Aula OBA 12 - Leis de Kepler

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Rapadura Cósmica 
 
Aula OBA 12 – Leis de Kepler 
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Aulas sobre o assunto estão disponíveis no canal Rapadura Cósmica, no YouTube: 
https://www.youtube.com/channel/UCoOHqfvR_2YaeBFLWKKq1DQ 
 
01 (Seletiva Online 2016 – 1). A Primeira Lei de Kepler explicou com sucesso um ponto 
onde o modelo heliocêntrico de Copérnico falhou. Isso porque Kepler descreveu as órbitas 
planetárias como sendo: 
a) elípticas, e não circulares 
b) muito maiores que supostas por Copérnico 
c) em torno do Sol, e não da Terra 
d) equantes e não epiciclos 
 
02 (UFRGS - 2011). Considere o raio médio da órbita de Júpiter em tomo do Sol igual a 5 
vezes o raio médio da órbita da Terra. Segundo a 3ª Lei de Kepler, o período de revolução de 
Júpiter em tomo do Sol é de aproximadamente: 
a) 5 anos 
b) 11 anos 
c) 25 anos 
d) 110 anos 
 
03 (Seletiva Online 2016 – 2). Qual seria o período (em anos terrestres) de um planeta a 3 
UA do Sol? 
 
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04 (OBA 2017). Outro método usado para detectar planetas extrassolares é conhecido pelo 
nome de método de trânsito planetário. Como as estrelas são muito maiores do que os 
planetas e emitem luz, o brilho da estrela fica ligeiramente reduzido pelo bloqueio que o 
disco do planeta causa durante o seu trânsito, como ilustra a figura ao lado. Cerca de 75% dos 
planetas extrassolares descobertos até o momento (cerca de 3.600) o foram por este método. 
Em fevereiro de 2017 foi anunciada a descoberta, pelo método do trânsito, do sistema 
planetário extrassolar TRAPPIST-1 com sete planetas, tipo terrestre, ao seu redor, sendo 4 de 
tamanho similar à Terra e três deles dentro da chamada zona de habitabilidade. Todos os 
planetas, incluindo os extrassolares, devem obedecer à terceira lei de Kepler, a qual é dada 
por: 
onde T é o período do planeta, D sua distância média à estrela, M a massa da estrela, m a 
massa do planeta, 𝜋≅3,14, 𝐺=6,67×10^−11 𝑘𝑔^ −1 𝑚^3 𝑠^−2 e K é a constante de Kepler. 
a) Chamando Ks para o Sistema Solar e KT para o Sistema Trappist-1, calcule a razão entre 
KS e KT, ou seja, calcule 𝐾𝑆/𝐾𝑇. 
Dados: O período orbital da Terra (T) é de 360 dias (para simplificar as contas) e sua 
distância média ao Sol (D) é de 1 UA (Unidade Astronômica). O período orbital do planeta 
“d” ( 𝑇𝑑) de Trappist-1 é de 4 dias e sua distância média a Trappist-1 ( 𝐷𝑑) é de 0,02 UA. 
Como estrelas têm muito mais massa que planetas, despreze m na Lei de Kepler. Use 𝑀𝑆 
para a massa do Sol e 𝑀𝑇 para a massa de Trappist-1. 
b) Calcule quantas vezes a massa da estrela Trappist-1, 𝑀𝑇, é menor do que a do Sol, 𝑀𝑆, 
isto é, faça 𝑀𝑇/𝑀𝑆. 
 
05 (OBA 2019). As leis de Kepler são as três leis do movimento planetário definidas por 
Johannes Kepler (1571 – 1630), um matemático e astrônomo alemão. Kepler estudou as 
observações colhidas por mais de 20 anos pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 — 1601) e 
descobriu, por volta de 1605, que os planetas seguiam três leis matemáticas: - A primeira Lei 
(das órbitas) diz que a órbita de cada planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos. - A 
segunda Lei (das áreas) afirma que a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em 
tempos iguais. - A terceira Lei (harmônica) relaciona o quadrado do período orbital dos 
planetas diretamente com o cubo de sua distância média ao Sol. A figura mostra a órbita da 
Terra (fora de escala e bem mais achatada) e as posições da Terra ao longo do ano. 
 
 
 
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Escreva C (certo) ou E (errado) na frente de cada afirmação. 
( ) Entre março e abril a velocidade orbital da Terra é maior do que entre maio e junho. 
( ) Em fevereiro a velocidade orbital da Terra está aumentando. 
( ) A força da gravidade do Sol é a mesma em todos os pontos da órbita da Terra. 
( ) Pela 3ª Lei de Kepler podemos afirmar que em julho a velocidade orbital da Terra é a 
menor. 
( ) Pela 2ª Lei de Kepler podemos afirmar que em janeiro a velocidade orbital da Terra é a 
maior. 
 
06 (OBA 2020). As três Leis de Kepler (1571 – 1630) descrevem os movimentos dos 
planetas, luas, cometas, satélites artificiais etc e para os planetas dizem o seguinte: 
1ª Lei (Lei das órbitas): A órbita de cada planeta é uma elipse, estando o Sol num dos focos. 
2ª Lei (Lei das áreas): Uma linha reta entre o Sol e o planeta “varre” áreas iguais em iguais 
intervalos de tempos. 
3ª Lei (Lei dos períodos): O quadrado do Período orbital (P) dividido pelo cubo da distância 
(D) média do planeta ao Sol é uma constante (k), ou seja, 𝑷 𝟐⁄𝑫𝟑 = 𝒌. 
A figura ao lado traz o esquema das órbitas dos 6 primeiros planetas do Sistema Solar, na 
escala correta de distância, onde 1,0 cm = 1,0 UA. 
 
Note que a constante k é a mesma para todos os astros que orbitam o Sol e depende das 
unidades usadas para se expressar P e D. Por exemplo, no caso da Terra, se usarmos o 
período, P, em unidades de ANOS TERRESTRES (AT), e a distância média (D) ao Sol, em 
UNIDADE ASTRONÔMICA, UA, que é a distância entre o Sol (bolinha preta no centro da 
figura, fora de escala) e a Terra (terceira órbita), então temos: 
 
 
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𝑘 = (1 𝐴𝑇)² / (1 𝑈𝐴)³ = (1 𝐴𝑇)² / (𝑈𝐴)³ 
Dito isso, marque com um X a opção que traz o período (P) aproximado de Júpiter (em AT), 
sendo que a distância média de Júpiter ao Sol, em UA, está na figura. 
( ) 3 AT 
( ) 5,2 AT 
( ) 27 AT 
( ) 12 AT 
 
07 (Seletiva Online 2016 – 3). Suponha duas estrelas constituindo um sistema duplo e uma 
delas fazendo uma órbita elíptica com semi eixo maior de 4 UA. Sabemos que esta estrela 
gasta 2,5 anos para completar sua órbita.Veja ilustração abaixo (www.gea.org.br) Então a 
soma das massas das estrelas é: 
 
a) 10,2 MSol 
b) 9,4 MSol 
c) 7,5 MSol 
d) 4,6 MSol 
 
08 (OBA 2012). A balança astronômica. 
Você sabe que quando está numa gangorra e do outro lado está alguém mais forte que você, 
ele precisa ficar mais perto do centro da gangorra e você mais longe do centro dela, se 
desejarem, por exemplo, deixar a gangorra parada com ambos equilibrados na horizontal. 
Existe uma equação que relaciona suas massas (ma e mb) e respectivas distâncias (ra e rb) ao 
centro da gangorra: ma.ra = mb.rb 
a) Imagine que pudéssemos comprimir o planeta Terra e a Lua para que pudessem ficar sobre 
uma gangorra. Sabemos que a massa da Terra, mt, é, aproximadamente, 80 vezes a massa da 
Lua, ml, e que estão separadas (centro a centro), em média, por 384.000 km. Determine a que 
distância do centro da Terra ficaria o “apoio” da gangorra para manter ambas equilibradas. 
 
 
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Observação: O “apoio” desta gangorra representa o centro de massa ou baricentro do 
sistema Terra-Lua. É o ponto em torno do qual ambas giram. Note que como mt ≫ ml, o 
centro de massa (baricentro) está muito mais perto do centro da Terra do que da Lua. Aliás, 
está abaixo da superfície da Terra, pois o raio desta é de, aproximadamente, 6.400 km 
b) O Sol é uma estrela isolada, mas a maioria delas são binárias, ou seja, ambas giram em 
torno do baricentro do sistema. Conhecer a massa das estrelas é fundamental em Astronomia. 
Abaixo mostramos o esquema de um sistema binário típico, visto “de cima”. 
 
Pela lei da gravitação universal sabemos que a força gravitacional, Fg, entre ambas as estrelas 
é: 
 
onde G é a constante da gravitação universal, Ma e Mb as massas das estrelas e r a separação 
entre elas. Suponha que ambas descrevam trajetórias quase circulares em torno do baricentro. 
Neste caso a força centrípeta, Fc, sobre qualquer das estrelas, da “A”, por exemplo, é dada 
por: e é igual à força gravitacional entre elas, ou seja: Fg = Fc 
A velocidade Va pode ser medida pelo período orbital, T, da estrela “A”, ou seja,
 
Em sistemas binários os períodos orbitais das estrelas são sempre iguais, pois ambas giramem torno do baricentro, no mesmo período e estão sempre diametralmente opostas. Use as 
equações acima e demonstre que, em função de apenas π, G, r e T, podemos determinar a 
soma das massas, M = Ma + Mb, das estrelas. 
Observação: A equação determinada também é conhecida como a 3° lei de Kepler ou lei dos 
Períodos ou ainda lei Harmônica.