Produtos notáveis - Exercícios e Teoria

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Produtos notáveis 
Quadrado da soma de dois termos 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 96332)3(
2222 ++=++=+ xxxxx 
 
2) 1441122)2()12(
2222 ++=++=+ xxxxx 
 
3) 
22222 93025)3(352)5()35( yxyxyyxxyx ++=++=+ 
 
4) 44222)()2(
48242424 ++=++=+ xxxxx 
Exercícios: 
01- Calcule usando a regra prática: 
 
a) 
2)1( +x 
b) 
2)5( +a 
c) 
2)10( +y 
d) 
2)4( +x 
e) 
2)( yx + 
f) 
2)12( +a 
g) 
2)2( ax + 
h) 
2)13( +x 
i) 
2)2( ba + 
j) 
2)35( xy + 
k) 
22 )4( +x 
l) 
223 )( ax + 
m) 
2)72( +xy 
n) 
2)6( +ab 
o) 
22 )( xx + 
p) ( )25 2bca + 
q) ( )225 +x 
r) 
2
2
3
2 






+
yx
 
s) 
2
2
1






+n 
t) 
2
3






+
n
m 
u) 
2
24






+
yx
 
v) 
2
1
4
3






+
x
 
w) ( ) ( ) ( )222 1221 +−+++ xxx
 
x) ( ) ( )2222 2 abba −+
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 96332)3(
2222 +−=+−=− xxxxx 
 
222 2)( bababa ++=+ 
222 2)( bababa +−=− 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o 
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
 
2) 1441122)2()12(
2222 ++=+−=− xxxxx 
 
3) 
22222 93025)3(352)5()35( yxyxyyxxyx +−=+−=− 
 
4) 44222)()2(
48242424 +−=+−=− xxxxx 
Exercícios: 
01- Calcule usando a regra prática: 
a) 
2)1( −x
 
b) 
2)2( −a
 
c) 
2)8( −n
 
d) 
2)10( −x
 
e) 
2)52( −a
 
f) 
2)32( bn −
 
g) 
2)23( ba −
 
h) 
2)2( cab −
 
i) 
2)( ax −
 
j) 
22 )4( −a
 
k) 
2)( cab −
 
l) 
23 )7( −x
 
m) 
222 )( yx −
 
n) 
2
3
1






−x
 
o) 
2
1
4






−
x
 
p) 
2
5
1
3






−
a
Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 42)2)(2(
222 −=−=−+ xxxx 
 
2) 1644)2()42)(42(
222 −=−=−+ aaaa 
 
3) 93)()3)(3(
322333 −=−=−− xxxx 
 
4) 25)5)(5()5)(5(
2 −=−+=−+ wwwww 
Exercícios: 
01- Calcule usando a regra prática: 
a) )1)(1( −+ xx 
b) )5)(5( −+ aa 
c) )4)(4( +− aa 
d) )8)(8( −+ mm 
e) )73)(73( −+ bb 
f) )3)(3(
22 −+ xx 
g) )3)(3( abab +− 
h) )2)(2( zxyzxy −+
 
i) )23)(23( yxyx +−
 
j) 





−





+
3
2
3
2
aa 
22)()( bababa −=−+
 
O produto da soma da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
menos o quadrado do segundo. 
 
k) 





+





−
x
x
x
x
11
 
l) 





−





+
2
1
2
1
abcabc
 
m) 





−





+
2
3
5
2
2
3
5
2 yxyx
 
n) )32)(32( cabcab −+
 
o) )3)(3(
22 zyzy −+
Fatoração de polinômios 
Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de um produto indicado. Fatorar é o 
mesmo que decompor em fatores ou transformar em produto (indicado). 
 
Caso do fator comum 
O polinômio acab+ é formado pelos dois termos ab e ac , que apresentam em 
comum o fator a . 
Pela propriedade distributiva, sabemos que: 
)( cbaacab +=+ 
O produto )( cba + é a forma fatorada do polinômio do polinômio dado. Dizemos que 
o fator comum a está colocado em evidência. 
 
Exemplos: 
1) No polinômio kzkykx ++ , o fator comum a todos os termos é k . 
Dividindo todo polinômio por k , obtemos: zyx ++ . 
Colocando k em evidência, temos: )( zyxk ++ . 
2) Fatorar xx 3
2 + . 
x é o fator comum. Logo temos: )3(3
2 +=+ xxxx . 
 
3) Fatorar abcab 32 + . 
ab é fator comum em nos dois termos ab2 e abc3 . 
Portanto, )32(32 cababcab +=+ . 
 
4) Fatorar xaxaxa
42342 5−+ . 
Se uma variável aparece em todos os termos com expoentes diferentes, ela é posta em 
evidência elevada ao menor expoente dela. Observe: 
 
)5(5 23242342 aaxxxaxaxaxa −+=−+ 
 
 
Exercícios 
01- Substitua os espaços completando a fatoração: 
a) )(_________=+ aayax
 
b) )(_________=++ pcpbpap
 
c) )(_________484 =+ ba
 
d) )(_________=++ ababeabdabc
 
e) )(_________=++ zzyzxyz
 
f) )(_________=++ aabcaba
 
02- Fatore colocando os fatores comuns em evidência: 
a) anam+ 
b) kkx+ 
c) 84 −x 
d) axyax 73 − 
e) kkpkp 1284 −+ 
f) abxaxx ++ 
g) xx +
2
 
h) 
32 aa + 
i) 
45 3mm + 
j) 
24 52 xx + 
k) 
234 xxx +− 
l) 
235 251015 yyy +− 
m) 
654423 2 xaxaxa −+ 
n) 
543 152025 hhh +− 
o) 
22 2520 xyyx +
03- 
 
 
 
 
 
 
 
Fatore: 
 
 
 
a) )()( yxbyxa −+−
 
b) )()( baybax +−+
 
c) )1(5)1(
2 +++ xxa
 
d) )1()1( −+− xax
 
e) )3(2)3(
2 +++ xxx
 
f) )2()2( +++ xxa
 
xaxa 242  xaxa
245 − 
xaxa 223  
Observação: na expressão )1()1( +++ xbxa o fator )1( +x é comum às duas 
parcelas. Assim: )()1()1()1( baxxbxa ++=+++ 
g) )2()2( −+− xxa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração por agrupamento 
Observe os termos do polinômio myaymxax −+− . 
Os dois primeiros termos apresentam o fator comum x e os dois últimos apresentam 
o fator comum y . 
Agrupando os termos e colocando em evidência os fatores comuns, temos: 
)()( myaymxax −+− 
)()( maymax −+− 
Temos a soma de dois produtos, sendo )( ma − o fator comum. Colocando )( ma − em 
evidência, temos: 
)()( yxma +− 
Portanto: 
)()( yxmamyaymxax +−=−+− 
 
Exemplos: 
1) =+++=++=+++ )()()()( yxbyxabybxayaxbybxayax )()( bayx ++ 
 
2) =−+−=−−=−−+ )1()1()()(
22 xyxxyxyxxyxxyx )()1( yxx +− 
 
3) =−+−=+−=+−− )1(3)1()33()(33 xxaxaaxxaax )1()3( −+ xa 
Exercícios: 
 
01- Fatore por agrupamento: 
a) bcacaba +++
2
 
b) byaybxax −+− 
c) babxax 632 +++ 
d) myaymxax −+− 
e) 1+++ baab 
f) yxxyx +++ 248
2
 
g) 4267
34 −−++ mmm 
h) xybxyaabyabx
2222 +++ 
i) cybyaycxbxax +++++ 
j) cycxbybxayax 22111052 −+−+− 
k) )(2)(
2 baba +−+ 
l) )(2)(
2 yxyx +++
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Questão 1 
FATORE as expressões, utilizando o métodos mais adequado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
DESENVOLVA os produtos notáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
SIMPLIFIQUE utilizando os produtos notáveis e a fatoração, quando necessário: 
a) ( 3x + 4 )2 - ( 3x )2 = 
 
b) [ ( 3x )2 - 3x( 3x - 2 ) – 1 ]2 = 
a) 𝑎2 − 𝑎𝑏 
b) 3𝑎(4𝑎 + 2) + 5(4𝑎 + 2) 
c) 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 
d) ab + ac 
e) ab + a + bc + c 
f) a2 − b2 
g) x2 − 49 
h) y2 − 100 
i) z2 − 144 
j) x4 − y4 
k) a3 + b3 
l) x3 − a3 
m) x2 − 5x + xy − 5y 
n) 49x2 − 225y2 
a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ = 
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ = 
f) (−a − b)³ 
g) (x + 2y)³ 
h) ( 2x – y )³ 
 
i) (1 + 2y)³ 
j) ( x – 2x)³ 
k) ( 1 – pq)³ 
l) (x – 1)³ 
m) ( x + 2 )³ 
n) ( 2x – 1)³ 
o) ( 2x + 5 )³ 
p) (3x – 2 )³ 
 
 
 
c) ( x + 8 ) . ( x - 5 ) = 
 
d) ( a + b )2 - ( a - b )2 = 
 
 
e) 28ab - 21ac - 7a = 
 
f) 6x2 - 15x - 4xy + 10y = 
 
g) x2 - 1 / 4 = 
 
h) a4b2 - y2 = 
 
i) 5x2 - 40x + 80 = 
 
j) 16y4 - 40y2 + 25 = 
 
k) 3x3 + 18x2y + 27xy2 = 
 
l) x2 + 9x + 14 = 
 
m) a2 - 3a - 70 = 
 
n) m2 + 4m - 5 = 
 
o) y2 + 3y - 28 
 
Simplifique: 
 
a) x3 + 2x2 = 
 x + 2 
b) 21a4b3x2y4 = 
 35a5bx5y 
c) 20062 - 20052 = 
 2006 + 2005 
d) x2 + 5x + 6 = 
 x2 + 7x + 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação de Stifel - Produto da forma (x + a).(x + b)  x2 + (a + b)x + a. b  x2 + Sx + P 
(x – 2).(x – 3) = x2 + (−2 – 3)x + (−2).(−3) = x2 – 5x + 6 
 
EXERCICIOS 
a) (x + 6).(x + 5) = b) (x – 4).(x + 7) = 
c) (x + 3).(x − 8) = d) (x + 6).(x – 4) = 
e) (x – 2).(x + 9) = f) (x + 9).(x + 8) = 
g) (x – 5).(x + 9) = h) (x – 8).(x – 2) = 
i) (x + 7).(x − 6) = j) (x – 6).(x + 3) = 
 
 
 
 
Trinômio do quadrado perfeito  a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
 
EXERCICIOS 
a) a2 + 2a + 1 = b) 1 – 4x + 4x2 = 
c)9m2 + 6m + 1 = d) 1 – 2y + y2 = 
e) x2 – 14x + 49 = f) 25x2 – 10x + 1 = 
g) 4x2 – 12xy + 9y2 = h) a6 + 12a3 + 36 = 
i) 121x2y2 + 44xy + 4 = j) =+−
9
1
m
3
1
m
4
1 2
 
 
Trinômio do 2º grau  x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 
 
EXERCICIOS 
a) x2 – 2x – 35 = b) y2 + 8y +12 = 
c) x2 – x – 72 = d) b2 + 8b + 15 = 
e) y2 + 5y − 6 = f) t2 + t − 2 = 
g) x2 – x – 20 = h) k2 + 15k + 56 = 
i) y2 + 9y + 8 = j) x2 – 13x + 42 = 
 
III) Calcule os produtos notáveis: 
1) (a + 5)2 = 
 2) (y + 10)2 = 
3) (3a + 4)2 = 
 4) (x2 + a2)2 = 
5) (x + 3)2 = 
 6) (2x + y)2 = 
7) (5 + 3x)2 = 
8) 
2
2
1
x 





+ = 
9) (2x + 3xy)2 = 10) 
2
2
y
2x 





+ = 
11) (a – 1)2 = 
 12) (3 – 2x)2 = 
13) (a – 3)2 = 
 14) (5 – y)2 = 
15) (9 – x)2 = 
 16) (2a – b)2 = 
17) (a2 – x2)2 = 
 18) (x – 2)2 = 
19) 
2
3b
3
5
ax
8
1






− = 
 20) (3a2 – 2b3)2 = 
21) (t – 6)2 = 
 22) (3x – 5)(3x + 5) =
 
23) 





−





+
2
1
x
2
1
x = 
 24) (y – 4)(y + 4) = 
25) (2a + b)(2a – b) = 
 26) (x + 7)(x – 7) = 
 
27) (2x + 2y)(2x – 2y) = 28) 





+





− y
2
3
xy
2
3
x = 
29) (x – 5)(x + 5) = 30) (2x3 – 1)(2x3 + 1) = 
31) (m + 4)(m – 4) = 32) (ab2 + c2)(ab2 – c2) = 
33) (x + 3)(x + 4) = 34) 





+





−
5
2
y
3
4
y = 
35) 





+





− 2x
3
1
2x
2
1
 = 
36) (y + 8)(y + 9) = 
37) (x – 9)(x – 2) = 38) 





+





− y
2
3
x
5
2
y
2
3
x
5
2
= 
39) (a + 1)(a + 2) = 40) (r + 5)(r – 3) = 
41) (x + 6)(x + 6) = 42) (3m – 5)(2m – 1) = 
43) (p + 10)(p + 10) = 44) (b – 5)(b – 3) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV) Identifique os casos de fatoração e fatore as expressões algébricas: 
1) 4a + 4b = 2) 10ax – 25ay = 
3) 15x3y – 11x2z = 4) 6xy2 – 3x2y + 12x3yz = 
5) 6xy + 10ab = 6) 12xy – 18y = 
7) mn + my = 8) 28ab – 21ac – 14ad = 
9) 3x2 + 2y2x + 4y2 + 6x = 10) ax4 + ax3b + cx + cb = 
11) ax + x – 2a – 2 = 12) 6ax – 8abx + 6bx – 8b2x = 
13) 2ax2 – bx2 – 50a + 25b = 14) a2 + 5a – b2 + 5b = 
15) 3ax + 2ay + 3bx + 2by = 16) 8xz – 8yz – 3x + 3y = 
17) ax + bx + ay + by + az + bz = 18) x2 – 3x + 2xy – 6y = 
19) 5x + 10y – bx – 2yb = 20) (a + b)2 + 2(a + b) = 
21) x10 – 49y6 = 22) 9 – 36a2b2 = 
23) 4a2 – 25x2y4 = 24) 100x2y4 – 1 = 
25) y2 – 6xy + 9x2 = 26) 9a2 – 6a + 1 = 
27) x2 – 12x + 36 = 28) 9a2 – 6ab + b2 = 
29) x4 + 12x2 + 36 = 30) 1
4
2
++ x
x
= 
31) 
439
22 yxyx
++ = 32) y2 – 8x + 15 = 
33) x2 – 9x + 18 = 34) x2 + 4x – 12 = 
35) x2 + 12x + 20 = 36) m2 – 4m + 3 = 
37) t2 + 7t – 8 = 38) x2 + 4x – 77 = 
39) x2 – 13x + 30 = 40) x2 – 10x + 21 =