eBook Completo - Topografia Aplicada_SER(VERSÃO DIGITAL)

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TOPOGRAFIA 
APLICADA
TOPOGRAFIA 
APLICADA
Topogra� a Aplicada
Felipe Queiroz MianoFelipe Queiroz Miano
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Caro aluno, seja bem-vindo a disciplina de Topogra� a Aplicada. Ao longo das unida-
des, serão conhecidas a importância da topogra� a nas obras de engenharia, quais 
os métodos de levantamento de informações do terreno e os equipamentos para 
mensuração desses dados, os cálculos para realização de terraplenagem e as nor-
mas técnicas que a regem.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Conceitos sobre altimetria e nivelamento topográfico
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Altimetria: conceitos e aplicações ................................................................................... 13
Conceitos e aplicações .................................................................................................. 14
Nivelamento topográfico .................................................................................................... 22
Fontes de erros ............................................................................................................... 28
Subprodutos do nivelamento ......................................................................................... 29
Sintetizando ........................................................................................................................... 33
Referências bibliográficas ................................................................................................. 34
Sumário
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Sumário
Unidade 2 – Métodos de nivelamento topográfico
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 36
Nivelamento geométrico .................................................................................................... 37
Nivelamento geométrico simples ................................................................................. 42
Nivelamento geométrico composto ............................................................................. 46
Nivelamento trigonométrico .............................................................................................. 51
Nivelamento trigonométrico para lances curtos ....................................................... 55
Nivelamento trigonométrico para lances longos ....................................................... 57
Sintetizando ........................................................................................................................... 60
Referências bibliográficas ................................................................................................. 61
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Sumário
Unidade 3 - Métodos de levantamento topográficos: planimetria, planialtimetria e 
normatizações
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 63
Taqueometria ......................................................................................................................... 64
Planimetria ........................................................................................................................ 74
Planialtimetria .................................................................................................................. 80
Normatizações técnicas sobre levantamentos topográficos ..................................... 85
Outras normativas importantes ..................................................................................... 87
Sintetizando ........................................................................................................................... 89
Referências bibliográficas ................................................................................................. 90
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Sumário
Unidade 4 - Locações topográficas e cálculos de volume
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 93
Locações topográficas ........................................................................................................ 94
Locação em números ......................................................................................................... 104
Cálculo de volume .............................................................................................................. 108
Cálculo de volume em prismas e sólidos ................................................................. 109
Cálculos de volume empregados na topografia ....................................................... 112
Sintetizando ......................................................................................................................... 118
Referências bibliográficas ............................................................................................... 119
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Caro aluno, seja bem-vindo a disciplina de Topografi a Aplicada. Ao longo 
das unidades, serão conhecidas a importância da topografi a nas obras de en-
genharia, quais os métodos de levantamento de informações do terreno e os 
equipamentos para mensuração desses dados, os cálculos para realização de 
terraplenagem e as normas técnicas que a regem.
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Apresentação
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Agradeço a Deus, pelo dom da vida e da docência, e dedico este livro aos 
meus pais, minha irmã, meus amigos e alunos, além de Beatriz, minha 
parceira, que me apoiou ao longo deste projeto.
O professor Felipe Queiroz Miano é 
graduado em Geografi a pela UNESP, 
Campus Rio Claro (2013), especialista 
em Gestão de Negócios pela ESALQ/USP 
(2016) e em Georreferenciamentode 
Imóveis Rurais e Urbanos pela FATEP – 
Piracicaba (2015). Ministra as disciplinas 
de Fundamentos de Topografi a, Topo-
grafi a e Georreferenciamento, Topogra-
fi a Aplicada, Prática de Levantamento 
Geodésico, Georreferenciamento Apli-
cado, Pavimentação de Rodovias, Proje-
to Geométrico de Rodovias, Tecnologia 
e Infraestrutura dos Transportes, Geo-
logia e Mineralogia, Gestão Ambiental e 
Desenho Auxiliado por Computador.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/8082011135596948
TOPOGRAFIA APLICADA 10
O autor
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CONCEITOS SOBRE 
ALTIMETRIA E 
NIVELAMENTO 
TOPOGRÁFICO
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Contextualizar a importância da altimetria e seus métodos de levantamento 
de campo para a engenharia civil;
 Abordar o nivelamento topográfico e apresentar o objetivo e método de 
levantamento e obtenção de dados em campo.
 Altimetria: conceitos e 
aplicações 
 Conceitos e aplicações
 Nivelamento topográfico 
 Fontes de erros
 Subprodutos do nivelamento
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Altimetria: conceitos e aplicações
Histórico e importância
Ao longo da evolução humana, a humanidade se tornou capaz de desenvol-
ver inúmeras técnicas e métodos para facilitar seu cotidiano, trazer maior con-
forto, comodidade e segurança. Durante o avanço de diversas culturas, como 
os impérios Romanos, Otomanos, Incas e Maias, grandiosas obras de engenha-
ria se tornaram legados ao longo dos séculos.
Até hoje, ainda não se descobriram ao certo os meios para a construção de 
algumas obras, mas há um ponto em comum entre elas: todas as edifi cações, 
vias, estradas, entre outras, foram e são levantadas a partir do solo. Ao obser-
var o terreno em que foram construídas, em sua maioria, as obras estão apoia-
das num solo nivelado em meio a uma circunvizinhança ondulada ou monta-
nhosa, o que quer dizer que o ser humano entendeu que trabalhar, morar e se 
deslocar em terrenos planos é mais efi ciente.
Dentre as técnicas para aplainar o terreno estão o nivelamento; o terracea-
mento, muito utilizado na agricultura para áreas com inclinações elevadas e 
grande erosão hídrica; e a terraplenagem, que consiste na movimentação de 
terra (corte e aterro) para criação de platô. Na sociedade atual, o terreno nivela-
do garante economia numa obra com a compra de materiais, seja na concreta-
gem, fundação ou mesmo, minimizando problemas relacionados às patologias 
de alvenaria como trincas e recalques.
Diante deste contexto, é possível relacionar a importância que a topografi a 
possui. Além do nivelamento (método de levantamento), a Topografi a é uma ciên-
cia que possui como área de estudos a descrição minuciosa, detalhada e fi dedig-
na do lugar/terreno em que será desenvolvido algum projeto. Quanto maior o 
detalhamento do terreno, mais precisa e exata a descrição da área de interesse. 
Por isso, os conceitos de precisão e exatidão devem fi car bastante evidentes.
Os conceitos de precisão e exatidão geram confusão entre os profi ssionais 
atuantes nas diversas áreas da Engenharia. Afi nal, tais conceitos são aplicados 
em quase todos os contextos, porém, devem ser entendidos e diferenciados 
antes de prosseguir nos estudos sobre a Topografi a. Quando se trabalha com 
Topografi a, é importante ter ciência que esses conceitos sempre acompanham 
projetos e levantamentos de campo.
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A precisão pode ser entendida como rigor no registro de uma medida, como 
peso ou valor. Exatidão, por outro lado, é a qualidade daquilo que é exato; é uma ob-
servância rigorosa do correto. Na Figura 1, é possível assimilar a diferença entre os 
conceitos. Na distribuição espacial das marcas nos alvos, o alvo mais à direita possui 
diversas marcas espalhadas ao longo dele, sem nenhuma distribuição simétrica ou 
padrão de acertos - impreciso e também inexato.
Quanto ao alvo à esquerda desse, se observa que há uma concentração das mar-
cas numa porção do alvo, contudo, nenhum deles atinge o centro. Dessa forma, se 
tem uma precisão nas marcas, afi nal, elas estão próximas umas das outras, embora 
inexatas. No terceiro alvo, da direita para a esquerda, há uma marca no círculo cen-
tral do alvo, logo, houve exatidão no disparo, afi nal, o objetivo é acertar o centro do 
alvo, ainda que todas as outras marcas estejam distribuídas de forma aleatória, se 
tornando imprecisas. Por fi m, no alvo mais à esquerda, há uma concentração das 
marcas no centro do alvo. Neste caso, há precisão nos disparos, em virtude da con-
centração nesta porção do alvo e, com o centro atingido, torna-se também exata.
Figura 1. Diferenças entre precisão e exatidão. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/10/2020.
Alta exatidão
Alta precisão
Baixa exatidão
Alta precisão
Alta exatidão
Baixa precisão
Baixa exatidão
Baixa precisão
Conceitos e aplicações
Na página 3 da NBR 13133, de 1994, é normatizado o levantamento topográ-
fi co com fi nalidade altimétrica ou de nivelamento, como:
(...) levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação 
das alturas relativas a uma superfície de referência dos pontos 
de apoio e/ou dos pontos de detalhe, pressupondo-se o conheci-
mento de suas posições planimétricas, visando à representação 
altimétrica da superfície levantada.
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O ponto de partida deve entender o conceito relacionado à altimetria. Para 
isso, há de se ter ciência de que esta informação faz menção ao eixo Z de um 
sistema cartesiano tridimensional (x, y e z), ou seja, se trabalha com informa-
ções que permitem identificar os desníveis e as variações de relevo do terreno 
ou da área de estudo para medição, caracterização e implementação de qual-
quer projeto. A partir da interpretação da Figura 2, é simplificada a visualiza-
ção e assimilação de tal conceito com a aplicação do método de levantamento 
altimétrico e a utilização do nível topográfico (equipamento alaranjado fixado 
no topo do tripé) para obtenção e determinação dos desníveis (variações alti-
métricas) em obras.
Figura 2. Determinação de desnível em obra civil. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 226. (Adaptado).
Na topografia, é considerada a existência de três referências altimétricas na 
execução dos projetos de engenharia: altitude elipsoidal (geométrica), 
altitude geoidal (ortométrica) e as cotas de projeto. É vital empre-
gar o mesmo referencial altimétrico do início ao fim do 
levantamento topográfico e entender qual o modelo 
mais adequado para o projeto. A Figura 3 ilustra as 
três referências altimétricas e logo, você passará a 
entender seus conceitos. 
A
B
D
C
E
(Referência)
TOPOGRAFIA APLICADA 15
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Figura 3. Diferentes referenciais altimétricos.
A seguir, são explicadas as definições das referências altimétricas:
• Altitude elipsoidal: está referenciada a uma elipse ou elipsoide de revo-
lução, com dimensões e parâmetros específicos (modelo matemático). Através 
de receptores de posicionamento GNSS (veremos esta técnica de levantamen-
to nos próximos capítulos), se obtém, de forma rápida e precisa, a altitude de 
qualquer ponto de interesse;
• Altitude geoidal: está atrelada ao Nível Médio do Mar (NMM) e se loca-
liza no marégrafo de Imbituba/SC, por meio do Datum Vertical, sendo este o 
marco e origem para as altitudes (0 m) no território nacional. Então, quando se 
está na rua e se depara com uma referência de nível (RN), ao observar o valor 
altimétrico em metros (m) na chapa metálica, isto significa que tal referência é 
embasada na Rede de Referência de Nível (RRNN);
• Cota: altitude arbitrária definida para o projeto e que não está referencia-
da a nenhuma rede anteriormente abordada.Uma das principais dificuldades em compatibilizar um datum vertical no 
continente americano está associado diretamente à sua definição. O datum 
vertical é intrincado com o NMM e, em consequência, ao geoide. Como o mo-
delo geoidal é uma superfície criada a partir do mesmo potencial gravitacional 
(superfície equipotencial) que se adapta ao nível médio do mar global, ou seja, 
se tenta com as modelagens estabelecer um parâmetro único a fim de unifor-
mizar as altitudes. No entanto, o nível médio dos mares não é igual ao redor 
do mundo, variando da costa do Brasil, banhada pelo Oceano Atlântico, para a 
Colômbia, banhada pelo Pacífico.
Datum
Superfície terrestre (cota)
Elipsoide
Geoide
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Na Figura 4B, é apresentado o modelo que se praticava quanto ao geoi-
de unificado. Imbituba, local onde o marégrafo está localizado, fica abaixo do 
NMM de Buenaventura, havendo uma espécie de compensação ao longo da 
crosta terrestre para que ambos estivessem equivalentes. Agora, na Figura 4A, 
está a nova abordagem para as referências verticais, em que as altitudes são 
calculadas independentes, mediante suas referências e, logo depois, compati-
bilizadas. Na nova proposta, não se adota mais que a superfície terrestre que 
coincide com o geoide, obtendo um novo modelo a ser trabalhado, o TNMM 
(topografia do nível médio dos mares), que é a diferença vertical entre o geoide 
e a superfície física.
Figura 4. Dificuldades na padronização do datum vertical. Fonte: DALAZOANA, 2005, p. 29. (Adaptado).
Buenaventura
(Datum 2) 
Superfície terrestre 
NMM (1951-1968) 
NMM (1949-1957) 
Elipsoide
TNMM1
TNMM2
Geoide global 
W2
W1
W0
Imbituba 
(Datum 1) 
COLÔMBIA
P
H2P
H1P
BRASIL
Buenaventura
Superfície terrestre 
NMM = Geoide 
Elipsoide
Imbituba 
COLÔMBIA
P
H
h
N
BRASIL
A
B
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Após essa parte introdutória quanto aos tipos de superfícies terrestre e 
modelos matemáticos de aderência, algo importante de se entender são as 
formas de apresentar e representar as diferenças de nível de um terreno. É im-
portante perceber que os desníveis são apresentados independentemente de 
qual tipo de superfície adotada, uma vez que a principal finalidade desse dado 
é permitir ao profissional o entendimento quanto ao formato que o terreno 
tem de aclive ou declive entre dois pontos.
A variação altimétrica extraída do nivelamento, se acrescida da altitude de 
alguma RN, apresenta o valor final referente ao nível médio dos mares. Caso 
seja apresentado apenas o desnível ou o mesmo valor, adotado 
de algum valor arbitrário, se obtém a cota do terreno ou a cota do 
projeto. As informações extraídas do levantamento to-
pográfico altimétrico são representadas graficamen-
te em planta topográfica através das curvas de ní-
vel (CN), como na Figura 5, e por perfis longitudinais 
ou transversais do terreno e obra; como na Figura 6.
667.000
668.00
0
669.00
0
669.00
0
670.0
00
670.0
00
671.
000
671.000
672
.000
672.000
673
.000
673.000
Figura 5. Representação de um platô com curvas de nível.
TOPOGRAFIA APLICADA 18
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Figura 6. Perfil longitudinal com corte e aterro.
A qualidade na obtenção dos dados dos levantamentos de topográficos é 
de extrema importância por diversos aspectos, alguns deles listados a seguir. 
Esses pontos devem ser enraizados nos profissionais que forem trabalhar em 
campo ou mesmo receber em escritório essa informação:
1 - Tenha atenção e entenda a real importância do levantamento dos dados 
de campo (caracterização da área);
2 - Agilidade em campo é diferente de pressa;
3 - Vale investir um tempo maior em campo durante o levantamento do que 
ter que efetuar o retrabalho (duas vezes mais oneroso em tempo e dinheiro);
4 -No escritório, não se pode melhorar os dados do levantamento de cam-
po – na verdade, somente o contrário.
Com base nessas dicas, apresenta-se outro conceito fundamental que 
acarreta no sucesso ou não das etapas iniciais de qualquer projeto de en-
genharia: amostragem dos dados levantados, categorizada de três formas, 
sendo a composição da malha regular, semirregular e irregular, conforme se 
vê na Figura 7. 
Área de corte: 16,110 m2
Área de aterro: 25,354 m2
Figura 7. Diferenciações entre as malhas altimétricas.
Semirregular IrregularRegular
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Neste momento, a reflexão é a respeito dos dados presentes nos le-
vantamentos apresentados. As três malhas apresentam informações do 
terreno: a regular, com ótima distribuição ao longo do perímetro de in-
teresse (retângulo delimitador na cor preta) e elevado detalhamento; a 
semirregular, com alterações de trajeto e espaçamento entre as informa-
ções maiores, reduzindo o detalhamento; e a malha irregular, com baixa 
distribuição de informações e baixo detalhamento da área de interesse.
A partir das características do projeto a ser executado, é necessário 
apresentar um detalhamento completo da área de interesse. Pensando 
na abertura de um loteamento urbano, é necessário, além de apresentar 
o projeto de diretriz de ruas e do projeto urbanístico, elaborar a terra-
plenagem do empreendimento para nivelamento dos lotes e mensurar 
os desníveis para o projeto de drenagem. Partindo deste pressuposto e 
obedecendo às três malhas, se compreende que a malha de formato re-
gular permite extrair maior confiabilidade nos dados do terreno.
O desnível entre dois pontos é obtido através da relação direta en-
tre o objeto referência (RE) e o objeto visado a frente (VANTE). Quando 
o resultado dessa subtração for positivo (+), temos 
um aclive, ou seja, o terreno sobe se partirmos do 
ponto de referência para o próximo ponto. Quando 
a resultante for negativa (-), teremos o terreno um 
declive, ou seja, partindo da ré para o próximo 
ponto desceremos. 
A seguir você conhecerá a fórmula para ob-
tenção do desnível entre dois pontos:
Em que:
∆h: desnível entre dois pontos;
Ré e VT: informações obtidas na leitura da mira estadimétrica estacionada 
no ponto de interesse.
∆h = (Ré - VT) (1)
DICA
Logo após ao ∆h, sempre deve haver a sequência dos pontos obtidos nas 
leituras. Dessa forma, é possível entender qual a sequência do caminhamento. 
Por exemplo, de 1 para 2, de 2 para 3 e assim sucessivamente.
TOPOGRAFIA APLICADA 20
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Um exemplo numérico sobre essa relação pode ser visto abaixo:
∆h1,2 : + 2,68 m 
(partindo do ponto 1 para o 2, conforme visto ∆h há um aclive no terreno). 
∆h2,1 : - 2,68 m 
(partindo do ponto 2 para o 1, conforme visto ∆h há um declive no terreno).
Quando há relação entre os mesmos pontos, como no exemplo, deve ficar 
evidente que, na mesma porção do terreno (1 → 2 ou 2 → 1), o desnível possui o 
mesmo valor numérico. Porém, o sinal é preponderante para o entendimento 
do formato da área (aclive ou declive). As cotas (ct) ou alturas também são gran-
dezas apresentadas durante o levantamento topográfico altimétrico. Diferen-
temente dos desníveis, é preciso alguma operação geométrica adicional para 
sua obtenção, justamente por ser a distância vertical de um ponto na superfície 
física até um plano de referência qualquer.
Ctpto = ctreferência + ∆href,pto (2)
Em que:
Ctpto: cota do ponto de interesse;
ctreferência: cota existente do ponto de referência;
∆href,pto: desnível calculado entre o ponto de referência e o ponto de interesse.
Durante o levantamento de campo, o auxiliar posicionou a mira estadimé-
trica acima do marco em que estava a referência de nível da obra e mensurou 
(mediu) o desnível do ponto de interesse para essa altura de referência, dese-
jando obter a ct do ponto de interesse. As variáveis são medidas em campo, 
restando apenas à substituição dos valoresna fórmula apresentada antes: 
Ctpto = ?
ctreferência = 100 m
∆href,pto = 5,60 m
Logo:
Ctpto = 100 + 5,60 → Ctpto = 105,60 m
Não obstante, se o ∆h fosse ∆hpto,ref haveria justamente a inversão na refe-
rência do desnível. Os valores para o exemplo são os mesmos, mas observan-
do o resultado da cota do ponto de interesse: 
Ctpto = ?
ctreferência = 100 m
∆href,pto = -5,60 m
TOPOGRAFIA APLICADA 21
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Logo:
Ctpto = 100 - 5,60 → Ctpto = 94,40 m
A importância no entendimento entre a relação referência e ponto de interes-
se ou ré e vante faz com que possíveis equívocos durante os projetos sejam mini-
mizados, mantendo o cronograma e o orçamento da obra dentro do planejado.
As altitudes (h ou H), diferentemente das cotas, são a distância vertical de 
um ponto na superfície física até referência padrão (elipsoide, geoide, NMM 
entre outros). Nesta situação, o operador de campo obtém a altitude, que está 
amarrada a outras referências nacionais, assim, densifi cando a rede de refe-
rência altimétrica nacional. A fórmula matemática e a opera-
ção de campo são similares ao das cotas, com a diferença de 
que o topógrafo pode utilizar das referências de nível (RN) 
espalhadas pelas cidades, deixando assim de arbitrar uma 
altura de início.
Hpto = hreferência + ∆Href,pto (3)
Nivelamento topográfico
Método de nivelamento
Antes de ir para o campo ou obra realizar a medição e caracterização dos 
desníveis do terreno, é importante planejar muito bem todas as etapas, incluin-
do a escolha dos equipamentos, a defi nição do método de levantamento a ser 
empregado no projeto, os cálculos para ajuste e correção do nivelamento, a com-
posição do desenho topográfi co fi nal e a elaboração dos relatórios técnicos.
Iniciando com a escolha dos instrumentos e acessórios, avançando ainda 
pelo número de operadores e auxiliares de campo, a fi m de simplifi car a con-
versa, a seguir aparecem listados acessórios que podem auxiliar durante a exe-
cução do levantamento de dados no campo:
1 - Balizas;
2 - Tripés (madeira ou alumínio);
3 - Trenas (nylon ou alumínio);
4 - Réguas verticais ou miras estadimétricas (fi bra de vidro ou alumínio);
5 - Bolhas de reaprumo (nível de cantoneira);
6 - Fios de prumo ou prumos esféricos;
TOPOGRAFIA APLICADA 22
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7 - Prismas;
8 - Termômetro;
9 - Barômetro;
10 - Sapatas;
11 - Estacas ou piquetes;
12 - Guarda-sol (Umbrella).
Na sequência, está a sucessão das etapas referentes à execução do nivela-
mento topográfico, o que também para o conceito ficar mais prático:
• Estacionada do equipamento;
• Montagem do tripé;
• Fixação do nível topográfico;
• Nivelamento do equipamento (calagem);
• Medição da altura do equipamento;
• Colimação;
• Definição dos locais para colocação das miras estadimétricas;
• Inicialmente a leitura da ré; 
• Posteriormente a leitura da vante;
• Transcrição dos dados colhidos em prancheta ou caderneta de campo;
• Leitura e cadastro de outros pontos de interesse na obra. 
ASSISTA
Para aprimorar o conhecimento, no vídeo Instalar rápida-
mente un nivel óptico, automático o de ingeniero, é de-
monstrado como realizar a montagem do nível topográfi-
co e seu nivelamento. Embora em espanhol, o material é 
de fácil compreensão, visto que a parte mais importante 
é a apresentação e aplicação dos materiais.
A partir da Figura 8, se compreendem quais as grandezas lidas pelo opera-
dor em campo. No círculo abaixo, está representada a visada do operador por 
meio da luneta do equipamento, graças à qual se identificam quatro importan-
tes dados, depois transformadas em medidas lineares. Os fios estadimétricos 
são representados por três segmentos paralelos horizontalmente e mediante 
as leituras dos dados sobrepostos a eles que é possível ter condições de cal-
cular o desnível do terreno (distância vertical) e a distância horizontal para o 
objeto de interesse.
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O nome dado a este método indireto de medidas é a taqueometria, que pode ser 
aproveitada para levantamentos topográficos altimétricos e levantamentos topo-
gráficos com finalidade planimétrica ou planialtimétrica. O quarto dado importante 
quando o operador realiza a visada através da luneta é o fio estadimétrico vertical. 
Por ele, se verifica a verticalidade da régua em que se extrai a leitura. Apesar de não 
obter a leitura de nenhum dado neste fio, sua participação é indispensável durante 
o levantamento, posto que realizar a mensuração dos fios superior, médio e inferior 
sem a devida verticalidade não traz a precisão e exatidão esperada para o projeto.
Figura 8. Fio estadimétrico e régua topográfica.
Os valores exibidos logo abaixo das réguas da Figura 8 representam as leituras 
realizadas pelo operador durante o levantamento de campo e é importante perce-
ber que os dados são apresentados com três casas decimais. A régua topográfica 
apresenta duas graduações distintas. Na parte frontal, tem-se a leitura em E e, no 
verso, a medida milimétrica. A leitura em E é realizada da seguinte forma. 
Fios estadimétricos
superior e inferior 
Fio estadimétrico 
central ou médio 
Fio estadimétrico 
vertical 
H
29
28
09
07
08
06
09
07
08
06
11
09
13
12
10
39
37
38 15
13
17
16
14
15
13
14
12
15
13
14
12
15
13
14
12
15
13
14
12
1,224 1,330 0,776 2,864 1,7830,890 1,365 1,508 3,804 0,942
TOPOGRAFIA APLICADA 24
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Cada perna do E possui 1 cm e os intervalos são apresentados a cada 10 cm. 
A régua com valor 1,224 m, abaixo do valor 12, tem uma linha vermelha. É a partir 
deste ponto que se iniciam os próximos 10 cm da régua, que se findam no valor 13, 
que inicia o próximo intervalo até o valor 14 em diante. 
A régua é graduada de 10 em 10 cm e cada intervalo recebe um número em 
ordem crescente, devendo o valor 0 estar apoiado sobre a superfície de interesse. 
Sendo assim, se uma régua tem 4 m, são apresentados 40 intervalos de 10 cm. Por 
esse motivo, aparece o valor 40 na mira. 
Voltando para a leitura dos valores das réguas, o valor 1,224 é composto pelo 
intervalo 12 acrescido pelo quadrado em que se tem o fio estadimétrico estacio-
nado – neste caso, o quadrado número 2. A última casa decimal é estimada pelo 
operador em campo. Quando unidos os valores já descritos, se tem: 12 (intervalo 
da régua), 2 (quadrado onde o fio estadimétrico está) e o valor 4, arredondado pelo 
operador, leva a 1224 mm que, convertidos para centímetros, fica com 122,4 ou, em 
metros, 1,224.
Quando o operador de campo efetua a anotação dos valores na planilha de ni-
velamento, é necessário haver uma padronização das medidas para que não haja 
confusão no momento de transcrever o dado em escritório. Por isso, adota-se a 
leitura dos fios em mm, cm ou m e o sistema unitário selecionado deve ser mantido 
até a conclusão do levantamento.
Na Figura 9 são expostas duas formas de nivelamento, ambas através do mé-
todo das visadas iguais. O nivelamento simples consiste na leitura da régua esta-
dimétrica entre dois pontos de interesse, em que os valores de ré e vante serão 
subtraídos para que o desnível seja encontrado.
No nivelamento composto, são realizadas séries de medidas consecutivas, aqui 
em nivelamento chamaremos as séries de lances. A somatória dos desníveis desde 
o primeiro lance ao último apresenta o desnível total do terreno, ou ainda, permite 
calcular a cota ou altitude de qualquer ponto ao longo do perfil levan-
tado. Neste momento, é analisado apenas o nivelamento através das 
visadas iguais, que consiste na estacionada do equipa-
mento no centro de duas réguas topográficas que de-
vem estar posicionadas em distâncias iguais ou muito 
próximas umas das outras, estabelecendo relação di-
reta entre ré–vante gerando como resultado o desnível. 
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RN
RN
a - Nivelamento simples
RN
RN
b - Nivelamento composto
Figura 9. Nivelamento simples e composto. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 206. (Adaptado).
A Figura 10 apresenta o método 
de nivelamento através das visadas 
extremas. Neste método, é usado so-
mente o ponto de interesse para se 
obter o desnível, sem necessidade da 
referência (RÉ). O desnível é dado na 
relação entre a altura de montagem 
do equipamento (hi) e a leitura obtida 
na régua estadimétrica (Lm), a subtra-
ção entre hi e Lm é a variação altimé-
trica entre a base do tripé e a base na 
mira, logo, têm-se o desnível. Esse método de visadas extremas é aplicado em 
larga escala em obras de engenharia civil por conta da agilidade e facilidade na 
obtenção dos dados.
TOPOGRAFIA APLICADA 26
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Figura 10. Nivelamento através de visadas extremas. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 219. (Adaptado).
hi
Ponto A Ponto B
LM
∆hAB
Exemplifi cando com números:
Hi = 1,72 m
LM = 1,224 m
∆hAB = ?
∆hAB = 1,72 – 1,224 → ∆hAB = + 0,496 m
O sinal positivo em frente ao valor numérico indica que o desnível é positi-
vo, logo, se trata de um aclive no terreno. Os equipamentos são selecionados 
para o levantamento de campo de acordo com a precisão e acurácia exigida no 
projeto. Para auxiliar na escolha, a classifi cação dos equipamentos é dada pela 
NBR 13133, de 1994. No Quadro 1, tem-se a classifi cação dos níveis topográfi -
cos conforme o desvio-padrão a cada 1 km de duplo nivelamento.
Classes de níveis Desvio-padrão
1 - Precisão baixa > 10 mm/km
2 - Precisão média ≤ ± 10 mm/km
3 - Precisão alta ≤ ± 3 mm/km
4 - Precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km
1 - Precisão baixa1 - Precisão baixa1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
1 - Precisão baixa
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
2 - Precisão média
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta
3 - Precisão alta
4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta4 - Precisão muito alta
> 10 mm/km> 10 mm/km> 10 mm/km
≤ ± 10 mm/km
> 10 mm/km
≤ ± 10 mm/km≤ ± 10 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 10 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km
≤ ± 3 mm/km
≤ ± 1 mm/km≤ ± 1 mm/km
QUADRO 1. CLASSIFICAÇÃO DOS NÍVEIS TOPOGRÁFICOS
Fonte: ABNT, 1994, p. 6. (Adaptado).
TOPOGRAFIA APLICADA 27
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O desvio-padrão será apresentado conforme a expressão matemática abaixo, 
na escala métrica, ou seja, o resultado será expresso na unidade de medida metros.
Em que:
m = desvio-padrão;
x = cada uma das observações;
x = média das “n” observações do erro calculado;
n = número de observações.
Fontes de erros
Apesar de primar pela qualidade do levantamento e também pela pre-
cisão dos dados obtidos, é necessário entender que existem alguns erros 
suscetíveis. Identifi cá-los e evitá-los ao máximo traz resultados cada vez 
melhores aos nivelamentos. Na sequência, estão listadas quatro fontes de 
erro. Em relação ao erro relacionado ao equipamento:
• Nível: erro de colimação;
• Nível: erro de aferição do equipamento, ou seja, o instrumento topo-
gráfi co não está ajustado e padronizado as medidas estabelecidas pela As-
sociação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
É recomendado que os equipamentos óticos de topografi a (níveis, teodo-
litos e estações totais) sejam aferidos ao menos 1 vez por ano. Em casos de 
muito uso ou locais de acesso em que os veículos de transporte passem por 
vias muito esburacadas e que promova bastante trepidação, recomenda-se 
duas vezes ao ano ou ainda, quando a contratante do serviço de topografi a 
exigir um laudo de calibração e aferição do equipamento com base na NBR 
ISO/IEC 17025.
CURIOSIDADE
Para saber mais sobre metrologia e as normatizações que 
a permeiam através da NBR ISO/IEC 17025, é possível con-
sultar as Orientações gerais sobre os requisitos da ABNT 
NBR ISO/IEC 17025:2017.
m = ±
Σ(x - x)2
(n - 1)
(4)
TOPOGRAFIA APLICADA 28
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Erro relacionado ao acessório:
• Miras: erro de graduação (gravação), anotar de forma equivocada os valores 
lidos durante as visadas;
• Miras: erro de não verticalidade ao realizar a leitura do ponto. Nesta situação, 
o auxiliar de campo não pruma corretamente a régua sob o ponto de interesse, 
causando uma falsa leitura do dado. (distância horizontal deslocada e devido à incli-
nação dada a régua, provável erro de desnível);
• Tripé: escolha inadequada do material para o tipo de obra, por exemplo, tripé 
de alumínio em locais com circulação de veículos pesados. (trepidação do solo rela-
cionada à passagem dos caminhões e tratores).
Erro relacionado ao operador do equipamento:
• Nivelamento do equipamento (calagem): montagem do instrumento topográ-
fi co sem a correta verticalização no marco de partida, ou seja, os níveis ou bolhas de 
medição não estão centralizados, o que indica que o equipamento está desnivelado;
• Leitura das miras estadimétricas: interpretação equivocada dos valores lidos 
nas réguas e posterior anotação na planilha de levantamento.
Erro inerente aos elencados acima, chamados de erros externos:
• Refração atmosférica: próximo a corpos d’água (lagos, rios, açudes e represas);
• Reverberação ou conhecida como efeito onde a imagem aparece tremi-
da próximo ao solo: causada por elevadas temperaturas e proximidade com locais 
que aumentem o poder de refração e distorção das leituras, como asfalto e cerâmi-
ca. (ocorre até 50 cm do solo).
Subprodutos do nivelamento
Diante da mensuração e anotações dos dados de campo, cabe o processa-
mento das informações em escritório. A forma mais simples de trabalhar com 
os dados de medição é através de softwares de topografi a específi cos nos quais, 
além de calcular os desníveis dos terrenos, também é gerado o produto carto-
gráfi co fi nal do levantamento.
Podem ser confeccionados diversos mapas em escritório, mas não se deve es-
quecer que a escolha do produto deve ser realizada com base na aplicação ou ênfa-
se em determinada característica do relevo. A seguir, foram selecionados três tipos 
diferentes de mapas temáticos, cada um deles realçando uma característica predo-
TOPOGRAFIA APLICADA 29
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minante diante de sua aplicação, porém, não seria possível cria-los sem o levanta-
mento topográfico e sem as medidas de desníveis.
A Figura 11 traz o mapa de declividade subcategorizado através de classes, con-
forme observado na legenda. Há cinco classes diferentes com amplitudes variá-
veis, inicialmente com baixa declividade a classe de 0 a 5°, 6 a 15°, de média decli-
vidade 16 a 25° e 26 a 35° e as altas declividades, mais íngremes, com 35° ou mais.
Neste tipo de mapa, o enfoque está na declividade do terreno, na relação exis-
tente entre distância vertical e distância horizontal. Para simplificar, ao desenhar 
um triângulo retângulo com cateto aposto 10 cm e cateto adjacente 20 cm, a hi-
potenusa é mais suave e alongada. Agora, invertendo as medidas e desenhando o 
triângulo retângulo com cateto oposto de 20 cm e cateto adjacente 10 cm, se tem 
uma hipotenusa mais inclinada e mais curta. Diante deste exemplo, se chega ao 
primeiro triângulo possuindo uma declividade menor e ao segundo triângulo com 
uma declividade maior, logo, eles estariam em classes diferentes no mapa.
Figura 11. Mapa de declividade. Fonte: DUZ, 2020, p. 72.
Universal Transversa de Mercator (UTM)
Sistema de Coordenadas Planas
Datum: SIRGAS 2000/Zone: 23S
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Na Figura 12, é apresentado o mapa de elevação, cujo destaque está nas 
altitudesdos objetos de interesse. Neste mapa, é apresentada a relação das al-
titudes em referência ao NMM e as cores mais quentes simbolizam as maiores 
altitudes, já as cores frias as menores altitudes do terreno.
435000
Legenda
Amplitude (m) 
435000
440000
Curso fluvial 
Divisa de bacias 
Limites municipais 
Paraibuna
Natividade da Serra 
Caraguatatuba 
Oceano Atlântico 
0-168 
168-386 
386-618 
618-805 
805-1160 
0 4,5 9 Km
Universal Transversa de Mercator (UTM)
Sistema de Coordenadas Planas
Datum: SIRGAS 2000/Zone: 23S
440000
450000
450000
460000
460000
74
00
00
0
74
00
00
0
73
96
00
0
73
96
00
0
73
92
00
0
73
92
00
0
73
88
00
0
73
88
00
0
73
84
00
0
73
84
00
0
73
80
00
0
73
80
00
0
445000
445000
455000
455000
Figura 12. Mapa de elevação. Fonte: DUZ, 2020, p. 73.
Ao tentar relacionar o mapa de declividade com o mapa de elevação, perce-
be-se que os maiores desníveis não estão onde as maiores altitudes estão, algo 
que ocorre por conta da relação dos catetos oposto e adjacente desenhados. 
O mapa de inundação presente na Figura 13, diferente dos anteriores, mostra 
a situação do terreno em diferentes momentos, isto é, se hou-
ver uma elevação no nível da água para determinada cota 
será possível identificar quais serão as áreas alagadas. Se 
o nível continuar subindo ou baixar, também é possível 
calcular a área submersa e a área seca.
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Figura 13. Mapa de inundação. Fonte: CAVALCANTI, 2013, p. 709.
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Sintetizando
No decorrer da história da humanidade, sempre houve a preocupação com 
suas habitações e as atividades econômicas que se desenvolviam diante do 
espaço ocupado. O avanço do conhecimento, a curiosidade e as possibilidades 
da engenhosidade humana trouxeram o atual estágio de desenvolvimento e 
a topografia é uma importante ferramenta de contribuição para o conforto e 
segurança nos ambientes.
Diante deste contexto, é importante lembrar que, mesmo sendo uma ciên-
cia exata e precisa, existem prováveis fontes de erros que podem gerar desde 
o atraso num cronograma, ao aumento exponencial dos valores orçamentários 
do projeto e a falta de segurança em locais para construção de empreendi-
mentos. Conhecer e entender formas de mitigar estes problemas se torna um 
diferencial em qualquer obra de engenharia, arquitetura e do agronegócio.
Os equipamentos cada vez mais modernos, aliados aos métodos de le-
vantamento topográfico com finalidade altimétrica, permitem a confecção de 
mapas com a caracterização do terreno mais precisa, permitindo com que as 
decisões a serem tomadas a partir da intepretação destes produtos sejam mais 
assertivas e eficientes.
Em projetos de engenharia, a compatibilidade entre as referências existen-
tes no local e as quais são utilizadas no projeto é primordial. Na abertura de 
um novo loteamento, é necessário identificar a referência utilizada pelo muni-
cípio para que a loteadora também utilize em seus projetos. Sendo assim, seus 
empreendimentos se adequam à realidade local. Conhecendo as referências 
altimétricas, o método de nivelamento topográfico, as fontes de erro e os pro-
dutos cartográficos gerados, é possível elaborar seus projetos de engenharia.
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Referências bibliográficas
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13133: execução de 
levantamento topográfico, Rio de Janeiro: ABNT, 1994.
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. Orientações gerais sobre 
os requisitos da ABNT NBR ISO/IEC 17025:2017. Rio de Janeiro: ABNT, 2018.
CAVALCANTI, R. C.; TAVARES JUNIOR, J. R.; CANDEIAS, A. L. B. Simulação de ma-
peamento de riscos de inundações usando dados LiDAR: estudo de caso da 
bacia do rio Una - PE. Revista Brasileira de Cartografia, Uberlândia (MG), v. 
65, n. 4, jul./ago. 2013. Disponível em: <http://www.seer.ufu.br/index.php/re-
vistabrasileiracartografia/article/view/43855/23119>. Acesso: 14. out. 2020.
DALAZOANA, R. Estudos dirigidos à análise temporal do datum vertical bra-
sileiro. 2005, 202 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas) – Curso de Pós-
-Graduação em Ciências Geodésicas, Setor de Ciências da Terra, Universidade 
Federal do Paraná (UFPR), 2005. Disponível <https://acervodigital.ufpr.br/bits-
tream/handle/1884/3922/TESE_REGIANE_DALAZOANA.pdf?sequence=1&isAl-
lowed=y>. Acesso em: 14 out. 2020.
DUZ, B. G. Avaliação dos modelos SHALSTAB e SINMAP à ocorrência de es-
corregamentos rasos: aplicação em áreas de alta densidade de estruturas 
geológicas da serra do mar. 2020, XX p. Dissertação (Mestrado em Geociências 
e Meio Ambiente) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade 
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro (SP), 2020. Disponível em: 
<https://repositorio.unesp.br/handle/11449/193057>. Acesso em: 14 out. 2020.
INSTALAR rápidamente un nivel óptico, automático o de ingeniero. Posta-
do por Topografía simple. (18 min. 37s.). son. color. esp. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=y0WUo8BB0QE>. Acesso em: 14 out. 2020.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de topografia. 
Curitiba: UFPR, 2012.
TOPOGRAFIA APLICADA 34
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MÉTODOS DE 
NIVELAMENTO 
TOPOGRÁFICO
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os métodos de nivelamento topográficos utilizados em obras de 
engenharia civil;
 Abordar os tipos de aplicações dos nivelamentos geométricos e 
trigonométricos.
 Nivelamento geométrico
 Nivelamento geométrico simples
 Nivelamento geométrico 
composto
 Nivelamento trigonométrico
 Nivelamento trigonométrico 
para lances curtos
 Nivelamento trigonométrico 
para lances longos
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Nivelamento geométrico
O nivelamento geométrico (ou nivelamento direto) é defi nido, de acordo 
com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT): 
Nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre 
pontos do terreno por intermédio de leituras correspondentes 
a visadas horizontais, obtidas com um nível, em miras colocadas 
verticalmente nos referidos pontos (ABNT, 1994, p. 3).
Geralmente, ao trabalharmos com um nível topográfi co têm-se, inicial-
mente, a ideia de que será possível obter apenas as grandezas relacionadas 
ao eixo Z de um plano tridimensional, quando falamos em eixo Z nos referi-
mos às altitudes, cotas ou variações verticais do terreno, no entanto, deve-
mos ter ciência de que além dos desníveis do terreno, ainda é possível obter 
as distâncias entre o equipamento e o objeto de interesse e o ângulo horizon-
tal da área.
Esta distância horizontal calculada permitirá ao operador cadastrar preci-
samente os pontos de interesse em campo, e por meio dos ângulos horizon-
tais será possível obter o formato do imóvel ou ainda cadastrar a abertura 
angular em que cada objeto está um do outro, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1. Cadastramento de objetos em campo. Fonte: FIORIO, 2019, p. 26.
Sabe-se que para calcular o desnível é necessário anotar a leitura do fi o médio 
(FM) em campo; e para realizar o cálculo da distância, o operador deverá anotar na 
caderneta todas as três informações elencadas a seguir:
TOPOGRAFIA APLICADA 37
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• Fio médio (FM);
• Fio superior (FS);
• Fio inferior (FI).
O cálculo rápido para as distâncias em campo será importante para o correto 
posicionamento do nível topográfico durante o método das visadas iguais, onde a 
distância entre o equipamento +ré e o equipamento +vante devem ser simétricos, 
podendo ser aceita, na prática, uma variação de até 2 m entre ambos, e caso a dis-
tância seja maior, será necessárioreposicionar o instrumento topográfico. Portanto, 
diante as informações do FS e FI, substituímos na fórmula: 
Dnível→mira = S ∙ C
Onde:
S é a diferença entre FS e FI, ou seja, FS – FI;
C é a constante estadimétrica do equipamento. Esta é uma informação técnica 
do instrumento e consta no manual fornecido pelo fabricante, porém, níveis topo-
gráficos normalmente apresentam constante igual a 100.
Assim, a fórmula poderá ser interpretada conforme observa-se na equação (1):
Dnível→mira = (FS - FI) ∙ 100
Exemplificando com números:
Durante o trabalho de campo, foi realizada a anotação dos valores referentes 
aos fios superior, inferior e médio através do nível topográfico: 
FS = 1,488 m;
FI = 1,438 m;
FM = 1,462 m.
Sendo assim:
Dnível→mira = (1,488 -1,438) ∙ 100
Dnível→mira = (0,05) ∙ 100 
Dnível→mira = 5 m
Apesar do FM não entrar na fórmula para obtenção da distância, essa in-
formação é necessária para o desnível do terreno, claro, mas é utilizada como 
referência para identificar o desvio tolerável durante a leitura dos fios superior 
e inferior. Para isso, a razão entre a soma dos FS e FI deverá ser igual ao FM com 
variação de ± 0,002 m.
Tolerância = 
(FS + FI)
2
(1)
(2)
(3)
(4)
TOPOGRAFIA APLICADA 38
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Novamente, trazendo a prática numérica para melhor assimilação (utilizamos os 
valores do exemplo anterior):
Tolerância = 
(1,488 + 1,438)
2
 
Tolerância = = 1,463 m
(2,926)
2
Com o resultado obtido entre a diferença de FS e FI dividido por 2, analisaremos 
os possíveis valores de acordo com o desvio padrão permitido. A tolerância para o 
valor 1,463 m ± 0,002 m validará o valor obtido em campo. 
Os valores aceitos estão entre o intervalo de 1,461 m → 1,465 m.
Diante dos resultados obtidos acima, devemos retornar para a planilha de le-
vantamento topográfico e verificar o valor preenchido em campo referente ao FM; 
em nosso exemplo, o valor anotado para FM é 1,462 m. Após o cálculo do desvio, 
obtivemos o valor para o FM de 1,463 m e diante da tolerância permitida ±0,002 m 
percebe-se que a variação de 0,001 m está no padrão aceitável, logo, validando a 
operação de campo.
Após a finalização da leitura da ré, o mesmo procedimento é empregado para 
visada posterior, visto que o objetivo é identificar a equidade entre as distâncias 
relacionadas ao equipamento, bem como a mira na posição ré e a mira na posição 
vante (VT).
Durante a nova leitura em campo, o operador anotou em sua prancheta os se-
guintes valores: FS = 3,881 m; FI = 3,818 m; e FM = 3,850 m. Sendo assim:
Dnível→mira = (3,881 - 3,818) ∙ 100
Dnível→mira = (0,063) ∙ 100
Dnível→mira = 6,3 m
Apesar do valor obtido na segunda leitura (6,3 m) ser diferente da primeira lei-
tura (5 m), a diferença de 1,3 m está dentro do limite prático de até 2 m de variação 
entre as seções, logo, não há necessidade em reposicionar o instrumento topográ-
fico em campo.
Tolerância = 
(3,881 + 3,818)
2
Tolerância = = 3,849 m
(7,699)
2
Tolerância:
Tintervalo = 3,849 m ± 0,002 m → 3,847 m → 3,851 m.
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
TOPOGRAFIA APLICADA 39
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O valor do FM obtido em campo foi de 3,850 m, logo, está contido no intervalo 
da tolerância permitida, validando os dados obtidos em campo. Com as validações 
lineares, consegue-se agora obter o desnível do terreno entre os pontos preestabe-
lecidos mediante relação direta:
Substituindo com os valores de campo, temos:
DN = 1,462 - 3,850 = -2,388 m
DN = FMré - FMvt
(12)
RÉ VT
Figura 2. Perfil topográfico.
A Figura 2 representa o trecho em declive calculado anteriormente. Será por 
meio do valor apresentado em frente do resultado do desnível que interpre-
taremos o formato do terreno em nosso cálculo, o valor negativo indicará que 
o trecho levantado representa um declive entre a ré e a vante, o qual permite 
calcular a declividade da seção levantada.
Existem duas formulações para obter a declividade de uma seção ou de um 
terreno, elas podem ser expressas em graus ou porcentagem, sendo a segunda 
a mais utilizada na engenharia civil. Acompanhe ambas as fórmulas. 
Fórmula da declividade em porcentagem:
Onde:
D% = valor da declividade em porcentagem;
DV = distância vertical (desnível);
DH = distância horizontal.
D% = ∙ 100
DV
DH
TOPOGRAFIA APLICADA 40
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 40 16/03/2021 16:58:06
Fórmula da declividade em graus:
Onde:
D = valor da declividade em graus;
tgα = tangente do ângulo;
DV = distância vertical (desnível);
DH = distância horizontal.
Seguindo com o exemplo apresentado anteriormente, com base nos valores 
obtidos em campo, utilizaremos a fórmula da declividade em porcentagem para 
calcular o declive da seção do terreno correspondente ao intervalo RÉ e VT. O 
desnível total apresentado foi −2,388 m; a distância total apresentada foi 11,3 m 
(5 m + 6,3 m). Diante disto, teremos:
Logo, a declividade do trecho é 21,1%.
De maneira lúdica, podemos interpretar e reproduzir o trecho em declive com o 
valor de 21% no ambiente de estudos. Geralmente, a borracha padrão escolar possui 
6 cm de comprimento, utilize-a deixando em pé sobre uma mesa e posteriormente 
apoie a extremidade de uma régua de 30 cm nesta borracha, a rampa criada equiva-
lerá aproximadamente ao valor de declividade do trecho calculado anteriormente. 
Para calcularmos a declividade em graus basta substituir os valores na 
fórmula apresentada anteriormente: 
Apesar de existirem outros métodos de nivelamento de terreno, o método 
de nivelamento geométrico é apresentado como sendo o mais preciso, principal-
mente pelo instrumental utilizado durante a operação em campo: o nível topo-
gráfico e a mira ou régua estadimétrica (graduada).
D em graus = tgα =
DV
DH
D% = ∙ 100
2,388
11,3
(13)
D em graus = tgα =
DV
DH
(14)
tgα =
2,388
11,3
(15)
α = tg
2,388
11,3
(16)
(17)α = 11°55’57″
TOPOGRAFIA APLICADA 41
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 41 16/03/2021 16:58:07
Como o nível não apresenta movimento vertical de luneta, ao montarmos o 
equipamento devidamente prumado no tripé criamos, automaticamente, o pla-
no de colimação do equipamento, ou seja, um plano paralelo ao solo que permi-
tirá obter com menor distorção, os pontos de cadastro.
ASSISTA
Diante dos diversos métodos de nivelamento existentes, 
devemos saber que os equipamentos topográfi cos podem 
ser categorizados em: 
• Alta precisão: nível de precisão, teodolito e estação total;
• Média precisão: nível de pedreiro, nível de mão, nível de 
borracha ou mangueira de nível etc. 
Para conhecer mais sobre as técnicas relacionadas à 
mangueira de nível, assista ao vídeo.
Nivelamento geométrico simples
O nivelamento geométrico simples pode ser defi nido como o método que busca 
obter e determinar as diferenças de níveis (deníveis) entre todos os pontos de interes-
se da área, ocupando uma única posição no terreno.
Na Figura 3, temos o exemplo do nivelamento geométrico simples. Perceba que o 
nível topográfi co está posicionado de modo a conseguir realizar a leitura de todos os 
pontos de interesse neste perfi l topográfi co sem que haja necessidade na realização 
de novos lances durante a operação. 
A escolha correta para montagem do instrumento é fundamental para realização 
deste método de nivelamento, perceba que novamente o planejamento das etapas 
que ocorrerão em campo é necessária, de forma a otimizar a medição dos dados.
Eixo Y (Z) 
Dist. horizontal 
Figura 3. Nivelamento geométrico simples.
TOPOGRAFIA APLICADA 42
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 42 16/03/2021 16:58:07
Para obtenção dos valores apresentados na Tabela 2 foi realizado previa-
mente o levantamento de campo. A operação é relativamente simples, acompa-
nhe seu passo a passo: 
1. Primeiramente, crave a estaca de partida no solo ou delimite o concreto 
com tinta;
2. Posicione o tripé na estaca e o instale;
3. Insira o nível topográfico sobreo tripé;
4. Libere o fio de prumo para centralizar corretamente o instrumento princi-
pal no ponto de partida; 
5. Realize o nivelamento grosseiro do instrumento por meio das pernas do 
tripé para centralização da bolha circular localizada na base do nível;
6. Parafusos calantes são utilizados para o nivelamento fino do equipamento 
para nivelar e centralizar a bolha tubular no corpo do nível;
7. Meça o nível topográfico em referência à estaca, criando a altura do plano 
do colimador;
8. O auxiliar de topografia se dirige ao ponto de interesse com a mira estadi-
métrica e a posiciona no local; 
9. A mira estadimétrica é nivelada com a bolha circular ou nível de cantoneira 
para minimizar os erros de prumada;
10. O operador realiza a primeira visada na referência. Chamaremos de E0 e é 
a informação que está preenchida na coluna 2 da Tabela 2 com o valor de 2,000 m;
11. O auxiliar se dirige aos próximos pontos de interesse do projeto, instalan-
do e prumando corretamente a mira estadimétrica para a visada do operador. 
Neste momento são realizadas as leituras dos dados da coluna 4, os pontos in-
termediários; 
12. O último ponto em que ainda é possível realizar a leitura das informações 
da régua estadimétrica entrará na coluna 5, chamado de ponto de mudança;
13. Mediante o cadastro de todas as informações necessárias, calcula-se a 
coluna 6 com as novas cotas ou altitudes.
Na Tabela 1 temos a planilha padrão utilizada em campo para cadastro das 
informações. Nela encontramos seis colunas onde são preenchidos os dados 
do levantamento de campo. Na primeira coluna, chamada de estacas, são ano-
tados os pontos de cadastro; geralmente utilizamos a numeração crescente a 
partir de 0 e é comum alguns profissionais adotarem prefixos como E0 ou PT0. 
TOPOGRAFIA APLICADA 43
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 43 16/03/2021 16:58:07
Para padronizar a anotação, a linha 1 receberá os dados da ré do levantamento 
e posteriormente virão os pontos intermediários e o ponto de mudança, este 
último simboliza o encerramento do nivelamento geométrico simples, visto que 
haveria necessidade em realizar a movimentação do equipamento.
As colunas posteriores recebem as informações medidas em campo e de-
vem ser anotadas em metros (m) para uniformidade e padronização. É ne-
cessário muita atenção na organização dos dados, visto que a transcrição 
incorreta das medições é uma fonte comum de erro, caracterizando o erro 
do tipo grosseiro. Para correção deste erro é realizado novo trabalho de to-
pografi a no terreno. 
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada vante (m) Cota ou 
altitudePI PM
TABELA 1. MODELO DE PLANILHA DE NIVELAMENTO
A partir da Tabela 2 temos o preenchimento dos dados da medição do ni-
velamento geométrico simples. Note que na primeira coluna estão as estacas 
(nestes pontos foram posicionadas as miras estadimétricas para leitura dos valo-
res). A segunda coluna, chamada de ré, recebe a informação obtida por meio da 
leitura da mira, em nosso exemplo o valor corresponde a 2,000 m. É necessário 
utilizar três casas decimais para embutir maior precisão no nivelamento. Têm-se 
apenas uma referência para cada lance de nivelamento, por esse motivo, em 
nossa prancheta será apresentado unicamente na primeira leitura.
 Fonte: SANTOS, 2016. (Adaptado).
DICA
É imprescindível entender que por se tratar de um nivelamento geométrico sim-
ples teremos apenas uma ré na prancheta/planilha de levantamento de campo, 
caso contrário, se caracterizaria como nivelamento geométrico composto.
TOPOGRAFIA APLICADA 44
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 44 16/03/2021 16:58:07
Na coluna 3 é preenchida a altura do instrumento (AI) que pode ser medida 
por meio de uma trena posicionada verticalmente ao solo até a marca apresen-
tada no equipamento, ou a AI pode ser obtida por meio do posicionamento da 
mira estadimétrica logo à frente da luneta do equipamento, onde o operador 
realizará a anotação do valor do FM. Pode-se utilizar ainda, a altura do plano do 
colimador (APC), sendo este o plano horizontal (linha paralela ao terreno) criado 
com a montagem do equipamento. Neste caso, adota-se o valor da estaca, po-
dendo ser uma referência de nível (RN) já existente ou uma cota arbitrária; em 
nosso exemplo utilizamos o APC equivalente a 50 m, ou seja, a cota inicial do 
projeto é 50 m e a partir dela foi possível obter as posteriores. 
As colunas 4 e 5 se relacionam com os pontos visados pelo operador, sendo 
PI o ponto intermediário, ou seja, pontos de interesse em que foi possível efetuar 
a leitura sem a mudança de equipamento, por isso o nome de intermediário e o 
PM, ponto de mudança. Os valores são obtidos por meio da leitura do FM na mira 
estadimétrica e este é transcrito na prancheta em metros. 
O PM é o último ponto que o operador consegue realizar a leitura com o 
equipamento estacionado no mesmo local, a partir deste ponto não há mais 
intervisibilidade entre o equipamento e o ponto para cadastro.
A última coluna (6) da prancheta receberá as novas cotas ou altitudes que 
serão calculadas mediante as equações:
AI/APC = cota + ré
altura/cota = AI/APC – vante
Na linha da ré utilizaremos a equação (18), na qual temos: 
APC = 2,000 m + 50 m (valor definido em campo), logo o APC = 52 m.
Para obter a cota ou altitude dos pontos intermediários (PI) e do ponto de 
mudança (PM), utiliza-se a equação (19): 
• Para estaca 1, temos:
Cota1 = 52,000 m – 3,000 m → Cota1 = 49,000 m;
• Para estaca 2, temos:
Cota2 = 52,000 m – 4,000 m → Cota2 = 48,000 m;
• Para estaca 3, temos:
Cota3 = 52,000 m – 4,500 m → Cota3 = 47,500 m;
• Para estaca 4, temos:
Cota4 = 52,000 m – 5,000 m → Cota4 = 47,000 m.
(18)
(19)
TOPOGRAFIA APLICADA 45
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Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 e 5 Coluna 6
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada Vante (m) Cota ou alti-
tudePI PM
0 2,000 52,000 50,000
1 3,000 49,000
2 4,000 48,000
3 4,500 47,500
4 5,000 47,000
TABELA 2. PLANILHA DE NIVELAMENTO PREENCHIDA
 Fonte: SANTOS, 2016. (Adaptado).
0
2
2,000
3
2,000
4
52,00052,000
3,0003,000
4,0004,0004,000
4,5004,500
50,00050,000
5,000
49,000
5,000
49,000
48,00048,000
47,50047,500
47,000
47,500
47,00047,000
Nivelamento geométrico composto
O nivelamento composto pode ser facilmente entendido como sendo um 
método onde ocorre o nivelamento geométrico simples consecutivo, ou seja, 
são séries de nivelamentos geométricos simples em sequência, que utilizaram 
um ponto para unir os trechos nivelados. O nivelamento fi cará “amarrado” ao 
anterior por meio dos pontos de mudança (PM), por esse motivo é necessário 
caracterizá-lo em campo.
Pontos de mudança (PM) não precisam necessariamente serem os últimos 
pontos cadastrados do lance anterior, estes poderão variar de acordo com o 
levantamento de campo e a topografi a do terreno, podendo ser utilizado outro 
marco. No entanto, este marco deverá ser medido ao menos duas vezes, pri-
meiro enquanto o nível topográfi co estiver posicionado 
na referência inicial e posteriormente quando o nível 
estiver na nova posição. Utilizando a Figura 4 como 
exemplo, é possível perceber que a estação A efetua a 
leitura do PM e quando ocorre a movimentação do ní-
vel para posição estação B, o objeto será novamente 
cadastrado, porém, desta vez o marco assumirá a 
função de referência (ré) do novo lance. Este pro-
cedimento ocorrerá quantas vezes forem necessá-
rias para conclusão do nivelamento.
TOPOGRAFIA APLICADA 46
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Na Figura 4 o nível foi mantido externamente ao perfil topográfico, mas de-
vemos entender que pode ocorrer o nivelamento geométrico composto com o 
equipamento posicionado entre as miras estadimétricas, assim como é observa-
do na Figura 5.
Estação A
RÉ
PI
PI
PM/RÉ
PI
PI
PM/RÉ
PI
PI
PM
Estação B
Estação C
1,33
0,22
0,46 
0,96 
8,
37
 
7,
91
 
11
,7
2 
AI
 =
 2
05
4,
51
 
AI
 =
 2
04
6,
36Nível médio do mar (NMM) 
RN de início
Elev. 2053,18 m
PL 1
PL 2
PL 3
RN de chegada 
8,
71
 
Figura 4. Nivelamento geométrico composto. Fonte: FIORIO, 2019, p. 34.
Figura 5. Nivelamento geométrico composto em linha. Fonte: BRINKER, 1997 apud CORDINI, 2014, p. 25.
TOPOGRAFIA APLICADA 47
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 47 16/03/2021 16:58:07
Assim como visto anteriormente, notamos que o PM do lance anterior se 
transforma automaticamente no ponto de ré no lance posterior, criando a 
amarração para que o nivelamento permaneça contínuo. 
Este método é utilizado quando o terreno apresenta desnível bastante 
acentuado ou ainda quando será necessário cobrir um longo trecho de ni-
velamento, dessa forma, realiza-se a movimentação ou caminhamento do 
equipamento, onde no nivelamento os chamamos de lances.
Fiorio (2019, p. 34-35) nos explica como será realizado o procedimento 
de campo: 
1. Estacionar e nivelar o equipamento;
2. Efetuar a leitura de ré; 
3. Efetuar as leituras necessárias de pontos intermediários (PIs);
4. Efetuar a leitura do ponto de mudança (PM);
5. Manter a régua no primeiro PM; 
6. Estacionar e nivelar novamente o equipamento;
7. Efetuar a leitura da segunda ré (que será o PM do item 5);
8. Repetir os passos descritos até o término do trabalho.
Como neste método existe o lance entre os níveis e consequentemente 
entre as visadas, devemos entender que mesmo tomando os cuidados du-
rante a operação é possível que ocorram erros de nivelamento. Estes podem 
e devem ser verificados sempre que possível para correção e redução dos 
erros, para isso existe uma fórmula em que se relaciona a leitura da ré e do 
PM com a altura final e a altura inicial obtida na 
mira estadimétrica:
∑LR − ∑LPM = HF – HO
Ao estabelecer a relação é necessário ve-
rificar os valores obtidos, visto que a validação 
ocorrerá quando os dois lados da equação fo-
rem iguais. Caso estejam diferentes ou, ainda, 
com sinais distintos, será necessário reali-
zar um novo levantamento no trecho. 
Observe que na Tabela 3 temos um 
exemplo de planilha de nivelamento geomé-
trico composto com as correções aplicadas.
(20)
TOPOGRAFIA APLICADA 48
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Para exemplificar a equação (20), acompanhe o raciocínio abaixo:
∑LR − ∑LPM = HF – HO
∑LR − ∑LPM = 4,627 − 4,611 = 0,016
HF – HO = 50,016 − 50,000 = 0,016
Para o preenchimento de ∑LR acompanhe a marcação em vermelho na tabela, 
note que foi realizada a somatória dos valores obtidos durante a leitura da ré 
em campo (0,711 + 2,462 + 1,454), o qual resulta em 4,627, que é utilizado na 
equação.
O ∑LPM está destacado em verde na planilha, esta informação é a somatório 
dos pontos de mudança do levantamento. Para facilitar na leitura dos dados, ve-
rifi que na coluna “Pontos Visados” em amarelo os pontos “2”, “4” e “RN”, e note 
que existem dois pontos “2” e “4”; por esse motivo é mais fácil identifi car o PM na 
planilha, já o ponto “RN” é o último ponto do levantamento e que dará indicativos 
de que seria a próxima mudança ocorrida, por esse motivo também é somado aos 
pontos anteriores. Essa soma resulta no valor 4,611, que é inserido na equação. 
Para os dados HF e HO foram utilizados os valores destacados em azul, estas 
são as altitudes fi nal e inicial do levantamento. Note o que o valor 50,016 m é a 
altitude calculada ao longo do levantamento e o valor de 50,000 m é a referência 
de nível (RN) inicial.
(21)
(22)
(23)
TABELA 3. PLANILHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO CORRIGIDO 
Estação
ocupada
Ponto
visado
Leitura de mira Altura do 
Instrumento
Altitude 
calculada
Correção 
(em m)
Altitude
corrigida
Distância 
nivelada (m)Ré Vante
A RN 0,711 50,711 50,000
1 1,143 49,568 0,005 49,563 52,00
2 1,533 49,178 0,005 49,173 84,33
B 2 2,62 51,640
3 1,134 50,506 0,010 50,496 98,35
4 1,521 50,119 0,010 50,109 90,88
C 4 1,454 51,573
5 2,781 48,792 0,016 48,776 74,65
6 1,885 49,688 0,016 49,672 73,12
RN 1,557 50,016 0,016 50,000 83,32
Soma: 4,627 4,611 556,65
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016 Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
Fonte: CORDINI, 2014, p. 36.
RN
B
0,7110,711
C
1,143
2,62
4
1,143
1,533
4
50,711
1,533
5
Soma:
50,711
1,134
1,454
6
Soma:
1,134
1,521
1,454
RN
51,640
1,521
51,640
2,781
49,568
51,640
2,781
4,627
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,568
49,178
1,885
4,627
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,178
51,573
1,557
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
0,005
50,506
51,573
4,611
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
0,005
50,506
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
50,000
0,005
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
50,000
49,563
50,119
Erro = 4,627 - 4,611 = 0,016
49,563
49,173
0,010
48,792
49,173
0,010
0,010
48,792
49,688
49,173
0,010
49,688
50,016
52,00
50,496
0,016
50,016
52,00
84,33
50,496
50,109
0,016
0,016
84,33
50,109
0,016
0,016
48,776
0,016
98,35
48,776
49,672
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
90,88
49,672
50,000
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
50,000
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
74,65
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
74,65
73,12
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
73,12
83,32
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
83,32
556,65
Erro = 50,016 - 50,000 = 0,016
556,65
TOPOGRAFIA APLICADA 49
SER_ENGCIV_TOPAP_UNID2.indd 49 16/03/2021 16:58:08
A partir dos resultados apresentados, perceba que o mesmo valor (0,016 ou 
16 mm) foi apresentado em ambos os lados da equação, desta forma é possível 
interpretar que a geometria do nivelamento está correta. Assim, será possível 
avaliar o erro altimétrico cometido com o erro médio e o máximo admissível.
Veja a Tabela 4, pois a partir dela será possível entender como é calculada a 
altitude/cota dos pontos de uma planilha de nivelamento geométrico composto. 
Os resultados das equações estão destacados em vermelho.
TABELA 4. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO
Estacas Ré (m) APC/AI
Visada Vante (m) Cota ou 
altitudePI PM
1 3,410 103,410 100
2 3,210 0,845 102,565
3 1,620 104,155
4 2,823 102,952
5 3,615 102,160
6 3,912 108,465 1,222 104,553
7 0,544 107,921
2
3
3,4103,410
3,210
5
3,210
6
103,410103,410103,410
3,9123,912 108,465
1,620
108,465
1,620
2,8232,823
0,845
3,615
0,845
3,615
100100
102,565102,565
104,155
1,222
102,565
104,155
1,222
0,544
104,155
102,952
0,544
102,952
102,160102,160
104,553
102,160
104,553104,553
107,921107,921
Fonte: FIORIO, 2019, p. 36. (Adaptado).
O cálculo será iniciado de forma a determinar a altura do primeiro plano de 
colimação (APC1) do levantamento.
APC1 = Ctconhecida + ré
APC1 = 100 + 3,410 m
APC1 = 103,410 m
O valor obtido em APC1 é utilizado para obter as altitudes dos próximos pon-
tos referentes a este mesmo lance, em nosso exemplo, apenas o ponto 2 será 
calculado a partir desse valor obtido.
Ct2 = APC1 – ré
Ct2 = 103,410 – 0,845
Ct2 = 102,565 m
Como ocorreu a abertura de um novo lance no nivelamento, será necessário 
calcular o APC2 e a partir desse valor conseguiremos obter as cotas dos pontos 
3, 4, 5 e 6.
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
TOPOGRAFIA APLICADA 50
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APC2 = Ctconhecida + ré
APC2 = 102,565 + 3,210
APC2 = 105,775 m
Para as cotas dos pontos:
Ct3 = APC2 – ré → 105,775 – 1,620 = 104,155 m
Ct4 = APC2 – ré → 105,775 – 2,823 = 102,952 m
Ct5 = APC2 – ré → 105,775 – 3,615 = 102,160 m
Ct6 = APC2 – ré → 105,775 – 1,222 = 104,553 m
A operação será repetida para obter o APC3 e para a cota do ponto 7:
APC3 = Ctconhecida + ré
APC3 = 104,553 + 3,912
APC3 = 108,465 m
Agora o ponto 7:
Ct7 = APC3 – ré → 108,465 – 0,544 = 107,921 m
Para validação do nivelamento, como visto anteriormente, faremos a utiliza-
ção da fórmula (20):
HF – HO → 100 – 107,921 = 7,921 m
∑LR − ∑LPM → (3,410 + 3,210 + 3,912) – (0,845 + 1,222 + 0,544) = 7,921 m
Novamente, os valores obtidos ao término do cálculo são equivalentes, logo, 
o nivelamento apresenta boa qualidade.
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Nivelamento trigonométrico
O nivelamento trigonométrico é empregado em situações em que se permite 
a entrega dos valores de desníveis do terreno com menor precisão (menos rigo-
roso). Apesar de menos preciso, este método é mais rápido que o nivelamento 
geométrico e pode ser utilizado em determinados projetos de acordo com a es-
pecifi cação técnica pré-estabelecida.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) defi ne o conceito relacio-
nado ao nivelamento trigonométrico:
Nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pon-
tos do terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo 
vertical da direção que os une e da distância entre estes, fundamen-
tando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a distância me-
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didos, levando em consideração a altura do centro do limbo vertical 
do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado 
(ABNT, 1994, p. 4).
Dessa forma, perceba que por 
meio deste método de levantamen-
to é apresentado um novo elemento 
durante a medição, chamado de ân-
gulo vertical da direção. Durante nos-
sos estudos referentes aos outros 
métodos de nivelamento sempre 
mantivemos o ângulo vertical em 90°, 
paralelo ao solo, visto que os levanta-
mentos foram realizados com o nível 
topográfico, porém, no nivelamento 
trigonométrico ocorre uma mudança no tipo de instrumento principal utili-
zado em campo pelo operador. 
As estações totais e os teodolitos são os equipamentos topográficos uti-
lizados em campo para o nivelamento trigonométrico, e em ambos a luneta 
em que se realiza a visada para o objeto de interesse possui rotação, ou seja, 
podemos alterar o ângulo de 90° em relação ao terreno de acordo com o 
local onde o objeto está situado.
Devemos entender que cada tipo de equipamento apresentará caracte-
rísticas que irão possibilitar operações diferentes em campo e, consequen-
temente, a obtenção dos dados de interesse. 
DICA
Justamente por existirem diversos equipamentos topográficos, sejam níveis, 
estações totais, teodolitos, receptores GNSS, laser scanners ou drones/vants 
devemos entender quais são as melhores práticas e em quais projetos eles 
terão maior precisão e agilidade. Conheça mais sobre os equipamentos topo-
gráficos na NBR 13133, de 1994, Execução de levantamento topográfico
Na Figura 6 podemos conhecer quais são os equipamentos utilizados 
neste método de nivelamento, vale ressaltar que existem diversas marcas e 
modelos disponíveis no mercado.
TOPOGRAFIA APLICADA 52
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Figura 6. Estação total robótica e teodolito eletrônico. Fonte: Shutterstock; Wikimedia Commons. Acesso em: 28/01/2021.
 O método de nivelamento trigonométrico consiste na resolução de pro-
blemas ou incógnitas relacionadas aos triângulos, pois serão obtidos em 
campo a distância horizontal (base do triângulo) e a inclinação do terreno 
(hipotenusa).
Porém, antes de avançar em nivelamento trigonométrico para lances cur-
tos e longos, devemos conhecer a orientação que os ângulos verticais pos-
suem para que seja compreendido o que foi levantado durante a medição 
com a estação total ou teodolito.
Na Figura 7 está representado esquematicamente os três tipos de orien-
tação de ângulo vertical que podemos configurar no equipamento topográ-
fico durante a medição.
TOPOGRAFIA APLICADA 53
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Zênite
Nadir
Ângulo zenital 
Ângulo nadiral 
Ângulo vertical positivo 
Ângulo vertical negativo
Horizonte
Figura 7. Ângulos verticiais. Fonte: COSTA; BURTE, 2011, slide 3.
O ângulo zenital é orientado no topo do equipamento, ou seja, a linha tra-
cejada em laranja está perpendicular ao solo e este valor orientado represen-
ta a significância de 0°. Logo, podemos simplificar o entendimento associando 
que neste tipo de ângulo o valor de início (0°) está no topo de nossa cabeça 
e será desenvolvido no sentido horário, dessa forma, teremos o ângulo de 
90° com o plano paralelo ao solo, 180° quando o equipamento estiver com a 
luneta completamente para baixo (visando o solo), 270° também paralelo ao 
terreno e por fim, retornando ao ponto de início (0° ou 360°). 
 O ângulo nadiral (nadir) tem como 0° o solo, e o horizontal (horizonte) 
utiliza como referência de valor 0° o plano paralelo ao terreno. No padrão 
nacional é utilizada, preferencialmente, a orientação em zênite, porém, como 
o Brasil não possui fábricas para produção de equipamentos topográficos, a 
configuração que o ângulo possui no instrumento sempre deverá ser obser-
vada pelo operador, que deverá alterá-la para a padrão.
TOPOGRAFIA APLICADA 54
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Nivelamento trigonométrico para lances curtos
O método de nivelamento trigonométrico para lances curtos consiste na ob-
tenção das variações do terreno (desnível) entre o ponto em que o equipamento 
está posicionado e o objeto de interesse com distâncias menores que 150 m.
Observe a Figura 8 e note que no ponto A (local onde o equipamento foi insta-
lado) temos a letra Z; esta informação se refere ao tipo de ângulo vertical utilizado 
(orientação zenital). O ângulo α criado é o novo elemento que utilizaremos no 
levantamento trigonométrico, neste caso, é o ângulo vertical de visada do equipa-
mento até o objeto de interesse. Representada pela letra D está a distância redu-
zida do levantamento, ou seja, a distância paralela ao terreno entre os pontos A e 
C. Por fi m, entre os pontos B e C temos o ∆h, sendo o desnível do terreno.
A
Δh
α D
C
B
Z
Figura 8. Nivelamento trigonométrico. Fonte: CORDINI, 2014, p, 45.
Perceba que foi gerado um triângulo retângulo ABC, onde em campo te-
remos os valores de α e D, restando apenas calcular o ∆h por meio de algu-
mas correlações conforme as fórmulas (43) e (44):
BC = D ∙ tgα
Δh = D ∙ tgα
Onde:
BC = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
∆h = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
D = distância reduzida entre os pontos A e B;
α = ângulo formado entre a luneta do equipamento e o objeto.
(43)
(44)
TOPOGRAFIA APLICADA 55
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Por meio da trigonometria é possível realizar mais uma correlação en-
tre os ângulos e, consequentemente, obter outra formulação ao cálculo do 
desnível. Note que o ângulo Z e α são complementares, dessa forma, temos: 
Δh = D ∙ cotgZ
Onde:
∆h = diferença altimétrica entre os pontos A e B;
D = distância reduzida entre os pontos A e B;
cotgZ = cotangente do ângulo zenital.
O resultado poderá ter sinal positivo, o que indicará que o trecho de des-
nível é um aclive, ou sinal negativo, que indicará que o trecho BA é um de-
clive. Caso o valor apresentado seja equivalente ao α = 0° ou Z = 90°, o local 
indicará uma superfície plana no terreno, ou seja, sem desnível. 
Na situação acima foi apresentado o raciocínio teórico empregado na uti-
lização do método trigonométrico para obter o desnível (triângulo retângu-
lo). Porém, durante a operação em campo, outros fatores entram neste cál-
culo e que até então não foram abordados, dessa forma, veremos na prática 
como é obtido o desnível.
Para isso, vamos observar a Figura 9. Percebemos que no ponto A temos o 
tripé do equipamento com uma altura de montagem (hi), no ponto B tem a régua 
graduada (M) – objeto que o equipamento fará a leitura – e encontramos também 
o m, que é a altura obtida entre a leitura do equipamento e o solo do ponto B.
(45)
h1
α
h1
Δh
DAB
Z
A
B
M
m
C
D
Figura 9. Nivelamento prático. Fonte: CORDINI, 2014, p. 45. (Adaptado).
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Diante dos novos elementos trazidos, temos a seguinte expressão: 
∆h = MC + CD – MB
Onde:
∆h = desnível entre A e B;
MC = D ∙ tgα ou D ∙ cotgZ;
CD = altura doinstrumento (hi);
MB = altura do fi o médio da régua estadimétrica (Fm).
Simplifi cando:
Δh = D ∙ tgα + hi - Fm
Δh = D ∙ cotgZ + hi - Fm
Por intermédio destas correlações trigonométricas será possível obter o 
desnível do terreno utilizando o método de nivelamento para lances curtos. 
(46)
(47)
(48)
Nivelamento trigonométrico para lances longos
O nivelamento trigonométrico para lances longos, diferentemente do tra-
balhado em lances curtos, está atrelado a longas distâncias, ou seja, trechos 
com lances maiores que 150 m. 
Alguns equipamentos mais modernos que utilizam um prisma refl etor 
posicionado na extremidade do bastão topográfi co possibilitam a leitura 
de pontos em distâncias superiores a 1 km dependendo da especifi cação 
técnica do instrumento topográfi co e da quantidade de prismas utilizados 
durante o levantamento, em alguns casos podem-se alcançar leituras de até 
5 km de distância.
Porém, esses lances extremamente longos podem gerar um proble-
ma que deverá ser considerado durante o levantamento em campo e o 
qual está atrelado ao efeito da curvatura terrestre. Sendo assim, neste 
método de nivelamento aplicam-se também as correções 
inerentes a esta condição. 
Na Figura 10 podemos observar as linhas curvas na colora-
ção azul, elas representam a curvatura terrestre considerada 
em visadas longas; em magenta, escrito “horizontal”, temos 
o que seria a distância sem a curvatura, note que existe um 
segmento de reta FG, sendo este o efeito curvatura. 
TOPOGRAFIA APLICADA 57
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As demais informações representadas na Figura 10 são:
∆hAB = desnível entre os pontos A e B (BH);
hi = altura do instrumento (AI);
C = efeito da curvatura terrestre (FG);
R = efeito da refração (DE);
hp = altura do prisma (BD);
V = distância FE.
Devemos entender que o efeito da curvatura terrestre se acentua quanto 
mais distante estamos do objeto de interesse e essa informação pode ser 
obtida a partir da Tabela 5.
Efeito da refração (R)
E
D
I
Horizontal Efeito da 
curvatura 
da Terra (C) ∆hAB
F 
G
HA
hi
B
V
hp
Figura 10. Nivelamento trigonométrico para lances longos. Fonte: WOLF; GHILANI, 2002 apud VEIGA; ZANETTI; FAG-
GION, 2014, p. 38.
TABELA 5. EFEITO DA CURVATURA
Distância Efeito da curvatura Efeito da refração Efeito combinado
10 m 0,0078 mm 0,001 mm 0,0068 mm
100 m 0,78 mm 0,10 mm 0,68 mm
150 m 1,75 mm 0,2 mm 1,52 mm
200 m 3,1 mm 0,41 mm 2,71 mm
10 m10 m
100 m100 m100 m
150 m150 m
200 m200 m
0,0078 mm0,0078 mm
0,78 mm
0,0078 mm
0,78 mm
1,75 mm
0,78 mm
1,75 mm1,75 mm
3,1 mm3,1 mm
0,001 mm0,001 mm
0,10 mm
0,001 mm
0,10 mm0,10 mm
0,2 mm0,2 mm
0,41 mm0,41 mm0,41 mm
0,0068 mm0,0068 mm
0,68 mm
0,0068 mm
0,68 mm0,68 mm
1,52 mm1,52 mm
2,71 mm
1,52 mm
2,71 mm2,71 mm
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500 m 1,95 cm 2,54 mm 1,70 cm
1 km 7,8 cm 1,01 cm 6,8 cm
5 km 1,95 m 0,25 m 1,70 m
10 km 7,91 m 1,01 m 6,80 m
500 m500 m
1 km
5 km5 km
10 km10 km
1,95 cm1,95 cm
7,8 cm
1,95 cm
7,8 cm7,8 cm
1,95 m1,95 m
7,91 m7,91 m
2,54 mm2,54 mm
1,01 cm
2,54 mm
1,01 cm1,01 cm
0,25 m0,25 m
1,01 m1,01 m
1,70 cm1,70 cm1,70 cm
6,8 cm6,8 cm
1,70 m1,70 m
6,80 m6,80 m6,80 m
 Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2014, p. 40.
Embora na área da engenharia civil este método seja menos aplicado que 
o nivelamento geométrico ou mesmo o nivelamento trigonométrico para 
lances curtos, é importante que o futuro engenheiro tenha conhecimento 
de sua existência e dos fatores que devem ser considerados ao serem em-
pregados em obras de grandes porte e infraestrutura, como as rodoviárias. 
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Sintetizando
Caro aluno, ao longo desta unidade conhecemos dois métodos de nivela-
mento utilizados em obras de engenharia civil, dos quais cada um deles apre-
senta duas submetodologias distintas decorrentes de características particula-
res quanto aos equipamentos utilizados e a operação em campo. 
Primeiramente, conhecemos o nivelamento geométrico, onde foram apre-
sentadas duas metodologias de levantamento e obtenção do desnível do ter-
reno: nivelamento simples e nivelamento composto, ambas utilizando o nível 
topográfico como o instrumento topográfico principal.
Posteriormente, foi apresentado o método de nivelamento trigonométrico, 
onde aprendemos sobre três diferentes tipos de ângulos verticais, sendo: zeni-
tal, horizontal e nadiral, destes o mais utilizado no Brasil é o ângulo zenital. Co-
nhecemos outros dois equipamentos topográficos: o teodolito e a estação total 
e, além disso, entendemos que os métodos trigonométricos para curto e longo 
alcance se diferenciam por conta da distância entre o objeto de interesse e o 
equipamento, onde lances superiores a 150 m de distância são considerados 
de longo alcance, sendo o método de nivelamento geométrico mais utilizado 
em obras de engenharia por sua facilidade operacional, baixo custo em equi-
pamentos topográficos, maior precisão e qualidade na obtenção dos desníveis.
TOPOGRAFIA APLICADA 60
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Referências bibliográficas
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: Execução 
de levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT, 1994.
BRANDALIZE, M. C. B. Topografia: apostila (6). Laboratório de Geotecnologias, 
Feira de Santana, [s.d.]. Disponível em: <http://www2.uefs.br/geotec/topogra-
fia/apostilas/topografia(6).htm>. Acesso em: 27 out. 2020.
CORDINI, J. Altimetria: teoria e métodos visando à representação do relevo. 
Florianópolis, 2014. Disponível em: <https://topografia.paginas.ufsc.br/fi-
les/2015/09/Altimetria-Apostila.pdf>. Acesso em: 22 out. 2020.
COSTA, R. N. T.; BURTE, J. D. P. Medidas indiretas de distâncias: aula 04. Forta-
leza: Centro de Ciências Agrárias, 2011, 25 slides. Disponível em: <http://www.
gpeas.ufc.br/disc/topo/aula06.pdf>. Acesso em: 20 out. 2020.
FIORIO, P. R. Altimetria, capítulo 10: apontamentos de aula. Piracicaba: Escola 
Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, 2019. Disponível em: <https://edis-
ciplinas.usp.br/pluginfile.php/5332178/mod_resource/content/0/LEB0340_
APOSTILA_TEORICA_10_ALTIMETRIA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2020.
NIVELAMENTO com Nível Óptico e Mangueira de Nível. Postado por Topó-
grafo Prático. (17min. 53s.). son. color. port. Disponível em: <https://www.you-
tube.com/watch?v=u9S4bx5ysJQ>. Acesso em: 28 jan. 2021.
SANTOS, S. R. Altimetria. Unaí: Instituto de Ciências Agrárias, 2016. Disponível 
em: <http://site.ufvjm.edu.br/icet/files/2016/10/Altimetria.pdf>. Acesso em: 13 
out. 2020.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de topografia. 
Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2014. Disponível em: <http://www.
cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/08/Material-de-Apoio-
-Topo-II-2015.pdf>. Acesso em: 06 nov. 2020.
WOLF, P. R.; GHILANI, C. D. Elementary surveying: an introduction to geomati-
cs. Nova Jersey: Prentice-Hall, 2002.
TOPOGRAFIA APLICADA 61
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MÉTODOS DE 
LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICOS: 
PLANIMETRIA, 
PLANIALTIMETRIA E 
NORMATIZAÇÕES
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introdução ao método de levantamento indireto (taqueometria);
 Introdução às técnicas de levantamento planimétrico e planialtimétrico;
 Contextualizar quanto às normatizações que definem e regulam os 
parâmetros para execução do levantamento topográfico.
 Taqueometria 
 Planimetria
 Planialtimetria
 Normatizações técnicas sobre 
levantamentos topográficos 
 Outras normativas importantes
TOPOGRAFIA APLICADA 63
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Taqueometria
Caro aluno, viemos estudando e conhecendo até o momento os métodos e técni-
cas empregados para execução do levantamento altimétrico. Nestaunidade, entra-
remos nos métodos e parametrizações que regulam e norteiam os levantamentos 
topográfi cos planimétricos e planialtimétricos. 
Como ponto de partida, devemos conhecer e nos aprofundar na taqueometria. 
Este método permite ao operador de campo obter qualquer informação linear, seja 
a distância horizontal (reduzida), distância inclinada ou o desnível, porém, sua carac-
terística principal está relacionada à forma que os dados são medidos: todos eles 
são tratados como método indireto de levantamento, ou seja, as grandezas serão 
previamente calculadas para que os resultados sejam obtidos. 
Um exemplo simples para diferenciação entre o método indireto e direto para ob-
tenção das medidas é a trena convencional graduada em metros com as unidades de 
centímetros e milímetros, que permite ao operador a medição direta da informação. 
Para isso, basta que sejam escolhidos dois pontos de interesse (início da medição e 
fi nal da medição), depois é só posicionar a trena e esticá-la. A leitura será o valor fi nal 
da grandeza desejada, ou seja, a distância em metros. 
Partindo para o método indireto, no qual será necessário realizar conversões ou 
cálculos, pode-se apresentar o método expedito. Este método é utilizado para esti-
mativa de medida e não possui valores precisos se comparado com a instrumenta-
ção topográfi ca. Ele consiste na calibração da passada do operador (método também 
conhecido como método da passada); geralmente a passada média de um adulto 
tem medida aproximada de 1 m, logo, neste método, o operador realiza passadas do 
ponto de início ao objeto de interesse preservando ao máximo o tamanho de suas 
passadas para que, ao fi nal do caminhamento, tenha X passadas que poderão ser 
convertidas para X metros (aproximadamente). 
Vale ressaltar que o método expedito, de acordo com normatização, é defi nido 
como “levantamento exploratório do terreno com a fi nalidade específi ca de seu reco-
nhecimento, sem prevalecerem os critérios de exatidão” (ABNT, 1994, p. 3).
Como estamos trabalhando com topografi a e sabemos que um dos pilares desta 
ciência é a obtenção de medidas com exatidão, devemos desenvolver o senso críti-
co e o bom senso para determinação dos métodos mais indicados para execução em 
determinado momento da obra.
TOPOGRAFIA APLICADA 64
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Por exemplo: o método apresentado nos parágrafos anteriores pode ser 
utilizado para localização ou definição inicial do traçado de uma cerca, via, fer-
rovia, entre outros, de tal forma que nos ajudará na fase do planejamento e 
reconhecimento do terreno. É interessante notar que, até este momento, o ob-
jetivo final não é a obtenção precisa dos dados, mas, sim, obter subsídios para 
planejar a operação de precisão com a instrumentação topográfica necessária 
e o respectivo método de levantamento correspondente. 
Após o planejamento inicial, deve-se entrar com medidas precisas mensu-
radas a partir de equipamentos topográficos. Encontramos na taqueometria 
alguns métodos de levantamento que permitem atender às classes de precisão 
padronizadas em norma técnica. 
Antes de avançarmos aos conceitos de planimetria e planialtimetria, deve-
mos clarificar, relembrar e aprender novos conceitos sobre a taqueometria. De 
maneira geral, utilizamos dois instrumentos topográficos para atender a este 
método, são eles: nível topográfico e o teodolito óptico (analógico) e digital. 
Nosso enfoque será no teodolito e, posteriormente, em seu sucessor, que 
apresenta medição direta e é o equipamento mais presente no cotidiano dos 
profissionais que trabalham com levantamento topográfico. 
Quanto ao teodolito, separamos em duas categorias conforme observado 
na Figura 1: 
(a) Óptico (b) Digital
Figura 1. Tipos de teodolito. Fonte: FAGGION, 2011, p. 8.
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Ao utilizarmos o teodolito óptico, toda a leitura deverá ser realizada de ma-
neira analógica, com as medições dos ângulos horizontal e vertical e a leitu-
ra dos fios estadimétricos. Note que o instrumento é dotado apenas de uma 
luneta, que permitirá a visada aos objetos de cadastro, e dois transferidores 
angulares graduados de 0° a 360°. Embora não perceptível na imagem, na base 
do instrumento teremos movimentação livre entorno do plano horizontal (eixo 
Y), e no corpo do equipamento, junto à luneta, temos outro transferidor, que 
possibilita o movimento vertical (eixo X). Geralmente, instrumentos analógicos 
possuem precisão inferior aos digitais, justamente pela leitura aproximada ou 
interpolada que o operador deverá realizar em campo. 
No teodolito digital, há uma mudança tecnológica no equipamento e é 
acrescido um display, que apresentará os valores dos ângulos horizontal e ver-
tical, não sendo mais necessário realizar a leitura aproximada ou interpolada 
dos dados. Quanto à medição dos fios estadimétricos, eles ocorrerão de forma 
equivalente ao teodolito óptico. 
Independentemente do equipamento utilizado, analógico ou digital, ambos 
seguirão e respeitarão as classes de precisão estabelecidas em normatização, 
conforme você pode ver na Tabela 1:
Classes de teodolitos Desvio-padrão Precisão angular
1 – Precisão baixa ≤ ± 30”
2 – Precisão média ≤ ± 07”
3 – Precisão alta ≤ ± 02”
TABELA 1. CLASSIFICAÇÃO DE TEODOLITOS
Fonte: ABNT, 1994, p.6.
O instrumento topográfico será classificado entre baixa, média ou alta pre-
cisão com base nas especificações técnicas fornecidas pelo fabricante do 
equipamento, que podem ser consultadas no manual ou atestadas por em-
presas de manutenção e comercialização de equipamentos topográficos que 
possuem o selo ISO/IEC 17025. 
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Esférico Tubular Digital
Figura 2. Níveis para verticalidade do equipamento. Fonte: FAGGION, 2011, p. 14.
CURIOSIDADE
Todas as obras governamentais e que serão executadas com verba 
pública exigem do profissional executor do serviço topográfico o ates-
tado de calibração do instrumento topográfico. Dessa forma, é atestada 
a precisão nominal do equipamento e, conjuntamente, que os padrões 
de verificação, calibração e retificação estão parametrizados de acordo 
com a ABNT. Caso o profissional não apresente o certificado, que deve 
ser renovado a cada seis meses ou um ano (dependendo do projeto), ele 
pode perder a licitação e o contrato de prestação de serviço. 
As leituras dos fios estadimétricos devem ocorrer de forma organizada e 
padronizada, porém, para que a medição ocorra de forma precisa, o equipa-
mento deverá estar corretamente nivelado e a régua estadimétrica aprumada. 
Observe, na Figura 2, o nivelamento das bolhas do equipamento topográfico.
Cada equipamento é dotado de ao menos duas bolhas ou níveis para o corre-
to nivelamento, já os dispositivos mais modernos apresentam essa informação 
no formato digital, conforme exposto no item c. Como estamos conversamos 
sobre o teodolito ou mesmo estações totais mais simples, vamos focar a atenção 
aos itens a e b. 
No item a, nível esférico, faremos o nivelamento grosseiro do equipamento, 
ou seja, será realizado e ajustado pela movimentação das pernas do tripé, com 
elevação ou rebatimento. O objetivo é deixar a bolha o mais centralizada possí-
vel, porém, vale ressaltar que existe um determinado nível de tolerância aceito 
que corresponde à linha circular preta localizada no centro do instrumento. 
TOPOGRAFIA APLICADA 67
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Somente a partir do nivelamento esférico podemos avançar para o tubular. 
Isso se deve ao fato de que o nível tubular é o ajuste fi no para o correto nivela-
mento do equipamento, que será realizado nos parafusos calantes, conforme 
observamos na Figura 3.
Calagem em Y 
Calagem em X
Operação no instrumento
Figura 3. Calagem do teodolito. Fonte: FAGGION, 2011, p. 14. (Adaptado). 
Acalagem do instrumento é observada pelo manuseio do parafuso de cha-
mada apresentado no item c da Figura 3. Nela, o operador fará a rotação em 
dois eixos, sendo apresentados de forma independente dos itens a e b. Deve-se 
iniciar a operação a partir do item b; nele, o topógrafo fará movimentos simul-
tâneos e direções opostas (se o calante da esquerda se movimentar no sentido 
horário, o da direita deverá, obrigatoriamente, se mover no sentido anti-horário, 
e vice-versa). O objetivo nesse momento é centralizar a bolha tubular entre as 
duas marcações existentes no instrumento. Quando o eixo X estiver centraliza-
do, o operador partirá para o nivelamento do eixo Y, que ocorrerá somente em 
um parafuso calante após a rotação em 90° do equipamento para que coincida 
com o eixo de ajuste. 
TOPOGRAFIA APLICADA 68
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ASSISTA
No vídeo Nivelamento com estação total, você encontrará 
o passo a passo para o nivelamento das bolhas circulares 
e tubulares do equipamento topográfico.
Com o equipamento corretamente centrado, a operação de nivelamento 
deverá ser realizada na régua estadimétrica, porém o processo é mais simples. 
A régua contém apenas uma bolha circular, que deve ser ajustada manualmen-
te, aprumando o acessório quando o operador for realizar a leitura dos fios. 
Os fios que serão lidos e anotados em prancheta são: fio ou retículo supe-
rior, fio ou retículo médio/central e o fio ou retículo inferior, conforme exibido 
na Figura 4. 
H
Fio estadimétrico superior
ou retículo superior 
Fio estadimétrico inferior
ou retículo inferior
Fio estadimétrico vertical 
ou retículo vertical
Fio estadimétrico central ou 
médio ou retículo médio 
Figura 4. Fios estadimétricos. Fonte: FIORIO, 2019b, p. 2.
Os dados medidos serão transcritos e organizados conforme a prancheta 
de campo ilustrada o Quadro 1. Este é um modelo de caderneta; alguns profis-
sionais ou escritórios/usinas que utilizam o teodolito como instrumento topo-
gráfico podem criar seus respectivos padrões. 
TOPOGRAFIA APLICADA 69
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RE PE PV AI ÂNGULOHORIZONTAL RS RM RI
ÂNGULO
VERTICAL OBS.
QUADRO 1. PRANCHETA DE CAMPO
Fonte: FIORIO, 2019b, p. 14.
De acordo com a prancheta de campo, temos: 
• RE: referência angular do levantamento;
• PE: ponto de estação (local onde o equipamento é posicionado);
• PV: ponto visado (pontos de cadastro ou que possibilitam a mudança do 
equipamento);
• Ai: altura do instrumento topográfico;
• Ângulo horizontal;
• RS: retículo superior;
• RM: retículo médio;
• RI: retículo inferior;
• Ângulo vertical;
• Obs.: observação ou notas de campo (descrição de algum ponto, como, 
por exemplo, cerca, esquina, PV etc.).
Com a aquisição dos dados e o preenchimento da caderneta de campo 
será possível efetuar os cálculos taqueométricos para obter os valores das 
distâncias, porém, para que isso ocorra, devemos conhecer a formulação que 
será utilizada. 
De maneira resumida, as fórmulas taqueométricas são as seguintes:
DH = (RS – RI) · 100 · (senZ)² (1)
∆h = DH · cotg Z (2)
DN = ∆ + Ai – RM (3)
TOPOGRAFIA APLICADA 70
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Sendo que:
DH: distância horizontal (m);
RS: retículo superior;
RI: retículo inferior;
Z: ângulo zenital;
Ai: altura do instrumento;
RM: retículo médio.
Assim como qualquer método de levantamento topográfico, na taqueome-
tria são apresentados e classificados os tipos de erros de medição, sendo: aci-
dental/grosseiro e o sistemático. 
Podemos citar como fonte de erros acidentais/grosseiro os seguintes: a lei-
tura e anotação das informações de campo de maneira imprecisa, como os 
dados de leitura dos ângulos vertical e horizontal, a altura de instrumento e as 
leituras dos fios estadimétricos na mira. 
Já os erros sistemáticos são relacionados às especificações gerais do equi-
pamento e à constante manutenção do instrumento topográfico, seja relacio-
nada à capacidade de aproximação da luneta (zoom) ou falta de calibração do 
instrumento. Lembrando que essa fonte de erro é passível de correção – di-
ferentemente de fontes de erro externa, como refração atmosférica, tempe-
ratura e pressão ambiente, impossíveis de correção, pois variam ao longo do 
tempo de levantamento.
De maneira geral e com uma formulação resumida, temos como identificar 
o erro aceitável do levantamento pela Equação 4:
e = 0,0002 · DH (4)
Em que:
e: corresponde ao erro aceitável;
DH: distância horizontal calculada.
Vamos para um exemplo prático para assimilar o que 
foi apresentado até o momento.
Em campo foi realizado o seguinte levantamento: o 
instrumento foi posicionado em E1 e o operador coli-
mou em E0 (referência e orientação angular do le-
vantamento), depois realizou a visada para leitura 
dos pontos E2, 1, 2, 3 e 4, conforme ilustra a Figura 5.
TOPOGRAFIA APLICADA 71
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Casa
Cerca Estação
Coqueiro
Coqueiro
Estação
E2
E0
3
4
2 1 E1
Ré
Figura 5. Levantamento taqueométrico. 
Os dados obtidos durante o levantamento de campo foram anotados e 
transcritos na prancheta que se encontra disposta no Quadro 2: 
Ré Estação P. Visado Âng. Horiz.
Alt. 
Inst.
Fio 
Sup.
Fio 
Méd.
Fio 
Infer.
Âng. 
Vert. Obs.
 E1 E0 00°00'00" 1,55 - - - - -
E0 E1 E2 11°40'00" 1,55 2,698 1,849 1,00 89°53'00" Estação
E0 E1 1 287°07'00" 1,55 1,64 1,57 1,50 89°10'00" Cerca
E0 E1 2 286°36'20" 1,55 1,298 1,149 1,00 89°29'00" Casa
E0 E1 3 0°39'40" 1,55 1,332 1,166 1,00 90°12'00" Coqueiro
E0 E1 4 349°51'20" 1,55 1,3 1,15 1,00 90°12'00" Coqueiro
QUADRO 2. PRANCHETA DE CAMPO PREENCHIDA
TOPOGRAFIA APLICADA 72
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Entrando com as fórmulas apresentadas anteriormente calcularemos inicial-
mente a distância horizontal dos pontos. 
DH = (RS – RI) · 100 ·(senZ)² (5)
Dessa forma, temos: 
DHE1 – E2 = (2,698 – 1,00) · 100 · (sen 89°53’00”)² = 169,80 m
DHE1 – 1 = (1,64 – 1,50) · 100 · (sen 89°10’00”)² = 13,99 m
DHE1 – 2 = (1,298 – 1,00) · 100 · (sen 89°29’00”)² = 29,80 m
DHE1 – 3 = (1,332 – 1,00) · 100 · (sen 90°12’00”)² = 33,20 m
DHE1 – 4 = (1,30 – 1,00) · 100 · (sen 90°12’00”)² = 30,00 m
Com as distâncias horizontais calculadas, será possível determinar a diferença 
de nível (E1) e os pontos cadastrados (E2, 1, 2, 3 e 4). Utilizaremos a fórmula do ∆h.
∆h = DH · cotg Z (6)
Logo, temos:
∆h E1 – E2 = 169,80 · cotg 89°53’00” = 0,3396 m
∆h E1 – 1 = 13,99 · cotg 89°10’00” = 0,2040 m
∆h E1 – 2 = 29,80 · cotg 89°29’00” = 0,2710 m
∆h E1 – 3 = 33,20 · cotg 90°12’00” = - 0,1130 m
∆h E1 – 4 = 30,00 · cotg 90°12’00” = - 0,1021 m
Agora, com as distâncias horizontais e as diferenças de nível calculadas, conse-
guimos obter os DN entre os pontos por meio da Equação 7: 
DN = ∆ + Ai – RM (7)
A partir disso, temos: 
DN E1 – E2 = 0,3396 + 1,55 – 1,849 = 0,04 m
DN E1 – 1 = 0,2040 + 1,55 – 1,57 = 0,18 m
DN E1 – 2 = 0,2710 + 1,55 – 1,149 = 0,672 m
DN E1 – 3 = - 0,1130 + 1,55 – 1,166 = 0,271 m
DN E1 – 4 = - 0,1021 + 1,55 – 1,166 = 0,282 m
Os resultados obtidos pelo método taqueométrico possuem precisão e podem 
ser utilizados em obras na esfera civil, arquitetônica e agrária. Porém, sendo um mé-
todo de levantamento indireto, ainda possuirá algumas desvantagens frente ao mé-
todo direto, como os que são apresentados pelos levantamentos realizados com a 
utilização de estações totais devido à velocidade na aquisição da informação e em ca-
ráter de precisão nominal dos valores levantados, visto que este não apresentará di-
retamente a grandeza medida, sem a necessidade de aproximação ou interpolação. 
TOPOGRAFIA APLICADA 73
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Em campo, o engenheiro precisava determinar rapida-
mente a distância horizontal e desnível entre o ponto A 
e ponto B para realizar a abertura da seção tipo doar-
ruamento do loteamento. Para isso, contava com um 
teodolito e a mira estadimétrica, sendo obtidos os se-
guintes valores: 
Ré Estação P. Visado Âng. Horiz.
Alt. 
Inst.
Fio 
Sup.
Fio 
Méd.
Fio 
Infer.
Âng. 
Vert. Obs.
- A B 130°05’55” 1,600 1,044 1,000 0,956 84°45’25” -
TABELA 2. DISTÂNCIA HORIZONTAL E DESNÍVEL
Existem três formas de realizar o levantamento topográfi co. Eles estão caracteri-
zados na topometria como levantamentos planimétricos e altimétricos; a união dos 
métodos de levantamento gera a planialtimetria. 
Planimetria
O levantamento topográfi co planimétrico é defi nido de acordo com a ABNT 
no item 3.14 da seguinte maneira:
Levantamento dos limites e confrontações de uma propriedade, 
pela determinação do seu perímetro, incluindo, quando houver, 
o alinhamento da via ou logradouro com o qual faça frente, bem 
como a sua orientação e a sua amarração a pontos materializados 
no terreno de uma rede de referência cadastral, ou, no 
caso de sua inexistência, a pontos notáveis e estáveis 
nas suas imediações. Quando este levantamento se 
destinar à identifi cação dominial do imó-
vel, são necessários outros elementos 
complementares, tais como: perícia 
técnico-judicial, memorial descritivo 
etc. (ABNT, 1994, p. 3)
TOPOGRAFIA APLICADA 74
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Observando o previsto em normatização, podemos concluir que a planime-
tria tem como finalidade a determinação de limites de uma área, independen-
temente do desnível do terreno, devendo manter o objeto de interesse orien-
tado ou amarrado a alguma rede de referência. 
Neste momento, é importante entendermos que estamos trabalhando ex-
clusivamente com plano horizontal, composto pelas coordenadas dos eixos X e 
Y, porém, além das distâncias e coordenadas, os ângulos horizontais são funda-
mentais para que o formato do imóvel seja definido, e os ângulos de orientação 
permitirão orientar a área as referências externas. 
Dessa forma, é indispensável aprendermos a trabalhar com os ângulos de 
orientação do levantamento e, por isso, são trazidos dois tipos de ângulos co-
nhecidos por você: os rumos e azimutes. 
Os rumos são definidos da seguinte maneira: é o menor ângulo formado 
entre o alinhamento norte-sul, seja orientado ao norte magnético ou verdadei-
ro. Possui variação de 0°-90° nos quatro quadrantes, sendo diferenciado pela 
orientação cardeal em que está situado: N, S, E e W; ou orientação colateral: 
NE, SE, SW e NW.
As referências do rumo serão iniciadas com N ou S quando estiverem des-
locadas do eixo das abscissas e ordenadas, conforme observamos na Figura 6.
1º quadrante 
(NE) 
1
2
3
4
0
2° quadrante 
(SE)
4° quadrante 
(NW) 
E (90°) (90°) W 
S (0°) 
N (0°) 
3° quadrante 
(SW) 
Figura 6. Rumos e quadrantes. Fonte: FIORIO, 2019a, p. 3. 
TOPOGRAFIA APLICADA 75
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Note que a partir de N (norte) saem em direções opostas duas setas de 
orientação, uma no sentido horário e outra no anti-horário, e que o mesmo 
ocorre partindo da posição S. Isso se deve ao fato de tentar formar o menor 
ângulo entre o alinhamento N-S. 
Caso o ângulo seja coincidente com o eixo N, ele será equivalente ao va-
lor 00°00’00” N; se estiver em S, será 00°00’00” S; quando em E, equivalerá 
90°00’00” E; e em W, equivalerá 90°00’00” W. Porém, na maioria das vezes, 
o alinhamento estará entre os eixos, então serão lidos da seguinte maneira: 
• 1º quadrante (NE);
• 2º quadrante (SE);
• 3º quadrante (SW);
• 4º quadrante (NW).
Na Figura 6 temos o primeiro quadrante orientado à posição NE (nordes-
te), o segundo quadrante relacionado ao SE (sudeste), o terceiro quadrante 
na posição SW (sudoeste) e o quarto quadrante na posição NW (noroeste). 
Os alinhamentos formatos em 1, 2, 3 e 4 são os seguintes:
• 0 – 1: 45°00’00” NE ou N 45°00’00” E;
• 0 – 2: 30°00’00” SE ou S 30°00’00” E;
• 0 – 3: 60°00’00” SW ou S 60°00’00” W;
• 0 – 4: 65°00’00” NW ou N 65°00’00” W.
A primeira grafia é a mais comum e utilizada, embora ainda sejam vistos 
em memoriais descritivos e tabelas de cálculo analítico os rumos transcritos 
de acordo com a segunda formatação. 
A orientação denominada azimute (Az) é 
definida como o ângulo de referência entre o 
alinhamento meridional no local do levan-
tamento com o norte, podendo ser referen-
ciado ao norte magnético, verdadeiro ou da 
quadrícula (projeto). Diferentemente do rumo, o 
azimute possui orientação apenas em norte, sen-
do este seu alinhamento de partida. A amplitude 
do Az é de 00°00’00” aos 360°00’00”, sempre no 
sentido horário. 
Observe o azimute nos quatro quadrantes na Figura 7: 
TOPOGRAFIA APLICADA 76
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W W
WW
E E
EE
N N
NN
0 0
0
0
4
3
1
2
Az
Az
Az
Az
S S
SS
Figura 7. Orientação do azimute. 
Note que, no primeiro quadro, o alinhamento 0-1 está entre os eixos N 
e E, então sabemos que o valor Az01 será entre 00°00’00” e 90°00’00”. No 
segundo momento, observamos o alinhamento 0-2. Neste ponto, o alinha-
mento está entre os eixos E e S, apresentando um valor entre 90°00’00” e 
180°00’00”. No alinhamento 0-3, o ângulo formado está entre o eixo S e W, 
dessa forma, teremos um ângulo entre 180°00’00” e 270°00’00”. No último 
quadrante, temos o alinhamento 0-4 entre os eixos W e N; nesta porção, o 
ângulo formado assumirá valor entre 270°00’00” e 360°00’00”.
Agora que conhecemos os dois tipos de ângulo de orientação, é impor-
tante saber que existe uma forma de conversão entre ambos. Logo, mesmo 
possuindo o Az, podemos transformá-lo em R e vice-versa. Para que isso 
ocorra, serão apresentadas as formulações partindo do Az; caso se deseje 
obter o R, bastará passar o valor na fórmula alterando seu sinal e apresen-
tando o quadrante correspondente. 
• 1° Quadrante: Az = R;
• 2° Quadrante: Az = 180° - R;
• 3° Quadrante: Az = 180° + R;
• 4° Quadrante: Az = 360° - R.
TOPOGRAFIA APLICADA 77
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Na Figura 8 conseguimos entender melhor como será dada a dinâmica na 
conversão dos valores utilizando as fórmulas apresentadas. 
A
B
D
C
N N
AZ0B
AZ0D
AZ0C
R0B
R0D
R0C
NN
0
0
00
S S
SS
W W
30º00’00”
WW
E E
EE
Figura 8. Conversão de azimute em rumo.
Note que o valor apresentado para os ângulos é o mesmo e equivale a 
30°00’00”. Este valor é o correspondente ao rumo no quadrante um, logo, 
30°00’00 NE; no segundo quadrante, 30°00’00 SE; no terceiro quadrante, 
30°00’00 SW; e no quarto quadrante, 30°00’00 NW.
Vamos ao exemplo numérico e prático para converter os valores dos rumos 
em seus respectivos azimutes.
1° Quadrante: Az = R, logo, Az = 30°00’00”.
2° Quadrante: Az = 180° - R, logo, Az = 180°00’00” - 30°00’00” → Az = 
150°00’00”.
3° Quadrante: Az = 180° + R, logo, Az = 180°00’00” + 30°00’00” → Az = 
210°00’00”.
4° Quadrante: Az = 360° - R, logo, Az = 360°00’00” - 30°00’00” → Az = 
330°00’00”. 
TOPOGRAFIA APLICADA 78
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ASSISTA
Para se aprofundar mais em temas relacionados aos tipos 
de ângulos, suas implicações e características, assista ao 
vídeo Topografia - trigonometria -taqueometria – triângulos 
- retângulo, qualquer e ângulos obtusos.
Uma vez apresentados os ângulos de orientação e suas conversões, con-
seguimos avançar para a determinação das coordenadas planimétricas. Neste 
momento, podemos relacionar diretamente as coordenadas calculadas no eixo 
das abscissas aos valores obtidos na projeção em X e as coordenadas calcula-
das em Y, sendo a projeção de sua distância no eixo das ordenadas. 
De acordo com a Figura 9, com a distância entre o alinhamento multiplicada 
pelo seno e cosseno do ângulo de orientação zenital é possível obter a projeção 
do ponto nos eixos X e Y. 
A X
Y
B
d
ΔX
ΔX = d. sen Az
ΔY = d. cos Az
ΔYAz (azimute AB)
ΔX: projeção no eixo X 
ΔY: projeção no eixo Y
D (distância horizontalentre A e B)
Figura 9. Representação da projeção da distância em X e Y.
Exemplificando com números, temos o seguinte cenário: o profissional foi a 
campo e efetuou o levantamento topográfico, em escritório teve a necessidade 
de realizar o croqui (representação simplificada, sem escala, que possibilita 
identificar os detalhes em campo), e para isso foi necessário obter as coorde-
nadas planimétricas. Os dados de campo foram: 
TOPOGRAFIA APLICADA 79
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(E1 – E2) 11°40’00” 167,799 m
(E1 – 1) 286°07’00” 13,997 m
(E1 – 2) 0°39’20” 33,199 m
(E1 – 3) 349°51’20” 29,99 m
Dessa forma, temos para o alinhamento E1 – E2: 
∆X = 167,799 · sen 11°40’00” → ∆X = 34,3364
∆Y = 167,799 · cos 11°40’00” → ∆Y = 166,2914
Para o alinhamento E1 – 1:
∆X = 13,997 · sen 286°07’00” → ∆X = -28,5549
∆Y = 13,997 · cos 286°07’00” → ∆Y = 8,5156
Para o alinhamento E1 – 2:
∆X = 33,199 · sen 0°39’20” → ∆X = 0,3831
∆Y = 33,199 · cos 0°39’20” → ∆Y = 33,1974
Para o alinhamento E1 – 3:
∆X = 29,99 · sen 349°51’20” → ∆X = -5,2838
∆Y = 29,99 · cos 349°51’20” → ∆Y = 29,5306
Esta metodologia de cálculo e o desenho de croqui são executados no mé-
todo de levantamento planialtimétrico, inclusive com a mesma formulação. 
Planialtimetria
O levantamento topográfi co planimétrico é defi nido de acordo com a 
ABNT no item 3.18 da seguinte maneira:
Levantamento topográfi co planialtimétrico acrescido dos ele-
mentos planimétricos inerentes ao levantamento planimétrico 
cadastral, que devem ser discriminados e relacionados nos edi-
tais de licitação, propostas e instrumentos legais 
entre as partes interessadas na sua execução 
(ABNT, 1994, p.3).
Assim, devemos entender que o levantamento pla-
nialtimétrico é a união entre a planimetria e a altime-
tria, o que possibilita detalhar a área de interesse em 
sua completude nos três eixos (X, Y e Z), com a inclu-
são dos pontos de cadastro. 
TOPOGRAFIA APLICADA 80
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Além da formulação apresentada anteriormen-
te, que é base para a planimetria e planialtime-
tria, o novo conceito relacionado à poligona-
ção será aplicado para os dois métodos de 
levantamento. Note que a diferença entre os 
métodos se deve à presença da altimetria no 
planialtimétrico. 
As poligonações são divididas em duas, sendo a 
primeira chamada de poligonal aberta e a segunda 
de poligonal fechada. Os nomes aberta e fechada 
correspondem literalmente ao fechamento ou não de 
um polígono, sendo este a poligonal principal do levantamento. 
Para que não ocorram dúvidas durante a discussão do assunto, deve-
mos saber que, além da poligonação (aberta e fechada), a topografia clas-
sifica suas poligonais em três diferentes tipos, que são descritos pela NBR 
13.133/94 em principal, secundária e auxiliar:
Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de 
apoio topográfico de primeira ordem;
Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértices da po-
ligonal principal determina os pontos de apoio topográfico de 
segunda ordem;
Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio 
topográfico planimétrico, tem seus vértices distribuídos na área 
ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja possível coletar, di-
reta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas 
sobre uma linha de base, os pontos de detalhes julgados impor-
tantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou nível de de-
talhamento do levantamento (ABNT, 1994, p. 4) (grifos nossos).
Durante o levantamento em campo, independentemente se a poligona-
ção for aberta ou fechada, pode-se encontrar a poligonal principal acrescida 
da secundária e da auxiliar, ou somente a poligonal principal, ou, ainda, a 
poligonal principal mesclada com a secundária ou auxiliar. 
As poligonações aberta e fechada são apresentadas da seguinte maneira 
de acordo com a NBR 13.133/94:
TOPOGRAFIA APLICADA 81
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Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhe-
cidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se deter-
minar. Não é possível determinar erros de fechamento, portanto 
devem-se tomar todos os cuidados necessários durante o levan-
tamento de campo para evitá-los.
Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas co-
nhecidas e retorna ao mesmo ponto. Sua principal vantagem é 
permitir a verificação de erro de fechamento angular e linear.
Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas 
conhecidas e acabam em outros dois pontos com coordenadas 
conhecidas. Permitindo assim a verificação do erro de fecha-
mento angular e linear (ABNT, 1994, p. 7) (grifos nossos).
P1
P1
P1
P1
OPP
OPP
P2
P2
P4
Poligonal aberta 
Poligonal fechada 
Poligonal enquadrada
P4
A1
A2
A3
A4
P3
P3
P5
Figura 10. Poligonais topográficas. 
TOPOGRAFIA APLICADA 82
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Os triângulos vermelhos simbolizam os pontos de coordenadas conhecidas ou 
pontos de partida da poligonal (OPP), os vértices denominados de P1 – P5 são os 
pontos de cadastro e os pontos e A1 – A4 são os vértices de coordenadas conhe-
cidas da poligonal enquadrada. 
Conforme exposto anteriormente, a principal diferença entre a poligonal fecha-
da e aberta é a possibilidade de calcular o erro de fechamento linear e angular do 
caminhamento distribuindo os erros (ajuste) e tornando o levantamento topográfi-
co mais preciso. Por esse motivo, é mais indicado para obras de precisão e, princi-
palmente, para as que necessitam da comprovação da qualidade do levantamento 
realizado pelo profissional em campo. 
Em obras de menor porte pode ser utilizada a poligonal aberta, porém, como 
não é possível calcular o erro linear e angular, cabe à equipe de campo toda a cautela 
e zelo pelo levantamento a ser realizado, de forma a minimizar os erros cometidos. 
Entrando na poligonal fechada, vamos conhecer as fórmulas que possibilitam 
a obtenção e ajuste dos erros. Vale ressaltar que este método não irá ajustar erros 
muito grandes, e quando isso ocorrer, cabe ao executor retornar a campo e realizar 
novamente o trabalho topográfico. 
Um dos elementos iniciais para obtenção do erro é relacionado ao formato da 
poligonal, ou seja, quantos lados e vértices possuem formam a figura geométrica. 
Existem três tipos de ângulos horizontais utilizados em levantamento topográfico, 
que são: ângulos externos, ângulos internos e as deflexões à direita e à esquerda. 
Na Figura 11 é possível entender suas diferenças e observar a relação da figura geo-
métrica que a poligonal fará. 
Az. ou R de 
orientação
Deflexão à direita
Deflexão à esquerda
Ângulo interno
 Ângulo externo 
Figura 11. Tipos de ângulos.
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As deflexões são ângulos formados entre o prolongamen-
to do alinhamento anterior com o segmento de reta posterior, 
conforme pode ser observado na Figura 11. Durante o levan-
tamento topográfico, devemos seguir o sentido horário, 
logo, dessa forma, teremos a orientação das deflexões; 
no caso da primeira, teremos a deflexão à direita e a próxi-
ma deflexão à esquerda. 
Os ângulos internos e externos estão relacionados diretamente ao ângulo for-
mado entre os alinhamentos da poligonal, o ângulo formado na parte interna do 
polígono é o interno e, consequentemente, o externo é o ângulo externo. 
Ainda na Figura 11, note que foi formada uma figura geométrica fechada, sendo 
assim, é possível determinar o valor de fechamento do polígono ideal e, diante des-
se valor, comparar ao obtido durante o levantamento em campo. 
Quando forem apresentados os ângulos internos da poligonal, utilizaremos a 
seguinte fórmula:
∑int = (n – 2) · 180° (8)
Quando for apresentado o ângulo externo, teremos: 
∑ext = (n + 2) ·180° (9)
Sendo que:
N = número delados da poligonal.
∑ = somatório dos ângulos (interno ou externo).
Logo, para a poligonal apresentada anteriormente, temos que o somatório do 
ângulo interno de um pentágono ideal equivale a:
∑int = (5 – 2) · 180° → ∑int = (3) · 180° → ∑int = 540°00’00”.
Para que ocorra a verificação do dado medido em campo, é necessário calcular 
a tolerância angular (εa) permitida para a poligonal, assim conseguiremos mensurar 
se o levantamento está dentro do tolerável ou se haverá necessidade em realizar 
um novo levantamento de campo.
εa = p.m1/2 (10)
Sendo que:
εa: erro angular;
p: precisão nominal do equipamento (disponibilizado pelo fabricante ou por em-
presa especializada);
m: número de lados da poligonal.
TOPOGRAFIA APLICADA 84
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Exemplifi cando com números: pensando em um projeto de alta precisão, 
será necessário utilizar um equipamento que forneça essa qualidade angular, 
sendo assim, para a explicação, utilizaremos uma estação total com 2” de pre-
cisão angular. Logo, o erro angular permitido para a poligonal apresentada an-
teriormente será dado por: 
εa = 2”. 51/2 → εa = 00°00’04,47”.
Caso a somatória dos ângulos internos da poligonal ultrapasse 540°00’04,47” 
ou 539°59’55.3”, o erro obtido será maior que o permitido, logo, é aconselhável 
um novo levantamento de campo. 
A partir do momento em que o erro angular é validado, ajustam-se os ângu-
los do levantamento para que seja possível calcular as coordenadas planimé-
tricas do levantamento, conforme vimos anteriormente.
O erro linear será calculado pela soma algébrica das projeções X e Y, sendo 
que os lados devem corresponder a 0.
∑ L = (∑ProjN )
2 + (∑ProjE )
2 (11)
∑relativo = (12)
∑L
∑lados
Em que:
∑L: erro linear;
∑proj x: somatório das coordenadas em E;
∑proj Y: somatório das coordenadas em N;
∑lados: somatório do número de lados do polígono. 
O resultado será expresso em formato fracionado 
e a qualidade da poligonal será classifi cada em baixa 
precisão, precisão regular, precisão média, boa pre-
cisão e alta precisão. Por este motivo, é importan-
te utilizar o equipamento adequado para atender a 
determinadas classes de projeto. 
Normatizações técnicas sobre levantamentos topográficos 
As normatizações fi xam as diretrizes que os profi ssionais deverão seguir 
para executar, dentro da padronização necessária, seus levantamentos e pro-
jetos topográfi cos. 
TOPOGRAFIA APLICADA 85
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A NBR 13.133 redigida originalmente em sua primeira versão no ano de 1994 
é a principal normatização que devemos seguir. Ela corresponde às orienta-
ções relacionadas à execução de levantamento topográfico, e foi criada com os 
seguintes objetivos: 
Conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, área, 
localização, amarração e posicionamento;
Informações sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de 
projetos;
Informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projetos 
básicos;
Informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos
(ABNT, 1994, p. 1). 
Os objetivos preestabelecidos nesta norma são: conhecer a área de interes-
se onde o projeto será executado, posicionando-o localmente e globalmente 
por meio de referências angulares ou por coordenadas, bem como conhecer 
o limite e as nuances do terreno, como a variação altimétrica apresentada no 
mesmo. Além disso, fixa limites relacionados às classes de precisão e os equi-
pamentos que deverão ser utilizados para que os limites sejam atendidos.
As condições exigíveis para a execução de um levantamento topo-
gráfico devem compatibilizar medidas angulares, medidas linea-
res, medidas de desníveis e as respectivas tolerâncias em função 
dos erros, selecionando métodos, processos e instrumentos para 
a obtenção de resultados compatíveis com a destinação do levan-
tamento, assegurando que a propagação de erros não exceda os 
limites de segurança inerentes a esta destinação (ABNT, 1994, p. 1).
No ano de 2016, a NBR entrou em revisão e até o presente momento ainda 
não teve sua publicação atualizada. Tal revisão se fez necessária devido à defa-
sagem entre a NBR e as novas tecnologias desenvolvidas ao longo desse perío-
do de 26 anos, fazendo com que houvesse um gap entre as novas tecnologias 
e os padrões técnicos e métodos de levantamentos tidos como padrão. Com 
base nessa necessidade de atualização, você verá alguns exemplos palpáveis 
de equipamentos que não estavam previstos em normatização e que são utili-
zados corriqueiramente em obras de engenharia civil, agronomia, arquitetura, 
projetos rodoviários e ferroviários.
TOPOGRAFIA APLICADA 86
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Estão ausentes equipamentos e técnicas de levantamento, como os recep-
tores GNSS RTK, técnica de posicionamento por satélite, o laser scanner, utiliza-
ção de nuvem de pontos, a aplicação de RPA (remotely piloted aircraft – aerona-
ves remotamente pilotadas) – o popular drone, os sensores embarcados para 
imageamento, os elementos multiespectrais etc.
Outras normativas importantes
Entendemos que a NBR 13.133/94 é a principal normatização para execução 
dos levantamentos topográfi cos, porém não é a única em que o profi ssional de-
verá se basear. 
As normativas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 14.166/98, 
14.645-1/00 e 14.645-3/05 também merecem bastante atenção, ainda mais aos 
responsáveis técnicos que irão trabalhar com edifi cações prediais.
Sendo assim, é apresentada na NBR 14.645, referente ao “como construído” 
(as built) a seguinte divisão em três partes: parte um, relacionada ao levantamen-
to planialtimétrico e cadastral do imóvel com área limitada em 25.000 m², onde 
se estabelecerão estudos, projetos ou edifi cações. 
A parte dois se refere ao levantamento planimétrico, com fi nalidade de regis-
tro público, seja relacionado à retifi cação (termo bastante utilizado na topografi a 
e que está relacionado à correção das medidas do imóvel) ou delimitação do 
imóvel urbano. 
E temos, na parte três, o procedimento relacionado ao trabalho de locação 
topográfi ca (momento em que o profi ssional demarcará no imóvel os aspectos 
construtivos do projeto, seja viga, estrutura, pilar etc.) e o controle dimensional. 
De acordo com o trecho retirado da NBR 14.645-3/2005:
Esta parte da NBR 14.645 estabelece os requisitos 
exigíveis para a locação e controle dimensional da 
obra, com as anotações de todas as al-
terações ocorridas no transcorrer da 
obra, e indica os procedimentos 
para se chegar ao projeto execu-
tado, a partir de um projeto execu-
tivo (ABNT, 2005, p. 2).
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De acordo com a ABNT NBR 14.645-1/2000:
As condições exigíveis para a execução de um levantamento topo-
gráfico devem compatibilizar medidas angulares, medidas lineares, 
medidas de desníveis e as respectivas tolerâncias em função dos 
erros, selecionando métodos, processos e instrumentos para a 
obtenção de resultados compatíveis com a destinação do levan-
tamento, assegurando que a propagação de erros não exceda os 
limites de segurança inerentes a esta destinação, consideradas in-
clusive sua escala de representação gráfica, situada entre 1:250 e 
1:50 (ABNT, 2000, p. 2).
Temos a NBR 14.166, que é relativa à rede de referência cadastral municipal e 
estabelece as condições exigíveis para a implantação e manutenção das referên-
cias municipais que serão utilizadas na urbe durante a execução ou implemen-
tação de qualquer projeto que deverá dar continuidade à expansão da malha 
urbana. 
De acordo com a NBR 14.166/98, têm-se os seguintes objetivos traçados:
Apoiar a elaboração e a atualização de plantas cadastrais municipais;
Amarrar, de um modo geral, todos os serviços de topografia, visan-
do as incorporações às plantas cadastrais do município;
Referenciar todosos serviços topográficos de demarcação, de an-
teprojetos, de projetos, de implantação e acompanhamento de 
obras de engenharia em geral, de urbanização, de levantamentos 
de obras como construídas e de cadastros imobiliários para regis-
tros públicos e multifinalitários (ABNT, 1998, p. 2).
Quando buscamos nas referências das normas técnicas apresentadas, nota-
mos que elas se comunicam a todo o momento, seja citando o que está padro-
nizado ou conceituado numa para que a próxima seja desenvolvida. Isso deve 
mostrar ao futuro profissional que apesar da NBR 13.133 ser a base, todas as 
outras são fundamentais.
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Sintetizando
Caro aluno, ao longo desta unidade, você foi apresentado a diversos conceitos 
que são utilizados diariamente na vida do profissional que trabalha com topogra-
fia. Começamos a discussão com a taqueometria sendo aplicada, desta vez, aos 
elementos planimétricos e planialtimétricos do terreno. Aprendemos a calcular as 
distâncias horizontal e vertical utilizando o ângulo vertical do equipamento.
Posteriormente, os ângulos de orientação, chamados de azimute e rumos, 
foram apresentados, e entendemos que sua utilização é necessária para que o 
levantamento possua uma referência angular relacionada à linha norte-sul, seja 
magnética, verdadeira ou do projeto. 
Passamos pelos métodos de poligonação e conhecemos as poligonais abertas 
e fechadas. Descobrimos que ambas possuem, obrigatoriamente, pelo menos um 
ponto com coordenadas conhecidas, depois avançamos para o cálculo do erro de 
fechamento angular e linear que as poligonais fechadas nos permitem obter.
Encerramos o capítulo conversando sobre as normatizações que são chave 
fundamental para as padronizações topográficas e cartográficas, sendo a NBR 
13.133 a principal. Busque mais sobre o tema, aprofunde seus conhecimentos! 
TOPOGRAFIA APLICADA 89
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Referências bibliográficas
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: Execu-
ção de levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT, 1994.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14166: Rede de 
Referência Cadastral Municipal. Rio de Janeiro: ABNT, 1998.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14645-1: Ela-
boração do “como construído” (as built) para edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 
2000.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14645-3: Ela-
boração do “como construído” (as built) para edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 
2005.
FAGGION, P. L. Considerações sobre a instrumentação topográfica. UFPR, 
2011. 
Disponível em: <http://www.cartografica.ufpr.br/docs/Pedro/Apostila%20
de%20Instrumenta%C3%A7%C3%A3o%20Topogr%C3%A1fica_2011_Aluno.
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FIORIO, P. R. Goniologia. Universidade de São Paulo. Escola Superior de Agricul-
tura “Luiz de Queiroz”. Departamento de Engenharia de Biossistemas. Piracica-
ba, 2019a. Disponível em: <https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5045874/
mod_resource/content/3/LEB0340_APOSTILA_TEORICA_CAPITULO_4_GONIO-
LOGIA.pdf>. Acesso em: 03 fev. 2021.
FIORIO, P. R. Medição indireta de distâncias: taqueometria. Universidade de 
São Paulo. Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”. Departamento de 
Engenharia de Biossistemas. Piracicaba, 2019b. Disponível em: <https://edis-
ciplinas.usp.br/pluginfile.php/5045878/mod_resource/content/2/LEB0340_
APOSTILA_TEORICA_6_TAQUEOMETRIA.pdf>. Acesso em: 03 fev. 2021.
TOPOGRAFIA - trigonometria - taqueometria-triângulos-retângulo, qual-
quer e ângulos obtusos. Postado por PS Videoaulas Engenharia. (18min. 17s.). 
son. color. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=QS27ya-
ogciA>. Acesso em: 03 fev. 2021.
TOPOGRAFIA prática - nivelamento com estação total. Postado por PS Vi-
deoaulas Engenharia. (16min. 46s.). son. color. port. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=aVjiChoM8o0>. Acesso em: 03 fev. 2021. 
TOPOGRAFIA APLICADA 90
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VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de topogra-
fia: material de apoio para a disciplina de topografia II do curso de engenha-
ria cartográfica e de agrimensura da UFPR: altimetria, locação e levantamento 
planialtimétrico. 2014. Disponível em: <http://www.cartografica.ufpr.br/portal/
wp-content/uploads/2015/08/Material-de-Apoio-Topo-II-2015.pdf>. Acesso em: 
03 fev. 2021.
TOPOGRAFIA APLICADA 91
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LOCAÇÕES 
TOPOGRÁFICAS E 
CÁLCULOS DE VOLUME
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar o conceito, cálculos numéricos e exemplos de locação 
topográfica.
 Introduzir e apresentar os principais cálculos volumétricos empregados na 
topografia. 
 Locações topográficas 
 Locação em números
 Cálculo de volume 
 Cálculo de volume em prismas 
e sólidos 
 Cálculos de volume empregados 
na topografia
TOPOGRAFIA APLICADA 93
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Locações topográficas
Discutimos anterormente a importância da topografi a em obras de enge-
nharia civil; os principais elementos técnicos existentes na rea-
lização das medições; os métodos de levantamento 
topográfi cos previstos em normatizações técnicas; 
as regulamentações da ABNT para a execução de 
anteprojetos e projetos; e os equipamentos to-
pográfi cos principais e auxiliares que permitem 
ao geomensor obter as informações e o nível de 
precisão necessário para que os projetos possam ser desenvolvidos e poste-
riormente implantados. 
Isso posto, a partir deste capítulo você passará a compreender a impor-
tância e necessidade do serviço denominado de locação topográfi ca e, pos-
teriormente, a execução dos cálculos volumétricos que farão parte do orça-
mento do projeto. 
A locação topográfi ca permitirá tirar o projeto do papel, de algum ambiente 
ou sistema CAD (Computer Aided Design) para o local em que a obra se sucederá. 
Existem NBRs específi cas para cada tipo de locação: por exemplo, a NBR 14645 
parte 3, apresentada anteriormente, regulamenta a locação topográfi ca e o 
controle dimensional da obra; já a NBR 15309 irá regulamentar a locação topo-
gráfi ca e o acompanhamento dimensional de obra metroviária e assemelhada. 
Por este motivo, é necessário adequar a implementação do projeto de acordo 
com a regulamentação existente. 
Podemos simplifi car o conceito de locação topográfi ca como sendo a 
realização da demarcação de estacas, pontos e piquetes no terreno em 
posições anteriormente defi nidas no projeto. Assim, é possível transferir 
elementos para o terreno de maneira a possibilitar a implementação de fun-
dações, estruturas, alicerces e outros objetos importantes para a realização 
da obra.
Para exemplifi car melhor o conceito apresentado, a Figura 1 evidencia o 
estudo de viabilidade técnica para implementação de um loteamento aber-
to, ou seja, sem portarias ou que esteja em intramuros, e o perímetro na cor 
laranja avermelhado é a área útil para o desenvolvimento do loteamento. 
TOPOGRAFIA APLICADA 94
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A etapa inicial consistiu no levantamento topográfico em campo através do 
método planialtimétrico cadastral. Este método foi escolhido devido ao fato 
de o entorno estar construído com ruas pavimentadas, edificações, quadras e 
aparatos de infraestrutura urbana, como galerias pluviais, caixas de drenagem, 
tubulação de gás, água canalizada, redes de fibra óptica, entre outros. Dessa 
forma, o projeto precisará se encaixar corretamente à infraestrutura existente.
Para que os dados fossem obtidos com a precisão necessária, utilizou-se a tec-
nologia de levantamento através de receptores GNSS (Global Navigation Satellite 
System) com RTK (Real Time Kinematic) embarcado, conseguindo assim armaze-nar pontos de cadastro com precisão horizontal de 2 mm e vertical de 3 mm. 
ASSISTA
Para conhecer mais sobre o método de levantamento 
GNSS através da tecnologia RTK, não deixe de conferir a 
palestra disponível. 
Uma vez que a região e o perímetro são levantados em campo, os dados são 
encaminhados para a equipe de escritório e descarregados em software CAD, 
conforme é possível observar na Figura 1.
Figura 1. Levantamento topográfico. 
TOPOGRAFIA APLICADA 95
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Figura 2. Estudo de diretrizes de rua. 
Para a etapa inicial do projeto houve a elaboração do estudo de diretrizes 
de ruas, em que realizou-se o aprofundamento no plano diretor municipal para 
que as ruas seguissem os mesmos padrões existentes na zona de elaboração 
do loteamento, bem como sua largura, inclinação e abaulamento (convexidade 
que se dá a diversas superfícies para facilitar o escoamento de águas pluviais). 
Neste caso em específico foi necessário consultar também o manual do 
GRAPROHAB (Grupo de Análise e Aprovação de Projetos Habitacionais) válido 
para o estado de São Paulo, o qual é utilizado como guia para aprovação de 
loteamentos em outros estados da federação. Mediante todas estas informa-
ções, os responsáveis técnicos do escritório elaboraram o projeto apresentado 
na Figura 2. 
Os eixos projetados foram apresentados na cor ciano, e note que a escolha 
do sentido e diretriz se deu no sentido de continuar com a fluidez das ruas e 
avenidas já existentes no entorno. Em laranja estão os lotes agrupados, for-
mando as quadras; e em verde a vegetação, a área verde e o sistema de lazer, 
conforme estabelecido no plano diretor. 
TOPOGRAFIA APLICADA 96
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A partir do desenho projetado em escala e com os elementos técnicos an-
gulares, lineares ou através de coordenadas, é realizada a locação topográfica 
no terreno. Este é o processo inverso ao levantamento topográfico, uma vez 
que as informações serão implantadas e não levantadas na área. De acordo 
com Junior, Neto e Andrade, a locação 
também se divide em planimétrica, altimétrica e planialtimétri-
ca [...] sendo importante salientar que todos os dados e valores 
característicos importantes do projeto deverão ser implantados 
fielmente no terreno de acordo com a escala utilizada. A locação 
topográfica é mais cara e trabalhosa em relação ao levantamen-
to topográfico (2014, p. 12). 
A locação dos objetos em campo pode ocorrer através de dois conjun-
tos de elementos técnicos, a saber: ângulos e distâncias ou coordenadas. Em 
campo, eles serão inicialmente materializados através de piquetes, estacas, 
pregos, marcações em tinta no chão, mourões e outras formas de sinalização 
e indicação que determinada feição deverá ser implantada naquele local. Ain-
da de acordo com Junior, Neto e Andrade,
após a realização do trabalho de levantamento topográfico e/ou 
locação topográfica, deve-se anexar ao projeto/trabalho o me-
morial descritivo. Memorial descritivo é um documento anexo ao 
trabalho que informa todas as características de uma proprieda-
de ou área. Esse memorial indica os principais marcos, coorde-
nadas, estradas principais que limitam a propriedade etc. É utili-
zado para descrever, em forma de texto, a poligonal que limita a 
propriedade de uma maneira que se entenda e compreenda suas 
características e o que foi realizado, sem a necessidade de se ve-
rificar graficamente ou em tabelas (2014, p. 13).
O memorial descritivo é uma peça técnica fundamental e de apresenta-
ção obrigatória em qualquer obra, seja durante o processo de auditoria, para 
registro e averbação em cartório de registro de imóveis, ou para aprovação 
em órgãos ou câmaras especiais. Este documento deve conter os elementos 
técnicos com clareza e precisão, sem tornar a informação dúbia ou dando 
margem a outras interpretações. Dessa forma, ele verá respeitar alguns dos 
princípios registrais chamados de especialidade objetiva. 
TOPOGRAFIA APLICADA 97
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Observe a seguir um modelo de memorial descritivo textual de uma gleba 
rural simples. A descrição perimetral da parcela se inicia na estaca 0 = PP (ponto 
de partida), situando-se na divisa das propriedades de Jefferson de Oliveira e 
Aparecido dos Santos. Partindo-se da estaca 0 = PP em um azimute verdadeiro 
de 87º41’06” a 110,54 m chega-se na estaca 1, limitando-se com a propriedade 
de Aparecido dos Santos. Da estaca 1, em um azimute verdadeiro de 13º40’30’’ 
a 97,62 m, limitando-se com a propriedade de Luiz Carlos de Melo, chega-se 
à estaca 2. Da estaca 2, em um azimute verdadeiro de 274º04’12” a 162,30 m, 
limitando-se com a propriedade de Luiz Carlos de Melo, chega-se à estaca 3. 
Da estaca 3, a 114,40 m, em um azimute verdadeiro de 165º38’54’’, limitando-se 
com a propriedade de Jefferson de Oliveira, retorna-se à estaca 0 = PP, totalizan-
do para a área desta propriedade 13.994,40 m². 
Isso posto, pode-se afirmar que a locação planimétrica é o processo inverso 
ao levantamento topográfico, a qual caracteriza-se por ser um procedimento 
mais longo e enfadonho. Para realizar a locação, é necessário primeiramente 
fazer o levantamento topográfico; posteriormente a representação gráfica do 
terreno, em escala; modificar as informações coletadas ao projetar suas altera-
ções nas plantas; e, só assim, fazer a locação conforme observada na Figura 3 
( JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014).
Figura 3. Locação planimétrica. Fonte: JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 66.
d1
0 1
2
Teodolito
Teodolito
Baliza
Baliza
Árvore
Poste
1
2
0
3
3
d2
v3
v2
v1
30o
20
 m
A
B
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Note que a Figura 3a apresenta apenas o levantamento topográfico do pe-
rímetro do imóvel; neste caso, realizou-se o levantamento planimétrico, posto 
que foi necessário obter o limite da área de interesse para que o projeto fosse 
desenvolvido e implementado em seu interior. Ainda em relação à Figura 3a, 
na posição 0 temos o local em que o equipamento topográfico (teodolito) foi 
estacionado e os pontos 1, 2 e 3 totalizam o polígono perimetral. Na posição 3 
estacionou-se uma baliza topográfica para referência e posterior locação dos 
objetos.
Na Figura 3b são apresentados dois elementos técnicos: a abertura angular 
de 30°00’00” e a distância de 20 m. Note que para chegar no ponto v1, o ope-
rador teve que estacionar o teodolito na posição 0 (já levantada inicialmente e 
materializada no terreno) e posteriormente visar o ponto 3. Com este alinha-
mento 03 definido, é possível transferir qualquer informação de projeto para 
dentro deste polígono. Perceba ainda que v1 possui uma informação 30°00’00” 
do alinhamento 03 e 20 m a direita do mesmo; assim, os outros vértices (v2 e 
v3), assim como a árvore (d2) e o poste (d1), possuirão outros valores do alinha-
mento de referência.
Observe a seguir o passo a passo para a operação de locação topográfica:
ASSISTA
No vídeo disponibilizado é possível compreender o pro-
cesso para locação de obras e a marcação de gabarito 
por irradiação. 
1. Levantamento topográfico do local;
1.1 Estacionar o equipamento topográfico em campo;
1.2 Nivelar, centralizar e prumar o instrumento topográfico;
1.3 Definir a referência angular no levantamento;
1.4 Colimar e medir o alinhamento RÉ;
1.5 Cadastrar os objetos de interesse anotando ângulos horizontais, verticais 
e distâncias.
2. Trabalho de escritório;
2.1 Os dados do levantamento de campo são enviados para equipe de escri-
tório (projetistas, engenheiros, arquitetos entre outros profissionais);
TOPOGRAFIA APLICADA 99
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2.2 Elaboração do projeto;
2.3 Envio dos elementos técnicos (ângulos, distâncias e/ou coordenadas) 
para o geomensor através de cadernetas eletrônicas, cadernetas manuais oudesenhos em formato digital.
3. Locação de obra;
3.1 O operador irá transferir os dados das tabelas, planilhas ou desenho para 
demarcação da obra;
3.2 O operador utilizará algum ponto já levantado inicialmente para realizar 
a estacionada do equipamento (dessa forma, já terá aquela posição conhecida);
3.3 Nivelar, centralizar e prumar o instrumento topográfico;
3.4 Colimação e referência em outro ponto conhecido no terreno que tam-
bém foi levantado na etapa inicial para definição da RÉ (alinhamento de referên-
cia para locação);
3.5 A cada ponto locado (delimitado) demarca-se sua posição no solo, seja 
através de estacas, piquetes, pregos, tinta ou outro meio; 
3.6 Repete-se a operação até a finalização da demarcação. 
A escolha do material utilizado para demarcação irá variar de acordo com o 
tipo de superfície existente no local da obra, geralmente em asfalto, concreto ou 
locais de difícil penetração são utilizados marcadores a tinta e, em alguns casos, in-
sere-se pregos. Em solo exposto ou com material menos compactado (fofo), opta-
-se por estacas, piquetes ou mourões, conforme pode ser observado na Figura 4.
Figura 4. Exemplos de materiais utilizados para demarcação em campo. 
D
cB
A
d) Marcação em tinta 
c) Piquete cravado em solo
b) Piquete e estaca testemunho
a) Piquete
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Atualmente, a maneira mais comum para troca de dados de medição entre as 
equipes de escritório e campo são as cadernetas digitais ou automáticas. Estas pla-
nilhas digitais são confeccionadas em softwares específicos para projetos e obras 
topográficas, como: Métrica TOPO (software utilizado para obter os dados ilustra-
dos), DataGeosis, GeoOffice, Bentley Topograph, plug-ins de softwares topográficos 
que precisam de sistema CAD instalado ou ainda softwares de uso genérico, como 
AutoCAD, ZWCAD, ArcGIS, QGIS ou planilhas em Excel ou LibreOffice, entre outras. 
Figura 5. Tabela de locação por ângulos e distâncias. 
Observe a Figura 5 e note que foram apresentadas duas formas distintas de 
locação através de ângulos e distâncias. A que está à esquerda exibe os valores an-
gulares referentes ao ângulo horizontal, ou seja, entre um ponto e outro; na figura 
à direita utiliza-se o ângulo de orientação azimutal como referência, empregan-
do, dessa forma, a referência do primeiro alinhamento para obter os ângulos dos 
pontos sucessores. Em ambos os casos a distância será a mesma entre os pontos.
Para facilitar o entendimento, evidenciaremos duas linhas: a linha 2 da figura à 
esquerda e a linha 1 da figura à direita. Observe que, na linha 2, temos na coluna 
estação o nome do ponto 2, ou seja, o equipamento está estacionado nesta posi-
ção. Na coluna “ré” há o ponto 3; logo, a referência para este alinhamento será 23 
. Na sequência há a coluna referente ao ponto visado, ou seja, os pontos que serão 
demarcados em campo, onde na linha 2 encontramos o ponto 1. 
Isso posto, na coluna ângulo horizontal é exibido o valor 198.0050 em no-
tação no software, o qual corresponde a 198°00’50” a uma distância de 268,86 
m. Isto significa que o ponto 1 será demarcado em campo a partir da abertura 
angular do alinhamento , de 198°00’50” e 268,86 m. 
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Na figura à direita o equipamento também está estacionado no ponto 2 
(coluna “estação”) e foi referenciado ao azimute do projeto, sendo este o seu 
equivalente em 0°00’00”. Na linha 1, temos o “p. visado” 1 com ângulo azimutal 
de 330.2501, o qual será interpretado como 330°25’01” e distância de 268,86 
m. Assim, sabe-se que a partir do alinhamento azimutal, e rodando no sentido 
horário do levantamento até o ângulo 330°25’01” a uma distância de 268,86 m, 
o ponto locado será demarcado. Para o próximo ponto será efetuado o mesmo 
procedimento, sempre seguindo no sentido horário e a partir do alinhamento 
azimutal de referência do projeto.
Para tornar o processo de entendimento da locação topográfica mais palpá-
vel, observe a Figura 6.
Estação Ponto visado Ângulo horizontal Distância horizontal
B 1 15º31’21” 18,68 m
B 2 33º57’13” 21,7 m
B 3 51º59’51” 15,38 m
B 4 48º06’54” 14,18 m
B 5 76º40’51” 10,85 m
B 6 63º26’06” 5,59 m
Figura 6. Tabela de locação e planta locada. Fonte: FRÓES, 2009, p. 76.
Pontos de referência
Área do terreno
Obra
5,
56
 m
6,97 m
21,7 m
8,53 m
1,
56
 m
7,
12
 m
15,5 m
B
6 1
23
45
A
5º
31
’21
”
51
º5
9’5
1”
48
º0
6’5
4”
76
º40
’51
”
33
º5
7’1
3”
63
º26
’06
”
18,68 m
10,85 m
14,18 m
5,59 m
15,38 m
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Figura 7. Tabela de locação por coordenadas UTM. 
Na tabela da Figura 6 estão presentes as informações técnicas para imple-
mentação do perímetro da residência. Note que todas as orientações angula-
res e lineares partem do ponto B, sendo este o local no qual o equipamento 
está estacionado. A partir deste, é dada a operação no equipamento para rea-
lizar a abertura angular e posteriormente posicionar uma baliza ou prisma no 
ponto para que se obtenha a distância desejada. 
Atualmente, uma das formas mais utilizadas para realização da locação em 
campo é através das coordenadas. Segundo Fróes,
As locações por coordenadas são mais utilizadas atualmente, 
principalmente, em obras de maior parte, pois o equipamento 
pode sair do escritório com as coordenadas armazenadas, deven-
do apenas o operador selecionar o ponto de locação. Este tipo de 
locação pode ser feito por estação total ou GNSS RTK (2009, p. 78).
Em relação à esta forma de locação, observe a Figura 7. Este formato de 
visualização de dados é denominado arquivo no padrão ASCII configurável (tra-
duzido como Código Padrão Americano para o Intercâmbio de Informação), e 
nele são apresentados os elementos técnicos organizados de acordo com a 
necessidade do operador, ou ainda no padrão que o equipamento topográfico 
conseguirá interpretar. 
TOPOGRAFIA APLICADA 103
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Destacados com o retângulo de cor laranja, há os dados dos pontos sepa-
rados com vírgulas, pois dessa forma sabe-se que após cada vírgula é exibida 
uma nova informação. Assim, na primeira coluna temos os nomes dos pontos 
em ordem sequencial crescente (1, 2, 3 ... e 10); na segunda coluna a coordena-
da do eixo E(x) do sistema UTM é informada; na terceira coluna há a coordena-
da do eixo N(y); na quarta coluna, onde aparecem apenas informações 0.000, 
teríamos as cotas dos pontos, porém a locação exemplo é apenas planimétrica, 
logo, não se consideram as altitudes; por fim, na quinta coluna há a descrição 
dos objetos, sendo esta coluna optativa, embora sirva como facilitadora no 
momento de identificar o objeto.
É possível consolidar nosso conhecimento teórico a respeito das locações 
topográficas observando o esquema criado e apresentado através da Figura 8.
E0
E1
E0
E1
Na Figura 8a é definido o alinhamento de referência através do equipamen-
to E1 e a referência angular E0 (ré). Além disso, o ponto para locação é o 57. Note 
que este ponto está a determinada abertura angular do alinhamento referên-
cia e a certa distância linear do mesmo, logo, para que seja possível demarcar 
este ponto em campo, o operador deverá rotacionar o equipamento topográfi-
co a 79°00’00” e mover a baliza em 25,5 m.
Figura 8. Esquema de locação. 
TOPOGRAFIA APLICADA 104
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 Com a Figura 8b é possível compreender melhor a locação por coordena-
das arbitrárias. O perímetro é constituído por um quadrado 40 x 40, no qual 
setorizamos o polígono em linhas e colunas com equidistância de 5 m. O ponto 
E1 ocupa a posição (0,0), ou seja, coordenada 0 no eixo x e 0 no eixo y. Para que 
a locação seja realizada para o ponto 57, o operador deverá localizar a posição 
(1,5), ou seja, 1 linhaacima do ponto E1 e 5 colunas a direita do mesmo: dessa 
forma, sabe-se que a coordenada ocupada, em metros, pelo ponto 57 é (5,25). 
Locação em números
De acordo com o que foi visto an-
teriormente, sabemos que a locação 
poderá ocorrer no sistema polar. As-
sim, de acordo com Veiga, Zanetti e 
Faggion, “para a locação de um ponto 
empregando-se um sistema polar é 
necessário conhecer um ponto ori-
gem, uma direção de referência e os 
ângulos e distâncias em relação à linha 
de referência para os demais pontos” 
(2014, p. 21).
O alinhamento de referência será obtido a partir das coordenadas de dois 
pontos ou, ainda, através de um segmento pré-determinado, podendo este ser 
o alinhamento com um poste, com a frente de outra edifi cação ou outra refe-
rência fi xa. Em uma linguagem bem simples, isto seria o equivalente a saber 
onde se está para que seja possível chegar a qualquer lugar. 
Para determinar os ângulos e distância que se deseja locar a 
partir de um ponto conhecido, devemos defi nir o ali-
nhamento equipamento/ré e conhecer as coorde-
nadas x e y dos objetos envolvidos na locação. A 
Figura 9 servirá de base para o entendimento 
do cálculo que se sucederá. Lembrando que 
o objetivo é determinar em campo o ponto P, 
partindo do alinhamento de referência AB.
TOPOGRAFIA APLICADA 105
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Figura 9. Demarcação de P. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2014, p. 22.
AAB
B
P
A
ABP
dBP
αABP
Em que:
AAB : azimute da direção AB;
ABP : azimute da direção BP;
dBP : distância horizontal entre os pontos B e P;
αABP : ângulo horizontal ABP.
Neste momento será obtida a distância entre os pontos B e P:
Para o cálculo angular do segmento ABP, serão utilizados os azimutes de 
referência AB e BP:
Este método numérico será utilizado quando o desenho não estiver em am-
biente CAD, uma vez que em software é possível extrair todas estas informa-
ções em poucos cliques. Porém, se em algum momento for necessário resolver 
um problema de locação em campo, as fórmulas serão muito úteis.
Para fixar este conhecimento, imagine o seguinte exemplo: a equipe de um 
escritório enviou ao topógrafo as coordenadas x e y de 3 pontos. No entanto, para 
que a locação ocorra com o equipamento que o profissional está em campo, será 
necessário calcular os ângulos e distâncias para demarcação do ponto C. 
TOPOGRAFIA APLICADA 106
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Ponto x (m) y (m)
A 152,45 327,12
B 254,11 270,03
C 187,96 215,47
Alinhamento Azimute
AB 119°19’03”
BC 230°29’04”
TABELA 1. COORDENADAS PARA LOCAÇÃO
152,45152,45152,45
254,11254,11
187,96
327,12
187,96
327,12327,12
270,03270,03
215,47215,47
119°19’03”119°19’03”
230°29’04”
119°19’03”
230°29’04”
119°19’03”
230°29’04”230°29’04”
Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2014, p. 24. (Adaptado).
CROQUI
A
B
C
dBC
αABC
Figura 10. Croqui para locação. Fonte: VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2014, p. 24.
Começamos a resolver a problemática calculando a distância entre os pontos 
B e C:
m
TOPOGRAFIA APLICADA 107
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Dessa forma, com o equipamento estacionado no ponto B, o operador de-
verá abrir o azimute de 291°10’01” e buscar a distância de 85,75 m para deter-
minar e locar o ponto C com exatidão. 
Com a distância calculada, partimos para o cálculo do ângulo ABC: 
Cálculo de volume
A alteração da superfície do terreno no local da obra é inevitável, e esse 
processo poderá ser realizado de forma manual, se em pequena quantidade 
e em área pequena, ou mecanizada, nas áreas maiores e com maior volume 
de material movimentado. O cálculo de volume, movimentação de terra ou 
ainda volumetria são utilizados para transformar o terreno natural da área 
de interesse em uma superfície que terá capacidade para receber os mais 
variados projetos.
Este processo de transformação antrópica resultará basicamente em duas 
formas de volume: o corte de material, ou seja, a retirada do volume de terra 
para que a superfície atinja a cota de projeto; e o aterro, em que será deposita-
do material soerguendo a superfície até a cota preestabelecida em escritório. 
Será a partir da combinação desses dois elementos de volume que teremos as 
outras feições ou formas de representação de obra, como perfi l longitudinal 
e transversal, seção tipo, seção transversal, seção paralela, seção de corte e 
aterro, entre outros.
No que diz respeito à abordagem deste assunto, primeiramente veremos o 
cálculo de volume de prismas e sólidos para posteriormente avançar para os 
cálculos de volume utilizados em topografi a, como as alturas ponderadas e a 
cota passagem.
Retomando o conceito apresentado em locações topográfi cas, de-
vemos ter ciência que este também é empregado nos cál-
culos volumétricos ou movimentação de terra, em que, 
de acordo com a NBR 14645-3/05, a locação topográfi ca 
para movimentos de terra é defi nida da seguinte maneira: 
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A partir do apoio topográfi co planialtimétrico, a locação topográ-
fi ca para o movimento de terra, deve compreender a demarcação 
do terreno, dos pontos planialtimétricos defi nidores da geometria 
do projeto, tais como: os taludes de corte e as saias de aterro, os 
patamares de acesso e os limites de transição entre os taludes de 
corte e saias de aterro com o terreno natural (ABNT, 2005, p. 4).
Cálculo de volume em prismas e sólidos 
Relembre as aulas de geometria, em que certamente, em algum momen-
to, houve no quadro um prisma ou um cubo com dimensões quaisquer e o(a) 
professor(a) mencionava que para obter o volume deste objeto seria necessá-
rio calcular sua área e depois relacioná-la à altura da fi gura. Será justamente 
essas formas geométricas abordadas a seguir, e o entendimento e assimilação 
do conteúdo a chave para avançarmos nos cálculos volumétricos aplicados à 
topografi a.
Imagine um cubo com lados equivalente a 5 m. Qual é o volume deste obje-
to? O volume será calculado da seguinte forma: 
A área de um quadrado é seu lado ao quadrado (l²), logo:
Vale relembrar que os prismas podem ser retos, o que ocorre quando pos-
suem arestas laterais perpendiculares à sua base, como, por exemplo, o cubo 
apresentado anteriormente. Existem também os prismas oblíquos, e nestes 
casos o volume será o produto da área de sua base pela altura do objeto. Exem-
plo disso é o volume de um cilindro:
Para cada prisma, de acordo com o número de lados existentes, haverá 
uma fórmula para calcular a área e posteriormente relacioná-la com a altura do 
objeto, obtendo-se assim o volume total. Partindo para o volume dos sólidos, 
existem diversas formas de obter este valor de acordo com a fi gura geométrica 
utilizada. Todavia, serão apresentados na Figura 11 especifi camente dois sóli-
dos, uma vez que estes são os mais utilizados na topografi a.
·
·
· ·
TOPOGRAFIA APLICADA 109
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Volume de um tronco de coneVolume de um cone Volume de um tronco de pirâmide
1 2 3
Figura 11. Volume de sólidos. Fonte: VEIGA; 2007, p. 6.
Figura 12. Marco de concreto. Fonte: VEIGA, 2007, p. 7.
Para calcular o volume de um cone utilizaremos:
Para calcular o volume de um tronco de cone utilizaremos:
Para calcular o volume de um tronco de pirâmide utilizaremos:
Tendo em mente que a terceira fórmula é a mais comum na utilização práti-
ca das áreas da topografia, imagine a situação a seguir. Um marco de concreto 
será implementado em campo, o qual será produzido no local e possui as se-
guintes dimensões: base maior 60 cm, base menor 20 cm e altura 40 cm. Qual 
o volume de concreto necessário para criar o marco? 
20 cm
60 cm
60 cm
40 cm
h = 40 cm
x
20 cm
··
·
R R
rh
h
A2
A1
h
H
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O cálculo será iniciado com o desenvolvimentoda porção restante da pirâ-
mide, ou seja, a pirâmide menor. Por associação e relação geométrica é possí-
vel estabelecer a seguinte correlação:
O volume será dado pela relação pirâmide maior – pirâmide menor, dessa forma:
O volume final do marco de concreto será:
Utilizando diretamente a fórmula apresentada para o cálculo do volume do 
tronco da pirâmide, temos:
A título de conhecimento, a seguir estão listados os equipamentos mais utili-
zados em obras de terra, posto que desta maneira é possível ter noção da capa-
cidade de carga de cada maquinário. Vale ressaltar que os valores podem mudar 
de acordo com o tipo de material e o estado em que o mesmo se encontra. 
60x = 20x + 800 (22)
40x = 800 (23)
x = 20 cm
(25)vmaior = · (Area A · hA)
1 
3
(28)vmenor = · (Area B · hB)
1 
3
(26)vmaior = · (0,602 · 0,60)
1 
3
(29)vmenor = · (0,202 · 0,20)
1 
3
(27)vmaior = 0,072 m³
(30)vmenor = 0,00266 m³
(31)vmarco = vmaior - vmenor
(32)vmarco = 0,072 m³ - 0,00266 m³
(33)vmarco = 0,0693 m³ 
(24)
(34)
 = · (0,216 + 0,008 + 0,216 · 0,008
60
3
(35)
vmarco = 0,0693 m³ (36)
·v
v
TOPOGRAFIA APLICADA 111
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Caminhão caçamba, com dois 
eixos: capacidade de 9 m³
Pá carregadeira: capacidade 
coroada de 1,91 m³
Caminhão caçamba, com um 
eixo: capacidade de 6 m³
Caminhão articulado: 22 m³
Figura 13. Equipamentos utilizados em movimentação de terra. Fonte: VEIGA, 2007, p. 10.
Cálculos de volume empregados na topografia
Quando começamos a trabalhar diretamente com volume na topografi a, é ne-
cessário ter ciência que será muito raro efetuar cálculos a partir de uma fi gura geo-
métrica uniforme ou, ainda, fi guras modelo. Diante de um cenário mais complexo, 
é possível utilizar o método das alturas ponderadas conceituado por Veiga:
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volu-
me deseja-se calcular em sólidos menores, mais fáceis de calcular 
o volume. Estes sólidos são normalmente de base quadrada ou 
triangular. Sua utilização típica é em escavações, podendo, no en-
tanto, também ser aplicado a volume de barragens e outras obras 
de engenharia (2007, p. 11).
TOPOGRAFIA APLICADA 112
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Este método consiste na atribuição de pesos que variam de 1 a 4 aos vér-
tices existentes na malha quadrangular ou triangular criada. Na Figura 14 é 
possível observar mais adequadamente como essa distribuição é realizada. 
Assim, para que seja possível desenvolver o cálculo de volume, devemos antes 
considerar a seguinte formulação que será base para as médias ponderadas: 
Em que:
vol = volume do sólido;
A = área da base;
Z1 ao Z4 = diferença nas arestas do sólido com o terreno.
Exemplificando: imagine um terreno regular de 10 x 10 m e que esteja loca-
lizado acima do nível da rua. As cotas dos 4 pontos foram obtidas através do 
nivelamento geométrico e possuem os seguintes valores: Z1 (87 m), Z2 (88 m), Z3 
(86 m) e Z4 (88 m). O nível da rua está na cota 85 m e será necessário escavar o 
terreno, ou seja, realizar o corte na área. Qual o volume de material retirado? 
Dados:
Cota de projeto = 85 m;
Área do terreno (10 · 10) = 100 m²;
Diferença entre as arestas do nivelamento com a cota do projeto:
Z1 = 87 m - 85 m = 2 m;
Z2 = 88 m - 85 m = 3 m;
Z3 = 86 m - 85 m = 1 m;
Z4 = 88 m - 85 m = 3 m.
Neste momento temos todos os valores para substituir na formulação apre-
sentada: 
Dessa forma, o volume de terra que deverá ser retirado do terreno para que o mes-
mo esteja nivelado com a rua é de 225 m³. No entanto, é necessário ressaltar que são ra-
ras as situações nas quais será gerado apenas um único sólido conforme visto anterior-
mente. Devido a isso, retomamos a Figura 14 para um maior entendimento do método. 
(37)vol = · (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)
A
4
(38)vol = · (2 + 3 + 1 + 3)
100
4
vol = 25 · 9 (39)
vol = 225 m³ (40)
TOPOGRAFIA APLICADA 113
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P1 P2
P4
Figura 14. Método das médias ponderadas. Fonte: VEIGA, 2007, p. 14. (Adaptado).
Na primeira parte da figura, é possível observar o nivelamento sendo realiza-
do e a malha quadrangular sendo composta. Na figura do meio, os pesos foram 
atribuídos de acordo com o compartilhamento de arestas por polígono, ou seja, 
cada quadrado possui quatro lados, e quando algum dos vértices desse quadra-
do também pertence a outro quadrado simultaneamente seu peso é alterado. 
Foram utilizadas três cores: a cor amarela diz respeito aos vértices que não 
são compartilhados, ou seja, pertencem somente a um quadrado, logo, seu 
peso equivale a um; com a cor verde identificamos os vértices compartilhados 
com outro polígono e, dessa forma, esta aresta é utilizada em dois quadrados, 
logo, seu peso será dois; por fim, em azul estão os vértices compartilhados por 
quatro quadrados, sendo assim, seu peso corresponderá a quatro. Com base 
nesse entendimento, observe a fórmula completa para média ponderada:
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Em que:
vol = volume total;
A = área da base do polígono;
ΣZ1 = somatório das arestas de peso 1;
ΣZ2 = somatório das arestas de peso 2;
ΣZ3 = somatório das arestas de peso 3;
ΣZ4 = somatório das arestas de peso 4.
Como agora são atribuídos pesos às somatórias, aquelas de peso 2 serão 
multiplicadas por 2, as de peso 3 serão multiplicadas por 3 e as de peso 4 serão 
multiplicadas por 4. 
Exemplificando: realizou-se um levantamento topográfico do terreno da Fi-
gura 15, onde se deseja rebaixar toda a área para a cota 100 m. Sabe-se que a 
malha quadrada tem 20 m de lado e deseja-se obter o volume de corte na obra. 
109,2 m
107,0 m 105,0 m
103,2 m
107,1 m
103,3 m
101,4 m
105,0 m
Figura 15. Malha quadrangular. Fonte: VEIGA, 2007, p. 15.
Iniciamos o cálculo com a obtenção da área da quadrícula:
(42)A = 20 · 20 = 400 m²
Somatória dos pontos com peso 1:
109,2 - 100 = 9,2 (43)
107,0 - 100 = 7,0 (44)
 105,0 - 100 = 5,0 (45)
(41)vol = · (ΣZ1 + 2ΣZ2 + 3ΣZ3 + 4 ΣZ4)
A
4
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103,2 - 100 = 3,2 (46)
101,4 - 100 = 1 · 4 (47)
Σ1 = 9,2 + 7,0 + 5,0 + 3,2 + 1,4 = 25,8 (48)
Somatória dos pontos com peso 2:
107,1 - 100 = 7,1 (49)
105,0 – 100 = 5,0 (52)
103,3 - 100 = 3,3 (50)
Σ3 = 5,0 (53)
Σ2 = 7,1 + 3,3 = 10,4 (51)
Somatória dos pontos com peso 3:
Com os valores calculados, substituímos na fórmula geral para obter o 
volume:
(55)vol = 6160,0 m³
Outro método que será apenas mencionado é a cota de passagem ou cota 
média. Este método consiste na busca entre o equilíbrio do material escavado 
e o material aterrado, buscando, assim, otimizar e apenas redistribuir o mate-
rial existente no terreno. De acordo com Fróes (2009), após somar separada-
mente as cotas de cada peso e multiplicando-se pelo seu peso, é necessário 
somar todos os resultados e dividi-los pela somatória algébrica dos pesos.
Diferentemente de Fróes, Veiga (2007) utiliza outra metodologia para apre-
sentar a formulação relacionada à cota de passagem: nela são estabelecidas 
relações entre a cota de escavação (Co), o volume (vo) e a cota de passagem (Cp), 
além da área do terreno (A). Para isso:
ASSISTA
Para continuar avançando no conhecimento e nos proce-
dimentos relacionados à cota de passagem, não deixe de 
conferir o vídeo disponibilizado. 
(56)Cp =
∑cota · peso
∑peso
(57)Cp = Co + 
vo 
A
(54)vol =
400
4
· (25,8 + 2 · 10,4 + 3 · 5)
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Agora que avançamos com os cálculos de volume aplicados à topografia, é 
importante conhecer duas últimas termologias e conceitos muito importantes 
relacionados aos materiais escavados, a saber: grau de compactação e fator de 
empolamento de solo.
O fator de empolamento é um fenômeno de expansão volumétrica do solo 
que ocorre quando o mesmo é retirado de seu estado natural,ocasionando, des-
sa forma, um aumento de espaços vazios que irão incidir diretamente no aumen-
to do volume do material (terra solta). Já grau de compactação é entendido como 
sendo um índice comparativo entre as densidades obtidas em laboratório e uma 
amostra de solo retirada na praça de obra. Essa relação deve ser sempre acima 
de 95%.
O conhecimento destes conceitos e de sua aplicação prática é fundamental, 
uma vez que estão relacionados diretamente com a questão orçamentária do pro-
jeto, posto que ambos os fatores alteram o valor obtido no cálculo de volume. 
Assim, é necessário adequá-los às condições de cada material ou solo encontrado.
Para exemplificar: se não considerarmos o fator de empolamento de um solo 
arenoso, estaremos subestimando seu volume total em torno de 25%. Em situa-
ção de rocha matriz após sua detonação, o fator de empolamento é de 50%, ou 
seja, seu volume aumenta 50% daquele calculado inicialmente.
Transfira esse problema não calculado anteriormente em um canteiro de 
obras para a abertura ou duplicação de rodovia, em que há inúmeros quilôme-
tros de obras e uma quantidade colossal de material sendo retirado e aterrado, e 
mensure a diferença orçamentária no final do projeto. Por este motivo, é neces-
sário ter clareza ao aplicar o conceito prático no resultado final do cálculo: dessa 
forma, além de estimar um valor compatível com o real, não se perde tempo e 
reduz-se problemas de logística.
Utilizando a fórmula de Veiga com o exercício resolvido anteriormente, ire-
mos a aplicar e exemplificar na prática como será o valor da cota de passagem. 
Para chegarmos à cota 100 m foi necessário escavar um volume de terra de 
6160,0 m³. A área total levantada é (20 m · 20 m) · 3, logo, 1200 m². Agora, dese-
jamos obter a cota que melhor distribuirá o volume entre corte e aterro.
(59)Cp = 105,13 m
(58)Cp = 100 + 
6160
1200
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Sintetizando
Ao longo desta unidade foram apresentados conceitos referentes às locações 
topográficas e aos cálculos volumétricos. A partir de agora, você conseguirá par-
ticipar de todas as etapas de qualquer projeto relacionado à topografia, desde o 
levantamento inicial à implantação do empreendimento no terreno. 
As locações podem ocorrer nas três dimensões: dessa forma, poderão ser 
locadas feições através da planimetria, altimetria e planialtimetria. Para que a 
locação ocorra, caberá à equipe de escritório responsável pela elaboração do 
projeto enviar os elementos técnicos angulares, lineares ou coordenadas, a fim 
de que o geomensor os introduza no equipamento e demarque o imóvel. 
Você também aprendeu que é possível chamar o cálculo de volume de volu-
metria, em que a mesma será aplicada a sólidos e materiais prismáticos. A movi-
mentação de terra deve ocorrer na esmagadora maioria dos projetos e conhecer 
os cálculos e como calcular o volume é fundamental para o êxito na obra. 
Por fim, cada tipo de solo possui um comportamento físico que irá variar da 
granulometria ao aumento de vazios em sua composição. Para isso, damos o 
nome de grau de compactação e fator de empolamento, sendo ambos respon-
sáveis diretos no valor final do cálculo de volume de terra. Isto se dá porque uma 
porcentagem deverá ser acrescida após a obtenção dos resultados, detalhe que 
trará maior exatidão ao volume de corte e aterro.
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Referências bibliográficas
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