Calculo Integral

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CLARETIANO – CENTRO UNIVERSITÁRIO 
 
 
 
 ALUNA : RENATA CUSTODIO DO NASCIMENTO 
 RA : 8167561 
ALUNA: JOELMA GUEDES DE LIMA 
RA: 8239521 
 
 
 
 
 
 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
PROFESSOR: JULIANA BRASSOLATTI GONCALVES 
 
 
 
 
 
 
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1)Determine a primeira derivada das funções usando as regras de derivação : 
A) 𝑠 = 5𝑡3  −  3𝑡5  
𝑠 = 3 ∙ 5𝑡3−1 − 5 ∙ 3𝑡5−1 
 𝑠 = 15𝑡2 + 15𝑡4 
 
B) 𝒚 =
𝟒𝒙𝟑
𝟑
− 𝟒 
𝑦′3 ∙ 4𝑥3−1 
𝑦 = 12𝑥² 
 
C) 𝒇(𝒙) =
𝟓
𝟔𝒙𝟓
 
𝑓(𝑥) =
5
6𝑥5
 
𝑓(𝑥)′ (
1
𝑥5
) 
=
5
6
(𝑥−5) 
=
5
6
(−5𝑥−5−1) 
𝑓(𝑥)′ = −
25
6𝑥6
 
 
D) 𝑓(𝑥) = 
𝟏
𝟖
𝒙𝟖 − 𝒙𝟒 
=
𝑥8
𝑥
− 𝑥4 
 (
𝑥8
8
) = 𝑥7 (𝑥4) = 𝑥3 
𝑓(𝑥)′ = 𝑥7 − 𝑥3 
 
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E) 𝒈(𝒙) =
𝟑
𝒙𝟐
+
𝟓
𝒙𝟒
 
(
3
𝑥2
) = −
6
𝑥3
 
 (
5
𝑥4
) = −
20
𝑥5
 
𝑔(𝑥) = −
6
𝑥3
−
20
𝑥5
 
 
F) 𝑓(𝑥) =  𝑥4  − 5  + 𝑥−2  + 4𝑥−4 
𝑥4−1 = 𝑥3 
5 = 0 
𝑥−2−1 = −
2
𝑥3
 
4𝑥−4−1 = −
16
𝑥5
 
𝑓(𝑥)′ = 𝑥³ −
2
𝑥3
−
16
𝑥5
 
 
 
G) 𝑦 =  6𝑥2  + 𝑠𝑒𝑛𝑥  + 9 
2 ∙ 6𝑥2−1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 0 
𝑦′ = 12𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
H) 𝑦 = −3𝑥3  − cos 𝑥   + 7𝑥 
−3 ⋅ 3𝑥3 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 7 
𝑦′ = −9𝑥2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 7 
 
I) 𝑦 = 8 – tgx 
𝑦′ = −𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
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J) 𝑦 = 𝑒𝑥   − 5𝑥3  − 7 
𝑒𝑥 − 3 ⋅ 5𝑥3−1 − 0 
𝑦′ = 𝑒𝑥 − 15𝑥2 
K) 𝑦 =  5 lnx − 8𝑥 
=
5
𝑥
− 8 
 
L) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥  + 4 cos 𝑥   − ln 𝑥 
2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
𝑥
 
 
2) Determine a primeira derivada das funções usando as regras do produto e do quociente: 
 A) 𝑓(𝑥) = (3𝑥5  − 1)(2  − 𝑥4) 
 𝑓` 
c) 𝑓(𝑥) =  𝑥3  ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 𝑓`(𝑥) =  3𝑥2  ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥  + 𝑥3  ⋅ cos 𝑥 
d) 𝑓(𝑥)  = cos 𝑥 3𝑥 
 𝑓` 3𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a primeira derivada das funções usando a regra da cadeia: 
 
a) 𝑦 = 10 ⋅ (3𝑥2  + 7𝑥 − 3)10 
 𝑔(𝑥) =  6𝑥2  + 7𝑥  − 3 
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 𝑓(𝑥) = 𝑥10 
 𝑓`(𝑥) = 10𝑥9 
 𝑓`(𝑔(𝑥)) = 𝑓`(3𝑥2 + 7𝑥 − 3) = 10 ⋅ (6𝑥2 +  7)9 
 𝑔`(𝑥) = 12𝑥 
 ℎ(𝑥) = 100(6𝑥2 + 7) ⋅ 12𝑥 
 
b) 𝑦 = cos(3𝑥2 + 4𝑥) 
 𝑔(𝑥) = 3𝑥2  + 4𝑥 
 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 
 𝑓´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 𝑓´(𝑔(𝑥)) = 𝑓`(3𝑥2 + 4𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(3𝑥2  + 4𝑥) 
 𝑔`(𝑥) = 6𝑥 + 4 ℎ`(𝑥) =   − 
𝑠𝑒𝑛(3𝑥2  + 4𝑥) ⋅ 6𝑥 + 4 
 
c) 𝑦 = 𝑒{𝑥2   − 3𝑥 
𝑔(𝑥) = (𝑥2  − 3𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓`(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑔(𝑥))  = 𝑓`(𝑥2  − 3𝑥)  = 𝑒𝑥2 −3𝑥 
𝑔`(𝑥) = 2𝑥 − 3 
ℎ`(𝑥)  =  𝑒𝑥2−3𝑥  ⋅ 2𝑥 − 3 
 
4) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão e sua altura s (em metros) no 
instante t (em segundos) é dada por 𝑠(𝑡) = −16𝑡2   + 64𝑡 
 
 
a) Qual é a velocidade da bola no instante t? 
𝑠(𝑡) = −16𝑡2   + 64𝑡 
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𝑠`(𝑡) = −32𝑡  + 64 
 
b) Qual é a velocidade da bola no instante t = 4 segundos? 
𝑠`(𝑡) = −32𝑡  + 64 
𝑣(4) = −32 ⋅ 4  + 64 
𝑣(4) = −128  + 64 
𝑣(4) = −64 Segundos 
 
c) Qual é a aceleração da bola no instante t? 
 𝑎  =   − 32 
 
5) Suponha que a equação da velocidade v (em m/s) de um ponto material em função do 
tempo t (em segundos) é dada por 𝑣(𝑡) =   − 3𝑡2  + 18𝑡  + 8 Determine o instante no qual a 
velocidade do ponto material é máxima. 
 
𝑣(𝑡) =   − 3𝑡2  + 18𝑡  + 8 𝑓``(𝑥)  = −6𝑡  + 18 
𝑓`(𝑥)  =   − 6𝑡  + 18 𝑓``(𝑥)  = −6 
   − 6𝑡  = −18 
 𝑡  =   −18 
−6 
 𝑡  = 3 
 O ponto de máximo é f`(x) = 3 
 
6) Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, é 
dado por 𝑣(𝑡) =  6𝑡3  + 1,5 𝑡 (litros), t sendo dado em minutos. Qual a taxa de variação do 
volume de água no tanque no instante t = 2 minutos? 
 
𝑣(𝑡) =  6𝑡3  + 1,5 𝑡 
𝑣´(𝑡) =  18𝑡2  + 1,5 
𝑣´(2) =  18 2.2 + 1,5 
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𝑣´(2) =  18 ⋅ 4  + 1,5 
𝑣´(2) =  72  + 1,5 
𝑣´(2) =  73,5 litros / minutos 
 
7) Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que 
permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da 
função 𝐴(𝑥) = 𝑥 3   − 11𝑥2  + 117𝑥 + 124  em que 0 ≤ 𝑥  ≤ 24 é o tempo , em meses, e a 
arrecadação 3 
𝐴(𝑥) é dada em milhões de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e depois , 
retornou o crescimento , respectivamente , a partir dos meses : 
 
a) x = 0 e x = 11 
b) x = 4 e x = 7 
c) x = 8 e x = 16 
d) x = 9 e x = 13 - resposta 
e) x = 11 e x = 22 
 
𝐴(𝑥) = 𝑥 3   − 11𝑥2  + 117𝑥 +  124 
3 
𝐴`(𝑥) = 𝑥2  + 11𝑥 + 117 
∆= 𝑏2  − 4𝑎𝑐 
∆= (−22)2   − 4 ⋅ 1 ⋅ 117 
∆= 484 − 468 
∆= 16 
 
𝑥` 
2𝑎 
𝑥` 𝑥`` 
𝑥` 𝑥`` 
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𝑥` 𝑥`` 
𝑥` = 9 𝑥`` = 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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