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TOPOGRAFIA
APLICADA
Rafael Savietto
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
S267t Savietto, Rafael.
Topografia aplicada / Rafael Savietto. – Porto Alegre : 
SAGAH, 2017.
233 p. : il. ; 22,5 cm. 
ISBN 978-85-9502-078-8
1. Topografia aplicada. I. Título. 
CDU 528.425
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Cálculo de volumes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar cálculos de volume de terraplenagem para faixas e áreas.
 � Aplicar os métodos de cálculo de volume topográfico.
 � Executar o equilíbrio nos volumes de corte e aterro.
Introdução
A movimentação de terra (terraplenagem) consiste na arte de mudar a 
configuração do terreno através de cortes e aterros. A terra tem resistência 
ao ser movida; a textura dos materiais que a compõem modifica-se no 
seu deslocamento, o volume aumenta e a estabilidade é alterada. Para 
planejar a movimentação de terra, você precisa ter conhecimento da 
altimetria, por pontos cotados em uma malha ou pelas curvas de nível, 
obtido pelo levantamento planialtimétrico do local onde irá realizar a 
terraplenagem.
Neste capítulo, você vai conhecer o conceito de terraplenagem e com-
preender como são aplicados os cálculos de volume. 
Conceito de terraplenagem e aplicabilidade de 
cálculos de volume
Ao abordar o conceito de movimentação de terra, conhecida como terraple-
nagem na topografia, você deve ter em mente que a terraplenagem consiste em 
mudar a configuração do terreno através de cortes e aterros. Ao mover a terra, 
você vai encontrar certa resistência, que é gerada pela textura dos diferentes 
materiais que a compõem e que se modificam no seu deslocamento. Isso gera 
alteração na estabilidade e aumento no volume. 
Para planejar a movimentação de terra, você deve ter conhecimentos de 
altimetria, por pontos cotados em uma malha ou pelas curvas de nível, que 
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são obtidas pelo levantamento planialtimétrico do local onde será realizada 
a terraplenagem. É possível aplicar o cálculo de volume em:
 � faixas longas e estreitas, como é o caso de rodovias, calhas de rios e 
ferrovias;
 � grandes áreas, como reservatórios.
doem relação ao cálculo de volume, para rodovias, calhas de rios e ferrovias, 
normalmente são utilizados os métodos baseados em seções transversais. 
Para grandes áreas, como reservatórios, trabalha-se com malhas de pontos 
ou contorno (volumes calculados através das curvas de nível).
Na construção de plataformas horizontais, você pode se deparar com duas 
hipóteses:
Primeira hipótese – o plano horizontal sem imposição de uma cota final 
determinada:
1. determinar um plano horizontal final sem a imposição de uma cota 
final preestabelecida;
2. estabelecer um plano inclinado sem a imposição da cota que este plano 
deverá apresentar.
Segunda hipótese – o plano horizontal com imposição de uma cota final 
determinada:
3. estabelecer um plano inclinado impondo-lhe determinada cota, através 
da escolha da cota de certo ponto;
4. determinar um plano horizontal final com a imposição de uma cota 
preestabelecida.
Para demonstrar a hipótese aplicada para o equilíbrio ou não do cálculo de 
volume na terraplenagem, você deve utilizar um modelo de terreno estaqueado 
de 10 em 10 metros, em forma de retângulo com dimensões de 40 m × 60 m. 
Seus vértices tiveram as cotas determinadas por nivelamento geométrico 
com precisão de centímetros. Veja na Figura1 como é uma malha retangular.
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Figura 1. Malha retangular.
Fonte: Fernandes (20--?).
Visto que o custo da terraplenagem é composto pela movimentação de 
material, pode-se dizer que nas situações 1 e 3 das hipóteses descritas, a 
topografia da área determinará uma altura do plano final que apresente vo-
lumes iguais de corte e aterro, fazendo com que o corte seja o menor possível 
e também se reduza o transporte ao mínimo. No caso das situações 2 e 4, o 
projeto determinará uma cota para o plano final, restando à topografia sua 
aplicação e a determinação dos volumes de corte e aterro, que serão diferentes. 
A seção é um método de cálculo de volume aplicado para calcular áreas na topogra-
fia. São utilizadas malhas retangulares e triangulares, além dos métodos mecânico, 
computacional e de médias ponderadas. Este último método é simplesmente o 
nivelamento de quadrículas. 
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Cálculo de volume de prismas e sólidos
Você vai estudar, agora, como é realizado o cálculo de volume de prismas e 
sólidos.
Volume de prismas
Os prismas podem ser retos – quando as arestas laterais são perpendiculares 
às bases – ou oblíquos, quando ocorre o contrário. O volume de um prisma 
será igual ao produto da área da base multiplicado pela sua altura. Confira 
um exemplo de prisma na Figura 2.
V = Sb × h
Figura 2. Prisma.
Volume de sólidos
Observe com atenção as imagens a seguir! Nelas, você vai ver como calcular 
o volume de alguns sólidos, iniciando pela pirâmide. Seu volume é a terça 
parte do volume de um prisma regular de mesma base que a pirâmide dada.
201Cálculo de volumes
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 � Volume de pirâmide com base regular (Figura 3):
V = 1/3 × Sb × h
Figura 3. Demonstração do cálculo de volume de uma pirâmide com base regular.
 � Volume do cilindro (Figura 4):
V = Π × r2 × h
Figura 4. Demonstração do cálculo 
de volume de um cilindro.
Topografia aplicada202
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 � Volume do paralelepípedo (Figura 5):
V = L × c × h
Figura 5. Demonstração do cálculo de volume de um 
paralelepípedo.
Nas Figuras 6 e 7, você pode verificar outros exemplos de volumes em 
diferentes sólidos.
Figura 6. Volume de um tronco de prisma triangular.
Fonte: Church (1981).
203Cálculo de volumes
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Figura 7. Volume de diferentes sólidos.
Fonte: Bezerra (1970).
Métodos do cálculo de volume em topografia
Os métodos utilizados para os cálculos de volume em topografia e suas res-
pectivas fórmulas são:
 � Método mecânico;
 � Método computacional;
 � Método das alturas ponderadas;
 � Método de nivelamento por quadrículas.
Método mecânico
A seção é desenhada de estaca em estaca com o auxílio de um planímetro para 
obter as áreas de corte e/ou aterro. O planímetro é um instrumento utilizado 
para desenhos técnicos topográficos. É formado por braços mecânicos articu-
lados que, ao serem colocados sobre uma planta, desenvolvem o contorno da 
Topografia aplicada204
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seção transversal que está no papel. Um display demonstrará a área de corte. 
A Figura 8 ilustra o planímetro.
Figura 8. Planímetro.
Fonte: Adaptada de Universidade de São Paulo (c2017).
Método computacional
Hoje, temos à disposição técnicas mais modernas, como os softwares. Mas 
quais softwares são esses? Quais são os métodos computacionais? Que tipos 
existem? Quais os produtos? No que auxiliam?
Você pode utilizar um software específico para o cálculo direto de áreas. 
Os softwares encontrados no mercado são Topograph, Posição, DataGeosis, 
Topo Cal, entre outros. Você vai utilizar os módulos de volume para realizar 
os cálculos e, assim ter maior produtividade. Veja a relação na Figura 9.
Figura 9. Utilização do software para o cálculo de volume. 
205Cálculo de volumes
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Método das alturas ponderadas
O método das alturas ponderadas consiste na fragmentação de um sólido, ou 
seja, você vai calcular o volume de sólidos menores para que o cálculo final seja 
simplificado. Serão utilizados sólidos de base quadrada ou triangular. Assim, 
você pode aplicá-los em escavações de pequeno ou grande porte (barragens 
e outras obras deengenharia).
Para realizar o cálculo do volume, você deve usar um sólido de base qua-
drada e área igual a Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e Z4. O volume 
deste sólido será dado pelo produto da área da base dividido pela altura média 
das arestas, conforme é demonstrado na Figura 10.
Figura 10. Sólido regular de base quadrada.
Na prática, o terreno é dividido em uma malha regular, e cada ponto le-
vantado desta malha tem a sua respectiva cota. Sendo assim, é definida a 
cota de projeto, ou seja, a cota em que o terreno deve ficar após a retirada 
do material. Dessa forma, você pode determinar as alturas de cada vértice 
para o cálculo de volume. 
A Figura 11 apresenta um exemplo da aplicação do cálculo. Imagine o 
volume de corte de um terreno de 10 × 10 m, cujas cotas dos vértices são 
dadas na figura. O projetista gostaria de saber qual será o volume escavado 
do terreno para as duas opções de cota final do projeto de 85 m e 84 m.
No primeiro caso, você deve calcular o volume de um sólido, conforme 
mostra a Figura 11b. Observe que, para o ponto A, o sólido terá aresta igual a 
2 m, resultado da diferença entre a cota do ponto A no terreno (87 m) e a cota 
Topografia aplicada206
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do projeto (85 m). Para os demais pontos, o raciocínio a empregar é o mesmo 
utilizado para determinar as alturas das arestas do sólido. 
Para o primeiro caso, demonstrado na Figura 11b, o volume de escavação 
será de 225 m3; para o segundo, ilustrado na parte Figura 11c, o volume de 
escavação será igual a 325 m3.
Figura 11. Cálculo de volume pelo método das alturas ponderadas.
Fonte: Fernandes (20--?).
Método de nivelamento por quadrículas
Segundo Corrêa (2007), o método mais apropriado para o levantamento das 
curvas de nível dos terrenos é o de nivelamento por quadrículas. A área 
a ser terraplenada deve ser locada e, em seguida, quadriculada. O lado dos 
quadrados tem seu comprimento estabelecido em função da extensão da área 
e da sinuosidade do terreno, considerando-se que as cotas a serem obtidas 
serão as dos vértices dos quadrados.
Os estaqueamentos das quadrículas devem ser o mais próximo possível de 
uma reta, acompanhando o perfil do terreno, para que os resultados sejam o 
mais próximo da realidade. Em geral, as quadrículas podem apresentar lados 
com comprimento de 10, 20, 30 ou 50 metros (depende do relevo do terreno). 
Para terrenos localizados em áreas urbanas, podem ser utilizados quadrados 
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com lados de 5 ou 4 metros. Estabelecido o comprimento a ser adotado, este 
será padrão para toda a quadriculação.
Em uma malha de pontos, você pode calcular o volume de cada célula da 
malha e, depois, somar todos os volumes. No box Exemplo, que você pode 
conferir a seguir, é deduzida a fórmula geral para o cálculo pelo método das 
alturas ponderadas. Para a malha quadrada de lados iguais, você pode utilizar 
a fórmula do cálculo de volume de corte. Para tal, são dadas as alturas de cada 
vértice dos sólidos. Veja a Figura 12 para compreender melhor como é feita 
a quadriculação.
Figura 12. Método de nivelamento por quadrículas. 
Onde: Q = L × L
Volume total = VP1 + VP2 + VP3
Topografia aplicada208
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Esta última equação é o resultado do exemplo. Note que os pontos conside-
rados somente no cálculo de um sólido recebem peso 1 (ponto A, por exemplo). 
Os que são considerados no cálculo do volume de dois sólidos recebem peso 
2 (pontos B e F). Por fim, pontos utilizados no cálculo do volume de três 
sólidos recebem peso 3 (ponto E). A partir dessa dedução, é possível chegar 
a uma fórmula geral para o cálculo do volume através do método das alturas 
ponderadas:
Os pesos 1, 2, 3 e 4 correspondem a:
1: pontos localizados nos cantos da malha;
2: pontos localizados nas bordas da malha;
3: pontos localizados em cantos reversos da malha;
4: pontos localizados no interior da malha.
A Figura 13 mostra os pesos que cada tipo de vértice recebe, conforme 
vimos.
Figura 13. Peso atribuído a cada vértice da malha regular.
Fonte: Veiga (2007).
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Para a determinação da malha no terreno, você deve proceder conforme 
as seguintes etapas:
1. Inicia-se com a quadriculação do terreno (Figura 14a). Esta etapa pode 
ser realizada com a trena ou com o auxílio de algum instrumento, como 
um teodolito ou uma estação total. No exemplo da Figura 14, os pontos 
da malha foram materializados por piquetes. 
2. Após, faz-se a determinação das cotas ou altitudes dos pontos, através 
de algum método de nivelamento (Figura 14b). 
3. Finalmente, após a escavação ou aterramento, será obtido o terreno na 
forma requerida pelo projeto (Figura 14d e e).
Figura 14. Determinação da malha no terreno.
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O cálculo de volume (corte) para a malha de lados iguais é de 20 m, e a cota de 
escavação é de 100 m. São dadas as cotas, em metros, de cada um dos vértices da 
malha. Veja na imagem:
Q = 20 × 20 = 400 m²
Somatória dos pontos com peso 1:
109,2 – 100 = 9,2 m
107 – 100 = 7 m
105 – 100 = 5 m
103,2 – 100 = 3,2 m
101,4 – 100 = 1,4 m
Σ1 = 9,2 + 7 + 5 + 3,2 + 1,4 = 25,8 m
Somatória dos pontos com peso 2:
107,1 – 100 = 7,1 m
103,3 – 100 = 3,3 m
Σ2 = 7,1 + 3,3 = 10,4 m
Somatória dos pontos com peso 3:
105 – 100 = 5 m
Σ3 = 5 m
211Cálculo de volumes
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Pode-se também, utilizar uma malha triangular para realizar o cálculo do volume, 
conforme a imagem a seguir, na qual a área total foi dividida em oito triângulos, 
considerando todos os triângulos de mesma área. Esta malha é chamada de malha 
triangular regular.
O princípio de cálculo é o mesmo utilizado anteriormente, mas agora você deve 
trabalhar com um sólido triangular, como o desta imagem:
A fórmula é dada por:
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Na imagem que ilustra a malha triangular regular, é possível observar que o ponto 
4 é utilizado no cálculo do volume de três sólidos (P1, P2 e P5), o ponto 1 em um 
sólido (P1), o ponto 5 em seis sólidos (P2, P3, P4, P5, P6 e P7), seguindo-se este padrão. 
Então, você pode definir uma fórmula geral para o cálculo de volumes em malhas 
triangulares regulares:
Em que:
 � A: área plana do triângulo
 � 1: pontos que são vértices de apenas um triângulo
 � 2: pontos que são vértices de dois triângulos
 � n: pontos que são vértices de “n” triângulos
Existe outra situação em que se trabalha com malhas triangulares irregulares. 
Nesses casos, você deve calcular o volume de cada um dos sólidos triangulares inde-
pendentemente, pois cada área de sólido será diferente. Confira a imagem a seguir:
A área de cada triângulo pode ser calculada pela seguinte fórmula:
213Cálculo de volumes
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Determinação da cota de passagem 
Há situações em que pode ser necessário haver igualdade dos volumes 
(corte igual a aterro). Observe o sólido formado pelas cotas A, B, C e D, na 
Figura 15a. Na Figura 15b, podemos perceber o volume de corte para uma 
determinada cota de escavação. Agora, você pode calcular qual seria a cota 
para que o volume de corte seja igual ao volume de aterro. Esta cota tem um 
nome específico, isto é, cota de passagem (Cp), conforme mostra a Figura 15c. 
O volume do sólido ABCD deve ser igual ao volume final do paralelogramo 
formado pela Figura 15d. Assim, já que a área da base e o volume são os mesmos 
para ambos os casos, você vai notar que a cota de escavação (projeto) muda.
Figura 15. Cota de passagem.
Fonte: Veiga (2007).
Então, para uma cota de escavação (Co) você encontrará um volume (Vo). 
Agora, você pode calcular um valor de Cp em que o volume de corte com-
pensaria o volumede aterro:
Vo = S x. h
S = área da base.
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O valor de h está referenciado ao plano de Co, então o valor final da cota 
de passagem será:
Cp = Co + h
Você pode verificar com a fórmula a seguir. Utilizando uma cota de es-
cavação de 200 m, o volume final de escavação seria 6160 m3. Lembre-se: o 
espaçamento da malha é de 20 m, e a área total da malha é de 1200 m2 (20 m 
× 20 m × 3). Calculando a cota de passagem para este caso:
Realizando o cálculo do volume para esta cota de escavação, o volume 
final deverá ser igual a zero. Fazendo os cálculos, você chegará a um volume 
de 4 m3. Pode ocorrer diferença em relação a zero, que é proveniente de 
arredondamento no cálculo do valor da cota de passagem.
Outra forma de calcular a cota de passagem é através da média ponderada 
dos valores das cotas dos pontos da malha, em que o peso de cada cota segue 
o mesmo raciocínio dos pesos mostrados anteriormente. Veja a Figura 16 e a 
Tabela 1 para compreender melhor as médias ponderadas.
Figura 16. Cota dos pontos da malha.
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Q = 20 × 20 = 400 m2
Os pesos 1, 2, 3 e 4 correspondem a:
1: pontos localizados nos cantos da malha;
2: pontos localizados nas bordas da malha;
3: pontos localizados em cantos reversos da malha;
4: pontos localizados no interior da malha.
Cota Peso Cota × Peso
209,20 1 209,20
207,10 2 414,20
205 1 205
207 1 207
205 3 615
203,30 2 406,60
203,20 1 203,20
201,40 1 201,40
Σ 12 2461,60
Tabela 1. Médias ponderadas.
Cota de passagem = 205,13 m. Este é o mesmo valor calculado pela fórmula 
anterior. O mesmo cálculo da cota de passagem será realizado no caso da 
malha triangular regular.
Porém, no caso da malha triangular irregular, o cálculo da cota de passagem 
pelo processo da média ponderada não pode ser utilizado como peso, pois um 
mesmo ponto é utilizado no cálculo de diferentes sólidos, visto que a área de 
cada triângulo é diferente e isto interferiria nos cálculos. Dessa forma, vamos 
utilizar como peso para o ponto a somatória das áreas dos sólidos nos quais 
ele é utilizado para o cálculo do volume.
Topografia aplicada216
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Calcular o volume de corte para a cota de 100 m e a cota de passagem. São dadas as 
áreas de cada triângulo.
Área total da malha (S) = 12 + 8 + 11 + 13 + 10 = 54 m2
he = cota ponto - cota escavação
Cálculo do he:
 � Ponto 1 = 101,10 - 100 = 1,10 m
 � Ponto 2 = 102,50 - 100 = 2,50 m
 � Ponto 3 = 105,90 - 100 = 5,90 m
 � Ponto 4 = 106,80 - 100 = 6,80 m
 � Ponto 5 = 107,20 - 100 = 7,20 m
 � Ponto 6 = 103,40 - 100 = 3,40 m 
Cálculo do volume:
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Volume total = 27,73 + 55,73 + 86,23 + 58 + 45,20 = 272,89 m3
Ponto Cota Cota escavação he (cota - cota escavação)
1 101,10 105,05 -3,95
2 102,50 105,05 -2,55
3 105,90 105,05 0,85
4 106,80 105,05 1,75
5 107,20 105,05 2,15
6 103,40
6+
105,05 -1,65
Cálculo do volume:V124 = - 12,67 m
3
V234 = + 0,18 m
3
V345 = + 20,58 m
3
V456 = + 7,50 m
3
V146 = - 15,40 m
3
Volume total = + 0,19 m3 
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Determinação da cota média - método das 
seções transversais e método dos pesos
Método das seções transversais
Para o cálculo de volumes (Vcorte e ou Vaterro), é necessário utilizar o método 
das seções. Existe um método para que a cota média possa ser determinada de 
forma mais rápida e prática, mas tal método é utilizado apenas para o cálculo 
da cota média, na qual o volume de corte (Vc) é igual ao volume de aterro 
(Va). Este é um método em que se efetua uma média ponderada das cotas dos 
vértices levantados no terreno primitivo. Para entender melhor, veja a Figura 17:
Diferença próxima a 0 m3 devido ao arredondamento. Essa diferença é desprezível. 
Conferindo com o anterior:
 � Método da média ponderada
Ponto Cota Peso Peso x Cota
1 101,10 12+8 = 20 2.022,00
2 102,50 8+11 = 19 1.947,50
3 105,90 11+13 = 24 2.541,60
4 106,80 12+8+11+13+10 = 54 5.767,20
5 107,20 10+13 = 23 2.465,60
6 103,40 10+12 = 22 2.274,80
Σ 162 17018,70
219Cálculo de volumes
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Figura 17. Seção de corte e aterro.
A aplicação da fórmula supõe seções planas paralelas entre si, a uma 
distância “L”, assim como mostra a Figura 18: 
Figura 18. Malha retangular.
Topografia aplicada220
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Fórmulas utilizadas
Área da seção transversal:
Em que:
cota Ai = cota dos vértices;
X = distância entre pontos (Figura 18);
L = espaçamento das seções (Figura 18). 
Volume da seção transversal:
Altura média e cota média:
O box Exemplo, traz a você um exemplo numérico no qual será desenvolvida 
cada etapa para a realização do método das seções transversais. 
221Cálculo de volumes
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Com o levantamento planialtimétrico representado a seguir, calcule a cota média pelo 
método das seções transversais. Considere o cálculo do volume acima da cota 1 m.
Primeiro – Cálculo das áreas das seções:
Segundo – Cálculo do volume:
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Método dos pesos
O outro exemplo numérico é o que será desenvolvido para a dedução do 
método dos pesos, em que haverá área de corte e área de aterro com volumes 
equalizados sem impor uma cota final (projeto) e demonstrando a linha 
de passagem.
Fórmulas utilizadas
Área da seção transversal:
Em que:
X + Y = DH
Terceiro – Cálculo da altura média e cota média:
Para fixar: a altura média é a distância vertical medida da cota de apoio até a cota 
média. A cota média pode ser considerada a distância vertical medida a partir da 
RN = 0 m.
223Cálculo de volumes
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Volume da seção transversal:
Cota média:
Em que:
 � ΣP1 = somatória das cotas utilizadas nos cálculos apenas uma (1) vez.
 � ΣP2= somatória das cotas que são utilizadas nos cálculos duas vezes, 
multiplicada por 2.
 � ΣP3 = somatória das cotas que são utilizadas nos cálculos três vezes, 
multiplicada por 3.
 � ΣP4 = somatória das cotas que são utilizadas nos cálculos quatro vezes, 
multiplicada por 4.
 � n = número de retângulos (ou quadrados) semelhantes.
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Com o levantamento planialtimétrico representado a seguir, calcule a cota média pelo 
método dos pesos. Veja as malhas de terraplenagem nas imagens a seguir. Considere 
o cálculo do volume a partir da RN Cota 0,0 m.
225Cálculo de volumes
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1. Cálculo da cota média pelo método dos pesos
Você pode se guiar utilizando a tabela a seguir para adotar os pesos nos vértices:
Σ Peso 1 Peso 2 Peso 3 Peso 4
7 5 0 4,8
6,8 3 3,5
2,8 6,6
2,2 2,5
4,9
3,3
× 1 × 2 × 3 × 4
18,80 50,6 0 33,2
 
2. Cálculo de “X” e “Y” que corresponde aos pontos de locação da curva de passagem 
de corte para aterro (cota média) 
Seção 1:
X + Y = DH
X e Y = distância até a interseção.
(Cota superior − cota média) = diferença de nível entre a cota superior e a cota média.
(Cota superior – cota inferior) = diferença de nível entre os extremos.
Topografia aplicada226
Topografia_aplicada_U4_C2.indd 226 10/03/2017 15:49:33
DH = distância horizontal.
Resolução:
Y1 = 20,00 - 7,81 = 12,19 m
Seção 2:
Y2 = 20,00 - 8,08 = 11,92 m
Seção 3:
Y3 = 20 - 7,25 = 12,75 m
227Cálculo de volumes
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3. Linha de passagem de corte para aterro (Cota média)
Situação após o cálculo da cota média (curva de nível de passagem do corte para aterro).
 
4. Cálculo das áreas das seções
Seção 1:
Seção 2:
Seção 3:
 
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Princípios do empolamento de volumes
Analogamente, quando uma quantidade de material (solo) é lançada em um 
aterro e compactada de forma mecânica, o volume final (aterro) é diferente 
daquele que a mesma massa ocupava (corte). Essa diminuição volumétrica 
chama-se de contração. Se 1 m3 de solo (no corte) “contrai-se” para 0,8 m3 
(aterro) após ser compactado, a contração é de 20%.
Em grandes obras de terra, o cálculo do empolamento é feito através de 
ensaios de densidade (massa específica) em laboratório. As massas específicas 
no corte, soltas e compactadas, eram, respectivamente:
γscorte= 2,20 t/m³
γssolto= 1,60 t/m³
γsaterro = 2,39 t/m³
Com esses valores, podemos calcular os fatores de empolamento, contração 
e homogeneização e montar o quadro de volumes:
5. Cálculo dos volumes
Então, os volumes de terraplenagem estão equalizados, não resultando empréstimo 
ou bota-fora, que, no aspecto econômico, vai encarecer a obra.
229Cálculo de volumes
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Volume solto = Vcorte × (1 + E)
Volume aterro = Vcorte × Contração
As Figuras 19 a 21 definem os ciclos dos volumes. 
Figura 19.
Figura 20.
Topografia aplicada230
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Figura 21.
1. Em uma malha triangular regular, 
considerando todos os triângulos 
de mesma área, qual a fórmula de 
cálculo de volume? 
a) V= Q/4(∑D1 + 2∑D2 + 
3∑D3 + 4∑D4)
b) V= A /3(2 × z1 + z2 + z3)
c) V= A /3(2 × z1 + z2 + z3)
d) V= A /3(z1+z2+z3)
e) V= A /4(z1+z2+z3)
2. Conforme a imagem a seguir, da 
malha quadrada regular com suas 
cotas do terreno, para um platô com 
volume igual ao de corte e aterro, 
qual a cota de passagem realizando 
o cálculo através da média 
ponderada (método dos pesos)?
a) Cota de passagem = 5,43 m.
b) Cota de passagem = 4,51 m.
c) Cota de passagem = 5,02 m.
d) Cota de passagem = 5,33 m.
3. Em uma obra, precisamos escavar 
2.500 m3 de terra para descobrir 
o volume solto (volume após a 
escavação), pois, assim, define-se 
o custo do transporte para um 
bota-fora, sendo que Vc é o 
volume medido no corte e E é o 
empolamento já determinado em 
laboratório de solos em 30%. Indique 
a alternativa correta: 
a) Vs = 3.200 m3.
b) Vs = 3.250 m3.
c) Vs = 3.000 m3.
d) Vs = 3.100 m3.
e) Vs = 3.050 m3.
4. Quais são as hipóteses que 
podem ocorrer para efetuar o 
cálculo de volume? 
a) Primeira hipótese: o plano 
horizontal sem imposição de 
uma cota final determinada.
231Cálculo de volumes
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b) Primeira hipótese: o plano 
horizontal sem imposição de 
uma cota final determinada. 
Segunda hipótese: o plano 
horizontal com imposição de 
uma cota final determinada.
c) Primeira hipótese: o plano 
inclinado sem imposição de 
uma cota final determinada. 
Segunda: o plano horizontal 
com imposição de uma 
cota final determinada.
d) Primeira hipótese: o plano 
horizontal sem imposição de 
uma cota final determinada. 
Segunda: o plano inclinado 
com imposição de uma 
cota final determinada.
e) Primeira hipótese: o plano 
inclinado sem imposição de uma 
cota final determinada. Segunda: 
o plano inclinado com imposição 
de uma cota final determinada.
5. Quais são os métodos de 
cálculo de volume? 
a) Método mecânico e 
método computacional.
b) Método mecânico e método 
das alturas ponderadas.
c) Método mecânico, método 
das alturas ponderadas e 
método computacional.
d) Método das alturas ponderadas.
e) Método das alturas ponderadas 
e método computacional.
BEZERRA, M. J. Curso de matemática. 25. ed. São Paulo: Companhia Nacional, 1970.
CHURCH, H. K. Excavation handbook. New York: McGraw-Hill, 1981. 
FERNANDES, R. O. Elementos de terraplanagem: cálculo de volumes. Universidade 
Regional do Cariri, [20--?]. Disponível em: < http://wiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.
php?media=elemento-terraplenagem.pdf>. Acesso em: 23 fev. 2017.
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Laboratório de Biomecânica do Movimento e Postura 
Humana. Planímetro. USP, [c2017]. Disponível em: < http://biton.uspnet.usp.br/labimph/
wp-content/uploads/2014/05/planimetro.jpg>. Acesso em: 6 fev. 2017.
VEIGA, L. A. K. Cálculo de volumes: topografia. [S.l.: s.n.], 2007. Notas de aula. Dispo-
nível em: < http://www.cartografica.ufpr.br/home/wp-content/uploads/2012/11/
Volume2006a.pdf>. Acesso em: 23 fev. 2017.
Topografia aplicada232
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http://wiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.
http://biton.uspnet.usp.br/labimph/
http://www.cartografica.ufpr.br/home/wp-content/uploads/2012/11/
Leituras recomendadas
PASTANA, C. E. T. Topografia I e II: anotações de aula. 2010/1. Apostila Aula de Graduação 
da Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia da Universidade de Marília. 
245 p. cap. 12. Disponível em: <http://civilnet.com.br/Files/topo2/TOPOGRAFIA-
-APOSTILA-2010-1.pdf >. Acesso em: 01 fev. 2017.
VEIGA, L. A. K. Topografia: cálculo de volumes. Notas de aula GA033 – Levantamentos 
Topográficos II. Apostila de Graduação. set. 2007. 52 p. Disponível em: <http://www.
cartografica.ufpr.br/home/wp-content/uploads/2012/11/Volume2006a.pdf >. Acesso 
em: 01 fev. 2017. 
233Cálculo de volumes
Topografia_aplicada_U4_C2.indd 233 10/03/2017 15:49:35
http://civilnet.com.br/Files/topo2/TOPOGRAFIA-
http://cartografica.ufpr.br/home/wp-content/uploads/2012/11/Volume2006a.pdf
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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