Ebook Fisica II

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FÍSICA II
CARMEM MAGELA A. GRANADA
2FÍSICA II
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pelo Núcleo de Educação a 
Distância (NEAD)
Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Jaqueline Boeira
Revisora
Caiani Martins
CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB 3
Cargas Elétricas 4
Lei de Coulomb 5
CAMPO ELÉTRICO 10
Linhas de Campo Elétrico 11
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA CARGA PONTUAL 12
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO 13
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA 14
POTENCIAL ELÉTRICO 17
Superfícies Equipotenciais 18
CAPACITÂNCIA 22
Capacitor de Placas paralelas 24
Associação de Capacitores 24
CORRENTE E RESISTÊNCIA 29
Resistência 31
Lei de Ohm 32
Potência em circuitos elétricos: 35
CIRCUITOS 40
CAMPO MAGNÉTICO 46
Linhas de campo magnético 48
Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente 50
CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES 51
Indução e Indutância 55
REFERÊNCIAS 58
3FÍSICA II
CARGA ELÉTRICA E 
LEI DE COULOMB
No nosso cotidiano estamos acostumados a manusear 
diversos aparelhos que dependem de fenômenos elétricos 
para funcionar. Estes aparelhos podem ser os mais simples 
como as lâmpadas incandescente até os mais complexos como 
computadores, videogames, etc. Como percebemos na nossa 
vida moderna a eletricidade está presente em quase todos os 
aparelhos que nos cercam. Na natureza a eletricidade tam-
bém está presente em muitos fenômenos, como exemplo, os 
relâmpagos. 
Você já pensou por que motivo podemos produzir fagu-
lhas quando esfregamos os pés em um tapete e aproximamos 
a mão de uma maçaneta? 
Você já pensou que a carga eletrostática da sua mão 
pode destruir um microcircuito?
Depois de ler este capítulo esperamos que você seja capaz 
de responder não só estas questões, mas inúmeras questões 
que envolvam o fenômeno da eletricidade estática e a lei de 
Coulomb.
4FÍSICA II
Cargas Elétricas
Eletrostática é a parte da eletri-
cidade que estuda as propriedades e o 
comportamento de cargas elétricas em 
repouso ou se movendo muito lentamen-
te.
Não sabemos exatamente aonde 
foram observados as primeiras manifes-
tações sobre o fenômeno da eletrostática, 
mas, com certeza, as primeiras descobertas 
descritas foram realizadas pelos gregos. 
Thales de Mileto, filósofo e matemático 
que viveu na Grécia antiga observou que 
um pedaço de âmbar atritado numa pele 
de gato adquiria propriedades de atrair 
corpos leves. 
Nós podemos observar esse fenôme-
no de atração ou repulsão com um exem-
plo muito simples: quanto atritamos um 
pente no cabelo e depois aproximamos a 
pedacinhos de papéis. Estes pedacinhos 
de papéis são atraídos pelo pente. Este 
exemplo nos mostra que todos os corpos 
possuem cargas elétricas. 
Para compreendermos melhor o 
processo de eletrização dos corpos, vale 
a pena lembrar da estrutura atômica do 
átomo. O átomo é formado por nêutrons, 
prótons e elétrons. Os nêutrons possuem 
carga elétrica zero e os prótons possuem 
carga elétrica positiva, ambos ocupando a 
sua região central. Já os elétrons possuem 
carga elétrica negativa e ocupam a região 
mais periférica. O quadro abaixo descreve 
as principais características dos prótons, 
nêutrons e elétrons.
Quando os corpos possuem as 
mesma quantidade de cargas elétricas 
denominamos de corpo neutro, quando 
existe um desequilíbrio de cargas elétri-
cas o corpo está carregado.
Nos corpos eletrizados (carregados) 
surge uma força elétrica que poderá ser de 
repulsão ou atração dependendo dos sinais 
das cargas elétricas. Podemos observar 
esta força experimentalmente no exemplo 
entre pente e os papéis. Neste caso, a for-
ça elétrica foi de atração. Temos então o 
surgimento de uma importante revelação:
Cargas de mesmo sinal se repelem 
e cargas de sinais opostos se atraem.
Temos ainda que a carga elétrica é 
quantizada, fisicamente isto significa que a 
carga só pode assumir certos valores como 
mostra a equação abaixo
Onde Q é a carga elétrica, n é o nú-
mero de elétrons e e, é a carga elementar 
que tem como valor aproximado:
A unidade de carga Q no Sistema 
Internacional (SI) é o Coulomb que abre-
via-se como C.
Para transformarmos a unidade de 
carga no Sistema Internacional (Coulomb), 
temos alguns fatores de conversão no qua-
dro abaixo:
Partícula Massa (kg) Carga Localização
Prótons 1,67*10-27 +1 Núcleo
Nêutrons 1,67*10-27 0 Núcleo
Elétrons 9,11*10-31 -1 Eletrosfera
5FÍSICA II
milicoulomb mC 10-3C
microcoulomb µC 10-6C
nanocoulomb nC 10-9C
picocoulomb pC 10-12C
Não esqueça corpos neutros podem 
ser eletrizados, ou seja, os corpos podem 
ficar com um desequilíbrio entre o número 
de prótons e elétrons. Este desequilíbrio 
originará o aparecimento de uma força 
elétrica que pode ser de repulsão ou atra-
ção que depende diretamente do sinal das 
cargas elétricas.
O primeiro processo de eletrização 
conhecido foi a eletrização por atrito. 
Neste processo atritamos dois corpos de 
materiais diferentes. No final do processo 
teremos dois corpos carregados com cargas 
de sinais diferentes.
Temos ainda o processo de eletri-
zação por contato e o processo de eletri-
zação por indução. O primeiro acontece 
quando colocamos dois corpos em contato, 
um deve estar carregado e o outro neutro, 
no final do procedimento teremos dois 
corpos carregados com cargas elétricas de 
mesmo sinal. Já no processo de indução 
um corpo neutro é colocado próximo de 
um corpo eletrizado, sem que haja contato 
entre eles, o corpo neutro se eletriza com 
sinal contrário do indutor, quando afastado 
do indutor volta ao seu estado normal.
A força elétrica que surge nos corpos 
eletrizados será estudada detalhadamente 
na próxima seção.
Lei de Coulomb
Charles Augustin de Coulomb 
(1736-1806) estudou a força de interação 
(repulsão ou atração) entre duas partículas 
carregadas em 1784. Ele usou uma balan-
ça de torção que é um aparelho capaz de 
medir torques muito fracos.
A lei de Coulomb, sobreviveu a 
todos os testes experimentais a que foi 
submetida, sendo válida até mesmo na 
visão do mundo microscópico, no interior 
dos átomos, onde descreve corretamente 
a força de atração entre o núcleo positivo 
6FÍSICA II
e os elétrons negativos. Ela explica cor-
retamente as forças que unem os átomos 
para formar as moléculas e as forças que 
unem os átomos e moléculas para formar 
sólidos e líquidos. 
A lei de Coulomb que permite cal-
cular a força eletrostática associada à carga 
elétrica dos objetos é descrita como:
O módulo da força elétrica entre 
duas cargas puntiformes é diretamente 
proporcional ao produto das cargas e 
inversamente proporcional ao quadrado 
da distância entre elas.
Em termos matemáticos a lei de 
Coulomb é dada pela equação:
No Sistema Internacional de Medi-
das (SI) a unidade de carga elétrica utili-
zada é o Coulomb, a distância entre duas 
cargas (d) é o metro e a força elétrica é 
escrita em Newton como aparece no qua-
dro abaixo:
Abaixo apresentamos alguns exer-
cícios sobre a lei de Coulomb que pro-
porcionará uma maior compreensão sobre 
este tópico.
Exemplo 1: Calcule a força de atra-
ção entre o elétron e o próton no átomo 
de hidrogênio.
Dados: carga do elétron = carga do 
próton = 1,6 x 10-19 C e distância entre o 
elétron e o próton = 5.3 x 10-11m
Resolução:
Exemplo 2: Estando duas cargas 
elétricas Q idênticas separadas por uma 
distância de 4m, determine o valor destas 
cargas sabendo que a intensidade da força 
entre elas é de 200 N.
Dados: Força elétrica 200N e Dis-
tância: 200m
Cargas de mesmo sinal de repelem. 
Força elétrica de repulsão.
Força elétrica (F) N (Newton)
Carga elétrica (q) C (Coulomb)
Distância (d) m (metros)
Constante eletrostática (k)
8,99. 10-9 (N.m2)/C2 no 
vácuo
7FÍSICA II
Resolução: Exemplo 3: Duas partículaseletri-
zadas se repelem com 54N de força. Se 
duplicarmos uma das cargas e triplicarmos 
a separação entre essas cargas, qual o valor 
da nova força elétrica?
Resolução:
Lembrando F’ é 54 N e substituindo 
este resultado na equação acima teremos:
Exercícios:
1. Uma barra carregada atrai fragmentos de cortiça¸ que, 
assim que se tocam, são violentamente repelidos. Explique 
a causa disto.
2. Qual deve ser a distância entre duas cargas puntiformes 
q1= 26 µC e q2= −47 µC para que o módulo da força ele-
trostática entre elas seja de 5.7 N? 
3. Qual seria a força eletrostática entre duas cargas de 1,00 
C separadas por uma distância de 1,00 m e 1,00 km, se tal 
configuração pudesse ser estabelecida? 
4. O módulo da força eletrostática entre dois íons idênticos 
que estão separados por uma distância de 5,0 x 10-10 m 
vale 3,7 x10-9 N. a) Qual a carga de cada íon? b) Quantos 
elétrons estão “faltando” em cada íon (o que dá ao íon sua 
carga não equilibrada)?
5. Uma carga puntiforme de +3.0 × 10−6C dista 12 cm de 
uma segunda carga puntiforme de −1.5 × 10−6C. Calcular o 
módulo da força eletrostática que atua sobre cada carga.
6. Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha 
reta, estão separadas pela distância d. As cargas q1e q2 são 
mantidas fixas. A carga q3, que está livre para mover-se, 
encontra-se em equilíbrio (nenhuma força eletrostática 
líquida atua sobre ela). Determine q1 em termos de q2.
 
7. A carga q1 = 25 nC está na origem, a carga q2 = -15 nC 
está no eixo x em x = 2,0 m e a carga q0 = 20 nC está no 
ponto x = 2,0 m e y = 2,0 m, como mostrado na figura. 
Determine: a) o módulo, a direção e o sentido da força 
elétrica resultante em q0.
 
8. Dois elétrons no vácuo estão separados por 1 A° (1 Angstrom 
10-10m). Determinar as forças eletrostáticas de Coulomb 
entre as cargas.
9. Duas esferas igualmente carregadas, no vácuo, repelem-se 
mutuamente quando separadas a uma certa distância. 
Duplicando-se a distância entre as esferas, a força de 
repulsão entre elas torna-se:
10. Sobre a lei de Coulomb pode-se afirmar que é:
I. proporcional às cargas das partículas; II. Proporcional 
às massas das partículas;
III. proporcional ao quadrado da distância entre as partículas;
IV. inversamente proporcional à distância entre as partículas.
Das afirmações acima
a) somente I é correta;
b) somente I e III são corretas;
c) somente II e III são corretas;
d) somente II é correta;
e) somente I e IV são corretas.
d) somente II é correta;
e) somente I e IV são corretas.
Respostas:
1. Eletrização por contato
2. 1,4m
3. a) 8,99 x 109N; b) 8,99 x 103N
4. a) 3,2 x 10-19 C; b) 2 elétrons
5. 2,81N
6. Q1=4Q2
7. 4 x 10-7 N, =-35
8. 23,1 x 10-9 N
9. 4 vezes menor
10. a
10FÍSICA II
CAMPO ELÉTRICO 
Porque as vezes saem faíscas das 
extremidades de fios metálicos?
Para compreendermos melhor a definição de campo 
elétrico é interessante lembrarmos do conceito de campo 
gravitacional visto anteriormente em Física I. Se você erguer 
seu braço e largar seu lápis, este caíra devido a ação do campo 
gravitacional da Terra. Ou seja só existe força da gravidade 
porque existe um campo gravitacional. O mesmo acontece 
ao redor de corpos eletrizados, nesta região existe o campo 
elétrico, podemos comprovar esta afirmação colocando uma 
carga de prova neste local. A carga de prova não modifica o 
campo elétrico existente, mas experimenta uma força elétrica. 
Dessa forma, o campo elétrico é descrito como:
No Sistema Internacional (SI) o campo elétrico é medido 
em Newton/Coulomb (N/C), a força elétrica em Newton (N) 
e a carga de prova q0 Coulomb (C).
11FÍSICA II
Linhas de Campo Elétrico
 Como vimos ao redor de corpos eletrizados existe o 
campo elétrico que é invisível aos nossos olhos, então como 
vamos representá-lo?
 Vamos representá-lo através das linhas de força do campo 
elétrico.
 Observando a figura das linha de força abaixo notamos:
• que cada ponto do espaço é associado a um vetor campo 
elétrico ;
• que existe uma importante relação entre o vetor campo 
elétrico e as linhas de campo: as linhas de força são tan-
gentes ao vetor campo elétrico em cada ponto estudado;
• que o desenho das linhas de força numa certa região nos 
dá ideia de como varia, a direção e o sentido do vetor 
, na região considerada;
• que o número de linhas por unidade de área é propor-
cional ao módulo do campo elétrico, ou seja, o maior 
espaçamento entre as linhas mostra um menor valor para 
o campo elétrico. 
Existe uma simples experimento realizado em sala de 
aula que permite que o aluno visualize as linhas de campo 
elétrico. Neste experimento é aplicado uma diferença de poten-
cial permitindo que as sementes se alinhem ao campo elétrico 
(figura abaixo). 
Assim, surge a importante regra:
As linhas de campo elétrico se afastam das cargas 
positivas e se aproximas das cargas negativas.
12FÍSICA II
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO 
POR UMA CARGA PONTUAL
 Para calcularmos o campo elétrico 
criado por uma carga pontual a uma certa 
distância r de um ponto escolhido, usamos 
a seguinte equação matemática:
Neste caso Q é a carga que origina 
o campo elétrico. 
Abaixo apresentamos alguns exer-
cícios sobre o campo elétrico.
Exemplo 1: Qual das seguintes 
afirmações sobre as linhas de um cam-
po elétrico devido a uma distribuição de 
cargas está correta? (Pode haver mais de 
uma resposta)
A. Quanto mais próximas as linhas es-
tiverem de entre si, mais forte é o 
campo elétrico.
B. Elas apontam no sentido de se afas-
tarem das cargas negativas.
C. Elas nunca podem se cruzar.
D. As cargas devem mover-se ao longo 
dessas linhas de campo.
E. Se a força elétrica sobre um elétron 
aponta para cima em um ponto, a 
direção do campo elétrico é para 
baixo naquele ponto.
Resolução
Para resolver esta questão observe 
as linhas de campo na figura que foi dada 
anteriormente no texto. Resposta correta: 
A, C e E.
Exemplo 2: Uma carga elétrica pun-
tiforme com 3,0 μC, que é colocada em 
um ponto P do vácuo, fica sujeita a uma 
força elétrica de intensidade 3 N. O campo 
elétrico nesse ponto P tem intensidade de:
Resolução:
 
Exemplo 3: As cargas puntiformes 
q1 = 10 μC e q2 = 44 μC estão fixas no 
vácuo respectivamente nos pontos A e B. 
Determine o campo elétrico resultante 
no ponto P.
Resolução:
• Primeiro desenhar os vetores campo 
elétrico devido a carga q1 e q2.
• Lembrar que as linhas de campo 
elétrico se afastam das cargas po-
sitivas e se aproximam das cargas 
negativas.
2
||
d
QkE =
13FÍSICA II
Teremos então:
Exemplo 4: Em qual ponto no espa-
ço, na figura a seguir, o modulo do campo 
elétrico resultante e zero?
Resolução:
 Encontrar geometricamente em 
qual ponto o campo elétrico resultante 
será nulo:
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO 
POR UM DIPOLO ELÉTRICO
Na figura ao lado temos um par de 
cargas como mesmo valor e com sinais 
contrários separadas por uma certa distân-
cia d, a esta configuração damos o nome 
de dipolo elétrico.
Para calcularmos o campo elétrico 
em um ponto P no eixo do dipolo, a uma 
certa distância Z que vai do ponto P até 
o centro entre as duas cargas, conforme 
mostra a figura, usamos a equação:
Onde p é chamado momento dipolar elétrico. 
14FÍSICA II
Exercício 1: Um dipolo elétrico, 
composto de cargas de módulo 2.10-6 
C separadas por 0,05, está imerso num 
campo elétrico de 2.100 N/C. Qual é o 
módulo do momento de dipolo elétrico?
Resolução:
CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO 
POR UMA LINHA DE CARGA
Este é um caso onde vamos conside-
rar a distribuição de carga como contínua. 
Para isso utilizamos a densidade de cargas. 
Neste caso usamos a densidade linear de 
carga cuja umidade no sistema inter-
nacional é o .
Na figura observamos os seguintes 
parâmetros: R é o raio do anel; ds é um 
elemento do anel; z indica a distância en-
tre o anel e o ponto P em que se calcula 
o campo; r é a distância do elemento ds 
ao ponto P; é o ângulo entre os vetores 
r e z e dE éo campo elétrico produzido 
pelo elemento ds.
O campo elétrico produzido por um 
anel carregado positivamente sobre o eixo 
de simetria do anel denominado como eixo 
Z é calculado através da equação:
As variáveis das equações foram já 
foram citadas acima no texto.
Exercícios:
1. Na figura abaixo, o espaçamento entre as linhas do campo 
elétrico à esquerda é o dobro do espaçamento entre as 
linhas à direita. (a) Sabendo-se que o módulo do campo 
em A é de 40 N/C, que força atua sobre um próton em A? 
(b) Qual é o módulo do campo em B.
 
2. Qual deve ser o módulo de uma carga puntiforme escolhida 
de modo a criar um campo elétrico de 1,0 N/C em pontos 
a 1,00 m de distância?
3. Qual é o módulo de uma carga puntiforme cujo campo 
elétrico, a uma distância de 50 cm, tem módulo igual a 
2,0 N/C?
4. Na figura abaixo, quatro cargas estão localizadas nos vér-
tices de um quadrado e mais quatro cargas se encontram 
nos pontos médios dos lados do quadrado. A distância 
entre cargas adjacentes sobre o perímetro do quadrado é 
d. Qual o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico 
no centro do quadrado?
 
5. Duas cargas iguais mas de sinais opostos (de módulo 2,0 
x 10-7 C) são mantidas a uma distância de 15 cm uma da 
outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de 
E no ponto situado a meia distância entre as cargas? (b) 
Que força (módulo, direção e sentido) atuaria sobre um 
elétron colocado nesse ponto?
6. Na figura abaixo, lWocalize o ponto (ou os pontos) onde 
o campo elétrico resultante é nulo. (b) Esboce, qualitati-
vamente, as linhas do campo elétrico.
 
7. Duas cargas q1 =2,1 x 10-8 C e q2 = -4,0 q1 estão fixas a uma 
distância de 50 cm uma da outra. Determine, ao longo da 
linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o 
campo elétrico é zero.
8. Duas cargas puntiformes de módulos q1 = 2 x10
-7 C e q2 = 
8,5 x 10-8 C estão separadas por uma distância de 12 cm. (a) 
Qual o módulo do campo elétrico que cada carga produz 
no local da outra? (b) Que força elétrica atua sobre cada 
uma delas?
9. Qual é a aceleração de um elétron num campo elétrico 
uniforme de 1,4 x106 N/C? b) Quanto tempo leva para o 
elétron, partindo do repouso, atingir um décimo da ve-
locidade da luz? c) Que distância ele percorre? Suponha 
válida a mecânica Newtoniana.
10. Quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas q1=q2 
=+5e, q3=+3e e q4=-12e. A distância =5 µm. Qual o modulo 
do campo elétrico no ponto P?
 
Respostas:
1. a) 6,4 x 10-18 N; b) 20 N/C
2. 0,111 nC
3. 56 x 10-12 C
4. k (3q/d2), apontando diretamente para a carga -2Q.
5. a) 6,4x105 N/C em direção à carga negativa; b) 1x10-13 N em 
direção à carga positiva.
6. 1,7a a direta da carga + 2Q.
7. 50 cm de q1 e 100 cm de q2.
8. a) 1,25 x 105 N/C; 0,53 x 105 N/C; b) 1 x 10-2 N
9. a) 2,46 x 1017 m/s2; b) 0,122 x 10-9 s; c) 1,83 x 10-3 m 
17FÍSICA II
POTENCIAL 
ELÉTRICO
Caros alunos na nossa sociedade moderna tornou-se 
indispensável o uso da energia elétrica. Vemos isto claramente 
quando assistimos televisão, jogamos vídeo game ou simples-
mente tomamos um banho quente usando um chuveiro elétrico.
Um corpo eletrizado está imerso em um campo elétri-
co, por esse motivo possui uma energia potencial elétrica. A 
energia potencial elétrica é a energia de um objeto carregado 
na presença de um campo elétrico externo. Quando este corpo 
se desloca, o campo elétrico exerce uma força que realiza um 
trabalho sobre o corpo.
A variação da energia potencial elétrica é igual ao ne-
gativo do trabalho realizado sobre o corpo: 
Porque os pássaros não levam choque 
quando estão nos fios da rede elétrica?
WUUU if −=−=∆
18FÍSICA II
O trabalho é descrito como:
O potencial elétrico é definido como 
a energia potencial por unidade de carga 
elétrica ou o trabalho por unidade de carga 
elétrica: 
Já a diferença de potencial vai ser 
escrita como:
A unidade no sistema internacional 
(SI) do potencial é escrita como joule por 
coulomb, denominada volt (V): 1 V = 1 
J / C.
Já para calcularmos o potencial cria-
do por uma carga pontual utilizamos:
Relembrando que d é a distância da 
carga que gera o campo elétrico até o ponto 
estudado. Se tivermos um grupo de car-
gas pontuais efetuaremos o somatório dos 
potencias como mostra a equação abaixo:
Superfícies Equipotenciais
Superfícies Equipotenciais são su-
perfícies onde os pontos vizinhos possuem 
o mesmo potencial. 
Em relação as superfícies equipo-
tenciais devemos observar que o trabalho 
realizado numa superfície equipotencial 
é zero e as superfícies equipotenciais são 
sempre perpendiculares as linhas as do 
campo elétrico.
Exemplo 1: Um balão de brinquedo 
cheio de gás hélio, possui uma carga de 
q:-3,5.10-8C, sobe verticalmente no ar por 
uma distância d:400m, a partir de uma 
posição inicial i até uma posição final f. 
O campo elétrico que normalmente existe 
na atmosfera próxima à superfície da Terra 
tem módulo E:150N/C e está direcionado 
para baixo. Qual a diferença de energia 
potencial elétrica do balão entre as posi-
ções i e f.
19FÍSICA II
O sinal negativo mostra que a ener-
gia potencial do balão (carregado com car-
ga negativa), diminui à medida que ele 
sobe, movendo-se no sentido oposto ao 
do campo elétrico.
Exemplo 2: Num campo elétrico, 
transporta-se uma carga q de 5 μ C de 
ponto X até um ponto Y. O trabalho da 
força elétrica é de -0,8 μ J. Determine a 
ddp entre os pontos X e Y.
Exemplo 2: Observando o desenho 
abaixo, encontre a expressão que represen-
ta o potencial elétrico no ponto P.
Exemplo 3: Considere uma carga Q 
= -2 μC fixa num ponto O do espaço. Os 
pontos A, B e C distam, respectivamente, 
6,0 m, 1,0 m e 4,0 m de O. A carga está 
colocada no vácuo, calcular o potencial 
elétrico no ponto C.
Exemplo 4: Considerando a figura 
a baixo calcule o potencial no ponto P.
 
Exercícios:
1. Na figura abaixo um elétron desloca-se de A para B. Nesse 
deslocamento o campo elétrico realiza um trabalho de 
3,96 × 10-19 J. Quais são as diferenças de potencial elétrico:
 a) VB− VA 
 b) Vc− VA 
 c) Vc− VB
2. Fazendo V = 0 no infinito, qual será o potencial no ponto 
P da figura ao lado devido às quatro cargas presentes? 
Seja q= 5,00 fC e d = 4,00 cm. Nota: 1 fC = 10-15 C.
 
3. Uma partícula de carga 7,5 µC é libertada a partir do 
repouso no eixo dos xx, no ponto x = 60 cm. A partícula 
começa a mover-se devido à presença de uma carga fixa 
Q na origem. Qual a energia cinética da partícula após se 
deslocar 40 cm se :
a) Q = 20 µC 
b) Q = −20 µC.
4. Duas cargas elétricas Q1=2µC e Q2 =-4µC, estão localizadas 
em dois vértices de um triângulo equilátero de lado 0,3m. 
Determine o potencial elétrico no terceiro vértice do 
triangulo. O meio e o vácuo.
5. Sabendo-se que VAB=VA-VB =40V é a ddp entre dois pontos 
A e B, e que A está mais próximo da carga fonte de 
campo, podemos afirmar que:
a) a carga fonte é positiva.
b) o sentido do campo é de A para B.
c) o potencial de B é menor que o potencial de A.
d) o potencial B é nulo.
e) a carga fonte é positiva.
6. Uma partícula eletrizada com carga q = 20uC e massa 2g 
é abandonada em repouso, no vácuo (k = 8,99.109), num 
ponto A distante 2,0m de outra carga Q = 20uC fixa. A 
velocidade da partícula, em m/s, quando passa pelo ponto 
B, distante 2,0m de A é?
 
7. Uma partícula eletrizada com carga q = 10uC e massa 3g 
é abandonada em repouso, no vácuo (k = 8,99.109), num 
ponto A distante 3,0m de outra carga Q = 10uC fixa. A 
velocidade da partícula, em m/s, quando passa pelo ponto 
B, distante 3,0m de A é?
 
8. Vamos supor que temos uma partícula carregada com 
carga q = 4 µC e que ela seja colocada em um ponto A de 
um campo elétrico cujo potencial elétrico seja igual a 60 V.
Se essa partícula ir, espontaneamente, para um ponto B, 
cujo potencial elétrico seja 20 V, qual seráo valor da energia 
potencial dessa carga quando ela estiver no ponto A e poste-
riormente no ponto B?
9. Suponhamos que uma carga elétrica seja deixada em 
um ponto A de um campo elétrico uniforme. Depois de 
percorrer uma distância igual a 20 cm, a carga passa pelo 
ponto B com velocidade igual a 20 m/s. Desprezando a 
ação da gravidade, calcule o trabalho realizado pela força 
elétrica no descolamento dessa partícula entre A e B. 
(Dados: massa da carga m = 0,4 g e q = 2 µC).
Respostas:
1. a) 2,46V b) 2,46V c) 0
2. 5,63 .10-4V
3. a) 0,9 b) 4,5J
4. -6.104V
5. e
6. v = 29,98 m/s
7. v=99.9 m/s
8. Epot A = 2,4 .10-4J , Epot B = 8 .10-5 J
9. W=8.10-2jW
22FÍSICA II
CAPACITÂNCIA
Capacitores ou condensadores são elementos elétricos 
que possuem a função de armazenar carga elétrica. Essa quan-
tidade de carga armazenada recebe o nome de capacitância. 
Os capacitores são constituídos essencialmente por dois 
condutores separados por um isolante. Os condutores são 
chamados armaduras (ou placas) do capacitor e o isolante 
é o dielétrico do capacitor que poder o vidro, a parafina ou 
próprio ar.
A capacitância do capacitor depende basicamente da 
geometria do capacitor e do meio onde ele se encontra, sendo 
descrita pela equação:
 
O desfibrilador é formado essencialmente 
por uma fonte de alta tensão, um capacitor 
que armazena a energia elétrica e eletrodos 
que são colocados no corpo do paciente.
O desfibrilador é essencialmente um capacitor
23FÍSICA II
No Sistema Internacional q é a carga 
dada em Coulomb (C), V a diferença de 
potencial dada em volts (V) e C a capa-
citância dada em farad (F): 
Resolvendo os exercícios abaixo 
entenderemos melhor o conceito de ca-
pacitores.
Exemplo 1: Um eletrômetro é um 
aparelho usado para medir cargas estáticas. 
Uma carga desconhecida é colocada nas 
armaduras de um capacitor e após isto 
medimos a diferença de potencial entre 
elas. Qual é a menor carga que pode ser 
medida por um eletrômetro cuja capa-
citância vale 50pF e tem sensibilidade à 
voltagem de 0,15V?
Resolução:
Exemplo 2: O capacitor da figura 
possui uma capacitância de 25μF e está 
inicialmente descarregado. A bateria pro-
duz uma diferença de potencial de 120V. 
Quando a chave S é fechada, qual é a carga 
total que passa por ela?
Os capacitores recebem nomes de 
acordo com a forma de suas armaduras. 
Assim temos vários tipos de capacitores 
como os: capacitores planos, capacitores 
cilíndricos, capacitores esféricos etc.
24FÍSICA II
Capacitor de Placas paralelas
Na figura ao acima observamos um 
capacitor que possui duas placas parale-
las de área (A), separadas por uma certa 
distância (d). Este capacitor se chama ca-
pacitor de placas paralelas. 
A capacitância neste capacitor é cal-
culada através da equação:
Exemplo 1: Um capacitor é consti-
tuído por duas placas quadradas com 4 mm 
de lado. Sabendo que a distância entre as 
placas é de 4 cm e que a permissividade do 
meio corresponde a 50 μF/m, determine 
a capacitância do capacitor.
Exemplo 2: Um condensador de 
placas paralelas possui placas circulares 
de 0,06 m de raio, separadas por 0,003m 
de distância. Qual a capacidade deste con-
densador?
Associação de Capacitores
Nos circuitos elétricos podemos usar 
vários capacitores ao mesmo tempo, que po-
dem ser associados de duas maneiras dife-
rentes:
• Associação em série: as cargas acumu-
ladas nas placas de todos os capacitores 
são iguais, mas as capacitâncias e as 
diferenças potenciais são diferentes. 
Portanto:
• Associação em paralelo: neste caso 
a diferença de potencial é a mesma, 
portanto:
d
AC 0ε=
25FÍSICA II
Exemplo 1: Ache a capacitân-
cia equivalente a combinação na figura. 
Supondo que C1=10,3μF, C2=4,80μF e 
C3=3,90μF.
Primeiro resolvemos a associação 
em série:
Depois resolvemos a associação em 
paralelo:
Exemplo 2: Imagine que você dis-
ponha de vários capacitores de 2μF, ca-
pazes de suportar, sem ruptura dielétrica, 
200V. Como seria possível combinar esses 
capacitores, de modo a obter um sistema 
capaz de resistir à diferença de potencial 
de 1000V e com uma capacitância de a) 
0,40μF e b) 1,2μF.
Resolução:
A. Se usarmos uma associação em série 
de cinco capacitores de 2μF.
Na associação em série a tensão e 
dada por:
Associação em série
Associação em paralelo
26FÍSICA II
B. Temos a seguinte configuração onde 
cada capacitor será de 2μF.
Exercícios:
1. Um condensador de placas paralelas possui placas circula-
res de 8,20 cm de raio, separadas por 1,3 mm de distância.
a) Qual a capacidade deste condensador? 
b) que carga acumulará ele nos seus terminais quando 
sujeito a uma ddp de 120 V?
2. Calcule a capacitância de um capacitor de placas para-
lelas com um dielétrico =3,0, de área das placas de 
0,92 m2 e distância de separação entre elas de 4,5 mm.
3. Um capacitor de placas paralelas de 8,0 nF tem uma 
área de 1,51 m2 e separação de 10 mm. Qual separação 
entre as placas seria necessária para obter a mesma 
capacitância se o dielétrico for substítuido pelo vácuo 
(espaço livre).
4. Um capacitor de 150µF está totalmente carregado 
quando armazena uma carga de 6,1x10-3C. Qual é a 
diferença de potencial entre as placas do capacitor?
 
5. Um capacitor plano de capacitância 5 µF recebe uma carga 
elétrica de 20 µC. Determine:
 a) a ddp U entre as armaduras do capacitor; 
 b) a energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
6. Capacitores são elementos de circuito destinados a:
a) armazenar corrente elétrica.
b) permitir a passagem de corrente elétrica de intensidade 
constante.
c) corrigir as variações de tensão nos aparelhos de te-
levisão.
d) armazenar energia elétrica.
e) nenhuma das afirmações acima é satisfatória.
7. Calcule a carga elétrica adquirida por um capacitor de 
100 µF, quando conectado a uma fonte de tensão de 120 V. 
8. Pretende-se usar duas placas de metal com 1 m2 de área 
para construir um capacitor de placas paralelas.
a) Qual deve ser a distância entre as placas para que a 
capacitância do dispositivo seja 1F? 
b) O dispositivo é fisicamente viável?
9. Dois capacitores, C1 = 30 µF e C2 = 20 µF, inicialmente 
descarregados, são associados e ligados a um gerador 
ideal de 12 V. Determine a carga elétrica e a ddp em cada 
ca-pacitor se eles estão associados em série.
10. A figura abaixo representa uma determinada associação 
de capacitores:
a) Encontre a capacitância equivalente da associação;
b) Determine a carga armazenada por cada capacitor. 
 
Respostas:
1. a) 1,44 ×10-10 F b)1,73×10-8 C
2. 5,43 nF
3. 1,67 mm
4. 41V 
5. 4V e 40μj
6. d
7. 12 x 10-3
8. a) 8,85x10-12 m b) Não, a distância é muito pequena.
9. 144μC, 4,8V e 7,2V.
10. 12μF, 600μC, 200μC e 400μC.
29FÍSICA II
CORRENTE E 
RESISTÊNCIA
A corrente elétrica é o fluxo de cargas de uma região para 
outra. Nosso estudo se limitará em estudar apenas correntes 
constantes de elétrons de condução em materiais condutores 
(metálicos).
Para que a exista corrente elétrica precisamos de uma 
diferença de potencial. Quando o condutor tem suas extremi-
dades ligadas a uma diferença de potencial, surge no interior 
do condutor um campo elétrico que é orientado no sentido 
do menor potencial. Assim, uma força elétrica começa a atuar 
nos portadores de carga que passam a se deslocar, originando 
a corrente elétrica.
A origem da corrente elétrica será explicada detalha-
damente na próxima seção, que compreende aos circuitos 
Quando aplicamos uma diferença de 
potencial em um sistema condutor temos o 
movimento ordenado de cargas elétricas o 
qual chamamos de corrente elétrica.
30FÍSICA II
elétricos.
Definimos corrente elétrica através 
de uma área de seção reta de um condutor 
como o f luxo total das cargas através da 
área por unidade de tempo:
A unidade no sistema internacional 
da corrente elétrica é chamada de Am-
père (A) em homenagem ao Físico francês, 
nascido em Lyon, André-MarieAmpère 
(1775-1836), sendo definida como:
Não esqueça a corrente elétrica é 
uma grandeza escalar e o seu sentido ado-
tado como convencional, mesmo que seja 
para elétrons é do potencial maior (+) para 
o potencial menor (-).
Você sabe perguntou qual o valor 
da resistência elétrica do corpo humano? 
E quais os fatores que podem influenciar 
estes valores?
Exemplo 1: Quanto tempo leva para 
que 12,5.1018 elétrons deixem o terminal 
negativo de uma bateria, se o valor medido 
da corrente fornecido pela bateria é de 
0,5A? (Fundamentos de eletricidade-Richard Fowler)
Resolução:
Exemplo 2: Quantos elétrons atra-
vessam a secção reta de um fio durante 4 
min, sendo o mesmo percorrido por uma 
corrente continua de intensidade constante 
de 5A?
Resolução: 4min=240s
Ampère=== A
s
Ci
31FÍSICA II
Exemplo 3: A figura ilustra uma 
lâmpada fluo¬rescente que contém em seu 
interior um gás ionizado. Íons negativos 
se deslocam de B para A com uma taxa de 
1,0 · 1018 íons/segundo e os íons positivos 
se deslocam de A para B com a mes¬ma 
taxa. Sabendo-se que a carga elétrica de 
cada íon é 1,6 · 10–19 C, a intensidade de 
corrente elétrica na lâmpada é:
Resolução:
Resistência
A resistência elétrica consiste na di-
ficuldade que os materiais apresentam à 
passagem da corrente elétrica. Para medir-
mos a resistência elétrica em um condutor, 
aplicamos uma diferença de potencial en-
tre dois pontos deste condutor e medimos 
a corrente elétrica entre esses dois pontos. 
A resistência R será definida pela relação:
No Sistema Internacional de medi-
das a unidade de resistência é escrita como 
Ohm (Ω) definida por:
Através da equação da resistência 
percebemos que quanto maior a passagem 
de corrente elétrica menor a resistência. 
Vemos que a definição da palavra resis-
tência está completamente de acordo com 
o seu significado físico.
Nos circuitos elétricos temos os cha-
mados resistores que são inseridos com a 
finalidade de limitar a corrente elétrica. Os 
resistores são representados em um circuito 
pelo símbolo apresentado na figura abaixo:
Exemplo 1: Um ser humano é ca-
paz de morrer se uma corrente elétrica 
da ordem de 50 mA passar pelo coração. 
Um eletricista trabalhando com as mãos 
suadas, o que reduz consideravelmente a 
resistência da pele, segura dois fios desen-
capados, um em cada mão. Se a resistência 
do corpo do eletricista é 2000 Ω, qual é a 
menor tensão capaz de produzir o choque 
R
Vi =
)(: Ω=∆= ohm
ampère
voltunidades
i
VR
32FÍSICA II
mortal?
Lei de Ohm
O físico e professor Georges Simon 
Ohm (1787-1857) verificou experimen-
talmente que para alguns condutores, o 
quociente entre a diferença de potencial 
V e a intensidade da corrente elétrica é 
constante. Essa constante é a resistência 
do resistor. A esta descoberta deu-se o 
nome de: A Lei de Ohm.
A essência na lei de Ohm reside no 
fato de que a resistência de um material 
é independente do valor ou do sinal da 
diferença de potencial aplicada.
A lei de ohm pode escrita de outra 
forma, onde relaciona a resistência elétrica 
com as dimensões do objeto e as caracte-
rísticas do material de que o objeto é com-
posto. Na figura ao lado temos um objeto 
de um material de resistividade (Ωm), 
dimensões cilíndricas de comprimento l 
(m) e área de seção transversal reta S (m2). 
A resistência elétrica será descrita como:
Um material obedece a lei de Ohm 
se a sua resistividade for constante em 
relação ao valor e a direção do campo 
elétrico aplicado.
Quando tratamos da capacidade de 
um material em conduzir corrente elétrica 
nos referimos a condutividade que é in-
versamente proporcional a resistividade:
Exemplo 1: Um condutor de prata 
de =1,6x10-8Ωm, tem 200m de compri-
mento e 2mm de diâmetro. Calcule a sua 
resistência elétrica.
33FÍSICA II
Resolução:
Diâmetro=2mm= 2.10-3m
Raio=1.10-3m
Exemplo 2: Um fio de prata 
=1,6x10-8Ωm tem área de 2.10-4 m2. Apli-
cando-se uma tensão de 5V resulta uma 
corrente de 1A. Qual o comprimento do 
fio?
Resolução:
Associação de Resistores:
Associação de resistores em série: 
Resistores são dispositivos que transfor-
mam energia elétrica em energia térmica 
através do efeito joule. Na associação em 
série a corrente elétrica é a mesma em to-
dos os resistores, a diferença de potencial 
total é igual a soma dos potencias de cada 
resistor e a resistência equivalente é:
Associação de resistores em pa-
ralelo: Nesta associação a diferença de 
potencial é igual em todos os resistores, 
a corrente total é a soma de todas as cor-
rentes e a resistência equivalente é:
34FÍSICA II
Exemplo 1: O circuito abaixo é ali-
mentado por uma bateria de 4 volt. Quan-
do a chave C está aberta, a corrente no 
amperímetro A vale 40 mA. O valor do 
resistor X não é conhecido. Determine o 
valor da corrente, em mA, que atravessa o 
amperímetro quando a chave está fechada.
Resolução:
Exemplo 2: Na figura temos 3 re-
sistores em paralelo. Determine:
A. A resistência equivalente da asso-
ciação;
B. A intensidade da corrente elétrica 
em cada resistor;
C. A intensidade da corrente elétrica 
total.
Resolução:
Cálculo da resistência:
35FÍSICA II
Potência em circuitos elétricos:
 Quando uma corrente elétrica per-
corre um circuito elétrico, uma parte da 
energia é gasta. Esta energia gasta, pode 
ser transformada em trabalho, energia quí-
mica ou energia térmica no caso de um 
resistor. A taxa que esta energia elétrica 
é transformada em outra forma de ener-
gia é chamada de potência elétrica, sendo 
descrita como:
 
A unidade de potência elétrica é o 
volt-ampère (V.A) = watt (W) que é igual:
 
Para o caso de resistores elétricos, 
devido a dissipação de energia podemos 
ainda usar as seguintes equações para a 
potência:
 
Exemplo 1: Uma máquina de 
cachorro quente funciona aplicando 
uma diferença de potencial de 120 
V às extremidades de uma salsicha e 
cozinhando-a com a energia térmica 
produzida. A corrente é 10A e a energia 
necessária para cozinhar a salsicha é 60,0 
kJ. Se a potência dissipada permanece a 
mesma, quanto tempo é necessário para 
cozinhar três salsichas simultaneamente?
3 salsichas energia 180kj=180000
Exemplo 2: Um estudante manteve 
um rádio de 9 V, 7 W ligado no volume 
máximo das 21 h até as 2 h da madrugada. 
Qual foi a carga que atravessou o rádio?
Resolução:
R
VP
RiP
2
2 .
=
=
ViP .=
W
s
J
s
C
C
JAV 1111.1 ==










=
Exercícios:
1. Um fio elétrico tem 1mm de diâmetro, 2m de comprimento 
e uma resistência de 50mΩ. Qual é a resistividade do 
material?
2. Quanto tempo os elétrons levam para ir da bateria de um 
carro até o motor de arranque? Suponha que a corrente 
é de 300A e que o fio de cobre que liga a bateria ao motor 
de arranque tem 0,85m de comprimento e uma seção reta 
de 0,21cm2. O número de portadores de carga por unidade 
de volume é 8,49.1028m-3.
3. Um fio de 4,0m de comprimento e 6,0mm de diâmetro tem 
uma resistência de 15mΩ. Uma diferença de potencial de 
23V é aplicada entre as extremidades. a) Qual a corrente 
no fio? b) Calcule a densidade de corrente. c) Calcule a 
resistividade do material do fio.
4. Quando uma diferença de potencial de 115V é aplicada 
entre as extremidades de um fio longo de 9,66m, a den-
sidade de corrente é 1,42A/cm2. Calcule a condutividade 
do material do fio.
 
5. Um elemento de aquecimento é feito mantendo uma diferença 
de potencial de 75V nos terminais de um fio de nicromo de 
2,6mm2 de seção transversal e resistividade de 5,0×10−7Ω.m. a) 
Se o elemento dissipa 4,8kW, qual o seu comprimento? b) Se a 
diferença de potencial de 110V e utilizada para obter a mesma 
potência de saída, qual deveria ser o novo comprimento do fio? 
5. Calcule a resistência elétrica entre os pontos A e B da figura.
 
7. Entre os terminais A e B da figura é aplicada uma tensão de 20V. 
Calcule a potência dissipada: a) em cada resistorde 5,0Ω; b)em 
cada resistor de 10,0Ω
 
8. Um resistor dissipa uma potência de 100W quando a cor-
rente é de 3A. Qual é a resistência?
9. Quando um resistor de valor desconhecido é ligado aos 
terminais de uma bateria de 3V, a potência dissipada é 
0,54W. Quando o mesmo resistor é ligado aos terminais de 
uma bateria de 1,5V, qual é o valor da potência dissipada?
10. Uma ddp de 120V é aplicada a um aquecedor de ambiente 
de 500W. (a) Qual é a resistência do elemento de aqueci-
mento? (b) Qual é a corrente no elemento de aquecimento?
11. A intensidade da corrente i, e a resistência R do circuito 
abaixo valem:
 
12. Um chuveiro elétrico é submetido a uma d.d.p de 220 V, 
sendo percorrido por uma corrente elétrica de intensidade 
10A. A resistência elétrica do chuveiro é:
13. Um fio de cobre tem comprimento de 120 m e a área da 
seção transversal é 0,50 mm2. Sabendo–se que a resis-
tividade do cobre a 0 0C é de 1,72.10-2Ω.mmWWW/m. Então a 
sua resistência elétrica a 00C será de:
14. Uma associação em série de dois resistores, R1= 2 Ω e R2= 
4Ω está submetida a uma ddp de 24 V. A intensidade da 
corrente elétrica em cada resistor vale, respectivamente:
15. O valor da resistência elétrica de um condutor ohmico 
não varia se mudarmos somente: 
a) o material de que ele é feito. 
b) seu comprimento. 
c) a área da sua secção reta. 
d) a ddp da qual ele é submetido. 
Respostas:
1.R: 2.10-8Ω.m
2.R: 13min26s
3.R: a) 1,5kA; b) 53MA/m2 c) 110nΩ.m
4.R: 1190 (Ω.m)−1.
5.R: a) 6,1m b) 13m.
6.R: 6,9Ω.
7.R: a) 20W b) 10W
8.R: 11,11Ω
9.R: 0,135W
10.R: a) 28,8Ω ; b) 4,16A
11.a) 8 A e 500 Ω
12.22 Ω
13.4,1 Ω
14.4 A e 4 A
39FÍSICA II
CIRCUITOS
No nosso cotidiano estamos rodeados por aparelhos ele-
trônicos, ou seja, estamos rodeamos por circuitos eletrônicos. 
Neste capítulo vamos estudar circuitos de correntes continuas 
ou circuitos CC. Neste tipo de circuitos as cargas se movem 
sempre no mesmo sentido. 
Para termos uma corrente estável em um circuito, preci-
samos de uma diferença de potencial entre os dois terminais. 
Esta diferença de potencial pode ser conseguida através de 
um gerador de eletricidade ou simplesmente de uma bateria. 
Esses dispositivos chamados de fontes produzem uma fonte 
eletromotriz.
A força eletromotriz é o trabalho por unidade de carga 
que a fonte realiza para transferir cargas do terminal de bai-
xo potencial para o terminal de alto potencial. No Sistema 
Internacional a unidade da força eletromotriz é o volt (v).
Qual o papel da fonte de tensão (bateria) no 
funcionamento de um circuito elétrico?
40FÍSICA II
A figura acima ilustra a passagem 
de carga de do menor potencial para o 
maior potencial.
Em uma fonte ideal de tensão a dife-
rença de potencial entre os seus terminais 
é igual a força eletromotriz. Já em uma 
fonte de tensão real existe uma resistência 
interna que se opõe ao movimento das 
cargas.
Cálculo da corrente em um Cir-
cuito composto por uma Malha.
Para resolvermos problemas de uma ou 
mais malhas utilizaremos a seguintes regras:
Regra das malhas: A soma algébrica 
das variações de potencial encontradas ao 
percorrer uma malha fechada é sempre zero.
REGRA DAS RESISTÊNCIAS: 
Quando atravessamos uma resistência no 
sentido da corrente, a variação do potencial 
é -iR; quando atravessamos uma resistên-
cia no sentido oposto, a variação é +iR.
REGRA DAS FONTES: Quando 
atravessamos uma fonte ideal do terminal 
negativo para o positivo, a variação do 
potencial é +E; quando atravessamos uma 
fonte no sentido oposto, a variação é -E. 
Fonte. Halhday e Resmck
Utilizando as regras mencionadas aci-
ma vamos calcular a corrente do circuito que 
aparece na figura.
• Primeiramente vamos escolher o ponto 
a como ponto de partida para percorrer 
o circuito.
• Escolhemos o sentido anti –horário 
para percorrer o circuito.
• Utilizando a regra das resistências 
e a regra das fontes temos:
Exemplo 1: Suponha que as bate-
rias na figura tenham resistências inter-
nas desprezíveis. Determine a corrente 
no circuito.
 
41FÍSICA II
Resolução:
Vamos considerar o sentido anti-
-horário para a corrente.
Temos então que E1 é um gerador 
e E2 um receptor.
Exemplo 2: Suponha que as bate-
rias na figura abaixo tenham resistências 
internas desprezíveis. Determine (a) a cor-
rente no circuito, (b) a potência dissipada 
em cada resistor e (c) a potência de cada 
bateria e se, a energia é absorvida ou for-
necida por ela?
 
Resolução:
Vamos considerar o sentido anti-
-horário para a corrente.
Temos então que E1 é um gerador 
e E2 um receptor.
A. Corrente no circuito:
B. Potência dissipada:
C. Potência de cada bateria:
42FÍSICA II
Exemplo 3: O potencial no ponto 
P é de 200 V, qual é o potencial no ponto 
Q? E a corrente do circuito?
Resolução:
Vamos considerar o sentido anti-
-horário para a corrente.
Cálculo do potencial no ponto P:
 
Exemplo 4: Calcule a corrente que 
atravessa cada uma das baterias ideais do 
circuito da figura. Suponha que R1 = 2,0 
Ω, R2 = 3,0 Ω, E1 = 3,0 V, E2 = E3 = 
5,0 V.
 
Resolução:
Primeiramente temos que escolher 
um sentido para a corrente elétrica. Es-
colhemos o sentido anti-horário para a 
corrente na primeira malha e o sentido 
horário para a corrente na segunda malha, 
se escolhermos o sentido errado a corrente 
terá sinal negativo.
 
Aplicando a regra dos nós temos:
i1= i2+ i3
Agora vamos usar a regra das ma-
lhas seguindo o sentido horário para a 1 
malha:
43FÍSICA II
Agora vamos usar a regra das ma-
lhas seguindo o sentido horário para a 2 
malha:
Temos então um sistema formado 
por 3 equações:
Substituindo i1 da primeira equação 
na segunda temos:
Nosso novo sistema será:
Multiplicamos a segunda equação 
por -1 e resolvemos o sistema, obtemos 
então:
Substituindo i2 na primeira equação:
Então i1 é igual a 0,35A
Exercícios:
1. Calcular todas as correntes no circuito abaixo:
a)
 
Respostas: i1 = -0,2A, i2 = 0,2A e i3= 0,4A.
b)
Respostas: correntes 17,5A ; 11,25A ; 6,25A
 
2. A figura mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes 
valores: E1=2,1 V, E2=6,3 V, R1=1,7 Ω, R2=3,5 Ω. Ache as correntes 
nos três ramos do circuito.
 
Respostas: i1 = 0,82A; i2 = -0,4A ; i3 = 0,42A
3. Determine as correntes do circuito. Dados do problema: Re-
sistores: R 1 = 0,5 Ω; R 2 = 0,5 Ω; R 3 = 1 Ω; R 4 = 0,5 Ω; R 5 
= 0,5 Ω; R 6 = 3 Ω e R 7 = 1 Ω. Geradores e Receptores: E 1 = 
20 V; E 2 = 20 V e E 3 = 6 V.
 
Respostas: Os valores das correntes são i1=1A, i2=2A e i3=3A.
 
45FÍSICA II
CAMPO 
MAGNÉTICO
O estudo da eletricidade e do magnetismo começaram 
separados, mas em 1820 Chistian Oesterd descobriu que uma 
corrente elétrica afetava o funcionamento de uma bússola. A 
partir deste momento descobriu-se uma importante relação 
entre eletricidade e magnetismo. Mais tarde, Amperè propôs 
que as correntes elétricas geram fenômenos magnéticos.
Um campo magnético pode ser gerado por partículas 
eletricamente carregadas em movimento, podemos citar como 
A aurora boreal ocorre devido ao contato 
dos ventos solares com o campo magnético 
do planeta. Aurora boreal foi um nome 
criado pelo cientista Galileu Galilei, no ano 
de 1619, por causa de uma deusa romana do 
amanhecer, chamada de Aurora, e de seu 
filho, chamado Bóreas.
46FÍSICA II
exemplo, a produção de campo magnético produzido pela cor-
rente elétrica, ou por ímãs que são matérias que já possuem um 
campo magnético próprio.
Estudamos nos capítulos anteriores que as partículas car-
regadas geram o aparecimento da força elétrica. Neste capítulo 
vamos estudar que além da força elétrica, o movimento das 
partículas gera o aparecimento da força magnética.
O módulo da força magnética é definido como:
 φ é o ângulo formado entre as direções da velocidade v 
e do campo magnético B . A unidadedo campo magnético no 
Sistema internacional é o Tesla dado por:
De acordo com a equação da força magnética quanto o 
ângulo φ for 0 ou 180º a força magnética será nula, assim 
se o lançamento de uma partícula for paralelo ao campo não 
teremos força magnética atuando sobre esta partícula (MRU).
A figura ao lado descreve a regra da mão direita (carga 
positiva) que tem como objetivo fornecer o sentido da força 
magnética.
Exemplo 1: Um elétron num tubo de raios catódicos está 
se movendo paralelamente ao eixo do tubo com velocidade 2. 
105 m/s. Aplicando-se um campo de indução magnética de 
3T, paralelo ao eixo do tubo, a força magnética que atua sobre 
o elétron vale:
Resolução:
Para resolvermos este problema vamos utilizar a equação 
φvBsenqFB = , onde o ângulo estabelecido é entre a velocidade 
e o campo magnético. Como a velocidade do elétron é paralela 
ao campo magnético teremos um ângulo 0=φ . 
Sabendo que 00 =sen , a força magnética será zero.
Exemplo 2: Uma partícula de carga 4.10-4 C é lançada 
perpendicularmente a um campo magnético uniforme de in-
φvBsenqFB =
47FÍSICA II
tensidade 2.10-2 T, com velocidade 102 
m/s. Determinar a intensidade da força 
magnética que atua sobre ela.
Resolução: 
Exemplo 3: Uma carga elétrica pun-
tiforme de 5.10-6 C, é lançada com veloci-
dade de 1m/s, numa direção perpendicular 
a um campo magnético, e fica sujeita a 
uma força de intensidade 4.10-10 N. Qual 
a intensidade do campo magnético?
Exemplo 4: Uma carga elétrica de 
10-5 C é lançada perpendicularmente a um 
campo magnético de 10-8 T, ficando sob a 
ação de uma força de 10-25 N. Determine 
a velocidade com que a carga foi lançada 
no campo.
Linhas de campo magnético 
O campo magnético é representado 
por linhas imaginárias, chamadas linhas 
de campo magnético que possuem as se-
guintes características:
• São linhas fechadas;
• Em cada ponto do espaço, o vetor 
campo magnético é tangente às li-
nhas de campo
• O número de linhas de campo, por 
unidade de área, é proporcional à 
intensidade do campo magnético.
• O campo magnético uniforme pos-
sui as linhas de campo paralelas.
• As linhas de campo entram no íma 
por uma extremidades que é cha-
mada de polo sul e saem pela outra 
extremidade que recebe o nome de 
polo norte, como mostra a figura.
Quando aproximamos dois ímas 
observamos que os polos que recebem 
o mesmo nome se repelem e polos que 
recebem nomes diferentes se atraem.
48FÍSICA II
O nosso planeta se comporta como 
um gigantesco ímã, isto foi relatado desde 
1600 por William Gilbert e até hoje ainda 
é objeto de estudo de muitos por cientistas. 
O polo sul magnético da Terra está 
próximo do polo norte geográfico e o polo 
norte magnético está próximo do polo sul 
geográfico como mostra a figura. 
Existem ainda planetas no nosso 
sistema solar que possuem um campo mag-
nético bem maior quando comparado com 
o da Terra, como por exemplo, Júpiter que 
é 20 mil vezes mais intenso, por outro 
lado temos Vênus que não possui campo 
magnético.
Força Magnética em um Fio 
Percorrido por Corrente
Se tivermos um fio percorrido por 
uma corrente elétrica e o colocarmos den-
tro de um campo magnético, este fio so-
frerá a ação de uma força magnética cujo 
módulo é descrito por:
 
Exemplo 1: Um condutor retilíneo 
de comprimento 0,3 m é percorrido por 
uma corrente de intensidade 2,0 A. O con-
dutor está totalmente imerso num campo 
magnético de intensidade 10-2 T, formando 
com a direção do campo um ângulo de 
20°. A intensidade da força magnética que 
atua sobre o condutor é:
 
 
φiLBsenFB =
 
NF
senF
iLBsenF
B
B
B
2-
2-
10205,0
20103,02
×=
××=
=
ο
φ
49FÍSICA II
CAMPOS MAGNÉTICOS 
PRODUZIDOS POR 
CORRENTES
Neste capítulo vamos usar a de lei de Biot-Savart para 
calcular o campo magnético produzido em um ponto por fios 
de diferentes geometrias: 
Campo Magnético produzido pela corrente em um fio 
retilíneo longo: O módulo do campo magnético calculado 
em um ponto P próximo do fio é dado pela equação:
onde μ0 é a constante de permeabilidade do vácuo, 
cujo valor é:
A fita magnética completou 60 anos em 1994 
e mesmo com o seu uso ultrapassado, deixa 
uma certeza os novos produtos que estão 
surgindo não deixarão de usar as tecnologias 
magnéticas.
R
iB
π
µ
2
0=
50FÍSICA II
Como vemos na figura abaixo as 
linhas de campo magnético formam cir-
cunferências concêntricas em torno do fio. 
Quanto maior for a distância do ponto 
P ao fio, menor será o valor do campo 
magnético produzido, e consequentemente 
maior será o espaçamento entre as linhas 
de campo.
A orientação do campo magnético 
é determinada pela regra da mão direita:
Envolva o condutor com a mão 
direita, com o dedo polegar estendido 
apontando no sentido da corrente. Os 
outros dedos apontarão no sentido das 
linhas de campo magnético.
Na figura o símbolo representa a 
ponta do vetor campo magnético orientado 
do plano para o observador (saindo do 
plano) e o símbolo x representa o ponta 
do vetor orientado do observador para o 
plano (entrando no plano).
Exemplo 1: Uma corrente elétrica 
de intensidade igual a 2 A está percor-
rendo um fio condutor retilíneo. Calcule 
a intensidade do vetor indução magnética 
em um ponto localizado a 3 cm do fio. 
Adote μ= 4π.10-7 T.m/A.
Resolução:
Exemplo 2: Usando a figura, cal-
cule o valor do vetor indução magnética 
B situado no ponto P. Adote μ = 4π.10-7 
T.m/A, para a permeabilidade magnética.
Para o caso do campo magnético 
produzido em um ponto P por uma cor-
rente em fio semi-infinito, ou seja, pro-
duzido pela parte inferior ou superior do 
fio temos:
Já o campo magnético produzido 
por uma corrente em fio curvado vai ser 
dado pela equação:
 
R
iB
π
µ
4
0=
 
R
iB
π
φµ
4
0=
51FÍSICA II
Onde o ângulo φ é o ângulo for-
mado pelo arco. Esta equação é válida 
apenas para o campo magnético no centro 
de curvatura do fio.
Se considerarmos uma circunfe-
rência completa chegamos na conhecida 
equação da espira circular:
Exemplo 1: Na figura aparece a re-
presentação de uma espira circular de raio 
R percorrida por uma corrente elétrica 
de intensidade igual a 12 A. determine 
o valor do campo de indução magnética 
sabendo que o raio dessa espira é igual a 
3πcm. Adote μ = 4π.10-7 T.m/A.
Exemplo 2: Leia as afirmações a 
respeito do campo magnético gerado por 
uma espira circular.
I. O módulo do campo magnético ge-
rado por uma espira é inversamente 
proporcional ao seu raio;
II. Se a corrente elétrica que f lui por 
uma espira for dobrada, o campo 
magnético gerado por ela será quatro 
vezes maior;
III. O sentido da corrente elétrica não 
tem nenhuma inf luência na dire-
ção e no sentido do vetor indução 
magnética.
Assinale a alternativa correta:
A. I e II
B. II e III
C. I e III
D. Somente III
E. Somente I
Para resolvermos está questão é pre-
ciso analisar a equação: 
R
i
B
2
0µ=
. Letra E
VI. Verdadeira O módulo do campo 
magnético gerado por uma espira é 
inversamente proporcional ao raio.
VII. Falso. Se a corrente elétrica 
que f lui por uma espira for dobrada, 
o campo magnético gerado por ela 
será duas vezes maior.
VIII. Falsa. O sentido da corrente 
elétrica define a direção do campo 
magnético gerado pela espira.
R
i
B
2
0µ=
52FÍSICA II
Exemplo 3: Uma espira circular, 
quando percorrida por uma corrente elétri-
ca de intensidade i, gera um campo mag-
nético que possui como módulo o triplo 
do valor referente à corrente. Determine 
o valor do raio da espira sabendo que μ0 
= 4.π x 10 – 7 T.m/A.
Força entre duas correntes para-
lelas: Se tivermos dois fios paralelos de 
comprimentos iguais a L, separados por 
uma distância d e percorridos pelas cor-
rentes i1 e i2. A corrente do fio i1 gera um 
campo magnético em qualquer ponto do 
fio dois:
e cada um dos fios estará sujeito a 
uma força magnética dada por:
Esta força magnética será de atração, 
se as correntes tiverem o mesmo sentido, 
e de repulsão, se tiverem sentidosopostos 
conforme a figura.
Resumindo:
Correntes paralelas se atraem e 
correntes antiparalelas (opostas) se re-
pelem.
Solenoides e Toroides: Solenoide é 
uma bobina helicoidal formada por espiras 
circulares muito próximas. Toroide é um 
solenoide cilíndrico que foi curvado até 
se suas extremidades se toquem, forman-
do um anel. Seus campos magnéticos são 
calculados através das seguintes equações:
Campo magnético para o solenoide:
onde n significa o número de espiras 
por unidade de comprimento.
Campo magnético para o toroide:
N é o número total de espiras, como 
r é o raio do toroide, temos que do lado de 
fora o campo magnético é zero.
Indução e Indutância
Para entendermos o fenômeno da 
Indução e Indutância começamos pela 
descrição de dois experimentos:
No primeiro experimento aproxima-
mos e afastamos o imã da espira. Nestes 
momentos o amperímetro acusa o apare-
cimento de corrente elétrica, mas quando 
deixamos o imã parado em relação a espira 
não existe corrente. No afastamento do d
i
B
π
µ
2
20
2 =
d
ii
F
π
µ
2
210= inB 0µ=
r
iN
B
π
µ
2
0=
53FÍSICA II
imã o amperímetro marca a corrente no 
sentido oposto. 
Se trocarmos os polos e realizarmos 
o mesmo experimento, temos as mesmas 
respostas apenas com as correntes em 
sentidos contrários quando comparados 
com os anteriores. Está corrente recebera 
o nome de corrente induzida devido a uma 
força eletromotriz induzida.
No segundo experimento duas espiras 
são colocadas próximas, mas em repouso, 
quando fechamos a chave S, aparece uma 
corrente contínua na esquerda por um ins-
tante. Quando abrimos a chave S aparece 
uma nova corrente no sentido oposto. A 
variação do f luxo magnético produzirá uma 
força eletromotriz.
Estas experiências que foram feitas 
por Faraday revelaram que:
A força eletromotriz induzida em 
um circuito é igual ao negativo da taxa 
de variação com que o f luxo magnético 
através do circuito está mudando com 
o tempo.
Depois da descoberta de Faraday, 
o físico russo Heinrich Lenz descobriu a 
partir de resultados experimentais que a 
corrente induzida tem sentido oposto ao 
sentido da variação do campo magnético 
que a gera.
Exercícios:
1. Uma partícula de radiação alfa move-se com rapidez 550 
m/s numa região com um campo magnético uniforme de 
módulo 0,045 T e que faz com a velocidade um ângulo 
de 52o. Determine (a) o módulo da força magnética que 
o campo exerce sobre a partícula alfa, (b) o módulo da 
aceleração e (c) indique se a rapidez da partícula varia. 
Dados: ma=6,6x10-27kg; qa=3,2x10-19C . Resposta: a) F: 6,2x10-
18N b) a: 9,5x108m/s2
2. Um topógrafo usa uma bússola a 6,1 m abaixo de uma 
linha elétrica conduzindo 100A. Qual o campo magnético 
provocado pela corrente junto à bússola? Esse campo 
afeta a leitura da bússola significativamente? O campo 
magnético terrestre no local é de 20 µT. Resposta: B: 
3,3 µT, 17% do campo magnético terrestre local sendo 
considerável.
3. . Na figura uma corrente de 10,0 A circula no circuito em 
'U'. Os fios retilíneos são longos, o ponto A está localiza-
do no centro da semicircunferência de raio 5,00 mm e o 
ponto B a meia distância entre os fios, bastante afastado 
da semicircunferência. 
 
Calcule (a) valores aproximados para os módulos dos campos 
magnéticos nos pontos A e B e (b) o sentido desses campos. 
Resposta: e 
4.O fio horizontal da figura tem massa 50 g, comprimento 
2,0 m e sobe com aceleração desconhecida. Sabe-se que na 
região existe um campo magnético de 4,0.10−1 teslas horizon-
tal, perpendicular ao fio e que os fios são percorridos por 
uma corrente de 1,5 amperes. Respostas: a) campo elétrico 
entrando no papel b)F = 1,2 N c) 14m/s2
a) Determinar o sentido do campo;
b) Calcular o valor da força magnética;
c) Calcular a aceleração;
 
5. Em uma localidade nas Filipinas, o campo magnético da 
Terra de 39µT é horizontal e aponta para o norte. Exata-
mente a 8cm acima de um fio retilíneo longo, que trans-
porta uma corrente constante o campo resultante é zero. 
Determine a intensidade da corrente: Resposta: 16A
6. Um topografo está usando uma bussola a 6m abaixo de 
uma linha de transmissão na qual existe uma corrente 
constante de 100 A. a) Qual é o campo magnético no local 
da bússola em virtude da linha de transmissão? Resposta: 
3,3 µT
7. Campo de um toroide (figura). Um toroide é um corpo 
em forma de uma câmara de ar de pneu. Uma espira 
pode ser enrolada em torno do toroide, como mostra a 
figura. Neste caso, conclui-se por análise de simetria que 
as linhas de força do campo magnétic o têm a forma de 
círculos fechados, como mostra a figura. Calcule o campo 
magnético: Respostas: 
R
iNB
π
µ
2
0=
, zero
a) no interior do toroide 
b) fora do toroide.
8. Calcule o campo magnético no ponto P da figura, que é o 
centro comum dos dois semicírculos. Resposta: 
a
iB
8
3 0µ=
 
9. Um solenoide de 1,33cm de comprimento e 2,60cm de diâ-
metro conduz uma corrente de 17,8A. O campo magnético 
dentro do solenoide é 22,4 mT. Determine o comprimento 
do fio do solenoide. Resposta 109m
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, Fundamentos de física, LTC , 9º Edição,volume3
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS e ZEMANSKY, Física III, 12a edição, 
http://www.tudoengcivil.com.br
https://engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/2014/09/exercc3adcios-leis-de-kirchhoff.pdf
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/danilocgouveia/eletricidade
http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-fisica/exercicios-sobre-associacao-capacitores.htm
http://masimoes.pro.br/fisica_el/ex_pi/04.pdf
http://www.fisicaexe.com.br/fisica1/eletromagnetismo/fmagnetica/exefmagnetica.html
http://lilith.fisica.ufmg.br/~feletro/ex_cap8-feletro.pdf
	Carga Elétrica e Lei de Coulomb
	Cargas Elétricas
	Lei de Coulomb
	Campo Elétrico 
	Linhas de Campo Elétrico
	CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA CARGA PONTUAL
	CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO
	CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA
	Potencial Elétrico
	Superfícies Equipotenciais
	Capacitância
	Capacitor de Placas paralelas
	Associação de Capacitores
	Corrente e
	Potência em circuitos elétricos:
	Lei de Ohm
	Resistência
	Circuitos
	Campo Magnético
	Linhas de campo magnético 
	Campos magnéticos produzidos por correntes
	Indução e Indutância
	REFERÊNCIAS