P3 cálculo 3

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Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois
dependem da curva que define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um
exemplo onde podem ser aplicados.
Resposta esperada
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O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da
diferença das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região
delimitada pela curva. Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma
partícula.
●
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três
dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em
três dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo
vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de
forças em três dimensões sobre uma partícula.
●
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma
relação entre uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de
superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para
calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim
podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
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Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas
padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um cilindro utilizando integrais triplas.
Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de
integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f(x, y, z) =
1, precisamos agora determinar os limites de integração.
O limite para a integração em z é de 0 até h.
Já para x e y como a base é circular
vamos usar coordenadas polares e nesse caso os limites de integração são
Assim, o volume é: