MODULO-04 OPERAÇÕES COM TAXAS

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MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é 
empregada de várias formas, ou seja, diversos conceitos são abordados em 
diferentes situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do ponto 
de vista da matemática financeira.
Conforme o Banco Central do Brasil S.A., as taxas de juros de cada instituição 
financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões 
observadas nos últimos cinco dias úteis, período este apresentado no ranking de 
cada modalidade de operação de crédito. 
Como, em geral, as instituições praticam taxas diferentes dentro de uma mesma 
modalidade de operação de crédito, a taxa média pode diferir daquela cobrada de 
determinados clientes. Nesses casos, o cliente deve procurar a respectiva 
instituição financeira para obter mais esclarecimentos. 
A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo 
obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.
Na verdade, entendemos que as taxas são maiores ou menores dependendo do 
tempo e principalmente do risco em que são negociadas. 
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Posição Instituição % a.m. % a.a.
1 BCO CCB BRASIL S.A. 0,63 7,78
2 BCO INDUSVAL S.A. 1,56 20,44
3 BANCO INTER 1,56 20,46
4 BCO SOFISA S.A. 2,05 27,53
5 BCO ALFA S.A. 2,48 34,15
6 BCO PAULISTA S.A. 2,51 34,6
7 NOVO BCO CONTINENTAL S.A. - BM 3,56 52,17
8 BANCOOB 4,43 68,21
9 BCO LUSO BRASILEIRO S.A. 4,6 71,62
10 BCO CAPITAL S.A. 5,58 91,77
11 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S.A. 6,68 117,2
12 BRB - BCO DE BRASILIA S.A. 7,77 145,5
13 BCO BANESTES S.A. 8,38 162,8
14 BCO DO EST. DO PA S.A. 9,51 197,6
15 BCO A.J. RENNER S.A. 10,34 225,8
16 BCO DA AMAZONIA S.A. 10,48 230,8
17 BCO SAFRA S.A. 11,37 264
18 BCO RENDIMENTO S.A. 11,86 283,9
19 BCO DO EST. DE SE S.A. 11,96 288
20 BANCO ORIGINAL 11,99 289,2
21 BCO DO ESTADO DO RS S.A. 12,14 295,5
22 BCO BRADESCO S.A. 12,21 298,7
23 CAIXA ECONOMICA FEDERAL 12,45 308,9
24 BCO DO BRASIL S.A. 12,57 313,9
25 BCO DAYCOVAL S.A 12,75 322
26 ITAÚ UNIBANCO BM S.A. 12,8 324,2
27 BCO SANTANDER (BRASIL) S.A. 14,79 423,5
28 BCO AGIBANK S.A. 15,13 442,3
29 BCO MERCANTIL DO BRASIL S.A. 16,23 508,2
Taxas de 
juros
Período: 12/03/2018 a 16/03/2018
Pessoa física - Cheque especial
Modalidade: Pré-fixado Segundo o Banco Central, taxa cresceu 1,7 
ponto percentual em janeiro; taxa de juros do 
rotativo para quem paga o mínimo do cartão 
também aumentou
Fonte: Economia - iG @ 
http://economia.ig.com.br/financas/2018-02-
27/juros-cheque-especial.html
A taxa de juros do cheque especial cresceu em 
janeiro e chegou a 324,7%, de acordo com 
dados divulgados nesta terça-feira (27) pelo 
Banco Central. Na comparação com dezembro, 
o aumento no índice foi de 1,7 ponto 
percentual. Na comparação com janeiro de 
2017, no entanto, foi registrada queda de 3,6 
pontos percentuais.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
Segundo o Banco Central, taxa cresceu 1,7 
ponto percentual em janeiro; taxa de juros do 
rotativo para quem paga o mínimo do cartão 
também aumentou
Fonte: Economia - iG @ 
http://economia.ig.com.br/financas/2018-02-
27/juros-cheque-especial.html
Ainda de acordo com o BC, a taxa de juros do 
rotativo regular do cartão de crédito , voltada aos 
consumidores que pagaram o valor mínimo da fatura, 
chegou a 241% ao ano em janeiro. Em relação a 
dezembro, houve um aumento de 7,1 pontos na taxa. 
Já na comparação com o mês de janeiro do ano 
passado, houve queda de 191,1 pontos percentuais.
O crédito rotativo não regular , destinada aos 
consumidores que não pagaram ou atrasaram o 
pagamento mínimo da fatura caiu 14,6 pontos, entre 
dezembro e janeiro, chegando a 387,1% ao ano. Em 
janeiro de 2017, ela estava em 541,5% ao ano. Com 
isso, a taxa média na modalidade de crédito –
regular e não regular – ficou em 327,9% ao ano, 
com queda de 6,9 pontos percentuais em relação a 
dezembro.
Posição Instituição % a.m. % a.a.
1 SENFF S.A. - CFI 3,24 46,53
2 CARUANA SCFI 3,5 51,05
3 BCO BMG S.A. 3,63 53,31
4 BANCO INTER 4,02 60,52
5 BCO DAYCOVAL S.A 4,59 71,36
6 BCO OLÉ BONSUCESSO CONSIGNADO S.A. 4,61 71,7
7 BCO INDUSTRIAL DO BRASIL S.A. 5,34 86,79
8 CCB BRASIL S.A. - CFI 7,14 128,8
9 BANCOOB 8,58 168,6
10 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S.A. 9,56 199,08
11 BCO ITAUCARD S.A. 9,88 209,87
12 ITAÚ UNIBANCO BM S.A. 10,13 218,33
13 PORTOSEG S.A. CFI 10,17 219,63
14 BCO DO BRASIL S.A. 10,4 227,79
15 BCO MERCANTIL DO BRASIL S.A. 10,47 230,19
39 BCO DO EST. DE SE S.A. 16,08 498,31
40 VIA CERTA FINANCIADORA S.A. - CFI 16,52 526,58
41 PARANA BCO S.A. 16,76 541,89
42 BCO CETELEM S.A. 17,27 576,26
43 BCO LOSANGO S.A. 17,37 583,45
44 OMNI SA CFI 17,59 599,15
45 BCO AGIBANK S.A. 17,62 601,19
46 PERNAMBUCANAS FINANC S.A. CFI 17,77 612,08
47 AVISTA S.A. CFI 17,98 626,98
48 MIDWAY S.A. - SCFI 18,01 629,19
49 BCO BRADESCO S.A. 18,17 641,42
50 BCO TRIANGULO S.A. 19,95 786,92
51 DACASA FINANCEIRA S/A - SCFI 20 791,19
52 SOROCRED CFI S.A. 23,29 1.133,29
Taxas de juros
Período: 12/03/2018 a 16/03/2018
Pessoa física - Cartão de Crédito
Modalidade: Pré-fixado
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TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando 
aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalente, geram o mesmo 
rendimento.
Em que:
i(eq) = taxa equivalente;
ic = taxa conhecida;
QQ = quanto eu quero;
QT = quanto eu tenho.
Lembrando que:
QQ Þ Relacionado ao prazo (tempo) procurado
QT Þ Relacionado ao prazo (tempo) da taxa conhecida (IC)
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
EXEMPLO: Calcular a equivalência entre as taxas.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
EXEMPLO: Calcular a equivalência entre as taxas.
5% a.m.
65,35% a.s.
9,03% a.p.
502,26% a.a.
25,39% a.a.
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TAXA OVER EQUIVALENTE
A taxa over equivalente é usada pelo mercado financeiro para determinar a 
rentabilidade por dia útil, normalmente multiplicada por 30 (conversão do 
mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor 
taxa para investimento.
Essa prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 1990. 
Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos 
as operações de CDIs (Certificados de Depósitos Interbancários).
Fórmula no 18
Em que:
TOE = taxa over equivalente;
ic = taxa de juros conhecida;
QQ = no de dias efetivos da operação;
QT = no de dias referente à taxa conhecida (ic);
ndu = no de dias úteis no período da operação;
3.000 = resultante da multiplicação de 30 dias por 100 (porcentagem).
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EXEMPLO: O gerente financeiro da empresa Investimentos S/A cotou taxas de 
CDB (Certificado de Depósito Bancário) em dois bancos. No Banco A, foi 
oferecida uma taxa de 28% ao ano para uma aplicação de 63 dias, 
considerando-se 43 dias úteis, enquanto o Banco B ofereceu uma taxa de 26% 
ao ano para 32 dias, considerando 19 dias úteis. Qual é a melhor aplicação?
Dados do Banco A:
ic = 28% a.a.
QQ = 63 dias
QT = 360 dias
ndu = 43 dias
TOE = ?
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Analisando todas as soluções, devemos escolher a aplicação do Banco B, pois 
foi possível verificar e comprovar que a rentabilidade por dia útil é maior que 
a do Banco A.
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TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada para 
corrigir contratos, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da 
casa própria e outros.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou 
com taxas negativas; nesse caso, podemos exemplificar as taxas positivas 
como do tipo 5%, 2% e 1,5% e as taxas negativas como do tipo –2%, –3,5% e 
–1,7% etc.
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode serrepresentado por (1 + i) e a taxa negativa por (1 + i). Assim, teremos a 
seguinte fórmula genérica:
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Fórmula
EXEMPLO: resumo dos principais índices de inflação no Brasil entre Abril de 
2017 e Fevereiro de 2018.
abr/17 mai/17 jun/17 jul/17 ago/17 set/17 out/17 nov/17 dez/17 jan/18 fev/18
IGP-M (FGV) -1,10% -2,02% -2,68% -3,38% -3,28% -2,83% -2,63% -2,13% -1,25% -0,50% -0,43%
INCC-DI (FGV) -0,02% 0,61% 1,55% 1,85% 2,22% 2,28% 2,60% 2,91% 2,99% 3,30% 3,44%
INPC (IBGE) 0,08% 0,44% 0,14% 0,31% 0,28% 0,26% 0,63% 0,81% 1,07% 1,31% 1,49%
IPA-DI (FGV) -1,96% -3,04% -4,52% -5,16% -4,92% -3,99% -4,02% -3,00% -1,97% -1,40% -1,25%
IPC (Fipe) 0,61% 0,56% 0,61% 0,60% 0,70% 0,72% 1,04% 1,34% 1,89% 2,36% 1,93%
IPC-DI (FGV) 0,12% 0,64% 0,32% 0,70% 0,83% 0,81% 1,14% 1,51% 1,72% 2,42% 2,60%
IPCA (IBGE) 0,14% 0,45% 0,22% 0,46% 0,65% 0,81% 1,24% 1,52% 1,97% 2,26% 2,59%
IPCA-E (IBGE) 0,21% 0,45% 0,61% 0,43% 0,78% 0,89% 1,24% 1,56% 1,91% 2,31% 2,70%
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Dados:
IGP-M/FGV: (abr./2017) = -1,1% 1+ (-0,011) x
IGP-M/FGV: (mai./2017) = -0,93% 1 + (-0,0093) x
IGP-M/FGV: (jun./2017) = -0,67% 1+ (-0,0067) x
IGP-M/FGV: (jul./2017) = -0,72% 1+ (-0,0072) x
IGP-M/FGV: (ago./2017) = 0,1% 1+ (0,001) x
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TAXA MÉDIA DE JUROS
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média 
geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de 
um conjunto de taxas extraindo a raiz n-ésima, tomando-se como base o 
número de termos do próprio conjunto de taxas.
Imagine o conjunto de taxas (5%, 7% e 2%); nesse exemplo, o 3 é a 
quantidade de termos desse conjunto de taxas.
A definição da fórmula da taxa média segue basicamente o conceito da taxa 
acumulada de juros com taxas variáveis. Na verdade, devemos, em primeiro 
lugar, calcular a taxa acumulada e, na sequência, a taxa média. Observe o 
exemplo a seguir:
Fórmula
Em que n = número de taxas analisadas.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
EXEMPLO: Com base nos dados do Exemplo anterior, calcular a taxa média.
Dados:
IGP-M/FGV: (abr./2017) = -1,1% 1+ (-0,011) x
IGP-M/FGV: (mai./2017) = -0,93% 1 + (-0,0093) x
IGP-M/FGV: (jun./2017) = -0,67% 1+ (-0,0067) x
IGP-M/FGV: (jul./2017) = -0,72% 1+ (-0,0072) x
IGP-M/FGV: (ago./2017) = 0,1% 1+ (0,001) x
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TAXA REAL DE JUROS
A taxa real de juros nada mais é que a apuração de ganho ou perda em relação 
a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa 
dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
Se considerarmos que determinada aplicação financeira rendeu 10% em um 
dado período, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto 
afirmar que o ganho real dessa aplicação não foram os 10%, tendo em vista 
que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no 
mesmo período; dessa forma, temos de encontrar qual é o verdadeiro ganho 
em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a Taxa Real de Juros.
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Fórmula
Em que:
i = a taxa de juros;
iinf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade;
ir = taxa real de juros.
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EXEMPLO: Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano. 
Sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a 
taxa real de juros.
Dados:
ir = ?
i = 9,5% a.a.
iinf = 5,8% a.a.
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COMPARAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS SIMPLES COM AS TAXAS 
DE JUROS COMPOSTOS
A capitalização simples apresenta vantagens para o investidor quando o 
período da aplicação é inferior ao relativo à taxa negociada. Verific-se ainda 
que, quando o período da aplicação coincide exatamente com o período da 
taxa, não há diferença entre os regimes de capitalização. E, assim sendo, se o 
número de períodos for maior que o período da taxa, haverá uma vantagem 
para o regime de juros compostos.
Para esclarecer essa situação, vamos observar uma tabela de taxas calculadas 
com base nos regimes de capitalização simples e composto para os mesmos 
períodos com a mesma taxa.
Vamos admitir uma taxa de 10% ao mês e períodos de 1 a 45 dias.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
TAXA EFETIVA E TAXA LÍQUIDA
O conceito da taxa efetiva de juros pode ser entendido como o ganho real para 
uma aplicação, para determinado período, sem considerarmos a taxa de 
inflação. Na verdade, a taxa efetiva tem um conceito muito semelhante ao da 
taxa equivalente.
O que realmente difere os dois conceitos são os objetivos do cálculo, ou seja, 
na taxa equivalente objetiva-se comparar duas taxas que, aplicadas a um 
mesmo capital por período considerado equivalente, produzem o mesmo 
rendimento, ao passo que a taxa efetiva tem seu foco direcionado para medir o 
ganho efetivo de uma dada aplicação.
A taxa líquida é assim chamada quando reduzida de possíveis custos 
financeiros, o que não deve ser confundido com a taxa real de juros, que 
compara determinada taxa em um período com a inflação ou custo de 
oportunidade do mesmo período.
Vejamos um exemplo prático:
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
EXEMPLO: Uma aplicação paga 25% ao ano para um período de 30 dias; 
sabendo-se que a inflação do mesmo período é de 18% ao ano e que o 
governo tributa o rendimento das aplicações em 15%, calcular a taxa efetiva, 
líquida, a taxa real de juros e o rendimento para uma aplicação de R$ 
20.000,00.
Dados:
Taxa da aplicação (i) : 25% a.a.
Prazo da aplicação (n) : 30 dias
Taxa de inflação ( iinf ) : 18% a.a.
Imposto de renda: 15%
Valor presente (PV): R$ 20.000,00
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
Taxa efetiva: ?
Taxa líquida: ?
Taxa real: ?
Rendimento: ?
Taxa efetiva (Te) para 30 dias = ?
Te = { (1 + 0,25) – 1} x 100
Te = { (1,25) 0,083333... – 1} x 100
Te = { 1,018769... – 1} x 100
Te = { 0,018769...} x 100
Te = 1,8769% a.m.
Taxa efetiva da inflação (Tei) para 30 dias = ?
Tei = { (1 + 0,18) – 1} x 100
Tei = { (1,18) 0,083333... – 1} x 100
Tei = { 1,013888... – 1} x 100
Tei = { 0,013888...} x 100
Tei = 1,3888% a.m.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
Taxa real ( ir ) = ?
ir = [1,004814...] – 1 x 100
ir = [0,004814...] x 100
ir = [0,004814...] x 100
ir = 0,4814% a.m.
Rendimento (R) = ?
Rendimento = Juros
J = FV – PV
FV = PV (1+ Taxa efetiva)
FV = 20.000 (1 + 0,018769...)
FV = 20.000 (1,018769...)
FV = R$ 20.375,39
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
J = 20.375,39 – 20.000,00
J = R$ 375,39 (rendimento para 30 dias efetivos)
Rendimento líquido (RL) = ?
RL = R x (1 – Taxa de impostos)
RL = 375,39 x (1 – 0,15)
RL = 375,79 x 0,85
RL = R$ 319,08
Taxa Líquida (TL) = ?
TL = 1,5954% a.m.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS DE JUROS
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
Resposta: 26,82% ao ano.
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
Resposta: 4% ao mês.
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia.
Resposta: 78,58% ao ano.
4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos.
Resposta: 4,25% ao trimestre.
5) Determinada revista de informações financeiras apresentou as seguintes 
taxas de CDIs: Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Maio = 1,63%; 
Jun. = 1,60% e Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se:
a) Qual é a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mês)
b) Qual é a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao período)
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de 
giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo de pagar no fim R$ 
148.020,26. Qual é a taxa média dessa aplicação?
Resposta: 5,65% ao mês.
7) O senhor “Dúvida” pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação 
no Banco dos Palmeirenses S/A, que paga45,5% ao ano por 30 dias 
corridos e correspondentes a 21 dias úteis. Suponha que o Banco dos 
Corinthianos S/A pague 45% ao ano por 33 dias corridos e 
correspondentes a 22 dias úteis. Você foi contratado como gerente 
financeiro(a) e encontra-se em período de experiência. Em sua opinião, 
qual dos dois seria o melhor para o aplicador?
Resposta: A melhor taxa é a do Banco dos Corinthianos, de 4,65% 
a.m., contra 4,47% a.m. do Banco dos Palmeirenses.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
8) Se o preço de um produto de dezembro de 2000 foi de R$ 1.580,00 e em 
janeiro de 2001 foi de R$ 1.780,00, o índice de preço correspondente foi 
de:
Resposta: 12,66% ao período.
9) Suponha que no mês-base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 
33,50 e nos 3 meses subsequentes seja de R$ 42,85, R$ 65,00 e R$ 72,25, 
respectivamente. Obtenha a inflação acumulada.
Resposta: 115,67% ao período.
10) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no 
mesmo período a inflação foi de 9% ao ano. Qual é a taxa real de juros?
Resposta: 1,83% ao ano.
11) Calcular a taxa mensal de juros pelo regime de capitalização simples para 
uma taxa de 60% ao ano e para o regime de juros compostos por uma 
taxa de 79,59% ao ano.
Resposta: 5% ao mês.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
12) Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Por 
meio de cálculo, descobriu-se que a taxa de retorno desse investimento é 
de 15% ao ano. Sabe-se que essa fábrica possui uma rentabilidade real de 
seus projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto 
se a taxa de inflação do período for de 12,5% ao ano? Considerando-se a 
política de rentabilidade da empresa, esse projeto deve ser aceito?
Resposta: 2,22% ao ano. O projeto não deve ser aceito.
13) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas de 5%, 2%, 1%, –3,5% e 
4%.
Resposta: Taxa acumulada: 8,56% ao período; Taxa média: 1,66% 
ao mês.
14) Qual é a melhor taxa para aplicação: 0,1% ao dia ou 40% ao ano?
Resposta: 0,1% ao dia.
MÓDULO 4 Operações com Taxas de Juros
15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período de 
33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi 
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento dessa aplicação pagará 
imposto de 15%, pergunta-se: qual é a taxa efetiva dessa aplicação? Qual 
é a taxa real de juros?
Resposta: Taxa efetiva: 1,65% ao período; Taxa líquida: 1,40% ao 
período; e Taxa real de juros: 0,1087% ao período.