Estruturas Algebricas

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A
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Estruturas 
Algébricas
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Estruturas algébricas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Kirnev, Debora Cristina Barbosa 
 
 ISBN 978-85-8482-163-1
 1. Estruturas algébricas. 2. Álgebra – Estudo e ensino. 
Teoria dos grupos. 4. Teoria dos conjuntos. I. Título
 CDD 512.55
– Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 176 p.
K59e Estruturas algébricas / Debora Cristina Barbosa Kirmev.
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
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2015
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e-mail: editora.educacional@kroton.com.br 
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3.
Sumário
Unidade 1 | Tópicos da teoria dos números
Seção 1 - Conjuntos e Relações 
 1.1 Conceituando conjuntos
 1.1.1 Igualdade de conjuntos
 1.2 Operações com conjuntos
 1.3 Relações 
Seção 2 - Conjuntos dos Naturais e Princípio da Indução 
Matemática
 2.1 Demonstrações matemáticas 
Unidade 2 | Grupos
Seção 1 - Conjuntos numéricos e a estrutura dos números 
inteiros
 1.1 Conjuntos Numéricos: A história dos números. 
 1.2 Propriedades e estrutura algébricas dos números inteiros
 1.3 Teorema de Bézout e equações diofantinas
Seção 2 - Estruturas algébricas relacionadas a grupos 
 2.1 Definições e propriedades de grupos 
7 
11
11 
13 
14 
20
29
29
47
51
51
53
58
65
65
85 
89
89
96
98
102
107
107
110
110
Unidade 3 | Anéis
Seção 1 - Anéis
 1.1 Definições e propriedades de anéis
 1.2 Domínios de integridade e corpos
 1.3 Homomorfismos e isomorfismos de anéis
 1.4 Ideais
Seção 2 - Polinômios e Anéis de Polinômios
2.1 Aspectos históricos
2.2 Polinômios
2.3 Anéis de polinômios
Unidade 4 | Métodos e técnicas de ensino 
Seção 1 - Construção do pensamento algébrico
 1.1 O pensamento algébrico e a linguagem algébrica
 1.2 Concepções da álgebra 
 1.3 Atribuições de significados de elementos algébricos
 1.4 Processos mentais para o pensamento algébrico
 1.5 Desenvolvimento do pensamento matemático elementar ao 
avançado
Seção 2 - Uma abordagem didática sobre números inteiros e o 
ensino da álgebra
 2.1 Ensino dos números inteiros: superando obstáculos
 2.2 Operações com números inteiros
 2.3 Ensino de funções e a utilização do geogebra como recurso 
didático
129 
133
134
136
138
142
145
151
151
153
161
Apresentação
Iniciamos nossa caminhada para compreender o universo das estruturas 
algébricas. A matemática geralmente é subdividida em três grandes áreas: a Álgebra, 
a Análise e a Geometria/Topologia. Porém, com o surgimento de novas técnicas, 
essas áreas, cada vez mais, se aproximam e se relacionam dando origem a novas 
teorias. Neste sentido, é importante para o futuro professor desenvolver habilidades 
e competências nessas áreas, relacionando-as. Neste livro, abordaremos a Álgebra 
Abstrata também denominada de estruturas algébricas. Esses conhecimentos serão 
imprescindíveis para estudos futuros, como o estudo de Análise.
Temos registros da palavra Álgebra desde cerca de 800 a.C. em manuscrito 
árabe, em que estabeleceu estratégias para a resolução de equações, até meados 
do século XIX, a Álgebra era tida como uma teoria aplicada à resolução de equações. 
Somente com a axiomatização do conjunto dos números naturais, 
desenvolvimento da teoria de conjuntos e inúmeras contribuições de diversos 
matemáticos é que surgiu o que denominamos de Álgebra abstrata, que foi deduzida 
a partir de estruturas como a de grupos e anéis, em que, uma vez demonstradas as 
propriedades, são aplicadas a todos os conjuntos que satisfazem as condições das 
estruturas, ou seja, os estudos são de uma estrutura geral que é aplicada a vários 
casos particulares.
Para tratar dos conteúdos dessa disciplina, este livro está subdividido em quatro 
unidades, descritas a seguir.
Na primeira unidade, trataremos dos conceitos e operações com conjuntos; 
relações binárias, relação de equivalência, relação de ordem e classes de equivalência, 
conjunto quociente e partição de um conjunto. Posteriormente trataremos de 
formas de demonstrações, dos axiomas de Peano e princípio da indução.
Na segunda unidade, abordaremos os conjuntos numéricos, operações e 
propriedades dos números inteiros, teorema de Bezóut e equações diofantinas; 
definições, propriedades e exemplos de grupos; grupo aditivo das matrizes; grupo 
das permutações; grupos diedrais e homomorfismos de grupos.
Na terceira unidade, lidamos com as definições e propriedades de anéis, 
domínios de integridade e corpos, ideais e anéis quocientes; polinômios, métodos 
de resolução de equações e anéis de polinômios.
Na última unidade, realizamos uma abordagem sobre a construção do pensamento 
algébrico, além de apresentar uma abordagem didática para os números inteiros 
como a utilização de recursos como o geogebra.
Para compreendermos o que é a álgebra, precisamos analisá-la em suas diferentes 
abordagens. A álgebra é subdividida em álgebra elementar, que é a estudada na 
Educação Básica, e, a Álgebra Linear e Vetorial e as Estruturas Algébricas tratadas no 
Ensino Superior, sendo que nos níveis mais avançados relacionamos esses conceitos 
com outras áreas da Matemática e em outras ciências.
Bons estudos! 
Profa. Me. Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Unidade 1
TÓPICOS DA TEORIA DOS 
NÚMEROS
 A Teoria de Conjuntos influenciou no desenvolvimento da lógica e 
também no desenvolvimento da matemática no século XX, subsidiando 
a Teoria das Funções de Variável, Álgebra, Topologia, Teoria dos Grupos 
e Análise Funcional. Trataremos, nesta seção, dos conceitos, definições e 
proposições associadas tanto a conjuntos quanto a relações.
Seção 1 | Conjuntos e Relações 
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade introduziremos os 
conceitos antecessores a grupos e anéis para que possamos compreender 
as estruturas algébricas e trataremos de elementos da teoria dos números.
Ao final dessa unidade, espero que compreenda as definições e 
propriedades de conjuntos, as diferentes relações, seja binária, de 
equivalência e de ordem. Além disso, aprenda e diferencie os processos 
de demonstrações matemáticas e entenda como é estruturado o conjunto 
dos números naturais, bem como, aplique corretamente o princípio da 
indução matemática.
Estes conceitos são fundamentais para compreender a matemática e 
as estruturas abstratas, aprendê-las irá prepará-lo para outras disciplinas e 
também durante o exercício de sua futura profissão.
Bons estudos!
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Tópicos da teoria dos números
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Intuitivamente, conhecemos as estruturas do conjunto dos números 
naturais, porém, em matemática, precisamos provar os resultados para 
aceitá-los como válidos. Neste sentido, precisamos conhecer os processos 
de demonstrações matemáticas e construir, a partir de princípios lógicos e 
provas rigorosas, o conjunto dos números naturais e também sistematizar 
um processo de demonstrações para sequências numéricas que envolvam 
esse conjunto, provando esses resultados pelo processo denominado de 
Princípio de Indução Matemática.
Seção 2 | Conjuntos dos Naturais e Princípio da Indução 
Matemática
Tópicos da teoriados números
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Introdução à unidade
Nesta unidade trataremos de elementos da Teoria dos Números para 
posteriormente trabalharmos com conceitos como grupos e anéis que 
exigem uma estruturação e demonstrações de resultados.
Na primeira seção definiremos elementos da teoria dos conjuntos 
necessários para a compreensão dos demais conteúdos, bem como 
apresentaremos as operações com conjuntos e as propriedades relativas. 
Posteriormente, para tratarmos de relações, definiremos par ordenado 
e produto cartesiano. Apresentaremos também diferentes modos de 
representações gráficas e propriedades, para finalmente definir conceitos 
como relações binárias, relação de equivalência, relação de ordem, classe 
de equivalência, conjunto quociente e partição de um conjunto.
Na segunda seção aprenderemos os processos de provas rigorosas 
denominadas de demonstrações matemáticas para que possam 
compreender como é a construção do conjunto dos números naturais e o 
princípio de indução.
Tenha um bom estudo e aproveite ao máximo o conteúdo para que 
aprofunde os conhecimentos já adquiridos no decorrer do curso. 
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Tópicos da teoria dos números
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Seção 1
Conjuntos e relações
Introdução à seção
Iniciamos a seção apresentando os conceitos relacionados com conjuntos, 
posteriormente, abordaremos operações, representações por meio de diagramas 
e conjunto das partes. Também trataremos de produto cartesiano, das relações 
binárias, relações de ordem e equivalência, classe de equivalência e partição de um 
conjunto, bem como os conceitos e propriedades envolvidos com esse conteúdo.
1.1 Conceituando conjuntos
Para lidar com as estruturas algébricas, precisaremos recorrer à Teoria dos 
Conjuntos, para podemos entender um conjunto como uma coleção de objetos 
bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto. Tais objetos 
podem representar: números, pessoas, outros conjuntos etc. Outro modo de se 
entender um conjunto é por meio de uma regra de formação em que os elementos 
atendem à(s) característica(s) da regra, sendo que cada elemento seja único. 
Para representar os conjuntos utilizamos letras maiúsculas e para representar os 
elementos utilizamos letras minúsculas. Vejamos exemplos:
1º) caso: conjunto com termos definidos.
, representa o conjunto A em que os elementos são x,y,z,w.
2º) caso: conjunto com regra de formação.
(Lê-se: x tal que x é um número natural e x é menor que 6).
Observa-se que utilizamos { } para indicar os elementos de um conjunto. 
A seguir definiremos os conceitos relacionados com conjuntos.
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PERTINÊNCIA 
Quando temos que “x é um elemento de A” ou “x pertence a A” escrevemos
Ax∈
e para indicar que “x não é um elemento de A” ou “x não pertence a A” 
escrevemos
Observamos que pertinência é, exclusivamente, para elementos de um 
conjunto, no caso do elemento ser outro conjunto estará contido e utilizamos 
outra notação.
SUBCONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B se todos os elementos de A pertencem ao 
conjunto B, então A é um subconjunto de B. Deste modo “A está contido em B” 
ou “B contém A”, utilizamos a seguinte notação A 
U
 B e B U A , respectivamente. 
Temos que, B é um superconjunto de A, e, A é um subconjunto próprio de B.
Vejamos exemplos:
1º) Caso: 
Considere os conjuntos , , 
2º) Caso: 
Considere os seguintes conjuntos numéricos:
IN - Conjunto dos números naturais (ou inteiros positivos).
Z - Conjunto dos números inteiros.
Q - Conjunto dos números racionais.
IR - Conjunto dos números reais.
C - Conjunto dos números complexos.
Temos que:
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1.1.1 Igualdade de conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B quaisquer A=B se possuírem os mesmos elementos, 
sendo assim:
A=B, 
A
x temos que x A=B , ∀𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑡𝑡 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 → 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵 𝑡𝑡 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵 → 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ( Lê-se: para todo x, temos que 
x pertence a A implica que x pertence a B e x pertence a B implica que x pertence a A). 
Caso contrário, ou seja, se um dos conjuntos possuir algum elemento que não pertence 
ao outro, temos que os dois conjuntos são distintos e denotamos BA ≠ . Vejamos 
exemplos: 
 A x B e x B x A ( Lê-se: para todo x, temos que 
x pertence a A implica que x pertence a B e x pertence a B implica que x pertence 
a A). Caso contrário, ou seja, se um dos conjuntos possuir algum elemento que não 
pertence ao outro, temos que os dois conjuntos são distintos e denotamos 
A≠B. Vejamos exemplos:
1º) Caso:
Considere os conjuntos: 
2º) Caso:
Os elementos dos IN pertencem a Z, mas a recíproca não é verdadeira logo IN≠Z.
CONJUNTO UNIVERSO
Segundo Gerônimo e Franco (2006), Bertrand Russel concluiu que: nada contém 
tudo, ou seja, não existiria um conjunto que contivesse todas as coisas. Para 
evitar esse problema, assumimos um conjunto que contém todos os conjuntos em 
que estamos trabalhando, ou seja, os elementos de todos os conjuntos pertencem 
a algum conjunto, denominado o conjunto universo, que denotamos por U.
CONJUNTO VAZIO
Quando um conjunto não possui elementos, o denominamos de conjunto 
vazio e denotado por:
 Há a existência de um conjunto vazio. Deste modo se A e B são dois conjuntos 
vazios, então A=B , uma vez que possuem os mesmos elementos, neste cada 
indicado pela ausência.
Podemos construir o conjunto vazio a partir e um conjunto U qualquer, 
considerando que {x U/x ≠ x}.
CONJUNTO UNITÁRIO
São conjuntos que possuem apenas um elemento, como por exemplo, o 
conjunto A={ x/x=x} ou B={1}.
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Observamos que: 1) Se A 
U
 B então é possível que A = B.
2) Quando A 
U
 B e A ≠ B , então o conjunto A é um subconjunto próprio de B, 
deste modo A 
1) Se BA ⊂ então é possível que BA = . 
2) Quando BA ⊂ e BA ≠ , então o conjunto A é um subconjunto próprio de B, deste 
modo A⊊ B. B.
1.2 Operações com conjuntos
A seguir, abordaremos as operações de conjuntos que resultam em novos con-
juntos, apresentando as definições e exemplificando, posteriormente utilizamos a 
representação por meio de diagramas para complementar tais definições.
UNIÃO 
A união ou reunião de dois conjuntos A e B, indicado por A U B , é o conjunto 
de todos os elementos que pertencem a A ou a B, utilizando a notação de con-
juntos temos: ou 
Se generalizarmos, obtemos: 
 
INTERSEÇÃO
Dados os conjuntos A e B, a representação A 
U
 B , é o conjunto de todos os 
elementos que pertencem a A e a B, ou seja: A 
U
 B = ou 
No caso de A 
U 
 B = , A e B não têm elementos em comum, consequente-
mente A e B são disjuntos.
Investigue sobre as sentenças a seguir e busque justificativas.
(i) Para qualquer conjunto A, temos que 
U
 A 
U
 U
(ii) Para qualquer conjunto A, temos que A 
U
 A
(iii) Se A 
U
 B e B 
U
 C , então A 
U
 C
(iv) A 
U
 B se e só se A 
U
 B e B 
U
 A
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COMPLEMENTAR
O complementar do conjunto A, indicado por A ou AC , ou ainda, A1 é o conjun-
to de elementos que pertencem ao conjunto universal U mas que não pertencem 
ao conjunto A, ou seja:
Temos o caso denominado de complementar relativo do conjunto B em 
relação ao conjunto A, sendo este caso a diferença de A e B, indicado por A \ 
B ou A - B , ou ainda, A ~ B (lê-se “A menos B”), é o conjunto de elementos que 
pertencem a A, mas não pertencem a B, ou seja: 
PROPRIEDADES
A seguir indicaremos propriedades referentes a conjuntos quaisquer.
Se generalizarmos, obtemos: 
 
Considere A, B e C conjuntos. São equivalentes as 
seguintes expressões? Justifique. 
A 
U
 B, A 
U
 B = A e AUB = B .
Quadro 1.1 – Propriedades de conjuntos
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Fonte: O autor (2015)
DIAGRAMA DE VENN-EULER
Segundo Boyer (1974), o inglês John Venn, em torno de 1880, publicou um artigo 
sobre representaçãodiagramática e mecânica de proposições e raciocínios, apoiada 
nos estudos sobre a Álgebra de Boole e associada com a Teoria de Conjuntos de-
senvolvida por George Cantor. Venn apresentou relações entre conjuntos por meio 
de figuras no plano, de modo que intuitivamente obtivessem conclusões acerca de 
operações com conjuntos. Esses diagramas são um esboço dos conjuntos e são 
representados por áreas fechadas no plano. O conjunto universal é indicado pela 
região interna de um retângulo e os demais conjuntos são representados por círcu-
los desenhados no interior do retângulo. Venn aperfeiçoou os diagramas desenvolv-
idos por Euler, porém, usualmente, adotamos a representação de Euler e conferimos 
o nome de diagramas de Venn. Os diagramas possibilitam, por meio da inspeção 
direta, avaliarmos se uma argumentação é válida, tais diagramas são conhecidos por 
diagramas de Venn-Euler, e possuem aplicações em resolução de problemas de 
contagem, partes de um conjunto, partição de conjuntos, entre outros.
Apresentaremos exemplos de operações elementares de conjuntos, utilizando 
as representações por diagramas.
Considere dois conjuntos A e B, sendo conjuntos relativos a certo universo U, 
definimos os conjuntos:
União A U B: trata-se da união dos elementos de ambos os conjuntos, observe 
o diagrama.
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Figura 1.3 – Conjuntos disjuntos
Fonte: O autor (2015)Fonte: O autor (2015)
União A U B: trata-se da união dos elementos de ambos os conjuntos, 
observe o diagrama.
Interseção A
U 
B: são os elementos comuns aos conjuntos A e B, 
observe o diagrama.
Conjuntos disjuntos: são aqueles que A
U 
B = , ou seja, não possuem 
elementos em comum, observe o diagrama.
CONJUNTO DAS PARTES
Considere um conjunto A, denotamos como P(A) o conjunto formado 
por todos os subconjuntos de A (lê-se: partes de A). Vejamos alguns 
exemplos:
1º) Caso:
Sendo A = {1,2,3,4} temos um conjunto formado por 4 elementos.
Obtendo:
Figura 1.1 – União de conjuntos
Fonte: O autor (2015)
A B
universo
Figura 1.2 – Interseção de conjuntos
Fonte: O autor (2015)Fonte: O autor (2015)
A B
universo
A B
universo
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Obtemos um conjunto composto por 16 elementos
2º) Caso:
Sendo A = , ou seja, um conjunto vazio. Temos P(A)= { }, que denomina o 
conjunto unitário do vazio, sendo composto de um elemento.
3º) Caso:
Sendo A={1}, ou seja, um conjunto unitário. Temos P(A)= { , (1)} , composto 
por dois elementos.
NOÇÃO INTUITIVA SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
Utilizando uma noção intuitiva para lidar com os conjuntos naturais, inteiros, 
racionais, irracionais, reais e complexos, podemos realizar a distinção entre os 
conjuntos a partir da natureza do número pertencente a cada um dos conjuntos, 
como, por exemplo:
IN (números naturais) = {0, 1, 2, 3, ...n, n+1, ...}, em que os naturais são os 
números inteiros não negativos. 
Z (números inteiros) = {... - n-1, - n, ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ..., n, n+1, ...}, veja que 
todo número natural também é um número inteiro, deste modo IN trata-se de um 
subconjunto de Z.
Q (números racionais) = {a/b com a, b Z, e b≠0} , segue que o conjunto dos 
números inteiros satisfaz tal definição, deste modo todo número inteiro também 
é racional.
I (números irracionais) = são aqueles que não podem ser expressos como 
números racionais.
R (números reais) = Trata-se da união do conjunto dos números irracionais com 
o dos racionais, ou seja, QUI.
O que são conjuntos numéricos? Como defini-los? O que 
os distingue?
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C (números complexos) = Trata-se dos números a + bi, em que a e b são números 
reais e i se refere à raiz de menos um.
Apresentamos apenas o conceito sobre esses conjuntos, posteriormente, 
trataremos dos axiomas que permitem provar matematicamente a construção dos 
números naturais e definições e propriedades sobre os números inteiros. 
Observamos que N 
U
 Z 
U
 Q, Q 
U
 I 
U
 R 
U
 C a menos do isomorfismo, ou seja,
correspondência biunívoca entre os elementos de dois grupos, que preserva 
as operações de ambos. Veja a seguir a representação por meio do diagrama de 
Venn-Euler dos conjuntos numéricos.
1.3 Relações 
Nesta subseção definiremos os conceitos necessários para compreendermos as 
relações binárias, relação de ordem e relação de equivalência, além de definirmos 
partição de um conjunto.
PARES ORDENADOS
Denominamos de par ordenado o par de elementos (x, y), observe que utilizamos 
parênteses para indicá-los, sendo o primeiro elemento indicado por x, designado de 
abscissa e o segundo elemento indicado por y, designado de ordenada. Vejamos 
alguns exemplos:
a) (5, 6) abscissa x = 5 e ordenada y = 6.
b) (-2, 0) abscissa x = -2 e ordenada y =0.
Figura 1.4 – Conjuntos numéricos
Fonte: O autor (2015) 
C R
Q
Z
N
I
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PRODUTO CARTESIANO
Sejam dois conjuntos A e B, denomina-se de produto cartesiano de A e B, e 
utilizamos a notação AxB (lê-se: A cartesiano B), o conjunto de todos os pares 
ordenados (x, y) com x A e y B , ou seja,
Se generalizarmos, obtemos:
Faremos, a seguir, algumas considerações sobre esse conceito:
a) (x, y) indica um par ordenado
b) (x, y, z) indica um terno ordenado
c) (x
1
, x
2
 ,..., x
n
 ) indica um n-uplo ordenado
d) Considere dois pares ordenados (x
1
,y
1
) e (x
2
,y
2
) serão iguais se x
1
=x
2
 e y
1
=y
2
.
e) Temos que se A tem m elementos e B tem n elementos, então tem m . n 
elementos.
f) A x B ≠ B x A , pois a ordem dos elementos do par ordenado interfere, 
ou seja (x,y)≠(y,x).
A seguir indicamos alguns exemplos, vejamos:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {a, b}. Lembrando que se o conjunto A 
tem m elementos e B n elementos, então A x B terá m.n elementos.
AxB = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)} 
BxA = {(a, 1); (a, 2); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (b, 3)}.
Embora os conjuntos possuam a mesma quantidade de elementos, temos 
pares
ordenados distintos, ou seja, A x B ≠ B x A.
RELAÇÃO BINÁRIA
Sejam A e B conjuntos, não vazios. Denominamos de relação binária, R, de 
A em B qualquer subconjunto de AxB, isto é, R 
U
 AxB. Para indicar que um par 
ordenado (a, b) pertence à relação R, adotamos a seguinte notação aRb. Vejamos 
alguns exemplos: Considere os conjuntos A = {1 , 2 , 3} e B = {a , b}. Obteremos
AxB = {(1 , a ) ; (1 , b) ; (2 , a) ; (2 , b) ; (3 , a) ; (3 , b)}. R
n
 é subconjunto do 
produto cartesiano AxB. Deste modo temos alguns casos de R
n
:
R
1
 = {(1 , a) ; (2 , a) ; (3 , a)} é uma relação binária
R
2
 = {(1 , b) ; (2 , b) ; (3 , b)} é uma relação binária
R
3
 = {(1 , b) ; (2 , a) ; (3 , a) ; (3 , b)} é uma relação binária
R
4
 = AxB é uma relação binária
R
5
 = é uma relação binária
Ou seja, os subconjuntos pertencentes a AxB são relações binárias, inclusive o 
próprio conjunto resultante do produto cartesiano e o conjunto vazio.
Tópicos da teoria dos números
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DOMÍNIO E IMAGEM
Considere R uma relação de A em B. Denominamos de domínio da relação R 
o subconjunto de A, de modo que cada x pertencente a A existe algum y em B 
sendo que xRy. Representando em termos notacionais temos:
D(R) = {x A | E y B e xRy}
Vejamos um exemplo. Considere A = {1 , 2 , 3}, B = {a , b} e as relações
R
1
 = {(1 , a) ; (2 , a) ; (3 , a)} D(R
1
) = {1 , 2 , 3} = A 
R
2
 = {(1 , b) ; (2 , b) ; (3 , b)} D(R
2
) = {1 , 2 , 3} = A
Denominamos de imagem da relação R, ao subconjunto de B 
constituído pelos elementos y, tais que, para cada um dos quais, exista algum x 
pertencente ao conjunto A, tal que xRy, ou seja,
Im(R) = {y B | E x A e xRy}.
Vejamos um exemplo. Considere A = {1, 2, 3}, B = {a, b} e as relações: 
R
1 
= {(1, a); (2, a); (3, a)} Im(R
1
) = {b} = A
R
2
 = {(1, b); (2, b); (3,b)} Im(R
2
) = {b} = A
Analisando os exemplos apresentados podemos observar que o domínio trata-
se do conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares ordenadosde R
n
 e a 
imagem trata-se do conjunto formado pelos segundos elementos dos pares de R
n
.
Vejamos outro caso. Considere A = B = IN, sendo assim A x B é o conjunto 
formado por todos os pares ordenados de números naturais. Um exemplo de 
relação de IN em IN é:
R
n
 = { (x, y) IN x IN | y > 4 }
Sendo assim, D(R
n
) = IN e Im(R
n
) = {y IN| y > 4}
Observamos que se A = B e R em que temos uma relação de A em B, então 
indicamos que R é uma relação sobre A.
Vejamos um exemplo: se A = {a, b, c} e B= {a, b, c}, temos que A=B, 
deste modo R = {(a, a), (b, b), (b, c), (b, c)} é uma relação sobre o próprio A.
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO
Temos que uma relação pode ser representada por meio da representação 
gráfica, ou ainda, por meio de uma tabela (tábua). Quanto às representações 
gráficas, temos o gráfico cartesiano e o diagrama de flechas. Vejamos cada caso 
a seguir.
a) Gráfico cartesiano:
Muitas das relações matemáticas são relações em que A (conjunto de 
partida) e B conjunto de chegada são subconjuntos dos números reais. Sendo 
assim, o gráfico da relação é o conjunto dos pontos de um gráfico cartesiano. 
Também se denomina sistema de coordenadas no plano cartesiano ou espaço 
cartesiano ou plano cartesiano ortogonal, ou simplesmente, plano cartesiano, 
trata-se de um desenho utilizado para especificar pontos de um determinado 
espaço. Segundo Boyer (1974), foi o matemático e filósofo Descartes 
que relacionou a álgebra e a geometria euclidiana em seus trabalhos, 
Tópicos da teoria dos números
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contribuíndo com o desenolvimento da geometria analítica do cálculo e da 
cartografica. A partir de suas ideias, o sistema cartesiano foi desenvolvido, 
sendo atendidas às seguintes características:
I) O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si, sendo 
constituído pelo eixo horizontal denominado de eixo das abscissas (eixo Ox) e o 
eixo vertical denominado de eixo das ordenadas (eixo Oy), sendo, os dois eixos, x 
e y, perpendiculares entre si que se cruzam na origem.
II) Um ponto P no plano cartesiano é indicado pelas coordenadas 
do plano P (abscissa, ordenada), ou ainda, P (x,y). Esse plano associado, por 
exemplo, a cada um dos eixos do conjunto de todos os números reais, sendo 
que cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de 
números, este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. Sendo que 
o primeiro número representa o deslocamento da origem para a direita, no caso 
de ser positivo, ou ainda, para a esquerda no caso de ser negativo. Analogamente, 
o segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima, quando 
positivo, ou para baixo quando negativo. Vejamos o exemplo a seguir, em que a 
abscissa é diferente da ordenada.
Além disso, esses 
dois eixos dividem o 
plano em quatro regiões 
denominadas quadrantes 
que são indicados no 
sentido anti-horário, 
vejamos a figura que 
considera um plano 
cartesiano de RxR:
Y
b
a
0
(a,b)
(b,a)
a b X
Figura 1.5 – Representação de pares ordenados
Fonte: O autor (2015) 
Figura 1.6 – Representação dos quadrantes
Fonte: O autor (2015) 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
2º Quadrante 1º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
-6
 
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Tópicos da teoria dos números
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Vejamos um exemplo de atividade envolvendo plano cartesiano.
Considere a representação no plano cartesiano tal que RXR, deste modo 
indique nesta representação os pares ordenados A = ( -2 , 4 ); B = ( 3 ,4 ); C = ( 2 
,0 ); D = ( -2 ,-3 ); E = ( 1 ,-3), localizando cada ponto nos quadrantes.
SOLUÇÃO ESPERADA:
Ponto A está no segundo quadrante.
Pontos B e C estão no primeiro quadrante.
Ponto D está no terceiro quadrante.
Ponto E está no quarto quadrante.
b) Diagrama de flechas:
Se considerarmos que A e B são conjuntos finitos, pode-se representar uma 
relação R de A em B por meio de um diagrama em que indicamos cada (x, y) R 
por uma flecha com origem no domínio, ou seja, nos elementos x e extremidade 
na imagem, ou seja, nos elementos y. Vejamos um exemplo. 
Considere A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} e a relação R = {(1,a), (2,b), (3, c)}, 
observe o diagrama de flechas.
Figura1.7 – Exemplos de pares ordenados
Fonte: O autor (2015) 
Figura1.8 – Diagrama de flechas
Fonte: O autor (2015) 
Acesse o link a seguir 
e veja uma estratégia 
didática para o ensino 
de plano cartesiano nos 
anos finais do Ensino 
Fundamental.
Disponível em: <http://
www.fai.com.br/portal/
pibid/adm/atividades_an
exo/1903cfa3db52a032e
cbdb594f6771a4c.pdf>. 
1
2
3
A R B
a
b
c
d
Tópicos da teoria dos números
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25
c) Tabela (Tábua)
Considere A e B dois conjuntos fi nitos. Ao representar uma relação R de A 
em B, por meio de uma tabela de dupla entrada, sendo que a primeira coluna é 
utilizada para indicarmos todos os elementos do conjunto A (conjunto de saída) 
e a primeira linha é reservada para indicarmos os elementos do conjunto B 
(conjunto de chegada). Vejamos alguns exemplos:
1º) Caso:
Considere os conjuntos A e B e relação R.
A = {0 , 1 , 2} e B = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3} 
R = {(0 , 0) , (1 , -1) , (1 , 1)} 
PROPRIEDADES ACERCA DE UMA RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO
Nos itens a seguir considere qualquer conjunto A, não vazio, e uma relação R 
sobre A.
a) Refl exiva:
A relação R atende à propriedade refl exiva se, e somente se, todo elemento 
de A se relacionar consigo mesmo, em termos notacionais: 
A
 x A = xRx
b) Simétrica: 
A relação R atende à propriedade simétrica se, e somente se, para todo x e y 
A tal que xRy, sendo necessário yRx, em termos notacionais: 
A
 x, y A, xRy = yRx.
2º) Caso:
Considere o conjunto A = {-1 , 0 , 1} e R a relação 
de multiplicação sobre o próprio A.
Investigue sobre composições de relações e relações inversas e 
complemente seus estudos sobre o conteúdo.
Qual é a diferença entre relações e funções?
Tópicos da teoria dos números
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c) Transitiva:
A relação R atende à propriedade transitiva se, e somente se, para quaisquer 
que sejam x, y e z A tais que xRy e yRz, sendo necessário xRz, ou ainda, se xRy 
e yRz então, xRz, em termos notacionais: 
A
 x, y, z A, xRy e yRz = xRz
d) Antissimétrica:
A relação R satisfaz a propriedade antissimétrica se, e somente se, existem 
elementos x e y A tal que, se (x, y) R, sendo necessário (y, x) R, ou ainda, se (x, 
y) R então, (y, x) R, em termos notacionais temos: 
A
 x, y A | xRy e yRx = x = y
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Considere um conjunto A qualquer, sendo não vazio, e R uma relação sobre 
A. Definimos que R é uma Relação de Equivalência sobre A se, e somente se, R 
atender, necessariamente, às propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
A seguir veremos alguns exemplos:
1º) Caso:
Na igualdade de conjuntos temos as propriedades: 
a) Reflexiva: A = A, seja qual for o conjunto A;
b) Simétrica: se A = B, então B = A.
c) Transitiva: se A = B e B = C, então A = C.
2º) Caso:
Considere a relação binária R ={(x, x), (y, y), (z, z), (x, z), (z, x)} sobre E = {x, y, z}. 
Verifiquemos se R é uma relação de equivalência sobre o conjunto A.
a) Reflexiva: 
A
 x R então x = x;
b) Simétrica: 
A
 x, y R. Se x = y então y = x;
c) Transitiva: 
A
 x, y, z R. Se x = y e y = z então x = z.
Como verificamos as três propiedades, temos que a relação de igualdade 
sobre R é uma relação de equivalência.
RELAÇÃO DE ORDEM
Considere um conjunto A qualquer, sendo não vazio, e R uma relação sobre 
A. Definimos que R é uma Relação de ordem sobre A se, e somente se, R 
atender, necessariamente, às propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva. 
Vejamos um exemplo:
Dados dois conjuntos A e B. Na relação de inclusão A B temos as 
propriedades:
a) Reflexiva: A A, seja qual for o conjunto A;
b) Antissimétrica: se A B e B A, então A = B. 
c)Transitiva: se A B e B C, então A C.
Tópicosda teoria dos números
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CLASSES DE EQUIVALÊNCIA
Considere R uma relação de equivalência sobre um conjunto A. Seja a A, 
denomina-se classe de equivalência definida por a módulo R, o subconjunto ade 
A constituído pelos elementos, x, tais que, xRa.
 a = {x A | xRa}
O conjunto de todas as classes de equivalência módulo R, denotada por A/R, 
é denominado de conjunto quociente de A por R.
Vejamos um exemplo:
Considere A = {a, b, c} e a relação de equivalência R = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, a), 
(a, c)}
Temos os seguintes subconjuntos:
a = {a, c}
b = {b}
c = {a, c}
Logo o conjunto quociente de A por R será: A/R = {{a, c}, {b}}
PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO
Considere A um conjunto não vazio. Definimos uma partição de A é uma classe 
A
n
 de subconjuntos não vazios de a, tal que:
I) dois membros quaisquer de A
n
 ou são iguais ou são disjuntos;
II) a união dos membros de A
n
 é igual a A.
Observemos o diagrama a seguir que ilustra a partição e um conjunto A. 
Considere que An = {{1}, {2, 3}, {4}} é uma partição de A = {1, 2, 3, 4}
Figura 1.9 – Representação da partição de um conjunto A
Fonte: O autor (2015) 
Figura 1.10 – Exemplo da partição de um conjunto A
Fonte: O autor (2015) 
A1 A3
 A2
A1 
 A2 
 A3
Tópicos da teoria dos números
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1. Considere o conjunto A = {1,2,3} determine o conjunto 
das partes de A denotado por P(A).
2. Considere os conjuntos P = {x Z | x é par} e I = {x 
 Z | x é ímpar}, podemos afirmar que se trata de uma 
partição em Z? Justifique.
Tópicos da teoria dos números
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29
Seção 2
Conjuntos dos naturais e princípio da indução 
matemática
Introdução à seção
Segundo Boyer (1974), Giuseppe Peano, matemático italiano trabalhou com 
princípios da lógica matemática, contribuiu com a teoria dos conjuntos, com 
o desenvolvimento da álgebra e da análise. Em 1888, introduziu a definição 
axiomática de espaço vetorial, denominando-a de sistemas lineares. Já em sua 
obra "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita", do ano de 1889, Peano 
desenvolveu os famosos axiomas de Peano, desde então sendo utilizados como 
a axiomatização dos números naturais. Também introduziu símbolos adotados 
atualmente na teoria de conjuntos como: pertinência, união, intercessão, entre 
outros. Em 1890, Peano realizou outra contribuição ao construir curvas contínuas no 
espaço que preenchiam um quadrado unitário, dadas por equações paramétricas. 
Ao fim do século XIX, com a aritmetização da análise e os axiomas de Peano, 
grande parte da matemática foi sistematizada com base estritamente axiomática.
Nesta seção estudaremos os aspectos relevantes que contribuíram para 
demonstrar, matematicamente, a construção dos números naturais com bases 
axiomáticas, para tanto abordaremos o desenvolvimento de demonstrações 
matemáticas, e o princípio da indução.
2.1 Demonstrações matemáticas 
Segundo Boyer (1974), desde a antiguidade foram desenvolvidas demonstrações 
matemáticas. As primeiras demonstrações surgiram com Tales de Mileto (624-547 
a.C.) e Pitágoras de Samos (596-475 a.C.). Segundo esse autor,
[...] a proposição agora conhecida como teorema de 
Tales – que um ângulo inscrito num semicírculo é um 
ângulo reto, pode ter sido aprendida por Tales durante 
suas viagens à Babilônia. No entanto, a tradição vai mais 
longe e lhe atribui uma espécie de demonstração do 
teorema. Por isso, Tales foi saudado como o primeiro 
matemático verdadeiro. (BOYER, 1974, p. 34).
Tópicos da teoria dos números
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30
Desde a antiguidade, há a preocupação em se provar resultados de sentenças 
matemáticas denominadas de proposições, para tanto utilizamos a argumentação 
para mostrar que uma proposição é verdadeira ou falsa e os processos mentais 
aplicados denominamos raciocínio lógico dedutivo. 
Segundo Ponte et al. (1997), existem registros de atividades matemáticas de 
povos egípcios e mesopotâmios, voltadas à resolução de problemas, relacionados 
as suas práticas vivenciadas. Nesses registros encontrados não havia indícios de 
métodos dedutivos, ou seja, aplicação de regras ou procedimentos algoritmos, 
a resolução de problema ocorria por meio da observação, experimentação e 
utilizando-se da tentativa e erro. 
Na Grécia foram encontrados os primeiros registros de sistematizações 
matemáticas. Podemos citar os pitagóricos que tinham como lema que tudo era 
número, este grupo dedicou-se à investigação das suas propriedades e relações 
fundamentais, acatando a existência dos inteiros e fracionários positivos. Já a 
academia de Platão contribuiu para o progresso no campo da geometria, esses 
grupos e outros matemáticos conterrâneos gregos colaboraram para o avanço 
de descobertas matemáticas, baseando seus estudos em leis que garantissem a 
validade de seus resultados.
Em relação à argumentação e dedução aplicadas nas formas de demonstrações, 
podemos destacar alguns matemáticos que contribuíram com esse processo. 
Destacamos Aristóteles (384-322 a.C.) com o silogismo categórico, Euclides (330-
260 a.C.) por desenvolver o método dedutivo, Boole (1815-1864) por elaborar 
Um dos passos dados pelos gregos, para poder 
raciocinar sobre conceitos matemáticos abstratos, foi 
estabelecer axiomas, verdades de uma tal autoevidência 
que ninguém poderia negar. Esses axiomas diziam 
respeito ao espaço e aos números inteiros.
O segundo passo foi garantir a correção das 
conclusões obtidas a partir dos axiomas. Para tal, 
usaram raciocínio dedutivo, que consideravam como 
o único que garantia a correlação das conclusões. 
Assim, uma vez que se partia de axiomas, verdades 
sobre o espaço e os números inteiros considerados 
autoevidentes, este raciocínio poderia ser um veículo 
para encontrar as verdades eternas sobre a Natureza 
que eles ansiavam descobrir. (PONTE et al., 1997, p. 9).
Tópicos da teoria dos números
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31
estruturas algébricas e operações lógicas e Frege (1848-1925) com contribuições 
ao cálculo sentencial. Tais colaborações para a matemática auxiliam o que 
conhecemos como formas de demonstrações.
Machado e Cunha (2008) afirmam que a Lógica originou com Aristóteles 
(384-322 a.C.), por volta do século IV a.C., que buscou caracterizar as formas de 
argumentação a fim de diferenciar as sentenças que pareciam corretas, mas que 
foram elaboradas de forma inadequada. Neste sentido, quando argumentarmos 
recorre-se a proposições para justificar a verdade da conclusão, assumem-se 
premissas verdadeiras para a argumentação. Por meio de uma argumentação 
coerente determinamos a validade ou não da conclusão.
Aristóteles organizou as proposições em categorias, denominadas de 
proposições categóricas que formam quatro tipos básicos: na afirmação universal 
“todo a é b”, na negação universal “nenhum a é b”, na afirmação particular “algum 
a é b” e na negação particular “algum a não é b”.
Os argumentos das proposições categóricas, desenvolvidas por Aristóteles, podem 
ser representados por meio de diagramas que possuam as premissas e a conclusão. 
Temos os seguintes diagramas correspondendo às quatro proposições básicas:
Para compreender sobre a estrutura do silogismo, acesse o link a 
seguir e veja a aplicação em exemplos.
Disponível em: <http://www.colegioweb.com.br/curiosidades/como-
funciona-o-silogismo-aristotelico.html>.
Figura 1.11 – Representação das proposições categóricas
Fonte: Adaptado de: Machado e Cunha (2008, p. 38)
PROPOSIÇÃO DIAGRAMA DE VENN - EULER
Todo a é b. 
Nenhum a é b.
 
Algum a é b.
(ou existe a que é b.) 
Algum a não é b.
(ou existe a que não é b.) 
b
a
a
a b
b
a b
Tópicos da teoria dos números
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32
Outros fatos relevantes foram as contribuições de Euclides (323-285 a.C.), em 
que destacamos a grande obra Os Elementos, trata-se de um compêndio que 
concebe a primeira axiomatização da História da Matemática. Esta obra consiste 
em treze livros que tratam principalmente da Geometria, porém há estudos sobre 
aritmética e álgebra. Como afirma Ávila (2001, p. 2), um “equívoco que se comete 
com frequência é pensarque Os Elementos são uma obra apenas sobre Geometria. 
Na verdade há muito de aritmética e álgebra em vários livros dos Elementos. O 
que é verdade [...] é que a Matemática grega [...] era toda ela geometrizada”. Os 
argumentos utilizados para justificar as proposições matemáticas contidas nesta 
obra, configuram demonstrações matemáticas.
Destacamos os trabalhos de George Boole (1815-1864) que deram origem às 
álgebras booleanas, caracterizadas por utilizar técnicas algébricas para representar 
expressões do cálculo proposicional. A partir desses trabalhos, surgiram 
sistematizações sobre as formas de demonstrações, dando início ao processo 
de transição da argumentação, com a utilização da linguagem materna para a 
introdução da simbologia na comunicação matemática.
Atualmente, nos referimos a esse processo como demonstrações, ou seja, 
uma prova matemática. Nos procedimentos aplicados, atendemos aos princípios 
axiomáticos da lógica formal da identidade, da não contradição e do terceiro 
excluído. Segundo Gerônimo e Franco (2006, p. 16):
Segundo Garnica (2002, p. 17), “provas e demonstrações são tidas com 
sinônimos: é o que atesta a veracidade ou autenticidade [...] a dedução que 
mantém a verdade de sua conclusão, apoiando-se em premissas admitidas como 
verdadeiras”.
1. O princípio da identidade: garante que uma 
proposição é igual a si mesma. Isso parece estranho 
em um primeiro momento, mas do ponto de vista 
formal é necessário garantir isto.
2. Princípio da não contradição: uma proposição 
não pode ser verdadeira e falsa.
3. Princípio do terceiro excluído: uma proposição 
ou é verdadeira ou é falsa; não existe uma terceira 
alternativa.
Tópicos da teoria dos números
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Não apenas um procedimento de prova, porém podem ser categorizados em 
tipos de demonstrações, segundo Gerônimo e Franco (2006) são demonstrações: 
direta, condicional e indireta. Nas diretas são utilizados argumentos a partir 
dos princípios da lógica para justificar uma sentença matemática. Quanto ao 
tipo condicional, são as implicações se P então Q ou de modo equivalente pela 
contrapositiva se não Q então não P, em que as proposições P e Q são hipótese 
e tese, respectivamente, em que existe uma relação entre causa e consequência. 
Já a demonstração indireta trata de um procedimento denominado de redução 
ao absurdo, neste caso, considera-se a hipótese e negar-se a tese para obtermos 
uma contradição.
Sobre a aplicação de métodos de demonstração de um argumento qualquer, 
Gerônimo e Franco (2006, p. 61) afirmam que “não existe regra para determinar 
qual o melhor método a ser utilizado, mas, com certeza, resolver vários exercícios 
nos fornece a intuição necessária para decidirmos o melhor caminho”.
No desenvolvimento de uma prova matemática aceitamos a hipótese como 
verdadeira e desenvolvemos uma sequência lógica dedutiva para justificar a tese, 
que é a conclusão da demonstração. Nesse processo existem proposições que são 
aceitas sem demonstração, denominadas de axiomas ou postulados, e também 
recorremos a definições e resultados provados anteriormente.
Quando uma proposição é falsa, não se aplicam os tipos de demonstrações 
destacados, então apresentamos um contraexemplo para justificar a falsidade da 
sentença.
Vejamos a seguir alguns exemplos de demonstrações.
1º) Caso: Mostre que para qualquer conjunto A, temos que A.
DEMOSTRAÇÃO:
O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro subconjunto. Assim 
temos que provar que todo elemento pertencente ao conjunto vazio também 
pertence a A.
Existe o melhor método para demonstrar uma 
sentença matemática?
Tópicos da teoria dos números
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Demonstração
1
 (contrapositiva): Se x , isto implica que x A. Suponhamos 
que x A, assim temos que x , pois o conjunto vazio não contém elementos. 
Então x A implica que x .
Demonstração
2
 (redução ao absurdo): Se o A, assim existe x e x A, o 
que é um absurdo, pois não existe x pertencente ao , logo A.
2º) caso:
Mostre que, se A, B, e C são conjuntos, então A 
U
 (B U C) = (A U B) 
U
 (A U C)
DEMOSTRAÇÃO:
Serão apresentados dois modos de provar a proposição.
Demonstração
1
 (direta com argumentação):
Seja x , ou seja, x , logo , assim Seja x 
 ou x , deste modo , podemos concluir que 
. Por outro lado, se , isto 
implica que , e ainda , sendo assim 
e , de modo que x . Segue que a igualdade é verdadeira.
Demonstração
2
 (direta com operadores lógicos):
 definição de interseção
 definição de união
 propriedade distributiva
 definição de interseção
 definição de união
3º) Caso:
Seja f: X Y uma aplicação e A X e B X. Mostre que f(A 
U
 B) = f(A) 
U
 f(B).
DEMOSTRAÇÃO:
Neste caso, a proposição é falsa, sendo assim apresentaremos um 
contraexemplo. 
Considere f: X Y definida por f(x) = n² e A, B contidos em X, tal que:
A= {-2,-1,0,1} e B = {-1,0,1,2,3}; logo A
U
B = {-1,0,1}, assim f(A
U
B) = {0,1}, seque 
que f(A) = {0,1,4} e f(B) = {0,1,4,9}, deste modo f(A) 
U
f(B) = {0,1,4}, o que implica 
que f(A 
U
 B) ≠f(A) 
U
 f(B).
Investigue sobre aplicações e funções para complementar o conteúdo 
estudado.
 definição de interseção
 definição de união
 propriedade distributiva
 definição de interseção
 definição de união
3º) Caso:
Tópicos da teoria dos números
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35
AXIOMAS DE PEANO
Com as contribuições de Peano, pode-se elaborar toda a teoria dos números 
naturais a partir de propriedades conhecidas como os axiomas de Peano. Deste 
modo, o conjunto N dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais 
que utilizam consequências lógicas para construção desse conjunto numérico. 
De um modo simplista e intuitivo, podemos entender que o conjunto infinito 
dos números naturais, satisfaz os seguintes axiomas:
I) Se a é um número, o sucessor de a é um número e único.
II) Se dois números possuem sucessores iguais, então eles próprios são iguais.
III) Existe um único número natural que não possui sucessor, ou seja, o um.
IV) Se um conjunto S de números contém o um e também o sucessor de todo 
número de S, então todo número está em S.
Utilizando a notação matemática, em que S(n) indica sucessor de n, podemos 
reescrever os axiomas indicados anteriormente:
I) Existe uma função S: N N, que associa a cada n N um elemento S(n) N, 
chamado o sucessor de n.
II) A função S : N N é injetiva.
III) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 =S(n) para todo n N. 
IV) Se um subconjunto X N é tal que 1 N e S(X) X (ou seja, n X = S(n) X), 
então X = N.
Esses itens correspondem aos axiomas de Peano, porém o item IV é o axioma 
da indução, que deu origem ao Princípio da Indução ou Princípio da Indução 
Finita, ou ainda, Princípio da Indução Matemática. Trata-se de uma ferramenta 
para demonstrar sentenças referentes aos números naturais. Observamos que 
para definir certas propriedades das estruturas algébricas, é necessário que 
consideremos os conjuntos dos números naturais iniciado pelo zero, porém há 
outras propriedades, que se faz necessário construir os números naturais a partir 
do um.
Qual é a diferença de indução empírica e indução 
matemática?
Tópicos da teoria dos números
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36
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Precisamos compreender qual é a relação entre os números naturais e o 
princípio de indução. Podemos intuitivamente entender o quarto axioma de Peano, 
de modo que todo número natural possa ser obtido a partir do zero ou do um por 
meio de repetidas operações para obter o sucessor, ou seja, 2 é o sucessor de 1, 3 
é o sucessor do sucessor de 1, e assim por diante. 
Vejamos um exemplo para entendermos o axioma da indução.
Seja N = {1, 2, 3,…} e a função S : N N em que S(n)= n + 1 é transformada em S(n) 
= n + 2. Deste modo, temos uma outra sequência numérica, isto é, ao iniciarmos 
com 1 e aplicarmos repetidamente a operação para obter o sucessor teremos 
S(1) = 3, S(3) = 5, S(5) = 7, e assim por diante, ou seja, com essa transformação 
obtemosa sequência dos números ímpares, intuitivamente, temos que esta 
sequência é válida para todo número natural.
Reformulando o axioma de indução e utilizando a notação de conjunto temos 
que: Um subconjunto X N chama-se indutivo quando S(X) X, ou seja, quando n 
 X implica que S(n) X, ou seja, o sucessor de qualquer elemento de X pertencerá 
a X.
Além disso, o axioma da indução afirma que o único subconjunto indutivo de N 
que contém o número zero ou um é o próprio N.
No exemplo anterior, os números ímpares I={1, 3, 5, …} formam um conjunto 
indutivo que contém o elemento 1, mas não atende à definição de igualdade de 
conjuntos, logo não é igual a N.
A função do axioma da indução na teoria dos números naturais e na Matemática 
é fornecer um método de demonstração denominado de Método de Indução 
Retome o conteúdo de funções e estude sobre funções injetoras, 
sobrejetoras e bijetoras para complementar seus estudos.
Como demonstrar matematicamente que a sequência dos 
números pares e sequência dos números ímpares são válidas 
para qualquer número natural?
Tópicos da teoria dos números
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37
Matemática, ou Princípio da Indução Finita, ou Princípio da Indução, que definimos 
a seguir:
Considere P uma propriedade aplicada a números naturais. Sendo que um 
número natural qualquer pode satisfazer ou não a propriedade P. Porém, em geral, 
temos:
I) 1 satisfaz a propriedade P
II) Se o número natural n satisfazer a propriedade P implica que seu sucessor 
S(n) satisfaz essa propriedade.
Se os itens I e II são verdadeiros, então todos os números naturais satisfazem a 
propriedade P. 
Temos que as propriedades referentes aos números naturais necessitam ser 
demonstradas por meio do princípio da indução, vejamos um exemplo:
Considere o polinômio P(n) = n2 – n + 41, vamos verificar a igualde por meio 
de alguns casos particulares. 
P(1) = 1² - 1 + 41= 41
P(2) = 2² - 2 + 41= 43
P(3) = 3² - 3 + 41= 47
P(4) = 4² - 4 + 41 = 53
Prosseguindo com esse procedimento seremos induzidos intuitivamente a 
concluir que o resultado de P(n) é sempre um número primo para n = 0, 1, 2, 3, …, 
porém existe um contraexemplo, vejamos:
P(41) = 412 – 41 + 41 = 412 que não é primo, deste modo a afirmação não é 
verdadeira.
Ou seja, não podemos apenas inferir que uma sentença será verdadeira por 
meio da inspeção de casos particulares, precisamos recorrer a um método de 
prova para justificar os resultados matemáticos:
Retomando o princípio de indução, observamos que dentre os axiomas 
apresentados, nada garante explicitamente que todo número é diferente de seu 
sucessor, pode parecer que seja algo óbvio, mas dentro da matemática formal 
precisamos provar todo resultado, deste modo, justificaremos essa afirmação por 
meio de uma demonstração matemática, vejamos:
Apresente um contraexemplo para Q(n) = n2 – 79n + 1601 , ou seja, 
existe n para qual a este polinômio não é verdadeiro.
Tópicos da teoria dos números
U1
38
Considere P a propriedade todo número é diferente de seu sucessor. Utilizando 
notação temos que o número natural n, na P(n) significa que n = S(n). Temos que 
P(1) é verdadeira, pois 1 = S(1) uma vez que 1 não é sucessor de nenhum número. 
Suponha que P(n) verdadeira, ou seja, n = s(n), deste modo S(n) = S(S(n)), pois 
a função S : N N é injetora. Deste modo temos que P(S(n)) é verdadeira. Pelo 
Princípio da Indução, todos os números naturais satisfazem a propriedade P, isto é, 
são diferentes de seus sucessores.
Observamos que o princípio da indução além de método de demonstração 
também pode ser utilizado para definir funções F: N Y em que o domínio é 
o conjunto N dos números naturais. Essas funções são denominadas de uma 
sequência ou sucessão de elementos de Y.
Em resumo temos:
Seja P uma propriedade aplicada aos números naturais. Se P(1) for verdadeira e 
ao supor que P(n) ser verdadeira implicar em P(n + 1) também ser verdadeira então 
a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n.
Em notação simbólica, temos:
I) P(1) é verdadeira
II) Se P(n) é verdadeira, então P(n + 1) é verdadeira,
Portanto, P é verdadeira para todo número natural.
Temos que a P(1) é denominada de condição inicial e a P(n) de hipótese de 
indução, ao supormos que P(n) é verdadeira obtivermos como consequência a 
P(n+1) como verdadeira, então a propriedade relativa aos números naturais será 
verdadeira.
Vejamos a seguir exemplos sobre o princípio da indução:
1º) caso:
Mostre por indução que a soma dos n primeiros números naturais é dada por 
SOLUÇÃO:
Temos que P(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n=
Aplicaremos o princípio de indução: 
I)P(1) é verdadeira
Tópicos da teoria dos números
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39
1 logo a condição inicial é verdadeira
II) Se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira.
Suponha que P(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = é verdadeira, temos que 
provar que P(n+1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + (n+1) = é verdadeira.
Utilizando a hipótese de indução, temos que substituir o primeiro membro da 
igualdade para obter o segundo membro, assim teremos:
Desenvolvendo o segundo membro e realizando o m.m.c. (mínimo múltiplo 
comum), temos:
Evidenciando o (n+1) temos:
Portando, a P(n) é verdadeira para todo n natural.
2º) caso:
Mostre por indução que a igualdade dada por
P(n) = 20 +21+2²+...+2n = 2n+1 – 1 é verdadeira para n = 0,1,2,3...
Aplicaremos o princípio de indução:
I)P(0) é verdadeira
P(0) = 20= 20+1 – 1= 1, logo a condição inicial é verdadeira.
II) Se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira.
Suponha que P(n) = 20 +21+2²+...+2n = 2n+1 – 1 é verdadeira, temos que 
provar que
P(n+1) = 20 +21+2²+...+2n + 2n+1 = 2n+2 – 1 é verdadeira.
Utilizando a hipótese de indução, temos que substituir o primeiro membro da 
igualdade para obter o segundo membro. Assim teremos:
 
Portanto P(n) é 
verdadeira para todo n 
natural.
Tópicos da teoria dos números
U1
40
BOA ORDENAÇÃO
Além dos axiomas de Peano e do Princípio de Indução, temos um teorema 
relevante acerca dos números naturais denominado Princípio da Boa Ordenação. 
Vejamos:
 Considere o subconjunto A N, inferimos que o número natural a é o menor 
elemento de A quando a A e a < x, para todos os elementos x A.
O Princípio da Boa Ordenação pode, muitas vezes, ser usado em demonstrações, 
substituindo o Princípio da Indução. 
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO GENERALIZADO
Considere P uma propriedade referente a números naturais, satisfazendo as 
seguintes condições:
I) O número natural a satisfaz da propriedade P;
II) Se um número natural n satisfaz da propriedade P então seu sucessor n + 1 
também satisfaz de P.
Então, todos os números naturais maiores do que ou iguais a satisfazem a 
propriedade P.
Reescrevendo em termos notacionais temos:
Se 
I) P(k) é verdadeira
II) Se P(n) é verdadeira então P(n + 1) é verdadeira
Então, P é verdadeira para todo número natural maior ou igual a k.
Observamos que P trata de uma propriedade referente aos números naturais 
e consideramos P(k) como condição inicial e P(n) como hipótese de indução. A 
única diferença em relação Princípio de Indução apresentado anteriormente foi 
que adotamos na condição inicial um valor k.
Investigue a demonstração matemática para o Princípio da Boa 
Ordenação, ou seja, todo subconjunto não vazio A N possui um 
menor elemento, e aprofunde seu conhecimento sobre o assunto.
Tópicos da teoria dos números
U1
41
Vejamos alguns exemplos:
1º) caso: Prove por indução que 3n2 – n > 23 para todo n > 2
 SOLUÇÃO:
Temos que demonstrar a proposição (P) utilizando o Princípio de Indução 
Matemática generalizado, então, temos que satisfazer a condição inicial e a 
hipótese de indução para concluir a validade da sentença, ou seja:
I) P(k) é verdadeira
II) Se P(n) é verdadeira então P(n + 1) é verdadeira.
Vejamos:
I) Prova da condição inicial P(3) = 3.32 – 3 = 24 > 23 e portanto P(3) é verdadeira
II) Prova da hipótese de indução. Neste caso temos um prova condicional, 
deste modo Admitimos a validade de 3n2 –n > 23 para todo n > 2 , e provamos a 
validade para (n +1). Vejamos
3(n +1)2 – (n + 1) =
3 (n2 + 2n + 1) – n – 1 =
3n2 + 6n + 3 – n – 1 = (3n2 – n ) + 6n + 2
Aplicando o resultado na hipótese de indução 3n2 – n > 23 para todo n > 2 e 
substituindo, temos que:
(3n2 – n ) + 6n + 2 > 23 + 6n + 2 
25 + 6n > 23
Sendo assim a P(n) será válida para todo n > 2.
2º) caso: Prove que 2n + 1 < 2n, para todo n > 3.
SOLUÇÃO:
Note que para n=1 ou n=2 a afirmação é falsa, veja o contraexemplo:
Para n = 1 temos 2.1+1<2¹ , ou seja, 3 < 2 que é um absurdo. 
Para n = 2 temos 2.2+1<2² , ou seja, 5 < 4 que é um absurdo. Porém se n > 3 a 
sentença será verdadeira.
Tópicos da teoria dos números
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42
Para n = 3 temos 2.3+1<2³, ou seja, 7 < 8 que é verdadeira.
Para n = 4 temos 2.4+1<24, ou seja, 9 < 16 que é verdadeira.
Intuitivamente podemos entender que se prosseguirmos substituindo os valores 
com n > 3 teremos apenas sentenças verdadeiras, porém isso não é suficiente para 
provar o resultado, desde modo aplicaremos o princípio da indução, como o valor 
inicial é diferente de 1 então aplicaremos o modo generalizado, vejamos:
I) A P(k) é verdadeira conforme vimos anteriormente n = 3. II) Se P (n) é verdadeira 
então P(n+1) é verdadeira.
Temos que 2(n + 1) + 1 = (2n + 1) + 2 sendo assim,
(2n + 1) + 2 < 2n + 2
2n + 2 < 2n + 2n
2n + 2 < 2n + 1.
Portanto a afirmação P(n) é verdadeira para todo n > 3.
1. Considere os conjuntos A, B e C subconjuntos dos números 
naturais com n= 1, 2,3, ... . Sendo assim defina a aplicação de 
“sucessor”, indicando a propriedade P aplicada em cada caso:
A={2, 4, 8, 16, ....} 
B= {1, 3, 5, 7,...}
C={1, 4, 8, 16, ...}
2. Mostre por meio do princípio da indução que a soma dos n 
primeiros números ímpares
é dada por P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2
Como vimos anteriormente podemos demonstrar matematicamente 
os resultados, neste sentido mostre que a desigualdade n2 < 2n é falsa 
para n = 1, 2, 3, 4.
Tópicos da teoria dos números
U1
43
Nessa unidade você aprendeu sobre:
- O conceito de conjuntos como: pertinência, subconjunto, 
igualdade, conjunto universo, conjunto vazio e conjunto unitário.
- Operações com conjuntos como: união, interseção, 
complementar e diferença, diagrama de Venn-Euler, conjunto 
das partes e conjuntos numéricos.
- relações definindo: par ordenado, produto cartesiano e formas 
de representações, relação binária, relação de equivalência, 
relação de ordem, classe de equivalência, conjunto quociente e 
partição de um conjunto.
- demonstrações matemáticas: na forma direta, condicional e 
indireta.
- axiomas de Peano, axiomas da indução, princípio da indução 
matemática e princípio da indução generalizado.
Nessa unidade você aprendeu sobre:
- O conceito de conjuntos como: pertinência, subconjunto, 
igualdade, conjunto universo, conjunto vazio e conjunto unitário.
- Operações com conjuntos como: união, interseção, 
complementar e diferença, diagrama de Venn-Euler, conjunto 
das partes e conjuntos numéricos.
- relações definindo: par ordenado, produto cartesiano e formas 
de representações, relação binária, relação de equivalência, 
relação de ordem, classe de equivalência, conjunto quociente e 
partição de um conjunto.
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- demonstrações matemáticas: na forma direta, condicional e 
indireta.
- axiomas de Peano, axiomas da indução, princípio da indução 
matemática e princípio da indução generalizado.
1. Verifique quais das relações a seguir satisfazem a propriedade reflexiva 
sobre o conjunto A = {a, b, c}.
R
1
 = {(a, a), (a, b), (b, a ), (b, b), (c, c)}; 
R
2
 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)};
R
3
 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)}; 
R
4
 = ExE;
R
5
 = . 
2. Considere A = {x Z | 0 ≤ x ≤ 10} e R a relação de equivalência sobre 
A, tal que xRy se, e somente se, E k Z | x – y = 4k. Determinar o conjunto 
quociente A/R.
3. Mostre que, se A, B, e C são conjuntos, então (A U B)c = Ac 
U
 Bc
4. Demonstre pelo princípio da indução a seguinte igualdade é verdadeira 
no conjunto dos naturais.
5. Utilize o princípio da indução generalizado e prove que: n2 < 2n para 
todo n > 5
U1
45Tópicos da teoria dos números
Referências
ÁVILA, G. Euclides. Geometria e fundamentos. Revista do Professor de Matemática, n. 
45, 2001.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1974.
GARNICA, A. V. M. As demonstrações em educação matemática: um ensaio. Bolema, 
2002, ano 15, nº 18,91-99.
GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S. Fundamentos de matemática: uma introdução à lógica 
matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. Maringá: Eduem, 2006. 
MACHADO, N. J., CUNHA, M. O. da. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, coerência, 
comunicação, argumentação. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
PONTE, J. P. et al. Didática da matemática. Lisboa: DES do ME., 1997.
Unidade 2
GRUPOS
Nesta seção realizaremos uma retrospectiva histórica a fim de 
justificar a construção axiomática dos conjuntos numéricos, além 
disso, apresentaremos definições e proposições sobre o conjunto dos 
números inteiros. Posteriormente apresentamos o teorema de Bézout e 
as equações diofantinas.
Nesta seção trataremos sobre grupos. Por meio das estruturas 
relacionadas a grupos se preservam as estruturas de diferentes objetos 
da álgebra abstrata, como em grupo de simetria, grupo de matrizes, 
grupo de permutações, entre outros. Esse conhecimento permitiu o 
desenvolvimento de várias áreas, dentro da própria matemática e em 
outras como as leis físicas e fenômenos químicos.
Seção 1 | Conjuntos numéricos e a estrutura dos números 
inteiros
Seção 2 | Estruturas algébricas relacionadas a grupos
Objetivos de aprendizagem: Essa unidade tem por objetivo conduzi-
lo no processo de aprendizagem a respeito do conceito de grupos, bem 
como os demais conceitos relacionados. Ao final dessa unidade espero que 
seja capaz de desenvolver sua capacidade de dedução e o raciocínio lógico 
a fim de interpretar e resolver situações propostas sobre os conteúdos 
estudados, relacionando com o que já foi aprendido em outras disciplinas e 
preparando para aprendizados futuros. Estes conceitos serão aplicados em 
outras disciplinas ao longo do curso e ao longo da disciplina de Estruturas 
Algébricas e também durante a sua atuação profissional.
Bons estudos!
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Grupos
Grupos Grupos
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49
Introdução à unidade
A teoria de grupos surgiu após as contribuições de Évariste Galois, em torno 
de 1830. Esse matemático estudou as equações de polinômios. Ele buscava um 
algoritmo para determinar as raízes de uma equação caso pudessem ser expressas 
por radicais. 
A teoria dos números em geometria também contribuiu nesse processo, com 
isso a generalização do conceito de grupo ocorreu por volta de 1870. Tais estudos 
contribuíram para o que conhecemos hoje de Álgebra Moderna ou Álgebra Abstrata. 
A fim de organizar as estruturas algébricas, surgiram partes que satisfazem um 
número menor de axiomas como os subgrupos, e com o desenvolvimento dessa 
teoria surgem grupos mais complexos, ou seja, satisfazem um número maior de 
axiomas, como, por exemplo, o grupo abeliano. 
Grupos permeiam várias estruturas algébricas, como, por exemplo, corpos e 
espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por 
estas razões, neste sentido, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante 
da matemática moderna, e tem aplicabilidade, por exemplo, na física matemática e 
em sistemas computacionais. 
Entendendo a relevância desse conteúdo e a importância tanto para a disciplina 
quanto para a sua formação de aprender a respeito de grupos, nesta unidade, o 
material está organizado em duas seções.
Na primeira seção estudaremos o desenvolvimento dos conjuntos numéricos e 
também como é estruturado o conjunto dos números inteiros, quais propriedades e 
operações são aplicadas a esse conjunto além de estudarmoso Teorema de Bézout 
e a resolução de equações diofantinas.
Na segunda seção trataremos da definição de grupos, além de grupoide, 
semigrupo e monoide. Posteriormente veremos as propriedades aplicadas a 
grupos, além de exemplos aplicando essa teoria. Tenha um bom estudo e aproveite 
ao máximo o conteúdo que lhe é fornecido, assim como orientações de leitura e 
pesquisa.
Grupos
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Grupos Grupos
U2
51
Seção 1
Conjuntos numéricos e a estrutura dos números 
inteiros
Introdução à seção
Nesta seção faremos uma abordagem histórica sobre os conjuntos numéricos 
e trataremos das definições e propriedades relacionadas ao conjunto dos 
números inteiros, além de resolver e desenvolver procedimentos algébricos por 
meio do teorema de Bézout e determinar soluções de equações diofantinas. No 
desenvolvimento da seção demonstraremos alguns resultados por meio dos tipos 
de demonstrações apresentados na unidade anterior.
1.1 Conjuntos numéricos: a história dos números
A concepção de número existe desde a antiguidade, a partir de atividades práticas 
e a necessidade de resolver problemas esse conceito foi evoluindo e caracterizando 
a matemática como ciência. Trataremos, nessa subseção, desse panorama histórico 
sobre o desenvolvimento dos números apoiados em autores como Boyer (1974), 
Cerri (2006), Eves (1995) e Lima et al. (2001).
Primeiramente surgiu a necessidade da contagem, porém quando foram 
necessárias as contagens em grandes quantidades, surgiram os sistemas de 
numeração, como por exemplo, os sistemas: Egípcio, Babilônico, Maias, Romano, 
Chinês, Grego, Indiano e Arábico.
Investigue sobre os símbolos e signos utilizados pelos diferentes 
sistemas de numeração e realize uma análise comparativa 
diferenciando-os, como, por exemplo, o uso da base 10 e o uso da 
base 60; se o sistema é posicional ou não, entre outros.
Grupos
U2
52
A necessidade da contagem deu origem ao conjunto dos números naturais, que 
utiliza a base decimal e algarismos indu-arábicos para representá-lo. A visão indutiva 
sobre esse conjunto perpetuou-se até o século XIX, que com as contribuições dos 
axiomas de Peano foram realizadas provas matemáticas, dando origem à Teoria 
dos Números.
O processo de construção da Teoria dos Números sofreu a influência da álgebra, 
desde o século III, o matemático grego Diofanto resolvia operações envolvendo 
números negativos. Além disso, desde a antiguidade, há indícios de resoluções 
de equações, teorias para tratar de razões entre segmentos, porém, somente 
no século XVIII, Newton atribuiu aos conjuntos numéricos às categorizações de 
inteiros, frações e irracionais.
Durante os séculos XIX e XX, muitas concepções sobre os números mudaram. 
Por meio da construção axiomática e com base na Teoria dos Conjuntos definiram-
se os conjuntos numéricos por meio de relações e operações que satisfazem 
axiomas previamente estabelecidos.
Por exemplo, no conjunto dos números naturais N temos duas operações 
definidas a saber: a adição e a multiplicação, além disso, utilizando como base os 
axiomas, sobre alguns deles já tratamos na unidade anterior, temos:
I) Seja n um elemento N, temos que n+1≠n.
II) As duas operações são associativas e comutativas.
III) A multiplicação é distributiva em relação à adição.
IV) Se A é um subconjunto de N que contém o número 1 e se para todo 
elemento n, temos n+1 então A=N.
A partir da construção dos números naturais foi construída a teoria dos números 
inteiros em que a diferença entre dois naturais m e n resulta em um número inteiro, 
ou seja, surge o conceito formal de número negativo.
Como podemos definir o conjunto dos números irracionais, 
baseados nas construções dos conjuntos naturais, inteiros e 
racionais?
Grupos Grupos
U2
53
Esses conceitos apresentados são elementos para compreender a teoria 
da álgebra abstrata, que trataremos nesta unidade conceituando e definindo as 
estruturas algébricas.
1.2 Propriedades e estrutura algébricas dos números inteiros
No conjunto dos inteiros, denotado por Z, são definidas as operações de adição 
e de multiplicação. Que contemplam as propriedades:
I) Associativa: Sejam a, b e c Z, temos que (a + b ) + c = a + (b + c )
II) Comutativa: Sejam a e b Z, temos que a + b = b + a
III) Existência do elemento neutro: Existe 0 Z tal que a´+ 0 = 0 + a´= a, para 
todo a Z
IV) Existência do elemento oposto: Para cada a Z temos que a + ( -a ) = 0
V) Fechamento: Sejam a e b Z Temos que a + b Z
2º) Caso: multiplicação: 
I) Associativa: Sejam a, b e c Z, temos que (a . b ) . c = a . (b . c )
II) Comutativa: Sejam a e b Z, temos que a . b = b . a
III) Existência do elemento neutro: Existe 1 Z tal que a´ . 1 = 1 . a´= a, para 
todo a Z
IV) Elemento nulo: Seja a Z temos que a.0 = 0.a =0
V) Existência do elemento oposto: Para cada a Z temos que a . ( -a ) = 1
VI) Fechamento: Sejam a e b Z Temos que a.b Z
3º) caso: outras propriedades
I) Distributiva da multiplicação em relação à adição:
Sejam a, b e c Z temos que:
a.( b + c ) = a.b +a.c
( a + b).c = a.c + b.c
II) Integridade: Sejam a e b Z temos que se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0
Grupos
U2
54
III) Regra do sinal: Sejam a e b Z temos que (-a).b = a.(-b) = -(a.b) e (-a).(-b) = a . b
IV) Tricotomia: Sejam a e b Z temos que a < b ou a = b ou b > a
V) Desigualdades: Sejam a, b e c Z temos que:
a < b se, e somente se, a + c < b + c
Se 0 < c, então a < b implica a.c < b.c
Se c < 0, então a < b implica a.c > b.c
VI) Cancelamento: Sejam a, b e c Z temos que:
a + c = b + c implica em a = b
Se a ≠0, então a.b = a.c implica em b = c
Verificaremos a seguir definições e proposições referentes ao conjunto dos 
números inteiros, mostraremos por meio de demonstrações matemáticas a 
validade dos resultados mais relevantes acerca desse conjunto.
DIFERENÇA
 Neste conjunto define-se a diferença entre dois elementos a e b Z 
respectivamente como a - b = a + ( - b)
UNICIDADE
Sobre a unicidade demonstraremos as seguintes proposições acerca de Z:
I) os elementos 0 e 1 são únicos.
O estudo dos jogos de sinais no conjunto dos números inteiros 
aplicado a alunos do nível fundamental gera uma quebra de 
paradigma que em muitos casos causa obstáculos epistemológicos, 
para contribuir com sua formação prepare-se para essas situações e 
busque estratégias sobre o ensino do jogo de sinais para esse nível de 
ensino.
Grupos Grupos
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55
DEMONSTRAÇÃO (por redução ao absurdo): 
Suponha que exista 0 e 0` Z, observe que assumimos 0 0`, sendo assim 
aplicando a propriedade do elemento neutro temos que sendo a um número 
inteiro, a + 0 = a + 0` = a deste modo, teríamos um caso particular tal que 0`+ 0 
= 0` e ainda, 0 + 0`= 0 da propriedade comutativa da adição temos que 0=0`, o 
que um absurdo, portanto, o elemento neutro da adição é único.
II) Um número inteiro possui apenas um elemento oposto.
Vejamos, a seguir, outro princípio para o conjunto dos números inteiros.
BOA ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
No conjunto dos números inteiros Z é aplicada à relação de ordem total e 
o conceito de valor absoluto, ou seja, módulo. Para tanto precisamos definir o 
princípio da boa ordem, ou seja, todo subconjunto não vazio do conjunto dos 
números inteiros não negativos possui elemento mínimo.
Por exemplo, seja o conjunto A = { 3,4,5,6,7,) o mín(A) = 3.
A partir desse conceito, vamos provar que não existe a Z tal que 0<a<1. 
Vejamos:
Demonstração (por redução ao absurdo): suponha que existe um a Z 
tal que 0 < a < 1. Deste modo, existe um conjunto S= { a Z/ 0 < a < 1} que é não 
vazio e do princípio da boa ordem existe a
1
 = mín (S) . Como a
1
 S, então 0 < 
a
1
 < 1, deste modo existe, 0 < a
2 
< a
1
 < 
1
, que é uma contradição, logo a proposição 
é verdadeira.
No caso da relação de ordem total, indicada por ≤ em que aplicamos o 
princípio da boa ordem, temos uma estrutura algébrica denominada de domínio 
bem ordenado.
Observamos que temos algumas notações para o conjunto dos números 
inteiros,vejamos:
Utilize os conhecimentos adquiridos e demonstre a unicidade do 
elemento neutro da multiplicação, observamos que a prova é análoga 
à demonstração realizada para o elemento neutro da adição.
Grupos
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Fonte: O autor (2015)
Quadro 2.1 – Notações para o conjunto dos números inteiros
Z = {...-2,1, 0, 1, 2...} Números inteiros positivos, negativos e o zero.
Z* = {... -2, 1, 1, 2...} Números inteiros positivos e negativos apenas.
Z= {...-2, 1, 0} Números inteiros não positivos.
Z
+
= {0, 1, 2...} Números inteiros não negativos
Z*= {...,3, -2, -1} Números estritamente negativos.
Z*
+
 = {1, 2, 3, ...} Números estritamente positivos.
Observamos que essas notações se estendem analogamente para os demais 
conjuntos numéricos.
Trataremos, a seguir, sobre o máximo divisor comum de números inteiros e 
sobre o algoritmo da divisão.
DIVISIBILIDADE E O ALGORITMO DA DIVISÃO
Considere a, b e c Z, temos que a divide b no caso de existir c tal que 
b = a.c. A partir disso podemos entender que a é divisor de b e que, b é múltiplo de 
a. Em termos notacionais temos que a|b ( lê-se: a divide b).
Vejamos um exemplo:
4|20 pois existe 5 Z tal que 20 = 4.5
Para divisibilidade são válidas as seguintes propriedades:
I) reflexiva: a|a para todo a Z.
II) transitiva: se a|b e b|c então a|c para todo a,b e c Z. 
III) Se a|b e c|d então a.c|b.d para todo a, b, c, d Z.
Utilize o princípio da indução estudado na unidade anterior para 
mostrar que: am .an = a m+n para todo a Z e para todo m, n Z
+
.
Grupos Grupos
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IV) Se a e b Z e b ≠ 0 tal que a|b então |a| ≤ |b|.
Definiremos a seguir os sobre o algoritmo da divisão:
Considere a, d Z em que d ≠ 0 . Existem e são únicos q, r Z, de modo que 
a = d.q + r e 0 ≤ r ≤ |d|.
Vejamos um exemplo:
Considere a= -20 e d = -3, deste modo os únicos inteiros que satisfazem o 
algoritmo da divisão são q = 7 e r =1.
Os números inteiros a, d, q e r são denominados respectivamente de dividendo, 
divisor, quociente e resto. E a operação apresentada é denominada de divisão, 
observamos que quando r = 0 temos uma divisão exata.
CONGRUÊNCIAS
Definiremos, a seguir, o conceito de congruência no conjunto dos números 
inteiros, vejamos:
Considere m Z*+, temos que a e b Z são congruente módulo m se a - b 
é um múltiplo de m, em termos notacionais temos que a =b (mod m).
Vejamos um exemplo:
1º) caso:
Considere 10 = 15 (mod 5) , neste caso 10 - 15 = -5 que é múltiplo de 5 ou seja 
5|(10-15)
A operação de divisão no conjunto dos números inteiros implica 
outras aplicações algébricas como o máximo divisor comum (m.d.c.), 
números primos e fatoração. Investigue as estruturas algébricas e as 
proposições matemáticas relacionadas com esses conteúdos.
Como seria a demonstração matemática para validar 
a proposição do algoritmo da divisão?
Grupos
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2º) caso:
Considere -8 = -1 (mod 7), note que -8 – (-1) = -7 que é múltiplo de 7. 
Generalizando temos que a = b (mod m) implica em m|a - b.
Considere a, b, c, m, n Z, sendo que m, n ≥ 1. Para congruências são válidas 
as seguintes propriedades:
I) a = a (mod m)
II) a = b (mod m) implica em b = a (mod n)
III) a = b (mod m) e b = c (mod m) implica em a = c (mod m)
IV) a =b (mod m) e c = d (mod m) implica em a +c = b + d (mod m)
V) a = b (mod m) e c= d (mod m) implica em a.c = b.d (mod m)
VI) a = b (mod m) implica em an = bn (mod m)
Observamos que as propriedades I), II), e III) garantem que uma relação de 
congruência módulo um inteiro positivo m é uma relação de equivalência
1
 do 
conjunto dos números inteiros.
1.3 Teorema de Bézout e equações diofantinas 
Para tratarmos do Teorema de Bézout e das equações diofantinas precisaremos 
da definição de máximo divisor comum, vejamos:
Considere a e b Z, de modo que sejam dois inteiros não nulos, definimos o 
máximo divisor comum (mdc) como o maior inteiro d que divide ambos a e b.
Esta definição afirma que se a e b possuem divisores comuns, pode ser um ou 
outro inteiro. Deste modo, em qualquer circunstância existe um maior inteiro que 
divide a e b. No caso desse maior inteiro ser igual a um, temos que a e b são primos 
entre si, ou ainda, relativamente primos. 
Investigue sobre classes de equivalência e conjunto quociente 
aplicados ao conjunto dos números inteiros e aprofunde seus 
conhecimentos.
 1 Vide a unidade 1 e revise o que é relação de equivalência.
Grupos Grupos
U2
59
Segundo Eves (1995), o Teorema de Bézout foi publicado em 1779, em Théorie 
de Étienne Bézout générale des équations algébriques, provou com base em 
manipulações algébricas, naquela época, ainda não se dispunha da notação atual 
para álgebra, o seguinte teorema: 
TEOREMA: considere a e b Z e inteiros não nulos dados sendo d seu mdc. 
Então existem inteiros x e y de modo que d = ax + by.
Observamos que, se a e b são positivos, podemos escolher x > 0 e y < 0, ou 
vice-versa. Apresentamos a seguir a prova deste teorema:
DEMONSTRAÇÃO (direta): Considere S o conjunto dos inteiros de modo que 
ax + by, sendo x e y inteiros. Indicando |a|= a.(+1) + b.0, concluímos que |a| S, e 
logo S contém inteiros positivos. Deste modo, podemos escolher o menor inteiro 
positivo d S, tal que d seja o menor elemento positivo e o mdc de a e b.
Temos que se d S , existe inteiros x e y de modo que d = ax + by. Para provar 
que d divide a, dividamos a por d, ou seja, a = dq + r, com 0 < r < d, ou seja: 
r = a – dq =
r = a – (ax + by)q
r = a(1 – xq) + b(– yq)
Concluímos que r S. Sendo d o menor inteiro positivo em S, que 0 < r < d, 
podemos concluir que r = 0, deste modo d divide a. De modo similar mostramos 
que d divide b. Temos que, se d’ for um divisor comum de a e b, segue que d’ divide 
ax + by, para quaisquer inteiros x e y. Sendo assim, d’ divide d = ax’ + by’, tal que d’ 
< d, ou seja, d o mdc de a e b. Como consequência do Teorema de Bézout temos 
o seguinte:
COROLÁRIO: Considere a e b Z e dois inteiros não nulos, a e b são primos 
entre si se, e somente se, existem inteiros x e y de modo que ax + by = 1.
Vejamos um exemplo: Aplicando divisões sucessivas, também conhecidas 
como método de Euclides, vamos determinar o m.d.c. (1128 , 336), nosso objetivo 
será obter resto 0.
1ª) 1128 = 336.3 + 120
2ª) 336= 120.2 + 96
3ª) 120= 96.1 + 24
4ª) 24 = 24.4 + 0
Sendo assim, mdc ( 1128 , 336) = 24.
Grupos
U2
60
Podemos escrever o processo de divisões sucessivas em termos do teorema de 
Bézout aplicando o conceito de combinação linear, vejamos:
Da primeira divisão isolaremos o resto, deste modo obtemos: 
120 =1128 – 3. 336 
Repetindo o procedimento e substituindo na segunda divisão obtemos:
336 = 2. (1128 – 3. 336) + 96 
Isolando 96, obtemos:
96 = 336 – 2 (1128 – 3.336) 
96 = 336 – 2.1128 + 6. 336
96 = - 2. 1128 + 7 . 336 
Repetindo o procedimento e substituindo na terceira divisão os valores de 120 
e 96 temos:
120 = 1. 96 +24
1128 – 3.336 =1. (-2.1128 + 7. 336) +24 
Isolando 24 que é o mdc (a, b) , temos:
24 = 1 128 – 3. 336 + 2. 1128 -7. 336
24 = 3. 1128 – 10. 336
Assim, um par de inteiros x , y nas condições do Teorema de Bézout é dado 
por x = 3 e y = -10
Além de resoluções numéricas temos aplicações desse teorema na própria 
matemática vejamos outro exemplo:
Considere a e b inteiros positivos primos entre si. Deste modo, todo inteiro c 
maior ou igual que o número (a – 1).(b – 1) pode ser representado na forma c = 
a.r + b.s, em que r, s > 0. Além do que o menor inteiro com essa propriedade será 
(a – 1).(b – 1).
Grupos Grupos
U2
61
DEMONSTRAÇÃO: Seja c inteiro, como a e b são primos entre si então existem 
números inteiros x e y em que c = ax + by . Suponha que y = d.a + s, em que 0 < 
s < a. Substituindo em c temos que:
c = a.x + b.(d.a + s) distribuindo o b
c= a.x + b.d.a + b.s evidenciando o a 
c = a.(x + b.d) + b.s
Considere r = x + b.d . Sendo c > (a – 1).(b – 1) implica que: 
(a – 1).(b – 1) < c = a.r + b.s < a.r +b.(a – 1)
Deste modo a.r > – (a – 1) , e portanto r > 0.
Precisamos mostrar que (a – 1).(b – 1) – 1 = ab – a – b não pode ser representado 
na forma ar + b.s, com r, s > 0, por que o menor inteiro com essa propriedade será 
por (a - 1).(b - 1) conforme indicado na proposição. Vamos supor o contrário para 
provarmos por redução ao absurdo.
Sendo a.b – a – b = a.r + b.s, em que r, s > 0. Temos que:
a.b – a – a.r = b.s + b , em que aplicamos o elemento oposto
a. (b – 1 – r) = b.(s + 1) , em que evidenciamos a e b.
Como a e b são primos entre si, então a divide s + 1 e b divide b – 1 – r. Porém 
b – 1 – r < b, que precisa ser b – 1 – r < 0 ao isolar o r temos r > b – 1. Segue que s 
+ 1 > 0 e a divide s + 1, que precisa ser s + 1 > a, ou s > a – 1. Consequentemente 
a.r + b.s > a.(b – 1) + b.(a – 1), aplicando a propriedade distributiva temos, 
a.r + b.s > a.b – a + b.a – b , agrupando os termos semelhante temos,
a.r + b.s > 2ab – a – b > ab – a – b = (a – 1).(b – 1) – 1 , consequentemente,
a.r + b.s > (a – 1).(b – 1) – 1 que é um absurdo, pois por hipótese temos que 
necessariamente a.r + b.s > (a – 1).(b – 1) .
Ao compreendermos o Teorema de Bézout podemos aplicá-lo na resolução de 
equações diofantinas.
Segundo Eves (1995), o termo equações diofantina é atribuído a Diophanto 
de Alexandria (250 d.C), que foi o primeiro a considerar que em determinadas 
situações temos problemas que envolvam equações indeterminadas que podem 
admitir infinitas soluções. 
Grupos
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62
Atualmente constatamos inúmeras situações do nosso dia a dia que envolvem 
variáveis com números inteiros. Suponha, por exemplo, que um produto é vendido 
em embalagens de 7 ou de 15 litros, se for necessário comprar a quantidade de 
125 litros, é possível comprar exatamente essa quantidade. Traduzindo o problema 
temos que determinar os valores x e y inteiros tais que 7x+15y=125, esta estrutura 
trata de uma equação diofantina. Porém, nem todas as equações do tipo ax+by = 
c possuem solução, sendo a,b e c números dados e x,y números inteiros. Como 
por exemplo, 4x+6y = 5 não é possível resolver, pois no primeiro membro temos 
um valor par e no segundo um valor ímpar, que são conjuntos disjuntos, ou seja, 
ou um número é par ou é ímpar, logo a equação não possuí solução.
Podemos definir uma equação diofantina com duas incógnitas sendo do 
tipo ax + by = c, em que a, b e c são inteiros dados, sendo a = 0 e b = 0. Considera-
-se solução da equação os valores x
0
, y
0
 tal que ax
0
 + b y
0
 = c . Para que exista 
solução para a equação é necessário satisfazer o seguinte teorema:
TEOREMA: a equação diofantina ax + by = c possui solução se, e somente 
se, o mdc(a,b) divide c.
Realizando manipulações algébricas podemos determinar soluções gerais para 
a equação desde que satisfaça o teorema anterior, vejamos:
Considere que d = ax’ + by’, com x’, y’ Z, em que d é o mdc de a e b, temos 
que é uma solução da equação ax + by = c.
Outras soluções gerais podem ser obtidas a partir de um parâmetro t dado por 
meio de: 
Outras soluções gerais podem ser obtidas a partir de um parâmetro t dado por 
Ou podemos escreverOu podemos escrever
A seguir vejamos um exemplo para aplicar esse conceito, determinaremos 
soluções para a seguinte equação diofantina 56x + 72y =40.
Primeiramente verificamos a condição de existência para se obter uma solução, 
ou seja, se há mdc de 56 e 72, temos que mdc (56,72) = 8, e também 8|40, ou seja 
8 é divisor de 40, logo as condições foram satisfeitas, então esta equação possui 
solução.
Utilizaremos o método de divisões sucessivas para determinar os valores x e y 
de modo que reescrevemos a equação com o mdc, 56x’ + 72y’ = 8 , temos que:
1ª) 72 = 1. 56 + 16
2ª) 56 = 3. 16 + 8
Grupos Grupos
U2
63
3ª) 16 = 2. 8 + 0
Temos que isolar na primeira divisão o resto, temos:
16 = 72 – 1. 56
Substituindo na segunda divisão, temos:
56 = 3. ( 72 – 1. 56) + 8
Sendo assim, 56 = 3. 72- 3. 56+ 8
Isolando o mdc que é o 8, temos:
8 = 56 - 3. 72 + 3. 56
8 = 4. 56 - 3.72
Aplicado o teorema de Bézout obtemos ax+by = mdc (a,b) tal que:
56.4 +72(-3) = 8 em que x’ = 4 e y’ = -3
Retomando a equação 56.x + 72.y = 40, em que c = 40 e d = 8, temos que 
é uma solução da equação.
Podemos afirmar que uma das soluções dessa equação é dada por:
Também podemos determinar a equação geral a partir de um parâmetro t , 
vejamos:
Calculando 
 
Grupos
U2
64
Como a equação admite infinitas soluções, temos então um conjunto solução 
dado por: S = { x = 20 + 9t e y = - 15 – 7t , t Z}
O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que: todo inteiro a 
≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos. Investigue 
a demonstração matemática para esse teorema e aprofunde seus 
conhecimentos. Segue um link como sugestão de pesquisa:
Disponível em: <http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/
teoremafundamental.pdf>.
1. Mostre ou apresente um contraexemplo para a 
proposição: O conjunto dos números inteiros com a 
operação de multiplicação possui elemento inverso 
para todo elemento de Z.
2. Considere o teorema de Bézout e os métodos de 
resolução para equações diofantinas. Qual número de 
soluções da equação 4x + 7y = 83, em que x e y são 
inteiros positivos?
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) Infinitas.
Grupos Grupos
U2
65
Seção 2
Estruturas algébricas relacionadas a grupos
Introdução à seção
 Para chegarmos à Teoria de Grupos, muitos matemáticos contribuíram no 
processo, entre eles, podemos citar: Leonhard Euler (1707-1783), Joseph L. Lagrange 
(1736-1813), Karl. F. Gauss (1777-1855), Niels H. Abel (1802-1829), Augustin Louis 
Cauchy (1789-1857) e Arthur Cayley (1821-1895), porém segundo Boyer (1974), as 
contribuições de Évariste Galois (1811-1832) foram extremamente relevantes para o 
desenvolvimento da teoria. 
O trabalho de Galois não foi reconhecido em vida, porém suas descobertas deram 
origem ao que hoje conhecemos como Teoria de Galois. Segundo Boyer (1974, p. 
433), “Galois iniciou seus estudos a partir dos trabalhos de Joseph L. Lagrange sobre 
permutação de raízes de uma equação polinomial”. Lagrange já tinha provado que 
a ordem de um subgrupo divide a ordem de um grupo. Além disso, Galois estudou a 
demonstração de Niels H. Abel acerca da irresolubilidade de uma equação de quinto 
grau e mostrou que “e uma equação algébrica irredutível é resolúvel por radicais se 
e só se seu grupo é resolúvel”. (BOYER, 1974, p. 433).
Podemos compreender grupos como um conjunto de propriedades e uma 
operação sobre dois elementos, sendo uma operação fechada, ou seja, o resultado 
da operação pertence ao conjunto dos elementos operados. Nas subseções 
trataremos dos conceitos relacionados com esse conteúdo.
2.1 Definições e propriedades de grupos
A seguir apresentaremos a definição formal de grupo. Considere G um conjunto 
e * uma operação binária, ou ainda, lei de composição interna, definida sobre 
G, o par ordenado (G,*) é um grupo se são atendidas as seguintes propriedades:
I) Associativa:
Sejam a, b e c G, temos que ( a * b ) * c = a * ( b * c) .
Grupos
U2
66
II) Elemento neutro: Existe e G, de modo que para todo a G temos que e * a 
= a * e = a
III) Elemento simétrico: Seja a G existe a’ G de modo que a * a’ = a’ * a = e, 
em que e trata-se do elemento neutro.
Observamos que sendo X um subconjunto de G e uma operação * definida sobre 
G, definimos que X é parte fechada de (G,*) se para todo x e y X implica em x* y X.
Vejamos no diagrama a seguir essa representação:
Quando um conjunto G não vazio e * uma operação binária, ou ainda, lei de 
composição interna, definida sobre G com a operação (G,*) é fechada temos um 
caso de grupoide. Um exemplo de grupoide é o conjunto dos números inteiros com 
a operação de subtração, indicada por (Z,-).
No caso de um grupoide atender à propriedade associativa, ou seja, dados a, b e 
c G, temos que ( a * b ) * c = a * ( b * c) , temos um caso de semigrupo. Note que 
o conjunto(Z*,.) não atende à propriedade do elemento inverso, porém a operação 
de multiplicação atende à propriedade associativa, deste modo temos um caso 
de semigrupo.
Denomina-se de monoide um semigrupo que possui o elemento neutro, ou 
seja, a operação é fechada, aplica-se à propriedade associativa e o elemento neutro, 
podemos indicar como exemplo o conjunto dos naturais com a operação de 
multiplicação, de modo que seja definido (N*,.).
Ao aplicarmos a definição de grupo a um conjunto G, os termos elemento neutro 
e elemento simétrico podem sofrer alterações quando a operação * está definida 
porém, a estrutura algébrica é mantida, vejamos no quadro a seguir alguns exemplos:
Fonte: O autor (2015)
Figura 2.1 – Representação para operação fechada
Y .x
 .y
 .x * y 
X .x
 .y
.x * y 
G G
X é parte fechada para * Y não é parte fechada para *
Grupos Grupos
U2
67
Considerando a ordem de um grupo (G,*), temos que G é finito se o número de 
elementos do conjunto G é finito. No caso de G ser um conjunto infinito, como por 
exemplo: os números inteiros, racionais e reais, afirmamos que (G,*) possui ordem 
infinita.
No caso de (G,*) ser finito podemos representar por meio de uma tábua, vejamos 
um exemplo:
Considere G={-1,1} e a operação definida é a multiplicação usual, deste modo 
se trata de um grupo finito de ordem 2, cuja tábua de operação é representada por:
Fonte: O autor (2015)
Quadro 2.2 – Notações para operações de grupos
Observamos que quando a operação * for uma 
adição temos então um grupo denominado aditivo, e 
quando for uma multiplicação, um grupo denominado 
multiplicativo.
Outra consideração relevante é que se um grupo (G,*) atender à propriedade 
comutativa, ou seja:
Para todo a e b G, temos que a * b = b * a.
Neste caso, o grupo G é denominado comutativo ou abeliano. Nos grupos 
abelianos geralmente a lei de composição interna é a aditiva, ou seja, a operação 
definida para o grupo é a adição.
Que conjuntos numéricos atendem às estruturas algébricas de 
grupo abeliano?
Grupos
U2
68
A seguir veremos exemplos de grupos:
1º) caso: veremos exemplos de grupos aditivos
a) Grupo aditivo dos inteiros: para a adição usual de Z são válidas as propriedades:
a+ (b+c) = (a+b) +c a+0= 0+a = a
a+(-a) = (-a) +a = 0
a+b= b+a
Segue que (Z, + ) atende respectivamente às propriedades associativas, 
elemento neutro, elemento oposto e comutativa, assim temos um grupo abeliano.
b) Grupo aditivo dos racionais: análogo ao item a) temos um grupo abeliano (Q, 
+) com a operação usual da adição.
c) Grupo aditivo dos reais: análogo ao item a) temos um grupo abeliano (R,+), 
em que também temos a adição como operação usual.
d) Grupo aditivo dos complexos: neste caso dados x e y C em que a+bi e y= c 
+ di , a operação de soma é dada por x+y= ( a+c) +(b+d)i e atende às propriedades 
associativa, elemento neutro e elemento oposto.
2º) caso: veremos exemplos de grupos multiplicativos.
a) Grupo multiplicativo dos racionais: para a multiplicação usual de Q* são 
válidas as propriedades:
a. (b. c) = (a.b).c a.1= 1.a = a
a.a-1 = a-1 .a = 1
a.b= b.a
Segue que (Q*, . ) atende respectivamente às propriedades associativa, elemento 
neutro, elemento inverso e comutativa, assim temos um grupo abeliano.
b) Grupo multiplicativo dos reais: análogo ao item a) temos um grupo abeliano 
(R*,.) , em que também temos a multiplicação como operação usual.
c) Grupo multiplicativo dos complexos: neste caso dados x e y C e x, y não 
nulos, em que x= a+bi e y= c + di , a operação de multiplicação é dada por x.y = 
(ac - bd) +(ad + bc)i sendo um número complexo também não nulo, verifiquemos 
as propriedades associativa, elemento neutro e elemento inverso e comutativa, 
respectivamente: 
Grupos Grupos
U2
69
I) x. (y. z) = (x.y).z
II) x.1= 1.x = x
III) x.x-1 = x-1 .x = 1
IV) x.y= y.x
Observamos que o elemento neutro é dado por 1=1+0i e o elemento 
inverso 
Observamos que o elemento neutro é dado por 1=1+0i e o elemento 
 de modo que x = a+bi e não nulo. Sendo assim (C*,.) é 
um grupo abeliano.
PROPRIEDADES ELEMENTARES
Considere (G, *) um grupo. Segue que são válidas as seguintes propriedades: 
I) O elemento neutro é único. 
DEMONSTRAÇÃO:
Considere que e e e’ sejam elementos neutros de G deste modo:
e'= e * e' = e, ou seja, o elemento neutro é único.
II) O elemento inverso de cada elemento de G é único. 
DEMONSTRAÇÃO: 
Dados b, c G ambos elementos inversos de a G. Deste modo 
e = c * a = a * c
e = b * a = a * b.
Segue que,
b = e * b = (c * a) * b = c * (a * b) = c * e = c segue b=c, ou seja, elemento 
neutro é único.
Por que nos exemplos de grupos abelianos multiplicativos 
apresentados é necessário excluir o elemento zero para atender 
à estrutura de grupos?
Grupos
U2
70
III) Considere a G temos que (a −1)−1 = a.
DEMONSTRAÇÃO:
Da unicidade do elemento inverso e da igualdade do conceito de grupo 
temos que a • a −1 = a −1 • a = e, segue que, a −1 é o elemento inverso de a, e ainda, 
a é o elemento inverso de a −1 , ou seja, a = (a −1) −1 .
IV) Considere a, b G temos que (a • b) −1 = b −1 • a −1 .
DEMOSTRAÇÃO: 
Temos que
(a • b) • (b −1 • a −1 ) = a • (b • b−1 ) • a−1 = a • e • a −1 = a • a −1= e. Analogamente 
temos (b−1 •a −1)•(a • b) = e. Concluímos que (a • b)−1 = b −1 •a −1.
V) Todo elemento G é regular em relação à lei de composição interna.
VI) Considere a, b G temos que a equação a * x = b , em que x é variável em 
G possuí uma única solução em G, ou seja, x = a−1 * b
DEMONSTRAÇÃO:
Segue que a * x = a * (a−1 * b)= (a * a−1) * b = e * b = b , logo a−1 * b é solução 
da equação.
A seguir estudaremos as estruturas de grupos aplicados a outros conjuntos 
diferentes dos numéricos.
Como demonstrar que a solução de uma equação a * x = b é 
única?
Grupos Grupos
U2
71
GRUPO ADITIVO DAS MATRIZES
Considere o conjunto das matrizes M
mxn
 sobre o conjunto Z, em que temos 
m linhas e n colunas, a operação de adição usual de matrizes dados A e B 
respectivamente indicados por:
Temos que a adição é dada por:
Segue que são atendidas as seguintes propriedades:
I) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C para todo A, B, e C M
mxn
 em Z.
II) A + 0= 0 + A = A, onde 0 a matriz nula do tipo mxn e para todo A M
mxn
 em Z.
III) A + (-A) = (-A) + A = 0
IV) A + B = B + A, para todo A e B M
mxn
 em Z.
Temos que Mmxn é um grupo abeliano em relação à operação de adição. De 
modo análogo se definem os grupos aditivos das matrizes sobre os conjuntos Q, 
R e C, que denotamos respectivamente de (M
mxn
 (Q), +), (M
mxn
 (R), +) e (M
mxn
 (C), +).
Se retomarmos a operação de multiplicação usual de matrizes temos que nem 
toda matriz possuí a matriz inversa, ou seja, considerando a matriz A, sendo A-1 
a inversa de A e I a matriz identidade, temos que A.A-1= A-1.A= I é válida apenas 
quando o detA ≠ 0.
Quando é válido o elemento inverso para matrizes temos um caso de grupos 
lineares que podem ser aplicados sobre os racionais, reais ou complexos.
Grupos
U2
72
GRUPO DAS PERMUTAÇÕES
O grupo das permutações de elementos de um determinado conjunto S, ou 
aplicáveis em diversos casos matemáticos e de outras áreas. Considerando como 
aplicações entre elementos de S, são um exemplo de estrutura de grupo. Trataremos 
sobre as permutações de n elementos denotada de S
n
, a fim de demonstrar alguns 
resultados.
Para definirmos o grupo das permutações precisamos retomar os conteúdos de 
relações e funções. Destacamos as definições a seguir para aplicações e funções:
I) Injetora: para todo elemento pertencente ao domínio existe um único elemento 
do contradomínio, isto é, para todo x
1
 e x
2
 Df, se x
1
 ≠ x
2
 , então f(x
1
) ≠ f(x
2
).Ou de modo 
equivalente se f(x
1
) = f(x
2
) então x
1
 = x
2
. 
II) Sobrejetora: para todo elemento do contradomínio da função, está associado a 
pelo menos um elemento do domínio de f, isto é, Imf = CDf.
III) Bijetora: são aplicaçõesou funções que satisfazem a definição de injetora e 
sobrejetora.
IV) Sejam g: A B e f: Im(g) C . A composta de f com g e indicada por f g, é 
a função dada por h(x)= (f g)(x)=f(g(x)) denominada função composta de f com g 
aplicada em x .
Aprofunde seu conhecimento verificando a validade das propriedades 
para o grupo linear racional de grau n. Seguem sugestões para 
pesquisa:
- Domingues, H. H. Álgebra moderna. 4. edição reformulada. São 
Paulo: Atual Editora, 2003.
- Garcia, A. e Lequain, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Projeto 
Euclides, IMPA, 2003.
- Gonçalves, A. Introdução à álgebra. 5. edição. Rio de Janeiro: 
Projeto Euclides – IMPA, 2008.
Acesse os links a seguir e aprofunde seu conhecimento sobre 
aplicações e funções: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/
superior/algebra/funcoes/funcoes.htm>. <http://www.
matematicadidatica.com.br/FuncaoSobrejetoraInjetoraBijetora.aspx>. 
<http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-composta.htm>.
Grupos Grupos
U2
73
O conjunto de todas as bijeções de um conjunto nele próprio é denominado 
de grupo das permutações. Podemos estabelecer bijeções entre um grupo 
qualquer finito e um conveniente subgrupo de permutações, ou ainda, termos um 
isomorfismo que estudaremos posteriormente.
Consideramos que a operação entre duas permutações é a operação de 
composição, em que adotaremos a operação multiplicação. Assim sendo, dadas 
as permutações x e y, temos que: xy = x y, enquanto x-1 indica o simétrico de x. 
Em termos notacionais uma aplicação bijetora f sobre o conjunto E = {1,2,...,n} no 
qual temos f
1
=i
1
, f
2
 =i
2
, ... f
n
 =i
n
, é indicada por:
Sendo E um conjunto não vazio indicaremos por S(E) o conjunto de todas as 
permutações de E, ou seja, as bijeções do conjunto E no próprio E. Observamos 
que a composição de duas bijeções resultará em uma bijeção, ou seja, se f:E E 
e g:E E são bijeções, então g f :E E que também é uma bijeção.
A partir desses conceitos podemos verificar as propriedades de grupos, vejamos:
I) Associativa: considere as aplicações f, g, e h sobre um conjunto E, h (g 
f) = (h g) f. 
II) Elemento neutro: seja a aplicação i a aplicação identidade sobre um conjunto 
E, deste modo temos que i: E E é uma bijeção, temos que (i f) (x) = i (f(x)) = f(x), 
para todo x E, deste modo temos que i f = f i = f.
III) Elemento simétrico: se f é uma permutação de E então f-1 também será 
uma permutação, uma vez que a inversa de uma bijeção resulta em uma bijeção, 
deste modo f f-1= f-1 f = i.
Ao verificarmos as propriedades associativa, elemento neutro e elemento 
inverso podemos concluir que (S(E), ) é um grupo, que é denominado de grupo 
das permutações sobre E. Quanto à propriedade comutativa só será satisfeita de 
a ordem de E for 1 ou 2.
No caso de sua ordem ser 1, o grupo o elemento comuta com ele próprio. 
Quando o (S(E), ) tiver uma ordem maior que 2, ou seja, E possui mais de 2 elementos, 
como por exemplo a, b e c E sendo elementos distintos e consideremos as 
permutações f e g de S(E) definidas por:
f(a) = b, f(b) = a e f(x) = x para qualquer x ≠ a e x ≠ b g(a) =c, g(c) =a e g(x) =x 
para qualquer x ≠ a e x ≠ b.
Grupos
U2
74
Sendo assim f e g são permutações de E, verificaremos as composições:
(f g) (a) = f(g(a)) = f(c) =c
(g f) (a) = g(f(a)) =g(b) =b
Concluímos que f g ≠ g f, deste modo S(E) não é comutativo.
Observamos que no caso do grupo de permutações ser E= {1, 2, ..., n}, e n ≥ 
1, a notação S(E) é simplificada por S
n
, para denotar o conjunto das permutações 
sobre E em que o grupo (S
n
, ) é denominado de grupo simétrico de grau n sendo 
possível determinar a sua ordem por meio de n! (lê-se n fatorial), ou seja, n!= 
1.2.3.4...n .
Na notação Sn não importa a ordem das colunas, vejamos o exemplo de S3, ou 
seja, grupo das permutação de ordem 3. 
Além disso, podemos representar conjuntos de permutações finitas por meio 
de tábuas, vejamos alguns exemplos:
1º) caso:
Considere o conjunto S
2 
tal que:
Construiremos a tábua de S
2
, vejamos:
2º) caso:
Considere o conjunto S
3 
tal que:
Grupos Grupos
U2
75
Construiremos a tábua de S
3
, vejamos:
Observe que não pode haver repetição de elementos nas linhas e nas colunas 
da tábua.
A tábua também conhecida como tábua de Cayley foi obtida por meio da 
aplicação composta para cada elemento indicado na tábua, e também pode ser 
utilizada para analisar as propriedades de grupos, por exemplo, verificamos que 
f1 é o elemento neutro, pois ao ser operado com os outros elementos resulta no 
próprio elemento, vide o destaque na tábua.
Observamos que a composição de funções é associativa e todas as funções 
são bijetoras, logo são inversíveis resultando que todos os elementos possuem um 
simétrico.
Grupos
U2
76
GRUPOS DIEDRAIS
Por meio das simetrias de figuras geométricas podemos estabelecer uma 
operação que atende à estrutura de grupos, de modo geral, são denominados de 
grupos diedrais.
Nesse quadrado foram indicadas oito simetrias, 
sendo quatro rotações realizadas no sentido 
horário e quatro reflexões com o seu efeito sobre as 
permutações dos quatro vértices.
Na representação das operações utilizamos a notação de D1 , D2 , D3 e D4 
para as rotações, D5 e D6 para as reflexões nos eixos A e C, como também nos 
eixos B e D, segue que D7 e D8 foi utilizado para as reflexões diagonais entre 1 
e 3, como também entre 2 e 4. Temos que essas simetrias formam um grupo, 
porém não é abeliano, pois não atende à propriedade comutativa. Observem na 
tábua os resultantes das operações de simetrias.
Veremos, a seguir, uma estrutura construída 
a partir de eixos de simetria de um quadrado, 
conforme indicado na figura:
É possível verificar as propriedades associativa, comutativa e 
elemento simétrico por meio da tábua de Cayley?
Fonte: O autor (2015)
Figura 2.2 – Eixos de simetria de um 
quadrado
Grupos Grupos
U2
77
SUBGRUPO
Considere um subconjunto não vazio H de um grupo (G, •), este será 
denominado subgrupo de G se, e somente se, H for um grupo com a operação 
de G.
Seguem alguns casos de grupos como sugestão de estudo:
a) Investigue sobre grupos diedrais aplicados a um polígono regular de 
n vértices com a operação de reflexão e rotação.
b) Verifique a estrutura de grupos aditivos de classes de restos e 
grupos multiplicativos de classes de restos.
c) Estude sobre a composição interna e estruturas de grupos cíclicos e 
grupos quocientes. Aprofunde seu conhecimento e bons estudos! 
Que propriedades o conjunto H precisa satisfazer para ser 
subgrupo do grupo G?
Grupos
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78
Um subconjunto não vazio H de um grupo (G, •) será um subgrupo se, e 
somente se, satisfizer a seguintes propriedades:
I) O elemento neutro de G pertence a H;
II) A operação em H é fechada ou seja, dados a, b H, temos a • b H;
III) O conjunto H possui elemento inverso (simétrico), ou seja, se a H, então a−1 H.
DEMONSTRAÇÃO:
Considere que H G é um subgrupo de G. Sendo assim por definição de subgrupo, 
a operação de G é fechada em H, sendo válidas as propriedades de II) e III). Segue 
que H ≠ , logo existe c H. Deste modo, c −1 H tal que elemento neutro de G 
será aplicado tal que e = c • c −1 H. Por outro lado, suponha que H G seja um 
subconjunto e são válidas as propriedades I), II) e III). Da primeira propriedade temos 
que H ≠ . Da segunda propriedade segue que H possui a operação fechada, logo tem 
a operação de G e da terceira propriedade temos a existência do elemento inverso 
em H de cada elemento de H. Verificando que a propriedade associativa em G é válida 
para os elementos de H, pois H é subconjunto de G, temos que H é um grupo.
Vejamos a seguir alguns exemplos de subgrupos.
I) Considere (G, •) um grupo. Deste modo, {e} e G são subgrupos de G, denominados 
de subgrupos triviais. 
II) (Z, +) é um subgrupo de (Q, +); 
III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +); 
IV) (R, +) é um subgrupo de (C, +);
V) ({−1, 1}, •) é um subgrupode (Q*, •); 
VI) (Q* , •) é um subgrupo de (R* , •);
VII) (R* , •) é um subgrupo de (C * , •).
Investigue sobre processos de provas sobre demonstrações 
bicondicionais, como a aplicada na demonstração de subgrupo e 
aprofunde seu conhecimento. Segue um link para pesquisa:
Disponível em: <http://www.fund198.ufba.br/logica/2-logica98.pdf>. 
Grupos Grupos
U2
79
No caso a seguir realizaremos a verificação das propriedades de subgrupos aplicada 
a um conjunto, vejamos:
Considere o grupo multiplicativo do complexos tal que (C*, • ) e o 
conjunto S={ z = a + bi C / a²+b² = 1}, mostre que S é um subgrupo de (C*, • ).
SOLUÇÃO:
Precisamos verificar as propriedades de subgrupo: I) O elemento neutro de (C*, 
•) pertence a S. Considere a=1 e b =0, temos que 1 S.
II) A operação em S é fechada, ou seja, dados z, w S, temos z • w S. Considere 
que z= a +bi e w= c + di tal que z e w S, segue que a²+b²=1 e c² +d² = 1 e z.w 
(a +bi). (c+di) = ac –bd + (ad+cd)i , temos que:
(ac-bd)² + (ad+bc)² = a²c² - 2acbd + b²d² + a²d²+2adbc +b²c²
 = a²c²+b²d² +a²d²+b²c²
 = a²(c²+d²) + b²(d²+c²)
 = (a²+b²).(c²+d²)
 = 1.1
 = 1
III) O conjunto S possui elemento inverso, ou seja, se z S, então z −1 S. 
Considere que z= a +bi tal que z S segue que = a - bi , sendo 
assim, a² + (-b)² = a² + b² = 1, ou seja, z−1 S.
Veremos a seguir definições que envolvem grupos e aplicações.
Segue uma sugestão de leitura sobre o Teorema de Lagrange e 
bases de um espaço vetorial para complementar a teoria de grupos 
estudada, acesse o link e bons estudos. Disponível em: <http://www.
ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/CURSOS/Heitor_2013.pdf>.
Grupos
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80
No caso de f preservar a operação do grupo G, ou seja, f(x * y) = f(x) *f(y), temos 
que a aplicação é bijetora e neste caso denominamos de isomorfismo e os grupos 
G e H são isomorfos. Quando f é um caso de isomorfismo, então tem existe uma f 
inversa denotada de f -1, isso devido à bijecção. Em consequência à aplicação f -1 é 
também um homomorfismo de grupos que se trata de um isomorfismo.
No caso de um homomorfismo do grupo G e nele próprio é denominado 
endomorfismo de G, ou seja, f: G G.
Observe o quadro resumo com os casos de homomorfismos.
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Sejam (G,*) e (H, ) dois grupos e f uma aplicação de G em H, isto é, f: G H, 
então denominamos que f é um homomorfismo se: para todo x, y G temos 
que f(x * y) = f(x) f(y). Observe o diagrama a seguir:
Fonte: O autor (2015)
Fonte: O autor (2015)
Figura 2.3 – Representação de homomorfismo de grupos
Quadro 2.3 – Casos de homomorfismos 
Considere f um homomorfismo de G em H, ou seja, f: G H
monomorfismo f é injetora
epimorfismo f é sobrejetora
isomorfismo f é bijetora
endomorfismo temos G = H
automorfismo temos G = H e f é bijetora
Grupos Grupos
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81
Seguem algumas propriedades aplicadas a homomorfismos:
I) Considere f um homomorfismo de G em H , ou seja, f:G H, tais que e
G
 e 
e
H
 são os elementos neutros de G e de H respectivamente, e segue que f(e
G
)= e
H
.
II) Considere f for um homomorfismo de G em H, ou seja, f:G H, se x G, 
então segue que f (x) -1 = f (x-1), logo f(x −1) é o inverso de f(x).
Vejamos, a seguir, alguns exemplos:
I) Considere um grupo G qualquer, a aplicação f: G G definida por f(x) = x 
satisfaz a definição de homomorfismo.
II) O grupo dos números reais com a adição, ou seja, (R, +) e o grupo (]0, +
8
[, .), ou seja o grupo dos números reais maiores do que zero com a multiplicação 
são isomorfos.
Como definir o núcleo de um homomorfismo?
1. Considere G= { a,b,c}, sendo que (G,.) forma um grupo, 
construa a tábua dessa composição sabendo que o a é 
elemento neutro.
2. Considere o conjunto R² \ {(0,0)} e lei de composição 
interna
(a,b)*(c,d)= (ac-bd, ad+bc) para responder os seguintes itens:
a) Mostre que a operação é associativa. 
b) O elemento (1,0) é o elemento neutro?
c) O conjunto R² \ {(0,0)} é um grupo? Justifique.
Grupos
U2
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Nessa unidade você aprendeu sobre:
- conjuntos numéricos;
- operações e propriedades dos números inteiros;
- teorema de Bezóut e equações diofantinas;
- definições, propriedades e exemplos de grupos;
- grupo aditivo das matrizes;
- grupo das permutações;
- grupos diedrais;
- homomorfismos de grupos.
Nesta unidade abordamos, na primeira seção, os tópicos 
da teoria dos números que subsidiaram o desenvolvimento 
teórico de grupos; abordamos o desenvolvimento 
axiomático dos conjuntos numéricos e tratamos das 
estruturas algébricas aplicadas ao conjunto dos números 
inteiros, demonstrando resultados como a unicidade 
e apresentando princípios relevantes como o da boa 
ordenação; mostramos também o teorema de Bezout e a 
resolução de equações diofantinas. 
Na segunda seção definimos o que são grupos, bem como 
as propriedades que satisfazem essa estrutura. Além disso, 
mostramos exemplos de grupos associados aos conjuntos 
numéricos e outras estruturas que não são lei de composição 
interna, que utilizam os conjuntos numéricos e sim uma relação 
binária. 
Grupos Grupos
U2
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 Espero que tenha compreendido as estruturas algébricas e a 
propriedades vinculadas com esses conteúdos que serão necessários 
para precedermos na próxima unidade e para estudos posteriores. 
Fortaleça os conteúdos adquiridos, pratique as atividades propostas 
e responda às questões para refl exão, a fi m de aprofundar seus 
conhecimentos, bons estudos!
1. Considere as definições e propriedades sobre números 
inteiros e as formas de demonstrações matemáticas e mostre 
que: um número inteiro possui apenas um elemento oposto.
2. Baseado nas definições e propriedades da teoria de grupos, 
qual é a diferença de semigrupos e subgrupos?
3. Considere o conjunto B e a operação * tal que B = {1,2,3,4,5} 
e a tábua a seguir:
4. Mostre que, ou apresente um contraexemplo que a 
operação de subtração de números reais é associativa.
5. Considere G=H=(Z,+), a aplicação f : G H tal que f(x) = 
2x é um homomorfismo de grupos?
Verifique se o 
conjunto B possui 
o elemento 
neutro e atende 
à propriedade 
comutativa.
* 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2
3 1 2 3 3 3
4 1 2 3 4 4
5 1 2 3 4 5
U2
84 Grupos
U2
84
Referências
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1974.
CERRI, C. Desvendando os números reais. IME-USP. Nov. 2006. Disponível em: <www.
mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf>. Acesso em: 14 mar. 2015.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: UNICAMP,1995. 
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2001. v. 1. (Coleção do professor de matemática).
Unidade 3
ANÉIS
Podemos compreender um anel como um conjunto não vazio 
A em que são definidas duas operações que satisfazem um grupo de 
axiomas, ou seja, temos um conjunto mínimo de propriedades que duas 
operações aplicadas em um conjunto qualquer precisam satisfazer para 
que se possam deduzir outras propriedades. Um exemplo de anel é o 
conjunto dos números inteiros Z com as operações usuais de adição e 
multiplicação. Estudaremos nesta seção os anéis que são estruturas que 
envolvem duas operações, satisfazendo um conjunto de propriedades.
Seção 1 | Anéis
Objetivos de aprendizagem:Essa unidade tem por objetivo compreender 
e aprofundar os conceitos de estruturas algébricas, além de reconhecer e 
diferenciar as estruturas de grupos, anéis domínios e corpos, entre outros. 
Também apresentaremos aplicações de estruturas a diferentes conjuntos, 
trabalharemos com os conceitos e definições de polinômios, resolução de 
equações e anéis de polinômios. 
Ao final dessa unidade espero que você reconheça as principais definições 
e propriedades de anéis, além dos exemplos mais importantes. Ao longo do 
material exemplificaremos as características das estruturas, relacionando-as 
com os temas abordados anteriormente nas outras unidades.
Bons estudos!
DeboraCristiane Barbosa Kirnev 
Nesta seção trataremos das definições e propriedades relacionadas 
a polinômio, também realizaremos uma abordagem histórica sobre o 
desenvolvimento de métodos de soluções para equações polinomiais, 
além de apresentarmos as estruturas algébricas de anéis de polinômios.
Seção 2 | Polinômios e Anéis de Polinômios
Anéis
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Anéis
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São objetos da álgebra, grupos, anéis, espaços vetoriais, módulos e corpos que 
podem ser estruturados algebricamente. São definidos de acordo com os tipos de 
operações que são efetuadas e pelas propriedades que satisfazem tais operações. 
Definiremos, na primeira seção, a estrutura denominada de anel. O conceito 
dessa estrutura foi fundamental para a axiomatização da álgebra surgindo a partir 
da sistematização dos conjuntos numéricos, sendo que em 1914, o alemão 
Franenkel (1891-1965) apresentou a definição formal de anel que contempla duas 
operações e seis axiomas. 
Como vimos na unidade anterior, a álgebra abstrata lida com estruturas 
algébricas, como no caso de grupos, em que temos uma estrutura algébrica com 
uma operação que satisfaz três axiomas e estes são associados à resolução de 
equações polinomiais e aos anéis de polinômios que trataremos na segunda seção 
desta unidade.
 Aproveitem seus estudos e complemente por meio das dicas de estudo 
indicadas por meio das questões para reflexão e sugestões. 
Introdução à unidade
Anéis
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Anéis
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Seção 1
Anéis
Ao considerarmos um conjunto A em que estão definidas duas operações 
que satisfazem os seis axiomas de anel, denominaremos A de anel. A partir 
dessas propriedades outros teoremas e lemas podem ser provados por meio de 
demonstrações matemáticas, que valem para todas as estruturas que satisfazem as 
duas operações e os seis axiomas iniciais.
Com base nisso podemos compreender a natureza das estruturas algébricas, ao 
invés de estudarmos individualmente cada conjunto. Assim passamos a estudar as 
propriedades e operações que satisfazem certas estruturas, e consequentemente 
os conjuntos que as satisfazem. Dentro desse contexto temos a estrutura anel, 
podendo ser caracterizada como anel comutativo, anel com unidade, domínio de 
integridade e corpo, em que cada caso é satisfeito a outros axiomas específicos 
além dos seis axiomas de anel.
1.1 Definições e propriedades de anéis
Temos que dado um conjunto A não vazio, este é um anel se os elementos 
podem ser adicionados e multiplicados, ou seja, existem leis de composição 
interna em que são dadas duas operações (x, y) x + y e (x, y) x.y aos pares de 
elementos de A em A satisfazendo os seguintes axiomas:
Axiomas para a operação de adição:
I) Para todo x e y A nos temos a comutatividade:
x + y = y + x
II) Para todo x e y A nos temos a associatividade :
(x + y) + z = x + (y + z)
III) Existe um elemento e em A tal que x + e = e + x = x para todo x A.
IV) Para todo elemento x A existe um elemento y em A tal que:
x + y =y + x = 0.
Observamos que y = −x e é denominado de simétrico de x.
Anéis
U3
90
Axiomas para a operação de multiplicação:
I) Para todo x, y, z A nós temos a associatividade:
(x.y).z = x.(y.z) 
II) Para todo x, y, z ? A, nós temos a distributividade à direita e à esquerda:
x.(y + z) = x.y + x.z
(y + z).x = y.x + z.x
OBSERVAÇÕES
1) Por simplicidade, podemos escrever xy em lugar de x.y, sempre que 
conveniente.
2) Utilizamos escrever xy + wz, ao invés de (xy)+(wz). No caso de diferença de 
dois elementos x e y do anel A adotamos x - y = x + (-y).
3) O elemento neutro da adição, denotado por 0 ou 0A, é denominado de zero 
do anel A.
4) Para cada elemento x ? A, seu inverso em relação à adição é denominado de 
elemento oposto de a e é indicado por -x.
PROPRIEDADES EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO
Considere um anel A tal que (A, +, .) . Temos que para todo x e y A.
I) 0 . x = x . 0 = 0
DEMOSTRAÇÃO:
Seja x . 0 = z , temos que z = x . 0 = x . ( 0 + 0 ) = x . 0 + x . 0 = z + z, ou seja, 
z + z = z deste modo z = 0, concluímos que x . 0 = 0.
II) (-x).y= x.(-y)= – (xy) DEMOSTRAÇÃO:
Temos que [(-x)+x].y = (-x).y + xy, temos ainda que [(-x)+x]. y = 0 . b = 0. 
Aplicando o resultado anterior temos que (-x).y +xy = 0 que implica em –(xy)=(-x).y.
Baseado nas demonstrações apresentadas nos itens anteriores prove 
que a igualdade
Anéis
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PROPOSIÇÕES COM ANÉIS
I) Cancelamento para a adição.
Considere o anel A tal que (A, +, .) e os elementos x, y e z ? A, são a plicadas 
as seguintes operações, as demonstrações dessa proposições são análogas às 
desenvolvidas na Unidade dois quando definimos grupos.
I) Cancelamento para a adição. 
Se x + y = x + z então y=z
II) O elemento neutro da adição é único. III) O elemento inverso da adição é 
único. IV) Diferença entre dois elementos
x - y = x + ( - y), consequentemente temos x.(y – z) = xy - xz
V) Potenciação
Sendo x A e n N temos que xn é definido por recorrência, ou seja, x¹=x e 
xn= xn-1.x
CASOS NOTÁVEIS DE ANÉIS
I) Se um anel A atender à propriedade comutativa em relação à multiplicação, 
temos que A é um anel comutativo, ou seja,
Para x e y A temos que xy = yx
II) Se um anel A possuir o elemento neutro em relação à multiplicação, ou seja, 
um elemento y tal que xy = yx = x para todo x? A. Este elemento é denominado 
unidade do anel e denotado por 1, ou seja, temos um anel com unidade.
III) Os elementos não nulos de um anel A não precisam possuir inversos 
multiplicativos, ou seja, porém se y é o inverso multiplicativo de x temos que xy 
= yx = 1. No caso dos elementos de um anel A terem o inverso multiplicativo são 
denominados de invertíveis de A, ou ainda, unidades de A.
Como demonstrar matematicamente as proposições 
apresentadas?
Anéis
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Veremos alguns exemplos a seguir:
1º) caso: exemplos de anéis aplicados a conjuntos numéricos racionais Q tal 
que ( Q, +, .) reais R tal que ( R, +,.) complexos C tal que ( R, +, .)
2º) caso: os conjuntos nZ= {nq / q Z , n N e n>0}
Temos que a adição e a multiplicação de duas classes dependem essencialmente 
da adição e multiplicação em Z, assim são válidas as propriedades de Z nas 
operações de nZ.Como por exemplo: a comutativa da soma, associativa da soma 
e produto e distributiva. Tais conjuntos podem ser 2Z, 3Z, 4Z, representando uma 
sequência de anéis. 
3º) caso: o conjunto Z[x] dos polinômios na variável x com coeficientes 
inteiros e as operações de multiplicação e adição usuais é um anel. Considere 
que: 
f(x) = a
0
 + a
1
 x + ... + a
n
 xn
g(x) = b
0
 + b
1
 x + ...+ b
m 
xm
Temos que
f(x) + g(x) = (a
0
 + b
0
 ) + (a
1
 + b
1
 )x + ... + (a
k 
+ b
k
 )xk em que k=max{n,m}
f(x).g(x) = c
0
 + c
1
x + ... + c
n+m 
xn+m em que c
j
 = a
j
 .b
0
 + a
j−1
.b
1
 + ... + a
0
 .b
j
 
4º) caso: também é um anel o conjunto M
2
 (Z) das matrizes de ordem dois 
com entradas inteiras tal que:
5º) caso: o conjunto das funções reais contínuas de uma variável em que 
gráfico possui o ponto (1, 0) é um caso de anel com as operações: 
(f + g)(x) = f (x) + g(x) 
(f g).(x) = f (x).g(x)
+
 
.
 
=
=
a b
c d
a b
c d
a + e
c + g
ae + bg
ce + dg
af + bh
cf + dh
b + f
d + h
e f
g h
e f
g h
Anéis
U3
93
6º ) caso: sejam A e B anéis o produto direto AX B tal que :
(a
1
 , b
1
) + (a
2
, b
2
) = (a
1
 + a
2
, b
1
 + b
2
) (a
1
 , b
1
).( a
2
 , b
2
) = (a
1
. a
2
,b
1
.b
2
)
Temos que para todo (a
1
 , b
1
) e (a
2
, b
2
) ? AXB é anel que denomina produto 
direto externo a A e B.
7º) caso: sejam Zn = e as operações de adição e 
multiplicação definidas em Z
n
, definidas por:
Para todo x, y Z
n
 . (Z
n
 , + , .) temos um anel denominado de anel dos inteiros 
módulo n.
SUBANÉIS
Seja A um anel, ou seja, (A, +, .), considere S ? A , temos que S é um subanel de
A se S é possui as operações de adição e multiplicação fechado e forma um 
anel para estas operações.
São exemplos os conjuntos 2Z, 3Z, 4Z, ... que são subanéisde (Z,+, .). 
Observamos que qualquer anel A contém os subanéis triviais que são {0} e o 
próprio A.
Outro subanel de A é denominado de subanel próprio.
Se um subconjunto S de um anel A é subanel então são válidas as seguintes 
condições:
I) S ≠ 
II) Para cada x, y S, temos que x − y S
III) Para cada x, y S, xy S
O conjunto das matrizes de ordem dois M
2
 (Z) é um subanel 
de M
2
 (R)?
Anéis
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94
Observamos que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação 
à adição e ao produto de Z, porém não é um subanel de Z, pois não satisfaz a 
segunda condição da definição de subanel.
ANÉIS COMUTATIVOS E ANÉIS COM UNIDADE
Considere o anel ( S , + , .), em que a operação de multiplicação é comutativa, 
caracterizando o anel comutativo, deste modo:
Para todo x e y S temos que x . y = y . x
Sendo assim temos um caso de anel comutativo. Por outro lado se o 
anel ( S , + , .) em que a operação de multiplicação possui elemento neutro, ou 
seja:
Para todo x S temos que x . 1 = 1 . x = x
Temos um anel com elemento identidade ou com unidade, podendo ser 
indicado como um anel com 1 ou 1
S
.
Um exemplo de anel que possui ambas as características é o conjunto
S = {f : R R / f é uma função} . Para todo f e g S, temos que (f + g) S e (f . 
g) S tal que:
I) (f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo x real. 
II) (f.g)(x) = f(x).g(x) , para todo x real.
Neste caso, S é um anel comutativo com unidade.
O conjunto Z[x] dos polinômios na variável x com coeficientes inteiros citado 
anteriormente comutativo com unidade. Outro exemplo é o anel das matrizes de 
ordem dois, tal que, (M
2
(Z), + , .) é um anel com unidade, pois considerando uma 
matriz X e a matriz identidade I
2
 temos que:
X . I
2
 = I
2
 . X = X
X . I
2 
=
 
=
 
=
 
= X
 
.a b
c d
a b
c d
a . 1 + b . 0 a . 0 + b . 1
c . 1 + d . 0 c . 0 + d . 1
1 0
0 1
Anéis
U3
95
Por outro lado temos,
Porém não é um anel comutativo, pois considerando duas matrizes X e Y 
quaisquer não são todos os casos que satisfazem a igualdade XY = XY, vejamos 
um caso:
SUBANÉIS UNITÁRIOS
Considere A um anel, ou seja, (A, +, .) de modo que seja um anel com unidade. 
Seja S um subanel de A, deste modo teremos três situações:
I) S não tem unidade.
Por exemplo, 2Z é subanel de Z, em que Z possui unidade, porém 2Z não 
possui.
II) S possui a mesma unidade de A. Neste caso específico a denominamos 
como subanel unitário de A.
Por exemplo, Z é subanel de Q e ambos possuem a mesma unidade. 
III) S possui unidade diferente de A.
Por exemplo, o produto direto ZXZ possui como subanel {0}XZ, porém ambos 
possuem unidades diferentes, ou seja, (1,1) é a unidade de ZXZ e (0,1) é a unidade 
de {0}XZ. 
Estudaremos a seguir alguns tipos de anéis, em que além dos seis axiomas 
da definição são satisfeitos outros que os caracterizam como: domínios de 
integridades, corpos, ideais, anéis quociente e anéis de polinômios.
=
 
=
 
.
.
0 1
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
I
2
 . X
 
=
 
=
 
=
 
= X
 
.
a b
c d
1 . a + 0 . c 1 . b + 0 . d
0 . a + 1 . c 0 . b + 1 . d
a b
c d
1 0
0 1
Anéis
U3
96
1.2 Domínios de integridade e corpos
Trataremos a seguir de anéis com características particulares, para nos 
situarmos analisemos o diagrama a seguir em que são indicados o tipo de anel e 
um exemplo:
Note que para termos um domínio de integridade, que também pode ser 
denominado de anel de integridade, precisamos considerar um anel que possui 
duas operações, a adição e multiplicação e satisfaz os seis axiomas de anéis, além 
disso, em relação à multiplicação precisa satisfazer a propriedade comutativa 
e possuir elemento neutro, se isso ocorrer ainda necessita atender à seguinte 
proposição:
Seja A um anel comutativo com unidade, para todo x, y A, se x . y = 0 então x 
= 0 ou y = 0. Sendo satisfeita essa propriedade temos um domínio e integridade.
Em consequência dessa definição temos que um anel A é domínio de 
integridade se, e somente se, todo elemento nulo de A é regular em relação à 
multiplicação, ou seja:
Para todo x, y e z A, sendo x ≠ 0 e xy = xz implica em y = z . 
Observamos que se x ≠ 0 e y ≠ 0 em um anel A e x . y = 0, neste caso são 
denominados de divisores próprios de zero. Desse modo, um domínio de 
integridade é um anel comutativo com unidade que não possui divisores próprios 
de zero.
São exemplos clássicos de domínio de integridade os anéis do conjunto dos 
números inteiros (Z, +, .), dos racionais (Q, +, .), dos reais (R, +, .) e dos complexos 
(C, +, .).
Fonte: O autor (2015)
Figura 3.1 – Representação dos tipos de anéis
Anéis
Anéis comutativos com unidade
Corpos
Domínios de integridade
Anéis
U3
97
Analisando o diagrama da Figura anterior, podemos inferir que todo corpo é um 
domínio de integridade, porém a recíproca não é verdadeira, isto significa que um 
corpo atende a mais alguma propriedade, vejamos a definição:
Considere um anel A comutativo e comunidade, temos um corpo se todo 
elemento não nulo de A possuir elemento simétrico para operação de multiplicação. 
Em termos notacionais temos:
Para todo x A e x ≠ 0 existe x’ A tal que x. x’ = 1.
Observamos que em muitos casos o elemento simétrico multiplicativo é 
denominado de elemento inverso e denotado por x-1, enquanto o elemento 
simétrico aditivo é denominado de elemento oposto e denotado por –x.
Para compreender a definição podemos analisar os anéis (Z,+, .) e (Q, +, .). 
Em ambos os casos temos anéis comutativos com unidade que valem a lei do 
anulamento do produto. Porém no anel Z somente os elementos 1 e -1 possuem 
simétrico multiplicativo, enquanto em Q todo elemento não nulo admite simétrico 
multiplicativo, deste modo Q é considerado um corpo e Z é considerado apenas 
um domínio de integridade. Consequentemente pelo principio da extensão temos 
que (R,+, . ) e (C, +, .) são corpos. 
Todo anel Z
n
 de classes de restos é um anel comutativo com unidade. 
Mostre que Z
n
 é um domínio de integridade se, e somente se, n é 
primo.
Segundo Domingues e Iezzi (2003), a seguinte proposição é 
verdadeira: Todo anel de integridade finito é um corpo. Investigue a 
prova matemática para essa proposição.
Que anel seria um contraexemplo de domínio de 
integridade?
Anéis
U3
98
QUOCIENTES EM UM CORPO
Considere os elementos x e y de um corpo K, y ≠0 podemos indicar o elemento 
xy-1 por 
Considere os elementos x e y de um corpo K, y ≠0 podemos indicar o elemento 
 . Tais elementos são denominados de quocientes e possuem as seguintes 
propriedades:
Sejam x, y, w e z elemento de um corpo K . Se y ≠0 e w ≠0, então são válidas:
1.3 Homomorfismos e isomorfismos de anéis
Estudaremos os homomorfismos e isomorfismos relacionados à definição de 
anéis. Estas são aplicações e possuem como domínio e contradomínio conjuntos 
que satisfazem a definição de anéis. Além disso, mantêm as operações algébricas 
desses anéis. 
Os homomorfismos de anéis são um caso particular de homomorfismos de 
grupos. A seguir apresentamos a definição para esse conceito:
Considere A e B anéis e f : A B uma aplicação, f é um homomorfismo de anéis se:
I) f(x + y) = f(x) + f(y), 
para todo x, y A
II) f(xy) = f(x).f(y), para 
todo x, y A
Observe o diagrama 
que representa essa 
aplicação:
Figura 3.2 – Representação de homomorfismo
Fonte: O autor (2015)
A
x
x+y
xy
y
B
f(x)+f(y)
f(x).f(y)
f
Anéis
U3
99
Vejamos a seguir um exemplo:
Considere o conjunto A = R e o conjunto B = RXR, ou seja, o conjunto B é um 
produto direto, sendo a f : A B indicada por f(x) = (0, x). Se x, y A temos que:
I) f(x + y) = ( 0, x + y) = (0, x) + (0, y) = F(x) + f(y)
II) f(xy) = (0,xy) (0,x).(0,y) = f(x).(fy)
Sendo assim a f é um homomorfismo do anel A em B.
Seguem outros exemplos de homomorfismos:
1º) caso:
Considere um inteiro positivo n qualquer, a aplicação de Z em Z
n
 tal que para k 
 Z seja associado k (mod n), trata-se de um homomorfismo.2º) caso:
Considere a adição e multiplicação usual de polinômios, o conjunto R[x] é um 
anel. Sendo que uma aplicação de um polinômio p(x) associado ao número real 
p(1) é um homomorfismo de R[x] em R.
3º) caso:
A aplicação f : Z
4
 Z
10
 definida por f (x) = 5x é um homomorfismo de anéis.
Como mostrar que os três casos de homomorfismos 
apresentados atendem à definição de homomorfismo?
Anéis
U3
100
NÚCLEO DE UM HOMOMORFISMO 
Considerando um homomorfismo f : A B, denotamos o núcleo por N(f) ou ainda 
por ker(f), sendo definido como o conjunto de todos os elementos de A em que a 
imagem é igual a zero, em termos notacionais temos:
N(f) = { x A / f(x) = 0}
Vejamos um exemplo:
Considerando o conjunto A = R e o conjunto B = RXR, indicado anteriormente, tal 
que f : A B e f(x) = (0, x). Suponha que x N(f), temos que (0,x) = (0,0), ou seja, x = 0.
Assim o núcleo de f é o conjunto N(f) = {0}.
PROPRIEDADES DE HOMOMORFISMOS
Considere f: A ? B um homomorfismo de anéis, então são válidas as seguintes 
propriedades.
I) f(0A)= 0B em que 0A é o zero do anel A e 0B é o zero do anel B
II) f(-x) = - f(x) para todo x ? A
III) f é uma função injetora se, e somente se N(f) = {0A};
IV) Se S é um subanel de A, segue que f(S) é um subanel de B.
A propriedade IV pode ser representa por meio do seguinte diagrama:
Fonte: O autor (2015)
Figura 3.3 – Representação de subanel com aplicação de homomorfismo 
A
x
x+y
xy
y
B
S f(S)
f(x)+f(y)
f(x).f(y)
f
Anéis
U3
101
Além das propriedades apresentadas temos a seguinte proposição:
Considere f : A B um homomorfismo de anéis e f uma função sobrejetora. 
Deste modo temos: 
I) Se A possuir unidade 1
A
, então temos f(1
A
)= 1
B
DEMONSTRAÇÃO: Considere y um elemento qualquer de B. Temos que f é 
sobrejetora,
y = f(x) para algum x A, segue que y. f(1
A
) = f(x) . f(1
A
) = f (x.1
A
) = f(x) = y, de 
modo análogo temos que f (1
A
).y = y, concluímos que f (1
A
) é a unidade de B.
II) Se A tem unidade e x é invertível quanto à multiplicação temos que a f é 
invertível, ou seja, f ( x-1) = f(x) -1
DEMONSTRAÇÃO: Considere x -1 o inverso de x A. Segue que x. x-1= 1
A
, o que 
implica em f(x).f(x-1) = f(1
A
)=1
B
. Sendo assim, f(x-1) é o inverso de f(x), ou seja, f ( x-1) 
= f(x) -1 .
ISOMORFISMO
No caso de termos um homomorfismo bijetor esse será denominado de 
isomorfismo de anéis, ou seja, se os anéis A e B são isomorfos então existe uma 
aplicação injetora e sobrejetora de f : A B e denotamos A =~ B.
Vejamos a seguir um exemplo:
Considere A um anel qualquer, segue que o anel AX{0} é isomorfo a A. Sendo 
assim, a diferença entre eles consiste na segunda coordenada nula dos elementos 
pertencente a AX{0}. Sendo que f : A AX{0} é definida por f(x) = (x,0), então são 
válidas as seguintes propriedades devido ao homomorfismo:
I) Para todo x e y A, f(x+y) = ( x+y, 0) = (x,0)+(y,0) = f(x) + f(y)
II) Para todo x e y A, f(xy) = ( xy, 0) = (x,0).(y,0) = f(x) . f(y) .
Estude as aplicações e funções inversas e aprofunde seu 
conhecimento. Acesse: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/
matematica/%20funcao-inversa.htm>.
Disponível em: <http://www.calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/
funcoes-inversas.html>.
Anéis
U3
102
Para termos um isomorfismo devemos mostrar que a f é injetora e sobrejetora, 
vejamos: INJETORA
Em termos notacionais temos: Se f(x) = f(y) então (x, 0)=(y, 0) que implica em 
x=y, e f é injetora.
SOBREJETORA 
Considere y=(x,0) um elemento genérico de Ax{0}, o elemento x A tal que f(x) 
= (x,0) = y o que implica que f é sobrejetora.
Concluímos que f é um isomorfismo de A em AX{0}.
PROPRIEDADES DE ISOMORFISMOS
I) Se existir um isomorfismo de anéis de f : A B, então f -1 : B A é um 
isomorfismo.
II) Se A e B são isomorfos, implica que possuem as mesmas propriedades se 
distinguindo apenas pelo nome dos elementos.
1.4 Ideais
Para definirmos ideais é preciso considerar um anel A comutativo e um 
subconjunto não vazio I tal que I está contido em A, de modo que satisfaz as 
seguintes propriedades:
I) Seja I A , considere x e y I tal que a operação x-y é fechada em I.
II) Para todo a A e x I temos que a.x I.
Vejamos um exemplo de um anel ideal.
Seja A = Z e I = 2Z, ou seja, I corresponde ao conjunto dos inteiros pares e A 
corresponde ao conjunto dos inteiros.
Temos que I não é vazio por 0 I . Se x, y I, então x= 2p e y = 2q com p e q Z. 
Sendo assim, x - y = 2p - 2q = 2.(p - q) , deste modo, x – y é uma operação fechada 
em I. Por outro lado se a A, então a.x = a.(2p) = 2(a.p) , sendo que 2(a.p) A.
Portanto, 2Z é um ideal em Z. Analogamente podemos mostrar que nZ é um 
ideal para todo inteiro n.
Anéis
U3
103
PROPRIEDADES DE IDEAIS
Considere A um anel comutativo e I um ideal em A, deste modo: I) Todo ideal 
é um subanel, porém a recíproca não é verdadeira.
II) Se A é um anel comutativo com unidade e 1 I então I = A.
DEMONSTRAÇÃO: temos que por definição I A, Considere x A, como 1 I , 
temos x.1 uma operação em I, deste modo, x I. Logo A I, ou seja, A= I. 
III) 0 I
DEMONSTRAÇÃO: temos que I ≠ , logo I possui um elemento x tal que x –x 
I, ou seja x-x = 0 o que implica que 0 I.
IV) Se x I implica que –x I
DESMONSTRAÇÃO: segue que 0 I, considere x I então 0 - x = -x, ou seja –x 
 I.
V) Se x e y I implica que x + y I
DEMONSTRAÇÃO: Segue que x e y I, deste modo x-(-y) = x + y , ou seja, x + 
y I.
VI) Se I possui algum elemento invertível, segue que I = A
DEMONSTRAÇÃO: Considere x I, e x é invertível, deste modo x . x-1 = 1, sendo 
uma operação fechada em I, logo A = I.
IDEAL PRINCIPAL
Considere A um anel comutativo e I um ideal em A, de modo que I = {x.a/ x 
e a A}, em que o elemento a é o único gerador de I, sendo assim I é denominado 
de ideal principal gerado por a.
Por exemplo, o conjunto 2Z, dos números pares, satisfaz a definição de ideal 
principal, pois o conjunto é gerado por a=2 e 2 Z.
Podemos generalizar esse exemplo, de modo que I=nZ são casos de ideais 
principais de Z. Para expandirmos o conceito de ideal principal para anel principal, 
é preciso que considerar um anel de integridade, em que todos os ideais precisam 
ser principais, ou seja, o conjunto Z pode ser considerado um anel principal. Outro, 
caso relevante é obtido se considerarmos A um anel comutativo com unidade, 
segue que: A é um corpo, se e somente se, seus únicos ideais são os triviais A e {0}.
Anéis
U3
104
Vejamos a seguir uma aplicação dos conceitos apresentados:
Analise se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um 
contraexemplo. Considere um anel A tal que (A, +, .) é um anel unitário: Se B é um 
subanel de A, então B é também um ideal de A.
SOLUÇÃO: 
Considere A = R e B = Z, temos que B é um anel, e consequentemente um 
subanel de R, porém não é um ideal de R, pois se x Z e y R temos que xy Z 
como por exemplo x = 1 e y = . logo a afirmação é falsa.
ANÉIS QUOCIENTES
Para definirmos anéis quocientes precisamos considerar um anel I ideal e 
um anel comutativo A, de modo que seja satisfeita a seguinte propriedade:
Seja I um ideal em um anel comutativo A e a relação de equivalência ~ tal que: 
x ~ y se, somente se em x - y I para todo x, y A.
Como a relação ~ é de equivalência, temos que são válidas as propriedades:
I) Reflexiva: Segue que 0 I, assim x – x I o que implica x~x para todo x A.
II) Simétrica: Se x~y então x - y I então –(x - y) I o que implica em y - x I 
logo y~x.
III) Transitiva: Se x~y e y~z, temos que x - y I e y - z I logo (x - y) +(y - z) I, ou 
seja, x - z I deste modo, x~z.
Observamos que as classes de equivalências são conjuntos
??= { x + i/ x ? I } = x+ I, e o conjunto quociente de A pela relação de equivalência 
~ é o conjunto {? ?/ x ? A} . Neste caso denotaremos o conjunto quociente por A/I. 
A partir dessas considerações podemos definir anel quociente, vejamos:
Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente Apor I é o conjunto
A/I= {x+I/ x A} com as operações de adição e multiplicação a seguir: ADIÇÃO: 
Para todo x e y A temos que ( x+I) + ( y + I) = ( x+y) + I
Qual é a característica de um anel ideal primo?
Anéis
U3
105
MULTIPLICAÇÃO: Para todo x e y A ( x + I). (y+I) = (x.y) + I
As definições apresentadas nessa seção podem ser sintetizadas no diagrama a 
seguir: 
Fonte: O autor (2015)
Figura 3.4 – Exemplo de tipos de anéis
1. Considerando as definições e propriedades relacionadas a 
anéis, julgue os itens a seguir:
I) Para uma estrutura algébrica ser definida como um anel (A, 
+, .), temos que (A, +) é um grupo abeliano e (A,.) atende às 
propriedades associativa e distributiva à direita e à esquerda.
II) Todo anel comutativo possui unidade.
III) Para termos um homomorfismo de anel basta que o 
contradomínio de uma aplicação atenda à definição de anel.
Assinale a alternativa correta:
A partir das definições tratadas nessa seção investigue a demonstração 
do TEOREMA DO HOMOMORFISMO que é enunciado do seguinte 
modo:
Seja f : A B um homomorfismo sobrejetor de anéis. Se I indica o 
núcleo de f, então A/I e B são anéis isomorfos.
Anéis
U3
106
a) I e II são verdadeiras. 
b) I e III são verdadeiras. 
c) II e III são falsas.
d) I e III são falsas.
2. Analise se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a 
sua resposta ou apresentando um contraexemplo: Considere 
A um anel tal que (A, +, .) é um anel unitário. Deste modo, 
qualquer subanel unitário de A possui a identidade de A.
Anéis
U3
107
Seção 2
Polinômios e anéis de polinômios
Nesta seção retomaremos alguns aspectos históricos sobre o desenvolvimento 
de soluções de equações e o surgimento da álgebra abstrata. Apresentado 
posteriormente as definições acerca de polinômios, métodos de resolução de 
equações e as estruturas algébricas de anéis de polinômios.
2.1 Aspectos históricos
Para realizarmos uma abordagem histórica sobre o desenvolvimento das 
resoluções de equações algébricas nos apoiamos nos autores Boyer (1974), Eves 
(1995) e Katz (1993). Nesta subseção faremos um breve relato dos principais 
fatos que contribuíram para as formas de resoluções que adotamos atualmente. 
Primeiramente abordaremos as resoluções de equações de segundo grau, estas 
já possuem registros de resoluções desde a antiguidade, destacaremos as formas 
de resolução dos povos babilônios e gregos. Posteriormente destacaremos as 
principais contribuições para o desenvolvimento da álgebra.
Atribuímos aos babilônicos o primeiro registro das equações do 2º grau. 
Realizando uma analogia com os métodos atuais, o raciocínio empregado é 
similar ao método de completar quadrados, porém resolviam equações com raízes 
estritamente positivas.
Quanto ao desenvolvimento de resoluções de equações de 2º grau na Grécia, 
podemos destacar Euclides. Na obra, Os Elementos, são abordadas resoluções 
dessas equações por meio de métodos geométricos.
Na antiguidade foram desenvolvidas estratégias de resoluções de 
equações do segundo grau por egípcios e chineses em que cada povo 
apresentava métodos específicos. Investigue mais sobre o assunto e 
aprofunde seus conhecimentos.
Anéis
U3
108
Também podemos citar da Grécia Diophanto, que colaborou com 
desenvolvimento da linguagem algébrica introduzindo símbolos, pois anteriormente 
era utilizada apenas a forma discursiva para a resolução de equações. O principal 
tratado de Diophanto, conhecido como Arithmetica, contribuiu com inovações 
de resoluções para equações de 1º e 2º graus, deduziu fórmulas gerais e métodos 
para resolver equações lineares e quadráticas, porém as soluções irracionais eram 
tidas como impossíveis. 
Na Índia surgiu a teoria dos números negativos favorecendo, assim, novos 
campos de estudos para álgebra. Brahmagupta (598-670) determinava a solução 
completa para equações lineares diofantinas, do tipo 8x + 12y = 4.
Os árabes, a partir do início do século IX, também contribuíram para 
o desenvolvimento da álgebra. Iniciaram um processo de compilação do 
conhecimento existente até então e desenvolvendo novas técnicas para 
resoluções de equações. Destacamos Abu Jafar Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi, 
nasceu no final do século VIII e viveu até por volta do ano 850. Entre as suas obras 
contribuiu com a aritmética e álgebra, no livro Al-jabr wa'l muqabalah. Ao traduzir 
esse exemplar se originou o termo álgebra. Nesta obra, ele aborda, por meio de 
uma mostra direta e elementar, a resolução de equações, particularmente as de 
segundo grau.
Houve outras contribuições para o desenvolvimento de soluções de equações, 
quadráticas, cúbicas e quárticas, porém o auge ocorreu no século XVI.
Quanto às equações de 3º grau, temos que em torno de 1510 o matemático 
italiano Scipione del Ferro (1465 – 1526) formula um método para resolver equações 
do tipo x³ + px + q = 0. Mas a sua descoberta não foi publicada, apenas ensinada 
para seus discípulos Antonio Maria Fior e Annibale della Nave. Posteriormente a sua 
morte, Maria Fior desafia Niccolo Fontana (1499-1557), também chamado como 
Tartaglia, que era conhecido devido ao seu talento em resolver equações. 
Porém, Tartaglia havia descoberto um método para resolver equações do tipo x³ 
+ px² + q = 0 e acaba ganhando o desafio.
Este desafio de resolução de equações cúbicas chamou a atenção de Girolano 
Cardano (1501-1576) que entrou em contato com Tartaglia a fim de conhecer 
os métodos que ele descobriu. Tartaglia confiou a Cardano os métodos de 
resolução, mas pediu que estes não sejam revelados. Em 1545 Cardano publicou 
Ars Magna, divulgando os métodos de resolução algébrica de cúbicas. Na obra, 
Cardano afirma que, mesmo Tartaglia conhecendo o método, o crédito deve ser 
atribuído a Scipione del Ferro, pois Cardano em posse de suas anotações, não se 
prendeu à promessa realizada a Tartaglia. Atualmente conhecemos o método de 
resolução de cúbicas como Fórmula de Cardano.
Anéis
U3
109
Ao conhecer os métodos de resolução de equações cúbicas, Rafael Bombelli 
(1526-1572) trabalha com resoluções em que surgem raízes diferentes dos números 
reais. Inicia-se um processo que posteriormente resulta em uma sistematização 
do conjunto dos números complexos. Além disso, os estudos de Bombelli 
possibilitaram mostrar que equações cúbicas possuem até três raízes. Porém foi 
Cardano o primeiro que manipulou algebricamente os números complexos, mas 
foi Bombelli que sistematizou as operações de adição, multiplicação e divisão de 
números complexos.
Outra contribuição a resoluções de equações do 3º grau foi de François Viète 
(1540-1603) na obra Emendatione. Ele ensinou uma nova forma para solucionar 
uma equação cúbica, utiliza- se da trigonometria para resolver essas equações.
René Descartes (1596-1650) estudou a solução de equações cúbicas por meio 
de duas cônicas: a parábola e a circunferência. Notou que certos pontos de 
intersecção dessas curvas representam raízes negativas da equação. Seus estudos 
deram origem à Geometria analítica.
Durante o século XIX, a matemática ganhou um caráter mais abstrato, surgindo 
o rigor matemático estabelecido por axiomas e definições com as contribuições de 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). A matemática foi aplicada com maior abstração 
e especialização, repercutindo entre os demais matemáticos contemporâneos, 
devido às suas demonstrações que eram mais rigorosas e completas em relação 
aos seus precursores. Entre os seus trabalhos destacamos a sua tese de doutorado 
em que ele demonstra o que conhecemos hoje como o Teorema Fundamental 
da Álgebra.
Pierre de Fermat (1601 – 1665), foi o autor de uma famoso teorema 
conhecido como o último Teorema de Fermat. Em termos 
notacionais atuais pode ser enunciado como: não é possível 
determinar três números x, y e z de modo que xn + yn = zn, para n 
inteiro maior que 2. No final do século XX finalmente foi provado esse 
teorema depois de haverem inúmeras tentativas de demonstrá-lo. 
Acesse o linke saiba mais.
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/
ultimo_teorema.html>
Anéis
U3
110
Todas essas contribuições estimularam os algebristas a buscarem soluções de 
equações de graus superiores a cúbicas. Na tentativa de determinar uma fórmula 
para as equações de grau maior ou igual a cinco, surgiu a teoria dos grupos de 
Evariste Galois (1811-1832) e também outras formas de resoluções para equações 
cúbicas. Podemos subdividir o desenvolvimento da álgebra em duas etapas. A 
primeira, desde a antiguidade até por volta do século XVIII, que se ocupava com as 
resoluções de equações, e, a segunda que por volta do século XIX atingiu seu ápice 
que se ocupou com as estruturas algébricas baseadas em axiomas e propriedades, 
a fim de provar novos teoremas e fundamentar a álgebra, que nesse contexto é 
denominada de álgebra abstrata.
2.2 Polinômios
Um polinômio com coeficientes reais na variável x sendo uma função f: R R 
é definido por:
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ +...+ a
n
xn em que ao, a
1
, a
2
, ..., a
n
 são números reais, 
denominados coeficientes do polinômio.
OBSERVAÇÕES:
I) O coeficiente a
0
= a
0
.x0 e é o termo constante.
II) Se os coeficientes do polinômio são números inteiros, temos um polinômio 
inteiro em x.
Determinamos o grau de um polinômio p=p(x) não nulo por meio do expoente 
de seu termo dominante, ou seja, o termo de mais alto grau que possui um 
coeficiente não nulo. Realizamos a seguir observações sobre o grau do polinômio:
I) Se um polinômio nulo não tem grau, não possui termo dominante.
II) Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, este é 
denominado de mônico.
III) Um polinômio pode ser ordenado de acordo com as suas potências em 
ordem crescente ou decrescente.
IV) Se existirem um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será denominado 
de incompleto.
Anéis
U3
111
V) No caso de um polinômio incompleto de grau n, o número de termos deste 
será menor ou igual a n.
VI) Um polinômio é denominado de completo se possuir todas as potências 
consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante e o número de termos 
deste será exatamente n+1.
Comumente utilizamos uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) 
e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Definimos, a seguir, a igualdade de polinômios, vejamos: Os polinômios p e q 
em P[x], definidos por:
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ +...+ a
n
xn
q(x) = b
o
 + b
1
x + b
2
x² + b
3
x³ +...+ b
n
xn 
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n temos que a
k
=b
k
Quanto ao polinômio nulo temos como uma condição necessária e suficiente 
de que todos os seus coeficientes sejam nulos. Deste modo, um polinômio: 
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ +...+ a
n
xn
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n temos que a
k
= 0.
Neste caso, denotamos por po=0 em P[x].
Quanto ao polinômio unidade p
1
=1 em P[x], é definido por:
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ + ...+ a
n
xn
tal que a
o
=1 e a
k
=0, para todo k=1,2,3,...,n.
Para realizar a soma de polinômios, consideremos p e q polinômios em P[x], 
tal que:
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ +... + a
n
xn q(x) = b
o
 + b
1
x + b
2
x² + b
3
x³ +... + b
n
xn 
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (a
o
+b
o
)+(a
1
+b
1
)x+(a
2
+b
2
)x²+...+(a
n
+b
n
)xn
Anéis
U3
112
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Ao estabelecermos uma relação matemática com um número finito de 
operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação envolvendo a 
variável x, temos o que denominamos de equação algébrica.
Uma a equação do tipo p(x) = 0 sendo p um polinômio real em P[x], é 
denominada de equação polinomial. Temos que o zero ou raiz de um polinômio 
real p em P[x] é um número c, podendo ser real ou complexo, de modo que 
p(c)=0. No caso de uma equação possuir a variável com a operação de radiciação 
denominamos de equação irracional. Vejamos alguns exemplos, em que ambas 
são equações algébricas:
I) 4x²+6x+14=0, neste caso temos uma equação polinomial.
II) 6x²+14x½=4x+6, este caso temos uma equação irracional.
Observamos que uma equação algébrica irracional, utilizando-se de 
manipulações algébricas, pode ser convertida para uma equação polinomial, 
porém as raízes dessa nova equação precisam ser analisadas para verificar 
se satisfazem a equação original. A seguir destacamos métodos de resolução 
algébrica: 
I) Equação do 1º grau: são equações do tipo ax + b = 0 com a ≠ 0, neste caso 
é admitido uma única raíz determinada por x = -b/a.
II) Equação do 2º grau: são equações do tipo ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0, 
admite duas raízes no conjunto dos números complexos, vejamos a dedução da 
fórmula.
Como definimos o algoritmo da divisão de polinômios de modo 
generalizado?
Anéis
U3
113
Temos que ax² + bx + c = 0 possui a, b e c R com a ≠ 0, sendo assim:
1º) multiplicando ambos os lados da igualdade por 4a temos:
2º) aplicando ambos os lados por -4ac temos:
3º) adicionando b² em ambos os membros e fatorando o primeiro membro 
temos
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
4º) Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros temos:
5º) aplicando –b em ambos os lados temos
6º) Como a ≠ 0 então podemos dividir ambos os membros por 2a.
7º) Deste modo, deduzimos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
Anéis
U3
114
III) Equação cúbica ou do 3º grau: são equações do tipo ax³ + bx² + cx + d = 
0 com a ≠ 0, em que há exatamente três raízes no conjunto dos números 
complexos que podem ser determinadas pela fórmula de Cardano. Vejamos a 
dedução a seguir:
Em que as raízes são determinadas por:
Além dessa fórmula para resolução de equações do segundo grau, há outros 
métodos aplicados a equações incompletas, ou ainda, o método de completamento 
de quadrados e a técnica de soma e produto.
Acesse os links a seguir e veja exemplos resolvidos para os métodos 
descritos:
Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/
EquacaoSegundoGrau.aspx>. 
Disponível em: <http://educador.brasilescola.com/estrategias-
ensino/completando-quadrados.htm>.
Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/
soma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm>. 
Qual é a melhor estratégia para resolver uma equação do segundo 
grau?
Anéis
U3
115
Temos que ax³ + bx² + cx + d = 0 possui a, b, c e d R com a ≠ 0, sendo assim:
1º) Dividimos a equação por a:
2º) Consideramos e substituindo na equação temos:
3º) Desenvolvendo as potências e agrupando os termos semelhantes temos:
4º) Considerando y = p + q e substituindo na equação e manipulando 
algebricamente temos:
Anéis
U3
116
5º) Como o primeiro membro necessita ser nulo, podemos construir o seguinte 
sistema:
Ou ainda,
6º) Isolaremos q na segunda equação:
7º) Substituiremos na primeira equação:
8º) Multiplicaremos por p³ ambos os lados da igualdade:
Anéis
U3
117
9º) Aplicando a fórmula de resolução de equações do segundo grau temos: 
Manipulando algebricamente obtemos:
10º) Retomando a primeira equação do sistema do 6º) determinaremos q, 
vejamos:
Ou ainda,
Anéis
U3
118
11º) Substituindo p³ do 9º) temos:
Agrupando os termos temos:
Concluindo a resolução do sistema temos os valores de p e q respectivamente:
Observe que a única diferença entre p e q é um sinal, consideraremos p o sinal 
positivo e para q o sinal negativo. Retomando as substituições realizadas temos:
o que implica em 
Deste modo obtemos como fórmula de resolução da equação cúbica:
Anéis
U3
119
No caso de termos uma equação cúbica incompleta em que a = 1 e b = 0, ou 
seja, x³ + cx + d = 0 , é aplicada a seguinte fórmula de resolução:
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Este teorema foi de fundamental importância para a resolução de equações 
polinomiais, sendo atribuídos os créditos a Gauss por ter provado seu resultado. 
Podemos enunciá-lo da seguinte maneira:
TEOREMA: Toda equação polinomial com coeficientes reais ou complexos, 
possuino conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Ou de modo análogo,
TEOREMA: Toda equação polinomial de grau n, com coeficientes reais ou 
complexos, possui exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.
Uma consequência desse teorema é que toda equação polinomial real de grau 
n, possui no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.
Para obter soluções de equações quárticas investigue a fórmula de 
Ferrari, quanto a equações de grau maior ou igual a 5 não existem 
métodos algébricos, porém são aplicados métodos numéricos. 
Acesse o link a seguir e veja mais deduções e exemplos resolvidos 
para equações:
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/
renascenca/equacoes4grau.htm>
Disponível em: <https://problemasteoremas.wordpress.
com/2010/07/28/equacoes-cubicas-e-quarticas/>. 
Além dos links, segue uma sugestão de leitura para aprofundar seus 
conhecimentos: O romance das equações algébricas, Gilberto G. 
Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999.
Anéis
U3
120
Investigue sobre produtos notáveis e identifique as identidades 
polinomiais, como também as desigualdades polinomiais, tais 
conceitos são relevantes para análises matemáticas.
FUNÇÕES POLINOMIAIS REAIS
Vejamos a seguir exemplos de funções polinomiais definidas de f: R R :
I) Função Afim definida por f(x) = ax +b
Neste caso ao representarmos essa função no plano cartesiano, obteremos um 
gráfico de uma reta. Se b=0, temos um caso particular indicado por função 
linear, se a=0 temos um caso denominado de função constante.
II) Função quadrática definida por f(x) = a x² + b x + c em que a≠ 0
Esse tipo de função possui o gráfico formado por uma curva denominada de 
parábola, com aplicações em diferentes áreas como cinemática, radares, antenas 
parabólicas e faróis de carros.
III) Função cúbica definida por f(x) = ax³ + bx² + cx + d em que a≠ 0
Esse tipo de função possui ao menos uma raiz, podendo no máximo ter três 
raízes.
Como lidar com desigualdades polinomiais?
Veja exemplos de funções afim e quadráticas, acesse os links:
Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-
afim/>.
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/
funcao2.php>.
Disponível em: <http://www.espn.edu.pt/matematica/polinomios/
funcoescubicas.htm>.
Anéis
U3
121
Observamos que a função exponencial exp(x)=ex pode ser representada como 
um somatório com infinitos termos de potências de x, vejamos a seguir:um somatório com infinitos termos de potências de x, vejamos a seguir:
Deste modo, a equação do tipo ex =x²+7x é denominada de uma equação 
transcendente ao invés de equação algébrica.
2.3 Anéis de polinômios
De modo generalizado podemos compreender um polinômio como uma 
sequência de um anel, em que a partir de certa ordem, todos os termos da 
sequência são nulos. 
Por exemplo, o polinômio p = (4,5,-3,2,7,0,0,0,...,0,...) Z[x] é indicado na forma 
usual por meio de p = 4 + 5x – 3x² + 2x³ + 7x4.
Observe que na sequência foram apresentados os coeficientes do polinômio de 
modo que, o polinômio na forma usual é representado do menor para o maior 
grau de seus monômios.
POLINÔMIOS SOBRE UM ANEL
Apresentamos a seguir a definição de sequência sobre um anel: Considere um 
anel A, uma sequência de elemento em A é uma função f: N A.
Aprofunde seus conhecimentos sobre sequências numéricas sobre 
o conjunto dos números naturais. Acesse:
Disponível em: <http://www.matematiao.com.br/site/wp-content/
uploads/2012/06/Sequ%C3%AAncias-2012.pdf>.
Que operações usuais são válidas para um polinômio sobre 
um anel? No caso de um conjunto ser um anel de polinômio, é 
possível ter subconjuntos que também são anéis?
Anéis
U3
122
Podemos representar uma sequência do seguinte modo f = ( a
0
, a
1
, a
2
,...) ou de 
modo mais simples f = (a
i
).
Considere duas sequencias f = (a
i
) e g = (b
i
), são válidas as seguintes afirmações 
para: I) Igualdade: se f = g então a
i
= b
i
.
II) Adição: definimos a soma f+g como uma h(c
i
) tal que c
i
= a
i
 + b
i
 para todo i N.
III) Multiplicação: o produto de f por g é uma sequência j= (d
i
) de modo que 
d
i 
= 
III) Multiplicação: o produto de f por g é uma sequência j= (d
 para todo i N. 
Definiremos a seguir um polinômio sobre um anel, vejamos:
Seja um anel A e uma sequência ( a
0
, a
1
, a
2
,...) com a
i
 A para todo i N, 
denominamos um polinômio sobre A se existir um índice s N de modo que ak = 
0 para todo k>s.
Ou seja, uma sequência é um polinômio se a partir de algum elemento todos os 
demais são nulos. Vejamos a seguir alguns exemplos de polinômios sobre anéis: 
I) Seja f = ( 3, 4, -8, 2, 6, 0, 0, ..., 0,...), em que ak = 0 para todo k>4, temos um 
caso de polinômio sobre o anel Z.
II) Seja g = é um polinômio 
sobre o anel M
2
x
2
 (Z).
PROPOSIÇÕES
Indicaremos por A[x] o conjunto de todos os polinômios sobre o anel A. 
I) A operação de adição é fechada em A[x].
II) A operação de multiplicação é fechada em A[x]. 
III) Seja A um anel, então A[x] é um anel.
Qual seria um exemplo de uma sequência que não é um polinômio?
Anéis
U3
123
IV) Se A é um anel comutativo, então A[x] é um anel comutativo.
V) Se A é um anel com unidade, então A[x] é um anel com unidade.
VI) Se f = (ai) é um polinômio nulo o grau de f é o maior índice dos termos não 
nulos de f e denotamos de gr(f).
1. Qual foi a principal contribuição de Scipione del Ferro para 
os métodos de resolução de equações algébricas?
2. Seja a sequência f= ( 2, -3, 4, 1, 2,0,..,0,...), qual a representação 
polinomial dessa sequência e qual é o grau do polinômio?
Nessa unidade você aprendeu:
- definições e propriedades de anéis;
- domínios de integridade e corpos;
- homomorfismos e isomorfismos de anéis;
- ideais e anéis quocientes;
- polinômios;
- métodos de resolução de equações;
- anéis de polinômios.
Anéis
U3
124
Nesta unidade abordamos, na primeira seção, os anéis, 
apresentando as propriedades gerais e em relação à 
multiplicação, também elencamos algumas proposições 
relevantes e casos notáveis de anéis, definimos subanéis, 
anéis comutativos e com unidade e subanéis unitários. Foi 
tratado de domínios de integridade e corpos, definimos o 
que são quocientes em um corpo. Também abordamos 
homomorfismos, definindo núcleo, isomorfismos e 
propriedades relevantes. Posteriormente foram definidos 
ideais, ideal principal e anéis quocientes.
Na segunda seção tratamos sobre os aspectos históricos do 
desenvolvimento de métodos de resolução de equações 
e as contribuições para o desenvolvimento algébrico e 
consequentemente para a álgebra abstrata que resulta 
no estudo de grupo, anéis, entre outros. Definimos e 
conceituamos polinômios, apresentamos a dedução das 
fórmulas de resolução de equações do segundo e terceiro 
grau. Também definimos anéis de polinômios, bem como 
as propriedades e proposições mais relevantes.
 Espero que tenha compreendido as estruturas algébricas 
relacionadas a anéis, bem como os métodos de resolução 
de equações polinomiais. Aprofunde conhecimentos 
adquiridos, pratique as atividades propostas e responda às 
questões para fortalecer seu aprendizado. Bons estudos!
Anéis
U3
125
1. Considerando as definições e propriedades relacionadas a anéis 
julgue os itens a seguir:
I) Todo domínio de integridade pode ser considerado um corpo.
II) O isomorfismo é um caso particular de homomorfismo em que a 
aplicação de dois anéis A e B é injetora e sobrejetora, ou seja, f : A 
B é bijetora.
III) Todo ideal I é um subanel de um anel A, pois I A e satisfaz as 
propriedades de subanel.
Assinale a alternativa correta:
a) I e II são verdadeiras.
b) II e III são verdadeiras.
c) Apenas a II é verdadeira.
d) Apenas a III é verdadeira.
2. Quais são todas as propriedades que precisam ser satisfeitas para 
que um anel seja considerado um corpo? Cite cada propriedade.
3. Os conjuntos 2Z, 3Z, 4Z, ... são subanéis de (Z, +, .). Porém esses 
conjuntos satisfazem estruturas algébricas mais complexas,por 
atenderem a um número maior de propriedades, descreva uma 
dessas estruturas que os conjuntos nZ satisfazem, apontando 
quais propriedades foram satisfeitas.
Anéis
U3
126
4. Considere o teorema fundamental da álgebra e julgue as sentenças 
indicando a alternativa INCORRETA:
a) No teorema fundamental da álgebra não é demonstrado um 
método de resolução para as equações polinomiais.
b) Por meio do teorema fundamental da álgebra não podemos 
garantir que uma equação polinomial possui raízes reais.
c) Considere a equação x² + 1 = 0 esta não possui raiz real, mas possui 
duas raízes complexas.
d) O teorema fundamental da álgebra determina exatamente o 
número de raízes que encontramos ao resolver uma equação 
polinomial.
5. É possível construir um anel de polinômio sobre o conjunto das 
matrizes M3x3 (Z)? Justifique.
U3
127Anéis
Referências
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São 
Paulo: Edgard Blucher, 1974.
DOMINGUES, H. H. Álgebra moderna. 4º edição reformulada, Atual 
Editora, São Paulo, 2003.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: 
UNICAMP,1995. 
GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron 
Books, 1999.
KATZ, V. J. History of mathematics: an introduction. New York: Harper 
Collins College Publishers, 1993.
Unidade 4
MÉTODOS E TÉCNICAS DE 
ENSINO
Ao pensar e raciocinar formulamos ideias e relacionamos informações. 
Nesse sentido, a construção do pensamento algébrico é uma forma 
de pensamento e raciocínio sobre objetos matemáticos. Nesta seção 
trataremos de elementos como a diferenciação entre pensamento e 
linguagem algébrica, concepções da álgebra, atribuição de significados, 
processos mentais e desenvolvimento do pensamento elementar ao 
avançado a fim de compreender como se dá a construção do pensamento 
algébrico.
Seção 1 | Construção do Pensamento Algébrico
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade abordaremos os métodos e técnicas de 
ensino, mas para atingir tal objetivo, estudaremos o desenvolvimento do pensamento 
matemático e consequentemente o pensamento algébrico com caracterizações 
elementares e avançadas. Trataremos também de métodos de ensino e recursos 
tecnológicos como o aplicativo geogebra.
Os assuntos destacados subsidiam a transposição dos conteúdos tratados neste livro 
dando auxílio na elaboração de práticas pedagógicas. 
Bons estudos!
Debora Cristiane Barbosa Kirnev 
A partir de situações cotidianas e ações sobre objetos matemáticos 
podemos construir naturalmente as operações com números naturais, 
porém a transição para compreender os números inteiros requer 
superar obstáculos e normalmente é de difícil aceitação. Nesse sentido, 
abordaremos essa transição e o emprego dos sinais nas operações 
com o conjunto dos inteiros. Além disso, as orientações curriculares 
direcionam os professores para uma abordagem intuitiva para funções 
para que, posteriormente, haja sistematizações e manipulação algébrica, 
construindo, gradualmente, o conceito. Deste modo complementaremos 
a seção abordando esse tema. 
Seção 2 | Uma Abordagem Didática Sobre Números 
Inteiros e o Ensino da Álgebra
Métodos e técnicas de ensino
U4
130
Métodos e técnicas de ensino
U4
131
Introdução à unidade
No desenvolvimento do pensamento matemático, desenvolvemos habilidades 
que nos possibilitam a resolução de problemas. Esse processo é caracterizado por 
etapas em que a primeira
Segundo Ponte et al. (1997), temos uma síntese desse processo. Nesse sentido, 
é importante que os estudantes de matemática sejam expostos a situações 
problemas que confrontem diversas situações de aprendizagem e possibilitem 
estabelecer relações entre elas, ainda se exige que se desenvolvam competências 
e habilidades sobre o pensamento matemático promovendo a aprendizagem de 
conceitos elementares em nível mais avançado.
Na primeira seção trataremos como desenvolvemos o pensamento algébrico 
desde os níveis elementares até o nível avançado.
Na segunda seção abordaremos, de uma perspectiva didática e metodológica, 
os números inteiros. Posteriormente apresentaremos uma estratégia metodológica 
para o ensino de funções relacionando manipulação algébrica e representação 
gráfica por meio de recursos do geogebra.
Tenha um bom estudo e aproveite ao máximo o conteúdo que lhe é 
proporcionado e deste modo aprimore seus conhecimentos. 
[...] é uma fase de análise consciente e deliberada do problema. 
A segunda é uma fase de trabalho inconsciente. Parece um 
abandono provisório da tarefa. No entanto, o que se passa é que o 
eu inconsciente ou subliminar, explora, sistematicamente, todos 
os elementos que lhe foram fornecidos pela primeira etapa do 
trabalho. Após um certo tempo, num momento qualquer em que 
o espírito se afasta do problema a resolver, algumas combinações 
desses elementos, provenientes do trabalho do inconsciente, 
aparecem na mente na forma de uma inspiração súbita. Numa 
terceira etapa, há uma análise consciente e rigorosa dessas ideias 
que poderão ser aceitas, modificadas ou rejeitadas. Neste último 
caso, o inconsciente recomeçará de novo o seu trabalho na 
procura de uma nova solução. (PONTE et al., 1997, p. 20).
Métodos e técnicas de ensino
U4
132
Métodos e técnicas de ensino
U4
133
Seção 1
Construção do pensamento algébrico
Para tratarmos a aprendizagem e ensino de álgebra compreendendo a relação 
entre pensamento algébrico e simbologia adotada, destacaremos alguns elementos 
históricos a fim de esclarecer o processo de desenvolvimento da álgebra elementar 
e abstrata.
Desde os povos egípcios, por volta de 3000 a.C., já se identificaram registros 
sobre a resolução de equações lineares, em que sem a linguagem simbólica 
utilizavam-se técnicas e estratégias para determinar a solução da equação. Os 
povos babilônicos descreveram métodos para resolução de equações polinomiais 
do segundo grau por meio do completamento de quadrados. Por meio dessas 
descobertas, entre outras, o desenvolvimento histórico aponta que o pensamento 
algébrico precede o desenvolvimento da linguagem algébrica. Segundo Radford 
(2001), a linguagem algébrica simbólica surgiu como uma ferramenta ou técnica 
e evoluiu no desenvolvimento da matemática se tornando um objeto matemático.
Ao analisarmos a trajetória histórica temos que a álgebra é descrita em três fases, 
sendo:
I) Fase retórica: os registros são descritos passo a passo sem a notação algébrica 
e sim com a utilização de linguagem natural. 
II) Fase sincopada: surgem algumas simbologias e há uma mescla entre a 
utilização de notação e linguagem natural, sendo um dos contribuintes desse 
processo o matemático Diofanto no século III d.C.
III) Fase simbólica: inicia-se por volta do século XVI ao se buscar introduzir uma 
linguagem algébrica expressa somente por símbolos, com esse processo houve 
um avanço notório no desenvolvimento teórico da matemática, pois se permitiram 
generalizações e abstrações.
O grego Diophanto de Alexandria foi o algebrista precursor na 
utilização de notações algébricas sendo considerado o pai da álgebra 
devido à inovação na resolução de problemas algébricos.
Métodos e técnicas de ensino
U4
134
[...] reformas nos programas de álgebra tendem a dar maior 
relevância para as funções, às várias maneiras de representar 
as situações funcionais e para a solução de problemas do 
“mundo real” por métodos diferentes daqueles dos manuais 
de manipulação simbólica, [...]. (KIERAN, 2007, p. 709, 
tradução nossa).
Segundo Sfard e Linchevski (1994), quando a linguagem retórica era utilizada, a 
álgebra era somente operacional focada nos processos numéricos, cujos objetos 
abstratos eram os números. Os autores apontam que o desenvolvimento do 
pensamento algébrico permitiu a transição da álgebra operacional para a álgebra 
estrutural por meio do desenvolvimento da linguagem simbólica. Sendo assim, as 
representações simbólicas possuem um caráter operacional e estrutural enquanto as 
palavras não possuem esse caráter estrutural,pois não são manipuláveis do mesmo 
modo que os símbolos. 
1.1 O pensamento algébrico e a linguagem algébrica
Nos dias atuais utilizamos uma linguagem simbólica convencional. Precisamos 
instigar os estudantes a construírem significados para esses termos notacionais e 
associar a linguagem simbólica com formas de pensamento algébrico.
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993, p. 95) ressaltam que mesmo possuindo diferentes 
concepções sobre o ensino da álgebra tende a “redução do pensamento algébrico à 
linguagem algébrica”, ou seja, trabalha-se resolução de atividades que consistem em 
converter a linguagem corrente em linguagem simbólica e aplicar algoritmos para 
a resolução.
 Em geral há uma tendência para a utilização do ensino tradicional em que o 
professor resolve exemplos, muitas vezes, algoritmos e os alunos reproduzem a 
resolução modelo em outros exercícios. Observando que nessa tendência ocorre 
o processo inverso do desenvolvimento histórico, pois primeiramente se introduz a 
linguagem algébrica para posteriormente atribuir significação para essa linguagem e 
emergir as formas de pensamento. Deste modo, essa abordagem não favorece que 
o estudante estabeleça conexões entre os conteúdos e objetos matemáticos, há 
somente a priorização do ensino de técnicas sem favorecimento do desenvolvimento 
do pensamento algébrico.
Porém é necessário que o ensino da álgebra possibilite ao estudante que ele 
se aproprie gradativamente das notações algébricas e atribua significados para as 
mesmas para que desenvolva relações entre os objetos matemáticos gerenciando 
as formas de pensamento do mais simples ao mais complexo. Kieran aponta que,
Métodos e técnicas de ensino
U4
135
Neste sentido, o desenvolvimento de formas de pensamento desde as 
séries iniciais a fim de relacionar a aritmética com a álgebra tende a propiciar o 
desenvolvimento do pensamento matemático formando conexões e estruturas 
lógicas a fim de contribuir para os processos de abstrações e generalizações exigidos 
no pensamento algébrico. Segundo Lins e Gimenez (1997, p. 152) a educação 
algébrica “deve compreender dois objetivos centrais: 1) permitir que os alunos 
sejam capazes de produzir significados para a álgebra; e, 2) permitir que os alunos 
desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.”
Deste modo, promover experiências que favoreçam sistemas de representações 
e ferramentas que aprimorem gradativamente as formas de pensamento é um meio 
para que haja significação para a linguagem simbólica. 
Autores como Booth (1995) e Kieran (1981) apontam que certas dificuldades dos 
estudantes estão relacionadas ao fato de aprenderem aritmética desvinculada do 
pensamento algébrico, passando a utilizar procedimentos aritméticos em resoluções 
algébricas. Neste sentido, Booth (1995) afirma que os estudantes: 
• tendem a dar respostas particulares ao invés de uma resposta generalizada;
• não aceitam expressões algébricas como procedimento e resposta reduzindo 
a um único termo; 
• atribuem ao sinal + apenas o conceito de adição e = significa indica uma única 
resposta; 
• possuem dificuldades em atribuir significados às incógnitas e variáveis; 
• tendem atribuir valores únicos para variáveis. 
A partir desses indícios podemos perceber que o ensino de aritmética desvinculado 
de significados algébricos coopera para que os estudantes tenham dificuldades na 
aprendizagem de álgebra. 
Que estratégias metodológicas minimizam as dificuldades de 
aprendizagem da álgebra?
Métodos e técnicas de ensino
U4
136
1.2 Concepções da álgebra 
Segundo Usiskin (1995), há diferentes concepções para o ensino da álgebra 
quanto à compreensão do significado das “letras”. A seguir indicamos tais concepções 
apontadas pelo autor. Para tanto, considere as seguintes estruturas algébricas, que 
possuem a mesma forma (o produto de dois números é igual a um terceiro).
Em todos os casos temos implícito o conceito de variável, podemos notar que as 
letras possuem diferentes papéis em cada situação, atribuindo diferentes conceitos 
ao termo variável.
 Segundo Usiskin (1995), as finalidades da álgebra são determinadas ou se 
relacionam com diferentes concepções da álgebra e aos diversos usos das variáveis. 
A seguir exemplificamos as diferentes concepções apontadas pelo autor, da álgebra 
como:
I) aritmética generalizada: utilizam as variáveis como generalizadoras de modelos. 
Por exemplo, generaliza-se uma igualdade como 2 + 4 = 4 + 5, em que a ordem das 
parcelas não altera a soma, adotando a + b = b + a. Neste sentido, temos a álgebra 
como aritmética generalizada, em que o pensamento algébrico se reduz em traduzir 
e generalizar. 
II) estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas: 
consideremos que, adicionando 5 ao triplo de um certo número, a soma é 
50. Temos que determinar o número, traduzindo para a linguagem da álgebra, 
temos 3x + 5 = 50. Nesta concepção, a álgebra se resume em traduzir e resolver 
procedimentos algébricos para se obter uma solução, sendo atribuída à letra o 
significado de incógnita, não oportunizando relacionar com o conceito de variável 
devido à natureza do problema. Esse tipo de procedimento resulta em dificuldades 
relacionadas na transição da aritmética para a álgebra. 
III) estudo de relações entre grandezas: a fórmula da área de um retângulo, A = 
b. h, expressa uma relação entre três grandezas, em que se aplica a substituição das 
variáveis para determinar uma medida, porém não ressaltado essa características de 
variação de valores, temos a sensação de ser apenas um procedimento aritmético. 
Fonte: Adaptado de: Usiskin (1995)
Quadro 4.1 – Exemplos de estruturas algébricas
Métodos e técnicas de ensino
U4
137
Nesta concepção, a álgebra se resume a modelos e leis funcionais que descrevem 
ou representam as relações entre duas ou mais grandezas variáveis. 
IV) a álgebra como estudo das estruturas: no ensino superior de Matemática, 
o estudo de álgebra envolve estruturas como grupos, anéis, anéis de polinômios, 
corpos e extensões, tais estruturas fundamentam a álgebra escolar. Um exemplo é 
que podemos reconhecer a álgebra como estudo das estruturas na escola básica 
pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. 
Moreira e David (2005, p. 23) afirmam que “a ‘validade’ dos resultados matemáticos 
a serem discutidos no processo de escolarização básica não está posta em dúvida; 
ao contrário, já está garantida, a priori¸ pela própria Matemática Acadêmica”. Neste 
sentido, os tratamentos dados à matemática escolar e à matemática acadêmica 
assumem diferentes aspectos quanto às demonstrações de resultados, um exemplo 
é o de que a soma de dois números inteiros é comutativa: na matemática básica é 
tido apenas como uma propriedade, mas na matemática acadêmica requer uma 
demonstração matemática formal. 
Vejamos a seguir um quadro-resumo com as principais características de cada 
concepção:
Observamos que tais caracterizações não são excludentes, ou seja, elas podem 
se complementar para nos fornecer uma referência sobre diferentes significados 
que são atribuídos ao uso das letras em álgebra. Além disso, as letras podem 
representar objetos matemáticos abstratos dentro de uma estrutura matemática, 
exprimir generalizações a partir de padrões e regularidades. 
Neste sentido, a utilização de uma linguagem simbólica exprime a representação 
para diferentes situações em que o sujeito necessita desenvolver um pensamento 
flexível ao aprender álgebra. Desse modo, se um estudante não concebe álgebra 
como estrutura e lida com os procedimentos apenas de modo operacional, indica o 
Fonte: Adaptado de: Usiskin (1995)
Quadro 4.2 – Características das concepções da álgebra 
Concepção da Álgebra Utilização das variáveis
Aritmética generalizada Generalizadoras de modelos
 (traduzir, generalizar)
Meio de resolver problemas Incógnita, constantes
 (resolver, simplificar)
Estudo das relações Argumentos, parâmetros
 (relacionar, gráficos)
EstruturaSinais arbitrários no papel
 (manipular , justificar)
Métodos e técnicas de ensino
U4
138
enfrentamento de dificuldades de aprendizagens e necessidade de estímulos para o 
desenvolvimento do pensamento algébrico.
1.3 Atribuições de significados de elementos algébricos
A transposição de um pensamento aritmético para o pensamento algébrico 
implica um avanço para um nível mais elevado em que procede uma transição de 
operações para objetos abstratos. Sendo assim, a aprendizagem de álgebra requer 
o desenvolvimento de uma dimensão estrutural e processual do conhecimento 
matemático. Segundo Sfard (1991), processos e objetos matemáticos não 
são mutuamente exclusivos, ou seja, se complementam para a obtenção do 
conhecimento matemático. Ressaltamos que certas dificuldades que os estudantes 
apresentam em álgebra se devem a um ensino em que se apresenta uma álgebra 
estrutural previamente a processos algébricos sem o desenvolvimento do 
pensamento algébrico.
Sfard e Linchevski (1994) apontam que o desenvolvimento do pensamento 
algébrico requer a habilidade de alternar de pensamento operacional e uma 
abordagem estrutural de modo flexível, ou seja, às vezes, o foco é nos processos, 
outras vezes, é na estrutura de modo que haja uma inter-relação entre ambos. Os 
autores ainda ressaltam que, se não se estabelecerem relações entre os processos, 
os símbolos têm significados em si mesmos e as técnicas algébricas não fazem 
sentido, o que impossibilita o avanço do pensamento. 
Neste sentido, vemos que há uma grande importância em construir significados 
para simbologia e procedimentos algébricos. A respeito disso, Kieran (1992) 
recomenda promover o desenvolvimento de uma forma algébrica de pensar que 
incorpora um foco sobre:
Que características diferenciam o pensamento algébrico do 
pensamento aritmético?
Métodos e técnicas de ensino
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139
I) As relações e não somente o cálculo de uma resposta numérica; 
II) As operações e as operações inversas flexibilizando o pensamento reverso; 
II) As representações e resoluções de problema, em vez de somente solução; 
IV) Os números e letras, e não somente números por si só.
V) A reorientação do significado do uso do sinal de igual.
A autora ressalta a importância de lidar com letras em diferentes contextos, 
ou seja, que podem ser incógnitas, variáveis ou parâmetros. Além disso, aceitar 
fechamento de expressões literais como soluções e comparar expressões para 
equivalência utilizando propriedades, e não o raciocínio meramente numérico.
Deste modo, para que o ensino da aritmética promova uma forma algébrica de 
pensar e consequentemente haja o desenvolvimento do pensamento algébrico, 
é preciso considerar situações de aprendizagens que evitem lidar somente com 
situações particulares e instiguem experiências matemáticas que exigem análise 
de respostas, generalizações, estabelecimento de relações, utilização de diferentes 
representações, de modo que a aritmética seja um recurso a ser utilizado na 
resolução de um problema. Esse tipo de experiência favorece o refinamento de 
processos algébricos e a atribuição de significados para a simbologia matemática.
Neste sentido, verificamos que o desenvolvimento do pensamento algébrico 
necessita da produção de significados, além de recorrer à aritmética para subsidiar a 
realização de atividades pelos estudantes de modo que evoluam gradativamente e 
se apropriem do conhecimento matemático justificando e generalizando conceitos, 
ou seja, a aritmética e álgebra estão relacionadas por meio do pensamento algébrico, 
mesmo antes da introdução da linguagem simbólica. Ao passo que se existir esse 
desenvolvimento da forma algébrica de pensar na formação inicial do estudante, 
ao desenvolverem atividades algébricas, teremos um processo de refinamento da 
linguagem corrente transitando para a linguagem algébrica, ou seja, o estudante ao 
utilizar o formalismo simbólico atribuirá significado para as manipulações algébricas, 
recorrendo a procedimentos aritméticos como um instrumento que justifica os 
procedimentos algébricos.
Temos que o pensamento algébrico pode ser desenvolvido anteriormente 
ao formalismo algébrico. Historicamente vimos que as formas de pensamento 
precederam o simbolismo algébrico, porém com a utilização da linguagem algébrica 
desenvolveram-se níveis de pensamento cada vez mais avançados. Sobre o assunto 
Sfard e Linchevski afirmam que:
Métodos e técnicas de ensino
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140
Considerando que uma das características do pensamento algébrico é a 
flexibilidade de significação e ressignificação, abordaremos as fontes de significados 
em álgebra. Sobre isso Kieran aponta que são fontes:
Segundo Sfard e Linchevski (1994), se o estudante não reconhece objetos 
matemáticos abstratos implícitos em fórmulas algébricas, isso resulta uma grave 
desvantagem para o aluno, pois faltarão elementos necessários para a atribuição de 
significados e compromete as manipulações simbólicas, compreensão das regras 
da álgebra levando o estudante a um entendimento meramente instrumental, não 
sendo capaz de entender a natureza matemática.
As letras são elementos utilizados para representação de objetos matemáticos 
sendo necessário relacionar-se com o sistema operacional e estrutural da álgebra 
e assim atribuir significado para sua utilização. Além das letras temos outras formas 
de representações para associar aos elementos algébricos como diagramas, 
representações gráficas que são elementos associados a objetos matemáticos 
comuns e ampliam as fontes de significados de um mesmo objeto abstrato.
[...] enquanto ideias algébricas são vestidas em palavras e 
em apenas palavras, é difícil imaginar a abordagem estrutural 
mais avançada, onde os processos computacionais são 
considerados em sua totalidade a partir de uma perspectiva 
mais elevada, e onde as inclinações operacionais e estruturais 
se encontram nas mesmas representações. Para colocá-lo de 
forma diferente, as palavras não são manipuláveis da forma 
que os símbolos são. É esta manipulabilidade que torna 
possível para que conceitos algébricos tenham a qualidade 
como objeto. É a possibilidade de realizar processos de 
alto nível sobre os processos representados por expressões 
compactas que estimulam o pensamento estrutural. (SFARD; 
LINCHEVSKI, 1994, p. 197, tradução nossa).
a) o significado da estrutura algébrica, envolvendo a forma 
letra-simbólica; 
b) o significado de outras representações matemáticas, 
incluindo múltiplas representações; 
c) significado no contexto do problema; e
d) significado derivado do que é exterior a matemática/
situação-problema. (KIERAN, 2007, p. 711, tradução nossa).
Métodos e técnicas de ensino
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141
Neste sentido, explorar os diferentes sistemas de representações possibilita 
novas experiências e amplia as formas algébricas de pensar, promovendo o 
desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas relacionadas com o 
pensamento algébrico como abstração, análise, modelagem, generalização, entre 
outros. Deste modo, alternar diferentes formas de representações permite que o 
objeto mental seja próximo do objeto matemático permitindo assim a construção 
de significados.
Historicamente temos que desenvolveram gradativamente os objetos abstratos, 
e em concomitância houve a evolução do pensamento algébrico por meio da 
linguagem simbólica aplicada na resolução de situações problemas. Deste modo 
podemos atribuir significados para álgebra por meio de estratégias aplicadas na 
resolução de situações problemas que exijam gradativamente o desenvolvimento 
do simbolismo algébrico. Segundo Kieran (2007, p. 712, tradução nossa) “a 
semântica externa de um problema permite ao estudante de álgebra vincular 
símbolos e notações com eventos e situações, criando assim um significado 
externo para certos objetos e processos de álgebra”. 
Neste mesmo sentido, Carraher e Schliemann (2007) apontam que problemas 
contextualizados são meios de aprender matemática, pois requerem do estudante 
raciocinar sobresituações particulares para desenvolverem generalizações, e 
assim atribuindo significado para estruturas e relações matemáticas. Ou seja, o 
estudante atribui significados para os símbolos relacionando a um problema 
e posteriormente se distancia desse contexto promovendo um processo de 
transformações algébricas e por fim retoma o contexto do problema realizando 
associações e atribuindo significados para os procedimentos desenvolvidos. 
Além disso, esse tipo de atividade permite que gradativamente um conjunto de 
significados seja alinhado e convertido em níveis mais complexos de pensamento 
algébrico, configurando a natureza da atividade algébrica. 
Kieran (1992, p. 4, tradução nossa) afirma que “na maioria das principais atividades 
encontramos aspectos do pensamento algébrico e simbolização algébrica. 
Segue uma sugestão de leitura sobre o desenvolvimento de 
competências e habilidades matemáticas em que a autora conceitua 
a alfabetização matemática e os índices de alfabetismo da população 
adulta brasileira. Apresenta um resumo do PISA realizado em 2003 e 
o desenvolvimento de atividades, a fim de contribuir com elemento e 
estratégias pedagógicas para o ensino da matemática.
Acesse: <http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc07_
p1.pdf>.
Métodos e técnicas de ensino
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142
Geralmente é aceito que os alunos devem adquirir ambas as competências para 
ter o entendimento completo algébrico”, ou seja, o simbolismo algébrico e o 
pensamento algébrico se complementam no processo de ensino e aprendizagem 
da álgebra. De acordo com Kieran (2007, p. 713, tradução nossa) “grande parte 
da construção de significados para objetos algébricos ocorrem com as atividades 
geracionais de álgebra”.
Deste modo, as atividades geracionais envolvem o uso de símbolos e formam 
expressões algébricas ou equações a partir de situações problemas, ou ainda, 
cabendo ao estudante recorrer a padrões aritméticos ou regras gerais para resolver 
o problema. De fato, tais atividades recorrem ao uso de variáveis, incógnitas e 
igualdade, sendo necessário por parte o estudante atribuir significado para o 
uso desses recursos. Por exemplo, em situações problemas que envolvem 
transformações algébricas que são necessárias equivalências são exigidas 
manipulações para a obtenção de um resultado com significado relacionado ao 
problema proposto. 
1.4 Processos mentais para o pensamento algébrico
Primeiramente abordaremos os sistemas de representações matemáticos 
como a linguagem simbólica e os gráficos utilizados para representar objetos 
matemáticos abstratos. Tais sistemas são denominados de representações 
externas, porém é preciso um processo interno do indivíduo para compreender as 
formas de representações. Dreyfus (1991) afirma que,
Que habilidades matemáticas promovem o sucesso em álgebra?
[...] para ser bem sucedido em matemática, é desejável ter 
representações mentais ricas de conceitos. A representação 
é rica, se contém muitos aspectos ligados a esse conceito. 
A representação é pobre, se tiver elementos insuficientes 
para permitir a flexibilidade na resolução de problemas. 
Nessa inflexibilidade observamos frequentemente em nossos 
alunos: a menor mudança na estrutura de um problema, 
ou até mesmo em sua formulação, pode bloqueá-lo 
completamente. (DREYFUS, 1991, p. 32, tradução nossa).
Métodos e técnicas de ensino
U4
143
As representações mentais são esquemas internos ou quadros de referência 
para a interação com o mundo externo. Quanto às representações externas, a 
representação simbólica é externamente escrita ou falada, para que ocorra a 
comunicação sobre o conceito. Por exemplo, temos mais de uma representação 
para se referir a um mesmo objeto matemático, as funções podem ser representadas 
por letras simbólicas, por gráficos, ou por meio de tabelas, sendo necessário 
associar a significados que possam refletir na mente o objeto matemático a que 
a representação se refere. De acordo com Carraher et al. (2006, p. 88, tradução 
nossa),
Temos que, as representações convencionais são compartilhadas e possuem 
regras que o estudante deve se apropriar. 
Autores como Kieran (2004) e Lew (2004) caracterizam o conjunto de 
conhecimentos e técnicas como as atividades geracionais e transformacionais e a 
álgebra como um modo de pensar correspondente a atividades meta níveis globais 
sendo que Lew (2004, p. 93, tradução nossa) ressalta que “sucesso em álgebra 
depende de pelo menos seis tipos de habilidades de pensamento matemático, 
como segue: generalização, abstração, pensamento analítico, pensamento 
dinâmico, modelagem e organização.” 
Mesmo nas séries iniciais, notação algébrica pode 
desempenhar um papel de apoio na aprendizagem de 
matemática. Notação simbólica, reta numérica, tabelas 
de funções e gráficos são ferramentas poderosas que os 
alunos podem usar para compreender e expressar relações 
funcionais por meio de uma ampla variedade de situações 
problema.
Aprenda mais sobre meta níveis globais, ou ainda, metacognição para 
alguns autores. Estude o artigo a seguir sobre a metacognição como 
estratégia reguladora da aprendizagem acesse:
<https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/
handle/10183/25685/000588886.pdf?sequence=1>.
Métodos e técnicas de ensino
U4
144
A seguir apresentaremos definições e caracterizações sobre elementos que 
corroboram para a construção do pensamento algébrico.
Lew revela ser importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico 
a organização dos dados realizada com o propósito de comparar e analisar 
posteriormente resultados, apoiando a resolução de problemas a fim de esclarecer 
as estratégias para resolução. Os dados podem ser organizados em tabelas, 
diagramas ou ainda em desenhos, e, também recorremos ao simbolismo algébrico.
A generalização trata de um processo que a partir de casos particulares 
estabelece uma regra geral expressa verbalmente ou por meio de uma linguagem 
simbólica. Segundo Lew (2004, p. 93, tradução nossa) “generalização é um 
processo para encontrar um padrão”. Para Dreyfus (1991) generalizar implica 
derivar ou induzir de casos particularidades, identificando pontos comuns, a fim de 
expandir os domínios de validade. Deste modo, se temos um padrão de um dado 
conjunto podemos determinar qualquer elemento pertencente a esse conjunto, 
ou seja, temos uma regra geral que caracteriza o conjunto.
Quanto ao pensamento analítico, Lew (2004) exemplifica por meio da resolução 
de uma equação em que aplicamos operações em ordem inversa às condições 
propostas. Tall (1995) aborda sobre o desenvolvimento do pensamento elementar 
e avançado, indicando processos mentais envolvidos em que destacamos a 
capacidade de síntese. Por meio da síntese obtemos novos conceitos e ideias na 
consciência, porém a análise aperfeiçoa esse processo a fim de dar instruções 
e deduções precisas, promovendo um pensamento dinâmico necessário para 
trabalhar com objetos matemáticos. Lew (2004, p. 94, tradução nossa) afirma 
que o “pensamento dinâmico poderia ser desenvolvido por dedução hipotética 
e estratégias de tentativa e erro para monitorar e controlar as ações dependentes 
para cada mudança das variáveis.”
A modelagem permeia a álgebra e atividades de Modelagem favorecem o 
estudo de álgebra. De acordo com Dreyfus,
O termo modelagem refere-se a encontrar uma 
representação matemática para um objeto ou processo não 
matemático. Neste caso, significa construir uma estrutura 
matemática ou teoria que incorpore as características 
essenciais do objeto, sistema ou processo a ser descrito. 
(DREYFUS, 1991, p. 34, tradução nossa).
Métodos e técnicas de ensino
U4
145
Para Lew (2004, p. 95, tradução nossa) modelagem é “um processo de 
representar as situações complexas usando expressões matemáticas, investigar a 
situação com um modelo, e tirar algumas conclusões da atividade.” Deste modo, 
ao resolver problemas o estudante pode utilizar diagramas, figuras, símbolos ou 
ainda a linguagem algébrica para modelar a situação. 
Quanto à abstração,Gray e Tall (2007) elucidam que a palavra ‘abstração’ é 
um processo de delineamento de uma situação e complementada pelo conceito 
produzido por esse processo. Os autores compactuam que a abstração é uma 
decorrência natural da função da mente humana e que o pensamento dinâmico 
de um processo é manipulado mentalmente como conceitos, em que denominam 
esse processo de proceito. Por exemplo, há situações que envolvem resoluções 
aritméticas e/ ou algébricas em que os símbolos possuem significados não 
explícitos. Temos que a noção de proceito abrange um processo que envolve 
um objeto matemático e um símbolo que é utilizado para representar qualquer 
processo ou objeto. 
Outro elemento que promove a construção do pensamento algébrico é a 
justificação para o ensino e aprendizagem de álgebra. Essa habilidade capacita 
o estudante perceber que as manipulações aplicadas, sejam em aritmética ou 
álgebra, possuem significado, ou seja, ao justificar um procedimento o estudante 
promove a reflexão do processo e isso permite que formule questionamentos 
decorrentes dessa ação. Podemos pensar na justificação no sentido de uma 
prova no pensamento matemático elementar, a fim de convencer da validade de 
um resultado, sendo que no nível elementar não consiste em uma prova formal 
matemática.
Veremos a seguir como desenvolver o pensamento matemático e por 
consequência o pensamento algébrico. 
1.5 Desenvolvimento do pensamento matemático elementar ao avançado
As notações simbólicas surgem como instrumentos na resolução de situações 
problemas e possibilitam ampliar as formas de representação do pensamento, 
sendo introduzidas, geralmente, nos anos finais do ensino fundamental enquanto 
que nos anos iniciais são restritas ou pouco exploradas. 
Métodos e técnicas de ensino
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146
Porém mesmo em anos iniciais de escolarização, o estudante pode aprender 
formas de representações convencionais, ou ainda, desenvolver suas próprias 
representações na resolução de uma situação problema. Esse processo pode iniciar 
por meio da linguagem natural e ao passo que vão atribuindo significados para as 
propriedades dos números, estabelecendo relações entre variáveis, desenvolvendo 
padrões e generalizações, introduzem-se gradativamente notações usuais em 
matemática. Tratar de diferentes tipos de símbolos para representação estimula 
aos estudantes o desenvolvimento de um raciocínio simbólico. Deste modo, 
os estudantes desenvolvem o pensamento algébrico antes mesmo de terem a 
instrução da linguagem convencional algébrica. 
Segundo Carraher e Schliemann (2007, p. 670, tradução nossa), o “raciocínio 
algébrico refere-se ao processo psicológico envolvido em resolução de problemas 
que matemáticos podem expressar facilmente usando notações algébricas”. Neste 
sentido, o estudante é estimulado a raciocinar algebricamente em procedimentos 
aritméticos e assim perceber padrões, podendo lidar com objetos algébricos 
focando nos processos, ou seja, lidando com uma perspectiva operacional. 
Nesta abordagem o raciocínio algébrico pode ser desenvolvido e representado 
sem necessariamente um formalismo uma vez que, “estudantes também podem 
expressar essas relações e propriedades por meio de representações escritas ou 
notações sem que tenham que fazer uso da linguagem convencional algébrica”. 
(BRIZUELA; CARRAHER; SCHLIEMANN, 1998, p. 2, tradução nossa). Ou seja, a 
linguagem algébrica convencional pode ser introduzida de modo que o estudante 
se aproprie gradativamente e significativamente, sendo que mesmo antes de 
desenvolver essa linguagem os estudantes podem utilizar notações próprias em que 
tenham atribuído um significado. Por exemplo, as notações podem representar o 
sistema numérico, frações, tabelas de dados, gráficos, retas numéricas, linguagem 
natural de modo sincopada.
Temos que a introdução de diferentes notações ainda que não seja a 
convencional, permite ao estudante que: compreenda o processo e o objeto 
matemático, para que posteriormente realize transferências de significados, 
ressignificando conceitos, sendo esta uma das características da atividade algébrica 
que promove o desenvolvimento do pensamento matemático elementar ao 
pensamento matemático avançado.
Métodos e técnicas de ensino
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147
Neste sentido, a utilização de diversas notações contribui para a construção 
do pensamento matemático dos estudantes e possibilitando resolver problemas 
cada vez mais complexos, uma vez que expande sua linguagem matemática e 
possibilitando perceber que uma representação convencional é apenas um 
modo de representar um objeto, além de promover a flexibilidade de alternar 
nas diferentes representações para um mesmo objeto matemático. Ou seja, 
esse processo de ensino e aprendizagem contribui para o desenvolvimento das 
habilidades matemáticas relacionadas ao pensamento algébrico como abstração, 
organização, pensamento analítico, generalização, justificação, modelagem.
Dreyfus (1991), ao tratar o pensamento matemático aborda os processos 
e representações mentais de objetos matemáticos. Para diferenciar as formas 
de pensamento afirma que o pensamento matemático pode apresentar: 
reflexões sobre experiências matemáticas em lidar com problemas não triviais, 
gerenciamento de complexidade no desenvolvimento de processos mentais, e 
diversos de processos mentais interagindo.
Segundo Dreyfus (1991, p. 26, tradução nossa) “não há distinção nítida entre 
muitos dos processos básico e avançado do pensamento matemático, mas a 
matemática avançada é mais centrada nas abstrações de definição e dedução”. A 
respeito disso Tall 1995, p. 3, tradução nossa).
Que caracterizações há para o pensamento matemático 
elementar e avançado?
[...] o pensamento matemático avançado envolve o uso 
de estruturas cognitivas produzidas por uma ampla gama de 
atividades matemáticas para a construção de novas ideias 
que desenvolvam e ampliem um sistema cada vez maior de 
teoremas estabelecidos.
Métodos e técnicas de ensino
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148
[...] o crescimento cognitivo do pensamento básico ao 
pensamento matemático avançado no indivíduo pode, em 
hipótese, começar a partir da ‘percepção’ e ‘ação’ sobre 
objetos no mundo externo, [...] usando a manipulação de 
símbolos para inspirar o pensamento criativo com base em 
objetos formalmente definidos e provas sistemáticas. (TALL, 
1995, p. 3, tradução nossa).
Resnick (1987) não define o pensamento matemático avançado, mas apresenta 
algumas características como: não é algoritmo, deste modo, não é uma aplicação 
de um modelo a ser seguido, há embutida certa complexidade, isto é, o processo 
mental não é estabelecido de imediato; possui múltiplas soluções em que exige 
o julgar e interpretar uma situação problema; desenvolve a autorregulação em 
que o sujeito é autônomo no processo cognitivo; além disso, há atribuição de 
significado e um esforço mental durante o desenvolvimento do pensamento. 
Sobre o processo de transição do pensamento elementar para o avançado temos:
Uma forma de diferenciar as formas de pensamento é por meio da 
complexidade em que são tratados. Quando gerenciamos os processos de 
abstração e representação podemos transitar entre processos mentais e gerenciar 
a complexidade. 
Em síntese, podemos inferir que o pensamento matemático avançado resulta 
de uma série de processos mentais que se interagem. Nesse sentido, temos que 
diferentes processos mentais podem ser formados por estudantes, por exemplo, 
representação, visualização, generalização, além de classificar, conjecturar, induzir, 
analisar, sintetizar, abstrair ou formalizar. 
Se diferentes estudantes interpretarem a mesma representação simbólica, 
espera-se que concluam representações mentais semelhantes. Neste sentido, se 
obtermos várias representações mentais de um conceito, este pode complementar 
outro e integrar a representação desse conceito, e deste modo iniciar um processo 
de abstração, por meio da flexibilidade entre diferentes representações.
 O processo de abstração é necessário para o desenvolvimentodo pensamento 
matemático avançado, devido ao processo reflexivo em torno de um conceito. 
Concomitante com a abstração, outros dois processos se desenvolvem o de 
generalizar e sintetizar. Dreyfus (1991) afirma que generalizar é derivar ou induzir 
a partir de alguma situação identificando pontos comuns para expandir domínios 
de validade, e quanto a sintetizar podemos descrever como combinar ou compor 
partes de modo que constituam o todo.
Métodos e técnicas de ensino
U4
149
Possuir processos mentais flexíveis e desenvolver a abstração promove,
Baseados em Dreyfus (1991) apresentamos um quadro-síntese sobre processos 
mentais, vejamos:
[...] o potencial para generalização e sintetização; e vice-
versa, torna-se sua finalidade, principalmente a partir desse 
potencial de generalização e de síntese. A natureza do 
processo mental de abstração é, contudo, muito diferente da 
generalização e do de síntese. Abstrair é antes de tudo um 
processo de construção - a construção de estruturas mentais 
a partir de estruturas matemáticas, ou seja, de propriedades 
e relações entre objetos matemáticos. Este processo é 
dependente do isolamento de propriedades adequadas 
e estabelecimento de relações. Requer a capacidade de 
deslocar a atenção dos objetos em si a estrutura das suas 
propriedades e relações. (DREYFUS, 1991, p. 37, tradução 
nossa).
Fonte: Adaptado de: Usiskin (1995)
Quadro 4.3 – Caracterizações de processos mentais
Métodos e técnicas de ensino
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150
Observamos que há diversos processos mentais envolvidos no desenvolvimento 
do pensamento matemático elementar ao avançado, entre os apontados, segundo 
Dreyfus (1991), são mais relevantes os processos de representação e abstração. 
1. Segundo Usiskin (1995), há diferentes concepções para o 
ensino da álgebra quanto à compreensão do significado das 
“letras”. Analise com base nesse referencial as sentenças a 
seguir:
I) Existe apenas uma concepção para o ensino da álgebra, 
em que a álgebra é um produto da aritmética generalizada
II) Para uma mesma estrutura algébrica podemos atribuir 
diferentes significados, associados por exemplo, ao conceito 
de fórmulas, equações e funções
III) Na concepção de aritmética generalizada, a utilização de 
variáveis se resume em traduzir e generalizar
Assinale a alternativa correta:
a) I e II.
b) II e III.
c) I e III.
d) I, II, III.
2. Considerando o processo de atribuição de significados 
desenvolvidos pelo estudante, Kieran (1992) recomenda 
promover o desenvolvimento de uma forma algébrica de 
pensar que incorpora um foco sobre:
I) As relações e não somente o cálculo de uma resposta 
numérica
II) As operações e não sendo necessárias as operações 
inversas
III) As resoluções de problema priorizando o procedimento 
e a solução
IV) Os números e letras, e não somente números por si só
São verdadeiras as sentenças:
a) I, II e III.
b) II, III, e IV.
c) I e IV.
d) II e IV.
Métodos e técnicas de ensino
U4
151
Seção 2
Uma abordagem didática sobre números 
inteiros e o ensino da álgebra
Nesta seção contemplaremos estratégias metodológicas para o ensino 
de tópicos da álgebra voltado para a Educação Básica. Trataremos sobre a 
transição de conceitos entre números naturais e inteiros, e, os obstáculos 
emergentes na aquisição desse conhecimento, conceituando operação 
bem como a utilização de sinais nas operações de adição e multiplicação. 
Também abordaremos o ensino de funções relacionando a atividade 
algébrica com a representação gráfica por meio do aplicativo geogebra. 
2.1 Ensino dos números inteiros: superando obstáculos
Ao lidar com objetos matemáticos e refletir sobre esse processo podemos 
compreender intuitivamente as operações com números naturais, mas 
a transição para atribuir significados aos números inteiros requer vencer 
obstáculos.
Gaston Bachelard, em 1938, estudou os obstáculos e publicou seus estudos 
no livro “A Formação do Espírito Científico”. Já em 1976, Brousseau, retomou 
os estudos sobre o assunto, descreveu distintas origens aos conhecimentos 
vinculados a essa dificuldade. Os obstáculos epistemológicos se dão às 
barreiras formadas na aquisição do conhecimento, porém é parte da 
construção do saber matemático, não podendo ser evitados, pois permitem 
o acesso a um novo conhecimento.
Quais são as diferenças entre obstáculos epistemológicos e 
obstáculos didáticos?
Métodos e técnicas de ensino
U4
152
Ao adquirirmos um novo conhecimento e exercermos uma ação sobre 
um objeto precisamos superar conhecimentos adquiridos anteriormente, 
muitas vezes, concebidos pelo senso comum. Neste sentido Bachelard 
(1996) afirma que,
Deste modo, ao nos apropriarmos de um novo conhecimento, o surgimento de 
obstáculos é inevitável, porém é de fundamental importância, pois ao superar esse 
obstáculo estamos promovendo o desenvolvimento do pensamento científico. 
Se refletirmos sobre uma perspectiva histórica, podemos buscar compreender 
os obstáculos surgidos na evolução do conhecimento dos números inteiros. “[...] 
palavra ‘negativo’ tem o significado de negação; isto quer dizer que se trata de ‘não 
números’, e esta expressão é a mais adequada para mostrar as dificuldades que 
se opunham ao espírito humano na conquista de novos domínios no reino dos 
números”. (KARLSON, 1961, p. 42).
Glaeser (1985) indica e identifica, no processo de formalização axiomática dos 
números inteiros, obstáculos epistemológicos, a saber:
I) possui dificuldade em atribuir significado a quantidades negativas isoladas;
II) possui dificuldade em expandir a representação da reta numérica aos números 
inteiros negativos e diferenciar qualitativamente quantidades positivas e negativas;
III) apresenta interpretação ambígua do zero absoluto e do zero como origem;
IV) apresenta oposição em relação ao concreto decorrente dos números 
Naturais;
V) necessita de um modelo para unificar operações aditivas e multiplicativas.
Um modo para a superação desses obstáculos é a atribuição de significados 
para os elementos desse novo conjunto e promover a assimilação dos conteúdos 
por meio de diversas formas de representação matemática, ou seja, por meio da: 
escrita, aritmética, algébrica, representação gráfica e computacional, articulados 
[...] em termos de obstáculos que o problema do conhecimento 
científico deve ser colocado [...] é no âmago do próprio ato de 
conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, 
lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e 
até de regressão, detectaremos causas de inércia as quais daremos o 
nome de obstáculos epistemológicos. (BACHELARD, 1996, p. 17).
Métodos e técnicas de ensino
U4
153
por meio da manipulação e promovendo uma forma matemática de pensar 
desenvolvendo a partir de elementos concretos conceitos abstratos. 
2.2 Operações com números inteiros
Para entendermos a dinâmica do conjunto dos números inteiros voltada para 
uma abordagem didática precisaremos definir alguns conceitos. Inicialmente 
trataremos do conceito de operação, adotada desde o desenvolvimento axiomático 
dos números naturais. Vejamos:
Considere a e b números naturais, uma operação ∆ sobre a e b, nesta ordem, 
é efetuada quando associarmos um resultado r também pertencente aos naturais 
de modo que:
a ∆ b = r.
Considerando o conjunto dos números naturais, temos que a subtração é tida 
como operação inversa da adição. Deste modo, a operação a + b = r, dados r e b, 
podemos determinar o valor de a, ou seja, efetuamos r - b = a. Mas é preciso que 
b ≤ r, para que a operação seja fechada ao conjunto dos naturais.
Está restrição aplicada à subtração em N está relacionada ao princípio da 
extensão, que procura ajustar as definições precedentes a fim de estabelecer 
outras, este princípio também é conhecido como princípio de Hankel, que consiste 
em manter as leis formais já estabelecidas anteriormente.
Geralmente atribuímos aos Números Inteiros a representação usual 
adotada por Cantor em que Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,5, ....}. 
Porém o símbolo Z decorre do alemão Zahl que lidou com números 
contáveis, dando origem à concepção da Teoria dos Conjuntos.
São características da operação ‘∆’ nos conjuntos dos números 
inteiros as propriedades: unívoca, comutativa, associativa, distributiva 
em relação à outra operação, monotônica, possuir operação fechada, 
cancelamento. Definimos e exemplificamos relacionadas propriedades 
nas unidades anteriores, retome esse conteúdo e complemente seus 
estudos dessa subseção.
Métodos e técnicas de ensino
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154
Segundo Caraça, o princípio da extensão tende a “[...] generalizar e estender 
todas as aquisições do seu pensamento seja qual for o caminho pelo qual essas 
aquisições se obtêm, e a procurar o maior rendimento possível dessas generalizações 
pela exploração metódica de todas as suas consequências”. (CARAÇA, 1970, p. 10).
Ao consideremos uma subtração não fechada aos números naturais, ou seja, 
o subtraendo é maior que o minuendo, como por exemplo, 5 – 7 teremos uma 
operação impossível. Deste modo, temos um obstáculo epistemológico a ser 
contornado e ser superado com a introdução de uma nova definição, baseada nas 
operações no conjunto dos números naturais aplicadas a um novo conjunto, os 
números inteiros.
Segundo Pommer (2010), em termos notacionais temos que, dados dois 
números naturais a e b, aplicando o princípio da extensão, definimos o conceito 
de número relativo, dada por a – b em que:
I) Se a > b, a diferença será positiva.
II) Se a = b, a diferença será nula.
III) Se a < b, a diferença será negativa.
Deste modo, ao introduzirmos esta definição possibilitamos a operação dentro 
do conjunto dos números inteiros. Sendo assim, expandimos os conhecimentos 
adquiridos e com a introdução dos números negativos podemos trabalhar com o 
conceito de simetrização da operação da adição, com as regras de sinais e adequar 
às operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Ressaltamos que as 
regras de sinais seguem um princípio axiomático, e decorrem da necessidade 
de termos coerência nos princípios que fundamentam a Matemática. 
Levou séculos para que os matemáticos percebessem 
que a regra de sinais, conjuntamente com todas as outras 
definições que governam os números inteiros e as frações 
não podem ser provadas. Elas são criadas por nós para nos 
dar em liberdade operatória, pelo fato de preservarem as 
propriedades fundamentais da Aritmética. O que pode ser 
provado é, unicamente, com base nestas definições, que 
as propriedades comutativa, associativa e distributiva são 
preservadas. (COURANT; ROBBINS, 1941, p. 55, tradução 
nossa).
Métodos e técnicas de ensino
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155
A fim de realizarmos uma abordagem didática sobre o ensino dos números 
inteiros nos apoiamos nos autores González (1991 apud SILVA, 2006) e Crowley 
e Dunn (1985 apud COELHO, 2005) para justificar as operações de adição e 
multiplicação. Esses autores descrevem três modelos básicos: o aritmético, o 
geométrico e o algébrico para o ensino de números inteiros. Vejamos a seguir:
MODELO ARITMÉTICO
Este modelo considera o conjunto dos números naturais e aplicam-se os 
exemplos de operações não fechadas nesse conjunto surgindo a necessidade de 
ampliar os conceitos conhecidos, ou seja, é aplicado o princípio da extensão. A 
partir de exemplos concretos são realizadas generalizações para o novo conjunto 
numérico, isto é, o conjunto dos números inteiros em que são induzidos processos 
de abstração.
Nas abordagens didáticas, comumente são utilizadas metáforas para que os 
alunos atribuam significações para os conceitos abordados como ganho para 
indicar um valor positivo e perda para indicar um valor negativo. Intuitivamente 
podemos atribuir o conceito de número relativo por meio de situações didáticas 
que envolvem, por exemplo: a escala de tempo indicando o zero como origem, e 
os números negativos relacionados aos anos antes de Cristo (a.C.) e os positivos 
relacionados aos anos depois de Cristo (d.C.).
Outro exemplo que podemos indicar é a escala termométrica, em que há 
as temperaturas baseadas no zero da escala em uso, e as temperaturas acima 
e abaixo de zero, em que atribuímos respectivamente os sinais de positivo e 
negativo. Observamos que essas situações didáticas estão relacionadas com as 
operações de adição e subtração, não permitindo a extensão dos conceitos para a 
multiplicação ou adição, causando assim um obstáculo a ser superado.
No século XVIII, Euler afirmou que subtrair um número negativo é análogo a 
adicionar um positivo, assim como cancelar uma dívida é o mesmo que ganhar 
um presente, ou seja, se possuo uma dívida a ser paga em seis parcelas de R$ 
50,00, isto é: 6. (-50) = -300, isso implica que devo R$ 300,00. Porém se a dívida 
for perdoada, então teremos que (-6) . (-50) = 300, ou seja, passamos a acumular 
o valor de R$ 300,00 que antes estava comprometido com uma dívida.
Usualmente as regras de sinais são axiomas, a seguir justificaremos tais regras 
por meio de propriedades aritméticas:
Métodos e técnicas de ensino
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156
I) multiplicação com fatores positivos
Utiliza-se a soma sucessiva de parcelas iguais para justificar a multiplicação, por 
exemplo: 
5. 3 = 15, ou ainda, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 . 5 = 15, ou ainda, 5 + 5 + 5 = 15
II) Multiplicação com multiplicador positivo e multiplicando negativo:
Utiliza-se o princípio da extensão para justificar a operação, por exemplo:
3.(-5) = (-5) + (-5) + (-5) = - 15
III) Multiplicação com multiplicador negativo e multiplicando positivo:
Utiliza-se a situação II e a propriedade comutativa para justificar a operação, ou 
seja:
3. (-5) = (-5). 3 = -15
IV) Multiplicação com produtos negativos:
Esta é situação de mais difícil aceitação para os alunos, nesta abordagem 
justifica-se utilizando a situação III e a propriedade do elemento oposto, ou seja:
3. (-5) + (-3).(-5) = (-3).(-5) + 3.(-5) = 0 o que implica que (-3).(-5) = 15
MODELO GEOMÉTRICO
Neste modelo existe a extensão da reta numérica que no conjunto dos naturais 
era representada pela origem no zero e os números positivos à direita, e que nos 
números inteiros há uma nova representação simétrica incluindo os números 
negativos à esquerda. Deste modo, a reta orienta que dado conjunto dos números 
inteiros possui um ponto de referência, considerado a origem O, uma direção e 
dois sentidos: de O para a direita, são posicionados os valores positivos e de O para 
a esquerda, são considerados os valores negativos. Vejamos a ilustração a seguir:
Métodos e técnicas de ensino
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157
Nessa abordagem é atribuído o conceito de simetria para justificar o elemento 
oposto, ou seja:
3 é oposto/simétrico (-3)
-25 é oposto/simétrico 25
O termo simétrico é justificado por possuir a mesma quantidade de unidades em 
sentidos opostos a partir da origem, ou seja, o conjunto dos inteiros é construído 
a partir de uma ideia geométrica da imagem do objeto matemático. A partir disso, 
deslocamentos à direita ou à esquerda da reta numérica são associados a sinais 
positivos e negativos respectivamente. Vejamos alguns exemplos:
I) se indicarmos um ponto inicial no 4, percorrermos duas unidades à direita 
obtemos: 4 + 2 = 6
II) se indicarmos um ponto inicial no 4, percorrermos três unidades à esquerda 
obtemos: 
4 – 3 = 1
III) se indicarmos um ponto inicial no 4, percorrermos cinco unidades à esquerda 
obtemos:
4 – 5 = -1 
IV) se indicarmos um ponto inicial no - 4, percorrermos cinco unidades à 
esquerda obtemos: 
-4 - 5 = - 9 
V) se indicarmos um ponto inicial no - 4, percorrermos três unidades à direita 
obtemos: 
-4 + 3 = -1
VI) se indicarmos um ponto inicial no - 4, percorrermos cinco unidades à direita 
obtemos: 
-4 + 5 = 1
Fonte: O autor (2015)
Figura 4.1 – Reta numérica dos números inteiros
Métodos e técnicas de ensino
U4
158
Muitos dos obstáculos relacionados a essa abordagem estão relacionados com 
a interpretação de situações problemas e a associação dos dados com os cálculos.Por exemplo, há contextos em que o uso de sinais está associado aos termos 
ganhar/perder, subir/descer, e o obstáculo consiste em relacionar corretamente 
com a operação a ser realizada. Por exemplo:
Carlos joga uma partida de cartas, em que o número de pontos é de acordo 
com a quantidade de cartas acumuladas. Ao jogar duas partidas, sabe-se que na 
segunda ele perdeu 5 cartas, porém depois dessas partidas tinha ganho 4 cartas, o 
que houve na primeira partida para Carlos obter esse resultado?
Quanto à operação de multiplicação nessa abordagem, segundo Coelho 
(2005), pode-se justificar a operação da regra de sinais para a multiplicação por 
meio do ábaco dos inteiros. Sendo este um material manipulável, baseado no 
modelo de ‘numerais em barra’ do antigo povo chinês. Segundo Boyer, a operação 
de multiplicação,
Nesse sistema de barras, ao efetuarmos a multiplicação 4.3, basta aplicar a 
definição:
4. 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Isto representa desenhar quatro grupos de três quadrados vermelhos. Aplicando 
a propriedade comutativa, podemos ainda calcular:
4.3 = 3 . 4 = 4 + 4 + 4
[...] parece não ter causado muitas dificuldades aos 
chineses, pois estavam acostumados a calcular com duas 
coleções de barras – uma vermelha para os coeficientes 
positivos ou números e uma barra preta para os negativos. 
No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo 
poder ser solução de uma equação. (BOYER, 1991, p. 145).
Métodos e técnicas de ensino
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159
Neste caso tem-se que desenhar três grupos de quatro quadrados vermelhos. 
Se invertêssemos e utilizássemos os quadrados pretos, podemos justificar as 
operações de, por exemplo:
4.(-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -12.
A dinâmica da atividade e a manipulação do material concreto oportunizam 
aos estudantes a abstrair as regras de sinais e posteriormente realizar a operação 
com cálculos numéricos, a fim de justificar as demais regras de sinais, cabendo ao 
professor mediar a atribuição de significado a linguagem escrita caracterizada pela 
tradução simbólica da operação.
Considerando que jogos e materiais manipuláveis são elementos 
tecnológicos, qual é a importância de inserirmos esses itens na 
prática de sala de aula?
É possível associar o modelo aritmético com o modelo geométrico 
para uma abordagem didática para os números inteiros?
Acesse o link a seguir e estude o trabalho intitulado de Operando 
números inteiros com o ábaco e veja mais exemplos do modelo 
geométrico. Segue a página:
<http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/
operandonumeros.pdf>. 
Métodos e técnicas de ensino
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160
MODELO ALGÉBRICO
 Ao abordamos a ampliação do conjunto dos números naturais para o conjunto 
dos números inteiros por meio da necessidade de uma nova operação, inserindo 
de modo natural no cotidiano escolar permite a redução do obstáculo causado por 
essa quebra de paradigma. Além disso, nesse modelo temos uma oportunidade 
de relacionar a representação geométrica, aritmética e algébrica, contribuindo 
para a resolução de situações problemas que estimulem o desenvolvimento do 
pensamento algébrico.
Além do processo aditivo temos outro processo para elucidar a regra de 
sinais na multiplicação que é a generalização de padrões. Podemos utilizar uma 
multiplicação com certo padrão e observar os resultados numéricos da sequência 
para perceber a regra de formação e isso permite deduzir a regra de sinais, observe 
nos exemplos a seguir:
Além de se conhecer os modelos aritméticos, geométricos e algébricos, 
precisamos propor aos estudantes tarefas com situações contextualizadas, 
atividades com jogos e materiais manipuláveis, relacionar os temas trabalhados 
com a utilização da linguagem matemática em diferentes contextos.
Fonte: O autor (2015)
Quadro 4.4 – Multiplicação padronizada
Com o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, no século XVII, de 
Newtone Leibnitz e com as estruturas algébricas desenvolvidas a partir do 
século XIX foi possível sistematizar o conjunto dos Números Inteiros por meio 
do conceito de domínio de integridade, surge uma construção conjuntista 
baseada no conceito de classe de equivalência em que se considera a estrutura 
algébrica de Z como Anel Abeliano.
Métodos e técnicas de ensino
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161
Quanto aos contextos utilizados em situações problemas podem decorrer de: 
temperaturas sendo maiores ou menores que zero, altitudes indicadas acima e 
abaixo do nível do mar, calendário utilizando os anos antes e depois de Cristo, 
deslocamentos representados por pontos em uma reta numérica, saldo contábil, 
isto é, saldos positivos e negativos em transações bancárias, lucros e prejuízos em 
transações comerciais e contábeis. Além disso, recomenda de retomar as regras 
de sinais em diversos momentos do ensino para que haja a fixação do conceito e 
abstração dessas regras.
Ao lidar com diversas possibilidades, espera-se que os estudantes sejam 
capazes de superar os obstáculos epistemológicos, promovendo a atribuição 
de significados na construção do conhecimento matemático sobre os números 
inteiros.
2.3 Ensino de funções e a utilização do geogebra como recurso didático
O ensino de funções carece de práticas que sejam conceituadas intuitivamente e 
se estabeleçam relações com situações contextualizadas além de se estabelecerem 
diferentes formas de representação, dentre elas a algébrica e a gráfica. 
O conceito de função apresenta dificuldades de origem epistemológica, 
mesmo que se tenha uma ideia de modo intuitivo, a transição para a definição 
formal confronta conceitos pré-estabelecidos, como a utilização de letras como 
incógnitas, que em funções, há a necessitada de essas letras representarem 
variáveis.
Quanto ao ensino de funções, há o ensino de maneira formal baseado na 
teoria dos conjuntos e com abordagem essencialmente algébrica, sendo reduzida 
a resoluções de equações construídas por meio de uma lei de formação. Neste 
modo de ensino, não são exploradas, por exemplo, as relações de dependência 
entre variáveis, sendo esta historicamente uma das motivações centrais para o 
desenvolvimento do conceito de função. Considerando que muitos estudantes 
possuem dificuldades quando se confrontam com situações problema a serem 
resolvidas utilizando implicitamente o conceito de função, propor diferentes 
abordagens para o ensino minimiza tais dificuldades.
Nesse sentido, é preciso incorporar na abordagem algébrica, outras formas 
de representações para funções, como a abordagem gráfica das relações 
de dependência entre as variáveis a fim de identificar uma regularidade e 
consequentemente obter a uma generalização. O tratamento gráfico de funções 
torna seu aprendizado mais significativo, o que representa um recurso adicional 
ao ensino.
Métodos e técnicas de ensino
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162
Segundo Talle Vinner (1981), é importante diferenciar o conceito formal e o 
“conceito-imagem” que deve surgir quando este conceito é invocado, ou seja, 
são as representações mentais construídas acerca de funções, propriedades 
associadas e processos relacionados ao conceito. Se o foco dado à noção de 
função é essencialmente algébrico, não ocorre a formação de um conceito-
imagem adequadamente rico deste assunto, uma vez que não será possível 
associá-lo a nada mais do que a própria noção algébrica de função.
Arcavi (2003) verificou que a visualização obtida por meio da construção de 
um conceito é um processo de criação, interpretação e reflexão. Nesse sentido, 
representações gráficas são ferramentas relevantes para atribuir um significado 
às manipulações algébricas. A seguir exploraremos o aplicativo geogebra como 
uma ferramenta para representação gráfica para auxiliar ensino principalmente de 
funções, mas que também pode ser explorado como recurso em outras áreas 
como a geometria.
CONHECENDO O GEOGEBRA
O Geogebra é um software matemático que possui recursos para abordar 
geometria, álgebra e cálculo. Foi criado por Markus Hohenwarter, da Universidade 
de Salzburg, para educação matemática nas escolas. É um softwarelivre, de acesso 
gratuito e um excelente recurso de geometria dinâmica.
Este aplicativo possibilita realizar construções com pontos, vetores, segmentos, 
retas, seções cônicas, funções que podem se transformar de forma dinâmica. Além 
disso, equações e coordenadas podem ser relacionadas por meio do programa, 
ou seja, o aplicativo permite trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores 
e pontos; possibilita achar derivadas e integrais de funções e oferece comandos, 
como raízes e extremos. A seguir é indicada a tela inicial do programa:
Aprofunde seus conhecimentos de funções. Segue uma sugestão de leitura 
intitulada de Funções no ensino médio: conceitos, representações e uso, em 
uma abordagem multidisciplinar. Acesse o link:
<http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_
FlaviaCosta.pdf>. 
Métodos e técnicas de ensino
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163
EXPLORAÇÃO DE FUNÇÕES
 Para inserirmos funções no software geogebra utiliza-se na parte inferior da 
tela uma linha de comandos que permite inserir funções e após digitar é preciso 
dar “enter” que o gráfico da mesma será “plotado” na parte geométrica e, portanto 
aparecerá na parte algébrica a função.
Observamos que se digitar na linha de comando f(x)=x;y=2x;3x; essas formas 
serão aceitas. Porém é recomendado o uso de algumas notações como:
I) o sinal de multiplicação é representado por (*)
II) o sinal de divisão é representado por(/)
III) para elevar a uma potência, deve-se colocar (^) antes do valor da mesma
Fonte: O autor (2015)
Figura 4.2 – Tela inicial do geogebra
Além do exposto, o programa apresenta outras aplicações. Na página 
do programa são disponibilizados, além do download, materiais e 
tutoriais. Acesse e aprenda mais: <https://www.geogebra.org/>. 
Métodos e técnicas de ensino
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164
Ao esboçar uma função, a sua forma algébrica será indicada na entrada 
algébrica, e o gráfico na parte do plano cartesiano. Temos possibilidade de mudar 
as unidades de medida e as coordenadas cartesianas para polares. Indicaremos na 
sequência a representação da equação da reta, da parábola e apesar do círculo 
não ser uma função, exemplificaremos seu comando e a representação gráfica na 
próxima figura:
I) Reta: y = a*x+b
II) Parábola: y = a*x^2+b*x+c
III) Círculos: (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
Além desses comandos podemos inserir o ciclo trigonométrico a fim de 
compreender o significado geométrico das funções trigonométricas. No caso dos 
gráficos das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente os comandos são 
respectivamente:
I)sin(x)
II) cos(x)
III) tan(x)
Exemplificaremos a representação da função seno:
Fonte: GeoGebra
Figura 4.3 – Exemplos de fórmulas no geogebra
Métodos e técnicas de ensino
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165
Fonte: GeoGebra
Figura 4.4–Exemplo da função seno 
Qual deve ser o comando para inserir a função modular?
No geogebra também é possível trabalhar com os sistemas de 
equações permitindo analisar posições relativas entre retas expressas 
por equações algébricas. Como por exemplo:
g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8
S = Intersecção[g, h]
1. Estudamos nesta unidade os obstáculos epistemológicos, 
aponte ao menos cinco desses obstáculos relacionados à 
aprendizagem dos conceitos relacionados ao conjunto dos 
números inteiros. 
Métodos e técnicas de ensino
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166
2. No ensino de funções podemos utilizar as representações 
algébricas e gráficas no processo de aprendizagem, como o 
professor pode utilizar o programa geogebra nesse processo?
Nessa unidade você aprendeu sobre:
- Construção do pensamento algébrico.
- Pensamento algébrico e linguagem algébrica.
- Concepções da álgebra.
- Atribuição de significados a elementos algébricos.
- Processos mentais para o pensamento algébrico.
- Ensino dos números inteiros e a superação de obstáculos.
- Operações com números inteiros.
- O ensino de funções e a utilização do geogebra. 
Nesta unidade abordamos, na primeira seção, a 
construção do pensamento algébrico, relacionando essa 
forma de pensamento e a linguagem algébrica. Além 
disso, apresentamos diferentes concepções para o ensino 
da álgebra, bem como a atribuição de significados e a 
transição do pensamento elementar para o avançado. Na 
segunda seção tratamos de abordagens didáticas sobre os 
números inteiros e sobre o ensino de funções recorrendo 
à utilização de recursos como o geogebra. 
Métodos e técnicas de ensino
U4
167
Espero que tenha contribuído para suas futuras práticas 
como professor direcionando o ensino da álgebra voltado 
para a Educação Básica. Aprofunde seus conhecimentos e 
bons estudos!
1. Considerando a trajetória histórica do desenvolvimento 
da álgebra, categorizar seu desenvolvimento em três fases, 
dentre estas a fase sincopada que é caracterizada pela:
a) utilização da linguagem natural para expressar as formas de 
pensamentos algébricos.
b) utilização da linguagem natural incorporando alguns 
símbolos no desenvolvimento de atividades algébricas.
c) a utilização apenas de símbolos que representam as formas 
de pensamento e traduzem os processos envolvidos em 
resoluções algébricas.
d) utilização apenas de desenhos e signos para representar 
quantidades sem que haja a manipulação algébrica, pois ainda 
não havia termos notacionais.
2. Estudamos sobre dificuldades de aprendizagem em 
atividades algébricas, sobre esse assunto Booth (1995) 
aponta que os estudantes: 
a) tendem a dar respostas particulares ao invés de uma 
resposta generalizada.
b) aceitam expressões algébricas como procedimento e 
resposta reduzindo a um único termo.
c) atribuem diferentes significados às incógnitas e variáveis na 
resolução de situações problemas.
d) utilizam diferentes valores para variáveis, transitando em 
diferentes tipos de representações de um objeto matemático.
Métodos e técnicas de ensino
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168
3. A construção do pensamento algébrico está relacionada 
com o desenvolvimento do pensamento matemático 
elementar ao avançado. Assinale a alternativa que NÃO 
caracteriza o pensamento matemático avançado:
a) abstrações de definição e dedução.
b) gerenciamento da complexidade.
c) procedimento algoritmo.
d) processos mentais flexíveis.
4. No processo de ensino e aprendizagem podemos utilizar 
alguns modelos para o ensino dos conceitos dos números 
inteiros, aponte os modelos sobre as operações de adição e 
multiplicação tratados nessa unidade e relacione-os.
5. Considerando os obstáculos epistemológicos advindo da 
inserção de novos conceitos qual é a função da tecnologia 
na prática de sala de aula?
Métodos e técnicas de ensino
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169
Referências
ARCAVI, A. The role of visual representations in the learning of 
mathematics. Educational Studies in Mathematics, v. 52, n. 3, p.215-241, 
2003.
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Algébricas