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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Carolina Virmond Portela Giovannetti 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Até aqui, vimos unicamente a aplicação e o cálculo de esforços devido a 
cargas permanentes. No entanto, existem construções, como pontes, que 
apresentam cargas móveis, as quais podem ser aplicadas em diferentes pontos 
da estrutura, gerando intensidades variáveis de esforços. Dessa maneira, para 
o dimensionamento de tais estruturas, precisamos saber a posição das cargas 
que gerarão os esforços máximos e mínimos e suas intensidades. 
Uma maneira de obter essas informações seria colocando as cargas em 
diferentes posições e calculando os respectivos esforços, porém isso seria 
muito trabalhoso. Uma forma de simplificar esse processo é por meio da linha 
de influência (LI). 
Esta etapa tem início (tópico 1) com a explicação dos conceitos que 
envolvem a linha de infliuência e como calculá-la. No tópico 2, vamos aprender 
um método simplificado para a obtenção das linhas de influência. Continuando, 
no tópico 3 abordamos o cálculo dos esforços máximos e mínimos devido a 
cargas móveis. Já no tópico 4, vemos o cálculo das envoltórias, obtendo a 
variação dos esforços internos em uma viga, devido à passagem de cargas 
móveis. Finalizamos, no tópico 5, vendo exercicios de aprofundamento dos 
conhecimentos obtidos. 
TEMA 1 – LINHA DE INFLUÊNCIA 
As linhas de influência mostram como determinado esforço varia em um 
ponto específico dentro do elemento, em função da variação da posição de 
uma carga unitária para baixo. Em vigas, de maneira geral, esse esforço pode 
ser uma reação de apoio, um momento fletor ou um esforço cortante. 
Os diagramas de momento e cortante em vigas mostram o efeito ao 
longo do elemento, causados por um carregamento fixo. Já a linha de 
influência representa o efeito em uma seção específica, quando a carga é 
aplicada em diferentes pontos. 
1.1 Linhas de influência de reação de apoio 
1.1.1 Exemplo de LI para reação de apoio 
Desenhe a LI para a reação vertical no apoio A da viga a seguir. 
 
 
3 
Figura 1 – Exemplo de LI para reação de apoio: viga 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Vamos mostrar duas formas de obter a linha de influência. A primeira é 
colocando a carga unitária em diferentes pontos e calculando a reação. 
Colocamos a carga unitária em pontos de 2,5m a 2,5m, como no ponto x 
= 2,5m e no ponto x = 5m, conforme a Figura 2. Por meio das equações de 
equilíbrio, obtemos a reação vertical em A para cada uma das situações. 
Figura 2 – Cálculo da reação em A 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Além da obtenção da reação vertical em A para esses valores de x, para 
facilitar a organização, colocamos esses valores na Tabela 1. 
Ilustrando esses valores graficamente, obtemos a LI (Figura 3). 
Tabela 1 – Valores da LI da reação vertical em A 
x (m) Ay (kN) 
0 1 
2,5 0,75 
5 0,5 
7,5 0,25 
10 0 
 
 
4 
Figura 3 – LI para Ay 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Observando a LI da Figura 3, percebemos que o maior valor da reação 
vertical em A acontece quando a carga unitária está exatamente sobre o ponto 
A e tem valor unitário também. O valor de Ay vai diminuindo à medida que a 
carga unitária se afasta do ponto A e se aproxima do ponto B, chegando a ser 
nula quando a carga está sobre o ponto B. 
A segunda maneira de obter a LI é pelo cálculo da equação, colocando a 
carga em uma distância variável x de A (Figura 4). 
Figura 4 – Carga numa posição variável x 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Pelo cálculo da somatória dos momentos em B, podemos obter a 
equação da reação vertical em A. 
↺ + ∑ 𝑀𝐵 = 0; −𝐴𝑦(10) + (1)(10 − 𝑥) = 0; 
𝐴𝑦 = 1 −
1
10
𝑥 
Ao desenharmos essa equação em um gráfico, obtemos o mesmo 
resultado apresentado na Figura 3. Entenda que todos os valores apresentados 
nessa imagem representam o valor da reação no ponto A (Ay). Esses valores 
 
 
5 
são marcados logo abaixo de onde foi colocada a carga unitária que o gerou. 
Como a reação gerada em A aponta para cima, considera-se que seu sinal é 
positivo, por isso a LI fica marcada acima da linha zero. 
1.2 Linhas de influência de esforço cortante 
Para o mesmo exemplo anterior (Hibbeler, 2013), montaremos a LI do 
esforço cortante no ponto C, a 2,5m do apoio A. Visto que a LI de esforço 
cortante apresenta descontinuidade no ponto calculado, precisamos obter o 
esforço cortante com a carga colocada logo antes do ponto C, VC- (x = 2,5-) e 
logo depois do ponto C, VC+ (x = 2,5+), conforme a Figura 5. 
Figura 5 – DCL cortante à esquerda e à direita 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
As reações de apoio são obtidas da mesma maneira para as duas 
situações. 
∑ 𝑀𝐴 = 0; 𝑅𝐵(10) − 1(2,5) = 0; 𝑅𝐵 = 0,25 
∑ 𝐹𝑉 = 0; 𝑅𝐴 − 1 + 0,25 = 0; 𝑅𝐴 = 0,75 
O esforço cortante com a carga logo à esquerda de C vale: 
𝑉𝐶
− = 0,75 − 1 = −0,25 
O esforço cortante com a carga logo à direita de C vale: 
𝑉𝐶
+ = 0,75 
Fazendo o mesmo cálculo para a carga unitária posicionada a cada 
2,5m do ponto A, obtemos os resultados apresentados na Tabela 2. 
 
 
 
6 
Tabela 2 – Cortante no ponto C devido à carga unitária 
x (m) Vc (kN) 
0 0 
2,5- -0,25 
2,5+ 0,75 
5 0,5 
7,5 0,25 
10 0 
Adotando que para a LI do esforço cortante os valores positivos são 
desenhados para baixo e os valores negativos para cima, o desenho da LI do 
esforço corante no ponto C fica como na Figura 6. 
Figura 6 – LI do esforço cortante em C 
 
Fonte: Giovannetti, 2022. 
Como a LI apresenta duas linhas retas, teremos duas equações do 
esforço cortante: uma entre A e C; outra, entre C e B. O primeiro passo é obter 
a equação das reações em função da posição da carga unitária. Como visto no 
exercício anterior, Ay = 1-x/10, portanto: 
𝑉𝐶𝑥
− = 1 −
𝑥
10
− 1 = −𝑥/10 
Como a carga está à esquerda de C (Figura 7), ao olharmos para a 
esquerda do ponto, devemos considerar a carga unitária na conta. 
 
 
 
7 
Figura 7 – Equação do esforço cortante em C: carga à esquerda 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Consequentemente, a equação do esforço cortante com a carga logo à 
direita de C é: 
𝑉𝐶𝑥
+ = 1 −
𝑥
10
 
Nesse caso, a carga está à direita do ponto. Ao olharmos para a 
esquerda (Figura 8), a única carga existente é a reação no ponto A. 
Figura 8 – Equação do esforço corante em C: carga à direita 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Essas equações obtidas formam a Figura 6. 
1.3 Linhas de influência do momento fletor 
Continuando com o mesmo exemplo, vamos agora obter a LI do 
momento fletor no ponto C. Novamente, teremos duas equações: uma para o 
momento quando a carga está à esquerda de C, no trecho AC, e outra para 
quando a carga está à direita de C, no trecho CB. 
 
 
8 
𝑀𝐶𝑥
− = −1(2,5 − 𝑥) + 𝐴𝑦(2,5) = −1(2,5 − 𝑥) + (1 −
1
10
𝑥) (2,5) = 0,75𝑥 
𝑀𝐶𝑥
+ = 𝐴𝑦(2,5) = (1 −
1
10
𝑥) (2,5) = 2,5 − 0,25𝑥 
Substituindo os valores de x, obtemos: 
x (m) Vc (kN) 
0 0 
2,5 1,875 
5 1,25 
7,5 0,625 
10 0 
Desenhando graficamente esses resultados obtemos a LI do momento 
fletor, conforme a Figura 9. 
Figura 9 – LI do momento fletor no ponto C 
 
TEMA 2 – MÉTODO GRÁFICO 
O Princípio de Müller-Breslau é uma forma simplificada de obter a linha 
de influência para vigas. Ele afirma que a LI pode ser gerada pela liberação da 
restrição, cuja função desejamos obter, e obtenção da estrutura deformada 
quando é aplicado um deslocamento ou rotação unitário no mesmo ponto e 
direção da função. 
Para exemplo da LI de reação de apoio nos pontos A e B, temos a 
Figura 10. Na Figura10b, a restrição vertical do deslocamento no ponto A foi 
removida. Ao aplicarmos um deslocamento unitário vertical, para cima (direção 
positiva) em A, a estrutura deformada fica como as linhas em azul. Esse 
formato coincide com o da Figura 3, de uma viga biapoiada, mesmo caso da 
Figura 10a. 
 
 
9 
No caso da obtenção da LI da reação em B, removemoso vínculo 
vertical, no mesmo ponto, e aplicamos o deslocamento unitário vertical para 
cima, gerando a deformada como as linhas azuis da Figura 10c. 
Figura 10 – LI de reações de apoio: Müller-Breslau 
 
Fonte: Kassimali, 2016. 
Pela semelhança entre os triângulos AA’C e DD’C, podemos obter a 
equação da LI (y = 1-x/L), da mesma forma como fizemos no tópico anterior. 
Veremos agora a construção da LI do esforço cortante em uma seção S 
(Figura 11), de uma viga biapoiada com dois balanços, considerando S 
localizada entre os dois apoios. O método gráfico para a obtenção da LI do 
esforço cortante em S começa traçando duas linhas paralelas. A primeira 
passa pelo apoio em A e se prolonga até o um ponto a -1 para cima de B. A 
segunda passa pelo apoio em B e por um ponto a +1 para baixo de A. Pegando 
partes dessas linhas, obtemos a LI do esforço cortante em S, como na Figura 
11. 
Por semelhança de triângulos, obtemos que a expressão da LI do 
cortante da primeira linha é: 
𝑄𝑆(𝑥) = −
𝑥
𝑙
 
Já a da segunda linha é: 
 
 
10 
𝑄𝑆(𝑥) =
(𝑙 − 𝑥)
𝑙
 
Figura 11 – LI do esforço cortante e do momento fletor na seção S: método 
gráfico 
 
Fonte: Martha, 2022. 
No caso da LI do momento fletor em S, também traçamos duas linhas, 
porém a primeira passa pelo apoio A e por uma distância b abaixo do ponto B. 
A segunda passa pelo apoio em B e por um ponto localizado a uma distância a, 
para baixo do ponto A, conforme a Figura 11. 
Também por semelhança de triângulos obtemos a expressão para a 
primeira linha: 
𝑀𝑠(𝑥) =
𝑏𝑥
𝑙
 
E para a segunda linha: 
 
 
11 
𝑀𝑆(𝑥) = 𝑎
𝑙 − 𝑥
𝑙
 
Devemos obter também as LI do esforço cortante e do momento fletor 
em uma seção S localizada nos balanços (Figura 12). A seção Aesq está 
localizada logo à esquerda de A e a seção Bdir está localizada logo à direita de 
B. 
Figura 12 – LI do esforço cortante e do momento fletor nos balanços: método 
gráfico 
 
Fonte: Martha, 2022. 
Nota-se que a LI tem valor nulo para qualquer posição da carga que não 
esteja localizada entre a seção e a extremidade do balanço. 
TEMA 3 – ESFORÇOS DEVIDO A CARGAS MÓVEIS 
Tendo a linha de influência, é fácil calcular o respectivo esforço causado 
por um carregamento. No caso de uma carga pontual, seu esforço é obtido 
pela multiplicação de seu módulo pelo valor da LI no seu ponto de aplicação. 
Dada a viga da Figura 1, com as LI do esforço cortante (Figura 6) e do 
momento fletor (Figura 9) no ponto C, calcule o esforço cortante e o momento 
devido a uma carga de 10kN para baixo, aplicada logo à esquerda de C, logo à 
direita de C, e a mesma carga aplicada no centro da viga. 
• Esforço cortante devido a carga pontual 
 
 
12 
Com A LI do esforço cortante em C, aplicamos a carga logo à esquerda 
de C (Figura 13). Seguindo o explicado, devemos multiplicar o valor da carga 
(10kN), pelo valor da LI no mesmo ponto de aplicação da carga (-0,25), assim o 
esforço na seção C devido à aplicação dessa carga vale -2,5kN. 
Figura 13 – Carga logo à esquerda de C 
 
Se aplicarmos a carga logo à direita de C, o esforço cortante em C 
valerá 7,5kN (10kN*0,75). Ao posicionarmos a carga no meio da viga, cuja LI 
vale 0,5, obteremos um esforço de 5kN (10kN*0,5). 
• Momento fletor devido a carga pontual 
Para calcularmos o momento fletor em C causado pela carga de 10kN 
aplicada em C, devemos posicioná-la exatamente sobre esse ponto (Figura 14) 
e multiplicar seu módulo pelo valor da LI. 
Figura 14 – LI do momento fletor em C: carga em C 
 
𝑀𝐶 = 10 ∗ 1,875 = 18,75𝑘𝑁 ∗ 𝑚 
Se a carga for posicionada no meio da viga, teremos 10*1,25 = 
12,5kN.m. 
Já no caso de cargas distribuídas, o esforço é obtido pela multiplicação 
de seu valor pela área da linha de influência logo abaixo. Assim, para obtermos 
o esforço cortante na seção C devido a uma carga distribuída de 3kN/m sobre 
a viga toda, pegamos a LI do esforço cortante em C, aplicamos a carga 
distribuída sobre toda a viga (Figura 15). Em seguida, multiplicamos seu 
módulo pela área da LI. 
 
 
 
13 
Figura 15 – LI de esforço cortante com carga distribuída 
 
𝑉𝐶 = 3 ∗ (
−0,25 ∗ 2,5
2
) + 3 ∗ (
0,75 ∗ 7,5
2
) = 7,5𝑘𝑁 
Similarmente, para o cálculo do momento fletor no ponto C, 
multiplicamos a carga distribuída pela área da linha de influência logo abaixo 
(Figura 16). 
Figura 16 – LI de momento fletor com carga distribuída 
 
𝑀𝐶 = 3 ∗ (
10 ∗ 1,875
2
) = 28,125𝑘𝑁. 𝑚 
3.1 Trem-tipo, esforços máximos e mínimos 
Um trem-tipo pode representar o carregamento idealizado de veículos 
em uma ponte. Como exemplo, podemos ter um veículo principal, com peso de 
20kN em um eixo e 40kN em outro, ambos afastados em 3 metros. Além desse 
veículo, a ponte pode também estar submetida a um carregamento distribuído, 
que representa os veículos secundários que podem, também, trafegar na via. 
No nosso caso, adotaremos 20kN/m. 
 
 
 
14 
Figura 17 – Trem-tipo 
 
 
Essa carga é considerada acidental, pois os veículos podem estar ou 
não estar na ponte. Assim como podem estar somente parcialmente na obra. 
Logo, para calcular os esforços máximos e mínimos, a carga pode ser 
interrompida. 
Seguindo esse pensamento, para calcularmos o mínimo esforço cortante 
em C, devemos utilizar a LI do esforço cortante em C (Figura 6) e posicionar o 
trem-tipo de forma a obter o menor valor possível (Figura 18) carga superior. 
Figura 18 – Esforço cortante máximo e mínimo 
 
Devemos colocar a carga de maior valor (40kN) sobre o menor valor da 
LI (-0,25). A carga de 20kN fica posicionada a 3m dela, para a esquerda, 
 
 
15 
portanto, fora da viga. Se colocássemos essa carga à direita, ela aumentaria o 
valor resultante; como queremos o menor valor, devemos colocá-la para a 
esquerda. A carga distribuída é posicionada sobre todo o trecho que possui 
valor negativo na LI, de maneira a obter o menor valor possível. Sendo assim: 
𝑉𝐶
𝑀í𝑛 = 40 ∗ (−0,25) + 20 ∗ (
−0,25 ∗ 2,5
2
) = −16,25𝑘𝑁 
A Figura 18 também ilustra a posição do trem-tipo para o cálculo do 
máximo esforço cortante em C, que na imagem está ilustrado abaixo da viga. 
De mesma forma, a maior carga, 40kN, foi colocada na posição de maior valor 
da LI (0,75), sobre o ponto C. Logicamente, a carga de 20kN é posicionada a 
3m para a direita e a carga distribuída é colocada em todo o trecho positivo da 
LI, ou seja, à direita de C. 
Feito isso, precisamos obter o valor da linha de influencia abaixo na 
carga de 20kN. Esse ponto é localizado a 3 metros de C, portanto, a 4,5m de B 
(Figura 19). 
Figura 19 – Máximo cortante 
 
Por semelhança de triângulos: 
7,5
0,75
=
4,5
𝑦
 
𝑦 =
4,5 ∗ 0,75
7,5
= 0,45 
Com esse valor, podemos calcular o esforço cortante máximo gerado 
por esse trem-tipo: 
𝑉𝐶
𝑀á𝑥 = 40 ∗ 0,75 + 20 ∗ 0,45 + 20 ∗
0,75 ∗ 7,5
2
= 95,25𝑘𝑁 
 
 
16 
Dessa maneira, a passagem desse trem-tipo por essa viga pode gerar 
um esforço mínimo de -16,25kN e um máximo de 95,25kN. 
Fazendo o mesmo raciocínio, podemos obter os valores máximos e 
mínimos do momento fletor, no ponto C, devido à passagem do mesmo trem-
tipo. Como a LI do momento não apresenta valores negativos, o esforço 
mínimo vale zero, quando não existem veículos na ponte. Já o esforço máximo 
é alcançado ao colocar a carga de 40kN sobre o ponto C e a carga de 20kN à 
direita, a 3m (Figura 20). Se colocarmos essa carga à esquerda, ela estaria 
fora da ponte e o esforço seria menor. Como toda a LI apresenta valores 
positivos, distribuímos a força de 20kN/m ao longo de toda a viga. 
A LI no ponto de aplicação da força de 20kN é calculada por triângulos, 
como anteriormente: 
1,875
7,5
=
𝑦
4,5
; 𝑦 = 1,125 
Figura 20 – Máximo momento fletor 
 
Calculando o momento máximo: 
𝑀𝐶
𝑀á𝑥 = 40 ∗ 1,875 + 20 ∗ 1,125 + 20 ∗
1,875 ∗ 10
2
= 285𝑘𝑁. 𝑚 
TEMA 4 – ENVOLTÓRIA 
Uma envoltória ilustra graficamente a variação entre os esforços 
máximos e mínimosao longo de uma viga. 
Continuaremos com o exemplo da Figura 17, porém com o acréscimo de 
uma carga distribuída permanente de 25kN/m (Figura 21). Como essa carga é 
permanente, sempre está atuando sobre a viga e seus esforços devem ser 
considerados tanto para a obtenção dos esforços máximos como dos mínimos. 
 
 
17 
Figura 21 – Carga distribuída permanente 
 
Os esforços devido à carga permanente são obtidos como estudados em 
outro momento. O diagrama dos esforços cortante pode ser visto na Figura 22. 
Figura 22 – Diagrama de esforços cortantes 
 
O diagrama de momentos fletores, causado pela carga permanente, está 
ilustrado na Figura 23. 
Figura 23 – Diagrama de momento fletor 
 
Para a obtenção dos esforços cortantes máximos e mínimos, no ponto 
D, devido à carga móvel, obtemos a LI desse esforço e posicionamos o trem-
tipo como na Figura 24. 
 
 
 
18 
Figura 24 – Posição do trem-tipo para máximos e mínimos cortantes no ponto 
D 
 
Seguindo o mesmo processo apresentado no tópico 3, temos: 
𝑉𝐷
𝑀í𝑛 = 40 ∗ (−0,5) + 20 ∗ (−0,2) + 20 ∗
−0,5 ∗ 5
2
= −49𝑘𝑁 
𝑉𝐷
𝑀á𝑥 = 40 ∗ 0,5 + 20 ∗ 0,2 + 20 ∗
0,5 ∗ 5
2
= 49𝑘𝑁 
Já para o cálculo dos momentos fletores máximos e mínimos, no ponto 
D, devido à carga móvel, obtemos a LI desse esforço e posicionamos o trem-
tipo como na Figura 25. 
Figura 25 – Posição do trem-tipo para máximos e mínimos momentos fletores 
no ponto D 
 
O momento mínimo devido ao trem-tipo é zero, e o máximo é: 
 
 
19 
𝑀𝐷
𝑀á𝑥 = 40 ∗ 2,5 + 20 ∗ 1,0 + 20 ∗
2,5 ∗ 10
2
= 370𝑘𝑁. 𝑚 
Para os máximos e mínimos no ponto A, começamos com a LI do 
esforço cortante em A e o posicionamento da carga móvel (Figura 26). 
Figura 26 – Posição do trem-tipo para máximo e mínimo esforço cortante no 
ponto A 
 
O cortante mínimo vale zero, pois não existe LI com valor negativo; já o 
esforço cortante máximo em A vale: 
𝑉𝐴
𝑀á𝑥 = 40 ∗ 1 + 20 ∗ 0,7 + 20 ∗
1 ∗ 10
2
= 154𝑘𝑁 
Como o ponto A é uma rótula, os momentos máximo e mínimo valem 
zero. 
Na sequência, os valores da envoltória são calculados somando a carga 
permanente com os valores máximos ou mínimos devido à carga móvel, assim 
obtemos a Tabela 3 para a envoltória dos esforços cortantes. Como a viga é 
simétrica, os valores dos esforços cortantes em A têm o mesmo módulo, porém 
sinais opostos que em B; o mesmo serve para os pontos C e E. 
Tabela 3 – Envoltória dos esforços cortantes (kN) 
Seção 
Carga 
Permanente 
Carga 
Móvel 
Máximo 
Carga 
Móvel 
Mínimo 
Envoltória 
Máximo 
Envoltória 
Mínimo 
A - B 125 154 0 279 125 
C - E 62,5 95,25 -16,25 157,75 46,25 
D 0 -49 49 -49 49 
 
 
20 
Desenhando essa envoltória, obtemos a Figura 27. 
Figura 27 – Envoltória dos esforços cortantes (kN) 
 
Seguindo o mesmo processo, obtemos a Tabela 4 e a Figura 28. Para 
vigas simétricas, os momentos fletores em A são iguais aos em B e os em C 
são iguais aos em E. 
Tabela 4 – Envoltória dos momentos fletores (kN.m) 
Seção 
Carga 
Permanente 
Carga 
Móvel 
Máximo 
Carga 
Móvel 
Mínimo 
Envoltória 
Máximo 
Envoltória 
Mínimo 
A - B 0 0 0 0 0 
C - E 234,4 285 0 519,4 234,4 
D 312,5 370 0 682,5 312,5 
Figura 28 – Envoltória dos momentos fletores (kN) 
 
 
 
21 
TEMA 5 – APROFUNDAMENTO 
5.1 Exemplo de LI para reação de apoio 
Desenhe a LI para a reação vertical no apoio em B (By), para a viga a 
seguir. 
Figura 29 – Exemplo 2 de LI para reação de apoio 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
Podemos obter a equação da reação no ponto B (By) pela equação da 
estática da somatória dos momentos no ponto A, utilizando como base o 
diagrama do corpo livre (Figura 30). 
Figura 30 – DCL reação em B 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
↺ + ∑ 𝑀𝐴 = 0; 𝐵𝑦(5) − 1(𝑥) = 0; 
𝐵𝑦 =
1
5
𝑥 
Construindo a LI com essa equação, tem-se a Figura 31. 
 
 
22 
Figura 31 – LI da reação no ponto B 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
5.2 Exemplo de LI para esforço cortante e momento fletor 
Obtenha as LI para o esforço cortante e para o momento fletor nos 
pontos A e B da viga a seguir. 
Figura 32 – Viga: exemplo de aprofundamento – LI 
 
Nesse exercício, utilizaremos o método gráfico. Para a linha de 
influência do esforço cortante em A, devemos observar a Figura 12. Segundo 
ela, a LI do esforço cortante em A é uma linha horizontal da extremidade do 
balanço até o ponto A, com valor unitário de -1 (Figura 33). 
Figura 33 – Viga: exemplo de aprofundamento – LI cortante no apoio A 
 
Ainda observando a Figura 12, a LI do momento fletor no mesmo ponto 
é uma linha inclinada com valor nulo no apoio; na extremidade possui o valor 
negativo com o mesmo módulo do comprimento do balanço, no caso, 1 (Figura 
34). 
 
 
 
23 
Figura 34 – Viga: exemplo de aprofundamento – LI momento no apoio A 
 
Para as LI dos esforços em B, devemos observar a Figura 11. No caso 
do esforço cortante, temos duas linhas inclinadas: a linha de esquerda vale -x/l 
e a da direita vale(l-x)/l. Substituindo os valores, temos, na primeira linha: 
𝑄𝑆(2) = −
2
3
= −0,6667 
Já a da segunda linha: 
𝑄𝑆(2) =
(3 − 2)
3
= 0,3333 
Assim, podemos desenhar a LI do esforço cortante em B, como a Figura 
35: 
Figura 35 – Viga: exemplo de aprofundamento – LI cortante em B 
 
Finalmente, podemos desenhar a LI do momento em B (Figura 36), 
sabendo que nesse ponto ela vale a.b/l. 
𝑀𝑠(2) =
1 ∗ 2
3
= 0,6667 
O valor na extremidade pode ser obtido por semelhança de triângulos. 
Figura 36 – Viga: exemplo de aprofundamento – LI do momento em B 
 
 
 
 
24 
5.3 Exemplo de LI para viga engastada 
Obtenha as LIs para os esforços cortantes e momentos fletores da viga 
a seguir nos pontos A e B. 
Figura 37 – Viga engastada 
 
• LI do esforço cortante em B 
Separamos a viga em B (Figura 38) e calcularemos a variação no 
esforço cortante na seção, com a carga variando de C até B e de B até A. 
Figura 38 – Viga engastada: seção em B 
 
Com a carga variando de C até logo à direita de B, e respeitando a 
convenção de sinais vista em outro momento, temos: 
Figura 39 – Convenção de sinais 
 
𝑉𝐵𝐶 = 1 
Com a carga variando entre logo à esquerda de B e A, não existe 
esforço no ponto B, portanto: 
𝑉𝐴𝐵 = 0 
Logo, a linha de influência do esforço cortante em B fica: 
Figura 40 – LI do esforço cortante em B 
 
 
25 
 
• LI do momento fletor em B 
No primeiro trecho, a força unitária varia de C até logo à direita de B, 
assim a equação da LI do momento fletor em B fica: 
𝑀𝐵𝐶 = −1𝑥1 
Logo, na extremidade do balanço a LI vale -1*2,5 = -2,5kN.m. Já no 
ponto B, x1 = 0, portanto, MBC = 0. 
Com a carga variando entre logo à esquerda de B até A, não existe 
esforço no ponto B, portanto: 
𝑀𝐴𝐵 = 0 
Assim, a LI do momento no ponto B resulta em: 
Figura 41 – LI do momento fletor em B 
 
• LI do esforço cortante em C 
Nos cálculos anteriores, utilizamos a metodologia apresentada no tópico 
1; agora empregaremos o método gráfico, conforme o tópico 2. Como se trata 
de uma viga em balanço, utilizaremos como referência a Figura 12; nela é 
possível verificar que a LI do esforço cortante no balanço é constante e com 
valor de 1, ficando como na figura a seguir. 
Figura 42 – Linha de influência do esforço cortante em A 
 
Avaliando ainda a Figura 12, vemos que a LI do momento fletor no apoio 
varia linearmente do valor zero no apoio até o valor mínimo na extremidade 
 
 
26 
livre. O módulo do valor no apoio coincide com o comprimento do balanço, no 
caso 5, portanto a linha de influência do momento fletor em A fica: 
Figura 43 – LI do momento fletor em A 
 
FINALIZANDO 
Os tópicos abordados nessa etapa foram as cargas móveis e os 
esforços gerados por elas. Para isso aprendemos a obter a linha de influência 
de uma carga unitária que “passeia” pela viga. Com essa linha, pudemos 
verificar a posição das cargas que majoram e minoram as solicitações, para, 
com isso, posicionarmos o trem-tipo e calcularmosos esforços. Após 
aprendermos tudo isso, pudemos fazer alguns exercícios de aprofundamento. 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas. Tradução de Jorge Ritter; revisão 
técnica de Pedro Vianna. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
KASSIMALI, A. Análise estrutural. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. 
MARTHA, L. Análise de estruturas - conceitos e métodos básicos. 3. ed. Rio 
de Janeiro: Grupo GEN, 2022.