P02 Medições Diretas, Indiretas e propagação de erros São Gabriel

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M e d i ç õ e s D i r e t a s , I n d i r e t a s 
e P r o p a g a ç ã o d e E r r o s Pontifícia Universidade 
Católica de Minas Gerais 
 
Laboratório de 
Física Geral I 
Profª: Kelly Faêda 
 
 
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1. Introdução 
 
 Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida do 
comprimento de uma barra, figura 1. Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1mm. Ao 
tentar expressar o resultado dessa medida, você percebe que ela está compreendida entre 87 mm 
e 88 mm. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 87 mm terá de ser avaliada, pois a 
régua não apresenta divisões inferiores a 1mm. 
Para fazer essa avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 87 mm e 88 mm 
subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada a 
87 mm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na Figura 1 podemos avaliar a fração 
mencionada como sendo 2 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso 
como 87,2 mm. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 8 e 7, pois eles foram obtidos 
através de divisões inteiras da régua, ou seja, você tem certeza deles. Entretanto, o algarismo 2 foi 
avaliado, isto é, você não tem certeza sobre seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 
1 ou 3, por exemplo. Por isso, esse algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
Figura 1: Comprimento 𝒍 de uma barra medido com uma régua milimetrada. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por 
exemplo, como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o 
algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é certo, 
sendo o zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, por 
exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontrada 
usando-se diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra 
amplamente difundida é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a 
metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o 
comprimento da barra da Figura 1, alguém poderia considerar como incerteza a metade de uma 
 
 
 
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unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetros. Assim, a medida do comprimento 
da barra seria escrita como l = (87,2 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira indica que há 
uma incerteza de 0,5 mm na determinação do comprimento da barra. Entretanto, se essa régua for 
usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que a incerteza não mais poderá ser de 
0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito 
a incerteza que poderá ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão difundida de que a 
incerteza é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito cuidado. Podemos 
também escrever o resultado como (8,72 ±0,05)cm. A incerteza avaliada nesse caso é 0,05, 
metade da menor divisão da escala da régua para centímetro. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com 
ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um 
valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão do 
instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da 
escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais razoável calcular a incerteza a partir dos limites 
desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação. 
Como exemplo, considere que a única informação que um operador tem sobre uma medição de 
uma grandeza é que seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥. Assim, é aceitável supor que 𝑦 
pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade (distribuição 
retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
, 
e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
. 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso anterior, 
através dos limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do 
instrumento, se não houver oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do 
instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de y, 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas, 
 
 
 
 
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 Medições Indiretas 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza y. Nesses casos, o valor da grandeza é obtido a 
partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑁). Ao se expressar o 
resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é importante apresentar qual é a incerteza associada a esse 
resultado, ou seja, qual é a consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um resumo de algumas 
regras úteis para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
(i) Se y é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
(ii) Se y é a multiplicação de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 = 𝑘 ∆𝑎. 
(iii) Se y é a divisão de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 =
∆𝑎
𝑘
. 
(iv) Se y é a multiplicação ou divisão de grandezas a, b, c, … então: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑎
𝑎
+ 
∆𝑏
𝑏
+ 
∆𝑐
𝑐
+ … 
(v) Se y é a potência n de uma grandeza a, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
2. Parte Experimental 
 
Objetivo:(i) Realizar medidas diretas e indiretas, (ii) expressar os resultados com suas respectivas 
incertezas e (iii) conhecer o paquímetro, micrômetro, dinamômetro e o transferidor. 
Material Utilizado: Paquímetro, micrômetro, dinamômetro, transferidor, bloco de madeira, triângulo 
de madeira. 
Paquímetro: Frequentemente utilizam-se para a medição de comprimento na indústria o 
paquímetro, algumas vezes chamado de calibre, e o micrômetro também chamado de Palmer ou 
parafuso micrométrico. 
 
Figura 2: (a) Paquímetro de precisão 0,05 mm 
Orelha 
Polegadas 
Encosto 
Profundidade 
Nonio (pol) 
Nonio (mm) Centímetro 
milímetro 
(a) 
 
 
 
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Figura 2: (b) Estimativa deum comprimento 𝒍 = 𝟐𝟒, 𝟖𝟓 mm. (Fonte: http://pt.wikipedia.org). 
O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier, cujo comprimento é 
de 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. A Figura 2(a) mostra as 
partes principais de um paquímetro. Ao fazer uma estimativa de um dado comprimento 𝑙 lê-se a 
quantidade de milímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual subdivisão do nônio 
coincide exatamente ao número de décimos de milímetro do comprimento medido. Examine a 
Figura 2(b). O comprimento 𝑙 medido é 24,85 mm. A precisão do paquímetro é 0,05 mm. 
Micrômetro: A Figura 3 mostra as partes principais de um micrômetro. Para cada avanço de 
1 mm do deslocamento axial do tambor na escala da bainha, o tambor gira 1 volta. Dividindo-se a 
circunferência 2𝜋𝑅 do tambor em 100 partes, cada divisão da escala do tambor será de 0,01 mm. 
Portanto, a sensibilidade do micrômetro da Figura 3 é de 0,01 mm e a precisão é de 0,005 mm. 
 
Figura 3: Micrômetro de sensibilidade 0,01 mm. 
A Figura 4 mostra os passos para uma leitura correta: 
1º - leitura dos milímetros inteiros na parte de baixo da escala da bainha. 
2º - leitura dos meios milímetros na parte de cima da escala da bainha. 
3º - leitura dos centésimos na escala do tambor. 
(b) 
Bainha 
Tambor 
ajuste grosso 
Tambor 
ajuste fino 
 
 
 
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A leitura final será a soma dessas três leituras parciais. 
 
Figura 4: Micrômetro de precisão 0,01 mm. (Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
 
O dinamômetro é um instrumento usado para medir forças. Os modelos mais usuais 
apresentam uma estrutura tubular, chamados dinamômetros tubulares, como o exemplo da Figura 
5. Esses dinamômetros possuem escalas com divisões de 1/100 de sua capacidade máxima de 
carga (geralmente indicada no início do tubo da escala). Antes da utilização do dinamômetro é 
necessário ajustá-lo através do parafuso liberador da capa, de modo a nivelar o referencial 
(extremidade da capa) com a primeira marcação da escala. 
 
 
Figura 5: Dinamômetro tubular. 
 
Atenção: seguem algumas recomendações importantes para manutenção e conservação do 
dinamômetro: 
 Nunca utilize o dinamômetro além da capacidade máxima indicada! 
 Nunca solte o dinamômetro bruscamente quando ele estiver distendido! 
 
A Figura 6 mostra um diagrama de um transferidor circular (de 360º), que é um instrumento 
usado para medir ou construir um ângulo de uma dada medida. Existem transferidores 
semicirculares, de 180ºcomo pode ser visto na Figura 7. Observe que em geral esses instrumentos 
possuem duas escalas de ângulos que são crescentes no sentido anti-horário e decrescentes no 
sentido horário; assim pode-se medir ângulos em qualquer direção. 
Parafuso de 
calibração Referencial 
de leitura 
Suporte 
para carga 
 
 
 
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Figura 6: Esquema de um transferidor de 360º. 
 
 Para medir um ângulo entre duas retas deve-se posicionar a base (linha do 0º) sobre uma 
das retas (“A”, no exemplo da Figura 6), de modo que o centro do transferidor fique no vértice entre 
as retas. O valor da escala na qual coincide com a outra reta (“B”) indica o ângulo formado entre as 
retas. Tendo em vista que a menor divisão desse transferidor da figura acima é de 1/10 de grau, 
então a leitura indicada será 𝜃 = (120,00 ± 0,05)°. 
 
Figura 7: Esquemas utilizando transferidor de 180º. 
 
Procedimento 1: 
 
1) Com a régua milímetrada meça o comprimento (A) e a largura (B) de uma folha de papel A4. 
Para medir a espessura (C) da folha utilize o paquímetro. Como é impossível medir diretamente a 
espessura de uma única folha com o paquímetro, meça inicialmente a espessura de diversas 
folhas e divida o resultado pelo número de folhas. 
Escreva os resultados com as incertezas: 
 
 
 
 
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A = ________________________ 
 
B = ________________________ 
 
C = ________________________ 
 
2) Tente medir diretamente a espessura da folha com o micrômetro. Compare o resultado com 
aquele encontrado com o paquímetro. 
3) Determine o volume da folha e escreva o resultado com a incerteza. 
 
Procedimento 2 
 
1) Meça as dimensões A, B e C do bloco de madeira, conforme ilustrado na Figura 1. Utilize 
primeiro a régua graduada em decímetro, depois em centímetro e finalmente em milímetro. Anote 
os resultados na Tabela 1. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Bloco de dimensões A, B e C. 
 (A ± 𝝙A) (B ± 𝝙B) (C ± 𝝙C) 
(dm) 
(cm) 
(mm) 
Tabela 1: Dimensões A, B e C do bloco. 
Questões: 
a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos significativos? 
b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? Em caso afirmativo, isto 
ocorreu com todas as réguas? 
No presente caso, é permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza ou que 
nos informa a régua, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa 
visão. Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a 
nossa aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar, então, o valor de 
nossas medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas 
 
 
 
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acrescentando-se ao valor encontrado ± a metade da menor divisão do aparelho (desvio 
avaliado). Exemplo: (48,6 ± 0,5) cm. 
c) Qual das réguas mediu com maior precisão? Por quê? 
d) Qual das grandezas (A, B ou C) está expressa com maior precisão, se medidas em 
milímetros? Para respondermos esta questão é importante entendermos o conceito de 
desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais 
clara o quanto se “erra” ao especificar o valor medido de uma grandeza e de certa forma 
especificar a qualidade de um produto. O desvio relativo é o desvio avaliado dividido pelo 
valor medido (∆x/x) e o desvio percentual é o desvio relativo vezes cem [(∆x/x). 100]. Sendo 
assim, determine o desvio percentual das grandezas A, B e C, medidas na escala 
milímetros, e escreva a medida ± o desvio percentual. 
e) Calcule o volume da caixa e determine o desvio percentual e absoluto. Faça isso para as 
três escalas e anote os resultados na Tabela 2. 
 
Volume ∆V/V (%) ∆V 
dm3 dm3 
cm3 cm3 
mm3 mm3 
Tabela 2: Volume da caixa e seu desvio percentual e absoluto. 
 
Procedimento 3: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do dinamômetro e determine sua incerteza. 
2) Fixe o bloco de madeira na extremidadedo dinamômetro (suspenso verticalmente no tripé) e 
determine o valor do peso do bloco. 
 
Procedimento 4: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do transferidor e determine sua incerteza. 
2) Determine o valor do ângulo 𝜃 como observado na figura 2 do triângulo de madeira. 
 
Figura 2: Triângulo com ângulo. 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[4] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
[5] Measuring an angle by a protractor. Disponível em <http://www.math-only-math.com/measuring-
an-angle-by-a-protractor.html>. Acesso em 24 de junho de 2015. 
 
http://www.math-only-math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html
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