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Ciências - Física
Física
Ensino Fundamental 2
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Código: 201018480
1111 INTRODUÇÃO À FÍSICA
De: Os Fundamentos da Física Volume 1 Moderna Plus 1
 
2222 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
De: Vereda Digital - Física 19
 
3333 MOVIMENTO UNIFORME (MU)
De: Vereda Digital - Física 35
 
4444 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)
De: Vereda Digital - Física 53
 
5555 LEIS DE NEWTON
De: Vereda Digital - Física 71
 
6666 LEIS DE KEPLER
De: Conexões com a Física - volume 1 91
 
7777 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
De: Conexões com a Física - volume 1 103
 
I
II
INTRODUÇÃO À FÍSICAINTRODUÇÃO À FÍSICAINTRODUÇÃO À FÍSICAINTRODUÇÃO À FÍSICA
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Os Fundamentos da Física Volume 1 Moderna Plus
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Fabio Martins de Leonardo
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Ramalho Junior, Francisco Os fundamentos da física / Francisco Ramalho Junior,
Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio de Toledo Soares. -- 11. ed. -- São Paulo : Moderna, 2015.
Conteúdo: V. 1. Mecânica -- V. 2. Termologia, óptica e ondulatória -- V. 3. Eletricidade e introdução à
física moderna. Bibliogra a. 1. Física (Ensino médio) 2. Física (Ensino médio) - Problemas, exercícios
etc. I. Ferraro, Nicolau Gilberto. II. Soares, Paulo Antônio de Toledo. III. Título. 15-01698 CDD-530.7
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Francisco Ramalho Junior, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio de Toledo
Soares, 2015
 
1
2 Introdução à Física
INTRODUÇÃO GERAL
A Física é dividida em ramos 
(Óptica, Termologia, Acústica, 
Eletricidade, entre outros) para 
que os fenômenos naturais, tão 
variados e numerosos, sejam 
sistematicamente estudados.
 1 A Física
O objetivo da Física é descrever os 
fenômenos que ocorrem na natureza.
 2 Física e Matemática
Os métodos utilizados na Física 
procuram formular leis, princípios 
e estabelecer relações matemáticas 
entre as grandezas envolvidas em um 
fenômeno.
C1: H2
C5: H17
O universo das dimensões
Todos os fenômenos e estruturas da natureza interessam à Física, 
desde as menores partículas do mundo subatômico até as maiores 
estruturas do Universo.
Toda medição científica deve ter registro matemático, o que 
permite comparações. Na sequência a seguir, você verá algumas 
das estruturas da natureza e suas dimensões em metro.
Largura da hélice:
2,2 # 10-9 m
Espessura média:
7,0 # 10-5 m
Molécula de DNA
Ela é 33 mil vezes 
mais fina que um 
fio de cabelo. 
As moléculas 
de DNA de uma 
célula humana, se 
desenroladas e 
alinhadas, podem 
medir até 2 metros 
de comprimento. 
Não é para menos, 
nessas moléculas 
estão guardadas 
todas as nossas 
informações 
biológicas.
Núcleo do hidrogênio
O hidrogênio é o mais abundante 
elemento químico do Universo 
e compõe até o nosso DNA. 
Nem mesmo com os poderosos 
microscópios eletrônicos podemos 
ver objetos da dimensão do 
núcleo de hidrogênio, porque são 
menores que o comprimento de 
onda da luz visível!
Fio de cabelo
Sua espessura se 
aproxima da menor 
medida que o olho 
humano pode ver e 
distinguir. Objetos 
menores que isso só 
puderam ser vistos depois 
da invenção das lupas 
e do microscópio, este 
último no século XVII. 
Diâmetro do núcleo:
1,8 # 10-15 m
2
Diâmetro:
3,5 # 106 m
Altitude:
1,1 # 103 m
A Lua
É o corpo celeste mais próximo da 
Terra, mas está a 384 milhões de metros 
daqui! Galileu Galilei (1564-1642) fez um 
estudo detalhado da Lua. Utilizando um 
telescópio, ele observou características 
do relevo lunar que não poderiam ser 
observadas a olho nu, como montanhas, 
vales, crateras.
O metro
Unidade de medida de comprimento padrão. 
Com essa unidade podemos medir objetos 
muito pequenos e muito grandes, como o 
Morro do Pai Inácio, na Chapada Diamantina, 
que, embora nos pareça grande, é minúsculo 
quando comparado a um corpo celeste 
como a Lua.
Diâmetro:
2,1 # 1021 m 
AnAnAnAndrddrdrômômômmededddaaaa
É ÉÉ aaaa gagagag láláll xixix aa vvivizinhnhhaaaaa dadadd nnosossasa eee eeesttáá
cacacadaddda vvezez mmmaiaiaiiss prprp óxima: AAAAndndndn rrômeedada 
e ee aa ViViVV a LáLáLáááctc eaeae (com 9,9,5 55 ### 1100 2020 mm
deedede ddiâmemem tro)o)o) esttãoãoãoo sse e aprooxiximamando o
a cerca deede 
435 mimiil quqqq ili ômetros por horara!!
MaMaMaM s, deviddo às enormes distâtâncias nono
Univiviversosso,,, asa duas gagaláxias ppoderão
coc liididir dadaquuii a 4 4 bibilhhhõeõess dede anos.
Altura:
1,7 # 100 m
Fontes: HUANG, C.; HUANG, M. The Scale of the Universe. Disponível em: <apod.nasa.gov/apod/
ap120312.html>. Acesso em: 24 fev. 2015. LOEB, A.; COX, T. J. Our galaxy’s date with destruction. 
Astronomy. v. 36, p. 28, jun. 2008. Disponível em: <mod.lk/OMLL6>. Acesso em: 23 fev. 2015.
BARO, A. M.; REIFENBERGER, R. G. (Ed.). Atomic force microscopy in liquid: biological applications. 
Weinheim: Wiley, 2012. p. 234. BRASIL; MEC. Qual é a espessura de um fio de cabelo? Disponível em: 
<mod.lk/LhvNM>. Acesso em: 24 fev. 2015.
Representação meramente ilustrativa e fora de escala. 
As dimensões indicadas são aproximadas.
Para pensar
Com base nos dados apresentados 
no infográfico, compare sua altura 
com a espessura média de um fio 
de cabelo e com o diâmetro da 
nossa galáxia, a Via Láctea.
3
1 A Física
OBJETIVO
 Conhecer o que é a Física, 
qual seu campo de estudo e 
as áreas ou ramos nos quais 
ela se divide.
TERMOS E CONCEITOS
fenômeno
modelo
corpo
átomo
Desde a Antiguidade, o ser humano se preocupa em compreender e explicar 
a formação e a dinâmica do Universo. Interessou-se em explicar, por exemplo, 
o som do trovão, a luz do relâmpago, as diferentes cores que aparecem na 
natureza, como é o movimento da Lua em relação à Terra, como a Terra e os 
demais planetas se movem em relação ao Sol ou como são os movimentos dos 
objetos nas proximidades da superfície terrestre. Todas essas questões, por 
mais diversificadas que sejam, são estudadas pela Física, uma ciência muito 
presente em nossa vida e em nosso cotidiano. A Física é o motivo deste curso.
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 O que é a Física
A palavra física (do grego: physis) significa natureza. Na Física, como 
nas demais ciências, qualquer acontecimento ou ocorrência é chamado 
de fenômeno, ainda que não seja algo extraordinário ou excepcional. 
A simples queda de um lápis é, em linguagem científica, um exemplo 
de fenômeno.
A necessidade do ser humano de compreender o ambiente que o cerca 
e explicar os fenômenos naturais é a gênese da Física. Essa compreensão 
é estabelecida com base em modelos do Universo, criados de acordo com 
o momento em que se encontra o desenvolvimento da ciência.
Precisamos entender a Física não como uma ciência fechada e termi-
nada, mas como um patrimônio de conhecimento em constante mudança. 
Tais mudanças ocorrem quando um determinado modelo, devido ao avanço 
do conhecimento científico, não mais explica de maneira satisfatória os 
fenômenos naturais a que se refere.
Portanto, a Física pode ser definida como uma ciência que busca des crever 
os fenômenos que ocorrem na natureza, prever sua ocorrência e estudar seu 
desenvolvimento. Atualmente, a Física também procura analisara relação 
do ser humano com a natureza. Os fenômenos naturais são tão variados e 
numerosos que os campos de estudo da Física vêm se tornando cada 
vez mais amplos, diversificando-se em muitos ramos.
O desenvolvimento 
tecnológico possibilita 
à humanidade ampliar, 
cada vez mais, o 
conhecimento sobre 
o Universo, como a 
descoberta da galáxia 
em espiral M81.
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* Atribui-se aos elétrons e prótons uma propriedade: a carga elétrica. Convenciona-se como positiva a 
carga elétrica do próton e como negativa a carga elétrica do elétron. Os nêutrons não possuem carga 
elétrica, isto é, são eletricamente neutros. Atualmente, sabe-se que prótons e nêutrons são constituí-
dos de partículas ainda menores, denominadas quarks.
Ramos da Física
O ser humano começou a perceber o mundo por meio dos sentidos: ob-
servou a luz de um relâmpago, ouviu o som de um trovão e por meio do tato 
adquiriu a noção de quente e frio. Consequentemente, passou a classificar 
os fenômenos de acordo com o sentido empregado para observá-los. Assim, 
relacionou a luz com a capacidade de ver, surgindo daí uma ciência chamada 
Óptica. A audição motivou-o a estudar as propriedades do som, levando ao 
desenvolvimento de outra ciência, a Acústica. As noções de quente e frio, 
associadas a um corpo e sentidas pelo tato, motivaram o estudo do calor, 
objetivo da Termologia. O movimento é um dos fenômenos mais comuns 
no dia a dia, tendo dado origem à Mecânica.
A Óptica, a Acústica, a Termologia e a Mecânica foram muitas vezes 
estudadas independentemente umas das outras, mas fazem parte da Física. 
Hoje, elas constituem os principais ramos da Física Clássica.
As propriedades elétricas da matéria só passaram a ser estudadas profun-
damente a partir do século XIX, e esse estudo, conhecido como Eletricidade, 
constitui outro ramo da Física Clássica. No início do século XX, novas teorias 
modificaram radicalmente alguns conceitos físicos, tidos como definitivos, 
dando origem à Física Moderna, ramo da Física que abrange a Relatividade, 
a Física Quântica e a Física Nuclear.
O Universo
Todos os corpos existentes na natureza são quantidades definidas de 
matéria. Por exemplo, a madeira é matéria e uma mesa de madeira é um 
corpo; a borracha é matéria e um pneu de borracha é um corpo.
A matéria e, portanto, todos os corpos do Universo são constituídos 
por pequenas unidades denominadas átomos. Por serem extremamente 
pequenos, os átomos não podem ser vistos, nem com os microscópios 
mais sofisticados. Entretanto, os cientistas criaram modelos que, dentro 
de certos limites, explicam os fenômenos naturais associados à concep-
ção do átomo. Um dos modelos mais simples estabelece que cada átomo 
é constituído de um núcleo central, formado por dois tipos de partículas, 
os prótons* e os nêutrons* e, pela eletrosfera, constituída por um terceiro 
tipo de partículas, os elétrons,* que giram em torno do núcleo (fig. 1). O 
modelo que acabamos de descrever apresenta uma visão extremamente 
simplificada do átomo. Além das três partículas citadas, há um número 
muito grande de outras partículas, como pósitrons, mésons, neutrinos, 
entre outras, que surgem quando ocorrem alterações nos núcleos dos 
átomos por meio de reações nucleares. O estudo das propriedades dessas 
partículas é muito importante, principalmente para a compreensão da 
estrutura do Universo.
O campo de estudo da Física abrange todo o Universo: desde a es-
cala microscópica, relacionada às partículas que formam o átomo, até a 
escala macroscópica, relacionada aos planetas, às estrelas e às galáxias.
Próton
Elétron
Núcleo
Figura 1 (A) O átomo de 
hidrogênio possui um elétron 
(aqui representado em verde), 
que gira em torno de seu núcleo, 
constituído por um único próton 
(indicado na cor cinza); (B) no 
átomo de oxigênio, o núcleo 
contém oito prótons e oito 
nêutrons (indicados em vermelho). 
Oito elétrons giram em torno 
desse núcleo. (Uso de cores 
fantasia.)
A
B
Universo em escala
Multimídia interativa
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2 Física e Matemática
OBJETIVOS
 Conhecer a relação entre a 
Física e a Matemática.
 Utilizar as unidades de medida 
de comprimento e de tempo, 
adotadas no Sistema Interna-
cional de Unidades (SI).
 Compreender o que são alga-
rismos significativos e como 
realizar operações matemá-
ticas com eles.
 Representar números em 
notação científica e determi-
nar a ordem de grandeza de 
medidas.
TERMOS E CONCEITOS
método científico
comprimento
tempo
algarismos significativos
notação científica
ordem de grandeza
A Matemática oferece os meios para sintetizar o conhecimento sobre 
fenômenos estudados na Física. Uma fórmula matemática que relaciona as 
grandezas envolvidas em um fenômeno físico contribui para a compreen-
são desse fenômeno, pois revela a dependência entre essas grandezas. 
Entendido o fenômeno físico e analisadas suas grandezas, recorre-se à 
Matemática para sintetizar o estudo realizado.
Por exemplo, apesar de ser necessária uma longa explicação para chegar 
ao fato de que a energia de um corpo em movimento (energia cinética) 
depende de sua massa e de sua velocidade, recorrendo à Matemática, 
obtemos a fórmula:
Ec = 
mv
2
2
em que Ec é a energia cinética; m, a massa; e v, a velocidade. Essa fórmula 
indica que a energia cinética varia em função da massa do corpo e do 
quadrado de sua velocidade.
Sempre que um corpo está em movimento dizemos que ele possui energia cinética. 
Final feminina dos 100 metros rasos nos Jogos Olímpicos de Londres, 2012.
1 Método em Física
Os físicos estudam os fenômenos que ocorrem no Universo, onde se inclui 
a Terra. Entretanto, os percursos trilhados pelos cientistas para a formulação 
de teorias e leis que expliquem esses fenômenos são muito variados. Muitas 
descobertas no campo da Física surgiram da imaginação de pesquisadores, 
da experimentação direta e, em certas ocasiões, ocorreram de maneira não 
intencional, sem seguir um caminho preestabelecido.
Assim, aos poucos, você vai aprender a ler e entender uma fórmula e 
utilizá-la para compreender melhor um determinado fenômeno físico.
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Um dos processos de aquisição de conhecimento é o denominado 
método científico ou experimental, que apresenta uma sequência rígida 
de etapas. Esse método é discutível, pois estabelece uma receita definida 
de passos a ser seguida, o que nem sempre é possível. Por seu caráter 
histórico, vamos apresentar, de modo simplificado, o caminho sugerido 
pelo método científico. Em primeiro lugar, o fenômeno deve ser observa-
do repetidas vezes, destacando-se fatos notáveis. Com instrumentos de 
medição — desde o relógio e a fita métrica até outros mais sofisticados 
— medem-se as principais grandezas envolvidas no fenômeno. Com essas 
medidas, procura-se alguma relação entre tais grandezas, na tentativa de 
descobrir alguma lei ou princípio que descreva o fenômeno. Muitas vezes 
essas leis ou princípios são expressos por fórmulas — como a da energia 
cinética, apresentada anteriormente. Com frequência, o fenômeno é 
repetido em laboratório em condições consideradas ideais em relação 
às condições reais em que ocorre. Assim, por exemplo, podemos estudar 
idealmente a lei da queda de um corpo, deixando-o cair em laboratório, 
num aparelho vertical onde se faz o vácuo (tubo de Newton), para eliminar 
a interferência do ar.
No processo de pesquisa que pode resultar em descobertas científicas,o cientista não costuma seguir regras previamente estabelecidas. Um bom 
exemplo de descoberta científica que não seguiu etapas predeterminadas, 
como as descritas, foi a previsão de Albert Einstein de que a luz sofreria 
desvios em sua trajetória na proximidade de grandes massas, elaborada 
a partir do desenvolvimento matemático da Teoria da Relatividade Geral, 
publicada em 1915. A veracidade de tal previsão só foi comprovada com a 
posterior observação em alguns locais da Terra, entre eles Sobral, no Ceará, 
do eclipse do Sol, em 29 de maio de 1919. Nessa ocasião, foi possível vi-
sualizar que a luz proveniente de estrelas, ao passar próxima ao Sol, sofreu 
um desvio em sua trajetória.
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Eclipse solar ocorrido em 29 de 
maio de 1919, Sobral (CE). 
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O metro foi inicialmente definido como 
uma parte da divisão, em 10 milhões de partes 
iguais, do meridiano que vai do polo Norte ao 
Equador, passando por Paris. Cada uma dessas 
pequenas partes foi chamada de 1 metro.
Como os meridianos da Terra não são todos 
iguais, uma nova definição foi apresentada: 
1 metro é a distância entre dois traços marcados 
sobre uma barra de platina (90%) e irídio (10%), 
mantida no Instituto Internacional de Pesos e 
Medidas, em Sèvres, nas proximidades de Paris: 
é o metro padrão. Essa definição perdurou até 
1983, quando foi aprovada a definição atual de 
metro, que é apresentada no apêndice, no final 
da Parte III deste livro.
O metro 
Réplica do metro padrão 
pertencente ao National 
Institute of Standards 
and Technology (NIST), 
em Gaithersburg, 
Estados Unidos.
* É o sistema de unidades oficialmente adotado no Brasil, estabelecido em 1960, durante a 11a Conferência Geral de Pesos e 
Medidas, com base no Sistema Métrico Decimal.
* * A definição atual de segundo é apresentada no apêndice, no final da Parte III deste livro.
Medidas de comprimento e tempo
Para conhecer melhor as grandezas envolvidas num fenômeno físico, recorre-se a medidas. Com 
uma fita métrica podemos medir comprimento. O metro (símbolo: m) é a unidade fundamental 
de comprimento no Sistema Internacional de Unidades (SI).* O metro admite múltiplos, como o 
quilômetro (km), e submúltiplos, como o centímetro (cm) e o milímetro (mm).
Antigamente, para a medida de comprimento, utilizavam-se unidades de referência baseadas em 
partes do corpo humano, como polegar, pé, jarda e palmo. Note as relações: 1 polegada = 2,54 cm; 
1 pé = 12 polegadas, 1 jarda = 36 polegadas e 1 palmo = 9 polegadas.
Outra unidade que será utilizada no estudo da Física é a unidade fundamental de tempo no 
Sistema Internacional de Unidades (SI): o segundo** (símbolo: s). O segundo admite múltiplos, 
como o minuto (min) e a hora (h), e submúltiplos, como o milissegundo (1 ms = 1023 s), o micros-
segundo (1 js = 1026 s) e o nanossegundo (1 ns = 1029 s).
A seguir apresentamos as conversões de quilômetro (km), centímetro (cm) e milímetro (mm) 
para metro (m) e de minuto (min), hora (h) e dia (d) para segundo (s).
Comprimento Tempo
1 km = 1.000 m = 103 m 1 min = 60 s
1 cm = 100
1 m = 
10
1
2 m = 10
22 m 1 h = 60 min = 60 $ 60 s = 3.600 s
1 mm = .1 000
1 m = 
10
1
3 m = 10
23 m 1 d = 24 h = 24 $ 3.600 s = 86.400 s
2
OMIKRON/PHOTORESEARCHERS/LATINSTOCK
Definição inicial de metro.
Polo Norte
Equador
10 milhões 
de metros
 
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8
Algarismos significativos
A precisão da medida de uma grandeza depende principalmente do 
instrumento utilizado para determiná-la. Vejamos um exemplo: pretende-
-se medir o comprimento L de uma barra e, para isso, dispõe-se de duas 
réguas — uma centimetrada e outra milimetrada. Conforme veremos, a 
precisão da medida obtida com a régua centrimetrada é menor do que a 
obtida com a régua milimetrada.
Com a régua centimetrada (fig. 2A), podemos dizer que o comprimento da 
barra está entre 9 cm e 10 cm, estando mais próximo de 10 cm. O algarismo 
que representa a primeira casa depois da vírgula não pode ser determinado 
com precisão, devendo ser estimado. Desse modo, estimamos a medida do 
comprimento L em 9,6 cm. Note que o algarismo 9 é correto e o algarismo 6 
é duvidoso.
Com a régua milimetrada (fig. 2B), como cada centímetro é dividido em 
10 milímetros, podemos dizer com maior precisão que o comprimento da 
barra está compreendido entre 9,6 cm e 9,7 cm. Nesse caso, estimamos o 
comprimento L em 9,65 cm. Observe, agora, que os algarismos 9 e 6 são 
corretos e o algarismo 5 é duvidoso, pois ele foi estimado.
Em toda medida, os algarismos corretos e o primeiro duvidoso são cha-
mados de algarismos significativos. Portanto, na medida 9,6 cm, temos 
dois algarismos significativos e, na medida 9,65 cm, temos três.
3
Os algarismos significativos de uma medida são o(s) 
algarismo(s) correto(s) e o primeiro duvidoso.
Figura 2 (A) Medida do comprimento L de uma barra com a régua centimetrada; 
(B) mesma medida com a régua milimetrada.
L
0 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10
111 2 3 4 5 6 7 8 9 100
A
B
Imagine agora que a medida L = 9,65 cm deva ser convertida para metro.
Nessa conversão, obtemos L = 0,0965 m. Note que a medida continua 
com três algarismos significativos, isto é, os zeros à esquerda do número 
9 não são significativos — eles apenas servem para posicionar a vírgula. 
Portanto, os zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo não são 
significativos.
Mas, se o zero estiver à direita do primeiro algarismo significativo, ele 
também será significativo. Por exemplo, na medida L 5 9,05 m, temos três 
algarismos significativos: 9, 0 e 5. Convertendo essa medida para centímetro, 
obtemos L 5 9,05 $ 102 cm. Note que a medida continua com três algarismos 
significativos, isto é, os algarismos correspondentes à potência de 10 não 
são significativos.
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Operações com algarismos significativos
Ao efetuar uma multiplicação ou uma divisão com algarismos significa-
tivos, devemos apresentar o resultado com o mesmo número de algarismos 
significativos do fator que possui o menor número de algarismos signifi-
cativos. Assim, por exemplo, considere o produto 2,31 $ 1,4. Ao efetuar a 
operação, encontramos 3,234. Como o primeiro fator tem três algarismos 
significativos (2,31) e o segundo tem dois (1,4), apresentamos o resultado 
com dois algarismos significativos, arredondando-o, ou seja, 3,2.
Note como se faz o arredondamento: sendo o primeiro algarismo abando-
nado menor que 5, mantemos o valor do último algarismo significativo; ou, se 
o primeiro algarismo a ser abandonado for maior ou igual a 5, acrescentamos 
uma unidade ao último algarismo significativo. No exemplo, o primeiro alga-
rismo abandonado é 3. Sendo menor que 5, mantivemos o número 2, que é 
o último algarismo significativo.
Considere, agora, o produto 2,33 $ 1,4. Efetuando a operação encon-
tramos 3,262. O resultado deve apresentar 2 algarismos significativos, 
ou seja, 3,3. Nesse caso, o primeiro número a ser abandonado é 6. Sendo 
maior que 5, acrescentamos uma unidade ao número 2, que é o último 
algarismo significativo.
Na adição e na subtração, o resultado deve conter um número de 
casas decimais igual ao da parcela com menos casas decimais. Assim, 
por exemplo, considere a adição 3,32 1 3,1. Ao efetuá-la, encontramos 
como resultado 6,42. Como a primeira parcela tem duas casas decimais 
(3,32) e a segunda somente uma (3,1), apresentamos o resultado com 
apenas uma casa decimal. Portanto, o resultado é 6,4.
Na adição 3,37 + 3,1 = 6,47, apresentamos o resultado com uma casa 
decimal e, levando em conta a regra do arredondamento,obtemos 6,5.
Notação científica
Utilizar notação científica significa exprimir um número da seguinte 
forma: N $ 10n, em que n é um expoente inteiro e N é tal que 1 G N 1 10. 
Para exprimir a medida de uma grandeza em notação científica, o número 
N deve ser formado por todos os algarismos significativos que compõem 
essa medida.
Por exemplo, considere que as medidas indicadas a seguir estejam 
expressas corretamente em algarismos significativos: 360 s e 0,0035 m. 
Utilizando a notação científica e levando em conta o número de algarismos 
significativos de cada medida, escrevemos, respectivamente: 3,60 $ 102 s 
e 3,5 $ 1023 m.
A grande vantagem do uso da notação científica é que as operações de 
multiplicação e de divisão podem ser feitas mais facilmente por adição ou 
por subtração dos expoentes das potências de dez, conforme os exemplos, 
a seguir:
(1,2 $ 105) $ (6,0 $ 103) = (1,2 $ 6,0) $ (105 $ 103) = 
= (1,2 $ 6,0) $ (105 + 3) = 7,2 $ 108
,
,
,
,
$
$
1 5 10
4 5 10
1 5
4 5
2
6
=-
-
 $ 10-6 $ 10+2 = 
= ,
,
1 5
4 5
 $ (10-6 + 2) = 3,0 $ 10-4
4
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10
Para exemplificar, considere o raio da Terra igual a 6,37 $ 106 m e a 
distância da Terra ao Sol igual a 1,49 $ 1011 m. Vamos calcular a ordem de 
grandeza desses valores.
Como 6,37 2 10 , a ordem de grandeza do raio da Terra é dada por: 
106 + 1 m = 107 m.
Como 1,49 1 10 , temos para a distância da Terra ao Sol a ordem de 
grandeza 1011 m.
N H 10 ` ordem de grandeza: 10n + 1
N 1 10 ` ordem de grandeza: 10n
Comparando as ordens de grandeza entre a distância da Terra ao Sol e o raio da Terra, verificamos uma diferença de 
4 ordens de grandeza, ou seja: 
10
10 10
m
m
7
11
4= .
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Ordem de grandeza
Determinar a ordem de grandeza de uma medida consiste em fornecer, 
como resultado, a potência de 10 mais próxima do valor encontrado para a 
grandeza. Como estabelecer essa potência de 10 mais próxima?
Partindo da notação científica, N $ 10n, fazemos assim: se o número N 
que multiplica a potência de 10 for maior ou igual a 10 , utilizamos como 
ordem de grandeza a potência de 10 de expoente um grau acima, isto é, 
10n + 1; se N for menor que 10 , usamos a mesma potência da notação 
científica, isto é, 10n.
É importante observar que 100,5 = 10 - 3,16 é o valor utilizado 
como limite para a determinação da ordem de grandeza, ou seja, corres-
ponde à potência de 10 cujo expoente é o ponto médio do intervalo 0 e 
1 10 10 ,2
0 1 0 5=
+a k.
Em resumo, temos:
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11
Física em 
nosso mundo Nanotecnologia
O prefixo nano-, do grego nánnos, ou anão, é empregado em Física para 
indicar um submúltiplo simbolizado por n e igual a 10-9. Desse modo, 
1 nm = 1 nanômetro = 10-9 m = 0,000000001 m corresponde à bilionésima 
parte do metro, isto é, um metro dividido em um bilhão de partes iguais. 
Um nanômetro é aproximadamente igual ao comprimento de dez átomos 
de hidrogênio dispostos lado a lado. O diâmetro da dupla hélice de DNA tem 
cerca de 2 nm. Para efeito de comparação: o diâmetro da seção reta de um 
fio de cabelo equivale, em média, a 70.000 nm.
Atualmente, uma das áreas que mais se desenvolvem é a da nanotec-
nologia, que envolve a manipulação de moléculas, átomos e partículas 
subatômicas.
As aplicações da nanotecnologia são amplas e complexas, abrangendo, 
por exemplo, a nanoeletrônica, a nanomedicina e a nanorrobótica, com os 
nanorrobôs, que são dispositivos capazes de atuar com precisão e eficiência 
em escala nanométrica. As propriedades dos materiais conhecidos mudam 
quando eles são transformados em nanoparticulados. Assim, materiais isolan-
tes elétricos podem se tornar condutores elétricos e vice-versa. Um exemplo 
desse tipo de transformação nas propriedades dos materiais ocorre com o 
grafeno, um material que, no nível atômico, se parece com uma tela de arame 
com espessura de um átomo (fig. I). Nessa configuração, o grafeno é um bom 
condutor de eletricidade, além de ser transparente, podendo ser utilizado, 
por exemplo, em circuitos eletrônicos (fig. II) e em telas sensíveis ao toque.
Figura I Disposição dos átomos de carbono em uma camada 
de grafeno.
Figura II Transistor experimental de grafeno. Por conduzir 
elétrons com maior rapidez que o silício, esse transistor poderá 
ser utilizado na construção de painéis solares mais eficientes. 
A nanotecnologia e suas diversas aplicações
O emprego da miniaturização em inúmeras tecnologias permitirá aces-
sar e manipular células de modo muito preciso, identificando e destruindo 
células doentes, além de possibilitar a reconstrução de tecidos lesionados. 
As potenciais aplicações da nanorrobótica em Medicina incluem 
diagnósticos precoces e administração de medicamentos no tratamento 
de doenças como o câncer, além da criação de nova instrumentação bio-
médica, auxílio em cirurgias, desobstrução de artérias e monitoramento 
de diabetes. 
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12
Os nanorrobôs seriam injetados na corrente sanguínea do paciente visan-
do a destruição de células tumorais ou infectadas por vírus, exercendo ainda 
a função dos medicamentos convencionais, ao atuar diretamente nas células 
doentes (fig. III). Outra possibilidade futura é a criação e a utilização de na-
noímãs, que, transportando drogas quimioterápicas, seriam conduzidos por 
um campo magnético externo para atingir diretamente as células tumorais, 
reduzindo ao mínimo os efeitos colaterais desses medicamentos (fig. IV).
Figura IV Concepção artística de um nanorrobô, que seria 
utilizado para injetar drogas quimioterápicas diretamente em 
células tumorais, representadas em vermelho.
Na Universidade de Arkansas, Estados Unidos, pesquisadores desenvol-
veram uma nova técnica de diagnóstico por imagens que usa nanotubos de 
carbono revestidos de ouro (fig. V) para mapear células linfáticas e detectar 
metástases, migração de células cancerosas provenientes de um tumor.
Figura III Concepção artística de um nanorrobô, com formato 
de microssubmarino, que seria utilizado para desobstruir vasos 
sanguíneos, restaurando o fluxo de sangue normal. 
As pesquisas visando a manipulação de células envolvem conhecimentos 
de Biologia, Física, Química e engenharia; assim, a nanotecnologia é consi-
derada uma área multidisciplinar.
As aplicações da nanotecnologia não se restringem a equipamentos sofistica-
dos, muitas delas já estão ao alcance de todos. Com os nanomateriais, é possível, 
por exemplo, produzir tecidos que repelem água. A adição de nanopartículas 
aos pneus de carros de Fórmula 1 tem aumentado a resistência ao desgaste, 
ocorrendo o mesmo com bolas de tênis, que se tornaram mais duráveis.
 Agora responda
1. Quais são as principais aplicações da nanotecnologia em 
Medicina? 
2. Em sua opinião, quais seriam as consequências mais 
esperadas das aplicações médicas da nanotecnologia na 
saúde das pessoas?
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2 nm
Figura V O nanotubo de carbono pode ser 
usado como transmissor de impulsos elétricos 
e como condutor de calor.
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R. 1 Um espetáculo musical tem início exatamente 
às 21 h 15 min 25 s e termina às 23 h 38 min 15 s. 
Determine a duração desse espetáculo.
Solução:
A duração do espetáculo corresponde ao intervalo 
de tempo St = t2 2 t1, em que t1 = 21 h 15 min 25 s é o 
instante de início e t2 = 23 h 38 min 15 s é o instante 
de término.
Para calcular essa diferença, devemos iniciar a 
subtração pela coluna dos segundos, de modo que 
o valor do instante final (t2) em cada coluna seja 
sempre maior que o do instante inicial (t1). No caso, 
na coluna dos segundos, temos 15 s para t2 e 25 s 
para t1. Como 15 s é menor que 25 s, passamos 1 
min (60 s) da coluna dos minutos para a coluna 
dos segundos.
Assim, temos:
t2 = 23 h 38 min 15 s
t1 = 21 h 15 min 25 s
23 h 37 min 75 s
2 21 h 15 min 25 s
2 h 22 min 50 s
Portanto, o intervalo de tempo (St) correspondente 
à duração do espetáculo vale:
St = 2 h 22 min 50 s
Se quisermos dar a resposta em segundos, de-
vemos lembrar que 1 h = 3.600 s e 1 min = 60 s. 
Portanto:
Resposta: 2 h 22 min 50 s ou 8.570 s
R. 2 A balança da figura abaixo está graduada em 
quilogramas (kg). Qual é a massa do pacote de 
tomates colocado sobre o prato? Quais são os 
algarismos corretos e o primeiro algarismo duvi-
doso?
Solução:
Observando que cada divisão corresponde a 0,1 kg, 
concluímos que a massa do pacote de tomates 
está entre 2,4 e 2,5 kg. Avaliamos, então, a massa 
do pacote em 2,45 kg. Note que os algarismos 2 
e 4 são corretos, e que o algarismo 5 é duvidoso.
Resposta: 2,45 kg; algarismos corretos: 2 e 4; alga-
rismo duvidoso: 5.
R. 3 O sino de uma igreja bate uma vez a cada meia 
hora, todos os dias. Qual é a ordem de grandeza do 
número de vezes que o sino bate em um ano?
Solução:
Se o sino bate uma vez a cada meia hora, con-
cluímos que em um dia ele bate 48 vezes. Logo, o 
número de batidas do sino em um ano é dado por:
X = 48 $ 365 ` X = 17.520 batidas
Em notação científica, com três algarismos signifi-
cativos, temos: X = 1,75 $ 104 batidas.
Como 1,75 1 10 , para a ordem de grandeza do 
número de vezes que o sino bate em um ano, temos:
Xe = 104 batidas
Resposta: 104 batidas
R. 4 Qual é a ordem de grandeza do número de batimen-
tos cardíacos de um aluno do ensino médio desde 
o seu nascimento?
Solução:
Para a resolução desse exercício, é necessário fazer 
algumas estimativas. Vamos, por exemplo, consi-
derar que o coração bata 70 vezes em um minuto 
e adotar 15 anos para a idade do aluno. Devemos, 
inicialmente, calcular o número de minutos exis-
tentes em 15 anos:
15 anos = 15 $ 365 $ 24 $ 60 minutos
15 anos = 7.884.000 minutos
O número X de batimentos em 15 anos de vida 
será:
X = 70 batimentos por minuto $ 7.884.000 minutos
X = 551.880.000 batimentos
Em notação científica, com três algarismos signifi-
cativos, temos: X = 5,52 $ 108 batimentos.
Como 5,52 2 10 , para a ordem de grandeza do 
número de batimentos cardíacos do aluno, temos:
Xe = 109 batimentos
Observe que alterar a escolha da idade do aluno 
para 14, 16 ou 17 anos, ou do número de batimentos 
por minuto para 60, 80 ou 90, não altera o resultado 
da ordem de grandeza.
Resposta: 109 batimentos
St = (2 $ 3.600 s) + (22 $ 60 s) + 50 s
St = 7.200 s + 1.320 s + 50 s
St = 8.570 s
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
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P. 1 Efetue as seguintes conversões:
a) 1 m em cm
b) 1 cm em m
c) 1 m em mm
d) 1 km em m
e) 1 mm em m
f) 1 cm em mm
P. 2 Um carro parte da posição O e percorre o caminho 
OABC conforme indicado na figura a seguir. Deter-
mine as distâncias percorridas de O a A, de A a B e 
de B a C.
P. 3 Efetue as seguintes conversões:
a) 1 h em min
b) 1 min em s
c) 1 h em s
d) 1 dia em s
P. 4 Uma corrida de automóveis realizada no Autódromo 
Internacional de Curitiba começa às 10 h 20 min 45 s 
e termina às 12 h 15 min 35 s. Determine o intervalo 
de tempo de duração dessa corrida.
P. 5 Efetue as operações indicadas a seguir. Os núme-
ros estão expressos corretamente em algarismos 
significativos. Dê a resposta da 1a operação em m 
e da 2a em m2.
1 km
1 km
O
A
B
C
1a) 3,020 m + 0,0012 km + 320 cm
2a) 4,33 m # 50,2 cm
P. 6 Um estudante utilizou um cronômetro para deter-
minar o intervalo de tempo com que uma pedra, 
abandonada de certa altura, atinge o chão. O resul-
tado obtido é indicado na foto a seguir. Sabe-se que 
o ponteiro não completou uma volta.
Qual é a leitura do cronômetro expressa em al-
garismos significativos? Quais são os algarismos 
corretos e o primeiro algarismo duvidoso?
P. 7 As medidas indicadas a seguir estão expressas 
corretamente em algarismos significativos.
a) 473 m
b) 0,0705 cm
c) 37 mm
d) 37,0 mm
Escreva-as em notação científica e indique os algaris-
mos corretos e o primeiro duvidoso, em cada medida.
P. 8 O intervalo de tempo de um ano corresponde a 
quantos segundos? Dê sua resposta em notação 
científica e com dois algarismos significativos.
P. 9 Sabendo que em 1 cm3 cabem aproximadamente 
20 gotas de água, determine a ordem de grandeza 
do número de gotas de água necessárias para 
encher uma piscina olímpica.
P. 10 Considere que a trajetória descrita pela Terra em 
torno do Sol seja circular e de raio 1,5 # 1011 m. 
Determine a ordem de grandeza, em quilômetro, 
da distância que uma pessoa percorre, durante sua 
existência, considerando apenas seu movimento 
em torno do Sol.
TESTES PROPOSTOS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Medidas de comprimento e tempo
T. 1 (Puccamp-SP) Um intervalo de tempo igual a 
25.972,5 segundos corresponde a:
a) 7 h 12 min 52,5 s
b) 7 h 772 min 0,5 
c) 7 h 21 min 145 s
d) 432 h 52,5 min
e) 432,875 h
T. 2 (Inatel-MG) A tabela ao lado descreve alguns eventos 
temporais a respeito da formação do nosso Sol e da 
Terra.
Alguns eventos temporais 
(em anos passados até a data atual)
4,55 $ 109 Formação do Sol
4,45 $ 109 Formação da Terra
3,8 $ 109 Os continentes emergem das águas
4,2 $ 108 Aparecimento das plantas sobre o solo
6,7 $ 107 Extinção dos dinossauros
1,2 $ 105 Aparecimento do homem de Neanderthal
4,0 $ 103 Início da história do homem
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15
Se adotarmos que a formação do Sol ocorreu há 
1 dia terrestre, quando se iniciou a história da 
civilização humana nessa nova escala de tempo? 
(1 dia terrestre = 86.400 segundos)
a) Há 76 segundos, aproximadamente.
b) Há 76 milissegundos, aproximadamente.
c) Há 76 microssegundos, aproximadamente.
d) Há 78 milissegundos, aproximadamente.
e) Há 78 microssegundos, aproximadamente.
T. 3 (Vunesp) Na Antiguidade, foi a tradição indiana 
que imaginou as durações de tempo mais longas. 
Nessa tradição, o dia de Brahman, período durante 
o qual o deus absoluto está ativo, teria uma duração 
de aproximadamente 4,38 # 109 anos terrestres. 
Estima-se que o tempo presumível de vida do Sol 
como estrela normal é da ordem de 1018 segundos. 
(Roberto de Andrade Martins, O universo: teorias sobre 
sua origem e evolução. São Paulo: Editora Moderna, 
1994. Adaptado.)
A partir dessas informações, é correto afirmar que 
o dia de Brahman em relação ao tempo presumível 
de vida do Sol como estrela normal é, aproxima-
damente:
a) 109 vezes menor
b) 103 vezes menor
c) 10 vezes menor
d) 103 vezes maior
e) 109 vezes maior
T. 4 (Acafe-SC) No ano 2004 foram realizadas eleições 
para prefeito, vice-prefeito e vereador em todos 
os municípios do Brasil. Os candidatos utilizaram 
o horário político gratuito na mídia e realizaram 
comícios, fazendo diversos discursos. Enrico Fermi 
observou, certa vez, que a duração padrão de um 
discurso é de aproximadamente um microsséculo.
Considerando todosos anos com 365 dias, é correto 
afirmar que a duração de um microsséculo, em 
minutos, é (dado: 1 micro = 1026):
a) 24,25
b) 87,60
c) 36,50
d) 120,00
e) 52,56
T. 5 (Ufac) Num campo de futebol não oficial, as traves 
verticais do gol distam entre si 8,15 m.
Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé 
mede 30,48 cm, a largura mais aproximada desse 
gol, em jardas, é:
a) 6,3
b) 8,9
c) 10,2
d) 12,5
e) 14,0
T. 6 (Fuvest-SP) No estádio do Morumbi 120.000 torcedo-
res assistem a um jogo. Através de cada uma das 6 
saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por 
minuto. Qual é o tempo mínimo necessário para se 
esvaziar o estádio?
a) uma hora
b) meia hora
c) 4
1 de hora
d) 3
1 de hora
e) 4
3 de hora
T. 7 (UFRJ) Numa fila de banco há 300 pessoas. O guarda 
autoriza a entrar no banco, durante 10 segundos, 
30 pessoas. Para nova autorização há a espera de 
20 minutos.
Levando-se em consideração serem sempre cons-
tantes os intervalos mencionados, as 300 pessoas da 
fila serão atendidas, aproximadamente, em:
a) 201 min
b) 191 min
c) 181 min
d) 171 min
e) 161 min
T. 8 (FEI-SP) O diâmetro de um fio de cabelo é 1024 m. 
Sabendo-se que o diâmetro de um átomo é 10210 m, 
quantos átomos colocados lado a lado seriam ne-
cessários para fazer uma linha que divida o fio de 
cabelo ao meio exatamente no seu diâmetro?
a) 104 átomos
b) 105 átomos
c) 106 átomos
d) 107 átomos
e) 108 átomos
Algarismos significativos
T. 9 (PUC-MG) A medida da espessura de uma folha de 
papel, realizada com um micrômetro, é de 0,0107 cm. 
O número de algarismos significativos dessa medida 
é igual a: 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
T. 10 (Unifesp) Na medida de temperatura de uma pes-
soa, por meio de um termômetro clínico, observou-
-se que o nível de mercúrio estacionou na região 
entre 38 °C e 39 °C da escala, como está ilustrado 
na figura.
Após a leitura da temperatura, o médico necessi-
ta do valor transformado para uma nova escala, 
definida por t
t
3
2
x
C= e em unidades °x, onde tc é a 
temperatura na escala Celsius. Lembrando-se de 
seus conhecimentos sobre algarismos significati-
vos, ele conclui que o valor mais apropriado para 
a temperatura tx é:
a) 25,7 °x
b) 25,7667 °x 
c) 25,766 °x 
d) 25,77 °x 
e) 26 °x
Operações com algarismos significativos
T. 11 (Cesgranrio-RJ) Um estudante, tendo medido o cor-
redor de sua casa, encontrou os seguintes valores:
Comprimento: 5,7 m Largura: 1,25 m
Desejando determinar a área deste corredor com a 
maior precisão possível, o estudante multiplica os 
dois valores anteriores e registra o resultado com o 
número correto de algarismos, isto é, somente com 
os algarismos que sejam significativos. 
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98
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16
Assim fazendo, ele deve escrever: 
a) 7,125 m2
b) 7,12 m2
c) 7,13 m2
d) 7,1 m2
e) 7 m2
T. 12 (Unifor-CE) Um livro de Física tem 800 páginas e 
4,0 cm de espessura. A espessura de uma folha 
do livro vale, em milímetros:
a) 2,5 # 10-2
b) 5,0 # 10-2
c) 1,0 # 10-2
d) 1,5 # 10-2
e) 2,0 # 10-2
T. 13 (PUC-MG) Um carro fez uma viagem em linha reta 
em três etapas. Com a ajuda de um sistema de 
localização por satélite (GPS), foi possível calcular 
a distância percorrida em cada etapa, mas com 
diferentes precisões. Na primeira etapa, a distância 
percorrida foi 1,25 # 103 km; na segunda, 810 km, 
e na terceira, 1,0893 # 103 km. A distância total 
percorrida, respeitando-se os algarismos signifi-
cativos, é: 
a) 3,149 # 103 km
b) 3,15 # 103 km
c) 3,1 # 103 km
d) 3 # 103 km
Notação científica e ordem de grandeza
T. 14 (UFJF-MG) Supondo-se que um grão de feijão ocupe 
o espaço equivalente a um paralelepípedo de ares-
tas 0,5 cm # 0,5 cm # 1,0 cm, qual das alternativas 
abaixo melhor estima a ordem de grandeza do 
número de feijões contido no volume de um litro?
a) 10
b) 102
c) 103
d) 104
e) 105
T. 15 (Fuvest-SP) Qual é a ordem de grandeza do núme-
ro de voltas dadas pela roda de um automóvel ao 
percorrer uma estrada de 200 km?
a) 102
b) 103
c) 105
d) 107
e) 109
T. 16 (Cesgranrio-RJ) Alguns experimentos realizados por 
virologistas demonstram que um bacteriófago (vírus 
que parasita e se multiplica no interior de uma bac-
téria) é capaz de formar 100 novos vírus em apenas 
30 minutos. Se introduzirmos 1.000 bacteriófagos em 
uma colônia suficientemente grande de bactérias, 
qual será a ordem de grandeza do número de vírus 
existentes após 2 horas?
a) 107
b) 108
c) 109
d) 1010
e) 1011
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INTRODUÇÃO ÀINTRODUÇÃO ÀINTRODUÇÃO ÀINTRODUÇÃO À
CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Vereda Digital - Física
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Ferraro, Nicolau Gilberto Física, volume único / Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno
A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado. – 1. ed. – São Paulo: Moderna, 2012. – (Vereda digital) Inclui
DVD. 1. Física (Ensino médio) I. Torres, Carlos Magno A. II. Penteado, Paulo Cesar M. III. Título. IV.
Série. 12-10797 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado,
2012
 
 
19
Introdução à Cinemática
Objetivos do capítulo:
✔ Mostrar que os conceitos de repouso, movimento e trajetória 
dependem do referencial adotado.
✔ Definir espaço de um móvel, função horária e variação
de espaço.
✔ Definir velocidade escalar média e instantânea.
✔ Definir aceleração escalar média e instantânea.
✔ Apresentar os conceitos de movimento progressivo,
retrógrado, acelerado e retardado.
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Este capítulo apresentará os conceitos físicos de repouso e de movimento. 
Na foto, atletas estão alinhados na largada de uma corrida durante o evento 
anual da Ferrari na estação de ski de Madonna di Campiglio, na Itália. Na sua 
opinião, as pessoas da foto estão em movimento ou em repouso? Por quê?
26 20
 1 Conceitos iniciais
Diariamente utilizamos termos que indicam movimento: andar, correr, voar, subir, 
cair. Mas, atenção, a noção de movimento não deve ser tomada como algo absoluto. 
Observe a figura 1. Uma pessoa está viajando, sentada, num ônibus que se aproxima 
de um ponto de parada. A pessoa está em movimento ou em repouso? Em relação 
ao ponto, ela está em movimento, mas está em repouso em relação ao ônibus. E o 
ponto de parada está em repouso? Em relação à Terra, ele está em repouso, mas, 
em relação ao Sol, o ponto descreve o mesmo movimento realizado pela Terra.
Figura 1. O passageiro está em repouso em relação ao ônibus, mas está em movimento em relação ao 
ponto de parada.
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Note que os conceitos de movimento e de repouso de um corpo são relativos, 
isto é, dependem de outro corpo tomado como referencial. Portanto:
Os conceitos de movimento e de repouso de um corpo dependem do 
referencial adotado.
O corpo em estudo, que pode estar em movimento ou em repouso, recebe o 
nome de móvel.
Ao analisar o movimento de um corpo, podemos, muitas vezes, desprezar suas 
dimensões. Nesse caso, o corpo é denominadoponto material. Quando se consideram 
suas dimensões, ele é denominado corpo extenso. Um carro é um ponto material 
ou um corpo extenso? Depende do fenômeno em estudo. Ao efetuar uma manobra 
para estacionar numa vaga, o carro é um corpo extenso. Numa viagem, ao longo 
de uma rodovia, ele pode ser considerado um ponto material. Ao ultrapassar um 
ônibus, em uma estrada, um carro seria um ponto material ou um corpo extenso?
Estamos iniciando o estudo da Cinemática, a parte da Mecânica que descreve 
os movimentos dos corpos sem considerar suas causas, apresentando os conceitos 
de referencial, trajetória, espaço, velocidade e aceleração.
21
Um ponto material que se movimenta em relação a determinado referencial 
ocupa diversas posições com o decorrer do tempo. A linha que liga essas posições 
recebe o nome de trajetória. É importante observar que a forma da trajetória 
depende do referencial adotado. Por exemplo, um menino deslocando-se horizon-
talmente lança uma bola verticalmente para cima e a apanha de volta depois de 
certo tempo. A bola descreve uma trajetória vertical em relação ao menino e uma 
trajetória parabólica em relação ao solo (fig. 2).
1. Na foto a seguir observa-se um carro levado por um guincho que está se deslo-
cando em uma estrada. Analisar as proposições abaixo e indicar as corretas.
 I. O guincho está em repouso em relação ao carro.
 II. O carro está em movimento em relação ao guincho.
 III. Uma árvore está em repouso em relação apenas ao carro.
 Solução
 O carro e o guincho estão em repouso, um em relação ao outro. Deslocando-se na 
estrada, eles estão em movimento em relação a uma árvore. Portanto, a árvore está 
em movimento em relação ao carro e ao guincho. Desse modo, apenas a proposição 
I está correta. 
Aplicando a teoria
1
Conteúdo 
multimídia Figura 2. A forma da trajetória depende do referencial adotado.
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 2 Trajetória
22
 3 A posição de um móvel ao longo de sua trajetória: o espaço s
A trajetória descrita por um móvel em relação a determinado referencial pode 
ser retilínea ou curvilínea. 
Gotas de água que 
se desprendem da 
torneira descrevem 
trajetórias retilíneas 
em relação ao solo.
2. Um ônibus está se deslocando em linha reta, com velocidade constante, quando 
uma pequena lâmpada se desprende do teto. Qual é a forma da trajetória descrita 
pela lâmpada:
 a) em relação a um passageiro do ônibus?
 b) em relação a uma pessoa parada na calçada observando o ônibus passar? 
 Solução
 a) Em relação a um passageiro do ônibus, a lâmpada cai verticalmente, descrevendo um 
segmento de reta.
 b) Em relação a uma pessoa parada na calçada, a lâmpada cai verticalmente ao mesmo 
tempo que avança horizontalmente seguindo o movimento do ônibus. Nessas condi-
ções, ela descreve uma curva que é um arco de parábola.
Avaliando o aprendizado
1. Um avião-tanque abastece aviões 
de caça em pleno voo. No intervalo 
de tempo em que é feita a transfe-
rência de combustível, os aviões 
de caça estão em movimento ou 
em repouso em relação ao avião- 
-tanque? E em relação à Terra?
2. Um helicóptero sobe verticalmen-
te. Considere um ponto P da hélice 
principal. Determine a trajetória 
descrita pelo ponto P:
 a) em relação a um observador situ-
ado dentro do helicóptero;
 b) em relação a um observador situ-
ado no solo.
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Cada cabine da roda-gigante em 
 movimento descreve uma 
 trajetória curvilínea em 
 relação ao solo.
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23
Para determinar a posição P de um móvel, em cada instante t, ao longo de sua 
trajetória, é preciso adotar um ponto O como origem e orientar a trajetória, consi-
derando um dos sentidos possíveis como positivo (fig. 3). A posição P é definida pela 
distância, medida ao longo da trajetória, de P até a orige m O. Tal distância vem 
precedida de um sinal, 1 (positivo) ou 2 (negativo), conforme esteja de um lado 
ou de outro da origem. A medida algébrica que permite determinar a posição P, 
em determinado instante t, recebe o nome de espaço do móvel e é indicada por s. 
O ponto O é denominado origem dos espaços.
Figura 3. s: espaço do móvel no instante t.
O
s P (t)
�
t (h) 0 1 1,5 2 2,5 3
s (km) 10 20 50 80 110 130
t (s) s (m)
0 22
1 0
2 1
3 3
t � 0
t � 1 s
t � 2 s
t � 3 s
s (m)
�2 �1
0
1
2
3
�
Figura 4.
Na figura 5 destacamos as posições de um automóvel deslocando-se numa rodovia. 
Nesse caso, os espaços são os marcos quilométricos da estrada. 
100 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 s (km)
t0 � 0 t1 � 1 h t2 � 1,5 h t3 � 2 h t4 � 2,5 h t5 � 3 h
Figura 5.
O instante t 5 0 é chamado origem dos tempos e o espaço do móvel no instante 
t 5 0 é o espaço inicial s0. Você sabe quais são os espaços iniciais nos exemplos das 
figuras 4 e 5? 
Função horária
A partir dos exemplos apresentados, notamos que a cada valor de t corresponde 
determinado valor de s. É possível estabelecer uma relação matemática entre os va-
lores de s e t. Essa relação matemática é a função horária do espaço. 
Exemplo: 
s 5 3 1 2t
A cada valor de t, em segundo, corresponde um valor de s, em metro:
Na figura 4 temos um exemplo das posições ocupadas por um móvel ao longo de 
sua trajetória e em diversos instantes. A tabela ao lado da figura traz os respectivos 
valores de t e s.
Na tabela abaixo encontram-se os respectivos valores de t e s.
t (s) 0 1 2
s (m) 3 5 7
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24
 4 Variação de espaço
Sejam s1 e s2 os espaços de um móvel nos instantes t1 e t2, respectivamente, sendo 
t2 posterior a t1 (fig. 6), a variação de espaço Ds no intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 
é dada por: 
Ds 5 s2 2 s1
Figura 6. D s 5 s2 2 s1: variação de espaço ou deslocamento escalar.
s2
O
t2
�s
t1
s1
�
A variação de espaço é também denominada deslocamento escalar.
No exemplo da figura 5, seja s1 5 20 km o espaço do automóvel no instante 
t1 5 1 h e s2 5 50 km seu espaço no instante t2 5 1,5 h, no intervalo de tempo 
Dt 5 t2 2 t1 5 1,5 h 2 1 h 5 0,5 h, o automóvel sofreu uma variação de espaço 
Ds 5 s2 2 s1 5 50 km 2 20 km 5 30 km.
A variação de espaço Ds pode ser positiva, negativa ou nula, conforme o espaço 
s2 seja maior, menor ou igual a s1 (fig. 7).
0
t1
s (m)
�s � 50 m � 10 m � �40 m
t2
10 20 30 40 50 60
t2
s (m)
t1
0 10 20 30 40 50 60
�S � 10 m � 50 m � �40 m
s (m)0 10 20 30 40 50 60
t1
�S � 10 m � 10 m � 0
t2
t
t
Figura 7.
Observação: 
Quando um móvel se desloca sempre no mesmo sentido e no sentido de orientação 
da trajetória, a variação de espaço coincide com a distância que o móvel percorre 
ao longo da trajetória.
Aplicando a teoria
3. Um ciclista descreve uma trajetória retilínea deslocando-se sempre no mesmo 
sentido. A figura indica as posições do ciclista com o decorrer do tempo.
Determinar:
 a) O espaço inicial do ciclista.
 b) A variação de espaço entre os instantes t 5 2 s e t 5 8 s.
 c) A distância percorrida entre os instantes t 5 0 e t 5 12 s.
 Solução
 a) O espaço inicial s0 é o espaço do móvel no instante t 5 0. Assim: s0 5 10 m
 b) De Ds 5 s2 2 s1, vem: Ds 5 s2 2s1 5 40 m 2 20 m ⇒ Ds 5 20 m
 c) Como o ciclista se desloca sempre no mesmo sentido e no sentido de orientação da 
trajetória, a variação de espaço coincide com a distância d que o móvel percorre ao 
longo da trajetória: d 5 Ds 5 s2 2 s1 5 100 m 2 10 m ⇒ Ds 5 90 m
s (m)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
t � 0 t � 2 s t � 8 s t � 10 s t � 12 s
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Avaliando o aprendizado
3. O espaço de um móvel varia com o tempo, segundo a tabela:
 Determine:
 a) o espaço inicial do móvel.
 b) a variação de espaço entre os instantes 0 e 20 s, 10 s e 40 s e 30 s e 50 s.
t (s) 0 10 20 30 40 50
s (m) 2 4 6 8 6 4
Para se ter ideia da rapidez com que um movimento se realiza, definimos uma 
grandeza denominada velocidade escalar. Quando calculada num determinado 
intervalo de tempo, temos a velocidade escalar média. Já a velocidade escalar num 
certo instante é a velocidade escalar instantânea.
Velocidade escalar média vm
A velocidade escalar média vm num intervalo de tempo Dt é a relação entre a 
variação de espaço, Ds 5 s2 2 s1, e o correspondente intervalo de tempo, Dt 5 t2 2 t1:
5
D
D
v
t
s
m
 5 Velocidade escalar
No exemplo da figura 5, no intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 5 1,5 h 2 1 h 5 0,5 h, 
o automóvel sofreu uma variação de espaço Ds 5 s2 2 s1 5 50 km 2 20 km 5 30 km. 
A velocidade escalar média nesse intervalo de tempo é igual a:
0,5 h
30 km
5
D
D
5v
t
s
m ⇒ vm 5 60 km/h
Velocidade escalar instantânea v
A velocidade de um jogador durante uma partida de futebol, a velocidade com 
que caminhamos na calçada, a velocidade de um automóvel em uma rodovia nem 
sempre são constantes. No caso do automóvel, por exemplo, a velocidade pode 
aumentar, diminuir e eventualmente permanecer constante em determinados inter-
valos de tempo. Em cada instante, no entanto, o automóvel possui uma velocidade 
escalar que é indicada pelo velocímetro.
Pode-se entender a velocidade escalar num certo instante como uma velocidade 
escalar média para um intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 muito pequeno, isto é, t2 e 
t1 muito próximos.
A relação matemática entre valores de v e de t constitui a função horária da 
velocidade. Essa função permite calcular a velocidade v de um móvel em cada 
instante t.
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Por exemplo, uma bolinha de tênis é lançada verticalmente para baixo do alto 
de um prédio e demora 2 s para chegar ao solo. Seja a função horária da velocidade 
da bolinha v 5 10 1 10t, sendo t dado em segundo (s) e v em metro por segundo 
(m/s). No instante t 5 0 (instante em que um cronômetro é disparado), a velocidade 
escalar da bolinha é 10 m/s. No instante t 5 2 s, a bolinha atinge o solo com veloci-
dade escalar igual a 30 m/s.
Unidades de velocidade
A unidade de velocidade, média ou instantânea, é expressa em unidade de 
comprimento por unidade de tempo, por exemplo, km/h. No Sistema Internacional 
de Unidades (SI), a unidade de velocidade é o metro por segundo (m/s).
Sendo 1 km 5 1.000 m e 1 h 5 3.600 s, a relação entre km/h e m/s é dada por:
1
h
km
. s
. m
5
3 600
1 000
 ⇒ h
km
, s
m
ou
s
m
,
h
km
5 51
3 6
1
1 3 6
Portanto, para converter uma velocidade dada em km/h para m/s, divide-se o 
valor dessa velocidade por 3,6. Reciprocamente, para converter uma velocidade dada 
em m/s para km/h, multiplica-se o valor dessa velocidade por 3,6. 
4. Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Calcular a velocidade escalar 
média do atleta durante a corrida. A resposta deve ser dada em km/h.
 Solução
 A partir da definição de velocidade escalar média, temos:
 vm 5 10 s
100 m
D
5
t
sD
 ⇒ vm 5 10 m/s
 Para transformar a velocidade em m/s para km/h, multiplicamos por 3,6:
 vm 5 10 ? 3,6 
m
h
k
 ⇒ vm 5 36 km/h
5. Um estudante, que iniciava seu curso no primeiro ano do ensino médio, viajou de 
carro com seu pai e notou que os postes estavam regularmente distribuídos ao 
longo de um trecho da estrada. Seu pai pediu que avaliasse a distância entre dois 
postes consecutivos. Para isso, o rapaz mediu o intervalo de tempo correspondente 
à passagem de dois postes consecutivos por um determinado ponto de sua jane-
la, 10 s. O estudante notou que, nesse intervalo de tempo, o velocímetro do carro 
indicava 90 km/h. Qual foi a distância, em metro, que o estudante encontrou? 
 Solução
 Vamos, inicialmente, transformar a velocidade dada em km/h para m/s e, a seguir, 
aplicar a definição de velocidade escalar média. Observemos que, no intervalo de 
tempo citado, o velocímetro indicava velocidade constante. Logo, ela coincide com 
a velocidade média.
 
h
km
3,6
90
s
m
m/s5 590 25
 5
D
D
v
t
s
m ⇒ 255
sD
10
 ⇒ Ds 5 250 m
Aplicando a teoria
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Uma moto faz o percurso de Recife a Gravatá (85 km) com velocidade média de
42,5 km/h e de Gravatá a Caruaru (50 km) com velocidade média de 50 km/h. Qual 
é a velocidade média da moto no percurso todo, isto é, de Recife a Caruaru?
 Solução
 De Recife a Gravatá:
 vRG 5 D
D
t
s
1
1 ⇒ 42,5 5 
tD
85
1
 � Dt1 5 2 h
 De Gravatá a Caruaru:
 vGC 5 Dt
sD
2
2 ⇒ 50 5 
tD
50
2
 � Dt2 5 1 h
 De Recife a Caruaru:
 vm 5 t 2 1
85 50
D
D
5
D 1 D
D 1 D
5
1
1
5
t
s
t
s s
3
135
1 2
1 2 �
 � vm 5 45 km/h
Avaliando o aprendizado
4. Viajando de Fortaleza a Sobral percorre-se 234 km. Um ônibus faz o percurso entre 
as duas cidades com velocidade escalar média de 58,5 km/h. Quanto tempo, em 
hora, demora a viagem? 
5. Na rodovia dos Bandeirantes, em São Paulo, o limite de velocidade é de 90 km/h 
para ônibus e caminhões. Um ônibus está viajando à velocidade limite. Num tre-
cho reto e completamente livre o motorista resolve colocar no sistema de som do 
ônibus um CD, gastando para isso 2 s. Qual é a distância que o ônibus percorre, em 
metro, nesse intervalo de tempo? 
6. O espaço s de um móvel varia com o tempo t de acordo com a função horária
s 5 10 1 5t 2 t2, para s em metro e t em segundo. Determine:
 a) o espaço do móvel nos instantes 0; 2 s e 6 s.
 b) a velocidade escalar média nos intervalos de tempo de 0 a 2 s e de 0 a 6 s. 
Recife
OCEANO
ATLÂNTICO
Gravatá
Caruaru
OCEANO
ATLÂNTICO
FortalezaSobral
N
0 50 km
N
0 20 km
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 6 Aceleração escalar
Para se ter ideia da rapidez com que a velocidade escalar varia no decorrer do 
tempo, definimos uma grandeza denominada aceleração escalar. Quando calcula-
da num determinado intervalo de tempo, temos a aceleração escalar média. Já a 
aceleração escalar num certo instante é a aceleração escalar instantânea.
Aceleração escalar média am
A aceleração escalar média am num intervalo de tempo Dt é a relação entre a 
variação de velocidade escalar Dv 5 v2 2 v1 e o correspondente intervalo de tempo 
Dt 5 t2 2 t1:
a 5
D
D
t
v
m
Aceleração escalar instantânea a
Pode-se entender a aceleração escalar num certo instante como uma aceleração 
escalar média para um intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 muito pequeno, isto é, t2 e 
t1 muito próximos.
Unidades de aceleração
A unidade de aceleração, média ou instantânea, é expressa em unidade de ve-
locidade dividida por unidade de tempo, como 
hkm/h
h
km
;
s
km/h
5 2 . No SI, a unidade 
de aceleração é o metro por segundo por segundo: 
s
m/s
s
m
5 2 .
 7 Movimento progressivo e movimento retrógrado
Figura 8. (A) Movimento progressivo; (B) movimento retrógrado.
s (m)0 10 20 30 40 50
s (m)0 10 20 30 40 50
Uma pessoa caminha em uma rua. Observe a figura 8. No item A, a pessoa se 
desloca no sentido em que foi orientada a trajetória; no item B, em sentido contrário 
a essa trajetória. 
2
Conteúdo 
multimídia
No primeiro caso (fig. 8A), dizemos que o movimento é progressivo; no segundo 
caso (fig. 8B), o movimento é retrógrado.
A
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 8 Movimento acelerado e movimento retardado
Um carro está sendo acelerado e sua velocidade varia conforme mostra a figura 9. 
Note que, no item A, a trajetória foi orientada no sentido do movimento e no item B, 
em sentido contrário. Em ambas as situações, o valor absoluto da velocidade escalar 
aumenta com o decorrer do tempo e o movimento é chamado acelerado.
Na figura 10 um carro está sendo freado. Orientando-se a trajetória no sentido 
do movimento (item A) ou em sentido contrário (item B), o valor absoluto da veloci-
dade escalar diminui com o decorrer do tempo e o movimento é chamado retardado. 
Podemos então definir:
Movimento acelerado: o valor absoluto da velocidade escalar aumenta com 
o decorrer do tempo.
Movimento retardado: o valor absoluto da velocidade escalar diminui com 
o decorrer do tempo.
No movimento acelerado, a velocidade escalar v e a aceleração escalar a têm o 
mesmo sinal, isto é, v . 0 e a . 0 ou v , 0 e a , 0.
No movimento retardado, a velocidade escalar v e a aceleração escalar a têm 
sinais contrários, isto é, v . 0 e a , 0 ou v , 0 e a . 0.
Figura 9. (A) Movimento progressivo e acelerado; (B) movimento retrógrado e acelerado.
130 km/h 160 km/h
+
230 km/h 260 km/h
+
Note que:
No movimento progressivo, o espaço do móvel cresce com o decorrer do 
tempo e a velocidade escalar é positiva.
No movimento retrógrado, o espaço decresce com o decorrer do tempo e a 
velocidade escalar é negativa.
Figura 10. (A) Movimento progressivo e retardado; (B) movimento retrógrado e retardado.
160 km/h 130 km/h
+
260 km/h 230 km/h
+
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7. O manual de instruções de um automóvel informa que o veículo, partindo do re-
pouso, atinge a velocidade de 96 km/h em 8,5 s. Qual é a aceleração escalar média 
do automóvel nesse intervalo de tempo? A resposta deve ser dada em m/s2.
 Solução
 Para transformar 96 km/h em m/s, dividimos 96 por 3,6 e obtemos aproximada-
mente 26,7 m/s. 
 Como am 5 D
D
t
v
 e Dt 5 8,5 s, temos am 5 8,5 s
26,7 m/s
 ⇒ am . 3,14 m/s
2
8. Três ciclistas deslocam-se numa pista dupla e suas velocidades variam com o 
tempo conforme mostram as tabelas abaixo.
 Classificar o movimento de cada ciclista dizendo se ele é progressivo ou retrógra-
do, acelerado ou retardado.
 Solução
 As velocidades dos ciclistas 1 e 2 são positivas. Logo, seus movimentos são pro-
gressivos. Já a velocidade do ciclista 3 é negativa. Seu movimento é retrógrado. Os 
valores absolutos das velocidades dos ciclistas 1 e 3 aumentam com o decorrer do 
tempo. Assim, os movimentos desses ciclistas são acelerados. O valor absoluto da 
velocidade do ciclista 2 diminui com o decorrer do tempo. Seu movimento é retar-
dado. Desse modo, o movimento do ciclista 1 é progressivo acelerado, o do ciclista 
2 é progressivo retardado e o do ciclista 3 é retrógrado acelerado.
Ciclista 1 Ciclista 2 Ciclista 3
t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) v (m/s)
0 0 0 10 0 22
2 4 2 8 2 24
4 6 4 6 4 26
6 8 6 4 6 28
8 10 8 2 8 210
Avaliando o aprendizado
7. Uma revista especializada compara o desempenho de dois carros, um de passeio e 
outro de Fórmula 1, ao serem acelerados de zero a 100 km/h. Os correspondentes 
intervalos de tempo são, respectivamente, 13,9 s e 3,2 s. Quantas vezes a aceleração 
escalar do carro de Fórmula 1 é maior que a do carro de passeio?
8. Os esquemas abaixo indicam as posições de uma bolinha de tênis que descreve 
uma trajetória retilínea. A trajetória foi orientada no sentido do movimento em a 
e em sentido oposto em b. Classifique o movimento da bolinha em cada situação, 
dizendo se é progressivo ou retrógrado e se é acelerado ou retardado. 
9. A aceleração escalar de um móvel, num certo intervalo de tempo, é negativa. Sa-
bendo-se que o movimento é retardado, qual é o sinal da velocidade escalar nesse 
intervalo de tempo?
t � 1 st � 0 t � 2 s t � 3 s
�
a)
t � 1 st � 0 t � 2 s t � 3 s
�
b)
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1. (IJSO) Dois amigos, Carlos e Francisco, estão em 
seus carros parados num semáforo, um ao lado 
do outro. Quando o farol fica verde, Francisco 
parte e Carlos, não percebendo a abertura do 
sinal, pisa no freio, pois tem a impressão de que 
seu carro está indo para trás. A respeito dessa 
situação, podemos afirmar que:
 I. A sensação que Carlos teve decorreu do fato 
de ter tomado o carro de Francisco como refe-
rencial.
 II. Em relação ao carro de Francisco, o carro de 
Carlos se deslocou para trás, colidindo com 
outro carro que estava atrás do seu, parado 
em relação ao semáforo. 
 III. Em relação ao semáforo o carro de Carlos não 
se movimentou.
 Analisando as afirmações concluímos que:
a) Somente a afirmação I é correta.
b) Somente as afirmações I e II são corretas.
c) Somente as afirmações I e III são corretas.
d) Somente as afirmações II e III são corretas.
e) Todas as afirmações são corretas. 
2. (UFRJ) Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, 
afirma que o passageiro sentado à sua frente não 
se move, ou seja, está em repouso. Ao mesmo 
tempo, Abelardo, sentado à margem da rodovia, 
vê o ônibus passar e afirma que o referido passa-
geiro está em movimento.
 De acordo com os conceitos de movimento e 
repouso usados em Mecânica, explique de que 
maneira devemos interpretar as afirmações de 
Heloísa e Abelardo para dizer que ambas estão 
corretas.
Ficha-resumo 1
Os conceitos de movimento e de repouso de 
um corpo são relativos, isto é, dependem de 
outro corpo tomado como referencial. 
Ponto material é um corpo cujas dimensões 
são desprezíveis, no estudo de determina-
do  fenômeno. Quando se consideram suas 
dimensões, o corpo é denominado extenso.
A forma da trajetória descrita por um ponto 
material depende do referencial adotado.
3. (UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velo-
cidade constante, quando deixa cair uma moeda. 
Tomás está parado na rua e vê a moeda cair. Con-
sidere desprezível a resistência do ar. Assinale a 
alternativa em que melhor estão representadas 
as trajetórias da moeda, como observadas por 
Júlia e por Tomás.
Revisando o conteúdo
Velocidade escalar média vm: vm 5 tD
Ds
Velocidade escalar instantânea v : pode ser 
entendida como uma velocidade escalar média 
para um intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 muito 
pequeno, isto é, t2 e t1 muito próximos.
Unidades de medida de velocidade: m/s; km/h
Relação entre m/s e km/h: 1 m/s 5 3,6 km/h
Ficha-resumo 2
4. (Cefet-AL) Há mais de 30 anos, astronautas das 
missões Apollo colocaram espelhos na Lua – uma 
série de pequenos refletores que podem intercep-
tar feixes de laser da Terra e enviá-los de volta. 
Numa determinada experiência, uma série de 
pulsos de laser foi disparada por um telescópio 
terrestre, cruzou o espaço e atingiu os espelhos. 
Devido ao seu formato, os espelhos devolveram 
os pulsosdiretamente para o local de onde vie-
ram, permitindo medir a distância para a Lua com 
ótima precisão. Constatou-se que o tempo de ida 
e volta foi de 2,56 s. Sabendo-se que a velocidade 
de propagação dos pulsos laser é de 3 ? 108 m/s, a 
distância Terra-Lua, de acordo com a experiência  
citada, é de:
a) 9,42 ? 105 km d) 3,84 ? 105 km
b) 7,68 ? 105 km e) 1,17 ? 105 km
c) 5,36 ? 105 km
5. (UFU-MG) As andorinhas saem do hemisfério 
norte no inverno e voam para o hemisfério sul em 
busca de áreas mais quentes.
a) Júlia Tomás
b) Júlia Tomás
c) Júlia Tomás
d) Júlia Tomás
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 Duas andorinhas, A1 e A2, são capturadas no 
hemisfério norte a caminho do hemisfério sul. 
Em suas pernas são colocados transmissores e, 
então, essas aves são soltas. Passados 40 dias, a 
andorinha A1 é capturada na África, a 12.000 km 
da posição original. Vinte dias após essa captura, 
a andorinha A2 chega à Austrália, tendo percorri-
do 18.000 km a partir da posição original.
 Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que as velocidades médias das andorinhas 
A1 e A2 são, respectivamente:
a) 
2
25 km/h e 
2
25 km/h
b) 5
4
7 km/h e 25
3
 km/h
c) 25
6
 km/h e 25
3
 km/h
d) 25
3
 km/h e 
6
25 km/h
6. (Unemat-MT) Um ônibus escolar deve partir de 
uma determinada cidade conduzindo estudantes 
para uma universidade localizada em outra cidade, 
no período noturno. Considere que o ônibus deverá 
chegar à universidade às 19 h, e a distância entre es-
sas cidades é de 120 km, com previsão de parada de 
10 minutos num determinado local situado a 70 km 
antes da cidade de destino. Se o ônibus desenvol-
ver uma velocidade escalar média de 100 km/h, 
qual deve ser o horário de partida desse ônibus?
a) 18 h d) 17 h 58 min
b) 17 h 48 min e) 17 h 38 min
c) 18 h 10 min
7. (Fuvest-SP) Um passageiro, viajando de metrô, fez 
o registro de tempo entre duas estações e obteve 
os valores indicados na tabela. 
 Supondo que a velocidade média entre duas esta-
ções consecutivas seja sempre a mesma e que o 
trem pare o mesmo tempo em qualquer estação 
da linha, de 15 km de extensão, é possível estimar 
que um trem, desde a partida da estação Bosque 
até a chegada à estação Terminal, leva aproxima-
damente:
a) 20 min d) 35 min
b) 25 min e) 40 min
c) 30 min
8. (Cesgranrio-RJ) Um fabricante de automóveis 
anuncia que determinado modelo, partindo do 
repouso, atinge a velocidade escalar de 80 km/h 
em 8 s. Isso supõe uma aceleração escalar média 
próxima de:
a) 0,1 m/s2 c) 10 m/s2 e) 64 m/s2
b) 3 m/s2 d) 23 m/s2
9. Um menino abandona uma bolinha de borracha 
do segundo andar de seu prédio. Admitindo-
-se que a bolinha caia sob ação exclusiva da 
 gravidade, com aceleração de 10 m/s2, qual é a 
variação de velocidade da bolinha após 1 s de 
queda? Dê a resposta em km/h.
Chegada Partida
Vila Maria 0:00 min 1:00 min
Felicidade 5:00 min 6:00 min
10. (UCG-GO) Se o movimento de uma partícula é 
retrógrado e retardado, então a aceleração escalar 
da partícula é:
a) nula. c) variável. e) negativa.
b) constante. d) positiva. 
11. Durante certo intervalo de tempo, uma partícula 
se move de modo que o produto da velocidade 
escalar pela aceleração escalar é positivo. Nesse 
intervalo de tempo o movimento é:
a) progressivo. d) retardado.
b) retrógrado. e) retrógrado e retardado.
c) acelerado.
São José
Bosque
Central
2 km
Vila Maria
Felicidade
Terminal
Arcoverde
Aceleração escalar média am : am 5 t
v
D
D
Aceleração escalar instantânea: pode ser 
 entendida como uma aceleração escalar mé-
dia para um intervalo de tempo Dt 5 t2 2 t1 
muito pequeno, isto é, t2 e t1 muito próximos.
Unidades de medida de aceleração: km/h2; 
km/h/s; m/s2
Ficha-resumo 3
No movimento progressivo o móvel caminha 
a favor da orientação positiva da trajetória. O 
espaço s do móvel cresce com o decorrer do 
tempo e a velocidade escalar é positiva (v . 0).
No movimento retrógrado o móvel caminha 
contra a orientação positiva da trajetória. O 
espaço s decresce com o decorrer do tempo e 
a velocidade escalar é negativa (v , 0).
Ficha-resumo 4
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MOVIMENTO UNIFORMEMOVIMENTO UNIFORMEMOVIMENTO UNIFORMEMOVIMENTO UNIFORME
(MU)(MU)(MU)(MU)
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Vereda Digital - Física
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Ferraro, Nicolau Gilberto Física, volume único / Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno
A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado. – 1. ed. – São Paulo: Moderna, 2012. – (Vereda digital) Inclui
DVD. 1. Física (Ensino médio) I. Torres, Carlos Magno A. II. Penteado, Paulo Cesar M. III. Título. IV.
Série. 12-10797 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado,
2012
 
 
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Movimento uniforme (MU)
“Estas são as viagens da nave estelar Enterprise, em sua missão de cinco anos para explorar novos mundos, para pesquisar 
novas vidas, novas civilizações, audaciosamente indo aonde nenhum homem jamais esteve!” Após essa narração, começavam 
as aventuras de Jornada nas estrelas, série norte-americana de ficção científica do início dos anos 1960. Na foto, a nave estelar 
Enterprise viaja no espaço, livre da ação da gravidade, com velocidade constante, depois de cessar sua aceleração, em um 
movimento que chamamos de movimento uniforme. Esse movimento é o tema deste capítulo.UP
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Objetivos do capítulo:
Reconhecer como movimentos uniformes as 
situações que envolvem deslocamentos escalares 
proporcionais aos respectivos intervalos de tempo.
Reconhecer o movimento uniforme (MU) quando 
representado por gráficos, tabelas e funções.
Resolver analiticamente situações que envolvam 
movimentos uniformes.
Resolver graficamente situações que envolvam 
movimentos uniformes.
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 1 Introdução
Uma pessoa faz uma vigorosa caminhada por uma trilha em 
um parque, com passadas regularmente cadenciadas de, digamos, 
dois passos por segundo. Supondo que o comprimento do passo 
dessa pessoa tenha 75 cm de extensão, podemos dizer que ela se 
desloca a uma taxa constante de 1,5 m a cada segundo. Se forem 
mantidas essas condições, a pessoa percorrerá 90 metros em um 
minuto, ou 5,4 km em uma hora. Essas proporções correspondem 
a uma velocidade escalar constante de 1,5 m/s ou de 5,4 km/h. 
Vamos supor que, em uma viagem de carro, o velocímetro 
indique um valor constante de 60 km/h, por exemplo, durante 
cerca de dez minutos. Como uma hora tem 60 minutos, nessas 
condições, o veículo se moveu a uma velocidade constante de
1 km/min e avançou, portanto, 10 km nesses dez minutos.
Enquanto as situações acima se mantiverem, tanto a pessoa 
como o veículo percorrerão distâncias iguais em intervalos de 
tempo iguais. Dizemos então que, durante esses intervalos 
de tempo, ambos os móveis realizam movimentos uniformes.
Todo movimento que ocorre com velocidade escalar 
constante, independentemente da forma da sua 
trajetória, é denominado movimento uniforme (MU).Para determinar esse movimento, devemos identificar pelo 
menos uma das seguintes características:
• os deslocamentos escalares (variações do espaço) são iguais, 
em intervalos de tempo iguais;
 …
D
D
5
D
D
5 5
t
s
t
s
1
1
2
2 
D
D
t
s
n
n , se Dt1 5 Dt2 5 ... 5 Dtn, teremos:
 Ds1 5 Ds2 5 ... 5 Dsn
• a velocidade escalar é constante e não nula (velocímetro 
indicando sempre o mesmo valor não nulo);
… (constante)v
D
D
5
D
D
5 5
D
D
5
t
s
t
s
t
s
n
n
1
1
2
2
• a aceleração escalar é constante, porém nula.
Embora as três características acima se refiram a grandezas 
 diferentes, uma decorre da outra e elas são, portanto, equi-
valentes.
De modo geral, podemos dizer que, nos movimentos uni-
formes, os deslocamentos escalares ou variações de espaço (Ds) 
são diretamente proporcionais aos intervalos de tempo (Dt) de 
percurso. Matematicamente, essa proporcionalidade pode ser 
expressa da seguinte forma:
Ds 5 v ? Dt
A equação acima é denominada equação dos deslocamentos 
escalares do MU.
Movimento uniforme (MU)
C
A
P
ÍT
U
LO
 3
ED
B
O
C
K
S
TO
C
K
/S
H
U
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ER
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C
K
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Física
Figura 1. As pessoas 
que se divertem no 
brinquedo mostrado na 
foto estão descrevendo 
movimentos circulares 
e uniformes.
Observação: 
O movimento uniforme (MU) pode ocorrer em qualquer tipo de trajetória. Se a 
trajetória for retilínea, o movimento será denominado retilíneo e uniforme (MRU). 
Se a trajetória for uma circunferência, o movimento será denominado circular e 
uniforme (MCU), como você pode ver na figura 1.
S
H
U
TT
ER
S
TO
C
K
Aplicando a teoria
1. Um automóvel passou pelo marco de 12 km de uma estrada às 7 h 5 min. Às 7 h 20 min, 
ele passou pelo marco de 27 km da mesma estrada. Determinar para esse veículo:
 a) o intervalo de tempo, em hora, decorrido entre as passagens pelos marcos de 12 km e 
de 27 km;
 b) a variação do espaço (Ds) no intervalo de tempo calculado no item a;
 c) o valor v de sua velocidade, supondo-a constante nesse trecho;
 d) o marco quilométrico pelo qual ele passará às 7 h 40 min, nas mesmas condições 
do item c.
 Solução
 a) O intervalo de tempo Dt é dado por: Dt 5 t2 2 t1. Portanto:
 Dt 5 7 h 20 min 2 7 h 5 min 5 15 min ou Dt 5 1
4
 h
 b) A variação do espaço Ds é dada por: Ds = s2 – s1. Portanto:
 Ds 5 27 km 2 12 km ⇒ Ds 5 15 km
 c) Admitindo o movimento uniforme, temos:
 
h
15 km
5
D
D
5v
t
s
4
1
 ⇒ v 5 60 km / h
 d) Entre 7 h 20 min e 7 h 40 min decorreram 20 min, isto é, 1
3
 h. Nesse intervalo de 
tempo, o deslocamento escalar do móvel foi: 
 Ds 5 v ? Dt 5 60 
h
km ? 1
3
 h 5 20 km
 Portanto:
 Ds 5 s3 2 s2 ⇒ 20 km 5 s3 2 27 km ⇒ s3 5 47 km
 Assim, às 7 h 40 min, o carro passará pelo marco de 47 km da estrada.
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Movimento uniforme (MU)
1 s
6 m
1 s
6 m
Ciclista em MRU
1 s
6 m
2. Um trem de 200 m de comprimento, com velocidade constante de 60 km/h, passa 
completamente por uma ponte, de comprimento L desconhecido, em 1 min 12 s. 
Determinar o comprimento L da ponte.
 Solução
 200 m L
 A figura acima mostra o instante no qual a frente do trem chega à ponte e o instante 
no qual a traseira do trem deixa a ponte. Entre as duas situações mostradas decorreu 
um intervalo de tempo Dt 5 72 s e cada ponto do trem teve um deslocamento escalar 
Ds 5 (200 1 L) m. Para equacionar corretamente, é preciso converter a velocidade 
de km/h para m/s, usando o fator 3,6 já visto no capítulo anterior:
 60 km/h 5 
,3 6
60
 m/s
 Assim:
 Ds 5 v ? Dt ⇒ 200 1 L 5 3,6
60e o ? 72 � L 5 1.000 m 5 1 km
Avaliando o aprendizado
1. Por definição, um ano-luz é a distância percorrida pela luz, no vácuo, no intervalo de 
tempo de um ano terrestre. Da mesma forma, podemos definir um minuto-luz como 
a distância percorrida pela luz, no vácuo, em um minuto. Analogamente, definimos 
um segundo-luz como a distância percorrida pela luz, no vácuo, em um segundo.
 a) Considerando que um ano terrestre tem aproximadamente 3,15 ? 107 s, expresse um 
 ano-luz em quilômetro. Adote para a velocidade da luz no vácuo o valor 3,00 ? 105 km/s. 
 b) A distância máxima da Terra ao Sol é de aproximadamente 153 milhões de quilô-
metros. Expresse essa distância em minuto-luz. O que significa esse resultado?
2. Um caça Mirage F1, desenvolvendo potência máxima, chega a atingir velocidade de 
2.340 km/h. Isso significa que, a essa velocidade, essa aeronave percorre 1 km em:
 a) 1,0 s c) aproximadamente 2,0 s e) 3,0 s
 b) pouco mais de 1,5 s d) 2,5 s
3. Em um treino intenso, um ciclista percorreu 2.250 m em 2,5 min, com velocidade es-
calar constante. Com essa mesma velocidade, um percurso de 4.800 m seria realizado 
em um intervalo de tempo igual a:
 a) 5 min 20 s c) 5 min 10 s e) 4 min
 b) 5 min 15 s d) 5 min
4. Um trem de 400 m de comprimento, em movimento retilíneo e uniforme, com veloci-
dade escalar de 160 km/h, atravessa completamente um túnel de 1.200 m de compri-
mento em um intervalo de tempo igual a:
 a) 10,0 s c) 25,0 s e) 45,0 s
 b) 12,5 s d) 36,0 s
5. Observe a figura abaixo. O velocímetro da bicicleta, durante o movimento no trecho 
mostrado, está marcando um valor entre:
 a) 5 e 10 km/h
 b) 15 e 20 km/h
 c) 20 e 25 km/h
 d) 25 e 30 km/h
 e) 35 e 40 km/h
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Física
 2 Função horária do espaço do MU
Em situações semelhantes às dos exercícios resolvidos 1 e 2 da seção “Aplicando 
a teoria”, o que importa é o deslocamento escalar do móvel no intervalo de tempo 
considerado. Em outras situações, o que importa são os espaços correspondentes às 
suas posições em determinados instantes. No MU, assim como em outros movimentos, 
os espaços (s) do móvel estão relacionados com os respectivos instantes de tempo (t) 
por uma função matemática denominada função horária do espaço, ou função 
horária da posição. Em seguida, vamos obter a função horária do espaço do MU.
O deslocamento escalar Ds é igual à diferença entre o espaço final s e o espaço 
inicial s0 do móvel, em certo trecho, e o intervalo de tempo Dt é a diferença entre o 
instante final t e o instante inicial t0 5 0, correspondentes a essas posições. Assim, temos:
s 2 s0 5 v ? (t 2 0)
ou
s 5 s0 1 v ? t
A expressão acima algumas vezes é erroneamente chamada de “equação” ho-
rária dos espaços. Na verdade, essa expressão é uma função do primeiro grau em t.
3. Um automóvel se desloca com velocidade constante em uma estrada, percorrendo 
os trechos mostrados no esquema abaixo. Os valores indicados representam os 
marcos quilométricos das posições do carro anotadas a cada 20 minutos, a partir 
do quilômetro 72.
s3s2
s1s0
km
72
km
97
km
122
km
147
 Determinar para esse automóvel:
 a) as variações de espaço ocorridas nos três trechos sucessivos;
 b) o tipo de movimento desenvolvido entre os quilômetros 72 e 147, justificando sua 
resposta; 
 c) sua velocidade escalar, em km/h, entre os quilômetros 72 e 147;
 d) a função horária do seu movimento entre os quilômetros 72 e 147;
 e) o espaço s4 correspondente à sua posição 24 minutos após o início da contagem do 
tempo.
 Solução
 a) Para cada trecho temos: Dstrecho 5 sfinal 2 sinicial
 No trecho I: DsI 5 s1 2 s0 5 (97 2 72) km 5 25 km
 No trecho II: DsII 5 s2 2 s1 5 (122 2 97) km 5 25 km
 No trecho III: DsIII 5 s3 2 s2 5 (147 2 122) km 5 25 km
 b) O movimento é uniforme, pois o carro desloca-se regularmente25 km a cada 
20 minutos: deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais.
Aplicando a teoria
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Movimento uniforme (MU)
 c) Podemos calcular a velocidade escalar do carro tanto para cada trecho como para o 
percurso todo, pois ela é constante. Assim, temos:
 v
km
h
km
5
D
D
5 5
mint
s
20
25
3
1
25
 ⇒ v 5 75 km / h
 d) Como a posição inicial corresponde ao marco km 72, temos: s0 5 72 km. Nessa posi-
ção, vamos considerar t0 5 0. A velocidade escalar do carro já foi calculada no item 
anterior, v 5 75 km/h. Portanto, como o movimento é uniforme, a função horária 
do espaço é da forma: s 5 s0 1 vt. Substituindo os valores numéricos já obtidos, 
temos: 
s 5 72 1 75t
 com s em quilômetro e t em hora;
s 5 72 1 1,25t
 com s em quilômetro e t em minuto, pois:
km/h
km
, km/min5 5
min
75
60
75
1 25
 e) Se usarmos a primeira função horária, será necessário converter 24 minutos em 
hora: 24 min 5 24 ? 
60
1 h 5 0,4 h. Substituindo esse valor na função horária do 
 espaço, temos: 
 s4 5 72 1 75 ? (0,4) � s4 5 102 km
 Se usarmos a segunda função horária, teremos: 
 s4 5 72 1 1,25 ? (24) � s4 5 102 km
4. No instante t0 5 0 um carro A passa pela origem de uma trajetória retilínea, indi-
cada na figura abaixo, com velocidade escalar constante de módulo 5,0 m/s. No 
mesmo instante, um carro B passa pelo ponto de abscissa 800 m, com velocidade 
escalar constante de módulo 3,0 m/s, em sentido contrário ao de A, em uma tra-
jetória paralela e idêntica à de A.
0 800 s (m)
BA
 a) Escrever as funções horárias dos espaços para os dois móveis, observando a orien-
tação das trajetórias.
 b) Determinar o instante te em que os móveis se cruzam (encontro).
 c) Determinar o espaço se do ponto da trajetória onde ocorre o encontro.
 d) Determinar o deslocamento escalar de cada móvel, DsA e DsB, até o encontro.
 e) Resolver os itens a e b supondo que o carro B se mova no mesmo sentido do carro A.
 Solução
 a) Para o móvel A, temos: 
 s0(A) 5 0 e vA 5 15,0 m/s
 Assim:
 sA 5 s0(A) 1 vAt ⇒ sA 5 0 1 5,0t (SI)
 Para o móvel B, temos: 
 s0(B) 5 800 m e vB 5 23,0 m/s
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Física
 Assim:
 sB 5 s0(B) 1 vBt ⇒ sB 5 800 2 3,0t (SI)
 b) No instante do encontro (te) devemos ter: sA 5 sB
 Assim:
 15,0te 5 800 2 3,0te ⇒ 8,0te 5 800 � te 5 100 s
 O instante de encontro é te 5 100 s, ou te 5 1 min 40 s
 c) Para obter se, podemos substituir te na função horária de A ou de B, já que no encon-
tro sA 5 sB 5 se.
 Como sA 5 0 1 5,0te, temos:
sA 5 5,0 m/s ? 100 s ⇒ se 5 500 m
 d) Como DsA 5 vA ? Dt, temos:
DsA 5 15,0 m/s ? 100 s ⇒ DsA 5 1500 m
 O carro A andou 500 m para a direita.
 Como DsB 5 vB ? Dt, temos:
DsB 5 23,0 m/s ? 100 s ⇒ DsB 5 2300 m
 O carro B andou 300 m para a esquerda.
 e) Para o carro A nada mudou, assim: 
sA 5 0 1 5,0t
 Para o carro B, entretanto, a velocidade escalar mudou de sentido (e de sinal), assim: 
sB 5 800 1 3,00t
 Portanto, no encontro temos: 
5,0te 5 800 1 3,0te ⇒ 2,0 ? te 5 800 � te 5 400 s
Avaliando o aprendizado
6. Um automóvel passa pelo quilômetro 30 de uma rodovia às 6 h, com velocida-
de escalar de 75 km/h, que será mantida constante pelos próximos 20 minutos. 
Considere o instante da passagem do veículo pelo quilômetro 30 o instante zero 
(t0 5 0) e o sentido do seu movimento o sentido crescente da quilometragem indi-
cada nos marcos da estrada. Assim, no período entre 6 h e 6 h 20 min, determine 
para esse móvel: 
 a) a distância que ele percorre a cada minuto; 
 b) a função horária do espaço, com t medido em minuto e s medido em quilômetro; 
 c) o marco quilométrico da estrada pelo qual ele passará às 6 h 20 min. 
7. Às 16 h 15 min, um automóvel passa pelo quilômetro 35 de uma rodovia, com 
velocidade escalar de 40 km/h, que será mantida constante pelos próximos 
45 minutos. Considere o instante da passagem do veículo pelo quilômetro 35 
o instante zero (t0 5 0) e o sentido do seu movimento o sentido decrescente da 
quilometragem indicada nos marcos da estrada. Sobre o movimento do veículo 
entre 16 h 15 min e 17 h são apresentadas as afirmações a seguir. Classifique 
cada uma delas como verdadeira (V) ou falsa (F) e assinale a alternativa com a 
sequência correta de V e F.
 I. No intervalo de tempo considerado, o carro percorre 2 quilômetros a cada 
3 minutos.
 II. A função horária do movimento do veículo pode ser escrita como s 5 35 2 40t, 
com s em quilômetro e t em hora.
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Movimento uniforme (MU)
 III. A função horária do movimento do veículo pode ser escrita como s 5 35 2 t
3
2
, com 
s em quilômetro e t em minuto.
 IV. Às 17 h o carro passará pelo quilômetro 5 da estrada.
 V. O carro passou pelo quilômetro 25 da estrada no instante t 5 15 min.
 a) V V V V V
 b) V F V V F
 c) F V V V F
 d) F F V V F
 e) F F F F F
8. Em um dado instante, um carro A, com velocidade escalar constante vA 5 5 m/s, 
passa por um carro B, inicialmente parado. Quinze segundos depois, o carro B 
sai em perseguição ao carro A, mantendo uma velocidade escalar constante
vB 5 8 m/s. Considere o instante de saída do carro B o instante zero. Para essa 
situação:
 a) faça uma figura mostrando as posições dos carros A e B no instante zero, indicando 
suas velocidades e a distância entre eles;
 b) escreva as funções horárias dos espaços dos dois móveis no SI, a partir do instante 
zero, adotando como origem dos espaços o ponto de partida de B;
 c) determine o instante no qual B alcança A (encontro);
 d) determine o deslocamento escalar (Ds) de cada veículo, desde o instante zero até o 
encontro.
 3 Conceito de velocidade relativa
Ao viajar por uma estrada, você já deve ter observado que, 
ao ser ultrapassado por um veículo que vai no mesmo sentido 
que o seu, a velocidade dele parece não ser tão elevada, mesmo 
que seu carro esteja a 100 km/h. Na verdade, o que você está 
percebendo é a velocidade do outro veículo relativa ao seu 
carro. Se aquele veículo está a 120 km/h em relação ao solo, 
relativamente ao seu carro ele está a 20 km/h. Tudo se passa 
como se você estivesse parado e ele o ultrapassasse a 20 km/h. 
O inverso ocorre se o outro carro ultrapassa o seu em sentido 
contrário. Você tem a impressão de que ele passa “voando”. 
Novamente você está percebendo a velocidade do outro veículo 
relativa ao seu carro, que também está em movimento. Nesse 
caso, as velocidades se somam, dando a impressão de que o 
outro carro está com uma velocidade altíssima.
Veja a figura 2 a seguir.
Devido ao agrupamento causado pela entrada 
do safety car durante uma corrida em um circuito 
automobilístico, os carros mantêm praticamen-
te a mesma velocidade escalar na pista. A velo-
cidade relativa entre eles é praticamente nula.
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Figura 2. 
vrelativa = |v1| � |v2|
v1v2
vrelativa = |v1| � |v2|
v1v2
vrelativa = |v1| � |v2|
v1v2CBA
Observação: 
Nas situações da figura 2 supõe-se |v1| . |v2| e considera-se a ve-
locidade relativa sempre em módulo.
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Física
Aplicando a teoria
5. Um carro de comprimento desprezível, com velocidade escalar constante igual a 
90 km/h, ultrapassa um trem de 250 m de comprimento que se move no mesmo 
sentido, comvelocidade também constante e igual a 54 km/h. Determinar:
 a) o tempo gasto pelo carro na ultrapassagem;
 b) o deslocamento do carro durante a ultrapassagem;
 c) o deslocamento do trem durante a ultrapassagem.
 Solução
 a) Vamos, hipoteticamente, parar o trem e determinar a velocidade do carro relati-
va a ele. Como as velocidades do carro e do trem têm o mesmo sentido, a veloci-
dade relativa será vrelativa 5 |190| 2 |154| � vrelativa 5 36 km/h. Isto é, tudo se passa 
como se o trem estivesse parado e o carro percorresse os 250 m do comprimento 
do trem com velocidade de 36 km/h. Veja a figura abaixo. 
 250 m
 No cálculo do tempo, é conveniente converter a unidade da velocidade relativa 
para o SI. Assim:
 Ds 5 vrelativa ? Dt ⇒ 250 m 5 36 m/s3,6
1
? ? Dt ⇒ Dt 5 25 s
 b) Para o cálculo do deslocamento do carro, evidentemente, devemos voltar à situa-
ção proposta e usar sua velocidade escalar de 90 km/h. Portanto:
 Dscarro 5 vcarro ? Dt ⇒ Dscarro 5 3 m/s3,6
1
?0 ? 25 s ⇒ Dscarro 5 625 m
 c) Para o cálculo do Ds do trem, procedemos de maneira semelhante à do item 
anterior:
 Dstrem 5 vtrem ? Dt ⇒ Dstrem 5 m/s3,6
1
?54 ? 25 s ⇒ Dstrem 5 375 m
 Note que a diferença entre os deslocamentos escalares dos dois móveis é pre-
cisamente a distância que o carro percorre “a mais” que o trem. Essa diferença, 
que é exatamente o comprimento do trem, é denominada deslocamento escalar 
relativo (Dsrelativo 5 625 m 2 375 m 5 250 m). Essa distância é a que o carro teria 
de percorrer se o trem estivesse parado.
As operações da figura 2 podem ser notadas nas resoluções dos itens b e e do exercício 4 
da seção “Aplicando a teoria”. 
Quando os movimentos dos veículos são em sentidos opostos, item b, as velocidades 
se somam na equação (fig. 2A). Observe:
15,0te 5 800 2 3,0te ⇒ , ,15 0 3 0_ i ? te 5 800
Quando os movimentos dos veículos são no mesmo sentido, item e, as velocidades se 
subtraem na equação (fig. 2C). Observe:
15,0te 5 800 1 3,0te ⇒ , ,5 0 3 02_ i ? te 5 800
velocidade relativa
velocidade relativa
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Movimento uniforme (MU)
 4 Gráficos do MU
Uma maneira muito útil e ilustrativa de estudar e descrever os movimentos é 
representá-los graficamente. No MU, interessam os gráficos cartesianos do espaço 
e da velocidade como funções do tempo. Esses gráficos são também denominados 
diagramas horários do movimento. 
Sendo s 5 s0 1 vt a lei de uma função polinomial do primeiro grau, sua repre-
sentação cartesiana será uma reta de coeficiente linear s0, ou seja, que intercepta 
o eixo vertical no ponto (0, s0), e de coeficiente angular v. Assim, se tivermos v . 0, 
a reta será crescente (quadro 1), e se tivermos v , 0, a reta será decrescente 
(quadro 2).
Avaliando o aprendizado
 9. Dois carros, C1 e C2, movem-se ao longo de uma 
mesma reta e, em dado instante, passam por dois 
pontos A e B, distantes 900 m entre si. Esse ins-
tante será tomado como inicial (t0 5 0). O carro  C1 
tem velocidade escalar constante de módulo
36 km/h, com sentido de A para B, e o carro C2 
tem velocidade escalar constante de módulo 
54 km/h, com sentido para B para A. A respeito 
do encontro desses carros, é correto afirmar que 
ocorrerá:
 a) no instante t 5 10 s.
 b) no instante t 5 50 s.
 c) a 360 m do ponto B.
 d) no instante t 5 36 s.
 e) a 540 m do ponto A.
10. Paulo percebe que seu amigo Carlos, ao sair, 
esqueceu os documentos. Após 4 minutos 
da saída de Carlos, Paulo sai com seu carro, 
mantendo velocidade escalar constante de 
80 km/h, com a intenção de alcançar o amigo 
que se desloca com velocidade escalar, tam-
bém constante, de 60 km/h. Determine: 
 a) a distância entre os amigos, quando da saída 
de Paulo;
 b) o intervalo de tempo necessário para que Paulo 
alcance Carlos; 
 c) o deslocamento escalar de Carlos, medido a 
partir da saída de Paulo, até o encontro;
 d) o deslocamento escalar de Paulo, medido a 
partir da sua saída, até o encontro.
11. Um automóvel de comprimento desprezível, 
com velocidade escalar constante de 80 km/h, 
cruza com um trem de 360 m de comprimento 
que se move no sentido contrário, com velo-
cidade também constante e igual a 100 km/h. 
Podemos dizer que o intervalo de tempo ne-
cessário para um passar pelo outro vale, em 
segundo:
 a) 2,0
 b) 5,4
 c) 7,2
 d) 8,8
 e) 9,4
12. Dois trens, T1, com velocidade escalar constan-
te de 120 km/h, e T2, com velocidade escalar 
constante de 150 km/h, movem-se em sen-
tidos opostos, sobre linhas paralelas. O com-
primento de T1 é conhecido e igual a 300 m. 
Determine:
 a) a velocidade escalar de T2, medida por um pas-
sageiro em T1;
 b) o intervalo de tempo, medido por um passagei-
ro em T2, para a passagem de T1 por T2.
13. Dois trens, T1, com velocidade escalar constante 
de 150 km/h, e T2, com velocidade escalar cons-
tante de 90 km/h, movem-se no mesmo sentido, 
sobre linhas paralelas. O comprimento de T1 é 
igual a 300 m e o comprimento de T2 é igual a 
200 m. Em determinado instante, t0 5 0, a frente 
de T1 está 100 m atrás da traseira de T2. Mantidas 
as velocidades dadas, a partir desse instante, 
determine:
 a) quanto tempo dura a ultrapassagem de T1 por 
T2, em segundo; 
 b) o deslocamento escalar de cada trem, em me-
tro, até se completar a ultrapassagem.
1
Biblioteca do 
estudante
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Física
Quadro 1. Função horária do espaço s 5 s
0
 1 vt para v . 0
I. s0 . 0 II. s0 5 0 III. s0 , 0
s
t
s0
0
s
t0
s0 � 0
s
t
s0
0
Quadro 2. Função horária do espaço s 5 s
0
 1 vt para v , 0
I. s0 . 0 II. s0 5 0 III. s0 , 0
s
t
s0
0 0
s
t0
s0 � 0
s
t
s0
0
As retas das situações I, dos quadros 1 e 2, correspondem a s0 . 0, isto é, a po-
sição inicial do móvel está à frente da origem dos espaços. As retas das situações II 
correspondem a s0 5 0, isto é, o móvel parte exatamente da origem da trajetória. 
As retas das situações III correspondem a s0 , 0, isto é, a posição inicial do móvel 
está antes da origem dos espaços.
No MU, como as velocidades escalares são constantes, suas representações 
 cartesianas são retas paralelas ao eixo t; elas estarão acima do eixo t se v . 0 
(fig. 3) e abaixo do eixo t se v , 0 (fig. 4). 
Figura 3.
v � 0
v
t0
v
Figura 4.
v � 0
v
t0
v
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Movimento uniforme (MU)
Propriedade do gráfico velocidade 3 tempo no MU
A partir do gráfico velocidade 3 tempo, no MU, podemos calcular o deslocamento 
escalar do móvel em dado intervalo de tempo, que corresponde ao valor numérico 
da área entre a linha do gráfico e o eixo das abcissas no intervalo de tempo consi-
derado. Veja as figuras 5 e 6.
Nas figuras 5 e 6, a área A do retângulo é: A 5 base 3 altura 5 Dt ? v. 
O produto v ? Dt é o deslocamento escalar Ds nesse intervalo de tempo. Portanto, temos 
numericamente: A 
N
5 Ds. Como Dt é sempre positivo, quando v . 0, temos Ds . 0; quando 
v , 0, temos Ds , 0.
Aplicando a teoria
6. Um móvel, animado de movimento retilíneo e 
uniforme (MRU), tem suas posições indicadas 
pelos respectivos espaços na tabela abaixo, para 
cada instante correspondente.
t (s) s (m)
1 25
3 5
4 x
7 25
y 30
 Para esse móvel:
 a) determinar sua velocidade escalar, em m/s;
 b) determinar o espaço correspondente à sua posição 
no instante inicial t0 5 0;
 c) determinar a função horária do espaço do seu mo-
vimento, em unidades do SI;
 d) determinar os valores de x e y, mostrados na 
tabela;
 e) construir o gráfico cartesiano do espaço versus 
tempo com auxílio da tabela.Solução
 a) Para esse cálculo, podemos tomar os valo-
res das duas primeiras linhas da tabela, por 
 exemplo:
 v t
s
t
s s
(3,0 , )
5,0 ( , )
5
D
D
5
2
2
5
2
2 2
t 1 0
5 0
2 1
2 1
 � v 5 5 m/s
 b) A forma geral da função horária do espaço do 
MU é s 5 s0 1 vt. Considerando t 5 3 s e s 5 5 m, 
temos:
 5 5 s0 1 5 ? 3 � s0 5 210 m
 c) Para obter a função horária do espaço desse movi-
mento, basta substituir os valores de s0 e v obtidos 
nos itens a e b. Assim:
 s 5 210 1 5t (SI)
 d) x é o valor do espaço para t 5 4 s, portanto: 
 x 5 210 1 5 ? 4 � x 5 10 m
 y é o valor de t para s 5 30 m, portanto: 
 30 5 210 1 5y � y 5 8 s
 e) s (m)
t (s)0
5
10
–5
1 2 3 4
Δs � 0
v
tt2t10
v
Figura 5. Deslocamento positivo.
Δs � 0
v
t2t1
t0
v
Figura 6. Deslocamento negativo.
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Física
7. Dois veículos, A e B, movendo-se ao longo de 
uma mesma trajetória, têm seus movimentos 
descritos pelas seguintes funções horárias:
 Móvel A: sA 5 215 1 2,5t (SI)
Móvel B: sB 5 125 2 2,5t (SI)
 a) Determinar o instante te do encontro desses móveis.
 b) Determinar a posição se onde se dá o encontro.
 c) Representar graficamente as funções horárias des-
ses móveis.
 Solução
 a) No encontro, devemos ter:
 sA 5 sB ⇒ 215 1 2,5te 5 125 2 2,5te ⇒ 5te 5 40 �
 � te 5 8 s
 b) Para obter a posição do encontro, substituímos te na 
função horária do móvel A ou do móvel B:
 se 5 215 1 2,5te 5 215 1 2,5 ? 8 � se 5 5 m
 c) Vamos construir uma tabela com apenas dois 
 valores do espaço para cada movimento:
14. Nos trechos I, II, III, IV e V do gráfico s 3 t abaixo:
 a) classifique a velocidade escalar do corpo como positiva (v . 0), negativa (v , 0) ou nula 
(v = 0);
 b) classifique o estado cinemático do móvel como repouso, movimento uniforme progres-
sivo ou movimento uniforme retrógrado.
 
 s
t0
V
IV
III
II
I
15. Faça o gráfico qualitativo velocidade escalar 3 tempo para o móvel do exercício 
anterior.
16. O gráfico s 3 t do movimento uniforme de um móvel está representado abaixo. 
s (km)
t (h)0 0,1 0,20,3 0,4
1,0
–1,0
2,0
Avaliando o aprendizado
1
Visão do 
especialista
t (s) sA (m) sB (m)
0 215 25
6 0 –
10 – 0
 A partir da tabela traçamos as retas correspon-
dentes aos movimentos.
s (m)
t (s)0
25
642 8 10 1412
–15
–10
–5
5
10
15
20 AB
 Observe que a abscissa do ponto de intersecção 
das retas é o instante do encontro, te 5 8 s, e a 
ordenada desse ponto é o espaço correspondente 
à posição do encontro, se 5 5 m.
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Movimento uniforme (MU)
 A partir dos valores mostrados no gráfico, determine para esse móvel:
 a) sua velocidade escalar, em km/h;
 b) a função horária do espaço correspondente ao movimento representado pelo gráfico. 
17. O movimento uniforme de um corpo está representado no gráfico s 3 t abaixo. 
s (m)
t (s)0 0,1 0,2 0,3 0,4
1,0
2,0
 A partir dos valores mostrados nesse gráfico, determine para esse móvel:
 a) sua velocidade escalar, em m/s;
 b) a função horária do espaço corres pondente ao movimento representado pelo gráfico.
18. O gráfico velocidade 3 tempo de um móvel em MRU está representado a seguir.
v (m/s)
t (s)0 2 8
4
 a) Determine, por meio do gráfico, o deslocamento escalar do móvel entre os ins-
tantes t 1 5 2 s e t 2 5 8 s.
 b) Determine a função horária do espaço do móvel, sabendo que sua posição inicial na 
trajetória é indicada pelo valor 230 m.
 c) Determine o instante no qual o móvel passa pela origem dos espaços. 
19. O gráfico velocidade 3 tempo de um móvel em MRU está representado a seguir.
v (m/s)
t (s)0 1 6
–10
 a) Determine, por meio do gráfico, o deslocamento escalar do móvel entre os instan-
tes t 1 5 1 s e t 2 5 6 s.
 b) Determine a função horária do espaço do móvel, sabendo que sua posição inicial na 
trajetória é indicada pelo valor 80 m. 
 c) Determine o instante no qual o móvel passa pela origem dos espaços.
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Física
 
No MU, o espaço s, correspondente à posição 
do móvel em dado instante t, é determinado 
pela função: 
s 5 s0 1 vt
Ficha-resumo 2
Revisando o conteúdo
1. (UEL-PR) Um trem de comprimento 200 m, com 
velocidade escalar constante de 60 km/h, atraves-
sa completamente uma ponte em 36 s. Portanto, 
podemos afirmar que o comprimento da ponte é 
igual a:
a) 200 m c) 600 m e) 1.200 m
b) 400 m d) 1.000 m
2. (Ufes) Uma pessoa, com passos de 70 cm, ca-
minha à razão de 1,5 passo/segundo. Ela deseja 
atravessar uma rua com 21 m de largura. O tempo 
mínimo que o sinal deve ficar aberto aos pedes-
tres para que essa pessoa atravesse a rua com 
segurança é igual a:
a) 10 s c) 20 s e) 45 s
b) 14 s d) 32 s
3. (UFRGS) Um projétil, com velocidade escalar cons-
tante de 300 m/s, é disparado em direção ao ponto 
médio do costado de um navio que se move em 
linha reta com velocidade escalar constante de 
10 m/s, perpendicularmente à trajetória do projétil.
Se o projétil atinge o costado do navio a 20 m do 
ponto mirado, podemos dizer que a distância 
entre o ponto do disparo e a lateral do navio vale:
a) 150 m c) 600 m e) 6.000 m
b) 300 m d) 3.000 m
4. Devido ao movimento de rotação da Terra, 
uma pessoa parada em um ponto da linha do 
Equador terrestre tem uma velocidade escalar 
aproximada de 1.674 km/h, relativamente ao 
eixo de rotação da Terra. Portanto, devido a 
esse movimento, em um segundo essa pessoa 
“percorre” um arco de circunferência com com-
primento próximo de:
a) 465 m c) 674 m e) 1.925 m
b) 564 m d) 1.674 m
5. (PUC-SP) Para pesquisar a profundidade de uma 
região oceânica usou-se um sonar no fundo de 
um barco em repouso, relativamente às águas. 
O intervalo de tempo entre a emissão do sinal 
ultrassônico e a sua recepção no barco é 1,0 se-
gundo. Sendo 5.400 km/h a velocidade do som 
na água, podemos estimar a profundidade do 
oceano nesse local em:
a) 100 m c) 1.500 m e) 5.400 m
b) 750 m d) 2.700 m
Ficha-resumo 1
No MU os deslocamentos escalares ou varia-
ções de espaço (Ds) são proporcionais aos 
intervalos de tempo (Dt): 
Ds 5 v ? Dt
6. (Fuvest-SP) Astrônomos observaram que a nossa 
galáxia, a Via Láctea, está a 2,5 ? 106 anos-luz de 
Andrômeda, a galáxia mais próxima da nossa. 
Com base nessa informação, estudantes em uma 
sala de aula afirmaram o seguinte:
 I. A distância entre a Via Láctea e Andrômeda é 
de 2,5 milhões de quilômetros.
 II. A distância entre a Via Láctea e Andrômeda é 
maior que 2,0 ? 1019 km.
 III. A luz proveniente de Andrômeda leva 
2,5 milhões de anos para chegar à Via Láctea.
 É correto apenas o que se afirma em:
a) I c) III e) II e III
b) II d) I e III
 Observação: se necessário use c 5 3,0 ? 108 m/s para 
a velocidade da luz no vácuo e considere que um 
ano tenha 3,0 ? 107 s.
7. A função horária do espaço para o MU represen-
tado no gráfico abaixo, em unidades SI, é:
 a) s 5 240 1 10t
b) s 5 240 1 5,0t
 c) s 5 240 1 4,0t
 d) s 5 220 2 4,0t
 e) s 5 220 1 5,0t
8. (Mackenzie-SP) O movimento uniforme de um 
 corpo está representado no gráfico espaço 3 tempo 
mostrado a seguir.
 
s (m)
t (s)0 2
–20
–30
 O instante t no qual a posição do móvel correspon-
de ao valor s 5 20 m é: 
 a) 4,0 s
b) 5,0 s
 c) 10 s
 d) 15 s
 e) 20 s
s (m)
t (s)0 4
–20
–40
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Movimento uniforme (MU)
Ficha-resumo 4
Diagramas horáriosdo MU:
• Gráfico espaço 3 tempo: reta oblíqua
 A função é crescente quando: v . 0
 A função é decrescente quando: v , 0
• Gráfico velocidade 3 tempo: reta paralela 
ao eixo t
 Acima do eixo t quando v . 0
 Abaixo do eixo t quando v , 0
9. Na tabela abaixo temos alguns valores de espa ço (s) 
que correspondem às posições de um objeto em 
movimento uniforme ao longo de uma trajetória e 
os instantes correspondentes a essas posições.
 
t (s) 2 5 6 8 y
s (m) 29 0 3 x 21
 A partir da tabela:
a) determine a velocidade escalar v do objeto; 
b) determine o espaço correspondente a t0 5 0, 
isto é, o espaço inicial s0; 
c) escreva a função horária do espaço do móvel, 
s(t);
d) determine os valores de x e de y na tabela;
e) determine o deslocamento escalar (Ds) do mó-
vel entre t0 5 0 e t 5 15 s. 
12. (Fuvest-SP) Dois corredores, A e B, partem simul-
taneamente de um mesmo ponto de uma pista 
circular de comprimento 120 m, com velocidades 
escalares constantes vA 5 8,0 m/s e vB 5 6,0 m/s.
a) Se os movimentos ocorrem no mesmo sentido, 
quanto tempo após a partida de ambos A estará 
uma volta à frente de B?
b) Se os movimentos ocorrerem em sentidos opos-
tos, qual será a distância entre os atletas, medi-
da ao longo da trajetória, no instante em que B 
completar uma volta?
13. (Enem) O gráfico abaixo modela a distância 
percorrida, em quilômetro, por uma pessoa em 
certo período de tempo. A escala de tempo a ser 
adotada para o eixo das abscissas depende da 
maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a 
opção que apresenta a melhor associação entre 
meio ou forma de locomoção e a unidade de 
tempo, quando são percorridos 10 km?
 tempo
0 1 2
10 km
a) carroça – semana
b) carro – dia
 c) bicicleta – minuto
d) caminhada – hora
e) avião – segundo
14. (Enem) Em uma prova de 100 metros rasos, o 
desempenho típico de um corredor padrão é 
representado pelo gráfico a seguir:
Ficha-resumo 3
Considerando |v1| . |v2| e vrelativa em módulo:
• Velocidades no mesmo sentido
vrelativa 5 |v1| 2 |v2|
• Velocidades em sentidos opostos
vrelativa 5 |v1| 1 |v2|
10. (Mackenzie-SP) Uma pessoa sentada no interior 
de um trem A, que desenvolve velocidade es-
calar de 70 km/h, vê o trem B, de comprimento 
200  m, passar por ela em 1 min 12 s, estando 
ambos os trens movendo-se no mesmo sentido 
e com movimentos uniformes. Assim, podemos 
dizer que a velocidade escalar do trem B vale:
a) 100 km/h
b) 90 km/h
 c) 85 km/h
d) 80 km/h
e) 60 km/h
11. (Fuvest-SP) João está parado em um posto de 
abastecimento de combustíveis quando vê seu 
amigo passar com velocidade escalar constante 
de 60 km/h. Quatro minutos depois da passa-
gem do amigo, João sai com velocidade escalar 
constante de 80 km/h, na tentativa de alcançar 
o amigo. Mantidas essas velocidades, a partir da 
sua saída, João alcançará o amigo após:
 a) 4 min
b) 8 min
 c) 10 min
 d) 12 min
 e) 20 min
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2 4 6 8 10 12 14 16
 Com base no gráfico acima, em qual intervalo de 
tempo a velocidade do corredor é aproximada-
mente constante?
a) Entre 0 e 1 segundo.
b) Entre 1 e 5 segundos.
 c) Entre 5 e 8 segundos.
d) Entre 8 e 11 segundos.
e) Entre 12 e 15 segundos.
15. Retomando o exercício anterior, podemos dizer 
que no trecho de velocidade escalar aproximada-
mente constante o atleta teve um deslocamento 
escalar Ds tal que:
a) 30 m , Ds , 33 m
b) Ds 5 33 m
 c) 33 m < Ds < 36 m
d) Ds 5 36 m
e) Ds . 36 m
16. (Pisa) Na figura abaixo, encontra-se representado 
o gráfico da distância percorrida por um jipe, em 
função do tempo, num dado percurso. Selecione a 
única opção que contém uma afirmação correta.
 Tempo
D
is
tâ
nc
ia
 p
er
co
rr
id
a
0 t1 t2 t3 t4
 O gráfico permite concluir que, no intervalo de 
tempo…
a) [0, t1], o jipe descreveu uma trajetória curvilínea.
b) [t1, t2], o jipe inverteu o sentido do movimento.
 c) [t2, t3], o jipe esteve parado. 
d) [t3, t4], o jipe se afastou do ponto de partida.
17. Em uma curiosa experiência, um estudante 
coloca duas formigas, f1 e f2, nas extremidades 
A e B, respectivamente, de um tubo de vidro de 
comprimento 1,0 m, como se mostra na figura. 
As formigas começam a se mover, para dentro do 
tubo, em sentidos opostos, ambas com movimen-
tos retilíneos e uniformes, e passam uma pela 
outra no ponto que dista 40 cm de A. Dos gráficos 
apresentados abaixo, assinale aquele que melhor 
descreve a situação da experiência até o encontro.
 1,0 m
A Bf1 f2
a) 
0
A
B
s
t
b) 
A
0
B
s
t
c) 
A
B
s
t0
d) 
A
B
s
t0
e) 
A
0
B
s
t
52
MOVIMENTOMOVIMENTOMOVIMENTOMOVIMENTO
UNIFORMEMENTEUNIFORMEMENTEUNIFORMEMENTEUNIFORMEMENTE
VARIADO (MUV)VARIADO (MUV)VARIADO (MUV)VARIADO (MUV)
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Vereda Digital - Física
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Ferraro, Nicolau Gilberto Física, volume único / Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno
A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado. – 1. ed. – São Paulo: Moderna, 2012. – (Vereda digital) Inclui
DVD. 1. Física (Ensino médio) I. Torres, Carlos Magno A. II. Penteado, Paulo Cesar M. III. Título. IV.
Série. 12-10797 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado,
2012
 
 
53
54
57
Objetivos do capítulo:
 Identificar movimentos com aceleração escalar 
constante.
 Reconhecer o movimento uniformemente 
variado (MUV) quando representado por 
gráficos, tabelas e funções.
 Resolver qualitativa e quantitativamente 
situações que envolvam MUV.
Uma das experiências realizadas pelos astronautas da missão Apollo 15 enquanto estiveram na Lua foi a da queda livre.
Diante das câmeras de televisão, ao vivo, o astronauta David Scott soltou de uma mesma altura e no mesmo instante um 
martelo geológico e uma pena, demonstrando que ambos os objetos tinham o mesmo tempo de queda.
Como a atmosfera da Lua é tênue e, portanto, a resistência do ar é desprezível, pode-se dizer que os dois objetos estavam 
sujeitos apenas à aceleração da gravidade lunar.
Esse experimento demonstrou, efetivamente, que a antiga inferência de Galileu Galilei estava correta. O tempo de queda 
dos objetos não depende da massa deles e eles caem com a mesma aceleração.
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Movimento uniformemente 
variado (MUV)
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Física
 1 Introdução
Um movimento que ocorre com aceleração escalar constante e não nula é de-
nominado movimento uniformemente variado (MUV). Em linguagem matemática 
simbólica, para um MUV, temos:
a 5 constante Þ 0
Uma bola descendo livremente por uma rampa plana e lisa (fig. 1) ou um objeto 
abandonado sob ação exclusiva da gravidade (fig. 2) são situações nas quais a acele-
ração escalar dos corpos é constante. Portanto, esses corpos descrevem movimentos 
uniformemente variados.
O movimento uniformemente variado pode ocorrer em trajetórias com diferentes 
formatos. Se a trajetória for retilínea o movimento será chamado de movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV). Se a trajetória for uma circunferência, 
temos um movimento circular uniformemente variado (MCUV).
Na cinemática escalar, a forma da trajetóriatem pouca importância para a des-
crição dos movimentos. No estudo vetorial dos movimentos a forma da trajetória 
está diretamente relacionada a características e propriedades relevantes desses 
movimentos.
 2 Funções horárias e gráficos do MUV
Função horária da velocidade do MUV
Sendo constante a aceleração escalar nos movimentos uniformemente variados, 
ela sempre pode ser calculada pela razão 
D
D
t
v
, que representa a aceleração escalar 
média em um intervalo de tempo qualquer, uma vez que o valor médio de uma 
constante é o próprio valor da constante. Assim, para um instante t qualquer a partir 
do instante inicial t0 5 0, em que a velocidade escalar é v0 (denominada velocidade 
inicial), teremos:
a 5
D
D
t
v ⇒ Dv 5 a ? Dt ⇒ v 2 v0 5 a ? (t 2 0) ⇒
 ⇒ v 5 v0 1 at 1
A expressão 1 acima é denominada função horária da velocidade do MUV.
Figura 1. A aceleração escalar em um plano inclinado é cons-
tante, porém de valor menor que a aceleração da gravidade.
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
t = 5 s
t = 6 s
Figura 2. Queda com aceleração 
constante devido à ação exclusiva 
da gravidade; considerando-se 
desprezível a resistência do ar.
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Figura 5. Figura 6.
Δs � 0
v
t0
v
t0
Δs1 � 0
Δs2 � 0
Gráficos velocidade 3 tempo do MUV
Pode-se observar que a equação 1 é uma função do primeiro grau em t, cuja 
representação gráfica é uma reta oblíqua. Por esse motivo dizemos que:
No MUV a velocidade escalar varia linearmente com o tempo.
A velocidade inicial v0 é o coeficiente linear da função e a aceleração a é o 
coeficiente angular, que determina o crescimento ou o decrescimento da função.
As figuras 3 e 4 mostram as possíveis representações gráficas, em função dos 
parâmetros v0 e a.
1
Biblioteca do 
estudante
As retas a e a’ correspondem a v0 . 0; as retas b e b’ correspondem a v0 5 0; e 
as retas c e c’ correspondem a v0 , 0.
Como já vimos no capítulo 3, no diagrama v 3 t a área entre a reta e o eixo t , 
num dado intervalo de tempo, é numericamente igual à variação de espaço (também 
denominada deslocamento escalar) Ds do móvel nesse intervalo. Veja as figuras 5 
e 6 abaixo.
Se, no intervalo considerado, houver uma parte da área abaixo do eixo do 
tempo, como na figura 6, essa área representará um deslocamento escalar nega-
tivo (Ds , 0).
Figura 3. Figura 4.
� � 0
v a
b
c
t0
a � 0
v
a’
b’
c’
t0
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Física
(14 2) 3
5
1 ?
2
 d) Da expressão para o deslocamento escalar e do 
resultado do item c, obtemos:
 Ds 5 s 2 s0 ⇒ 24 m 5 s 2 ( 210 m) ⇒ s 5 14 m
 Portanto, o móvel partiu da posição de espaço 
s0 5 210 m, deslocou-se 24 m no sentido positivo 
da trajetória, atingindo, no instante 3 s, a posição 
de espaço s 5 14 m.
2. Um móvel em MRUV, partindo em t0 5 0 da 
posição de espaço s0 5 13 m, tem velocidade es-
calar variando com o tempo segundo a função 
v 5 6 2 2t (SI). Para esse móvel:
 a) construir o gráfico v 3 t, para o intervalo
0 < t < 6 s;
 b) determinar o deslocamento escalar DsI entre os 
instantes t0 5 0 e t1 5 3 s;
 c) determinar o espaço s1 correspondente à sua 
posição em t1 5 3 s;
 d) determinar o deslocamento escalar total Dstotal 
entre os instantes t0 5 0 e t2 5 6 s;
 e) determinar o espaço s2 correspondente à sua 
posição em t2 5 6 s.
 Solução
 a) Como no exercício anterior, o gráfico será li-
near (uma reta). Para obtê-lo, vamos usar os 
valores mostrados na tabela abaixo.
 
t (s) v (m/s)
0 6
3 0
6 26
 
0 t (s)
6
–6
3 6
v (m/s)
Instante da inversão
do movimento: v = 0
� Ds 5 24 m
Aplicando a teoria
1. Um móvel, em MRUV, partindo da posição de 
espaço s0 5 210 m em t0 5 0, tem velocidade 
escalar variando com o tempo segundo a função 
v 5 2 1 4t (SI). Para esse móvel:
 a) determinar os valores da velocidade inicial v0
e da aceleração escalar a;
 b) construir o gráfico v 3 t, para o intervalo
0 < t < 3 s;
 c) determinar o deslocamento escalar Ds entre os 
instantes t0 5 0 e t 5 3 s;
 d) determinar o espaço correspondente à sua 
posição em t 5 3 s.
 Solução
 a) Pela simples comparação entre a função dada 
e a função v 5 v0 1 at, temos:
v0 5 2 m/s e a 5 4 m/s
2
 b) Como a função horária da velocidade do MUV 
é do primeiro grau, seu gráfico será linear, bas-
tando apenas dois pontos para obtê-lo. A tabela 
abaixo mostra os valores usados para isso.
 
t (s) v (m/s)
0 2
3 14
 
v (m/s)
0 1 2 3 t (s)
14
12
10
8
6
4
2
 c) O deslocamento escalar é numericamente igual 
à área A do trapézio destacado no gráfico abaixo.
 
v (m/s)
0 1 2 3 t (s)
Δs = AN
14
12
10
8
6
4
2
Assim:
Ds 5 A 
( base )base altura
5 5
1 3menormaior
2
N
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Avaliando o aprendizado
1. A velocidade escalar de um automóvel passa de 
42  km/h para 96 km/h em 7,5 s. Considerando 
o  movimento do veículo como uniformemente 
acelerado, podemos afirmar que o valor da sua ace-
leração escalar, nesse intervalo de tempo, foi igual a:
 a) 2,0 m/s2 d) 7,2 m/s2
 b) 2,0 km/h2 e) 7,2 km/h2
 c) 7,2 km/s2
2. A aceleração escalar de um carro de Fórmula 1 pode 
chegar a 6,25 m/s2. Admitindo que esse valor per-
maneça constante, para que o carro saia do repouso 
e atinja uma velocidade de 90 km/h são necessários:
 a) 14,4 s d) 6,5 s
 b) 10,0 s e) 4,0 s
 c) 8,4 s
3. No instante t0 5 0 uma bola é lançada, com veloci-
dade escalar v0, da base para o topo de uma rampa 
plana. Em t1 5 1,2 s sua velocidade escalar tem 
módulo 4,0 m/s e em t2 5 2,0 s a bola para no alto 
da rampa. Determine:
 a) o módulo da aceleração escalar da bola, suposta 
constante; 
 b) o valor de v0. 
4. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar 
de um móvel, em MRUV, em função do tempo. 
Determine para esse móvel:
 a) a aceleração escalar a; 
 b) a função horária da velocidade; 
 c) a velocidade escalar no instante t1 5 1 s; 
 d) o deslocamento escalar entre t1 5 1 s e 
 t2 5 3 s; 
 e) a velocidade escalar média entre t1 5 1 s e 
 t2 5 3 s. 
v (m/s)
0 1 2 3 t (s)
15
12
9
6
3
5. A tabela abaixo mostra alguns valores da veloci-
dade escalar de um móvel que descreve um MUV, 
no intervalo 0 < t < 10 s.
 t (s) 2 5 10
v (m/s) 26 x 10
 A partir dos dados da tabela, determine para esse 
móvel:
 a) a aceleração escalar a; 
 b) a velocidade escalar inicial v0; 
 c) o valor de x, na tabela; 
 d) o gráfico v 3 t; 
 e) o deslocamento escalar entre t1 5 0 e t2 5 10 s; 
 f) a velocidade escalar média entre t1 5 0 e t2 5 10 s. 
 b) O deslocamento escalar DsI entre t0 5 0 e t1 5 3 s
é numericamente igual à área A1 do triângulo 
destacado abaixo. Assim:
 DsI 5 A1 5 
3 6?
2
 � DsI 5 9 m
 
0
A1
t (s)
6
–6
3 6
v (m/s)
 c) DsI 5 s1 2 s0 ⇒ 9 m 5 s1 2 3 m ⇒ s1 5 12 m
N
 d) O deslocamento escalar Dstotal entre t0 5 0 e t2 5 6 s 
é numericamente igual à soma algébrica das áreas 
A1 e A2 dos triângulos destacados abaixo. Assim:
 Dstotal 5 A1 1 A2 5 9 1 
([(6 3)] 6)22 ?
2
 ⇒ Dstotal 5 0
 
0
A2
A1
t (s)
6
–6
3 6
v (m/s)
 e) Dstotal 5 s2 2 s0 ⇒ 0 5 s2 2 3 � s2 5 13,0 m
 Portanto, nesse instante o móvel está na mes-
ma posição que estava em t0 5 0.
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Física
Função horária do espaço doMUV
Vamos usar o gráfico v 3 t para obter a função horária do es-
paço do MUV. Como vimos, a área sob a linha do gráfico v 3 t, em 
determinado intervalo de tempo, é numericamente igual ao deslo-
camento escalar Ds do móvel nesse intervalo (fig. 7). Assim, temos:
Ds 5 área do trapézio 5 
5 
( ) ( 0)1 2?v v t
2
0
2 ? Ds 5 ( )v v t1 1 a
v
0 0\ ? t 5 2v0t 1 at 2
Ds 5 v0t 1 2
1 at 2 2
Então s 2 s0 5 v0t 1 2
1
 at 2 ⇒
⇒ s 5 s0 1 v0t 1 2
1 at 2 3
A equação 2 é a função horária do deslocamento escalar; 
ela dá a variação do espaço entre o instante inicial t0 5 0 e um 
instante t qualquer. A equação 3 é a função horária do espaço; 
ela dá o espaço correspondente à posição do móvel num instante 
qualquer t.
Gráficos espaço 3 tempo do MUV
A equação 3 é uma função do segundo grau em t. Sua repre-
sentação gráfica é um arco de parábola. As figuras 8 e 9 mostram, 
genericamente, dois possíveis aspectos dessas curvas.
N
2
Biblioteca do 
estudante
Figura 7. A área sob a linha do gráfico 
v 3 t, em determinado intervalo de 
tempo, é numericamente igual ao 
deslocamento escalar Ds do móvel 
nesse intervalo.
Δs
v
v
v0
tt0
Figura 9.Figura 8.
� � 0
s
V
smáx
tinv
s0
t0
� � 0
s
smín
tinv
V
s0
t0
A figura 8 mostra a curva que corresponde a a . 0; a figura 9 
mostra a curva para a , 0.
As coordenadas do vértice V, nos gráficos, representam o 
instante e o espaço correspondentes ao ponto da inversão do 
movimento. Nesses instantes, a velocidade escalar do móvel 
é nula.
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Aplicando a teoria
3. Um móvel, em MUV, tem suas posições na trajetória indicadas pela função horária 
do espaço, s 5 26 2 4t 1 2t 2, com s e t em unidades do SI e t 0. Determinar para 
esse móvel:
 a) o espaço inicial (s0), a velocidade escalar inicial (v0) e a aceleração escalar (a);
 b) o(s) instante(s) em que ele passa pela origem dos espaços;
 c) o gráfico s 3 t;
 d) o gráfico v 3 t.
 Solução
 a) Pela simples comparação da função horária dada com a função s 5 s0 1 v0t 1 
1
2
 at2, 
obtemos:
s0 5 26 m
v0 5 24 m/s
1
2
 a 5 12 m/s2 ⇒ a 5 14 m/s2
 b) Nos instantes em que o móvel passa pela origem dos espaços, temos s 5 0. Assim:
0 5 26 2 4t 1 2t 2 ⇒ t 2 2 2t 2 3 5 0
 As raízes dessa equação são t9 5 –1 s e t 0 5 3 s. Como t > 0, o instante da passagem pela 
origem é:
torigem 5 3 s
 c) Vamos construir o gráfico s 3 t usando os valores notáveis da tabela abaixo, obtidos 
pela substituição dos valores de t em segundos na função horária do espaço dada.
 s(t 5 21 s) 5 26 2 4 ? (21) 1 2 ? (21)2 ⇒ s 5 0
 s(t0 5 0 s) 5 26 2 4 ? 0 1 2 ? (0)
2 � s 5 26 m
 s(tV 5 1 s) 5 26 2 4 ? 1 1 2 ? (1)
2 � s 5 28 m
 s(t1 5 2 s) 5 26 2 4 ? 2 1 2 ? (2)
2 � s 5 26 m
 s(t2 5 3 s) 5 26 2 4 ? 3 1 2 ? (3)
2 ⇒ s 5 0
t (s) 0 1 2 3
s (m) 26 28 26 0
 d) A função horária da velocidade é v 5 v0 1 at. Portanto, para esse movimento temos: 
v 5 24 1 4t (SI). A tabela abaixo mostra valores notáveis e práticos para obtermos o 
gráfico v 3 t.
 v(t0 5 0 s) 5 24 1 4 ? 0 � v 5 24 m/s
 v(tV 5 1 s) 5 24 1 4 ? 1 ⇒ v 5 0
 v(t1 5 2 s) 5 24 1 4 ? 2 � v 5 14 m/s
 v(t2 5 3 s) 5 24 1 4 ? 3 � v 5 18 m/s
t (s) 0 1 2 3
v (m/s) 24 0 14 18
s (m)
t (s)3
21
–1
–6
–8
0
0 t (s)
�4
�8
�4
1 2 3
v (m/s)
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Física
4. Um móvel, no instante t0 5 0, passa pela posição de espaço s0 5 28 m, com 
 velocidade escalar v0 5 16 m/s e aceleração escalar constante a 5 22 m/s
2. Para 
esse movimento:
 a) determinar a função horária do espaço, em unidades do SI;
 b) determinar os instantes nos quais o móvel passa pela origem da trajetória;
 c) determinar as velocidades escalares do móvel nos instantes obtidos no item b;
 d) construir os gráficos s 3 t e v 3 t.
 Solução
 a) Pela simples substituição dos valores dados na função s 5 s0 1 v0t 1 
1
2
 at 2, temos:
s 5 28 1 6t 2 1t 2 (SI)
 b) Quando o móvel passa pela origem dos espaços, temos s 5 0. Assim:
0 5 28 1 6t 2 1t 2 ⇒ t 2 2 6t 1 8 5 0
 As raízes dessa equação são t1 5 2 s e t2 5 4 s. Assim, os instantes da passagem do 
móvel pela origem da trajetória são:
t1 5 2 s e t2 5 4 s
 c) Pela substituição dos valores dados na função v 5 v0 1 at, a função horária da velo-
cidade para esse movimento é:
v 5 6 2 2t (SI)
 Assim, nos instantes t1 e t2, temos:
v1 5 6 2 2 ? 2 � v1 5 12 m/s
 e 
v2 5 6 2 2 ? 4 � v2 5 22 m/s
 d) A função horária do espaço obtida no item a nos dá os valores da tabela abaixo.
 
t (s) 0 2 3 4 6
s (m) 28 0 11 0 28
 s(t0 5 0 s) 5 28 1 6 ? 0 2 1 ? (0)
2 � s 5 28 m
 s(t1 5 2 s) 5 28 1 6 ? 2 2 1 ? (2)
2 ⇒ s 5 0
 s(tV 5 3 s) 5 28 1 6 ? 3 2 1 ? (3)
2 � s 5 11 m
 s(t2 5 4 s) 5 28 1 6 ? 4 2 1 ? (4)
2 ⇒ s 5 0
 s(t3 5 6 s) 5 28 1 6 ? 6 2 1 ? (6)
2 � s 5 28 m
 A função horária da velocidade obtida no item c nos dá os valores da tabela abaixo.
 v(t0 5 0 s) 5 6 2 2 ? 0 � v 5 16 m/s
 v(t1 5 2 s) 5 6 2 2 ? 2 � v 5 12 m/s
 v(tV 5 3 s) 5 6 2 2 ? 3 ⇒ v 5 0
 v(t2 5 4 s) 5 6 2 2 ? 4 � v 5 22 m/s
 v(t3 5 6 s) 5 6 2 2 ? 6 � v 5 26 m/s
 
t (s) 0 2 3 4 6
v (m/s) 16 12 0 22 26
s (m)
t (s)0 3
2 4
6
+1
–8
0 t (s)
�2
�2
�6
�6
3
v (m/s)
2 64
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Avaliando o aprendizado
6. Uma bola, partindo do repouso, escorrega sobre uma rampa inclinada plana, 
atingindo uma velocidade escalar de 3,0 m/s após um segundo de movimento. 
Determine para essa bola, relativa à rampa:
 a) o valor de sua aceleração escalar;
 b) seu deslocamento escalar após o primeiro segundo de movimento; 
 c) sua velocidade escalar após dois segundos de movimento; 
 d) seu deslocamento escalar após dois segundos de movimento. 
7. Uma bola, partindo do repouso, escorrega sobre uma rampa inclinada plana, per-
correndo 1,0 m no primeiro segundo de movimento. Para essa bola, relativamente 
à rampa, determine:
 a) o valor da aceleração escalar, suposta constante; 
 b) a distância total percorrida após dois segundos do início do movimento; 
 c) a distância total percorrida após três segundos do início do movimento;
 d) a distância percorrida no segundo segundo do movimento; 
 e) a distância percorrida no terceiro segundo do movimento. 
8. Um móvel, em MRUV, passa pelo ponto da trajetória de espaço 25 m em t0 5 0. A 
partir desse instante, a velocidade escalar do móvel passa a obedecer à seguinte 
função horária: v 5 20 2 10t (SI). Para esse movimento, podemos dizer que a fun-
ção horária do espaço, s(t), é:
 a) s 5 25 1 20t 2 10t 2
 b) s 5 25 1 20t 2 5t 2
 c) s 5 25 2 20t 1 10t 2
 d) s 5 25 2 20t 1 5t 2
 e) s 5 20 1 25t 2 5t 2
9. Em relação ao exercício anterior, podemos dizer que o móvel passa pela origem 
da trajetória:
 a) no instante t 5 1 s, com velocidade escalar v 5 10 m/s, em módulo.
 b) no instante t 5 1 s, com velocidade escalar v 5 30 m/s, em módulo.
 c) no instante t 5 2 s, com velocidade escalar nula.
 d) no instante t 5 5 s, com velocidade escalar v 5 30 m/s, em módulo.
 e) em instante algum, após t0 5 0.
10. No mesmo instante em que o móvel A parte do repouso (t0 5 0), com aceleração 
escalar constante igual a 4 m/s2, passa por ele o móvel B, com velocidade escalar 
constante igual a 20 m/s, ambos seguindo trajetórias retilíneas, paralelas e iden-
ticamente graduadas. Determine:
 a) o instante no qual A alcança e ultrapassa B; 
 b) o espaço su correspondente ao ponto da ultrapassagem; 
 c) as velocidades escalares de A e B no instante obtido no item a; 
 d) o instanteno qual as velocidades escalares de A e B são iguais. 
11. No instante t0 5 0 os móveis A e B partem do repouso dos pontos P e Q, de uma 
mesma trajetória, cujos espaços valem sP 5 0 e sQ 5 64 m. As acelerações escalares 
de A e B valem aA 5 14 m/s
2 e aB 5 12 m/s
2. Para esses móveis, determine:
 a) suas respectivas funções horárias do espaço, relativas à trajetória considerada; 
 b) o instante tu no qual A alcança e ultrapassa B; 
 c) o espaço su correspondente ao ponto onde A alcança e ultrapassa B; 
 d) as velocidades escalares de A e B, no instante obtido no item b.
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Física
Gráfico aceleração 3 tempo do MUV
No MUV a aceleração escalar a é constante, portanto, o gráfico a 3 t é repre-
sentado por uma reta paralela ao eixo do tempo, como se mostra na figura 10.
Nesse gráfico, a área A representa a variação da velocidade escalar do móvel no 
intervalo de tempo considerado.
tt2t10
�
�
Dv 5 AN
Figura 10.
 ⇒ a 5
D
D
t
v
D 5 a D?v t
Altura Base
Área do retângulo
? @\
 3 Equação de Torricelli e a relação entre 
velocidade escalar e espaço no MUV
No MUV, podemos determinar a velocidade escalar v do móvel em qualquer 
ponto da trajetória cujo espaço s seja conhecido. A expressão que relaciona veloci-
dade escalar e espaço é denominada equação de Torricelli, que, na verdade, é uma 
função do segundo grau, como veremos a seguir.
Para obter essa função, podemos isolar t na função horária da velocidade e subs-
tituir o resultado na função horária do espaço. Após algumas passagens algébricas 
chegamos à expressão desejada. Mas há um caminho mais simples.
Lembremos inicialmente que, no MUV, o deslocamento escalar Ds, desde o iní-
cio, t0 5 0, até um instante t qualquer, é dado por Ds 5 v0t 1 2
1
 at 2, e a velocidade 
escalar em um dado instante t é v 5 v0 1 at.
Elevando ao quadrado ambos os membros de v 5 v0 1 a ? t, temos: 
v 2 5 (v0 1 at)
2 ⇒ v 2 5 v0
2 1 2av0t 1 a
2t 2 ⇒ v 2 5 v0
2 1 2a ? 
( )1 av t t
2
1
0
2
v 2 5 v0
2 1 2aDs
ou 
v 2 5 v 0
2 1 2a ? (s 2 s0)
Observe que a equação de Torricelli não apresenta explicitamente o tempo t 
e, por esse motivo, não é uma função horária. É uma função quadrática de s em v.
Ds
\
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Movimento uniformemente variado (MUV)
 b) a velocidade escalar do móvel na posição de es-
paço s 5 150 m, em km/h;
 c) o espaço, em metro, correspondente à sua posi-
ção no instante em que sua velocidade escalar 
vale 72 km/h;
 d) o gráfico da função obtida no item a.
 Solução
 a) A partir da equação de Torricelli, com v0 5 0 e 
s0 5 0, temos:
 v2 5 v0
2 1 2a ? (s 2 s0) ⇒ v
2 5 02 1 2a ? (s 2 0) ⇒
 ⇒ v2 5 2 ? (11,0) ? s ⇒ s 5 1
2
 v2
 b) Da função obtida no item anterior, temos:
 s 5 
1
2
 v2 ⇒ 150 5 1
2
 v2 ⇒ v2 5 100 ⇒ v 5 610
 Como o móvel parte do repouso e sua acelera-
ção escalar é sempre positiva, sua velocidade 
escalar nessa posição também deve ser positiva. 
Portanto:
 v 5 110 m/s ⇒ v 5 136 km/h
 c) Novamente, da função s 5 
1
2
 v2, com 
 v 5 72 km/h 5 20 m/s, temos:
 s 5 
1
2
 ? 202 � s 5 200 m
 d) O gráfico da função s 5 
1
2
 v2 é um arco de parábola. 
 Para construí-lo, vamos usar os valores 
 mostrados na tabela abaixo, obtidos a partir da 
função s(v).
 
v (m/s) 0 10 20 40
s (m) 0 50 200 800
s (m)
v (m/s)403020100
50
200
800
Aplicando a teoria
5. Um móvel, em movimento retilíneo uniforme-
mente variado (MRUV), passa pela origem da sua 
trajetória, no instante t0 5 0, com velocidade es-
calar de módulo 2,0 m/s, com aceleração escalar 
constante de módulo 0,5 m/s2, em movimento 
progressivo e retardado. Determinar para esse 
movimento:
 a) o espaço sinv correspondente à posição na qual o 
móvel inverte o sentido do movimento;
 b) o instante torigem no qual o móvel passa novamen-
te pela origem da trajetória;
 c) a velocidade escalar do móvel no instante obtido 
no item b.
 Solução
 a) No instante t0 5 0, temos s0 5 0, v0 5 2,0 m/s e 
a 5 20,5 m/s2. No instante da inversão do movi-
mento, devemos ter v 5 0. Assim, podemos obter 
sinv substituindo v 5 0 na equação de Torricelli.
 v2 5 v0
2 1 2a ? (s 2 s0) ⇒ 
⇒ 02 5 2,02 1 2 ? (20,5) ? (sinv 2 0) � 
� sinv 5 4,0 m
 b) Passar pela origem da trajetória significa impor 
s 5 0. Assim:
 s 5 s0 1 v0t 1 
1
2
 at 2 ⇒ 0 5 0 1 2,0t 1 1
2
 ? (20,5)t 2 ⇒ 
⇒ 0,25t 2 2 2,0t 5 0
 ou
 t 2 2 8,0t 5 0 ⇒ t ? (t 2 8,0 s) 5 0
 As raízes dessa equação são t9 5 0 e t99 5 8. Como 
t 5 0 representa a passagem do móvel pela ori-
gem no instante inicial, o móvel passa novamen-
te pela origem da trajetória em torigem 5 8,0 s 
 c) Determinamos a velocidade escalar no instante 
torigem usando a função horária da velocidade.
 v 5 v0 1 at ⇒ v 5 2,0 1 (20,5) ? (8,0) � v 5 22,0 m/s
 Também podemos usar a equação de Torricelli. 
Seja s 5 0, temos:
 v2 5 v0
2 1 2a ? (s 2 s0) ⇒ 
⇒ v2 5 2,02 1 2 ? (20,5) ? (0 2 0) � v 5 62,0 m/s
 O sinal positivo corresponde ao instante no qual 
o móvel passa pela primeira vez pela origem 
(t0 5 0). O sinal negativo corresponde à segun-
da passagem do móvel pela origem, portanto 
v 5 22,0 m/s.
6. Partindo do repouso e da origem dos espaços de 
uma trajetória retilínea, um móvel desloca-se 
com aceleração escalar constante a 5 11,0 m/s2. 
Sobre esse movimento são pedidos:
 a) a função s(v), que dá o espaço como função da 
velocidade escalar do móvel;
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Física
 4 Velocidade escalar média no MUV
No MUV, a velocidade escalar média entre dois instantes quaisquer t1 e t2 pode 
ser determinada pela média aritmética simples entre as velocidades escalares v1 e v2 
do móvel nos respectivos instantes: 
2t
5
D
D
5
1
v
s v v
m
21
Vamos demonstrar essa propriedade do MUV para um deslocamento escalar Ds 
entre o instante inicial t0 5 0 e um instante qualquer t. Assim:
s 5 s0 1 v0t 1 
1
2
 at 2 ⇒ s 2 s0 5 t ? 1 av t2
1
0d n ⇒ 2ts s0 5 1 av t22 0d n ⇒
⇒ vm 5 
2
t
s s0 5 
1 1 av v t
2
0 0
vf pH ⇒ vm 5 1v v20
Portanto, no MUV, é sempre correto escrever s 5 s0 1 
1
?
v v
t
2
0d n , sendo s e v, 
 respectivamente, o espaço e a velocidade escalar do móvel no instante t considerado.
12. Um móvel acelera uniformemente a partir do repouso e atinge velocidade escalar 
v, no instante T, ao final de um deslocamento escalar s. Portanto, em 
T
2
 o módulo 
da velocidade escalar do móvel era igual a:
 a) 
v
4
 c) 
v
2
 e) 
v
2
2
 b) 
v
2
 d) v 2 
13. Em relação ao exercício anterior, o módulo da velocidade escalar do móvel na 
metade do percurso s era igual a:
 a) v
4
 c) 
v
2
 e) v
2
2
 b) 
v
2
 d) v 2
14. Ainda em relação ao exercício 12, desde o início do movimento até o instante em 
que o módulo da sua velocidade escalar era igual a 
v
2
 o móvel deslocou-se:
 a) s
4
 c) s
2
 e) s
2
2
 
 b) 
s
2 d) s 2
15. Uma bola, partindo do repouso, escorrega livremente ao longo de uma rampa 
inclinada plana, mantendo aceleração escalar constante. Após percorrer uma 
distância D, sua velocidade escalar atinge o valor v. Portanto, a partir desse ponto, 
para que sua velocidade escalar triplique a bola deverá percorrer uma distância 
igual a:
 a) D c) 3D e) 9D
 b) 2D d) 8D
Avaliando o aprendizado
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Por volta de 1638,Galileu Galilei demonstrou que, nas proximidades da superfície 
da Terra, corpos abandonados de uma determinada altura sob a ação exclusiva da 
gravidade, ou seja, em queda livre, caem com aceleração constante e independen-
te de suas massas ou do material que os constitui. Essa aceleração é denominada 
aceleração da gravidade e é representada por g.
O valor da aceleração da gravidade na superfície da Terra varia entre 9,78 m/s2 
e 9,82 m/s2, aproximadamente, dependendo da latitude do local.
O valor padrão adotado para a aceleração da gravi-
dade na superfície da Terra é 9,80665 m/s2, denominado 
aceleração da gravidade normal (g0).
À medida que nos elevamos em relação à superfície 
da Terra, o valor local de g torna-se menor que g0. Por 
exemplo, a uma altitude de 32 km, o valor de g é ape-
nas 1% menor que g0, isto é, g . 9,71 m/s
2. Portanto, 
é muito pequeno o erro que cometemos quando 
consideramos constante o valor de g para pequenas 
altitudes. Porém, a 1.600 km de altitude, o valor de 
g é 64% de g0 , isto é, g . 6,28 m/s
2.
Observação:
Nos exercícios, apenas para simplificar os cál-
culos, frequentemente adota-se para g o valor 
10 m/s2.
Quando soltamos um corpo, inicialmente em 
repouso, de determinada altura ou o lançamos 
verticalmente para cima ou para baixo, nas pro-
ximidades da superfície da Terra, sob a ação 
exclusiva da gravidade, seu movimento terá 
aceleração escalar de módulo g. Portanto, 
esse movimento será considerado um MUV 
com aceleração escalar 1g, se considerarmos 
positivo o sentido para baixo, ou 2g, se 
considerarmos positivo o sentido para cima. 
Veja a figura 11 abaixo.
 5 Movimentos retilíneos verticais nas proximidades 
da superfície da Terra
4.2
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Galileu
Conteúdo
multimídia
Figura 11. Orientações das trajetórias para movimentos verticais sob a ação da gravidade.
�g – g
�
�
Representação artís-
tica da suposta expe-
riência de Galileu na 
torre de Pisa. Os cor-
pos caem ao solo com 
uma aceleração cujo 
valor independe de 
suas massas.
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Física
Aplicando a teoria
7. Considerando o módulo da aceleração da gravidade g igual a 10 m/s2 e que a
influência do ar seja desprezível , determinar:
 a) o intervalo de tempo necessário para uma bolinha cair livremente de uma altura de 
5 m, a partir do repouso (t0 5 0);
 b) a velocidade escalar da bolinha ao final da queda de 5 m;
 c) o intervalo de tempo necessário para a bolinha cair livremente de uma altura de 
20 m, a partir do repouso (t0 5 0);
 d) a velocidade escalar da bolinha ao final da queda de 20 m.
 Solução
 Na resolução, vamos adotar o sentido para baixo como positivo.
 a) Com o referencial adotado, teremos Ds 5 15 m, v0 5 0 e a 5 110 m/s
2. Assim:
 Ds 5 v0t 1 2
1
 at2 ⇒ 15 5 0 ? t 1 
2
1
 ? (110)t2 ⇒ t2 5 2 ? 10
5
 � t 5 1 s
 Seja t0 5 0, Dt 5 t 2 t0 5 1 2 0 � Dt 5 1 s
 b) Como v 5 v0 1 at, teremos: v 5 0 1 10 ? 1 � v 5 10 m/s 
 c) Para Ds 5 120 m, v0 5 0 e a 5 110 m/s
2, teremos: 
 Ds 5 v0t 1 2
1
 at2 ⇒ 120 5 0 ? t 1 
2
1
 ? (110)t2 ⇒ t2 5 2 ? 
10
20
 � t 5 2 s
 Seja t0 5 0, Dt 5 t 2 t0 5 2 2 0 � Dt 5 2 s
 d) Novamente, teremos: v 5 v0 1 at ⇒ v 5 0 1 10 ? 2 � v 5 20 m/s
16. Uma torneira goteja água à 
razão de uma gota a cada 
0,3 s. Considerando des-
prezível a influência do ar 
e adotando g 5 10 m/s2, 
determine, em centímetro, 
as distâncias x e y entre as 
gotas sucessivas indicadas na 
figura.
17. De uma altura de 45 m acima do solo plano e 
 horizontal abandona-se uma pedra, cuja queda 
pode ser admitida livre de qualquer influência 
que não seja a gravidade terrestre. Considerando 
g 5 10 m/s2, determine:
 a) o instante em que a pedra atinge o solo; 
 b) a velocidade escalar da pedra ao atingir o solo; 
 c) a velocidade escalar inicial vertical com a qual 
deveríamos lançar a pedra para que ela chegasse 
ao solo em 1 s, partindo da mesma altura. 
18. Em um local livre da influência do ar, lançou-se 
uma bola verticalmente para cima com velocida-
de escalar inicial v0 e ela atingiu uma altura máxi-
ma H. Se essa bola fosse lançada com velocidade 
Avaliando o aprendizado
escalar inicial 
v
2
0 , a nova altura máxima atingida 
seria:
 a) H
4
1 c) 
H
2
 e) H 2
 b) H
2
1 d) H
4
3
19. Ainda considerando a situação do exercício 
anterior, é correto afirmar que a velocidade 
escalar da bola ao atingir a altura 
3H
4
, após ser 
lançada com velocidade escalar inicial v0, é:
 a) v
4
1
0 c) v4
3
0 e) zero
 b) v
2
1
0 d) v3
2
0
20. Uma bola é lançada verticalmente para cima 
com velocidade escalar inicial de 12,0 m/s, em 
um local onde o módulo da aceleração da gravi-
dade pode ser considerado igual a 10,0 m/s2 e o 
ar exerce ação desprezível sobre seu movimento. 
Para esse lançamento, determine:
 a) o instante em que a bola atinge a altura máxima, 
relativa ao ponto de lançamento; 
 b) o valor da altura máxima atingida, referida no 
item a.
x
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Movimento uniformemente variado (MUV)
Revisando o conteúdo
1. Em um experimento, uma bola é abandonada do 
topo de uma rampa plana de comprimento 3,0 m. 
A bola chega ao final da rampa em exatamente 
2,0 s. Com essas informações, determine para 
esse deslocamento:
a) a velocidade escalar média da bola; 
b) a velocidade escalar da bola no final da rampa; 
c) a aceleração escalar da bola. 
2. (Ufam) A figura representa o gráfico da velocida-
de em função do tempo do movimento de um 
corpo lançado verticalmente para cima com ve-
locidade inicial v0 5 12 m/s
2, na superfície de um 
planeta. 
 
0
t (s)
12
�12
6
12
v (m/s)
 A altura máxima atingida pelo corpo vale:
a) 24 m d) 72 m
b) 36 m e) 144 m
c) 64 m
 Texto para os exercícios 3, 4 e 5.
 Depois de ter sido lançado do solo plano e hori-
zontal, um foguete experimental tem sua velo-
cidade escalar variando com o tempo de acordo 
com o gráfico mostrado a seguir. O artefato tinha 
combustível somente para 2,0 segundos de pro-
pulsão. Em dado instante, já no seu movimento de 
volta ao solo, abriu-se um pequeno paraquedas e 
o foguete aterrissou em segurança, no instante T. 
No intervalo de tempo entre 0 e 6,0 segundos os 
movimentos do foguete são considerados MUV.
 
0 t (s)
30
�10
5,0
6,0
2,0
T
v (m/s)
3. A partir do gráfico, é correto afirmar que a altura 
máxima atingida pelo foguete foi igual a:
a) 15 m d) 90 m
b) 60 m e) 100 m
c) 75 m 
4. A duração do movimento do foguete, desde o 
lançamento até o seu retorno ao solo, foi de:
a) 10 s d) 31 s
b) 13 s e) 44 s
c) 26 s
5. O paraquedas abriu a uma altura de:
a) 5,0 m acima do solo.
b) 45 m acima do solo.
c) 50 m acima do solo.
d) 70 m acima do solo.
e) 75 m acima do solo.
Ficha-resumo 2
Função horária do espaço: s 5 s0 1 v0t 1 2
1 at2
Função horária do deslocamento:
Ds 5 v0t 1 2
1
 at2 ou Ds 5 
2
( )v v t1 ?0
6. O diagrama horário a seguir mostra os espaços 
para o movimento uniformemente variado de 
uma partícula, entre os instantes t0 5 0 e t 5 10 s.
 
s (m)
t (s)0
5,0
�15
25
 A partir dos dados mostrados, obtenha para essa 
partícula:
a) o valor de sua velocidade escalar inicial; 
b) o valor de sua aceleração escalar;
c) a função horária do espaço que descreve o 
seu movimento, em unidades SI.
7. (Cefet-MG) Um carro em MRUV em uma estrada 
plana passa por determinado ponto com veloci-
dade escalar de 15 m/s. Sabendo que ele gasta 5,0 s 
para percorrer os próximos 50 m, sua velocidade 
escalar ao final desse trecho, em m/s, será igual a:
a) 5 c) 15
b) 10 d) 20
Ficha-resumo 1
Função horária da velocidade: v 5 v0 1 at
Gráfico v 3 t: Área 5 Ds
Velocidade escalar média: vm 5 2
v v10
N
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Física
8. (Cefet-CE) A figura a seguir representa, fora de 
 escala, as marcas das patas traseiras de um gue-
pardo que, partindo do repouso no ponto A, faz 
uma investida predatória, a fim de garantir sua 
refeição. O intervalo entre as marcas é de um 
segundo.
 CBA
5 m 15 m 25 m 35 m
 Determine:
a) a aceleração escalar do guepardo; 
b) a velocidade do guepardo, ao passar pelo 
ponto B da trajetória. 
9. (UFPI) Um carro A inicia seu movimento retilíneo 
a partir do repouso, no instante t 0 5 0, com ace-
leração escalar constante igual a 0,5 m/s2. Nesse 
mesmo instante, passa por ele um carro B que se 
desloca na mesma direção e no mesmo sentido 
de A, porém com velocidade escalar constante 
igual a 3,0 m/s. Considerando tal situação, qual é 
o tempo necessário para que o carro A alcance B?
a) 6,0 s c) 12 s e) 20 s
b) 10 s d) 15 s
Ficha-resumo 3
Equação de Torricelli:
v 2 5 v0
2 1 2aDs
Movimento retilíneo vertical sob a ação da 
gravidade:
MUV com a 5 6g
 Texto para os exercícios 10 e 11.
 Um dragster moderno é um automóvel que pode 
chegar a 99,9 km/h em apenas 925,0 ms. Nesse 
intervalo de tempo, seu piloto fica sob o efeito de 
uma aceleração horizontal a, cujo valor, suposto 
constante, é igual a n vezes o módulo da acelera-
ção da gravidade, isto é, a 5 n ? g (g 5 10,0 m/s2).
10. Assim, podemos dizer que, nas condições acima 
citadas, n vale:
a) 0,5
b) 1,0
c) 2,5
d) 3,0 
e) 5,0
11. Em um percurso de 300 m, típico nas corridas de 
dragsters, esse carro poderia alcançar uma veloci-
dade escalar final de aproximadamente:
a) 134 km/h c) 235 km/h e) 356 km/h
b) 483 km/h d) 512 km/h
 
12. Faltando 750 m para o final da pista, um avião 
está com velocidade escalar de 180 km/h e o pi-
loto avalia que não será possível parar a aerona-
ve nessas condições. O experiente comandante 
resolve então “arremeter”, isto é, acelerar “forte” 
com aceleração escalar constante de valor a, 
para uma decolagem de emergência com uma 
velocidade escalar de 360 km/h. Assim, para 
conseguir seu objetivo, o valor mínimo de a 
deve ser:
a) 2,5 m/s2
b) 3,6 m/s2
c) 5,0 m/s2 
d) 6,4 m/s2
e) maior que 7,2 m/s2
13. (Furg-RS) Uma pedra é solta de um penhasco 
e leva Dt1 segundos para chegar ao solo. Se Dt2 
segundos é o tempo necessário para a pedra 
percorrer a primeira metade do percurso, então 
 podemos afirmar que a razão 
D
D
t
t
2
1
 vale:
a) 1 c) 2 e) 2
b) 
2
1
 d) 
2
1
14. (Unimontes-MG) Um objeto é lançado a partir do 
solo, verticalmente para cima, com velocidade 
inicial de 10 m/s. O tempo decorrido desde o lan-
çamento até o retorno do objeto ao solo e a altura 
máxima atingida por ele valem, respectivamente: 
(Adote: g 5 10 m/s2)
a) 2,0 s e 5 m c) 2,0 s e 10 m
b) 3,0 s e 15 m d) 1,0 s e 5 m
15. O Insano, o maior toboágua do mundo, no Ceará, 
proporciona uma queda quase vertical de 40,5 me-
tros, durante 3,0 “longos” segundos, em valores 
aproximados.
 A partir desses dados, faça uma estimativa:
a) do valor da aceleração escalar de uma pes-
soa quando ela percorre o trecho quase ver-
tical do “insano” brinquedo; 
b) da velocidade escalar de uma pessoa, em 
km/h, ao chegar ao final do trecho quase 
vertical. 
16. Em um local, livre da influência do ar, no qual a 
aceleração da gravidade tem valor constante g, 
lança-se verticalmente para cima, no instante 
t0 5 0, um corpo com velocidade escalar inicial v0, 
que passa por um ponto de altura h em relação ao 
ponto de lançamento nos instantes t1, na subida, 
e t2, na descida. Apenas em função de g, t1 e t2, 
determine para esse corpo:
a) o módulo de sua velocidade escalar inicial; 
b) o instante tr do retorno do corpo ao ponto de 
lançamento; 
 c) o valor de h. 
70
LEIS DE NEWTONLEIS DE NEWTONLEIS DE NEWTONLEIS DE NEWTON
 
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Vereda Digital - Física
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Ferraro, Nicolau Gilberto Física, volume único / Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno
A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado. – 1. ed. – São Paulo: Moderna, 2012. – (Vereda digital) Inclui
DVD. 1. Física (Ensino médio) I. Torres, Carlos Magno A. II. Penteado, Paulo Cesar M. III. Título. IV.
Série. 12-10797 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Nicolau Gilberto Ferraro, Carlos Magno A. Torres, Paulo Cesar M. Penteado,
2012
 
 
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72
121
Objetivos do capítulo:
 Apresentar o conceito de força e as principais 
forças da Dinâmica.
 Apresentar as leis de Newton.
Aplicar as leis de Newton a situações-problema.
Discutir as características da força de atrito 
estático e da força de atrito dinâmico.
A foto acima mostra um dragster durante uma arrancada. Os dragsters, surgidos nos Estados Unidos na década de 1940, são veículos leves 
com motores muito potentes e especialmente projetados para provas de arrancada em retas. Os dragsters da categoria Top Fuel são capazes 
de alcançar mais de 515 km/h de velocidade final e percorrer cerca de 400 metros em menos de 5 segundos. Que fatores afetam o desempe-
nho de um dragster? Como esses veículos conseguem atingir velocidades tão altas em um percurso tão curto? Que forças eles devem vencer 
para alcançar tais desempenhos? Essas perguntas podem ser respondidas pela Dinâmica, área da Física que estudaremos neste capítulo.
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Física
Figura 1. Ao ato de 
empurrar ou de puxar, 
associamos a aplicação 
de uma força.
 1 Força
Iniciamos aqui o estudo da área da Física conhecida como Dinâmica.
A Dinâmica é a parte da Mecânica que investiga e busca explicar a causa dos 
movimentos.
Imagine um livro em repouso sobre uma mesa. Para colocá-lo em movimento, 
instintivamente o empurramos ou o puxamos. Quando fazemos isso, o livro pode 
entrar em movimento.
A ideia de empurrar ou puxar um corpo para colocá-lo em movimento está 
relacionada ao conceito intuitivo de força; no entanto, força é a grandeza física 
que se manifesta pela modificação que provoca na velocidade de um corpo ou pela 
deformação nele produzida.
A força é uma grandeza vetorial e, como tal, precisa-
mos conhecer seu módulo, sua direção e seu sentido para 
caracterizá-la (fig. 1). No Sistema Internacional de Unidades 
(SI), a força é medida em newton, cujo símbolo é o N.
Chamamos de força resultante a soma vetorial de duas 
ou mais forças, , , ,FF F1 2 nf  . Portanto:
5 1 1 1F F F FR 1 2 nf
Naturalmente, se houver uma única força agindo no 
sistema, essa força única será a força resultante.
 2 Leis de Newton
O físico, matemático e astrônomo inglês Isaac Newton (1642-1727), em sua 
obra Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da 
filosofia natural), publicada em 1687 e considerada uma das mais importantes 
e influentes na história da ciência, enunciou as três leis fundamentais do movi-
mento, hoje conhecidas como leis de Newton.
Primeira lei de Newton ou princípio da inércia
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e 
uniforme (MRU), a menos que seja forçado a mudar aquele estado por uma 
força resultante não nula aplicada sobre ele.
Portanto, se a força resultante aplicada sobre um corpo é nula, sua velocidade 
vetorial v permanece constante. Em outras palavras, para alterar o vetorvelocidade 
v de um corpo, é necessária a atuação de uma força resultante não nula.
F 5 0R
 
⇔
 
constante
(MRU)
(repouso)
5
5
i
v
v
v
0
0*
Em qualquer uma das duas situações, dizemos que o corpo se encontra em 
 equilíbrio. Esse equilíbrio é estático no caso do corpo em repouso e dinâmico no 
caso do corpo em MRU.
Isaac Newton.
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Gráficos
Força
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Leis de Newton
Segunda lei de Newton ou princípio fundamental da Dinâmica
A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao produto 
de sua massa pela aceleração adquirida. 
5 ?m aFR
Então, podemos dizer que a aceleração de um corpo é proporcional à força resul-
tante que atua sobre ele. A constante de proporcionalidade entre a força resultante
FR e a aceleração a é a massa m do corpo.
No SI, as unidades usadas são: newton (símbolo: N), para a força resultante, 
quilograma (kg), para a massa do corpo, e m/s2, para a aceleração. Observe que:
N kg
s
m
5 ?1 1 2
É importante ressaltar que estamos aplicando uma operação já estudada no 
capítulo 5, o produto de um número real por um vetor. Nesse caso, o número real 
é a massa m de um corpo, um valor sempre positivo.
Por esse motivo, a força resultante FR e a aceleração a de um corpo sempre terão 
a mesma direção e o mesmo sentido.
Terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação
Toda ação sempre provoca uma reação oposta de igual intensidade, ou seja, 
as ações mútuas de dois corpos são sempre iguais, mas em sentidos opostos.
Simplificando, podemos dizer que a toda força de ação corresponde uma força 
de reação de mesma intensidade e mesma direção, mas de sentido oposto. Essas 
forças sempre atuam em dois corpos distintos.
Considere dois lutadores de sumô, A e B, que se empurram mutuamente (fig. 2).
Ao empurrar seu oponente, o lutador A aplica sobre o lutador B uma força FAB. 
Pelo princípio da ação e reação, simultaneamente o lutador B exerce sobre o lutador 
A uma força FBA . Essas duas forças têm mesma direção, mesma intensidade e sentidos 
opostos. Observe que a força FAB atua no lutador B e a força FBA atua no lutador A.
Em outras palavras, é impossível empurrar sem ser empurrado, ou puxar sem 
ser puxado.
Figura 2. As forças de 
ação e reação sempre 
atuam em dois corpos 
distintos.
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Física
1. Em cada uma das situações abaixo, representa-
mos um corpo com massa de 2 kg, sujeito a duas 
ou mais forças.
 a) 
2 kg
F1 = 10 N F2 = 10 N
 b) 
2 kg
F1 = 10 N F2 = 6 N
 c) 
2 kg
F1 = 6 N F2 = 6 N
F3 = 6 N
 d) 
2 kg
F1 = 6 N
F2 = 8 N
 Determinar, para cada situação, o módulo da 
força resultante que atua no corpo e o módulo 
da aceleração adquirida por ele.
 Solução
 Em todos os casos, a força resultante será obtida 
pela soma vetorial das forças que atuam no cor-
po ( 5 1 1 1F F F Fn1 2R f ), e a aceleração, quando 
existir, será calculada usando o princípio funda-
mental da Dinâmica ( 5 ?mFR a).
 a) As forças eF F1 2 têm mesma intensidade (ou 
módulo) e mesma direção, mas sentidos opostos. 
Então:
5 2F F F1 2R ⇒ 5 2F 10 10R � 5F 0R
 Como a força resultante é nula, pelo princí-
pio da inércia, concluímos que a velocidade 
 vetorial do corpo é constante e, portanto, sua 
 aceleração é nula. Então: a 5 0
 É importante destacar que, nesse caso, o corpo 
representado está em repouso ou está se movi-
mentando em linha reta, em qualquer direção, 
com velocidade escalar constante.
 b) Mais uma vez, temos duas forças de mesma dire-
ção, mas de sentidos opostos. Porém, nesse caso, as 
forças têm módulos diferentes. Então:
 5 2F F F1 2R ⇒ 105 2F 6R � 
 � N5F 4R (horizontal, para a esquerda) 
 Pelo princípio fundamental da Dinâmica:
 F m5R a ⇒ 5 a4 2 ⇒ 5a 2
4
 � 
 � a 5 2 m/s
2 (horizontal, para a esquerda) 
Aplicando a teoria
2 kg
FR = 4 N
a = 2 m/s2
 Observe que a aceleração e a força resultante 
têm mesma direção e mesmo sentido.
 c) Nesse cavso, a força resultante será obtida com a 
soma: 5 1 1F F F F1 2 3R
 As forças eF F1 2 têm mesma intensidade e 
mesma direção, mas sentidos opostos. Assim, 
elas se anulam. Logo, a força resultante sobre o 
corpo é igual à força F3. Então:
 5F FR 3 � FR 5 6 N (vertical, para baixo)
 Pelo princípio fundamental da Dinâmica:
 F m5R a ⇒ 5 a6 2 ⇒ 5a 2
6
 � 
 � a 5 3 m/s
2
 (vertical, para baixo)
2 kg
FR = 6 N
a = 3 m/s2
 d) Como as forças eF F1 2 são perpendiculares entre 
si, podemos somá-las aplicando a regra do para-
lelogramo. O módulo da força resultante pode ser 
obtido por meio do teorema de Pitágoras: 
5 1F 6 8R
2 2 2
 ⇒ 5 1F 36 64R
2
 ⇒ 5F 100R
2
 � 
� FR 5 10 N
 Pelo princípio fundamental da Dinâmica:
 F m5R a ⇒ 10 5 2a ⇒ a 2
10
 � 
 � a 5 5 m/s2
2 kg
F1 = 6 N
F2 = 8 N
FR = 10 N
a = 5 m/s2
2. A partir do instante t 5 0, um corpo com massa 
de 5 kg, inicialmente em repouso, fica sujeito a 
uma força resultante constante de módulo 20 N.
 a) Qual é o módulo da aceleração adquirida pelo 
corpo?
 b) Qual é a velocidade escalar do corpo no instante 
t 5 3 s?
 c) Qual é o deslocamento do corpo entre os instantes 
t 5 0 e t 5 3 s?
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Leis de Newton
 Solução
 a) Pelo princípio fundamental da Dinâmica: 5 ?m aFR
 Então: FR = ma ⇒ 20 5 5a ⇒ a 5 5
20
 � a 5 4 m/s2
 b) Como a força resultante tem módulo constante, podemos concluir que a aceleração 
adquirida pelo corpo também terá módulo constante. Portanto, o corpo realizará um 
movimento retilíneo uniformemente variado.
 No MUV: 
 v 5 v0 1 at ⇒ v 5 0 1 4 ? 3 � v 5 12 m/s
 c) Da função horária do espaço no MUV, temos: 
 5 1 1s s v t at2
1
0 0
2
 ⇒ 2 5 1s s v t at2
1
0 0
2
 ⇒ D 5 1s v t at2
1
0
2
 Então: 
 0 3 4 35 1D ? ? ?s
2
1 2 ⇒ Ds 5 0 1 18 � Ds 5 18 m
Avaliando o aprendizado
1. Em determinado instante, um corpo fica sujeito a duas forças perpendiculares 
entre si, de módulos F1 5 12 N e F2 5 5 N. 
 a) Qual é o módulo da força resultante?
 b) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo corpo sabendo que sua massa é de 
6,5 kg.
2. Um bloco de massa 5 kg desloca-se em movimento retilíneo e uniforme (MRU) sob 
a ação de um sistema de forças. O que podemos afirmar a respeito da resultante 
das forças que agem no bloco?
3. Duas forças de mesma direção, mas de sentidos opostos, atuam sobre um corpo 
de massa 10 kg, imprimindo-lhe uma aceleração de 4 m/s2. Se uma das forças tem 
módulo 20 N, qual é o módulo da outra?
4. Um corpo com massa de 5 kg desloca-se ao longo de uma reta em movimento 
uniformemente variado durante 5 s. Os módulos da velocidade v do corpo nos 
instantes t correspondentes são mostrados na tabela abaixo.
 
t (s) 0 1 2 3 4 5
v (m/s) 5 8 11 14 17 20
 a) Qual é o módulo da aceleração do corpo?
 b) Qual é o módulo da força resultante que atua no corpo? 
5. Com base no princípio da ação e reação, verifique se a afirmação abaixo está cor-
reta. Justifique sua resposta.
 “Quando exercemos uma força F sobre um corpo, este exerce uma força igual e oposta 2F 
que anula a força F, de modo que a força resultante sobre o corpo é nula e o corpo não se 
move.”
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Física
Vamos agora caracterizar as principais forças com que trabalhamos na Dinâmi-
ca. Tais forças aparecem com frequência em situações-problema que envolvem um 
ou mais corpos nas quais temos de impor as condições de equilíbrio ou calcular a 
aceleração resultante.
Força peso ( )
A força peso, representada por P , é a força de atração gravitacional que age entre 
corpos que possuem massa. Por exemplo, a força com que a Terra atrai os objetos.
Nos capítulos anteriores, vimos que, quando um corpo é abandonado de de-
terminada altura nas proximidades da superfície terrestre sob a ação exclusiva da 
gravidade, desprezando-se a resistência do ar, ele cai em linha reta descrevendo um 
movimento retilíneo uniformemente variado com aceleração a igual à aceleração 
gravitacional g.
Então, pelo princípio fundamental da Dinâmica:
F m5 ?R a ⇒ 5 ?mP g
A figura 3 mostra a aplicação do princípio da ação e reação à força peso. Podemos 
concluir, então, que a força P tem mesma direção da aceleração da gravidade g, ou 
seja, vertical; mesmo sentido da aceleração da gravidade g , ou seja, para baixo, pois 
a grandeza escalar m é positiva, e módulo (ou intensidade) dado por:
P 5 mg
Para simplificar os cálculos, adotaremos, como nos capítulos anteriores, g 5 10 m/s2 
para o módulo da aceleração da gravidade nas proximidades da superfície terrestre.
Força de reação normal do apoio ( )
A força de reação normal do apoio, ou simplesmente força normal, é a força de 
contato entre dois corpos que se tocam. A força normal N tem direção perpendicular 
às superfícies em contato e módulo N.
A figura 4 mostra o par ação-reação para a força normal em algumas situações.
 3 Principais forças da Dinâmica
P
P
– P
Figura 3. As forças eP P2 
constituem um par ação-
reação.
Note que não existe uma expressão específica para o cálculo do módulo da força 
normal. O módulo da força de reação normal do apoio é calculado levando-se em 
conta todas as forças que agem no corpo em estudo.
N
–N
N
–N
N3
N2
N4
N1
–N1
–N2
–N4–N3
Figura 4. 
N
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Leis de Newton
Força de tração ( )
Quando um corpo é puxado por um fio, fica sujeito a uma força chamada força 
de tração, que representaremos por T (fig. 5).
Um fio flexível esticado permite apenas que o corpo seja puxado, nunca 
empurrado.
A figura 6 mostra algumas situações onde aparecem corpos ligados a fios.
T
Figura 5. 
T
Figura 6. A força de tração sempre atua na direção do comprimento do fio.
T
T T
G
R
EG
 E
P
P
ER
S
O
N
/S
H
U
TT
ER
S
TO
C
K
Observe que nessa figura representamos apenas a força que os fios aplicam 
aos corpos; a reação a essa força, que os corpos aplicam aos fios no sentido de 
mantê-los esticados, não foi representada. Note também que a força de tração 
sempre atua na direção do fio no sentido de puxar o corpo ao qual está preso. O 
módulo da força de tração é calculado levando-se em conta as outras forças que 
atuam no corpo.
É bastante comum considerar os fios utilizados em sistemas mecânicos como fios 
ideais. Um fio ideal é inextensível e tem massa desprezível.
Força elástica ( F )
Denomina-se força elástica, representada por F ,a força exercida por uma 
mola deformada.
A figura 7 mostra uma mola presa a um bloco em três situações distintas. Na 
primeira situação (fig. 7A), a mola não está deformada; na segunda (fig. 7B), ela está 
comprimida; e na terceira (fig. 7C), está distendida. Na figura, mostramos a força
 F aplicada ao corpo pela mola quando ela está deformada.
elást
elást
elást
Figura 7. Ao ser deformada, uma mola exerce uma força proporcional 
à deformação.
A
B
C
x
x
Mola não deformada
Mola comprimida
Mola distendida
Felást
Felást
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Física
A força elástica atua na direção da deformação, mas em sentido 
oposto. Para determinar o módulo da força elástica exercida por 
uma mola, aplicamos a lei de Hooke.
De acordo com a lei de Hooke, o módulo da força elástica é 
diretamente proporcional à deformação sofrida pela mola.
Assim:
Felást 5 kx
Em que k é a constante elástica da mola. No SI, essa constante 
é medida em N/m.
Com base na lei de Hooke, podemos calibrar uma mola e, 
com ela, construir um instrumento para medir a intensidade 
de uma força. Esse instrumento é denominado dinamômetro 
(fig. 8).
Quando colocado em uma extremidade de um fio estica-
do, o dinamômetro indica a intensidade da força de tração T 
do fio.
Figura 8. (A) Dinamômetro de precisão; 
(B) representação de um dinamômetro.
3. Na Terra, um astronauta totalmente equipado 
tem peso igual a 1.800 N. Considerar a acelera-
ção da gravidade na superfície terrestre igual a 
10 m/s2.
 a) Qual é a massa do astronauta e seu equipamento?
 b) Qual é o peso do astronauta na Lua, onde a acele-
 ração da gravidade é 
6
1 da aceleração da gravidade 
na Terra?
 Solução
 a) Para o astronauta na Terra, P 5 1.800 N e g 5 10 m/s2. 
Então:
P 5 mg ⇒ 1.800 5 m ? 10 ⇒ 
.
5m
10
1 800
 � 
 � m 5 180 kg
 b) Na Lua, temos: m 5 180 kg e g 5 
6
10
 m/s2. Então, na 
Lua:
PLua 5 mgLua ⇒ PLua 5 180 ? 6
10
 � PLua 5 300 N
 Observe que a massa do astronauta não sofre 
nenhuma alteração. Ela só seria alterada se o 
astronauta emagrecesse ou engordasse.
Aplicando a teoria
4. Um corpo em repouso, com massa de 5 kg, está 
preso a um fio que, por sua vez, está preso ao teto 
de uma sala. Considerar g 5 10 m/s2.
 a) Qual é o módulo da força peso que atua sobre o 
corpo?
 b) Qual é o módulo da força de tração no fio?
 Solução
 a) A figura abaixo mostra o corpo de 5 kg preso ao 
teto pelo fio e, ao lado, o corpo isolado e as forças 
que atuam sobre ele.
T
P
Diagrama de
corpo livre
 Essa representação gráfica do corpo isolado e 
das forças que atuam nele é chamada de dia-
grama de corpo livre.
 Para o cálculo do módulo da força peso, temos: 
 P 5 mg ⇒ P 5 5 ? 10 � P 5 50 N
B
G
IP
H
O
TO
S
TO
C
K
/P
H
O
TO
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C
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AT
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S
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C
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A Hooke
Conteúdo
multimídia
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Leis de Newton
 Solução
 a) O peso P do bloco é dado por: 
 P 5 mg ⇒ P 5 2 ? 10 � P 5 20 N
 b) Observe o diagrama de corpo livre para a situação I:
NI
P = 20 N
 Como o corpo está em repouso, pelo princípio da 
inércia, a resultante das forças que atuam sobre 
ele deve ser nula ( 5F 0R ). Então:
NI 5 P � NI 5 20 N
 c) Para o cálculo de Felást, usaremos a lei de Hooke 
(Felást 5 kx). Observe que, na situação II, para ser 
encaixada entre o bloco e o teto, a mola precisou 
ser comprimida 10 cm ou 0,1 m. Então:
Felást 5 kx ⇒ Felást = 100 ? 0,1 � Felást 5 10 N
 d) Mais uma vez recorreremos ao diagrama de corpo 
livre:
P = 20 N
Felást = 10 N
NII
 Observe que, como a mola está comprimida, 
ela empurra o corpo para baixo.
 Como o corpo continua em repouso, 5F 0R . 
Portanto, a força para cima deve equilibrar as 
forças para baixo. Então:
 NII 5 P 1 Felást ⇒ NII 5 20 1 10 � NII 5 30 N
 b) Não existe uma única fórmula para calcular a in-
tensidade da força de tração no fio. Ela deverá ser 
obtida analisando o diagrama de corpo livre.
 Como sabemos que o corpo está em repouso, 
então, pelo princípio da inércia, a resultante 
das forças que atuam sobre ele deve ser nula 
( 5F 0R ).
 Assim, as duas forças que atuam no corpo, o 
peso de 50 N (para baixo) e a tração T (para 
cima), devem se equilibrar. Portanto: 
 T 5 P � T 5 50 N
5. As figuras abaixo mostramum bloco com massa 
m 5 2 kg e uma mola de constante elástica 
k 5 100 N/m, em duas situações.
50 cm
40 cm
Situação I
2 kg
Situação II
2 kg
40 cm
 Considerando g = 10 m/s2, determinar: 
 a) o peso P do bloco;
 b) a intensidade da força de reação normal do apoio 
NI, na situação I;
 c) a intensidade da força Felást aplicada pela mola ao 
corpo, na situação II;
 d) a intensidade da força de reação normal do apoio 
NII, na situação II.
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Física
Avaliando o aprendizado
6. Um paraquedista, com massa total de 80 kg, des-
ce verticalmente com velocidade constante de 
0,5 m/s. Adote g 5 10 m/s2.
 a) Qual é o valor da aceleração escalar do movi-
mento? Justifique sua resposta. 
 b) Determine o módulo da resultante das forças 
que se opõem ao movimento. 
7. Uma força horizontal de 10 N é aplicada a um 
corpo com massa de 2 kg, inicialmente em re-
pouso, apoiado sobre uma superfície horizontal 
perfeitamente lisa.
 a) Qual é o módulo da aceleração adquirida pelo 
corpo?
 b) Qual é o módulo da velocidade do corpo após 3 s 
da aplicação da força? 
8. Um carrinho de massa m move-se sobre uma 
mesa horizontal lisa, puxado por um fio que for-
ma um ângulo u com a horizontal.
u
 Sabendo que o módulo da aceleração do carrinho 
é a, determine o valor da intensidade da força de 
tração T no fio.
9. As figuras abaixo mostram um bloco com mas-
sa m 5 5 kg e uma mola de constante elástica 
k 5 150 N/m, em duas situações. 
50 cm
60 cm
Situação I 
Situação II
60 cm
 Considerando g 5 10 m/s2, determine: 
 a) o peso P do bloco; 
 b) a intensidade da força de reação normal do apoio 
NI, na situação I;
 c) a intensidade da força Felást aplicada pela mola ao 
corpo, na situação II;
 d) a intensidade da força de reação normal do apoio 
NII, na situação II.
As leis de Newton já foram aplicadas nas situações-problema anteriores, mas 
agora passaremos a analisar sua aplicação em sistemas mecânicos mais complexos.
Na Dinâmica, a resolução da maioria dos problemas que envolvem corpos sob a ação 
de forças é feita de maneira semelhante e exige a aplicação das três leis de Newton.
Devemos iniciar a resolução de um problema construindo o diagrama de corpo 
livre para cada corpo que constitui o sistema. A representação das forças que atuam 
em cada corpo corresponde à aplicação da terceira lei de Newton ou princípio da 
ação e reação.
O passo seguinte consiste em analisar o movimento do corpo e aplicar a primeira 
lei de Newton ou princípio da inércia (F 5 0R ) considerando a direção na qual a ve-
locidade vetorial do corpo é constante (repouso ou MRU) e aplicar a segunda lei de 
Newton (F m5 ?R a) considerando a direção na qual a velocidade vetorial do corpo 
varia, ou seja, a direção da aceleração.
 4 Aplicações das leis de Newton
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Leis de Newton
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6. O sistema representado na figura abaixo se 
movimenta numa superfície plana, horizontal e 
perfeitamente lisa. Determinar a aceleração dos 
corpos e a intensidade da força que o corpo A 
aplica no corpo B.
 (Dados: mA 5 2 kg, mB 5 8 kg e F 5 40 N.)
 
A
F B
 Solução
 Iniciaremos a resolução com a construção dos 
diagramas de corpo livre para os corpos A e B.
 
F = 40 N
NA
f
a
A
2 kg
PA
NB
PB
f
a
B
8 kg
 Observe que a força de contato entre A e B é a 
força que representamos por f.
 Como os corpos se movimentam na horizontal, 
eles estão em repouso em relação à direção ver-
tical. Então, na direção vertical 5F 0R .
 Assim: NA 5 PA e NB 5 PB
 A aceleração dos corpos será na direção hori-
zontal e, nesse caso, para a direita. Isso pode ser 
comprovado observando que a força resultante 
que atua no corpo B é a força f para a direita.
 Vamos aplicar a segunda lei de Newton ( m5 ?FR a ) 
a cada um dos corpos.
 Para o corpo A: 2 5 ?F f mA a ⇒ 40 2 f 5 2a 1
 Para o corpo B: 5 ?f mB a ⇒ f 5 8a 2
 Podemos resolver o sistema formado pelas equa-
ções 1 e 2 somando membro a membro as 
duas equações, eliminando a incógnita f. Temos, 
então:
 40 5 10a � a 5 4 m/s2
 Substituindo a = 4 em 2 , temos:
 f 5 8 ? 4 � f 5 32 N
Aplicando a teoria
7. No sistema representado a seguir, a superfí-
cie plana horizontal onde o bloco A se apoia é 
 perfeitamente lisa. O fio e a polia são ideais. Consi-
derando g 5 10 m/s2, mA 5 8 kg e mB 5 2 kg, deter-
minar a aceleração dos corpos e a intensidade da 
força de tração no fio.
B
A
 Solução
 Mais uma vez vamos iniciar a resolução com a 
construção do diagrama de corpo livre para os 
blocos A e B.
PA = 80 N
a
T
A
NA
B a
T
PB = 20 N
 Observe que, no bloco A, a força resultante é a 
tração T e que a aceleração terá direção horizon-
tal e, nesse caso, sentido para a direita. Portan-
to, o bloco B terá aceleração vertical para baixo.
 Vamos aplicar a segunda lei de Newton ( m5 ?FR a ) 
a cada um dos corpos.
 Para o corpo A: m5 ?T A a ⇒ T 5 8a 1
 Para o corpo B: 2 5 ?P T mB B a ⇒ 20 2 T 5 2a 2
 Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
 a 5 2 m/s2 e T 5 16 N
8. Um corpo de massa m desliza por uma rampa 
plana, perfeitamente lisa e inclinada de um ân-
gulo u em relação à horizontal, como represen-
tado abaixo.
m
�
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Física
 Decompondo a força peso do corpo na direção 
paralela ao plano (Pt) e na direção perpendicular 
ao plano, (Pn) temos: 
 Pt 5 P ? sen u e Pn 5 P ? cos u
u
P ? sen u
P
N
a
P ? cos u
 Na direção perpendicular ao plano inclinado, o 
corpo está em repouso. Então, pelo princípio da 
inércia: 
 N 5 P ? cos u 5 mg ? cos u
 Na direção paralela ao plano, vamos aplicar a 
segunda lei de Newton m5 ?FR a:
 P ? sen u 5 ma ⇒ 
sen
5
u?
a m
mg
 ⇒ a 5 g ? sen u
 Determinar a aceleração do corpo durante a des-
cida da rampa, considerando que a aceleração da 
gravidade vale g.
 Solução
 No corpo atuam apenas as forças peso e de rea-
ção normal do apoio. O diagrama de corpo livre é 
mostrado abaixo. 
P
N
 O corpo irá escorregar ao longo do plano; portan-
to, sua aceleração terá obrigatoriamente direção 
paralela ao plano. Em outras palavras, a força re-
sultante terá direção paralela ao plano inclinado.
Avaliando o aprendizado
10. Dois carrinhos, com massas de 0,2 kg e 0,3 kg, 
ligados entre si por um fio ideal, são puxados por 
uma força horizontal de 2 N sobre uma mesa lisa, 
conforme mostrado abaixo. 
 
0,2 kg 0,3 kg
2 N
 Determine a aceleração dos carrinhos e a intensi-
dade da força de tração no fio. 
11. O sistema mecânico representado abaixo é co-
nhecido como máquina de Atwood. Os corpos 
A e B têm massas, respectivamente, iguais a 0,2 kg 
e 0,3 kg. Considere o fio e a polia ideais e adote 
g 5 10 m/s2.
 a) Qual é a aceleração dos corpos? 
 b) Qual é a intensidade da força de tração no fio que 
liga os corpos?
A
B
12. No esquema representado abaixo, os blocos A, B 
e C têm massas, respectivamente, iguais a 20 kg, 
10 kg e 30 kg. A superfície em que os blocos A e B 
se apoiam é horizontal e perfeitamente lisa. 
C
A
B
 Considerando g 5 10 m/s2, determine:
 a) a aceleração dos corpos; 
 b) a intensidade da força de tração no fio;
 c) a intensidade da força com que o bloco A empurra 
o bloco B.
13. No esquema representado abaixo, os corpos A e 
B têm massas iguais a 10 kg. Adote g 5  10 m/s2, 
sen u 5 0,6 e cos u 5 0,8. 
u
B
A
 Despreze os atritos e determine:
 a) a aceleração dos corpos;
 b) a tração no fio ideal.
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133Leis de Newton
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A força de atrito tem grande importância em nosso dia a dia 
e está sempre presente nas situações cotidianas. Muitas vezes o 
atrito é indispensável, outras vezes é indesejável. O atrito é de-
corrente das imperfeições (asperezas), muitas vezes microscópicas, 
das superfícies em contato uma com a outra.
Sem o atrito seria impossível, por exemplo, segurar um lápis 
e, com ele, escrever em uma folha de papel. O atrito também é 
a causa do desgaste das peças de um motor de carro e, por isso, 
é necessário sempre uma boa lubrificação para que possamos 
reduzi-lo.
A força de atrito surge quando duas superfícies em conta-
to movimentam-se uma em relação à outra, ou quando existe 
uma tendência de movimento entre elas. A força de atrito age 
no sentido de se opor a esse movimento ou à tendência de 
movimento.
Vamos considerar um corpo de peso P, inicialmente em 
repouso, apoiado em uma superfície horizontal sem atrito. Ten-
taremos colocar o corpo em movimento aplicando uma força 
horizontal F, com intensidade crescente. Na figura 9, podemos 
observar que o corpo fica sujeito a uma força resultante de in-
tensidade F e acelera.
Entretanto, se existir atrito entre o corpo e a superfície de 
apoio, o corpo poderá permanecer em repouso e, nesse caso, a 
força de atrito terá intensidade Fat igual à da força F, chamada de 
força solicitadora (fig. 10).
A força de atrito que atua enquanto as superfícies não se 
movimentam, uma em relação à outra, recebe o nome de força 
de atrito estático.
Na iminência de movimento do corpo, a força de atrito atin-
ge sua intensidade máxima, Fat(máx). Essa intensidade máxima da 
força de atrito depende das condições das superfícies em conta-
to e da intensidade da força de reação normal N. Então, para a 
força de atrito máxima, com as superfícies em repouso, temos: 
Fat(máx) 5 meN, em que me é o coeficiente de atrito estático.
Após o início do movimento do corpo, observa-se que a 
intensidade da força de atrito diminui ligeiramente, mantendo-
se constante logo em seguida, enquanto o corpo se movimen-
ta. Nesse caso, a força de atrito, agora denominada força de 
atrito cinético ou força de atrito dinâmico, também depende 
da reação normal N, e é calculada por Fat 5 mcN, em que mc 
é o coeficiente de atrito cinético (ou coeficiente de atrito 
 dinâmico).
As constantes me e mc são adimensionais.
O coeficiente de atrito estático é maior que o coeficiente de 
atrito cinético (me > mc). Em muitos casos, porém, esses valores são 
muito próximos e podemos considerá-los iguais, indicando-os por 
m e chamando-os simplesmente de coeficiente de atrito.
O gráfico da figura 11 resume as características da força de 
atrito.
 5 Força de atrito
Figura 10. Enquanto o corpo permanece em 
repouso, a intensidade Fat da força de atrito se 
iguala à da força F.
F
Fat
N
P
Figura 9. Se não houver atrito, o corpo se 
movimenta, qualquer que seja a intensidade 
da força F.
F
N
P
Figura 11. Com o corpo em movimento, a força 
de atrito mantém intensidade constante.
0
me N
Fat
45°
F
mc N
Corpo em movimento
Iminência de movimento
Corpo em repouso
5
6 
7
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Física
Avaliando o aprendizado
14. Um corpo com massa de 5 kg, inicialmente em 
repouso sobre uma mesa horizontal, é subme-
tido à ação de uma força horizontal de 30  N. 
Considerando que o coeficiente de atrito entre o 
corpo e a mesa vale 0,4 e adotando g 5 10 m/s2, 
determine:
 a) a aceleração adquirida pelo corpo; 
 b) sua velocidade após 5 s da aplicação da força.
15. Os blocos de massas mA 5 8 kg e mB 5 2 kg são 
empurrados sobre um plano horizontal por uma 
força horizontal de intensidade F 5 100 N, confor-
me a figura abaixo. O coeficiente de atrito entre os 
blocos e o plano horizontal é igual a 0,7.
B
A
F
 Considerando que a aceleração da gravidade no 
local vale g 5 10 m/s2, determine:
 a) a intensidade da força de atrito que atua em cada 
um dos blocos;
 b) a aceleração adquirida pelo conjunto;
 c) a intensidade da força que o bloco A aplica no 
bloco B.
16. Dois blocos, com massas 0,2 kg e 0,3 kg, ligados 
entre si por um fio ideal, são puxados por uma 
força horizontal de 2  N sobre uma superfície 
horizontal, conforme mostrado abaixo. O coe-
ficiente de atrito entre os blocos e a superfície 
horizontal é igual a 0,3.
2 N
0,3 kg0,2 kg
 Determine a aceleração dos blocos e a intensida-
de da força de tração no fio.
Aplicando a teoria
9. Os blocos de massas mA 5 6 kg e mB  5 4 kg, 
ligados por um fio ideal, são arrastados sobre 
um plano horizontal por uma força paralela ao 
plano de intensidade F 5 60 N, conforme a figura 
abaixo. O coeficiente de atrito entre os blocos e o 
plano horizontal é igual a 0,4.
 
FBA
 Considerando que a aceleração da gravidade no 
local vale g 5 10 m/s2, determinar:
 a) a intensidade da força de atrito que atua em cada 
um dos blocos;
 b) a força de aceleração adquirida pelo conjunto;
 c) a intensidade da força de tração exercida no fio.
 Solução
 a) Como os blocos se movimentam na horizontal, 
podemos concluir que na vertical, pelo princípio da 
inércia, a força resultante é nula. Então:
 NA 5 PA 5 60 N e NB 5 PB 5 40 N
 A força de atrito é dada por: Fat 5 mN
 Para o bloco A:
Fat(A) 5 mNA ⇒ Fat(A) 5 0,4 ? 60 � Fat(A) 5 24 N
Para o bloco B:
Fat(B) 5 mNB ⇒ Fat(B) 5 0,4 ? 40 � Fat(B) 5 16 N
 b) Construindo o diagrama de corpo livre dos blocos 
A e B, temos:
 
Fat(B) = 16 N
T F = 60 N
a
B
4 kg
NB = 40 N
PB = 40 N
T
Fat(A) = 24 N
NA = 60 Na
A
6 kg
PA = 60 N
 Vamos aplicar o princípio fundamental da 
Dinâmica, m5FR a, aos blocos A e B.
 Para o bloco A: m2 5 ?FT at(A) A a ⇒ T 2 24 5 6a 1
 Para o bloco B: m2 2 5 ?F F Tat(B) B a ⇒
⇒ 60 2 16 2 T 5 4a 2
 Somando membro a membro as duas equações, 
 temos: a 5 2 m/s2
 c) Substituindo a 5 2 m/s2 em qualquer uma das 
duas equações anteriores, chegamos ao valor 
 da intensidade da força de tração T: T 5 36 N
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Conteúdo 
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Leis de Newton
 
III. A força que impulsiona um foguete é a força 
dos gases de escape que saem da parte trasei-
ra do foguete, à medida que o foguete expele 
os gases para trás.
IV. Um par de forças de ação e reação sempre 
atua no mesmo corpo.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas as assertivas I e II são verdadeiras.
b) Apenas a assertiva I é verdadeira.
c) Apenas as assertivas I, II e III são verdadeiras. 
d) Todas as assertivas são falsas.
e) Apenas a assertiva IV é verdadeira.
3. (Udesc) Um corpo repousa sobre uma superfície 
sem atrito, quando uma força constante de 1,0 N, 
paralela à superfície, movimenta-o com uma 
aceleração constante de 1,0 m/s2. A força atua 
durante 1,0 s. A massa do corpo é, portanto:
a) 1,0 N ? s3/m
b) 1,0 N ? s2/m
c) 1,0 N ? s/m
d) 1,0 N ? m/s2
e) 1,0 N ? m/s
4. (Fuvest-SP) Um veículo de 5 kg descreve uma tra-
jetória retilínea que obedece à seguinte equação 
horária:
 s 5 3t2 1 2t 1 1
 em que s é medido em metro e t, em segundo. O 
módulo da força resultante sobre o veículo vale:
a) 30 N
b) 5 N 
c) 10 N
d) 15 N 
e) 20 N
5. (UFMG) Uma pessoa está empurrando um ca-
ixote. A força que essa pessoa exerce sobre o 
ca ixote é igual e contrária à força que o caixote 
exerce sobre ela. Com relação a essa situação as-
sinale a afirmativa correta.
a) A pessoa poderá mover o caixote porque aplica 
a força sobre o caixote antes de ele poder anular 
essa força. 
b) A pessoa poderá mover o caixote porque as for-
ças citadas não atuam no mesmo corpo.
c) A pessoa poderá mover o caixote se tiver uma 
massa maior do que a massa do caixote.
d) A pessoa terá grande dificuldade para mover ocaixote, pois nunca consegue exercer uma força 
sobre ele maior do que a força que esse caixote 
exerce sobre ela.
e) Nenhuma das afirmativas acima.
Revisando o conteúdo
1. (Unesp-SP) Assinale a alternativa que apresenta 
o enunciado da lei de inércia, também conhecida 
como primeira lei de Newton.
a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descre-
vendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa 
um dos focos.
b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma 
força proporcional ao produto de suas massas 
e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre eles.
c) Quando um corpo exerce uma força sobre 
outro, este reage sobre o primeiro com uma 
força de mesma intensidade e direção, mas de 
sentido contrário.
d) A aceleração que um corpo adquire é direta-
mente proporcional à resultante das forças 
que nele atuam, e tem mesma direção e senti-
do dessa resultante.
e) Todo corpo continua em seu estado de repou-
so ou de movimento uniforme em uma linha 
reta, a menos que sobre ele estejam agindo 
forças com resultante não nula.
2. (PUC-PR) Julgue as assertivas a seguir a respeito 
das leis de Newton.
I. É possível haver movimento na ausência de 
uma força.
II. É possível haver força na ausência de movi-
mento.
Ficha-resumo 1
Força é uma grandeza física vetorial, medida, 
no SI, em newton (N).
Para um sistema de forças: 
5 1 1 1F F F F1 2 nR f
Leis de Newton 
• Princípio da inércia
 5F 0R ⇔ v 5 constante 
(repouso)5
0
0
(MRU)
• Princípio fundamental da Dinâmica 
m5 ?F R a
 A força resultante e a aceleração sempre 
têm mesma direção e mesmo sentido.
• Princípio da ação e reação
 A toda ação corresponde uma reação de 
mesma intensidade e mesma direção, mas 
de sentido oposto.
 As forças do par ação-reação sempre 
atuam em corpos distintos.
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Física
6. (UEL-PR) Considere as seguintes afirmações:
I. A resultante das forças que atuam num corpo 
que descreve movimento uniforme é nula.
II. Dois corpos submetidos a forças resultantes 
iguais sofrem a mesma aceleração somente 
se possuírem mesma massa.
III. O efeito final da força de ação exercida por 
um agente externo a um corpo é anulado pela 
reação do corpo a esse agente externo.
 Dentre essas afirmações, somente:
a) I é correta.
b) II é correta.
c) III é correta.
d) I e II são corretas.
e) I e III são corretas.
7. (UFMS) Uma lâmpada está pendurada vertical-
mente em uma corda no interior de um elevador 
que está descendo. O elevador está desacele-
rando a uma taxa igual a 2,3 m/s2. Se a tensão na 
corda for de 123 N, qual a massa da lâmpada em 
kg? Considere g = 10 m/s2.
8. (Unifesp) Na representação da figura, o bloco A 
desce verticalmente e traciona o bloco B, que se 
movimenta em um plano horizontal, por meio 
de um fio inextensível. Considere desprezíveis as 
massas do fio e da roldana e todas as forças de 
resistência ao movimento.
A
B
 Suponha que, no instante representado na figura, 
o fio se quebre. Pode-se afirmar que, a partir des-
se instante:
a) o bloco A adquire aceleração igual à da gravida-
de; o bloco B para.
b) o bloco A adquire aceleração igual à da gravida-
de; o bloco B passa a se mover com velocidade 
constante.
c) o bloco A adquire aceleração igual à da gravi-
dade; o bloco B reduz sua velocidade e tende a 
parar.
d) os dois blocos passam a se mover com velocidade 
constante.
e) os dois blocos passam a se mover com a mesma 
aceleração.
9. (Fuvest-SP) Uma esfera de massa m0 está pendu-
rada por um fio, ligado em sua outra extremidade 
a um caixote, de massa M 5 3m0, sobre uma mesa 
horizontal. Quando o fio entre eles permanece 
não esticado e a esfera é largada, após percorrer 
uma distância H0, ela atingirá uma velocidade v0, 
sem que o caixote se mova.
M
m0
v0
H0
g
As principais forças da Dinâmica são:
Força peso (P )
 Módulo: P 5 mg
 Direção: vertical
 Sentido: para baixo
Força de reação normal do apoio (N )
 Módulo: depende das outras forças que 
atuam no corpo.
 Direção: perpendicular às superfícies em 
contato.
 Sentido: orientada para fora das superfícies 
que se tocam.
Força de tração (T )
 Módulo: depende das outras forças que 
atuam no corpo.
 Direção: a mesma direção do fio.
 Sentido: sempre no sentido de puxar o 
corpo ao qual o fio está preso.
Força elástica (F elást)
 Módulo: Felást 5 kx (lei de Hooke)
 Direção: coincidente com a direção do eixo 
da mola.
 Sentido: no corpo preso à mola, atua no 
sentido de trazer o corpo à posição de 
equilíbrio.
Força de atrito (F ta )
 Módulo: 
 
(atrito est tico)
(atrito cin tico)
< < m
5m
F N
F N
0 á
é
at e
at c
 Direção: tangente às superfícies em 
contato.
 Sentido: oposto ao movimento ou à 
tendência de movimento.
Ficha-resumo 2
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Leis de Newton
 Na situação em que o fio entre eles estiver esticado, 
a esfera, puxando o caixote, após percorrer a mes-
ma distância H0, atingirá uma velocidade v igual a:
a) 
1
4
 v0 b) 
1
3
 v0 c) 2
1
 v0 d) 2v0 e) 3v0
10. (Mackenzie-SP) O sistema abaixo consiste de po-
lias e fios ideais. Adote g = 10 m/s2.
B
A C
 Os corpos A e C têm massas iguais a 3 kg cada 
um, e a massa de B é 4 kg. Estando o corpo B li-
gado, por fios, aos corpos A e C, a aceleração com 
que ele sobe é de:
a) 5 m/s2 d) 2 m/s2
b) 4 m/s2 e) 1 m/s2
c) 3 m/s2
11. (Udesc) Um estivador empurra uma caixa em um 
piso plano com uma força horizontal F . Conside-
rando que a caixa é deslocada com velocidade 
constante, é correto afirmar:
a) A intensidade da força de atrito entre o piso e a 
caixa é igual à intensidade de F .
b) A intensidade da força de atrito entre o piso e a 
caixa é menor do que a intensidade de F .
c) O somatório das forças que atuam sobre a caixa 
é diferente de zero.
d) A força F e a força de atrito entre a caixa e o piso 
possuem mesma direção e mesmo sentido.
e) Não existe atrito entre a caixa e o piso.
12. (Unicamp-SP) O sistema de freios ABS (do alemão 
Antiblockier- Bremssystem) impede o travamento 
das rodas do veículo, de forma que elas não desli-
zem no chão, o que leva a um menor desgaste 
do pneu. Não havendo deslizamento, a distância 
percorrida pelo veículo até a parada completa é 
reduzida, pois a força de atrito aplicada pelo chão 
nas rodas é estática, e seu valor máximo é sempre 
maior que a força de atrito cinético. O coeficiente 
de atrito estático entre os pneus e a pista é me 5 0,80 
e o cinético vale mc 5 0,60. Sendo g 5 10 m/s
2 
e a massa do carro m 5 1.200 kg, o módulo da 
força de atrito estático máxima e o da força de 
atrito cinético são, respectivamente, iguais a:
a) 1.200 N e 12.000 N.
b) 12.000 N e 120 N.
c) 20.000 N e 15.000 N.
d) 9.600 N e 7.200 N.
13. (UEL-PR) Um bloco de madeira pesa 2,0 ? 103 N. 
Para deslocá-lo sobre uma mesa horizontal com 
velocidade constante, é necessário aplicar uma 
força horizontal de intensidade 1,0 ? 102 N. O coefi-
ciente de atrito dinâmico entre o bloco e a mesa 
vale:
a) 5,0 ? 1022 d) 2,5 ? 1021
b) 1,0 ? 1021 e) 5,0 ? 1021
c) 2,0 ? 1021
14. (PUC-RS) Um menino de 20,0 kg desliza de pé 
num piso cerâmico horizontal com velocidade 
inicial de 10,0 m/s, parando após percorrer 4,0 m. 
Nessas condiçÕes, o módulo da forÇa de atrito 
média que atuou sobre o menino durante o desli-
zamento foi de:
a) 1.000 N d) 250 N
b) 500 N e) 200 N
c) 400 N
15. (PUC-PR) Dois corpos A e B (mA 5 3 kg e mB 5 6 kg) 
estão ligados por um fio ideal que passa por uma 
polia sem atrito, conforme a figura.
B
g
A
 Entre o corpo A e o apoio, há atrito cujo coeficien-
te é 0,5. Considerando g 5 10 m/s2, a aceleração 
dos corpos e a força de tração no fio valem:
a) 5 m/s2 e 30 N. d) 2 m/s2 e 100 N.
b) 3 m/s2 e 30 N. e) 6 m/s2 e 60 N.
c) 8 m/s2 e 80 N.16. (Mackenzie-SP) Uma pequena caixa está escor-
regando sobre uma rampa plana, inclinada de 
um ângulo u com a horizontal, conforme ilustra 
a figura.
 
v (m/s)
7,0
3,0
0 1,0 3,0 t (s)
u
 Sua velocidade escalar varia com o tempo, segun-
do o gráfico dado. Considerando que o módulo 
da aceleração gravitacional local é g 5 10 m/s2, 
sen u 5 0,60 e cos u 5 0,80, o coeficiente de atrito 
cinético entre as superfícies em contato é:
a) mc 5 0,25 d) mc 5 0,60
b) mc 5 0,50 e) mc 5 0,80
c) mc 5 0,75
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LEIS DE KEPLERLEIS DE KEPLERLEIS DE KEPLERLEIS DE KEPLER
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Conexões com a Física - volume 1
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Conexões com a Física / Blaidi Sant’Anna... [et al.]. — 1. ed. — São Paulo : Moderna,
2010. Outros autores: Hugo Carneiro Reis, Glorinha Martini, Walter Spinellii Obra em 3 v. “Componente
curricular: Física”. Conteúdo: v. 1. Estudo dos movimentos — Leis de Newton — Leis da conservação
— v. 2. Estudo do calor — Óptica geométrica — Fenômenos ondulatórios — v. 3. Eletricidade — Física
do Século XXI. Bibliografia. 1. Física (Ensino médio) I. Sant’Anna, Blaidi. II. Reis, Hugo Carneiro, III.
Martini, Glorinha. IV. Spinellii, Walter. 10-02351 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Blaidi Sant'Anna, Glorinha Martini, Hugo Carneiro Reis, Walter Spinellii, 2010
 
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 ou: O que é preciso para um astro ser considerado 
um planeta do Sistema Solar?
Leis de Kepler
1 Introdução
Os primeiros modelos propostos para explicar as observações sobre o céu 
foram apresentados pelos gregos. Quase todas as concepções de Univer-
so da Antiguidade se baseiam em um modelo geocêntrico, isto é, que 
mantém a Terra imóvel no centro da esfera celeste. Um dos mode-
los mais importantes e que vigorou durante séculos foi concebido 
por Aristóteles no século IV a.C. Nessa época, os gregos conhe-
ciam sete corpos celestes: Lua, Sol, Mercúrio, Vênus, Marte, Jú-
piter e Saturno, que supunham orbitar ao redor da Terra presos 
a superfícies de esferas. A última esfera era a das estrelas fi-
xas, que marcava o fim do Universo e continha o restante dos 
astros e estrelas (figura 1). No modelo aristotélico, os planetas 
gravitavam ao redor da Terra em movimentos circulares unifor-
mes. A esfera sempre foi cultuada pelos gregos como a forma 
perfeita. Nesse sentido, um Universo circular, com os planetas 
se movendo sempre com a mesma velocidade, traduzia parte do 
modo de viver dos gregos. A estrutura proposta para o Universo era 
ordenada e hierarquizada tal qual a sociedade da época. Por isso, o mo-
vimento dos corpos celestes era uniforme — para eles o movimento per-
feito, sempre idêntico a si mesmo e, portanto, imutável e eterno. A trajetória, 
sendo circular, indicaria algo sem início ou fim, movimento sem mudança.
Ainda na Grécia, exceção à crença no geocentrismo foi o modelo de Aristarco, 
no século III a.C. Nesse modelo, o Sol estava no centro da esfera celeste no lugar da 
Terra, caracterizando uma visão heliocêntrica do Universo. Esse modelo foi pro-
posto para tentar explicar os movimentos aparentes de avanço e regressão que os 
planetas, notadamente Marte, executam quando observados da Terra, assim como 
para justificar as variações de seus brilhos. No entanto, apesar de apresentar uma 
explicação física dos movimentos planetários, tirava a Terra da imobilidade, situa-
ção inimaginável na época, tendo sido, portanto, abandonado.
Por volta de 150 d.C., em Alexandria, o astrônomo Cláudio Ptolomeu sistema-
tizou o conhecimento adquirido dos gregos em um sistema que explicava razoa-
velmente o movimento retrógrado dos planetas. Segundo Ptolomeu, cada planeta 
orbitava em torno da Terra segundo uma trajetória resultante da composição de 
dois movimentos circulares associados. O movimento do planeta descreveria um 
epiciclo no céu (figura 2). Esse modelo de Universo foi aceito durante 13 séculos, 
orientando as grandes navegações da Idade Moderna por meio de tábuas astronô-
micas baseadas nessa disposição dos astros.
Modelo grego de 
Universo, conhecido como a “Taça 
esférica”. Para os gregos, a esfera 
era considerada a forma perfeita. 
A partir da Terra, no centro, vem 
Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, 
Júpiter, Saturno e a esfera das 
estrelas fixas.
Glossário
Geocentrismo. Antiga teoria 
se gundo a qual a Terra era o 
centro do sistema planetário, 
em torno do qual todos os as-
tros girariam.
Heliocentrismo. Sistema cos-
mológico que considera o Sol o 
centro do Sistema Solar.
O modelo 
dos epiciclos de 
Ptolomeu foi aceito 
durante 13 séculos 
como a explicação 
correta das “laçadas” 
dos planetas, em um 
modelo de Universo 
geocêntrico.
P
C
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Epiciclo
Leste
(a) Modelo de Ptolomeu,
sendo P, planeta e T, a Terra.
T
Leste
1
2 3
4
(b) Composição dos 
movimentos: trajetória resultante.
Leste
4 2 3 1
(c) Trajetória do planeta
vista da Terra.
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263Capítulo 15
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Você precisa saber!
Esfera das estrelas fixas
Sol
Mercúrio
Vênus
Marte
Júpiter
Saturno
Lua
Terra
As “laçadas” de Marte
O movimento de avanço e regressão de Marte percebido por um observador 
na Terra é causado pela diferença das velocidades de Marte e da Terra ao redor 
do Sol. A Terra tem aproximadamente o dobro da velocidade média de Marte e 
percorre uma órbita cujo comprimento é praticamente metade do comprimen-
to da órbita de Marte. Em consequência, quando a Terra passa entre o Sol e o 
planeta, ela o ultrapassa, pois tem maior velocidade, e a órbita aparente do pla-
neta, projetada sobre a esfera celeste, mostra um movimento retrógrado. Isso 
ocorre quando o planeta está mais próximo da Terra, ocasião em que, portanto, 
um observador na superfície de nosso planeta observa Marte mais brilhante. 
As sensíveis mudanças sociais e intelectuais da 
Renascença (século XVI) abriram caminho para gran-
des inovações em diversos campos do conhecimento. 
Nessa época, a expansão do comércio exigiu maior 
precisão das cartas celestes. Os problemas náuticos 
suscitaram um grande interesse pela astronomia, 
pois as navegações eram guiadas pelo movimento 
dos astros. O sistema de mundo de Ptolomeu come-
çou a exigir correções em relação ao que era observa-
do no céu. É nesse contexto histórico que o polonês 
Nicolau Copérnico (1473-1543) retoma as ideias de 
Aristarco sobre uma disposição heliocêntrica para o 
Universo. Entretanto, apesar de revolucionário, seu 
modelo ainda mantinha as esferas sobre as quais os 
planetas girariam ao redor do Sol, que estaria imóvel 
no centro do Universo. Além disso, conservava o mo-
vimento circular uniforme para os planetas. Embora 
algumas observações celestes pudessem ser mais 
facilmente associadas ao se utilizar o modelo coper-
nicano, havia ainda muitas discrepâncias em relação 
às posições previstas para os planetas. O modelo de 
Copérnico foi considerado um atentado às teorias 
científicas vigentes na época. A Igreja considerou ab-
surda a ideia de que o homem, obra-prima do Criador, 
não ocupasse o centro do Universo.
 
Modelo 
heliocêntrico 
do Universo, 
segundo 
Copérnico.
O movimento retrógrado de Marte.
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Unidade 5264
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Demonstrar, discutir, experimentar
A aceitação do heliocentrismo copernicano teve de esperar o aparecimento 
de dois outros cientistas: Johannes Kepler e Galileu Galilei. 
Galileu (1564-1642) morava na cidade italiana de Pádua e ouviu falar de 
um instrumento holandês que permitia aproximar objetos distantes. Construiu, 
ele próprio, sua luneta, apontou-a para o céu e observou características dos pla-
netas que não haviam sido vistas até então. Galileu percebeu que havia satélites 
girando em torno de Júpiter, tal qual a Lua em torno da Terra. Verificou também 
que Vênus apresentava fases em virtude de seus movimentos, que ele supôs se-
rem ao redor do Sol. Constatou que a superfície da Lua não era perfeitamente 
lisa, mas sim cheia de buracos, planícies, vales e montanhas. A luneta de Galileu 
foi chamada de “instrumento do demônio” pelos religiosos da época, que se recu-
saram a olhar através dela e constatar o que posteriormente se tornou evidente: 
a Terra não era o centro do Universo e este não estava repleto de astros perfei-
tos, esféricos e sem manchas.
Enquanto Galileu apontava sua luneta para o céu e sofria a perseguição 
religiosa, o alemão Johannes Kepler (1571-1630) já era assistente do grande 
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), que, em seu castelo, mon-
tara um fabuloso laboratório astronômico, na época o mais completo de que se
tem notícia.
Estudando os dados obtidos por Tycho em mais de vinte anos de observações 
extremamente precisas para a época, Kepler, já convertido ao heliocentrismo, ve-
rificou que nenhuma combinação de círculos poderia resultar nas trajetórias apa-
rentes observadas. Um estudo profundo e paciente, realizado ao longo de muitos 
anos, possibilitou a Kepler propor suas três leis sobre os movimentos celestes, 
válidas até hoje. Essas leis foram propostas para explicar os movimentos no Siste-
ma Solar, mas são verificadas em quaisquer sistemas de corpos que se movem em 
torno de outro. Por exemplo, são válidas para a Terra, que tem satélites artificiais 
gravitando ao seu redor, para planetas gravitando em torno de uma estrela ou 
para os muitos satélites que orbitam ao redor de Júpiter.
Esta imagem, reproduzida da obra Sidereus Nuncius, datada de 1610, 
mostra desenhos da Lua feitos por Galileu a partir de observações reali-
zadas com a sua famosa luneta. A primeira observação da Lua feita por 
Galileu data, segundo ele próprio, de 30 de novembro de 1609. Comparando 
os padrões de luz e sombra que observava na vizinhança do terminador (a 
linha que divide a metade iluminada da metade que se encontra à som-
bra), nas fases de quarto crescente e quarto minguante, Galileu foi con-
vincente ao defender a existência de montanhas e vales na superfície da 
Lua. As suas observações iam claramente contra a doutrina aristotéli-
ca que reinava naquela época, segundo a qual todos os corpos celestiais 
eram perfeitamente lisos e esféricos.
Adaptado de: <www.portaldoastronomo.org>. (Acesso em fev./2011)
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Esboços da Lua feitos por Galileu em 1610. Extraído de Sidereus Nuncius, edição de 1653.
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Demonstrar, discutir, experimentar
Os planetas movem-se ao redor do Sol descrevendo órbitas elípticas nas 
quais o Sol ocupa um dos focos.
2 As leis de Kepler
 1a lei de Kepler, ou lei das órbitas
Foi com certa angústia e relutância que Kepler abandonou a forma esférica para 
a trajetória planetária. Geômetra dedicado, ele também acreditava que os movi-
mentos cósmicos se baseavam na órbita circular, a mais perfeita. Percebeu que o 
problema do traçado das órbitas só poderia ser resolvido se confrontado com as 
observações do céu. Examinando seus mapas celestes, tentou órbitas relacionadas 
com um formato em que o centro estivesse deslocado lateralmente. Uma alteração 
mínima, e o modelo heliocêntrico foi definitivamente comprovado. De fato, era ao 
redor do Sol e não da Terra que os planetas gravitavam, não em órbitas circulares 
como proposto no sistema copernicano, mas em trajetórias elípticas. 
Esta é a primeira lei de Kepler:
Elipse é uma forma geométrica que pertence ao grupo das cônicas. Um cone 
cortado por planos poderá gerar uma elipse na intersecção com a superfície la-
teral do sólido como na figura A.
A elipse é uma trajetória fechada descrita por um ponto que se move de ma-
neira que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos, chamados de focos, 
é constante. Em um sistema de corpos que orbitam ao redor de uma estrela, 
um dos focos é o lugar onde a estrela tem seu centro e o outro foco pode estar 
dentro dela (no caso de a distância entre os focos ser menor que o raio da es-
trela) ou fora dela, no espaço.
Na figura B, a distância OA1 OA2 2a é o chamado eixo maior da elipse, e 
a distância OF1 OF2 2c é a distância entre os focos F1 e F2 da elipse. Uma 
das características da elipse é sua excentricidade (e), relacionada com a dis-
tância entre seus focos. 
Uma elipse obtida 
na intersecção entre um plano 
e uma superfície cônica.
Sol
Planeta
Periélio Afélio
Glossário
Afélio. Ponto da órbita de um 
planeta em que este alcança a 
sua distância máxima do Sol.
Periélio. Ponto da ór bita de um 
planeta mais próximo do Sol, em 
seu movimento de translação.Representação 
da trajetória elíptica de um 
planeta ao redor do Sol. 
e = —
c
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y
P
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c
OA
2
F
2
F
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x
PF1 + PF2 = 2a
Representação 
das grandezas que 
caracterizam uma 
elipse.
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Sol
Marte
Terra
A excentricidade pode ser obtida pela razão e c __ a .
Perceba que, se a distância 2c entre os focos é 
pequena, tendendo a zero, temos um foco pra-
ticamente coincidindo com o outro, o que repre-
senta uma cônica de um só centro, ou seja, uma 
circunferência. Nesse caso, a excentricidade se-
rá praticamente nula.
As órbitas dos planetas ao redor do Sol são 
praticamente circulares. A elipse descrita pela 
trajetória da Terra tem excentricidade aproxima-
damente igual a 0,02, ou seja, é quase uma cir-
cunferência, perdendo somente para as órbitas 
de Vênus e Netuno, cujos valores são respecti-
vamente 0,007 e 0,01. 
O planeta do Sistema Solar de órbita mais ex-
cêntrica é Mercúrio, com excentricidade aproxi-
madamente igual a 0,2.
 2a lei de Kepler, ou lei das áreas
Permanecia na época de Kepler a falta de uma explicação para o movimento re-
trógrado de Marte. Isso impedia os astrônomos de calcularem com antecedência as 
posições dos planetas. Kepler interpretou a questão supondo que os planetas não 
executam movimentos uniformes. Suas velocidades aumentam ao se aproximarem 
do Sol e diminuem ao se afastarem. Os planetas se movem de tal maneira que uma 
linha imaginária, ligando o Sol ao planeta (raio vetor), “varre” áreas iguais em tem-
pos iguais. Esta é a 2a lei de Kepler:
As áreas “varridas” pelo raio vetor que liga o planeta ao Sol são iguais em 
intervalos de tempo iguais durante o movimento do planeta.
Observe na figura 5 que as áreas A1 e A2 são iguais e, no entanto, estabelecem 
arcos diferentes a serem percorridos pelos planetas. O arco Δs1 é maior do que o 
arco Δs2. Para que os tempos gastos para percorrer os dois arcos sejam os mesmos, 
como estabelece a 2a lei de Kepler, é necessário que o planeta acelere ao aproxi-
mar-se do Sol, atingindo velocidade máxima (30,3 km/s para a Terra) no periélio 
e retarde seu movimento ao afastar-se do Sol, adquirindo sua velocidade mínima 
(29,3 km/s para a Terra) no afélio. 
Em 
intervalos de tempo 
iguais, as áreas 
“varridas” pelo 
raio vetor que liga 
o planeta ao Sol 
(emum dos focos) 
também são iguais: 
t t2 t1 t4 t3
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Sol Raio veto
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Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas ao redor do Sol são 
diretamente proporcionais aos cubos dos raios médios de suas órbitas. 
Algebricamente:
 T 2 ___ 
R3
 constante
A 3a lei de Kepler estabelece que, quanto mais distante do Sol o planeta esti-
ver, maior será o tempo para percorrer a órbita. Isso significa que cada órbita tem 
um tempo único para ser descrita. Uma mesma órbita não poderá ser percorrida 
nem em mais nem em menos tempo. O período de revolução não depende da massa 
ou do tamanho do corpo que gravita. Um grão de poeira cósmica gravitando ao re-
dor do Sol, na mesma órbita que Mercúrio, levará os mesmos 88 dias terrestres que 
o planeta gasta para completar uma volta. Além disso, os planetas mais afastados, 
cujas órbitas são maiores, têm períodos maiores não só porque o raio da órbita é 
maior, mas também porque têm velocidades menores.
Na tabela a seguir estão relacionados os oito planetas do Sistema Solar. Observe
que o quociente T 
2
 ___ R3 é praticamente o mesmo para todos eles.
Tabela 1. Características das órbitas planetárias do Sistema Solar
Planeta Raio médio da órbita (UA*)
Período (T, em 
anos terrestres)
Excentricidade 
da órbita Razão 
T 2 ___ 
R 3
 
Mercúrio 0,387 0,241 0,206 1,002
Vênus 0,723 0,615 0,007 1,001
Terra 1,000 1,000 0,017 1,000
Marte 1,524 1,881 0,093 1,000
Júpiter 5,203 11,860 0,048 0,999
Saturno 9,539 29,460 0,056 1,000
Urano 19,190 84,010 0,046 0,999
Netuno 30,060 164,800 0,010 1,000
É importante lembrar que as leis de Kepler, notadamente a 3a lei, se aplicam uni-
versalmente, isto é, valem para qualquer sistema de corpos que orbitam em torno 
de uma massa central. Para cada um desses conjuntos de corpos (satélites ao redor 
da Terra, planetas ao redor de uma estrela etc.), haverá um valor para a constan-
te T
2
 __ R3 que dependerá da massa do corpo central.
 3a lei de Kepler, ou lei dos períodos
A busca de Kepler por descobrir uma conexão entre os tamanhos das órbitas 
planetárias e os seus períodos de revolução ao redor do Sol teve êxito somente dez 
anos após a formulação da lei das áreas. Em sua 3a lei, Kepler utiliza mais uma vez 
os dados das observações de Tycho Brahe e enuncia a lei que se tornaria essencial 
para que Newton, algumas décadas depois, compreendesse os fenômenos ligados 
à gravitação universal. Esta é a 3a lei de Kepler:
* UA é a representação para a unidade 
astronômica, cujo valor unitário 
equivale ao raio médio da órbita da 
Terra (1,49 108 km). 
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Você precisa saber!
O rebaixamento de Plutão
Plutão foi conhecido, desde a sua descoberta em 1930, como o menor, mais 
frio e distante planeta do Sol. Em 24 de agosto de 2006, a União Astronômica 
Internacional (UAI) propôs uma nova classificação para os planetas do Sistema 
Solar. De acordo com as novas regras, além de obedecer às leis de Kepler, três con-
dições devem ser satisfeitas para um astro ser considerado um planeta do Sistema 
Solar. Ele deve: a) orbitar ao redor do Sol; b) ser grande o suficiente para que seu 
campo gravitacional consiga moldá-lo na forma esférica; c) ter sua vizinhança or-
bital livre de outros corpos. A partir de 24 de agosto de 2006, Plutão deixou de ser 
classificado como planeta e passou a ser reconhecido como planeta-anão. O argu-
mento usado para rebaixar Plutão, em essência, baseou-se na história do Sistema 
Solar. Ao insistir que, para ser um planeta, um astro tem de ser não apenas esfé-
rico e não estelar como capaz de “limpar a vizinhança de sua órbita”, os astrôno-
mos querem mostrar que a formação dos oito planetas, de um lado, e a de Plutão, 
de outro, foram bem diferentes.
Já sabe responder?
O que é preciso para um astro ser considerado um 
planeta do Sistema Solar?
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Foto de Plutão, rebaixado à categoria de planeta-anão em 
24 de agosto de 2006, tirada no mesmo ano do rebaixamento.
Representação artística
da Terra e de Plutão.
“Limpar mesmo os arredores significa ter massa suficiente para continuar en-
golindo matéria no processo de crescimento”, explica o astrônomo Cássio Leandro 
Barbosa, da Univap (Universidade do Vale do Paraíba). 
Plutão não foi capaz, por exemplo, de engolir outros corpos na sua formação. Nem 
seu satélite Caronte gira propriamente em torno dele – eles giram um em volta do ou-
tro. Além do mais, sua trajetória cruza a de Netuno, que é muitíssimo maior. Assim, 
ele nunca poderia ser considerado o objeto dominante.
Adaptado de: Folha de S.Paulo, 25 ago. 2007.
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Questões resolvidas
R1 A concepção de Universo de Copérnico obedecia a um modelo heliocên-
trico. Apesar de também admitir que o Sol e não a Terra estava no centro 
do Universo, o modelo de Kepler tinha diferenças em relação ao proposto 
por Copérnico. Cite e explique duas dessas diferenças. 
 Resolução
No modelo copernicano, as trajetórias dos astros são circulares. Apesar de 
procurar durante muitos anos fazer coincidir suas observações do movi-
mento dos planetas com traçados circulares, Kepler constatou que as órbitas 
descreviam elipses de pequena excentricidade. Além disso, Copérnico acre-
ditava que o movimento no céu era circular e uniforme. A 2a lei de Kepler 
introduz a ideia de que o planeta executa um movimento variado, ora acele-
rando, quando mais próximo do Sol, ora retardando, quando mais afastado.
R2 Marte demora aproximadamente 660 dias terrestres para dar uma volta com-
pleta ao redor do Sol.
a) Desenhe a trajetória de Marte em seu movimento ao redor do Sol assi-
nalando o afélio e o periélio.
 Resolução
Como a excentricidade da órbita de Marte é aproximadamente 0,09, sua 
trajetória ao redor do Sol é quase circular.
b) Assinale na trajetória do item a o trecho do deslocamento no qual Marte 
acelera e aquele no qual há retardamento do movimento.
 Resolução
Supondo o movimento de Marte no sentido anti-horário, teremos:
movimento acelerado: trecho do Afélio para o Periélio.
movimento retardado: trecho do Periélio para o Afélio.
c) Se a trajetória de Marte ao redor do Sol se tornasse circular, qual seria o 
tipo de movimento adquirido pelo planeta?
 Resolução
O movimento seria circular uniforme porque o raio da órbita seria cons-
tante.
d) Qual a duração aproximada do ano de Marte em anos terrestres?
 Resolução
Considerando 1 ano na Terra tendo 365 dias, vem: 660/365 1,8 ano ter-
restre.
R3 Calcule o período de um satélite artificial da Terra cujo raio da órbita é qua-
tro vezes menor do que o raio da órbita da Lua. Considerar o período da Lua 
ao redor da Terra igual a 28 dias.
 Resolução
A 3a lei de Kepler pode ser aplicada a qualquer sistema de corpos que gra-
vitam em torno de um corpo central. No caso, a Terra é o corpo central ao 
redor do qual giram o satélite e a Lua. Assim:
Lua: TLua 28 dias Satélite: Tsatélite ?
 RLua Rsatélite 
RLua _____ 
4
 
Então:
 
T2Lua _____ 
R3Lua
 
T 2satélite _______ 
R3satélite
 28
2
 ____ 
R3Lua
 
T 2satélite _______ 
 ( RLua ____ 4 ) 
3 
 784 ____ 
R3Lua
 
T 2satélite _______ 
 1 ___ 
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 R3Lua
 T2satélite 12,25 Tsatélite 3,5 dias
Sol
Marte
PeriélioAfélio
Sol
Marte
PeriélioAfélio
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Questões propostas
1 Na figura está representada a trajetória de um planeta ao redor do Sol. 
Ao se deslocar, o segmento imaginário que une o Sol ao planeta percor-
re as áreas iguais A1 e A2 da figura.
a) O arco B AB é maior do que o arco B A’B’ . Podemos afirmar que os inter-
valos de tempo para percorrer os arcos seguem a mesma relação? 
Justifique.
b) Identifique na trajetória o ponto em que a velocidade é máxima. Qual 
é o nome dessa posição?
c) Em que trecho da trajetória o planeta mantém movimento com mó-
dulo de velocidade crescente?
2 A figura a seguir representa a órbita elíptica de um cometa em torno 
do Sol.
J
I
L
K
a) Ordene as velocidades do cometa em relação aos pontos I, J, K, L.
b) Em qual dos pontos, I ou K, o cometa tem maior valor de acelera-
ção centrípeta?
3 A figura representa o Sol, três astros celestes e suas respectivas órbitas 
em torno do Sol: Urano, Netuno e o objeto recentemente descoberto de 
nome 1996 TL66.
Analise as afirmativas a seguir, verificando se são verdadeiras ou falsas. 
Justifique sua escolha.
 I. Essas órbitas são elípticas, estando o Sol em um dos focos dessas 
elipses.
 II. Os três astros representados executam movimento uniforme em torno do 
Sol, cada um com valor de velocidade diferente dos outros.
 III. Entre todos os astros representados, aquele que gasta menos tempo 
para completar uma volta em torno do Sol é Urano.
4 Um satélite S1 em órbita circular de raio 2R ao redor da Terra demora apro-
ximadamente 2 h para completar uma volta. Se o raio de sua órbita triplicar, 
o que ocorrerá com o tempo? Será maior ou menor que 2 h? Determine o 
novo período.
5 Um satélite de telecomunicações está em sua órbita ao redor da Terra com 
período T. Uma viagem do ônibus espacial fará a instalação de novos equi-
pamentos nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação ao valor 
original. Considerando que permaneça com a mesma órbita, o que ocorre-
rá com o valor do seu período?
6 A sonda Galileo terminou sua tarefa de capturar imagens do planeta Júpi-
ter quando, em 21 de setembro de 2003, foi lançada em direção ao planeta 
depois de orbitá-lo por um intervalo de tempo correspondente a 8 anos ter-
restres. Considerando que Júpiter está cerca de 5 vezes mais afastado do 
Sol do que a Terra, determine o número aproximado de voltas que Júpiter 
completou, em torno do Sol, nesse intervalo de tempo.
A
2
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A
B
B’
1996 TL
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Urano
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Para continuar aprendendo
Planeta
Sol
Foco
B
A F
E
D
C
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1
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3
A
2
1 (Uerj) A figura ilustra o movimento de um planeta em torno do Sol.
Se os tempos gastos para o planeta se deslocar de A para B, de C para 
D e de E para F são iguais, então as áreas – A1, A2 e A3 – apresentam a 
seguinte relação:
a) A1 A2 A3 c) A1 A2 A3
b) A1 A2 A3 d) A1 A2 A3
2 (UFSC) Durante aproximados 20 anos, o astrônomo dinamarquês Tycho 
Brahe realizou rigorosas observações dos movimentos planetários, reu-
nindo dados que serviram de base para o trabalho desenvolvido, após 
sua morte, por seu discípulo, o astrônomo alemão Johannes Kepler 
(1571-1630). Kepler, possuidor de grande habilidade matemática, ana-
lisou cuidadosamente os dados coletados por Tycho Brahe, ao longo de 
vários anos, tendo descoberto três leis para o movimento dos planetas. 
Apresentamos, a seguir, o enunciado das três leis de Kepler.
1a lei de Kepler: Cada planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, 
da qual o Sol ocupa um dos focos. 
2a lei de Kepler: O raio-vetor (segmento de reta imaginário que liga o Sol 
ao planeta) “varre” áreas iguais, em intervalos de tempo iguais.
3a lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de translação dos planetas 
em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos raios médios de suas 
órbitas.
Assinale a(s) proposição(ões) que apresenta(m) conclusão(ões) CORRE-
TA(S) das leis de Kepler:
01. A velocidade média de translação de um planeta em torno do Sol é 
diretamente proporcional ao raio médio de sua órbita.
02. O período de translação dos planetas em torno do Sol não depende da 
massa dos mesmos.
04. Quanto maior o raio médio da órbita de um planeta em torno do Sol, 
maior será o período de seu movimento.
08. A 2a lei de Kepler assegura que o módulo da velocidade de translação 
de um planeta em torno do Sol é constante.
16. A velocidade de translação da Terra em sua órbita aumenta à medida 
que ela se aproxima do Sol e diminui à medida que ela se afasta.
32. Os planetas situados à mesma distância do Sol devem ter a mesma 
massa.
64. A razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas 
em torno do Sol e os cubos dos raios médios de suas órbitas apresenta 
um valor constante.
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3 (Uece) O ano terrestre é, por definição, o tempo de que a Terra precisa para 
fazer, no seu movimento circular, uma volta completa em torno do Sol. Ima-
gine um planeta P descrevendo, também, uma órbita circular em torno do 
Sol em um tempo igual a 8 anos terrestres. Considerando rST a distância 
do centro do Sol ao centro da Terra e rSP a distância do centro do Sol ao 
centro do planeta P, a razão 
rSP ___ rST
 é igual a:
 a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
4 (UFMS) Dois planetas A e B do sistema solar giram em torno do Sol 
com períodos de movimento TA e TB e raios orbitais 8R e R, respecti-
vamente. Com base nas Leis de Kepler, é correto afirmar que a razão 
TA/TB é dada por:
a) 2 d XX 2 d) 8 d XX 8 
b) 4 d XX 2 e) 4
c) 1/8
5 (Unicamp -SP) Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União 
Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-
-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T2 k a3, onde T é o tempo 
para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e a é a média 
entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, 
essa média é aT 1,5 1011 m, enquanto para Plutão aP 60 1011 m. 
A constante k é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do 
Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 108 m/s. 
(Dado: d XXX 10 3,2.)
a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol 
para atingir a Terra? E para atingir Plutão?
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno 
do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada com um número 
inteiro.
6 (UFRJ) A tabela abaixo ilustra uma das leis do movimento dos pla-
netas: a razão entre o cubo da distância D de um planeta ao Sol e o 
quadrado do seu período de revolução T em torno do Sol é constante. 
O período é medido em anos e a distância, em unidades astronômicas 
(UA). A unidade astronômica é igual à distância média entre o Sol e a 
Terra. Suponha que o Sol esteja no centro comum das órbitas circula-
res dos planetas.
PLANETA Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno
T 2 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
D 3 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta do Sis-
tema Solar e o batiza como planeta X. O período estimado do planeta X 
é de 125 anos. Calcule:
a) a distância do planeta X ao Sol em UA;
b) a razão entre a velocidade orbital do planeta X e a velocidade orbital 
da Terra.
102
GRAVITAÇÃOGRAVITAÇÃOGRAVITAÇÃOGRAVITAÇÃO
UNIVERSALUNIVERSALUNIVERSALUNIVERSAL
 
Organizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obraOrganizador da obra
Conexões com a Física - volume 1
 
 
Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)Editor(es) responsável(eis)
Juliane Matsubara Barroso
 
 
Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra:Parte da Obra: Conexões com a Física / Blaidi Sant’Anna... [et al.].— 1. ed. — São Paulo : Moderna,
2010. Outros autores: Hugo Carneiro Reis, Glorinha Martini, Walter Spinellii Obra em 3 v. “Componente
curricular: Física”. Conteúdo: v. 1. Estudo dos movimentos — Leis de Newton — Leis da conservação
— v. 2. Estudo do calor — Óptica geométrica — Fenômenos ondulatórios — v. 3. Eletricidade — Física
do Século XXI. Bibliografia. 1. Física (Ensino médio) I. Sant’Anna, Blaidi. II. Reis, Hugo Carneiro, III.
Martini, Glorinha. IV. Spinellii, Walter. 10-02351 CDD-530.07
 
 
Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:Elaboração de originais da obra original:
 
 
Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens:Crédito das imagens: © Blaidi Sant'Anna, Glorinha Martini, Hugo Carneiro Reis, Walter Spinellii, 2010
 
103
104
273273Capítulo 16
 
Gravitação Universal
1 Introdução
Não demorou muito para que Isaac Newton (1642-1727) sintetizasse as ideias 
de Galileu e de Kepler em uma das mais belas e expressivas leis da Física: a lei da 
Gravitação Universal, fato que contribuiu significativamente para a evolução do 
conhecimento científico.
Newton partiu da hipótese de que algum tipo de força deveria atuar sobre os 
planetas para mantê-los nas órbitas elípticas descobertas por Kepler, caso con-
trário, pela lei da inércia, os planetas tenderiam a executar trajetórias retilíneas. 
Contrariamente ao que se pensava na época, Newton imaginou que tal força não 
atuaria na direção do movimento e sim estaria dirigida para o Sol, portanto, em 
uma direção perpendicular àquela do movimento do planeta (em nosso estudo 
consideraremos as órbitas dos planetas como tendo excentricidade aproxima-
damente igual a 0, ou seja, circulares). Seu grande feito foi perceber que a força 
atrativa entre um planeta e o Sol tem a mesma natureza da força que faz cair a 
maçã da árvore, da interação entre a Lua e a Terra ou da atração mútua entre você 
e seu caderno.
Representação artística do sistema solar.
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273Capítulo 16105
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2 Lei da Gravitação Universal
Até a época de Newton, pouco se sabia sobre as forças de interação entre os 
corpos. Acreditava-se que leis diferentes governavam os corpos no céu e na Terra. 
Pensando assim, considerava-se que a força exercida sobre a Lua responsável por 
mantê-la em órbita não era de mesma natureza daquela, por exemplo, que leva ao 
solo uma manga que se solta do galho da árvore.
Newton estabeleceu que entre duas massas quaisquer, estejam elas na Terra 
ou no espaço vazio, sempre haverá uma interação.
A lei da Gravitação Universal garante que basta possuir massa para atrair e ser 
atraído, universalizando, assim, as forças trocadas entre os corpos. Não há mais, 
depois de Newton, distinção entre as leis que regem os movimentos na Terra e no 
Cosmo. Uma lei simples e única fornece a explicação para as interações entre todos 
os corpos do Universo:
Matematicamente, temos:
F G 
m1 m2 ______ d 2 
em que m1 e m2 são as massas dos corpos que interagem, d é a distância entre seus 
centros de massa e G é uma constante de proporcionalidade, chamada de constan-
te da Gravitação Universal.
Por ser uma constante universal, o valor de G independe do meio em que os 
corpos estão imersos, ou seja, a intensidade da força de atração entre duas mas-
sas é a mesma no ar, no vácuo, na água etc. No SI, G 6,67 10 11 N m2/kg2, 
um valor baixo, revelando por que a força gravitacional é considerada uma for-
ça de pequena intensidade. De fato, se imaginarmos dois corpos de massa 1 kg, 
afastados 1 m um do outro, e calcularmos a força de atração gravitacional en-
tre eles, teremos como resultado 6,67 10 11 N, ou seja, 0,0000000000667 N. 
Isso explica por que você e seu caderno não percebem uma força atraindo um ao 
outro. Explica também por que há uma força considerável entre você e a Terra. 
Como a Terra é um corpo de grande massa, a intensidade da força não pode ser 
desprezada, e é por causa disso que existe a força peso.
Dois corpos se atraem com forças que são diretamente proporcionais ao 
produto de suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da dis-
tância entre eles.
Por se tratar de um par ação-reação, as forças trocadas entre os corpos 1 e 2 têm o 
mesmo módulo.
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Demonstrar, discutir, experimentar
Determinação do valor de G
A medida foi obtida pela primeira vez de maneira precisa em 
um experimento idealizado pelo físico inglês Henry Cavendish, no 
século XVIII. Ele construiu uma balança de torção muito sensível 
que media forças de ínfimos valores. Colocou em suas extremida-
des dois pares de corpos que se atraíam a uma distância inicial d.
A força de atração gravitacional provocou um deslocamento da 
massa menor em direção à maior (que está fixa). Esse desloca-
mento provocou uma torção no fio. Conhecendo o ângulo de tor-
ção, Cavendish determinou a intensidade da força de atração entre 
as massas e, a partir dessa força, calculou o valor de G.
F
F
F
d
F
Balança de torção de Cavendish
Esquema da balança de torção de Cavendish, usada para 
determinar o valor da constante universal G.
R1 Calcule a força de atração entre dois carros que estão frente a frente na 
mesma estrada. Suponha que ambos tenham massa de uma tonelada cada 
um e que estejam a 10 m de distância um do outro. Qual a razão entre a 
força de atração entre eles e o peso de cada carro? Interprete esse resulta-
do. Considere G 6,7 10 11 N kg2/m2 e g 10 m/s2.
Questões resolvidas
10 m
1 tonelada 1 tonelada
Além disso, a força diminui com o quadrado da distância, isto é, se a distân-
cia entre os corpos aumentar duas vezes, a força diminuirá quatro vezes; se a 
distância aumentar três vezes, a força diminuirá nove vezes, e assim por diante. 
Um homem que na superfície da Terra é atraído por ela com uma força peso de 
módulo 800 N terá essa força reduzida para 200 N se sua distância em relação 
ao centro da Terra dobrar.
As forças de atração trocadas entre os corpos constituem pares ação-reação. 
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 Resolução
Sabemos que a força de atração entre os veículos é dada por:
F G 
m1 m2 _______ 
d2
 
Então:
F 6,7 10 11 10
3 103 ________ 
102
 F 6,7 10 11 10
6
 ____ 
102
 F 6,7 10 7 N
O peso de cada um dos carros é:
P m g P 103 10 P 104 N
Logo, a razão @ F __ P # entre as forças será:
 F __ 
P
 6,7 10
7
 __________ 
104
 F __ 
P
 6,7 10 11
o que indica que a força 
___
 F , de atração, é muitas vezes menor que a for-
ça peso. A força de atração da Terra sobre cada um dos carros supera 
em 1011 vezes a força de atração entre eles.
R2 O gráfico ao lado indica como varia a intensidade da força 
___
 F , de atra-
ção gravitacional, em função da distância d, entre os centros de dois 
corpos de massa m.
a) Para que valor de distância a intensidade da força 
___
 F será nula?
 Resolução
Por maior que seja a distância entre os dois corpos, a força 
___
 F de atração 
entre eles não será nula. A intensidade da força se aproxima de zero, 
mas nunca será nula. Isso significa que, por mais distante que um corpo 
esteja do outro, sempre haverá uma força de atração entre eles.
b) Quais são os valores de F1 e d2 no gráfico? 
 Resolução
Pelo gráfico, para F 1 N, temos d 12 mm, ou seja, d 12 10 3 m. 
Como as massas são iguais, obtemos:
1 m m G ___________ 
(12 10 3)2
 m2 G144 10 6 (I)
Para d 3 mm, temos:
F1 
m m G __________ 
(3 10 3)2
 F1 
m2 G ________ 
9 10 6
 (II)
Substituindo I em II chegamos a:
F1 
144 10 6 __________ 
9 10 6
 F1 16 N
Para F 9 N, temos:
9 m m G _________ 
(d2)2
 9 m
2 G ______ 
(d2)2
 (III)
Substituindo I em III chegamos a:
9 144 10
6
 __________ 
(d2)2
 d2 4 mm
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F (N)
d (mm)12
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Questões propostas
1 Calcule o módulo da força de atração gravi-
tacional entre você e seu colega de sala mais 
próximo. Qual de vocês faz a maior força sobre 
o outro? Justifique.
2 A lei da Gravitação Universal afirma que os 
corpos se atraem na relação direta de suas 
massas. Considere duas massas M1 e M2 sepa-
radas por distância d, sendo atraídas por uma 
força de módulo F. Com base nisso, quais afir-
mativas são corretas? Justifique.
a) A força de atração entre uma massa 3M1 e 
outra massa 2M2, separadas por uma dis-
tância d, tem módulo 5F.
b) Entre duas massas M1/2 e M2/2, separadas 
por uma distância d, a força de atração tem 
módulo F/4.
c) Se M1 for igual a 2M2, a força que atrairá M1 
terá módulo igual à metade do módulo da 
força que atrairá M2.
d) Uma força de módulo 8F atrairá uma massa 
igual a 4M1 em direção a outra massa 2M2, 
se a distância entre essas massas for igual 
a d.
e) Dividindo M1 por 4 e M2 por 5, mantida 
a distância d, a força de atração entre as 
massas terá módulo 20 vezes menor do 
que F.
3 Um corpo de massa M1 é atraído em direção 
a outro corpo de massa M2 por uma força de 
módulo F quando separados por uma dis-
tância d. 
a) Se a distância entre M1 e M2 for duplicada, 
qual será, em função de F, o módulo da for-
ça de atração entre essas massas?
b) Se M1 e M2 forem aproximadas de modo que 
a distância entre elas torne-se igual à terça 
parte de d, qual será, em função de F, o mó-
dulo da força de atração entre elas? 
4 Observe o esquema que representa a força de 
atração gravitacional entre dois corpos A e B se-
parados por uma distância x.
A B
x
D
F
Se o módulo da força, nessa representação, for 
igual a F, qual será, em função de F, o módulo 
da força de atração entre dois corpos
a) de mesmas massas de A e de B, respectiva-
mente, separados por uma distância 10x?
b) separados por uma distância 4 x, sendo que 
um deles tem o dobro da massa de A e o 
outro tem o triplo da massa de B?
5 O esquema mostra um corpo sendo atraí-
do para um planeta com uma certa força de 
módulo F. Note que a distância entre o cor-
po e o centro do planeta é indicada por D.
a) Qual é o módulo da força com que o corpo 
atrai o planeta?
b) Se afastarmos o corpo do planeta de modo 
que ele fique a uma distância 3D do centro 
do planeta, qual será o módulo da força com 
que o planeta o atrairá?
6 A massa da Terra é igual 6,0 1024 kg e o raio 
da Terra é de, aproximadamente, 6.400 km. Cal-
cule a força com que um satélite de 1 tonelada 
(1.000 Kg) é atraído em direção à Terra quando 
se encontra à altura de 3.600 km da superfície 
da Terra. (Dado: constante de gravitação uni-
versal 6,7 10 11 S.I.)
7 O peso de um corpo é a força com que ele é 
atraído em direção ao centro do planeta. Sa-
bemos, por exemplo, que uma pessoa de 60 kg 
de massa tem peso aproximado de 600 N. Apli-
cando a expressão da lei da gravitação uni-
versal, calcule a força com que uma massa de 
60 kg, na superfície da Terra, é atraída para o 
centro do planeta. Considere, para os cálculos, 
MTerra 6 1024 kg, raio da Terra 6,4 106 m, 
e G 6,7 10 11 S.I.
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3 Campo gravitacional
Não é preciso haver contato entre um rapaz e uma moça para que 
eles sejam atraídos gravitacionalmente um para o outro. Isso tam-
bém ocorre com as forças trocadas entre a Terra e um satélite ou entre 
Mercúrio e o Sol. Para a Mecânica clássica, todo corpo, por possuir mas-
sa, tem a propriedade de modificar o espaço ao seu redor, criando o que 
denominamos campo gravitacional. O campo gravitacional tem limi-
tes indefinidos e se caracteriza por ser atrativo. Sua existência é com-
provada por uma força de atração exercida sobre outro corpo imerso na 
região do campo. Em outras palavras, dizemos que a Terra, por ser um 
corpo de grande massa, modifica as propriedades do espaço ao redor de 
si, criando nessa região de limites indefinidos um campo gravitacional. 
Os efeitos da ação do campo são percebidos por meio de uma força que 
atua em uma massa qualquer colocada na presença do campo (figura 4).
Pensemos na Lua. Como ela interage com o campo gravitacional da Ter-
ra, recebe uma força desta e vice-versa. A ação do campo gravitacional da
Terra tem sobre a Lua o efeito de mantê-la em órbita, pois por inércia nosso 
satélite natural deveria seguir em linha reta pelo espaço. A Terra, por sua vez, 
interage com o campo gravitacional da Lua, recebendo uma força desta e vice-
-versa. O efeito da ação do campo gravitacional da Lua sobre a Terra é notado, 
por exemplo, por meio do fenômeno das marés.
A grandeza física que representa o campo gravitacional em um ponto do 
espaço é o vetor aceleração da gravidade ( 
 ___
 g ). A intensidade do campo gravita-
cional pode ser calculada considerando que o corpo gerador do campo tenha 
massa M e raio R. Supondo que um corpo de massa m seja colocado a uma dis-
tância h da superfície, ele ficará sujeito a uma força de atração gravitacional 
equivalente ao seu peso (figura 5). Logo, teremos:
 
__
 F 
___
 P M m _____ d 2 G m g
Como d R h, vem:
m
F
 As linhas de força (ou de 
campo) da figura representam o campo 
gravitacional da Terra. Quando uma massa 
m se encontra imersa no campo, interage 
com ele por meio de uma força 
__
 F atrativa. 
g M ________ 
(R h)2
 G
Observe que o valor do campo não depende da massa do corpo que re-
cebe sua ação, mas sim da massa do corpo que o gera. No estudo da queda 
dos corpos, supusemos que isso fosse assim. Não é o valor da massa do 
objeto em queda que determina como será a queda. A aceleração da gravi-
dade é considerada constante. Agora entendemos por quê. Se quisermos 
calcular o campo na superfície ou se a distância h for muito pequena, tere-
mos d R e, portanto:
g M ___ 
R2
 G
Assim, a intensidade do campo gravitacional em um ponto na super-
fície da Terra pode ser calculada considerando: MTerra 6,0 1024 kg, 
Rmédio 6,37 106 m e G 6,67 10 11 N m2/kg2. Então:
g 6 10
24 6,67 10 11 ___________________ (6,37 106)2 g 9,86 m/s
2
valor que confirma as suposições feitas no estudo da queda livre.
F = P
m
h
R
M
Sobre a sonda espacial atua a 
força de atração gravitacional proveniente 
da Terra, que é equivalente ao seu peso. 
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Demonstrar, discutir, experimentar
As tabelas A e B a seguir mostram como varia a aceleração da gravidade ( 
___
 g ) 
em relação à altitude e à latitude de algumas cidades no mundo.
Tabela A. Variação da aceleração ( 
___
 g ) com a altitude
Referência Altitude (m) g (m/s2)
La Paz 3.600 9,784369
Salto de paraquedas 4.000 9,783143
Cordilheira dos Andes 5.000 9,780077
Monte Everest 8.848 9,768296
Avião comercial 10.000 9,764774
Estratosfera 50.000 9,643626
Estação Espacial Internacional (EEI) 400.000 8,673405
Satélite de coleta de dados (SCD) 750.000 7,842563
Satélite geoestacionário 36.000.000 0,221882
Tabela B. Variação da aceleração ( 
___
 g ) com a latitude
Cidade Latitude (em graus) g (m/s2)
Seattle 47 9,807999
São Paulo 23 9,788206
João Pessoa7 9,781085
Porto Elizabeth (África do Sul) 34 9,796485
Moscou 55 9,815065
Sidney 34 9,796485
Paris 48 9,808901
Tóquio 35 9,797328
Macapá 0 9,780318
Santiago 33 9,795653
Nuuk (Groenlândia) 64 9,822176
Polo Norte 90 9,832177
As diferenças nos valores de g com a latitude podem ser explicadas pe-
lo fato de a Terra não ser perfeitamente esférica. O chamado diâmetro polar 
(distância entre um polo e outro) tem valor 12.713 km e é menor do que o diâ-
metro equatorial, que mede 12.756 km, ou seja, a Terra é achatada nos polos. 
Os valores de g na superfície dos polos serão máximos, uma vez que a distân-
cia é menor.
A tabela A foi elaborada a partir da 
equação: g G M _______ (R h)2 , apresentada na 
página anterior, em que h é a altitude 
em questão.
A tabela B foi elaborada a partir da 
equação g g0 (1 sen2 ), que 
determina o valor da aceleração da 
gravidade, em que g0 é a aceleração 
da gravidade ao nível do mar, é a 
latitude do local e é uma constante 
adimensional que depende da rotação 
da Terra e do achatamento polar e 
vale 5,3 10 3.
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Conexões com o cotidianoPara saber mais
A Lua pode influenciar o nascimento dos bebês?
A Lua tem sido responsabilizada por vários fenômenos na Terra, tais como 
apressar o parto de seres humanos e animais e aumentar o crescimento de ca-
belos e plantas. São muitas as crenças populares que relacionam as fases da 
Lua a acontecimentos terrenos. Não poderiam faltar aquelas que se referem 
ao nascimento de bebês. É comum ouvir afirmações como: “Nascem mais be-
bês nos dias de mudança de fase da Lua!” ou “Corte o cabelo somente na Lua 
Cheia para garantir que ele cresça mais!”. Os argumentos podem em um pri-
meiro momento fazer sentido, afinal, se a Lua é capaz de agir sobre as enor-
mes massas de água dos oceanos, influenciando as marés, por que ela não 
poderia também exercer esse efeito sobre os bebês imersos em líquido na bar-
riga da mãe ou sobre os nossos cabelos? 
As marés na Terra constituem um fenômeno resultante da atração gravi-
tacional exercida pela Lua sobre a Terra e, em menor escala, da atração gra-
vitacional exercida pelo Sol sobre a Terra. Os efeitos de maré causados pela 
Lua são um pouco mais do que o dobro daqueles causados pelo Sol. A ideia 
básica da maré provocada pela Lua, por exemplo, é que, pela lei da Gravitação 
Universal, a atração gravitacional sentida por cada ponto da Terra devido à 
Lua depende da distância do ponto à Lua. Essa variação se deve ao fato de que 
o raio da Terra não é desprezível frente às distâncias ao centro de qualquer 
um dos dois astros. Portanto, a atração gravitacional sentida no lado da
Terra que está mais próximo da Lua é maior do que a sentida no centro
da Terra, e a atração gravitacional sentida no lado da Terra que está mais dis-
tante da Lua é menor do que a sentida no centro da Terra. 
Figura A Observe que 
nos pontos da Terra mais 
próximos da Lua o vetor 
__
 F at.g
é maior do que nos pontos 
mais distantes.
Observe que, em relação ao centro da Terra, um lado está sendo puxado na di-
reção da Lua e o outro lado está sendo puxado na direção contrária. A maré do 
lado oposto é causada pelo fato de que a Lua “puxa a Terra em relação à água”. 
Como a água flui muito facilmente, ela se “empilha” nos dois lados da Terra, que 
fica com um bojo de água na direção da Lua e outro na direção contrária. 
 A cada dia, a influência lunar provoca correntes marítimas que geram duas 
marés altas (quando o oceano está de frente para a Lua e em oposição a ela) e 
duas baixas (nos intervalos entre as altas). O Sol, ainda que estando 390 vezes 
mais distante da Terra que a Lua, também influi no comportamento das marés 
— embora a atração solar corresponda a apenas 46% da lunar. Dessa maneira, 
dependendo da posição dos dois astros em relação ao nosso planeta, as ma-
rés têm comportamentos diferentes. É aí que entram as fases lunares. Quando 
a Terra, a Lua e o Sol estão alinhados — ou, como dizem os astrônomos, em 
TERRA
LUA
 
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281Capítulo 16
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oposição ou conjunção —, a atração gravitacional dos dois últimos se soma, am-
pliando seu efeito na massa marítima. Por outro lado, quando as forças de atra-
ção da Lua e do Sol se opõem, quase não há diferença entre maré alta e baixa. 
Mas esse jogo de forças não é igual em toda parte, porque o contorno da costa e 
as dimensões do fundo do mar também alteram a dimensão das marés. 
 Uma estaca cravada 
na Terra desloca-se através 
das regiões de maré alta e maré 
baixa.
Retomando nossa questão inicial sobre os efeitos que a Lua poderia exercer so-
bre os nascimentos dos bebês ou sobre o crescimento de nossos cabelos, pelo ex-
posto, compreendemos que os efeitos de maré somente ocorrem porque as forças 
gravitacionais, que tanto a Lua quanto o Sol exercem sobre pontos diferentes da 
Terra, são variáveis em intensidade e orientação. Essas variações devem-se ao fa-
to de que o raio da Terra não é desprezível frente às distâncias ao centro de qual-
quer um dos dois astros. As águas oceânicas, que se estendem por amplas regiões 
da Terra, acabam sofrendo diferentes atrações gravitacionais pela Lua ou pelo Sol, 
o que vem a ocasionar as marés. Mas não há efeito de maré em uma região com 
volume tão pequeno quanto o de uma bacia, de uma piscina ou até mesmo de um 
açude, pois distintos pontos dessas regiões estão praticamente equidistantes do 
astro atrator, sofrendo, como qualquer massa, uma força de maré, constante em 
todo o volume de líquido e, portanto, incapaz de deformá-lo. Da mesma forma, o 
líquido no útero da mãe (ou no bulbo capilar) não sofre efeitos de maré (deforma-
ções), ocorrendo apenas uma desprezível variação no seu peso aparente (não su-
perior a uma parte em seis milhões). Adicionalmente, cabe notar que as maiores 
marés ocorrem em Lua Cheia e em Lua Nova, quando a Lua e o Sol estão quase ali-
nhados com a Terra e a composição das duas forças de maré resulta ser máxima; 
na Lua Minguante ou Crescente as marés são menores. Entretanto, as marés acon-
tecem em qualquer dia e não apenas nos dias das quatro fases principais da Lua. 
Conclui-se então que, se realmente nascessem mais bebês nos dias das quatro fa-
ses principais da Lua, tal fato não poderia ser atribuído aos efeitos da maré.
 Nas marés de Lua 
Nova e Lua Cheia, os Recifes 
das Guaratibas afloram, 
proporcionando a formação 
de uma grande piscina onde 
é comum avistar tartarugas, 
peixes e diversos corais. 
Adaptado de: Caderno Brasileiro de Ensino de Física V. 20 n. 1 abril 2003; "Marés, fases principais 
da Lua e bebês" autor: Fernando Lang da Silveira
Região de maré baixa
Região de
maré alta
Estaca
Região de
maré alta
Estaca
Região de maré baixa
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Você precisa saber!
A Lua cai em direção à Terra?
A Lua, por inércia, possui velocidade tangente à trajetória circular, ou seja, 
tende a seguir em linha reta pelo espaço. O campo gravitacional da Terra, no 
entanto, atua sobre ela, aplicando-lhe uma força perpendicular à direção do 
vetor velocidade, colocando-a de volta na trajetória, que consideraremos cir-
cular. Em outras palavras, a Lua “cai” em direção à Terra. Newton supôs que 
essa força tivesse o mesmo caráter daquela que atraía os corpos para o chão. 
Restava a ele calcular que distância a Lua percorria por segundo em direção 
à Terra em sua queda eterna. Depois de muitos anos de trabalho, chegou ao 
valorde 1 ___ 20 de polegada (1,27 mm). Na figura, h 
1 ___ 20 de polegada (1,27 mm) é 
a distância percorrida por segundo pela Lua em sua queda em direção à Terra. 
Por meio desse valor, podemos calcular o valor da aceleração de queda da Lua 
em direção à Terra, ou seja, qual o valor do campo gravitacional da Terra 
__
 g em 
uma distância que equivale à da órbita da Lua.
Temos:
s s0 v0t 
at 2 ___ 2 
1,27 10 3 
g (1)2
 ______ 2 
g 2,54 10 3 m/s2
Apesar de a distância ser muito grande, o cam-
po gravitacional da Terra ainda é forte o suficien-
te para garantir que a Lua, ao tentar sair da órbita, 
volte, caindo em direção ao nosso planeta.
F
F
v
h
Questão resolvida
R3 A massa do Sol é aproximadamente 300.000 vezes maior do que a mas-
sa da Terra. Seu raio vale cerca de 100 raios terrestres. Qual é o valor 
aproximado da aceleração de queda de um corpo na superfície do Sol? 
Considere gTerra 10 m/s2.
 Resolução
Sabemos que:
gTerra MTerra ________ 
(RTerra)2
 G e gSol 
MSol ______ 
(RSol)2
 G
Então:
gSol 
300.000 MTerra ______________ 
(100RTerra)2
 G gSol 30 
MTerra ________ 
(RTerra)2
 G 
 gSol 30 gTerra gSol 300 m/s2
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Capítulo 16
Questões propostas
8 Construa um gráfico da variação do módulo do 
campo gravitacional 
___
 g da Terra em função da 
distância R até o centro do planeta. Para aju-
dar, utilize P: (R,10), para determinar os outros 
pontos cujas abscissas são os múltiplos de 
R: 2R, 3R, 4R e 5R. 
9 Um corpo próximo à superfície da Terra cai 
acelerando a, aproximadamente, 10 m/s2. Ima-
gine que esse corpo será carregado por um 
foguete até certa altura e lá será abandonado. 
Isso feito, o corpo cairá em direção à Terra, 
acelerando. Qual será o valor da aceleração do 
corpo se a distância que ele estiver do centro 
da Terra for igual:
a) ao triplo do raio da Terra?
b) a cinco vezes a medida do raio da Terra?
10 Supondo a existência de um planeta X com o 
dobro da massa da Terra e com o dobro do raio 
de nosso planeta, qual seria, nesse caso, a ace-
leração da gravidade na superfície de X?
11 Qual o valor da aceleração da gravidade ter-
restre sobre um corpo colocado a 13,6 106 m 
da superfície de nosso planeta? 
Dados: MTerra 6 1024 kg, 
raio da Terra 6,4 106 m e G 6,7 10 11 S.I.
12 Na representação, um corpo está caindo em 
direção à Terra com aceleração 
___
 a de módulo 
5 m/s2. 
Da
D
v
Pergunta-se:
a) A distância D é maior do que a medida do 
raio da Terra? Por quê?
b) Expresse D em função da medida R do raio 
da Terra. 
13 Quando os astronautas estadunidenses es-
tiveram na Lua, em julho de 1969, puderam 
comprovar que a aceleração da gravidade na 
superfície do satélite é bem menor do que 
a que um corpo sofre nas proximidades da 
superfície da Terra. Os astronautas, inclusi-
ve, filmaram corpos sendo soltos e também 
os pulos que davam com mais facilidade do 
que dariam na Terra. Sabendo que a massa 
da Lua é cerca de 81 vezes menor do que a 
da Terra e que seu raio é aproximadamente 
3,7 vezes menor do que o raio terrestre, cal-
cule o valor da aceleração da gravidade na 
superfície lunar.
14 Veja no esquema a representação do movi-
mento de queda de um corpo em direção à 
Terra. Se D 8.000 km e v 40m/s, calcule:
a) o valor da aceleração de queda do corpo, 
em m/s2;
b) a distância que o corpo cairá em 1 segundo 
de movimento.
Dados: MTerra 6 1024 kg e 
G 6,7 10 11 S.I.
4 Corpos em órbita
Atualmente, utilizamos cada vez mais os dados coletados por satélites artifi-
ciais em órbita ao redor da Terra: na previsão do tempo, nas comunicações telefô-
nicas, no envio e recebimento de sinais de TV, nas navegações aérea, marítima e 
terrestre, na identificação de áreas de florestas, na agricultura, na identificação 
de anomalias no meio ambiente, no apoio a levantamentos de solos, enfim, os sa-
télites põem à nossa disposição uma infinidade de informações. No entanto, para 
colocá-los em órbita, algumas condições devem ser satisfeitas. A primeira delas diz 
respeito à altitude. Em relação à superfície, ele deve estar no mínimo a 150 km de 
distância. Nessa altura praticamente não há mais o efeito do ar, que atuaria como 
força de resistência e, portanto, desaceleraria o satélite. Uma vez livre do ar, resta 
determinar as condições para que ele se mantenha em órbita.
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Newton pensou que, se a Lua girava ao redor da Ter-
ra, outros corpos também poderiam fazê-lo. Ele su-
pôs uma montanha cujo topo estivesse acima da 
atmosfera. Imaginou que, se atirássemos uma 
pedra horizontalmente do alto da montanha, 
ela descreveria uma trajetória curva até che-
gar ao chão. Quanto maior fosse a velocidade, 
maior seria a distância horizontal percorrida 
até o solo. Se a pedra fosse lançada com ve-
locidade suficiente, nem mais nem menos, 
a trajetória se tornaria um círculo e a pedra 
circularia a Terra indefinidamente (figura 6). 
Em outras palavras, a pedra estaria em órbita e 
“cairia eternamente” em direção à Terra. 
Pedras, satélites, Lua, por inércia, tendem ao movi-
mento retilíneo e, portanto, têm velocidades tangentes à 
trajetória. Isso garante um movimento ao redor da Terra e não 
em direção ao seu centro. Ao mesmo tempo são atraídos por ela. Se 
não possuíssem velocidade, se chocariam com nosso planeta. Acerca disso, é importante 
perceber que, ao considerarmos as órbitas circulares, admitimos que a força de atração 
da Terra não altera o módulo do vetor velocidade, que se mantém o mesmo, mas altera 
sua direção. Ou seja, o corpo em órbita circular se mantém sempre numa direção perpen-
dicular à força da gravidade que atua sobre ele. Essa força nunca poderá ser nula. Se as-
sim fosse, o satélite sairia vagando pelo espaço em movimento retilíneo uniforme. A pre-
sença dessas duas grandezas — a velocidade tangencial constante do satélite e a força de 
atração gravitacional da Terra — caracteriza o movimento do satélite como um tipo muito 
especial de queda livre. Os satélites, as sondas espaciais, as estações orbitais e tudo o 
que estiver em seu interior “caem” em direção à Terra com a aceleração da gravidade ( 
__
 g ) 
característica da órbita, que jamais será nula (figuras 7A e 7B).
Desenho 
baseado em esquema 
feito por Newton. Do 
alto da montanha 
são lançados 
diversos corpos até 
que a velocidade 
denominada 
velocidade de 
escape é atingida. 
Nesse caso, a órbita 
é rasante, isto é, 
o raio da órbita é 
aproximadamente 
igual ao raio da Terra, e 
o valor da velocidade é
8 km/s ou 28.800 km/h. 
O corpo em órbita “cai” 
em direção à Terra com aceleração 
__
 g .
Como esse movimento 
é contínuo, ou seja, o satélite “cai” e 
avança, a trajetória passa a ser um 
círculo.
A força de atração gravitacional sobre o satélite é de natureza centrípeta. Em 
uma órbita circular é a força resultante sobre o satélite. Assim, para um corpo de 
massa m, em uma órbita circular de raio R, podemos calcular qual deverá ser a velo-
cidade orbital, supondo M a massa central.
Rcp F 
m v 2 _____ R G 
M m _____ R2 v d
XXXX
 GM ___ R 
Note que a velocidade não depende da massa do corpo que está em órbita, mas 
da distância até o centro do gerador do campo e da massa desse gerador. Assim, 
cada órbita terá uma velocidade característica. Inúmeros satélites com períodos 
iguais orbitam à mesma distância da Terra e em velocidade idêntica.
Terra
A
Terra
B
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285Capítulo 16
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5 Imponderabilidade
Imagine um astronautano interior de uma sonda espacial em órbita ao redor da 
Terra. Vimos que tanto a sonda quanto o astronauta, assim como tudo que se en-
contra no interior da nave, estarão em constante “queda livre” em direção à Terra. 
É esse movimento contínuo o responsável pela perda de contato entre os pés do 
astronauta e o chão da nave. O astronauta em órbita tem a mesma sensação que 
teria se estivesse no interior de um elevador ou de um avião em queda livre. É por 
isso que ele se sente flutuar. A imponderabilidade é um estado no qual não se con-
segue medir o peso dos objetos porque eles não são sustentados por nada ainda 
que sejam atraídos gravitacionalmente.
Em uma sonda ou nave 
espacial em órbita em torno da 
Terra, os ocupantes têm a sensação 
de ausência de peso, denominada 
imponderabilidade. Na foto, o 
astronauta David A. Wolf flutua na 
Estação Espacial Internacional em 
outubro de 2002.
Faz parte do programa de treinamento dos astronautas se submeterem a con-
dições semelhantes às que viverão em órbita, o que, nesse caso, representa cir-
cunstâncias de imponderabilidade na maior parte do tempo. É possível simular a 
sensação de ausência de peso utilizando um avião especialmente preparado para 
isso — seu interior é inteiramente revestido por material amortecedor de impacto, e 
os tripulantes não veem o exterior.
O avião decola e, ao atingir uma altitude de aproximadamente 10.000 m, mer-
gulha executando uma trajetória em forma de arco de parábola (figura 9). Enquanto 
o avião desce, praticamente em queda livre, os tripulantes se sentem sem peso (é a 
sensação de “gravidade zero”). Essa sensação dura aproximadamente 30 s, durante 
os quais o avião desce para uma altitude média de 7.500 m. O avião, ao ser arreme-
tido para cima, imprime aos passageiros uma aceleração que, em média, equivale a 
1,8 vez a aceleração da gravidade, o que significa que as pessoas se sentem como 
se pesassem, durante a subida, quase o dobro do real. O sobe e desce se repete 
diversas vezes, dependendo do objetivo do treinamento.
Rota de voo parabólica.
N
A
SA
10.300
Altitude (m)
9.800
9.100
8.500
8.000
7.300
45° com o nariz do
avião para cima
Sensação de 
gravidade zero
30° com o nariz do
avião para baixo
Tempo da manobra (s)
0
1,8 g 1,8 g
6520 50
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Você precisa saber!
Satélites
A inserção de um satélite na órbita é feita por meio de um foguete que 
fornece ao satélite velocidade horizontal necessária para que ele permane-
ça na órbita escolhida. Uma vez na órbita, ele lá permanecerá, por muito 
tempo, com a mesma velocidade.
O programa CBERS é um projeto conjunto entre o Brasil e a China para a 
construção de uma família de satélites. As imagens coletadas por esses sa-
télites são usadas em diversos campos, como o controle do desmatamen-
to e queimadas na Amazônia Legal, o monitoramento de recursos hídricos, 
das áreas agrícolas, do crescimento urbano, da ocupação do solo, em edu-
cação e em inúmeras outras aplicações. Particularmente, o CBERS-2 (figu-
ra A) tem órbita denominada polar (figura B), que se estende de polo a polo; 
portanto, atende às necessidades do Brasil e da China.
Os satélites de telecomunicações são ou geossincrôni-
cos, isto é, estão “parados” em relação a um observador na Terra. Suas ór-
bitas são equatoriais (figura B), e seu período coincide com o intervalo de 
tempo que a Terra demora para dar uma volta em torno do seu eixo, ou seja,
aproximadamente 24 h. São eles que nos garantem transmissões de TV ao 
vivo. O sinal de TV de uma transmissora na Terra é recebido por satélites, 
que o amplificam e o retransmitem para uma estação captadora situada 
nas proximidades do local onde se vai assistir ao programa de TV.
Ilustração da 
sequência de lançamento
do CBERS–2 (satélite de
coleta de dados).
Fonte: <www.inpe.br>.
(Acesso em fev./2011)
Polar
Equatorial
Representação 
de órbita polar e de órbita 
equatorial.
Decolagem
(0 s)
(20 s)
1o/2o
(2 min 35 s)
(2 min 55 s)
2o/3o
(4 min 48 s)
Sequência de lançamento 
do CBERS-2
(12 min 29 s)
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Capítulo 16
Já sabe responder?
Gravidade zero 
 — isso existe 
mesmo?
Demonstrar, discutir, experimentar
A lei da Gravitação Universal comprova
matematicamente a 3a lei de Kepler
Suponha um corpo de massa m em uma órbita de raio R, com 
velocidade v, em torno de um corpo central de massa M. A resul-
tante centrípeta, como já vimos, é a força de atração gravitacional. 
Assim, temos:
Rcp F 
m v2 ______ 
R 
 G M m ______ 
R2
 v dXXXXX M G ______ R 
Como: v 2 R _____ 
T
 
então, temos: dXXXXX M G ______ R 2 R _____ T 
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
 M G ______ 
R
 4
2R2 _______ 
T2
 T
2
 ___ 
R3
 4
2
 ______ 
M G
 constante de Kepler
Logo, como esperado, a constante T
2
 ___ 
R3
 da 3a lei de Kepler só depende da mas-
sa do gerador do campo gravitacional.
A origem da força de atração gravitacional
Se você já se perguntou de que maneira a Terra conse-
gue atrair os objetos próximos à sua superfície e corpos 
de grandes massas, como a Lua, saiba que esse fenô-
meno intrigou muitos cientistas antes de você. Embora 
Isaac Newton tenha conseguido formular a lei que rege 
a atração entre os corpos, não descobriu o que havia de 
especial nas massas dos corpos que as tornava capazes 
de produzir atração. Ele sabia da limitação de seu traba-
lho, e o mecanismo que explica a ação da força gravita-
cional permaneceu um mistério por quase 300 anos.
Para entender como a força gravitacional funciona, 
vamos considerar o seguinte exemplo: imagine que vo-
cê e um amigo seguram um lençol, deixando-o bem 
esticado. Em seguida colocam um objeto bem pesa-
do (uma bola de boliche, por exemplo) bem no meio do 
lençol. Se vocês ainda conseguirem segurar o lençol, vão 
perceber que ele ficou curvado para baixo por causa da 
bola. Agora, se vocês colocarem uma bolinha de plástico 
na beirada do lençol, o que acontecerá? É de se imaginar 
que a bolinha de plástico role em direção à bola de boli-
che, como se fosse um pequeno corpo (a bolinha) sen-
do atraído pela Terra (a bola de boliche).
No início do século XX, Albert Einstein percebeu que o 
agente responsável pela atração mútua entre os corpos 
é a curvatura do espaço-tempo, um conceito introduzi-
do por um professor de Einstein, Hermann Minkowski. 
Neste nosso exemplo, o lençol faz o papel de espaço-
-tempo, e sua curvatura é a deformação que o lençol so-
fre pelo peso da bola de boliche. Estava resolvido o enig-
ma de quase três séculos! 
Diálogos com a Física ModernaPara saber mais
Os astronautas Ronald Parise 
e Samuel Durrance, no ônibus 
espacial Columbia, em dezembro 
de 1990.
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Questões propostas
R4 O que aconteceria se o cabo que liga um astronauta a uma estação
orbital se rompesse?
 Resolução
É bastante improvável que isso ocorra, pois, quando está em atividades 
externas, o astronauta fica o tempo todo preso por dois cabos à estrutura 
da nave. Além disso, os trabalhos são feitos por pelo menos uma dupla de 
astronautas e, no caso de um deles se soltar, o outro poderá resgatá-lo.
Ainda que remota, na hipótese de um astronauta simplesmente se sol-
tar da estação, ele não se afastaria dela. Permaneceria na mesma posi-
ção relativa à estação, pois estaria em órbita na mesma velocidade da 
estação, a menos que seu corpo ou o veículo espacial fossem impulsio-
nadosapós a desconexão.
R5 Calcule a que altitude em relação à superfície da Terra deve orbitar um 
satélite para ser considerado geoestacionário. Considere: 
MTerra 6,0 1024 kg; G 6,7 10 11 N m2/kg2 ; RTerra 6,4 106 m
 Resolução
Para ser considerado geoestacionário, o satélite deve ter período igual a 
24 h, ou seja, T 86.400 s. Assim, teremos:
v dXXXXXXX M G ______ R , mas v 2 R ____ T , então:
 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 6,0 1024 6,7 10 11 ______________________ R 2 R _______ 86.400 4,02 10
14
 ___________ 
R
 4
2R2 __________ 
7,46 109
 
Considerando 3,14, temos:
R 3 dXXXXXXXXX 3 1024 ________ 39,43 R 42,4 106 m
Logo, a altitude será:
h 42,4 106 m 6,4 106 h 36 106 m 36.000 km
Questões resolvidas
Texto e dados para as questões de 15 a 18.
Onde está localizada a Estação Espacial Internacional (ISS)?
A ISS orbita em torno da Terra a uma distância de aproximada-
mente 400 km. Embora pareça longe, ela pode ser vista a olho nu 
da Terra em noites de céu limpo. Quando visível, a ISS parece 
uma estrela cadente a mover-se no céu. O melhor momento para 
observá-la é logo depois do pôr do sol ou um pouco antes do alvo-
recer. Nessas ocasiões, nós, observadores, estamos na sombra da 
Terra e está escuro à nossa volta, enquanto a ISS, sobrevoando-
-nos a grande altitude, está ainda a ser iluminada pelo Sol.
Embora a ISS siga sempre a mesma órbita à volta da Terra, a Es-
tação Espacial nem sempre passa pelos mesmos pontos todas as 
vezes. Isso ocorre porque a Terra também roda em torno do seu 
próprio eixo, completando uma volta a cada 24 horas. Sempre que 
a ISS atinge o mesmo ponto na sua órbita, a Terra rodou, posicio-
nando-se em outro local sob a Estação Espacial.
Fonte: <http://esamultimedia.esa.int/docs/issedukit/pt/html/t0106r1.html>. 
(Acesso em fev./2011)
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A Estação Espacial Internacional em foto 
tirada em março de 2009.
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289Capítulo 16
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Utilize os seguintes valores em seus cálculos:
MTerra 6,0 1024 kg
RTerra 6,2 106 m
Período de rotação da Terra em torno de seu eixo: T 24 h
mISS 400 ton
altitude média da ISS 400 km
G 6,7 10 11 N kg2/m2
 3
15 Qual a velocidade orbital da ISS? Dê o resultado em km/h.
16 Calcule o período de translação da ISS. Dê a resposta em minutos.
17 Quantas voltas ela dá ao redor da Terra por dia?
18 Em 2006, durante cerca de oito dias, um astronauta brasileiro dividiu 
com astronautas estrangeiros uma missão a bordo da ISS. Inúmeras fo-
tografias da parte interna da estação mostraram objetos e os astronautas 
“flutuando” no seu interior.
a) Calcule em m/s2 o valor do campo gravitacional 
___
 g que atua sobre a 
ISS quando em órbita a 350 km de altitude.
b) Explique por que os astronautas flutuam no interior da estação orbi-
tal, apesar de o módulo de 
___
 g calculado no item a não ser nulo.
c) Explique por que a ISS não é capaz de criar um campo gravitacional 
suficientemente forte para prender os astronautas em sua superfície.
Considere a seguinte reportagem fictícia para as questões de 7 a 14.
Nave terrestre aterrissa em Marte sem problemas
A nave terrestre de massa 4 104 kg aterrissou na superfície marciana 
após cansativa viagem. Seus tripulantes, apesar de treinados, sentiram, 
já nas primeiras caminhadas no solo, o efeito de uma aceleração da 
gravidade de aproximadamente 4 m/s2. Constam, do diário de bordo 
da nave, duas tentativas de pouso: uma que foi anotada como tempo 
zero e outra um período mais tarde. Durante esse tempo, a nave esteve 
numa órbita cujo raio médio foi de 4 106 m.
Fonte: Folha Planetária, 11 abr. 2020.
Dados: massa de Marte 6 1023 kg; constante da gravidade universal 
 6,7 10 11 N m2/kg2.
(Adote 3.)
19 Qual a velocidade média de translação da nave ao redor de Marte?
20 Qual é o período de translação da nave ao redor de Marte? (Dê a respos-
ta em horas.)
21 Qual o valor da aceleração da gravidade nessa órbita?
22 Qual o peso da nave:
a) na superfície de Marte? b) em órbita?
23 Um astronauta, quando estava em órbita, usou um dinanômetro para 
pesar um objeto de massa 500 g. Qual valor ele obteve? Explique.
24 Qual seria a velocidade orbital da nave:
a) se sua massa duplicasse?
b) se a massa de Marte quadruplicasse?
25 Considere que a nave tenha observações a serem feitas numa órbita 
com raio quatro vezes maior do que a anterior. Qual seria o período de 
translação da nave da nova órbita? (Dê a resposta em horas.)
26 Explique por que a nave pode desligar os motores quando está em órbita
Imagem do planeta Marte feita 
pelo telescópio Hubble.
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Unidade 5290
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Para continuar aprendendo
1 (Unirio-RJ) Quando perguntaram certa vez a 
Isaac Newton como fizera as suas grandes 
descobertas, ele respondeu: “pensando sem-
pre nelas”. Também se conta que teria dito: 
“mantenho o tema constantemente diante de 
mim e espero que os clarões da alvorada, pou-
co a pouco, se transformem em plena luz”.
Esta capacidade de concentração é uma qua-
lidade particular do gênio de Newton e se 
ajusta muito bem a seu caráter e à sua perso-
nalidade. Foi um homem solitário, sem ami-
gos próximos ou íntimos, sem confidentes. 
Nunca se casou, passou a juventude sem pai 
– que morreu antes do nascimento do jovem 
Isaac, no Natal de 1642 – e sem mãe – que se 
casou dois anos depois e deixou o filho para 
ser criado pela avó idosa.
Este homem solitário desenvolveu o poder de 
manter em sua mente um determinado pro-
blema durante horas, dias e semanas, até en-
contrar a solução. Aí então ficava satisfeito em 
guardar a descoberta para si mesmo, sem co-
municá-la a ninguém. Já se disse, por isso, que 
toda descoberta de Newton teve duas fases: ele 
fazia a descoberta e depois os outros tinham 
que descobrir o que ele havia descoberto.
As sementes das grandes realizações de 
Newton datam de um período de cerca 
de dezoito meses, depois de sua formatura, 
quando a Universidade em que estudava fe-
chou devido à peste negra, e ele voltou à fa-
zenda da família, onde havia nascido.
Nessa época, que ele descobriu a lei da Gra-
vitação Universal, relacionando a força de 
interação entre dois corpos com suas mas-
sas e a distância que as separa, os fenôme-
nos ópticos relacionados com a luz e a cor, 
a dispersão e composição da luz branca. Do 
mesmo modo, também projetou e construiu 
um novo tipo de telescópio, que, nos três sé-
culos seguintes, foi o mais poderoso instru-
mento dos astrônomos.
O restante de sua vida científica foi dedicado 
ao desenvolvimento e à elaboração das desco-
bertas que havia feito. Entretanto, depois dos 
primeiros anos de sua vida adulta, Newton 
passou a dedicar a maior parte do seu tempo 
a questões religiosas, místicas, estudando in-
tensamente a alquimia e fazendo experiências 
com objetos até hoje desconhecidos.
Pouco antes da sua morte, em 1727, comentou: 
“Não sei como o mundo me julgará. Para mim 
mesmo, me vejo como um garoto brincando na 
praia, divertindo-se aqui e ali por achar uma pe-
dra mais polida ou uma concha mais bonita que 
as outras, enquanto o grande oceano da verdade 
permanece desconhecido na minha frente”.
Adaptado de um artigo de I. Bernard Cohen, publicado no 
livro Física 1 — Tipler. Guanabara, Rio de Janeiro.
Qual opção está correta com relação à lei gra-
vitacional citada no texto?
a) A força é diretamente proporcional ao qua-
drado do produto de suas massas.
b) A força é diretamente proporcional ao pro-
duto de suas massas.
c) A força é inversamente proporcional ao 
cubo da distância que separa os corpos.
d) A força é diretamente proporcional ao qua-
drado da distância que separa oscorpos.
e) A força é inversamente proporcional ao 
produto de suas massas.
2 (UFMT) Em relação à teoria da Mecânica 
Newtoniana, assinale a alternativa correta.
a) O módulo da força com que a Terra atrai a Lua 
é maior que o com que a Lua atrai a Terra e o 
campo gravitacional na superfície da Terra é 
maior que o campo gravitacional na superfí-
cie da Lua.
b) O módulo da força com que a Terra atrai a 
Lua é igual ao da força com que a Lua atrai 
a Terra e o campo gravitacional na superfície 
da Terra é maior que o campo gravitacional 
na superfície da Lua.
c) O módulo da força com que a Lua atrai a 
Terra é maior que o com que a Terra atrai 
a Lua e o campo gravitacional na superfície 
da Terra é maior que o campo gravitacional 
na superfície da Lua.
d) O módulo da força com que a Terra atrai a Lua 
é maior que o com que a Lua atrai a Terra e o 
campo gravitacional na superfície da Terra é 
menor que o campo gravitacional na superfí-
cie da Lua.
e) O módulo da força com que a Terra atrai a Lua 
é igual ao da força com que a Lua atrai a Terra 
e o campo gravitacional na superfície da Terra 
é igual ao campo gravitacional na superfície 
da Lua.
3 (Unifesp) Henry Cavendish, físico inglês, 
realizou em 1797 uma das mais importan-
tes experiências da história da Física com o 
objetivo, segundo ele, de determinar o peso 
da Terra. Para isso, construiu uma balança 
Newton, um gênio solitário
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Capítulo 16
de torção, instrumento extraordinariamen-
te sensível e com o qual pôde medir a força 
de atração gravitacional entre dois pares de 
esferas de chumbo a partir do ângulo de tor-
ção que essa força causou em um fio. A figu-
ra mostra esquematicamente a ideia básica 
dessa experiência.
d) os que servem os países do hemisfério norte 
estão verticalmente acima do Polo Norte.
e) se mantêm no espaço devido à energia solar.
5 (UFRN) O turismo chegou ao espaço! No dia 
30 de abril de 2001, o primeiro turista espacial 
da história, o norte-americano Denis Tito, a um 
custo de 20 milhões de dólares, chegou à Esta-
ção Espacial Internacional, que está se movendo 
ao redor da Terra. Ao mostrar o turista flutuan-
do dentro da estação, um repórter erroneamen-
te disse: “O turista flutua devido à ausência de 
gravidade”.
A explicação correta para a flutuação do tu-
rista é:
a) a força centrípeta anula a força gravitacio-
nal exercida pela Terra.
b) na órbita da estação espacial, a força gravi-
tacional exercida pela Terra é nula.
c) a estação espacial e o turista estão com a 
mesma aceleração, em relação à Terra.
d) na órbita da estação espacial, a massa iner-
cial do turista é nula.
6 (UnB-DF) Considerando que um satélite de 
massa M esteja em órbita circular a uma dis-
tância d da superfície da Terra, julgue os itens 
a seguir:
Ao final de seu experimento, Cavendish de-
terminou a densidade média da Terra em rela-
ção à densidade da água, a partir da expressão 
matemática da lei da Gravitação Universal, 
F G M m ______ 
R2
 , mas a experiência celebrizou-
-se pela determinação de G, constante gravi-
tacional universal. Sendo 
___
 F o módulo da força 
medido por meio de sua balança, conhecendo 
M, massa da esfera maior, e m, massa da esfe-
ra menor, Cavendish pôde determinar G pela 
seguinte expressão:
a) G FR
2
 ____ 
Mm
 , sendo R a distância entre os cen-
tros das esferas maior e menor.
b) G FR
2
 ____ 
Mm
 , sendo R o comprimento da barra 
que liga as duas esferas menores.
c) G FR
2
 ____ 
M2
 , sendo R a distância entre os cen-
tros das esferas maiores.
d) G FR
2
 ____ 
M2
 , sendo R o comprimento da barra 
que liga as duas esferas menores.
e) G Mm ____ 
FR2
 , sendo R a distância entre os cen-
tros das esferas maior e menor.
4 (PUC-RS) As telecomunicações atuais depen-
dem progressivamente do uso de satélites geo-
estacionários. A respeito desses satélites, é cor-
reto dizer que:
a) seus planos orbitais podem ser quaisquer.
b) todos se encontram à mesma altura em re-
lação ao nível do mar.
c) a altura em relação ao nível do mar depen-
de da massa do satélite.
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1
3d
1
v
1
3
—
m
m
M
M
 I. Em módulo, a força centrípeta necessária 
para manter a órbita do satélite é igual à 
força gravitacional.
 II. Se um segundo satélite de massa igual a 
2 M for colocado na mesma órbita do pri-
meiro, então sua aceleração centrípeta 
será duas vezes maior.
 III. Se o raio da órbita do satélite for reduzi-
do para 64% do seu valor inicial, então a 
sua velocidade tangencial aumentará em 
25%.
 IV. O gráfico representa o comportamento 
da velocidade tangencial v em função de 
d.
a) V-F-F-F c) V-F-V-F e) V-F-F-V
b) V-V-V-F d) F-F-V-F
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Unidade 5292
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7 (UFPA) O texto abaixo foi extraído na íntegra do sítio eletrônico do jornal 
O Estado de São Paulo (www.estadao.com.br), de 24 de agosto de 2006:
“É oficial: Plutão foi rebaixado. A partir de agora, o Sistema Solar é compos-
to por oito planetas – de Mercúrio a Netuno – por planetas anões — incluin-
do Plutão — e por corpos pequenos (asteróides, cometas). A decisão saiu da 
Assembléia Geral da União Astronômica Internacional (IAU), realizada em 
Praga, capital da República Checa.
Descoberto em 1930 pelo cientista americano Clyde Tombaugh (1906-1997), 
Plutão é objeto de discussão há décadas, principalmente devido a seu tama-
nho, que foi sendo progressivamente reduzido. Estima-se hoje que o plane-
ta possua 2,3 � 103 quilômetros de diâmetro, muito menor do que a Terra 
(1,3 � 104 quilômetros).”
Baseado nos diâmetros fornecidos no texto, e considerando as massas da 
Terra e de Plutão como sendo MT e MP , respectivamente, pode-se afirmar 
que a razão entre os módulos das acelerações das gravidades nas superfí-
cies de Plutão e da Terra é de aproximadamente:
a) 5,6 
MP ____ 
MT
 b) 5,6 
MT ____ 
MP
 c) 31,3 
MT ____ 
MP
 d) 5,6 @ MT ____ MP # 
2
 e) 31,3 
MP ____ 
MT
 
8 (Ufes) A sonda espacial NEAR/Shoemaker, no período entre fevereiro de 
2000 e fevereiro de 2001, ficou em órbita em torno do asteroide 433 Eros, 
de massa M � 25 � 1015 kg. O raio da órbita era R � 16.750 m. Sabendo 
que a constante gravitacional vale G � 6,7 � 10�11 N � m2/kg2, o valor que 
mais se aproxima do período de rotação da sonda, em sua órbita, é:
a) 10.550 s c) 35.225 s e) 45.445 s
b) 19.340 s d) 40.910 s
9 (Ufam) Um Satélite na superfície da Terra tem massa m e aceleração da gra-
vidade g. Quando o Satélite for colocado em órbita, a uma altitude igual ao 
raio da Terra, sua massa e aceleração da gravidade serão, respectivamente:
a) m e g/2 c) m e g/4 e) m/2 e g/2
b) 2m e g/4 d) m/4 e g/4
10 (UFCG-PB) Recentemente confirmou-se a existência do exoplaneta 
HD74156d pertencente ao Sistema HD74156 na constelação de Hydra. 
Exoplanetas são corpos em órbita de estrelas fora do Sistema Solar e com 
órbitas permanentes. Trata-se do primeiro planeta teoricamente previsto 
desde a descoberta de Netuno em 1840. Veja o quadro que apresenta al-
gumas características das órbitas para três dos exoplanetas do sistema, 
incluindo o HD74156d:
Planeta Período de revolução (T ) (em dias terrestres)
Semieixo maior da órbita (a)
(em unidades astronômicas — UA*) Excentricidade da órbita
T2/a3 
[dia2/(UA)3]
HD74156b 52 0,29 0,64 1,1 � 105
HD74156c 2.476 X 0,43 1,1 � 105
HD74156d 337 1,0 0,25 W
* UA � distância média da Terra ao Sol.
Com base nas informações, pode-se afimar que:
a) dos três planetas, o c é o que tem uma órbita cuja forma mais se apro-
xima de uma circunferência.
b) o valor de X, no quadro, é, certamente, menor que 0,29 UA.
c) como o semieixo maior da órbita do planeta d é 3,4 vezes o semiei-
xo maior da órbita do planetab, o valor de W, no quadro, é 3,4 vezes
1,1 � 105 dia2/(UA)3.
d) o valor de 1,1 � 105 dia2/(UA)3 é próximo do valor para o Sistema Solar.
e) o valor de X, no quadro, é comparável com o semieixo maior da órbita 
da Terra em torno do Sol.
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