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IFBA/Processamento Digital de Sinais/ Prof. Fabŕıcio Simões 1
Lista de Exerćıcios I
1. Esboce os sinais discretos a seguir:
(a) x[n] = u[n+ 3] + 0, 5u[n− 1]
(b) x[n] = δ[n− 3] + 0, 5δ[n− 1]
(c) x[n] = 2nδ[n− 4]
(d) x[n] =
∑∞
k=0 4δ[n− 3k − 1]
(e) x[n] =
∑∞
k=−∞(−1)kδ[n− 3k]
2. Considere a seqüência de tempo discreto
x[n] = cos(nπ/8).
Encontre dois sinais cont́ınuos no tempo que produzem essa seqüência quando são amostrados com
uma freqüência de fa = 10kHz.
3. Sabe-se que um sinal de tempo cont́ınuo xa(t) pode ser recuperado de forma única a partir de suas
amostras xa(nTs) quando T = 1ms. Qual é a freqüência mais alta de Xa(f)?
4. Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se um sinal for periódico, determine
o seu peŕıodo fundamental.
(a) x[n] = exp(jπn/4)
(b) x[n] = cos(n/4)
(c) x[n] = cos(
√
3πn), atenção ao número irracional
√
3.
5. Encontre dois sinais diferentes de tempo cont́ınuo que produzem a seqüência
x[n] = cos(0, 15πn)
quando amostrados com uma freqüência de amostragem de 8kHz.
6. Suponha que xa(t) seja limitado em faixa a 8kHz (isto é, Xa(f) = 0 para |f | > 8000). (a) Qual é a
taxa de Nyquist para xa(t)? (b) Qual é a taxa de Nyquist para xa(t) cos(2π1000t)?
7. Determine os coeficientes da série de Fourier para a seqüência amostrada x[n] apresentada na Figura
1
8. Suponha que xc(t) é um sinal peródico cont́ınuo no tempo com peŕıodo 1ms e cuja série de Fourier
é
xc(t) =
9∑
k=−9
ake
j(2πkt/10−3)
Os coeficientes da série de Fourier são iguais a zero para |k| > 9. O sinal x[n] é obtido com
x[n] = xc
(
n10−3
6
)
Determine x[n]. A freqüência de amostragem está de acordo com o critério de amostragem?
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Fig. 1: Sinal x[n]
9. Calcule os coeficientes da série de Fourier do sinal discreto abaixo. Em seguida escreva a série de
Fourier de x[n].
x[n] =
∞∑
k=−∞
(u[n− 5k]− u[n− 4− 5k])
10. Determine a série de Fourier dos sinais abaixo:
x[n] = 1 + cos(2πn/6)
x[n] = sen (2πn/6 + π/4)
Os valores encontrados para c0d são coerentes ? Explique a sua resposta.
11. A Figura 2 apresenta o espectro dos sinais f1(t) e f2(t). Determine a taxa de amostragem de Nyquist
para os sinais
a) f1(t);
b) f2(t);
c) f21 (t);
d) f22 (t);
e) f1(t)f2(t).
12. Considere que o aúdio gravado em CD tenha largura de banda de 15 KHz para responder as questões
abaixo :
(a) Qual a taxa de amostragem ?
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ω2π × 105
F1(ω)
ω3π × 105
F2(ω)
Fig. 2: Espectro dos sinais f1(t) e f2(t).
(b) Se as amostras são quantizadas em 65536 ńıveis de quantização, quantos bits são necessários
para codificar cada amostra ?
(c) Quantos bits/s são necessários para codificar o sinal de áudio?
13. Determine a taxa de amostragem de Nyquist para os sinais :
a) sinc2(100πt)
b) 0, 01sinc2(100πt)
c) sinc(100πt) + 3sinc2(60πt)
d) sinc(50πt)sinc(100πt)
Lembrando que sinc(x) = sin(x)/x.
14. Um sinal analógico de um eletrocardiograma (ECG) contém componentes de frequência até 100Hz.
(a) Qual a frequência de amostragem do sinal ?
(b) Suponha que nós amostramos esse sinal a uma taxa de 250 amostras/s. Qual é a frequência
mais alta que pode ser representada por essa taxa de amostragem ?
15. Seja x[n] um sinal real, ı́mpar com peŕıodo N=7 e coeficientes da série de Fourier ak. Dado que
a15 = j, a16 = 2j, a17 = 3j,
determine os valores de a0, a−1, a−2 e a−3. Dica: O sinal par tem coeficientes reais e pares e
so sinais ı́mpares, coeficientes imaginários e ı́mpares.
Respostas
1.
2. x1(t) = cos(2π625t)
x2(t) = cos(2π10625t)
3. 500 Hz
4. (a) Periódico (b) Não Periódico (c) Não Periódico
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5. x1(t) = cos(2π600t)
x2(t) = cos(2π8600t)
6. fa = 16 kHz fa = 18 kHz
7. c−1d = 0, 707e
−j135◦
c0d = 1, 5
c1d = 0, 707e
j135
◦
c2d = 0, 5e
−j180◦
8. (a) x[n] =
∑9
k=−9 ake
j(πkn)/3
(b) Não
9. c−2d = (1/5)e
j36◦ , c−1d = (1/5)e
j108◦ , c0d = 4/5, c1d = (1/5)e
−j108◦ , c2d = (1/5)e
−j36◦
x[n] = (1/5)ej0,63e−j4πn/5 + (1/5)ej1,88e−j2πn/5 + 4/5 + (1/5)e−j1,88ej2πn/5 + (1/5)e−j0,63ej4πn/5
10. c−2d = 0, c−1d = 1/2, c0d = 1, c1d = 1/2, c2d = c3d = 0
c−2d = 0, c−1d = (1/2)e
−jπ/4, c0d = 0, c1d = (1/2)e
jπ/4, c2d = c3d = 0
11. (a) ωa = 1,26 × 106 rad/s
(b) ωa = 1,88 × 106 rad/s
(c) ωa = 2,51 × 106 rad/s
(d) ωa = 3,76 × 106 rad/s
(e) ωa = 3,14 × 106 rad/s
12. (a) fa = 30 kHz
(b) Nbits = 16
(c) 480000 bits/s
13. (a) ωa = 1,256 × 103 rad/s
(b) ωa = 1,256 × 103 rad/s
(c) ωa = 7,54 × 102 rad/s
(d) ωa = 9,42 × 102 rad/s
14. fa = 200 Hz
fmax = 125 Hz
15.