Teste de Conhecimento_CALCULO MULTIPLAS VARIAVEIS

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Teste de
Conhecimento
 avalie sua aprendizagem
Seja o sólido limitado pelos planos  e pelo paraboloide . Sabe-se que sua
densidade volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa
que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202201308044_TEMAS
Aluno: FRANCINEI DA SILVA CARVALHO Matr.: 202201308044
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.1 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para
sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS TRIPLAS
 
1.
Data Resp.: 18/05/2023 21:27:29
Explicação:
z  = 9 z  = 25 − x2 − y2
δ (x, y, z)  = x2y2
4
∫
0
√16−x2
∫
0
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 x2y2dxdydz
5
∫
−5
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dxdydz
4
∫
0
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
Determine o valor de 
Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor 
 no ponto (x,y) = (1,1).
Seja a função . Determine a soma de   no ponto
(x,y,z) = ( 0,0,2).
A resposta correta é: 
 
2.
70
50
40
30
60
Data Resp.: 18/05/2023 21:47:35
Explicação:
A resposta correta é: 40
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS
 
3.
Data Resp.: 18/05/2023 21:53:54
Explicação:
A resposta correta é: 
 
4.
96
-48
144
-96
-144
Data Resp.: 18/05/2023 21:23:23
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
1
∫
3
1
∫
−1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
f(x, y)  = + 52x
2
y
( ,   − )√3
2
1
2
2√3 − 1
2√3 + 1
2√3
1 − √3
√3 + 1
2√3 + 1
h(x,  y,  z)  = 2z3e−2xsen(2y) fxyz +
∂3f
∂z∂y∂z
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras
coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla 
 é:
Explicação:
A resposta correta é: -144
INTEGRAIS DUPLAS
 
5.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 18/05/2023 21:53:06
Explicação:
Substituindo por coordenadas polares: 
E
Resolvendo por integral:
 
∫
a
−a ∫
√a2−x2
0 (x
2 + y2)
3/2
dydx
a6π
5
a4π
5
a2π
5
a3π
5
a5π
5
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx
−a ≤ x ≤ ae0 ≤ y ≤ √a2 − x2
3
2
r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx = ∫
π
0
∫
a
0
(a2) rdrdθ = ∫
π
0
∫
a
0
r4drdθ = ∫
π
0
[ ]
∣
∣
∣
a
0
dθ
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx = ∫
π
0
dθ =
∣
∣
∣
π
0
=
3
2
3
2
r5
5
3
2
a5
5
a5θ
5
a5π
5
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Seja   determine o volume do sólido   limitado pelo plano   e pelo paraboloide  .
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar,
quando se depende de várias variáveis. Considere a curva C parametrizada por ,
onde , o valor de é:
6.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 18/05/2023 21:53:41
Explicação:
O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano   vai ser:
Onde  é aquela região da função onde  :
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio   .
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
O intervalo de integração, para um círculo de raio   será:
Integrando:
 
 
INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS
 
7.
a > 0 S z = 0 z = a − x2 − y2
3πa2
2
a2
2
πa
2
πa2
2
πa2
3
xy
V = ∬
D
zdxdy = ∬
D
(a − x2 − y2) dxdy =
D z = 0
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
√a
x = r cos θ
y = r sen θ
J = r
√a
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
V = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [a − (r cos θ)
2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [ar − r
3] drdθ
V = ∫
2π
0
−
∣
∣
∣
r=√a
r=0
dθ = ∫
2π
0
[( − )] dθ = ∫
2π
0
( − ) dθ
V = ∫
2π
0
dθ =
∣
∣
∣
2π
0
= (2π − 0) =
ar2
2
r4
4
a√a
2
2
√a
4
4
a2
2
a2
4
a2
4
a2θ
4
a2
4
a2π
2
→σ = (e−t, sen( )), 1 ≤ t ≤ 2π
t
→F = 2xcos(y), −x2sen(y) ∫
C
= F . dr
e2cos(2) − 1
e2cos(2) + 1
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial,
quando se depende de várias variáveis. Considere C o círculo unitário com centro na origem, percorrido no sentido
anti-horário, o valor das integrais de linha de é:
Data Resp.: 18/05/2023 21:30:23
Explicação:
 
8.
2
0
1
-1
-2
Data Resp.: 18/05/2023 21:53:20
Explicação:
e2cos(1) + 1
e2cos(1) − 1
e2cos(1) − 2
∮
C
[sen(xy) + xycos(xy)]dx + (x2cos(xy))dy
 Qual é o valor de   para que a função   seja contínua em t =
0? 
A área de�nida pela equação   , para o intervalo 0 <   <   , com   > 0, vale   . Qual é o
valor de   ?
FUNÇÕES VETORIAIS
 
9.
Data Resp.: 18/05/2023 21:22:43
Explicação:
A resposta certa é 
 
10.
 
 
 
 
 
Data Resp.: 18/05/2023 21:44:05
Explicação:
→G (0) →G (t) = ⟨ ,   ,   ⟩e
t
t+1
√t+1 −1
t
2 sen t
t
⟨1,  2,  1 ⟩
⟨1,  0,  0 ⟩
⟨2,   − ,  1 ⟩1
2
⟨0,   ,  2⟩1
2
⟨1,   ,  2⟩1
2
⟨1,   ,  2⟩1
2
ρ  = cos 3θ θ κ κ π
16
κ
π
16
π
32
π
2
π
8
π
4
A resposta correta é 
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício inciado em 18/05/2023 21:18:00.
π
4