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Fenômenos de Transporte
02/2018
Prof. Lourival Mendes, Dr. Eng.
Instituto de Engenharia Mecânica - IEM
Sala 3.02
lourival.mendes@unifei.edu.br
 
Prof. Lourival Mendes – 02/2018 UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
Escoamento sem Atrito
Introdução
Todos os fluidos reais possuem viscosidade. Entretanto há caso de 
escoamento em que é razoável desprezar os efeitos da viscosidade, que é 
similar a desconsiderar o atrito na análise de sistemas sólidos.
A análise dos movimentos dos fluidos ideais é mais simples do que aquela 
de fluidos viscosos porque não há presença de tensões de cisalhamento. 
As tensões normais são as únicas consideradas nas análises. Para um 
fluido não viscoso em movimento, a tensão normal em um ponto é a 
mesma em todas as direções (grandeza escalar).
 
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Escoamento sem Atrito
Equações de Euler
Podem ser obtidas as equações gerais do movimento. Como no 
escoamento sem atrito não há cisalhamento a tensão normal é o valor da 
pressão termodinâmica.
A equação da quantidade de movimento
Para o escoamento incompressível com propriedades constantes
Para o escoamento sem atrito, escoamento sem tensões viscosas
ρ D V⃗
Dt
=ρ g⃗−∇⃗ p+∇⃗⋅τi , j
ρ D V⃗
Dt
=ρ g⃗−∇⃗ p+μ ∇2V⃗
ρ D V⃗
Dt
=ρ g⃗−∇⃗ p DV⃗
Dt
=∂ V⃗
∂ t
+(V⃗⋅∇⃗ ) V⃗
 
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Escoamento sem Atrito
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli não é uma lei separada, mas sim deduzida a partir 
da equação de Euler, expressando a relação entre pressão, velocidade e 
elevação em regiões onde as forças de atrito são desprezíveis. 
Em regime permanente a partícula de fluido vai se mover ao longo de uma 
linha de corrente, de forma que a descrição do caminho desta partícula ao 
longo da linha de corrente é conveniente.
 
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Escoamento sem Atrito
Equação de Bernoulli
A integração da equação de Euler na direção da linha de corrente resulta 
em:
Para ρ = cte temos:
1) Escoamento Permanente
2) Escoamento Incompressível
3) Escoamento sem Atrito
4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente
O que indica que para um escoamento incompressível e não viscoso, uma 
diminuição na velocidade é acompanhada de um aumento na pressão e 
vice-versa.
∫ dpρ +
V 2
2
+gz=constante
p
ρ+gz+
V 2
2
=cte=h0
p
γ +z+
V 2
2 g
=cte=h0
 
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Escoamento sem Atrito
Equação de Bernoulli
O valor da constante pode ser calculado em qualquer ponto da linha de 
corrente onde pressão, densidade, velocidade e elevação são 
conhecidas. A equação também pode ser escrita entre dois pontos 
quaisquer na mesma linha de corrente como:
Dessa forma, a equação de Bernoulli pode ser vista como a soma das 
energias cinéticas, potencial e de escoamento de uma partícula de 
fluido como sendo uma constante ao longo de uma linha de corrente 
durante um escoamento estacionário quando os efeitos da 
compressibilidade e do atrito são desprezíveis.
P1
ρ1 +gz1+
V 1
2
2
=
P2
ρ2 +gz2+
V 2
2
2
 
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Escoamento sem Atrito
Aplicações
1) Regiões do escoamento livre, longe da Camada Limite
2) Linha de centro de Tubulação
3) Aproximações teóricas
 
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Escoamento sem Atrito
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
A pressão p que usamos na equação de Bernoulli é a pressão 
termodinâmica, comumente chamada de pressão estática. A soma dos 
termos 
p
0
 é conhecida como pressão total ou pressão de estagnação.
p
0
 – p é conhecida como pressão dinâmica e representa o aumento de 
pressão quando o fluido em movimento é parado de forma isentrópica. Tal 
que
p+ρV
2
2
=p0
1
2
ρV 2=p0−p
V=√ 2( p0−p)ρ
 
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Escoamento sem Atrito
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
A pressão estática na parede de uma tubulação pode ser medida instalando 
um tubo piezométrico. Um tubo de Pitot pode ser usado para medir a 
pressão total no escoamento do fluido. Além disso, para medir a pressão 
estática no escoamento podemos utilizar um Pitot estático.
 
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Escoamento sem Atrito
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Existem tubos de Pitot em S ou em L. A diferença principal é a localização 
do ponto de pressão de referência.
Pitot em S possuem os pontos de referência de pressão após a tomada de 
pressão total, em uma região de descolamento esta configuração resulta em 
níveis maiores de diferenciais de pressão e uma flutuação maior de 
medição associada ao descolamento do escoamento.
Pitot em L ou Pitot estático possui um diferencial de pressão menor em 
magnitude sendo mais estável nas medições
Dessa forma a localização da pressão de referência faz com que seja um 
fator importante no desempenho do Pitot, pois a magnitude do diferencial de 
pressão pode ser fora da faixa do medidor de pressão e em outros casos a 
instabilidade pode ser ruim para o controle do sistema
 
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Escoamento sem Atrito
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Fonte: https://www.paulgothe.com/S-Pitot-Tube-for-Combi-Probe
http://www.directindustry.com/prod/kimo/product-11846-266584.html
https://www.flowkinetics.com/S-Type_Pitot_documentation.pdf
https://www.paulgothe.com/S-Pitot-Tube-for-Combi-Probe
http://www.directindustry.com/prod/kimo/product-11846-266584.html
https://www.flowkinetics.com/S-Type_Pitot_documentation.pdf
 
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Escoamento sem Atrito
Pitot e Arduino
Fonte: http://fastlabtutorials.blogspot.com/2016/03/pitot-tube-wiring-diagram-and-data.html
 
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Escoamento sem Atrito
Pitot e Arduino
Fonte: http://fastlabtutorials.blogspot.com/2016/03/pitot-tube-wiring-diagram-and-data.html
 
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Escoamento sem Atrito
Exemplo 3.23 – White 6º ed
Uma contração de seção em um tubo provocará um aumento de velocidade 
e uma queda de pressão na seção 2 da garganta. A diferença de pressão é 
uma medida da vazão volumétrica do escoamento através do tubo. O 
dispositivo convergente-divergente é conhecido como tubo de Venturi. 
Encontre uma expressão para o fluxo de massa no tubo em função da 
queda de pressão, considere o escoamento incompressível.
Resposta:
ṁteo=A2 √ 2ρΔ P1−β4
ṁreal=CD ṁteo
 
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Escoamento sem Atrito
Exemplo 6.2 – Fox 8º ed
Um tubo de Pitot é inserido no escoamento de ar, CNTP, a fim de medir a 
velocidade. O tubo é introduzido de forma que aponta para montante e a 
pressão sentida pela sonda é a de estagnação. A pressão estática é medida 
no mesmo ponto do escoamento pelo emprego de uma tomada de pressão 
na parede. Determine a velocidade do escoamento para uma altura de 30 
mmHg. Verifique a hipótese de incompressibilidade sabendo que a 
velocidade do som na CNTP para o ar é de 343 m/s.
Dados:
ρ
Hg
 = 13,55 103 [kg/m³]
ρ
ar
 = 1,23 103 [kg/m³]
Resposta
v = 80,5 [m/s]; Ma = 0,24
 
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Escoamento sem Atrito
Exemplo 6.4 – Fox 8º ed
Um tubo em U atua como sifão de água removendo água (ρ
H2O
 = 103 kg/m³) 
de um reservatório. A curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da 
água. A saída do tubo está 7 m abaixo. O fluido sai pela extremidade inferior 
do sifão como um jato livre, à pressão atmosférica. Se o escoamento é sematrito, liste as hipóteses necessárias e determine a velocidade do jato e a 
pressão absoluta e manométrica do fluido no ponto A. 
Considere P
atm
 = 101.325 Pa.
Resposta: v
2
 = 11,7 [m/s]
 P
A
 = 23 [kPa abs.] ou -78,3 [kPa rel.]
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Introdução
O objetivo do estudo de escoamento em dutos e tubos é avaliar as 
variações de pressão que resultam do escoamento em tubulação. Estas 
variações são em função de variações de elevação e/ou velocidades. Até o 
momento estudamos a aplicação da Equação de Bernoulli em escoamentos 
sem atrito, no caso de escoamentos reais a preocupação principal é com 
os efeitos do atrito.
As perdas podem ser divididas em perdas distribuídas e perdas 
localizadas. O desenvolvimento 
destas equações será para escoamentos 
com perfil de velocidade constante 
plenamente desenvolvido.
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Considerações de energia no Escoamento em Tubos
A equação representa a variação da energia mecânica por unidade de 
massa entre as seções 1 e 2, ou seja a conversão irreversível da energia 
mecânica na seção 1 em energia térmica (u
2
 – u
1
) e perda de energia por 
transferência de calor. A soma é conhecida como perda total.
Onde a é o fator de correção da energia cinética, devido ao fato do perfil de 
velocidade não ser uniforme nas entradas e saídas:
Escoamentos Laminares: a = 2
Escoamentos Turbulentos: a = 1,04 – 1,11
Para o caso de escoamento sem atrito recuperamos Bernoulli, pois a = 1.
( P1ρ +a1 V̄ 1
2
2
+g z1 )−( P2ρ +a2 V̄ 2
2
2
+g z2)=(u2−u1)−q̇=hlt
a=
∫
A
ρV 3dA
ṁV̄ 2
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Considerações de energia no Escoamento em Tubos
A equação anterior representa a perda de energia por unidade de massa, 
mas historicamente expressa-se a perda de energia por unidade de peso 
do fluido que flui e assim obtemos a perda de carga, que basta dividir a 
equação anterior por g.
Assim temos:
( P1γ +a1 V̄ 1
2
2g
+z1)−( P2γ +a2 V̄ 2
2
2g
+z2 )=h p
h p=h pl+hpd
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
Considerando o escoamento permanente incompressível entre as 
seções 1 e 2 do tubo inclinado de área transversal constante podemos 
relacionar através de uma análise dimensional que
Além disso, 
De forma que para um tubo horizontal
Δ p
ρ V̄ 2
=φ ( LD , eD ,Re )
( P1γ +z1 )−( P2γ +z2)=hp
ghp
V̄ 2
=φ ( LD , eD ,Re )
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
Experiências mostram que a perda de carga adimensional é diretamente 
proporcional a L/D. Portanto podemos escrever
O que nos permite adicionar o número ½ e obter a perda de carga 
adimensional em termos de energia cinética por unidade de massa.
A função f
2
 é definida como fator de atrito, f, tal que:
Eq. de Darcy-Weisbach
ghp
V̄ 2
= L
D
φ 1 ( eD ,Re )
g hp
1
2
V̄ 2
= L
D
φ 2 ( eD ,Re )
f ≡φ2 (Re , eD ) hp=f LD V̄
2
2 g
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
Para o escoamento laminar temos:
Para o escoamento turbulento, em geral, utiliza-se a equação de 
Colebrook:
Sugere-se utilizar a fórmula proposta por Swamee e Jain como uma 
primeira tentativa e assim realizar um baixo número de iterações
ou
Esta fórmula implícita gerou o diagrama de Moody
f laminar=
64
Re
1
f 1/2
=−2,0 log ( e /d3,7 + 2,51Re f 1/2 )
f o=0,25 [ log ( e /d3,7 + 5,74Re0,9 ) ]
−2
f o=1,325 [ ln (0,27 ( ed )+ 5,74Re0,9 ) ]
−2
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
Precisão de ± 15%
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
Uma alternativa ao diagrama de Moody é a equação de Haaland
Esta equação possui uma variação da ordem de 2% em relação à de 
Colebrook
A equação de Swami e Jain é válida dentro da faixa:
10-8 < e/D < 0,01 e 5000 < Re < 108
1
f 1/2
=−1,8 log [ 6,9Re +( ϵ/d3,7 )
1,11 ]
 
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Perdas Distribuídas – Fator de Atrito
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Exemplo 8.6 Fox 8° ed.
Petróleo escoa através de um trecho horizontal do oleoduto em uma vazão 
de 2,944 m³/s com diâmetro interno de 1,22 m e com rugosidade 
equivalente ao do ferro galvanizado, e = 0,15 mm. A pressão máxima 
permitida é de 8,27 MPa e a pressão mínima requerida para manter os 
gases dissolvidos no petróleo é de 344,5 kPa. O petróleo tem massa 
específica de 930 kg/m³ e viscosidade de 1,68.10-2 Ns/m2. Para estas 
condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de 
bombeamento.
Resposta: 194 km
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Exemplo 6.9 White 6º ed.
Óleo com ρ = 950 kg/m3 e ν = 2.10-5 m2/s, escoa através de um tubo de 30 
cm de diâmetro e 100 m de comprimento com uma perda de carga de 8 m. 
A rugosidade relativa é ε/d = 0,0002. Determine a velocidade média, em 
m/s, e a vazão em m³/h.
Resposta:
v = 4,84 [m/s] Q = 1232 [m³/h]
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas
Além das perdas por atrito do tipo Moody calculada para o comprimento dos 
tubos, existem perdas adicionais chamadas de perdas localizadas, 
decorrentes de:
1) Entrada e saída de tubos
2) Expansão e contração
3) Curvas, cotovelos, tês e outros acessórios
4) Válvulas abertas ou parcialmente fechadas
As perdas são medidas experimentalmente e correlacionadas com os 
parâmetros do escoamento em tubos, tal que:
Δhp=
V 2
2g ( fLD +∑ K )
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas
Obs. 1 - As perdas devem ser somadas separadas caso o diâmetro do tubo 
varie pois deve variar com V2.
Obs. 2 - O comprimento L é o comprimento total da linha de centro do tubo 
incluindo eventuais curvas
Obs. 3 - É possível definirmos a perda localizada como um comprimento 
equivalente de tubo retilíneo
Δhp=
V 2
2 g ( fLD +∑ K )
hpl=f
Le
D
V 2
2 g
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas – Entradas e Saídas
A entrada mal projetada pode causar uma apreciável perda de carga. As 
perdas de entrada são altamente dependentes da geometria da entrada, 
mas as perdas de saída não.
Quinas vivas ou saliências na 
entrada causam grandes zonas 
de separação do escoamento e 
grandes perdas.
K
saida
 = 1,0
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas – Expansões e Contrações
Se a entrada é a partir de um 
reservatório finito, chama-se 
contração brusca, CB, entre dois 
tamanhos de tubo. Se a saída é 
para um tubo de tamanho finito é 
chamada de expansão brusca, EB.
Obs.: As eq. estão baseadas na vel. do tubo pequeno.
A correlação K
CB
 é válida até d/D = 0,76 acima devemos utilizar a K
EB
 no lugar
K EB=(1− d
2
D2 )
2
KCB=0,42 (1− d
2
D2 )
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
PerdasLocalizadas – Expansão Gradual
O escoamento em uma expansão gradual a velocidade diminui e a pressão 
aumenta. A perda de carga pode ser alta se o ângulo for grande. 
A perda de carga é devido ao atrito e 
a não recuperação da pressão. 
Assim a perda de carga, baseada 
na velocidade de entrada fica
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas – Curvas em Tubos
A perda de carga em uma curva é maior do que a aquela para escoamento 
completamente desenvolvido em um trecho retilíneo de igual comprimento.
A perda adicional é, principalmente, 
resultado do escoamento secundário.
Curva Longa: 5-8D
Curva Curta: 2,5-5D
Cotovelos são em 45°, 90° ou 180°, sendo:
Cotovelo Longo: 1,5 D
Cotovelo Curto: 1,0 D
Fonte: ASME B16.49 e ASME B16.9
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas – Válvulas e Acessórios
As perdas em válvulas e acessórios também podem ser expressas em 
termos de um comprimento equivalente de tubo retilíneo.
a) Válvula de gaveta
b) Válvula globo
c) Válvula em ângulo
d) Válvula de retenção
e) Válvula de disco
 
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Perdas Localizadas – Válvulas e Acessórios
As perdas em válvulas e acessórios também podem ser expressas em 
termos de um comprimento equivalente de tubo retilíneo.
a) Válvula de gaveta
b) Válvula globo
c) Válvula em ângulo
d) Válvula de retenção
e) Válvula de disco
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Perdas Localizadas – Dutos Não Circulares
As correlações empíricas para escoamento em tubos também podem ser 
empregadas para cálculos que envolvem dutos não circulares, desde que 
suas seções retas não sejam demasiadamente grandes. Portanto dutos 
de seção quadradas ou retangulares podem ser considerados se a razão 
entre a altura e largura for inferior a cerca de 3 ou 4. Dessa forma, 
podemos definir um diâmetro hidráulico, tal que:
Onde A é a área da seção transversal e P é o perímetro molhado.
O uso do diâmetro hidráulico para o diagrama de Moody implica em erros 
aprox. de 15% para as faixas turbulentas e da ordem de 40% para a faixa 
laminar. 
Dh=4
A
P
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Exemplo 8.7 Fox 8º Ed.
Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por uma torre de água, 
sem pressurização, por meio de um tubo vertical com 24 metros de altura. O 
tubo mais longo no sistema tem 183 metros e é feito de ferro fundido com 
20 anos de idade, ε/d = 0,005. O tubo contém uma válvula gaveta 
rosqueada, K = 0,11, aberta para atmosfera. Outras perdas localizadas 
podem ser desconsideradas. O diâmetro do tubo, horizontal e vertical, é de 
100 mm. Determine a vazão máxima em volume, m³/h, através do tubo. ρ = 
999 kg/m3 e μ = 1 10-3 kg/m.s
Considere:
1) Torre de água como um 
reservatório.
2) Escoamento na saída 
turbulento, a = 1,04.
Resposta: 77,2 [m³/h]
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Exercício 6.52 White 6º Ed.
O escoamento no tubo é produzido pelo ar pressurizado no reservatório. 
Que pressão manométrica é necessária para fornecer uma vazão de 60 
m3/h de água a 20ºC, ρ = 998 kg/m³, na pressão atmosférica.
Considere 
1) Tubo liso e os cotovelos
de 90° de raio longo flangeados
2) Escoamento turbulento na saída
Resposta:
P
1
 = 2,31 [MPa man.]
 
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Cálculo de Perda de Carga em Tubos
Sugestão de Exercícios
F. White – Mecânica de Fluidos, 6°Ed.
Cap6 – 6.10, 6.49, 6.54, 6.60, 6.103, 6.107, 6.115, 6.138
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