Aula 1- definições básicas 1 - introdução - PVI - Modelagem - autônomas

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOS)
São usadas diferentes abordagens para o estudo de
equações diferenciais.
DEFINIÇÕES BÁSICAS
Uma equação diferencial (ED) é qualquer
equação que contenha derivadas, sejam
derivadas comuns ou derivadas parciais.
' yy
t
= →
dy y
dt t
=
A derivada da função é igual a função dividida pelo tempo (variável ind.).
( ) ( )' y ty t
t
=
Outras formas de escrever a mesma equação:
Exemplo:
Uma ED é classificada por:
• TIPO
• ORDEM
• LINEARIDADE
Se uma equação diferencial contiver apenas derivadas de
uma ou mais funções desconhecidas em relação a uma
única variável independente, diz-se que é uma equação
diferencial ordinária (EDO).
Exemplo:
Por tipo:
xdy y e
dx
− =
2
2 5 2 cos
d y dy y t
dt dt
− + =Exemplo:
Variável dependente
x: Variável independente
y(x): função desconhecida
Uma equação envolvendo derivadas parciais de uma ou
mais funções desconhecidas de duas ou mais variáveis
independentes é chamada de equação diferencial
parcial (EDP).
02
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
y
u
Exemplo:
Por tipo:
Obs.: Aqui ∂ é um d arredondado. É o símbolo para a derivada
parcial. Para distingui-la da letra d, ∂ às vezes é pronunciado
"del" ou "parcial“.
A ordem de uma equação diferencial é a maior derivada
presente na equação diferencial.
Exemplo: primeira ordemx
dy y e
dx
− = →
2
2 5 2 cos segunda ordem
d y dy y t
dt dt
− + = →
32
4
2 2 1 segunda ordem
d y dy y
dx dx
 
− + = → 
 
Por Ordem: 
Exemplo:
Exemplo:
( ) ( )( )1, ,..., ', , 0n nF y y y y t− =
Pode-se expressar uma EDO de ordem n em uma variável
dependente na forma geral:
Onde F é uma função de valores reais de n+2 variáveis.
Obs.:
Tem-se: ( ) ( )( )1 ,..., ', ,n ny f y y y t−=
Onde f é uma função contínua de valores reais, conhecida
como forma normal.
Obs.: Usaremos a notação:
( ),dy f x y
dx
= EDO geral de primeira ordem
( )
2
2 , , '
d y f x y y
dx
= EDO geral de segunda ordem
( ),dy f t y
dt
=
Uma equação diferencial linear é qualquer equação
diferencial que pode ser escrita da seguinte forma.
1
1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )
n n
n na t y t a t y t a t y t a t y t g t
−
−+ + + + =
Por Linearidade: 
Obs.:
1 0( ) '( ) ( ) ( ) ( )a t y t a t y t g t+ =
2 1 0( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )a t y t a t y t a t y t g t+ + =
ED linear de primeira ordem
ED linear de segunda
ordem
Obs.: nas equações diferenciais lineares não há produtos
da função y(t), e suas derivadas e nem a função ou suas
derivadas ocorrem a qualquer potência que não seja a
primeira potência.
Exemplo: lineart
dy y e
dt
− = →
2
2
2 5 2 cos( ) linear
d y dy t y t
dt dt
− + = →
2 0 lineardy t
dt
+ = →Exemplo:
Exemplo:
32
2 1 não linear
d y dy y
dx dx
 
− + = → 
 
Exemplo:
'' 0 não lineary sen y+ = →
2' 0 não lineary y+ = →
Obs.: funções não lineares da variável dependente ou de
suas derivadas, são EDO não linear.
Exemplo:
Exemplo:
Qualquer função φ, definida em um intervalo I e
possuindo pelo menos n derivadas contínuas em I, que
quando substituída em uma equação diferencial
ordinária de n-ésima ordem reduz a equação a uma
identidade, é chamada de solução da equação no
intervalo.
SOLUÇÃO DE UMA EDO
Exemplo: Dada a equação diferencial , verificar se é
uma solução. 
' ty e−= −
dy y
dt
+ =Substituindo:
Sol.:: ( )Aplicar a regra cad( a) eity t e−= →
0t te e− −− + =
0 0=
0dy y
dt
+ = ( ) ty t e−=
Derivando:
' 'u uy e y e u= → = ⋅
Highlight
Highlight
xy x e= ⋅
Substituindo:
( )Aplicar a regra do produtoxy x e= ⋅ →
'' x x xy e e x e= + + ⋅
( ) ( ) ( )2 2 0x x x x xe x e e x e x e+ ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
2 2 2 2 0x x x xe x e e x e+ ⋅ − − ⋅ =
0 0=
'' 2 ' 0y y y− + =Exemplo: Verificar se é solução da 
Sol.::
Derivando
' 1 x xy e x e= ⋅ + ⋅ →
'' 2 ' 0y y y− + =
' ' 'y u v y u v u v= ⋅ → = ⋅ + ⋅
CURVA INTEGRAL
O gráfico de uma solução φ de uma EDO é chamado de curva
solução (curva integral).
Como φ é uma função diferenciável, ela é contínua em seu
intervalo de definição I.
Assim, pode haver uma diferença entre o gráfico da função φ e o
gráfico da solução φ.
Dito de outra forma, o domínio da função φ não precisa ser o
mesmo que o intervalo I de definição (ou domínio) da solução φ.
Exemplo: a solução de ' 0xy y+ = é: ( )1 , 0,y x= ∞
Tem-se a função 
1 , 0y x
x
= ≠
Tem-se a solução 
1 , 0y x
x
= >
Sol.::
SOLUÇÃO IMPLÍCITA DE UMA EDO
Diz-se que uma relação G(x,y)=0 é uma solução implícita
de uma EDO, em um intervalo I, quando existe pelo
menos uma função φ que satisfaça a relação, bem como a
equação diferencial em I.
Exemplo: a relação é solução implícita da ED no
intervalo
2 2 25x y+ = '
xy
y
= −
5 5.x− < <
2 2 25d d dx y
dx dx dx
+ = →Tem-se: 2 2 0dyx y
dx
+ = →
dy x
dx y
= −
Solução implícita Solução explícita
2
1 25 , 5 5y x x= − − < <
Solução explícita
2
2 25 , 5 5y x x= − − − < <
2 2 25x y+ =
Sol.::
Highlight
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES 
Ao resolver uma equação diferencial de primeira ordem F(x, y, y’)=0,
geralmente obtemos uma solução contendo uma única constante
ou parâmetro c.
Uma solução de F(x, y, y’)=0 contendo uma constante c é um
conjunto G(x, y, c)=0 de soluções chamado família de soluções a
um parâmetro.
Exemplo: a família a um parâmetro é uma solução explicita
da equação linear de primeira ordem no intervalo2'xy y x sen x− =
cosy cx x x= −
( ),−∞ ∞
O gráfico de algumas soluções particulares desta família para várias escolhas
de c.
Obs.: A solução de uma equação diferencial que não dependa de parâmetros
arbitrários é chamada solução particular.
A solução é a solução particular correspondente a c=0. (gráfico
azul)
cosy x x= −
PVI DE 1ª ORDEM
( )
( )0 0
Resolver: ,
Sujeito a: 
dy f x y
dx
y x y
=
=
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
PVI DE 2ª ORDEM
( )
( ) ( )
2
2
0 0 0 1
Resolver: , , '
Sujeito a: , '
d y f x y y
dx
y x y y x y
=
= =
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0 0 0 1 0 1
Resolver: , , ',...,
Sujeito a: , ' ,...,
n
n
n
n
n
d y f x y y y
dx
y x y y x y y x y
−
−
−
=
= = =
Onde:
0 1 1, ,..., sãoconstantes reais especificadasny y y −
( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 1 0 1, ' ,..., sãoas condições iniciasn ny x y y x y y x y− −= = =
Exemplo: Seja solução da equação diferencial:
( )' , 0 3y y y= =
( )' , 1 2y y y= = −
'y y=
Sol.:
xy ce=
Obs.: As palavras condições iniciais derivam de sistemas
físicos onde a variável independente é o tempo t e onde
y(t0)=y0 e y'(t0)=y1 representam a posição e a velocidade,
respectivamente, de um objeto em algum tempo inicial t0.
Exemplo: Seja cuja solução a dois parâmetros é: 
Encontre uma solução para o PVI que consiste na ED e nas seguintes 
condições:
1 2
x xy c e c e−= +
( ) ( )'' 0, 1 0 ' 1y y y y e− = = =
'' 0,y y− =
Impondo a condição: ( ) ( )1 2 , 1 0x xy x c e c e y−= + = → 1 11 20 c e c e−= +
Impondo a condição: ( ) ( )1 2 1 2' ' 1x x x xy x c e c e y c e c e y e− −= + → = − → = → 1 11 2e c e c e−= −
1 1
1 2
1 1
1 2
0e c e c
e c e c e
−
−
 + =

− =
Resolvendo o sistema: 
2
1 2
1 1,
2 2
c c e= = −
1 2
x xy c e c e−= + →logo: 2
1 1
2 2
x xy e e e−= − → 21 1
2 2
x xy e e −= −
Sol.:
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES
UNICIDADE: Quando podemos estar certos de que existe precisamente
uma curva integral passando pelo ponto (x0 ,y0 )?
EXISTÊNCIA: A Equação Diferencial (dy/dx) = f(x, y) possui soluções?
Quaisquer das soluções passam pelo ponto (x0 ,y0 )?
Forma normal
Teorema:
Graficamente:
( )
( )0 0
Resolver: ,
Sujeito a: 
dy f x y
dx
y x y
=
=
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤
d que contém o ponto (x0 ,y0 ).
Se f(x, y) e ∂f/∂y são contínuas em R, então existe algum intervalo
I0:x0-h<x<x0+h, h>0, contido em a ≤ x ≤ b, e uma única função y(x),
definida em I0, que é uma solução do problema de valor inicial.
Exemplo: Determine a região do plano xy na qual a ED
tenha uma únicasolução, cujo gráfico passe pelo ponto (x0,y0) nessa
região.
( )3 21 'y y x+ =
( )3 21 'y y x+ = →
( )
2 2
23
3
1
f x y
y y
∂ −
=
∂ +
( )
2
3, 1
xf x y
y
= →
+
Assim, a equação diferencial terá uma única solução em qualquer
região onde 1y ≠ −
x é uma constante
( ) ( ) 12 3, 1f x y x y −= + →
Sol.:
Highlight
Highlight
E.D. COMO MODELOS MATEMÁTICOS
Frequentemente o comportamento de sistemas ou
fenômenos da vida real, sejam eles físicos, químicos,
econômicos, biológicos, entre outros, são descritos em
termos matemáticos.
Tal descrição matemática é chamado de modelo
matemático.
Comportamento de algum
sistema ou fenômeno
da vida real
Modelo Matemático
Construção de um modelo matemático:
Passo 1: Identificação das variáveis
Passo 2: Fazemos algumas suposições razoáveis (leis físicas)
A construção de um modelo matemático de um sistema começa
com:
(i) identificação das variáveis responsáveis pela alteração do
sistema.
Podemos optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo
em um primeiro momento. Nesta etapa estamos especificando o
nível de resolução do modelo.
A construção de um modelo matemático de um sistema começa
com:
(ii) fazemos um conjunto de suposições razoáveis, ou hipóteses,
sobre o sistema que estamos tentando descrever.
Essas suposições também incluirão quaisquer leis empíricas que
possam ser aplicáveis ao sistema.
É claro que, ao aumentar a resolução, aumentamos a
complexidade do modelo matemático e aumentamos a
probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita da
equação diferencial.
Suposições Expressar em termos de ED Formulação Matemática
Resolver as EDs
Obter soluções
Verifique as previsões 
do modelo com 
fatos conhecidos
Escrevas as soluções
Exibir graficamente
Se
 n
ec
es
sá
rio
, 
al
te
re
 a
s s
up
os
iç
õe
s
ETAPAS DA MODELAGEM
Obs.:
Como as suposições feitas sobre um sistema
frequentemente envolvem uma taxa de variação de uma ou
mais das variáveis, a representação matemática de todas
essas suposições pode ser uma ou mais equações
envolvendo derivadas.
Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma
equação diferencial ou um sistema de equações
diferenciais.
DINÂMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelar o crescimento da
população humana por meio da matemática foi feita pelo clérigo e
economista inglês Thomas Malthus (1766-1834) em 1798.
Basicamente, a ideia por trás do modelo malthusiano é a suposição
de que a taxa na qual a população de um país cresce em um
determinado momento é proporcional à população total do país
naquele momento.
Em outras palavras, quanto mais pessoas houver no momento t,
mais haverá no futuro.
DINÂMICA POPULACIONAL
Em termos matemáticos, se P(t) denota a população total no tempo
t, então esta suposição pode ser expressa como:
dP P
dt
∝
dP kP
dt
=
proporcional à
onde k é uma
constante de
proporcionalidade.
Populações que crescem a uma taxa descrita por esta equação são raras;
No entanto, ainda é usada para modelar o crescimento de pequenas
populações em curtos intervalos de tempo (bactérias crescendo em uma placa
de Petri, por exemplo).
Exemplo: Sob as mesmas hipóteses subjacentes ao modelo
apresentado:
Determine a equação diferencial que governa o crescimento
populacional P(t) de um país quando os indivíduos têm autorização
para imigrar a uma taxa constante r > 0.
dP kP r
dt
= +
dP kP r
dt
= −
Qual é a equação diferencial quando os indivíduos têm autorização
para emigrar a uma taxa constante r > 0?
Sol.:
Sol.:
LEI DO RESFRIAMENTO/AQUECIMENTO DE NEWTON
De acordo com a lei empírica de resfriamento/aquecimento de
Newton, a taxa na qual a temperatura de um corpo muda é
proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a
temperatura ambiente.
Onde: T(t) representa a temperatura de um corpo no tempo t, Tm a temperatura
ambiente e dT/dt a taxa na qual a temperatura do corpo muda.
m
dT
dt
∝ Τ−Τ
proporcional à
( )m
dT k
dt
= Τ−Τ
onde k é uma
constante de
proporcionalidade.
Exemplo: Uma xícara de café esfria de acordo com a lei do
esfriamento de Newton. Use os dados do gráfico de temperatura T(t),
para estimar as constantes Tm, T0 e k em um modelo da forma de um
problema de valor inicial de primeira ordem:
( ) ( ) 0, 0m
dT k T T T T
dt
= − =
minutos
A partir do gráfico, estimamos:
0 180 e 75mT T= ° = °
Observamos que quando: 85T = °
1dT
dt
≈ −
( )1 85 75k− = −
0,1k = −
Sol.:
PROPAGAÇÃO DE UMA DOENÇA
Uma doença contagiosa – por exemplo, um vírus da gripe – é espalhada por
toda a comunidade por pessoas que entram em contato com outras
pessoas.
Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t) o número de
pessoas que ainda não foram expostas.
Parece razoável supor que a taxa dx/dt na qual a doença se espalha é
proporcional ao número de encontros, ou interações, entre esses dois
grupos de pessoas.
PROPAGAÇÃO DE UMA DOENÇA
Se assumirmos que o número de interações é conjuntamente
proporcional a x(t) e y(t)—isto é, proporcional ao produto xy—
então:
dx k x y
dt
= ⋅ ⋅
onde k é uma constante de proporcionalidade.
Exemplo: Suponha que um estudante portador de um vírus da gripe retorne
a um campus universitário fechado com 1000 alunos.
Determine uma equação diferencial para o número de pessoas x(t) que
contrairão a gripe, se a taxa de propagação da doença for proporcional ao
número de interações entre o número de alunos que têm gripe e o número de
alunos que ainda não foram expostos ao vírus.
Tem-se que o número de alunos com gripe é: x
E o número de não infectados (y) é: 1000-x
( )1000dx k x x
dt
= ⋅ ⋅ −
dx k x y
dt
= ⋅ ⋅ →
Sol.:
PROPAGAÇÃO DE UMA DOENÇA
Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população de n
pessoas.
Se uma pessoa infectada é introduzida nesta comunidade, então pode-se
argumentar que x(t) e y(t) estão relacionados por x + y = n + 1.
Que nos dá o modelo:
( )1dx k x n x
dt
= ⋅ ⋅ + −
Uma condição inicial que acompanha a equação diferencial é x(0)=1.
CIRCUITOS EM SÉRIE (RLC)
De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada
E(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de
voltagem na malha.
As letras L, R e C são conhecidas como indutância, resistência e
capacitância, respectivamente, e geralmente são constantes.
CIRCUITOS EM SÉRIE 
A corrente em um circuito depois que uma chave é fechada é denotada por i(t);
A carga de um capacitor no instante t é denotada por q(t).
A Figura mostra os símbolos e as fórmulas para as respectivas quedas de 
tensão em um indutor, um capacitor e um resistor. 
Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no
capacitor por i = dq/dt, tem-se:
2
2
di d qL L
dt dt
=
somando das voltagens aplicadas e igualando a soma à
tensão impressa produz uma equação diferencial de
segunda ordem:
dqiR R
dt
=
1 q
C
indutor resistor
capacitor
( )
2
2
1d q dqL R q E t
dt dt C
+ + =
Exemplo: Um circuito em série contém um resistor e um capacitor como
mostrado na Figura. Determine uma equação diferencial para a carga q(t) no
capacitor se a resistência for R, a capacitância for C e a voltagem aplicada for
E(t).
dqiR R
dt
=
1 q
C
resistor capacitor
Temos:
( )1dqR q E t
dt C
+ =
De acordo com a segunda lei
de Kirchhoff, a voltagem
aplicada E(t) em uma malha
fechada deve ser igual à
soma das quedas de
voltagem na malha.
Sol.:
CAMPOS DIRECIONAIS
ALGUMAS QUESTÕES FUNDAMENTAIS
Vimos que sempre que dy/dx e ∂f/∂y satisfazem certas condições de
continuidade, questões qualitativas sobre existência e unicidade de soluções
podem ser respondidas.
𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑓𝑓 𝑑𝑑,𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝑓𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓.
Lembrando do conceito de cálculo:
Forma normalA inclinação da reta tangente em (x, y(x)) sobre uma curva integral é o
valor da primeira derivada dy/dx neste ponto, e sabemos que este é o
valor da função inclinação f(x, y(x)).
Exemplo: 0, 2dy x y
dx
= ⋅ ⋅ → ( ), 0, 2f x y x y= ⋅ ⋅ →
Inclinação =1,2
( )2,3 1,2f =
Elemento linear em um ponto Elemento linear é tangente à curva integral
que passa pelo ponto
Curva integral
o elemento linear é
uma reta tangente em
miniatura nesse ponto.
Se avaliarmos sistematicamente f sobre uma malha retangular de
pontos no plano xy e desenharmos um elemento linear em cada
ponto (x,y) da grade com inclinação f(x,y), então a coleção de todos
esses elementos de linha é chamado de campo de direção ou
campo de inclinação da equação diferencial dy/dx = f(x,y).
Visualmente, o campo de direção sugere a aparência ou a forma de
uma família de curvas integrais da equação diferencial.
( ), 0, 2f x y x y= ⋅ ⋅
campo direcional Algumas curvas de
solução na família
20,1xy ce=
Observações:
Esboçar um campo direcional à mão é simples, mas demorado; é
provavelmente uma daquelas tarefas sobre as quais se pode
argumentar para realizá-la uma ou duas vezes na vida, mas em
geral é realizada com mais eficiência por meio de software de
computador.
A interpretação da derivada dy/dx como função que dá inclinação
desempenha o papel fundamental na construção de um campo
de direção.
Outra propriedade reveladora da primeira derivada, é: se
(dy/dx) > 0 (ou (dy/dx) < 0) para todo x em um intervalo I, então
uma função diferenciável y = y(x) é crescente (ou decrescente) em
I.
Crescente/decrescente
EDS AUTÔNOMAS DE 1ª ORDEM
Exemplo:
( ), 0, 2dyf x y x y
dx
= = ⋅ ⋅
( ) 21dyf y y
dx
= = + Autônoma
Não Autônoma
É toda equação diferencial na qual a variável independente não
aparece explicitamente, ou seja, sua forma normal é: ( )dy f y
dx
=
Obs.: Muitas equações diferenciais encontradas em aplicações ou
equações que são modelos de leis físicas que não variam ao longo do
tempo são autônomas.
Exemplo: ( )m
dT k T T
dt
= − Lei esfriamento de Newton
( )1dx kx n x
dt
= + − Disseminação de uma doença
PONTOS CRÍTICOS
𝑆𝑆𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑓𝑓 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑 é 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑓𝑓𝑑𝑑𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑢𝑢𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑢𝑢𝑟𝑟𝑎𝑓𝑓𝑓𝑓𝑢𝑢𝑑𝑑.
Dizemos que um número real c é um ponto crítico da equação diferencial autônoma se for
um zero de f , isto é, f (c)=0.
Um ponto crítico também é chamado de ponto de equilíbrio ou ponto estacionário.
Pode-se dizer quando uma solução não constante y=y(x) de (dy/dx)=f(y) é crescente ou
decrescente determinando o sinal algébrico da derivada dy/dx;
dy/dx>0 crescente
dy/dx<0 decrescente
No caso de (dy/dx)=f(y), fazemos isso identificando intervalos no eixo y sobre os quais a
função f (y) é positiva ou negativa.
Exemplo:
A equação diferencial , onde a e b são positivos e constantes, tem a
forma normal:
( )dP P a bP
dt
= −
( )dP f P
dt
= →
Autônoma
0 e são pontos críticos,a
b
( ) ( )0 e sãoassoluções deequilíbrioaP t P t
b
= =
( ) ( ) 0f P P a bP= − = →
Retrato de fase do ED
Intervalo Sinal de f(P) P(t) Seta
(−∞,0) Subtração Decrescente Aponta para baixo
(0, a/b) Adição Crescente Aponta pra cima
(a/b,∞) Subtração Decrescente Aponta para baixo
𝐴𝐴 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑡𝑡𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 é 𝑑𝑑𝑐𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑟𝑟
= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 − 𝑠𝑠𝑑𝑑
𝐴𝐴𝑎𝑎 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑓𝑓 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑎𝑎
𝑑𝑑, 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢𝑠𝑠𝑎𝑢𝑢, 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑓𝑓𝑑𝑑𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑟𝑟 é 𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊
𝑓𝑓𝑢𝑢 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔𝒊𝒊 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓
aP-bP²
EDS AUTÔNOMAS: CURVAS INTEGRAIS
decrescente 
crescente 
decrescente 
Reta de fase Plano tP
( )dP P a bP
dt
= −
ATRATORES E REPULSORES
𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑝𝑝𝑓𝑓𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑢𝑢𝑝𝑝𝑓𝑓𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓):
𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝐴𝐴𝑢𝑢𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝒊𝒊𝒔𝒔𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄)
𝐼𝐼𝑓𝑓𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝐴𝐴𝑢𝑢𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑎𝑎𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝒄𝒄𝒊𝒊𝒓𝒓𝒓𝒓𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂𝒄𝒄)
𝑺𝑺𝒊𝒊𝑺𝑺𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔𝑑𝑺𝑺𝒊𝒊𝒊𝒊 → 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑
O ponto crítico c é um atrator em (a),
um repulsor em (b), e semiestável em
(c) e (d).
Atrator
Repulsor
Semiestável
Semiestável
Exemplo: Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial
autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico como
assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce curvas de solução
típicas nas regiões do plano xy determinadas pelos gráficos das soluções de
equilíbrio.
2 3dy y y
dx
= −
Do retrato de fase vemos que 0 é assintoticamente estável (atrator) e 3 é
instável (repulsor).
2Resolvendo: 3 0y y− = → obtem-seos pontos críticos 0e3
3
0
Sol.:
Atrator
Repulsor
Exemplo: A equação diferencial é um modelo
populacional bem conhecido.
Suponha que a ED seja alterada para: ( )dP P aP b
dt
= −
onde a e b são constantes positivas. Discuta o que acontece com a 
população P à medida que o tempo t aumenta.
( )dP P a bP
dt
= −
Tem-se os pontos críticos são: 0 e b/a.
( ) ( )0e sãoassoluções deequilíbriobP t P t
a
= =
Sol.:
b/a
0Do retrato de fase, vemos que 0 é atrator e b/a é repulsor.
Atrator
Repulsor
b/a e 0 são os pontos críticos
Highlight
Assim, se uma população inicial satisfaz P0 > b/a, a população se
torna ilimitada à medida que t aumenta.
P(t) ∞ como t T.
Se 0 < P0 < b/a, então a população eventualmente morre.
P(t)  0 como t ∞ .
Como a população P > 0 não consideramos o caso P0 < 0.
b/a
0
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