Física Básica - Gravitação universal

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M m
r
F F
Planeta
Sol
Foco 1 
Foco 2 
∆t1
Sol
A1 ∆t2A2
F1 F2
Suplemento de reviSão • FÍSiCASuplemento de reviSão • FÍSiCA
Gravitação universal
O sistema planetário geocêntrico, proposto por Ptolomeu, no século II d.C., colocava a Terra 
como centro do Universo e foi, durante muito tempo, aceito sem contestação. Somente no 
século XVI, Copérnico propôs o sistema planetário heliocêntrico, onde o Sol seria o centro 
do Universo. Com base nesse sistema, Kepler estabeleceu de forma definitiva as leis que 
descrevem os movimentos planetários, e seus estudos influenciaram Newton a desenvolver a 
lei da gravitação universal. 
7
TEMA
Leis de Kepler
As leis de Kepler descrevem os movimentos dos 
planetas de nosso Sistema Solar, tomando o Sol como 
referencial. 
Lei das órbitas (primeira lei de Kepler)
As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elípticas, 
com o Sol ocupando um dos focos (fig. 1). 
Lei das áreas (segunda lei de Kepler)
O segmento imaginário que une o centro do Sol e o 
centro do planeta (raio vetor) varre áreas proporcionais 
aos intervalos de tempo dos percursos (fig. 2). 
Em geral: 
2t
A
t
A
S S1
1 2= = K
A constante K depende do planeta e é denominada 
velocidade areolar.
Se as áreas A1 e A2 são iguais, o tempo gasto para percorrer 
os dois trechos também é o mesmo: A1 = A2 ] St1 = St2
Lei dos períodos (terceira lei de Kepler)
O quadrado do período de translação de um planeta 
em torno do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da 
respectiva órbita.
1
1
2
2
r
T
r
T
3
2
3
2
= = K
A constante K depende das massas do Sol e do planeta. 
Como a massa do planeta é desprezível em relação à do 
Sol, considera-se que K depende só da massa do Sol.
Lei da gravitação universal
Isaac Newton descobriu que dois pontos materiais 
atraem-se com forças cujas intensidades são direta-
mente proporcionais às suas massas e inversamente 
proporcionais ao quadrado da distância que os separa. 
Este resultado tem validade geral, podendo ser aplicado 
a quaisquer corpos materiais, constituindo a lei da gra-
vitação universal.
Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é 
a distância que os separa (fig. 3), a intensidade da força 
gravitacional é dada por:
F = 
r
GMm
2 em que G = 6,67 $ 10
-11 
kg
N m$
2
2
Figura 1 Esquema da órbita dos planetas 
em torno do Sol.
Figura 2
A partir dessa expressão, combinada com suas três 
leis da dinâmica, Newton pôde demonstrar as leis de 
Kepler e determinar o valor da constante K da lei dos 
períodos:
K = GM
4s
Sol
2
Figura 3
6464
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tema 7 • gravitação universal
Aceleração da gravidade
Na superfície do planeta de massa M e raio R, a aceleração da gravidade é dada por:
g = 
R
GM
2
A uma altitude h em relação à superfície terrestre, a aceleração da gravidade é menor:
g = 
( )R h
GM
2+
Corpos em órbita
Para corpos em órbita, sendo a r
v2
cp = e g r
GM
h = 2 , a velocidade orbital do corpo é dada por:
v = r
GM
h
GM
R= +
Sendo a r
v2
cp = = h
2r = s
T
4
2
2
 $ r e g
r
GM
h = 2 , o período de revolução do corpo é dado por:
T 2 = GM
4s2 r 3 ] T 2 = Kr 3
NO VESTIBULAR
 1 (Puccamp-SP) O movimento que arquitetou as ideias 
que derrubaram o Antigo Regime é denominado Ilumi-
nismo e teve em René Descartes e Isaac Newton seus 
precursores. Se as ideias do filósofo francês Descartes 
questionavam o modo de ver o mundo, as do físico in-
glês Isaac Newton (1642-1727) foram responsáveis por 
promover uma nova maneira de encarar a Ciência, pois:
a) o princípio da gravitação universal contribuiu 
para reforçar o fundamento de que o Universo é 
governado por leis físicas e não submetido à in-
terferência de cunho divino.
b) a conclusão de que “todo peso tende a cair ao centro 
pelo caminho mais curto” favoreceu a antecipação 
de uma questão científica que seria central na 
Física moderna.
c) os estudos sobre a teoria heliocêntrica possibilita-
ram a comprovação de que a Terra era um planeta 
a girar em torno do Sol, derrubaram as ideias de-
fendidas pela Igreja.
d) a hipótese de que fenômenos da Física decorriam 
do deslocamento da matéria no Universo fez surgir 
o princípio de que “nada se perde e nada se cria, 
tudo se transforma”.
e) a descoberta de que as leis da natureza sobre a Terra 
eram diferentes das leis da natureza que governava 
o movimento dos astros incentivou a utilização do 
método científico.
6565
De acordo com seu princípio da gravitação universal, 
Newton foi capaz de explicar os fenômenos celestes e 
terrestres por meio de uma única teoria, contribuindo 
para reforçar o fundamento de que o Universo podia 
ser explicado pelas leis físicas.
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
1
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 2 (UFRGS) Um planeta descreve trajetória elíptica em 
torno de uma estrela que ocupa um dos focos da elipse, 
conforme indica a figura abaixo. Os pontos A e C estão 
situados sobre o eixo maior da elipse, e os pontos B e D, 
sobre o eixo menor.
C
B
D
Estrela
Planeta
A
Se tAB e tBC forem os intervalos de tempo para o planeta 
percorrer os respectivos arcos de elipse, e se AF e FB 
forem, respectivamente, as forças resultantes sobre o 
planeta nos pontos A e B, pode-se afirmar que:
a) tAB 1 tBC e que AF e FB apontam para o centro da estrela.
b) tAB 1 tBC e que AF e FB apontam para o centro da elipse.
c) tAB = tBC e que AF e FB apontam para o centro da estrela.
d) tAB = tBC e que AF e FB apontam para o centro da elipse.
e) tAB 2 tBC e que AF e FB apontam para o centro da estrela.
 3 (Uesc-BA) Considere dois satélites, A e B, que se encon-
tram em órbitas circulares de raios R e 6R, respectiva-
mente, em torno de um planeta de massa M. Sendo G 
a constante de gravitação universal, a razão entre os 
períodos de translação, TB e TA, dos satélites é igual a:
a) 3
b) 8
c) 2 3
d) 6 6
e) 3 7
4 (UFT-TO) 
Equipe de cientistas descobre o primeiro 
exoplaneta habitável
O primeiro exoplaneta habitável foi encontrado 
depois de observações que duraram 11 anos, utili-
zando uma mistura de técnicas avançadas e teles-
cópios convencionais. A equipe descobriu mais dois 
exoplanetas orbitando em volta da estrela Gliese 581.
O mais interessante dos dois exoplanetas descober-
tos é o Gliese 581g, com uma massa três vezes superior 
à da Terra e um período orbital (tempo que o planeta 
leva para dar uma volta completa em torno de sua 
estrela) inferior a 37 dias. O raio da órbita do Gliese 
581g é igual a 20% do raio da órbita da Terra, enquanto 
sua velocidade orbital é 50% maior que a velocidade 
orbital da Terra. O Gliese 581g está “preso” à estrela, o 
que significa que um lado do planeta recebe luz cons-
tantemente, enquanto o outro é de perpétua escuridão. 
A zona mais habitável na superfície do exoplaneta seria 
a linha entre a sombra e a luz, com temperaturas caindo 
em direção à sombra e subindo em direção à luz.
A temperatura média varia entre –31 °C e –12 °C, 
mas as temperaturas reais podem ser muito maio-
res na região de frente para a estrela (até 70 °C) e 
muito menores na região contrária (até –40 °C). A 
gravidade no Gleise 581g é semelhante à da Terra, o 
que significa que um ser humano conseguiria andar 
sem dificuldades.
Os cientistas acreditam que o número de exopla-
netas potencialmente habitáveis na Via Láctea pode 
chegar a 20%, dada a facilidade com que Gliese 581g 
foi descoberto. Se fossem raros, dizem os astrôno-
mos, eles não teriam encontrado um tão rápido e 
tão próximo. No entanto, ainda vai demorar muito 
até que o homem consiga sair da Terra e comece a 
colonizar outros planetas fora do Sistema Solar.
Texto adaptado de artigo da revista Veja, 
ed. 2185, ano 43, n. 40, 6 de outubro de 2010.
 Considerando as órbitas do Gliese 581g e da Terra cir-
culares com movimento uniforme, leia os itens abaixo:
 I. Para que a aceleração gravitacional na superfície 
do Gliese 581g tenha valor igual à aceleração gra-
vitacionalna superfície da Terra, o raio do Gliese 
581g deve ser menor do que o raio da Terra.
 II. A massa da estrela em torno da qual o Gliese 581g 
orbita é inferior à metade da massa do Sol.
 III. O Gliese 581g gira em torno de seu próprio eixo 
com a mesma velocidade angular com que orbita 
a sua estrela.
 IV. A velocidade angular com que o Gliese 581g orbita 
sua estrela é menor do que a velocidade angular 
com que a terra orbita o Sol.
Marque a opção correta:
a) I e III são verdadeiras.
b) I e II são verdadeiras.
c) II e III são verdadeiras.
d) III e IV são verdadeiras.
e) II e IV são verdadeiras.
 5 (Enem) O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao es-
paço com cinco astronautas a bordo e uma câmera 
nova, que iria substituir uma outra danificada por um 
curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entra-
rem em órbita a 560 km de altura, os astronautas se 
aproximaram do Hubble. Dois astronautas saíram da 
Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a porta 
de acesso, um deles exclamou: “Esse telescópio tem 
a massa grande, mas o peso é pequeno”.
Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se 
afirmar que a frase dita pelo astronauta:
a) se justifica porque o tamanho do telescópio de-
termina a sua massa, enquanto seu pequeno peso 
decorre da falta de ação da aceleração da gravidade.
b) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio 
é grande comparada à dele próprio, e que o peso 
do telescópio é pequeno porque a atração gravita-
cional criada por sua massa era pequena.
c) não se justifica, porque a avaliação da massa e do 
peso de objetos em órbita tem por base as leis de 
Kepler, que não se aplicam a satélites artificiais.
d) não se justifica, porque a força peso é a força exer-
cida pela gravidade terrestre, neste caso, sobre o 
telescópio e é a responsável por manter o próprio 
telescópio em órbita.
e) não se justifica, pois a ação da força peso implica 
a ação de uma força de reação contrária, que não 
existe naquele ambiente. A massa do telescópio 
poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume.
N
A
S
A
66
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tema 7 • gravitação universal 67
De acordo com a terceira lei de Kepler, podemos 
escrever para o satélite A: T KRA A=
2 3
E para o satélite B: T KRB B=
2 3
Dividindo membro a membro, resulta:
AT
T
R
R
A
B B
2 2
=e fo p
 Substituindo os dados do enunciado, temos:
A A A
B BB
T
T
R
R
T
T
T
T6 216 6 6] ]
2 3 2
= = =e d eo n o
Alternativa d.
Ex
er
cí
ci
o 
3
Com base na segunda lei de Kepler, podemos determinar 
a relação entre tAB e tBC , e, com base na lei da gravitação 
universal, determinar os sentidos de FA e FB . Consideradas 
essas condições, observe a figura:
C
B
D
Estrela
Área AB; tAB
Área BC; tBC
A
FB FA
Como a estrela está mais próxima de A, temos: 
área BC 2 área AB. Portanto, pela segunda lei de Kepler, 
devemos ter tBC . tAB, uma vez que a velocidade de 
translação do planeta diminui à medida que ele se 
afasta da estrela, já que 7AB BC
$ $
. Como a resultante das 
forças é centrípeta, FA e FB apontam para o centro da 
estrela. 
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
2
 I. Incorreta. De acordo com o texto gTerra = gGlieseg , logo:
 R
GM
R
GM
2 2
Terra
Terra
Glieseg
Glieseg
= ] R2Glieseg = M
M
Terra
Gliesegf p R 2Terra ]
 ] R2Glieseg = M
M3
Terra
Terraf p R 2Terra ] RGlieseg 7 1,7 RTerra
 Portanto: RGlieseg . RTerra
 II. Correta. De acordo com o texto vGlieseg = 1,5 vTerra , logo:
 r
GM
Glieseg
Gliese = 1,5 r
GM
Terra
Sol ] MGliese = 2,25 r
r
Terra
Gliesegd n MSol
 Como rGlieseg = 0,2 rTerra , obtemos:
 MGliese = 2,25 
,
r
r0 2
Terra
Terrae o MSol ] MGlieseg = 0,45 MTerra
 Portanto, a estrela Gliese possui massa inferior à 
metade da massa solar.
 III. Correta. O texto afirma que o planeta 581g recebe 
luz constantemente de um lado e o outro permanece 
na escuridão, exibindo, portanto, a mesma face para 
a estrela. O fenômeno descrito só será possível caso 
a velocidade angular de rotação coincida com a 
velocidade angular de translação.
 IV. Incorreta. De acordo com o texto vGlieseg = 1,5 vTerra , 
logo:
 hGlieseg rGlieseg = 1,5 hTerra rTerra
 Como rGlieseg = 0,2 rTerra , obtemos:
 hGlieseg = 1,5 hTerra , r
r
0 2 Terra
Terrae o ] hGlieseg = 7,5 hTerra
 Portanto: hGlieseg 2 hTerra
Alternativa c.
Ex
er
cí
ci
o 
4
A frase não se justifica, pois a única força que age no 
telescópio é a força peso exercida pela gravidade gerada 
pela Terra, que também é responsável por manter 
o telescópio em órbita. O que ocorre é apenas uma 
sensação de ausência de peso.
Alternativa d.
Ex
er
cí
ci
o 
5
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 Qual passa a ser o módulo da aceleração da gravidade 
que age em um objeto (gobj.) levado a uma altura da 
superfície da Terra igual ao raio do próprio planeta, 
quando comparado com o módulo de gs?
a) gobj. = gs
b) gobj. = 0gs
c) gobj. = 
g
4
s
d) gobj. = 4gs
 9 (Enem) A lei da gravitação universal, de Isaac Newton, 
estabelece a intensidade da força de atração entre 
duas massas. Ela é representada pela expressão:
F = 
d
Gm m
2
1 2
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, 
d à distância entre eles, G à constante universal da 
gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o 
outro. O esquema representa as trajetórias circula-
res de cinco satélites, de mesma massa, orbitando 
a Terra.
Terra
A
B
E
C
D
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a 
Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?
a) 
A
B
C
D
E
Tempo
Fo
rç
a
b) 
E
D
C
B
A
Tempo
Fo
rç
a
c) 
E
D
C
B
A
Tempo
Fo
rç
a
d) 
E
D
C
BA
Tempo
Fo
rç
a
e) 
A
B
C
DE
Tempo
Fo
rç
a
 6 (Vunesp) Considere um corpo na superfície da 
Lua. Pela segunda Lei de Newton, o seu peso é 
definido como o produto de sua massa m pela 
aceleração da gravidade g. Por outro lado, pela lei 
da gravitação universal, o peso pode ser interpre-
tado como a força de atração entre o corpo e a 
Lua. Considerando a Lua como uma esfera de raio 
R = 2 $ 106 m e massa M = 7 $ 1022 kg, e sendo a constan-
te de gravitação universal G = 7 $ 10-11 $
kg
N m
2
2
, calcule:
a) a aceleração da gravidade na superfície da Lua;
b) o peso de um astronauta, com 80 kg de massa, na 
superfície da Lua.
 7 (UFPA) Em julho de 2005, três astrônomos anunciaram 
à União Internacional de Astronomia a descoberta de 
um novo planeta, reconhecido como o mais distante 
do Sistema Solar, localizado na constelação de Cetus, 
chamado tecnicamente de 2003 UB313. A maior dis-
tância deste planeta ao Sol é 97 ua (1 ua - 1,5 $ 108 km, 
que representa a distância média Terra-Sol), enquanto 
Plutão tem como maior distância 49 ua. A massa do 
novo planeta é de aproximadamente 1,7 $ 1022 kg e a 
de Plutão é de aproximadamente 1,3 $ 1022 kg. O tempo 
para o novo planeta completar sua órbita em torno do 
Sol é de 560 anos, enquanto o de Plutão é de 250 anos.
A2
B1
B2
UB313
2003
Sol
Plutão
A1
 Considerando as informações do texto e a figura aci-
ma, que representa as órbitas dos planetas, julgue as 
afirmações:
 I. A força gravitacional entre o novo planeta e o Sol 
é menor que a força gravitacional entre Plutão e 
o Sol, quando ambos se encontram no afélio.
 II. Se no trecho A1A2 o novo planeta gasta o mesmo 
tempo que no trecho B1B2, então sua velocidade 
de translação em A1A2 é maior do que em B1B2.
 III. Como o novo planeta descreve uma trajetória 
elíptica em torno do Sol, pode-se concluir que ele 
obedece à primeira lei de Kepler.
 IV. O período do novo planeta é 2,24 vezes maior que 
o período de Plutão.
 Estão corretas apenas:
a) I e IV
b) I, III e IV
c) II e III
d) I e II
e) II, III e IV
 8 (UFU-MG) Um objeto sobre a superfície da Terra tem 
como força de atração gravitacional seu próprio peso, 
desde que desprezemos a ação do Sol, da Lua e dos 
demais planetas, assim como a própria rotação do 
planeta. Considere que o módulo da aceleraçãoda 
gravidade na superfície da Terra é gs e que o raio de 
nosso planeta é R.
68
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tema 7 • gravitação universal 69
A afirmação I é correta, já que a força gravitacional é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre os corpos. UB313 tem a massa parecida com a de 
Plutão, mas a distância ao Sol é praticamente o dobro 
da de Plutão. 
A afirmação II é incorreta, pois a distância percorrida no 
trecho A A1 2 é menor do que no trecho B B1 2.
A afirmação III é correta, e corresponde ao enunciado 
da primeira lei. 
A afirmação IV é correta pelo seguinte resultado: 
560|250 = 2,24
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
7
a) A aceleração da gravidade na superfície da Lua pode 
ser calculada como segue:
 gLua = R
GM
2 = $
$ $ $
( )2 10
7 10 7 10
6 2
11 22-
 = 
$
$
4 10
49 10
12
11
 ` gLua = 1,225 m/s
2
b) Segundo o enunciado:
 Pastr. = mastr. $ gLua ] Pastr. = 80 $ 1,225
 ` PLua = 98 N
Ex
er
cí
ci
o 
6
Sendo R o raio da Terra, temos:
gs = R
GM
2
gobj. = ( )R
GM
R
GM
42 2 2
=
Logo: gobj. = 
g
4
s
Alternativa c.
Ex
er
cí
ci
o 
8
Ex
er
cí
ci
o 
9
Considerando constantes as massas da Terra e dos 
cinco satélites e considerando a intensidade da força F 
inversamente proporcional ao quadrado da distância d, 
quanto mais próximo o satélite estiver do centro da Terra, 
maior será a força de atração entre eles. Considerando 
também que as órbitas são circulares, os satélites sempre 
estarão à mesma distância do centro da Terra, por isso a 
força de atração entre a Terra e os satélites será constante 
para cada órbita circular.
Alternativa b.
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
3,6 $ 104 km. Nessas condições, os valores aproximados 
da velocidade e da aceleração centrípeta a que está 
submetido são, respectivamente:
a) 2,6 km/s; 1,9 $ 10-4 km/s2
b) 5,0 $ 108 km/s; 1,4 $ 104 km/s2
c) 2,6 km/s; 7,4 $ 10-3 km/s2
d) 5,0 $ 108 km/s; 1,9 $ 10-4 km/s2
e) 15,0 km/s; 5,4 $ 105 km/s2
 12 (UEL-PR) O planeta Vênus descreve uma trajetória 
praticamente circular de raio 1,0 $ 1011 m ao redor do 
Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0 $ 1024 kg e seu 
período de translação 224,7 dias (2,0 $ 107 segundos), 
pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol sobre 
Vênus é, em newtons, de aproximadamente:
a) 5,0 $ 1022 c) 2,5 $ 1015 e) 2,5 $ 1011
b) 5,0 $ 1020 d) 5,0 $ 1013 
 10 (PUC-MG) Dois corpos celestes de massas m1 e m2 estão 
separados por uma distância d. O módulo da força 
de atração gravitacional entre eles é F. Reduzindo-
-se a distância para d3 , a nova força gravitacional é:
a) F3 c) 4F e) 3F
b) F4
9 d) 9F
 11 (UFF-RJ) Os satélites artificiais são utilizados para diver-
sos fins, dentre eles, a comunicação. Nesse caso, adota-
-se, preferencialmente, uma órbita geoestacionária, ou 
seja, o satélite gira ao redor da Terra em um tempo igual 
ao da rotação da própria Terra, não modificando sua 
altitude nem se afastando do Equador. O Brasilsat B4 é 
um satélite de telecomunicações que se encontra em 
uma órbita geoestacionária de raio, aproximadamente, 
70
Pela lei da gravitação universal, temos:
F = G 
m
d2
1 2m
Com d3 , a intensidade da nova forma Fe será:
Fe = 
d
G m m
3
2
1 2
d n
 = 9 $ G 
d
m m
2
1 2
Como F = 
d
G m
2
1 2m ] Fe = 9F
Alternativa d.
Ex
er
cí
ci
o 
10
A velocidade do satélite em órbita geoestacionária pode 
ser obtida pela relação: v = hR ] v = T
2s $ R,
em que T = 24 h (ou 86.400 s), já que o período de 
rotação do satélite deve ser o mesmo que o da Terra em 
torno do seu próprio eixo.
Então: v = T
2s $ R ] v = .86 400
2s $ 3,6 $ 104
Adotando s = 3,14, obtemos: v = 2,6 km/s
Para o cálculo da aceleração centrípeta, utilizamos a relação:
acp = R
v2 ] acp = $,
( , )
3 6 10
2 6 2
4 ` acp - 1,9 $ 10
-4 km/s2
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
11
Nas condições do enunciado, a única força que age sobre 
Vênus é a da atração gravitacional (F), que corresponde à 
própria resultante centrípeta:
F = Fcp ] F = mVênus $ acp ] 
] F = mVênus $ h
2R ] F = mVênus T
2s 2d n $ R
Substituindo os devidos valores e adotando s = 3,14, temos:
F = 5 $ 1024 $ 
$
$ ,
2 10
2 3 14
7
2
e o $ 1011 ` F - 5 $ 1022 N
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
12
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