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Superando Fronteiras
Matemática Financeira
INTRODUÇÃO
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
LUCRO SOBRE O CUSTO
LUCRO SOBRE A VENDA
JUROS SIMPLES
DESCONTOS SIMPLES
01
04
06
06
07
09
Curso técnico em transações imobiliárias
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
1
INTRODUÇÃO 
1. Notas introdutórias: a importância da matemática financeira dentro das diversas áreas do ensino técnico 
não diz respeito apenas a compreensão de fórmulas abstratas e sua aplicabilidade em atividade práticas 
vivenciadas no dia a dia, mas também é uma ferramenta de desenvolvimento cognitivo muito importante 
no crescimento da capacidade de raciocinar logicamente.
 
1.1 Conceito básico de Matemática Financeira: A Matemática Financeira é uma ferramenta fundamental na 
análise de determinadas possibilidades de investimentos / financiamentos de bens de consumo. 
Consiste em utilizar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de 
Caixa.
2. Razão e proporção: O conceito de razão se define como sendo um modelo capaz de realizar a 
comparação entre duas grandezas, contudo, para que tal comparação exista se faz necessário que as 
duas estejam na mesma unidade de medida.
 A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Onde o número b é obrigatoriamente 
diferente de zero.
 64:16 é um exemplo de razão cujo valor é 4, isto é, a razão de 64 para 16 é igual a 4.
Na razão, o número a é chamamos de antecedente e o b de consequente.
 
3. Porcentagem : ou simplesmente chamada de razão centesimal são as razões cujo termo consequente é 
sempre igual a 100. Representa-se a porcentagem através do símbolo "%".
 20% é o mesmo que 0,20 (20 centésimos).Ou ainda 20/100.
4. Proporção: O conceito de proporção é simplesmente a igualdade entre duas razões
Digamos que em um determinado plantão A de vendas, temos seis homens para cada oito mulheres, ou seja, 
temos a razão de 6 para 8, cuja divisão de 6 por 8 é igual 0,75. Suponhamos que em outro empreendimento, 
Platão B, tenhamos nove homens para cada doze mulheres, então a razão é 9 para 12, que também é igual 
0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas 
as razões são iguais a 0,75.
Podemos afirmar que:
3.Regra de Três : É um operador matemático utilizado solução de problemas que envolvem grandezas 
proporcionais.
A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática 
denominada "regra de três".
Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas 
sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".
Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta." Observe que neste 
caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas 
inversamente proporcionais.
Curso técnico em transações imobiliárias
a: b ou 
a
b
Com , b diferente de zero.
c
d
Com b,d diferentes de zero.
a
b
9
12
0,75
6
8
c
d
se, a.d=b.c
a
b
M
at
em
át
ic
a 
Fi
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ei
ra
2
Regra de Três Simples Direta:
Uma pessoa recebe R$ 3.600,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter 
direito a receber R$ 1.200,00?
Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver apenas duas 
grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta.
 Regra de Três Simples Inversa:
Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir certa parede em 10 horas de trabalho. Se ao invés de dois, 
fossem quatro pedreiros, em quantas horas tal parede poderia ser construída?
Você pode com facilidade compreender que aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para a 
construção do muro será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa não foi alterada.
Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza 
aumenta, a outra diminui e vice-versa.
 
 Lista de exercícios:
1. Dois números somados totalizam 510. Sabendo- se que o primeiro está para 16, assim como o 
segundo está para 18. Encontre estes dois números.
Solução:
Ora, se A+B é igual a 510, podemos sem perdas afirmar o seguinte:
Assim, teremos que:
Logo, os números procurados são a = 240 e b = 270
Confirmando desta forma a sentença 240+270=510
2. A soma das áreas de dois apartamentos totalizam 140m² , sabendo-se que a área do primeiro está 
para 300 assim como a área do segundo está para 400. Determine as áreas de cada apartamento.
Solução:
Curso técnico em transações imobiliárias
b
18
a
16
a+b
34
510
34
a
16
510
34
b
18
e
16.510a.34 a
16.510
34
240
18.510b.34 b
18.510
34
270
b
400
a
300
a+b
400
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
3
Ora, se a + b é igual a 140, podemos sem perdas afirmar que:
Assim, teremos que:
Logo, os números procurado são a = 60m² e b = 80m²
Confirmando desta forma a sentença 60m² + 80m² = 140m²
3. A soma de dois números é igual a 20. O primeiro está para 10, assim como o segundo está para 30. Quais são 
estes números.
4. Dois números diferem entre si em 10 unidades. Sabendo – se que A está para 30 assim com B está para 10. 
Encontre A e B.
5. Um apartamento de 80m² é vendido por R$ 180.000,00,levando em consideração o fato que o preço do metro 
quadrado de área construída é o mesmo, quanto custará um apartamento de 140m²
Devemos considerar o fato que, quando aumentamos a área do imóvel em se mantendo o preço do metro 
quadrado, teremos também um aumento preço do imóvel, o que caracteriza uma proporção simples e direta.
Assim podemos afirmar que o outro apartamento custará R$ 315.000,00.
6. Um trabalhador pinta um teto de 20m² em 6 horas de serviço contínuo, se tivermos 3 trabalhadores produzindo 
no mesmo nível , quantas horas os mesmos precisarão para realizar esta atividade.
Devemos considerar o fato que , quando ampliamos o número de trabalhadores para realizar uma atividade, o 
tempo gasto para que a mesma seja concluída será reduzido,assim temos uma proporção simples inversa.
Curso técnico em transações imobiliárias
140
400
a
300
140
700
b
400
e
300.140a.700
300.140
700
a 60m²
400.140b.700
400.140
700
b 80m²
80m² R$ 180.000,00
700140m²
25.200.000
80
315.000,00
80
140
180.000
x
80.x 140.180.000 x
1 Trabalhador 6 horas
X horas3 Trabalhadores
3.x x 2 horas
1
3
x
6
1.6
6
2
M
at
em
át
ic
a 
Fi
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ra
4
7. Um pedreiro assenta 160 tijolos em 4 horas, quantos tijolos o mesmo assentará em 5 horas e 15 minutos.
8. Um eletricista instala 40 lâmpadas em 2 horas, quantas lâmpadas o mesmo instalará em 1 hora e 42 mim.
9.Dividir o número 320 proporcionalmente a 2,4 e 10.
Admita a existência de três números de forma que a sua soma seja exatamente igual a 320. Assim teremos X + Y+ 
Z =320. Ora isto implica que:
Assim sendo temos:
10) Uma herança de R$ 40.000,00 deverá ser dividida inversamente proporcional as idades de seus herdeiros 
que são, 8 e 12 anos respectivamente.
A principio adota- se a ideia da existência de dois números que somados serão iguais a R$ 40.000,00, ou 
seja: X + Y = 40.000.
Como a divisão é inversa, o valor a ser rateado deverá diminuir quando a idade aumentar, assim temos:
Admita a existência de uma constante K, de tal modo que;
Curso técnico em transações imobiliárias
y
4
z
10
320
16
x
2
320
16
y
4
320
16
z
10
320
16
; ;
A)
x
2
320
16
x.16 2.320 x
640
16
40
B)
y
4
320
16
y.16 4.320 y
1280
16
80
C)
z
10
320
16
z.16 10.320 z
32000
16
200
x
2
y
12
x
2
K. 1
8
K. 1
12
40.000
K. 1
24
2
40.000
K
5
24
40.000. 192.000
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
5
Ora se k=192.000 temos que:
11) Dividir o número 120inversamente proporcional aos números 2 e 4.
BLOCO 2 – Porcentagem.
1. Porcentagem: Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração cujo o 
denominador é igual a 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.
2. Forma decimal: 
É comum mostrarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 45% na forma decimal será 
representado por 0,45.
100% = 1
10% =0,1
1% = 0,001
0,1%=0,0001
 Exemplos:
A. Calcular
B. Uma pesquisa de satisfação registrou que 80% dos proprietários de um determinado condomínio, estão satisfeitos com 
seus imóveis, o que equivale a 128 proprietários, calcular o número de condôminos insatisfeitos.
Ora, se o número de insatisfeitos é igual ao total de condôminos menos o total de satisfeitos, desta forma tem: 160 
– 128 =32. 
C. Uma pesquisa mostrou que 2% de entrevistados acham um governo ótimo, outro grupo de 16 % acham o 
governo bom. Se foram entrevistados 800 pessoas, quantas afirmaram que o governo é ótimo ou bom. 
D. Encontre o valor de X, na equação abaixo:
2.Preço de custo e venda.
2.1Lucro:
Chamamos de lucro em uma operação comercial de compra e venda o valor da diferença entre o preço de 
venda e o preço de custo.
Curso técnico em transações imobiliárias
K
5
1
192.000. 24.000 e y 192.000.
12
1
16.000
100
20
4%
2
10
2
2
100
4
0,04
0.8 128
x1
1.1280,8.x
128
0,8
x
160
10%
2
10%
2
30%
2
M
at
em
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nc
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ra
6
Exemplo 1.
Uma mercadoria foi comprada por R$ 700,00 e vendida por R$ 1.000,00. Pede-se:
a) o lucro obtido na transação;
b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resolução
(PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço 
de custo deste bem. O valor 
a) R$ 25,00 d) R$ 80,00
b) R$ 70,50 e) R$ 125,00
c) R$ 75,00
Lucro = 0,25 · (preço de custo)
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo + 0,25 (preço de custo) = preço de venda
1,25 · (preço de custo) = 100
Preço de custo = R$ 80,00 , logo D. 
Curso técnico em transações imobiliárias
Preço do custo
Lucro
A. Lucro sobre o custo 100%
Preço de venda
Lucro
B. Lucro sobre a venda 100%
a) Lucro 1.000 700 Lucro R$ 300,00
b) Lc 
1.000
0,4285 42,85%
700
c) Lv 
300
0,3 30%
1.000
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7
3. Juros Simples:
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o CAPITAL INICIAL 
APLICADO. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão qualquer juros. O capital inicial também é 
chamado de Valor Principal , Valor Presente ou simplesmente Principal é o valor inicial emprestado ou 
aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J=C.I.N 
Onde:J = juros
C = capital
I = taxa de juros
N = número de Períodos
Observações importantes: 
Taxas de juros e número de períodos devem obrigatoriamente esta na mesma unidade de tempo.
Existe uma equivalência entre os períodos que deve ser respeitada:
12 meses= 2 semestres= 3quadrimestre= 4trimestre= 6bimestres= 1ano=360dias.
Existe uma equivalência também entre as taxas:
1% a.m. = 2% a.b.=3% a.q. =4% a.t. =6% a.s. =12 % a.a. 
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 3.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros 
simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 3000 x 0.08 x 2 = 480
 2.Calcular os juros simples de R$ 1000,00 a 13 % a.t. por 4 meses. 
 
 3. Calcular os juros simples produzidos por R$100.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
 Temos: J = C.I.N
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
 Assim, taxa e o período estão na mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
 J = 100.000x0,001x125 = R$12.500,00 
 4. Qual o capital que aplicado a juros simples de 2 % a.m. rende R$4.000,00 de juros em 60 dias?
 Temos que: J = C.I.N
Ou seja:
5. Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital 
aplicado através de capitalização simples?
 Ora, o fato de dobrar o capital implica em afirmar que os juros produzidos são exatamente iguais ao capital 
aplicado. Assim temos:
 C=J
 J=C.I. N
Curso técnico em transações imobiliárias
4.000 c.0,02.2 4.000 100.000,00c.0,04 C
4.000
0,04
c c.1,20.n 1,20.n 0,833333 ano1 n
1
1,2
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em
át
ic
a 
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8
A questão da unidade de tempo deve ser vista, logo, temos que:
3.1 Montante:
Em uma aplicação financeira qualquer, haverá os juros produzidos, chamaremos de montante a adição entre o 
capital aplicado e os juros produzidos.
M= C + J
No regime de capitalização simples temos:
M= C + J e J= C.I.N
M= C + C.I.N 
M= C ( 1+ IN)
As mesmas regras que definem o cálculo de juros simples são mesmas para o cálculo do montante.
1. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado a uma taxa bimestral de 1,5% ,durante 6 meses, calcular o 
montante resgatado no regime de capitalização simples.
M= 1.500.( 1+ 0,015.3)
 M= 1.500.1,045 = 1.567,50
 2.Um certo capital foi aplicado a uma taxa de 1 % ao mês no regime de juros simples após 8 meses foi 
resgatada a quantia de R$ 2.160,00. Calcular o valor aplicado.
 3.Um certo capital de R$1250,00 foi aplicado no regime de juros simples a uma taxa de 2,5 % ao bimestre 
e gerou um montante de R$1.437,50.Encontre o prazo desta aplicação em trimestre.
4.Um certo capital foi dividido da seguinte forma; 60 % aplicado a uma taxa de 1,5 % ao mês e o saldo a 
uma taxa de 2,5 % ao bimestre. Sabendo- se que o montante resgatado após um ano de aplicação foi de 
R$ 2.336,00.Calcular o valor do capital que foi dividido.
 5.Um certo capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a uma taxa de x% ao mês um período de 6 meses e gerou 
um montante de R$ 1.060,00. Calcular o valor de x.
Curso técnico em transações imobiliárias
1 ano 12 meses
x meses0,833333
12.0,833333x 9,999999 10 meses
1+0,06x=
1.060
1.000
M=C.(1+I.N)
1.060 =1.000. (1+0,01x.6)
1.060=1.000. (1+0,06x) 
0,06x=1,06-1 0,06 x = 0,06 x=1
1+0,06x=1,06
M
at
em
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nc
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ra
9
Bloco 3: Descontos simples :
Entendemos por valor nominal, o valor de resgate de um título em sua exata de vencimento. Quando se decide 
antecipar a liquidação deste título, geralmente isto envolve algum tipo de beneficio econômico, ou seja, um 
desconto.
Assim podemos definir o desconto com sendo à diferença entre o valor nominal do título e o seu valor de 
liquidação. Podemos também afirmar que:
VALOR DESCONTADO= VALOR NOMINAL – DESCONTO
Quando falamos em desconto podemos identificar dois tipos:
a) Desconto Racional “ Por dentro”
b) Desconto Comercial ou Bancário “ Por fora”
A) Desconto Racional ou Desconto por dentro:
 Segue o mesmo conceito de juros simples e é definido pela expressão 
Onde:
Pelo próprio conceito acima visto chegamos a seguinte a seguinte expressão:
onde N é o valor nominal ou valor de resgate ou montante. é o valor descontado racional na data da liquidação.
Associando as duas expressões têm-se:
Exemplo 1 : 
Seja o valor nominal de um título R$ 10.000,00, o qual tem seu dia de vencimento em um ano, sabendo – se que o 
mesmo esta sendo liquidado 4 meses antes de seu vencimento . Sabendo – se que a taxa nominal de juros é de 3 
% ao mês. Pede- se calcular o desconto e o valor descontado nesta transação financeira.
Curso técnico em transações imobiliárias
D = c.i.n
r
D = Valor do desconto racional
C = Capital ou valor atual
i = Taxa periódica de juros
n = Número de períodos que o título é líquido antes de seu vencimento
r
D = N-V
r
Vr
D =
r
N
1+i.n
e D =
r
N.i.n
1+i.n
V
r
N=10.000
0 i=0,03
8
12 Meses
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em
át
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a 
Fi
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10
Cálculo do desconto:
Cálculo do valor descontado:
Exemplo 2 :Um título no valor de R$ 5.000,00 foi antecipado dois meses antes de seu vencimento, sabendo – se 
que a taxa mensal de desconto racional é de 1 % ao mês. Calcular o valor o qual o título foi liquidado.
3.Um título foi liquidado 3 meses antes de seu vencimento e gerou um desconto de R$ 861,24. Calcular o valor 
de face deste título se o mesmo não tivesse sido liquidado 3 meses antes de seu vencimento.
4. Um certo título foi antecipado em 6 meses, sabendo – se o desconto gerado foi de 50 % do valor 
devido.Calcular a taxa de desconto usada na operação.
A) Desconto Comercial ou Bancário ou Por fora
Muito usado no mercado financeiro, esta modalidade de desconto é conhecido como juro antecipado, ou apenas 
desconto bancário. Este é o tipo de desconto usado nas transações de factoring, como também em operações 
financeiras de desconto a prazo pequenos quando a quitação for realizada em uma única parcela, inclusive para 
cálculo de preço de venda.
Onde:
O valor descontado “ Por fora” é dado por:
Curso técnico em transações imobiliárias
D =
r
10.000x0,03x4
1+0,03x4
=
1.200
1+0,12
=
1.200
1,12
= 1.071,43
V
r
= N - D = 10.000 - 1.071,43 = 8.928,57
r
D =
r
5.000x0,01x2
1+0,01x2
=
100
1+0,02
=
100
1,02
= 98,04
V =
r
N - D = 5.000 - 98,04 = 4.901,96
r
D = N.d.n
f
D = Desconto por fora
N = Valor nominal do título
d = Taxa periódica de desconto
n = Prazo de antecipação denido para o desconto
f
V = N. (1 - d.n)
f
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11
Exemplos:
1) (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias 
para o vencimento do título, determine:
a) O valor do desconto comercial;
b) O valor atual comercial.
 
a) N=6.000,00
d= 2,1%=0,021 a.m.
n=45 dias=1,5 m
b)
Verifique que:
2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 
2.000,00 e cujo valor atual é de R$ 1760,00?
Solução:
 
3)Uma duplicata no valor de R$ 10.000,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 9.100,00 
na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3% ao mês, determinar o prazo de 
vencimento da duplicata.
 
Solução:
Curso técnico em transações imobiliárias
D =
f 6.000x0,021x1,5 = 189
D =
f 6.000x(1-0,021x1,5) = 6.000x(1-0,0315)=5811
V = N - D = 6.000 - 189 = 5811
f f
2.000,001.760,00
120 dias = 4 meses
V = N. (1 - d.n)
1.760 = 2.000 (1 - d.4)
f
1 -
1.760
2.000
=4.d 1 - =4.d 0,88 - 1
- 4.d = -0,12 
0,12
4
d= = 0,03 = 3% am
10.0009.100
d=3% a.m.
M
at
em
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ic
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Bloco 4: Sistema de capitalização composta( juros compostos)
O modelo consiste em que os juros gerados em cada período serão somados ao capital aplicado inicialmente, 
formando assim um novo montante que será o capital inicial de uma nova aplicação e assim por diante. Ou 
seja, a cada período o novo juro gerado incidirá sobre o capital aplicado mais os juros produzidos 
anteriormente.
No primeiro período de aplicação temos: M=C.( 1 + i), pelo fato de n=1
No segundo período teremos: M=C.( 1+i).(1+i)
No terceiro mês teremos: M= c.(1+i).( 1+i).( 1+i)
Ora ,quando tivermos N períodos teremos:
n M=C.( 1 + i)
Exemplos:
1.Qual o montante resgatado por um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa mensal de 1,5 % , 
durante 3 meses no regime de juros composto.
2.Certo capital foi aplicado por um período de 6 meses a taxa mensal de 1,25% e gerou um juro de R$ 
386,92. Calcular o capital aplicado.
3.Um capital de R$10.000,00 foi aplicado por período de 6 meses a uma taxa bimestral de 2,35 % , 
calcular os juros produzidos ao final da operação.
4.( Assaf Neto) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de R$ 6.600,00,que produz um 
montante de R$ 7.385,81 ao final de 7 meses.
Curso técnico em transações imobiliárias
V = N. (1 - d.n)
9.100 =10.000 (1 - 0,03n)
f
1 -
9.100
10.000
=0,03n 1 - =0,03n 0,91 - 1
- 0,03n = -0,09 
0,09
0,03
n= = 3 meses = 90 dias
M = 5.000x (1+0,015)³ = 5.000x1,015³ 5.000x1,045678375 = 5.228,39
n n nM = c.(1+i) c+j = (1+i) j = C. (1+i) - C 
nJ = [(1+i) - 1] 
6 6 386,92 = C. [(1+0,0125) - 1] 798,47 = C. [(1,0125) - 1]
6 386,92 = C. [(1.077383181) - 1] 798,47 = C. 0,077383181
C = 
0,077383181
386,92
= 5.000,00
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
13
5.Em quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 se transforma em R$ 1.160,54 aplicado a uma taxa mensal de 
1,5% ao mês no regime de juros compostos.
4.1 Taxas equivalentes: Na verdade o conceito de equivalência de taxas no regime de capitalização composta 
nos leva a média geométrica da taxa de juros do período inteiro , ou seja:
Exemplo: 1)Qual a taxa de juros mensal equivalente a 12 % ao ano.
2) Qual a taxa de juros trimestral equivalente a uma taxa de 24 % ao ano.
3)Determine a taxa de juros bimestral equivalente a uma taxa de 10 % ao semestre.
4.2 Desconto Composto. O desconto composto, utilizado nas operações de prazo longo, pode ser divido em 
duas categorias: Por Dentro e Por Fora tal qual juros simples.
Desconto Composto “ Por fora “ : Este tipo de desconto se notabiliza pela incidência sucessiva da taxa de 
desconto sobre o valor do título , de modo que haverá dedução em cada período, dos descontos obtidos em 
períodos anteriores.
Curso técnico em transações imobiliárias
(1+i) = (1+i)
M
C 
0,077383181
n 7 = 
6.600,00
(1+i)7= 1,119
1+i = 1,119
7
1+i = 1,0162 i = 1,0162 - 1 = 0,0162 i = 1,62% am
1.160,54=1.000x (1+0,015)n 1,015 = n
1.160,54
1.000,00
1,015 =1,16054
n
log 1,16054 n=
log 1,16054
log 1,015
=
0,064660113
0,006460422
10,008=
i = 1+i-1, onde q é o número de períodos de capitalização
q
q
i = 
12
12
1+0,12-1= (1,12) -1=0,009488=0,9488% am
1
12
i = 
4
4
1+0,12-1= (1,12) -1=1,05525 - 1 = 0,5525 = 5,52% AT
0,25
V = N. (1-d) D = N. [1-(1-d) ] onde,
n
f
n
V = Valor descontado
N = Valor nominal do título
d = Taxa de desconto
n = Número de períodos da antecipação.
f
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
14
Exemplos: 
1) ( Assaf Neto) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto 
composto “ por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5 % ao mês . Pede-se 
determinar o valor descontado e o desconto.
2) Um título foi descontado à taxa de 2,5 % ao mês. 10 meses antes de seu vencimento. Sabemos que esta 
operação gerou um desconto de R$ 25.000,00. Calcular o valor nominal do título no sistema de desconto 
composto por fora.
3) Um certo Título de R$ 120.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento à uma taxa de desconto de 
2,35 % ao mês, calcular o valor real do desconto nesta operação( desconto composto por fora)
4.3 Desconto Composto “ Por Dentro”
Este tipo de desconto segue a mesma linha conceitual do cálculo de juros compostos, onde:
Exemplos: 
1 ) Calcular o valor d
o desconto racional de um título de valor nominal de R$ 10.000,00 descontado 5 meses antes de seu vencimento á 
taxa de 1,75% ao mês.
2) Um certo banco X, realiza a seguinte operação ,um título de R$ 150.000,00 é antecipado em 105 dias antes de 
seu vencimento, o desconto é concedido a uma taxa de 1,75% ao mês. Calcular o valor do desconto oferecido pela 
antecipação.
3)Sabemos que um título de R$ 35.000,00 foi liquidado por 32.450,00 á uma taxa de desconto de 1,95%, calcular 
o prazo da antecipação.
Bloco 5 Fluxos de Caixa
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos os quais se prever que ocorra em 
determinado intervalo de tempo.
Os termos usados em fluxo de caixa são:
PMT =Payment (Prestação) 
PV = Present Value (Valor Presente)
FV = Future Value (Valor Futuro)
N = Intervalo de Tempo
i = taxa periódica de juros
Curso técnico em transações imobiliárias
D = 35.000x [1-(1-0,95) ] = 35.000x [1-(0,95) ] = 35.000x0,142625 = 4.991,88
3
f
3
V = 35.000x (1-0,95) = 35.000x (0,95) = 30.008,12 
Assim constantamosque N = V + D
3
f
3
f f
v = 
n
N
(1+i)
D = N.
n
1
(1+i)
n 1-f
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
15
O modelo de apresentação de um fluxo de caixa dependerá de algumas variáveis importantes; Período de 
ocorrência, Periodicidade e Duração.
Vamos, portanto estudar agora um modelo que segue a seguinte estrutura:
Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se iniciam no fim do primeiro de ciclo 
(período) de tempo. Ou seja, um financiamento, sem carência, a primeira prestação é paga ao final do primeiro 
ciclo do prazo em contrato, vencendo as prestações restantes em intervalos que seguem a mesma sequência.
Limitados: o prazo total do fluxo de caixa é finito, ou seja, o fluxo tem inicio e final definidos.
Constantes: indica os valores a serem pagos ou recebidos dentro do fluxo são iguais em todo o processo.
Periódicos: é quando os intervalos dos ciclos são iguais entre si, ou seja, o período entre um fluxo e outro é 
constante. 
Fórmula do Valor Presente:
Exemplos: 
1) Certa máquina é vendida em 7 pagamentos iguais e consecutivos de R$ 5.000,00.Sabendo – se que 
neste parcelamento está incluso uma taxa de juros de 1,75 % ao mês. Calcular o valor deste bem à vista.
2) Determinar o valor presente de um fluxo de um fluxo de 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de 
R$ 1.000,00, sendo a taxa de juros da operação 1,5 % ao mês.
3) Um apartamento é vendido sem entrada, em 120 parcelas iguais, mensais e sucessivas de R$ 2.300,00, 
com taxa mensal de 0,98%,calcular o preço à vista do apartamento.
PMT= 2.300,00
n=120
i= 0,98%=0,0098
1) Um Automóvel é vendido em 48 parcelas de R$1.750,00, iguais, mensais e sucessivas, com taxa de 
juros de 1,35 % ao mês. Calcular o preço à vista do automóvel. 
 
2) Um apartamento é vendido à vista por R$ 200.000,00 reais, ou em 100 parcelas iguais, mensais e 
consecutivas , com taxa de financiamento da ordem de 0,96 % ao mês calcular o valor da prestação 
deste apartamento.
3) Um carro é vendido à vista por R$ 35.000,00 ou nas seguintes condições 20 % de entrada e saldo em 
48 parcelas mensais, iguais e sucessivas, a contar 30 dias após o pagamento da entrada e aquisição 
do bem, levando em consideração uma taxa de juros para este financiamento de 1,04 % ao mês 
calcular o valor desta prestação.
Fórmula do Valor Futuro:
Curso técnico em transações imobiliárias
PV = PMT. 
1 - (1+i) 
i
-n
PV = 2.300x
-120
1-(1+0,0098)
0,0098
1-0,31028161
0,0098
= 2.300x70,37942755=161.872,68
= 2.300x
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
16
Exemplos:
1) Calcular o valor Acumulado de uma série de 10 depósitos mensais e sucessivos, no valor de R$ 
1.000,00, em um tipo de aplicação financeira que remunera à uma taxa de 1,02 % ao ês. Elaborar a 
tabela remuneração de capital.
2) Calcular o valor a ser depositado mensalmente em uma aplicação que remunera à uma taxa de 1,05 ao 
mês , de modo que no sexto depósito se possa ter um R$ 10.000,00 de saldo.
Curso técnico em transações imobiliárias
FV = PMT. 
1 - (1+i) -1
i
n
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
17
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
Curso técnico em transações imobiliárias
EXERCÍCIOS 
1- Calcular os juros simples de R$ 1500,00 a 15 % a.t. por 9 meses. 
a. 665
b.675 
c.685 
d.695
e 705
2- A soma da idade do pai e do filho é 30 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 8 está 
para 2. Determine a idade do pai e do filho.
a.10 e 20
b.8 e 22
c.6 e 24 
d.12 e 18 
e.NDR
3- Calcular o valor nominal da expressão; (1,5% + 0,45 +2% ) /1% =
a.45,5
b.48,5 
c. 46,5
 d.47,5
e. 49,5
4- . Calcular os juros simples de R$ 2.500,00 a 15 % a.t. por 18 meses. 
a. 1.100
b. 2000
c. 2.250 
d.2.300 
e 2.500 
5- Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensal de 1,35 % ao mês, após 1 ano de 
aplicação qual o valor dos juros produzidos no regime de capitalização composta.
a. 6.729,33
b. 729,33
c. 8.729,33 
d. 7.729,33 
e. NDR
6- Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à 
taxa de 2,5% ao mês? 
a. 225,00 
b. 200,00
c.210,00
d.220,00
e.205,00
18
Curso técnico em transações imobiliárias
M
at
em
át
ic
a 
Fi
na
nc
ei
ra
7- Um título de valor nominal de R$ 45.000,00 é descontado 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 
juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? 
a. R$ 4.450,00
b. R$ 4.250,00 
c. R$ 7.500,00
d. R$ 5.500,00 
e. R$ 4.500,00 
8- Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 6 meses. 
a. 310
b.311 
c.312 
d.313
e 314
9- Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma 
taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.
a.R$ 9.101
b.R$ 9.351
c.R$ 9.251
d.R$ 9.201
e.R$ 9.151
10- Calcular o valor nominal da expressão; (1% + 0,35 +2% ) /0,01 =
a.34
b.35
c.38 
d.39
e. NDR