9 0 0 1 
894 1271 1289 268.9 0 0 0 
851 1555 1245 262.9 1 0 0 
863 1639 1270 270.9 0 1 0 
878 1238 1103 263.4 0 0 1 
792 1277 1273 260.6 0 0 0 
589 1258 1031 231.9 1 0 0 
657 1417 1143 242.7 0 1 0 
699 1185 1101 248.6 0 0 1 
675 1196 1181 258.7 0 0 0 
652 1410 1116 248.4 1 0 0 
628 1417 1190 255.5 0 1 0 
529 919 1125 240.4 0 0 1 
480 943 1036 247.7 0 0 0 
530 1175 1019 249.1 1 0 0 
557 1269 1047 251.8 0 1 0 
602 973 918 262 0 0 1 
658 1102 1137 263.3 0 0 0 
749 1344 1167 280 1 0 0 
827 1641 1230 288.5 0 1 0 
858 1225 1081 300.5 0 0 1 
808 1429 1326 312.6 0 0 0 
840 1699 1228 322.5 1 0 0 
893 1749 1297 324.3 0 1 0 
950 1117 1198 333.1 0 0 1 
838 1242 1292 344.8 0 0 0 
884 1684 1342 350.3 1 0 0 
905 1764 1323 369.1 0 1 0 
909 1328 1274 356.4 0 0 1 
 
Considerando o seguinte modelo: 
vendasi = 1 +  2 D i2 +  3 D i3 +  4 D i4 
Onde: 
D = variáveis binárias que tomam valores 1 e 0 para os trimestres II a IV. 
 
 
 
 
 232 
a) Estime o modelo acima para máquinas de lavar louças e máquinas de lavar 
roupas, individualmente. 
. gen timevar =q(1978q1)+_n-1 
. format timevar %tq 
. tsset timevar 
 time variable: timevar, 1978q1 to 1985q4 
 delta: 1 quarter 
. reg maqlouas d2 d3 d4 
 
 
 
 . reg maqroupas d2 d3 d4 
 
 
Eletrodoméstico Intercepto D2 D3 D4 R
2
 
Lava-louças 748,25 8,25 42,875 49,875 
 
0,0220 
Erro-padrão 54,1253 76,5448 76,5448 76,5448 
Valor “t” 13,82 0,11 0,56 0,65 
Lava-roupas 1225,625 -45,25 1 -106,875 
 
0,1692 
Erro-padrão 36,8920 52,1732 52,1732 52,1732 
Valor “t” 33,22 -0,87 0,02 -2,05 
 
b) Como poderíamos interpretar os coeficientes angulares? 
Os coeficientes angulares são de fato INTERCEPTOS DIFERENCIAIS, sendo o 
primeiro trimestre a categoria de referência. Somente a variável binária do quarto 
trimestre para máquinas de lavar roupas é SIGNIFICATIVAMENTE diferente da do 
primeiro trimestre em termos ESTATÍSTICOS, INDICANDO QUE APENAS PARA 
ESSAS MÁQUINAS HÁ ALGUM TIPO DE SAZONALIDADE. Isso contrasta com os 
resultados para geladeiras obtidos no exemplo do capítulo, em que existia sazonalidade 
no segundo e terceiros trimestres, mas não no quarto. 
 
 _cons 748.25 54.12532 13.82 0.000 637.3793 859.1207
 d4 49.875 76.54476 0.65 0.520 -106.9198 206.6698
 d3 42.875 76.54476 0.56 0.580 -113.9198 199.6698
 d2 8.25 76.54476 0.11 0.915 -148.5448 165.0448
 
 maqlouas Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 670968 31 21644.129 Root MSE = 153.09
 Adj R-squared = -0.0828
 Residual 656219.25 28 23436.4018 R-squared = 0.0220
 Model 14748.75 3 4916.25 Prob > F = 0.8888
 F( 3, 28) = 0.21
 Source SS df MS Number of obs = 32
 
 _cons 1225.625 36.89204 33.22 0.000 1150.055 1301.195
 d4 -106.875 52.17323 -2.05 0.050 -213.747 -.0029864
 d3 1 52.17323 0.02 0.985 -105.872 107.872
 d2 -45.25 52.17323 -0.87 0.393 -152.122 61.62201
 
 maqroupas Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 366958.219 31 11837.3619 Root MSE = 104.35
 Adj R-squared = 0.0802
 Residual 304869.125 28 10888.183 R-squared = 0.1692
 Model 62089.0938 3 20696.3646 Prob > F = 0.1524
 F( 3, 28) = 1.90
 Source SS df MS Number of obs = 32
 233 
c) Como poderíamos empregar os  estimados para dessazonalizar os dados de 
vendas de cada um dos eletrodomésticos acima? 
Não há necessidade de dessazonalizar os dados porque NÃO EXISTE 
SAZONALIDADE ESTATÌSTICA VISÍVEL para as vendas de lava-louças. Quanto às 
lava roupas, os resíduos da regressão (abaixo) representarão uma série temporal 
dessazonalizada. 
maqroupas gastbdurav d2 d3 d4 timevar roupasest res 
1271 252.6 0 0 0 1978q1 1225.625 45.375 
1295 272.4 1 0 0 1978q2 1180.375 114.625 
1313 270.9 0 1 0 1978q3 1226.625 86.375 
1150 273.9 0 0 1 1978q4 1118.75 31.25 
1289 268.9 0 0 0 1979q1 1225.625 63.375 
1245 262.9 1 0 0 1979q2 1180.375 64.625 
1270 270.9 0 1 0 1979q3 1226.625 43.375 
1103 263.4 0 0 1 1979q4 1118.75 -15.75 
1273 260.6 0 0 0 1980q1 1225.625 47.375 
1031 231.9 1 0 0 1980q2 1180.375 -149.375 
1143 242.7 0 1 0 1980q3 1226.625 -83.625 
1101 248.6 0 0 1 1980q4 1118.75 -17.75 
1181 258.7 0 0 0 1981q1 1225.625 -44.625 
1116 248.4 1 0 0 1981q2 1180.375 -64.375 
1190 255.5 0 1 0 1981q3 1226.625 -36.625 
1125 240.4 0 0 1 1981q4 1118.75 6.25 
1036 247.7 0 0 0 1982q1 1225.625 -189.625 
1019 249.1 1 0 0 1982q2 1180.375 -161.375 
1047 251.8 0 1 0 1982q3 1226.625 -179.625 
918 262 0 0 1 1982q4 1118.75 -200.75 
1137 263.3 0 0 0 1983q1 1225.625 -88.625 
1167 280 1 0 0 1983q2 1180.375 -13.375 
1230 288.5 0 1 0 1983q3 1226.625 3.375 
1081 300.5 0 0 1 1983q4 1118.75 -37.75 
1326 312.6 0 0 0 1984q1 1225.625 100.375 
1228 322.5 1 0 0 1984q2 1180.375 47.625 
1297 324.3 0 1 0 1984q3 1226.625 70.375 
1198 333.1 0 0 1 1984q4 1118.75 79.25 
1292 344.8 0 0 0 1985q1 1225.625 66.375 
1342 350.3 1 0 0 1985q2 1180.375 161.625 
1323 369.10 1 0 1985q3 1226.625 96.375 
1274 356.4 0 0 1 1985q4 1118.75 155.25 
 
O QUE ESSES RESÍDUOS SIGNIFICAM? 
São os componentes da série de vendas de máquinas de lava-roupas (SEM O 
EFEITO DA SAZONALIDADE). Ou seja, os componentes de tendência, cíclico e 
aleatório. Segue abaixo um gráfico da série vendas de máquinas de lava-roupas livre do 
efeito da sazonalidade. 
 234 
. twoway (line res timevar) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
R
e
s
id
u
a
ls
1978q1 1980q1 1982q1 1984q1 1986q1
timevar
 235 
CAPÍTULO 10: MULTICOLINEARIDADE – 
O QUE ACONTECE SE OS REGRESSORES SÃO 
CORRELACIONADOS? 
1) O que designa o termo MULTICOLINEARIDADE? 
A existência de uma relação “perfeita” ou exata entre algumas ou todas as 
variáveis explicativas de um modelo de regressão. 
2) Dê um exemplo mostrando claramente a situação da colinearidade entre as 
variáveis de um modelo. 
Veja os seguintes valores da tabela abaixo: 
X 2 X 3 X
*
3
 
10 50 52 
15 75 75 
18 90 97 
24 120 129 
30 150 152 
 
Pode-se notar que X 3 = 5 X 2 . Portanto, existe uma colinearidade PERFEITA 
entre X 2 e X 3 , pois o coeficiente de correlação r23 é igual a 1. A variável X
*
3
 foi 
criada a partir de X 3 somando a ele os seguintes números que foram tirados de uma 
tabela de números aleatórios: 2, 0, 7, 9,2. Neste caso, já não existe colinearidade perfeita 
entre X 2 e X
*
3
. Porém, as duas variáveis estão estreitamente correlacionadas porque 
os cálculos mostrarão que o coeficiente de correlação entre elas é de 0,9959 (MAS NÃO 
É PERFEITA). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) explique o que significa o “DIAGRAMA DE VENN”. 
 236 
 
É um diagrama que serve para explicar de forma sucinta a questão da 
multicolinearidade. Na figura acima, Y, X2 e X3 representam as variações de Y (variável 
dependente) e X2 e X3 (variáveis explicativas). O grau de colinearidade pode ser medido 
pelo tamanho da área sombreada entre X2 e X3. A colinearidade, como a definimos, se 
refere apenas as relações lineares entre as variáveis X (explicativas). Ela NÃO exclui 
relações não lineares entre elas. Por exemplo, vejamos o modelo abaixo: 
uXXXY iiiii ++++=
3
3
2
210
 
Sendo: 
Y = custo de produção; X = produção; As variáveis produção ao quadrado e 
produção ao cubo estão relacionadas à X, MAS a relação NÃO é LINEAR. Ou seja, em 
termos rigorosos NÃO desrespeitam a premissa de ausência de multicolinearidade. 
4) Por que o modelo de regressão linear clássico pressupõe a ausência de 
multicolinearidade entre os X? 
Por que se a multicolinearidade for perfeita, os coeficientes da regressão das 
variáveis X são INDETERMINADOS e seus ERROS-PADRÃO INFINITOS. Se a 
multicolinearidade for menos que perfeita, os coeficientes da regressão, embora 
determinados, terão GRANDES ERROS-PADRÃO (em relação aos próprios 
coeficientes), o que significa que os coeficientes NÃO podem ser estimados com grande 
precisão. 
5) Quais são as fontes da multicolinearidade? 
 237 
a) método de coleta de dados (amostragem de uma faixa limitada de valores pelos 
regressores da população). 
b) restrições do modelo ou da população amostrada. Por exemplo, na regressão do 
consumo de energia elétrica contra a renda (X2) e o tamanho da residência (X3), existe 
uma restrição física na população, já que famílias com rendas mais altas em geral moram 
em imóveis maiores. 
c) modelo superdimensionado. Ocorre quando o número de variáveis explicativas 
do modelo é maior que o número de observações (exemplo de pesquisas médicas, quando 
há um pequeno número de pacientes a respeito dos quais se coleta grande número de 
variáveis). 
d) tendência comum entre os regressores. Ou seja, todos eles aumentam ou 
diminuem ao longo do tempo. Por exemplo, nas regressões de despesas de consumo sobre 
a renda, a riqueza e a população, os regressores renda, riqueza e população podem estar 
evoluindo mais ou menos à mesma taxa, gerando colinearidade entre estas variáveis. 
6) análise a questão da estimação na presença de multicolinearidade PERFEITA 
e demonstre por que seus erros-padrão são infinitos. 
Usando o modelo de estimação com três variáveis na sua forma de desvio (em que 
todas as variáveis são expressas como desvios de suas médias amostrais) como segue 
abaixo: 
y
i
 = 
^
2 x i2 + 
^
3 x i3 + ui 
Buscando no capítulo 7, temos: 
  
   
−
−
=
)
2
32
2
3
2
2
323
2
32^
2
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii 
  
   
−
−
=
)
2
32
2
3
2
2
322
2
23^
3
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii 
Supondo que XX ii 23 = , onde  é uma constante diferente de zero, 
substituindo na primeira das equações acima, obtemos: 
 
  
   
−
−
=
)
22
2
22
2
22
2
2
22
2
2
2
2^
2
())((
))(())((
xxx
xxyxxy
iii
iiiiii




 = 
0
0
. 
 238 
Que é uma expressão indeterminada (o mesmo ocorre para 
^
3
). 
Sabendo que 
^
2
 nos dá a taxa de variação do valor médio de Y quando X2 varia 
de uma unidade, mantendo constante X3. Porém, se X2 e X3 forem perfeitamente 
colineares, NÃO HÁ MODO DE MANTER X3 CONSTANTE. Quando X2 variar, X3 
também o fará, de um fator  . Ou seja, NÃO há como forma de isolar as influências de 
X2 e X3 na amostra dada (não se consegue isolar os efeitos parciais de cada X sobre a 
variável dependente – o que se busca na econometria). 
7) analise a questão da estimação na presença de multicolinearidade ALTA, MAS 
NÃO PERFEITA? 
Voltando ao modelo de três variáveis no formato de desvio: 
y
i
 = 
^
2 x i2 + 
^
3 x i3 + ui 
Em lugar de multicolinearidade perfeita podemos ter: 
x i3 =  x i2 + vi 
Onde: 
  0 e vi é o termo de erro estocástico tal que  = 02 vx ii . 
Lembrando que no diagrama de Venn as figuras b a d mostravam casos de 
colinearidade não perfeita. 
Neste caso, a estimação dos coeficientes de regressão 
^
2
 e 
^
3
 pode ser 
possível. Por exemplo, substituindo x i3 =  x i2 + vi em 
  
   
−
−
=
)
2
32
2
3
2
2
323
2
32^
2
())((
))(())((
xxxx
xxxyxxy
iiii
iiiiiii , obtemos: 
  
   
−+
+−+
=
)
22
2
22
2
22
2
2
22
2
2
2
2^
2
())((
))(())((
xvxx
xvyxyvxxy
iiii
iiiiiiiii




 
Uma expressão similar pode ser calculada para 
^
3
. 
Neste caso, não há razão a priori para crer que 
^
2
 não possa ser estimado. 
8) O que Gujarat afirma em relação existência de multicolinearidade alta e as 
premissas que embasam o modelo clássico de regressão linear? 
 239 
Que se as premissas que embasam tal modelo forem satisfeitas, embora exista 
multicolinearidade alta, os estimadores de MQO ainda assim serão os melhores 
estimadores lineares não tendenciosos (já que a quase multicolinearidade por si só não 
viola as demais premissas do modelo de regressão linear clássico). O único efeito da 
multicolinearidade será dificultar a obtenção de estimativas dos coeficientes com erros-
padrão pequenos. Mas, um pequeno número de observações também provoca o mesmo 
efeito – MICRONUMEROSIDADE. E que tanto em relação ao problema da quase 
multicolinearidade quanto da micronumerosidade não resta nada a fazer por parte do 
econometrista, já que estes são os dados que dispõe. 
9) Quais são as 5 conseqüências práticas da multicolinearidade? 
a) Embora sejam os melhores estimadores lineares não viesados, os estimadores 
de MQO têm grande variância e covariância, tornando difícil uma estimação exata. 
b) Por causa da conseqüência a, os intervalos de confiança tendem a ser muito 
mais amplos, facilitando a aceitação “da hipótese nula igual a zero” (que o coeficiente 
populacional verdadeiro seja igual a zero). 
c) Também como conseqüência da letra a, a razão “t” de um ou mais coeficientes 
tende a ser estatisticamente não significativo. 
d) Embora a razão “t” de um ou mais coeficientes tenda a ser estatisticamente não 
significativa, R
2
 pode sermuito alto. 
e) Os estimadores de MQO e seus erros-padrão podem ser sensíveis a pequenas 
alterações nos dados. 
9) Analise a questão das grandes variâncias e covariâncias dos estimadores de 
MQO. 
Recordando que para o modelo y
i
 = 
^
2 x i2 + 
^
3 x i3 + ui , as variâncias e 
covariâncias de 
^
2
 e 
^
3
 são dadas por: 
 −
=
)1(
)var(
2
3.2
2
2
2
^
2
rx i
 
 
 −
=
)1(
)var(
2
3.2
2
3
2
^
3
rx i
 
 240 
 −
−
=
xxr
r
ii
2
3
2
2
2
3.2
2
3.2
^
3
^
2
)1(
),cov(
 
Onde: r 3.2 = coeficiente de correlação entre X 2 e X 3 . 
A partir das equações acima pode se perceber que à medida que r 3.2 tende para 1 
(aumenta a colinearidade), as variâncias dos dois estimadores aumentam e no limite, 
quando r 3.2 = 1, são infinitas. Além disso, quando r 3.2 tende para 1, a covariância dos 
dois estimadores também aumenta em valor absoluto. 
10) Qual a formula e para que serve a chamada FIV – Fator de Inflação de 
Variância -? 
Serve para descobrir a velocidade com que as variâncias e covariâncias aumentam. 
FIV = 
)1(
1
2
3.2r−
 
O FIV mostra como a variância de um estimador é INFLADO pela presença da 
MULTICOLINEARIDADE. A medida que r
2
3.2
 se aproxima de 1, o FIV se aproxima do 
infinito. Se NÃO EXISTIR COLINEARIDADE entre X2 e X3, FIV será IGUAL A 1. 
11) Qual é o GRANDE INDÍCIO DE MULTICOLINEARIDADE? 
Valores “t” insignificantes, mas um R
2
 alto (e valor “F” significativo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Analise em um exemplo ilustrativo a questão da multicolinearidade. 
Analisando a questão do consumo, renda e riqueza conforme a tabela abaixo: 
Tabela 10.5 Dados hipotéticos de despesas de consumo,renda e riqueza. 
Y = Consumo, US$. 
X2 = Renda, US$. 
 241 
X3 = Riqueza, US$. 
 Y X2 X3 
70 80 810 
65 100 1009 
90 120 1273 
95 140 1425 
110 160 1633 
115 180 1876 
120 200 2052 
140 220 2201 
155 240 2435 
150 260 2686 
 
Se pressupomos que as despesas de consumo se relacionam de forma linear com 
a renda e a riqueza obtemos o seguinte modelo. 
Y i =  1 +  2 X i2 +  3 X i3 
. reg y x2 x3 
 
 
Y i = 24,7747 + 0,9415 X i2 - 0,0424 X i3 
Ep = (6,7525) (0,8229) (0,0807) 
T = (3,67) (1,14) (-0,53) R
2
 = 0,9635 
A regressão acima mostra que a renda e a riqueza explicam em conjunto 96 % da 
variação nas despesas de consumo, embora nenhum dos dois coeficientes angulares sejam 
significativos individualmente (razões “t” muito baixas). Além disso, a variável riqueza 
também apresenta o sinal TROCADO (já que a priori se espera uma relação positiva entre 
consumo e riqueza). 
Embora 
2
 e 
3
 sejam INDIVIDUALMENTE não significativos, se testarmos 
a hipótese conjunta de que 
2
 = 
3
 = 0 simultaneamente, essa hipótese pode ser 
rejeitada (já que o “F” calculado de 92,40 é muito alto). 
Assim, como já destacado anteriormente, quando a COLINEARIDADE É ALTA, 
o “F” calculado É ALTO, embora os valores “t” de X2 e X3 sejam individualmente 
pequenos. 
 
 _cons 24.77473 6.7525 3.67 0.008 8.807609 40.74186
 x3 -.0424345 .0806645 -0.53 0.615 -.2331757 .1483067
 x2 .9415373 .8228983 1.14 0.290 -1.004308 2.887383
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 8890 9 987.777778 Root MSE = 6.808
 Adj R-squared = 0.9531
 Residual 324.445926 7 46.349418 R-squared = 0.9635
 Model 8565.55407 2 4282.77704 Prob > F = 0.0000
 F( 2, 7) = 92.40
 Source SS df MS Number of obs = 10
 242 
Isto indica que as duas variáveis estão tão correlacionadas que é IMPOSSÍVEL 
isolar o efeito INDIVIDUAL seja da renda, seja da riqueza sobre o consumo. 
Ao fazer a regressão da riqueza contra a renda, obtemos: 
. reg x3 x2 
 
Que mostra uma COLINEARIDADE QUASE-PERFEITA (0,9979) entre X2 e 
X3. 
Vejamos agora, o que ocorre com a regressão do consumo (Y) contra apenas a 
renda (X2): 
. reg y x2 
 
Antes a variável renda era NÃO significativa (1,14), agora passa a ser altamente 
significativa (14,24). 
Se, por outro lado, fizermos a regressão de consumo (Y) contra a riqueza (X3), 
obteremos: 
 
 
 
 
 
 
 
. reg y x3 
 
 
 
 
 _cons 7.545455 29.47581 0.26 0.804 -60.42589 75.5168
 x2 10.19091 .1642623 62.04 0.000 9.81212 10.5697
 
 x3 Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 3434326 9 381591.778 Root MSE = 29.84
 Adj R-squared = 0.9977
 Residual 7123.27273 8 890.409091 R-squared = 0.9979
 Model 3427202.73 1 3427202.73 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 8) = 3849.02
 Source SS df MS Number of obs = 10
 
 _cons 24.45455 6.413817 3.81 0.005 9.664256 39.24483
 x2 .5090909 .0357428 14.24 0.000 .4266678 .591514
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 8890 9 987.777778 Root MSE = 6.493
 Adj R-squared = 0.9573
 Residual 337.272727 8 42.1590909 R-squared = 0.9621
 Model 8552.72727 1 8552.72727 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 8) = 202.87
 Source SS df MS Number of obs = 10
 
 _cons 24.41104 6.874097 3.55 0.007 8.559349 40.26274
 x3 .0497638 .003744 13.29 0.000 .0411301 .0583974
 
 y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 8890 9 987.777778 Root MSE = 6.9383
 Adj R-squared = 0.9513
 Residual 385.123344 8 48.1404181 R-squared = 0.9567
 Model 8504.87666 1 8504.87666 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 8) = 176.67
 Source SS df MS Number of obs = 10
 243 
 É possível ver que agora a riqueza apresenta uma influência significativa (“t” 
igual a 13,29) sobre o consumo, enquanto antes não exercia qualquer efeito. 
13) Então, o que basicamente é “MULTICOLINEARIDADE”? 
Um fenômeno amostral, que surge da grande quantidade de dados NÃO 
EXPERIMENTAIS COLETADOS na maior parte das ciências sociais – NÃO existe um 
único meio de detectá-la ou medir sua força. 
14)