Probabilidade em Experimentos Aleatórios

Prévia do material em texto

Experimento Aleatório: 
é aquele que, ainda que sendo realizado sob condições fixas, não possui 
necessariamente resultado determinado. 
Exemplo: 
1. Lançar uma moeda e observar o resultado; lançar um dado e observar o resultado. 
2. Sortear um estudante da USP e perguntar se ele é fumante ou não. 
3. Sortear um doador de sangue cadastrado e verificar o seu tipo sanguíneo. 
 
Espaço Amostral ( Ω	): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. 
Exemplos: 
1. Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2. Doador de sangue (tipo sanguíneo). Ω = {A, B, AB, O} 
3. Hábito de fumar. Ω = {Fumante, não fumante} 
 
Eventos: qualquer subconjunto de resultados possíveis do experimento. 
Notação: A, B, C ⊆ Ω 
𝜙(conjunto vazio): evento impossível 
Ω : evento certo 
 
Probabilidade Dado o espaço amostral Ω de certo experimento aleatório, uma 
probabilidade ´e uma função que atribui a cada evento E ⊂ Ω um determinado valor 
Pr(E) que satisfaz algumas condições que listaremos mais adiante. Intuitivamente, 
deseja-se que o valor Pr(E) seja suficientemente próximo da frequência relativa do 
evento E quando o experimento for repetido um número suficientemente grande de 
vezes. A oração anterior pode ser tornada mais precisa, e transformada em um teorema 
dentro de alguns contextos, mas para isso são necessárias ferramentas mais 
avançadas, que fogem do escopo deste texto. Em todo caso, tendo em vista essa 
intuição subjacente, ´e natural que as condições que iremos exigir para a função Pr 
sejam semelhantes ̀ aquelas que já sabemos serem satisfeitas pela noção de frequência 
relativa. Aqui, trataremos apenas do caso em que Ω ´e finito. Para tal caso, as três 
condições seguintes são suficientes para definirmos uma probabilidade. Definição 6. 
 
Suponha que Ω = {ω1, . . . , ωk}. Uma probabilidade Pr em Ω e uma função definida 
sobre os subconjuntos de Ω e satisfazendo as condições a seguir: 
 
(a) Pr(∅) = 0; 
(b) 0 ≤ Pr(ωi) ≤ 1, para todo ωi ∈ Ω; 
(c) Pr(ω1) + Pr(ω2) + · · · + Pr(ωk) = 1; 
(d) para qualquer evento E, a probabilidade de E ocorrer, denotada por Pr(E), ´e a 
soma das probabilidades de seus elementos. Observação 
 Note que o item (c) da definição anterior implica Pr(Ω) = 1. Também, para eventos A e 
B disjuntos (i.e., sem elementos em comum), segue prontamente do item (d) que 
 
 Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B). 
 
Exemplo: 
 Ao lançar um dado honesto, ou seja, um em que todas as faces têm a mesma chance 
de serem obtidas, a probabilidade de obter cada uma das faces e igual a 1/6. Ao jogar 
tal dado, a probabilidade de se obter um número primo e igual a: 
Pr({2, 3, 5}) = Pr(2) + Pr(3) + Pr(5) = !
"
+ !
"
+ !
"
= !
#
 
Exercícios: 
1) Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, 
qual a probabilidade de ela ser vermelha? 
2) Numa cidade com 1 000 eleitores vai haver uma eleição com dois candidatos, A e B. 
É feita uma prévia em que os 1 000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se 
decidiram, definitivamente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição? 
3) Considere o espaço amostral Ω = {a1, a2, a3, a4} e a distribuição de 
probabilidades, tal que: p1 = p2 = p3 e p4 = 0,1. Calcule: 
a) p1, p2 e p3. 
b) Seja A o evento A = {a1, a3}. Calcule P(A). 
c) Calcule P(AC). 
d) Seja B o evento B = {a1, a4}. Calcule P(B). 
e) Calcule P(A ∪ B) e P(A ∩ B). 
f) Calcule P[(A ∪ B)C] e P[(A ∩ B)C]. 
4) Seja Ω = {K, C} o espaço amostral do lançamento de uma moeda. É correta a 
distribuição de probabilidades P(K) = 0,1, P(C) = 0,9? (Lance uma moeda 100 vezes, 
calcule a frequência relativa do evento cara e verifique se essa distribuição é 
compatível com a realidade.) 
5) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que 
sair coroa. Calcule a probabilidade de: 
a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda; 
b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 
6) Temos duas moedas, das quais uma é perfeita e a outra tem duas caras. Uma das 
moedas, tomada ao acaso, é lançada. Qual é a probabilidade de se obter cara? 
7) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na 
face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de: 
a) ocorrer número par; 
b) ocorrer número maior ou igual a 5. 
8) Se A, B e C são eventos tais que: 
P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(C) = 0,6, P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 0,2 e P(A ∩ B ∩ 
C) = 0,1 
calcule: 
a) P(A ∪ B) 
b) P(A ∪C) 
c) P(A ∪ B ∪C)