LIVRO FGV

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ÍNDICE 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO/MATEMÁTICO 
 
1. Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados....................02 
 
1.1 Conectivos..............................................................................................................................................04 
1.2 Negações de Conectivos........................................................................................................................10 
1.3 Classificação da tabela-verdade.............................................................................................................15 
1.4 Equivalências Lógicas Notáveis............................................................................................................16 
1.5 Quantificadores (todo, algum e nenhum) ..............................................................................................21 
1.6 Argumentos............................................................................................................................................25 
 
2. Conjuntos e suas operações, diagramas...............................................................................................33 
 
3. Números inteiros, racionais e reais e suas operações..........................................................................39 
 
4. Porcentagem...........................................................................................................................................43 
 
5. Proporcionalidade direta e inversa......................................................................................................48 
 
5.1 Razão e Proporção.................................................................................................................................48 
5.2 Regra de Três.........................................................................................................................................52 
5.3 Divisão Proporcional..............................................................................................................................55 
 
6. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo...................................................................59 
 
7. Lógica Sequencial (Estrutura Lógica entre pessoas...) ......................................................................62 
 
7.1 Principais Macetes.................................................................................................................................62 
7.2 Sequências com números, figuras, palavras..........................................................................................66 
7.3 Problemas Matriciais (correlacionamento)............................................................................................73 
7.4 Problemas envolvendo mesas................................................................................................................75 
7.6 Apenas uma verdade (mentira)..............................................................................................................77 
 
8. Problemas de contagem (Análise Combinatória) ...............................................................................83 
 
9. Noções de probabilidade .......................................................................................................................91 
 
10. Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, 
perímetro e área.........................................................................................................................................97 
 
11. Noções de estatística: média, moda, mediana e desvio padrão........................................................105 
 
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 LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/GUIkwTSgDQM 
 
ATENÇÃO: Para ser bem sucedido no estudo 
desse assunto, basta não interpretar o texto, nem 
fazer juízo de valores das proposições dadas e 
focar nos conectivos e "comandos" que 
estudaremos ao longo desse curso. A nossa 
preocupação será com a forma e não com o texto. 
 
PROPOSIÇÃO 
 
Entende-se por proposição todo conjunto de 
palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo, isto é, que 
afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de 
determinados entes. 
 
Uma proposição pode ser classificada ou 
verdadeira ou falsa. Quando é verdadeira, 
atribuímos-lhes o valor lógico V; quando é falsa, 
o valor lógico F. 
 
Axioma: sempre será possível atribuir um valor 
lógico, ou V ou F, a uma proposição, conforme 
ela seja verdadeira ou falsa. 
 
EXEMPLOS 
 
1. “Sete mais dois é igual a nove” – é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. 
2. “Sete mais dois é igual a quinze” – é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. 
3. “Brasília não é a capital do Brasil” – é uma 
declaração (negativa); portanto uma proposição. 
4. “O dobro de cinco é dez?” – é uma pergunta, e 
não uma declaração. Portanto, não é uma 
proposição. 
5. “Rodrigo, vá estudar sua lição” – é uma 
sentença imperativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. 
6. “x é um número impar “ - É uma expressão que 
representa uma sentença aberta, pois não sabemos 
o valor de x. 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
LÓGICA 
 
Princípio da Não contradição 
 
Uma proposição não pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa. 
 
Princípio do Terceiro Excluído 
 
Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, 
nunca ocorrendo um terceiro caso. 
 
Princípio da Identidade: 
 
O princípio de identidade é auto evidente e 
determina que uma proposição é sempre igual a 
ela. Disso pode-se afirmar que A=A. 
 
PROPOSIÇÕES SIMPLES E 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Proposição simples: como o próprio nome 
indica, é uma proposição única, isolada. 
 
EXEMPLO: 
 
"Lógica é fácil." 
 
Proposição composta: quando formada por duas 
ou mais proposições, ligadas entre si por 
conectivos operacionais, os quais estudaremos 
detalhadamente no item “Operações com 
proposições”. Serão indicadas por letras 
maiúsculas do nosso alfabeto. 
 
Notação: P (p, q, r, ...) indica que a proposição 
composta P é formada pelas proposições simples 
p, q, r, ... 
 
EXEMPLOS 
 
“Brasília é a capital do Brasil e Lima é a capital 
do Peru.” 
“3 + 5 = 8 ou 5 + 7 = 12” 
“ Se 5 + 2 = 7 então 5 = 7 – 2” 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
EXEMPLOS 
 
01. (CESPE) 
 
Há duas proposições no seguinte conjunto de 
sentenças: 
 
(I) O BB foi criado em 1980. 
(II) Faça seu trabalho corretamente. 
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 
 
(CESPE 2014) Julgue o item a seguir, 
relacionado à lógica proposicional. 
 
02. A sentença “A crença em uma justiça divina, 
imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para 
muitos que desconhecem os caminhos para a 
busca de seus direitos, assegurados na 
Constituição” é uma proposição lógica simples. 
 
 
REPRESENTAÇÃO LITERAL DAS 
PROPOSIÇÕES 
 
Neste trabalho, representaremos uma proposição 
simples qualquer por uma letra minúscula, 
preferindo p, q, r e s. 
 
 
TABELA VERDADE 
 
É uma forma usual de representação das regras da 
Álgebra das Proposições. Nela, é representada 
cada proposição (simples ou composta) e todos os 
seus valores lógicos possíveis. 
 
EXEMPLOS 
 
p 
V 
F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE LINHAS: 2n 
 
n representa o número de proposições 
 
 
EXEMPLO 
 
(FUNCAB 2014) Determine o número de linhas 
da tabela-verdade da proposição: “Se trabalho e 
estudo matemática, então canso, mas não desisto 
ou não estudo matemática”. 
 
a) 4 
b) 16 
c) 8 
d) 64 
e) 32 
 
 
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES 
(Símbolo ) 
 
São proposições cujas tabelas-verdade são iguais. 
Exemplos irão sendo dados no decorres das 
explicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
 
4 
 
 
 CONECTIVOS 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/ok9WmFOsPQE 
 
A lógica proposicional permite operar a 
construção de equivalências e negações de 
proposições compostas de maneira objetiva e 
única. Para tal se divide a proposição composta 
em proposições elementares e então se opera com 
os conectivos, e demais operações lógicas como 
a negação ou a precedência, de maneira única 
seguindo regras formais (logicamente 
consistentes e demonstradas verdadeiras, por 
exemplo a partir da sua verificação nas tabelas-
verdade). Assim como na Álgebra tradicional 
existem as operações com números (adição, 
subtração, etc.), na Álgebra das proposições 
existem operações com as proposições. 
 
01. NEGAÇÃO: Não p (Representação: ~ p) 
 
Uma proposição é a negação de outra quando: se 
uma for verdadeira, então a outra é 
obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a 
outra é obrigatoriamente verdadeira. 
 
Observação: às vezes, uma proposição contradiz 
a outra, sem ser uma negação. 
 
EXEMPLO: “Este lápis é branco” contradiz, mas 
não é a negação de “Este lápis é azul”, porque a 
negação desta (“Este lápis não é azul”) não obriga 
que a cor do lápis seja branca. Poderia ser de 
qualquer outra cor, diferente das citadas. 
 
EXEMPLOS 
1. “Mario gosta de mamão” 
 “Mario não gosta de mamão” 
 “Não é verdade que Mario gosta de mamão.” 
 
2. “Paulo não é primo de André.” 
 “Paulo é primo de André.” 
 
3. “n é um número par” 
 “n é um número ímpar” 
 
OBSERVAÇÃO: Este assunto será aprofundado 
nas aulas seguintes. 
02. DISJUNÇÃO: p ou q 
 
(Representação: p  q) 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
“disjunção de p e q” a proposição “p q” (lê – 
se “p ou q”). A disjunção p q será verdadeira 
se pelo menos uma das proposições (p ou q) for 
verdadeira, e será falsa apenas no caso em que 
duas ( p e q) forem falsas. 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “ 5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil” 
3. r:”x é divisível por 7” 
 
 
 
p q r p  q p  r q r p  q r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/ok9WmFOsPQE
 
 
 
5 
 
 
03. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: Ou p ou q 
 
Representação: p V q 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
“disjunção exclusiva de p e q” a proposição “p V 
q” (lê-se ou “p ou q”).Só será verdadeira se as 
proposições envolvidas na operação tiverem 
valores lógicos contrários. Se tiverem o mesmo 
valor lógico, a proposição resultante da disjunção 
exclusiva será falsa. 
 
Transmite uma ideia de exclusão, isto é, 
conjuntos disjuntos (sem elementos comuns). 
 
EXEMPLO: Ou Dora é baiana ou Dora é 
paraibana. 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p V q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “ 5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil”. 
3. r:”x é divisível por 7” 
 
 
p q r p V q p V r q V r p V q V r 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. CONJUNÇÃO: p e q 
 
Representação: p q 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
conjunção de p e q a proposição “p q”. 
(lê-se: p e q). A conjunção p q será verdadeira 
quando p e q forem ambas verdadeiras: e será 
falsa nos outros casos. 
 Tabela – Verdade 
 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil”. 
3. r: ”x é divisível por 7” 
 
p q r p  q p  r q r p  q r 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
Vamos analisar os exemplos abaixo: 
 
a) (CESPE) Premissa 1: Eu não sou traficante, 
eu sou usuário; 
Se P e Q representam, respectivamente, as 
proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou 
usuário”, então a premissa 1 estará corretamente 
representada por P Ʌ Q. 
 
 
b) (CESPE 2014) “Não basta à mulher de César 
ser honesta, ela precisa parecer honesta” 
 
 
c) Não estudo nem trabalho. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
05. CONDICIONAL: Se p então q 
 
Representação: p →q 
 
Dadas duas proposições p e q, a proposição “se p, 
então q”, que será indicada por “p→ q”, é 
chamada de condicional. A proposição 
condicional p → q será falsa quando p for 
verdadeira e q falsa; e será verdadeira nos outros 
casos. 
A primeira proposição (p) é chamada de 
antecedente ou hipótese; a segunda (q) de 
consequente. 
 
Exemplo: 
 
“SE o carro for barato, ENTÃO Fernando o 
comprará” ou, em outras palavras: 
“Fernando comprará o carro, SE o carro for 
barato.” 
 
A mesma proposição pode apresentar formas de 
dizer diferentes: 
 
1. “O carro ser barato é condição SUFICIENTE 
para Fernando comprá-lo” 
 
2. “Fernando comprar é condição NECESSÁRIA 
para o carro ser barato.”. 
3. “O carro será barato SOMENTE SE Fernando 
o comprar.”. 
 
OBS. : p é um subconjunto de q 
 
Exemplo explicativo informal: 
 
Você prometeu a seu filho Rodrigo: 
“SE você lavar o carro, ENTÃO eu o empresto a 
você.” 
Analisar este exemplo. 
 
 Tabela – Verdade 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
CASO 1: CONTRAPOSTIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 2: VERA FICHER É FAMOSA!!! 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 03: VERA FICHER É SEM NOÇÃO 
 
EXEMPLO: 
 
“SE estudo com W.A. ENTÃO aprendo 
Matemática” ou, em outras palavras: 
 
A mesma proposição pode apresentar formas de 
dizer diferentes: 
 
1. “Estudar com W.A. é condição SUFICIENTE 
para aprender Matemática” 
2. “Aprender Matemática é condição 
NECESSÁRIA para estudar com W.A. ”. 
3. “Estudo com W.A. SOMENTE SE aprendo 
Matemática” 
 
 
 
CASO 04: Frases que devem ser 
transformadas em condicional 
 
p: Quando acredito que estou certo, não me 
importo com a opinião dos outros. 
 
q: Vou ao mercado , se preciso comprar frutas 
 
r: Quem doa sangue, doa vida 
 
s: Penso, logo existo. 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
06. BICONDICIONAL: Se p então q e se q 
então p 
 
Representação: p q 
 
Dadas duas proposições p e q, a proposição “p se, 
e somente se, q”, que será indicada por “p  q”, 
é chamada de bicondicional. A proposição 
bicondicional p q será verdadeira quando p e q 
forem ambas verdadeiras ou ambas falsas; e será 
falsa nos demais casos. 
✓ Transmite ideia de Reciprocidade. 
✓ Condicional em dose dupla. 
✓ "Toma lá da cá". 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
MACETE: 
 
OBS.:A bicondicional representa uma igualdade 
de conjuntos, logo todo elemento de A é elemento 
de B, sendo A= B. 
 
Outro exemplo: 
“ Você lavar o carro é condição necessária e 
suficiente para eu o emprestar a você.” 
 
ou: 
 
“Você lava o carro se somente se eu o emprestar 
a você”. 
 
1) Você lava o carro →Eu o empresto a você. 
 
2) Você não lava o carro →Eu não o empresto a 
você. 
 
3) Eu empresto o carro a você →Você lava o 
carro. 
 
4) Eu não empresto o carro a você →Você não 
lava o carro. 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
CONECTIVOS: 
 
01. (ESAF 2014) Assinale a opção que apresenta 
valor lógico falso. 
 
a) 23 = 8 e 1 + 4 = 5. 
b) Se, 38 = , então 6 ÷ 2 = 3. 
c) Ou 3 – 1 = 2 ou 5 + 2 = 8. 
d) Se 7 – 2 = 5, então 5 + 1 = 7. 
e) 32 = 9 se, e somente se, 28
3 = . 
 
02. (FCC) Dadas as proposições simples p e q, 
tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as 
seguintes proposições compostas: 
 
(1) p  q ; (2) ~p → q ; 
(3) ~(p  ~q) ;(4) ~(p  q) 
 
Quantas dessas proposições compostas são 
verdadeiras? 
 
a) Nenhuma. 
b) Apenas uma. 
c) Apenas duas. 
d) Apenas três. 
e) Quatro. 
 
03. (IBFC 2014) Dentre as afirmações, a única 
incorreta é: 
 
a) se os valores lógicos de duas proposições são 
falsos então o valor lógico do condicional entre 
elas é falso. 
b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o 
valor lógico de outra proposição é verdade, então 
o valor lógico da conjunção entre elas é falso. 
c) se os valores lógicos de duas proposições são 
falsos então o valor lógico da disjunção entre elas 
é falso 
d) se o valor lógico de uma proposição é falso e 
o valor lógico de outra proposição é verdade, 
então o valor lógico do bicondicional entre elas 
é falso. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
04. (IBFC 2014) Sejam as proposições p: 15% de 
30% = 45% e q: a quarta parte de uma dúzia é 
igual a 3, e considerando os valores lógicos 
dessas proposições, podemos afirmar que o valor 
lógico da proposição composta 
 
(p→q)↔~p é: 
 
a) falso 
b) verdadeiro ou falso 
c) verdade 
d) inconclusivo 
 
05. (EBSERH – ANALISTA 
ADMINISTRATIVO-IBFC 2020) 
Considerando que os símbolos ∧, ∨, → e ↔ 
representem operadores lógicos e significam “e”, 
“ou”, “então” e “se e somente se 
“respectivamente, análise os seguintes testes 
lógicos e dê valores de Verdadeiro (V) ou Falso 
(F). 
 
( ) (32 – 3 x 12 = -4 ∧ 12 + 15 = 27) 
( ) (15+ 2  17 ∨ 18 – 9 = 9 ) 
( ) (12 ÷ 4 = 4 ↔ 25 – 13 = 12) 
( ) (48 ÷ 4 = 12 → 16 +17  33) 
( ) (13+ 12 = 9 ∨ 1+ 1 = 3 ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta de cima para baixo. 
a) V, F, V, F, V 
b) V, V, F, F, F 
c) F, F, V, V, V 
d) V, F, F, V, V 
e) F, V, F, V, F 
 
06. (IBFC 2017) Na tabela verdade abaixo, R 
representa o valor lógico da operação P 
condicional Q (Se P, então Q), em que P e Q são 
proposições e V (verdade) e F(falso). Nessas 
condições, o resultado na coluna R deve ser, de 
cima para baixo, respectivamente: 
 
 
a) FFFV 
b) FVVV 
c) VFFV 
d) VVFV 
e) FVVF 
 
07. (ESAF 2016) Sejam as proposições (p) e (q) 
onde (p) é V e (q) é F, sendo V e F as abreviaturas 
de verdadeiro e falso, respectivamente. Então 
com relação às proposições compostas, a resposta 
correta é: 
 
a) (p) e (q) são V. 
b) Se (p) então (q) é F. 
c) (p) ou (q) é F. 
d) (p) se e somente se (q) é V. 
e) Se (q) então (p) é F. 
 
08. (SOLDADO PMBA – IBFC 2017) Se o 
valor lógico de uma proposição p é verdade e o 
valor lógico de uma proposição q é falso, então é 
correto afirmar que o valor lógico: 
 
a) da conjunção entre p e q é falso 
b) da disjunção entre p e q é falso 
c) do bicondicional entre p e q é verdade 
d) do condicional entre p e q, nessa ordem, é 
verdade 
e) da negação entre a disjunção entre p e q é 
verdade 
 
09. (SOLDADO PM – BA – IBFC 2020) 
Observe as duas proposições P e Q apresentadas 
a seguir. 
 
P: Ana é engenheira. 
Q: Bianca é arquiteta. 
 
Considere que Ana é engenheira somente se 
Bianca é arquiteta e, assinale a alternativa correta. 
 
a) Ana ser engenheira não implica Bianca ser 
arquiteta 
b) Ana ser engenheira é condição suficiente para 
Bianca ser arquiteta 
c) Uma condição necessária para Bianca ser 
arquiteta é Ana ser engenheira 
d) Ana é engenheira se e somente se Bianca não 
é arquiteta 
e) Uma condição necessária para Bianca ser 
arquiteta é Ana não ser engenheira 
 
 
 
9 
 
 
10. Considere A, B e C três proposições falsas. 
Qual valor lógico da proposição 
 
D: [(A ∨ ~C) ↔ B] ↔ [(B ∧ ~A) → ~B]? 
 
a) D não tem valor lógico 
b) Falso 
c) Não é possível determinar o valor lógico de D 
d) Verdadeiro 
e) D é verdadeiro e falso. 
 
 
11. (PMBC/SE-CESPE 2020) Considerando-se 
os conectivos lógicos usuais (∧, ∨ ,→) e que as 
proposições lógicas simples sejam representadas 
por meio de letras maiúsculas, a sentença “ Um 
bom estado de saúde é consequência de boa 
alimentação e da prática regular de atividade 
física” 
 
a) pode ser representada corretamente pela 
expressão P → (Q∧ R) 
b) pode ser corretamente representada pela 
expressão P ∨ Q. 
c) não é uma proposição lógica. 
d) pode ser corretamente representada pela 
proposição P. 
e) pode ser representada corretamente pela 
expressão P →Q. 
 
12. (IBGE- AGENTE DE PESQUSIA E 
MAPEAMENTO- CEBRASPE 2021) A 
quantidade de linhas da tabela-verdade da 
proposição composta P → Q ˅ R, em que P, Q e 
R são proposições simples e independentes entre 
si, que apresentam o valor lógico F é igual a 
 
a) 1. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 2. 
e) 3 
 
 
 
 
 
 
 
13. (FAEPESUL – 2021) Considere a tabela 
abaixo em que as proposições P e Q podem 
assumir, dependendo o caso, o valor lógico V 
(verdadeiro) ou F (falso). Sendo assim, o 
resultado da linha (P  ~Q) → ~P, da esquerda 
para direita, respectivamente, é: 
 
 
 
a) F – F – V. 
b) F – V – V. 
c) V – V – F. 
d) V – F – V. 
e) V – F – F 
 
14. (CBMAL – SOLDADO – CEBRASPE 
2021) Considere os conectivos lógicos usuais e 
assuma que as letras maiúsculas representam 
proposições lógicas e que o símbolo ⁓ representa 
a negação. Considere também que as três 
primeiras colunas de uma tabela-verdade que 
envolve as proposições lógicas P, Q e R sejam as 
seguintes. 
 
 
A última coluna da tabela-verdade relacionada à 
expressão (P→Q) ˅ R apresenta valores V ou F 
na seguinte sequência, de cima para baixo: V F F 
F V V V V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
15. Se todas as bananas têm asas, então o ouro 
não é um fruto seco. Se o ouro não é um fruto 
seco, então todas as bananas têm asas. Logo, 
 
a) todas as bananas não têm asas se e somente se 
o ouro não for um fruto seco. 
b) todas as bananas têm asas se e somente se o 
ouro for um fruto seco. 
c) todas as bananas não têm asas se o ouro é um 
fruto seco. 
d) todas as bananas têm asas se e somente se o 
ouro não for um fruto seco. 
e) algum ouro não é um fruto seco se e somente 
todas as bananas tiverem asas. 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 
6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 
11. D 12. A 13. B 14. E 15. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NEGAÇÕES 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/hy9IpY2c6l0 
 
1. NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO. 
 
A negação de uma conjunção é logicamente 
equivalente a uma disjunção. 
 
~(p  q)  ~p  ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: A comida é farta e saborosa. 
 
A negação dessa proposição é: 
~ P: A comida não é farta ou não é saborosa. 
 
2. NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO 
 
A negação de uma disjunção é logicamente 
equivalente a uma conjunção. 
 
~(p q)  ~p  ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: o número 2 é par ou 3 é número ímpar. 
 
A negação dessa proposição é: 
~ P: o número 2 não é par e 3 não é número impar 
 
3. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL. 
 
A negação do condicional é logicamente 
equivalente a uma conjunção 
 
~(p → q)  p Λ ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: Se procura, então acha. 
 
A negação dessa proposição é: 
~P: Procura e não acha. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL. 
 
A negação da bicondicional é logicamente 
equivalente negar p ou q 
~( pq)  ~p q p ~q p V q 
 
EXEMPLO: 
 
P: Isabela é linda se e somente se Rogério for 
inteligente. 
 
A negação dessa proposição é: 
 
~P: Isabela é linda se e somente se Rogério não 
for inteligente. 
 
5.NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
 
~( p V q)  p q 
 
EXEMPLO: 
P: Ou estudo ou assisto TV. 
 
A negação dessa proposição é: 
 
~P: Estudo se somente se assisto TV. 
 
 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO NEGAÇÕES 
 
01. (EMGEPRON- SELECON 2021) A 
negação de 
 
“Camila é advogada ou Bruno é analista técnico” 
 
está corretamente indicada na seguinte opção: 
 
a) Camila não é advogada ou Bruno não é analistatécnico. 
b) Camila não é advogada e Bruno não é analista 
técnico. 
c) Camila não é advogada ou Bruno é analista 
técnico. 
d) Camila não é advogada e Bruno é analista 
técnico. 
 
02. (FAEPESUL – 2021) Considere a proposição 
“se sou enfermeira, então não deixei de colaborar 
durante a pandemia”. A negação lógica dessa 
proposição é: 
 
a) Se não sou enfermeira, então deixei de 
colaborar durante a pandemia. 
b) Sou enfermeira e deixei de colaborar durante a 
pandemia. 
c) Não sou enfermeira e não deixei de colaborar 
durante a pandemia. 
d) Sou enfermeira ou deixei de colaborar durante 
a pandemia. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
03. (FGV) A negação lógica da sentença “Quem 
doa sangue, doa vida” é: 
 
a) Quem não doa vida, não doa sangue. 
b) Quem não doa sangue, não doa vida. 
c) Alguém não doa sangue e doa vida. 
d) Alguém não doa sangue e não doa vida. 
e) Alguém doa sangue e não doa vida. 
 
04. (IPM/SP - Agente de Administração – 
AOCP – 2018) Dada a disjunção exclusiva “Ou 
Carlos é advogado ou Luíza é professora”, a sua 
negação será dada por 
 
a)“Se Carlos é advogado, então Luiza é 
advogada”. 
 
 
 
 
12 
 
 
b)“Se Luiza não é advogada então Carlos é 
professor”. 
c) “Carlos é advogado se, e somente se, Luiza é 
professora”. 
d) “Se Luiza é advogada, então Carlos é 
professor”. 
e) “Carlos é professor se, e somente se, Luiza é 
advogada”. 
 
05. (EBSERH UBERLÂNDIA – VUNESP 
2020) Uma correta negação lógica para a 
afirmação “Rosana é vulnerável ou necessitada, 
mas não ambos” está contida na alternativa: 
 
a) Rosana é vulnerável se, e somente se, ela é 
necessitada. 
b) Rosana não é vulnerável se, e somente se, ela 
é 
necessitada. 
c) Rosana é vulnerável e necessitada. 
d) Rosana não é vulnerável e, tampouco, 
necessitada. 
e) Se Rosana não é necessitada, então ela não é 
vulnerável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Sabe-se que a sentença 
 
“Se Antônio é advogado, então Carla é 
engenheira ou Diana não é médica” é falsa. 
 
É correto concluir que 
 
a) Antônio é advogado e Diana é médica. 
b) Antônio não é advogado e Carla é engenheira. 
c) Se Carla não é engenheira, então Diana não é 
médica. 
d) Se Diana é médica, então Antônio não é 
advogado. 
e) Carla é engenheira ou Diana não é médica 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Considere a afirmação: 
 
“Se o peixe é fresco então não tem cheiro.” 
 
Assinale a opção que apresenta a negação lógica 
dessa sentença. 
 
a) “O peixe é fresco e tem cheiro.” 
b) “Se o peixe não é fresco então não tem 
cheiro.” 
c) “Se o peixe não é fresco então tem cheiro.” 
d) “Se o peixe tem cheiro então é fresco.” 
e) “O peixe não é fresco e tem cheiro.” 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Considere as proposições a seguir. 
 
I. 30% de 120 = 36 e 25% de 140 = 36. 
II. 30% de 120 = 36 ou 25% de 140 = 36. 
III. Se 25% de 140 = 36, então 30% de 120 = 36. 
 
É correto concluir que: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
13 
 
 
 
a) apenas a proposição I é verdadeira; 
b) apenas a proposição II é verdadeira; 
c) apenas as proposições II e III são verdadeiras; 
d) todas são verdadeiras; 
e) nenhuma é verdadeira. 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Considere a sentença: “Se não estou 
cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema”. 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
a) Se estou cansado, então não vejo televisão e 
não vou ao cinema; 
b) Se estou cansado, então vejo televisão ou vou 
ao cinema; 
c) Se não vejo televisão e não vou ao cinema, 
então estou cansado; 
d) Não estou cansado e não vejo televisão e não 
vou ao cinema; 
e) Estou cansado ou vejo televisão ou vou ao 
cinema 
 
 
 
(COORDENADOR SENSITÁRIO – IBGE – 
FGV 2019) Considere a sentença: “Rubens tem 
mais de 18 anos e sabe dirigir”. 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
a) Rubens não tem mais de 18 anos e não sabe 
dirigir; 
b) Rubens não tem mais de 18 anos ou não sabe 
dirigir; 
c) Rubens tem mais de 18 anos e não sabe dirigir; 
d) Rubens não tem mais de 18 anos e sabe dirigir; 
e) Rubens tem mais de 18 anos ou sabe dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO – 
FGV 2018) Considere a afirmação: 
 
Se um carro não tem gasolina então não anda. 
 
Considere, agora, as afirmações seguintes: 
 
I. Se um carro tem gasolina então anda. 
 
II. Se um carro não anda então não tem gasolina. 
 
III. Se um carro anda então tem gasolina. 
 
É/são logicamente equivalente(s) à afirmação 
dada: 
 
a) somente I; 
b) somente II; 
c) somente III; 
d) somente I e II; 
e) I, II e III. 
 
 
 
(BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO – 
FGV 2018) A secretária disse ao advogado: 
 
“Fechei a janela e não mexi nos papéis”. 
 
Algum tempo depois, o advogado descobriu que 
o que disse a secretária não era verdade. 
 
É correto concluir que a secretária: 
a) fechou a janela e mexeu nos papéis; 
b) não fechou a janela e não mexeu nos papéis; 
c) não fechou a janela e mexeu nos papéis; 
d) fechou a janela ou não mexeu nos papéis; 
e) não fechou a janela ou mexeu nos papéis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
(ALERO – FGV2018 – ANALISTA 
LEGISLATIVO) A negação lógica da sentença 
“Se como demais, então passo mal” 
é 
a) “Se não como demais, então não passo mal”. 
b) “Se não como demais, então passo mal”. 
c) “Como demais e não passo mal”. 
d) “Não como demais ou passo mal”. 
e) “Não como demais e passo mal”. 
 
 
 
(FGV 2017) Sabe-se que são verdadeiras as 
afirmativas: 
 
Se Z, então não X. 
Se não Z, então Y. 
 
Logo, deduz-se que: 
 
a) Z é necessário para X; 
b) Z é suficiente para Y; 
c) X é necessário para Y; 
d) X é suficiente para Z; 
e) Y é necessário para X. 
 
 
 
 
(FGV 2016) Prestando depoimento o depoente 
declarou: 
 
- Estava no escritório às 10 horas da noite e o 
telefone tocou. 
 
Após algumas investigações verificou-se que essa 
declaração do depoente era falsa. 
 
É correto concluir que o depoente: 
 
a) não estava no escritório ou o telefone não 
tocou; 
b) não estava no escritório e o telefone não tocou; 
c) não estava no escritório ou o telefone tocou; 
d) estava no escritório ou o telefone não tocou; 
e) estava no escritório e o telefone não tocou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 
6. C 7. E 8. C 9. E 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 CLASSIFICAÇÃO - TABELA 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/Rm6DiEPFQpM 
 
TAUTOLOGIA 
 
Tautologia é toda proposição sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Sua tabela- verdade só contém o 
valor lógico V. 
O exemplo mais simples de tautologia é (p
~p): 
 
 
 
 
 
Exemplo: Construa a tabela – verdade das 
proposições a seguir: 
 
a) ( )  qqpp →→ 
b) ( )  pqpq ~~ →→ 
 
CONTRADIÇÃO 
 
Contradição é toda proposição sempre falsa, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Sua tabela-verdade só contém o valor 
lógico F. 
O exemplo mais simples de contradição é 
(p ~p): 
 
 
 
 
 
INDETERMINAÇÃO OU CONTINGÊNCIA 
 
Uma proposição (simples ou composta) 
representa uma indeterminação quando os valores 
da proposição apresentam dois resultados V e F. 
 
Exemplos: 
Fulano é culpado (V ou F) 
Orlando é alto ou Joane é baixa. (V ou F) 
 
EXEMPLOS: 
 
01. (ESAF) Chama-se tautologia a toda a 
proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Um exemplo de tautologia é: 
 
a) se João é alto, então Joãoé alto ou Guilherme 
é gordo; 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é 
gordo; 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
Guilherme é gordo; 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
João é alto e Guilherme é gordo; 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme 
é gordo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (CESPE) A proposição (A B)→ (A B) 
é uma tautologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (CESPE 2014) A proposição 
( )  ( )  QPQP  é uma 
tautologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 EQUIVALÊNCIAS 
 
Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes 
quando possuem tabelas-verdade idênticas, de modo 
que tais proposições assumem os mesmos valores 
lógicos em função de suas proposições, e representam 
uma forma de expressar uma mesma afirmação de 
diferentes maneiras. 
Referências 
p, q, r – proposições 
 - tautologia 
 - contradição 
Dupla negação 
 
~(~p) p 
Leis Idempotentes 
p  p p 
p  p p 
 
Leis Comutativas 
p qq p 
p qq p 
 
Leis Associativas 
p (q r) (p q) r 
p (q r) (p q)  r 
 
Leis Distributivas 
p (q r) (p q) (p r) 
p (q r) (p q) (p
r) 
 
Leis de Morgan 
~(p q) ~p ~q 
~(p q) ~p ~q 
 
Leis de Identidade 
p  p 
p    
p  p 
p    
 
Leis 
Complementares 
p ~p  
p ~p  
~   
~   
 
Condicional 
p→q~(p ~q) ~p q 
p→ q~q→ ~p 
~(p→ q)  p ~q 
 
Bicondicional 
p q (p→ q) (q→ p) 
~(p q)  ~p q p~q 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK DESSA AULA 
 
https://youtu.be/hy9IpY2c6l0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
EXEMPLOS ENVOLVENDO 
EQUIVALÊNCIAS: 
 
01. (AOCP 2017) A proposição “Se há pão, não 
há fome” é equivalente a 
 
a) “Há pão”. 
b) “Não há fome nem pão”. 
c) “Onde há pão, há fome”. 
d) “Há fome”. 
e) “Se há fome, não há pão”. 
 
02. (IBFC 2017) A frase: “Se o soldado chegou 
atrasado, então não fez atividade física” é 
equivalente à frase: 
 
a) O soldado chegou atrasado e não fez atividade 
física 
b) O soldado chegou atrasado e fez atividade 
física 
c) O soldado chegou atrasado ou fez atividade 
física 
d) O soldado não chegou atrasado ou não fez 
atividade física 
e) O soldado chegou atrasado se, e somente se, 
não fez atividade física 
 
03. Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é 
paulista,” é do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer que: 
 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é 
paulista. 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é 
paulista. 
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é 
paulista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (CESPE) Julgue o próximo item, 
considerando proposição P, a seguir: O 
desenvolvimento científico do país permanecerá 
estagnado se, e somente se, não houver 
investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. 
 
A proposição P é logicamente equivalente a “Se 
não houver investimento em pesquisa acadêmica 
no Brasil, então o desenvolvimento científico do 
país permanecerá estagnado, e se houver 
investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, 
então o desenvolvimento do país não 
permanecerá estagnado”. 
 
 
 
 
 
 
 
05. (FCC 2015) Antes da rodada final do 
campeonato inglês de futebol, um comentarista 
esportivo apresentou a situação das duas únicas 
equipes com chances de serem campeãs, por meio 
da seguinte afirmação: 
 
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário 
que ele vença sua partida e que o Chelsea perca 
ou empate a sua.” 
 
Uma maneira equivalente, do ponto de vista 
lógico, de apresentar esta informação é: “Para que 
o Arsenal seja campeão, é necessário que ele 
a) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a 
sua.” 
b) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate 
a sua.” 
c) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença 
a sua.” 
d) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que 
ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.” 
e) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e 
que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate 
a sua.” 
 
 
 
 
 
18 
 
 
06. Proposições que possuem a mesma tabela-
verdade são chamadas de proposições 
logicamente equivalentes (ou simplesmente 
equivalentes). Qual das alternativas abaixo é uma 
equivalência lógica da proposição 
 
P →( ~P∧~Q)? 
 
a) Q 
b) P 
c) ~Q 
d) ~P 
e) P ∨ ~Q 
 
 
07. (CESGRANRIO - 2018 - Transpetro - 
Analista de Sistemas Júnior – Infraestrutura) 
 
A proposição p ∧ ¬(q ∧ r) é equivalente a 
 
a) (p ∧ ¬ q) ∧ (p ∧ ¬ r) 
b) (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r) 
c) (p ∧ ¬ q) ∨ (p ∧ ¬ r) 
d) (¬ p ∨ q) ∧ (¬ p ∨ r) 
e) (¬ p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ r) 
 
08. Considere as seguintes proposições: 
 
(1) Se Jonas implantar um sistema 
informatizado em sua empresa, então poderá 
fazer o monitoramento de seus projetos com 
mais facilidade. 
 
(2) Se Jonas não implantar um sistema 
informatizado em sua empresa, então ele não 
poderá fazer o monitoramento de seus projetos 
com mais facilidade. 
 
(3) É falso que, Jonas implantará um sistema 
informatizado em sua empresa e não fará o 
monitoramento de seus projetos com mais 
facilidade. 
 
(4) Jonas faz o monitoramento de seus projetos 
com mais facilidade ou não implanta um sistema 
informatizado em sua empresa. 
 
Relativamente a essas proposições, é correto 
afirmar que são logicamente equivalentes 
apenas as de números 
a) 2, 3 e 4 
b) 1, 3 e 4 
c) 1, 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 1 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) O salão principal do tribunal está 
preparado para um evento comemorativo e 
diversas pessoas foram convidadas a comparecer. 
Na porta do salão está um funcionário que 
recebeu instruções sobre as pessoas que podem 
entrar e uma delas foi: 
 
“Se tiver carteira de advogado pode entrar.” 
 
É correto concluir que: 
 
a) se João entrou então tem carteira de advogado; 
b) quem não tem carteira de advogado não pode 
entrar; 
c) se Pedro não pode entrar então não tem carteira 
de advogado; 
d) quem é advogado, mas não tem carteira, pode 
entrar; 
e) todos os que entraram são advogados. 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO– FGV 2021) 
Considere a afirmação tradicional abaixo: “Cão 
que ladra não morde” Essa afirmativa é 
equivalente a: 
 
a) Cão que não morde, ladra. 
b) Cão que não ladra, morde. 
c) Cão que morde, não ladra. 
d) Um cão não ladra ou morde. 
e) Um cão ladra ou morde. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO – FGV 2021) 
Considere a sentença: “Se a cobra é verde, então 
ela não morde ou ela é venenosa”. A sentença 
logicamente equivalente à sentença dada é: 
 
a) Se a cobra morde e não é venenosa, então ela 
não é verde. 
b) Se a cobra não é verde, então ela morde e não 
é venenosa. 
c) Se a cobra não é verde, então ela não morde ou 
não é venenosa. 
d) A cobra é verde e não morde ou é venenosa. 
e) A cobra não é verde e morde e não é venenosa. 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Renato, em relação ao seu 
trabalho, disse: 
 
“Se não chego cedo, então faço hora extra” 
 
Essa sentença é logicamente equivalente a 
 
a) “Se não faço hora extra, então não chego 
cedo.” 
b) “Se faço hora extra, então não chego cedo.” 
c) “Se chego cedo, então não faço hora extra.” 
d) “Chego cedo e faço hora extra.” 
e) “Chego cedo ou faço hora extra.” 
 
 
 
(COORDENADOR SENSITÁRIO – IBGE – 
FGV 2019) Considere a sentença: “Se corro ou 
faço musculação, então fico cansado”. 
Uma sentença logicamente equivalente a essa é: 
 
a) Senão corro ou faço musculação, então não 
fico cansado; 
b) Se não corro e não faço musculação, então não 
fico cansado; 
c) Não corro e não faço musculação ou fico 
cansado; 
d) Corro ou faço musculação e não fico cansado; 
e) Não corro ou não faço musculação e fico 
cansado. 
 
 
 
(FGV 2013) Considere verdadeira a seguinte 
afirmativa. 
 
“Carlos é louro ou estuda teatro.” 
 
Com base na afirmativa acima é correto concluir 
que 
 
a) se Carlos é louro então estuda teatro. 
b) se Carlos estuda teatro então é louro. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
20 
 
 
c) se Carlos não estuda teatro então não é louro. 
d) se Carlos não é louro então estuda teatro. 
e) Carlos não pode ser louro e estudar teatro. 
 
 
 
(COMPESA- ANALISTA DE 
SANEAMENTO – FGV 2018) Considere a 
sentença a seguir. 
 
“Se Paulo torce pelo Santa Cruz e mora em 
Recife, então Paulo é pernambucano.” 
 
Assinale a opção que apresenta a sentença 
logicamente equivalente à sentença dada. 
 
a) “Paulo não torce pelo Santa Cruz ou não mora 
em Recife ou é pernambucano.” 
b) “Se Paulo é pernambucano, então Paulo torce 
pelo Santa Cruz e mora em Recife.” 
c) “Se Paulo não torce pelo Santa Cruz e não mora 
em Recife, então Paulo não é Pernambucano.” 
d) “Paulo torce pelo Santa Cruz e mora em 
Recife, mas não é pernambucano.” 
e) “Se Paulo não torce pelo Santa Cruz ou não 
mora em Recife, então Paulo não é 
pernambucano.” 
 
 
 
(ALERO – FGV2018 – ANALISTA 
LEGISLATIVO) Considere a sentença a seguir. 
“Se nasci em Rondônia ou Roraima, então sou 
brasileiro”. 
 
Assinale a opção que apresenta uma sentença 
logicamente equivalente à sentença dada. 
 
a) “Se não nasci em Rondônia nem em Roraima, 
então não sou 
brasileiro”. 
b) “Se nasci em Rondônia, então sou brasileiro”. 
c) “Se não nasci em Roraima, então não sou 
brasileiro”. 
d) “Se não sou brasileiro, então não nasci em 
Rondônia nem em Roraima”. 
e) “Se sou brasileiro e não nasci em Rondônia, 
então nasci em Roraima”. 
 
 
 
 
(FGV 2016) Um guarda portuário trabalha na 
fiscalização das pessoas que transitam pelo porto 
e conhece a regra: 
 
“Quem tem crachá pode entrar no navio.” 
 
A partir dessa regra, é correto concluir que 
 
a) se alguém não pode entrar no navio então não 
tem crachá. 
b) quem não tem crachá não pode entrar no navio. 
c) se alguém pode entrar no navio então tem 
crachá. 
d) algumas pessoas com crachá não podem entrar 
no navio. 
e) uma pessoa tem crachá ou não entra no navio. 
 
 
 
(FGV 2015) Considere a sentença: “Se cometi 
um crime, então serei condenado”. 
 
Uma sentença logicamente equivalente à 
sentença dada é: 
 
a) Não cometi um crime ou serei condenado. 
b) Se não cometi um crime, então não serei 
condenado. 
c) Se eu for condenado, então cometi um crime. 
d) Cometi um crime e serei condenado. 
e) Não cometi um crime e não serei condenado. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. C 3. A 4. E 5. C 
6. D 7. A 8. D 9. A 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 QUANTIFICADORES 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/tM8xmmL95CQ 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
a) p: “x + 5 = 8” 
b) q: “Fulano é jogador da seleção brasileira de 
futebol”. 
 
Qual é o valor lógico, V ou F, de cada uma dessas 
afirmações? 
Nenhuma delas pode ser classificada como V ou 
F, pois nos faltam informações a respeito do x e 
do “Fulano”. Afirmações desse tipo são 
chamadas de sentenças abertas. 
 
Sentença aberta é toda expressão que encerra 
um pensamento de sentido completo, mas não 
pode ser classificada como V ou F. 
 
Toda sentença aberta possui pelo menos um 
termo variável, ou seja, um termo que pode 
assumir mais de um valor. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Na sentença “x + 5 = 8”, a variável é x, pois 
podemos atribuir infinitos valores a x. Apenas um 
desses infinitos valores transforma a sentença 
aberta numa proposição verdadeira. 
 
b) Na sentença “Fulano é jogador da seleção 
brasileira de futebol”, a variável é “Fulano”, pois 
podemos substituí-lo por um nome qualquer. 
Porém, para que a proposição obtida seja 
verdadeira, a variável deve ser substituída pelo 
nome de um jogador da seleção brasileira de 
futebol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que valor lógico você atribuiria à sentença 
aberta x + 2 = 5? 
 
Não podemos classificá-la como V ou F, pois nos 
faltam informações sobre a variável x. 
 
Para transformarmos uma sentença aberta em 
uma proposição, ou seja, uma afirmação que pode 
ser qualificada como V ou F, devemos atribuir 
valores às variáveis ou utilizar símbolos lógicos 
chamados de “quantificadores”. Estudaremos o 
quantificador universal e os existenciais. 
 
I. Quantificador universal:  (lê-se “qualquer 
que seja”, ou, ainda, “para todo”). 
 
II. Quantificadores existenciais:  (lê-se 
“existe pelo menos um”) e  | (lê-se “existe um 
único”). 
 
Nos quatro exemplos seguintes, considere N = 
{0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) ( x, x  N) (x + 2 = 5), que se lê “qualquer 
que seja x, x elemento de N, tem se 
x + 2 = 5”, é uma afirmação falsa. 
 
b) ( x, x N) (x + 2 = 5), que se lê “existe pelo 
menos um x, x elemento de N, tal que 
x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. 
 
c) ( | x, x  N) (x + 2 = 5), que se lê “existe um 
único x, x elemento de N, tal que x + 2 = 5”, é 
uma afirmação verdadeira. 
 
d) ( | x, xN) (x + 2 > 5), que se lê “existe um 
único x, x elemento de N, tal que x + 2 > 5”, é 
uma afirmação falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
ANÁLISE DAS PROPOSIÇÕES 
CATEGÓRICAS 
 
Chama-se de proposições categóricas 
proposições simples e diretas na forma de 
sujeito-predicado. Apresentam quatro tipos: 
 
1. Todo A é B: se um elemento pertence ao 
conjunto A, então pertence também a B. 
 
 
A é subconjunto de B. 
 
2. Algum A é B ( ou: pelo menos um A é B): 
existe pelo menos um elemento comum aos 
conjuntos A e B. 
 
AB 
 
3. Nenhum A é B.: não existe nenhum elemento 
comum aos conjuntos A e B, isto é, se um 
elemento pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa. 
 
A e B são disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
 
As proposições que possuem quantificadores 
podem ser classificados como : (1)universais ou 
particulares e (2) afirmativas ou negativas. 
 
EXEMPLOS: 
 
Universal afirmativa: “Todo João é homem” 
 
Universal negativa: “Nenhum João é mulher” 
 
Particular afirmativa : “Alguns homens se 
chamam João” 
 
Particular negativa “Alguns homens não se 
chamam João” 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
QUANTIFICADORES: 
 
01. (ESAF) Todas as plantas verdes tem clorofila. 
Algumas plantas que tem clorofila são 
comestíveis. Logo: 
 
a) algumas plantas verdes são comestíveis; 
b) algumas plantas verdes não são comestíveis; 
c) algumas plantas comestíveis tem clorofila; 
d) todas as plantas que têm clorofila são 
comestíveis; 
e) todas as plantas verdes são comestíveis. 
 
02. (FCC) Algum A é B. Todo A é C. Logo 
 
a) algum D é A. 
b) todo B é C. 
c) todo C é A. 
d) todo B é A. 
e) algum B é C. 
 
03. (FCC) Todos os macerontes são 
torminodoros. Alguns macerontes são 
momorrengos. Logo, 
 
a) todos os momorrengos são torminodoros. 
b) alguns torminodoros são momorrengos. 
c) todos os torminodoros são macerontes. 
d) alguns momorrengos são pássaros. 
e) todos os momorrengos são macerontes. 
 
 
 
23 
 
 
04. (FCC 2013) Se é verdade que “algum X é Y” 
e que “nenhum Z é Y”, então é necessariamente 
verdadeiro que: 
 
a) algum X não é Z. 
b) algum X é Z. 
c) nenhum X é Z. 
d) algum Z é X. 
e) nenhum Z é X. 
 
05. (FUNCAB) Todos os atacantes são 
jogadores. Alguns atacantes são gênios. Logo: 
 
a) todos os gênios são jogadores. 
b) alguns jogadores são gênios. 
c) todos os jogadores são atacantes. 
d) alguns gênios são técnicos. 
e) todos os gênios são atacantes.NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUE 
CONTÉM QUANTIFICADORES 
 
 
Proposição 
Inicial 
Exemplo 
inicial 
Negação Exemplo da 
negação 
Todo A é B 
Todo ator 
é charmoso 
Algum A 
não é B;ou 
Pelo menos 
um A não é 
B 
Algum ator não é 
charmoso; ou 
Pelo menos um 
ator não é 
charmoso 
Nenhum A é 
B 
Nenhum ator 
é charmoso 
Algum A é 
B, ou 
Pelo menos 
um A é B 
Algum ator é 
charmoso; ou 
Pelo menos um 
ator é charmoso 
Algum A é B 
Algum ator é 
charmoso 
Nenhum A 
é B 
Nenhum ator é 
charmoso 
Algum A não 
é B 
Algum ator 
não 
é charmoso 
Todo A é B 
Todo ator é 
charmoso 
 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK DESSA AULA 
 
https://youtu.be/VwrfMXvr-A4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
QUANTIFICADORES: 
 
01. (FGV 2013) Considere a afirmativa: 
 
“nenhum gato é verde”. 
 
A negação dessa afirmativa é: 
 
a) “algum gato é verde”. 
b) “nenhum animal verde é gato”. 
c) “todo gato é verde”. 
d) “algum animal verde não é gato”. 
e) “algum gato não é verde”. 
 
02. (CESGRANRIO) A negação de “Todas as 
portas estão trancadas” é 
 
a) “Todas as portas estão destrancadas”. 
b) “Todas as portas estão abertas”. 
c) “Alguma porta está fechada”. 
d) “Alguma porta está trancada”. 
e) “Alguma porta está destrancada”. 
 
03. (FUNCAB) Marque a alternativa que contém 
a negação da proposição “Os homens não são 
sentimentais”. 
 
a) “É mentira que todos os homens são 
sentimentais.” 
b) “Todos os homens são sentimentais.” 
c) “Existe homem que não é sentimental.” 
d) “Existe homem que é sentimental.” 
e) “Nenhum homem é sentimental.” 
 
04. (ESCREVENTE JUDICIÁRIO TJ SP - 
VUNESP 2017) “Existe um lugar em que não há 
poluição” é uma negação lógica da afirmação: 
 
a) Em alguns lugares, pode não haver poluição. 
b) Em alguns lugares, não há poluição. 
c) Em alguns lugares, há poluição. 
d) Em todo lugar, há poluição. 
e) Em todo lugar, não há poluição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 ARGUMENTOS 
 
LINKS DESSA AULA 
1. https://youtu.be/MSD4nnIswLk 
2. https://youtu.be/RtMKojszbJM 
 
Dadas as proposições P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) e Q, 
simples ou compostas, chama-se argumento toda 
afirmação de que uma certa sequência finita de 
proposições tem como consequência uma 
proposição final. As proposições iniciais P1, P2, 
..., Pn são as premissas (hipóteses) do argumento 
e a proposição final Q é a conclusão (tese) do 
argumento. 
 
EXEMPLOS: 
 
P1: Todos os homens são mortais. 
P2: Sócrates é homem. 
Conclusão: Sócrates é mortal. 
 
Pode-se concluir que o argumento 1 é um 
argumento válido. 
 
P1: Alguns cronópio é guilherdo. 
P2: João é cronópio. 
Conclusão: João é guilherdo. 
 
Pode-se concluir que o argumento 2 não é um 
argumento válido. Podemos chamá-lo de sofisma 
ou falácia. 
 
Representação de um Argumento 
 
Um argumento pode ser representado das 
seguintes formas: 
 
a) Forma Simbólica 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...,Pn e de conclusão Q da seguinte forma: 
 
P1, P2, ..., Pn ⊢ Q 
 
Que poderá ser lido das seguintes formas: 
 
(1) “Q decorre de P1, P2, ..., Pn”. 
(2) “Q se deduz de P1, P2, ..., Pn”. 
(3) “Q se infere de P1, P2, ..., Pn”. 
(4) “P1, P2, ..., Pn acarretam Qn”. 
Observação: o símbolo ⊢ é denominado de traço 
de asserção. 
 
Vamos representar o argumento a seguir: 
 
Premissa 1: Se Ana vai à praia, então Ana toma 
sol. 
Premissa 2: Ana vai à praia. 
Conclusão: Ana toma sol. 
 
Considerando: A: Ana vai à praia, ; B: Ana toma 
sol. 
 
Temos que: 
 
𝑷𝟏, 𝑷𝟐 ⊢ 𝑸 ∴ 𝑨 → 𝑩 , 𝑨 ⊢ 𝑩 
 
b) Forma Simbólica Implicativa 
 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...,Pn e de conclusão Q da seguinte forma: 
 
[P1 ˄ P2 ˄ ... ˄ Pn] → Q 
 
Exemplo. Representando o argumento 1: 
 
Temos que: 
 
(𝑷𝟏 ∧ 𝑷𝟐) → 𝑸 ∴ [(𝑨 → 𝑩) ∧ 𝑨 ] → 𝑩 
 
c) Forma Padronizada 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...Pn e de conclusão Q, também da seguinte 
forma: 
P1 
P2 
. 
. 
Pn 
_______ 
Q 
 
Exemplo. Representando o argumento 1: 
• 𝑃1: 𝐴 → 𝐵 
• 𝑃2: 𝐴 
• 𝑄: 𝐵 
 
 
 
26 
 
 
 
Silogismo 
 
 Um argumento que consiste em duas 
premissas e uma conclusão chama-se Silogismo. 
Poderemos usar os termos hipótese, no lugar de 
premissa, e tese, no lugar de conclusão. 
 
Tipos de Silogismo: 
 
I. O silogismo categórico são aqueles compostos 
por premissas representadas por enunciados 
simples, em que observamos um quantificador, 
um sujeito, um predicado e um verbo de ligação. 
 O silogismo categórico consiste de três 
partes: 1. a premissa maior; 2. a premissa menor 
e 3. a conclusão. 
 Cada parte do silogismo é uma 
proposição categórica e cada proposição 
categórica contém dois termos categóricos. Em 
Aristóteles, cada uma das premissas está na forma 
“alguns/todos A pertence a B” ou “algum/todos 
A [não]é/são B”, na qual “A” é um termo e “B” é 
outro, mas lógicos mais modernos permitem 
alguma variação. Cada uma das premissas tem 
um termo em comum com a conclusão: em uma 
premissa maior, trata-se do termo maior (i. e., o 
predicado da conclusão); em uma premissa 
menor, trata-se do termo menor (o sujeito) da 
conclusão. Por exemplo: 
 
 Premissa maior: todos humanos são 
mortais. 
 Premissa menor: alguns animais são 
humanos. 
 Conclusão: alguns animais são mortais. 
 
 Cada um dos três distintos termos 
representa uma categoria, neste exemplo, 
“humano”, “mortal” e “animal”. “Mortal” é o 
termo maior; “animal”, o termo menor. As 
premissas também têm um termo em comum 
entre si: o termo médio, neste caso, “humano”. 
II. O silogismo hipotético é aquele composto por 
sentenças conjuntivas, disjuntivas, condicionais 
ou bicondicionais. 
 
EXEMPLO: 
 
P1: Se uma mulher está desempregada, então, ela 
é infeliz. 
P2: Se uma mulher é infeliz, então, ela vive 
pouco. 
Conclusão: “Mulheres desempregadas vivem 
pouco” 
 
 
Validade de um argumento 
 
 Diz-se que é válido um argumento, se, e 
somente se, a conclusão for verdadeira, todas as 
vezes que as premissas forem verdadeiras. 
Lembre que verdade e falsidade são predicados 
das proposições, nunca dos argumentos. 
 Assim, o argumento P1, P2, P3, ..., Pn ⟝ 
Q é válido, se, e somente se, a conclusão Q for 
verdadeira, todas as vezes que as premissas P1, 
P2, P3, ..., Pn forem verdadeiras. Lembre que 
validade ou não-validade são atributos dos 
argumentos, nunca das proposições. 
 
Portanto, em todo argumento válido, a 
verdade das premissas é incompatível com a 
falsidade da conclusão. Um argumento não válido 
é chamado de falácia ou sofisma. Existe uma 
conexão entre validade e não-validade de um 
argumento e a verdade e falsidade de suas 
premissas e conclusão, mas essa conexão de 
modo nenhum é simples. Há argumentos válidos 
com conclusões falsas, assim como argumentos 
não válidos com conclusões verdadeiras. 
 
 Por conseguinte, a verdade ou falsidade 
da conclusão não determina a validade ou não-
validade de um argumento. Tampouco a validade 
de um argumento garante a verdade de sua 
conclusão. Há raciocínios perfeitamente válidos 
que têm conclusões falsas, mas devem ter, pelo 
menos uma premissa falsa. 
 
 Num raciocínio dedutivo não é possível 
estabelecer a verdade da sua conclusão se as 
premissas não forem todas verdadeiras. 
 
 
 
27 
 
 
Determinar a verdade ou falsidade das premissas 
é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as 
premissas podem referir-se a qualquer tema. 
Determinar a validade ou não validade dos 
raciocínios está inteiramente dentro do domínio 
da 
 
 
lógica. O lógico está interessado na validade até 
daqueles argumentos cujas premissas possam ser 
falsas.Aliás, a Lógica só se preocupa com a 
validade dos argumentos, e não com a verdade ou 
falsidade das premissas e das conclusões. 
 A validade de um argumento depende tão 
somente da relação existente entre as premissas e 
a conclusão. Logo, afirmar que um dado 
argumento é válido significa afirmar que as 
premissas estão de tal modo relacionadas com a 
conclusão que não é possível ter a conclusão falsa 
se as premissas forem verdadeiras. 
 A validade de um argumento pode ser 
verificada, demonstrada ou testada com o uso das 
regras de inferência, por intermédio dos 
diagramas de Venn, através de tabelas-verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
01. (CESGRANRIO) O silogismo é uma forma 
de raciocínio dedutivo. Na sua forma 
padronizada, é constituído por três proposições: 
as duas primeiras denominam-se premissas e a 
terceira, conclusão. As premissas são juízos que 
precedem a conclusão. Em um silogismo, a 
conclusão é consequência necessária das 
premissas. 
São dados 3 conjuntos formados por 2 premissas 
verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente 
verdadeira. 
 
(I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol. 
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol. 
Conclusão: Júlio é brasileiro. 
 
 
 
 
 
 
(II) Premissa 1: Paulo é brasileiro. 
Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de 
voleibol. 
Conclusão: Paulo gosta de voleibol. 
 
 
 
 
 
 
 
(III) Premissa 1: Marcos é brasileiro. 
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo. 
Conclusão: Marcos gosta de atletismo. 
 
 
 
 
 
São silogismos: 
 
a) I, somente. 
b) II, somente. 
c) III, somente. 
d) I e III, somente. 
e) II e III, somente. 
 
 
 
28 
 
 
02. (CESPE) Considere as seguintes 
proposições: 
 
P: “Mara trabalha” e Q: ”Mara ganha dinheiro” 
 
Nessa situação, é valido o argumento em que as 
premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha 
dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é 
“Mara não ganha dinheiro”. 
 
 
 
 
 
03. (AOCP 2015) Se LEÃO, então VACA. 
 
Se VACA, então PORCO. 
 
Se PORCO, então PATO. 
 
Sabe-se que NÃO PATO, então 
 
a) PORCO e NÃO VACA. 
b) VACA e NÃO PORCO. 
c) LEÃO e VACA. 
d) VACA. 
e) NÃO LEÃO. 
 
04. (FGV 2016) Sobre as atividades fora de casa 
no domingo, Carlos segue fielmente as seguintes 
regras: 
 
- Ando ou corro. 
 
- Tenho companhia ou não ando. 
 
- Calço tênis ou não corro. 
 
Domingo passado Carlos saiu de casa de 
sandálias. 
 
É correto concluir que, nesse dia, Carlos: 
 
a) correu e andou; 
b) não correu e não andou; 
c) andou e não teve companhia; 
d) teve companhia e andou; 
e) não correu e não teve companhia. 
 
 
05. (FGV 2013) Sabe‐se que 
 
I. se Mauro não é baiano então Jair é cearense. 
II. se Jair não é cearense então Angélica é 
pernambucana. 
III. Mauro não é baiano ou Angélica não é 
pernambucana. 
 
É necessariamente verdade que 
 
a) Mauro não é baiano. 
b) Angélica não é pernambucana. 
c) Jair não é cearense. 
d) Angélica é pernambucana. 
e) Jair é cearense. 
 
06. (FGV 2016) Sobre os amigos Marcos, Renato 
e Waldo, sabe-se que: 
 
I - Se Waldo é flamenguista, então Marcos não é 
tricolor; 
 
II - Se Renato não é vascaíno, então Marcos é 
tricolor; 
 
III - Se Renato é vascaíno, então Waldo não é 
flamenguista. 
 
Logo, deduz-se que: 
 
a) Marcos é tricolor; 
b) Marcos não é tricolor; 
c) Waldo é flamenguista; 
d) Waldo não é flamenguista; 
e) Renato é vascaíno. 
 
07. (PMBC/SE-CESPE 2020) Considere o 
seguinte argumento: “ O boto-cor-de-rosa possui 
asas e possui patas, pois todo animal amazônico 
possui patas, todo animal fluvial possui asas, e o 
boto-cor-de-rosa é um animal fluvial 
amazônico”. 
 
Com base nessas informações, assinale a opção 
correta, com relação à lógica de argumentação. 
 
a) Esse argumento é inválido, pois nem todas as 
espécies amazônicas possuem asas. 
b) Esse argumento é inválido, pois sua conclusão 
é falsa. 
 
 
 
29 
 
 
c) A assertiva “ todo animal amazônico possui 
patas” é uma proposição lógica composta. 
d) A assertiva “o boto-cor-de-rosa é um animal 
fluvial amazônico” é a conclusão desse 
argumento. 
e) Esse argumento possui três premissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) Carlos fez quatro afirmações 
verdadeiras sobre algumas de suas atividades 
diárias: 
 
▪ De manhã, ou visto calça, ou visto bermuda. 
▪ Almoço, ou vou à academia. 
▪ Vou ao restaurante, ou não almoço. 
▪ Visto bermuda, ou não vou à academia. 
 
Certo dia, Carlos vestiu uma calça pela manhã. 
É correto concluir que Carlos 
 
a) almoçou e foi à academia. 
b) foi ao restaurante e não foi à academia. 
c) não foi à academia e não almoçou. 
d) almoçou e não foi ao restaurante. 
e) não foi à academia e não almoçou. 
 
 
 
(FGV 2015) Considere verdadeira a frase: 
“Quem tem amigo é feliz e quem chora não é 
feliz”. Assim, é correto concluir que 
 
a) quem não chora tem amigo. 
b) quem tem amigo não chora. 
c) quem não chora é feliz. 
d) quem é feliz tem amigo. 
e) quem não tem amigo chora. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Considere a 
sentença: “Se todo sapo é amarelo, então alguma 
perereca é vermelha”. A negação lógica dessa 
sentença é 
 
a) Se todo sapo é amarelo, então nenhuma 
perereca é vermelha. 
b) Todo sapo é amarelo e nenhuma perereca é 
vermelha. 
c) Se nem todo sapo é amarelo, então alguma 
perereca é vermelha. 
d) Se nenhum sapo é amarelo, então toda perereca 
é vermelha. 
e) Nem todo sapo é amarelo ou alguma perereca 
é vermelha. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ASSISTENTE 
ADMINISTRATIVO- FGV 2021) Roberto fez 
as seguintes afirmações sobre suas atividades 
diárias: 
 
• faço ginástica ou natação. 
 
• vou ao clube ou não faço natação. 
 
• vou à academia ou não faço ginástica. 
 
Certo dia Roberto não foi à academia. É correto 
concluir que, nesse dia, Roberto 
 
a) fez ginástica e natação. 
b) não fez ginástica nem natação. 
c) fez natação e não foi ao clube. 
d) foi ao clube e fez natação. 
e) não fez ginástica e não foi ao clube. 
 
 
 
(FGV 2017) Considere verdadeira a afirmação: 
Todo computador bom é caro e todo computador 
grande é bom. É correto concluir que: 
 
a) se um computador é caro, então é bom; 
b) se um computador é bom, então é grande; 
c) se um computador não é bom, então não é caro; 
d) se um computador é caro, então é grande; 
e) se um computador é grande, então é caro. 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Considere a sentença: 
 
“Todo advogado é bom orador.” 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
31 
 
 
a) Nenhum advogado é bom orador. 
b) Todo bom orador é advogado. 
c) Nenhum bom orador é advogado. 
d) Algum advogado não é bom orador. 
e) Algum bom orador não é advogado. 
 
 
 
 (PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Em um grupo de sapos, alguns são amarelos e 
alguns são felizes. 
Sabe-se que: 
 
1) Todo sapo feliz sabe pular. 
2) Nenhum sapo amarelo sabe tocar gaita. 
3) Todo sapo que não sabe tocar gaita também 
não sabe pular. 
 
É correto concluir que 
 
a) todo sapo amarelo sabe pular. 
b) nenhum sapo feliz sabe tocar gaita. 
c) todo sapo amarelo é feliz. 
d) todo sapo que sabe pular é amarelo. 
e) nenhum sapo feliz é amarelo. 
 
 
 
(FGV 2017) Considere verdadeiras as 
afirmações: 
 
• Todos os artistas são pessoas interessantes. 
• Nenhuma pessoa interessante sabe dirigir.É correto concluir que: 
a) todas as pessoas interessantes são artistas; 
b) algum artista sabe dirigir; 
c) quem não é interessante sabe dirigir; 
d) toda pessoa que não sabe dirigir é artista; 
e) nenhum artista sabe dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) Considere a afirmação: 
 
“Todos os baianos gostam de axé e de acarajé”. 
 
A negação lógica dessa frase é: 
 
a) “Nenhum baiano gosta de axé nem de acarajé”. 
b) “Nenhum baiano gosta de axé ou de acarajé”. 
c) “Alguns baianos gostam de axé, mas não de 
acarajé”. 
d) “Quem não gosta de axé nem de acarajé não é 
baiano”. 
e) “Pelo menos um baiano não gosta de axé ou 
não gosta de acarajé”. 
 
 
 
(FGV 2014) Em cada um dos três casos a seguir 
aparecem duas premissas e uma conclusão que 
deve decorrer exclusivamente dessas premissas. 
Identifique, em cada caso, se a conclusão é 
verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
Caso 1 
 
Premissa 1: Carlos é advogado. 
Premissa 2: Alguns advogados gostam de 
cozinhar. 
Conclusão: Carlos gosta de cozinhar ( ). 
 
 
 
 
 
 
Caso 2 
Premissa 1: Lucas gosta de cozinhar. 
Premissa 2: Todos os advogados gostam de 
cozinhar. 
Conclusão: Lucas é advogado ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Caso 3 
 
Premissa 1: Hugo gosta de cozinhar. 
Premissa 2: Nenhum advogado gosta de cozinhar. 
Conclusão: Hugo não é advogado ( ). 
 
 
 
 
 
 
As conclusões dos três casos acima são, 
respectivamente, 
 
a) F, F e V. 
b) F, V e V. 
c) V, F e V. 
d) V, V e F. 
e) V, V e V. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2. B 3. B 4. D 5. E 
6. D 7. E 8. E 9. E 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 CONJUNTOS 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/lyawYntUYMI 
 
Conjunto é uma reunião de elementos, podemos 
dizer que essa definição é bem primitiva, mas a 
partir dessa ideia podemos relacionar outras 
situações. O conjunto universo e 
o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. 
 
CONJUNTO 
 
O conjunto de todos os torcedores do Bahia. 
O conjunto de todos os números inteiros. 
O conjunto de todos os números reais tal que 
x2 – 16 = 0 
 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ... Z. 
 
 
ELEMENTO 
 
João de Oliveira é um elemento do conjunto dos 
torcedores do Bahia. 
-7 é um elemento do conjunto dos números 
inteiros 
+5 é um elemento do conjunto dos números reais 
que satisfaz à equação x2 – 25 = 0. 
 
Em geral, um elemento de um conjunto, é 
denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, 
b, c,...z. 
 
PERTINÊNCIA 
 
Quando um elemento pertence a um conjunto, 
utilizamos o símbolo: , que se lê: “pertence”. 
 
Para afirmar que -7 é um número real, 
escrevemos -7 IR. 
Para afirmar que -5 não é um número natural, 
escrevemos -7IN. 
 
 
 
 
 
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA 
CONJUNTOS 
 
APRESENTAÇÃO: 
Os elementos do conjunto estão dentro de duas 
chaves { e } 
 
A = { a, b, c, d, e } 
N = {0, 1, 2,3, ...} 
 
PROPRIEDADE 
O conjunto é descrito por uma ou mais 
propriedades. 
 
A = {x: x é uma vogal} 
P = {x : x é um número primo par} 
D = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7 } 
 
DIAGRAMA DE VENN – EULER 
 
Os conjuntos são mostrados graficamente 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 
Se todos os elementos de um conjunto A são 
também elementos de um conjunto B, dizemos 
que: 
 
A está contido em B (A B ); 
B contém A (B  A); 
A é subconjunto de B; 
A é parte de B. 
 
 
 
 
 
 
elemento conjunto 
subconjunto conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
DETERMINANDO OS SUBCONJUNTOS 
DE UM CONJUNTO 
 
Dado o conjunto A = { 2, 4, 6 }, temos os 
seguintes subconjuntos: 
 
{ }, { 2 }, { 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6},{ 
2,4,6} 
 
A tem n elementos, então A tem 2n 
subconjuntos 
 
No total, temos 8 subconjuntos. 
 
Os conjuntos { } e {2,4,6}são chamados de 
subconjuntos triviais de A. 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM 
CONJUNTO 
 
a) Para dois conjuntos - sejam os conjuntos A e 
B contidos no universo U e sejam também: 
 
n(A) = número de elementos de A; 
n(B) = número de elementos de B; 
n(A ⋂ B) = número de elementos da interseção 
de A e B; 
n(A ⋃ B) = número de elementos da união de A 
e B. 
Observando o diagrama podemos escrever a 
seguinte fórmula: 
 
 
 
𝒏(𝑨∪𝑩)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩) 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para três conjuntos - sejam os conjuntos A, B 
e C contidos no universo U: 
 
𝒏(𝑨∪𝑩∪𝑪)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)+𝒏(𝑪)−𝒏(𝑨∩𝑩)−𝒏(𝑨∩
𝑪)−𝒏(𝑩∩𝑪)+𝒏(𝑨∩𝑩∩𝑪) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
(FGV) Analisando-se a situação administrativa 
de cada um dos 84 funcionários de uma empresa, 
verificou-se que 68 funcionários fizeram o exame 
médico anual, 52 tomaram a vacina de gripe 
(sugerida pela empresa) e 13 não fizeram exame 
médico nem tomaram a vacina. O número de 
funcionários que fizeram o exame e tomaram a 
vacina é de 
 
𝒏(𝑨∪𝑩) = 𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩) 
 
 84 – 13 = 68 + 52 – x 
 71 = 120 – x 
 x = 49 
letra E 
 
a) 41 
b) 43 
c) 45 
d) 47 
e) 49 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FUNDATEC 2014 – SEFAZ RS) 
Dado os conjuntos A = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7 }, 
B = { x ϵ N | x ≤ 4 } e C = { x ϵ Z+| x ≤ 2 } , 
afirma-se que 
 
I. (A – B) ∩ (B U C) = . 
II. (B – A) ∩ C é um conjunto unitário. 
III. (C – A) ∩ C é um subconjunto de B. 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas I e III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
03. (INSTITUTO AOCP/EBSERH 2015) 
Considere o conjunto A sendo o conjunto de 
todos os animais do planeta Terra, o conjunto B 
sendo o conjunto de todos os seres humanos e x 
representando uma caneta. Sendo assim, é correto 
afirmar que 
 
a) x A 
b) x B 
c) A B 
d) B A 
e) BA 
 
04. (FGV ) Uma pesquisa de opinião foi realizada 
com 50 pessoas. Essa pesquisa procurava saber 
que veículos de comunicação (jornal, rádio ou 
televisão) essas pessoas utilizam para tomar 
conhecimento das notícias diariamente. Após a 
pesquisa, descobriu-se que: 
 
41 pessoas utilizam televisão; 
33 pessoas utilizam jornal; 
30 pessoas utilizam rádio; 
29 pessoas utilizam televisão e jornal; 
25 pessoas utilizam televisão e rádio; 
21 pessoas utilizam jornal e rádio; 
18 pessoas utilizam televisão, jornal e rádio. 
A quantidade de pessoas que não utilizam 
nenhum dos três veículos é 
 
a) 4 
b) 1 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
 
EXEMPLOS IMPORTANTES 
 
 
 
 
36 
 
 
 
05. (AOCP) Num grupo de 30 pessoas, 16 
gostam de assistir novelas e 20 de assistir futebol. 
O número de pessoas desse grupo que gosta de 
assistir novela e futebol é de 
 
a) no mínimo 6. 
b) no máximo 6. 
c) exatamente 16. 
d) no mínimo 16. 
e) exatamente 6. 
 
06. (CONSULTEC 2015) Em um grupo de 
estudantes, 70 falam inglês; 39, espanhol; 16, 
francês e 7 não falam nenhuma dessas línguas. 
Dentre eles, 21 falam inglês e espanhol, 13 falam 
inglês e francês e todos os que falam espanhol e 
francês também falam inglês. O número de 
estudantes nesse grupo está no intervalo 
 
01) [70,79] 
02) [80,89] 
03) [90,99] 
04) [100,109] 
05) [110,119] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Em uma 
assembleia com 132 votantes, duas propostas 
foram votadas. Cada votante votou contra ou a 
favor de cada uma das duas propostas. A proposta 
1 recebeu 75 votos a favor e, a proposta 2, 81 
votos a favor. Exatamente 30 votantes votaram 
contra as duas propostas. Não houve votoem 
branco nem abstenções. O número de votantes 
que votou a favor das duas propostas foi 
 
a) 51. 
b) 52. 
c) 54. 
d) 56. 
e) 57. 
 
 
 
(ALERO ANALISTA LEGISLATIVO – FGV 
2018) O número de subconjuntos do conjunto 
{2,3,4,5,6,7,8} que têm, pelo menos, um número 
ímpar é 
 
a) 112. 
b) 113. 
c) 114. 
e) 115. 
e) 116. 
 
 
 
(FGV 2017) Na assembleia de um condomínio, 
duas questões independentes foram colocadas em 
votação para aprovação. Dos 200 condôminos 
presentes, 125 votaram a favor da primeira 
questão, 110 votaram a favor da segunda questão 
e 45 votaram contra as duas questões. Não houve 
votos em branco ou anulados. O número de 
condôminos que votaram a favor das duas 
questões foi: 
 
a) 80; 
b) 75; 
c) 70; 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
37 
 
 
d) 65; 
e) 60. 
 
 
 
(FGV 2017) Dois conjuntos A e B têm a mesma 
quantidade de elementos. A união deles tem 2017 
elementos e a interseção deles tem 1007 
elementos. 
O número de elementos do conjunto A é 
 
a) 505. 
b) 1010. 
c) 1512. 
d) 1515. 
e) 3014. 
 
 
 
(FGV 2016) Em certo escritório trabalham 25 
advogados. Dentre eles, 18 falam inglês e 12 
falam espanhol. O número máximo de 
advogados desse escritório que não fala nenhum 
desses dois idiomas é 
 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
 
Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas 
na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 
44 são empresas exportadoras e 19 não se 
enquadram em nenhuma das classificações 
acima. Das empresas do Nordeste, 19 são 
familiares e 20 são exportadoras. Das empresas 
familiares, 21 são exportadoras. O número de 
empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo 
familiares e exportadoras é 
 
a) 21. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 19. 
e) 12. 
 
 
 
 
(FGV 2013) Em um conjunto de 100 objetos, 
todo objeto do tipo B também é dos tipos A ou C. 
Apenas um objeto é simultaneamente dos tipos A, 
B e C. Há 25 objetos que são somente do tipo A 
e 9 objetos são simultaneamente dos tipos A e B. 
Vinte objetos não são de nenhum dos tipos A, B 
ou C. A quantidade de objetos do tipo C é 
 
a) 46. 
b) 47. 
c) 48. 
d) 49. 
e) 50. 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Sobre os conjuntos A e B, sabe-se que: 
• A – B tem 7 elementos; 
• A tem 28 elementos; 
• A união de A e B tem 38 elementos. 
 
O número de elementos do conjunto B é: 
 
a) 10; 
b) 18; 
c) 21; 
d) 31; 
e) 35. 
 
 
 
(CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 
ESCRITURÁRIO AGENTE COMERCIAL – 
2021) Um banco está selecionando um novo 
escriturário e recebeu um total de 50 currículos. 
Para o exercício desse cargo, três habilidades 
foram especificadas: comunicação, 
relacionamento interpessoal e conhecimento 
técnico. As seguintes características foram 
detectadas entre os candidatos a essa vaga: 
 
•15 apresentavam habilidade de comunicação; 
•18 apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal; 
• 25 apresentavam conhecimento técnico; 
 
 
 
38 
 
 
•Seis apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal e de comunicação; 
•Oito apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal e conhecimento técnico; 
•Dois candidatos apresentavam todas as 
habilidades; 
•Oito candidatos não apresentavam nenhuma das 
habilidades. 
 
Com base nessas informações, qual o número 
total de candidatos que apresentam apenas uma 
das três habilidades apontadas? 
 
a) 28 
b) 38 
c) 21 
d) 13 
e) 15 
 
 
 
(PMS – GUARDA MUNICIPAL – FGV 2019) 
50 atletas estão treinando e todos usam bermuda 
e camiseta do mesmo modelo, mas com cores 
diversas. Entre esses atletas há 20 com bermudas 
brancas, 25 com camisetas brancas e 12 com 
bermudas e camisetas brancas. Assinale a opção 
que indica o número de atletas que não estão 
vestindo nenhuma peça branca. 
 
a) 5. 
b) 13. 
c) 15. 
d) 17. 
e) 20. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. A 3. A 4. C 5. C 
6. E 7. B 8. D 9. A 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 NÚMEROS INTEIROS, REAIS ... 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/R3j0phTnk3I 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
Os números naturais são usados para quantificar 
e ordenar os elementos de uma coleção e também 
como código para identificar pessoas, bem como 
número de telefones, o RG, etc. O conjunto dos 
números naturais pode ser representado da 
seguinte maneira: 
 
N = {0,1,2,3,...} 
N* = {1,2,3,...} 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 
Os números inteiros, que podem ser positivos ou 
negativos, são usados para representar ganhos ou 
perdas, para representar o oposto de um número 
ou o sentido que se deve dar a uma dada trajetória. 
O conjunto dos números inteiros pode ser 
representado assim: 
 
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
 
Subconjuntos de Z 
 
1. Conjunto dos números inteiros não nulos 
 
Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} 
 
2. Conjunto dos números inteiros não negativos 
 
Z+ = {0,1,2,3,...} = N 
 
3. Conjunto dos números inteiros positivos 
 
Z+* = {1,2,3,...} = N* 
 
4. Conjunto dos números inteiros não positivos 
 
Z- = {...,-3,-2,-1,0} 
 
5. Conjunto dos números inteiros negativos 
 
Z-* = {...,-3,-2,-1} 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Adição de números inteiros: Na adição de 
números inteiros, somam-se as parcelas: 
 
Sinais iguais na soma ou na subtração: some os 
números e conserve o sinal. 
 
Exemplos: 
 
+2 + 5 = +7 
-5 - 4 = - 9 
 
 
Sinais diferentes: conserve o sinal do maior 
número e subtraia. 
 
-15+20 = +5 
3 - 4 = -1 
 
Multiplicação e divisão de números inteiros: 
 
Sinais iguais na multiplicação ou na divisão 
sempre resultam em sinal positivo. 
 
(+ 2) . (+ 4) = + 8 
(- 4) . (- 10) = + 40 
(- 20) : (- 2) = + 10 
 
Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão 
sempre resultam em sinal negativo. 
 
(+ 6) . (- 7 ) = - 42 
(- 12) : (+ 2) = - 6 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais (Q) – que podem ser 
representados em forma fracionária ou decimal, 
são usados em problemas que envolvem as partes 
de um todo, um quociente, a razão entre dois 
números inteiros, etc. Chama-se de número 
racional todo número que pode ser colocado na 
forma de fração 
q
p
, com p Z e q Z*. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
FRAÇÕES 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/dpBbRYFMNFo 
 
 
 
 
 
4
1
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Adição e subtração 
 
Para adicionarmos (ou subtrairmos) frações de 
mesmo denominador conservamos o 
denominador e adicionamos (ou subtraímos) os 
numeradores. 
 
EXEMPLO: 
 
=+
7
4
7
3
 
 
Para adicionarmos (ou subtrairmos) frações de 
denominadores diferentes é necessário primeiro 
reduzi-las ao menor denominador comum, para 
depois trabalharmos como o fazemos quando as 
frações têm o mesmo denominador. 
 
EXEMPLO: 
 
(FGV) Quanto vale a soma 1/2 + 1/3 + 1/6 
 
a) 1 
b) 1/8 
c) 1/11 
d) 3/11 
e) 1/36 
 
 
 
 
 
Multiplicação 
 
Para multiplicarmos frações de denominadores 
iguais ou diferentes multiplicamos numeradores 
com numeradores e denominadores com 
denominadores. 
EXEMPLOS: 
 
a) =
8
25
.
10
6
.
5
4
 
b) 
5
3
de 60 = 
 
Divisão 
 
Para dividirmos frações de mesmo 
denominadores ou de denominadores diferentes 
transformamos a divisão em multiplicação da 
primeira fração pelo inverso da segunda fração e 
depois efetuamos a multiplicação como foi 
exemplificado anteriormente. 
 
EXEMPLO: 
 
(FGV ) Quanto vale a divisão 
10
9
:
5
6
 
a) 
75
2
 b) 
4
3
 c) 1 
d) 
25
27
 e)
3
4
 
 
Número misto – é o número que possui uma 
parte inteira e outra fracionária. 
 
EXEMPLO: 
2 
5
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
numerador 
denominador 
 
 
 
41 
 
 
EXEMPLOSIMPORTANTES: 
 
01. (FCC) Do total de processos arquivados por 
um técnico judiciário, sabe-se que: 
8
3
 foram 
arquivados numa primeira etapa e 
4
1
numa 
segunda. Se os 9 processos restantes foram 
arquivados numa terceira etapa, o total de 
processos era: 
 
a) 22 
b) 24 
c) 26 
d) 28 
e) 30 
 
02. (ESAF 2014) Um valor em reais foi 
distribuído para Sandra e Beto. Sandra ficou com 
1/4 do valor e Beto ficou com o restante, que 
corresponde a R$ 4.950,00. Então, o valor que foi 
distribuído para Sandra e Beto é igual a 
 
a) R$ 6.500,00 
b) R$ 6.900,00 
c) R$ 6.700,00 
d) R$ 6.800,00 
e) R$ 6.600,00 
 
03. (PPMG- SELECON 2022) No controle de 
entrada e saída de pessoas em uma penitenciária, 
verificou-se em certa semana que o número de 
visitantes na segunda-feira correspondeu a 3/4 do 
número de visitantes da terça-feira e este 
correspondeu a 2/3 do da quarta-feira. Na quinta 
e na sexta-feira houve igual número de visitantes, 
cada um deles igual ao triplo do número de 
segunda-feira. Se nessa semana, de segunda a 
sexta-feira, o total de visitantes foi de 620 
pessoas, o total de visitantes somente na quinta-
feira 
foi igual a: 
 
a) 60 
b) 80 
c) 120 
d) 18 
 
 
GERATRIZES DE UMA DÍZIMA 
PERIÓDICA 
 
Toda fração que dá origem a uma dízima 
periódica chama-se GERATRIZ. Para 
determinarmos a GERATRIZ de uma dízima 
periódica, procede-se da seguinte forma: 
 
 
a) Dízima Periódica Simples: é um número 
fracionário cujo numerador é o algarismo que 
representa a parte periódica e o denominador é 
um número formado por tantos noves quantos 
forem os algarismos do período. 
 
1,777....= 1 + 0,777... = 
9
16
9
7
1 =+ 
 
 
 
b) Dízima Periódica Composta: é um número 
fracionário cujo numerador é a diferença entre a 
parte não periódica seguida de um período e a 
parte não periódica, e cujo o denominador é um 
número formado de tantos noves quantos são os 
algarismos do período, seguido de tantos zeros 
quantos são os algarismos da parte não periódica. 
 
 
 0,32515151... = 
3300
1073
9900
3219
9900
323251
==
−
 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS (Q’) 
 
Os gregos antigos reconheciam uma espécie de 
números que não são nem inteiro nem 
fracionário, posteriormente identificado como 
irracional. 
Todo número que “não” pode ser escrito em 
forma de “fração”. 
 
EXEMPLOS: 
 
2 = 1,41.... 
 3,14 
1 + 3 
 
 
 
 
 
42 
 
 
NÚMEROS REAIS 
 
De forma mais abrangente a esse universo de 
conjuntos numéricos, temos o conjunto dos 
números reais. O conjunto dos números reais é 
formado pela união dos racionais com os 
irracionais. 
 
 
 R = Q Q’ e Q  I = { } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 PORCENTAGEM 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/LOrktwGViOs 
 
Observe a seguinte situação: 
 
Nas pesquisas eleitorais, 15% estão indecisos. A 
colocação feita significa que dentre cada 100 
pessoas entrevistadas, 15 estão indecisas. 
 
15% é a taxa de porcentagem ou percentual, 15 é 
a porcentagem, admitindo-se 100 como principal. 
 
Formas de taxa: 
 
a) Percentual: 15% 
b) Fração centesimal: 
100
15
 
c) Decimal: 0,15 
 
NOÇÃO INTUITIVA 
 
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% 
(lê-se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 
de cada 100 habitantes são analfabetos. 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Calcule: 
 
a) 12% de R$ 400,00 = 48400.
100
12
= 
 
b) 0,2% de 2.000 = 42000.
100
2,0
= 
 
c) 1,5% de 500 
 
d) 50% de 748,5 
 
e) 35% de 5 000 m2 
 
 
 
 
 
 
 
02. Determine: 
 
a) 3% de 18% = %54,00054,0
100
18
.
100
3
== 
 
b) (5%)2 de 400 
 
 
03. Que porcentagem: 
 
a) 300 é de 1500? 
 
1500 100% 
 300 x% 
 
1500x = 30000 
 x = 30000/1500 
 x = 20% 
 
ou 
 
300/1500 = 0,2 = 20% 
 
b) 45 é de 60? 
 
 
 
04. Em um certo dia, 200 funcionários de uma 
fábrica não compareceram ao trabalho. Sabendo-
se que 60% estiveram presentes, quantos 
funcionários existem na fábrica? 
 
 
 
 
 
 
 
05. Numa classe de 35 alunos, compareceram 28. 
Qual a taxa da presença? E da ausência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
FATOR DE AUMENTO E FATOR DE 
REDUÇÃO: 
 
 NV = VA(1 + i) 
 
 NV = VA(1 – i) 
 
 
 NV : Novo valor 
 VA: Valor anterior 
 Sendo: 1 + i: fator de aumento 
 1 – i : fator de redução 
 i: taxa de aumento ou 
 redução( forma decimal) 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Uma mercadoria que custa R$ 230,00 deve 
sofrer um aumento de 12%. Qual deve ser o novo 
preço desta mercadoria? 
 
230.(1 + 0,12) 
230. 1,12 = 257,6 
 
02. Ao comprar um produto que custava R$ 
840,00, o consumidor recebeu um desconto de 
4% para o pagamento à vista. Qual o preço pago 
pelo consumidor? 
 
840. (1 – 0,04) 
840. 0,96= 806, 4 
 
03. Um comerciante efetuou um aumento de 30% 
sobre os seus preços, porém no momento da 
venda, devido ao aumento da procura, aplicou um 
novo aumento de 10%. Qual o aumento real 
praticado pelo comerciante? 
 
x. (1+0,3). (1+0,1) 
x. 1,3.1,1 
x. 1.43 
 
Aumento real de 43% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 QUESTÕES IMPORTANTES 
 
 
ESTILO 01 
 
01. (FESMIP) O preço de venda de um 
automóvel é R$ 34 500,00 à vista, o que dá ao 
comerciante um lucro de 15% sobre o preço de 
custo. Assim sendo, o preço de custo desse 
automóvel é 
 
a) R$ 28 000,00 
b) R$ 28 500,00 
c) R$ 30 000,00 
d) R$ 31 000,00 
e) R$ 31 500,00 
 
02. (FGV2010) Três amigos foram a um 
restaurante, e a conta, já incluídos os 10% de 
gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não 
pagar os 10% de gorjeta pois acharam que foram 
mal atendidos e dividiram o pagamento 
igualmente pelos três, cada um deles pagou a 
quantia de 
 
a) R$ 31,68 
b) R$ 30,60 
c) R$ 32,00 
d) R$ 35,20 
e) R$ 33,00 
 
03. (CESGRANRIO) Um vendedor pretende 
colocar preço em uma de suas mercadorias de 
modo que, ao vendê-la, ele possa oferecer um 
desconto de 5% e, ainda assim, receber R$ 
380,00. O preço, em reais, a ser colocado na 
mercadoria é um número 
 
a) primo 
b) ímpar múltiplo de 3 
c) ímpar múltiplo de 5 
d) par múltiplo de 3 
e) par múltiplo de 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
ESTILO 2 
 
04. (FGV2010) Certa loja do interior ainda não 
aceita cartões de crédito. Nessa loja, um cliente 
conhecido pode comprar um artigo que custa R$ 
120,00, à vista em dinheiro ou cheque dando uma 
entrada de R$ 40,00 mais uma parcela de R$ 
86,00 um mês depois. A taxa de juros ao mês 
cobrada pela loja é de 
 
a) 6,6% 
b) 5,8% 
c) 7,5% 
d) 9% 
e) 8,2% 
 
05. (CESGRANRIO) Maria quer comprar uma 
bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha 
essa quantia no momento e não queria perder a 
oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar 
duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da 
compra e outra um mês depois. A taxa de juros 
mensal que a loja estava cobrando nessa operação 
era de 
 
a) 5,0% 
b) 5,9% 
c) 7,5% 
d) 10,0% 
e) 12,5% 
 
ESTILO 03 
 
06. (FGV) Em uma turma, o número de homens 
é 25% do número de mulheres. A porcentagem de 
homens nessa turma é igual a: 
 
a) 20%. 
b) 25%. 
c) 30%. 
d) 33%. 
e) 40%. 
 
07. (FGV) Em dois anos, o patrimônio de José 
aumentou de 50%. Se no primeiro ano o aumento 
foi de 25%, de quanto foi o aumento no segundo 
ano? 
 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 35% 
 
ESTILO 04 
 
08. (FCC 2010) Das 96 pessoas que participaram 
de uma festade confraternização dos 
funcionários do Departamento Nacional de Obras 
Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo 
masculino. Se, num dado momento antes do 
término da festa, foi constatado que a 
porcentagem dos homens havia se reduzido a 
60% do total das pessoas presentes, enquanto que 
o número de mulheres permanece inalterado, até 
o final da festa, então a quantidade de homens que 
haviam se retirado era 
 
a) 36. 
b) 38. 
c) 40. 
d) 42. 
e) 44. 
 
09. (BB - CESGRANRIO 2014) Numa empresa, 
todos os seus clientes aderiram a apenas um dos 
seus dois planos, Alfa ou Beta. O total de clientes 
é de 1.260, dos quais apenas 15% são do Plano 
Beta. Se x clientes do plano Beta deixarem a 
empresa, apenas 10% dos clientes que nela 
permanecerem estarão no plano Beta. O valor de 
x é um múltiplo de 
 
a) 3 
b) 8 
c) 13 
d) 11 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
ESTILO 05 
 
10. (CESGRANRIO) Um artigo, cujo preço à 
vista é de R$ 210,00, pode ser comprado a prazo 
com dois pagamentos iguais: o primeiro no ato da 
compra e o segundo um mês após. Se os juros são 
de 10% ao mês, qual é o valor, em reais, de cada 
pagamento? 
 
a) 110,00 
b) 115,50 
c) 121,00 
d) 126,00 
e) 130,00 
 
11. (CESGRANRIO 2012) Uma loja oferece um 
aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse 
aparelho poder ser comprado a prazo, com juros 
de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais 
iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês 
após a compra. 
O valor de cada um dos pagamentos mensais é, 
em reais, de 
 
a) 739,20 
b) 806,40 
c) 704,00 
d) 705,60 
e) 719,00 
 
ESTILO 06 
 
12. (FGV 2016) No supermercado há uma 
promoção na venda de rolos de papel higiênico, 
como mostra a figura a seguir. 
 
Essa promoção é equivalente a um desconto 
aproximado de 
a) 6,0%. 
b) 7,8%. 
c) 8,3%. 
d) 9,5%. 
e) 11,0%. 
 
ESTILO 07 
 
13. (ALERO - FGV 2018 – ANALISTA 
LEGISLATIVO) O valor de uma ação da Bolsa 
de Valores desvalorizou 20% em junho e 
valorizou 20% em julho. Em relação ao seu valor 
no início de junho, assinale a opção que indica, ao 
final de julho, o valor dessa ação. 
 
a) ficou igual. 
b) valorizou 2%. 
c) desvalorizou 2%. 
d) valorizou 4%. 
e) desvalorizou 4%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Alfredo ganha 
30% a menos do que Flávia que, por sua vez, 
ganha 25% a mais do que Beatriz. Em relação ao 
salário de Beatriz, Alfredo ganha 
 
a) 2,5% a menos. 
b) 5% a menos. 
c) 7,5% a menos. 
d) 12,5% a menos. 
e) 15% a menos. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO – FGV 2021) Em 
uma caixa há peças de várias cores e formatos. Há 
140 peças azuis e 80 peças triangulares. 70% das 
peças triangulares também são azuis. A 
porcentagem das peças azuis, que também são 
triangulares, é de 
 
a) 70%. 
b) 60%. 
c) 40%. 
d) 35%. 
e) 20%. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO – FGV 2021) 
Alfredo comprou em uma promoção, com 15% 
de desconto, um celular e pagou R$ 1360,00. 
Nessa compra, Alfredo economizou 
 
a) R$ 260,00. 
b) R$ 240,00. 
c) R$ 224,00. 
d) R$ 204,00. 
e) R$ 200,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- TÉCNICO DE 
ENFERMAGEM – FGV 2021) Maria recebeu 
certo valor em moeda corrente. Dessa quantia, ela 
depositou 25% na poupança e gastou a terça parte 
do restante em compras. Sabendo que Maria ficou 
com R$1870,00, a quantia que ela recebeu foi de 
 
a) R$3560,00. 
b) R$3620,00. 
c) R$3680,00. 
d) R$3740,00. 
e) R$3800,00. 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO – FGV 2021) Tereza 
tem uma certa quantia em reais e, como é 
generosa, resolve doar uma parte desse dinheiro a 
seus dois irmãos, Paulo e José. Assim, ela deu 
30% do que possuía para Paulo e, do que sobrou 
ela deu 40% para José. Da quantia que Tereza 
tinha inicialmente, ela ficou com: 
 
a) 42%. 
b) 40%. 
c) 30%. 
d) 28%. 
e) 20% 
 
GABARITO 
 
1. D 2. C 3. B 4. D 5. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
48 
 
 
 RAZÃO 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/GhWOo-3ucG0 
 
 
RAZÃO: É o quociente ou a divisão entre duas 
grandezas. 
 
Exemplo: 
Y
X
 
Lê-se: 
 
a) A razão entre X e Y 
b) X está para Y 
c) X e Y estão entre si 
d) para cada X tem-se Y 
 
Razão = relação = estar entre si = estar para = para 
cada = quociente = DIVISÃO 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
1. Velocidade Média 
 
tempo
todeslocamen
VM =
 
2. Densidade de corpos 
 
volume
massa
D = 
 
3. Densidade Demográfica 
 
área
população
D = 
4. Escala 
 
e = Comprimento do desenho/ Comprimento 
real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
(ESAF 2013) Em uma secretaria do Ministério da 
Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o 
número de homens e o número de mulheres é 
igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres 
e o número de homens que trabalham nessa 
secretaria é igual a: 
 




=
=+
5
4
63
m
h
mh
 
Letra B 
 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 9 
e) 5 
 
 
 
MACETE DOS GRUPOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
antecedente 
conseqüente 
Imaginem grupos de 4 homens e 5mulheres 
4 + 5 = 9 
63/9 = 7 ( quantidade de grupos formados) 
Homens = 4 . 7 = 28 
Mulheres = 5 . 7 = 35 
Diferença = 7 
 
Letra B 
 
 
 
 
49 
 
 
EXEMPLOS IMPORTANTES 
 
01. (ENEM- MEC 2018) Um mapa é a 
representação reduzida e simplificada de uma 
localidade. Essa redução, que é feita com o uso de 
uma escala, mantém a proporção do espaço 
representado em relação ao espaço real. 
Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000. 
 
 
Considere que, nesse mapa, o segmento 
de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 
7,6 cm. 
A medida real, em quilômetro, desse segmento de 
reta é 
 
a) 4 408. 
b) 7 632. 
c) 44 080. 
d) 76 316. 
e) 440 800. 
 
02. (FGV 2016) Em uma reunião, as únicas 
pessoas presentes são políticos de três partidos: 
PA, PB e PC. Para cada três políticos do partido 
PA há dois políticos do partido PB e, para cada 
cinco políticos do partido PB, há quatro políticos 
do partido PC. 
Nessa reunião, a razão entre o número de 
políticos do partido PB e o número total de 
políticos é: 
 
a) 10/33 
b) 11/34 
c) 12/35 
d) 13/36 
e) 14/37 
 
 
03. (FCC 2015) A idade do irmão mais novo está 
para 3, assim como a idade do irmão mais velho 
está para 4. A idade do irmão mais velho está para 
2, assim como a idade do pai está para 11. O pai 
tinha 36 anos quando nasceu o filho mais velho. 
Dessa maneira a diferença de idade entre esses 
dois irmãos é, em anos, igual a 
 
a) 5. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 1. 
 
 
 
 PROPORÇÃO 
 
 
PROPORÇÃO: É a igualdade entre duas 
razões. 
 
Exemplo: 
2
1
=
Y
X
 
 
Lê-se: 
 
a) A razão entre X e Y é um meio 
b) X está para Y, assim como, um está para dois. 
c) X e Y estão entre si, como, um está para dois 
d) para cada X tem-se dois Y 
 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA 
PROPORÇÃO 
 
d
c
b
a
= 
 
a.d = b.c (o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios “cruz credo”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
(CÂMARA MUNICIPAL DE CORONEL 
FABRICIANO – IDECAN 2017) Na planta de 
uma casa, um cômodo cujo comprimento é de 6 
m está representado por um segmento de 25 cm. 
A escala utilizada nessa planta é: 
 
a) 1/18. 
b) 1/20. 
c) 1/24. 
d) 1/28. 
 
 
 
(FGV 2013) Em um presídio misto tem 600 
presidiários no total, sendo que para cada quatro 
homens há uma mulher. Entre as mulheres, 80 
cumprem pena de até dez anos. Entre os homens, 
em cada quatro, um cumpre pena de mais de dez 
anos. Nesse presídio, o número total de 
presidiários cumprindo pena de mais de dez anos 
é: 
 
a) 440 
b) 360c) 220 
d) 160 
e) 80 
 
 
 
(PREFEITURA DE LINHARES – ES – 
IBADE 2020) Em uma escola, há 2 professores 
homens a mais que professoras mulheres. Se a 
razão entre o número de professoras e o número 
de professores é 3/4, a quantidade total de 
professores (homens e mulheres) será de : 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
 
 
(OBJETIVA CONCURSOS – MÉDICO 
AUGUSTO PESTANA) Em certo auditório, 
havia 360 pessoas assistindo a uma palestra. 
Sabendo-se que a razão entre a quantidade de 
homens e mulheres assistindo à palestra é igual a 
3/5 e que há mais mulheres do que homens, 
assinalar a alternativa que apresenta a quantidade 
de mulheres assistindo a essa palestra: 
 
a) 185 
b) 205 
c) 225 
d) 235 
 
 
 
(FGV 2016) O carro de Joana faz 15 km por litro 
de gasolina e o carro de Laura faz 10 km por litro 
de gasolina. Joana e Laura percorreram 
exatamente a mesma distância em quilômetros 
com seus respectivos carros. No total, a razão 
entre quilômetros percorridos e o número de litros 
de gasolina gastos pelas duas foi igual a: 
 
a) 11,5; 
b) 12,0; 
c) 12,5; 
d) 13,0; 
e) 13,5. 
 
 
 
(IBGE- SUPERVISOR DE COLETA – 
CEBRASPE 2021) Considere duas cidades A e 
B em um mapa cuja escala é 1:200.000. Se a 
distância entre essas duas cidades no mapa, 
medida com uma régua, for de 9 cm, então a 
distância real, em km, entre essas duas cidades 
será de 
 
a) 1.800 km. 
b) 18 km. 
c) 180 km. 
d) 1,8 km. 
e) 0,18 km 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
(FGV 2017) Na equipe de Mário há 6 mulheres a 
mais do que homens. Sabendo que essa equipe 
tem ao todo 60 membros, a razão do número de 
mulheres para o número de homens é: 
 
a) 6/5 
b) 5/4 
c) 3/5 
d) 20/11 
e) 11/9 
 
 
 
(FGV 2017) Uma árvore é 4 m mais alta do que 
outra árvore. As alturas das duas árvores estão na 
razão 2/3. A árvore mais alta mede 
 
a) 6 m. 
b) 8 m. 
c) 9 m. 
d) 12 m. 
e) 15 m. 
 
 
 
(CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 
ESCRITURÁRIO AGENTE COMERCIAL – 
2021) Uma profissional liberal comprou dois 
apartamentos com o objetivo de vendê-los. Na 
venda do primeiro deles, obteve um lucro de 36% 
sobre o preço de compra e, na do segundo, um 
lucro de 12%, também sobre o preço de compra. 
Ela recebeu por essas duas vendas uma quantia 
27% maior do que a soma das quantias pagas na 
compra dos dois apartamentos. 
Nessas condições, sendo P a quantia paga pelo 
primeiro apartamento, e S a quantia paga pelo 
segundo, a razão P/S é igual a 
 
a) 9/8 
b) 12/5 
c) 5/3 
d) 8/5 
e) 17/14 
 
 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) Para 
cada R$ 2,00 que Pedro possui, Ana possui R$ 
3,00. Para que Pedro e Ana fiquem com quantias 
iguais, Ana tem que dar uma fração do que possui 
para Pedro. Assinale a opção que indica essa 
fração. 
 
a) 1/3 
b) 1/6 
c) 2/3 
d) 2/5 
e) 1/2 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. D 3. E 4. C 5. B 
6. B 7. E 8. D 9. C 10. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 REGRA DE TRÊS 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/J8_vhyGFlOA 
 
 
1. SIMPLES: Envolve apenas duas grandezas 
 
2. COMPOSTA: Envolve mais de duas 
grandezas 
 
Grandezas diretamente proporcionais: Ao 
variarmos uma delas, a outra varia nas mesmas 
proporções, ou seja, se uma aumenta, a outra 
aumenta. Se uma diminui a outra diminui. No 
assunto regra de três, indicaremos por setas no 
mesmo sentido.   
 
Grandezas inversamente proporcionais: Ao 
variarmos uma delas, a outra varia em proporção 
contrária, indicaremos por setas em sentidos 
contrários.   
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1. Para alimentar 10 cachorros, gastam-se 4 kg de 
ração. Quantos kg serão necessários para 
alimentar 4 desses cachorros? 
 
 cachorros (c) ração(r) 
  10 4  
 4 x 
 
Menos cachorros  menos ração; c é 
diretamente proporcional a r. Daí 
 
kgxx
x
6,11610
4
4
10
=== 
 
2. Uma ponte é feita em 120 dias por 16 
trabalhadores. Se o número de trabalhadores for 
elevado para 24, o número de dias necessários 
para construção da mesma ponte será: 
 
dias (d) trabalhadores(t) 
  120 16  
 x 24 
Mais trabalhadores  menos dias; d é 
inversamente proporcional a t. Daí 
 
80.2416.120 == xx 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 
de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125 m3? 
 
Comparamos cada razão numérica com a dos 
caminhões (em cada comparação ignoramos a 
outras) 
 
caminhões horas areia 
  20  8  160 
 x 5 125 
 
25
125
160
.
8
520
== x
x
 
 
 
2. Vinte operários constroem um muro em 45 
dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos 
operários serão necessários para construir à terça 
parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas 
por dia? 
 
operários muro dias h/dia 
  20  1  45  6 
 x 1/3 15 8 
 
15
6
8
.
45
15
.
1
320
== x
x
 
 
ESCREVA AQUI A METODOLOGIA : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
(SEPOG – RO – ESPECILAISTA EM 
POLÍTICAS PÚBLICAS – FGV 2017) Uma 
máquina copiadora A faz 20% mais cópias do que 
uma outra máquina B, no mesmo tempo.A 
máquina B faz 100 cópias em uma hora. A 
máquina A faz 100 cópias em 
 
a) 44 minutos. 
b) 46 minutos. 
c) 48 minutos. 
d) 50 minutos. 
e) 52 minutos. 
 
 
 
(TRF 4R – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC 
2019) Célia possui 8 gatos. Ela gasta 2 latas 
inteiras mais 1/4 de lata de comida para cada 4 
gatos por dia. O número de latas que Célia deve 
comprar para alimentar todos os seus gatos por 30 
dias é 
 
a) 128 
b) 150 
c) 68 
d) 135 
e) 75 
 
 
 
(Engenheiro Civil- Pref Itanhaém- VUNESP -
2017) As casas de um condomínio ficam todas 
lado a lado, sobre uma grande circunferência, e 
são numeradas consecutivamente a partir do 1, de 
modo que a casa de maior numeração fica ao lado 
da casa de número 1. Dois moradores vão correr 
em uma pista em frente às casas, no sentido 
crescente da numeração. Eles começam em frente 
à casa 1, de tal modo que, enquanto o morador 
mais rápido passa por 5 casas, o outro passa por 
apenas 2. O morador mais rápido dá uma volta 
completa na pista, continua no mesmo ritmo e 
alcança o outro em frente à casa de número 29. O 
total de casas desse condomínio é 
a) 40. 
b) 41. 
c) 42. 
d) 43. 
e) 44. 
 
 
 
(COORDENADOR SENSITÁRIO – IBGE – 
FGV 2019) Sabe-se que 3 recenseadores, com a 
mesma capacidade de trabalho, entrevistam 360 
pessoas em 8 dias. O número de dias que 2 desses 
recenseadores levarão para entrevistar 510 
pessoas é: 
 
a) 14; 
b) 15; 
c) 16; 
d) 17; 
e) 18. 
 
 
 
(FISCAL DE SERVIÇOS– PMS – FGV 2019) 
Três funcionários fazem um determinado 
trabalho em 60 minutos. Cinco funcionários, com 
a mesma eficiência, fazem o mesmo trabalho em 
 
a) 1 hora e 40 minutos. 
b) 1 hora e 20minutos. 
c) 50 minutos. 
d) 36 minutos. 
e) 30 minutos. 
 
 
 
(IBGE- AGENTE DE PESQUSIA E 
MAPEAMENTO- CEBRASPE 2021) Bianca 
precisou estimar a distância entre o ponto A —
correspondente a um domicílio — e o ponto B — 
correspondente a um estabelecimento comercial 
— e, para isso, utilizou a seguinte estratégia: 
 
I. ela caminhou do ponto A até o ponto B 
contando os passos e contabilizou 1.280 passos 
entre esses dois pontos; 
 
II. em seguida, sabendo que a distância entre os 
pontos C e D era de 15 metros, ela caminhou do 
ponto C até o ponto D contando os passos e 
contabilizou 20 passos; 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
54 
 
 
 
III. por fim, ela utilizou uma regra de trêssimples 
para estimar a distância, em metros, entre os 
pontos A e B. 
 
Com base nessas informações, considerando-se 
que Bianca tenha executado seus cálculos 
corretamente, a estimativa para a distância entre 
A e B por ela encontrada foi de 
 
a) 960 metros. 
b) 1.280 metros. 
c) 300 metros. 
d) 15 metros. 
e) 20 metros. 
 
 
 
(CMEBP-ASSISTENTE DE GESTÃO – 
VUNESP 2020) Determinado tipo de máquina, 
trabalhando sem interrupção, produz 340 peças 
em 1 hora e 42 minutos. O número de máquinas, 
de mesmo rendimento e eficiência que esta, todas 
trabalhando sem interrupções, que são 
necessárias para que se possa produzir 900 peças 
em 54 minutos, é igual a 
 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
 
(TCE SP - AGENTE DE FISCALIZAÇÃO - 
VUNESP 2017) Em uma pizzaria, 6 pessoas 
comeram pizza durante 2 horas e meia. Cada uma 
delas comeu 3 fatias a cada 15 minutos. O tempo 
mínimo necessário para que 9 pessoas, cada uma 
delas comendo 5 fatias a cada 20 minutos, 
igualem o número de fatias de pizza que as 
primeiras 6 pessoas haviam comido é de 
 
a) 45 minutos. 
b) 1 hora e 10 minutos. 
c) 1 hora e 25 minutos. 
d) 1 hora e 30 minutos. 
e) 1 hora e 20 minutos. 
 
 
 
(IMBEL – FGV 2021) Para fazer a sinalização 
de uma estrada, 10 operários, trabalhando durante 
10 dias, estendem 10km de fios. O número de 
dias que 2 operários levam para estender 4km de 
fios é 
 
a) 5. 
b) 10. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 40. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Três profissionais 
de enfermagem atendem, em média, 12 
ocorrências em 2 horas. Com a mesma eficiência, 
duas profissionais de enfermagem atendem, em 4 
horas, em média, 
 
a) 8 ocorrências. 
b) 9 ocorrências. 
c) 12 ocorrências. 
d) 15 ocorrências. 
e) 16 ocorrências. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. D 3. D 4. D 5. D 
6. A 7. D 8. E 9. C 10. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/ezigP2CFh0o 
 
DIVISÃO DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL 
 
 
 T = A + B + C DP : (a, b e c) 
 
 k
cba
CBA
c
C
b
B
a
A
=
++
++
=== 
 
k = constante de proporcionalidade 
 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
01. Um prêmio de R$ 4 650,00 foi dividido em 
três funcionários de uma empresa. Cada um 
recebeu em partes diretamente proporcional ao 
tempo de serviço. Sabendo-se que o mais novo 
tinha 4 anos de empresa, o segundo tinha 5 anos 
de empresa e o mais velho tinha 6 anos e meio de 
empresa, determine o valor recebido pelo mais 
velho, em reais. 
 
300
5,15
4650
5,6545,654
==
++
++
===
CBACBA 
 
Mais velho : C = 6,5 . 300 = 1950 
 
Letra B 
 
a) R$ 1 200,00 
b) R$ 1 950,00 
c) R$ 1 232,00 
d) R$ 1 740,00 
e) R$ 1 452,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO INVERSAMENTE 
PROPORCIONAL 
 
 T = A + B + C IP : (a, b e c) 
 
 k
cba
CBA
c
C
b
B
a
A
=
++
++
===
111111
 
 
k = constante de proporcionalidade 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
01. Dividir o número 40 em partes inversamente 
proporcionais a 2 e 3. 
 
48
6
5
40
3
1
2
1
3
1
2
1
==
+
++
===
BABA 
A = 2448.
2
1
= 
B = 1648.
3
1
= 
Letra C 
 
a) 20 e 14 
b) 20 e 16 
c) 24 e 16 
d) 26 e 10 
e) n.r.a 
 
MACETE (PARA DUAS GRANDEZAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL MISTA 
 
T = A + B + C 
 
DP: (a, b e c) e IP: (x, y e z) 
 
z
c
y
b
x
a
CBA
z
c
C
y
b
B
x
a
A
++
++
=== 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
01. (FCC) Dois funcionários de uma Repartição 
Pública foram incumbidos de arquivar 164 
processos e dividirão esse total na razão direta de 
suas respectivas idades e inversa de seus 
respectivos tempos de serviço público. Se um 
deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e 
o outro 42 anos e está a 9 anos no serviço público, 
então a diferença positiva entre os números de 
processos que cada um arquivou é: 
 
 
12
3
41
164
3
14
9
164
9
42
3
27
==
+
===
BA
 
 
primeiro = 12. 9 = 108 
segundo = 164 - 108 = 56 
diferença = 108 - 56 = 52 
 
LETRA C 
 
a) 48 
b) 50 
c) 52 
d) 54 
e) 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(IBFC 2013) Se os números da sucessão x, y ,8 
são inversamente proporcionais aos da sucessão 
16,8,6 então a soma entre x e y é igual a: 
a) 9 
b) 10 
c) 8 
d) 12 
 
 
 
(FCC 2016) Uma herança de R$ 82.000,00 será 
repartida de modo inversamente proporcional às 
idades, em anos completos, dos três herdeiros. As 
idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se 
que os números que correspondem às idades dos 
herdeiros são números primos entre si (o maior 
divisor comum dos três números é o número 1) e 
que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o 
herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas 
informações o valor de x é igual a 
 
a) 7. 
b) 5. 
c) 11. 
d) 1. 
e) 13. 
 
 
 
(FCC 2017) José Souza, Paulo Almeida e 
Claudio Prinot são três funcionários que têm que 
realizar, no total para os três, 72 tarefas 
diariamente. Cada dia eles escolhem um critério 
diferente para repartir as tarefas. Por exemplo, no 
dia de ontem eles decidiram que as 72 tarefas 
seriam divididas entre eles diretamente 
proporcional às consoantes do sobrenome de cada 
um. Sendo assim, ontem Paulo Almeida teve que 
realizar o total de tarefas igual a 
a) 9. 
b) 24. 
c) 15. 
d) 12. 
e) 18. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
57 
 
 
 
 
(DPE - RS TÉCNICO FCC 2017) O presidente 
de uma empresa resolveu premiar os três 
vendedores mais eficientes do ano com a quantia 
de R$ 13.500,00 que será distribuída de forma 
diretamente proporcional ao número de pontos 
obtidos por cada um na avaliação do ano. O 
vencedor, com 45 pontos, recebeu R$ 6.750,00, e 
o número de pontos do segundo colocado foi 
igual a 27. O número de pontos a menos que o 
terceiro colocado conseguiu em relação ao 
segundo colocado foi 
 
a) 12 
b) 8 
c) 11 
d) 10 
e) 9 
 
 
 
(DPE - RS ANALISTA FCC 2017) O diretor de 
uma empresa designou uma quantia que será 
distribuída para os três melhores funcionários do 
ano. O prêmio de cada um será inversamente 
proporcional ao total de pontos negativos que 
cada um obteve em suas respectivas avaliações. 
O funcionário que mais recebeu tinha uma 
avaliação com apenas 12 pontos negativos, o 
segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o 
terceiro colocado com 21 pontos negativos. 
Sabendo que a quantia total a ser distribuída é R$ 
24.900,00, o maior prêmio superará o menor 
prêmio em exatos 
 
a) R$ 2.420,00 
b) R$ 3.990,00 
c) R$ 7.530,00 
d) R$ 6.180,00 
e) R$ 4.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(BNB – CESPE 2018 – ANALISTA 
BANCÁRIO) Vilma, Marta e Cláudia trabalham 
em uma mesma agência bancária. Vilma está 
nesse emprego há 5 anos, Marta, há 7 anos e 
Cláudia, há 12 anos. Para premiar a eficiência 
dessas funcionárias, a direção do banco 
concedeu-lhes uma bonificação de R$ 12.000, 
que deverão ser divididos entre as três, de forma 
diretamente proporcional aos respectivos tempos 
de serviço. Nesse caso, Vilma receberá mais de 
R$ 3.000 de 
bonificação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(AUDITOR FISCAL - ÁREA DE ATUAÇÃO: 
ADMINISTRAÇÃO TRIBUTÁRIA – SEFAZ 
BA- FCC 2019) Certa empresa de auditoria foi 
criada a partir do aporte de capital investido por 
três sócios. O sócio B participou com o dobro do 
capital investido pelo sócio A, enquanto o sócio 
C participou com uma vez e meia o capital 
investido pelo sócio B. Se fosse partilhado um 
lucro de um milhão e meio de reais 
proporcionalmente ao que cada um investiu, o 
sócio A receberia um valor, em mil reais, igual a 
 
a) 100. 
b) 200. 
c) 150. 
d) 250. 
e) 125. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
 
 
(FCC) Três Técnicos Judiciários – Alberico, 
Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 
processos e, para executaresta tarefa, decidiram 
dividir o total entre si, em partes diretamente 
proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se 
que: 
 
– Alberico tem 36 anos; 
– Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade 
excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; 
– caberá a Corifeu arquivar 90 processos. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que 
 
a) as idades dos três somam 105 anos. 
b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. 
c) Corifeu tem 28 anos. 
d) Alberico deverá arquivar 120 processos. 
e) Benivaldo tem 35 anos. 
 
 
 
(FGV 2011) Newton e Leibniz formaram uma 
empresa chamada Cálculo Ltda., na qual 
investiram R$ 49.000,00 e R$ 21.000,00, 
respectivamente. No final do ano, eles dividiram 
o lucro de forma que um terço do lucro é dividido 
igualmente pelo esforço que eles colocaram no 
negócio, e o restante é dividido pela proporção do 
investimento inicial de cada um. Se Newton 
recebeu R$ 5.600,00 a mais que Leibniz, o lucro 
total da Cálculo Ltda. nesse ano foi de 
 
a) R$ 15.600,00. 
b) R$ 19.700,00. 
c) R$ 23.500,00. 
d) R$ 21.000,00. 
e) R$ 20.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Certa noite, dois técnicos em segurança 
vistoriaram as 130 salas do edifício de uma 
Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em 
partes inversamente proporcionais ás suas 
respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de 
salas vistoriadas pelo mais jovem foi 
 
a) 68 
b) 66 
c) 64 
d) 62 
e) 60 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. A 3. B 4. E 5. E 
6. E 7. D 8. D 9. D 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL - https://youtu.be/b4m7TXY2QTE 
 
 
 
Medidas Lineares 
 
 
PREFIXOS 
 
QUILO 
 
HECTO 
 
DECA 
 
PADRÃO 
 
DECI 
 
CENTI 
 
 
MILI 
 
 
Medidas de 
Comprimento 
 
km 
 
hm 
 
dam 
 
m 
 
dm 
 
cm 
 
mm 
 
 
Medidas de 
Massa 
 
Kg 
 
hg 
 
dag 
 
g 
 
dg 
 
 
cg 
 
mg 
 
Medidas de 
Capacidade 
 
 
Kl 
 
hl 
 
dal 
 
l 
 
dl 
 
cl 
 
ml 
 
Medidas 
Agrárias 
 
 
 
 
ha 
 
 
 
a 
 
 
 
ca 
 
 
Observações: 
 X 10 
 
 : 10 
Medidas de Área 
 
 
Medidas 
de Área 
 
 
km2 
 
hm2 
 
dam2 
 
m2 
 
dm2 
 
cm2 
 
mm2 
Observações: 
 X 100 
 
 : 100 
Medidas de Volume 
 
 
Medidas de 
Volume 
 
 
km3 
 
hm3 
 
dam3 
 
m3 
 
dm3 
 
cm3 
 
mm3 
Observações 
 
 X 1000 
 
 : 1000 
 
 
 
60 
 
 
RELAÇÕES IMPORTANTES: 
 
1l .............................................................1 dm3 
1m3...........................................................1000 l 
1 tonelada................................................1000 kg 
1a..............................................................100 m2 
1ha.........................................................10000 m2 
 
Sistema Métrico não decimal 
1 h ...........................................................60 min 
1 min ........................................................60 seg 
1h.........................................................3. 600seg 
1 dia ............................................................24 h 
 
EXEMPLOS 
 
01. Converter: 
 
a) 0,5 km= ..........................dam 
b) 15 m= ..............................km 
c) 0,34m2= ...........................cm2 
d) 1.000 mm2 = ..................dam2 
e) 28,1 m3=...........................cm3 
f) 23,9 dam3= .......................km3 
g) 1.540 dal = .........................kl 
h) 3 000 ml = ............................l 
i) 74,2 dg = ............................dag 
j) 7 200 ml = ………………..dm3 
l) 0,03l = ……………………cm3 
m) 0,045 m3= ………………..ml 
 
02. (FESMIP)Identifique com V as igualdades 
verdadeiras e com F, as falsas. 
 
( ) 645 s = 10min e 45 s . 
( ) 7,30 h = 7 h e 30 min. 
( ) 45 x 
110− km + 2,5 x 310 m – 50cm = 6.999,5m. 
( ) 64,3 hl – 723 dl+ 32,4 dal – 7,31 l= 6.674,39 l. 
( ) 0,752 km2+ 0,1 m2+ 354dm2= 752.003,64 m2. 
 
A alternativa que contém a sequência correta, de 
cima para baixo, é a 
 
a) F FF V V 
b) F V F V F 
c) V F F V V 
d) V F V VV 
e) V VVVV 
 
 
 
 
 
 
 
(ESPECIALISTA EM POLÍTICAS 
PÚBLICAS – PMS – FGV 2019) Um caminhão 
pesado levou uma carga de Salvador a Aracaju, e 
o tempo de viagem foi de 8 horas e 14 minutos. 
Na volta, o caminhão vazio foi mais rápido e 
levou apenas 6 horas e 48 minutos para retornar 
ao ponto de partida. O tempo de ida foi maior do 
que o tempo de volta em 
 
a) 1 hora e 26 minutos. 
b) 1 hora e 34 minutos. 
c) 1 hora e 46 minutos. 
d) 2 horas e 26 minutos. 
e) 2 horas e 34 minutos. 
 
 
 
(FGV 2017) Na reta final de uma corrida de 
carros, os dois primeiros colocados estavam a 210 
km/h, mas o segundo colocado passou pela linha 
de chegada 0,3 segundo após o primeiro. 
 
Quando o primeiro cruzou a linha de chegada, a 
distância d entre os dois carros era 
 
a) 17,5 m. 
b) 18,6 m. 
c) 19,6 m. 
d) 20,4 m. 
e) 21,0 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
61 
 
 
 
 
(IMBEL – FGV 2021) Neuza trabalha em uma 
fábrica, mas almoça fora. Certo dia, o relógio 
de ponto da fábrica registrou no cartão de 
Neuza: 
 
 
 
Nesse dia, Neuza permaneceu na fábrica 
 
a) 7h24min. 
b) 7h38min. 
c) 8h12min. 
d) 8h24min. 
e) 8h38min. 
 
 
 
(BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO – 
FGV 2018) Na época do Brasil Colônia os 
portugueses mediam as distâncias em várias 
unidades, entre as quais a légua e a braça. 1 légua 
era equivalente a 3.000 braças e 1 braça equivale, 
hoje, a 2 metros e 22 centímetros. 
Certa propriedade, no litoral da Bahia, tinha 
comprimento de 2 léguas e 2.400 braças. 
Essa medida, em metros, é aproximadamente 
igual a: 
 
a) 17.100; 
b) 17.660; 
c) 18.140; 
d) 18.650; 
e) 19.200. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV) Uma miniatura de uma estátua em 
mármore, perfeitamente semelhante à original, 
foi construída com o mesmo mármore em uma 
escala 1:20. A estátua original pesa 320 kg. 
O peso, em gramas, da miniatura é 
 
a) 40. 
b) 80. 
c) 160. 
d) 8.000. 
e) 16.000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. A 3. E 4. D 5. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 LÓGICA SEQUENCIAL 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/XbqsFXbK4jY 
 
 
COMO APARECE NOS EDITAIS: 
 
1. Problemas de raciocínio: deduzir informações 
de relações arbitrárias entre objetos, lugares, 
pessoas e/ou eventos fictícios dados. 
2. Sequências e reconhecimentos de padrões. 
 
PRINCIPAIS MACETES 
 
MACETE 01 “Encontrar termos futuros” 
 
 
 
(IADES 2014) Os cinco primeiros termos de uma 
sequência são 3, 7, 11, 15,19. Qual é o seu 112º 
termo? 
 
a) 223. 
b) 225. 
c) 445. 
d) 447. 
e) 449. 
 
 
 
(FCC) Usando palitos de fósforos inteiros é 
possível construir a seguinte sucessão de figuras 
compostas por triângulos: 
 
 
Seguindo o mesmo padrão de construção, então, 
para obter uma figura composta de 25 triângulos, 
o total de palitos de fósforos que deverão ser 
usados é: 
 
a) 61 
b) 57 
c) 51 
d) 49 
e) 45 
 
 
 
 
Observe a sequência (3, 9, 15, 21, ...). O número 
215 pertence a essa sequência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2015) Na sequência abaixo, as diferenças 
entre termos consecutivos repetem-se 
alternadamente: 
 
1, 5, 8, 12, 15, 19, 22, 26, 29, 33, ... 
 
O 100º elemento dessa sequência é: 
 
a) 344; 
b) 346; 
c) 348; 
d) 351; 
e) 352. 
 
 
 
(FCC 2016) Observe os cinco primeiros termos 
de uma sequência numérica: 
523, 520, 517, 514, 511, ... . 
Mantido o mesmo padrão da sequência, o menor 
número não negativo dela será 
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
MACETE 02 “Soma de termos” 
 
 
 
(FCC) Considere que a sucessão de figuras 
abaixo obedece a uma lei de formação.O número de circunferências que compõem a 
100ª figura dessa sucessão é 
 
a) 5 151 
b) 5 050 
c) 4 950 
d) 3 725 
e) 100 
 
 
 
(AOCP 2014) Gauss foi um matemático que 
viveu de 1777 a 1855. Conta-se que Gauss, 
quando tinha aproximadamente 9 anos de idade, 
surpreendeu seu professor. O professor, querendo 
manter silêncio na sala de aula por longo tempo, 
pediu aos alunos que somassem todos os números 
inteiros de 1 a 100, isto é, “1+2+3+... + 
98+99+100”. Em poucos minutos, Gauss deu a 
resposta correta com o seguinte raciocínio: 
escreveu “1+2+3+... + 98+99+100”. Em seguida, 
inverteu a série: “100+99+98+... + 3+2+1”. A 
seguir, somou termo a termo, obtendo 
“101+101+101+...+101+101+101”. Verificou 
que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja, “100 
x 101 = 10100”. Como usou duas vezes a 
sequência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 
duas vezes na soma. Então, dividiu o total, ou 
seja, “10100 / 2 = 5050”. Assim, em poucos 
minutos, deu a resposta correta surpreendendo o 
professor. 
 
 Fonte:http://www.professores.uff.br/salete/gauss.htm 
 
 
Considerando o raciocínio lógico de Gauss, qual 
é a soma de todos os números inteiros de 1 a 200? 
 
a) 10100 
b) 10500 
c) 20100 
d) 30000 
e) 40200 
 
MACETE 03 “Ciclos ou carimbos” 
 
 
 
 
A sequência de letras a seguir mantém o me
smo padrão de repetição. 
 
I N E A R J I N E A R J I N E A R J … 
A letra que ocupa a 555ª posição é 
 
a) N. 
b) E. 
c) A. 
d) R. 
e) J. 
 
 
 
 
(IBFC 2015) Considerando que as figuras abaixo 
(separadas por vírgulas) seguem uma sequência 
lógica, então a 76ª figura da sequência é 
 
[, {, ^, ~, ], /, [, {, ^, ~, ], /, ... 
 
a) [ 
b) { 
c) ^ 
d) ~ 
e) / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
(FGV 2015) A sequência 2, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 2, 
2, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 2, ... mantém o padrão 
apresentado indefinidamente. 
A soma dos 2015 primeiros termos dessa 
sequência é: 
 
a) 7560; 
b) 7555; 
c) 7550; 
d) 7545; 
e) 7540. 
 
MACETE 04 “Torneiras e afins” 
 
 
 
(ESAF) Existem duas torneiras para encher um 
tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for 
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. 
Se apenas a segunda torneira for aberta, ao 
máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as 
duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao 
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
 
 
 
(FUNRIO) Cada torneira enche um tanque em 3 
horas e um ralo leva 4 horas para esvaziá-lo. 
Estando o tanque inicialmente vazio e duas 
torneiras e o ralo abertos, em quanto tempo o 
tanque ficará cheio? 
 
a) 2h. 
b) 2h 12min. 
c) 2h 24min. 
d) 2h 36min. 
e) 2h 48min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FCC 2011) Dois funcionários de uma Unidade 
do Tribunal Regional do Trabalho − Matilde e 
Julião − foram incumbidos de arquivar X 
processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles 
arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando 
sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X 
em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião 
levaria para, sozinho, arquivar todos os X 
processos? 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
MACETE 05 “ Pior caso ou Alternativa 
incontroversa” 
 
 
 
(Ministério da Agricultura, Pecuária e 
Abastecimento 2010) A quantidade mínima de 
pessoas que devem estar num grupo para que se 
possa garantir que, pelo menos três delas, tenha 
nascido no mesmo mês é: 
 
a) 13 
b) 20 
c) 39 
d) 48 
e) 25 
 
 
(IADES 2013) Determinada câmara municipal é 
composta por 45 vereadores, sendo 18 do partido 
A, 15 do partido B e 12 do partido C. Sem 
identificar a que partidos pertencem os 
vereadores participantes de uma sessão, pode-se 
assegurar a presença de um representante de cada 
partido se o número mínimo de vereadores 
presentes for igual a 
 
a) 23. 
b) 28. 
c) 31. 
d) 34. 
e) 42. 
 
 
 
65 
 
 
 
 
(TÉCNICO JUDICIÁRIO - TRT 
PERNAMBUCO – FCC 2018) Na prateleira de 
uma estante estão dispostos 10 livros de direito, 
12 livros de economia e 15 livros de 
administração. O menor número de livros que se 
devem retirar ao acaso dessa prateleira para que 
se tenha certeza de que dentre os livros retirados 
haja um de direito, um de economia e um de 
administração é igual a 
 
a) 28. 
b) 29. 
c) 26. 
d) 23. 
e) 27. 
 
 
 
(SEPLAG NITEROI- ANALISTA DE 
POLÍTICAS PÚBLICAS – FGV 2018) Em um 
saco há 10 fichas iguais na forma e no tamanho, 
porém de 4 cores diferentes: 4 são brancas, 3 são 
pretas, 2 são azuis e 1 é vermelha. É correto 
afirmar que, retirando do saco, ao acaso, 
 
a) 4 fichas, cada ficha terá uma cor diferente. 
b) 6 fichas, teremos fichas de apenas 3 cores. 
c) 7 fichas, pelo menos uma delas será branca. 
d) 5 fichas, uma delas será preta. 
e) 8 fichas, pelo menos uma delas será azul. 
 
 
MACETE 06 “Calendários” 
 
 
 
(FGV 2013) Certo ano, o dia 1º de agosto caiu em 
uma segunda-feira. Nesse ano, o dia das crianças, 
12 de outubro, foi 
 
a) uma terça-feira. 
b) uma quarta-feira. 
c) uma quinta-feira. 
d) uma sexta-feira. 
e) um sábado. 
 
 
 
 
 
(FGV 2013) Em certo ano, não bissexto, a terça‐
feira de carnaval caiu no dia 1º de março. 
Nesse ano, o dia 1º de janeiro caiu em 
 
a) um domingo. 
b) uma segunda‐feira. 
c) uma quinta‐feira. 
d) uma sexta‐feira. 
e) um sábado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. C 3. não 4. C 5. B 
6. B 7. C 8. B 9. D 10. B 
11. E 12. C 13. A 14. E 15. D 
16. A 17. C 18. B 19. E 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
 
Definição: Uma sequência é um conjunto 
ordenado de elementos (números, figuras, letras, 
figuras geométricas, palavras, etc.), gerado por 
meio de a regra de formação. 
 
1. SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO 
NÚMEROS 
 
Este tipo de sucessão numérica obedece a 
certa lógica quantitativa, podendo ser de qualquer 
tipo, como por exemplo: números primos, 
ímpares, quadrados perfeitos, cubos perfeitos, 
produtos, somas, etc. 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Descubra o próximo elemento em cada uma 
das sequencias abaixo. 
 
a) 0,1,2,3,4,... 
 
b) 2,7,12,17,22,... 
 
c) 177,166,155,144,... 
 
d) 2,3,5,7,11,... 
 
e) 1,2,3,5,8,13,... 
 
f) 192,96,32,... 
 
g) ,...
7
6
,
4
5
,
3
2
 
 
h) 2,10,12,16,17,18,19,200,201,... 
 
i) ,...
10
36
,
8
24
,
6
12
 
j) 2,5,11,17,23,31,... 
 
l) 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, ... 
 
m) 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27,... 
 
 
 
n) 4, 10, 28, 82,... 
 
o) 0, 1, 4, 9, 16, 25,... 
 
p) 0, 1, 8, 27, 64, 125, ... 
 
02. (FGV 2012) Na sequência x, y, z, 0, 1, 2, 3, 
6,11,... cada termo, a partir do 4º termo, é a soma 
dos três termos imediatamente anteriores a ele. O 
valor de x é: 
 
a) -3 
b) -2 
c) -1 
d) 0 
e) 1 
 
03. (FGV) Observe a sequência numérica a 
seguir: 
“13527911413151761921238...”. Mantida a lei 
de 
formação, os dois próximos algarismos na 
sequência serão 
a) 25 
b) 37 
c) 27 
d) 15 
e) 05 
 
04. (FGV 2013) Observe a sequência de números 
naturais a seguir: 
 
1, 3, 5, 2, 4, 7, 9, 11, 6, 8, 13, 15, 17, 10, 12, 19, 
... 
 
O 87º termo dessa sequência é o número: 
 
a) 87. 
b) 99. 
c) 101. 
d) 103. 
e) 105. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
05. (FGV 2014) Observe a sequência de números 
a seguir: 
 
1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8… 
 
O 100º número dessa sequência é 
 
a) 33. 
b) 34. 
c) 35. 
d) 36. 
e) 37. 
 
06. (SOLDADO PMBA – IBFC 2017) Assinale 
a alternativa correta. O nono termo da sequencia 
lógica 3, – 6, 12, -24, … , representa o total de 
candidatos presentes num concurso público. Se 
210 desses candidatos foram aprovados, então o 
total de candidatos reprovados foi de: 
 
a) 1426 
b) 878 
c) 558 
d) 768 
e) 174 
 
GABARITO 
 
2. C3.A 4. E 5. B 6. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
2. SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO 
LETRAS 
 
Este tipo de sucessão obedece a certa lógica 
alfabética, podendo ser de qualquer tipo, como 
por exemplo: valor posicional das letras, 
palavras, frases, sequência alfabética etc. 
 
EXEMPLOS: 
 
1. (FCC) A sucessão seguinte de palavras 
obedece a uma ordem lógica. Escolha a 
alternativa que substitui X corretamente: 
RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, “X”. 
 
a) calçado 
b) pente 
c) lógica 
d) sibipiruna 
e) soteropolitano 
 
2. (FCC) Na figura a seguir, as letras foram 
dispostas em forma de um triângulo segundo 
determinado critério. 
Considerando que as letras K, W e Y não fazem 
parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o 
critério estabelecido, a letra que deve substituir o 
ponto de interrogação é: 
 
 
 
 
 
 
a) P 
b) Q 
c) R 
d) S 
e) T 
 
3. (FCC) Uma propriedade lógica define a 
sucessão: 
SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE, 
SEXTANTE, SÁBIO, ...... 
a) JADE 
b) CHINÊS 
c) TRIVIAL 
d) DOMÍNIO 
e) ESCRITURA 
4. (FCC) Na sentença abaixo falta a última 
palavra. Procure nas alternativas a palavra que 
melhor completa essa sentença. 
 
Padecia de mal conhecido e de tratamento 
relativamente fácil. Como era imprudente e não 
se cercava dos devidos cuidados, tornava 
impossível qualquer 
 
a) diagnóstico. 
b) observação. 
c) consulta. 
d) prognóstico. 
e) conjetura. 
 
5. (FCC) Esta sequência de palavras segue uma 
lógica: Pá – Xale - Japeri 
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica 
a sequência poderia ser: 
 
a) casa 
b) anseio 
c) urubu 
d) café 
e) sua 
 
6. (FCC) São dados cinco conjuntos, cada qual 
com quatro palavras, três das quais têm uma 
relação entre si e uma única que nada tem a ver 
com as outras: 
 
X = {cão, gato, galo, cavalo} 
Y = {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá} 
Z = {abacaxi, limão, chocolate, morango} 
T = {violino, flauta, harpa, guitarra} 
U = {Aline, Maria, Alfredo, Denise} 
 
Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver 
com as demais são, respectivamente: 
 
a) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo. 
b) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo. 
c) cão, Canadá, morango, flauta e Denise. 
d) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline. 
e) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria. 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
7. (IBFC 2015) De acordo com a sequência lógica 
1, A, 3, E, 6, I, 10, M, 15, Q,...o 12º termo e o 13º 
termo da sequência, considerando o alfabeto de 
26 letras, são respectivamente: 
 
a) T, 21 
b) U,21 
c) V,28 
d) U,28 
e) T,26 
 
8. (FGV 2014) Observe a seguinte sequência de 
letras do alfabeto: CDEG. Entre as alternativas a 
seguir, o grupo que mostra uma sequência com a 
mesma estrutura é 
 
a) BDEF. 
b) MNPQ. 
c) JKLM. 
d) RSTV. 
e) MNOR. 
 
9. (FUNDAÇÃO CINTRA 2012) As palavras a 
seguir apresentam uma determinada relação 
lógica: 
 
MALETA - (LEDA) - COMIDA 
LOROTA - (RODO) - ENGODO 
 
Usando essa mesma relação apresentada 
anteriormente, a palavra que deve ser colocada 
entre parênteses na sequência a seguir, é: 
 
JURADO - (......) - MUCAMA 
 
a) JUCA; 
b) RAMA; 
c) JUMA; 
d) DOCA; 
e) DOMA. 
 
10.(FCC) No esquema abaixo, considere a 
relação existente entre o primeiro e o segundo 
grupos de letras, a contar da esquerda. A mesma 
relação deve existir entre o terceiro grupo e o 
quarto, que está faltando. 
 
A C E B : D F H E :: L N P M : ? 
 
O grupo de letras que substitui corretamente o 
ponto de interrogação é 
 
a) N P R O 
b) N Q S R 
c) O Q S P 
d) O R T P 
e) P R T Q 
 
11. (FCC 2017) Na sequência 1A3E; 5I7O; 
9U11A; 13E15I; 17O19U; 21A23E; . . ., o 12º 
termo é formado por algarismos e pelas letras 
 
a) IO. 
b) AE. 
c) EI. 
d) UA. 
e) OA. 
 
12. (FGV 2016) Observe a seguinte sequência 
formada por quatro letras do alfabeto: 
 
M P R J 
 
Afirma-se que uma nova sequência tem a mesma 
estrutura da sequência dada quando as distâncias 
relativas entre as letras é a mesma da sequência 
original. 
 
Considere as sequências: 
1) D G I A 
2) Q T V O 
3) H K N F 
 
Dessas sequências, possuem a mesma estrutura 
da sequência original: 
 
a) somente (1); 
b) somente (2); 
c) somente (3); 
d) somente (1) e (2); 
e) somente (2) e (3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
13. Qual número substitui a interrogação? 
 
RESPEITO 48 
 
JUSTIÇA 37 
 
EMPATIA 47 
 
AMOR ? 
 
 
a) 42 
b) 24 
c) 34 
d) 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. T 3. D 4. D 5. B 
6. A 7. D 8. D 9. B 10. C 
11. A 12. A 13. B 14. 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
3. SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO 
FIGURAS 
 
Este tipo de sucessão contribui para a 
formação de um pensamento lógico que 
desenvolverá o raciocínio e a estrutura mental. 
 Para cada sequência de figuras obteremos 
um padrão específico, que pode estar associado a 
movimentos, contagens, polígonos, entre outros. 
 
EXEMPLOS: 
 
01. (FGV 2017) A figura a seguir mostra grupos 
de bolinhas cujos números crescem mantendo 
determinado padrão. 
 
 
 
 
Assinale a opção que indica o número de bolinhas 
da figura 16. 
 
a) 241. 
b) 255. 
c) 273. 
d) 289. 
e) 297. 
 
02. (FGV 2014) A figura abaixo mostra uma 
pilha de cubos iguais. Vários desses cubos não 
estão visíveis, mas sustentam os que estão em 
cima. 
 
 
O número total de cubos dessa pilha é: 
 
a) 14. 
b) 17. 
c) 19. 
d) 21. 
e) 22 
 
03. (FGV 2014) Brincando com palitos, 
Bernardo criou uma sequência de quadrados e 
triângulos como na figura a seguir: Bernardo 
terminou a brincadeira após construir o 50º 
quadrado 
 
 
O número total de palitos que Bernardo utilizou 
foi: 
 
a) 330; 
b) 340; 
c) 343; 
d) 347; 
e) 350. 
 
4. Complete a sequência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na 
figura I, é possível transformá-la na figura II. O 
menor número de palitos de fósforo que deve ser 
movido para fazer tal transformação é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
 
 
72 
 
 
e) 5 
 
6. (FCC) Em cada linha do quadro a seguir, as 
figuras foram desenhadas obedecendo a um 
mesmo padrão de construção. 
 
 
Segundo esse padrão, a figura que deverá 
substituir corretamente o ponto de interrogação 
é: 
 
 
7. Marque a alternativa que não corresponde a 
um padrão entre as figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (FCC) Observe que há uma relação entre duas 
primeiras figuras representadas abaixo. A mesma 
relação deve existir entre a terceira e a quarta, que 
está faltando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
 PROBLEMAS MATRICIAIS 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/vhG3z0yfsp0 
 
Problemas que são prestadas informações 
de diferentes tipos, como por exemplo: nomes, 
carros, cores, qualidades, profissões, atitudes, 
atividades, etc. O objetivo é descobrir o 
correlacionamento entre os dados dessas 
informações. Dito de outra forma, quando o 
exercício lhe pedir que identifique “quem usou o 
que, quando, com quem, aonde, de que cor etc.”. 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
(FGV 2015) Davi, Bruno e Caio são irmãos, dois 
deles são gêmeos e os três são médicos: um é 
pediatra, outro é clínico e o outro, é neurologista. 
Sabe-se que 
— Davi não é pediatra; 
— Bruno não é clínico;— O gêmeo de Caio é neurologista; 
— O que não tem irmão gêmeo é pediatra. 
 
Assim, é correto concluir que 
 
a) Davi é clínico. 
b) Caio é clínico. 
c) Bruno é neurologista. 
d) Caio é pediatra. 
e) Bruno e Caio são gêmeos. 
 
 
 
(FUNCAB) Três irmãos encontram-se a caminho 
da faculdade. A camisa de um deles é cinza, a do 
outro é preta, e do outro é bege. Eles usam calças 
destas mesmas três cores, mas somente Ayres 
está com camisa e calça de mesma cor. Nem a 
camisa nem a calça de João são beges. Marcos 
está com calça cinza. Desse modo, 
 
a) a camisa de João é cinza e a de Ayres é preta. 
b) a camisa de João é bege e a calça é preta. 
c) a calça de João é preta e a de Ayres é bege. 
d) a calça de Ayres é preta e a camisa de Marcos 
é bege. 
e) a camisa de Ayres é preta e a calça de Marcos 
é cinza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 
(AOCP 2014) As esposas de César, Fernando e 
Vinícius são, uma loira, uma ruiva e uma morena, 
não necessariamente nesta ordem. Uma se chama 
Daniela, outra Bruna e a outra Rafaela. A esposa 
de César se chama Daniela. A esposa de Vinícius 
é morena. A esposa de Fernando não se chama 
Bruna e não é loira. Os nomes das esposas loira, 
ruiva e morena são, respectivamente: 
 
a) Daniela, Rafaela e Bruna. 
b) Daniela, Bruna e Rafaela. 
c) Bruna, Daniela e Rafaela. 
d) Bruna, Rafaela e Daniela. 
e) Rafaela, Bruna e Daniela. 
 
 
 
(FGV 2016) Paulo, Sérgio e Mário trabalham na 
prefeitura da cidade e usam meios de transporte 
diferentes para ir ao trabalho: um vai com seu 
carro, outro vai de ônibus e outro, de bicicleta. 
Sabe-se que: 
 
• quem vai de carro é o mais velho dos três; 
• Sérgio não tem carro; 
• Paulo é mais novo que Sérgio e não vai de 
bicicleta. 
Assim, é correto afirmar que 
 
a) Sérgio é o mais velho dos três. 
b) Paulo vai de ônibus. 
c) Mário vai de bicicleta. 
d) Sérgio vai de carro. 
e) Mário é o mais novo dos três. 
 
 
 
(FGV 2017) Dalva, Bruna e Carla são advogadas, 
sendo duas delas irmãs. Cada advogada possui 
uma especialidade: uma é trabalhista; outra, 
civilista; e, a outra, penalista. 
Sabe-se que: 
• Dalva não é advogada trabalhista; 
• Bruna não é advogada civilista; 
• a irmã de Carla é advogada penalista; 
• a que não tem irmã nesse grupo é 
advogada trabalhista. 
 
É correto concluir que 
 
a) Dalva é advogada civilista. 
b) Carla é advogada civilista. 
c) Bruna é advogada penalista. 
d) Carla é advogada trabalhista. 
e) Bruna e Carla são irmãs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2. C 3. A 4.B 5. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
 PROBLEMAS COM MESAS 
 
EXEMPLOS: 
ENAS UMA VERDADE 
 
 
(FCC) Encontram-se sentados em torno de uma 
mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais 
antigo entre eles, é alagoano. Há também um 
paulista, um carioca e um baiano. Ferraz está 
sentado à direita de Miranda. Mendes, à direita do 
paulista. Por sua vez, Barbosa, que não é carioca, 
encontra-se à frente de Ferraz. Assim: 
 
a) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano. 
b) Mendes é baiano e Barbosa é paulista. 
c) Mendes é carioca e Barbosa é paulista. 
d) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista. 
e) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano. 
 
 
 
 
(FGV 2015) Cinco pessoas, representadas por A, 
B, C, D e E, sentam-se em volta de uma mesa 
circular. Sabe-se que: 
 
• B não é vizinho de A. 
• D é o vizinho à esquerda de C. 
• B e C não são vizinhos. 
 
Assim, é correto concluir que 
 
a) os vizinhos de A são C e E. 
b) os vizinhos de E são B e D. 
c) os vizinhos de B são C e D. 
d) os vizinhos de C são A e B. 
e) os vizinhos de D são A e C. 
 
 
 
(FGV 2015) Pai, mãe e seu casal de filhos estão 
sentados em volta de uma mesa quadrada. Os 
homens chamam-se Roberto e Sérgio e as 
mulheres chamam-se Teresa e Fernanda. Sabe-se 
que: 
• O pai tem Fernanda à sua frente e o filho à 
esquerda. 
• A mãe está do lado direito de Sérgio. 
Considere as afirmações: 
I – A mãe chama-se Fernanda. 
II – Roberto está em frente de Teresa. 
III – O pai chama-se Sérgio. 
 
É verdadeiro somente o que se afirma em: 
a) I; 
b) II; 
c) III; 
d) I e II; 
e) II e III. 
 
 
 
(FCC 2016) Marina, Kátia, Carolina e Joana se 
sentam em uma mesa hexagonal (seis assentos), 
conforme indica a figura abaixo. 
 
 
 
Sabe-se que Carolina se senta imediatamente à 
direita de Marina e em frente à Kátia; e que Joana 
não se senta em frente a um lugar vazio. Dessa 
forma, é correto afirmar que, necessariamente, 
 
a) Carolina está tão distante de Kátia na mesa 
quanto está de Marina. 
b) Kátia se senta imediatamente ao lado de dois 
lugares vazios. 
 c) Joana se senta imediatamente ao lado de Kátia. 
d) Marina se senta em frente à Kátia. 
e) Carolina se senta imediatamente ao lado de 
dois lugares vazios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
(OFICIAL – TRT/PE – FCC 2018) Cinco 
diretores (Recursos Humanos-RH, Financeiro-F, 
Administrativo-D, Contábil-C e Marketing-M) 
estão sentados em uma mesa circular com oito 
assentos igualmente espaçados ao redor da mesa. 
D está sentado no assento em frente ao assento de 
C e no terceiro assento à direita de M. RH está 
sentado a quatro assentos de F. Em tais condições 
é correto afirmar que, necessariamente, 
 
a) M está sentado em frente a um assento vazio 
b) M está sentado ao lado de um assento vazio. 
c) há dois assentos vazios que estão juntos. 
d) D está sentado ao lado de um assento vazio à 
sua direita e de um à sua esquerda. 
e) C está sentado imediatamente à direita de RH. 
 
 
GABARITO 
 
1. E 2. A 3. E 4. C 5. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 APENAS UMA VERDADE 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
(FCC 2014) Miguel, Érico, Ricardo, Jaime e Caio 
são interrogados em um Tribunal para 
averiguação de um crime certamente cometido 
por, apenas, um dos cinco. Nos interrogatórios, 
cada um fez a seguinte afirmação: 
 
Miguel: − o culpado é Jaime. 
Érico: − Ricardo não é culpado. 
Ricardo: − o culpado é Caio. 
Jaime: − eu não sou culpado. 
Caio: − o culpado é Miguel. 
 
Se apenas um dos cinco interrogados diz a 
verdade, então o crime foi cometido por 
 
a) Miguel. 
b) Érico. 
c) Ricardo. 
d) Jaime. 
e) Caio. 
 
 
 
(FUNDATEC 2014) Na mesa de um bar estão 
cinco amigos: Arnaldo, Belarmino, Cleocimar, 
Dionésio e Ercílio. Na hora de pagar a conta, eles 
decidem dividi-la em partes iguais. Cada um 
deles deve pagar uma quota. O garçom confere o 
valor entregue por eles e nota que um deles não 
entregou sua parte, consegue detê-los antes que 
deixem o bar e os interroga, ouvindo as seguintes 
alegações: 
 
I. Não fui eu nem o Cleocimar, disse Arnaldo; 
II. Foi o Cleocimar ou o Belarmino, disse 
Dionésio; 
III. Foi o Ercílio, disse Cleocimar; 
IV. O Dionésio está mentindo, disse Ercílio; 
V. Foi o Ercílio ou o Arnaldo, disse Belarmino. 
 
Considerando-se que apenas um dos cinco 
amigos mentiu, pode-se concluir que quem não 
pagou a conta foi? 
a) Arnaldo. 
b) Belarmino. 
c) Cleocimar. 
d) Dionésio. 
e) Ercílio. 
 
 
 
(FCC 2015) Em uma família de 6 pessoas, um 
bolo foi dividido no jantar. Cada pessoa ficou 
com 2 pedaços do bolo. Na manhã seguinte, a avó 
percebeu que tinham roubado um dos seus dois 
pedaços de bolo. Indignada, fez uma reunião de 
família para descobrir quem tinha roubado o seu 
pedaço de bolo e perguntou para as outras 5 
pessoas da família: “Quem pegou meu pedaço de 
bolo?” Asrespostas foram: 
 
Guilherme: “Não foi eu”. 
Telma: “O Alexandre que pegou o bolo”. 
Alexandre: “A Caroline que pegou o bolo”. 
Henrique: “A Telma mentiu”. 
Caroline: “O Guilherme disse a verdade”. 
 
A avó, sabendo que uma pessoa estava mentindo 
e que as outras estavam falando a verdade, pôde 
concluir que quem tinha pegado seu pedaço de 
bolo foi 
 
a) Caroline. 
b) Guilherme. 
c) Telma. 
d) Alexandre. 
e) Henrique. 
 
 
 
(FCC 2016) Quatro meninos têm 5, 7, 9 e 11 
carrinhos cada um. A respeito da quantidade de 
carrinhos que cada um tem, eles afirmaram: 
 
− Antônio: Eu tenho 5 carrinhos; 
− Bruno: Eu tenho 11 carrinhos; 
− Cássio: Antônio tem 9 carrinhos; 
− Danilo: Eu tenho 9 carrinhos. 
 
Se apenas um deles mentiu, tendo os outros dito 
a verdade, então é correto concluir que a soma do 
número de carrinhos de Antônio, Bruno e Cássio 
é igual a 
 
 
 
 
78 
 
 
a) 22. 
b) 23. 
c) 25. 
d) 21. 
e) 27. 
 
 
 
(FCC 2016) Paulo, Francisco, Carlos, Henrique e 
Alexandre são irmãos, sendo que apenas um deles 
quebrou um vaso na sala de casa. Ao investigar o 
ocorrido, a mãe dos cinco ouviu de cada um as 
seguintes afirmações: 
 
Paulo: − Fui eu quem quebrou o vaso. 
Francisco: − Eu não quebrei o vaso. 
Carlos: − Foi Alexandre quem quebrou o vaso. 
Henrique: − Francisco está mentindo. 
Alexandre: − Não foi Carlos quem quebrou o 
vaso. 
 
Se apenas um dos cinco irmãos disse a verdade, 
quem quebrou o vaso foi 
 
a) Henrique. 
b) Francisco. 
c) Paulo. 
d) Carlos. 
e) Alexandre. 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. E 3. A 4. B 5. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
 
 
 
 
 
(PMS – GUARDA MUNICIPAL – FGV 2019) 
Em um ano não bissexto, quando o primeiro dia 
do ano cai em um sábado, o último dia de 
fevereiro cairá em uma 
 
a) segunda-feira. 
b) terça-feira. 
c) quarta-feira. 
d) quinta-feira. 
e) sexta-feira. 
 
 
 
(SEPLAG NITEROI- ANALISTA DE 
POLÍTICAS PÚBLICAS – FGV 2018) Em um 
saco há 10 fichas iguais na forma e no tamanho, 
porém de 4 cores diferentes: 4 são brancas, 3 são 
pretas, 2 são azuis e 1 é vermelha. É correto 
afirmar que, retirando do saco, ao acaso, 
 
a) 4 fichas, cada ficha terá uma cor diferente. 
b) 6 fichas, teremos fichas de apenas 3 cores. 
c) 7 fichas, pelo menos uma delas será branca. 
d) 5 fichas, uma delas será preta. 
e) 8 fichas, pelo menos uma delas será azul. 
 
 
 
(PMS – GUARDA MUNICIPAL – FGV 2019) 
Manoel, Augusto, Joaquim, Carlos e Valdo 
marcaram hora e lugar para uma reunião. Todos 
chegaram, mas em horários ligeiramente 
diferentes. 
Sabe-se que: 
 
• Augusto chegou antes de Valdo e de Joaquim, 
mas não foi o 
primeiro a chegar. 
• Valdo chegou depois de Joaquim, mas não foi o 
último a 
chegar. 
• Carlos chegou antes de Valdo. 
 
 
É correto concluir que 
a) Carlos foi o segundo a chegar. 
b) Manoel foi o último a chegar. 
c) Augusto foi o terceiro a chegar. 
d) Joaquim foi o último a chegar. 
e) Valdo foi o terceiro a chegar. 
 
 
 
(PMS – AGENTE DE TRÂNSITO – FGV 
2019) Em uma obra há várias tábuas, todas iguais. 
Cada tábua pesa 6 kg mais 1/6 de tábua. O peso 
de 20 tábuas é 
 
a) 120 kg. 
b) 132 kg. 
c) 140 kg. 
d) 144 kg. 
e) 150 kg. 
 
 
 
(PROFESSOR ED. INFANTIL AO 5º ANO – 
PMS – FGV 2019) Em uma classe de 20 
estudantes, 12 são meninas. Além disso, dos 20 
estudantes, 15 gostam de Matemática. 
É correto concluir que 
 
a) nenhuma menina gosta de Matemática. 
b) todas as meninas gostam de Matemática. 
c) no máximo 7 meninas gostam de Matemática. 
d) no mínimo 7 meninas gostam de Matemática. 
e) exatamente 7 meninas gostam de Matemática. 
 
 
 
(FUNDATEC 2014) O próximo número da 
sequência 120, 210, 390, 750, é 
 
a) 1.470. 
b) 1.530. 
c) 1.610. 
d) 1.720. 
e) 1.830. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
80 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE CANDELÁRIA – RS – 
FUNDATEC 2021) Analise a sequência abaixo: 
435, 534, 637, 736, _____. Assinale a alternativa 
que preenche corretamente a lacuna do trecho 
acima. 
 
a) 839 
b) 838 
c) 837 
d) 938 
e) 939 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE CANDELÁRIA – RS – 
FUNDATEC 2021) Analise a sequência abaixo: 
12 – 14 – 16 - 18 – 21 – 24 – 27 – 30 - 34 – 38 – 
42 - O próximo número da sequência é: 
 
a) 44. 
b) 45. 
c) 46. 
d) 47. 
e) 48. 
 
 
 
(UNIPAMPA – FUNDATEC 2020) A imagem 
abaixo mostra uma sequência de triângulos feitos 
com palitos: 
 
Sendo a construção dos triângulos no mesmo 
padrão dos primeiros, quantos triângulos serão 
construídos se utilizarmos 371 palitos? 
 
a) 144. 
b) 185. 
c) 289. 
d) 317. 
e) 350 
 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE CAMPO BOM- RS – 
FUNDATEC 219) O centésimo termo da 
sequência numérica (-4, -2, 0, ...) é: 
 
a) 100. 
b) 186. 
c) 190. 
d) 194. 
e) 200. 
 
 
 
(TJ-SC – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FGV 
2018) Vanda foi ao consultório médico em uma 
segunda-feira. O médico disse que ela deveria 
tomar um comprimido de certo remédio todos os 
dias, durante 180 dias. Vanda começou a tomar o 
remédio no mesmo dia da consulta e cumpriu 
exatamente o que disse o médico. 
O primeiro dia em que Vanda NÃO precisou 
tomar o remédio foi: 
 
a) uma quarta-feira; 
b) uma quinta-feira; 
c) uma sexta-feira; 
d) um sábado; 
e) um domingo. 
 
 
 
(PMS – AGENTE DE TRÂNSITO – FGV 
2019) A figura abaixo mostra, à esquerda, uma 
malha triangular onde cada triângulo tem lado de 
1 unidade de comprimento e onde um ponto A 
está assinalado. À direita, as letras M, N, P, Q, R 
e S mostram direções e sentido de 6 movimentos 
possíveis, cada um de 1 unidade. 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
A partir do ponto A foi feita a seguinte sequência 
de movimentos: MNNMPQQ, chegando-se ao 
ponto B. 
A sequência de movimentos que, partindo de B 
chega-se ao ponto A, é 
 
a) RRR. 
b) RSR. 
c) SSS. 
d) SSR. 
e) RSS. 
 
 
 
(OFICIAL DA PROMOTORIA - MPSP - 
VUNESP 2016) A sequência ((3, 5); (3, 3, 3); (5; 
5); (3, 3, 5); ...) tem como termos sequências 
contendo apenas os números 3 ou 5. Dentro da 
lógica de formação da sequência, cada termo, que 
também é uma sequência, deve ter o menor 
número de elementos possível. Dessa forma, o 
número de elementos contidos no décimo oitavo 
termo é igual a 
 
a) 5. 
b) 8. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 7 
 
 
 
(TRF 4R – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC 
2019) Marcelo comprou ovos de Páscoa para 
cada idoso de uma casa de repouso. Sabe-se que 
há mais de 1 000 e menos de 1 200 idosos. 
Quando lhe perguntam quantos ovos comprou, 
ele diz apenas que o número de ovos comprados 
lido ao contrário é 9 vezes o número de ovos 
comprados. A soma dos algarismos do número de 
ovos de Páscoa comprados é 
 
a) 18 
b) 19 
c) 15 
d) 16 
e) 17 
 
 
 
 
 
(TRF - 3ª REGIÃO - Técnico Judiciário – 
Administrativa - FCC – 2019) Em uma urna há 
3 bolas verdes, 3 vermelhas, 3 azuis e 3 amarelas, 
todas iguais ao tato. São retiradas, ao acaso, 10 
bolas dessa urna. Então, com certeza, 
 
a) 3 bolas de mesma cor foram retiradas. 
b) 3 bolas verdes ou 3 bolas vermelhas foram 
retiradas. 
c) 2 bolas de cores distintas ficaram na urna. 
d) 3 bolas verdes, 3 bolas vermelhas e 3 bolas 
azuis foram retiradas. 
e) 3 bolas verdes foram retiradas. 
 
 
 
(TRF - 3ª REGIÃO - Técnico Judiciário – 
Administrativa - FCC – 2019) Ana, Beto e 
Carlos têm juntos 39 bolas de gude. Se Beto der 
5 bolas para Carlos, Carlos der 4 bolas para Ana 
e Ana der 2 bolas para Beto, os três ficam com a 
mesma quantidade de bolas. O número de bolas 
de Beto antes das trocas é 
 
a) 12. 
b) 15. 
c) 14. 
d) 13. 
e) 16. 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO – FGV 2021) Alan 
escreveu os números inteiros de 1 até 2021 em 
ordem crescente. A seguir, Alan riscou todos os 
números que eram múltiplosde 4. Depois, Alan 
riscou todos os números que eram adjacentes aos 
números riscados anteriormente. 
 
Ao final, a quantidade de números NÃO riscados 
foi: 
 
a) 506. 
b) 615. 
c) 809. 
d) 1212. 
e) 1515. 
 
 
 
 
82 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO – FGV 2021) 
Fernando, Gabriel e Hugo são médicos: um é 
cardiologista, outro é obstetra e outro é 
dermatologista, e dois deles são irmãos. Sabe-se 
que: 
 
• Fernando não é cardiologista. 
• Gabriel não é obstetra. 
• O irmão de Hugo é dermatologista. 
• O cardiologista não tem irmão. 
 
É correto concluir que: 
 
a) Fernando não é dermatologista. 
b) Hugo é obstetra. 
c) Gabriel é dermatologista. 
d) Hugo é cardiologista. 
e) Gabriel e Hugo são irmãos. 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) Os 16 
números inteiros de −4 até 11 são colocados em 
uma tabela 4 x 4, sem repetição, de modo que a 
soma dos números de cada coluna seja sempre a 
mesma. O valor dessa soma é 
 
a) 16. 
b) 15. 
c) 14. 
d) 13. 
e) 12. 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) De um 
conjunto de 8 cartas numeradas de 1 a 8, são 
dadas 2 cartas, aleatoriamente, a cada um dos 4 
amigos - Ari, Bia, Carol e Duda. 
A pontuação de cada um deles é a soma dos 
números das cartas recebidas. Sabe-se que as 
pontuações de Ari, Bia e Carol foram, 
respectivamente, 7, 12 e 13. 
É correto afirmar que 
 
a) Bia recebeu a carta 7. 
b) Carol recebeu a carta 8. 
c) Duda recebeu a carta 4. 
d) Bia recebeu a carta 6. 
e) Ari recebeu a carta 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. C 3. B 4. D 5. D 
6. A 7. A 8. C 9. B 10. D 
11. D 12. B 13. A 14. A 15. A 
16. E 17. A 18. B 19. C 20. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/JMZCXLJjKlM 
 
 
Os princípios aditivo e multiplicativo são a base 
para resolução de problemas de cálculo 
combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a 
distinção entre os dois princípios. 
 
Conjunção Faz ligação 
entre 
Operação 
Ou 
E 
hipóteses 
etapas 
adição 
multiplicação 
 
EXEMPLOS 
 
01. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 quantos 
números de 3 algarismos distintos podemos 
formar? 
 
 
02. Uma prova de Matemática consta de 15 
questões de múltipla escolha, tendo cada questão 
quatro opções de resposta: a, b, c ou d. De quantas 
maneiras diferentes pode ser preenchido o 
gabarito? 
 
 
 
03.Você possui 3 calças, 5 camisas e 2 pares de 
sapatos, todos diferentes, e pretende se arrumar 
para ir a uma festa. Diga de quantas formas 
diferentes poderá estar arrumado na festa? 
 
 
 
04. Valéria mora num país muito desenvolvido. 
Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas 
cidades vizinhas, B e C. Elas estão representadas 
no esquema a seguir. 
 
 
Valéria vai muito à cidade B. Às vezes, sem 
passar por C; outras vezes, passando primeiro por 
C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? 
 
 
 
 
05. Utilizando apenas os algarismos 1,3,4,6,7,8 e 
9, quantos números naturais podem ser formados, 
de 3 ou 4 algarismos? 
 
 
 
 
06. Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas 
são as possibilidades de chegada para os 3 
primeiros lugares? 
 
 
 
07. Cada faixa da bandeira da figura deve ser 
pintada de uma cor, escolhida entre 5 disponíveis. 
De quantas formas isso pode ser feito, de maneira 
que 
 
a) não seja repetida? 
 
 
b) duas faixas vizinhas não sejam de mesma cor? 
 
 
c) só a primeira e a última sejam de mesma cor? 
 
 
 
 
08. Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. 
Quantas sequências de resultados são possíveis? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
09. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 
tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de 
refrigerante. De quantas formas diferentes um 
cliente pode escolher? 
 
a) um comestível? 
 
 
b) uma bebida? 
c) um salgado e um refrigerante? 
 
 
d) um sanduíche e uma bebida? 
 
 
e) um comestível e uma bebida? 
 
 
10. Utilizando-se só os algarismos 1,2,4,6 e 8, 
formam-se todos os números de 4 algarismos. 
 
a) Qual é o total de números formados? 
 
 
 
b) Quantos não tem algarismo repetido? 
 
 
 
c) Quantos tem pelo menos um algarismo 
repetido? 
 
 
 
d) Quantos são pares? 
 
 
 
e) Quantos são maiores que 6.000 e não tem 
algarismo repetido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Três alunos chegaram atrasados a uma 
palestra. No auditório, só estão vazias 7 cadeiras. 
De quantas maneiras eles podem ocupar essas 
cadeiras? 
 
 
 
 
 
 
 
12. Ao entrar num cinema, 6 amigos encontraram 
uma fila de 6 poltronas livres. De quantas 
maneiras diferentes os amigos podem ocupar 
essas poltronas? 
 
 
 
 
13. Uma sala possui 6 portas. De quantas 
maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e 
sair por outra diferente? 
 
 
 
 
 
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL 
 
Se n é um número natural (n2), o produto de 
todos os naturais consecutivos, tomados de n até 
1, é chamado fatorial de n ( símbolo: n!) 
 
 
 n! = n(n – 1)(n – 2). ... 3.2.1 n2 
 
3! = 
=
!7
!9
 
 
Observações: 
1! = 1 
0! = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Permutação simples dos n elementos de um 
conjunto A é cada agrupamento ordenado que 
contém, sem repetição, os n elementos de A. 
 
 Pn = n! 
 
 
O clássico exemplo das FILAS 
 
De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem 
ser arrumadas em filas indianas? 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Consideremos todos os anagramas da 
palavra ALBERTO 
 
a) Qual é o total de anagramas? 
 
 
 
b) Quantos começam por B? 
 
 
 
c) Quantos têm as letras A, L, B juntas, nesta 
ordem? 
 
 
 
d) Quantos têm as letras A, L, B juntas,em 
qualquer ordem? 
 
 
02. Um carro tem 5 lugares, incluindo o do 
motorista. De quantos modos diferentes 5 pessoas 
podem ocupar os lugares do carro 
 
a) se todos sabem dirigir? 
 
 
b) se apenas um sabe dirigir? 
 
 
c) se apenas três sabem dirigir? 
 
 
03. De quantas maneiras é possível ordenar 2 
livros de Matemática, 3 de Português e 4 de 
Física, de modo que os livros de uma mesma 
matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de 
Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO 
 
 
!...!.!.
!,...,,
cba
n
P
cba
n = 
 
EXEMPLO: 
 
1. Quantos anagramas tem a palavra BANANA? 
 
 
 
 
2.Na figura representamos uma parte do mapa de 
uma cidade, onde existe um colégio na esquina A 
e um clube na equina B. Saindo do colégio e 
caminhando pelas ruas sempre em direção a B, 
quantos caminhos existem para chegar ao clube? 
 
 
 
03. (SEFAZ- RS – CESPE 2018 – TÉCNICO 
TRIBUTÁRIO) Se 7 kg de feijão forem 
distribuídos para até quatro famílias, de modo que 
cada uma delas receba um número inteiro de 
quilos, então, nesse caso, a quantidade de 
maneiras distintas de se distribuírem esses 7 kg 
de feijão para essas famílias será igual a 
 
a) 30. 
b) 120. 
 
 
 
86 
 
 
c) 330. 
d) 820. 
e) 1.320. 
 
04. (CESPE - 2013 - STF - Técnico Judiciário 
- Tecnologia da Informação) O colegiado do 
Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 
11 ministros, responsáveis por decisões que 
repercutem em toda a sociedade brasileira. No 
julgamento de determinados processos, os 
ministros votam pela absolvição ou pela 
condenação dos réus de forma independente uns 
dos outros. A partir dessas informações e 
considerando que, em determinado julgamento, a 
probabilidade de qualquer um dos ministros 
decidir pela condenação ou pela absolvição do 
réu seja a mesma, julgue o item seguinte. 
 
Se, no julgamento de determinado réu, 8 
ministros votarem pela absolvição e 3 ministros 
votarem pela condenação, a quantidade de 
maneiras distintasde se atribuir os votos aos 
diferentes ministros será inferior a 170. 
 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
 
( )!1)( −= mmPC 
 
EXEMPLO:Seja um conjunto com 4 pessoas. De 
quantos modos distintos estas pessoas poderão 
sentar-se junto a uma mesa circular para realizar 
o jantar sem que haja repetição das posições? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
Arranjos simples dos n elementos de um conjunto 
A, tomados p a p (pn), é cada agrupamento 
ordenado que contém, sem repetição, p 
elementos de A. 
 
 
( )!
!
,
pn
n
A pn
−
= 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Utilizando, sem repetição, os algarismos 1, 
3, 4,5, 6, 7 ou 9, quantos números distintos 
podemos formar 
 
a) de 4 algarismos? 
 
 
 
b) ímpares, de 3 algarismos? 
 
 
02. O número de telefones fixos de minha cidade 
tem 7 algarismos. Os 3 primeiros formam o 
prefixo, que começa por 41. Quantos telefones 
fixos podem ser instalados, em que os números 
não tem algarismo repetido? 
 
 
 
 
 
 
03. Cinco homens e uma mulher estão em uma 
sala de espera, onde há apenas um banco de cinco 
lugares. De quantas maneiras diferentes os 
homens podem sentar, nunca deixando em pé a 
mulher? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
 
Combinação simples dos n elementos de um 
conjunto A, tomados p a p (p n), é cada 
agrupamento não-ordenado que contém, sem 
repetição, p elementos de A. 
 
 
( )!!
!
,
pnp
n
C pn
−
= 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Tenho 5 amigos (A, B, C, D e E) e quero 
convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. 
Quantas alternativas eu tenho? 
 
 
 
 
 
02. Um grupo é formado por 7 alunos e 4 
professores. De quantos modos pode-se formar 
uma comissão de 
 
a) 5 pessoas? 
 
 
 
 
b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores? 
 
 
 
 
 
c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? 
 
 
 
 
 
d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor? 
 
 
 
 
 
03. (FESMIP) Considere o conjunto A = 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Os subconjuntos de A, com 
dois elementos distintos, que podem ser formados 
desse conjunto são 
 
a) 35 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
e) 5 
 
04. (CESPE) Há exatamente 495 maneiras 
diferentes de se distribuírem 12 funcionários de 
um banco em 3 agências, de modo que cada 
agência receba 4 funcionários. 
 
 
 
 
 
 
 
05.Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre 
outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 
pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 
pontos quaisquer do total desses pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
06. (CESPE 2013) Considerando que, em uma 
pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim 
ou não a cada uma de dez perguntas feitas pelos 
entrevistadores, julgue o item seguinte. 
 
Há menos de cem maneiras de um entrevistado 
responder sim a três perguntas e não às demais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
07. (EMBASA - IBFC 2017) Uma sorveteria 
dispõe de 5 sabores diferentes de sorvete de 
massa. O total de maneiras distintas que se pode 
saborear um sorvete com duas bolas, 
considerando que as bolas podem ser do mesmo 
sabor, é: 
 
a) 10 
b) 15 
c) 12 
d) 18 
 
 
 
 
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 
 
 
 ),1(, ppnpn
CCR −+= 
 
 
01. De quantas maneiras, uma oficina pode pintar 
cinco automóveis iguais, recebendo cada um, 
tinta de uma única cor, se a oficina dispõe apenas 
de três cores e não quer misturá-las? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANDO A ORDEM IMPORTA? 
 
EXEMPLOS: 
 
01. (CESPE) Se o diretor de uma secretaria do 
MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando um deles com um ingresso para 
cinema, outro com um ingresso para teatro e o 
terceiro com um ingresso para show, ele terá mais 
de 100 maneiras diferentes para fazê-lo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (CESPE) Se o diretor de uma secretaria do 
MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando cada um deles com um ingresso 
para teatro, ele terá mais de 24 maneiras 
diferentes para fazê-lo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
 
(SOLDADO PM – BA – IBFC 2020) Em uma 
prateleira de uma biblioteca, deseja-se dispor 4 
livros de maneiras distintas. Sabendo que a 
prateleira possui 10 espaços em que os livros 
podem ser colocados, assinale a alternativa que 
apresenta corretamente a quantidade de maneiras 
que esses livros podem ser dispostos nessa 
prateleira. 
 
a) 3628800 
b) 5040 
c) 151200 
d) 720 
e) 24 
 
 
 
(FISCAL DE SERVIÇOS– PMS – FGV 2019) 
Trocando-se a ordem das letras da sigla PMS de 
todas as maneiras possíveis, obtêm-se os 
anagramas dessa sigla. O número desses 
anagramas é 
 
a) 16. 
b) 12. 
c) 9. 
d) 8 
e) 6. 
 
 
 
(ESPECIALISTA POLÍTICAS PÚBLICAS– 
PMS – FGV 2019) Dentre todos os números 
naturais de 3 algarismos, a quantidade desses 
números que possui pelo menos um algarismo 5 
é 
 
a) 90. 
b) 184. 
c) 225. 
d) 240. 
e) 252. 
 
 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2020) Considere quatro cartões, cada um deles 
com uma das letras M, P, R, J e três urnas 
numeradas 1, 2 e 3. O número de maneiras 
diferentes de distribuir os quatro cartões pelas três 
urnas, de tal modo que uma das urnas fique com 
dois cartões e cada uma das outras duas urnas 
fique com um cartão, é: 
 
a) 36; 
b) 32; 
c) 24; 
d) 18; 
e) 12. 
 
 
 
(FGV 2017) Quatro pessoas, Ana, Bia, Célia e 
Dulce devem se sentar em quatro das seis 
poltronas representadas na figura abaixo. 
 
Sabendo que Ana e Bia devem se sentar uma ao 
lado da outra, o número de maneiras diferentes 
que elas quatro podem se sentar nessas poltronas 
é: 
 
a) 30; 
b) 60; 
c) 80; 
d) 120; 
e) 240. 
 
 
 
(BNB – CESPE 2018 – ANALISTA 
BANCÁRIO) A quantidade de números naturais 
distintos, de cinco algarismos, que se pode formar 
com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que 1 e 
2 fiquem sempre juntos e em qualquer ordem, é 
inferior a 25. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
90 
 
 
 
 
(ALERO ANALISTA LEGISLATIVO – FGV 
2018) Helena entra em uma sorveteria que 
oferece sorvetes de 8 sabores diferentes. Helena 
deseja escolher uma casquinha com duas bolas de 
sorvete não necessariamente de sabores 
diferentes. A ordem em que as bolas forem 
colocadas na casquinha não fará a escolha de 
Helena ser diferente. O número de maneiras de 
Helena escolher sua casquinha é 
 
a) 64. 
b) 56. 
c) 36. 
d) 28. 
e) 16. 
 
 
 
(SEPOG – RO – ESPECILAISTA EM 
POLÍTICAS PÚBLICAS – FGV 2017) 
Armando, Bárbara, Carlos e Deise foram ao 
cinema e vão ocupar quatro poltronas 
consecutivas em uma fila. Armando e Carlos não 
querem sentar um ao lado do outro. Nessas 
condições, o número de maneiras diferentes que 
eles podem ocupar as quatro poltronas é 
 
a) 24. 
b) 18. 
c) 15. 
d) 12. 
e) 8. 
 
 
 
(FGV 2017) Cinco pessoas de diferentes alturas 
devem ocupar as cinco cadeiras abaixo para uma 
fotografia. 
 
 
O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o 
mais alto ocupassem as cadeiras das 
extremidades. Respeitando essa condição, o 
número de maneiras como as pessoas podem se 
posicionar para a fotografia é 
 
a) 12. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 72. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO– FGV 2021) 
Seja N a quantidade de números inteiros pares, de 
dois algarismos, tais que o algarismo das dezenas 
é maior do que o algarismo das unidades. O valor 
de N é 
 
a) 45. 
b) 40. 
c) 30. 
d) 25. 
e) 20 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2. E 3. E 4. A 5. D 
6. E 7. C 8. D 9. D 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
 PROBABILIDADE 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/N1x1EH5visI 
 
Há certos fenômenos que, embora sejam 
repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, 
nãoapresentam os mesmos resultados. Por 
exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, 
o resultado é imprevisível; não se pode 
determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos 
se cairá “cara” ou “coroa”. Aos fenômenos desse 
tipo damos o nome de fenômenos aleatórios. 
 Pelo fato de não sabermos o resultado 
exato de um fenômeno aleatório é que buscamos 
os resultados prováveis, as chances, as 
probabilidades de um determinado resultado 
ocorrer. 
 Em um experimento aleatório, o conjunto 
formado por todos os resultados possíveis é 
chamado espaço amostral (U). Qualquer 
subconjunto do espaço amostral é chamado 
evento (E). 
 
EXEMPLOS: 
 
a) No lançamento de um dado, o espaço amostral 
é U = {1,2,3,4,5,6}; 
n(U) = 6 
 
b) No lançamento de uma moeda, o espaço 
amostral é U = {cara, coroa}; 
n(U) = 2 
 
c) No lançamento de dois dados, um após o outro, 
o espaço amostral é 
 
U = {(1,1), (1,2), (1,3), ... , (5,5), (5,6), (6,6)} 
n(U) = 36 (6 . 6) 
 
d) Baralho 
 
 
 
n(U)= 52 
 
52 cartas divididas em 4 naipes. 
CERTEZA E IMPOSSIBILIDADE 
 
0 ( ) 1P E  
 
EVENTO CERTO 
Quando um evento coincide com o espaço 
amostral, ele é chamado evento certo. P(E) = 1 
 
 
EVENTO IMPOSSÍVEL 
 
Quando um evento é vazio, ele é chamado evento 
impossível. P(E) = 0 
 
 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
 
A probabilidade de ocorrer um evento em um 
espaço amostral equiprovável é a razão entre o 
número de elementos do evento, n(E), e o número 
de elementos do espaço amostral n(U). 
 
P(E) = =
( )
( )
n E
n U
 
 
A probabilidade de ocorrer um evento em um 
espaço amostral equiprovável é a razão entre o 
número de elementos do evento, n(E), e o número 
de elementos do espaço amostral n(U). 
 
EXEMPLOS: 
 
01. No lançamento de um dado perfeito, qual é a 
probabilidade de sair número maior que 4? 
 
 
 
02. No lançamento simultâneo de 3 moedas 
perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de 
serem obtidas: 
 
a) pelo menos 2 caras? 
 
 
 
b) exatamente 2 caras? 
 
 
número de elementos de E 
número de elementos de U 
 
 
 
92 
 
 
03. (ESAF 2013) No quadro a seguir, tem-se a 
listagem dos 150 funcionários de uma empresa: 
 
 
Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários 
dessa empresa; a probabilidade de que uma 
mulher que desempenha a função de serviços 
gerais ganhe a bicicleta é igual a: 
 
a) 22% 
b) 23% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 21% 
 
04. Considere todos os números naturais de 4 
algarismos distintos que é possível formar com os 
algarismos 1,3,4,7,8 e 9. Escolhendo um deles ao 
acaso, qual é a probabilidade de sair um número 
que comece por 3 e termine em 7? 
 
 
 
 
05. Jogam-se dois dados, exatamente iguais e sem 
vícios, ambos tendo as faces numeradas de 1 a 6. 
A probabilidade de se obter a soma dos números 
dos dados igual a 5 é 
 
 
 
06. (CESPE) Pedro está jogando com seu irmão 
e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a 
probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 
9 pontos ao lançar esses dois dados? 
a) 
36
7
 
b) 
18
5
 
c) 
9
5
 
d) 
4
1
 
e) 
9
1
 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
 
1. P(ø) = 0 
 
2. P(A) = 1 - P(A) 
 
01. No lançamento simultâneo de dois dados 
perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de 
não sair soma 5? 
 
 
 
 
UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
 
P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Vamos retirar uma bola de uma urna que 
contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual é a 
probabilidade de retirarmos uma bola numerada 
com um divisor de 16 ou um divisor de 18? 
 
 
 
 
02. Numa pesquisa de opinião pública, foram 
entrevistadas 240 pessoas e verificou-se que 130 
pessoas praticam futebol, 80 praticam natação e 
60 praticam os dois esportes. Escolhida uma 
pessoa entrevistada ao acaso, qual a 
probabilidade de que ela 
 
 
 
 
 
 
 
a) pratique futebol? 
 
 
b) pratique natação? 
 
c) pratique futebol e natação? 
 
 
d) pratique futebol ou natação? 
 
 
 
 
93 
 
 
 
03. Em uma classe há 16 homens e 20 mulheres, 
sendo que metade dos homens e metade das 
mulheres tem cabelos castanhos. Ao escolher um 
aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja 
homem ou tenha cabelos castanhos? 
 
 
 
 
 
04. Em uma urna contem bolas numeradas de 1 a 
17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de 
ser retirada. Qual é a probabilidade de se retirar 
uma bola cujo número seja par ou primo? 
 
 
 
 
05. (IBFC 2014) Numa caixa vazia foram 
colocadas 10 fichas amarelas numeradas de 2 a 11 
e 15 fichas azuis numeradas de 3 a 17. Se foi 
retirada uma ficha dessa caixa, a probabilidade de 
a mesma conter um número par ou maior que 10 
é igual a: 
 
a) 68% 
b) 80% 
c) 62% 
d) 75% 
 
06. No lançamento de um dado, calcule a 
probabilidade de se obter face de número par ou 
face de número menor que 3. 
 
 
 
 
07. Uma moeda e um dado são lançados 
simultaneamente. Qual é a probabilidade de se 
obter “cara” ou um 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
P(A/B) é a probabilidade de ocorrer A dado que 
B já ocorreu. 
 
( )
( )
( )BP
BAP
BAP

=/ 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 
cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás 
vermelho” sabendo que ela é de “copas”? 
 
 
 
02. No lançamento de um dado, calcule a 
probabilidade de se obter face com número 
divisível por 2, sabendo-se que esse número é 
diferente de 6. 
 
 
 
03. Numa população de 500 pessoas, 280 são 
mulheres e 60 exercem a profissão de advogado, 
sendo 20 do sexo feminino. Tomando ao acaso 
uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de 
que, sendo mulher, seja advogada? 
 
 
 
04. Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade 
de se obter o 4 no primeiro dado, se a soma dos 
resultados é 9? 
 
 
 
05. (IBFC 2014) Numa urna vazia foram 
colocadas 16 bolas vermelhas numeradas de 1 a 
16 e foram colocadas 20 bolas azuis numeradas 
de 1 a 20. A probabilidade de sorteamos uma bola 
dessa urna e nela constar um número maior que 
11, sabendo que ela é vermelha, é igual a: 
 
a) 5/32 
b) 14/32 
c) 6/16 
d) 5/16 
 
 
 
 
94 
 
 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 
A e B são independentes se ocorrência de um 
deles não afetar a ocorrência do outro. 
 
P (A B) = P(A). P(B) 
 
 
EXEMPLOS: 
 
01. Em uma caixa temos 4 bolas brancas e 6 bolas 
pretas. Retirando-se duas bolas, com reposição, 
qual a probabilidade de que elas sejam pretas? 
 
 
 
 
02. São realizados dois lançamentos sucessivos 
de uma dado perfeito. Qual a probabilidade de 
ocorrer, nos dois casos, o número 5? 
 
 
 
 
 
03. Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 
estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 
11 por uma parasitose intestinal B, não se 
verificando nenhum caso de incidência conjunta 
de A e B. Duas pessoas desse grupo são 
escolhidas, aleatoriamente, uma após a outra. 
Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a 
primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda 
por B. 
 
 
04. Uma carta é retirada ao acaso de um baralho 
de 52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é 
lançada. Qual é a probabilidade de se obter: 
 
a) carta vermelha e cara? 
 
 
 
b) carta vermelha ou cara? 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 
knk pp
k
n
P −−





= )1.(. 
 
Esta expressão é conhecida como a lei binomial 
das probabilidades e só pode ser aplicada a 
experiências aleatórias com as seguintes 
características: 
 
1. A experiência é repetida um número n de 
vezes, nas mesmas condições. 
2. Em cada tentativa ocorre evento E (sucesso) ou 
evento E (fracasso). 
3. p e p – 1 são constantes em toda a experiência 
4. As tentativas são independentes uma das 
outras. 
 
01. (ESAF 2009) Ao se jogar um dado honesto 
três vezes, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de o número 1 sair exatamente uma 
vez? 
 
a) 35% 
b) 17% 
c) 7% 
d) 42% 
e) 58%02. (CESGRANRIO) São lançadas 4 moedas 
distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de 
resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? 
 
a) 50% 
b) 44,5% 
c) 42% 
d) 37,5% 
e) 25% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
 
 
 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2020) Em um dado viciado, cada algarismo par 
tem probabilidade de ocorrência o dobro da 
probabilidade de ocorrência de cada algarismo 
ímpar. Esse dado é lançado duas vezes. A 
probabilidade de a soma dos números obtidos nos 
dois lançamentos ser igual a 4 é: 
 
a) 2/81 
b) 1/27 
c) 4/81 
d) 5/81 
e) 2/27 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Sorteando aleatoriamente 
um número do conjunto {1, 2, 3, ..., 49, 50}, a 
probabilidade de ele seja múltiplo de 4 ou de 6 é 
de 
a) 0,26. 
b) 0,28. 
c) 0,30. 
d) 0,32. 
e) 0,40. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Em uma urna, há 
bolas pequenas e bolas grandes, sendo 75% 
pequenas e as demais são grandes. Das bolas 
pequenas, 20% são azuis e as demais são 
vermelhas e, das bolas grandes, 60% são azuis e 
as demais são vermelhas. Retira-se, 
aleatoriamente, uma bola da urna e constata-se 
que ela é azul. A probabilidade de a bola retirada 
ser pequena é de 
 
a) 20%. 
b) 25%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO– FGV 2021) 
Em uma caixa há 7 fichas numeradas com 1, 3, 4, 
6, 7, 8, 9. Retira-se aleatoriamente uma ficha da 
caixa, anota-se o número e a mesma é, então, 
recolocada na caixa. A seguir, retira-se, também 
aleatoriamente, uma ficha da caixa e anota-se o 
número. A probabilidade de o produto dos dois 
números sorteados ser par é: 
 
a) 33/99 
b) 16/49 
c) 14/49 
d) 4/7 
e) 3/7 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO – FGV 2021) Em um 
grupo de pessoas de uma pequena cidade, 30 
acessam o site A e 24 acessam o site B. Alguns 
acessam os dois sites. Sorteando ao acaso uma 
das pessoas que acessam o site A, a probabilidade 
de que ela também acesse o site B é 60%. 
Sorteando ao acaso uma das pessoas que acessam 
o site B, a probabilidade de que ela também 
acesse o site A é: 
 
a) 25%. 
b) 40%. 
c) 50%. 
d) 60%. 
e) 75%. 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) Gabi e 
Luana têm, cada uma delas, 3 bolas coloridas: 
uma branca, uma azul e uma vermelha. Há 3 
caixas e Gabi e Luana colocam, cada uma delas 
de forma aleatória e independente, uma bola em 
cada caixa. A probabilidade de pelo menos uma 
caixa ter ficado com 2 bolas da mesma cor é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 2/3 
e) 3/4 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
96 
 
 
 
 
(ALERO - FGV 2018 – ASSISTENTE 
LEGISLATIVO TEC INFORMÁTICA) 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, 
estão sentadas em volta de uma mesa redonda. 
Entre Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 
pessoas pelo outro. Uma das pessoas da mesa é 
sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa 
pessoa sorteada não seja nem Artur, 
nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
 
 
 
(ANALISTA DE GESTÃO – PREFEITURA 
DE RECIFE – FCC 2019) Em um censo 
realizado em uma cidade em que são consumidos 
somente os sabonetes de marca X, Y e Z, verifica-
se que: 
 
I. 40% consomem X. 
II. 40% consomem Y. 
III. 47% consomem Z. 
IV. 15% consomem X e Y. 
V. 5% consomem X e Z. 
VI. 10% consomem Y e Z. 
VII. qualquer elemento da população consome 
pelo menos uma marca de sabonete. 
 
Então, escolhendo aleatoriamente um elemento 
dessa população, a probabilidade de ele consumir 
uma e somente uma marca de sabonete é igual a 
 
a) 80%. 
b) 76%. 
c) 79%. 
d) 70%. 
e) 60%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ANALISTA DE PLANEJAMENTO – 
PREFEITURA DE RECIFE – FCC 2019) Um 
levantamento é realizado em um clube que 
oferece aos seus associados somente três 
modalidades de esporte: Futebol, Basquete e 
Vôlei. Verificou-se que 70% dos sócios gostam 
de Futebol, 65% gostam de Basquete, 38% 
gostam de Vôlei, 10% gostam das três 
modalidades oferecidas e 2% não gostam de 
qualquer modalidade oferecida pelo clube. 
Escolhendo aleatoriamente um sócio do clube, a 
probabilidade de ele gostar de duas e somente 
duas das modalidades oferecidas é de 
a) 60%. 
b) 65%. 
c) 45%. 
d) 40%. 
e) 55%. 
 
 
 
(SEPLAG NITEROI- ANALISTA DE 
POLÍTICAS PÚBLICAS – FGV 2018) 
Considere todas as senhas formadas por três 
vogais maiúsculas. São exemplos dessas senhas: 
EEE, OIA e UAU. Dentre todas as senhas desse 
tipo, escolhendo ao acaso uma delas, a 
probabilidade de que ela tenha duas letras iguais 
e uma diferente é de 
 
a) 36%. 
b) 40%. 
c) 44%. 
d) 48%. 
e) 52%. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. E 2. D 3. E 4. A 5. E 
6. D 7. C 8. B 9. E 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
 
 GEOMETRIA BÁSICA 
 
LINKS DESSA AULA: 
https://youtu.be/n8Sj1IasxVw 
https://youtu.be/exx-kzsm5P4 
https://youtu.be/PuBG8lMUsu0 
https://youtu.be/rfrlxiMCNUE 
 
 
1. ÂNGULO 
 
1.1. Definição 
 
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada 
por duas semi-retas que partem de um mesmo 
ponto. 
 
 
Indica-se por: AÔB ou α. 
 
Em que: 
OA e OB são os lados do ângulo; 
O é o vértice do ângulo. 
 
1.2. Ângulo agudo 
 
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo 
reto. 
 
 
1.3. Ângulo obtuso 
 
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo 
reto e menor que a de um raso. 
 
 
1. 4 Ângulos opostos pelo vértice 
 
 
α e γ são opostos pelo vértice. 
θ e β são opostos pelo vértice. 
 
Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas 
iguais, ou seja, são congruentes. 
 
1. 5 Bissetriz de um ângulo 
 
Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem 
no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos 
congruentes. 
 
 
 
 α = β 
 
1. 6 Ângulos formados por duas retas paralelas 
interceptadas por uma transversal 
 
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma 
transversal, determinam oito ângulos, assim 
denominados: 
 
ângulos correspondentes: a e α, b e β, c e γ, d e θ; 
ângulos alternos internos: c e α, d e β; 
ângulos alternos externos: a e γ, b e θ; 
ângulos colaterais internos: c e β, d e α; 
ângulos colaterais externos: a e θ, b e γ; 
 
https://youtu.be/n8Sj1IasxVw
https://youtu.be/exx-kzsm5P4
https://youtu.be/PuBG8lMUsu0
 
 
 
98 
 
 
Propriedades: 
 
Ângulos alternos internos são congruentes. 
Ângulos alternos externos são congruentes. 
Ângulos correspondentes são congruentes. 
Ângulos colaterais internos são suplementares. 
Ângulos colaterais externos são suplementares. 
 
2. TEOREMA DE TALES 
 
Um feixe de paralelas determina, em duas 
transversais quaisquer, segmentos 
que são proporcionais. 
 
Posto isso, teremos: 
EF
DE
BC
AB
= 
3. POLÍGONOS 
 
3.1. Nomenclatura 
Seja o polígono da figura: 
 
 
 
Em que: 
 
A, B, C e D são os vértices do polígono. 
AB, BC, CD e DA são os lados do polígono. 
 
Alguns tipos de polígonos convexos: 
triângulo – 3 lados 
quadrilátero – 4 lados 
pentágono – 5 lados 
hexágono – 6 lados 
decágono – 10 lados 
icoságono – 20 lados 
 
 
3.2. Número de diagonais de um polígono 
 
O número de diagonais d de um polígono de n 
lados é dado por: 
 
 
 
 
2
)3( −
=
nn
d 
 
3.3. Soma das Medidas dos ângulos Internos e 
Externos 
 
 
→ Soma dos ângulos internos de um polígono: 
Si = i1+i2+...+in = (n-2).180º 
→ Soma dos ângulos externos de um polígono: 
Se = e1+e2+...+en = 360º 
 
Observação: 
→ Se o polígono for regular, ele tem todos os 
lados e os ângulos congruentes, 
logo: 
ângulo interno de um polígono de n lados: 
n
Si 
ângulo externo de um polígono de n lados: 
n
360
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
 
4. TRIÂNGULOS 
 
4.1. Classificação: 
 
Eqüilátero: tem os três lados iguais e os três 
ângulos iguais (60º). 
 
 
Isósceles: tem dois lados iguais e dois ângulos 
iguais. 
 
Escaleno: os três lados sãodiferentes e também 
os três ângulos. 
 
4.2. Relações no triângulo qualquer: 
 
 
 
 
1) Qualquer lado é menor que a soma dos outros 
dois: 
a < b + c 
b < a + c 
c < a + b 
 
2) A soma dos ângulos internos é 180°: 
 
 
4.3. Mediana 
 
É o segmento que une um vértice ao ponto 
médio do lado oposto. 
 
 
 
4.4. Altura 
 
É o segmento que parte de um vértice e é 
perpendicular ao lado oposto. 
 
 
4.5. Bissetriz 
 
A bissetriz do ângulo  divide este ângulo em 
duas partes iguais e intercepta o lado oposto no 
ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz 
interna relativa ao vértice A. 
 
 
 
Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do 
ângulo interno de um triângulo determina sobre o 
lado oposto dois segmentos proporcionais aos 
outros dois lados. 
Da figura acima, temos: 
AC
AB
DC
BD
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
 
4.6. Semelhança de Triângulos 
 
Dois triângulos ABC e A’B’C’ são dito 
semelhantes, se: 
 
Os ângulos correspondentes forem congruentes 
(A = Â', B = B’ e C= C’) 
 
Os lados correspondentes forem proporcionais 
(
''' c
c
b
b
a
a
== ). 
 
 
4.7. Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
a – hipotenusa 
b e c – catetos 
h – altura relativa a hipotenusa 
m e n – projeções dos catetos sobre a hipotenusa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→Relações métricas 
 
1) bc = ah 
 
2) h2 = m.n 
 
(cat)2=(projeção). (hipotenusa) 
 
3) b2 = n. a 
 
4) c2 = m. a 
 
 
→Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
 
 
 
 
 
 
(PMS – AGENTE DE TRÂNSITO – FGV 
2019) A figura a seguir mostra dois polígonos 
regulares iguais, com um vértice em comum e 
apoiados em uma mesma reta. 
 
 
 
Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um 
polígono de n lados é dada por S = 180° (n – 2). 
A medida do ângulo assinalado com a letra α é 
 
a) 32º 
b) 36° 
c) 40° 
d) 48° 
e) 72° 
 
 
 
(FGV2017) A figura a seguir mostra um rio de 
margens retas e paralelas. 
 
João, que está em uma das margens, gostaria de 
obter uma medida aproximada da largura do rio. 
Para isso, adotou o seguinte procedimento: 
 
• buscou um ponto de referência na 
margem oposta encontrou a pedra P; 
 
• fixou uma estaca no ponto A, de forma 
que AP fosse perpendicular ao rio; 
 
• caminhou paralelamente ao rio, fixou 
uma estaca em B e depois outra em C; 
 
• a partir de C, caminhou 
perpendicularmente ao rio até que, no 
ponto D, viu as estacas B e P alinhadas 
com D; 
 
• fixou mais uma estaca nesse ponto e, com 
uma trena, mediu as distâncias AB = 20m, 
BC = 6m e CD = 8,4m. 
 
A distância, em metros, de A até P é de 
 
a) 22,6. 
b) 24,0. 
c) 25,5. 
d) 27,2. 
e) 28,0. 
 
 
 
(ALERO - FGV 2018 – ASSISTENTE 
LEGISLATIVO) O piso de uma sala retangular 
com 6 metros de comprimento e 4 metros de 
largura será revestido com placas quadradas de 
cerâmica que têm, cada uma, 20 centímetros de 
lado. Assinale a opção que indica o número de 
placas necessárias para esse revestimento. 
a) 120. 
b) 240. 
c) 300. 
d) 400. 
e) 600. 
 
 
 
(BANESTES- FGV 2018 – ANALISTA 
ECONÔMICO FINANCEIRO) O piso de uma 
sala é representado pelo polígono da figura 
abaixo, onde dois lados consecutivos são sempre 
perpendiculares. As medidas indicadas na figura 
estão em metros. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
103 
 
 
 
 
A área dessa sala, em metros quadrados, é: 
 
a) 24; 
b) 26; 
c) 28; 
d) 30; 
e) 32. 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) A Figura 1 abaixo mostra 
um pentágono regular de lado. Cinco triângulos 
equiláteros de lado α /2 foram construídos de 
forma que cada lado de um triângulo esteja no 
centro de um lado do pentágono. A Figura 2 
mostra um desses triângulos. Em seguida, os 
cinco triângulos equiláteros foram recortados da 
figura inicial e o resultado está na Figura 3. 
 
 
 
 
O perímetro da Figura 3 é 
 
a) 10 α. 
b) 15 α/2. 
c) 15 α. 
d) 20 α. 
e) 25 α/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Observe a figura 
desenhada no plano cartesiano: 
 
 
 
A área dessa figura é 
 
a) 28. 
b) 29. 
c) 31. 
d) 33. 
e) 34. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Débora fez uma 
maquete de um condomínio na escala 1:150. No 
condomínio há uma praça quadrada com 900 m2 
de área. Na maquete, essa praça é um quadrado 
de lado 
 
a) 30 cm. 
b) 27 cm. 
c) 25 cm. 
d) 20 cm. 
e) 15 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO– FGV 2021) A 
área de um retângulo aumentou 20% e sua base 
diminuiu 20%. Em relação à altura do retângulo 
original, a altura atual é 
 
a) a mesma. 
b) 20% maior. 
c) 40% maior. 
d) 50% maior. 
e) 100% maior. 
 
 
 
(FGV 2015) A região sombreada na figura é 
conhecida como “barbatana de tubarão” e foi 
construída a partir de um quadrante de círculo de 
raio 4 e de um semicírculo. 
 
 
A área dessa “barbatana de tubarão” é: 
 
a) 2 
b) 
2
5
 
c) 3 
d) 
2
7
 
e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2016) Carlos tem um terreno retangular 
com 15 metros de largura e 40 metros de 
comprimento. Amostras feitas no local indicam 
que há, em média, três formigas por centímetro 
quadrado no terreno de Carlos. O número 
aproximado de formigas no terreno de Carlos é 
 
a) 18 mil. 
b) 180 mil. 
c) 1 milhão e 800 mil. 
d) 18 milhões. 
e) 180 milhões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2. E 3. E 4. E 5. B 
6. C 7. D 8. D 9. A 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
LINKS DESSA AULA: 
 
https://youtu.be/5UMQHBqleXE 
https://youtu.be/_9bXPs3yTRc 
https://youtu.be/iquGhavUI4U 
 
 
1. ESTATÍSTICA 
 
 Trata-se de um ramo da Matemática Aplicada, uma metodologia, uma técnica científica, adotada 
para se trabalhar com dados, ou seja, com elementos de pesquisa. Esta metodologia, este método, consiste 
em uma série de etapas, iniciando pela coleta das informações (dos dados) que após coletadas, passarão por 
uma organização e apresentação. Chegamos, daí, a uma fase complementar, na qual se dará a análise 
daqueles dados (já organizados e descritos). Ora, esta análise dos dados coletados funcionará como um 
meio, pelo qual chegaremos a uma conclusão. Esta por sua vez, ensejará uma tomada de decisão. 
 
2. POPULAÇÃO 
 
 Também chamada de Conjunto Universo. É aquele conjunto do qual desejamos extrair a 
informação, e cujos elementos tem, pelo menos, uma determinada característica comum, a qual está 
inserida no contexto daquilo que desejamos pesquisar. 
 
3. AMOSTRA 
 
Parte não nula da população, mas menor do que esta última. 
Para as definições a seguir, considere os n valores x1, x2, ..., x3. 
 
4. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
4.1 MÉDIA ARITMÉTICA: 
É o número x
−
 dado por 
1 2 ... nx x xx
n
− + + +
= 
Média Aritmética Ponderada: 
n
nn
ppp
xpxpxp
X
...
...
21
2211
__
++
+++
= 
4,2. MÉDIA GEOMÉTRICA: gX
__
( é a raiz índice n do produto dos n números) 
n
n
n
ig XXXXXX ..... 321
__
== 
 
 
4.3. MÉDIA HARMÔNICA: hX
__
( é o inverso da média aritmética dos inversos dos números) 
ni
h
XXXX
n
X
n
X
1
...
1111
321
__
++++
=






=

 
 
https://youtu.be/5UMQHBqleXE
https://youtu.be/_9bXPs3yTRc
 
 
 
106 
 
 
4.4. ROL E FREQUÊNCIA DE UM ELEMENTO EM UM ROL 
 
O rol é uma sequência obtida a partir dos valores dados, ordenando-os de forma crescente ou decrescente. 
A frequência de um elemento no rol é a quantidade de vezes que esse elemento aparece no rol. 
 
 
4.5 MEDIANA DE UM ROL 
 
É o termo central do rol. Para obtê-la, caso n seja ímpar, devemos obter o elemento que ocupa 
a posição 
1
2
n+ 
 
 
do rol; caso n seja par, devemos calcular a média aritmética dos elementos 
que ocupam as posições 
2
n  
 
e 1
2
n 
+ 
 
. Por exemplo, no rol (1, 2, 3, 3, 6), a mediana é 3, pois é o elemento 
que ocupa a posição 
5 1
3
2
+
= ; caso o rol fosse (1, 2, 2, 3, 3, 6), a mediana seria 
2 3
2,5
2
+
= , ou seja, a média aritmética do 
6
3
2
= ª e 
6
2
+ 1 = 4 elementos do rol. 
 
4.6. MODA 
 
É o valor que possui a maior frequência, ou seja, é o valor que aparece uma quantidade maior de 
vezes, em relação aos demais. 
 
 
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Vamos analisar a seguinte situação: 
 
Duas candidatas, A e B, concorrem a uma vaga em uma empresa multinacional e, para tanto, devem fazer 
quatro provas valendo de 0 a 10 cada uma delas. O resultado aparece na tabela seguinte: 
 
 Inglês Rac. Lógico Português Informática 
CANDIDATA A 6,0 5,0 5,0 4,0 
CANDIDATA B 8,0 9,0 0,0 3,0 
 
 
Podemos concluir que: 
 
Média Aritmética da candidata A = 5,0 
Média Aritmética da candidata B = 5,0 
 
Querendo contratar uma delas, a empresa opta então pela que teve os seus resultados mais próximos 
da média, ou seja, aquela que teve o desempenho mais regular. 
 Para isso, veremos as medidas de dispersão, que são as que indicam o afastamento dos elementos 
dentro de um rol numérico em relação à média aritmética. São duas as medidas de dispersão, que veremos 
a seguir. 
 
 
 
 
 
107 
 
 
5.1 VARIÂNCIA 
 
É o número 2 , obtido pela média dos quadrados das diferenças entre os valores do rol e a média 
aritmética desses valores, ou seja: 
2
__
2
Xi X
n

 
− 
 =

 
 
Variância da candidata A: 
 
 
Variância da candidata B: 
 
 
5.2. DESVIO PADRÃO 
 
Para uma melhor interpretação para a proximidade dos valores em relação à média, foi definido o desvio 
padrão, obtido pela raiz quadrada da variância. Assim, temos 
 
var iância = 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0; 
2. Quanto mais próximo de 0 é desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável; 
3. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
 
 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL– FGV 2021) Um 
grupo de 10 amigos, em que o mais novo tem 55 
anos, constatou que a média de suas idades é 64 
anos. Se o mais novo e o mais velho saírem do 
grupo, a média das idades dos oito restantes 
continua sendo 64. A idade do mais velho é 
 
a) 69. 
b) 70. 
c) 71. 
d) 72. 
 e) 73 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO– FGV 2021) A 
mediana dos sete números 9, 2, 5, 3, 13, x, 5 é x. 
A média desses números é 
 
a) 5. 
b) 5,5. 
c) 6. 
d) 6,5. 
e) 7. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Sabe-se que x é 
maior do que 11 e que a diferença entre a média 
e a mediana dos cinco números 2, x, 11, 16, 5 é 
igual a 2. O valor de x é 
 
a) 12. 
b) 16. 
c) 21. 
d) 26. 
e) 31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Em um conjunto 
de 12 números, a média de 4 deles é 15 e a média 
dos outros 8 é 18. A média dos 12 números é 
 
a) 17. 
b) 16,8. 
c) 16,5. 
d) 16. 
e) 15,5. 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) A média de 6 números é 
33. Um deles foi retirado e a média dos outros 
passou a ser 31.Assinale a opção que indica o 
número que foi retirado. 
 
a) 35. 
b) 37. 
c) 39. 
d) 41. 
e) 43. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. E 2. C 3. E 4. A 5. E 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS