FunçõesTranscendentes pdf

Prévia do material em texto

Funções Transcendentes 
 Logaritmo definido como uma integral 
 O logaritmo natural de um número positivo x, escrito na forma lnx, é o 
valor da integral: 
 Usando retângulos para obter 
 aproximações finitas da área sob 
 a curva y = 1/t, ao longo do intervalo 
 1 < t < x, pode-se aproximar os 
 valores da função lnx. 
1 
0
1
ln
1
  xdtt
x
x
Funções Transcendentes 
 Definição do número e 
 O número e é o número no domínio do logaritmo natural que satisfaz: 
 Geometricamente, o número e corresponde ao 
 ponto no eixo x para o qual a área sob a curva 
 y = 1/t e acima do intervalo 1 < t < e é unitária. 
 Derivada da função ln(x) 
 Vista anteriormente a partir da derivada de funções inversas. 
 
  0com
1
||ln  x
x
x
dx
d
 Utilizando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo: 
2 
1
1
ln
1
  dtt
e
e
x
dt
tdx
d
x
dx
d
x
11
)(ln
1









 
Funções Transcendentes 
 Assim a função y = lnx é uma solução para o problema de valor inicial: 
 Características do gráfico da função ln(x) 
 A primeira derivada é positiva para x > 0, o que significa que a função 
 é crescente em x. 
 A segunda derivada é negativa, o que significa que o gráfico da função 
 é côncavo para baixo. 
 
 
 Propriedades da função ln(x) (vistas anteriormente) 
 
Com a > 0 e x > 0 
3 
0)1(e0com
1
 yx
xdx
dy
Funções Transcendentes 
 A integral 
A equação leva à seguinte fórmula integral: 
onde u é uma função derivável não nula. Esta 
expressão diz o que precisa ser feito para o caso 
de integrais de potências onde n = -1. 
Assim se u = f(x), du = f’(x) dx e: 
  0com1ln  x
x
x
dx
d
sempre que f (x) for uma função derivável que mantenha sinal constante 
ao longo de seu domínio. 
4 
CuCxfdx
xf
xf
du
u


  ln)(ln)(
)(1
Cudu
u
 ln
1
du
u
1
Funções Transcendentes 
 Exemplo: Calcule a integral: 




d
sen


2/
2/
23
cos4







5
2
1
2
cos2;sen23
ueu
dduu





5ln2ln2
2 5
1
5
1
 uu
du
Fazendo: tem-se que: 
 As funções lnx e ex 


)(lnlim 1 x
x
0)(lnlim 1 

x
x
5 
Funções Transcendentes 
 O número “e” pode ser elevado a um expoente racional r da maneira 
 habitual. Assim, se e é positivo, er também o é. Assim, er possui um 
 logaritmo: 
Uma vez que lnx é injetora e ln(ln-1r) = r, tem-se: )exp(ln 1 rrer  
Assim, para qualquer número real x, tem-se: )exp()(ln 1 xxex  
Lembrar que: 






xxe
xxe
x
x
qualquerpara;)ln(
0;ln
6 
rerer  lnln
Funções Exponencial Natural 
 Derivada da função ex : 
 Integral da função ex : 
Pela Regra da Cadeia, se u é uma função derivável de x, tem-se: 
dx
du
e
dx
ed u
u

)(
Pela Regra da Cadeia, tem-se: 
7 
x
x
e
dx
ed

)(
Cedxe xx 
Cedue uu 
Função Exponencial Natural 
 Leis dos expoentes (vistas anteriormente) 
 
 Para todos os números x, x1 e x2, a exponencial natural obedece as 
 seguintes leis: 
 
 
8 
2121 xxxx eee


x
x
e
e
1

122121 )()(
xxxxxx
eee 
21
2
1
xx
x
x
e
e
e 

Função Exponencial Geral 
 Derivada da função exponencial geral ax: 
 Integral da função ax : 
Pela Regra da Cadeia, se a > 0 e u é uma função derivável de x, tem-se: 
Pela Regra da Cadeia, tem-se: 
Como ax = e(x lna) as leis também se aplicam às exponenciais gerais. 
9 
aa
dx
ad x
x
ln
)(

C
a
a
dua
u
u  ln
dx
du
aa
dx
ad u
u
)(ln
)(

C
a
a
dxa
x
x  ln
Função Logaritmo – Base a 
 Derivada da função logaritmo na base a: 
Pela Regra da Cadeia, se u é uma função positiva derivável de x, tem-se: 
 Regras da função logaritmo na base a: mesmas da função logaritmo 
 natural. 
10 
xadx
xd a 1
ln
1)(log







dx
du
uadx
ud a 1
ln
1)(log







Funções Hiperbólicas 
 Formadas a partir de combinações de funções exponenciais. 
 Simplificam expressões matemáticas. 
 São importantes em muitas aplicações práticas como no caso da 
 tensão em cabos suspensos pelas extremidades. 
 
Função Exponencial: parcela par + parcela ímpar 
,
ímparfunçãoumaé)()(Se
parfunçãoumaé)()(Se





fxfxf
fxfxf
Lembrando que: 
pode-se dizer que toda função f que seja definida em um intervalo centrado na 
origem pode ser escrita, de maneira única, como a soma de uma função par 
com uma função ímpar. 
2
)()(
2
)()(
)(
xfxfxfxf
xf




Parcela par Parcela ímpar 11 
Funções Hiperbólicas 
Escrevendo a função exponencial dessa forma, tem-se: 
 Tangente hiperbólica: 
22
)(
xxxx eeee
xf
 



Cosseno hiperbólico (cosh x) 
 
Parcela par Parcela ímpar 
Seno hiperbólico (senh x) 
 Definições 
 Cotangente hiperbólica: 
12 
xx
xx
ee
ee
x
x
x





cosh
senh
tanh
xx
xx
ee
ee
x
x
x





senh
cosh
cotgh
Funções Hiperbólicas 
 Secante hiperbólica: 
 Gráficos 
 Cossecante hiperbólica: 
 y = senhx y = coshx y = tanhx e y = cotghx 
 13 
xx eex
x


2
senh
1
cosech
xx eex
xh


2
cosh
1
sec
Funções Hiperbólicas 
 Identidades: similares às identidades das funções trigonométricas 
 Gráficos 
 y = sechx y = cosechx 
14 
1senhcosh 22  xx
xx 22 sech1tgh 
))(coshsenh(22senh xxx 
2
12cosh
cosh2


x
x
2
12cosh
senh2


x
x
xxx 22 senhcosh2cosh 
xx 22 cosech1cotgh 
Funções Hiperbólicas 
 Derivadas e Integrais 
 Prova: 








 








 


22
22
22
senhcosh
xxxx eeee
xx
  )22(
4
1
)22(
4
1 222222 xxxxxx eeeeee
xee xx 2cosh)(
2
1 22  
Como as funções hiperbólicas são combinações racionais das funções deriváveis ex 
e e-x, elas possuem derivadas em todos os pontos nos quais elas são definidas. 
xxx 2coshsenhcosh 22 
15 
Funções Hiperbólicas 
Derivadas 
dx
du
u
dx
duee
u
dx
d
dxduedxdueee
dx
d
u
dx
d
uu
uuuu
senh
2
cosh
22
cosh












 



 Prova da derivada da função coshu 
dx
du
uug
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
2sechht
senhcosh
coshsenh



dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
cotghcosechcosech
tghsechsech
cosechcotgh 2



16 
Funções Hiperbólicas 
 Integrais 
Cugduu
Cuduu
Cuduu






htsech
senhcosh
coshsenh
2
Cuduuu
Cuduuu
Cuduu






cosechcotghcosech
sechtghsech
cotghcosech2
 Exemplo 1: Determine as integrais a seguir: 
a. dxx
1
0
2senh 







 
1
0
1
0
1
0
cosh2
2
1
2
1cosh2
dxdxxdx
x
2
1
4
senh2
1
2
senh2
2
1
senh2
2
1
2
1
1
0












 xx
17 
Funções Hiperbólicas 
b. dxxe
x senh4
2ln
0
 dxedx
ee
e x
xx
x
 




 

 2ln
0
2
2ln
0
)22(
2
4
)0()2ln2()2(2)2( 02ln2
2ln
0
2
2ln
0
2ln
0
2   eexedxdxe
xx
2ln2312ln24 
c. dt
t
t

2
1
)(lncosh
dt
t
tt
dt
t
ee tt
 




 





 

 2
1
2
1
lnln
2
1
2
2
1
12
1
2
2
1
2
1
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1












 




t
tdttdtdt
t
t
 
4
3
2
14
2
1
11
2
1
2
1
2
2
1





 







18 
Funções Hiperbólicas 
 Exercício 1: Resolva as integrais abaixo: 



d2
4
4
sec)cosh(tan

 Exercício 2: Encontre dy/dx : 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
dxx
4ln
2ln
cotgh
Resp: e1 – e-1 
Resp: ln(5/2) 
)2(lncosech)14( 2 xxy 
dy/dx = 4 
19 

1
0
)(cosh dttt Resp: 11cosh1senh 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Inversa da função seno hiperbólico 
Como 
 Inversa da função cosseno hiperbólico 
:0coshsenh  xx
dx
d
a função senh x é uma função crescente. 
Sua inversa é dada por: xy senharg
Domínio: -∞ < x < ∞ 
A função y = cosh x só é injetora se x ≥ 0 
Sua inversa é dada por: xy cosharg
Paracada valor x ≥ 1: 0 ≤ y ≤ ∞ 
Domínio da inversa 
20 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Inversa da função secante hiperbólica 
 Inversas das demais funções hiperbólicas 
Assim como a função y = cosh x , a função 
y = sech x só é injetora se x ≥ 0 
Sua inversa é dada por: xy secharg
Domínio: x ≥ 1 
As funções são injetoras em seus domínios: possuem inversas 
21 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Identidades Úteis 
 Derivadas 
)/1(tghargcotgharg
)/1(senhargcosecharg
)/1cosh(argsecharg
xx
xx
xx



1
1
1
)ht(arg
1
1
1
)cosh(arg
1
1
)senh(arg
2
2
2








u
dx
du
u
ug
dx
d
u
dx
du
u
u
dx
d
dx
du
u
u
dx
d
22 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Derivadas 
0
1
)cosech(arg
10
1
)sech(arg
1
1
1
)cotgh(arg
2
2
2











u
uu
dxdu
u
dx
d
u
uu
dxdu
u
dx
d
u
dx
du
u
u
dx
d
 Prova da Derivada da função y = arg cosh x 
Seja y = arg cosh x  x = cosh y. Derivando implicitamente com relação a x: 
1
1
1cosh
1
senh
1
22 



xyydx
dy
dx
du
u
u
dx
d
1
1
)cosh(arg
2 

Generalizando 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Integrais 








































22
22
22
22
22
se
a
cotgharg
1
se
a
tgharg
1
0
a
cosharg
0
a
senharg
auC
u
a
auC
u
a
ua
du
auC
u
au
du
aC
u
ua
du
0;0
a
cosecharg
1
0
a
secharg
1
22
22












auC
u
auau
du
auC
u
auau
du
24 
Funções Hiperbólicas Inversas 
a. 
 
 
 
b. 
 
 Exercício1: Resolva as integrais abaixo: 


3/1
0
291
dx6
x


e
xx1
2)(ln1
dx
 Exercício 2: Determine a área de superfície gerada a partir do giro da 
 curva abaixo em torno do eixo x: 
ln(81))ln(16com
4
cosh4  x
x
y


 22,79
9
455
)ln(616 S
Resp: 1,76 
Resp: 0,88 
25 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Cálculo de funções hiperbólicas inversas, expressando-as como logaritmos 
26