Geom__tica (1)

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Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares
Douglas Tsukamoto
Júlio César Martins Deamo
Luciano Rodrigues
Osmar Ribeiro de Morais
Geomática 
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação 
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Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
G292 Geomática / Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares ... [et al.]. – Uberaba : 
Universidade de Uberaba, 2016. 
 180 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba. 
 ISBN 978-85-7777-593-4
 
 1. Engenharia civil. 2. Geomática. 3. Topografia. I. Soares, 
 Larissa Soriani Zanini Ribeiro. II. Universidade de Uberaba. 
 Programa de Educação a Distância. 
 CDD 624 
 
Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares 
Graduada em Engenharia civil pela Universidade de Uberaba (Uniube). 
Professora de Física e Matemática no Ensino Médio, na rede estadual 
de ensino de Minas Gerais. 
Douglas Tsukamoto
Especialista em Engenharia de segurança do trabalho pela Universidade 
de Uberaba (Uniube). Graduado em Engenharia civil pela Universidade 
de Uberaba (Uniube), e docente nessa área na mesma instituição.
Júlio César Martins Deamo
Tecnólogo em Irrigação e Drenagem pelo Instituto Federal do Triângulo 
Mineiro (IFTM). Mestre em inovação tecnológica (UFMT). Pesquisador 
do Departamento de Engenharia do solo e água do Instituto Federal 
do Triângulo Mineiro (IFTM). Professor da Universidade de Uberaba 
(Uniube). Experiência em Mecânica dos fluidos e instalações de 
bombeamento. 
Luciano Rodrigues
Mestre em Redes de computadores pela Universidade Federal de 
Uberlândia (UFU). MBA em Gestão empresarial pela Fundação 
Getúlio Vargas (FGV). Especialista em Georreferenciamento pela 
Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Graduado em Engenharia 
civil pela Universidade de Uberaba (Uniube) e em Engenharia 
elétrica pela Pontifícia Universidade Católica (PUC Minas). Trabalha 
na Indústria de Telecomunicações e Tecnologia da Informação e como 
Sobre os autores
executivo responsável pela gestão do portfólio de produtos e serviços 
da Algar Tecnologia. Compõe também a equipe de professores do MBA 
em Gerenciamento de projetos da Universidade de Uberaba (Uniube).
Osmar Ribeiro de Morais
Especialista em Educação ambiental pela Faculdade de Zootecnia de 
Uberaba (FAZU). Atualmente é professor na Universidade de Uberaba 
(Uniube). Tem experiência na área de Engenharia civil.
Sumário
Apresentação ....................................................................................... IX
Capítulo 1 Introdução à Topografia........................................................ 1
1.1 Planimetria ................................................................................................................3
1.2 Altimetria ...................................................................................................................3
1.3 Erros em Topografia ..................................................................................................4
1.4 Campo de atuação da Topografia ............................................................................5
1.5 Grandezas de medidas .............................................................................................5
1.5.1 Grandezas angulares ......................................................................................5
1.5.2 Grandezas lineares .........................................................................................5
1.6 Unidades de medida .................................................................................................7
1.6.1 Unidades de medida linear .............................................................................7
1.6.2 Unidades de medida angular ..........................................................................7
1.6.3 Unidades de medida de superfície ................................................................8
1.6.4 Unidades de medida de volume ...................................................................11
1.7 Conversões de medidas .........................................................................................12
1.8 Levantamento com medidas horizontais ................................................................13
1.8.1 Medida direta de distâncias ..........................................................................14
1.8.2 Cuidados nos levantamentos das medidas horizontais .............................. 15
1.9 Procedimentos para levantamentos de distâncias horizontais ............................. 16
1.10 Escala gráfica ...................................................................................................... 17
1.10.1 Principais escalas e suas aplicações ........................................................ 17
1.10.2 Definição da escala de desenho ................................................................ 18
1.11 Rumos e azimutes ............................................................................................... 20
1.11.1 Rumos ........................................................................................................ 20
1.11.2 Azimutes ..................................................................................................... 21
1.11.3 Norte magnético ..........................................................................................22
1.11.4 Declinação magnética ................................................................................23
1.12 Taqueometria ou estadimetria ..............................................................................23
1.12.1 Miras ............................................................................................................23
1.13 Medida de distância ..............................................................................................25
1.13.1 Distância horizontal .....................................................................................25
1.13.2 Distância vertical ou diferença de nível ......................................................26
1.14 Levantamento topográfico – Planimetria ..............................................................26 
1.15 Levantamento da poligonal...................................................................................28
1.15.1 Cálculo da poligonal ....................................................................................30
1.15.2 Verificação do erro de fechamento angular ................................................31
1.16 Cálculo dos azimutes ..........................................................................................31
Capítulo 2 Levantamentos altimétricos ............................................... 33
2.1 Altimetria: conceitos importantes ............................................................................34
2.2 Erro de nível aparente ............................................................................................37
2.3 Nivelamento geométrico .........................................................................................39
2.3.1 Nível ótico......................................................................................................40
2.3.2 Cálculo de cotas ............................................................................................42
2.4 Perfil do terreno ......................................................................................................45 
2.4.1 Declividade entre pontos...............................................................................45
2.5 Curvas de nível .......................................................................................................46
2.5.1 Características das curvas de nível ..............................................................47
2.5.2 Intervalo entre curvas de nível ......................................................................49
2.5.3 Erros de interpretação gráfica nas curvas de nível ......................................51
2.6 Topologia .................................................................................................................52
2.7 Obtenção das curvas de nível ................................................................................53
2.7.1 Interpolação ...................................................................................................54
2.7.2 Levantamento passo a passo .......................................................................55
2.8 Terraplenagem para plataformas ...........................................................................58
2.8.1 Cota de passagem ........................................................................................59
2.8.2 Modelo do terreno .........................................................................................62
Capítulo 3 Altimetria I: fundamentos, curvas de nível e cálculo de 
 volume ................................................................................. 77
3.1 Fundamentos da Altimetria .....................................................................................78
3.1.1 Forma da Terra ..............................................................................................79
3.1.2 Fundamentos altimétricos .............................................................................80
3.2 Nivelamento ............................................................................................................86
3.2.1 Nivelamento trigonométrico ..........................................................................87
3.2.2 Nivelamento geométrico ...............................................................................94
3.3 Curvas de nível .....................................................................................................100
3.4 Greide e seções transversais ...............................................................................107 
3.4.1 Greide ..........................................................................................................107
3.4.2 Seções transversais ...................................................................................108
3.4.3 Cálculo de volumes ....................................................................................110
Capítulo 4 Altimetria II .........................................................................119
4.1 Conceitos básicos de Altimetria ............................................................................121 
4.1.1 Estacionamento de equipamentos topográficos ........................................121
4.1.2 Tabelas de classificação de equipamentos topográficos .......................... 124
4.1.3 Generalidade e definições ......................................................................... 125
4.2 Altimetria................................................................................................................127
4.2.1 Conceitos básicos de Altimetria ................................................................. 127
4.3 Levantamento de curvas de nível ........................................................................ 148
4.3.1 Critérios de levantamento de curvas de nível (procedimentos práticos): . 148
4.3.2 Etapas do levantamento das curvas de nível ............................................ 150
4.3.3 Procedimentos para desenho das curvas de nível ................................... 151
4.3.4 Topologia .................................................................................................... 151
4.3.5 Noções de Cartografia ............................................................................... 153
4.3.6 Escala ......................................................................................................... 154
4.3.7 Seleção de escala ...................................................................................... 155
4.3.8 Projeções cartográficas .............................................................................. 156
4.3.9 Sistema de coordenadas cartográficas ..................................................... 157
4.3.10 Classificação de cartas e mapas ............................................................. 160
Prezado(a) aluno(a).
Embora a Geomática possa ser entendida em um sentido muito amplo, 
envolvendo todas as atividades que operam com a aquisição e o 
gerenciamento de dados esperciais, neste livro, este termo é empregado 
num sentido bem restrito: trata-se daquela parte específica da geomática 
denominada topografia e que rem grande importância para a engenharia 
civil.
Em relação à topografia, você verá que ela é a base para diversos 
trabalhos de engenharia, nos quais é importante o conhecimento das 
formas e dimensões do terreno. Trata-se de conhecimento com ampla 
aplicação no âmbito da engenharia, como, por exemplo, em projetos 
e execução de estradas, em grandes obras de engenharia, como 
pontos, portos, viadutos e túneis, na locação de obras, em trabalhos de 
terraplenagem, no monitoramento de estruturas, no planejamento urbano, 
na irrigação e drenagem, no reflorestamento, etc. Como toda obra de 
engenharia depende do terreno sobre o qual se assenta, é fundamental o 
conhecimento detalhado desse terreno, tanto na etapa do projeto quanto 
na etapa da construção ou execução do mesmo e é a topografia que 
fornece os métodos e os instrumentos que permitem esse conhecimento 
do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.
Em se tratando de um livro sobre topografia, os capítulos que se ocupam 
deste assunto apresentam conhecimentos relativos às duas partes em 
que ela se subdivide, a planimetria e a altimetria. Assim, são abordados 
todos os procedimentos para se representar o terreno em planta, 
tanto os destinados à representação planimétrica como os destinados 
à representação altimétrica. Contudo, é dada maior ênfase ao estudo 
desses últimos.
Apresentação
No primeiro capítulo, será feita uma introdução ao assunto, introduzindo 
os conceitos básicos da topografia, como os conceitos de planimetria e 
de altimetria, a noção de erro em topografia, a noção de grandeza e os 
tipos de grandezas com os quais o engenheiro deve lidar, bem como as 
unidades de medidas. Entrará em contato também com outras noções 
indispensáveis, como a de escala e suas aplicações e a de rumos e 
azimutes. Há também neste capítulo a preocupação de recuperar uma 
série de noções básicas de matemática que o aluno já conhece e que 
serão importantes para o estudo da topografia.
O segundo capítulo se volta mais especificamente para o estudo da 
altimetria. Conhecerá os procedimentos necessários para a realização 
de um levantamento topográfico, como também visualizará a importância 
destes para a elaboração de projetos de engenharia. Verá, ainda, os 
conceitos utilizados no campo da Altimetria, bem como os principais 
métodos de nivelamento topográfico, os instrumentos utilizados e as 
técnicas empregadas nestas medições.
Os dois capítulos seguintes, o terceiro e o quarto, ocupam-se do estudo 
mais detalhado da altimetria. Como esta parte da topografiaestuda os 
métodos e procedimentos que permitem a representação do relevo, você 
aprenderá a medir adequadamente o terreno, calcular as alturas (cotas 
ou altitudes) dos pontos de interesse e representá-los em planta mediante 
uma convenção altimétrica adequada. Neste momento, como o interesse 
se centra na representação altimétrica do terreno, você aprenderá que 
esta pode ser realizada usando-se dois procedimentos: através dos 
pontos cotados e das curvas de nível.
Nossa expectativa é que os conteúdos aqui desenvolvidos, possam 
contribuir para uma sólida formação profissional e que, quando no 
exercício cotidiano de sua profissão, possam ajudá-lo(a) na tomada de 
decisões corretas para a soluções dos problemas que se manifestarem 
tanto na fase de elaboração de seus projetos como na fase de execução 
dos mesmos.
Bons estudos!
Douglas Tsukamoto
Júlio César Martins Deamo
Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares
Introdução
Introdução à TopografiaCapítulo
1
A palavra “topografia” deriva das palavras gregas topos, que signifi-
ca lugar, e graphen, que significa descrever; portanto, topografia 
quer dizer descrição do lugar. 
Topografia é a ciência que estuda todos os acidentes geográficos 
definindo a situação e a localização deles numa área qualquer. 
Tem a importância de determinar analiticamente as medidas de 
área e perímetro, localização, orientação, variações no relevo e, 
ainda, representá-las graficamente em plantas topográficas. 
A Topografia é capaz de descrever o lugar por meio de represen-
tações gráficas de fácil entendimento, que são essenciais para 
elaboração de projetos e execução de obras. São várias as suas 
aplicabilidades na Engenharia Civil:
• é a Topografia que marca os pontos de corte e aterro nas 
obras de terraplenagem, faz a locação das edificações com 
precisão;
• é capaz de orientar a escavação de dois lados da montanha 
para que se construa um túnel, e este túnel se encontrará 
perfeitamente em seu interior;
2 UNIUBE
Ao final dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que 
esteja apto a:
• conceituar Topografia e identificar suas divisões;
• realizar levantamentos de terrenos ou áreas, inclusive suas 
benfeitorias, com a finalidade de confeccionar plantas que 
representam os dados levantados;
• visualizar a importância dos levantamentos para elaboração 
de projetos de engenharia;
• identificar grandezas de medidas e aprender a fazer conver-
sões de medidas;
• calcular áreas e volumes;
• definir escalas de desenho.
• é importante nas construções de pontes, aeroportos, usinas 
hidrelétricas, loteamentos e outras atividades da engenharia 
que necessitem de precisão em seus levantamentos e 
marcações.
A Topografia comporta duas divisões principais, a Planimetria e a 
Altimetria, que serão objeto de nossos estudos.
1.1 Planimetria
1.2 Altimetria
1.3 Erros em Topografia
1.4 Campos de atuação da Topografia
1.5 Grandezas de medidas
1.6 Unidades de medidas
1.7 Conversões de medidas
1.8 Levantamento com medidas horizontais
1.9 Procedimentos para levantamentos de distâncias horizontais
1.10 Escala gráfica
Objetivos
Esquema
 UNIUBE 3
Planimetria1.1
É a representação sobre um plano horizontal de referência da projeção 
dos contornos e acidentes de um terreno (cercas, morros, rios, estradas 
etc.). A representação é realizada utilizando-se a vista superior, e as 
distâncias aparecerão projetadas sobre um mesmo plano horizontal; 
esta representação denomina-se de “planta”, portanto, a planimetria é 
representada por plantas gráficas.
Altimetria1.2
É definida como o conjunto de operações necessárias 
para a determinação das distâncias verticais de um 
local e o método de lançamento dessas grandezas no 
levantamento, cujas representações em relação a um 
plano de referência vertical dão-se por meio de suas 
coordenadas X, Y e Z. Podem ser lançadas sobre 
a representação plana do terreno pelas curvas de 
nível, que representam claramente o relevo em 2D.
Na Altimetria, utilizam-se como representação as vistas laterais, ou perfis, 
ou cortes, ou elevações, que são representadas sobre um plano vertical. 
Nível
Nível, em 
Topografia, 
é a distância 
vertical (altura) 
de um ponto 
relativamente a 
outro ponto pré-
-estabelecido.
Os levantamentos topográficos são definidos e executados em função 
das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente 
levantamentos planimétricos, ou somente levantamentos altimétricos, ou 
ainda, ambos os levantamentos chamados planialtimétricos.
IMPORTANTE!
1.11 Rumos e azimutes
1.12 Taqueometria ou estadimetria
1.13 Medida de distância
1.14 Levantamento topográfico – Planimetria
1.15 Levantamento da poligonal
1.16 Cálculo dos azimutes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Topografia
4 UNIUBE
Erros em Topografia1.3
Os levantamentos topográficos sempre envolvem um nível de erro 
mesmo aqueles realizados por pessoal treinado e utilizando-se técnicas 
apuradas. Os erros ocorridos nas medições topográficas são classificados 
como:
a) naturais: geralmente ocasionados por fenômenos naturais, dentre 
eles: vento, temperatura, pressão atmosférica etc. Muitas vezes, esses 
erros ocorrem de forma sistemática e, por esse motivo, dificilmente 
podem ser evitados. É muito importante estar atento às condições 
ambientais, para que erros pontuais não comprometam a precisão 
do levantamento;
b) instrumentais: esses são ocasionados por 
fatores ligados diretamente aos instrumentos de 
medida utilizados no levantamento. Os principais 
itens que são observados são os erros de aferição 
e calibragem dos instrumentos. Na maioria das 
vezes, os efeitos desses erros podem ser evitados 
ou corrigidos através de manutenção, aferição 
e calibração constante dos equipamentos. Nos 
casos mais complexos de erros, é aconselhável 
encaminhar os equipamentos para assistência 
técnica para efetuar calibração e conserto de 
possíveis defeitos.
c) pessoais: são erros causados por falha humana, 
geralmente por falta de atenção ou de capacitação 
técnica do operador dos instrumentos. Comumente 
pode se notar erros de leitura de ângulos verticais 
ou horizontais, posicionamento inadequado das 
réguas ou miras, leitura incorreta da régua ou trena, 
erro de nivelamento e prumo do instrumento. Esses 
erros grosseiros devem ser evitados, pois na maioria dos casos são 
impossíveis de corrigir, tendo como principal ponto negativo a perda 
de tempo ocasionando a necessidade de se refazer o levantamento 
para se efetuar a correção.
Aferição
 
Verbo aferir, que 
significa avaliar, 
comparar, cotejar, 
medir, conferir 
cada aspecto com 
seu respectivo 
padrão; afilar.
Prumo
 
É o instrumento 
usado para 
detectar se o 
elemento está na 
vertical.
Trena 
É um instrumento 
de medida usado 
para medir 
distâncias.
http://pt.wiktionary.org/wiki/avaliar
http://pt.wiktionary.org/wiki/comparar
http://pt.wiktionary.org/wiki/cotejar
http://pt.wiktionary.org/wiki/medir
http://pt.wiktionary.org/wiki/conferir
http://pt.wiktionary.org/wiki/cada
http://pt.wiktionary.org/wiki/aspecto
http://pt.wiktionary.org/wiki/com
http://pt.wiktionary.org/wiki/seu
http://pt.wiktionary.org/wiki/respectivo
http://pt.wiktionary.org/wiki/padr%C3%A3o
http://pt.wiktionary.org/wiki/afilar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vertical
http://pt.wikipedia.org/wiki/Instrumento_de_medida
http://pt.wikipedia.org/wiki/Instrumento_de_medida
 UNIUBE 5
Na Topografia, nos levantamentos planimétricos e altimétricos, trabalha-
mos com distâncias e ângulos. Na Planimetria, com distâncias horizon-
tais, ângulos horizontais e verticais, e na Altimetria, com distâncias 
horizontais e verticais e com ângulos verticais e horizontais. 
Campo de atuação da Topografia1.4
A Topografia supõe a Terra plana, portanto, resulta em plantas e não 
em cartas. As técnicas topográficas ficam limitadas às diferenças entre 
a superfície plana e a superfície geoidal; caso essas diferenças não 
possam ser desprezadas, sai-se da Topografia e entra-se em outra 
ciência chamada de Geodésia. Em áreas dentrode um raio de 5 km, as 
técnicas da Topografia são perfeitamente aceitáveis para levantamentos 
planimétricos. 
Para realizarmos levantamentos topográficos, com frequência, temos 
que fazer conversões de medidas. Assim, passaremos aos estudos das 
grandezas, unidades e como fazer as conversões de medidas.
Grandezas de medidas1.5
1.5.1 Grandezas angulares
Ângulo horizontal: é o ângulo entre duas linhas ou alinhamentos de um 
terreno, medidos no plano horizontal. Um ângulo horizontal pode ser à 
direita ou à esquerda.
Ângulo vertical: é o ângulo formado entre dois pontos do terreno 
em relação ao plano do horizonte. Os ângulos verticais podem ser 
ascendentes ou descendentes, em função de sua posição em relação 
ao plano de referência, podendo ser em aclive (acima do plano) ou em 
declive (abaixo do plano).
1.5.2 Grandezas lineares
Distância horizontal: é a distância linear medida entre dois pontos, no 
plano horizontal, sem considerar as deformidades do terreno no plano 
vertical (Figura 1).
6 UNIUBE
Figura 1: Distância horizontal.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Distância vertical ou diferença de nível: é a distância medida entre dois 
pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal, 
desconsiderando-se as irregularidades do terreno (Figura 2).
Figura 2. Distância vertical.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Distância inclinada: é a distância medida entre dois pontos inclinados em 
relação à linha horizontal (Figura 3).
Figura 3: Distância inclinada.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
 UNIUBE 7
Ressaltamos que as grandezas representadas pela Planimetria são: distância 
e ângulo horizontais (planta); enquanto as grandezas representadas pela 
Altimetria são: distância e ângulo verticais, representados em planta através 
das curvas de nível ou por meio de um perfil. 
IMPORTANTE!
Unidades de medida1.6
Na Topografia, são medidas duas espécies de grandezas: as lineares e 
as angulares, mas trabalhamos, também, com outras duas espécies de 
grandezas: as de superfície e as de volume.
O sistema de unidades utilizado no Brasil é o métrico decimal, porém, 
em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua 
grande maioria importada, algumas unidades relacionadas, a seguir, 
apresentarão seus valores correspondentes no sistema americano.
1.6.1 Unidades de medida linear
•	 mm, mm, cm, dm, m e km
• polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m 
• pé = 30,48cm = 0,3048 m
• jarda = 91,44cm = 0,9144m
• milha brasileira = 2200 m
• milha terrestre/inglesa = 1609,31 m
1.6.2 Unidades de medida angular
Para as medidas angulares, trabalhamos com o 
grau, grados e radianos; seguem suas relações: 
360° = 400g = 2π
Grados
Uma unidade de 
medida de ângulos 
planos equivalente 
a π/200 radianos ou 
0,9 graus. 
Radiano
É a unidade de 
medida de um 
ângulo. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_plano
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_plano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Radiano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_plano
8 UNIUBE
O valor de PI (π) corresponde a 3,1415926539... É a razão entre o 
comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. 
1.6.3 Unidades de medida de superfície 
Para as medidas de superfície, ou seja, cálculo de áreas, utilizamos 
centímetro quadrado, metro quadrado, hectares, ou alqueire; seguem 
suas relações:
• cm², m² e km²;
• are = 100 m²;
• acre = 4.046,86 m²;
• hectare (ha) = 10.000 m²;
• alqueire paulista = 2,42 ha = 24.200 m²;
• alqueire mineiro = 4,84 ha = 48.400 m².
O alqueire era uma unidade de volume usada para medida de grãos; em 
Minas Gerais, correspondia a 80 litros, e em São Paulo a 40 litros. Essa 
forma de avaliar a área em alqueires foi devido ao plantio de grãos em 
certa superfície, portanto, aquela superfície correspondia à quantidade de 
alqueires de grãos plantados. Hoje, é a unidade de medida de superfície 
agrária equivalente em Minas Gerais, Rio de Janeiro e Goiás, que são de 
4,84 hectares, e, em São Paulo, 2,42 hectares.
Hectare é unidade de medida de superfície com 10.000m². 
SAIBA MAIS
A unidade de superfície é determinada de acordo com o cálculo de áreas. 
Os exemplos mais comuns que podemos observar são as grandezas das 
áreas de terrenos, construções, praças, rodovias, dentre outras.
 UNIUBE 9
O polígono ABCD representa um terreno urbano de uma cidade qualquer. 
Determine a área deste terreno com base na representação da Figura 4 a 
seguir:
Figura 4: Desenho do polígono ABCD.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Resolução
Para calcular a área deste terreno, primeiramente, temos que dividir o 
terreno em duas áreas, de acordo com o croqui representado na Figura 5. 
Agora, basta-nos utilizar as fórmulas para cálculo de áreas.
Figura 5: Desenho do polígono ABCD, dividido em um quadrado e um triângulo. 
Croqui do terreno.
Fonte: Júlio César Martins Deamo
EXPLICANDO MELHOR
10 UNIUBE
• Opção 1
Para cálculo de áreas: 
• Triângulo: Base x Altura
2
• Quadrado: Lado x Lado
Portanto:
Para a parte 1:
• Quadrado: Lado x Lado = 10m x 10m = 100 m²
Para a parte 2:
• Triângulo: Base x Altura
2
 = 10m x 15m
2m
 = 75 m²
Agora, é só somar as áreas e encontraremos como resultado a área do 
terreno, que é 175 m².
• Opção 2
Já que o polígono (terreno) é um trapézio, podemos calcular a área da 
seguinte forma:
(lado maior + lado menor) ( 25m + 10m).10
Área = = = 175 m²
2 2
Nos exemplos dados, podemos notar que são figuras geométricas perfeitas, 
porém, na prática, na maioria das vezes, isso não acontece, pois o que 
encontraremos são áreas das mais variadas formas, portanto o levantamento 
e a determinação das áreas serão mais complexos e necessitarão da 
utilização de métodos mais precisos e específicos.
 UNIUBE 11
1.6.4 Unidades de medida de volume
Para as medidas de volumes, são usados centímetros cúbicos, metros 
cúbicos ou litros; a seguir, suas relações: 
1 m³ = 1.000 cm³ = 1000 l
As medidas de volumes são trabalhadas na engenharia em obras de 
terraplenagem, para calcular o volume de terra a ser trabalhada; também 
trabalhamos com os traços de concreto em volume, e ainda alguns 
materiais são adquiridos em volume. Exemplos: temos os agregados, 
como a areia e britas. 
Imagine um terreno medindo 10 m de frente e 20 m de comprimento, em 
que o fundo do terreno está 50 cm abaixo do nível da frente do terreno. 
Determine o volume a ser aterrado neste terreno, de forma que o fundo do 
terreno fique com 40 cm acima do nível da frente do terreno. Veja, a seguir, a 
representação do perfil deste terreno. Considerando que a frente do terreno 
está na cota 0,0 e o fundo está na cota – 50,0:
Lembre-se de que o aterro é o preenchimento com terra de espaços a serem 
trabalhados, com a devida compactação.
A cota em Topografia é a altura de um ponto relativamente a um plano 
horizontal. 
0,0
– 50,00 cmPerfil do terreno
Resolução
Inicialmente, iremos calcular a área a ser aterrada. Vejamos o perfil, a seguir: 
para calcular esta área, observe que temos 50 cm abaixo do nível da frente 
do terreno e iremos deixá-lo com 40 cm acima, então, temos que aterrar 
90 cm no fundo do terreno. Veja a seguir, o croqui de como ficará o terreno 
após o aterro.
EXEMPLIFICANDO!
http://pt.wikipedia.org/wiki/Topografia
12 UNIUBE
Perfil do terreno depois do aterro
0,0
0,0
+ 40 cm
– 50,00 cm
Observando a figura anterior, temos um triângulo. Com base de 90cm e 
altura de 20m (corresponde ao comprimento do terreno), para o cálculo 
desta área, temos:
= = =
0,90 . 20 9 ²
2 2
Base x Altura m mÁrea m
Considerações:
• as cotas estão em centímetros; devem ser transformadas em metros;
• observe a unidade, metros quadrados é uma unidade de área.
Agora, para calcularmos o volume, basta multiplicarmos a área encontrada 
pela largura do terreno; vejamos:
Volume = 9 m² x 10m = 90m³
Portanto, o volume a ser aterrado é de 90 m³.
Conversões de medidas1.7
A conversão de medida é importante e utilizada quando temos alguma 
informação em umaunidade e queremos saber qual o valor dessa 
medida em outra unidade conhecida. 
 UNIUBE 13
Os aparelhos de televisão estão disponíveis em vários modelos e marcas. 
Possuem tamanho das telas variado: 21”, 29”, 32” 42”, dentre outras. Mas, 
como podemos nos certificar se estamos comprando a televisão correta? 
Para respondermos a essa questão, primeiramente, é necessário conhecer 
que as medidas das telas correspondem às medidas da diagonal desta, ou 
seja, em uma televisão de 29”, as distâncias das diagonais de sua tela têm 
29”. Mas, quantos centímetros têm 29”? Vejamos:
Vamos descobrir a relação entre as medidas. Conforme vimos, uma 
polegada tem 2,54 cm. Agora, basta aplicarmos a regra de três, ou seja:
1” ------------------- 2,54cm
29” ------------------ A cm
Logo 
Portanto, as telas de 29” medem 73,66 cm.
EXEMPLIFICANDO!
Levantamento com medidas horizontais1.8
Neste método, trabalharemos somente com 
a planimetria, com levantamento manual de 
medidas horizontais, para representá-las em 
desenhos em formatos e escalas a serem 
definidos posteriormente. 
Na elaboração de um projeto, a primeira 
necessidade é identificar as dimensões do 
terreno, ou ainda, se já existe uma edificação, 
verificando se o proprietário tem o projeto desta 
edificação. O próximo passo é certificar se as 
Escala
É um método de 
ordenação de 
grandezas físicas e 
químicas qualitativas 
ou quantitativas, 
que permite a 
comparação. Escala 
é uma relação 
existente entre as 
medidas na planta e 
as distâncias lineares 
correspondentes no 
terreno. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica
14 UNIUBE
documentações estão fielmente de acordo com a realidade, porque não 
podemos simplesmente nos basear nos dados das escrituras, e /ou 
do projeto, pois já podem ter realizadas alterações na edificação, sem 
modificações nos documentos.
Portanto, muitas vezes, temos que realizar os levantamentos de terrenos, 
casas, galpões, imóveis comerciais, dentre outros. Neste capítulo, 
aprenderemos como realizar o levantamento com medidas horizontais, 
e quais são os cuidados a serem tomados.
1.8.1 Medida direta de distâncias
É simplesmente medir a distância entre dois pontos conhecidos. Esta 
distância é determinada em comparação a uma grandeza padrão 
previamente estabelecida; no caso do Brasil, utilizamos “metro” ou 
“centímetros” como unidades de medida. Podemos observar o exemplo, 
a Figura 6 a seguir, em que temos dois pontos “A” e “B”, cuja distância 
horizontal entre eles é de 300 centímetros ou 3 metros. 
Figura 6: Distância entre dois pontos.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Para obter as distâncias horizontais, é necessária 
a utilização de ferramenta de medição e alguns 
acessórios de apoio como: balizas e caderneta de 
campo.
• Trenas de aço: ferramentas de medição feitas 
de uma lâmina de aço, graduada em metros, 
centímetros e milímetros, com largura variável de 10 
a 20 mm, comprimento de 3, 5, 8, 20, 30, 60, 100 e 
150 metros, são leves e praticamente indeformáveis.
Baliza
É um 
instrumento 
utilizado pelo 
topógrafo 
(geomensor 
ou agrimensor) 
para elevar 
o ponto 
topográfico 
com objetivo de 
torná-lo visível.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geomensor
 UNIUBE 15
• Balizas: são utilizadas para manter o alinhamento, na medição 
entre pontos; quando há necessidade de se executar vários 
lances, são feitas de madeira ou ferro; arredondadas, sextavadas 
ou oitavadas, são terminadas em ponta guarnecida de ferro, 
comprimento de 2 metros e diâmetro de 16 a 20 mm; são pintadas 
em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para 
permitir que sejam facilmente visualizadas a distância e devem ser 
mantidas na posição vertical.
• Cadernetas de campo: documento onde são registrados todos os 
elementos levantados no campo: croquis dos pontos, distâncias 
horizontais, ângulos e outras anotações importantes e necessárias 
para os trabalhos de Topografia. 
1.8.2 Cuidados nos levantamentos das medidas horizontais
A precisão das distâncias horizontais está relacionada diretamente com 
os cuidados que devem ser observados durante o processo de medição 
das distâncias horizontais. 
a) Escolha da trena: a qualidade da trena é essencial para as medições 
de distâncias horizontais; principalmente com a globalização, é fácil 
encontrar no mercado trenas de má qualidade que se deformam com 
a variação de temperatura, interferindo diretamente no levantamento 
das áreas. Escolha as trenas de aço, com largura de 12 mm.
b) Utilize apenas uma única trena: no levantamento, utilize apenas uma 
única trena, pois pode haver pequena diferença entre uma trena 
e outra; consequentemente, pode interferir no resultado final do 
levantamento.
c) Posição da trena: durante as medições de distâncias horizontais, a 
trena deve estar esticada e nivelada para evitar os erros de medidas. 
Veja as figuras 7 e 8:
d) Balizas: quando for necessária a utilização das balizas no auxílio das 
medidas, estas deverão estar sempre na posição vertical.
16 UNIUBE
Figura 7: Erro devido ao deslocamento “e”.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Observe a Figura 7 e note que, se houver um deslocamento “e” na trena 
durante a medição da distância horizontal, haverá um erro de medição 
para maior.
Figura 8: Erro devido à inclinação da trena.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Observe a Figura 8 e note que as distâncias “a” e “b” são diferentes; 
portanto, deve-se tomar cuidado e manter a trena na posição horizontal 
ao realizar as medições, evitando inclinar a trena e, consequentemente, 
evitando os erros de medições.
Procedimentos para levantamentos de distâncias 
horizontais
1.9
Antes de aprendermos os levantamentos de distâncias horizontais, 
vamos recordar que, por um único ponto, passam infinitas retas; que, por 
dois pontos, passa apenas uma única reta, e que a distância horizontal 
é a distância entre dois pontos no plano horizontal.
Para realizar os levantamentos de distâncias horizontais, devemos 
ter cuidados conforme descritos no item 1.2, anteriormente. Para o 
levantamento de um ponto, devemos ter duas medidas deste ponto para 
amarração no desenho (método da triangulação).
 UNIUBE 17
Para proceder ao levantamento, seguem algumas instruções:
1. inicialmente, temos que fazer a inspeção do local para o conhecimento 
da área;
2. no local, deve-se fazer um croqui na caderneta de campo ou em um 
rascunho, identificando os pontos a serem levantados;
3. definir as referências principais, ou seja, a partir de quais pontos iremos 
realizar as medições;
4. realizar as medições horizontais e anotar na caderneta de campo ou 
rascunhos, lembrando que cada ponto deve ter duas medidas para 
sua amarração.
Após os levantamentos, ou seja, das medições topográficas, temos as 
representações gráficas. Como não podemos desenhar as áreas nas 
dimensões reais, precisamos utilizar as escalas gráficas.
Escala gráfica1.10
A escala gráfica é a representação gráfica de uma escala nominal ou 
numérica. Esta forma de representação da escala é utilizada, principal-
mente, para fins de acompanhamento de ampliações ou reduções de 
plantas ou cartas topográficas. A escala gráfica fornece, rapidamente, 
e sem cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, 
qualquer que tenha sido a redução ou ampliação sofrida por este.
1.10.1 Principais escalas e suas aplicações
Na Tabela 1, temos as principais escalas utilizadas por engenheiros e as 
suas respectivas aplicações.
 
18 UNIUBE
Tabela 1: Escalas utilizadas nos desenhos
APLICAÇÕES ESCALAS
Plantas de terrenos urbanos 1 : 50
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos
1 : 500
1 : 1.000
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou 
industriais
1 : 5.000
1 : 10.000
1 : 25.000
Cartas de municípios
1 : 50.000
1 : 100.000
Mapas de estado, países, continentes etc.
1 : 200.000
1 : 10.000.000
Fonte: Douglas Tsukamoto.
É importante destacarque, dependendo da escala, a denominação da 
representação muda para planta, carta ou mapa. 
1.10.2 Definição da escala de desenho
Para a definição da escala, devemos conhecer:
a) o tamanho da porção de terreno levantado;
b) o tamanho da folha utilizada.
Os tamanhos de folha mais utilizados para a representação da superfície 
terrestre seguem as normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas 
– ABNT, que variam do tamanho A0 (máximo) ao A5 (mínimo).
IMPORTANTE!
Quando a porção levantada e a ser projetada é bastante extensa e, 
se quer representar convenientemente todos os detalhes naturais e 
artificiais a ela pertinentes, procura-se, em vez de reduzir a escala, para 
que toda a porção caiba numa única folha de papel, dividir esta porção 
em partes e representar cada parte em uma folha. É o que se denomina 
representação parcial. 
 UNIUBE 19
A escala de desenho é definida pela seguinte relação: = =
1 IE
M L
 
Em que:
L = representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno;
I = representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o 
papel, e que é correspondente ao comprimento medido sobre o terreno;
M = é denominado Módulo da escala e representa o inverso de (l / L).
O desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as 
medidas obtidas da área sobre o plano do papel.
Imagine um simples terreno de 10m x 20m; teríamos que ter, no mínimo, 
20 m² de papel. Impossível, não é verdade! Portanto, para desenhar, 
devemos utilizar as escalas.
Vamos adotar o papel no formato A4, que tem dimensões de 210mm de 
largura por 297mm de altura. 
Para a escala 1:50, temos:
= = → = → = →
1 1 0,40 40
50 20
I IE I m cm
M L m
Como a maior dimensão da folha A4 tem 0,297m, não é possível desenhar 
na escala 1:50.
Vamos tentar a escala 1:100:
= = → = → = →
= = → = → = →
1 1 0,20 20
100 20
1 1 0,10 10
100 10
I IE I m cm
M L m
I IE I m cm
M L m
Agora sim, para representarmos o terreno de 10 x 
20m, podemos desenhar no papel A4, utilizando a 
escala gráfica de 1:100; para facilitar os desenhos, 
sem necessidade de fazer cálculos de escalas, 
podemos utilizar os escalímetros.
EXEMPLIFICANDO!
Escalímetro
É um instrumento 
na forma de 
um prisma 
triangular, que 
possui 6 réguas 
com diferentes 
escalas. É 
utilizado para 
medir e conceber 
desenhos 
em escalas 
ampliadas ou 
reduzidas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Prisma
http://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gua
http://pt.wikipedia.org/wiki/Escala
20 UNIUBE
Rumos e azimutes1.11
1.11.1 Rumos
Rumo de uma linha é o ângulo formado entre a direção Norte/Sul e a 
linha meridiana, medido a partir do Norte ou a partir do Sul, variando de 
0 a 90° ou 100 grados. O rumo será expresso em função do quadrante 
em que está localizado, pois além do valor numérico, acrescenta-se 
uma sigla cuja primeira letra indica a origem de onde parte o ângulo e a 
segunda letra o ponto de chegada (Figura 9).
• NE = parte do Norte no sentido Leste (Nordeste)
• SE = parte do Sul no sentido Leste (Sudeste)
• SW = parte do Sul no sentido Oeste-West (Sudoeste)
• NW = parte do Norte no sentido Oeste-West (Noroeste)
Figura 9: Siglas representativas dos rumos em função do quadrante.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
 UNIUBE 21
1.11.2 Azimutes
 Azimute de uma linha é o ângulo formado a partir do Norte no sentido 
horário, e varia de 0° a 360° (Figura 10). 
Figura 10: Exemplos de representação dos azimutes.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
• Representação do rumo em função do azimute (Figura 11)
Figura 11: Representação do rumo em função do azimute.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
22 UNIUBE
• 1º quadrante: Rumo = Azimute
• 2º quadrante: Rumo = 180° – azimute
• 3º quadrante: Rumo = azimute – 180°
• 4º quadrante: Rumo = 360° – azimute
• Representação do Azimute em função do rumo (Figura 12)
Figura 12: Representação do azimute em função do rumo.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
• 1º quadrante => Azimute = rumo
• 2º quadrante=> Azimute = 180° – rumo
• 3º quadrante=> Azimute = 180° + rumo
• 4º quadrante=> Azimute = 360° – rumo
1.11.3 Norte magnético
Direção norte de um meridiano magnético, assinalada pela agulha de 
uma bússola imantada. 
 UNIUBE 23
1.11.4 Declinação magnética 
Ângulo formado entre o norte magnético e o norte geográfico. O norte 
magnético é variável, logo o ângulo de declinação também varia. 
Taqueometria ou estadimetria1.12
As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos. 
Com o teodolito, realiza-se a medição do ângulo vertical ou ângulo 
zenital, o qual, em conjunto com as leituras efetuadas, será utilizado no 
cálculo da distância. Observe as figuras 13, 14 e 15, a seguir, que lhe 
dará a sequência de uma leitura estadimétrica. 
1.12.1 Miras
As miras estadimétricas são réguas graduadas centimetricamente, 
ou seja, cada espaço branco ou preto (Figura 13) corresponde a um 
centímetro. Os decímetros são indicados ao lado da escala centimétrica. 
Na mira, a seguir (Figura 14), os números 1, 2, 3 etc. correspondem, 
respectivamente, a 1 decímetro, 2 decímetros, 3 decímetros e assim 
por diante. A escala métrica é indicada com pequenos círculos 
localizados acima da escala decimétrica, sendo que o número de 
círculos corresponde ao número de metros, como pode ser visto acima 
do número I e II (figuras 13 e 14). Isso quer dizer que esta parte da mira 
está, aproximadamente, a 1 e 2 metros do chão, respectivamente.
Na mira, são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos (superior, 
médio e inferior). Para o exemplo da Figura 13, estas leituras são:
Superior: 1,300m
Médio: 1,150m
Inferior: 1,000m
24 UNIUBE
Figura 13. Leitura dos fios estadimétricos
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Figura 14: Mira.
Fonte: Adaptado de 
Júlio César Martins 
Deamo.
 UNIUBE 25
Figura 15: Aplicação prática do teodolito.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Medida de distância1.13
Na Planimetria, existe a necessidade de medir as distâncias entre os 
pontos que se pretende representar em um plano horizontal.
As distâncias podem ser avaliadas direta ou indiretamente. Medição 
direta é aquela em que se aplica diretamente sobre o terreno um 
instrumento que permita marcar distâncias (trena, fita métrica etc.) e 
medição indireta ou estadimétrica, quando se calcula com o auxílio da 
trigonometria, a distância desejada. 
1.13.1 Distância horizontal
A distância horizontal pode ser obtida através do método direto ou por 
estadimetria, utilizando mira e teodolito (método indireto). Depois de 
obtidos os dados de campo, encontraremos a distância horizontal através 
da fórmula:
DH = 100 ×H × cos²α + C,
26 UNIUBE
em que:
DH = distância horizontal; 
H = retículo superior – retículo inferior; 
α = ângulo da inclinação da luneta; 
C= Constante do instrumento (para o caso de instrumentos precisos C=0).
1.13.2 Distância vertical ou diferença de nível
Assim como na determinação das distâncias horizontais, as distâncias 
verticais podem ser obtidas por meio de métodos diretos (trena, corrente 
de agrimensor etc.) ou indiretos (teodolito e mira). Porém, a obtenção das 
distâncias é realizada pela seguinte fórmula:
 x TAN i – Fm,= +DN DH a
em que:
DN = diferença de nível ou distância vertical;
α = 90º - ângulo vertical;
i = altura do aparelho;
Fm = fio médio.
Levantamento topográfico – Planimetria1.14
Para realizar o levantamento topográfico, é necessário determinar pontos 
de apoio, e, a partir desses pontos, é possível representar os demais 
pontos e assim determinar a área levantada. A representação topográfica 
da área está baseada nos pontos levantados a serem medidos e para os 
quais são determinadas as coordenadas.
O levantamento é realizado pelo método de caminhamento, medindo-se 
todos os ângulos e lados, tendo-se uma orientação inicial, sendo assim 
possível calcular as coordenadas de todos os pontos que formam a 
poligonal. Essas coordenadas de cada ponto são obtidas pela projeção 
ortogonal no plano cartesiano em X eY. As coordenadas do eixo Z são 
determinadas pela Altimetria.
 UNIUBE 27
Para a determinação das coordenadas de cada ponto, deve-se fazer a 
projeção tanto no eixo X (ordenadas) quanto no Y (abscissas). Na Figura 
16, temos os seguintes dados:
ΔX = projeção do ponto B no eixo X
ΔY = projeção do ponto B no eixo Y
A = distância horizontal entre os pontos C e D
Figura 16: Representação da projeção da distância A em X (ΔX) e em Y (ΔY).
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Com base na Figura 16, e utilizando os conceitos da trigonometria plana, 
é possível calcular as projeções de cada ponto, tanto no eixo X quanto 
no eixo Y; para isso, devemos aplicar as seguintes fórmulas:
ΔX = A . sen Az
ΔY = A . cos AZ, em que,
A= distância horizontal entre os dois pontos;
ΔX = projeção do ponto em X;
ΔY = projeção do ponto em Y;
Az= azimute da direção.
28 UNIUBE
Figura 17: Representação da poligonal fechada.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Levantamento da poligonal1.15
No levantamento topográfico, podemos encontrar diversas possibilidades 
de obtenção do posicionamento dos pontos, sendo que o principal método 
é a leitura por irradiação, na qual podemos determinar as poligonais que 
podem ser abertas ou fechadas. Nesse capítulo, abordaremos somente 
a poligonal fechada por ser o método mais empregado. Para definirmos 
uma poligonal, é necessário efetuarmos a medição dos ângulos formados 
por seus lados. Geralmente, determinamos os ângulos externos da 
poligonal.
As poligonais fechadas são aquelas que partem de um ponto com 
coordenadas conhecidas e retornam ao mesmo ponto (Figura 17).
 UNIUBE 29
Poligonais abertas são aquelas que partem de um ponto conhecido e 
terminam em um ponto cuja coordenada se deseja determinar (Figura 18).
Figura 18: Representação da poligonal aberta.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Para determinar uma poligonal, é necessária a definição dos ângulos 
formados por seus lados. Esses ângulos podem ser determinados pelos 
ângulos internos (Figura 19) ou externos (Figura 20) à poligonal. 
Figura 19: Ângulos internos.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
Figura 20: Ângulos externos.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
30 UNIUBE
Em que:
Az: azimute da direção CD;
A: distância horizontal entre os pontos C e D;
Xo e Yo: coordenadas do ponto C;
X1 e Y1: coordenadas do ponto D.
As coordenadas do ponto D serão dadas por:
X1 = Xo + ΔX 
Y1 = Yo + ΔY, 
em que ΔX e ΔY são calculados por:
ΔX = A . sen (Az) 
ΔY = A . cos (Az) 
A partir da coordenada do ponto D, será possível calcular a coordenada 
do próximo ponto, e assim por diante.
Figura 21: Cálculo das coordenadas.
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
1.15.1 Cálculo da poligonal
Com base nos dados de campo (ângulos e distâncias), na orientação 
inicial e nas coordenadas do ponto de partida, podemos calcular as 
coordenadas de todos os pontos da poligonal. Inicia-se o cálculo a partir 
do ponto C. A Figura 21 ilustra o processo de cálculo.
 UNIUBE 31
1.15.2 Verificação do erro de fechamento angular
Antes de calcular o azimute das direções em uma poligonal fechada, 
é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Como o próprio 
nome sugere, a poligonal fechada forma um polígono fechado, por isso é 
possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos. Em um 
polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a:
somatório dos ângulos medidos = (n + 2) . 180º
em que n é o número de pontos (estações) da poligonal.
O erro angular (ea) será dado por:
ea = somatório dos ângulos medidos – (n + 2).180º .
O somatório dos ângulos internos deverá ser igual a:
somatório dos ângulos medidos= (n – 2) . 180°
Cálculo dos azimutes 1.16
De posse do azimute do primeiro alinhamento da poligonal (medido ou 
calculado), faz-se o transporte para os demais alinhamentos por meio 
da relação:
Azc = Aza + e < 180° (somam-se 180°)
Azc = Aza + e > 180° e < 540° (subtraem-se 180°)
Azc = Aza + e > 540° (subtraem-se 540°)
em que:
Azc = azimute calculado;
Aza = azimute do alinhamento anterior;
e = ângulo externo.
Para verificar se o transporte do azimute foi realizado corretamente, o 
azimute de chegada encontrado deve ser igual ao azimute de saída.
32 UNIUBE
Resumo
Neste capítulo, vimos a Topografia enquanto ciência que descreve 
geometricamente determinado local; sendo a base para todas as 
atividades que consideram a posição geográfica, ou seja, nos mais 
variados ramos (Engenharias, Arquitetura, Urbanismo, Geografia, 
Agronomia etc.).
A área da Topografia tem importância significativa no que diz respeito a 
projetos (Hidráulica, Estruturas, Construção). A Topografia é uma área de 
estudo e aplicação essencial para a descrição, concepção e cálculo de 
projetos e intervenções de obras de dimensão apreciável, bem como a 
avaliação do impacto ambiental na área a ser construída. Com o auxílio 
da Topografia, obras podem ser implantadas e posicionadas de forma 
mais rápida e segura. Essas técnicas são integradas em processos de 
controle de qualidade em todas as fases da obra e permitem o rigor 
posicional, bem como o nivelamento.
Referências
BORGES, Alberto de Campos. Topografia aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1977.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Edições Engenharia e Arquitetura, 1979. 
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Porto Alegre: Editora Globo, 1965.
Douglas Tsukamoto
Júlio Cesar Martins Deamo
Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares
Introdução
Levantamentos altimétricosCapítulo
2
A Altimetria é o ramo da Topografia que define os meios e instru-
mentos empregados no estudo e representação do relevo do solo. 
Para se estudar um terreno, é preciso determinar as alturas dos 
pontos que definem a Altimetria, relacionados a uma superfície de 
comparação. 
A Altimetria tem por finalidade determinar a distância vertical ou o 
desnível entre os pontos. Conhecendo-se um valor de referência 
inicial, é possível calcular as demais cotas ou altitudes.
A determinação das diferenças de nível entre dois pontos é 
possível com os seguintes métodos:
• nivelamento geométrico;
• nivelamento trigonométrico.
No campo da Engenharia, é fundamental a determinação da 
cota (altitude) para a elaboração de projetos, como, por exemplo, 
projetos de redes de esgoto, planejamento urbano, dentre outros.
Ao final dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que 
esteja apto(a) a:
• conceituar Altimetria, topologia, altitude e cota;
• identificar o erro de nível aparente;
Objetivos
34 UNIUBE
• fazer o nivelamento geométrico;
• conhecer o nível óptico;
• calcular declividades;
• fazer levantamentos altimétricos;
• identificar os métodos de obtenção de curvas de nível;
• caracterizar curvas de nível;
• identificar os erros de interpretação gráfica;
• realizar terraplenagem para plataformas.
2.1 Altimetria: conceitos importantes
2.2 Erro de nível aparente
2.3 Nivelamento geométrico
2.4 Perfil do terreno
2.5 Curvas de nível
2.6 Topologia
2.7 Obtenção das curvas de nível
2.8 Terraplenagem para plataformas
Esquema
Altimetria: conceitos importantes2.1
Relembrando o conceito de altimetria, temos que a altimetria compreende 
o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos 
e feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano 
horizontal de referência, terão suas representações em relação a um 
plano de referência vertical por meio de suas coordenadas X, Y e Z. 
 UNIUBE 35
Em outras palavras, Altimetria é o ramo da Topografia que estuda de 
maneira metódica a representação do relevo de um terreno, tendo como 
objetivo complementar as informações obtidas através do levantamento 
planimétrico, uma vez que a maioria dos acidentes geográficos de um 
terreno não pode ser mostrada com clareza tomando-se como base 
somente a planimetria. 
Como foi visto no capitulo anterior, a Planimetria 
é orientada somente pelas dimensões planas, ou 
distância entre dois ou mais pontos, sem considerar 
as diferenças de nível existentesentre eles. Já na 
Altimetria, além da distância entre pontos, também 
são consideradas as alturas de cada ponto, podendo 
com isso, determinar a forma volumétrica de uma 
determinada porção da superfície terrestre.
Chama-se altura de um ponto, em Altimetria, o 
comprimento da perpendicular baixada deste ponto 
sobre um plano horizontal qualquer, denominado 
superfície de nível de comparação. 
A determinação da altura de um ponto corresponde, portanto, à 
medição de uma distância realizada em direção vertical.
Na Altimetria, utilizam-se como representação as vistas laterais, ou perfis, 
ou cortes, ou elevações, que são representadas sobre um plano vertical. 
A única exceção são as curvas de nível, que são representadas em 
plantas, e capazes de representar claramente a Altimetria.
Estudaremos o nivelamento, que é a operação que determina as 
diferenças de nível ou distâncias verticais entre pontos do terreno. O 
nivelamento destes pontos, porém, não termina com a determinação do 
desnível entre eles, inclui, também, o transporte da cota ou altitude de 
um ponto conhecido para os pontos nivelados.
Para entendermos melhor os levantamentos altimétricos, vamos definir 
altitude e cota:
Perpendicular
Diz-se da reta 
que forma 
ângulos 
adjacentes iguais 
com outra ou 
com as que, 
pertencendo a 
um mesmo plano, 
passam pelo 
ponto em que ela 
intercepta esse 
plano em um 
ângulo de 90º.
36 UNIUBE
Para definirmos a altitude de qualquer ponto ou localidade na 
superfície da terra, adotamos como padrão a distância vertical dessa 
superfície ou ponto em relação à superfície média dos mares, que 
é adotada como altitude zero, também conhecida como geoide. 
Quando temos os jogos de futebol da Seleção Brasileira, na Bolívia, 
os comentaristas e narradores de futebol sempre comentam sobre a 
altitude naquele país, especialmente quando a partida será realizada 
na cidade de La Paz, que está a uma altitude de 3.660 metros; em 
outras palavras, a cidade de La Paz está a 3.660 metros acima do 
nível do mar.
A cota de um ponto ou localidade corresponde à distância vertical 
desse ponto ou localidade em relação a uma superfície ou ponto 
tomado como referência, que não necessariamente é a superfície 
média dos mares. Pode-se adotar qualquer ponto próximo ao local 
onde se deseja efetuar o levantamento altimétrico como referencial.
Observe a Figura 1 a seguir:
Figura 1: Representação de altitude e cota.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Considerações:
• ponto A: nível do mar;
• ponto B: localização de uma cidade qualquer;
• ponto C: ponto mais alto de uma montanha qualquer.
 UNIUBE 37
Observando a Figura 1, podemos notar claramente a diferença entre 
altitude e cota; quando falamos de altitude, o nosso referencial sempre 
será o mar, e quando falamos de cota, nós adotamos o referencial 
vertical. 
Temos que o Everest é a montanha mais alta do mundo, e seu pico está na 
altitude de 8.844,43 metros; já, Uberaba, cidade onde se localiza a matriz da 
Universidade de Uberaba (Uniube), está na altitude de 823 metros, portanto 
podemos dizer que o pico do Everest está na cota de 8.021,43 metros acima 
da cidade de Uberaba.
EXEMPLIFICANDO!
Erro de nível aparente2.2
Erro cometido quando se substitui a superfície de nível verdadeira 
pela superfície de nível aparente, também conhecido como erro de 
esfericidade, pode ser demonstrado aplicando-se a seguinte equação:
e = 0,0000000661*D2
em que:
e= erro de nível aparente;
D= distância em metros entre os dois pontos visados.
Atribuindo a D os valores constantes da Tabela 1, obtemos os seguintes 
valores para o erro de nível aparente: 
Observe a Figura 2 a seguir.
Figura 2: Representação do nível aparente – traço NM.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
38 UNIUBE
Ao analisarmos a Figura 2, podemos notar que a superfície de nível 
verdadeiro é representada pelo arco de circunferência que passa pelos 
pontos X e Y. Tal superfície foi obtida através de um corte do geoide da 
terra (superfície ideal de terra) em um plano vertical. Com base nessa 
informação, pode-se concluir que ambos os pontos X e Y estão situados 
sobre a mesma superfície de nível verdadeiro, sendo suas altitudes iguais 
a zero, e, portanto, não existindo diferença de nível entre eles.
Agora, considerando que a altitude do Ponto Y não seja conhecida, 
como podemos determiná-la?
Para isso, observe agora a Figura 3.
Figura 3: Determinação da altitude de um ponto.
Fonte: Desenho de Júlio Cesar Martins Deamo
A Figura 3 mostra como se deve proceder para determinação da altitude 
do ponto Y. Primeiramente, devemos colocar uma mira em posição 
vertical no ponto Y. No ponto X, estaciona-se um instrumento adequado 
(teodolito, nível de engenharia, estação total etc.) que, devidamente 
nivelado, dará a horizontal NM, correspondente à superfície de nível 
aparente que irá interceptar a mira em um ponto Z, e não em Y, pois o 
arco XY não pode ser determinado pelos aparelhos de topografia.
 UNIUBE 39
Em razão disso, nos procedimentos práticos adotados 
em Altimetria, deve-se substituir a superfície de nível 
verdadeira, representada pelo arco XY, por outra 
formada pelo plano horizontal correspondente ao plano 
de visada dos níveis, cuja interseção com o plano 
vertical da Figura 2 dá o traço NM. 
Assim, visando de X a mira colocada no ponto Y, vê-se este ponto mais 
baixo do que o ponto X. Como, na realidade, os dois pontos considerados 
A e B estão situados na mesma superfície de nível, e, portanto, em nível, 
a distância YZ representa, pois, o erro de nível aparente que se comete 
por causa da curvatura da superfície de nível verdadeira e por sua 
necessária substituição pela superfície de nível aparente NM.
Nivelamento geométrico2.3
O método de nivelamento geométrico consiste em leituras de réguas ou 
miras graduadas. Os aparelhos utilizados devem ser estacionados à meia 
distância entre os pontos (ré e vante), dentro ou fora do alinhamento a 
medir. 
A determinação das diferenças de nível entre os diversos pontos de um 
terreno é denominada, em Topografia, de nivelamento, que nada mais é 
do que a determinação da diferença de nível existente entre dois ou mais 
pontos de um terreno. Essa operação topográfica necessita ser realizada 
utilizando-se métodos e instrumentos adequados.
No nivelamento geométrico (direto), as diferenças de nível entre os 
pontos são determinadas por instrumentos que permitem a criação de 
linhas retas no plano horizontal entre a mira e o instrumento utilizado. 
Nesse método, geralmente mantém-se o instrumento estacionado e 
percorre-se o terreno mudando a mira de posição, colocando-a nos 
pontos topográficos desejados e, pela leitura do instrumento nesses 
pontos, determina-se as alturas em cada um deles e, pela diferença 
entre os valores encontrados, pode-se chegar às diferenças de nível 
procuradas (COMASTRI; JÚNIOR, 1990).
Interseção
 
Ponto em que 
se cruzam 
duas linhas ou 
superfícies. 
40 UNIUBE
Os equipamentos que podem ser utilizados para realizar os nivelamentos 
geométricos são:
• Nível ótico; 
• Nível digital;
• Nível a laser.
A modernidade e a funcionalidade são as diferenças 
entre os equipamentos citados anteriormente. O 
equipamento mais moderno é o nível a laser, que 
é um nível automático cujo funcionamento está 
baseado na tecnologia do infravermelho, e o aparelho 
de nível digital funciona baseando-se no processo 
digital de leitura, ou seja, num sistema eletrônico de 
varredura e interpretação de padrões codificados.
Em nossos estudos, utilizaremos o aparelho de nível óptico como referên-
cia, pois tem a mesma eficiência, e, pedagogicamente, é melhor para 
trabalhar. É um equipamento simples, de fácil manuseio. Assim, vejamos 
com detalhes esse aparelho:
2.3.1 Nível ótico
É um aparelho constituído de:
• suporte munido de três parafusos niveladores (calantes);
• barra horizontal;
• luneta fixada ou apoiada sobre a barra horizontal;
• nível de bolha circular para o nivelamento da base.
O manuseio do aparelho de nível ópticoé simples. Basta fixá-los sobre 
o tripé de forma que sua base fique na posição horizontal; depois, por 
meio dos parafusos niveladores (girando para direita ou esquerda), você 
deverá calibrá-lo. O aparelho estará calibrado quando olharmos para 
o nível de bolha, e a bolha estiver no centro. Depois disso, podemos 
iniciar as leituras das distâncias verticais com o auxílio da mira ou régua 
graduada.
Varredura
Ato ou efeito de 
varrer; varrida, 
varrição. 
No caso 
empregado, 
tem o sentido 
de verificação 
de toda área.
 UNIUBE 41
Os nivelamentos geométricos podem ser simples ou compostos; o método 
a ser utilizado será determinado pelo perfil da área a ser levantada.
• Nivelamento geométrico simples
Neste método, instala-se o aparelho de nível uma única vez em um ponto 
estratégico, para realizar as leituras de todos os pontos.
Portanto, deve-se tomar o cuidado para que o desnível entre os pontos não 
exceda o comprimento da régua ou mira, que é de quatro metros.
IMPORTANTE!
Observe a Figura 4, a seguir:
Figura 4: Representação do aparelho de nível instalado para realizar o nivelamento altimétrico.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
• Nivelamento geométrico composto
Este método exige que se instale o aparelho de nível mais de uma vez, 
faz-se necessário quando o desnível do terreno entre os pontos a nivelar 
é superior ao comprimento da mira. Lembrando que o comprimento da 
mira é de quatro metros. Vide Figura 5. 
42 UNIUBE
Figura 5: Representação das instalações do aparelho de nível para realizar o 
nivelamento altimétrico composto.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Observe a Figura 5; considerando as linhas mais espessas representando 
as miras, note que, com o aparelho de nível instalado no ponto “B”, não é 
possível realizar a leitura no ponto “G”, pois o ponto “G” está abaixo, em 
uma cota inferior, mais distante que quatro metros do ponto B, portanto é 
necessário reinstalar o aparelho de nível em outro ponto para prosseguir 
as medições.
Neste método, instalamos o aparelho de nível e medimos as distâncias 
verticais dos pontos; estes pontos são denominados de “vantes”; quando 
mudamos o aparelho de nível de lugar, antes de medir os demais pontos, 
é necessário medir a distância vertical de um ponto já medido. A este 
ponto, denomina-se “ré”.
2.3.2 Cálculo de cotas
Foi realizado um nivelamento geométrico em uma área qualquer e 
obtiveram-se as seguintes leituras na tabela 1:
Tabela 1: Leituras obtidas do nivelamento geométrico
Pontos Leituras (cm)
B 223
C 192
D 162
E 218
F 247
Fonte: Douglas Tsukamoto.
 UNIUBE 43
Após a instalação do aparelho de nível, mediu-se a altura, que foi de 150 cm. 
Observe o croqui do levantamento na Figura 6:
Figura 6: Representação da instalação do aparelho de nível.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Adotando-se a cota do ponto ”A” de 10 m, temos:
Cota do ponto “B” = Cota A + Altura do aparelho - Distância vertical
Cota do ponto “B” = 10 + 1,5 – 2,23 = 9,27 m
Repetindo os cálculos para os demais pontos, temos:
Cota do ponto “C” = 10 + 1,5 – 1,92 = 9,58 m
Cota do ponto “D” = 10 + 1,5 – 1,62 = 9,88 m
Cota do ponto “E” = 10 + 1,5 – 2,18 = 9,32 m
Cota do ponto “F” = 10 + 1,5 – 2,47 = 9,03 m
Agora, temos um exemplo na tabela 2 com o nivelamento geométrico 
composto. Depois de realizado o nivelamento geométrico composto em 
uma área qualquer, obtiveram-se as seguintes leituras:
44 UNIUBE
Tabela 2: Leituras obtidas do nivelamento geométrico composto
Pontos
Leituras (cm)
Ré Vante
A – 30
C 120
D 240
E 20 360
G 150
H 180
I 200
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Durante as instalações do aparelho de nível, mediram-se as alturas 
do aparelho instalado; no ponto “B”, foi de 150 cm, e, no ponto “F”, foi 
instalado na altura de 155 cm, e observe que para o ponto de “ré” foi 
adotado o ponto E; portanto, no ponto E temos duas medições. Observe 
o croqui do levantamento na Figura 7:
Figura 7: Nivelamento geométrico composto.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Adotando a cota do ponto “B”, de 20 m, temos:
Cota do ponto “A” = Cota B + Altura do Aparelho - Distância vertical
Cota do ponto “B” = 20 + 1,5 – 0,3 = 21,20 m
 UNIUBE 45
Repetindo os cálculos para os pontos C, D e E, temos:
Cota do ponto “C” = 20 + 1,5 – 1,20 = 20,30 m
Cota do ponto “D” = 20 + 1,5 – 2,40 = 19,10 m
Cota do ponto “E” = 20 + 1,5 – 3,60 = 17,90 m
Para calcularmos as cotas dos pontos G, H e I, temos de, primeiro, 
calcular a cota do ponto F. Observando o croqui anterior, podemos 
deduzir que:
Cota do ponto F = Cota do ponto E + Distância vertical (Ré) – Altura do aparelho
Cota do ponto F = 17,90 + 0,20 – 1,55 = 16,55 m
Calculando as cotas dos pontos G, H e I.
Cota do ponto G = cota do ponto F + altura do aparelho - distância vertical
Cota do ponto G = 16,55 + 1,55 – 1,50 = 16,60 m
Cota do ponto H = 16,55 + 1,55 – 1,80 = 16,30 m
Cota do ponto I = 16,55 + 1,55 – 2,00 = 16,10 m
Perfil do terreno2.4
O perfil é a representação gráfica do nivelamento e a sua determinação 
tem por finalidade o estudo do relevo por meio das curvas de nível, ou 
ainda, o estudo da declividade para projetos de engenharia e arquitetura.
2.4.1 Declividade entre pontos
A declividade entre dois pontos do terreno é a relação entre a distância 
vertical e a horizontal entre eles; em porcentagem, a declividade é dada por:
d(%) = DV x 100
DH
46 UNIUBE
Sendo:
d – declividade;
DV – distância vertical;
DH – distância horizontal.
O perfil, a seguir, é de uma área qualquer; as cotas são dadas em centímetros. 
Calcule a declividade desta área.
Resolução:
d(%) = DV x 100 = 0,50 x 100 = 4,17%
DH 12
Logo, a declividade do terreno é de 4,17%. Portanto, podemos dizer que 
este terreno tem a declividade de 4,17%.
EXEMPLIFICANDO!
Curvas de nível2.5
São as linhas que representam a ligação de todos os pontos de um 
terreno que se encontram no mesmo nível (cota) ou altitude. Na 
planimetria, por se tratar de uma representação gráfica perfeita (projeção 
horizontal), pode-se representar os ângulos em sua verdadeira grandeza 
com abertura e distâncias exatas. Na Altimetria, para se obter uma 
visualização do perfil exato do terreno, deve-se usar além da vista 
superior (planta), a vista frontal (elevação), vista lateral (perfil), corte etc. 
Porém, isso é insuficiente para se ter uma visão panorâmica do terreno. 
Isso se deve ao fato de um terreno ser formado por inúmeras camadas 
 UNIUBE 47
de solo, cada uma com sua cota e direção. Por 
esse motivo, as curvas de nível são representadas 
na planta abrangendo uma determinada área, 
o que permite que os profissionais da área tenham 
uma visão imaginária da sinuosidade do terreno. 
Essa representação gráfica permite a representação 
de todos os acidentes geográficos presentes no terreno 
(encostas, espigões, divisores de água pluviais etc.) (BORGES, 1992).
2.5.1 Características das curvas de nível
1. São as linhas que representam a ligação de todos os pontos de um 
terreno que se encontram no mesmo nível (cota) ou altitude.
2. A diferença de altitude entre duas curvas de nível consecutivas é 
denominada de intervalo entre curvas de nível.
3. Em uma mesma representação gráfica, o intervalo entre curvas de 
nível deve ser constante.
4. Pelo fato de sempre representarem altitudes diferentes, as linhas que 
representam as curvas de nível nunca se cruzam.
5. Quanto maior a declividade do terreno, maior será a proximidade 
entre as curvas, não obstante, quanto mais distantes uma curva da 
outra, menor será a declividade do terreno.
A Figura 8, a seguir, ilustra uma planta altimétrica com curvas de nível. 
Observe que o intervalo entre as curvas é de dois metros. Os intervalos 
entre curvas de nível devem ser constantes na representação gráfica.
Sinuosidade
Qualidade 
ou estado 
de sinuoso; 
tortuosidade.
48 UNIUBE
A Figura 9, a seguir, ilustra a planta altimétrica com curvas de nível, e, 
logo a seguir, a representação gráfica do perfil do terreno ou também 
chamado de elevação. Observando o perfil, notamos que as curvas de 
nível representam um “monte”com as extremidades no nível mais baixo, 
e o centro com cotas maiores.
Figura 9: Perfil do terreno, de acordo com as curvas de nível 
da Figura 8.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
Figura 8: Representação de curvas de nível.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
 UNIUBE 49
Agora, observe na Figura 10, o que acontece se invertermos as cotas e 
na mesma representação gráfica. Agora, o perfil do terreno se tornou um 
fundo de vale, ou seja, as extremidades estão com cotas mais altas e o 
centro com cotas inferiores. 
Figura 10: Perfil do terreno, com a inversão das curvas de 
nível da Figura 8.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
2.5.2 Intervalo entre curvas de nível
Para representação das curvas de nível, usualmente adotam-se intervalos 
em sequência de 1, 2 e 5 metros, ou seus múltiplos:10m, 200m, 500m. 
A escolha do intervalo varia basicamente em função da declividade do 
terreno e da escala na qual esse terreno será representado, sendo que, 
por convenção, para as escalas até 1:1000 usa-se o intervalo de 1m, 
escalas até 1:2000 o intervalo deve ser de 2m, e assim por diante.
Para plantas em escala maiores do que 1;1.000, que é o caso de lotes 
urbanos, podemos usar intervalos menores do que 1m, ou seja, 0,5m ou 0,2m.
Portanto, as representações gráficas das curvas de nível são de extrema 
importância, e ainda são as únicas capazes de representar a altimetria 
em planta.
50 UNIUBE
Vejamos, na Figura 11, o caso de um lote urbano, de 12m de frente 
por 30m da frente aos fundos, cujas cotas aparecem na Figura 12, em 
escala 1:200. As curvas de nível, com intervalo de 0,5m, foram obtidas 
por interpolação, operação que será explicada mais adiante. As cotas 
dos vértices do terreno foram obtidas por levantamento topográfico.
Figura 11: Desenho de lote urbano.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
 UNIUBE 51
2.5.3 Erros de interpretação gráfica nas curvas de nível
Alguns erros técnicos, ocasionados por falta de atenção ou por 
desconhecimento, são comuns na representação de curvas de nível. 
Porém, eles devem ser corrigidos, pois comprometem a fiel representação 
do terreno estudado. Os erros mais comuns são listados a seguir, cf. 
Borges (1944):
1. As curvas de nível não devem aparecer ou desaparecer de forma 
aleatória. Na Figura 12, podemos observar que o terreno, na seção 
XY, apresentou uma interrupção na cota 615, isso nos leva a entender 
que o terreno passará da cota 610 para a 620 sem passar pela cota 
615, e isso seria impossível. A curva de nível de cota 615 desapareceu 
repentinamente; erro técnico, fruto da desatenção.
Figura 12: Curva de nível de cota 615 desaparecida. 
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
52 UNIUBE
Figura 13: Forma insensata.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
Topologia2.6
Definição: A Topologia é ciência que estuda as formas exteriores da 
superfície da Terra e as leis que regem o seu modelado. É a partir da 
Topologia que são definidas as características de cada um dos acidentes 
naturais existentes na superfície terrestre.
Observe que, na Figura 13, duas curvas estão se cruzando. Por falta 
de conhecimento das regras básicas, a seção XY do terreno tem 
uma forma insensata. As curvas 615 e 620 cruzam-se no ponto 0, o que 
torna insensata a geometria do terreno no corte XY, pois o terreno passa 
da cota 610 para 620 sem passar pela cota 615.
 UNIUBE 53
Obtenção das curvas de nível2.7
A obtenção das curvas de nível se dá após a realização do levantamento 
topográfico do terreno. Geralmente são empregados três métodos para 
sua obtenção.
I) Quadriculação
Apesar de ser um método demorado e trabalhoso, 
tem como principal vantagem a precisão no levanta-
mento de nível. Devido às suas características, não 
é recomendado para grandes áreas. Sua realização 
consiste em criar um greide do terreno (quadrículas) 
com a utilização de piquetes que serão adotados 
para o nivelamento.
Para a marcação do greide, são utilizadas além das trenas para marcar 
as distâncias entre piquetes, as balizas para garantirem o alinhamento 
entre eles. A determinação da medida do quadrilátero a ser adotado 
dependerá principalmente das características da superfície do terreno 
(sinuosidade, dimensões, precisão requerida etc.). Após a criação das 
quadrículas, os dados coletados são desenhados em escala apropriada 
e, a partir dos pontos de cota obtidos, realiza-se a interpolação e os 
traçados das curvas de nível.
II) Irradiação taqueométrica
É o método recomendado para nivelamento de 
grandes áreas que tenham relevo com relativa 
planeza. Consiste em determinar poligonais 
principais e secundárias que serão interligadas 
e niveladas. A partir dessas poligonais, são 
determinados pontos notáveis do terreno que 
são posicionados por meio de ângulos e medidas 
de distâncias horizontais. Para realização desse 
procedimento, geralmente é recomendado o uso 
de teodolito ou Estação Total. Após o levantamento, os dados podem 
ser processados por programas computacionais ou por cálculos 
trigonométricos, ambos para interpolação e traçados das curvas de nível.
Piquete
Pequena estaca 
de madeira que 
deve ser cravada 
no solo, com 
finalidade de 
marcar um ponto.
Teodolito
Instrumento 
destinado a 
medir ângulos 
horizontais e 
verticais, bem 
como determinar 
distâncias e 
alturas.
54 UNIUBE
III) Seções transversais
Em terrenos que apresentem relevo estreito e longo, 
esse é o método mais indicado. As curvas de nível são 
obtidas em faixas. Por intermédio de levantamento 
topográfico planialtimétrico, são definidas linhas 
transversais em relação a uma linha longitudinal obtida 
por intermédio da criação de uma poligonal aberta. 
Após o trabalho de campo, os dados são processados 
e as curvas de nível são calculadas, interpoladas e 
traçadas em escala apropriada.
2.7.1 Interpolação
A interpolação das curvas de nível pode ser gráfica ou numérica.
a) Interpolação gráfica
Consiste em determinar, entre dois pontos de cotas 
fracionárias, o ponto de cota cheia ou inteira e múltipla 
da equidistância vertical.
b) Interpolação numérica
O método consiste em determinar os pontos de cota inteira e múltipla 
da equidistância vertical por semelhança de triângulos. Veja o método 
na Figura 14.
Poligonal
Relativo ao 
polígono. 
Que tem por 
base um 
polígono. 
Que tem 
muitos 
ângulos.
Equidistância
Igualdade de 
distância.
Figura 14: Perfil do terreno, interpretação para interpolação das cotas.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
 UNIUBE 55
Temos o perfil do terreno entre dois pontos “A” e “B”; observe como 
podemos interpolar a cota do ponto “C”. Observe a figura do lado direito, 
em que temos dois triângulos ACD e ABE; note que são dois triângulos 
semelhantes. Portanto, para interpolar a cota do ponto “C”, iremos aplicar 
a semelhança de triângulos.
Temos:
EB ------------- AE
DC ------------- AD
2.7.2 Levantamento passo a passo
Para melhor entendimento do processo de levantamento altimétrico 
para obtenção de curvas de nível, vamos descrever, passo a passo, os 
procedimentos:
1) reconhecimento da área
 Antes de iniciar os trabalhos, é necessário caminhar sobre a área 
para fazer o reconhecimento, com a finalidade de definir os pontos 
estratégicos, como, por exemplo: o ponto de instalação do aparelho 
de nível, como elaborar o levantamento planimétrico e definir o método 
de obtenção das curvas de nível.
2) levantamentos planimétricos 
 Após o reconhecimento da área, é necessário realizar os levantamentos 
planimétricos com a finalidade de elaborar a representação gráfica. 
Sempre que necessário, consulte o roteiro de Introdução à Topografia, 
para revisar os procedimentos dos levantamentos planimétricos, 
inclusive a confecção do croqui.
3) definição e marcação dos pontos
 Primeiramente, temos que definir o método de obtenção das curvas de 
nível, que pode ser pela quadriculação, irradiação taqueométrica ou 
seções transversais. De acordo com o método escolhido, é necessário 
marcar os pontos a serem levantados; esses pontos devem ser 
marcadoscom a cravação de piquetes sobre eles.
56 UNIUBE
4) Instalação do aparelho de nível
Instalar o aparelho de nível em local estratégico, de forma que possa 
visualizar e realizar o maior número de leituras possíveis dos pontos 
marcados. O aparelho de nível deve ser fixado sobre o tripé por meio 
do parafuso central; procure fixar o tripé de forma que a base do 
aparelho de nível fique na horizontal. Para facilitar a instalação, regule 
a altura das pernas do tripé.
5) Calibração do aparelho de nível 
A calibração do aparelho de nível é realizada, movimentando os três 
parafusos na base do aparelho, e a referência é uma bolha de ar 
dentro de um prumo de centro localizado na base do equipamento; 
o aparelho de nível estará calibrado quando a bolha de ar estiver no 
centro do círculo central do prumo.
6) Utilizando a mira
É necessária uma pessoa para auxiliar no levantamento. Essa pessoa 
deverá segurar a mira sobre os pontos a serem levantados, e deve 
estar na posição vertical evitando a leitura com a mira inclinada. 
Observe que a mira é graduada dos dois lados.
7) Leituras das distâncias verticais
Com o aparelho de nível calibrado, você deve fazer a leitura das 
distâncias horizontais. A leitura é simples e direta, basta olhar pela 
luneta do aparelho e onde a linha central coincidir com a medida da 
mira será a distância vertical. Anotar as leituras no croqui.
8) Cálculos de cotas 
As cotas dos pontos serão o resultado da soma da cota do ponto onde 
o aparelho foi instalado, mais a altura do aparelho, menos a distância 
vertical lida no aparelho. Portanto, não se esqueça de anotar a altura 
do aparelho após sua instalação e calibração. Veja a Figura 15, e, logo 
a seguir, um cálculo das suas cotas. 
 UNIUBE 57
Figura 15: Representação do aparelho de nível instalado 
e as cotas do terreno.
Fonte: Douglas Tsukamoto.
Cota do ponto B = cota do ponto A + AA – b
Cota do ponto C = cota do ponto A + AA – c
Cota do ponto D = cota do ponto A + AA – d
Sendo AA a altura do aparelho de nível instalado e calibrado. 
9) Interpolações das cotas
Calcular as interpolações das cotas intermediárias, que podem ser 
pela interpolação numérica ou gráfica.
10) Representação gráfica das curvas de nível 
Desenhar a representação gráfica da área de acordo com o levanta-
mento planimétrico, depois marcar os pontos levantados e marcar os 
pontos correspondentes às cotas interpoladas.
11) Representação gráfica do perfil do terreno 
Com a representação gráfica das curvas de nível, podemos desenhar 
os perfis do terreno, para melhor visualização e interpretação das 
declividades. 
58 UNIUBE
Terraplenagem para plataformas 2.8
Podemos definir terraplenagem como o conjunto de operações 
necessárias para remover a terra dos locais em que se encontra em 
excesso para aqueles em que há falta, tendo em vista um determinado 
projeto a ser executado. É uma operação fundamental na construção 
de praticamente qualquer obra civil. Como geralmente envolve a 
movimentação de terra, é necessário conhecer o volume a ser trabalhado 
e, para isso, obviamente, é necessário conhecer o perfil do terreno obtido 
pelo levantamento topográfico. Para melhores resultados, devemos 
utilizar o método das quadrículas; para isso, de posse do levantamento 
topográfico, deve-se locar a obra e, em seguida, fazer as quadrículas.
De acordo com Borges (1992), a terraplenagem é sempre feita para 
atender a uma determinada finalidade ou objetivo, genericamente 
chamado de “projeto”. Ainda de acordo com Borges (1992), o “projeto” 
poderá solicitar da Topografia o planejamento para uma das quatro 
hipóteses:
• 1ª hipótese: plano final horizontal sem a imposição de uma cota 
final determinada;
• 2ª hipótese: plano final horizontal com a imposição de uma cota 
final determinada;
• 3ª hipótese: plano inclinado sem a imposição da altura em que 
este plano deverá ficar;
• 4ª hipótese: plano inclinado impondo uma determinada altura para 
ele, pela escolha da cota de um determinado ponto. 
A movimentação de terra (terraplenagem) envolve custos na remoção 
e transporte, portanto quanto menor for a movimentação, menores 
serão os custos envolvidos no processo. Por esse motivo, é de extrema 
importância planejar e minimizar esses custos para melhorar a viabilidade 
econômica do projeto.
Vejamos a aplicação das quatro hipóteses!
 UNIUBE 59
Figura 16: Modelo do terreno (planta).
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
Para demonstração das quatro hipóteses, usaremos o mesmo modelo 
de terreno, o da Figura 16. É um retângulo de 100m x 80m, quadriculado 
de 20 em 20 metros, cujos vértices tiveram suas cotas obtidas por 
nivelamento geométrico com precisão decimétrica.
Atenção!
Na prática, utiliza-se para terrenos urbanos de pequeno porte 
quadriculado de, no máximo, 10 m, e cotas com precisão em 
centímetros. Para não alongar os cálculos, é que foi escolhido 
o lado de 20m e cotas com apenas uma casa decimal.
2.8.1 Cota de passagem
De acordo com o conteúdo estudado, verificamos que a movimentação 
de terra envolve um custo bastante elevado e, por esse motivo, deve 
ser minimizada. Para que se consiga uma mínima movimentação de 
terra, a melhor maneira é aquela em que o volume de cortes e aterros 
60 UNIUBE
sejam iguais. Para que ambos os volumes sejam iguais (corte e aterro), 
é necessário determinar a cota ou curva de passagem (Cp). Essa cota 
pode ser determinada aplicando-se a seguinte equação:
Cp = 
2.8.1.1 Determinação do peso
O peso refere-se a quantas vezes um determinado ponto será utilizado 
para o cálculo de cada sólido; logo, se analisarmos a Figura 17, a seguir, 
veremos que o ponto A1 terá peso 1, pois será utilizado apenas para 
determinar o primeiro sólido, os pontos A2, A3, A4, terão peso 2, o 
ponto A6 terá peso 1, o ponto B2 terá peso 4 e, assim, sucessivamente. 
Para facilitar a visualização, adotaremos que todo ponto representado 
por 1/4 de circunferência terá peso 1, todo ponto representado por 1/2 
circunferência terá peso 2 e, por fim, todo ponto representado por uma 
circunferência completa terá peso quatro.
Figura 17: Desenho com a descrição do peso de cada ponto.
Fonte: Júlio Cesar Martins Deamo.
 UNIUBE 61
2.8.1.2 Determinação da cota de passagem
Para facilitar os cálculos, será utilizada a Tabela 4, a seguir, para 
determinação dos somatórios.
Tabela 4: Determinação da cota de passagem
Ponto Cota Peso Cota x Peso
A1 41,8 1 41,8
A2 41,3 2 82,6
A3 40,7 2 81,4
A4 40,4 2 80,8
A5 40,2 2 80,4
A6 41,1 1 41,1
B1 43,2 2 86,4
B2 42,8 4 171,2
B3 42,1 4 168,4
B4 42,3 4 169,2
B5 42,5 4 170,0
B6 42,8 2 85,6
C1 44,6 2 89,2
C2 44,3 4 177,2
C3 44,2 4 176,8
C4 44,3 4 177,2
C5 44,4 4 177,6
C6 44,5 2 89,0
D1 46,5 2 93,0
D2 45,8 4 183,2
D3 45,9 4 183,6
D4 45,9 4 183,6
D5 46,0 4 184,0
D6 46,1 2 92,2
E1 48,8 1 48,8
E2 48,7 2 97,4
E3 48,6 2 97,2
E4 48,5 2 97,0
E5 48,62 2 96,8
E6 48,4 1 48,4
∑ 80 3551,32
CP 44,4
Fonte: Júlio César Martins Deamo.
62 UNIUBE
Exemplo da 1ª hipótese
No projeto, existe a solicitação de um plano horizontal, porém sem imposição 
da sua cota final. Pelos cálculos topográficos, determina-se a cota ideal para 
que os volumes de corte e aterro sejam iguais. Essa solução é a mais viável 
economicamente.
1ª hipótese: plano horizontal – cota final livre.
• Seção A 
Com o desenho do perfil em mãos, o próximo passo é calcular a área de 
corte e aterro. No caso do perfil A, não haverá corte, pois todas as cotas 
estão abaixo da cota de passagem, portanto, nesse perfil, haverá apenas 
aterro. Para o cálculo da área, será utilizado o cálculo da área dos polígonos 
regulares; nesse caso, utilizaremos o cálculo do trapézio. Aqui, é importante 
lembrar que a distância entre quadrículas é de 20 metros. Para iniciar os 
cálculos, deve-se subtrair a cota de cada ponto da cota de passagem (44,4). 
Ponto CP Cota Cp-Cota
A1 44,4 41,8 2,6
A2 44,4 41,3 3,1
A3 44,4 40,7 3,7
A4 44,4 40,4 4,0
A5 44,4 40,2 4,2
A6 44,4 41,1 3,3
Cálculo da área de aterro da seção A (SAA):
SAA = + + ++ 
SAA = + + + + 
SAA= 359 m²
EXEMPLIFICANDO!
2.8.2 Modelo do terreno
Após a obtenção dos pontos de cotas inteiras, as curvas de nível foram 
traçadas por interpolação. 
 UNIUBE 63
• Seção B 
Determinação da diferença de cotas na seção B:
Ponto CP Cota Cp-Cota
B1 44,4 43,2 1,2
B2 44,4 42,8 1,6
B3 44,4 42,1 2,3
B4 44,4 42,3 2,1
B5 44,4 42,5 1,9
B6 44,4 42,8 1,6
Cálculo da área de aterro da seção B (SAB):
SAB = + + + + 
SAB = + + + + 
SAB= 186 m²
• Seção C 
Na seção C, teremos que calcular tanto a área de aterro como a de corte. 
Para isso, vamos ampliar o desenho para melhor visualizar os pontos de 
transição de corte e aterro na figura a seguir.
64 UNIUBE
Ampliação da primeira quadrícula da seção C:
Para determinar as medidas X e Y, usaremos uma regra de três simples. 
Se, em 20 metros, a medida aumenta de 44,3 para 44,6 (0,30m), qual será 
o valor de X se o desnível variar de 44,3 para 44,4 (0,10m)?
20m --------- 0,30m
 Xm --------- 0,10m
X = 
X = 
Por dedução, o valor de Y será 20 metros menos o valor de X
Y = 
Y = 
Logo, a área de corte será (Figura 23):
SC(C1)= 
SC(C1)= ²
E a área de aterro será (figura a seguir):
SA(C1)= 
SA(C1)= 
 UNIUBE 65
Área de corte e aterro na primeira quadrícula da seção C:
Nas quadrículas 2, 3 e 4, da seção C, haverá apenas aterro. Com base nos 
valores encontrados nos pontos dados, calcularemos os valores desses 
aterros e, posteriormente, do corte na última quadrícula, conforme quadro 
e figura a seguir: 
Determinação da diferença de cotas na seção C:
Ponto CP Cota Cp-Cota
C1 44,4 44,6 0,2
C2 44,4 44,3 0,1
C3 44,4 44,2 0,2
C4 44,4 44,3 0,1
C5 44,4 44,4 0
C6 44,4 44,5 0,1
Áreas de aterro da seção C:
Cálculo das áreas de aterro da seção C (SAC).
SAC = + + 
SAC = + + 
SAC = 
66 UNIUBE
Na última quadrícula da seção C, também será necessário efetuar um corte; 
portanto, calcula-se a área de corte como na figura a seguir:
SC(C6) = SC(C6) = 
Área total de corte da seção C (SCC).
SCC = ² + 
SCC = 
Área total de aterro da seção C (SAC)
SAC = 
SAC = 
Seção D
Com o perfil dado pela figura anterior, podemos verificar que, nesse perfil, haverá 
somente corte. Com base nas cotas encontradas, iremos calcular a área de corte, 
conforme quadro e figura a seguir:
Determinação da diferença de cotas na seção D:
Ponto CP Cota Cp-Cota
D1 44,4 46,5 2,1
D2 44,4 45,8 1,4
D3 44,4 45,9 1,5
D4 44,4 45,9 1,5
D5 44,4 46 1,6
D6 44,4 46,1 1,7
 UNIUBE 67
Seção D:
Cálculo da área de corte da seção D (SCD):
SCD = + + + + 
SCD = + + + + 
SCD = 158 m²
Seção E
Com o perfil dado pela figura anterior, podemos verificar que nesse perfil 
haverá somente um corte. Com base nas cotas encontradas, iremos calcular 
a área de corte, conforme quadro e figura a seguir:
Determinação da diferença de cotas na seção E
Ponto CP Cota Cp-Cota
E1 44,4 48,8 4,4
E2 44,4 48,7 4,3
E3 44,4 48,6 4,2
E4 44,4 48,5 4,1
E5 44,4 48,62 4,22
E6 44,4 48,4 4
68 UNIUBE
Seção E:
Cálculo da área de corte da seção E (SCE):
SCE = + + + 
+ 
SCE = + + + + 
SCE = 420,4m²
Cálculo do volume total de cortes e aterros em relação à cota de 
passagem 
Tendo todas as áreas de corte e aterro calculadas, podemos então calcular o 
volume final de corte e aterro. Começaremos pelo volume de aterro. O valor 
de “d” na fórmula é a distância entre duas seções consecutivas.
Volume de Aterro
V Aterro =
V Aterro =
V Aterro =
V Aterro = 7387,4 m³
 UNIUBE 69
Volume de corte
V Corte =
V Corte =
V Corte =
V Corte = 7387,3 m³
Considerações importantes:
1. a pequena diferença entre o volume de corte e o volume de aterro se 
deve ao arredondamento de valores;
2. como era de se esperar, o volume de corte e de aterro foi praticamente 
igual. A diferença de 0,1 m³ encontrada deve-se a questões de 
arredondamento e, na prática, seria insignificante.
Exemplo da 2ª hipótese
Na 2ª hipótese, devido a exigências de projeto, é necessário que o 
desenho fique com uma cota final de 42,00. Pelos cálculos de topografia, 
determinaremos a altura de corte e aterro em cada vértice, as áreas de corte 
e aterro em cada seção e o volume de corte e aterro final.
Todos os passos que foram feitos na primeira hipótese devem ser refeitos 
nesse caso, porém não será calculada a cota de passagem. Sendo assim, 
utilizaremos a cota final exigida em projeto para efetuarmos todos os 
cálculos. Por se tratar de uma repetição em relação ao que já foi visto, 
demonstraremos apenas a primeira seção, sendo que para as demais 
devem-se seguir os mesmos passos. 
EXEMPLIFICANDO!
70 UNIUBE
Seção A 
Determinação da diferença de cotas na seção A
Ponto CP Cota Cp-Cota
A1 42,00 41,80 0,20
A2 42,00 41,30 0,70
A3 42,00 40,70 1,30
A4 42,00 40,40 1,60
A5 42,00 40,20 1,80
A6 42,00 41,10 0,90
Para efeito de cálculo, também será necessário utilizar a área de polígonos 
regulares para solucionar o problema, assim como na primeira hipótese 
utiliza-se a área do trapézio. Outro detalhe importante a ser observado nessa 
seção é o fato de a mesma apresentar apenas aterro (todas as cotas estão 
abaixo da cota estabelecida em projeto).
SAterro A = + + + 
+ 
SAterro A = + + + + 
SAterro A = m²
Seção B
Seção B 
 UNIUBE 71
Determinação da diferença de cotas na seção B
Ponto CP Cota Cp-Cota
B1 42,00 43,20 1,20
B2 42,00 42,80 0,80
B3 42,00 42,10 0,10
B4 42,00 42,30 0,30
B5 42,00 42,50 0,50
B6 42,00 42,80 0,80
SCorte B = + + + 
+ 
SCorte B = + + + + 
SCorte B = m²
Seção C 
Determinação da diferença de cotas na seção C
Ponto CP Cota Cp-Cota
C1 42,00 44,6 2,60
C2 42,00 44,3 2,30
C3 42,00 44,2 2,20
C4 42,00 44,3 2,30
C5 42,00 44,4 2,40
C6 42,00 44,5 2,50
72 UNIUBE
SCorte C = + + + 
+ 
SCorte C = + + + + 
SCorte C = m²
Seção D 
Determinação da diferença de cotas na seção D
Ponto CP Cota Cp-Cota
D1 42,00 46,50 4,50
D2 42,00 45,80 3,80
D3 42,00 45,90 3,90
D4 42,00 45,90 3,90
D5 42,00 46,00 4,00
D6 42,00 46,10 4,10
SCorte D = + + + 
+ 
SCorte D = + + + + 
SCorte D = m²
 UNIUBE 73
Seção E 
Determinação da diferença de cotas na seção E
Ponto CP Cota Cp-Cota
E1 42,00 48,80 6,80
E2 42,00 48,70 6,70
E3 42,00 48,60 6,60
E4 42,00 48,50 6,50
E5 42,00 48,62 6,62
E6 42,00 48,40 6,40
SCorte E = + + + 
+ 
SCorte E = + + + + 
SCorte E = m²
Volume de aterro
V Aterro =
V Aterro =
V Aterro = 1190 m³
74 UNIUBE
Volume de corte
Vcorte= 
VCorte = 
VCorte = 
VCorte = 19.804 m³
Encerramos este capítulo, sugerindo-lhe que o estude, reveja os cálculos 
realizados, preparando-se para a realização das atividades propostas.
Resumo
A Altimetria é parte da Topografia que trata de métodos e instrumentos 
utilizados para medir distâncias e ângulos verticais (desníveis) entre os 
pontos, que na planta não podem ser representados. Para representação, 
é utilizada a vista lateral, (perfil), corte e elevação. Para a engenharia, 
é de suma importância a determinação da cota/altitude de um ponto. 
Exemplos de aplicação de Altimetria são os projetos de redes de 
esgoto, de estradas, planejamento urbano, entre outros. A determinação 
do valor da cota/altitude está baseada em métodos que permitem obter 
o desnível entre pontos. Conhecendo-se um valor de referência inicial, 
é possível determinar as demais cotas ou altitudes. Estes métodos são 
denominados de nivelamento.
Referências
BORGES, Alberto de Campos. Topografia aplicada à Engenharia civil. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1992.
CARDÃO, Celso. Topografia. Belo Horizonte: Edições Engenharia e Arquitetura, 1979. 
 UNIUBE 75
COMASTRI, J.A. e JUNIOR, J. G. – Topografia aplicada: Medição, divisão 
e demarcação. Imprensa Universitária UFV, 1990, Viçosa/MG, 203p.
ESPARTEL, Lélis. Curso de Topografia. Porto Alegre: Editora Globo, 1965.
Osmar Ribeiro de Morais
Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares
Introdução
Altimetria I: fundamentos, 
curvas de nível e 
cálculo de volume
Capítulo
3
Nos estudos anteriores, você aprendeu conceitostopográficos 
da planimetria, ou seja, aprendeu a medir distâncias, azimutes, 
transformar em coordenadas retangulares (x,y) direções e 
distâncias. Aprendeu, também, a desenhar em escala, calcular 
distâncias, áreas, tudo isso, porém, no plano bidimensional (x,y). 
Agora, chegou o momento de acrescentar outra dimensão a 
tudo aquilo. Nos estudos referentes à Altimetria, enfocaremos 
os procedimentos topográficos necessários para manipular 
essa terceira dimensão, chamada distância vertical, para, em 
seguida, compreendermos a forma de um relevo manipulando as 
coordenadas x, y e z. Abordaremos os seguintes temas:
• fundamentos da Altimetria;
• nivelamentos;
• curvas de nível;
• greides e seções transversais;
• cálculo de volumes.
Ao término dos estudos que propomos nesse capítulo, você deverá 
ser capaz de:
• compreender o relevo e desenhá-lo no plano;
Objetivos
78 UNIUBE
• analisar ou acompanhar serviços de terraplenagem;
• avaliar os volumes de materiais a movimentar.
3.1 Fundamentos da Altimetria
3.1.1 Forma da Terra
3.1.2 Fundamentos altimétricos
3.2 Nivelamento
3.2.1 Nivelamento trigonométrico
3.2.2 Nivelamento geométrico
3.3 Curvas de nível
3.4 Greides e seções transversais
3.4.1 Greide
3.4.2 Secções transversais
3.4.3 Cálculo de volumes
Esquema
Fundamentos da Altimetria3.1
A Altimetria é a parte da Topografia que trata dos 
métodos e instrumentos empregados no estudo e 
representação do relevo do solo. O estudo do relevo 
de um terreno consiste na determinação das alturas de 
seus pontos característicos e definidores da altimetria, 
relacionados com uma superfície de nível que se toma 
como elemento de comparação (CEFET/SC, 2012). 
Mas, para melhor fixarmos essa definição, é importante entendermos a 
forma da Terra e em que se apoiam os fundamentos altimétricos para 
compreender os conceitos de Altimetria.
 UNIUBE 79
3.1.1 Forma da Terra
A Terra é um corpo físico que possui uma forma específica chamada 
geodal, isto é: ‘forma da Terra’, aparentemente e inicialmente dizemos 
que é uma ‘bola’, porém, várias tentativas foram feitas para obter uma 
representação matemática dessa forma e nenhuma é perfeitamente 
capaz disso.
Os primeiros trabalhos científicos, neste sentido, datam do 2º século 
antes de Cristo, pelo grego Erastóstenes que, de forma bem engenhosa, 
avaliou o tamanho da sombra ao ‘meio do dia’ em Alexandria (Egito) 
enquanto o Sol estava a “pino” em Siena (Egito) sabendo da distância 
entre esses locais, pôde avaliar o comprimento do círculo do Equador 
com excelente precisão para a época.
Posteriormente, após o Renascimento e as Grandes descobertas, o 
assunto foi estudado por vários cientistas, destacando-se o trabalho 
de Cassine (França), Newton (Inglaterra) que divergiram entre si sobre 
o achatamento da Terra, gerando um bom momento para se calcular 
com mais precisão a expressão matemática que melhor representaria 
o planeta. O matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
introduziu o conceito de geoide como sendo: a superfície do nível 
médio do mar estendido sob os continentes . A partir de 1840, houve 
uma verdadeira corrida dos cientistas para se definir a forma matemática 
mais exata da Terra; todas, porém, apresentaram distorções em relação 
ao geoide.
Hoje, adotamos, basicamente, que a forma da Terra (geoide) (figuras 1 
e 2) se aproxima a de um elipsoide de revolução, com as dimensões da 
Tabela 1 a seguir:
Figura 1: Forma matemática elipsoide de revolução. 
Figura 2: Superfície da Terra/ elipsoide e geoide.
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
80 UNIUBE
Tabela 1: Elipsoides mais importantes
ELIPSOIDE
Semieixos
Nota
Maior(a) Menor(b) 
Erastóstenes(270AC) Raio=6110km Histórico
Bessel(1841) 6.377.397,15 6.356.078,97 Histórico
Clarke(1880) 6.378.249,20 6.356.514,92 Histórico
Hayford (C. Alegre) (1910) 6.378.388,00 6.356.911,95
Usado no Brasil 
até 1979
SAD69 6.378.160,00 6.356.752,30
South America 
Datum 1969: 
Usado atualmente 
no Brasil por 
força de lei
WGS84 6.378.137,00 6.356.774,50
World Geodesic 
System 1984, 
usado nos EUA.
Usado nos 
Sistemas GPS; 
GoogleEarth
Fonte: Acervo dos autores.
Saiba mais, consulte:
<http://www.pobonline.com/Articles/Column/090c56559e0f6010VgnVCM1
00000f932a8c0>
PESQUISANDO NA WEB
3.1.2 Fundamentos altimétricos
Superfície de nível: é uma superfície paralela ao geoide, portanto tem 
a mesma altitude. A distância entre duas superfícies de nível é uma 
distância vertical e recebe vários nomes, tais como: altitude, cota, 
elevação, altura, nível etc. e é representado pela letra Z.
http://www.pobonline.com/Articles/Column/090c56559e0f6010VgnVCM100000f932a8c0
http://www.pobonline.com/Articles/Column/090c56559e0f6010VgnVCM100000f932a8c0
 UNIUBE 81
A altitude da Praça Dom Eduardo, em Uberaba, é 766, 02m, isto quer 
dizer que a distância vertical entre o nível do mar e a Praça é 766, 02 m 
(Figura 3) 
Figura 3: Geoide/Superfície de nível. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Observe na Figura 4, que esse mesmo ponto pode ter a cota 13.205m, 
isto é: está a 13.205m acima de um referencial de nível qualquer.
Figura 4: RN Referência de nível arbitrário.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
n ,
82 UNIUBE
Observe e compreenda a diferença entre altitude e cota.
• altitude: quando a distância vertical está em relação ao nível do 
mar (geoide); 
• cota: quando a distância vertical está em relação a qualquer uma 
superfície de nível diferente do geoide;
• elevação: o mesmo que cota; costuma ser chamado também de 
nível, altura (este termo é o adotado no software de desenhos 
Autocad);
• desnível ou diferença de cota: é a variação da cota ou da altitude 
entre dois pontos. Representado por DΖ.
Exemplo 1
Sejam os pontos “a” e “b” com suas respectivas altitudes e cotas: 
considerando a altitude: Za = 750.301 Zb = 752.427 
∆Ζa/b= Zb-Za= 752.427-750.301 = 2.126m
considerando a cota: Za = 12.253 e Zb =14.379 
 
												∆Ζa/b= Zb-Za= 14.379-12.253 = 2.126m
Notar: o desnível refere-se ao mesmo valor independente de ser altitude 
ou cota.
Exemplo 2
Calcular as diferenças de nível ou desnível entre os 4 cantos de um lote 
(12x25m), conforme croqui na Figura 5 a seguir, conhecendo suas cotas.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 83
Figura 5: Croqui de um terreno.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Resposta: calculando:
∆Ζ1/2= Ζ2−Ζ1= 73,156−74,201= −1,045
∆Ζ2/4= Ζ4−Ζ2= 74,023−73.156= 0.867
∆Ζ4/3= Ζ3−Ζ4= 75.752−74,023= 1,729
∆Ζ3/1= Ζ1−Ζ3= 74,201−75,752= −1,551
Agora, vamos fazer algumas questões sobre a situação desse terreno. 
Acompanhe as respostas:
1) Qual o desnível máximo desse terreno?
Resposta: 
O ponto “3” é o mais alto de cota 75,752.
O ponto “2” é o mais baixo de cota 73,156.
O desnível máximo é 75,752-73,156= 2,596m.
84 UNIUBE
2) Qual o desnível entre o RN e o ponto “4”?
Resposta: 
Referência de nível (RN) 70,000
Ponto 4 74,023
∆Z (Ponto 4) −	4,023
3) Qual a cota média geométrica desse terreno?
Resposta: 
75,752 74,201 74,023 73,156 74
4
Soma das cotasCota média
número de cotas
+ + +
= = =
Exemplo 3
Calcule as altitudes do terreno da Figura 6, conhecendo-lhe as diferenças 
de nível.
Figura 6: Terreno 2 e diferenças de nível.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 85
Resolução:
Observe que o desnível pode ser positivo (lado 5/6), quando o terreno está 
subindo, ou negativo para descendo (lado 1/2)
Cálculo da cota Z2
Dado: desnível entre 1 e 2 é negativo, portanto o terreno está descendo 
 no sentido 1 para 2:
∆Ζ(1/2)=	Ζ2−Ζ1=	−1,386
Então:
Ζ2	=	Ζ1	+∆Ζ(1/2)	=	756,128−1,386	=	754,742
Cálculo da cota Z6
∆Ζ(6/1)=Ζ1−Ζ6=	1,125	→ ∆Ζ(1/6)=−1,125 
Então:
Ζ6=	Ζ1	+∆Ζ(1/6)=	756,128−1,125=	755,003
Cálculo da cota Z5
∆Ζ(5/6)=Ζ6−Ζ5=	1,485	→ ∆Ζ(6/5)=−1,485 
Então:
Ζ5=	Ζ5	+∆Ζ(6/5)=	755,003−1,485=	753,518
Cálculo da cota Z3
∆Ζ(3/2)=	Ζ2−Ζ3	=	−1,097	→ ∆Ζ(2/3)=1,097 
Então:
Ζ3=	Ζ2	+∆Ζ(2/3)=	754,742+1,097=	755,839
Cálculo da cota Z4
∆Ζ(4/3)=	0,987	→ 	∆Ζ(3/4)=−0,987
 Então:
Ζ4=	Ζ3	+∆Ζ(3/4)=755,839−0,987=	754,852
86 UNIUBE
Veja, a seguir, o terreno 2, da Figura 7, com as medidas calculadas:
Figura 7: Terreno 2 com as medidas calculadas.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Atividade 1
Com base na Figura 7:
a) determine o desnível entre os pontos 4 e 5;
b) responda qual é o desnível máximo desse terreno;
c) determine a média geométrica das cotas.
AGORA É A SUA VEZ
Nivelamento3.2
É o processo topográfico em que se obtém a cota de um ou vários pontos 
de lugar. Existem 4 tipos de nivelamentos:
 UNIUBE 87
baseado em relações trigonométricas. 
1)Trigonométrico
pura geometria e de alta precisão.
2) Geométrico
equipamento de nivelamento com início de uso recente e não 
será objeto desse estudo.
4) por GPS
baseado na relação inversamente proporcional entre a pressão 
atmosférica e a altitude, utilizado quando não se pode usar os tipos 
anteriores e é de baixa precisão.
3) Barométrico
3.2.1 Nivelamento trigonométrico
É o processo em que se utiliza de um teodolito, seja convencional ou 
Estação Total, para se obter a cota(Z) de um ponto:
A fórmula fundamental
em que:
• H= Altura do aparelho
• DR= Distância Reduzida = DH
•	 a = Ângulo vertical formado com plano horizonte
• Fm = Fio médio (para Estadimetria) ou Altura do Prisma, para Es-
tações Totais
• Corr = Correção devido à Curvatura Terrestre e Refração Atmosférica, 
e é assim expressa:
88 UNIUBE
Essa correção se faz necessária em serviços de alta precisão para 
distâncias entre os pontos superiores a 300m. Veja a Tabela 2 de 
correções, a seguir:
Tabela 2: Correção devido à curvatura terrestre e refração atmosférica
Distância Valor(mm)
100 0,7
200 3
300 6
No entanto, como estamos tratando de nivelamento para distâncias 
inferiores a 150m, esse termo da expressão fundamental será desprezado. 
Ficando:
Analise a Figura 8 de uma estação total:
H= Altura do Aparelho
Distância entre a luneta e o ponto 
onde está ‘estacionado’ o aparelho
Ponto de Referência
Figura 8: Altura do aparelho. 
Foto: Osmar Ribeiro de Morais.
 UNIUBE 89
Figura 9: Fios estadimétricos de um teodolito.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Quando olhamos através de um teodolito, vemos 4 fios, sendo 1 vertical e 
3 horizontais. Os horizontais são paralelos e a distância entre eles permite 
medir a distância entre o ponto estacionado e o ponto visado, desde que 
se ponha uma mira no ponto visado e determine a variação entre os fios 
superior e inferior. A esse processo, chamamos de estadimetria.
A compreensão do conceito de Distância Reduzida (DR) é primordial para 
a Topografia, podendo dizer que ela é a menor distância entre os dois 
pontos; sendo chamada também de Distância Horizontal, é a distância 
sobre o plano horizontal local.
Pela fórmula a seguir, ela é calculada com um teodolito. 
Em que:
• C = Constante Multiplicativa do teodolito =100 
• fs = fio superior
• fi = fio inferior 
•	 a	= ângulo formado com o plano horizontal
90 UNIUBE
Para melhor compreender, observe a Figura 11, a seguir:
Mas, como funciona o nivelamento trigonométrico?
Com o aparelho Estação Total instalado no ponto A, numa altura (H), 
visando o ponto B na altura do prisma (AP), o aparelho grava a distância 
inclinada, o ângulo vertical, a altura do aparelho, a altura do prisma, o 
nome do ponto visado e outros dados diretamente no software presente 
no equipamento. Então, o Valor H e AP, a partir da forma , esse, através 
da fórmula fundamental, calcula o Desnível entre os pontos.
Vamos a um exemplo numérico.
Figura 10: Esquema geral do nivelamento trigonométrico do 
teodolito. 
Fonte: EAD-Uniube.
Figura 11: Esquema geral do nivelamento trigonométrico com uma estação total.
Foto: Osmar Ribeiro de Morais.
Analise o desenho representado na Figura 10, a seguir:
 UNIUBE 91
Exemplo 4
Calcular o DESNÍVEL entre os pontos A e B, sabendo que foi colocado um 
teodolito convencional no ponto A, com altura de 1,47m e visado o ponto B 
com as seguintes leituras estadimétricas fi = 1,250; fm = 1,865; fs = 2,475 
e Ângulo vertical (α)= 2º55’.
Distância Reduzida:
DR= 100 x (2,475-1,250) x cos²(2º55’)
DR= 122,5 x cos(2º55’) x cos(2º55’)
DR= 122,183m
Desnível: 
∆Z(A/B) = 1,470+122,183 x tan(2º55’) – 1,865
∆Z(A/B) = 5,830m
Quer dizer que o ponto B está mais alto que o ponto A, em 5,830m.
Exemplo 5
Calcule as cotas do terreno (12,5 x 30m) da Figura 12, orientando-se pelas 
Tabelas topográficas 3 e 4 seguintes:
EXEMPLIFICANDO!
Figura 12: Terreno 12.5x 30m.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais
92 UNIUBE
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 UNIUBE 93
Figura 13: Terreno da Figura 12 com as cotas calculadas e posicionadas.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Atividade 2
Examine a Tabela 4 anterior e a Figura 14, a seguir, em que são assinaladas 
as cotas calculadas no Exemplo 5:
Agora,
a) determine o desnível máximo;
b) identifique qual é a cota média geométrica desse terreno.
AGORA É A SUA VEZ
Figura14: Terreno do Exemplo 5, com as cotas demarcadas.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
94 UNIUBE
Atividade 3
Um engenheiro foi contratado para determinar a altitude de dois pontos num 
lote próximo ao marco geodésico existente na Praça Dom Eduardo, em 
Uberaba-MG (Z=766,02m). Determine o desnível entre os pontos 1 e 2. Os 
dados obtidos em campo com o aparelho instalado no marco são:
• Para o ponto 1: 
Ângulo vertical com o zênite = 93º20’15”
Distância horizontal = 148,42m
Altura do aparelho = 1,47m
Altura do prisma= 1,50m
• Para o ponto 2:
Ângulo vertical com o zênite = 93º37’10”
Distância inclinada = 159,78m
Se você entendeu o nivelamento, então, não se preocupe com os cálculos 
nas Estações Totais, pois as Cotas(Z) do terreno são calculadas diretamente 
pelo software do equipamento, não havendo necessidade da Tabela 3 
anterior.
PARADA OBRIGATÓRIA
3.2.2 Nivelamento geométrico
Esse tipo de nivelamento é o mais simples, geralmente usado em 
rodovias, ferrovias, serviços de terraplanagem.
O seu procedimento é muito simples. Observe essa explicação:
 UNIUBE 95
– a fórmula fundamental do nivelamento trigonométrico tem uma função 
trigonométrica ‘tan()’, porém no nivelamento geométrico essa função, 
sempre, tem seu valor igual a zero, pois o ângulo vertical formado com 
a linha do horizonte será sempre ZERO.
Sabendo que ∆z é uma variação de cota, observe o cálculo direto da 
cota, no nivelamento geométrico:
Sejam os pontos A e B, então:AZ (A/B) = ZB – ZA = H(A) – fm(B)
ZB = ZA + H(A) – fm(B)
Com o aparelho num mesmo local, podemos visualizar vários pontos e 
a cota(Z); para todos eles, será sempre:
Veja a simplicidade do exemplo, a seguir.
Como o aparelho nivelado forma um plano horizontal, então, fm(RN) = 
H(RN), conforme visualizado na Figura 15:
tan (a) = 0
Constante = Cota do plano do aparelho
96 UNIUBE
Figura15: Nivelamento geométrico simples.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
A Tabela 5, de Nivelamento geométrico, fica muito simples:
Tabela 5: Nivelamento geométrico 
Ponto 
Visado
Leitura
Plano Cota
Ré Vante
RN 2,125 12,125 10,000
1 2,625 9,500
2 1,627 10,498
3 1,056 11,069
4 1,895 10,230
Fonte: Osmar Ribeiro Morais.
A coluna Leitura se refere a Fio médio (fm) e está dividida em ré e vante:
• Ré : quando se vai calcular a cota do plano do aparelho;
• Vante: quando se vai calcular a cota de um ponto.
DICAS
 UNIUBE 97
Exemplo 6
Calcular as cotas do terreno (20 x 30) conforme Figura 16 e Tabela 6 a 
seguir.
Figura 16: Terreno 20x 30m.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Tabela 6: Nivelamento geométrico composto
Ponto Visado
Leitura
Plano Cota
Ré Vante
RN= Meio-fio 0,856 30,000
1 1,023
2 2,259
3 3,015
4 1,895
5 2,850
7 3,525
7 1,458
8 2,155
9 3,512
6 2,450
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
EXEMPLIFICANDO!
98 UNIUBE
Tabela 7: Planos e cotas do Quadro 3 calculados
Ponto Visado
Leitura
Plano Cota
Ré Vante
RN= Meio-fio 0,856 30,856 30,000
1 1,023 29,833
2 2,259 28,597
3 3,015 27,841
4 1,895 28,961
5 2,850 28,006
7 3,525 27,331
7 1,458 28,789 27,331
8 2,155 26,634
9 3,512 25,277
6 2,450 26,339
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Observe, na Tabela 7, a presença de 2 leituras rés e a repetição do 
ponto 7. Isso porque se deslocou o aparelho para outro local.
Atividade 4
Sejam a Tabela 8 e a Figura 17 a seguir:
a) calcule as cotas do terreno;
b) calcule o desnível máximo;
c) calcule a cota média geométrica.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 99
Tabela 8: Nivelamento geométrico composto
Ponto Visado
Leitura
Plano Cota
Ré Vante
RN= Meio-fio 1 2,263 
a 1,850 
b 1,562 
c 1,256 
d 0,530 
e 1,260 
f 0,235 
f 2,860 
g 2,120 
h 1,530 
Meio-fio 2 1,968 
i 0,650 
i 2,236 
j 1,280 
k 0,942 
l 0,620 
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Figura 17: Terreno 20 x 30.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
meio-fio 2
meio-fio 1
100 UNIUBE
Confira suas respostas na Figura 18:
Figura 18: Respostas do nivelamento geométrico composto.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Curvas de nível3.3
São linhas imaginárias que representam o relevo no desenho plano. É a 
forma mais eficiente de representação do relevo (Figura 19).
Figura 19: Curvas de nível.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 101
As curvas de nível são vitais para a compreensão do todo. Elas nos dão 
a compreensão de todas as cotas, ao mesmo tempo. Portanto, vamos 
nos dedicar alguns momentos para entender o que são elas. 
Existem 7 regras que regem as curvas de nível:
1) todos os pontos de uma curva de nível têm a mesma cota;
2) cada curva de nível fecha-se sempre em si mesma;
3) elas nunca se cruzam, podendo tocarem-se em locais de paredões;
4) quanto mais aproximadas entre si, mais íngreme o terreno;
5) quanto mais distanciadas entre si, mais plano o terreno;
6) elas são sempre perpendiculares ao deslocamento natural da água 
no terreno;
7) são distanciadas verticalmente por uma constante.
São 5 as formas básicas de relevo na natureza; veja-as nas figuras de 
números 20 a 24:
Figura 20: Forma de relevo Talvegue.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Figura 21: Forma de relevo Divisor de águas.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
102 UNIUBE
Figura 22: Forma de relevo Ponto de cela.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Figura 23: Forma de relevo Morro.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Figura 24: Forma de relevo Depressão.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
As curvas de nível são montadas a partir das cotas feitas por um 
nivelamento. Ao processo de traçar as curvas de nível de um terreno, 
é chamado de ‘interpolamento’, e é feito considerando-se a posição 
de cada cota, duas a duas. Atualmente, esse processo é totalmente 
automatizado em vários softwares (Topograph, Geosis, Posição etc.) ou 
mesmo por Macros, do Autocad. 
Acompanhe o processo de lançamento das curvas de nível da Atividade 4 
anterior. 
 UNIUBE 103
1) Precisamos saber qual será a distância vertical entre elas:
vamos criar curvas a cada metro com cotas inteiras; este terreno 
tem a cota mínima de 750,666 e a cota máxima de 756,107, portanto, 
procuraremos as curvas de nível 751,752,753,754,755 e 756.
2) Agora, vamos interpolar: 
• iniciemos pela curva mais baixa: 751; 
• veja o lado ‘bc’ com as cotas 750,954 e 751,260;
• a curva de nível 751 passa neste intervalo e é preciso calcular a que 
 distância se encontra do ponto de cota 751,260 ‘c’
Exemplo1: (E1) Intervalo ‘b/c’: a curva 751 passa do ponto ‘c’ a:
Exemplo 2: (E2) Intervalo ‘b/f’: a curva 751 passa do ponto ‘f’ a: 
Exemplo 3: (E3) Intervalo ‘a/e’: a curva 751 passa do ponto ‘e’: 
Exemplo 4: (E4) Intervalo ‘d/h’: a curva 752 passa do ponto ‘h’ a: 
104 UNIUBE
Assim, sucessivamente, e sempre dois a dois, calcula-se a posição de 
cada curva sobre a reta entre os dois pontos escolhidos (Figura 25).
Figura 25: Curvas de nível calculadas.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
3) A seguir, ligamos os pontos de mesma cota.
Ligando os pontos de mesma cota, forma-se o conjunto de curvas de 
nível, conforme a Figura 26.
Figura 26: Somente curvas de nível.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
9.65
(E2)
 UNIUBE 105
4) Por fim, traçamos e numeramos as curvas de nível obtidas. O relevo 
fica definido pelas curvas de nível, conforme você percebeu na Figura 26. 
Atividade 5
Trace as curvas de nível inteiras, de metro em metro, no terreno representado 
pela Figura 27 a seguir:
 Figura 27: Terreno para traçar as curvas de nível.
 Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Atividade 6 
Trace, de forma aproximada, as curvas de nível inteiras, de metro em metro, 
no terreno 30 x 40m, da Figura 28 seguinte:
AGORA É A SUA VEZ
106 UNIUBE
Figura 28: Terreno para lançar as curvas de nível.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Veja mais sobre curvas de nível. Sites: <http://www.infoescola.com/
geografia/>; <http:// www.geografia.fflch.usp.br/carta/.../curva_nivel.htm>.
PESQUISANDO NA WEB
http://www.infoescola.com/geografia/
http://www.infoescola.com/geografia/
 UNIUBE 107
Greide e seções transversais3.4
3.4.1 Greide
Vamos falar de greide antes de estudarmos as secções transversais. É 
uma palavra inicialmente estranha que significa algo simples, porém de 
vital importância para se definir volumes em terraplenagem.
Já sabemos que as coordenadas (XY) de um ponto são obtidas pela 
planimetria e a cota Z de cada ponto (X, Y) é obtida pelo processo de 
nivelamento. Com o conjunto de ponto (XYZ), podemos ter o sólido que 
compõe a forma de um terreno natural, porém precisamos de outro 
conjunto de cotas – o greide, aquelas que desejamos para cada ponto. 
Exemplo 7
Na Atividade 5 anterior (terreno 20 x 20m), Figura 27, temos um conjunto de 
9 cotas, e se quiséssemos deixá-lo sobre o greide - um plano horizontal na 
cota 22.50m, teríamos que efetuar uma movimentação de terra - corte em 
cada ponto, conforme Figura 29, a seguir, com aterros e cortes. 
EXEMPLIFICANDO!
Figura 29: Terreno com a linha neutra.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
A1,01
108 UNIUBE
Ora, neste caso, todos os pontos do terreno teriam a cota 22.50 como o 
greide. Examine com cuidado a Figura 29 e, se entendeu o que é greide, 
podemos pensar, então, em calcular volume, que é o objetivo central deste 
capítulo.
Observe que o talude para corte é 1/1 e para aterro, 2/3.
Atividade 7
a) Qual é o greide para um platô na Figura 27 (Atividade 5), caso queiramos 
apenas cortar nesse terreno 20cm abaixo do ponto mais baixo?
b) Qual a cota mínima do greide para um platô de somente aterro? 
c) Quais seriam as cotas do greide, se quiséssemos umplano inclinado 
de 2% para o lado direito, usando a cota média geométrica na lateral 
esquerda?
AGORA É A SUA VEZ
3.4.2 Seções transversais 
Seções transversais são perfis das cotas de um terreno natural e seu 
greide respectivo. São cortes no terreno paralelos entre si. A Figura 30, 
a seguir, ilustra esse conceito.
Figura 30: Seções Transversais. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 109
Perfis são cortes geralmente com escalas desproporcionais, na razão de 
10 vezes, entre as escalas horizontal e a vertical. 
Exemplo 8
Desenhe as seções transversais na Figura 29 do Exemplo 7 anterior:
EXEMPLIFICANDO!
Figura 31: Terreno para seções transversais.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
A seguir, observe as seções correspondentes na Figura 32.
Figura 32: Seções transversais.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais. 
Agora que entendemos o que são seções transversais, podemos iniciar 
a explicação sobre o cálculo de volumes.
A1,01
A1,01
C1,6
110 UNIUBE
3.4.3 Cálculo de volumes 
O volume entre as seções será sempre calculado para uma sequência 
de seções, utilizando-se a equação:
Então, para calcularmos o volume de terraplenagem, corte(m³) ou 
aterro(m³), basta:
1) desenharmos as seções transversais com base no terreno e greide;
2) calcularmos as áreas de cada seção;
3) montarmos uma planilha que soma os volumes parciais.
Exemplo 9
Vamos calcular o volume (m³) de corte no terreno (30x35m), sabendo que 
as cotas do terreno natural foram obtidas pela nivelamento geométrico, e o 
greide é um platô na cota 46,00m, conforme Figura 33, a seguir.
EXEMPLIFICANDO!
Figura 33: Terreno e greide para seções transversais.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
S3=62,71m²
 UNIUBE 111
Distância entre a seção 0 e seção 1
Talude e variação de seu afastamento; então, tiramos a média dos 
afastamentos: distância = (0,50+1,05+1,50)/3= 1.0166
Distância entre seção 4 e seção 5: (3,68+3,30+3,02)/3= 3.33
Observe que sempre haverá uma seção inicial e final com área 
igual a zero. Essas seções ocorrem devido ao talude. 
Folha de cubação: é uma planilha em que se calcula, de forma rápida, o 
volume a partir das áreas das seções, como na Tabela 9, a seguir.
Tabela 9: Folha de cubação
Folha de cubação
Seção Área Soma das Áreas Semidistância Volume Parcial Volume Total
S0 0,00
S1 21,75 21,75 0,51 11,06 11,06
S2 41,00 62,75 5,00 313,75 324,81
S3 62,71 103,71 5,00 518,55 843,36
S4 77,83 140,54 5,00 702,71 1546,06
S5 0,00 77,83 1,66 129,20 1675,26
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
112 UNIUBE
Exemplo 10
Calcular o volume de terra existente em um monte, conforme Figura 34, 
em que se visualizam suas curvas de nível.
Procedimentos:
1º. – estudar a disposição das 
seções transversais;
2º. – desenhar as seções 
preferencialmente no 
computador usando 
software Autocad ou 
similar (Figura 35); 
3º. – calcular as áreas 
das seções;
4º. – montar a folha de cubação.
Figura 34: Morro para seções transversais.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Analise, na Figura 35, como foram montadas as seções transversais.
Figura 35: Seções transversais em um morro.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
 UNIUBE 113
Tabela 10: Folha de cubação do Exemplo 10
Folha de cubação
Seção Área
Soma das 
Áreas
Semidistância
Volume 
Parcial
Volume 
Acumulado
S1 0
S2 53,14 53,14 5 265,70 265,70
S3 87,4 140,54 5 702,70 968,40
S4 149,62 237,02 5 1185,10 2153,50
S5 176,61 326,23 5 1631,15 3784,65
S6 165,65 342,26 5 1711,30 5495,95
S7 90,68 256,33 5 1281,65 6777,60
S8 0 90,68 5,36 486,04 7263,64
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
O volume de material neste monte é de 7.263,64m³
Quanto menor a distância entre as seções, melhor será o resultado do 
cálculo do volume.
DICAS
Atividade 8
Calcule o volume de aterro no terreno da Figura 36 a seguir, sabendo que 
haverá um muro de arrimo em toda as divisas. O greide é um platô com cota 
30cm acima do ponto mais alto.
AGORA É A SUA VEZ
114 UNIUBE
Figura 36: Terreno para desenhar seções transversais.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Atividade 9
Calcule os volumes de corte e aterro, ao mesmo tempo, para o terreno da 
Figura 37, a seguir: sendo o platô horizontal na cota média geométrica e 
rampas para fora de cortes 1/1 e aterros 2/3, com greide: platô na cota 22,50. 
Figura 37: Terreno para seções transversais.
A1,01
 UNIUBE 115
É importante ficar atento, pois a folha de cubação, na Tabela 11, será uma 
só para os dois volumes. Veja o modelo, a seguir, antes de calcular:
Tabela 11: Modelo de folha de cubação para corte e aterro
Folha de Cubação para Corte e Aterro
Seção Áreas
Soma das 
Áreas
Semidis- 
tância
Volumes 
Parciais
Volumes 
Acumulados
Corte Aterro Corte Aterro Corte Aterro Corte Aterro
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
Atividade 10
Calcule o volume de corte e aterro para o terreno da Figura 38, a seguir, 
sabendo que o greide será um plano horizontal na cota média geométrica. 
Figura 38: Figura para fazer a cubação.
Fonte: Osmar Ribeiro de Morais.
116 UNIUBE
Passos:
a) desenhe as seções;
b) calcule as áreas;
c) monte a folha de cubação. 
Finalizando esse capítulo, queremos relembrá-lo de que a precisão desse 
sistema de cálculo de volumes em terraplenagem está diretamente ligada 
à distância entre as seções transversais, isto é, quanto mais próximas, 
mais preciso o volume obtido. Pense nisso antes de montar as seções 
no campo.
Resumo
Chegamos ao final deste capítulo introdutório aos conceitos de Altimetria. 
Apesar de introdutório, pode-se notar que muitos dos conhecimentos aqui 
levantados são exigidos para a completa compreensão do conteúdo. 
Observe então que este é um capítulo multidisciplinar. Se algum conteúdo 
não foi bem-assimilado, retome a leitura fazendo anotações dos principais 
pontos-chave.
O levantamento topográfico é entendido como sendo o conjunto de 
operações que tem por objetivo a determinação da posição relativa 
de pontos na superfície da Terra. Essas operações consistem, 
essencialmente, em medir distâncias verticais e horizontais entre diversos 
pontos, determinar ângulos entre alinhamentos e achar a orientação 
destes alinhamentos. Complementando essas operações, tem-se o 
cálculo das observações, permitindo determinar distâncias, ângulos, 
orientações, posições, alturas, áreas e volumes. Calculados esses dados 
de campos, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis 
longitudinais e transversais, diagramas entre outros. Esses dados obtidos 
são fundamentais para a execução das obras de engenharia.
Esperamos que você, em relação à Topografia, tenha compreendido os 
conceitos de Altimetria e saiba como determinar os cálculos de volume 
de corte e aterro.
Bons estudos!
 UNIUBE 117
Referências
CEFET-SC. Altimetria. Centro Federal de Educação Tecnológica. Departamento 
Acadêmico da Construção Civil. Curso Técnico de Geomensura. Disciplina: Topografia II. 
Disponível em: <http://agrimensura.florianopolis.ifsc.edu.br/download/Topografia%20II. 
pdf>. Acesso em: 09 maio.2012.
IBGE. Noções básicas de Cartografia, 1999.
BORGES, Alberto de Campos. Exercício de Topografia. 3. ed. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1975. 
LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Curso de Topografia. 7. ed. Porto Alegre: 
Globo, 1980.
LOCK, Carlos. Topografia contemporânea. UFCR,1999.
NIETO, Álvaro Torres; BONILHA, Eduardo Villate. Topografia. 1. ed. Bogotá. 
Escuela Colombiana de Ingenieria, 2001.
RAIZ, Erwin Josephus. Cartografia geral. Rio de Janeiro, 1969.
Luciano Rodrigues
Introdução
Altimetria IICapítulo
4
Na área das engenharias, especialmente na Engenharia civil, 
é de extrema importância o conhecimento, não só da projeção 
horizontal e área de um terreno, como também o estudo e 
a representação de seu relevo, identificando suas formas e 
acidentes. 
A superfície de um terreno, com seus vales e montanhas, é 
denominada pela Cartografia como Superfície topográfica. A 
Altimetria, ou Hipsometria, é a parte da Topografia que trata dos 
métodos e instrumentos empregados no estudo e representaçãodo relevo da superfície topográfica, tendo como finalidade a 
medida da diferença de nível entre dois ou mais pontos no terreno. 
Por meio da Altimetria, pode-se determinar o relevo de um terreno. 
A operação realizada para determinar as diferenças de níveis entre 
dois ou mais pontos no terreno, chama-se Nivelamento altimétrico 
ou Levantamento altimétrico. Em conjunto com o Levantamento 
planimétrico, estudado em Topografia I, o Levantamento altimétrico 
forma o Levantamento planialtimétrico, que é utilizado nas obras 
de Engenharia civil que envolvem o conhecimento do relevo do 
local, como construção civil, barragens, estradas e túneis.
Nos últimos anos, o Sistema de Posicionamento Global (GPS 
– Global Positioning System), originariamente concebido para 
fins militares, teve seu escopo estendido a vários campos do 
conhecimento. A integração do GPS com a Cartografia abriu 
120 UNIUBE
um grande horizonte para o engenheiro, particularmente para 
aplicações antes restritas ao campo da Topografia. Por exemplo, 
em vários empreendimentos das engenharias são utilizadas as 
coordenadas ortogonais UTM, ou mesmo o georreferenciamento 
de precisão, não só para aumentar o grau de precisão e exatidão 
das medições, como para integrar o trabalho executado em um 
sistema de informações geográficas (GIS – Geographic Information 
System). É fundamental que o engenheiro saiba identificar os 
limites e as aplicações da Topografia e da Cartografia, utilizando 
o georreferenciamento de precisão.
Este capítulo tem por objetivos principais: 
• apresentar os conceitos utilizados no campo da Altimetria; 
• descrever os principais métodos de nivelamento topográfico; 
• identificar os instrumentos utilizados no nivelamento topográfico 
e as técnicas empregadas nestas medições. 
Para tanto, propomos, como objetivos secundários:
• conhecer a Norma ABNT NBR 13133 “Execução de Levanta-
mento Topográfico” e os conceitos básicos referentes ao tema 
Cartografia;
• desenvolver a base teórica necessária à execução de 
trabalhos práticos de Topografia, que consiste no levantamento 
altimétrico em campo, construção da caderneta de campo, 
cálculos altimétricos e confecção de plantas planialtimétricas.
4.1 Conceitos básicos de Altimetria
4.1.1 Estacionamento de equipamentos topográficos
4.1.2 Tabelas de classificação de equipamentos topográficos
4.1.3 Generalidade e definições
Objetivos
Esquema
 UNIUBE 121
4.2 Altimetria
4.2.1 Conceitos básicos de Altimetria
4.3 Levantamento de curvas de nível 
4.3.1 Critérios de levantamento de curvas de nível
4.3.2 Etapas do levantamento das curvas de nível
4.3.3 Procedimentos para desenho das curvas de nível
4.3.4 Topologia
4.3.5 Noções de Cartografia
4.3.6 Escala
4.3.7 Seleção de escala
4.3.8 Projeções cartográficas
4.3.9 Sistema de coordenadas cartográficas
4.3.10 Classificação de cartas e mapas
Conceitos básicos de Altimetria4.1
4.1.1 Estacionamento de equipamentos topográficos
Antes de tratar do assunto específico deste volume, serão apresentados 
os procedimentos para estacionamento de equipamentos topográficos. 
Baseado no trabalho de Geomensura (CEFET-SC, 2010), este 
procedimento visa auxiliar o aluno no estacionamento de equipamentos 
topográficos com prumo ótico – teodolito, níveis de luneta e estações 
totais:
122 UNIUBE
• Passo 1 – posicionar o tripé do instrumento aproximadamente 
na vertical do ponto topográfico. Caso a superfície topográfica 
seja irregular, posicionar apenas uma perna na parte mais alta 
e utilizar o fio de prumo para auxiliar na detecção da vertical. 
Procurar adaptar a altura do tripé para a sua altura, não deixando 
de considerar a irregularidade da superfície e nem a altura do 
instrumento. Aproveitar este momento para deixar a mesa do tripé 
aproximadamente nivelada e cravar uma das pernas no solo (de 
preferência a que estiver na parte mais alta do terreno);
• Passo 2 – retirar o instrumento de seu estojo e colocá-lo sobre 
o tripé. Posicionar os três calantes numa mesma altura (de 
preferência num ponto intermediário do recurso total do calante);
• Passo 3 – posicionar a marca central do prumo ótico sobre o ponto 
topográfico utilizando as duas pernas do tripé que ainda não estão 
cravadas. Quando a marca estiver perfeitamente sobre o ponto 
topográfico, cravar as pernas soltas e iniciar o nivelamento da 
bolha circular utilizando as três pernas. Prestar atenção na direção 
formada pela bolha e o círculo. Esta direção irá definir com qual 
perna você deverá subir ou abaixar a mesa;
• Passo 4 – conforme as ilustrações das Figuras 1a e 1b, a seguir, a 
perna que deverá baixar a mesa é a perna 1, pois a bolha circular 
está na sua direção, para o seu lado.
Figura 1.a: Vista superior da bolha circular do 
equipamento. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Figura 1.b: Vista superior do tripé do equipamento.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 123
• Passo 5 – com a bolha perfeitamente dentro do círculo (automa-
ticamente a mesa estará nivelada, pois os calantes estão numa 
mesma altura), verificar se a marca central do prumo ótico saiu da 
vertical do ponto. Caso ela tenha saído, afrouxe o instrumento do 
tripé e posicione novamente a marca sobre o ponto topográfico;
• Passo 6 – iniciar o nivelamento da bolha tubular utilizando o “Mé-
todo dos Três Calantes”, ou o “Método do Calante Perpendicular”. 
Independente de qual método seja utilizado, o procedimento de-
verá ser executado duas vezes. Uma vez completado, verificar se 
a marca central do prumo ótico saiu do ponto. Caso tenha saído, 
refazer o procedimento.
• Passo 7.a: (Vide Figura 2) Método dos três calantes: deixar a 
bolha tubular paralela aos calantes 1-2 e efetuar o seu nivelamento 
utilizando somente estes dois calantes. O movimento dos calantes 
deverá ser sempre em sentidos opostos (quando um for girado 
no sentido horário, o outro deverá ser girado no anti-horário). Em 
seguida, posicionar a bolha tubular paralela aos calantes 2-3 e 
utilizar estes calantes para nivelar a bolha. Não esquecer que os 
calantes devem girar em sentidos opostos. Finalmente, deixar a 
bolha paralela aos calantes 3-1 e efetuar o seu nivelamento.
Figura 2: Base do equipamento mostrando os três calantes 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
124 UNIUBE
• Passo 7.b: Método do calante perpendicular: deixar a bolha 
paralela aos calantes 1-2 e efetuar o seu nivelamento utilizando 
somente estes dois calantes. O movimento dos calantes deverá 
ser sempre em sentidos opostos (quando um for girado no sentido 
horário, o outro deverá ser girado no anti-horário). Em seguida, 
posicionar a bolha tubular perpendicular aos calantes 1-2 e utilizar 
somente o calante 3 para nivelar a bolha. 
Figura 3: Movimento dos calantes.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Antes de executar as aulas de campo de Altimetria, exercite seus 
conhecimentos sobre os procedimentos de estacionamento de 
equipamentos topográficos, treinando o Método dos três 
calantes e o Método do calante perpendicular. Você terá uma 
produtividade muito maior em campo e suas medições serão 
mais precisas e confiáveis.
4.1.2 Tabelas de classificação de equipamentos topográficos
Tabela 1: Classificação de teodolitos
Classes de teodolitos Desvio padrão
Precisão angular
1 – precisão baixa
2 – precisão média
3 – precisão alta
Fonte: NBR 13133 (1994, p. 6).
Tabela 2: Classificação dos níveis 
Classes de níveis Desvio padrão
1 – precisão baixa
2 – precisão média
3 – precisão alta
4 – precisão muito alta
Fonte: NBR 13133 (1994, p. 6).
 UNIUBE 125
Tabela 3: Classificação do MED
Classes do MED Desvio padrão
1 – precisão baixa
2 – precisão média
3 – precisão alta
Fonte: NBR 13133 (1994, p. 6).
Tabela 4: Classificação de estações totais 
Classes de estações totais
Desvio padrão
Precisão angular
Desvio padrão
Precisão linear
1 – precisão baixa
2 – precisão média
3 – precisão alta
Fonte: NBR 13133 (1994, p. 7).
4.1.3 Generalidade e definições
Ao se estudar a forma da superfície da Terra, torna-se necessário 
reconhecera diferença de três conceitos:
Superfície real: a superfície terrestre é totalmente irregular, o que 
impossibilita sua modelagem perfeita por meio de figuras geométricas. 
Por isso, utiliza-se o geoide como uma figura que simplifica estas 
irregularidades. 
Em levantamentos topográficos, trabalha-se sobre a superfície real da 
Terra, ou seja, sua superfície física, considerando as suas irregularidades 
locais, ou seja, a superfície topográfica. É nesta superfície topográfica 
que se materializam os pontos topográficos de um levantamento. O plano 
topográfico é um conceito abstrato – uma superfície plana perfeita, sem 
curvatura e que é tangente à superfície da esfera terrestre e possui 
dimensões limitadas ao campo topográfico.
126 UNIUBE
Geoide: a superfície da Terra não é esférica nem elíptica, como é 
modelada matematicamente nos estudos geodésicos. Na verdade, a 
superfície terrestre é completamente irregular. A forma mais aproximada 
do planeta é o geoide, um modelo físico da forma da Terra baseado numa 
superfície de potencial gravitacional constante, que, em média, coincide 
com o valor médio do nível médio das águas do mar.
Elipsoide: a forma real da Terra caracteriza-se por um leve achatamento 
nos polos e alargamento no Equador. Por isso, a figura geométrica que 
mais se assemelha à forma da Terra é um elipsoide de revolução e 
não uma esfera, como se vê nos globos terrestres utilizados no Ensino 
Fundamental. Elipsoide de revolução é uma figura originada da rotação 
de uma elipse pelo eixo menor. Um elipsoide de revolução que descreve 
a forma da Terra é denominado elipsoide de referência. Ele é definido 
pelos seus semieixos maior e menor. Na prática, em Geodésia, utiliza-se 
o semieixo maior (designado pela letra a) e o achatamento (designado 
pela letra f). Por exemplo, para o elipsoide de referência do WGS-84, 
tem-se:
• raio equatorial = 6.378.137,0000 m;
• raio polar = 6.356.752,3142 m;
• inverso do achatamento (1/f) = 298,257223563.
Você conhece as equações utilizadas no estudo de elipses? 
Sabe definir quais são os seus parâmetros? Não perca esta 
oportunidade de recordar estes conceitos de Geometria analítica!
“Geodésia é a ciência que se ocupa da determinação da forma, das 
dimensões e do campo de gravidade da Terra. Na prática, a atuação do 
IBGE, instituição responsável no País por essas atividades, caracteriza-se pela 
implantação e manutenção do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), formado 
pelo conjunto de estações, materializadas no terreno, cuja posição serve 
como referência precisa a diversos projetos de engenharia – construção 
de estradas, pontes, barragens etc. –, mapeamento, geofísica, pesquisas 
científicas, dentre outros. 
SAIBA MAIS
 UNIUBE 127
As atividades geodésicas têm experimentado uma verdadeira revolução 
com o advento do Sistema de Posicionamento Global (GPS). A capacidade 
que este sistema possui de permitir a determinação de posições, estáticas 
ou cinemáticas, aliando rapidez e precisão muito superiores aos métodos 
clássicos de levantamento, provocou a necessidade de revisão das 
características do SGB. A implantação da Rede Brasileira de Monitoramento 
Contínuo (RBMC) representa a consequência desta rediscussão. Com 
o seu funcionamento, os usuários de informações do IBGE passarão 
a contar com uma infraestrutura ativa e compatível com os métodos 
atuais de posicionamento baseados no GPS. Entretanto, a componente 
altimétrica do SGB ainda não está totalmente contemplada, em virtude de 
desconhecermos com suficiente precisão a forma real da Terra (geoide). 
Com isto, há a necessidade de concentrarem-se esforços nas atividades de 
nivelamento geodésico, de maregrafia e de gravimetria, que levarão a um 
maior conhecimento do geoide, com todas as suas anomalias, segundo a 
escala dos geodesistas. Será possível, então, o uso da ferramenta GPS em 
um espectro mais amplo de aplicações onde se busca preferencialmente a 
determinação dos valores de altitude.” (IBGE, 2010).
Altimetria4.2
4.2.1 Conceitos básicos de Altimetria
4.2.1.1 Superfícies equipotenciais ou superfícies de níveis
Numa dada região em estudo topográfico, o conjunto de pontos que 
possuem a mesma cota (altura em relação a um plano de referência) ou 
altitude (superfície de referência) é desenhado como uma linha contínua 
que une estes pontos. Esta linha chama-se curva de nível. Assim, numa 
planta altimétrica, constroem-se várias destas curvas, cada uma com 
uma altitude ou cota específica e com espaçamento (diferenças de 
altitude ou cota) constante entre elas (equidistância vertical), escolhido 
de forma compatível com a escala e a declividade do terreno. Veja essas 
características na Figura 4 a seguir.
128 UNIUBE
Figura 4: Superfícies equipotenciais.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Na construção de curvas de nível, o topógrafo deve atentar-se para as 
seguintes propriedades da Altimetria:
• cada curva de nível fecha-se sobre si mesma, dentro ou fora dos 
limites do papel;
• duas curvas de nível, adjacentes ou não, nunca se cruzam; 
• várias curvas de níveis podem chegar a ser tangentes entre si; isso 
ocorre no caso de terreno em rocha viva;
• uma curva de nível não pode bifurcar-se;
• terrenos planos apresentam curvas de níveis mais espaçadas que 
terrenos acidentados. 
 UNIUBE 129
4.2.1.2 Referência de nível 
Referência de Nível (RN) é um plano arbitrário que o topógrafo escolhe 
como referência para realizar uma medição. A cota da RN pode ser 0,00 
m ou qualquer outro valor arbitrado, uma vez que o que interessa é 
a diferença de altura entre cada ponto da área trabalhada e a RN. A 
simbologia para RN em planta e em corte, utilizada em desenhos de 
Engenharia está apresentada na Figura 5.
Nível em planta Nível em corte
Figura 5: Simbologia para nível em desenhos de Engenharia.
4.2.1.3 Cota absoluta de um ponto ou altitude de um ponto
Trata-se da altitude real do ponto em questão, ou seja, é a sua altura em 
relação ao geoide, medida na direção vertical.
4.2.1.4 Cota de um ponto
É a distância vertical deste ponto e a RN, ou seja, é a altura deste ponto 
em relação à superfície de referência com a qual se está trabalhando, 
como se vê na Figura 6. 
Figura 6: Diferença entre cota e altitude.
Fonte: Adaptado de (VEIGA, ZANETTI e FAGGION, 2007, p. 130).
130 UNIUBE
4.2.1.5 Diferença de nível entre dois pontos 
O problema básico da Altimetria é determinar a diferença de nível entre 
dois pontos. Esta diferença representa a distância vertical que separa 
estes dois pontos topográficos em questão. A diferença pode ser positiva, 
negativa ou nula, de acordo com a posição relativa do ponto estudado em 
relação ao ponto tomado como referência para a medição do desnível.
Instrumentos de nível
Existem inúmeras tarefas que demandam o uso de instrumento de 
medição ou determinação de nível, indo desde tarefas simples, como 
nivelar uma mesa, nivelar uma parede, nivelar um piso ou nivelar um 
campo de futebol até tarefas mais complexas, como nivelar pilares entre 
os diversos pavimentos de um edifício, realizar o nivelamento topográfico 
de um loteamento, de campo de aviação, de um trecho de vale de um 
rio para estudo de viabilidade de construção de uma barragem, dentre 
outros.
No desenrolar da história da humanidade, vários tipos de níveis foram 
desenvolvidos. Assim, existem no mercado níveis de tecnologia bastante 
simples como os níveis de bolha de uso geral até os níveis de alta 
tecnologia, que permitem medições com alta precisão e exatidão. 
Associadas às tecnologias dos equipamentos de níveis, têm-se as 
metodologias ou procedimentos de nivelamento. Por exemplo, no 
processo de medição com nível de luneta, necessita-se de miras, balizas, 
tripé e dois operadores.
De acordo com a Norma ABNT NBR 13133, os níveis são classificados 
segundo o desvio padrão de 1 km de duplo nivelamento, conforme 
apresentado na Tabela 2, no início desse capítulo.
• Nível de mangueira
Trata-se, na verdade, de uma metodologia de medição de nível, baseadono princípio dos vasos comunicantes. É muito utilizada na construção civil 
para nivelamentos simples, como pisos, janelas e outros.
 UNIUBE 131
Pode, também, ser utilizado para levantar curvas de nível do terreno 
em aplicações agrícolas. A mangueira deve ser de diâmetro pequeno e 
parede espessa e ser transparente. Nesse processo, deve-se evitar a 
formação de bolhas para se obterem medições confiáveis. 
Neste método, fazem-se necessários dois operadores, duas balizas, 
duas trenas e uma mangueira. As figuras 7a e 7b ilustram a aplicação do 
método do nível de mangueira em um levantamento altimétrico.
Figura 7.a.: Método do nível de mangueira.
Fonte: Adaptado (PLANOAUDITORIA, 2010, p. 11-12).
Figura 7.b: Levantamento altimétrico em terreno com aclive utilizando o método do nível de 
mangueira.
Fonte: Adaptado (PLANOAUDITORIA, 2010, p. 11-12).
132 UNIUBE
Para alinhar verticalmente uma parede, muro ou pilar, utiliza-se 
na prática da construção civil o nível de prumo, que consiste em 
um cordão com um peso em sua extremidade inferior. Qual 
princípio físico fundamenta o seu uso? 
Levantamento topográfico altimétrico ou nivelamento
Segundo a NBR 13.133, é o “Levantamento que objetiva, exclusivamente, 
a determinação das alturas relativas a uma superfície de referência, 
dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-se o 
conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação 
altimétrica da superfície levantada”.
Existem vários processos para se determinar o nivelamento geométrico 
em campo. Aqui serão estudados os seguintes processos:
• nivelamento geométrico (simples ou composto);
• nivelamento trigonométrico;
• nivelamento barométrico.
• Nivelamento geométrico
O Nivelamento geométrico caracteriza-se pela utilização de mira 
graduada e nível de luneta. Assim, neste método, não se trabalha com 
ângulos, como se pode verificar pela Figura 8, a seguir.
Figura 8: Nivelamento geométrico.
Fonte: Adaptado (CEFET-SC, 2010, p. 14).
 UNIUBE 133
O procedimento consiste em se estacionar o nível entre os dois pontos 
que se deseja levantar o desnível, de preferência no ponto central, para 
corrigir o erro de curvatura da Terra. 
Em seguida, coloca-se a mira verticalmente em um dos pontos e faz-se 
a leitura, por exemplo, a leitura de ré. Leva-se a mira até o outro ponto, 
coloca-a na posição vertical, e toma-se a leitura. Neste caso, leitura de 
vante. O desnível é calculado pela diferença entre a leitura de Ré e a 
leitura de Vante.
⇒	Nivelamento geométrico simples 
No Nivelamento geométrico simples, determina-se a diferença de nível 
entre dois pontos. Para minimizar os erros da curvatura terrestre e da 
refração atmosférica dos raios de luz, deve-se estacionar o nível de forma 
que fique equidistante dos dois pontos sob medição. A distância máxima 
ideal entre os dois pontos é de 60 m, podendo-se aceitar distâncias de 
até 80 m.
Erro de esfericidade da Terra ou erro de curvatura da Terra: em distâncias 
superiores a 1 km, o erro de curvatura da Terra é significativo num 
levantamento topográfico e deve ser compensado. A correção é sempre 
positiva e deve ser somada algebricamente às diferenças de níveis 
aparentes. O seu valor é dado pela seguinte fórmula:
2
2e
DC
R
= , em que: 
Ce – correção devida ao efeito de esfericidade da Terra;
D – distância entre os dois pontos;
R – raio da Terra.
SAIBA MAIS
134 UNIUBE
Erro de refração atmosférica: trata-se de uma distorção na propagação do 
sinal luminoso entre a mira e o nível, causada pela refração deste sinal 
durante o percurso mira-nível. Em função desta distorção, acontece uma 
curvatura do raio luminoso, o que leva ao erro de medição. O valor da 
correção é dado pela seguinte equação:
2
r
D ne
R
⋅
= − , em que:
er – erro de refração;
D – distância entre os dois pontos;
R – raio da Terra;
n – coeficiente experimental, em torno de 0,08.
Observação: existem outras fontes de erro durante as medições que podem 
ser mais significativas que estas duas distorções citadas anteriormente. Por 
exemplo, para uma dada medição, se três operadores efetuarem a leitura 
no nível, normalmente anotam resultados distintos. 
⇒ Nivelamento geométrico composto
Em alguns casos, não é possível determinar por meio de uma única 
medição (nivelamento geométrico simples) o desnível entre dois pontos. 
Isso ocorre em função de desníveis muito acentuados (o limite de altura 
da mira é, normalmente, de 4m), em relação à distância entre os pontos 
de ré e vante ou ainda quando eles não forem visíveis entre si.
Neste caso, a alternativa da Topografia é a decomposição do trecho 
a nivelar em dois ou mais trechos intermediários, como visualizado na 
Figura 12.
Figura 9: Nivelamento geométrico composto.
Fonte: Adaptado (CEFET-SC, 2010, p. 15).
 UNIUBE 135
Este método é chamado de nivelamento geométrico composto e 
consiste na utilização, em cada trecho, do mesmo procedimento visto 
no nivelamento geométrico simples.
• Nivelamento trigonométrico ou Taqueometria
O nivelamento trigonométrico substitui o nivelamento geométrico no 
levantamento de áreas extensas, quando existirem grandes desníveis 
ou quando se necessita nivelar muitas linhas de visadas em direções 
distintas em estudos de vales. 
Utilizado também para determinar a altura de torres e prédios, por 
exemplo, o nivelamento geométrico é mais preciso, porém é mais moroso 
que o trigonométrico. 
O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de um triângulo 
retângulo, onde se conhece a distância horizontal entre os pontos e 
procura-se determinar o desnível por meio da determinação do ângulo 
entre eles. Neste método, utiliza-se de um teodolito e uma mira.
Observe a Figura 10.
Figura 10: Nivelamento trigonométrico.
Fonte: Adaptado (BORGES, 2010, p. 21).
136 UNIUBE
Pode-se demonstrar que o cálculo da distância D, na Figura 10, é dado por:
2( ) ( )
10
s iL LD sen z−
= ⋅ , em que:
Ls – leitura superior (S);
Li – leitura inferior (I);
Z – ângulo zenital.
O desnível entre os dois pontos pode ser calculado pela seguinte 
equação (BORGES, 2010, p. 21):
∆H = D.tg (90° – z) + hi – M ou ∆H = D.tg a + hi – M, em que:
a – ângulo vertical ao horizonte;
z – ângulo zenital;
hi – altura do teodolito;
D – distância entre os pontos; 
∆H – desnível entre os pontos;
M – leitura estadimétrica no retículo médio. 
Num dado alinhamento AB, dada a cota do ponto A, o cálculo da cota do 
ponto B é dado pela soma da cota do ponto A mais a diferença de altura 
(ΔH) entre os dois pontos (A e B), tanto para o nivelamento geométrico (com 
nível) quanto para o trigonométrico (teodolito): 
B A ABC C H= + ∆
Por exemplo, se o ponto A tem altura = 820,500 m e a diferença de altura 
para o ponto B é de 3,036 m, a cota do ponto B é:
820,500 3,036 823,536 .BC m= + =
REGISTRANDO
 UNIUBE 137
Determinar as cotas dos pontos levantados por nivelamento trigonométrico 
da Figura 11, a partir da estaca E1. Altura do aparelho I = 1500 mm; ZE1 = 
745,240 m.
 
Figura 11: Pontos levantados por nivelamento trigonométrico. 
Equações fornecidas:
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅ (1)
H V I L∆ = + − (2)
distânciaV
tgβ
= (3)
B A ABC C H= + ∆ (4)
Resolução:
Para cada ponto visado, temos o ângulo zenital β, as leituras dos fios da mira 
(leitura superior, leitura do fio médio e leitura inferior), conforme mostramos 
na Tabela 6 a seguir. 
EXEMPLIFICANDO!
138 UNIUBE
Tabela 6: Leituras para cada ponto levantado na Figura 11, a partir do ponto E1
E PV α β MIRA
DISTÂNCIA 
[m]
ΔH 
[m]
COTA 
[m]
E1
P3 270° 88,5000°
2204
1602
1000
P2 270° 86,8000°
1810
1405
1000
P1 270° 88,9000°
1400
1200
1000
P4 90°92,5000°
1380
1190
1000
P5 90° 91,0000°
1820
1410
1000
P6 90° 92,0000°
2100
1550
1000
Com estas informações e as equações (1), (2) e (3) dadas, podemos 
calcular a distância e o desnível para cada ponto visado. Fica faltando a 
determinação da cota de cada ponto, que pode ser calculada a partir da cota 
do ponto E1, que foi fornecida, com a utilização da equação (4).
• Ponto P3
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(2204 1000) 88,5000 120,317
10
distância sen m−
= ⋅ =
 UNIUBE 139
distânciaV
tgβ
=
120,317 3,1506
(88,5000)
V m
tg
= =
H V I L∆ = + −
3,1506 1,500 1,602 3,049H m∆ = + − =
3 1 1 3P E E PC C H= + ∆
3 745,240 3,049 748,289PC m= + =
• Ponto P2
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(1810 1000) 86,8000 80,748
10
distância sen m−
= ⋅ =
distânciaV
tgβ
=
80,748 4,514
(86,8000)
V m
tg
= =
H V I L∆ = + −
4,514 1,500 1,405 4,609H m∆ = + − =
2 1 1 2P E E PC C H= + ∆
2 745,240 4,609 749,849PC m= + =
140 UNIUBE
• Ponto P1
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(1400 1000) 88,9000 39,985
10
distância sen m−
= ⋅ =
distânciaV
tgβ
=
39,985 0,768
(88,9000)
V m
tg
= =
H V I L∆ = + −
0,768 1,500 1,200 1,068H m∆ = + − =
1 1 1 1P E E PC C H= + ∆
1 745,240 1,068 746,308PC m= + =
• Ponto P4
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(1380 1000) 92,5000 37,928
10
distância sen m−
= ⋅ =
distânciaV
tgβ
=
37,928 1,656
(92,5000)
V m
tg
= = −
H V I L∆ = + −
 UNIUBE 141
1,656 1,500 1,190 1,346H m∆ = − + − = −
4 1 1 4P E E PC C H= + ∆
4 745,240 1,346 743,894PC m= − =
• Ponto P5
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(1820 1000) 91,0000 81,975
10
distância sen m−
= ⋅ =
distânciaV
tgβ
=
81,975 1,431
(91,0000)
V m
tg
= = −
H V I L∆ = + −
1,431 1,500 1,410 1,341H m∆ = − + − = −
5 1 1 5P E E PC C H= + ∆
5 745,240 1,341 743,899PC m= − =
• Ponto P6
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅
2(2100 1000) 92,0000 109,866
10
distância sen m−
= ⋅ =
142 UNIUBE
distânciaV
tgβ
=
109,866 3,837
(92,0000)
V m
tg
= = −
H V I L∆ = + −
3,837 1,500 1,550 3,887H m∆ = − + − = −
6 1 1 6P E E PC C H= + ∆
6 745,240 3,887 741,353PC m= − =
Finalmente, temos todos os dados para completar a Tabela 6 anterior.
Tabela 7: Tabela 6 com as informações completas sobre os pontos a partir da estaca E1
E PV α β MIRA DISTÂNCIA [m] ΔH [m] COTA [m]
E1
P3 270° 88,5000°
2204
120,317 3,049 748,2891602
1000
P2 270° 86,8000°
1810
80,748 4,609 749,8491405
1000
P1 270° 88,9000°
1400
30,985 1,068 746,3081200
1000
P4 90° 92,5000°
1380
37,928 -1,346 743,8941190
1000
P5 90° 91,0000°
1820
81,975 -1,341 743,8991410
1000
P6 90° 92,0000°
2100
109,866 -3,887 741,3531550
1000
 UNIUBE 143
• Nivelamento barométrico
O nivelamento barométrico prevê a determinação da altitude de um 
ponto topográfico por meio da medição da pressão atmosférica no 
local do mesmo. O princípio físico utilizado é o da relação inversa entre 
pressão atmosférica e altitude. Pode ser utilizado qualquer método de 
determinação para pressão atmosférica. 
Uma vez determinada a altitude dos dois pontos, obtém-se o desnível 
por subtração dos valores das altitudes. Apesar deste tipo de medição 
estar relacionado diretamente com o nível verdadeiro do ponto, não é um 
processo de alta precisão, sendo, por isso, indicado para trabalhos de 
reconhecimento. A seguir, estão detalhados dois tipos de instrumentos 
utilizados no nivelamento barométrico:
– Altímetro analógico: é um instrumento analógico cujo 
ponteiro se desloca em função da variação de pressão aplicada 
à sua cápsula metálica, que é fechada a vácuo. Alguns tipos de 
altímetros possuem um mecanismo para compensar o efeito da 
temperatura.
Você se lembra da relação entre pressão, volume e temperatura? 
Se sim, parabéns! Se não, este é um bom momento para rever 
esta importante relação de grandezas físicas!
– Altímetro digital: o princípio de funcionamento é o mesmo 
do altímetro analógico. A diferença é que neste existe um 
transdutor que converte a diferença de pressão (entre a pressão 
atmosférica externa e o vácuo interno) em tensão elétrica 
(diferença de potencial elétrico). A partir da tensão elétrica, 
um circuito eletrônico conversor A/D (analógico para digital) 
transforma a variável analógica v(t) em uma variável digital que 
é mostrada no visor de LCD (visor de cristal líquido) na forma 
de altura (m).
144 UNIUBE
Exemplo 1
Com uma aplicação da Topografia a obras de terraplenagem, a malha da 
Figura 12, a seguir, mostra uma matriz de 16 pontos que foram levantados, 
utilizando-se nivelamento geométrico.
Figura 12: Representação malha quadrada 15 x 15 m.
Em terraplenagem, as atividades que geram custo são o corte e o transporte 
de terra, sendo o aterro uma consequência do corte com transporte de terra 
(ou seja, não gera custo adicional). Portanto, a solução mais econômica 
será aquela que gerar volumes de cortes iguais aos volumes de aterro 
(desconsiderar os efeitos de compactação de terra). Se o projeto determinar 
uma altura específica para o plano da terraplenagem, a Topografia deverá 
calcular os volumes de corte e de aterro resultantes. A matriz anterior 
apresenta uma malha quadrada de 15 m x 15 m. Pede-se:
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 145
a) calcular a cota do plano horizontal de forma que o volume de corte 
iguale o volume de aterro;
b) calcular o volume de corte para uma cota final de 7,200 m, considerando 
que já houve uma uniformização do terreno.
Resposta: 
A solução consiste em se determinar os pesos para os pontos e calcular 
a média ponderada das alturas pelos pesos. O valor encontrado será a 
cota procurada.
Tabela 8: Cálculo dos pesos para os pontos
Peso 1 Peso 2 Peso 4
12,200 10,900 7,000
8,400 9,320 6,900
5,100 6,400 7,200
7,300 6,100 6,900
5,900
6,400
8,600
9,980
33,000 63,600 28,000
x1 x2 x4
33,000 127,200 112,000
Peso 1: 4 x 1 = 4 Peso 2: = 8 x 2 = 16 Peso 4: 4 x 4 = 16
Cm = Cota média = total de cotas ponderadas / total de pesos
Cm = (33,000 + 127,200 + 112,00) / (4 + 16 + 16)
Cm = 7,561 m é a cota do plano horizontal que torna o volume de corte 
igual ao volume de aterro.
b) A diferença de cotas é: 7,561 – 7,200 = 0,361 m. Como a área total é 
de 225,000 m2 (15 m x 15 m), o volume de corte para que todo o plano 
esteja na cota de 7,200 m será de: 225,000 x 0,361 = 81,250 m3.
146 UNIUBE
Atividade 1
Efetue os cálculos de distâncias e desníveis para a caderneta de campo 
apresentada na Tabela 9 a seguir.
Tabela 9: Caderneta de campo
Pontos 
visados
Distância 
ré (m)
Leituras 
estadimétricas Distância 
vante (m)
Fio nivelador
Desnível (m)
Ré (m) Vante (m) Ré Vante
RN
X1
2,407 2,157
2,204 2,0042,204 2,004
2,108 1,878
X1
X2
1,904 1,701
1,802 1,6101,802 1,610
1,701 1,548
X2
X3
1,680 1,452
1,558 1,3211,558 1,321
1,450 1,218
X3
X4
1,350 1,670
1,222 1,5521,222 1,552
1,156 1,456
Atividade 2
Descreva a diferença entre o nivelamento geométrico e o nivelamento 
trigonométrico.
Atividade 3
Como uma aplicação da Topografia a obras de terraplenagem, a malha da 
Figura 13, a seguir, mostra uma matriz de 16 pontos que foram levantados 
utilizando-se o nivelamento geométrico.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 147
Figura 13: Representação da malha.
Em terraplenagem, as atividades que geram custo são o corte e o transporte 
de terra, sendo o aterro uma consequência do corte com transporte de terra 
(ou seja, não gera custo adicional). Portanto, a solução mais econômica 
será aquela que gerar volumes de cortes iguais aos volumes de aterro 
(desconsiderar os efeitos de compactação). Se o projeto do trabalho 
determinar uma altura específica, a Topografia deverá calcular os volumes 
de corte e de aterro resultantes.
A matriz da Figura 13 apresenta uma malha quadrada de 30 m x 30 m. 
Sendo assim, atenda ao que se pede:
a) calcule a cota do plano horizontal de forma que o volume de corte iguale 
o volume de aterro;
b) calcule o volume de corte para cota final de 6,200 m.
148 UNIUBE
Levantamento de curvas de nível4.3
Esta seção é baseada nas notas de sala de aula doProfessor Joseph 
Salem Barbar (BARBAR, 2006). Os pontos a serem levantados devem 
ser escolhidos criteriosamente de forma a permitir as interpolações:
• pontos mais altos;
• pontos mais baixos;
• pontos de mudança de declividade;
• pontos que formam parte de cumeadas (espigões), de vales (talve-
gues) ou de linhas d’água.
A quantidade de pontos depende do quão acentuado (aclives/declives) 
é o terreno. 
4.3.1 Critérios de levantamento de curvas de nível (procedimentos 
práticos):
• método das seções radiais e não radiais – consiste na marcação, 
no terreno, de um alinhamento, a partir de um ponto conhecido, 
na direção de maior declividade (positiva ou negativa) do terreno 
(Figura 14).
Figura 14: Método das seções radiais e não radiais.
Fonte: Adaptado de Barbar (Notas de aula, 2006).
 UNIUBE 149
• método da irradiação – estaciona-se o teodolito sobre um ponto 
conhecido (vértice), gira-se em um dado ângulo, levantam-se 
vários pontos em uma seção, gira-se para outro ângulo, levanta-se 
nova seção, e assim por diante. Veja Figura 15.
Figura 15: Método da irradiação.
Fonte: Adaptado de Barbar (Notas de Aula, 2006).
• método do eixo longitudinal e seções transversais – consiste em 
partir-se de um ponto conhecido, construir (levantar) um alinhamento, 
colocar piquetes regularmente espaçados e realizar o nivelamento 
e contranivelamento dos piquetes. Em seguida, traçar alinhamentos 
perpendiculares ao alinhamento, conforme Figura 16.
Figura 16: Método do eixo longitudinal e seções transversais.
Fonte: Adaptado de Barbar (NOTAS DE AULAS, 2006).
• método do levantamento de cotas inteiras – consiste no uso do 
teodolito, mira e nível.
150 UNIUBE
4.3.2 Etapas do levantamento das curvas de nível
O levantamento deve obter dados que permitam marcar no desenho o 
número de pontos notáveis cotados capazes de caracterizar o relevo 
da superfície topográfica por meio de curvas de nível que melhor o 
representem.
• os pontos notáveis são pontos onde o terreno apresenta 
uma mudança acentuada de declividade em relação às suas 
proximidades;
• são classificados sempre em relação às suas proximidades em: 
pontos mais altos, pontos mais baixos e pontos intermediários.
A união de pontos notáveis da mesma categoria dá origem às linhas 
notáveis, que se classificam em:
• linhas de cumeada (cumiada), de espigão ou divisórias de águas – 
são linhas formadas pela sucessão de pontos notáveis mais altos;
• linhas de talvegues (talvegue vem do alemão e significa caminho do 
vale) – são as linhas formadas pela sucessão de pontos notáveis mais 
baixos;
• linhas notáveis intermediárias – são linhas de acentuada mudança 
de declividade em relação às suas proximidades.
O conjunto de pontos e linhas notáveis de um terreno caracteriza a forma 
de sua superfície topográfica. A construção das curvas de nível é feita por 
meio de pontos cotados, criteriosamente levantados no local, marcados e 
cotados no desenho. Na confecção da planta planialtimétrica, com curvas 
de nível, deve-se marcar inicialmente os pontos cotados conhecidos, 
procurando-se visualizar o relevo do terreno, delineando-se as linhas 
notáveis, os vales e os espigões. Em seguida, faz-se, por qualquer 
processo, a interpolação de cada par de pontos cotados, obtendo-se 
vários pontos de cotas inteiras. Unindo-se os pontos de mesma cota 
inteira, obtêm-se as curvas de nível.
 UNIUBE 151
4.3.3 Procedimentos para desenho das curvas de nível
1) Demarque os pontos com suas cotas.
2) Tome pontos próximos, formando triângulos, sob cujas arestas será 
feita a interpolação. Ao longo dos lados, determine os pontos de cota 
inteira. A interpolação, em geral linear, pode ser feita de forma gráfica, 
geométrica (cálculos) ou outra.
3) Evite linhas de interpolação que se cruzem, ou que, partindo de um 
mesmo ponto, tenham direções muito próximas.
4) Visualize as linhas notáveis (rios, cumeadas, vales, picos e outros) e 
esquematize-as. Essas linhas formam barreiras para a interpolação, já 
que não se devem unir pontos de lados opostos, o que definiria cotas 
irreais.
5) Una os pontos de mesma cota, definindo as curvas de nível.
6) Procure retocar as curvas de modo a torná-las coerentes com a forma 
geral do terreno, tendo em conta que curvas de nível bem-traçadas:
• apresentam uma certa harmonia de conjunto;
• não se cruzam e nem se interrompem;
• formam curvas fechadas em torno de elevações e depressões;
• tendem ao paralelismo com as linhas de vale.
7) No desenho final, não devem aparecer as construções auxiliares, 
somente as curvas.
8) As curvas (linhas) mestras devem ser reforçadas com uma espessura 
maior e interrompendo o seu traçado para indicar a cota.
9) Nos desenhos, as curvas de nível são representadas na cor terra de 
siena (sépia ou marrom), enquanto as cotas são representadas em 
preto.
4.3.4 Topologia
A palavra Topologia tem sua origem em topos (forma) e logia (estudo). É 
a parte da Topografia que estuda a morfologia do terreno, ou seja, estuda 
as formas da superfície da Terra e as leis que regem a sua modelagem. A 
principal aplicação da Topologia é a representação cartográfica do terreno 
pelas curvas de nível. A seguir, serão listadas denominações e definições 
topológicas de algumas formas de terreno:
152 UNIUBE
• morro – pequena elevação de terra;
• montanha – grande elevação de terra, de altura superior a 400 m;
• cordilheira – cadeia de montanhas de grande altitude;
• contraforte – montanha alongada que se destaca da cordilheira, 
formando uma cadeia de segunda ordem;
• espigão – contraforte secundário;
• serra – cadeia de montanhas, de forma alongada, cuja parte elevada 
aparenta dentes de serra;
• vértice ou cimo – ponto culminante da montanha. Pode ser 
arredondado (pico) ou pontiagudo (agulha);
• maciço – conjunto de montanhas agrupadas em torno de um ponto 
culminante;
• colina – pequena elevação, de 200 m a 400 m, com declives pouco 
pronunciados (quando isolada numa planície ou planalto, recebe o 
nome de outeiro);
• planalto – superfícies regulares, mais ou menos extensas, situadas 
a grandes altitudes;
• planícies – superfícies regulares, mais ou menos extensas, situadas a 
pequenas altitudes;
• vertentes – superfícies inclinadas que vêm do cimo até a base das 
montanhas;
• dorso – superfície convexa formada pelo encontro de duas 
vertentes. Também recebe o nome de divisor de águas;
• vale – superfície côncava formada pelo conjunto de duas vertentes 
opostas. Os vales podem ter fundo côncavo, fundo de ravina ou 
fundo chato; 
• talvegue – vem do alemão talweg (caminho do vale). É a linha 
de encontro de duas vertentes opostas. É a linha que recolhe as 
águas que descem pelas duas encostas opostas do vale;
• cabeceira – vales curtos e úmidos que dão origem aos cursos 
d’água;
• gargantas ou selados – lugar do terreno onde a superfície sobe 
para dois lados opostos e desce para outros dois lados opostos. 
A garganta é o ponto mais baixo de um divisor de águas e o ponto 
mais alto dos dois talvegues que aí nascem. Se a garganta é 
estreita e profunda, recebe o nome de brecha; se a profundidade é 
muito grande, trata-se de um cânion (canyon).
 UNIUBE 153
Atividade 4
Descreva um dos métodos de levantamento de curvas de nível. 
Elabore um resumo dos passos do procedimento para desenho das curvas 
de nível.
AGORA É A SUA VEZ
4.3.5 Noções de Cartografia
A Cartografia é uma das ferramentas básicas do desenvolvimento 
econômico. Qualquer trabalho de melhoria das condições de vida de um 
determinado grupo social passa por obras de engenharia, que utilizam a 
Cartografia na sua fase de planejamento e execução.
4.3.5.1 Representação cartográfica
Globo – consiste de uma representação dos aspectos naturais e artificiais 
de um planeta sobre uma superfície esférica. A finalidade do globo é 
apenas ilustrativa.
Mapa – é uma representação no plano, para fins diversos, em escala 
pequena, de uma área da superfície de um planeta. São representados 
os acidentes naturais, tais comobacias, planaltos, chapadas, rios, lagos 
e outros. 
Carta – é uma representação no plano, numa escala que vai de média a 
grande. As cartas são organizadas de forma sistemática, delimitada por 
paralelos e meridianos, destinadas à representação precisa, de acordo 
com a escala adotada, de detalhes, áreas e pontos geográficos.
Planta – é um tipo de carta restrita a uma área limitada na superfície 
terrestre, com escala grande, o que permite um detalhamento maior. 
Nestas condições, despreza-se a curvatura da Terra. Uma das aplicações 
da planta é nos estudos de viabilidade, planejamento e execução de 
obras de Engenharia civil. Ou seja, a planta a que se refere aqui é a 
planta topográfica.
154 UNIUBE
Quando se despreza a curvatura da superfície terrestre, incorre-se em um 
erro nas medições de distância. Em consequência, erra-se também nas 
medições de área. Veja o erro linear em função da distância: 
• distância de 1 km ---------- erro de 0,008 mm;
• distância de 10 km -------- erro de 8,2 mm;
• distância de 25 km -------- erro de 12,8 mm.
Como erro de até 12,8 mm (pouco mais de 1 cm) é aceitável em Planimetria, 
limita-se o plano topográfico a 25 km para a maior dimensão.
EXPLICANDO MELHOR
4.3.6 Escala
Escala – é uma relação entre a medida da dimensão de um objeto 
representada no papel e a sua medida real.
dE
D
= , em que:
E = escala;
d = comprimento medido no desenho;
D = comprimento real (medido no objeto).
Na prática, utilizam-se escalas com numerador igual a 1.
1E
N
=
Neste caso, o denominador, N, é chamado módulo da escala. Por 
exemplo, na escala 1:30.000, o módulo é 30.000.
 UNIUBE 155
O que significa dizer que uma escala é maior ou menor que outra escala? 
– Uma escala é tanto maior quanto menor for o denominador. Por exemplo, 
a escala 1:50.000 é maior que 1:100.000.
IMPORTANTE!
Precisão gráfica – é a menor dimensão medida no terreno, a qual é 
possível ser representada no desenho, em uma determinada escala. Em 
termos práticos, a menor dimensão possível de ser representada é de 
1/5 mm ou 0,2 mm. Este valor representa também o erro admissível em 
uma representação gráfica (em). Dessa forma, pode-se determinar o erro 
que se pode tolerar quando se trabalha com uma determinada escala.
1E
N
= 1 0,0002me
N
= =
 
 0,0002me N=
Quanto menor a escala, ou seja, quanto maior o módulo N, maior o 
erro admissível. Assim, acidentes com dimensões menores que o 
erro admissível não serão representados no desenho. Nestes casos, 
podem-se utilizar símbolos cartográficos no desenho, uma vez que são 
independentes da escala.
4.3.7 Seleção de escala
Da fórmula 0,0002me N= , explicita-se 
0,0002
meN = . Seja uma região da 
superfície da Terra a que se queira mapear e que possua acidentes com 
10 m de menor dimensão, a menor escala que se deve adotar para que 
esses acidentes tenham representação será:
10 50.000
0,0002
N = =
A escala adotada deverá, portanto, ser igual a ou maior que 1:50.000. Ou 
seja, na escala 1:50.000, o erro prático (0,2 mm ou 1/5 mm) corresponde 
a 10 m no terreno. Então, o denominador mínimo, também conhecido 
como módulo da escala, deverá ser 50.000 para que acidentes com 10 
m de extensão possam ser representados no desenho.
156 UNIUBE
Atividade 5
a) Encontre a escala adequada para representar a base quadrada de uma 
torre de telecomunicações com 3 m de lado, considerando um erro 
máximo tolerável de 1/5 mm.
b) Verifique se, em um formato A1, é possível representar toda a área sendo 
trabalhada, que tem largura máxima de 30 km e altura de 8 km.
AGORA É A SUA VEZ
4.3.8 Projeções cartográficas
A técnica de projeção cartográfica consiste na projeção da superfície 
terrestre em um plano, utilizando-se de uma figura geométrica auxiliar 
(cone, cilindro ou plano). Para efetuar a projeção, considera-se que a 
superfície da Terra tem a forma de uma esfera ou de um elipsoide. Veja, 
a seguir, uma classificação das projeções quanto à superfície de projeção 
(IBGE, 2010):
a) planas – este tipo de superfície pode assumir três 
posições em relação à superfície de referência: polar, 
equatorial e oblíqua (ou horizontal);
b) cônicas – embora esta não seja uma superfície plana, 
já que a superfície de projeção é o cone, ela pode ser 
desenvolvida em um plano sem que haja distorções e 
funciona como superfície auxiliar na obtenção de uma 
representação. A sua posição em relação à superfície 
de referência pode ser: normal, transversal e oblíqua 
(ou horizontal);
c) cilíndricas – a superfície de projeção que utiliza o 
cilindro pode ser desenvolvida em um plano e suas 
possíveis posições em relação à superfície de 
referência podem ser: equatorial, transversal e oblíqua 
(ou horizontal).
A Figura 17 apresenta as principais superfícies de projeção utilizadas na 
Cartografia atualmente. 
 UNIUBE 157
Figura 17: Superfícies de projeção, desenvolvidas em um plano. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
4.3.9 Sistema de coordenadas cartográficas
Um sistema de coordenadas é definido por um elipsoide de referência, 
uma figura geométrica semelhante ao geoide, permitindo um tratamento 
matemático estruturado. A materialização de pontos da superfície terrestre 
para um determinado elipsoide de referência é chamado Datum. Ou seja, 
os parâmetros de um determinado elipsoide de referência – seu semieixo 
maior e a sua excentricidade – e a sua amarração (materialização) com 
um ponto sobre a superfície terrestre define um Datum. Um sistema 
de coordenadas também define-se pelo tipo de projeção cartográfica 
utilizado.
158 UNIUBE
4.3.9.1 Características básicas do Sistema UTM
Gerardus Mercator foi um geógrafo belga que se dedicou à construção 
de globos e mapas. Em 1569, Mercator desenvolveu matematicamente a 
projeção cilíndrica do globo terrestre sobre um plano, o que revolucionou 
a cartografia da época, mesmo considerando que ela apresentava 
distorções cada vez maiores quanto mais se afastava do equador em 
direção aos polos. São úteis para representar áreas que são maiores 
no sentido Norte-Sul do que no sentido Leste-Oeste. As distorções 
aumentam a partir do meridiano central, tanto em escala e distância como 
em direção e área. Por exemplo, a área da Europa é menos da metade 
da área da América do Sul, porém, no mapa mundial, a Europa aparece 
maior que a América do Sul. 
O Sistema de Projeção UTM (Universal Transverse Mercator – Universal 
Transversa de Mercator) foi utilizado pelo Instituto de Cartografia do 
Exército Americano durante a Segunda Guerra Mundial quando o 
aperfeiçoou. A partir daí, passou a ser adotado internacionalmente, 
inclusive para aplicações civis. A projeção UTM é cilíndrica secante 
(conserva os ângulos) conforme se vê na Figura 18.
Figura 18: Cilindo secante do Sistema UTM.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
As principais características do Sistema UTM estão descritas a seguir 
(IBGE, 2010):
• o globo terrestre é dividido em 60 fusos, em que cada um se 
estende por 6º de longitude. Os fusos são numerados de um a 
sessenta, começando no fuso 180º a 174º W Greenwich. Cada um 
destes fusos é gerado a partir de uma rotação do cilindro de forma 
que o meridiano de tangência divide o fuso em duas partes iguais 
de 3º de amplitude. A latitude de cada fuso é de 6° e sua longitude 
é de 4°;
 UNIUBE 159
• o quadriculado UTM está associado ao sistema de coordenadas 
plano-retangulares, tal que um eixo coincide com a projeção 
do Meridiano Central do fuso (eixo N apontando para Norte) e o 
outro eixo, com o do Equador. Assim, cada ponto do elipsoide de 
referência (descrito por latitude, longitude) estará biunivocamente 
associado ao terno de valores Meridiano Central, coordenada E e 
coordenada N, como se vê na Figura 19;
Figura 19: Divisão em fusos do Sistema UTM.
Fonte: Adaptado (EPUSP, 2004).
• avaliando-se a deformação de escala em um fuso UTM (tangente), 
pode-se verificar que o fator de escala é igual a 1(um) no meridiano 
central e aproximadamente igual a 1.0015 (1/666) nos extremos do 
fuso. Desta forma,atribuindo-se a um fator de escala k = 0,9996 
ao meridiano central do sistema UTM (o que faz com que o cilindro 
tangente se torne secante), torna-se possível assegurar um padrão 
mais favorável de deformação em escala ao longo do fuso. O erro 
de escala fica limitado a 1/2.500 no meridiano central, e a 1/1030 
nos extremos do fuso;
• para calcular a longitude do meridiano central (MC) em função do 
fuso (F), utiliza-se a fórmula: MC=183-6F. Para encontrar os limites 
do fuso, basta somar e subtrair 3º ao MC;
• para se calcular o meridiano central (MC) em função da longitude 
(ϕ ) de um ponto, utiliza-se a fórmula MC = 6 x INT((ϕ +3)/6);
160 UNIUBE
• a cada fuso, associamos um sistema cartesiano métrico de 
referência, atribuindo à origem do sistema (interseção da linha do 
Equador com o meridiano central) as coordenadas 500.000 m, para 
contagem de coordenadas ao longo do Equador, e 10.000.000 
m ou 0 (zero) m, para contagem de coordenadas ao longo do 
meridiano central, para os hemisférios sul e norte, respectivamente. 
Isto elimina a possibilidade de ocorrência de valores negativos de 
coordenadas;
• cada fuso deve ser prolongado até 30’ sobre os fusos adjacentes, 
criando-se, assim, uma área de superposição de 1º de largura. 
Esta área de superposição serve para facilitar o trabalho de campo 
em certas atividades;
• o sistema UTM é usado entre as latitudes 84º N e 80º S.
4.3.10 Classificação de cartas e mapas
Conforme o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2010), 
a classificação de cartas e mapas é a seguinte.
Quanto à natureza da representação, temos três tipos de cartas e mapas:
I) cadastral – até 1:25.000. 
 Representação em escala grande, geralmente planimétrica e 
com maior nível de detalhamento, apresentando grande precisão 
geométrica. Normalmente, é utilizada para representar cidades 
e regiões metropolitanas, nas quais a densidade de edificações e 
arruamento é grande. As escalas mais usuais na representação 
cadastral, são: 1:1.000, 1:2.000, 1:5.000, 1:10.000 e 1:15.000;
II) geral topográfica – de 1:25.000 até 1:250.000.
 Carta elaborada a partir de levantamentos aerofotogramétrico e 
geodésico original ou compilados de outras cartas topográficas em 
escalas maiores. Inclui os acidentes naturais e artificiais, em que os 
elementos planimétricos (sistema viário, obras etc.) e altimétricos 
(relevo por meio de curvas de nível, pontos colados etc.) são 
geometricamente bem representados. As aplicações das cartas 
topográficas variam de acordo com sua escala:
 UNIUBE 161
1:25.000 – representa cartograficamente áreas específicas, com forte 
densidade demográfica, fornecendo elementos para o planejamento 
socioeconômico e bases para anteprojetos de engenharia. Esse 
mapeamento, pelas características da escala, está dirigido para 
as áreas das regiões metropolitanas e outras que se definem pelo 
atendimento a projetos específicos. Cobertura Nacional: 1,01%;
1:50.000 – retrata cartograficamente zonas densamente povoadas, 
sendo adequada ao planejamento socioeconômico e à formulação de 
anteprojetos de engenharia;
1:100.000 – tem como objetivo a representação de áreas com notável 
ocupação, priorizadas para os investimentos governamentais, em 
todos os níveis de governo – federal, estadual e municipal;
1:250.000 – subsidia o planejamento regional, além da elaboração 
de estudos e projetos que envolvam ou modifiquem o meio ambiente.
Mapa Municipal: entre os principais produtos cartográficos produzidos 
pelo IBGE, encontra-se o mapa municipal, que é a representação 
cartográfica da área de um município, contendo os limites 
estabelecidos pela Divisão Político-administrativa, acidentes naturais 
e artificiais, toponímia, rede de coordenadas geográficas e UTM etc.
Esta representação é elaborada a partir de bases cartográficas mais 
recentes e de documentos cartográficos auxiliares, na escala das 
referidas bases.
O mapeamento dos municípios brasileiros é para fins de planejamento 
e gestão territorial e em especial, para dar suporte às atividades de 
coleta e disseminação de pesquisas do IBGE;
III) geral geográfica – 1:1:000.000 e menores (1:2.500.000, 1:5.000.000 
até 1:30.000.000). 
 Carta em que os detalhes planimétricos e altimétricos são genera-
lizados, os quais oferecem uma precisão de acordo com a escala 
de publicação. A representação planimétrica é feita por meio de 
símbolos que ampliam muito os objetos correspondentes, alguns dos 
quais muitas vezes têm que ser bastante deslocados. A representa-
ção altimétrica é feita por meio de curvas de nível, cuja equidistância 
apenas dá uma ideia geral do relevo e, em geral, são emprega-
das cores hipsométricas. São elaboradas na escala. 1:500.000 e 
menores, como, por exemplo, a Carta Internacional do Mundo ao 
Milionésimo (CIM).
162 UNIUBE
Mapeamento das Unidades Territoriais: representa, a partir do 
mapeamento topográfico, o espaço territorial brasileiro por meio de 
mapas elaborados especificamente para cada unidade territorial do país.
Produtos gerados: mapas do Brasil (escalas 1:2.500.000,1:5.000.000,1:
10.000.000 e outras escalas menores).
• Mapas regionais (escalas geográficas diversas).
• Mapas estaduais (escalas geográficas e topográficas diversas).
Atividade 6
Releia o item anterior sobre o UTM, pesquise o site em que ele se encontra 
(busque a referência no final do capítulo) e depois de tê-lo compreendido 
bem, descreva como é realizado o mapeamento da superfície terrestre no 
plano de coordenadas UTM (Universal Transverse Mercator).
Atividade 7
Determinar, no Quadro 5, as cotas dos pontos levantados por nivelamento 
trigonométrico na Figura 20 a partir da estaca E1. Altura do aparelho I = 1600 mm; 
ZE1 = 638,350 m.
Equações fornecidas:
2( )
10
S IL Ldistância sen β−
= ⋅ (1)
H V I L∆ = + − (2)
distânciaV
tgβ
= (3)
B A ABC C H= + ∆ (4)
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 163
Figura 20: Desenho sem escala da Estaca 1 e seus pontos.
Tabela 10: Informações a completar sobre os pontos a partir da Estaca (E1)
E PV α β MIRA DISTÂNCIA [m] ΔH [m] COTA [m]
E1 P3 270° 85,2000°
2100
1510
1000
P2 270° 83,4000°
1712
1280
1000
P1 270° 85,1200°
1350
1190
1000
P4 90° 90,2500°
1340
1150
1000
P5 90° 93,5000°
1700
1389
1000
P6 90° 94,7500°
2200
1640
1000
164 UNIUBE
Resumo
Neste capítulo, discutimos acerca dos conceitos de Altimetria como 
métodos de nivelamento, cálculos topográficos envolvidos nas medições 
de altimétricas e iniciamos os primeiros passos rumo aos conceitos de 
projeções cartográficas, principalmente o Sistema de Coordenadas 
UTM. Vários exercícios resolvidos foram utilizados para explicar melhor 
os conceitos desenvolvidos. Também foram propostas atividades de 
autoverificação do aprendizado. Espera-se que, ao final deste estudo, 
você esteja preparado para dar início aos trabalhos práticos de campo e 
de laboratório em Altimetria. 
Você teve o primeiro contato com a Altimetria, a área da Topografia que 
trata da medição de altura. No início do capítulo, apresentamos como 
estacionar um equipamento topográfico. Esta atividade, aparentemente 
simples, tem causado perda de tempo aos estudantes e medições 
incorretas que precisam ser refeitas. Portanto, aproveite para estar 
preparado para as aulas de campo! Especificamente sobre Altimetria, 
espera-se que você domine os conceitos de superfícies equipotenciais, 
referência de nível, cota absoluta e relativa de um ponto, diferença de 
nível entre dois pontos e técnicas de nivelamento, como nivelamento 
geométrico e trigonométrico. Se tiver alguma dúvida com o manejo 
das cadernetas de campo e cálculos associados, reveja esta seção 
e os exercícios resolvidos. Senecessário, refaça as atividades de 
autoverificação. Lembre-se do provérbio latino, válido inclusive na era 
digital que vivemos: qui scribit bis legit (quem escreve, lê duas vezes).
A confecção de plantas planialtimétricas será tratada nos próximos 
capítulos. Na ocasião, faremos todo o ciclo do processo: planejamento 
e trabalho em campo, cálculos planialtimétricos, plantas planialtimétricas 
e traçado de curvas de nível. Você verá como os assuntos aqui tratados 
são importantes para sua evolução no entendimento da Topografia. O 
assunto Cartografia foi introduzido neste capítulo para que possamos 
discutir questões acerca dele ao longo do curso. Na sua vida prática, 
você estará constantemente em contato direto ou indireto com ele.
 UNIUBE 165
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR 13133. Execução 
de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, maio 1994.
BARBAR, Joseph Salem. Topografia II. Notas de sala de aula. UNIUBE, 2006. 
BORGES, Adilson Luiz. Topografia. Disponível em: <pessoal.utfpr.edu.br/ 
arildo/arquivos/>. Acesso em: 3 jun. 2010.
BRANDALIZE, Maria Cecília Bonatto. Topografia – apostila 4. Disponível em: 
<http://www2.uefs.br/geotec/topografia/apostilas>. Acesso em: 3 jun. 2010.
BRITO, Jorge Luís Silva. Curso de Georreferenciamento: projeções cartográficas. 
Apostila. Universidade Federal de Uberlândia. Out. 2009.
CEFET-SC – CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA 
CATARINA. Topografia II – Altimetria. Disponível em: <http://florianopolis.ifsc.edu.br>. 
Acesso em: 3 jun. 2010.
CEFET-SC – CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA 
CATARINA – DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL. Módulo I 
Unidade Curricular Topografia I. Disponível em: <http://florianopolis.ifsc. 
edu.br/~geomensura/>. Acesso em: 11 jul. 2010.
CORDINI, Jucilei. O terreno e sua representação. Disponível em: 
<http://www.topografia. ufsc.br>. Acesso em: 30 maio 2010.
EPUSP – ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Sistema 
UTM. São Paulo: LTG, 2004, 36 p. Disponível em: <http:www.ptr.poli.usp.br>. 
Acesso em: 30 maio 2010.
IBGE – INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Noções básicas 
de Cartografia. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia 
/manual_nocoes/ indice.htm>. Acesso em: 9 jun. 2010.
PLANOAUDITORIA. Técnicas de construção civil e construção de edifícios 
– anotações de aula 01. Disponível em: <http://www.planoauditoria.com.br/ 
site/download>. Acesso em: 3 jun. 2010.
166 UNIUBE
ORTH, Dora. Topografia aplicada: topometria. Universidade Federal de Santa Catarina, 
2008. Disponível em: <http://www.grupoge.ufsc.br>. Acesso em: 11 jun. 2010.
UNIVERSAL Transversa de Mercador. In: Mercator. Em cache – Similares 
WIKIPEDIA.2010. Disponível em: <pt.wikipedia.org/wiki/Universal_Transversa_ 
de_...>. Acesso em: 30 maio 2010.
VEIGA, Luis A. Koenig; ZANETTI, Maria A. Z. e FAGGION, Pedro Luis. Fundamentos 
de Topografia. Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2007. Disponível em: 
<http://web.dv.utfpr.edu.br/www.dv/professores/arquivos/>. Acesso em: 30 maio 2010.
Anotações
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Anotações
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Anotações
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	Introdução à Topografia
	1.1
	1.2
	1.3
	Erros em Topografia
	1.5.1 Grandezas angulares
	1.5.2 Grandezas lineares
	1.6.2 Unidades de medida angular
	1.6.1 Unidades de medida linear
	1.6.4 Unidades de medida de volume
	1.6.3 Unidades de medida de superfície 
	1.7
	Conversões de medidas
	1.8
	Levantamento com medidas horizontais
	1.8.1 Medida direta de distâncias
	1.8.2 Cuidados nos levantamentos das medidas horizontais
	1.9
	Procedimentos para levantamentos de distâncias horizontais
	1.10.1 Principais escalas e suas aplicações
	1.10.2 Definição da escala de desenho
	1.11.1 Rumos
	1.11.4 Declinação magnética 	
	1.11.3 Norte magnético
	1.11.2 Azimutes
	1.12.1 Miras
	1.13.1 Distância horizontal
	1.15
	Levantamento da poligonal
	1.15.1 Cálculo da poligonal
	1.15.2 Verificação do erro de fechamento angular
	1.16
	Cálculo dos azimutes 
	Levantamentos altimétricos
	2.1
	Altimetria: conceitos importantes
	2.2
	Erro de nível aparente
	2.3
	Nivelamento geométrico
	2.3.1 Nível ótico
	2.3.2 Cálculo de cotas
	2.4.1 Declividade entre pontos
	2.5
	Curvas de nível
	2.5.1 Características das curvas de nível
	2.5.2 Intervalo entre curvas de nível
	2.5.3 Erros de interpretação gráfica nas curvas de nível
	2.6
	Topologia
	2.7
	Obtenção das curvas de nível
	2.7.1 Interpolação
	2.7.2 Levantamento passo a passo
	2.8
	Terraplenagem para plataformas 
	2.8.1 Cota de passagem
	2.8.2 Modelo do terreno
	Altimetria I: fundamentos, curvas de nível e cálculo de volume
	3.1
	Fundamentos da Altimetria
	3.1.1 Forma da Terra
	3.1.2 Fundamentos altimétricos
	3.2
	Nivelamento
	3.2.1 Nivelamento trigonométrico
	3.2.2 Nivelamento geométrico
	3.3
	Curvas de nível
	3.4.1 Greide
	3.4.3 Cálculo de volumes 
	3.4.2 Seções transversais 
	Altimetria II
	4.1.1 Estacionamento de equipamentos topográficos
	4.1.3 Generalidade e definições
	4.1.2 Tabelas de classificação de equipamentos topográficos
	4.3.1 Critérios de levantamento de curvas de nível (procedimentos práticos):
	4.3.10 Classificação de cartas e mapas
	4.3.9 Sistema de coordenadas cartográficas
	4.3.8 Projeções cartográficas
	4.3.7 Seleção de escala
	4.3.6 Escala
	4.3.5 Noções de Cartografia
	4.3.4 Topologia
	4.3.3 Procedimentos para desenho das curvas de nível
	4.3.2 Etapas do levantamento das curvas de nível
	4.2.1 Conceitos básicos de Altimetria