Apostila Banco do Brasil - Casa do Concurseiro - 2023

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E-BOOK
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CONTEÚDO
 • Português - Prof. Francis Madeira (COMPLETO)
 • Português - Profª Pâmela Damasceno (COMPLETO)
 • Redação (EM BREVE)
 • Raciocínio Lógico-Matemático - Prof. Dudan (COMPLETO)
 • Matemática Financeira - Prof. Fabrício Biazotto (COMPLETO)
 • Estatística e Probabilidade - Prof. Fabrício Biazotto (COMPLETO)
 • Atualidades do Mercado Financeiro - Prof. Juca Siade (EM BREVE)
 • Conhecimentos Bancários - Prof. Juca Siade (PARCIAL)
 • Cultura Organizacional - Prof. Rafael Ravazolo (COMPLETO)
 • Atendimento - Prof. Ariel Zvoziak (COMPLETO)
 • Código de Defesa do Consumidor - Prof. Fidel Ribeiro (COMPLETO)
 • Informática - Prof. Deodato Neto (COMPLETO)
 • Tecnologia da Informação - Prof. Gabriel Pacheco (COMPLETO)
 • Inglês - Prof. Eduardo Folks (COMPLETO)
 • Cultura Organizacional - Profª Raquel Peruzzo (EM BREVE)
 • Técnicas de Vendas e Atendimento - Prof. Rafael Ravazolo (COMPLETO)
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PORTUGUÊS
PROF. FRANCIS MADEIRA
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PORTUGUÊS
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CONCORDÂNCIA VERBAL
1ª REGRA GERAL
(concordância do verbo com o sujeito simples): o verbo concorda com o sujeito simples em 
número (singular/plural) e em pessoa (1ª/2ª/3ª).
 • Eu estudo para a prova.
 • Tu estudas para a prova.
 • O aluno estuda para a prova.
 • Os alunos estudam para a prova.
CUIDAR A REGRA GERAL NOS SEGUINTES CASOS
1. SUJEITO POSPOSTO
 • Foi encontrado uma prova incriminadora. (DESVIO)
 • Foi encontrada uma prova incriminadora. (PADRÃO)
 • Falta cinco minutos para o término do exame. (DESVIO)
 • Faltam cinco minutos para o término do exame. (PADRÃO)
2. SUJEITO RECEBENDO MODIFICADOR
 • A adoção de crianças nos grandes núcleos urbanos cresceram nas últimas décadas. (DESVIO)
 • A adoção de crianças nos grandes núcleos urbanos cresceu nas últimas décadas. (PADRÃO)
 • A adulteração de placas em veículos alertaram os órgãos de fiscalização. (DESVIO)
 • A adulteração de placas em veículos alertou os órgãos de fiscalização. (PADRÃO)
CASOS ESPECIAIS (SUJEITO SIMPLES)
1. SUJEITO FORMADO POR EXPRESSÃO PARTITIVA
 • Grande parte dos alunos terminou a tarefa.
 • Grande parte dos alunos terminaram a tarefa.
 • A maioria dos funcionários aceitou as novas regras.
 • A maioria dos funcionários aceitaram as novas regras.
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2. SUJEITO PERCENTUAL
 • Somente 1% concordou.
 • Somente 1,8% concordou.
 • Somente 2% concordaram.
 • Somente 2% da população se vacinou contra o vírus.
 • Somente 2% da população se vacinaram contra o vírus.
 • Somente 1% dos brasileiros se vacinou contra o vírus.
 • Somente 1% dos brasileiros se vacinaram contra o vírus.
3. SUJEITO “QUE”: concorda com o antecedente.
 • Fui eu que escolhi o texto.
 • Foste tu que escolheste o texto.
 • Foram eles que escolheram o texto.
4. SUJEITO “QUEM”: fica na 3ª pessoa do singular ou concorda com antecedente.
 • Fui eu quem escolheu o texto.
 • Fui eu quem escolhi o texto.
 • Foste tu quem escolheu o texto.
 • Foste tu quem escolheste o texto.
5. EXPRESSÃO “UM DOS QUE”: 3ª pessoa do singular ou 3ª pessoa do plural.
 • Ele foi um dos que mais se dedicou.
 • Ele foi um dos que mais se dedicaram.
6. SUJEITO: PRONOME INDEFINIDO PLURAL ou INTERROGATIVO PLURAL + DE ou DENTRE + 
NÓS (ou VÓS)
 • Muitos dentre nós fogem dessas discussões.
 • Muitos dentre nós fugimos dessas discussões.
 • Quantos de nós votaram naquele candidato?
 • Quantos de nós votamos naquele candidato?
 • Vários de vós alegaram inocência.
 • Vários de vós alegastes inocência.
ATENÇÃO: pronome no singular.
 • Qual de nós fez isso?
 • Um de vós precisa sair.
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7. PLURAL APARENTE: cuidado com o artigo.
 • Minas Gerais elegeu o novo governador.
 • Alagoas está em festa.
 • As Minas Gerais elegeram o novo governador.
 • As Alagoas estão em festa.
 • Os Estados Unidos atacaram o Iraque.
 • “Memórias Póstumas de Brás Cubas” inaugurou nosso Realismo. (sem artigo)
 • “Os Lusíadas” merece / merecem uma leitura atenta. (com artigo)
 • “Os imperdoáveis” conquistou / conquistaram o Oscar de melhor filme. (com artigo)
2ª REGRA GERAL
(concordância do verbo com o sujeito composto): o verbo fica no plural respeitando a 
prevalência da 1ª pessoa sobre as demais e da 2ª sobre a 3ª).
 • O aluno e a professora encontraram-se na biblioteca. (ele + ela = eles)
 • O aluno e eu chegamos atrasados. (ele + eu = nós)
 • Tu e teu irmão devereis sair daqui. (tu + ele = vós)
Observação: Tu e teu irmão deverão sair daqui. (tu + ele = vocês)
1. SUJEITO COMPOSTO POSPOSTO
 • Entraram o aluno e a professora.
 • Entrou o aluno e a professora.
2. NÚCLEOS EM GRADAÇÃO
 • Uma visita, um telefonema, uma simples mensagem o deixará animado.
3. NÚCLEOS RESUMIDOS POR APOSTO RECAPITULATIVO
 • As noites sem sono, as horas de estudo, os sacrifícios, tudo isso será recompensado.
5. NÚCLEOS LIGADOS POR “OU”
 • Berinjela ou abóbora te farão bem.
 • Bernie Sanders ou Joe Biden receberá a nomeação democrata em 2020.
REGRA ESPECIAL 1 (expressão HAJA VISTA): vista é invariável.
 • Todos serão ouvidos, haja vista os problemas que ocorreram.
 • Todos serão ouvidos, hajam vista os problemas que ocorreram.
 • Todos serão ouvidos, haja vista aos problemas que ocorreram.
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REGRA ESPECIAL 2 (verbos DAR, BATER e SOAR informando horas).
 • Deu uma hora no relógio da Central.
 • Deram duas horas no relógio da Central.
 • Deu duas horas o relógio da Central.
 • Soou uma hora no sino da igreja.
 • Soaram duas horas no sino da igreja.
 • Soou duas horas o sino da igreja.
REGRA ESPECIAL 3 (pronome apassivador).
1. CONSTRUINDO A VOZ PASSIVA ANALÍTICA
VOZ ATIVA
O homem perturba o meio ambiente.
SUJ VTD OD
VOZ PASSIVA
O meio ambiente é perturbado pelo homem.
SUJ LOCUÇÃO PASSIVA ADP
VOZ ATIVA
O homem forneceu dados aos investigadores.
SUJ VTDI OD OI
VOZ PASSIVA
Dados foram fornecidos pelo homem aos investigadores.
SUJ LOCUÇÃO PASSIVA ADP OI
2. CONCORDÂNCIA NA VOZ PASSIVA
 • Foi encontrado um projétil dentro do carro.
 • Foram encontrados projéteis dentro do carro.
 • Foi encontrada uma pista do crime.
 • Foram encontradas pistas do crime.
3. VOZ PASSIVA SINTÉTICA: constrói-se com um verbo transitivo direto (VTD) ou verbo 
transitivo direito e indireto (VTDI) acompanhado da partícula apassivadora “se”.
 • Destruiu-se a prova do crime.
 • Deu-se ao aluno a nota da prova.
 • Não se forneceu ao investigador prova contundente.
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4. CONCORDÂNCIA NA VOZ PASSIVA SINTÉTICA: quando se liga ao pronome apassivador o 
verbo concorda com o sujeito da voz passiva (aquele que, na ativa, era o objeto direto).
 • Destruiu-se a prova do crime.
 • Destruíram-se as provas do crime.
 • Deu-se ao aluno a nota da prova.
 • Deram-se ao aluno as notas das provas.
 • Não se forneceu ao investigador prova contundente.
 • Não se forneceram ao investigador provas contundentes.
5. CUIDADO: em concursos, é comum induzir o aluno ao erro.
 • Deu-se aos alunos a nota da prova. (sujeito: a nota da prova)
 • Não se forneceu aos investigadores prova contundente. (sujeito: prova contundente)
REGRA ESPECIAL 4 (índice de indeterminação do sujeito).
1. Quando o verbo se liga ao índice de indeterminação do sujeito, deve ficar na 3ª pessoa no 
singular, sempre.
 • Precisa-se de um novo empregado.
 • Precisa-se de novos empregados.
2. O índice de indeterminação do sujeito só se liga a verbos que não apresentam OBJETO 
DIRETO: verbos transitivos indiretos (VTI), verbos intransitivos (VI) e verbos de ligação (VL).
 • Trata-se de um problema grave.
 • Trata-se de problemas graves.
 • Quando se é jovem, chega-se a conclusões precipitadas.
3. PRONOME APASSIVADOR x ÍNDICE DE INDETERMINAÇÃO DO SUJEITO
 • Contrata-se secretária.
 • Contratam-se secretárias.
 • Precisa-se de secretária.
 • Precisa-se de secretárias.
4. Em locuções verbais, o raciocínio é o mesmo.
 • Não se pode chegar a conclusões como essas. (chegar a algo)
 • Não se podem extrair conclusões como essas. (extrair algo)
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REGRA ESPECIAL 5 (verbos impessoais).
Verbos impessoais são verbosque não têm sujeito, portanto não apresentam o termo com o 
qual deveriam estabelecer concordância. É necessário memorizá-los.
Ficam, por convenção, na 3ª pessoa do singular, com uma única exceção, que será sinalizada.
1. VERBO “HAVER”, no sentido de existir ou de acontecer.
 • Houve uma discussão acalorada.
 • Houve discussões acaloradas.
 • Haverá acidentes se for reduzida a fiscalização.
 • Pode haver muitos problemas escondidos.
ATENÇÃO (EXISTIR e ACONTECER não são impessoais):
 • Houve uma discussão acalorada.
 • Aconteceu uma discussão acalorada.
 • Houve discussões acaloradas.
 • Aconteceram discussões acaloradas.
 • Haverá acidentes se for reduzida a fiscalização.
 • Acontecerão acidentes se for reduzida a fiscalização.
 • Pode haver muitos problemas escondidos.
 • Podem existir muitos problemas escondidos.
2. VERBOS “HAVER” E “FAZER”, INDICANDO TEMPO DECORRIDO.
 • Ela graduou-se há um ano.
 • Ela graduou-se há dois anos.
 • Ela graduou-se faz um ano.
 • Ela graduou-se faz dois anos.
 • Vai fazer cinco meses que ele nasceu.
3. VERBOS QUE EXPRESSAM FENÔMENOS DA NATUREZA
 • Choveu chuvas fortes em agosto.
 • Faz dez graus em Curitiba.
 • Amanheceu nublado em Porto Alegre.
 • Amanhã vai fazer trinta graus.
3. VERBOS QUE EXPRESSAM FENÔMENOS DA NATUREZA
Observação:
 • Choveram xingamentos naquela briga. (não é impessoal)
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4. “CHEGA DE” E “BASTA DE”
 • Chega de lágrimas.
 • Basta de reclamações.
5. “PASSAR DE” (horas)
 • Passava das dez quando eles chegaram.
6. “SER” nas indicações de datas, horas e distância (exceção: concorda com o predicativo).
 • É uma hora. à São duas horas.
 • Deve ser uma hora. à Devem ser dez horas.
 • É dia primeiro de maio. à É dia dois de maio.
 • É primeiro de maio. à São dois de maio.
 • Daqui até minha casa é um quilômetro. à Daqui até minha casa são dois quilômetros.
REGRA ESPECIAL 6 (concordância especial do verbo SER
1. Oscila a concordância entre o sujeito e o predicativo. Prefere o segundo, quando o sujeito 
é singular e o predicativo é plural.
 • Nem tudo são flores.
 • Isso são calúnias.
2. Volta a concordar com o sujeito, mesmo que o predicativo esteja no plural, caso o sujeito 
seja pessoa.
 • Teu marido é tuas queixas.
 • Aquele médico era só decepções.
3. Volta a concordar com o predicativo, quando houver pronome pessoal.
 • “Esse cara sou eu.”
 • O professor és tu.
 • O problema somos nós.
4. Entre dois pronomes pessoais, concorda com o sujeito.
 • Eu não sou tu. Tu não és eu.
5. Impessoal (indicando hora, data e distância, ver regra especial anterior).
6. Quando o sujeito é quantidade, e o predicativo é formado por expressões como “é muito”, 
“é bastante”, “é suficiente”, e similares, fica no singular.
 • Cinco reais é pouco.
 • Vinte mil ingressos é o bastante.
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REGRA ESPECIAL 7 (concordância siléptica).
É possível estabelecer concordância com a ideia, e não com a palavra.
 • Vossa Excelência está preocupado. (homem)
 • Vossa Excelência está preocupada. (mulher)
É possível estabelecer concordância com a ideia, e não com a palavra.
 • A torcida estava em festa. Comemoravam euforicamente o gol.
É possível estabelecer concordância com a ideia, e não com a palavra.
 • Todos sabem isso.
 • Todos sabemos isso.
 • Os estudantes somos o futuro.
1. “PÔR” E SEUS DERIVADOS
 • O governador põe as reformas em risco.
 • Os governadores põem as reformas em risco.
 • Há gente que impõe sua opinião.
 • Há pessoas que impõem sua opinião.
2. “TER” E SEUS DERIVADOS
 • Ele tem muito a provar.
 • Eles têm muito a provar.
 • O professor nem sempre obtém as respostas que deseja.
 • Os professores nem sempre obtêm as respostas que desejam.
3. “VIR” E SEUS DERIVADOS
 • Ele vem de muito longe.
 • Eles vêm de muito longe.
 • Ele intervém em tudo.
 • Eles intervêm em tudo.
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QUESTÕES
1. (BANCO DO BRASIL - 2014)
Que frase está de acordo com a norma-padrão, no que concerne à concordância?
a) O amigo lhe contou que aconteceu muitos fatos engraçados com o tio.
b) Cada um dos objetos do narrador cismam de atormentá-lo.
c) Já deu dez horas no relógio e ainda não encontrei minhas chaves.
d) Fazia quatro meses que o amigo não encontrava o tio distraído.
e) Chegaram para uma visita inesperada o amigo, o tio e eu.
2. (BANCO DO BRASIL - 2014)
De acordo com as exigências da norma-padrão da língua portuguesa, o verbo destacado está 
corretamente empregado em:
a) No mundo moderno, conferem-se às grandes metrópoles importante papel no desenvolvimento 
da economia e da geopolítica mundiais, por estarem no topo da hierarquia urbana.
b) Conforme o grau de influência e importância internacional, classificou-se as 50 maiores 
cidades em três diferentes classes, a maior parte delas na Europa.
c) Há quase duzentos anos, atribuem-se às cidades a responsabilidade de motor propulsor do 
desenvolvimento e a condição de lugar privilegiado para os negócios e a cultura.
d) Em centros com grandes aglomerações populacionais, realiza-se negócios nacionais e 
internacionais, além de um atendimento bastante diversificado, como jornais, teatros, 
cinemas, entre outros.
e) Em todos os estudos geopolíticos, considera-se as cidades globais como verdadeiros polos 
de influência internacional, devido à presença de sedes de grandes empresas transnacionais 
e importantes centros de pesquisas.
Gabarito: 1. D 2. C
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COLOCAÇÃO PRONOMINAL
INTRODUÇÃO - PRONOMES PESSOAIS
PESSOA CASO RETO
CASO OBLÍQUO
ÁTONO TÔNICO
1ª SING. eu me mim, comigo
2ª SING. tu te ti, contigo
3ª SING. ele, ela se, o, a, lhe si, consigo, ele, ela
1ª PL. nós nos nós, conosco
2ª PL. vós vos vós, convosco
3ª PL. eles, elas se, os, as, lhes si, consigo, eles, elas
INTRODUÇÃO - PRONOMES PESSOAIS
1. CASO RETO: exercem função de sujeito
 • Eu trouxe os livros ontem.
 • Ele não quis ficar.
2. CASO OBLÍQUO: exercem as demais funções sintáticas (objeto direto, objeto indireto, 
adjuntos, complemento nominal, agente da passiva...).
Eu não a vi ontem. (átono: fraco)
Ela viu-me ontem. (átono: fraco)
O trabalho foi feito por mim. (tônico: forte)
Ela deu as ideias a mim. (tônico: forte)
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3. PRONOMES PESSOAIS DE TRATAMENTO: não apresentam caso, e por isso podem ocupar 
qualquer função sintática; são pronomes de 3ª pessoa gramatical.
 • Vossa Excelência está preocupado.
 • Eu gostaria de cumprimentar Vossa Excelência.
 • Os livros foram entregues a Vossa Excelência.
 • Você está preocupado.
 • Eu gostaria de cumprimentar você.
 • Os livros foram entregues a você.
Observação 1: embora não tenham caso, podem usar os oblíquos da terceira pessoa.
 • Vossa Excelência está preocupado.
 • Eu gostaria de cumprimentar Vossa Excelência. → Gostaria de cumprimentá-lo.
 • Os livros foram entregues a Vossa Excelência. → Os livros foram-lhe entregues.
Observação 2: tais pronomes nada têm a ver com “vós”.
 • Vossa Alteza precisais de vossos livros? (DESVIO)
 • Vossa Alteza precisa de seus livros? (PADRÃO)
4. COLOCAÇÕES DOS PRONOMES OBLÍQUOS ÁTONOS
 • Revelaram-me coisas horríveis a teu respeito. (ênclise)
 • Nunca me revelaram nada sobre ti. (próclise)
 • Revelar-me-ão coisas horríveis no próximo encontro. (mesóclise)
ORTOGRAFIA DA ÊNCLISE E DA MESÓCLISE:
1. PRONOME “NOS” EM ÊNCLISE: quando a forma verbal termina em “mos”, o pronome “nos” 
obriga que o verbo perca o “s” no final.
 • Cumprimentamo-nos e saímos.
 • Conhecemo-nos há anos.
 • Dissemo-nos coisas horríveis um ao outro.
2. PRONOMES “O, A, OS, AS”: quando a forma verbal termina em “R”, “S” ou “Z”, o verbo deverá 
perder essas letras, e os pronomes “O, A, OS, AS” tornar-se-ão “LO, LA, LOS, LAS”.
 • Precisamos dizer a verdade. → Precisamos dizê-la.
 • Tu encontras teu caminho. → Encontra-lo sempre.
 • Precisas encontrar teu caminho. → Precisas encontrá-lo.
 • Ele fez os exercícios. → Fê-los.
 • Tu pões sempre os livros no lugar. → Põe-los sempre no lugar.
 • Encontramos as folhas na gaveta. → Encontramo-las na gaveta.
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53. PRONOMES “O, A, OS, AS”: quando a forma verbal terminar em ditongo nasal /õy/, /ẽy/ ou /
ãw/, os pronomes “O, A, OS, AS” tornar-se-ão “NO, NA, NOS, NAS”.
 • Ele põe os livros sempre no lugar. → Põe-nos sempre no lugar.
 • Divulgaram as contas da empresa. → Divulgaram- nas.
 • Ele retém toda a informação confidencial. → Retém-na.
4. DEMAIS PRONOMES: não exigem ajustes ortográficos.
 • Revelamos-te a verdade.
 • Dissemos-vos tudo.
 • Demos-lhe tudo que tínhamos.
5. FORMAÇÃO DA MESÓCLISE: separar o infinitivo das desinências do futuro do presente e do 
futuro do pretérito.
FUTURO DO PRESENTE
 • revelarei → revelar ei
 • revelarás → revelar ás
 • revelará → revelar á
 • revelaremos → revelar emos
 • revelareis → revelar eis
 • revelarão → revelar ão
FUTURO DO PRETÉRITO
 • revelaria → revelar ia
 • revelarias → revelar ias
 • revelaria → revelar ia
 • revelaríamos → revelar íamos
 • revelaríeis → revelar íeis
 • revelariam → revelar iam
Revelar-te-ei a verdade.
Revelar-vos-ia a verdade, se a soubesse.
Entregar-lhe-íamos os bens, se os possuíssemos.
Queres a verdade? Revelá-la-ei a ti (revelar + a + ei).
6. MESÓCLISE DOS VERBOS DIZER, FAZER E TRAZER
 • direi → Dir-lhe-ei a verdade.
 • diria → Dir-te-ia tudo, se me pedisses.
 • faremos o bolo → Fá-lo-emos amanhã.
 • farias o bolo → Fá-lo-ias ontem.
 • trarei os livros → Trá-los-ei amanhã.
 • traria → Trar-te-ia os livros ontem, mas esqueci-os.
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COLOCAÇÃO PRONOMINAL (COM UM VERBO)
1. Os pronomes oblíquos átonos ME, TE, SE, O, A, LHE, NOS, VOS, SE, OS, AS e LHES assumem 
como posições padrão a mesóclise (nos futuros do presente e do pretérito) e a ênclise (nos 
demais tempos).
 • Encontrá-la-ei amanhã. (futuro do presente: mesóclise)
 • Encontrá-la-ia ontem. (futuro do pretérito: mesóclise)
 • Ela encontrou-me na festa. (demais tempos: ênclise)
 • Encontro-a todos os dias. (demais tempos: ênclise)
2. Jamais se aceita a ênclise com verbo no futuro do presente e no futuro do pretérito.
 • Darei-lhe a resposta amanhã. (DESVIO)
 • Diria-lhe a verdade, se pudesse. (DESVIO)
 • Dar-lhe-ei a resposta amanhã. (PADRÃO)
 • Dir-lhe-ia a verdade, se pudesse. (PADRÃO)
3. Jamais se aceita a ênclise ao particípio passado.
 • Dada-lhe a resposta, saí da sala. (DESVIO)
 • Dada a resposta a ele, saí da sala. (PADRÃO)
4. A próclise é aceita como posição alternativa, desde que não inicie oração.
 • Ela deu-me a resposta. (PADRÃO)
 • Ela me deu a resposta. (PADRÃO BRASIL)
 • Me disseram a verdade. (DESVIO)
 • Disseram-me a verdade. (PADRÃO)
 • Dar-lhe-ei a resposta amanhã. (PADRÃO)
 • Eu lhe darei a resposta amanhã. (PADRÃO BRASIL)
 • Dir-lhe-ia a verdade, se pudesse. (PADRÃO)
 • Eu lhe diria a verdade, se pudesse. (PADRÃO BRASIL)
5. COLOCAÇÕES INADMISSÍVEIS NO PORTUGUÊS PADRÃO
 • Depois que pedi, me disseram a verdade. (DESVIO)
 • Trarei-lhe os livros amanhã. (DESVIO)
 • Se soubesse, diria-te a verdade. (DESVIO)
 • Feita-lhe a pergunta, saí. (DESVIO)
6. A próclise é de regra (obrigatória), se houver fator de próclise. Fatores de próclise são 
condições morfossintáticas que fazem a próclise ser a única colocação possível.
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FATORES DE PRÓCLISE
1. FATOR DE PRÓCLISE: se o verbo está antecedido de palavras negativas (não, nunca, jamais, 
nada, ninguém...), a próclise é obrigatória, desde que não haja pausa entre a palavra e o verbo.
 • Não te disse a verdade ontem.
 • Ninguém lhe perguntou isso.
 • Jamais te revelarei a verdade.
Observação:
 • Você mentiu para mim?
 • Não, disse-te a verdade ontem.
 • Você pretende mentir para mim?
 • Jamais, revelar-te-ei a verdade.
2. FATOR DE PRÓCLISE: se o sujeito do verbo contém pronomes indefinidos (alguém, algo, tudo, 
nada, ninguém, outrem, todo...), a próclise é obrigatória.
 • “Alguém me disse que tu andas novamente...”
 • Tudo me incomoda no que ele diz; nada me faz crer nele.
 • Todos os amigos o convidavam para as festas, mas algo o fazia declinar dos convites.
3. FATOR DE PRÓCLISE: se o sujeito do verbo contém o numeral AMBOS, a próclise é obrigatória.
 • Ambos os filhos a decepcionaram.
4. FATOR DE PRÓCLISE: se o sujeito do verbo é pronome demonstrativo substantivo ISSO, ISTO 
ou AQUILO, a próclise é obrigatória.
 • Isso me cheira mal.
 • Aquilo nos incomodava demais.
5. FATOR DE PRÓCLISE: se o verbo está antecedido de advérbios e locuções adverbiais (hoje, 
aqui, muito, talvez, certamente, não, provavelmente...), a próclise é obrigatória, desde que não 
haja pausa entre a palavra e o verbo.
 • Hoje me convidaram para o baile.
 • Hoje, convidaram-me para o baile.
 • Certamente o trataram mal.
 • Certamente, trataram-no mal.
 • Aqui se faz, aqui se paga.
 • Provavelmente o impedirão de assumir o cargo.
 • Provavelmente, impedi-lo-ão de assumir o cargo.
 • No sábado te procuro.
 • No sábado, procuro-te.
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6. FATOR DE PRÓCLISE: se a oração é subordinada introduzida por pronome relativo (que, o 
qual, quem, cujo, como, quando, onde...), a próclise é obrigatória.
 • Os livros que te emprestei eram novos.
 • Os pais cujos filhos me desobedeceram foram chamados à diretoria.
 • Encontrei-a no lugar onde nos conhecemos.
 • As crianças diante das quais os adultos se portam mal repetem comportamentos 
indesejados.
8. FATOR DE PRÓCLISE: se a oração é subordinada introduzida por conjunções adverbiais, a 
próclise é obrigatória.
 • Ela me ajudou porque me conhece há tempos. (causal)
 • Ela me ajudou mais do que eu a ajudei. (comparativa)
 • Embora os alunos se esforçassem, não entendiam a matéria. (concessiva)
 • Se tu me ajudares, eu a ajudarei. (condicional)
 • Conforme lhe dissemos, a situação é grave. (conformativa)
 • Ela estava tão triste que nos causava dó. (consecutiva)
 • Estudavam para que me ajudassem no futuro. (final)
 • À medida que lhe revelávamos as informações, ela se desesperava. (proporcional)
 • Quando os alunos me perguntarem isso, direi que nada sei. (temporais)
9. FATOR DE PRÓCLISE: se a oração é coordenada introduzida por conjunção alternativa (OU, 
ORA... ORA, QUER... QUER), a próclise é obrigatória.
 • Ou me dizes a verdade, ou te expulsarei daqui.
 • Ela ora me dizia a verdade, ora se contradizia.
10. FATOR DE PRÓCLISE: se a frase é optativa (expressa desejo, introduzida por QUE, ou em que 
cabe um QUE inicial), a próclise é obrigatória, se o pronome não iniciar a oração.
 • Deus te abençoe.
 • “A terra lhes seja leve!”
 • Proteja-nos Deus de todo o mal.
 • Deus nos proteja de todo o mal.
11. FATOR DE PRÓCLISE: se o gerúndio é regido pela preposição EM, a próclise é obrigatória.
 • Em se tratando de crimes, ele era perito.
12. FATOR DE PRÓCLISE: pronomes interrogativos (QUEM, O QUE, QUE, QUAL, QUANTO) 
e advérbios interrogativos (COMO, QUANDO, ONDE, POR QUE), quando antecedem a forma 
verbal, obrigam a próclise.
 • Por que te preocupas com isso?
 • Onde a encontraste?
 • Quem te disse isso?
 • Quantos alunos se apresentarão amanhã?
 • Revela para mim quem te disse isso!
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13. FATOR DE PRÓCLISE: as conjunções integrantes QUE e SE obrigam a próclise nas orações 
que iniciam.
 • Ela confessou que me amava demais.
 • Ele não sabe que eu a odeio.
 • Ela tem medo de que eu a abandone.
 • Ela não disse se me ama ou não.
SITUAÇÕES ESPECIAIS
1. Caso o infinitivo do verbo esteja regido por uma preposição, aceita-se tanto a ênclise quanto 
a próclise, independentemente de haver fator de próclise ou não.
 • Fiz isso para ajudar-te nas tarefas.
 • Fiz isso para te ajudar nas tarefas.
 • Há riscos de o vírus disseminar-se no país.
 • Há riscos de o vírus se disseminar no país.
 • Fiz isso para não magoá-la mais.
 • Fiz isso para não a magoar mais.
2. Se o infinitivo é regido pela preposição A, e os pronomes átonos colocados forem O, A, OS, 
AS, deve-se optar pela ênclise.
 • Estávamos ali a a observar. (DESVIO)
 • Estávamos ali a observá-la. (PADRÃO)
 • Comecei a os acompanhar cedo. (DESVIO)
 • Comecei a acompanhá-los cedo. (PADRÃO)
3. APOSSÍNCLISE: é possível queo pronome oblíquo átono se coloque antes de um advérbio.
 • Ela disse que me amava.
 • Ela disse que não me amava.
 • Ela disse que me não amava.
 • Juro que te farei mal.
 • Juro que jamais te farei mal.
 • Juro que te jamais farei mal.
COLOCAÇÃO PRONOMINAL (COM LOCUÇÕES VERBAS)
Se a locução verbal traz o verbo principal no infinitivo, e não há fator de próclise, as colocações 
padrão são três.
 • Posso ajudar-te na tarefa.
 • Posso-te ajudar na tarefa. (preferida em Portugal)
 • Posso te ajudar na tarefa. (preferida no Brasil)
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10
2. Se a locução verbal traz o verbo principal no infinitivo, e há fator de próclise, as colocações 
padrão são três.
 • Não posso ajudar-te na tarefa.
 • Não te posso ajudar na tarefa. (preferida em Portugal)
 • Não posso te ajudar na tarefa. (preferida no Brasil)
3. Se a locução verbal traz o verbo principal no gerúndio, e não há fator de próclise, as colocações 
padrão são três.
 • Estou dizendo-lhe a verdade.
 • Estou-lhe dizendo a verdade. (preferida em Portugal)
 • Estou lhe dizendo a verdade. (preferida no Brasil)
4. Se a locução verbal traz o verbo principal no gerúndio, e há fator de próclise, as colocações 
padrão são três.
 • Não estou dizendo-lhe a verdade.
 • Não lhe estou dizendo a verdade. (preferida em Portugal)
 • Não estou lhe dizendo a verdade. (preferida no Brasil)
5. Se a locução verbal traz o verbo principal no particípio passado, e não há fator de próclise, as 
colocações padrão são duas.
 • Tenho ajudado-te nas tarefas. (DESVIO: ênclise a particípio)
 • Tenho-te ajudado. (preferida em Portugal)
 • Tenho te ajudado. (preferida no Brasil)
6. Se a locução verbal traz o verbo principal no particípio passado, e não há fator de próclise, as 
colocações padrão são duas.
 • Não tenho ajudado-te nas tarefas. (DESVIO: ênclise a particípio)
 • Não te tenho ajudado. (preferida em Portugal)
 • Não tenho te ajudado. (preferida no Brasil)
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11
QUESTÕES
EXERCÍCIOS – BANCO DO BRASIL 2014
1. Dentre os trechos abaixo, a alteração da colocação do pronome oblíquo está feita de acordo 
com a norma-padrão em:
a) “a olhar-me desapontado.” – a me olhar desapontado
b) “lapsos que me têm ocorrido”(. 40) – lapsos que têm ocorrido-me
c) “Trata-se de um desses” (. 44) – Se trata de um desses
d) “Contou-me ainda o sobrinho” (. 54) – Me contou ainda o sobrinho
e) “Já lhe aconteceu” (. 57) – Já aconteceu-lhe
RESPOSTA:
a) “a olhar-me desapontado.” – a me olhar desapontado
b) “lapsos que me têm ocorrido” – lapsos que têm ocorrido- me
c) “Trata-se de um desses” – Se trata de um desses
d) “Contou-me ainda o sobrinho” – Me contou ainda o sobrinho
e) “Já lhe aconteceu” (. 57) – Já aconteceu-lhe
2. O pronome destacado foi utilizado na posição correta, segundo as exigências da norma-padrão 
da língua portuguesa, em:
a) Quando as carreiras tradicionais saturam-se, os futuros profissionais têm de recorrer a 
outras alternativas.
b) Caso os responsáveis pela limpeza urbana descuidem-se de sua tarefa, muitas doenças 
transmissíveis podem proliferar.
c) As empresas têm mantido-se atentas às leis de proteção ambiental vigentes no país poderão 
ser penalizadas.
d) Os dirigentes devem esforçar-se para que os funcionários tenham consciência de ações de 
proteção ao meio ambiente.
e) Os trabalhadores das áreas rurais nunca enganaram-se a respeito da importância da 
agricultura para a subsistência da humanidade.
RESPOSTA
a) Quando as carreiras tradicionais saturam-se, os futuros profissionais têm de recorrer a 
outras alternativas.
b) Caso os responsáveis pela limpeza urbana descuidem-se de sua tarefa, muitas doenças 
transmissíveis podem proliferar.
c) As empresas têm mantido-se atentas às leis de proteção ambiental vigentes no país poderão 
ser penalizadas.
d) Os dirigentes devem esforçar-se para que os funcionários tenham consciência de ações de 
proteção ao meio ambiente.
e) Os trabalhadores das áreas rurais nunca enganaram-se a respeito da importância da 
agricultura para a subsistência da humanidade.
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PORTUGUÊS
3
PONTUAÇÃO
UNIDADE I – ESTUDO DA VÍRGULA
A vírgula pode aparecer no interior da oração (,) ou entre orações (,).
 • Apesar do frio, saiu sem casaco.
 • Embora estivesse frio, saiu sem casaco.
USO DA VÍRGULA (no interior da oração)
1. A vírgula separa elementos coordenados, ou seja, que exercem a mesma função sintática. 
Pode ser dispensada quando o último termo é introduzido por conjunção “e”, “nem” e “ou”.
 • Comprei arroz, feijão, ervilha e carne.
 • Pedro, Paulo, João e José vieram à reunião.
 • Encontrou uma mulher inteligente, honesta e parceira.
Obs.1 Se houver polissíndeto, a vírgula antes da conjunção coordenativa é obrigatória.
 • Comprei arroz, e feijão, e ervilha, e carne.
 • Pedro, e Paulo, e João, e José vieram à reunião.
 • Nem o amor, nem a paixão, nem o ódio, nem a raiva poderiam mudá-lo.
Obs.2 Caso se deseje realçar o último elemento, a vírgula antes da conjunção coordenativa é 
aceita. Pode ser também usado o travessão.
 • Comprei arroz, feijão, ervilha e carne.
 • Comprei arroz, feijão, ervilha, e carne.
 • Comprei arroz, feijão, ervilha – e carne.
2. A vírgula isola o vocativo.
 • O problema, minha amada, é a angústia.
 • Meu caro amigo, perdoe-me.
 • Perdoai nossas falhas, ó Deus!
23
4
3. A vírgula isola o aposto explicativo.
 • O inverno, estação das comidas quentes, ainda nem começou.
 • Ela soube viver a vida, esse presente divino.
 • Getúlio Vargas, 14º presidente brasileiro, estudou Direito em Porto Alegre.
4. A vírgula isola expressões de natureza explicativa (ou seja, isto é, por exemplo, ou melhor).
 • Ela não se dedicou aos estudos, isto é, não se dedicou o suficiente.
 • Pedi silêncio a todos, ou seja, não só àqueles dois alunos.
5. Em cabeçalhos de correspondências e periódicos, a vírgula separa o local da data.
 • Rio de Janeiro, 25 de março de 2020.
 • Nova Iorque, 11 de setembro de 2001.
6. A vírgula isola o adjunto adverbial, facultativamente, caso se deseje realçá-lo, quando ele 
aparece na ordem direta.
SUJEITO  VERBO  COMPLEMENTOS  ADJUNTOS ADVERBIAIS
 • Ela disse a verdade, em todos os momentos.
 • Enfrentei a todos, apesar da dificuldade.
 • Requeri ajuda, ontem.
 • Não havia ninguém, nas ruas.
 • Irei ao baile, certamente.
 • Brigaram comigo, por bobagem.
6. Entretanto, caso o adjunto adverbial seja deslocado, a vírgula será obrigatória para isolá-lo (se 
for extenso) ou facultativa (se for curto).
ADJUNTOS ADVERBIAIS  SUJEITO  VERBO  COMPLEMENTOS
 • Em todos os momentos, ela disse a verdade.
 • Apesar da dificuldade, enfrentei a todos.
 • Ontem requeri ajuda.
6. Entretanto, caso o adjunto adverbial seja deslocado, a vírgula será obrigatória para isolá-lo (se 
for extenso) ou facultativa (se for curto).
SUJEITO  VERBO  COMPLEMENTOS  ADJUNTOS ADVERBIAIS
 • Nas ruas não havia ninguém.
 • Certamente irei ao baile.
 • Por bobagem brigaram comigo.
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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SUJEITO  AADV  VERBO  COMPLEMENTOS
 • Aquele senhor, apesar de velho, é muito ativo.
 • Nossas vidas, no presente, estão em risco.
 • O mundo, em alguns meses, estará diferente.
SUJEITO  VERBO  AADV  COMPLEMENTOS
 • Indiquei-lhe, de maneira cautelosa, um psiquiatra.
 • Indiquei-lhe, ontem, um psiquiatra. (PADRÃO)
 • Indiquei-lhe ontem um psiquiatra. (PADRÃO)
 • Indiquei-lhe ontem, um psiquiatra. (DESVIO)
 • Indiquei-lhe, ontem um psiquiatra. (DESVIO)
7. O predicativo do sujeito, quando o verbo não é de ligação, pode ser isolado na ordem direta, 
mas deve obrigatoriamente isolar-se em ordem inversa.
SUJEITO  VERBO  COMPLEMENTO  PREDICATIVO DO SUJEITO
 • Maria chegou ao cinema, assustada.
 • Entrei em sala, ofegante.
 • Cumprimentei meus colegas, eufórico.
SUJEITO  VERBO  PREDICATIVO DO SUJEITO  COMPLEMENTO
 • A professora chegou, assustada, ao cinema.
 • Entrei, ofegante, em sala.
 • Cumprimentei, eufórico, meus colegas.
SUJEITO,  PREDICATIVO DO SUJEITO,  VERBO  COMPLEMENTO
 • A professora, assustada, chegou ao cinema.
 • A professora assustada chegouao cinema. 
(CORRETO, mas muda o sentido → passa a ser ADJUNTO ADNOMINAL)
PREDICATIVO DO SUJEITO,  SUJEITO  VERBO  COMPLEMENTO
 • Assustada, a professora chegou ao cinema.
 • Ofegante, entrei em sala.
 • Eufórico, cumprimentei meus colegas.
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6
NÃO USO DA VÍRGULA (NO INTERIOR DA ORAÇÃO)
1. A vírgula NÃO pode separar o sujeito do predicado.
 • Os alunos e os professores, estavam atônitos. (DESVIO)
 • Os alunos e os professores estavam atônitos. (PADRÃO)
 • Existem, muitos problemas a resolver. (DESVIO)
 • Existem muitos problemas a resolver. (PADRÃO)
 • Foi encontrado, um livro na gaveta. (DESVIO)
 • Foi encontrado um livro na gaveta. (PADRÃO)
1. A vírgula NÃO pode separar o sujeito do predicado. Se houver intercalação de algum termo, 
as vírgulas devem isolar este termo.
 • Existem, em nossas vidas muitos problemas a resolver. (DESVIO)
 • Existem, em nossas vidas, muitos problemas a resolver. (PADRÃO)
 • Foi encontrado na semana passada, um livro na gaveta. (DESVIO)
 • Foi encontrado, na semana passada, um livro na gaveta. (PADRÃO)
2. A vírgula NÃO pode separar o verbo de seu complemento (direto ou indireto).
 • Entreguei o livro, aos clientes. (DESVIO)
 • Entreguei o livro aos clientes. (PADRÃO)
 • Ela demitiu, o funcionário e o amigo. (DESVIO)
 • Ela demitiu o funcionário e o amigo. (PADRÃO)
2. A vírgula NÃO pode separar o verbo de seu complemento (direto ou indireto). Se houver 
intercalação de algum termo, as vírgulas devem isolar este termo.
 • Entreguei o livro, apesar das dificuldades, aos clientes. (PADRÃO)
 • Ela demitiu, na semana passada, o funcionário e o amigo. (PADRÃO)
2. Se aparecer o pleonástico, o objeto direto e o indireto podem ser realçados, isolados pelas 
vírgulas, o que será obrigatório na ordem inversa.
 • A mim, ela nunca me cumprimentou. (OD; OD pleonástico)
 • Aqueles rapazes, eu não os conheço. (OD; OD pleonástico)
 • A mim, ela nunca me disse nada. (OI; OI pleonástico)
 • Àqueles funcionários, eu não lhes obedeço jamais. (OI; OI pleonástico)
 • Eles me disseram verdades a mim.
 • A mim, eles me disseram verdades.
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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3. A vírgula NÃO pode separar o verbo de ligação do predicativo.
 • O problema real era, o desemprego. (DESVIO)
 • O problema real era o desemprego. (PADRÃO)
 • Ela estava, preocupada com os amigos. (DESVIO)
 • Ela estava preocupada com os amigos. (PADRÃO)
4. A vírgula NÃO pode separar o nome do complemento nominal.
 • Ela tinha medo, de todos os amigos. (DESVIO)
 • Ela tinha medo de todos os amigos. (PADRÃO)
 • Estava preocupado, com o término da prova. (DESVIO)
 • Estava preocupado com o término da prova. (PADRÃO)
5. A vírgula NÃO pode separar a locução verbal do agente da passiva.
 • O trabalho foi realizado, por todos. (DESVIO)
 • O trabalho foi realizado por todos. (PADRÃO)
 • Esses livros serão revisados, por mim. (DESVIO)
 • Esses livros serão revisados por mim. (PADRÃO)
USO DA VÍRGULA (ENTRE ORAÇÕES)
1. A vírgula separa orações coordenadas assindéticas entre si, ou seja, orações que se 
justapõem, que se acumulam de maneira sucessiva.
 • Ela saiu, comprou alguns mantimentos, voltou para casa, fez o jantar.
2. Se as orações coordenadas são ligadas por conjunção aditiva (e, nem, não só... mas também), 
é possível dispensar a vírgula, mas apenas quando os sujeitos das duas orações são idênticos.
 • Ela voltou para casa, e fez o jantar. (PADRÃO)
 • Ela voltou para casa e fez o jantar. (PADRÃO)
 • Ela voltou para casa, e o marido fez o jantar. (PADRÃO)
 • Ela voltou para casa e o marido fez o jantar. (DESVIO)
2. Se as orações coordenadas forem ligadas por polissíndeto, a vírgula será obrigatória 
separando-as.
 • Ela ria, e chorava, e gritava, e pulava.
3. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções alternativas (ou, ou... ou, ora.. ora, 
quer... quer, seja... seja), valerá a mesma regra das aditivas.
 • Os alunos ou farão o trabalho ou ficarão sem nota.
 • Os alunos ou farão o trabalho, ou ficarão sem nota.
 • Ou os alunos farão o trabalho, ou os deixarei sem nota.
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4. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções explicativas (pois, que), a vírgula 
deverá separar as orações.
 • Ela não veio à aula, pois sua bolsa não está aqui.
 • Entre logo, que o professor está chamando.
5. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções adversativas (mas, porém, contudo, 
todavia, entretanto, no entanto), a vírgula deverá separar as orações.
 • Ela faltou à aula, mas estudou a matéria depois.
 • Estudei, porém não entendi o conteúdo.
 • A lei foi aprovada no Legislativo, entretanto ainda não foi sancionada.
5. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções adversativas (mas, porém, contudo, 
todavia, entretanto, no entanto), a vírgula deverá separar as orações. ATENÇÃO: a vírgula não 
deve suceder a conjunção.
 • Ela faltou à aula, mas, estudou a matéria depois. (DESVIO)
 • Estudei, porém, não entendi o conteúdo. (DESVIO)
 • A lei foi aprovada no Legislativo, entretanto, ainda não foi sancionada. (DESVIO)
5. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções adversativas (mas, porém, contudo, 
todavia, entretanto, no entanto), a vírgula deverá separar as orações. ATENÇÃO: a vírgula não 
deve suceder a conjunção, apenas se houver termo intercalado.
 • Ela faltou à aula, mas, depois de tudo, estudou a matéria. (PADRÃO)
 • Estudei, porém, apesar de meus esforços, não entendi o conteúdo. (PADRÃO)
 • A lei foi aprovada no Legislativo, entretanto, como sabemos, ainda não foi sancionada. 
(PADRÃO)
6. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções conclusivas (logo, portanto, por 
conseguinte), a vírgula deverá separar as orações.
 • Ela faltou à aula, logo deverá estudar a matéria depois.
 • Estudei muito, portanto serei recompensado.
 • A lei foi aprovada no Legislativo, por conseguinte será encaminhada à sanção presidencial.
6. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções conclusivas (logo, portanto, por 
conseguinte), a vírgula deverá separar as orações. ATENÇÃO: a vírgula não deve suceder a 
conjunção.
 • Ela faltou à aula, logo, deverá estudar a matéria depois. (DESVIO)
 • Estudei muito, portanto, serei recompensado. (DESVIO)
 • A lei foi aprovada no Legislativo, por conseguinte, será encaminhada à sanção presidencial. 
(DESVIO)
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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6. Se as orações coordenadas forem ligadas por conjunções conclusivas (logo, portanto, por 
conseguinte), a vírgula deverá separar as orações. ATENÇÃO: a vírgula não deve suceder a 
conjunção , apenas se houver termo intercalado.
 • Ela faltou à aula, logo, ainda hoje, deverá estudar a matéria. (PADRÃO)
 • Estudei muito, portanto, depois de tudo, serei recompensado. (DESVIO)
 • A lei foi aprovada no Legislativo, por conseguinte, como sabemos, será encaminhada à 
sanção presidencial. (DESVIO)
7. A vírgula isola as orações adjetivas explicativas, mas não as restritivas.
 • Os alunos da Casa que estudaram Português terão bom desempenho no concurso. 
(restritivas → reduzem o universo de referência)
 • Os alunos da Casa, que estudaram Português, terão bom desempenho no concurso. 
(explicativas → não reduzem o universo de referência)
 • Os alunos da Casa que estudaram Português, terão bom desempenho no concurso. 
(DESVIO)
 • As mulheres que lutam por igualdade merecem nosso reconhecimento. (restritivas → 
reduzem o universo de referência)
 • As mulheres, que lutam por igualdade, merecem nosso reconhecimento. (explicativas → 
não reduzem o universo de referência)
 • As mulheres que lutam por igualdade, merecem nosso reconhecimento. (DESVIO)
 • O mundo, que enfrenta a pandemia da Covid-19, está paralisado. (explicativa)
 • Este é o diretor a cujos filmes fiz referência. (restritiva)
8. A vírgula isola orações adverbiais quando antepostas ou intercaladas na principal. Se 
pospostas, a vírgula é facultativa.
A) CAUSAIS
 • Uma vez que choveu, não fui à aula.
 • Recusei a oferta porque me pareceu injusta.
 • Recuseia oferta, porque me pareceu injusta.
 • Os alunos, como estudaram, obtiveram êxito no exame.
B) COMPARATIVAS
 • Como um herói, ele arriscou a própria vida.
 • Ela estudava mais do que todos nós.
 • Ela estudava, mais do que todos nós.
 • As crianças, mais do que nos parece, são muito vulneráveis.
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10
C) CONCESSIVAS
 • Embora estivesse cansada, ela não dormiu.
 • Irei ao cinema mesmo que chova.
 • Irei ao cinema, mesmo que chova.
 • Aquela mulher, por mais que me fizesse sofrer, merece minha admiração.
D) CONDICIONAIS
 • Se me ajudares, conseguirei.
 • Irei ao cinema desde que não chova.
 • Irei ao cinema, desde que não chova.
 • Nosso investimento, caso se pague, não terá sido em vão.
E) CONFORMATIVAS
 • Conforme te disse, não comparecerei ao evento.
 • Os casos se agravaram segundo me disseram.
 • Os casos se agravaram, segundo me disseram.
 • A História, como o sabemos, é implacável.
F) CONSECUTIVAS
 • Esforçou-se tanto que foi reconhecido.
 • Esforçou-se tanto, que foi reconhecido.
 • Ela foi tão cruel, que me disse palavras indizíveis.
G) FINAIS
 • Para que nos concentremos, é preciso esforço.
 • Estude a fim de que seja aprovado.
 • Estude, a fim de que seja aprovado.
 • Todos, para alcançarem o sucesso, devem estudar.
H) PROPORCIONAIS
 • À medida que me esforçava, compreendia a matéria.
 • Ela desesperava-se ao passo que o filme avançava.
 • Ela desesperava-se, ao passo que o filme avançava.
 • Todos vocês, quanto mais estudarem, mais serão recompensados.
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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I) TEMPORAIS
 • Depois que nos despedimos, ela desapareceu.
 • Saí de casa antes que o filme terminasse.
 • Saí de casa, antes que o filme terminasse.
 • Os alunos, quando terminarem a prova, terão uma surpresa.
9. A vírgula não separa orações substantivas das principais.
 • É preciso que nos esforcemos.
 • Ela disse que virá à aula.
 • Não sei se poderei ir.
 • Ela duvidava de que fôssemos irmãos.
 • Ela tem medo de que os pais sofram.
 • O problema é que nos preocupamos demais.
9. A vírgula não separa orações substantivas das principais. Porém, a oração apositiva deve ser 
separada (por vírgula, travessão ou dois- pontos).
 • Desejo-te uma coisa: que te tornes médico.
 • Desejo-te uma coisa – que te tornes médico.
 • Desejo-te uma coisa, que te tornes médico.
10. As orações intercaladas (ou interferentes) podem ser isoladas por vírgulas, embora o mais 
comum seja o uso do travessão em nossa tradição literária, ou por parênteses.
 • O problema, disse o ministro, é falta de leitos.
 • O que você deseja?, perguntou-me o atendente.
 • O problema – disse o ministro – é falta de leitos.
 • O que você deseja? – perguntou-me o atendente.
11. As orações reduzidas (de infinitivo, de gerúndio ou de particípio) devem ser pontuadas da 
mesma forma que as desenvolvidas.
 • Chegando cedo, iremos ao cinema.
 • Se chegarmos cedo, iremos ao cinema.
 • Terminada a prova, saí para comemorar.
 • Depois que terminei a prova, saí para comemorar.
 • A persistirem os sintomas, um médico deverá ser consultado.
 • Caso persistam os sintomas, um médico deverá ser consultado.
 • As crianças, por serem vulneráveis, merecem cuidado.
 • As crianças, uma vez que são vulneráveis, merecem cuidado.
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12
 • Ela revelou a todos ser uma grande artista.
 • Ela revelou a todos que era uma grande artista.
 • É preciso estar atento e forte.
 • É preciso que se esteja atento e forte.
USO DA VÍRGULA (MARCANDO SUPRESSÃO)
12. A vírgula é usada para marcar apagamento de partes da oração, principalmente quando 
contêm verbo.
 • Eu comprei um livro; meu irmão, um disco. (comprou)
 • Ela fez os exercícios hoje de manhã; eu, ontem. (fiz os exercícios)
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PORTUGUÊS
3
PONTUAÇÃO II
UNIDADE II – ESTUDO DO PONTO E VÍRGULA
O ponto e vírgula é sinal que serve à separação de segmentos e orações coordenadas. Não deve 
jamais separar orações subordinadas de suas principais.
 • Cheguei atrasado; ninguém o percebeu. (PADRÃO)
 • Depois que saímos; todos notaram nossa ausência. (DESVIO)
1. Usa-se o ponto e vírgula para separar orações coordenadas assindéticas, como alternativa ao 
uso da vírgula.
 • Chegou cedo; cumprimentou os colegas; sentou-se em seu lugar.
 • O diretor fez uma declaração; o gerente a contradisse.
2. Usa-se o ponto e vírgula para separar orações coordenadas sindéticas das assindéticas, como 
alternativa ao uso da vírgula.
A) ADITIVAS
 • Fiz o comunicado aos funcionários; e ganhei o respeito de todos.
 • Eu fiz o comunicado aos funcionários; e todos me ouviram.
B) ALTERNATIVAS
 • Teremos de reduzir a produção; ou ficaremos com excesso de estoque.
C) EXPLICATIVAS
 • É preciso ter cuidado; pois todos estão em risco.
D) ADVERSATIVAS 
(mas, porém, contudo, todavia, entretanto, no entanto)
 • Estes riscos existem, mas não são tão grandes.
 • Estes riscos existem; mas não são tão grandes.
 • Estes riscos existem; mas, ao contrário do que dizem, não são tão grandes.
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4
 • Estudei, porém a prova estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei, porém, a prova estava difícil. (DESVIO)
 • Estudei; porém, a prova estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei; porém a prova estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei. Porém, a prova estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei. Porém a prova estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei, a prova, porém, estava difícil. (DESVIO)
 • Estudei; a prova, porém, estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei. A prova, porém, estava difícil. (PADRÃO)
 • Estudei; a prova estava difícil, porém. (PADRÃO)
 • Estudei. A prova estava difícil, porém. (PADRÃO)
E) CONCLUSIVAS 
(portanto, por conseguinte, logo)
 • Estudei, portanto estou tranquilo.
 • Estudei, portanto, estou tranquilo. (DESVIO)
 • Estudei; portanto estou tranquilo.
 • Estudei; portanto, estou tranquilo.
 • Estudei; portanto, como vês, estou tranquilo.
 • Estudei. Portanto estou tranquilo.
 • Estudei. Portanto, estou tranquilo.
 • Estudei. Portanto, como vês, estou tranquilo.
 • Estudei, estou, portanto, tranquilo. (DESVIO)
 • Estudei; estou, portanto, tranquilo. (PADRÃO)
 • Estudei. Estou, portanto, tranquilo. (PADRÃO)
 • Estudei; estou tranquilo, portanto. (PADRÃO)
 • Estudei. Estou tranquilo, portanto. (PADRÃO)
3. Usa-se o ponto e vírgula ou o ponto para separar orações coordenadas quando existe pausa 
próxima à que separa as duas orações.
 • Ela trouxe os livros; eu, as revistas.
 • Ela trouxe os livros. Eu, as revistas.
4. Usa-se o ponto e vírgula para separar todas as partes de uma enumeração quando uma delas 
for extensa ou tiver vírgula interna.
 • Cumprimentei toda a família dela: o pai, a mãe, o irmão, o avô e os tios.
 • Cumprimentei toda a família dela: o pai; a mãe, de quem eu não gostava; o irmão; o avô; e 
os tios.
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
5
5. Usa-se o ponto e vírgula para separar elementos de enumerações em leis, textos normativos, 
regimentos e afins.
Art. 5º (...)
Parágrafo único. Cessará, para os menores, a incapacidade:
I – pela concessão dos pais, ou de um deles na falta do outro, mediante instrumento público, 
independentemente de homologação judicial, ou por sentença do juiz, ouvido o tutor, se o 
menor tiver dezesseis anos completos;
II – pelo casamento;
III – pelo exercício de emprego público efetivo;
IV – pela colação de grau em curso de ensino superior;
V – pelo estabelecimento civil ou comercial, ou pela existência de relação de emprego, desde 
que, em função deles, o menor com dezesseis anos completos tenha economia própria.
UNIDADE III – ESTUDO DOS DOIS-PONTOS 
Os dois-pontos sinalizam esclarecimentos após sua ocorrência. Servem para indicar que algum 
elemento ou ideia anterior não restou plenamente clara ou completa.
 • Encontrei os livros: estavam dentro da gaveta.
 • Cumprimentei todos os presentes: meu pai, meu irmão, minha irmã e meus primos.
1. Os dois-pontos introduzem apostos de natureza enumerativa e distributiva.
 • Encontrei os livros: um de Machado de Assis, dois de Graciliano Ramos e cinco de Eça de 
Queirós.
 • Meu pai e minhamãe chegaram atrasados: ele, porque ficou preso no trânsito; ela, porque 
teve um imprevisto.
2. Os dois-pontos introduzem a oração subordinada substantiva apositiva.
 • Desejo-te uma coisa: que te tornes um bom homem.
 • Disse a eles a verdade: não estávamos oficialmente casados.
3. Os dois-pontos introduzem a fala de personagens em discurso direto.
Entrou na sala e disse ao pai:
– Por favor, saia agora!
4. Os dois-pontos anunciam orações assindéticas que objetivam esclarecer, informar causas, 
conclusões, consequências ou sínteses do que se disse na oração anterior.
 • Estava chovendo: ninguém viria à sua festa.
 • Chegou cedo à escola: o portão ainda estava fechado.
 • A cidade estava em luto: o prefeito falecera na noite anterior.
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6
UNIDADE IV – ESTUDO DOS TRAVESSÕES E DOS PARÊNTESES
1. TRAVESSÕES
Os travessões intercalam as falas das personagens no discurso direto.
Fui até a sala e perguntei ao pai:
– Onde está meu casaco?
– Não faço a mínima ideia, ele respondeu.
Os travessões intercalam as explicações do narrador no discurso direto.
Fui até a sala. Todos estavam em silêncio.
Onde está meu casaco? – perguntei – Não o acho em lugar algum.
Não faço a mínima ideia – respondeu meu pai –
Pergunte a seu irmão!
Os travessões isolam explicações, como apostos, orações apositivas e orações adjetivas 
explicativas.
 • Nosso objetivo – a saúde de todos – será alcançado.
 • Revelei-lhes meu plano – desmascarar o impostor.
 • O amor – que nos é inerente – é caridoso e altruísta.
 • Meu pai e minha mãe chegaram atrasados – ele, porque ficou preso no trânsito; ela, porque 
teve um imprevisto.
Os travessões destacam elementos coordenados, ao separá-los do resto do segmento oracional.
 • Comprei um carro, uma casa – e um iate.
 • Pedro, Paulo – e o pai deles – estavam na festa.
Os travessões isolam orações intercaladas ou interferentes.
 • Era um impostor – como poderíamos saber? – e teve o que mereceu.
 • Todos admiravam o bebê – que olhos bonitos tinha! –, enquanto a mãe o ninava.
2. PARÊNTESES
Os parênteses informam ideias incidentais no texto: tudo que é secundário, mas que o escritor 
deseja compartilhar com o leitor (como notas explicativas e comentários).
 • Era um impostor (como poderíamos saber?) e teve o que mereceu.
 • Todos admiravam o bebê (que olhos bonitos tinha!), enquanto a mãe o ninava.
Os parênteses informam ideias incidentais no texto: tudo que é secundário, mas que o escritor 
deseja compartilhar com o leitor (como notas explicativas e comentários).
 • O OMS (Organização Mundial da Saúde) repudiou as declarações.
 • A Organização das Nações Unidas (ONU) fará amanhã uma reunião extraordinária para 
debater o tema.
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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Os parênteses informam ideias incidentais no texto: tudo que é secundário, mas que o escritor 
deseja compartilhar com o leitor (como notas explicativas e comentários).
 • A vida (bem jurídico último) deve ser preservada.
 • O verão (estação do amor) inicia-se nesta semana.
3. PARÊNTESES RETOS (COLCHETES)
De uso mais restrito, os colchetes servem para sinalizar inserções dentro de parênteses.
 • Existem substantivos concretos (os que têm existência em si mesmos [homem, fada, 
cachorro, etc.]) e substantivos abstratos (aqueles que só existem quando se manifestam em 
outro ser [beleza, nudez, esperança, vontade, etc.]).
Os colchetes também servem para inserir informações em um texto citado.
 • “... a primeira [consideração] é que eu não sou propriamente um autor defunto, mas um 
defunto autor, para quem a campa [ou seja, a morte] foi outro berço...” [M.A.]
UNIDADE V – ESTUDO DAS ASPAS
As aspas, simples (‘ ’) ou duplas (“ ”), servem para destacar uma informação ante o resto da 
estrutura frasal.
 • O uso da expressão “tirar de letra” caracterizou o registro como informal.
1. As aspas destacam palavras e expressões que se encontram em registro distinto: neologismos, 
arcaísmos, gírias, estrangeirismos.
 • Trabalhadores temiam a “uberização” do setor.
 • Alguns jovens se achavam “descolados” demais para adotar a medida.
 • A atuação estava muito “over”.
2. As aspas reforçam o sentido irônico de uma palavra ou expressão.
 • O problema do tráfico de drogas é que ele “emprega” muitas pessoas.
 • Os “defensores da vida” pregavam abertamente a morte de idosos.
3. As aspas isolam a fala das personagens no discurso direto.
Fui até a sala. Todos estavam em silêncio.
“Onde está meu casaco?”, perguntei, “Não o acho em lugar algum”.
“Não faço a mínima ideia”, respondeu meu pai,
“Pergunte a seu irmão!”.
4. As aspas isolam a citação direta, ou seja, a reprodução de enunciado atribuído a outra pessoa.
 • E assim nos remetemos à máxima machadiana: “Lágrimas não são argumentos”.
 • “Lágrimas não são argumentos.” Com essa máxima, Machado de Assis combatia 
explicitamente o apelo à emoção.
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8
5. As aspas dão destaque a nomes de obras.
 • Tudo em “1917” parece funcionar como um longo plano-sequência.
 • Ela nunca lera “Memórias Póstumas de Brás Cubas” antes: estava encantada.
6. As aspas conferem a outra pessoa a parte do discurso do qual o escritor se apropria para 
criticar ou corroborar.
 • Continuavam com suas festas semanais: alegavam estarem “imunes” ao vírus.
 • O jurista ressaltava que a “norma fundamental” não era o texto da Constituição, mas outra 
coisa.
7. Usam-se as aspas simples (‘ ’) apenas dentro das duplas (“ ”), caso haja necessidade.
 • Os “defensores da vida” pregam abertamente a morte de idosos.
 • Em sua coluna semanal, o jornalista fez uma crítica contundente: “os ‘defensores da vida’ 
pregavam abertamente a morte de idosos”.
UNIDADE VI – ESTUDO DAS RETICÊNCIAS
As reticências marcam a interrupção ou suspensão do raciocínio por diversas razões.
 • Ah! O som do mar...
1. As reticências são usadas para indicar o discurso interrompido, a fala que não se chegou a 
completar no diálogo.
 • Gostaria de pedir...
 • Pedir? Agora vens me pedir? O qu...
 • Calma! Nem terminei de fal...
 • E precisa?
2. As reticências são usadas para suspender o raciocínio quando este é difuso, confuso, 
hesitante ou inseguro.
 • Tenho... Acho que... Pensei em começar... Desculpe, estou nervoso.
3. As reticências são usadas para interromper a frase, sugerindo que o leitor complete o 
raciocínio.
 • Se eu tivesse o dom que ele tem...
 • Você sabe que ela é...
4. As reticências são usadas para marcar ironias e outras inflexões de natureza psicológica e 
emocional.
 • Quem poderia pensar que ele seria esse rapaz robusto e educado...
 • Sentia ardendo em si as chamas do amor...
5. As reticências marcam as citações incompletas.
“... eu não sou propriamente um autor defunto, mas um defunto autor...” (M.A.)
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PORTUGUÊS | FRANCIS MADEIRA
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UNIDADE VII – ESTUDO DOS PONTOS
1. PONTO
O ponto é a pausa máxima do discurso. Serve para marcar o fechamento das frases.
 • Era da casa o rei.
 • Encontrei os livros: estavam dentro da gaveta.
 • Depois que saímos, todos nos acompanharam.
O ponto marca o fim das frases declarativas.
 • Perguntei muitas coisas.
 • A Terra não é plana.
 • Vacinas imunizam contra doenças.
O ponto pode marcar o término das frases optativas e imperativas.
 • Deus te abençoe.
 • Saia daqui, por favor.
O ponto não deve separar subordinadas de principais.
 • Ela ficou. Embora estivesse tarde. (DESVIO)
 • Ela ficou, embora estivesse tarde. (PADRÃO)
 • As ruas estão alagadas. Porque choveu muito. (DESVIO)
 • As ruas estão alagadas porque choveu muito. (PADRÃO)
O ponto pode separar orações coordenadas.
 • Ela ficou. Mas não por muito tempo.
 • O concurso está chegando. Portanto, estude.
 • Estudou muito durante a manhã. E descansou à tarde.
2. PONTO DE EXCLAMAÇÃO
O ponto de exclamação sinaliza a melodia emotiva, com inflexões diversas, como surpresa, 
espanto, raiva, susto, alegria, prazer, entre outras.
 • Como era bom sair de casa!
 • Que triste isso!
O ponto de exclamação marca a natureza emotiva das interjeições.
 • Bah! Não creio!
 • Égua! Que filme bom!
 • Oxe! Nãofala isso, não!
 • Avante!
O ponto de exclamação pode marcar as frases imperativas e as optativas.
 • Que Deus te abençoe!
 • Saia já daqui!
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O ponto de exclamação marca as frases exclamativas.
 • Que belo livro!
 • Como é bom respirar este ar!
 • Muito bonito isso!
3. PONTO DE INTERROGAÇÃO
O ponto de interrogação marca as interrogativas diretas.
 • Quem estava contigo?
 • Você vai ao cinema comigo?
O ponto de interrogação marca as interrogativas diretas completas.
 • Você vai ao cinema comigo?
 • Houve crime?
 • Ela disse isso?
 • Será que ela está no hospital?
O ponto de interrogação marca as interrogativas diretas incompletas.
 • Quem vai ao cinema comigo?
 • O que houve?
 • Quais livros você leu?
 • Quantos livros você tem?
 • Quem me acompanha ao cinema?
 • O que se passou?
 • Quais livros me deste?
 • Quantos livros lhe vendi ontem?
 • Por que me dizes isso?
 • Como a trataste ontem?
 • Onde ela se hospedou?
 • Quando vocês se casaram?
O ponto de interrogação NÃO marca as interrogativas indiretas.
 • Quero saber quem me acompanha ao cinema.
 • Não sei quais livros me deste.
 • Não sei por que me dizes isso.
 • Diz a ele onde ela se hospedou.
 • Ela revelou quando vocês se casaram.
O ponto de interrogação NÃO marca as interrogativas indiretas. Observe a diferença de sentido:
Você sabe quem matou o cachorro. → Você sabe isso.
Você sabe quem matou o cachorro? → Você sabe isso?
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QUESTÕES
1. (BB – 2014)
Considere o emprego do sinal de dois-pontos no trecho “e se ergueu logo, dizendo para sua 
mulher: ‘Vamos, meu bem, que já está ficando tarde’.”
Esse sinal é empregado com a mesma função em:
a) “não é distração: é memória fraca mesmo”
b) “para me atormentar: eles se escondem”
c) “Até agora estou vencendo: quando eles se escondem, saio de casa sem chaves”
d) “me conta o sobrinho: — O que eu estudo é medicina”
e) “Não, eu não sabia: para dizer a verdade, só agora o estava identificando”
2. (BB – 2018)
De acordo com a norma-padrão da língua portuguesa, a pontuação está corretamente 
empregada em:
a) O conjunto de preocupações e ações efetivas, quando atendem, de forma voluntária, aos 
funcionários e à comunidade em geral, pode ser definido como responsabilidade social.
b) As empresas que optam por encampar a prática da responsabilidade social, beneficiam-se 
de conseguir uma melhor imagem no mercado.
c) A noção de responsabilidade social foi muito utilizada em campanhas publicitárias: por isso, 
as empresas precisam relacionar-se melhor, com a sociedade.
d) A responsabilidade social explora um leque abrangente de beneficiários, envolvendo assim: 
a qualidade de vida o bem-estar dos trabalhadores, a redução de impactos negativos, no 
meio ambiente.
e) Alguns críticos da responsabilidade social defendem a ideia de que: o objetivo das empresas 
é o lucro e a geração de empregos não a preocupação com a sociedade como um todo.
Gabarito: 1. D 2. A
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LÍNGUA 
PORTUGUESA
PROF. PÂMELA DAMASCENO
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LÍNGUA PORTUGUESA
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CRASE
Acento Sinal
 • Tônico • nasalização ~
 • Circunflexo
 • Grave (`) CRASE
Sílaba forte Sílaba anasalada
Crase é a fusão de duas vogais da mesma natureza. No português atual, assinalamos com um 
acento grave (`) a crase do “a”: duas vogais – fusão de uma preposição “a” com um artigo 
definido feminino “a”.
REGRA GERAL:
Haverá crase sempre que (cumulativamente):
 • o termo regente exigir a preposição “a”;
 • o termo regido for compatível com o artigo “a”.
Exemplo:
Fui a a cidade. (preposição + artigo feminino)
Fui à cidade. 
OBSERVAÇÃO
→ Para saber se o termo regente exige ou não a preposição, pode-se fazer uso do seguinte 
artifício: permuta-se o termo regido por um substantivo masculino à frente do qual só pode 
ocorrer o artigo “o”, que contrasta com a preposição “a”, deixando evidente (“ao”) se ela 
ocorre ou não.
→ Para testar se o termo regido é compatível com o artigo, basta colocá-lo no início da frase, 
como sujeito de um predicado formado pelo verbo “ser” + um adjetivo.
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4
CASOS EM QUE NUNCA OCORRE CRASE:
→ Antes de masculino:
Ex:“Caminhava a passo lento.”
→ Antes de verbo: 
Ex:“Estou disposto a falar.”
→ Antes de pronomes em geral:
Ex:“Eu me referi a esta menina”.
       a ela.
→ Antes de pronomes de tratamento:
Ex:“Dirijo-me a Vossa Senhoria”.
Há três pronomes de tratamento que aceitam o artigo e, consequentemente, a crase: senhora, 
senhorita e dona.
EXCEÇÃO
→ Há três pronomes de tratamento que aceitam o artigo e, consequentemente, a crase: 
senhora, senhorita e dona.
→ Obviamente, haverá crase antes dos pronomes que aceitam o artigo, tais como: mesma e 
própria.
→ Em expressões formadas de palavras repetidas:
Ex:“Venceu de ponta a ponta”.
→ Antes de nomes de cidades (‘locativos’):
Ex:“Cheguei a Curitiba”.
Se o nome da cidade vier determinado por algum adjunto adnominal, ocorrerá a crase. 
→ “A” (sem “s” de plural) antes de nome plural: 
Ex:“Falei a crianças”. 
Se ocorresse artigo nesse caso, deveria aparecer no plural (as) por imposição da concordância. 
A fusão de a + as apenas poderia resultar em “às”. 
→ Antes de artigos indefinidos “um” e “uma”:
Ex: “Assisti a uma boa partida”.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
5
CASOS EM QUE SEMPRE OCORRE CRASE:
→ Na indicação pontual do número de horas:
Ex:“Às duas horas chegamos”.
→ Com expressão “à moda de” – expressa ou inferida
Ex:“Escrevia à (moda de) Alencar”. (subentender, antes de substantivos femininos ou 
masculinos, a ideia “a moda de”/ “a maneira de”)
→ Nas expressões adverbiais femininas (locuções fem.):
Ex: à noite; às vezes; à espera; às avessas; às pressas; à procura; à vista; às moscas; à força; à 
fantasia, à medida que; à proporção que; à sombra, à direita; à esquerda, à frente, à máquina; 
à mão, etc
Nesses casos, em que há expressões adverbiais femininas, o acento grave é usado como um 
diferencial semântico. Graças a essa propriedade de distinguir o adjunto adverbial de outras 
funções (suj ou objeto), marca-se com acento grave o “a” que precede expressões adv. fem., 
mesmo que, em algumas delas, não se dê a fusão do “a” (preposição) com o “a” (artigo). 
O uso do acento grave em locuções adverbiais femininas que se referem a verbos – exprimindo 
circunstâncias – é sempre correto, exceto quando tais expressões se iniciem por pronomes 
indefinidos, ou pelos demonstrativos “esta” e “essa”’. Ex: “A essa época, o Brasil era colônia.”
→ Antes de substantivo feminino quando o verbo ou o nome admitem preposição “a” :
Ex: “Chegou à praia”.
  “Amor à vida.”
USO FACULTATIVO DA CRASE:
→ Antes de nomes de pessoa femininos (subst. próprios femininos) :
Ex:“Falei à, a Maria”.
→ Antes de pronomes possessivos femininos:
Ex:“Falei à sua classe”.
Antes de nomes de pessoas fem. ou pronomes possessivos fem. pode ou não ocorrer o artigo, 
justamente por essa razão, nesses casos, o acento grave é opcional.
→ Depois da preposição “até”: Se a preposição “até” vier seguida de um nome feminino, 
poderá ou não ocorrer a crase. Tal ocorrência se dá porque essa preposição pode ser empregada 
sozinha – logo, não ocorrendo crase – ou em locuções com a preposição “a” – ocorrendo, nesse 
contexto, crase. 
Ex:“Chegou até à / a praia”.
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6
CASOS ESPECIAIS:
→ Antes de CASA:
Ex: “Voltei a casa cedo”.
  “Voltei à casa dos seus pais”.
A palavra “casa”, no sentido de “lar”, de “residência própria de alguém”, se não vier determinada 
por um adjunto adnominal, não aceita o artigo, portanto não ocorre a crase. Por outro lado, se 
vier determinada (especificada) por um adjunto adnominal, aceita o artigo e ocorre a crase.
→ Antes de TERRA:
Ex:“Os marinheiros chegaram a terra”.
“Eles chegaram à terra dos antepassados”.
A palavra “terra”, no sentido de “chão firme” (solo), tomada em oposição a mar ou ar, não aceita 
o artigo se não vier determinada, e não ocorre a crase. Por outro lado, se vier determinada – 
referindo-se à origem, a local de nascimento -, a palavra terra aceita o artigo, e ocorre a crase.→ Com a palavra DISTÂNCIA:
Ex:“Gostava de fotografia a distância”.
“Sua casa fica à distância de dois metros”.
Não ocorre crase com a palavra “distância” quando não houver especificação. Entretanto, se a 
palavra “distância” estiver especificada, determinada, a crase deve ocorrer. 
→ Antes de pronome relativo (quem; cujo; a qual; as quais):
Ex:“Compreendo a situação a cuja gravidade você se referiu”.
“Essa é a festa à qual me referi”. (evento ao qual me referi).
Antes dos pronomes relativos quem e cujo não ocorre crase em hipótese alguma: tais pronomes 
são incompatíveis com o artigo “a”. Antes dos relativos a qual ou as quais ocorrerá crase se o 
masculino correspondente for ao qual, aos quais.
→ Com os pronomes demonstrativos aquele(s), aquela(s), aquilo:
Ex: “Falei àquele amigo”.
 “Fez referência àquelas situações”.
 “Aspiro a isto e àquilo”.
Sempre que o termo regente exigir a preposição a e vier seguido dos pronomes demonstrativos 
aquele, aqueles, aquela, aquelas, aquilo, haverá crase. Sugestão: substituir por “este”, “esta”, 
“isto”.
→ Antes de que:
Antes de que, nunca ocorre crase da preposição a com o artigo a.
Ex: “Esta é a cena a que me referi.”
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
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Pode, entretanto, ocorrer antes do que uma crase da preposição a com o pronome demonstrativo 
a (equivalente a aquela). Se, com antecedente masculino equivalente, ocorrer ao que/ aos que, 
há crase com o feminino. 
Ex: “Houve um palpite anterior ao que você deu.”
 “Houve uma sugestão anterior à que você deu.”
USO DO HÁ E DO A:
→ Nas expressões indicativas de tempo, é preciso não confundir a grafia do “a” preposição 
com a do “há” verbo:
Ex: “Daqui a 35 minutos termina a partida”.
 “Há (faz) pouco recebi o seu email”.
 • “a” preposição indica tempo futuro (a transcorrer);
 • “há” verbo – verbo haver – indica tempo passado (já transcorrido), e equivale a faz.
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QUESTÕES
1. (CESGRANRIO)
O sinal indicativo da crase deve ser aplicado em qual das sentenças abaixo?
a) Ele é um cavalheiro a moda antiga.
b) Estarei na ilha a partir de amanhã.
c) O sabiá é admirado devido a seu belo canto.
d) Daqui a uma hora se iniciará o recital.
e) O pomar fica próximo a uma horta.
2. (CESGRANRIO – 2014)
Os trechos à esquerda foram retirados do Texto I, e as expressões em destaque foram 
substituídas por outras no feminino. O trecho em cuja reescritura o sinal indicativo de crase está 
usado de acordo com a norma-padrão é:
a) “dei com o bichinho ali mesmo” (l.28-29) – dei com à boneca ali mesmo
b) “confidenciei a um amigo” (l. 39) – confidenciei à amiga
c) “põem o guarda-chuva na cama” (l. 44-45) – põem à colcha na cama
d) “Contou-me ainda o sobrinho do monstro” (l. 54) – Contou-me ainda à sobrinha do monstro
e) “(...) se achar o cigarro” (l. 69) – se achar à cigarrilha
3. (CESGRANRIO – 2015)
O sinal indicativo da crase é obrigatório, de acordo com a norma-padrão da Língua Portuguesa, 
na palavra destacada em:
a) O atendimento a necessidades de imediatismo da so-ciedade justifica o crescimento das 
formas de paga-mentos digitais.
b) Os sistemas baseados em pagamentos móveis têm chamado a atenção pela sua propagação 
em todo o mundo.
c) A opção pelas moedas digitais está vinculada a possibilidade de diminuir as operações 
financeiras com a utilização do papel-moeda.
d) Algumas tendências observadas no comportamento do consumidor e nas tecnologias 
devem influenciar a infraestrutura dos bancos.
e) Os clientes tradicionais dos bancos já se acostumaram a utilizar suas agências para efetuar 
suas ativida-des de negócio.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
4. (CESGRANRIO – 2015)
De acordo com a norma-padrão, se fosse acrescentado ao trecho “disse o empresário” (l. 29) um 
complemento informando a quem ele deu a declaração, seria empregado o acento indicativo de 
crase no seguinte caso:
a) a imprensa especializada
b) a todos os presentes
c) a apenas uma parte dos convidados
d) a suas duas assessoras de imprensa
e) a duas de suas secretárias
Gabarito: 1. A 2. B 3. C 4. A
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LÍNGUA PORTUGUESA
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CONCORDÂNCIA NOMINAL
CONCORDÂNCIA
→ Princípio de harmonia flexional entre os termos relacionados — concordância de gênero e de 
número; entre o sujeito e o verbo (verbo concorda com o sujeito)
Concordância Nominal
Regra Geral → Todas as palavras que se referem ao substantivo devem concordar com ele em 
gênero e número. Adjuntos adnominais — artigo, numeral, pronome, adjetivos — concordam 
com o núcleo substantivo.
Exemplo: "As nossas duas irmãs pequenas estão aqui.”
Morfologia:
→ Adjetivo
Sintaxe:
→ Adjunto Adnominal
→ Predicativo
Termos a serem analisados:
→ Adjunto adnominal;
→ Predicativo;
“A equipe vitoriosa disputou o campeonato”
Sujeito
Predicado
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4
“A equipe disputou o campeonato vitoriosa”
verbo
Sujeito
Observamos:
Em ambas as frases, a palavra “vitoriosa” está:
→ associada a um nome (equipe)
→ qualificando-o
Há diferenças, entretanto:
Frase I:
A palavra “vitoriosa” qualifica o nome sem a presença de um verbo intermediário.
 • A palavra trata-se de um adjunto adnominal.
Frase II:
 • palavra “vitoriosa” qualifica o nome por meio de um verbo.
 • A palavra trata-se de um predicativo.
DEFINIÇÕES
Adjunto Adnominal: (Ad) junto (Ad) nominal
 • Quanto à relação: vem sempre associado a um nome (substantivo); nunca vem associado a 
um adjetivo ou advérbio;
 • Quanto à forma: não tem mediação de verbo; pode vir precedido de preposição;
 • Quanto ao valor: qualifica, caracteriza ou determina o nome ao qual se associa;
 • Quanto ao tipo: designa MATÉRIA, SUBSTÂNCIA e POSSUIDOR.
Predicativo:
 • Quanto à relação: vem sempre associado a um nome (substantivo);
 • Quanto à forma: a mediação se dá através de um verbo; 
pode vir precedido de preposição;
 • Quanto ao valor: qualifica, caracteriza ou determina o nome a que se associa.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
5
→ Adjetivo Posposto 
Adjetivo após vários substantivos: o adjetivo vai para o plural (se entre os substantivos houver 
um masculino, o adjetivo assumirá a terminação masculina) ou concorda com o substantivo 
mais próximo (concordância atrativa).
Exemplo:
 "Agia com calma e pontualidade britânicas."
 "Agia com calma e pontualidade britânica."
→ Adjetivo Anteposto
Um adjetivo antes de vários substantivos. Concorda apenas com o primeiro substantivo 
(substantivo mais próximo).
Exemplo: "Escolheste má ocasião e lugar."
→ Se o adjetivo, entretanto, apresentar a função de predicativo, aparecendo posposto ao 
verbo, a concordância dar-se-á com todos os núcleos.
Exemplo: "Neymar, Messi e Rubinho Barrichello chegaram atrasados."
→ Quando o adjetivo anteposto funcionar como predicativo, qualificando pessoas ou coisas 
diferentes, poderá concordar com o mais próximo ou ir para o plural.
Exemplo:
 “Ficaram irritados a plateia e o cantor.”
 “Ficou irritada a plateia e o cantor.”
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6
Resumo:
Adjetivo (Adjunto Adnominal) Adjetivo (Predicativo) 
posposto
Concordará com todos os núcleos (plural) ou 
concordará com o substantivo mais próximo.
2 opções 
posposto
Concordará com todos os núcleos.
1 opção
Adjetivo (Adjunto Adnominal) Adjetivo (Predicativo) 
anteposto
Concorda apenas com o substantivo mais 
próximo.
 1 opção
anteposto
Concordará com todos os núcleos (plural) ou 
com o mais próximo.
2 opções
→ Verbo "ser" + adjetivo
"É bom"
"É necessário"
"É proibido"
"É claro"
"É evidente"
"É permitido“,
etc
Exemplo: "Pizza é bom"
"A pizza é boa"
"Essa pizza é boa"
"Muita pizza é boa"
"Toda pizza é boa"
"Alguma pizza é boa" 
Concordância do
predicativo do sujeito do verbo ser.
Com relação aos exemplos: 
→ Se o sujeito não vem precedido de nenhum modificador, o adjetivo ficará invariável.
→ Se o sujeito vem precedido de determinante (modificador) — artigo, pronome, numeral — o 
predicativo (adjetivo) concordará com o sujeito.
→ Expressão "mais possível":
 A palavra "possível" concorda com gênero e com número do artigo definido empregado;o 
outro adjetivo (se houver) concorda com o substantivo a que se refere.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
7
Exemplo:
 Comprou livros o mais longos possível.
 Comprou livros os mais longos possíveis.
Palavras adjetivas x Palavras adverbiais
(normalmente variáveis) (invariáveis)
bastante; meio; caro/barato; longe
Bastante:
Quando pronome, concorda com o substantivo a que se refere.
Quando advérbio, é invariável. 
 Bastantes = muitos/muitas
 Bastante = muito/muita
Exemplo:
 "Há bastantes razões..."
 "Há ocasiões bastante oportunas"
Meio:
Meio
Numeral (palavra adjetiva)
"metade"
meio
meia
meios
meias
Advérbio (invariável)
"um pouco"
↓
meio
Exemplos: 
"Estou meio cansada."
"É meia hora."
"A porta meio aberta."
"Comeu meia maçã."
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8
→ Expressão “um e outro” (num e noutro) + substantivo + adjetivo: 
Nesse tipo de expressão, o substantivo fica no singular e o adjetivo vai para o plural.
Ex: Numa e noutra questão complicadas ele se confundia.
Caro/Barato:
Quando adjetivos — função de adjunto adnominal ou de predicativo — variáveis
Quando advérbio, invariáveis; equivalendo a "muito" e "pouco".
Exemplo:
"Os livros caros..." (adjunto adnominal)
"Os livros estão caros" (predicativo)
"Aquelas roupas estão custando caro"
 ↓
    muito
Menos/Alerta:
Menos = Pronome adjetivo - não tem feminino.      
Invariáves
Alerta = Advérbio - não faz flexão de gênero e de número
Exemplos:
No jogo de ontem, havia menos pessoas.
Os vigilantes estavam alerta. 
→ As palavras "anexo", "incluso", e "quite" são adjetivos e, por esse motivo, concordam com os 
substantivos (nomes) a que se referem.
Ex: Os documentos seguirão anexos à certidão de registro.
→ A locução “em anexo” é Invariável.
→ Os pronomes demonstrativos de reforço "mesmo" e "próprio” concordam com as palavras a 
que se referem (seguem o termo que reforçam).
 Ex: Os alunos mesmos resolveram o problema.
 As alunas mesmas resolveram o questionamento.
→ “Mesmo” pode, entretanto, ser advérbio - quando significa 
“realmente”/”de fato” - sendo, portanto, invariável.
Ex: As alunas resolveram mesmo o problema (de fato).
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
9
→ "Obrigado", palavra adjetiva, que concorda em gênero e número com o ser que agradece.
Obrigado (quando é homem quem está agradecendo);
Obrigada (quando é mulher quem está agradecendo).
→ "Só" → Adjetivo = sozinho(a)(s) → flexiona em número.
   ↘ Advérbio = somente/apenas → invariável.
Exemplo:
As mulheres queriam ficar sós na sala. (Sozinhas) 
As crianças queriam ficar só na sala. (Apenas) 
→ a locução “a sós” → é sempre invariável 
→ "Pseudo" / "Leso" 
   ↓
  (= que fere)
Pseudo → invariável
Leso → concorda com o substantivo a que se liga
Exemplo: "Os crimes de 'lesa-pátria' são graves." 
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10
QUESTÕES
1. (CESGRANRIO – 2012)
A palavra mesmo está sendo empregada com o sentido igual ao que se verifica em “o Brasil foi 
campeão mesmo” (l. 14), na seguinte frase:
a) O diretor preferiu ele mesmo entregar o relatório ao conselho.
b) Mesmo sabendo que a proposta não seria aceita, ele a enviou.
c) Fui atendido pelo mesmo vendedor que o atendeu anteriormente.
d) Você sabe mesmo falar cinco idiomas fluentemente?
e) Ele ficou tão feliz com a notícia que pensou mesmo em sair dançando.
2. (CESGRANRIO – 2014)
De acordo com a norma-padrão, a concordância entre os dois pares de vocábulos está adequada 
em:
a) pouco distraída – meio desligadas
b) poucos distraídos – meios desligados
c) poucos distraídos – meia desligada
d) pouco distraído – meias desligadas
e) pouca distraída – meia desligadas
3. (CESGRANRIO – 2015)
A palavra destacada apresenta a concordância nominal de acordo com a norma-padrão da 
Língua Portuguesa em:
a) Várias agências bancárias estão implementando a biometria, nos caixas eletrônicos, 
baseados nas características físicas dos clientes.
b) O avanço dos serviços bancários e sucesso das moedas virtuais, ocorridas nos últimos anos, 
oferecem aos usuários conectados experiências prazerosas.
c) O aumento do uso dos cartões fornecido por vários bancos representa um dos elementos 
mais importan-tes e característicos na área financeira do século XX.
d) A construção estratégica de curto e médio prazos, compatível com os padrões de 
competitividade do mercado bancário, tornou os mecanismos de preven-ção mais 
eficientes.
e) As tecnologias de mobilidade e a competência dos funcionários são característicos da rede 
bancária na atualidade.
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11
LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
4. (CESGRANRIO – 2015)
Após ler o texto, que é uma reportagem, um funcionário do jornal decidiu enviá-lo por e-mail a 
um colega, mas, além do texto completo, ele resolveu também anexar uma imagem com a capa 
do jornal. A mensagem enviada tinha, porém, uma concordância que desrespeitava a norma-
padrão. Essa concordância equivocada está exemplificada em:
a) Mando-lhe dois arquivos alusivos à matéria mencionada em epígrafe.
b) Segue os dois arquivos que mencionei sobre a carti-lha do consumidor.
c) Envio dois arquivos atachados referentes aos itens que mencionei acima.
d) Veja nos anexos os dois arquivos sobre a matéria mencionada.
e) Anexos nesta mensagem dois arquivos relacionados com a reportagem.
Gabarito: 1. D 2. A 3. D 4. B
61
62
LÍNGUA PORTUGUESA
3
REGÊNCIA NOMINAL
REGÊNCIA
Relação hierárquica entre os termos dentro da estrutura frasal, em que alguns termos se põem 
como principais e outros como acessórios ou integrantes daqueles. 
 Termos principais = regentes
 Demais termos = regidos
verbo > objetos
substantivos (núcleos) > adjetivos > advérbios
 Entendemos por "regência" o mecanismo de ligação (hierárquica) que existe entre:
 • um verbo e seu complemento;
 • um nome e seus complementos;
 Função subordinativa de termos principais (regentes) sobre termos dependentes (regidos). 
Em sentido amplo, regência é o mesmo que estruturação da frase – agrupamento de palavras, 
as secundárias em torno das principais. Em sentido restrito, regência nominal é a seleção por 
parte de adjetivos, nomes e seus derivados de nominais que os completem – processo que se 
dá via conectivos. (LUFT, C. P.)
 A regência nominal estuda os casos em que os nomes (substantivos, adjetivos e advérbios) 
exigem outra palavra para completar-lhes o sentido. Em geral, a relação entre um nome e o seu 
complemento é estabelecida por uma preposição. 
Nomes de significação transitiva (provém de verbo) – nomes que denotam ou concentram uma 
ação.
63
4
Regência de alguns nomes
 
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
5
Mais regências:
65
6
QUESTÕES
1. (CESGRANRIO – 2014)
No par de frases abaixo, os usos das preposições nas expressões destacadas estão de acordo 
com a norma-padrão em:
a) O fumo é nocivo à saúde – O fumo é danoso com a saúde
b) Apaguei todas as lembranças do passado – Apaguei todas as memórias do passado
c) Ela é hábil para trabalhos manuais – Ela tem habilidade com trabalhos manuais 
d) Suas ideias não estão compatíveis com os meus interesses – Suas ideias são incompatíveis 
aos meus interesses 
e) Tenho loucura por conhecer a Europa – Sou louco a conhecer a Europa
Gabarito: 1. B
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LÍNGUA PORTUGUESA
3
REGÊNCIA VERBAL
Regência Verbal: Relação entre o verbo e os seus complementos por meio do uso ou não de 
preposição.
 Objeto Direto
Verbo Objeto Indireto Integram o sentido do verbo
 Adjunto Adverbial
Para o estudo da regência verbal, é conveniente lembrar o seguinte:
 • Objeto direto → complemento verbal sem preposição.
Exemplo: O cientista descobriu um novo remédio.
 VTD    OD
 • Objeto indireto → complemento verbal com preposição.
Exemplo: Ninguém concordou com a sua proposta.
	 	 	  VTI preposição  OI
 • Os pronomes oblíquos o, a, os, as funcionam somente como objeto direto e são aceitos 
como objeto por todos os verbos transitivos diretos (VTD).
Exemplo: Critiquei sua atitude. → Critiquei-a.
  VTD   OD	  VTD  OD
 • Na função de objeto, os pronomes oblíquos lhe, lhes sãosempre objetos indiretos, 
entretanto, há verbos transitivos indiretos que não admitem lhe e lhes como objeto.
Exemplo: O filme agradou aos críticos. → O filme agradou-lhes.
  VTI   OI  VTI   OI
Todos precisam de ajuda. → (não admite lhe)
 VTI OI
Os pronomes oblíquos átonos me, te, se, nos, vos, bem como os pronomes oblíquos tônicos 
(com preposição) a mim, a ti, a ele (a ela), a nós, a vós, a eles (a elas) podem desempenhar as 
funções de objetos diretos ou indiretos.
Exemplo: Seu Madruga me deve.
    OI VTI
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4
RELEMBRANDO:
Preposições essenciais : a, ante, até, após, com, contra, de, desde, em, entre, para, perante, 
por, sem, sob, sobre, trás.
Preposições comumente empregadas : de, com, por, em, a, para
VTD: Exige um complemento não precedido de preposição.
Ex: Ninguém buscou ajuda.
   VTD   OD
VTI: Exige um complemento obrigatoriamente precedido de preposição.
Ex: “Eu gosto de você, fazer o que?”.
	   VTI  OI
VTDI: Exige, simultaneamente, um objeto direto e um objeto indireto.
Ex: Entreguei o recado ao secretário.
	 	   OD	  OI
OBJETO DIRETO:
 • Vem sempre associado a um verbo transitivo;
 • liga-se ao verbo sem preposição;
 • indica o paciente afetado pela ação ou o resultado dela; 
 • pergunta-se “o que?” para o descobrir.
OBJETO INDIRETO:
 • Vem sempre associado a um verbo transitivo;
 • liga-se ao verbo obrigatoriamente com a presença de preposição; 
 • indica o alvo ou o elemento sobre o qual recai a ação do verbo; 
 • Pergunta-se “para quem?”; “em quem?”; etc.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
5
a) Aspirar:
 sorver; inalar; respirar; inspirar é VTD (não exige preposição).
Aspirar   
 desejar; almejar; pretender é VTI — exige, portanto, um objeto indireto, 
introduzido pela preposição “a” — não aceita os pronomes indiretos “lhe” 
e “lhes” como complemento, somente as formas tônicas “a ele”, “a ela”, “a 
eles”, “a elas”.
Exemplo:
Aspiramos um ar poluído.
Aspiramos a um cargo público.
Esta faculdade, não aspiro a ela. 
“Esta faculdade, não lhe aspiro.”
b) Assistir:
  ver (VTI)
Assistir   prestar assistência (VTD, geralmente)
	 	 	  pertencer, competir (VTI)
  morar, residir (VI)
Assistir:
No sentido de “ver”, “presenciar como espectador” é VTI com a preposição a. Não aceita, 
entretanto, o indireto lhe, apenas as formas a ele, a ela, a eles, a elas.
Exemplo: Assistimos ao jogo.
 Assisti à peça.
“O jogo foi assistido.”
   ↑
Seu uso na voz passiva deve ser evitado!
Assistir:
→ No sentido de “socorrer”, “prestar assistência”, constrói-se sem preposição, recebendo, 
portanto, um objeto direto. Há gramáticos que apontam, entretanto, a possibilidade do uso de 
objeto indireto, admitindo o uso de lhe e lhes.
Exemplo: O médico assistiu o doente.
 O médico assistiu-lhe.
foi
69
6
Assistir:
→ No sentido de “pertencer”, “competir”, é VTI com a preposição a, admitindo o pronome lhe 
(objeto indireto dativo).
Exemplo: Este direito não assiste ao cliente.
→ No sentido de “residir”, “habitar”, é VI, mas exige adjunto adverbial (locativo), introduzido 
pela preposição em.
Exemplo: Elis Regina assistiu nessa (em + essa) cidade.
c) Chamar:
 dar nome, apelidar (transobjetivo – exige um objeto – OD ou OI + predicativo 
do objeto) 
Chamar  
 convocar (VTD)
Chamar:
→ No sentido de “dar nome”, “apelidar”, “qualificar”, ou “censurar” é “transobjetivo” — exige 
um objeto e um predicativo para o objeto.
  OD (sem preposição) + predicativo do objeto*
 OI(com a preposição a) + predicativo do objeto*
*(precedido ou não da preposição de)
Exemplo:
“Chamaram Fulano de herói.” 
“Chamaram fulano herói.” 
“Chamaram a fulano de herói.” 
“Chamaram a fulano herói.”
Chamar:
→ No sentido de “convocar” é VTD.
Exemplo: O professor chamou os alunos para a aula.
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
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d) Custar:
 ter preço (VTD ou VI)
Custar   ser custoso, ser difícil (VTI)
 acarretar, exigir (VTDI)
Custar:
→ No sentido de “ter preço”, é empregado como VTD ou VI.
Exemplo: A camisa custou 100 reais.
 O livro custou caro.
 VI predicativo
Custar:
→ No sentido de “ser custoso”, “ser difícil”, é VTI — com preposição a. É unipessoal, isto é, só 
aceita sujeito de 3ª pessoa “coisa”. A pessoa, na frase, será OI (destinatário do custo).
 “a coisa custosa”
Exemplo: “Custei-me a lembrar...” 
 OI
 “Eu custei a lembrar...” 
Exemplo: “Custou-nos a perceber..” 
  OI
 “Nós custamos a perceber..” 
Logo: “Algo custa a alguém.”
“Custou ao povo acostumar-se com o horário de verão.”
 OI Oração → sujeito
Custar:
→ No sentido de “acarretar”, “exigir” é VTDI.
Exemplo: A tarefa custou muito dinheiro aos cofres públicos.
 acarretar  OD	 	  OI
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8
e) Esquecer:
 quando não são pronominais (VTD) 
Esquecer  
 quando usados como verbos pronominais (VTI)
Esquecer:
→ São VTD quando não são pronominais, isto é, quando não estão acompanhados de pronome 
oblíquo (me, te, se, nos, vos).
Exemplo: Eu lembrei seu aniversário.
   VTD
Esses são fatos que ela já esqueceu.
	 	   OD   VTD
Esquecer:
→ São VTI (exigem preposição “de”) quando usados como verbos pronominais, isto é, 
acompanhados de pronome oblíquo.
Exemplo: Eu me lembrei de seu aniversário.
 pronome oblíquo OI
  VTI
Esses são fatos de que ela já se esqueceu.
 	    OI pronome oblíquo
Esquecer:
3ª Regência: a “coisa esquecida” é que figura como sujeito (caso em que o verbo é unipessoal) e 
o “ser que esquece” figura como OI — “esquecer” = “cair no esquecimento”, “fugir à memória”.
Exemplo: “Esqueceu-me a frase que disseste.”
 	 	   OI sujeito
f) Fazer:
→ “Fazer com que” — causar, gerar efeito; 
→ “Fazer que” — sinalizar, fazer sinal que. 
Ex: “Fulano fez que iria sair”
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
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g) Implicar:
 hostilizar, ser antipático (VTI) 
Implicar  
 resultar (VTD)
Implicar:
→ No sentido de “hostilizar”, “ser antipático”, é VTI (OI introduzido pela preposição com).
Exemplo: O irmão sempre implicava com ela.
Implicar:
→ No sentido de “resultar”, é VTD.
Exemplo: “Essa nota implica aprovação.” “Implica em aprovação.”
  Informar/avisar/certificar/cientificar/notificar/prevenir:
h) Informar/Avisar/Certificar/Cientificar/Notificar/Prevenir
(VTDI)
Informar
avisar
certificar
cientificar 
(VTDI)
notificar
prevenir:
Informar/Avisar/Certificar/Cientificar/Notificar/Prevenir
→ É VTDI com duas construções possíveis:
1. A pessoa é OD, a “coisa informada” será OI (com a preposição de ou sobre).
Exemplo: Informou os alunos de que as coisas vão bem.
   OD  OI
2. A “coisa informada” é OD, e a pessoa que recebe a informação é OI (com a preposição a).
Exemplo: Informei-lhe o acidente ocorrido.
	 	 	  OI   OD
“Informei-lhe de que ele chegaria.”
 OI   OI
“acarretar” — VTD 
“resultar” — “em”
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i) Lembrar:
 quando não são pronominais (VTD)
Lembrar  quando são pronominais (VTI)
 vir à lembrança (VTD, geralmente)
Lembrar:
→ A mesma construção que vale para o verbo “esquecer” aplica-se ao verbo “lembrar”.
Exemplo: Eu lembrei os dias passados.
 Eu me lembrei dos dias passados.
Lembrar:
→ Quanto tem teor informativo, emprega-se como “informar” .
Exemplo: Lembrei os alunos de que deveriam trazer o material.
    OD    OI
 Lembrei aos alunos de que deveriam trazer o material.
	 	 	    OI 	    OD
Lembrar:
→ Sentido de “vir à lembrança”, é empregado como VTD; podendo, ainda, receber OI.
Exemplo: O jovem lembrava os dias passados .
J) Obedecer/Desobedecer:
Obedecer/Desobedecer → sempre VTI (exigem OI com preposição a)
→ Sempre VTI (exigem OI com a preposição a).
Exemplo: Você obedeceu ao regulamento.
 Os alunos desobedecerão às suas ordens.
→ Embora sejam verbos transitivos indiretos, admitem a transposição para a voz passiva 
analítica.
Exemplo: Todos obedecem ao regulamento. — (voz ativa)
 O regulamento foi obedecido por todos. — (voz passiva)
*Particularidades dos verbos “obedecer”,“desobedecer”, “perdoar” 
e “pagar”.
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LÍNGUA PORTUGUESA| PÂMELA DAMASCENO
11
k) Pagar/ Perdoar:
 quando o objeto refere-se à pessoa (VTI)
Pagar/ Perdoar  quando o objeto é “coisa” (VTD)
 as duas construções podem fundir-se (VTDI)
Pagar / Perdoar:
→ Quando o objeto refere-se à pessoa — VTI (exigem a preposição a)
Exemplo: Já pagamos ao livreiro.
→ Quando o objeto é “coisa” — VTD
Exemplo: Nós pagamos o material. Jamais perdoaria seu erro.
	 	 	 	  OD   OD
Pagar/ Perdoar:
→ As duas construções podem fundir-se, assim, o verbo fica VTDI.
Exemplo: Já pagamos o material ao livreiro.
	 	 	 	  OD   OI
→ Assim como o “obedecer”, o OI pode virar sujeito paciente.
Exemplo: Paguei ao homem. O homem foi pago. (voz passiva)
l) Preferir:
Preferir → (VTDI) – exige dois objetos – OD e OI (iniciado pela preposição a).
Preferir:
→ Exige dois objetos: um direto e um indireto (iniciado pela preposição a). Esse verbo é, 
portanto, VTDI.
Obs: Não se deve usar com tal verbo adjuntos adverbiais de intensidade.
Exemplo: Ela sempre preferiu chocolate preto a chocolate branco.
	 	 	 	 	   OD		 	  OI
“Preferiu descansar do que trabalhar.”
“Preferiu mais água do que refrigerante.”
→ O adjetivo “preferível” tem regência análoga.
75
12
m) Proceder:
 ter fundamento, justificar-se (VI)
Proceder  dar início, dar sequência (VTI)
 originar-se, provir (VI + preposição de no adjunto adverbial)
Proceder:
→ No sentido de “ter fundamento”, “justificar-se” é VI (verbo intransitivo).
Exemplo: As críticas não procedem.
→ No sentido de “dar início”, “dar sequência”, é VTI (exige OI com preposição a).
Exemplo: “O juiz procedeu ao julgamento do rapaz.”
 “O professor procedeu à leitura.”
Proceder:
→ No sentido de “ser proveniente”, “originar-se”, “provir” é intransitivo, exigindo, entretanto, 
a preposição de que inicia o adjunto adverbial de lugar.
Exemplo: Nós procedemos do interior.
 VI adjunto adverbial
A caravana procede do sertão.
	 	  VI adjunto adverbial
n) Querer:
 desejar (VTD) 
Querer  
 estimar, “querer bem” (VTI)
Querer:
No sentido de “desejar”, é VTD.
Exemplo: Todos queriam o documento.
	 	 	  VTD    OD
Todos queriam a vaga.
	   VTD  OD
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LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
13
Querer:
→ No sentido de “estimar”, “querer bem”, “ter afeto”, é VTI (exige um OI com a preposição a.)
Exemplo: O pai queria aos filhos.
 VTI  OI
 Quero-lhe tanto.
 VTI OI
o) Simpatizar/Antipatizar:
Simpatizar/Antipatizar → VTI
Simpatizar/Antipatizar:
São VTI (exigem OI iniciado pela preposição com).
Exemplo: Poucas pessoas simpatizam com o candidato.
* Esses verbos não são pronominais, ou seja, não admitem pronomes oblíquos (me, te, se, nos, 
etc).
Exemplo: “Eu me simpatizei com ele.”
 “Não se simpatizaram comigo.”
p) Visar:
 mirar, dirigir a pontaria (VTD) 
Visar  dar visto, assinar (VTD)
 pretender, ter por objetivo (VTI)
Visar:
→ No sentido de “mirar, “dirigir a pontaria”, é VTD.
Exemplo: O jagunço visou o alvo.
	 	 	   VTD OD
→ No sentido de “dar visto”, “assinar”, é também VTD.
Exemplo: O diretor visou o documento depois de examiná-lo.
	 	 	  VTD	  OD
77
14
Visar:
→ No sentido de “pretender”, “ter por objetivo”, é VTI (exige OI com a preposição a).
Exemplo: Eu visava ao cargo de diretor.
 Ela visava à vaga no concurso do BB.
*Nesta última acepção, antes de infinitivo, a preposição exigida pelo verbo “visar” passa a ser 
facultativa.
Exemplo: Viso (a) ingressar em um bom cargo público.
q) Namorar:
Namorar → VTD
VTD — com
Exemplo: “Com quem ele namora?”
 “Ele namora com Fulana.”
OBSERVAÇÕES FINAIS:
→ Não é próprio da Norma Culta escrita dar um único complemento (o mesmo objeto) a verbos 
de regências diferentes. Se tiverem a mesma regência, porém, é possível o uso do mesmo 
objeto a ambos os verbos.
Exemplo: “Assisti e gostei do filme.” — desvio!
	 	  VTI (a) VTI (de)
→ São	verbos	transitivos	diretos	(VTD):
Abraçar (abraçá-lo)
Acudir (acudi-lo)
Adorar (adorá-lo)
Ajudar (ajudá-lo)
Amar (amá-lo)
Compreender (compreendê-lo)
Convidar (convidá-lo)
Cumprimentar (cumprimentá-lo)
Entender (entendê-lo)
Estimar (estimá-lo)
Estimular (estimulá-lo)
78
LÍNGUA PORTUGUESA | PÂMELA DAMASCENO
15
Julgar (julgá-lo)
Namorar (namorá-lo)
Ouvir (Ouvi-lo)
Prejudicar (prejudicá-lo)
Ver (vê-lo)
Visitar (visitá-lo)
→ São	verbos	transitivos	indiretos	(VTI):
Agradar (agradar-lhe)
Caber (caber-lhe)
Convir (convir-lhe)
Desagradar (desagradar-lhe)
Desobedecer (desobedecer-lhe)
Obedecer (obedecer-lhe)
Pertencer (pertencer-lhe)
Ocorrer (ocorrer-lhe)
Acontecer (acontecer-lhe)
Interessar (interessar-lhe)
→ O pronome relativo (PR) pode funcionar como complemento do verbo. Nesse caso, é preciso 
que o pronome obedeça à regência do verbo do qual é complemento. A ocorrência ou não da 
preposição antes do pronome relativo dependerá do verbo do qual ele é complemento:
Exemplo: O filme a que assisti é muito longo. 
 Essas são as pessoas de que gosto. 
 Essas são as pessoas a que me refiro. 
 Essas são as pessoas de que discordo. 
 Essas são as pessoas em que confio.
79
80
RACIOCÍNIO 
LÓGICO-MATEMÁTICO
PROF. DUDAN
81
82
MÓDULO 1
3
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS (ℕ)
Definição: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Subconjuntos
ℕ* = {1, 2, 3, 4,...} naturais não nulos.
NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
Definição: ℤ = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Subconjuntos
ℤ* = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4,...} inteiros não nulos.
ℤ + = {0, 1, 2, 3, 4,...} inteiros não negativos (naturais).
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4,...} inteiros positivos.
ℤ- = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0} inteiros não positivos.
ℤ*- = {..., – 4, – 3, – 2, – 1} inteiros negativos.
NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
Definição – É todo número que pode ser escrito na forma:
 p
q
 com p ∈ ℤ e q ∈ ℤ*.
83
4
Subconjuntos
ℚ* à racionais não nulos.
ℚ + à racionais não negativos.
ℚ*+ à racionais positivos.
ℚ- à racionais não positivos.
ℚ*- à racionais negativos.
Frações, Decimais e Fração Geratriz
Decimais exatos
2
5
 = 0,4 
1
4
 = 0,25
Decimais periódicos
1
3
 = 0,333... = 0,3 
7
9
 = 0,777... = 0,7
Transformação de dízima periódica em fração geratriz
1. Escrever tudo na ordem, sem vírgula e sem repetir.
2. Subtrair o que não se repete, na ordem e sem vírgula.
3. No denominador:
 • Para cada item “periódico”, colocar um algarismo “9”;
 • Para cada intruso, se houver, colocar um algarismo “0”.
Exemplos:
a) 0,333... Seguindo os passos descritos: 03−0
9
= 3
9
= 1
3
b) 1,444... Seguindo os passos descritos: - 14 1
9
 = 13
9
c) 1,232323... Seguindo os passos descritos: - 123 1
99
 = 122/99
d) 3,1222... Seguindo os passos descritos: 312−31
90
= 281
90
e) 2,12343434... Seguindo os passos descritos: 21234−212
9900
= 21022
9900
84
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
5
NÚMEROS IRRACIONAIS (𝕀)
Definição: Todo número cuja representação decimal não é periódica.
Exemplos:
0,212112111... 1,203040... 2 π
NÚMEROS REAIS (ℝ)
Definição: Conjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀, sendo ℚ ∩ 𝕀 = Ø
Subconjuntos
ℝ* = {x ∈ R | × ≠ 0} à reais não nulos
ℝ + = {x ∈ R | × ≥ 0} à reais não negativos
ℝ*+ = {x ∈ R | × > 0} à reais positivos
ℝ- = {x ∈ R | × ≤ 0} à reais não positivos
ℝ*- = {x ∈ R | × < 0} à reais negativos
NÚMEROS COMPLEXOS ( )
Definição: Todo número que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais.
Exemplos:
3 + 2i – 3i – 2 + 7i 9
1,3 1,203040... 2 π
Resumindo:
Todo número é complexo.
Q
Z
N
I
R
85
6
TEORIA DOS CONJUNTOS (LINGUAGEM DOS CONJUNTOS)
Conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem definição, que indica agrupamento de objetos, 
elementos, pessoas, etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas letras maiúsculas 
do nosso alfabeto.
Representações:
Os conjuntos podem ser representados de três formas distintas:
I – Por enumeração (ou extensão): Nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação 
de seus elementos entre chaves e separados por vírgula. Assim, temos:
 • O conjunto “A” das vogais ->A = {a, e, i, o, u};
 • O conjunto “B” dos números naturais menores que 5 -> B = {0, 1, 2, 3, 4};
 • O conjunto “C” dos estados da região Sul do Brasil -> C = {RS, SC, PR}.
II – Por propriedade (ou compreensão): Nesta representação, o conjunto é apresentado por 
uma lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto “A” das vogais 
é dado por A = {x / x é vogal do alfabeto} -> (Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é 
uma vogal).
Outros exemplos:
 • B = {x/x é número natural menor que 5}
 • C = {x/x é estado da região Sul do Brasil}
III – Por Diagrama de Venn: Nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma 
linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o 
conjunto “A” das vogais é dado por:
 a.
 e.
A i.
 o.
 u.
86
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
7
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
É uma relação que estabelecemos entre elemento e conjunto, em que fazemos uso dos símbolos 
∈ e ∉.
Exemplo:
Fazendo uso dos símbolos ∈ ou ∉, estabeleça a relação entre elemento e conjunto:
a) 7 _____ !
b) – 9 _____ !
c) 0,5 _____ 
d) – 12,323334 _____ !
e) 0, 1212... _____ !
f) 3 _____ 
g) −16 _____ !
RELAÇÃO DE INCLUSÃO
É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação, fazemos uso dos 
símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅.
A pergunta que pode nos orientar é: “O conjunto está dentro do conjunto ? ”
Exemplo:
Fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabeleça a relação entre os conjuntos:
Observações:
 • Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte do conjunto “A” se, e somente se, 
B ⊂ A.
 • Dois conjuntos “A” e “B” são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.
 • Dados os conjuntos “A”, “B” e “C”, temos que: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
 • O total de subconjuntos é dado por 2e, onde “e” é o número de elementos do conjunto. 
Exemplo: o conjunto A = {1, 2, 3, 4} possui 16 subconjuntos, pois 24 = 16.
87
8
UNIÃO, INTERSECÇÃO E DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS
A U B A - BA ∩ B B - A
A B A BA BA B
União Diferença entre conjuntosIntersecção
Junta tudo sem repetir O que há em comum O que é exclusivo
CONECTIVOS: APENAS, SOMENTE , SÓEOU
E se forem 3 conjuntos??
 
IMPORTANTE: quando somarmos os três conjuntos integrais teremos um excedente que é 
resultado de: d + e + f + 2g 
88
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
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CONJUNTO COMPLEMENTAR 
Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão 
em A estão no complementar de A. 
Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por AC:
 
Assim, o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto 
A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo 
o conjunto AC o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A. 
Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. 
Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…} 
Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais). 
AC = N − A = {0, 1, 2, 3…} – {0, 2, 4, 6, 8,…} = {1, 3, 5, 7, 9…} 
B) Conjunto universo U = Z 
Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros): 
AC = Z − A = {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3…} – {0, 2, 4, 6, 8, …} = {…, − 3, − 2, − 1, 1, 3, 5, 7, 9…} 
Complemento Relativo
Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido 
como diferença de B e A, é o conjunto de elementos de B que não estão em A.
A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou tambem B – A.
89
10
Assim:
B \ A = { x ∈ B/ x ∉ A}
Exemplos: Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, então: 
A – B = {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1} B – A= {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} = {4}
Exemplos:
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5, 7} e C = {2, 5, 10}. Determine:
a) A ⋃ B
b) A ⋂ B
c) A – B
d) B – A
e) A – C
f) C – A
g) B – C
h) C – B
i) A ⋃ C
j) A ⋂ C
k) B ⋃ C
l) B ⋂ C
m) A ⋂ B ⋂ C
n) A ⋃ B ⋃ C
90
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
11
Faça você
1. Na turma agencia do BRB fez-se uma pesquisa entre funcionários, com duas perguntas apenas: 
Estudou pela Casa do Concurseiro? Gosta de Matemática? 75 funcionários responderam sim à 
primeira e 86 responderam sim à segunda. Se 31 responderam sim às duas e 42 responderam 
não a ambas, o número de alunos dessa turma é:
a) 110.
b) 118.
c) 136.
d) 172.
e) 234.
2. Numa turma preparatória para o concurso do BRB, dos 74 alunos, 56 gostam de RLM e 28, 
de Português. Além disso, sabe-se que 15 alunos não gostam nem de RLM nem de Português. 
Assim, o número de alunos que gostam de ambas as disciplinas é de:
a) 13.
b) 22.
c) 25.
d) 28.
e) 30.
3. Num grupo de alunos da Casa do Concurseiro, verificou-se que 140 assistiram a apenas uma das 
aulas de RLM ou Conhecimentos Bancários; 117 assistiram à aula de Conhecimentos Bancários; 
54 assitiram às duas aulas e 88 não assistiram à aula de RLM.
Sendo assim, o número de alunos dessa turma é igual a:
a) 219.
b) 281.
c) 320.
d) 340.
e) 417.
4. A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa feita em 65 funcionários do BRB a 
respeito de estudo dos idiomas Inglês, Francês e Espanhol.
IDIOMA QUANTIDADE ESTUDANTES
Inglês 37
Francês 15
Espanhol 25
Inglês e Francês 10
Francês e Espanhol 5
Inglês e Espanhol 17
Inglês/Francês/Espanhol 2
91
12
Baseando-se nos resultados dessa tabela, é CORRETO afirmar que o total de participantes da 
pesquisa que não estuda nenhum dos três idiomas é igual a:
a) 18.
b) 21.
c) 39.
d) 43.
e) 55.
5. O professor Dudan, ao lecionar Teoria dos Conjuntos na turma preparatória do BRB, revelou 
uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao seguinte 
resultado:
 • 32 alunos torcem pelo Grêmio;
 • 25 alunos torcem pelo Inter;
 • 20 alunos torcem pelo São Paulo;
 • 8 alunos torcem pelo Grêmio e pelo São Paulo;
 • 9 alunos torcem pelo São Paulo e pelo Inter.
Se designarmos por G o conjunto dos torcedores do Grêmio, por I o conjunto dos torcedores do 
Inter, por C o conjunto dos torcedores do São Paulo, da referida turma, e sabendo que nenhum 
torcedor do Grêmio torce para o Inter, concluímos que o número de alunos dessa turma que 
para um único time é de:
a) 29.
b) 35.
c) 43.
d) 54.
d) 66.
Gabarito: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C
92
13
QUESTÕES
COMO AS BANCAS COBRAM ISSO?
1. (FCC) Sendo x e y números naturais, o resultado da divisão de x por y, obtido com auxílio de uma 
calculadora, foi a dízima periódica 3,333...
Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido será igual a
a) 0,111... 
b) 0,3 
c) 0,333... 
d) 0,9 
e) 1,111...
2. (ESAF) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação decimal?
a) 2.521 / 990. 
b) 2.546 / 999. 
c) 2.546 / 990. 
d) 2.546 / 900. 
e) 2.521 / 999.
3. (CESPE) Julgue o seguinte item, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.
Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então A + B = 165/99
( ) Certo   ( ) Errado
4. (FCC) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e 
que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, 
G e H, é igual a 
a) 6,111 . . . 
b) 5,888 . . . 
c) 6 
d) 3 
e) 5,98
5. (CESPE) Se A = {1, 4, 8, 13, 17, 22, 25, 127, 1.234} e B é o conjunto dos números ímpares, então 
os elementos que estão em A e em B são: 1, 13, 17, 25 e 127.
( ) Certo   ( ) Errado
93
14
6. (ESAF) Indique quantos são os subconjuntos do conjunto {1,2,3,4}.
a) 12. 
b) 13.
c) 14. 
d) 15.
e) 16.
7. (FCC) O diagrama representa algumas informações sobre a escolaridade dos moradores de um 
município.
Dados:
I: conjunto de todos os moradores que concluíram um curso de inglês.
E: conjunto de todos os moradores que concluíram um curso de espanhol.
S: conjunto de todos os moradores que concluíram o Ensino Superior.
Em todas as seis regiões do diagrama, há pelo menos um moradorrepresentado. Assim, é 
correto afirmar que se um morador dessa cidade
a) concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente concluiu um curso de espanhol. 
b) concluiu um curso de inglês e um de espanhol, então ele necessariamente concluiu o Ensino 
Superior.
c) não concluiu um curso de espanhol, então ele necessariamente não concluiu o Ensino 
Superior.
d) não concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente não concluiu um curso de 
espanhol.
e) não concluiu um curso de inglês, então ele necessariamente não concluiu o Ensino Superior.
8. (CESPE) Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio 
com data de validade vencida. Além disso, em 45veículos, o motorista estava sem o documento 
de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situaçõesfoi de 
90. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.
O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20.
( ) Certo   ( ) Errado
94
15
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
10. (CESGRANRIO) Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de 
educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não 
jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é
a) 5. 
b) 7.
c) 9. 
d) 11. 
e) 13.
11. (FCC) Duas modalidades de esporte são oferecidas para os 200 alunos de um colégio: basquete 
e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 não praticam 
nenhuma destas modalidades. O número de alunos que praticam uma e somente uma destas 
modalidades é:
a) 120. 
b) 100. 
c) 80. 
d) 60. 
e) 40.
12. (CESPE) Para um conjunto qualquer X, n(X) representa a quantidade de elementos de X. Nesse 
sentido, considere que os conjuntos A, B e C tenham as seguintes propriedades:
 • n(A) = n(B) = n(C) = 50;
 • n(A∩B) = n(A∩C) = n(B∩C) = 10;
 • n(A∩B∩C) = 0.
Nessa situação, n(A∪B∪C) é igual a
a) 100.
b) 110.
c) 120.
d) 130.
e) 140.
 
 
Gabarito: 1. B 2. A 3. C 4. C 5. C 6. E 7. E 8. C 9. C 10. C 11. A 12. C
95
96
MÓDULO 2
17
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Observe que cada operação tem nomes especiais: 
 • Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total. 
 • Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o 
número 3 é a diferença. 
 • Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto. 
 • Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto 
da divisão é ZERO.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Regra de sinais 
 • A soma de dois números positivos é um número positivo.
(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7
 • A soma de dois números negativos é um número negativo. 
(– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7 
 • Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e 
damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto.
(– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = – 2. 
 • Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto do 2º número. 
(+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do 
segundo número, então: + 5 – 2 = + 3 (o oposto de + 2 é – 2) 
(– 9) – (– 3) = – 9 + 3 = – 6 
(– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13 
97
18
Lembrando que quando antes dos parenteses vier um sinal de + , ele derruba os parenteses 
e mantem o sinal de quem está dentro. Caso venha um sinal de – , ele derruba os parenteses 
e troca o sinal de quem está dentro.
DICA: Na adição e subtração, um número de sinal positivo representa “o que eu tenho 
de dinheiro” e um número de sinal negativo, “o que eu devo à alguém”, assim, basta 
imaginar que você está acertando as contas.
 
Faça você
1. Calcule: 
a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 = 
c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) = 
e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) = 
g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) =
i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 =
k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 =
98
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
19
2. Calcule:
a) 1234 b) 752 c) 425 d) 1321
 + 463 + 271 – 328 + 412
e) 632 f) 921 g) 2358 h) 32,54 
 + 346 – 708 + 426 + 85,89
i) 233,2 j) 5,174 k) 23,42 l) 237,85 
 – 143,1 – 6,719 + 34,67 – 156,38
m) 17,43 n) 275,74 o) 157,32 p) 329,75 
 – 29,38 – 131,12 – 38,43 + 158,37
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: 
 • Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. 
 • Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. 
 • Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. 
Múltiplos de um Número Natural 
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural 
qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. 
99
20
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 
2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2 x 4 = 8 
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
2 x 7 = 14 
2 x 8 = 16 
2 x 9 = 18 
2 x 10 = 20 
E assim sucessivamente. 
Divisores de um Número Natural 
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 
12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48. 
Observações importantes: 
 • O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 
 • O maior divisor de um número é o próprio número. 
 • O zero não é divisor de nenhum número. 
 • Os divisores de um número formam um conjunto finito. 
Principais Critérios de Divisibilidade
Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que 
consiste em representar o número em partes menores e iguais. 
Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número 
não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. 
Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre 
eles é igual a zero.
Regras de divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
100
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Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, 
quando ele é par. 
Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for 
divisível por 3. 
Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2 + 3 + 4 = 9, e como 9 é 
divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
Divisibilidade por 4 
Todo número natural é divisível por 4 quando os seus últimos dois digitos (dezena e unidade) 
formarem um número múltiplo de 4.
Exemplo: 156 é divisível por 4, pois “56” é um número múltiplo de 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é par, logo divisível por 2 e a soma de seus algarismos é 
múltiplo de 3, logo ele é divisível por 3 também. 
 90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos. 
 87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número 
múltiplo de9. 
Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
 1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
 4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
101
22
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).
 6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).
Teste a divisibilidade dos números abaixo por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.
 a) 1278      b) 1450      c) 1202154
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Regra de sinais
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um 
número positivo.
Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 
 b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6 
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um 
número positivo. 
Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 
 b) (– 9) ÷ (– 3) = + 3 
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um 
número negativo. 
Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 
 b) (+ 16) ÷ (– 8) = – 2 
3. Calcule os produtos e os quocientes: 
a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) = 
102
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
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c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) = 
e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) = 
g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) = 
 
4. Efetue os cálculos a seguir: 
a) 432 b) 317 c) 72,3 d) 17,32
 x 76 x 32   x 16,2 x 1,9
Regras da Divisão
 • Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que pretence ao 
Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível 
dividir colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo algarismo original.
 • Após a colocação da vírgula no quociente , mediante empréstimo do “0” para seguir 
dividindo, a cada nova rodada de divisão teremos direito a um “0” gratuito. Caso ele não 
seja suficiente, na mesma rodada , um outro “0” sera solicitado devendo para isso colocar 
“0” no quociente.
e) 481 ÷ 37 f) 800 ÷ 25 g) 6513 ÷ 13 h) 721 ÷ 7
i) 618 ÷ 50 j) 2546 ÷ 32 k) 4862 ÷ 36 l) 926 ÷ 13
103
24
m) 1223,5 ÷ 25 n) 3585,6 ÷ 32 o) 1256 ÷ 12,5 p) 1,2 ÷ 0,24 
POTÊNCIA
 • No exemplo 72 = 49 temos que: 7 é a base, 2 é o expoente e 49 é a potência.
 • A potência é uma multiplicação de fatores iguais: 72 = 7 x 7 = 49
 • Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo:
Ex.: a) (– 4)1 = -4 b) (+ 5)1 = 5
 • Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1.
Ex.: a) (– 8)0 = 1 b) (+ 2)0 = 1
Regra de sinais
 • Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva. 
Exemplos: a) (– 2)4 = 16, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) = + 16 
 b) (+ 2)² = 4, porque (+ 2) × (+ 2) = + 4 
 • Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base. 
Exemplos: a) (– 2)3 = – 8, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) = – 8 
 b) (+ 2)5 = + 32, porque (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = + 32 
 • Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente. 
Exemplos: a) – 2² = – 4 
 b) – 23 = – 8 
 c) + 3² = 9 
 d) + 53 = + 125
5. Calcule as potências: 
a) 3² = b) (– 3)² = 
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c) – 3² = d) (+ 5)3 = 
e) (– 6)² = f) – 43 = 
g) (– 1)² = h) (+ 4)² = 
i) (– 5)0 = j) – 7² = 
k) – 50 = l) (– 7)2 = 
m) (– 8)² = n) – 8² =
Propriedades da Potenciação
 • Produto de potência de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Exemplos:
a) a3 x a4 x a2 = a3+4+2 = a9
b) (– 5)2 x (– 5) = (– 5)2+1 = (– 5)3 = – 125
c) 3-2 x 3 x 35 = 3-2+1+5 = 34 = 81
 • Divisão de potências de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Exemplos:
a) b5 ÷ b2 = b5-2 = b3
b) (– 2)6 ÷ (– 2)4 = (– 2)6-4 = (– 2)2 = + 4 
c) (– 19)15 ÷ (– 19)5 = (– 19)15-5 = (– 19)10
 • Potência de potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Exemplos:
a) (a2)3 = a23 = a6
b) [(– 2)5]2 = (– 2)5.2 = (– 2)10 = 1024
 • Potência de um produto ou de um quociente: Multiplica-se o expoente de cada um dos 
elementos da operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.
Exemplos:
a) [(– 5)2 x (+ 3)4]3 = (– 5)2.3 x (+ 3)4.3 = (– 5)6 x (+ 3)12
b) [(– 2) ÷ (– 3)4]2 = (– 2)1.2 ÷ (– 3)4.2 = (– 2)2 ÷ (– 3)8
105
26
RADICAIS
Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o 
número que elevado ao quadrado equivale a 36.
362 = 6 , pois 6 elevado ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e 
denomina-se radiciação.
Principais Regras
→ Regra do SOL e da SOMBRA
Exemplo: 
8 = 23 = 2
3
2
813 = 343 = 3
4
3 e no caminho inverso também funciona já que: 7
1
4 = 714 = 74
Propriedades da Radicais
Produto de radicais de mesmo índice: conserva-se uma raiz nesse indice e multiplicam-se os 
radicandos. 
a) 7. 5 = 7.5 = 35
b) 43 . 63 = 4.63 = 243
106
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Divisão de radicais de mesmo índice: conserva-se uma raiz nesse indice e dividem2-se os 
radicandos. 
a) 
7
5
= 7
5
b) 16
3
23
= 16
2
3 = 83 = 2
Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas é preciso obedecer à seguinte ordem: 
1º resolvemos as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. 
2º resolvemos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. 
3º resolvemos as adições e subtrações na ordem em que aparecem. 
Caso contenha sinais de associação:
1º resolvemos os parênteses ( ) 
2º resolvemos os colchetes [ ] 
3º resolvemos as chaves { } 
6. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) 6² ÷ 3² + 10² ÷ 50 = 
b) 20 + 23 × 10 – 4² ÷ 2 = 
c) 3 + 164 – 15 + 49 = 
d) 33 ÷ 27 × 20 = 
107
28
e) 100 + 1000 + 10000 = 
f) 5² – 5 × 15 + 50 × 53 = 
7. Aplique seus conhecimentos e calcule o valor das expressões numéricas. Observe as operações 
indicadas, a existência de sinais de associação e tenha cuidado com as potências.
a) (−1−2−3− 4−5)÷ (+15)=
b) (8+10÷2−12)÷ (−4+3)=
c) 103 − (−10)2 −100 =
d) (−1)8 +60 −[15+ (−40)÷ (−2)3]=
e) −3− {−2−[(−35)÷ 25 +22]} =
f) 4− {(−2)2 × (−3)−[−11+ (−3)× (−4)]− (−1)} =
g) 14−[(−1)3 × (−2)2 + (−35)÷ (+5)]=
h) −2+ {−5−[−2− (−2)3 −3− (3−2)9]+5} =
i) 64 −22 −2−20 =
j) −15+10÷ (2−7)=
Gabarito: 6. a) 6 / b) 92 / c) 11 / d) 1 / e) 3 / f) 145 7. a) – 1 b) – 1 c) 899 d) – 18 e) – 4 f) 18 g) 25 h) – 4 i) 1 j) – 17
108
29
QUESTÕES
COMO AS BANCAS COBRAM ISSO?
1. (CESPE) O número resultante da operação matemática 123 + 2 x 357 é sucessor do resultante da 
operação 122 + 2 x 356.
( ) Certo   ( ) Errado
2. (FCC) Josué queria multiplicar 72 por 34. Josué se enganou e multiplicou 72 por 23. O resultado 
do cálculo que ele fez é menor do que o resultado do cálculo que ele queria fazer em um número 
de unidades igual a
a) 642. 
b) 792.
c) 820. 
d) 566. 
e) 1656.
3. (CESPE) Os servidores de uma unidade de atendimento do DETRAN participaram de um 
treinamento que foi realizado em duas salas, A e B. Quando da entrada nas salas, 57 servidores 
entraram na sala A e apenas 31, na B.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item a seguir.
O número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma 
quantidade de servidores assistisse ao treinamento nas duas salas é igual a 13.
( ) Certo   ( ) Errado
4. (FCC) Apenas uma alternativa representa um número real que, em uma reta numérica real, 
situa-se entre 25 e 29 . A alternativa que corresponde a esse número é:
a) 88/17.
b) 150/18.
c) 64/13.
d) 93/23.
e) 50 .
109
30
5. (ESAF) O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois 
últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é:
a) 2.
b) 3.
c) 6.
d) 7.
e) 9.
6. (CESPE) Considere que, para os 170 alunos de uma escola, a merendeira prepare 45 litros de 
suco para o lanche e que ela saiba que cada litro de suco corresponde a 10 copos. Nesse caso, se 
cada aluno beber 2 copos de suco, ainda sobrarão 11 litros de suco.
( ) Certo   ( ) Errado
7. (FCC) Um grupo de funcionários do Metrô é formado por mais doque 50 e menos do que 100 
pessoas. Os funcionários desse grupo terão que ser distribuídos em subgrupos menores, todos 
com o mesmo número de funcionários. Para atender a essa regra, se forem formados subgrupos 
com 5 funcionários, 3 ficarão de fora. Se forem formados subgrupos com 7 funcionários, 4 
ficarão de fora. Nas circunstâncias descritas, se forem formados subgrupos com 12 funcionários, 
o número de funcionários que ficarão de fora será igual
a) 6. 
b) 4.
c) 7. 
d) 5. 
e) 9.
8. (CESPE) No ato de pagamento por um produto, um cliente entregou ao caixa uma nota de 
R$ 50. Informado de que o dinheiro entregue não era suficiente, o cliente entregou mais uma 
nota de R$ 50 e recebeu do caixa R$ 27 de troco. O cliente reclamou que ainda faltavam R$ 9 de 
troco e foi imediatamente atendido pelo caixa.
Nessa situação hipotética, o valor da compra foi
a) R$ 52.
b) R$ 53.
c) R$ 57.
d) R$ 63.
d) R$ 64.
9. (FCC) A soma dos três menores divisores positivos de cada um dos números 14, 32 e 45 é um 
divisor do número
a) 44. 
b) 30. 
c) 60. 
d) 2.
e) 80.
110
31
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
10. Uma repartição com 6 auditores fiscais responsabilizou-se por fiscalizar 18 empresas. Cada 
empresa foi fiscalizada por exatamente 4 auditores, e cada auditor fiscalizou exatamente a 
mesma quantidade de empresas. Nessa situação, cada auditor fiscalizou
a) 8 empresas.
b) 10 empresas.
c) 12 empresas.
d) 14 empresas.
e) 16 empresas.
11. (FCC) O valor da expressão numérica (4 – 3)2 . (3 – 4)3 após o cálculo completo é:
a) – 6. 
b) – 1.
c) 305. 
d) 1.
e) 6.
12 (FCC) O resultado da expressão numérica 53 ÷ 5 . 54 ÷ 5 . 55 ÷ 5 ÷ 56 – 5 é igual a:
a) 120.
b) 1/5
c) 55
d) 25
e) 620
13. (CESPE) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve viajar de São 
Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproximadamente 
1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina do 
seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante.
Considerando essas informações, julgue o item que segue.A distância a ser percorrida nessa 
viagem será de 11 × 105 m.
( ) Certo   ( ) Errado
14. (FCC) O resultado da expressão numérica: 3 + 4 × 7 − 8 × 3 é igual a 
a) 9. 
b) 123. 
c) 7.
d) 60. 
e) 23.
Gabarito: 1. E 2. B 3. C 4. A 5. C 6. C 7. B 8. E 9. D 10. C 11. B 12. A 13. C 14. C
111
112
MÓDULO 3
33
FRAÇÕES
DEFINIÇÃO
 • Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números 
inteiros. 
 • A palavra vem do latim fractus e significa “partido”, dividido ou “quebrado (do verbo 
frangere: “quebrar”).
 • Também é considerada parte de um inteiro, que foi dividido em partes exatamente iguais. 
As frações são escritas na forma de números e na forma de desenhos. 
 • Na fração, a parte de cima é chamada de numerador e indica quantas partes do inteiro 
foram utilizadas.
 • A parte de baixo é chamada de denominador, que indica a quantidade máxima de partes 
em que fora dividido o inteiro e nunca pode ser zero.
Observe alguns exemplos:
113
34
Exemplo: 
Dudan comprou uma barra de chocolate e comeu 3/5 dela.
Sendo assim, ele dividiu a barra em 5 pedaços e comeu 3 delas.
Observe que tambem devemos nos atentar à quantidade que restou, o chamado complemento.
O complemento de 3/5 é 2/5 porque Dudan comeu 3 das 5 partes, sobrando 2 outros pedaços 
dessa divisao.
Vale ressaltar que é muito importante o aluno entender a ideia dessa complementação das 
frações pois a cobrança é frequente.
Mais exemplos: 
Se gastei 5/8 do meu plano de 3G, entao restam os outros 3/8.
Se após pagar as contas de casa, gastei 3/7 do meu salário, então restam os outros 4/7.
E assim por diante.
Relação entre frações decimais e os números decimais
 • Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador da 
fração e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas decimais quanto forem os 
zeros do denominador.
Exemplo: a) 4810 = 4,8 b) 
365
100 = 3,65 c) 
98
1.000 = 0,098 d) 
678
10 = 67,8
 • Para transformar um número decimal em uma fração decimal, colocamos no denominador 
tantos zeros quantos forem os números depois da vírgula do número decimal.
Exemplo: a) 43,7 = 43710 b) 96,45 = 
9.645
100 c) 0,04 = 
4
100 d) 4,876 = 
4.876
1.000
114
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35
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
 • Simplificar uma fração, como o próprio termo diz, é torna-la mais simples facilitando o uso 
das operações básicas.
 • Para simplificar uma fração, divide-se o numerador e o denominador da fração por um 
mesmo número. 
Exemplo:
 • 32/6 dividindo ambos por 2, teremos 16/3
 • 27/12 e dividindo ambos por 3, teremos 9/4
 • 35/15 e dividindo ambos por 5 teremos 7/3
 • Quando o numerador é divisível pelo denominador, efetua-se a divisão e se obtém um 
número inteiro.
Exemplo:
a) 100-25 = – 4
b) 29923 = 13
⇒ Simplifique as frações, aplicando a regra de sinais da divisão: 
a) – 7550 
b) – 4884 
c) – 362 
d) – 1015
115
36
Comparação entre Frações
Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. 
Como comparar as frações 3
5
< 4
5
 e 3
5
< 4
5
?
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. 
Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum.
Nesse caso como ambas já estão escritas com o mesmo denominador fica fácil perceber que a 
fração 4/5 émaior que 3/5 pois foram divididas em 5 partes o que torna a comparsção simples.
Se as duas frações possuem mesmo numerador mas denominadores diferentes, basta entender 
a lógica envolvida na fração.
Exemplo:
2/5 < 2/3 pois 2/5 significa dividir a pizza em 5 fatias e tomar 2; já 2/3 representa a divisão em 
3 fatias das quais tomamos duas também mas como no segundo caso, a divisão foi em menos 
partes, as fatias são maiores.
Se as frações nao tem nem o numerador nem o denominador iguais, é preciso ”reescreve-las no 
mesmo denominador. Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum.
Exemplo: 
2
5
?
3
7
 e 2
5
?
3
7
Usaremos frações equivalentes (proporcionais) escritas no mesmo denominador para, assim, 
compará-las.O MMC entre 5 e 7 é 35, logo:
2
5
= 2.7
5.7
= 14
35
e
3
7
= 3.5
7.5
= 15
35
logo pela comparacao dos numeradores, temos que:
2
5
< 3
7
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
 • Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e manter o 
denominador.
21
6
− 4
6
+ 9
6
= 21− 4+9
6
= 26
6
= 13
3
1
4
+ 3
4
= 1+3
4
= 4
4
=1
116
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37
Para efetuar as operações de soma ou subtração com frações temos duas opções:
1) Podemos usar o clássico m.m.c e transformar as frações dadas em suas frações equivalentes 
(proporcionais) que sejam escritas no mesmo denominador comum entre 3 e 5 é 15, logo:
2
3
− 4
5
Assim divide-se o m.m.c pelo denominador original de cada fração e multiplica-se o resultado 
pelo numerador, obtendo assim, uma fração equivalente.
2
3
= 10
15
e
4
5
= 12
15
 e com isso 
10
15
− 12
15
= − 2
15
2) Outro método muito prático é o “método da borboleta” 
2
3
− 4
5
Outros exemplos:
2/5 + 3/10
– 3/7 – 1/2
⇒ Calcule o valor das expressões e simplifique quando for possível:
a) −3
4
+ 2
7
− 5
2
− 5
6
b) 7
4
+2− 1
3
c) 1
5
+ 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 5
3
− 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
d) 1
2
+ −0,3( )
117
38
MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e fazer o mesmo entre os 
denominadores, independentemente de serem iguais ou não.
Exemplo:
2
5
⋅ 3
4
= 2.3
5.4
= 6
20
= 3
10
Outro exemplo:
3
10
x
5
6
DIVISÃO
Para dividir as frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Exemplo:
2
5
÷ 3
4
= 2
5
⋅ 4
3
= 2.4
5.3
= 8
15
 
DICA
Dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso!
Outro exemplo:
3
10
÷ 5
6
Exemplos:
a) 3
4
x
5
2
   b) 3
4
:
5
2
   c) 
2
3
6
5
   d) 3/
2
3
118
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39
POTENCIAÇÃO
Para elevarmos uma fração a determinada potência, basta aplicarmos a potência no numerador 
e também no denominador, respeitando as regras dos sinais da potenciação.
Exemplo: 
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 2
2
32
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 4
9
 
− 4
9
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= + 4
2
92
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +16
81
3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= + 3
3
53
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + 27
125
 
−12
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= + 3
2
22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 9
4
RADICIAÇÃO
Caso seja necessário aplicar um radical numa fração, basta entender que: “a raiz da fração é a 
fração das raízes.”
Exemplos:
EXPOENTE NEGATIVO
Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo 
número com expoente positivo.
Mas fica mais interessante entendermos que se invertermos uma fração, somos obrigados a 
mudar o sinal do seu expoente.
Exemplo: a) 7−2 = 1
72
= 1
49
 b) 4-3 = 1
4³
 = 164 c) 
119
40
Outros exemplos: 
a) 
b) 
c) 
120
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41
M.M.C E M.D.C
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum 
pertencente aos múltiplos dos números. Observe o M.M.C entre os números 20 e 30:
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ... e M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...
Logo, o M.M.C entre 20 e 30 é equivalente a 60.
Outra forma de determinar o M.M.C entre 20 e 30 é pela fatoração, em que devemos escolher 
os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns.
Observe: 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5 e 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5 logo:
M.M.C (20; 30) = 2² x 3 x 5 = 60
A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando 
os fatores obtidos. Observe:
20 30 2
10 15 2
5 15 3
5 5 5
1
M.M.C (20, 30) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dica: Apenas números naturais tem M.M.C
Um método rápido e fácil para se determinar o M.M.C de um conjunto de números naturais é a 
FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que ao menos um deles possa 
ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores que 1.
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo Comum.
121
42
Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar os números 6, 8 e 12 como exemplo.
Da fatoração destes três números temos:
6, 8, 12 2
3, 4, 6 2
3, 2, 3 2
3, 1, 3 3
1, 1, 1
O M.M.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição 
dos valores dados.
Logo: M.M.C (6, 8, 12) = 2.2.2.3 = 24
Qual é o M.M.C (15, 25, 40)?
Fatorando os três números temos:
Assim o M.M.C (15, 25, 40) = 2. 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600
Propriedade do M.M.C. 
Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.
Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 2 , 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos de 30 
(m.m.c. (2, 5, 6) = 30), ou seja, são 30 , 60, 90,... 
Como identificar questões que exigem o cálculo do M.M.C?
Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão (M.M.C ou M.D.C ?), basta entender 
que o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou igual ao maior 
dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores dados, criando uma ideia de 
“futuro”.
Já o M.D.C por ser um divisor desses valores, será sempre menor ou igual ao menor valor 
apresentado , logo um valor aquém dos dados na questão, dando uma ideia de corte, divisão.
122
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
43
Exemplo:
1. Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias; na 
máquina B; a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita 
a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no 
mesmo dia?
Temos que determinar o M.M.C entre os números 3, 4 e 6. 
Assim o M.M.C (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de 
dezembro. 
2. Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo 
paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas; remédio 
B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 
horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos? 
Calcular o M.M.C dos números 2, 3 e 6.
M.M.C (2, 3, 6) = 2 * 3 = 6 
O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6. 
De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 
horas. 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum 
pertencente aos divisores dos números. Observe o M.D.C entre os números 20 e 30: 
D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.
123
44
Podemos também determinar o M.D.C entre dois números através da fatoração, em que 
escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o M.D.C de 20 e 30 utilizando 
esse método.
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5 e 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5
Logo M.D.C (20; 30) = 2 x 5 = 10
A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, 
multiplicando os fatores obtidos. Observe:
Logo o M.D.C (20 , 30) = 10
MÉTODO PRÁTICO
Um método rápido e fácil para se determinar o M.D.C de um conjunto de números naturais é a 
FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que todos eles devem 
ser divididos, ao mesmo tempo, pelo fator primo apresentado, até que se esgotem as 
possibilidades dessa divisão conjunta. 
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Máximo Divisor Comum.
Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como 
exemplo.
Da fatoração conjunta desses três números, temos:
O M.D.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição 
dos valores dados.
Logo: M.D.C (6 , 8 , 12) = 2
124
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
45
Qual é o M.D.C (15, 25, 40)?
Fatorando os três números, temos:
Assim o M.D.C (15, 25, 40) = 5 
Qual é o M.D.C (15, 75, 105)?
Fatorando os três números, temos:
M.D.C (15, 75, 105) = 3 . 5 = 15
Note que temos que dividir todos os valores apresentados, ao mesmo tempo, pelo fator 
primo. Caso não seja possível seguir dividindo todos, ao mesmo tempo, dá-se por encerrado 
o cálculo do M.D.C.
Propriedade
Existe uma relação entre o M.M.C e o M.D.C de dois números naturais a e b.
 • m.m.c. (a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
Ou seja, o produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois 
números.
Exemplo:
Se x é um numero natural tal que m.m.c. (14, x) = 154 e m.d.c. (14, x) = 2, podemos dizer que x 
vale.
a) 22
b) – 22
c) + 22 ou – 22
d) 27
e) – 27
125
46
Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C?
Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que 
o M.D.C por ser um “divisor comum”, é um número que sempre será menor ou igual ao menor 
dos valores apresentados, logo sempre é um valor aquém dos valores dados, dando ideia de 
corte, fração.
Já o M.M.C, por ser um “múltiplo comum”, é um número que sempre será maior ou igual ao 
maior dos valores apresentados, logo sempre é um valor além dos valores dados, criando uma 
ideia de “futuro”.
Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum é equivocado pensar que o “mínimo” indica um 
número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos 
múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C. 
Faça você
3. Em uma árvore de natal, três luzes piscam com frequência diferentes. A primeira pisca a cada 4 
segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se num dado instante 
as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscarjuntas?
a) 24.
b) 40.
c) 60.
d) 80.
e) 100.
4. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizar os cortes 
necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 
centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu 
a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento 
possível. Sendo assim, a quantidade de novos retalhos de tecido e a medida de cada um deles, 
valem, respectivamente:
a) 3 e 78.
b) 5 e 78.
c) 6 e 65.
d) 65 e 6.
e) 78 e 5.
126
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
47
5. Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos 
de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de 
material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-
se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi:
a) 74.
b) 88.
c) 96.
d) 102.
e) 112.
6. Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio de nylon. Esses rolos, medindo 450 
cm e 756 cm serão divididos em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Sabendo que não 
deve haver sobras, quantos pedaços serão obtidos?
a) 25. 
b) 42. 
c) 67. 
d) 35. 
e) 18.
Gabarito: 3. C 4. B 5. D 6. C
127
48
QUESTÕES
COMO AS BANCAS COBRAM ISSO?
1. (FCC) O resultado de 3/7 + 7/3 é
a) 10/10. 
b) 10/21.
c) 58/21.
d) 42/10.
e) 42/21.
2. (CESGRANRIO) Thiago pagou 1/3 de uma dívida e ainda ficou devendo R$ 50,00. Qual era, em 
reais, o valor total da dívida?
a) 25,00. 
b) 75,00. 
c) 85,00. 
d) 95,00. 
e) 150,00. 
3. (CESPE) Em uma escola do município X, há, no 7º ano, 40 estudantes matriculados no turno 
matutino, 35, no vespertino e 30, no noturno. Com base nessas informações, julgue o item 
seguinte.
Menos de 1/3 dos estudantes do 7º ano dessa escola estudam no turno noturno.
( ) Certo   ( ) Errado
4. (CESGRANRIO) Para pintar o banheiro de uma casa, são necessários 18 litros de tinta. Se já foi 
usado 1/4 desse total, quantos litros de tinta já foram gastos?
a) 2,5. 
b) 3,5. 
c) 4,5. 
d) 5,5. 
e) 6,5.
128
49
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5. (CESPE) As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm 
suco. Em cada recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos 
recipientes I e II. Há mais suco no recipiente I que no II. 
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a
a) 8/15.
b) 8/13.
c) 3/10.
d) 4/3.
e) 7/20.
6. (CESGRANRIO) Uma central de tratamento de resíduos transforma resíduos da construção civil 
(entulho de obras) em areia e pedra prontos para serem reaproveitados, reciclando, ao todo,18 
mil toneladas de entulho por mês. Se, 2/3 desse total, correspondem à areia, e o restante, a 
pedras, quantos milhares de toneladas de areia reciclada são produzidos, em três meses, por 
essa central?
a) 12. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 30. 
e) 36.
7. (FCC) Um número natural é tal que a soma entre a quarta parte de seu triplo, a terça parte de 
seu dobro e sua metade é também um número natural menor que 25 e maior que 21. Sendo 
assim, é correto afirmar que esse número natural é
a) múltiplo de 5. 
b) múltiplo de 6. 
c) divisor de 22. 
d) divisor de 8. 
e) múltiplo de 48.
8. (CESPE) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado 
dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia 
seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia 
foi igual a
129
50
a) 98.
b) 112.
c) 26.
d) 66.
e) 82.
9. (FCC) Em dado instante, o marcador de combustível de um carro indicava que o tanque 
estava com 5/8 de sua capacidade. A partir desse instante, foram consumidos 25,5 litros de 
combustível, passando o marcador a indicar 1/4 da capacidade do tanque. A capacidade do 
tanque desse carro, em litros, é igual a:
a) 60.
b) 64.
c) 66.
d) 68.
e) 72.
10. (FCC) No aniversário de Clarice, seu avô queria dar parte de R$ 1.400,00 de presente para ela. 
Ele propôs as seguintes opções: ou Clarice escolhia 2/5 dos 3/4 dos 1.400,00 reais ou escolhia 
4/5 dos 3/7 dos 1.400,00 reais. Ao escolher a opção na qual ganharia mais dinheiro Clarice 
receberia a mais do que na outra opção a quantia, em reais, de:
a) 60,00. 
b) 420,00.
c) 45,00.
d) 125,00. 
e) 900,00.
11. (FCC) Um armário tem quatro prateleiras. Do total de processos que um auxiliar judiciário 
deveria arquivar nesse armário, sabe-se que: 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na 
segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos 
arquivados era:
a) 240.
b) 210.
c) 204.
d) 120.
e) 105.
12. (FCC) Um casal e seu filho foram a uma pizzaria jantar. O pai comeu ¾ de uma pizza. A mãe 
comeu 2/5 da quantidade que o pai havia comido. Os três juntos comeram exatamente duas 
pizzas, que eram do mesmo tamanho. A fração de uma pizza que o filho comeu foi:
a) 3/5.
b) 6/20.
c) 7/10.
d) 19/20.
e) 21/15.
130
51
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
13. (CESGRANRIO) Mauro precisava resolver alguns exercícios de Matemática.
Ele resolveu 1/5 dos exercícios no primeiro dia. No segundo dia, resolveu 2/3 dos exercícios 
restantes e, no terceiro dia, os 12 últimos exercícios.
Ao todo, quantos exercícios Mauro resolveu?
a) 30.
b) 40.
c) 45.
d) 75.
e) 90.
Gabarito: 1. C 2. B 3. C 4. C 5. ? 6. A 7. B 8. D 9. D 10. A 11. A 12. D 13. C
131
132
MÓDULO 4
53
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
Definição: O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado 
no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é um 
conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição. 
Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em concursos 
públicos e, por isso, é mais um dos assuntos tratados nesse livro.
Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como 
referência, grandeza essa chamada de unidade padrão.
As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequencia são o 
grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico.
Além dessas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo, 
a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo.
Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande 
ou muito pequena. Nesse caso, então, utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama 
geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isso, em geral, utilizamos 
o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, 
quando o assunto é bebidas por exemplo.
UTILIZAÇÃO DAS UNIDADES DE MEDIDA
Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na 
verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente 
é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro.
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida 
utilizada nessa medição seria o metro cúbico.
Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. 
Áreas são medidas em metros quadrados.
Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nessa medição, a 
unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear.
Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será 
pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama.
133
54
Veja a tabela a seguir, na qual agrupamos essas principais unidades de medida, seus múltiplos e 
submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades – SI:Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal
Medida de Grandeza Fator Múltiplos Unidades Submúltiplos
Capacidade Litro 10 kl hl dal l dl cl ml
Volume Métro Cúbico 1000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Área Metro Quadrado 100 km
2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Comprimento Metro 10 km hm dam m dm cm mm
Massa Grama 10 kg hg dag g dg cg mg
�⥂x �⥂x �⥂x �⥂x �⥂x �⥂x �⥂x �⥂x
Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator 
multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que 
apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator.
A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada 
multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo de a unidade 
original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos 
forem o número de níveis de uma unidade a outra.
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida
Leitura das Medidas de comprimento
Podemos efetuar a leitura correta das medidas de comprimento com o auxilio de um quadro 
chamado “quadro de unidades”.
Exemplo: Leia 16,072 m
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
Kilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
1 6, 0 7 2
Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira 
acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade 
de medida o último algarismo.
134
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55
16,072 m = Dezesseis metros e setenta e dois milímetros
Veja outros exemplos de leitura:
8,05 km = Lê-se assim: “oito quilômetros e cinco decâmetros”
72,207 dam = Lê-se assim: “setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros”
0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros”
Observe a tabela abaixo:
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida:
→ Converta 2,5 metros em centímetros
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro 
está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois, para passarmos de metros para 
centímetros, saltamos dois níveis à direita. 
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:
2,5 m . 10 . 10 = 250cm
Isso equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Portanto: 2,5 m é igual a 250 cm
→ Passe 5.200 gramas para quilogramas
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama 
está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para 
quilogramas saltamos três níveis à esquerda. 
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e 
finalmente de hectograma para quilograma:
5200g : 10 : 10 : 10 = 5,2 kg
Isso equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto: 5.200 g é igual a 5,2 kg
→ Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos 
então 15 por 10 quatro vezes:
15 hl. 10 . 10 . 10 . 10 = 150000 cl
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto: 150.000 cl equivalem a 15 hl.
135
56
→ Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à 
esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:
Portanto:
0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica equivalem 
a 14 mm3.
Passe 50 dm2 para hectometros quadrados
Para passarmos de decímetros quadrados para hectómetros quadrados, passaremos três níveis 
à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:
50 dm² : 100 : 100 : 100 = 0,00005 km²
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto: 50 dm2 é igual a 0,00005 hm2
EQUIVALÊNCIA ENTRE MEDIDAS DE VOLUME 
E MEDIDAS DE CAPACIDADE
 • Para estabelecermos uma “ponte” entre medidas de volume de capacidade, usaremos as 
seguintes conversões:
	 →	1m³ corresponde a 1.000 litros.
	 →	1dm³ corresponde a 1 litro.
	 →	1cm³ corresponde a 1 ml.
Exemplos de Conversão entre Medidas de 
Volume e Medidas de Capacidade
→ Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto, para convertermos de litros a decalitros, 
passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez: 
1000l : 10 = 100 dal
Isso equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então 
passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
ikl. 10 . 10 = 100 dal
Portanto: 100 dal equivalem a 1 m3.
136
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
57
→ 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu 
equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, já que cm3 
e ml se equivalem.
Nesse ponto, já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de 
medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à 
esquerda. 
Dividiremos então por 10 duas vezes:
0,348 ml : 10 : 10 = 0,00348 dl
Logo: 348 mm3 equivalem a 0,00348 dl. 
DÚVIDAS FREQUENTES
 • Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados?
 • Converter medidas em decilitros para gramas.
 • Quantos litros cabem em um metro quadrado?
 • Como passar litros para milímetros?
 • Quantos centímetros lineares há em um metro quadrado?
 • Conversão de litros para gramas.
 • Um centímetro corresponde a quantos litros?
 • Como passar de centímetros quadrados para mililitros?
 • Quantos mililitros tem um centímetro?
 • Transformar m3 em metro linear.
 • Quanto vale um centímetro cúbico em gramas?
Você consegue notar algum problema nessas pesquisas?
O problema é que elas buscam a conversão entre unidades de medidas incompatíveis, como 
por exemplo, a conversão de metro cúbico para metro quadrado. A primeira é uma unidade de 
medida de volume e a segunda é uma unidade de medida de área, por isso são incompatíveis e 
não existe conversão de uma unidade para a outra.
Então todas as conversões acima não são possíveis de se realizar, a não que se tenha outras 
informações, como a densidade do material na última questão, mas isso já uma outra disciplina.
Acredito que a razão dessas dúvidas é o fato de o estudante não conseguir discernir claramente 
o que são comprimento, área, volume e capacidade, portanto vou procurar esclarecer tais 
conceitos com maiores detalhes.
137
58
SISTEMA DE MEDIDA DE TEMPO
MEDIDAS DE TEMPO
É comum em nosso dia a dia perguntas do tipo:
 • Qual é a duração dessa partida de futebol?
 • Qual é o tempo dessa viagem?
 • Qual é a duração desse curso?
 • Qual é o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de 
tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Um dia é um intervalo de tempo relativamente longo. Nesse período você pode dormir, se 
alimentar, estudar, se preparar para concursos e muitas outras coisas.
Muitas pessoas se divertem assistindo a um bom filme, porém, se os filmes tivessem a duração 
de um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim uma tortura.
Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia, cada uma dessas 
frações de tempo corresponderá a exatamente uma hora, portanto concluímos que um dia 
equivale a 24 horas e que 1 24 do dia equivale a uma hora.
Uma ou duas horas é um bom tempo para se assistir um filme, mas para se tomar um banho é 
um tempo demasiadamente grande.
Portanto, dependendo da tarefa, precisamos fracionar o tempo, nesse caso, a hora.
Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma hora, cada uma 
dessas 60 partes terá a duração exata de um minuto,o que nos leva a concluir que uma hora 
equivale a 60 minutos, assim como 1 60 da hora equivale a um minuto.
Dez ou quinze minutos é um tempo mais do que suficiente para tomarmos um bom banho 
ouvindo uma boa música, mas, para atravessarmos a rua, esse tempo é um verdadeiro convite 
a um atropelamento.
Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto, cada uma dessas 
partes terá a duração exata de um segundo. Com isto concluímos que um minuto equivale a 60 
segundos e que 1 60 do minuto equivale a um segundo.
Das explicações acima podemos chegar ao seguinte resumo:
 • 1 dia = 24 horas
 • 1 hora = 60 minutos
 • 1 minuto = 60 segundos 
138
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
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Assim, também podemos concluir que :
 • 1 hora = 1/24 dia
 • 1 minuto = 1/60 hora
 • 1 segundo = 1/60 minuto.
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO SEGUNDO
Quadro de unidades
Múltiplos
Minutos Horas Dia
min h d
60s 60 min = 3.600s 24h = 1.440min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
 • décimo de segundo
 • centésimo de segundo
 • milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min. Pois o sistema de medidas 
de tempo não é decimal.
Observe:
Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo
sendo para converter de para multiplique por
1h= 1
24
d horas dias
1
24
1min= 1
60
h minutos horas
1
60
139
60
sendo para converter de para multiplique por
1s = 1
60
min segundos minutos
1
60
1min= 60s minutos segundos 60
1h= 60min horas minutos 60
1d= 24h dias horas 24
Além das unidades vistas anteriormente, podemos também relacionar algumas outras:
Unidade Equivale
Semana 7 dias
Quinzena 15 dias
Mês 30 dias *
Bimestre 2 meses
Trimestre 3 meses
Quadrimestre 4 meses
Semestre 6 meses
Ano 12 meses
Década 10 anos
Século 100 anos
Milênio 1000 anos 
* O mês comercial utilizado em cálculos financeiros possui, por convenção, 30 dias.
Exemplos Resolvidos
 • Converter 25 minutos em segundos
A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo, já que 1 minuto contém 60 
segundos. Portanto, de acordo com o explicado acima, devemos realizar uma multiplicação, 
mas devemos multiplicar por quanto?
Devemos multiplicar por 60, pois cada minuto equivale a 60 segundos:
Visto que:
A min = 60 seg
Então:
Assim, 25 min é igual a 1500 s.
140
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
61
 • Converter 2220 segundos em minutos
Este exemplo solicita um procedimento oposto ao do exemplo anterior. A unidade de tempo 
segundo é menor que a unidade minuto já que: 1s = 1 60 min 
Logo, devemos dividir por 60, pois cada segundo equivale a 1 60 do minuto: 2.200 ÷ 60 = 37
Note que alternativamente, conforme a tabela de conversão acima, poderíamos ter multiplicado 
1
60 ao invés de termos dividido por 60, já que são operações equivalentes:
2.200 x 160 = 37
Assim, 2.220 s é igual a 37 min.
 • Quantos segundos há em um dia?
Nos exemplos anteriores nos referimos a unidades vizinhas, convertemos de minutos para 
segundos e vice-versa. 
Como a unidade de tempo dia é maior que a unidade segundo, iremos solucionar o problema 
recorrendo a uma série de multiplicações.
Pela tabela de conversão acima para convertermos de dias para horas devemos multiplicar por 
24, para convertermos de horas para minutos devemos multiplicar por 60 e finalmente para 
convertermos de minutos para segundos também devemos multiplicar por 60. Temos então o 
seguinte cálculo:
1 x 24 x 60 x 60 = 864.000
 • 10.080 minutos são quantos dias?
Semelhante ao exemplo anterior, só que, nesse caso, precisamos converter de uma unidade 
menor para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas, vamos então precisar de 
uma série de divisões.
De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que dividir por 24. 
O cálculo será então:
10.080 ÷ 60 ÷ 24 = 7
Assim, 10.080 minutos correspondem 7 dias.
Faça você
1. O resultado de 15.000 mm2 + 15 cm2 é igual a:
a) 0,1515 dm2
b) 1,5015 dm2
c) 1,65 dm2
d) 15,15 dm2
e) 151,5 dm2 
141
62
2. A atleta brasileira Fabiana Murer alcançou a marca de 4,60 m no salto com vara, nos Jogos Pan-
americanos realizados no Rio de Janeiro em 2007. Sua melhor marca é de 4,80 m, recorde sul-
americano na categoria. Qual é a diferença, em centímetro, entre essas duas marcas?
a) 0,2
b) 2
c) 20
d) 200
e) 2000
3. Se 13,73 dam foram convertidos para várias unidades diferentes. Das conversões abaixo, 
assinale a única que está errada
a) 13730 cm
b) 137,3 m
c) 1,373 hm
d) 0,01373 km
e) 1.373 dm
4. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no 
terceiro dia, mais 12.500 cm. Qual a distância que a tartaruga percorreu nos três dias?
a) 1,45 m
b) 14,5 m
c) 145 m
d) 1450 m
e) 14500 m
Gabarito: 1. C 2. C 3. D 4. D
142
MÓDULO 5
63
EQUAÇÃO DE 1° GRAU
DEFINIÇÃO
A equação de 1º grau é a equação na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais e x é a 
variável (incógnita). O valor da incógnita x é
a
bx0bax -=Þ=+ 
1. Exemplo
Resolva as equações:
a) 5x – 20 = 0 
b) 4x +15 = – x
c) x+3
2
− x−3
3
= 7
d) 2x
5
+3= x
143
64
2. Dois funcionários do Banco de Brasília farão conjuntamente o cadastramento dos novos clientes. 
Se um deles cadastrar 2/5 dos clientes e o outro os 81 clientes restantes, o total de clientes 
cadastrados é de:
a) 125.
b) 135.
c) 142.
d) 145.
e) 160.
3. Um fundo de investimentos do Banco de Brasília , após uma queda, perdeu 1/10 de seu valor 
e este ficou com R$ 36.000,00 de saldo. Nestas condições, o valor do fundo antes da queda era 
igual a:
a) 44.000,00.
b) 42.000,00.
c) 40.000,00.
d) 38.000,00.
e) 32.000,00.
4. Do salário que recebe mensalmente, um gerente do Banco de Brasília gasta 5/8 e guarda o 
restante, R$ 1650,00, em caderneta de poupança. O salário mensal desse gerente em reais, é:
a) R$ 4400,00.
b) R$ 1976,00.
c) R$ 3804,00.
d) R$ 2640,00.
e) R$ 2800,00.
5. Um funcionário aprovado no concurso do Banco de Brasília, quando foi nomeado ,gastou 1/3 
do seu primeiro salário e depois gastou 1/4 do restante ficando com R$ 1200,00 apenas. Esse 
salário é de
a) R$ 4800,00.
b) R$ 4200,00.
c) R$ 3600,00.
d) R$ 2400,00.
e) R$ 2000,00.
6. Um cliente do BRB gasta 1/4 do dinheiro que tem numa aplicação e, em seguida, 2/3 do que lhe 
resta, ficando com R$ 350,00. Quanto tinha inicialmente?
a) R$ 400,00.
b) R$ 700,00.
c) R$ 1400,00.
d) R$ 2100,00.
e) R$ 2800,00.
144
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
65
7. A idade do professor Edgar daqui a 12 anos sera o dobro da idade que ele tinha há 18 anos. 
Sendo assim a idade atual do Edgar é de:
a) 30 anos.
b) 36 anos.
c) 40 anos.
d) 48 anos.
e) 50 anos.
Gabarito: 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. D
145
146
MÓDULO 6
67
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A equação de 2º grau é a equação na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e x 
é a variável (incógnita). O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. 
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma 
equação do 2º grau na incógnita x), chamamos a, b e c de coeficientes.
 • “a” é sempre o coeficiente de x²;
 • “b” é sempre o coeficiente de x,
 • “c” é o coeficiente ou termo independente. 
Assim:
 • x² – 5x + 6 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = – 5 e c = 6.
 • 6x² – x – 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = – 1 e c = – 1.
 • 7x² – x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = – 1 e c = 0.
 • x² – 36 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = – 36.
Complete o quadro conforme os exemplos:
Equação
Coeficientes
a b c
6x2 – 3x + 1=0
 
−3x2 − 5
2
+ 4x = 0
2x2 – 8 = 0
6x2 – 3x = 0
147
68
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DE 2º GRAU
ax2 + bx + c = 0
Como solucionar uma equação do 2º grau?
Para solucionar equações do 2º grau, utilizaremos a fórmula de Bháskara.
=
− ± −x b b ac
a
4
2
2
Onde a, b e c são os coeficientes (números) encontrados na equação.
Exemplo:
Resolução a equação: 7x2 + 13x – 2 = 0
Temosa = 7, b = 13 e c = – 2.
Substituindo na fórmula, temos:
Vale ressaltar que, de acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
 • 1º Caso: O discriminante é positivo , ∆ > 0, então a equação tem duas raízes reais diferentes.
 • 2º Caso: O discriminante é nulo , ∆ = 0, então a equação tem duas raízes reais e iguais.
 • 3º Caso: O discriminante é negativo, ∆ < 0 ,então não há raízes reais.
148
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
69
Atenção!
 • Raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x que tornam verdadeira a 
equação.
Exemplos:
I – As raízes de x² – 6x + 8 = 0 são x1 = 2 e x2 = 4 pois (2)² – 6(2) +8 = 0 e (4)² – 6(4) + 8 = 0
II – As raízes de x² + 6x + 9 = 0 são x1 = x2 = – 3 pois (– 3)² +6 (– 3) + 9 =0
Faça você
1. Determine as raízes das equações:
  a) x² – 2x – 15 = 0 b) – x² + 10x – 25 = 0
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DE 2º GRAU
Na resolução das incompletas não é necessário resolver por Bháskara, basta usar os métodos 
específicos que variam de acordo com o tipo de incompleta: incompleta sem o termo com “x” 
ou a incompleta sem o termo independente.
Faça você
2. Encontre as raízes das equações abaixo:
a) x² – 4x = 0 b) – 3x² +9x = 0 c) x² – 36 = 0 d) 3x² = 27
149
70
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:
Soma = x1 + x2 = – b
 
____
 a
Produto = x1 . x2 = c
 
___
 a
Faça você
3. Determine a soma e o produto das raízes das equações:
a) x² – 7x – 9 = 0 b) – 4x² + 6x = 0 c) 3x² – 10 = 0
4. O número – 3 é a raíz da equação x2 – 7x – 2c = 0. Nessas condições, o valor do coeficiente c é:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
5. A maior raiz da equação – 2x² + 3x + 5 = 0 vale:
a) – 1
b) 1
c) 2
d) 2,5
e) ( )+3 19
4
150
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
71
6. O produto das raízes reais da equação 4x² – 14x + 6 = 0 é igual 
a) – 3/2
b) – 1/2
c) 1/2
d) 3/2
e) 5/2
 
Gabarito: 4. E 5. D 6. D
151
152
MÓDULO 7
73
FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas 
colocado em prática em outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
 • Características, tipos e elementos de uma função.
 • Tipos de funções.
Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia a dia, por 
exemplo:
Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que 
nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas 
representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada 
em uma função na forma algébrica.
Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o 
desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.
É uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. 
Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por apenas um e único 
elemento y, também denotado por ƒ(x). 
153
74
Exemplo: Assinale abaixo se o gráfico representa ou não uma função.
Vale ressaltar que todo valor de “x” que pode ser escolhido e utilizado na função compõe o que 
chamamos de DOMÍNIO e todo “y” obtido como resposta é a famosa IMAGEM da função.
Resumindo: Domínio são os valores de “x” que podemos usar e Imagem são os valores de “Y” 
que obtemos como resposta.
154
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75
FUNÇÕES DE 1º GRAU
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada 
por uma lei da forma:
onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.
f (x) = ax + b
Seu gráfico é sempre uma reta. 
a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade.
b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.
Atenção!
O coeficiente linear b é o ponto de intersecção do eixo y. 
O coeficiente angular a não é o ponto de intersecção do eixo x.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = – 3
f(x) = – 2x – 7, onde a = – 2 e b = – 7
f(x) = – x, onde a = – 1 e b = 0
Exemplo:
Sendo f(x) = – 4x + 10, determine:
a) f(3)
b) f(0)
c) f(x) = 2
d) f(x) = 0
155
76
COEFICIENTE ANGULAR
 a > 0 a < 0
 Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE
COEFICIENTE LINEAR
           b > 0         b < 0          b = 0
1. Assinale as leis de formação das funções abaixo:
a) f(x) = – 3/2 x 
b) f(x) = – 3/2 x +2
c) f(x) = – 3x +2
d) f(x) = – 2x + 3 
e) f(x) = – 2/3x 
a) f(x) = – 3x + 2
b) f(x) = 2x – 3
c) f(x) = 2x – 1
d) f(x) = x – 2
e) f(x) = 2x – 2
156
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
77
2. Uma função polinomial f do 1º grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é:
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.
3. Considere a tabela a seguir, que apresenta dados sobre as funções g, h, k, m, f.
t g(t) h(t) k(t) m(t) f(t)
1 23 10 2,2 – 1 4,0
2 24 20 2,5 1 4,5
3 26 29 2,8 – 2 5,5
4 29 37 3,1 – 3 7,5
5 33 44 3,4 – 3 7,5
6 38 50 3,7 3 8,5
A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta é
a) g.
b) h.
c) k.
d) m.
e) f.
4. A tabela a seguir, obtida a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o cresci- 
mento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
NÚMERO DE ESPÉCIES 
AMEAÇADAS DE EXTINÇÃO 239 276 313 350 387 424
Ano 1893 1987 1991 1995 1999 2003
Se mantida, nos anos subsequentes, a tendência linear de crescimento mostrada na tabela, o 
número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
a) 461.
b) 498.
c) 535.
d) 572.
e) n.d.a.
157
78
5. Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de 
automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por 
uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista 
pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, 
paga 3 dólares por hora extra. 
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se 
utilizam x horas extras nesse período é:
a) f(x) = 3x.
b) f(x) = 24.
c) f(x) = 27.
d) f(x) = 3x + 24.
e) f(x) = 24x + 3.
6. O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de 
R$ 50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de 
um caminhão do tipo A, com 2 anos de uso, em reais, é de
a) 40.000,00.
b) 50.000,00.
c) 60.000,00.
d) 70.000,00.
e) 80.000,00.
Gabarito: 2. E 3. C 4. B 5. D 6. D
158
MÓDULO 8
79
FUNÇÃO DE 2º GRAU
DEFINIÇÃO
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
f(x) = ax2 + bx + c
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.
Exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 3x² – 4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c = 1
f(x) = x² – 1, onde a = 1, b = 0 e c = – 1
f(x) = – x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = – 4x², onde a = – 4, b = 0 e c = 0
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
→ Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
  concavidade voltada para cima          concavidade voltada para baixo
159
80
→ Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. 
Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do 
eixo y onde a parábola o corta.
→ A análise do coeficiente “b” pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que 
passa pelo “c” e pelo vértice. Assim:
Nos exemplos acima, se a reta “imaginária” for crescente, b > 0, caso contrário, b < 0, e no caso 
em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relaçãoao eixo Y.
Atenção!
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o 
radicando ∆ , chamado discriminante:
Se ∆ > 0, há duas raízes Se ∆ = 0, há duas raízes Se ∆ < 0, não há raiz real.
reais e distintas; reais e iguais;
160
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
81
Exemplo:
1. Complete as lacunas:
 
 
161
82
2. Determine o valor de K para que a função f(x) = x² – kx + 9 tenha raízes reais e iguais.
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os 
números reais x tais que f(x) = 0.
Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara:
x = −b± b
2 − 4ac
2a
, sendo Δ = b2 − 4ac
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:
Soma = X1 + X2 = −
b
a
Produto = X1 . X2 = 
c
a
VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor 
máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão 
definidos. Observe:
162
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
83
Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0):
V(XV,YV)
XV = −
b
2a 
YV = −
Δ
4a
Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.
3. Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² – 8x + 5.
4. Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c∈! , pode-se afirmar que:
a) a> 0,	
  Δ < 0 
b) a> 0,	
  Δ = 0 
c) a> 0,	
  Δ > 0 
d) a< 0,	
  Δ > 0 
e) a< 0,	
  Δ = 0 
5. A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:
a) f(x) = –2x2 – 2x + 4
b) f(x) = x2 + 2x – 4
c) f(x) = x2 + x – 2
d) f(x) = 2x2 + 2x – 4
e) f(x) = 2x2 + 2x – 2
163
84
6. A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A≠ 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que:
a) A > 0, B2 < 4AC, C > 0
b) A > 0, B2 = 4AC, C > 0
c) A > 0, B2 > 4AC, C > 0
d) A < 0, B2 < 4AC, C < 0
e) A > 0, B2 < 4AC, C < 0
7. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação 
y = – 40x2 + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o 
lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corres-
ponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s.
b) 250 m, 0s.
c) 250 m, 5s.
d) 250 m, 200s.
e) 10.000 m, 5s.
8. Na parábola y = 2x² – (m – 3) x + 5, o vértice tem abscissa 1. 
A ordenada do vértice é:
a) 3.
b) 4. 
c) 5. 
d) 6.
e) 7.
Gabarito: 2. - 6 ou + 6 3. V (2, - 3) 4. A 5. D 6. C 7. C 8. A
164
MÓDULO 9
85
FUNÇÃO EXPONENCIAL
DEFINIÇÃO
Chamamos de função exponencial qualquer função de ℜ em ℜ , definida por: 
f(x) = ax
onde a ∈ℜ+
* e a ≠ 1 
Exemplos:
I) f(x) = 4x II) f(x) = 3
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 III) f(x) = 2x – 1 IV) f(x) = 5 – x
GRÁFICOS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE
165
86
Exemplo:
1. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 10x b) f(x) = 
1
π
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 c) f(x) = 
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− x
 
d) f(x) = 10 – x e) y = 3x – 2 f) y = – 2.3x
 
2. Em uma cultura, o número de bactérias é dado por f(t) = 1000 . 30,5t, onde t é o tempo em horas. 
Quando o número de bactérias for 9000, o valor de t será:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 1000 . 34500.
e) 30004500.
3. Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante 
relativo ao capital aplicado é dado por M(t) = C . 20,04t, onde C > 0. O menor tempo possível para 
quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é: 
a) 5 meses. 
b) 2 anos e 6 meses. 
c) 4 anos e 2 meses.
d) 6 anos e 4 meses. 
e) 8 anos e 5 meses. 
166
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
87
4. A função representada no gráfico é definida por f(x) = a . bx. Então:
a) a < 0 e b > 1.
b) a < 0 e 0 < b < 1.
c) a < 0 e b = 1.
d) a > 0 e b > 1.
e) a > 0 e 0 < b < 1.
5. A função representada no gráfico é definida por f(x) = a x bx. Então,
a) a < 0 e b > 1.
b) a < 0 e 0 < b < 1.
c) a < 0 e b = 1.
d) a > 0 e b > 1.
e) a > 0 e 0 < b < 1.
Gabarito: 2. C 3. C 4. A 5. A
167
168
MÓDULO 10
89
LOGARITMOS
DEFINIÇÃO
Na Matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser 
elevado para produzir este número.Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 
ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais 
a e b, onde b > 0 e b ≠ 1, temos: 
logb a= c⇒b
c = a
a é o logaritmando
b é a base 
c é o logaritmo
Exemplos:
a) log3 9 = 2        b) log2 0,25 = – 2        c) log2 8 = 3
CASOS ESPECIAIS
Exemplos
a) log3 1 = 0        b) log2 2 = 1        c) log2 1 = 0
169
90
PROPRIEDADES
Propriedade do Produto
Exemplo:
a) log3 12 + log3 5 = log3 12.5 = log3 60
Propriedade do Quociente
Exemplo:
a) log3 72 – log3 12 = log3 72/12 = log3 6
Propriedade da Potência
 
Exemplo:
a) log3 72 = 2. log3 7 
Propriedade da Mudança de Base
170
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
91
Exemplo:
a) log3 7 = log10 7 / log10 3
Faça você
1. Considere as afirmações:
I – log 1 = 0
II – log 0,01 = – 2
III – log (a + b) = log a + log b
Associe a cada uma delas a letra V se for verdadeira e F caso seja falsa. Na ordem apresentada, 
temos:
a) V, F, V.
b) V, V, F.
c) F, V, V.
d) V, V, V.
e) V, F, F.
2. Se, x = log 2 128 então x – 3 é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
3. Se log8 x − log8 y =
1
3
, então a relação entre x e y é:
a) x = 3y
b) 2x – y = 0
c) x
y
= 1
3
d) y = 8x
e) x = 2y
4. A base do sistema de logaritmos no qual o logarítmo de 8 vale 3 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) – 1
e) – 2
171
92
5. Calcule log9 27.
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 3/2.
e) 1/2.
Gabarito: 1. B 2. D 3. E 4. C 5. D
172
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
93
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 e também x > 0 é 
denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo 
conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Ao construir o gráfico de uma função Logarítmica, temos:
  FUNÇÃO CRESCENTE      FUNÇÃO DECRESCENTE
 
173
94
Exemplo:
6. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = log2x b) f(x) = log1/3x c) f(x) = log10x
 
d) f(x) = logπx e) f(x) = log0,7x f) f(x) = log7/3x
 
Determinando o Domínio da Função Logarítmica 
Devemos sempre garantir a condição de existência dos logaritmos e assim definir o domínio da 
função logarítmica.
Exemplo: 
 Determine o domínio da função f(x) = log(x – 2) (4 – x) :
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1 + 2 → x ≠ 3
174
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
95
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 
 • < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x E R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}
Faça você
7. O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é:
a) 10.
b) 2.
c) 1.
d) 1
2
.
e) – 2.
8. Considere as seguintes funções reais e os seguintes gráficos:
Fazendo a correspondência entre as funções e os gráficos, assinale, dentre as alternativas a 
seguir, a sequência CORRETA:
175
96
a) I-A, II-B, III-C, IV-D.
b) I-A, II-D, III-C, IV-B.
c) I-B, II-D, III-A, IV-C.
d) I-C, II-B, III-A, IV-D.
e) I-B, II-C, III-D, IV-A.
Gabarito: 7. D 8. C
176
MÓDULO 11
97
SÉRIES NUMÉRICAS
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
Uma série numérica é uma sequência de números que respeita uma “regra”, uma lei de 
formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia.
Exemplos:
2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ?
2, 4, 6, 8, 10, ?
2, 4, 8, 16, 32, ?
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Definição
Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequêncianumérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r 
é chamado de razão da progressão aritmética.
Alguns exemplos de progressões aritméticas:
 • 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números 
consecutivos) é igual a 3.
 • – 2, – 4, – 6, – 8, – 10, ..., é uma P.A. em que r = – 2.
 • 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.
Exemplo resolvido: 
(5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...)
r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4
e, assim por diante.
177
98
DICA:
Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer 
pelo seu antecessor.
Termo Geral ou Enésimo Termo ou Último Termo
Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo, o último termo ou o 
termo genérico dessa sequência.
an = a1 + (n-1)r ou an = ap + (n-p)r
ATENÇÃO!
a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r 
Exemplo Resolvido:
Sabendo que o 1º termo de uma P.A é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 
18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) . 5
a18 = 2 + 17 . 5
a18 = 2 + 85  logo  a18 = 87
O 18º termo da P.A em questão é igual a 87.
Faça você
1. Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine:
  a) razão b) décimo termo c) a14 
178
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
99
2. A razão de uma P.A de 10 termos, em que o primeiro termo é 42 e o último é – 12 vale:
a) – 5.
b) – 9.
c) – 6.
d) – 7.
e) 0.
3. Calcule a razão da P.A. em que o terceiro termo vale 16 e o décimo primeiro termo vale 40. 
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Termo Geral ou Médio
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética 
do termo antecessor e do sucessor, isto é, 
an =
an−1 +an+1
2
Exemplo:
Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que 6 = (4+8)
2
 ou 4= (2+6)
2
, etc.
DICA: 
Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos 
seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central.
Além disso, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Faça você
4. Determine a razão da P.A. (x + 2, 2x, 13).
a) 1.
b) 2. 
c) 3.
d) 4.
e) 5.
179
100
5. As idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em ordem 
crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova.
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Soma dos “N” Termos
Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:
Sn = (a1 +an)
n
2
Dica:
Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos, 
multiplicada pelo número de casais n
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
Exemplo Resolvido:
Na sequência numérica (– 1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
1) Cálculo da razão da P.A
r = 3 – (–1) = 3 + 1 = 4 ou r = 7 – 3 = 4 ou r = 11 – 7 = 4
2) Determinando o 20º termo da P.A
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
3) Calculando a soma dos termos 
S20 =
(−1+75)*20
2
S20 =
75*20
2
180
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
101
S20 =
1480
2
s20 = 740
A soma dos 20 primeiros termos da PA ( – 1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Observe que a soma do 1º termo com o último (20º) é 74, que multiplicada pelo número de 
casais formados com 20 pessoas (10 casais), totalizará 740.
Faça você
6. A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último 
termo dessa progressão.
a) 16.
b) 18.
c) 20.
d) 22.
e) 24.
7. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares 
fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. 
Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na 
primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por 
diante. O total de cadeiras foi:
a) 384.
b) 192.
c) 168.
d) 92.
e) 80.
Gabarito: 1. B 2. D 3. E 4. C 5. D 6. D 7. B
181
102
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O 
número q é chamado de razão da progressão geométrica.
Alguns exemplos de progressões geométricas:
• 1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma progressão geométrica em que a razão é igual a 2.
• – 1, – 3, – 9, – 27, – 81, ..., é uma P.G. em que q = 3.
• 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1.
• (3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G. crescente de razão q = 3
• (90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G. decrescente de razão q = 1
3
Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)
 q=
a2
a1
= 2
1
= 2 ou q=
a3
a2
= 4
2
= 2 ou q=
a4
a3
= 8
4
= 2 e assim por diante.
DICA:
Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer 
pelo seu antecessor.
Termo Geral ou Enésimo Termo ou Último Termo
Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o último termo ou o termo 
genérico dessa sequência.
an = a1.q
n-1 ou an = ap.q
n-p
ATENÇÃO!
a20 = a1q
19 ou a20 = a7.q
13 ou a20=a14q
6 ou a20 = a18q
2
182
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
103
Exemplo Resolvido
Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine 
o 8º termo dessa PG.
a8 = 4 .37
a8 = 4 . 2187
a8 = 8748 Logo, o 8º termo da PG descrita é o número 8748.
Faça você
8. Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine:
  a) razão b) oitavo termo c) a10 
9. Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Termo Geral ou Médio
Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica 
do termo antecessor e do sucessor, isto é an = an−1.an+1
Exemplo Resolvido:
Na P.G (2, 4, 8, 16,...) veremos que 4 = 2.8 ou 8 = 4.16 , etc.
DICA:
Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média 
geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do 
termo central.
183
104
Faça você
10. Na P.G. cujos três primeiros termos são x – 10, x e 3x, o valor positivo de x é: 
a) 15. 
b) 10.
c) 5.
d) 20. 
e) 45.
Soma dos Finitos Termos
Caso deseje-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:
Sn =
a1(q
n −1)
q−1
Faça você
11. Calcule a soma dos oito primeiros termos da progressão (3, 6, 12, 24, ...)
a) 725.
b) 735.
c) 745.
d) 755.
e) 765.
Soma Dos Infinitos Termos
Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:
S∞ =
a1
1−q
184
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
105
DICA:
Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade 
infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.
Faça você 
12. A soma dos seis primeiros termos da PG 1
3
,
1
6
,
1
12
,...
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 é:
a) 12
33
b) 15
32
c) 21
33
d) 21
32
e) 2
3
13. O valor de x na igualdade x+ (x)
3
+ (x)
9
+ ...=12 , é igual a: 
a) 8. 
b) 9.
c) 10. 
d) 11.
e) n.d.a.
Gabarito:  2. C 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B 9. B 10. A 11. E 12. D 13. A
185
186
MÓDULO 12
107
MATRIZES
DEFINIÇÃO
Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros.
M= 4 9
8 6
10
5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ → M é uma matriz 2 x 3.
Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde “i” refere-se à linha e “j” refere-se à coluna na 
qual o elemento se encaixa. Na matriz acima, temos:
a11 = 4 a21 = 8
a12 = 9 a22 = 6
a13 = 10 a23 = 5
ELEMENTOS 
187
108
Exemplo:
1. Determine a matriz A = (aij) 2 x 2 em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.
2. Multiplique os elementos da diagonal principal da matriz M quadrada de ordem 3 x 3 onde: 
aij =
i+ j, se
0, se
i≠ j
i= j
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
TIPOS DE MATRIZES
Matriz IdentidadeMatriz Nula
Matriz Oposta
Matriz Transposta
Matriz Simétrica (M = M??)
188
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
109
3. Determine as matrizes oposta e transposta das matrizes abaixo:
a) 1 2
3 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
−4 2
3 1
5
7
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ c) 
−4 2 1⎡⎣
⎤
⎦
4. Calcule x e y para que a matriz 
1 2 3
x 4 −1
y −1 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 seja simétrica.
5. Seja A a matriz A = (aij)2x3 cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:
aij =
3i+ j, se
2i−3j, se
i≠ j
i= j
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
a) A =
−1
6
2
−5
7
9
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
b) A =
−1
−5
6
7
2
9
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c) A = −1 7
6 2
5
9
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
d) A = −1 5
7 −2
6
9
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
e) A = −1 7
−6 −2
−5
9
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
189
110
6. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2 e bij = – i2 + j2, o valor 
de A – B é:
a) 0 0
0 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
b) 0 −6
6 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) 0 −6
0 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
d) 0 6
−6 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
e) 6 0
0 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes 
forem iguais. 
Exemplo: 
Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.
A = 3 1+ x
2− y 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
      
B= 2 4
1 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 
Solução:
1+ x = 4
2− y =1
→ x = 3
y =1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Adição e subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida 
adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. O mesmo ocorre para a subtração.
190
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
111
Exemplo: 
Dadas as matrizes A e B determine A + B.
A = −10 1
2 3
4 6
2 8
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
   
B= 1 8
0 6
4 −1
3 −3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A+B= −10+1 1+8
2+0 3+6
4+ 4 6−1
2+3 8−3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A+B= −9 9
2 9
8 5
5 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Exemplo:
7. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A = −3 5
6 4
2
8
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e B= −8 −9
45 6
12
−3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
8. Dadas as matrizes A =
1 2 3
−4 5 6
4 6 8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, B=
−7 −8 9
12 6 5
8 7 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e C =
2 3 −4
6 7 1
2 8 7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, determine a 
matriz D resultante da operação A + B – C.
191
112
Multiplicação com Matrizes
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar 
(numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.
Observe como exemplo a determinação da matriz.
A =
2
3
1
1
0
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 ⇒ 3.A = 3
2
3
1
1
0
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
3.2
3.3
3.1
3.1
3.0
3.4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
6
9
3
3
0
12
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A 
pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-
se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da 
coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. 
ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de 
colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
 
→ Exemplo: Sejam
192
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
113
Verifique que A (B +C) = AB + AC.
Exemplo:
9. Calcule o produto de A = 1 2
3 1
3
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ por B=
−1
2
0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
10. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3.
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
11. Sobre as sentenças abaixo:
I. O produto das matrizes A 3x2 .B 2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A 5x4 .B 5x2 é uma matriz 4 x 2
III. O produto das matrizes A 2x3 .B 3x2 é uma matriz quadrada 2 x 2.
É verdade que:
a) Somente I é falsa.
b) Somente II é falsa.
c) Somente III é falsa.
d) Somente I e III são falsas.
e) São todas falsas.
193
114
12. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira é:
2 1
1 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 −1
−1 a
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a) 1. 
b) 2.
c) 0. 
d) – 2. 
e) – 1.
13. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que C = 2 5
3 −7
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+
−1 −7
2 12
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
14. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i² – j2 e bij = - i² + j², o valor 
de A - B é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Gabarito: 7. C =
−11 −4 14
51 10 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥  8. D =
−8 −9 16
2 4 10
10 5 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥  9. =
3
−1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥  10. C 11. B 12. B 13. C
t 1 5
−2 5
⎡
⎣
⎤
⎦  14. B
194
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
115
MATRIZ INVERSA
→ Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra matriz denotada A-1, tal que A. 
A-1 = I onde I, é a matriz identidade.
Exemplo Resolvido: 
Se queremos descobrir a matriz inversa da matriz A representada abaixo recorremos a uma 
matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes. Assim:
A = 2 1
4 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e A
−1 = a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Associamos símbolos à inversa da nossa matriz original – nosso objetivo é determinar os valores 
de a ,b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa.
2 1
4 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ . a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Resolvendo essa multiplicação chegamos a um sistema de equações.
2a+ c =1
2b+d= 0
4a+3c = 0
4b+3d=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
 → A−1 =
3
2
−1
2
−2 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
No caso dessa matriz ser invertível o sistema será impossível.
MÉTODO PRÁTICO
É necessário calcular o determinante da matriz (caso o determinante de igual a zero, não existe 
matriz inversa para ela). 
Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos 
elementos da diagonal secundária.
A−1 = a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
1
det(A)
d −b
−c a
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
1
ad−bc
d −b
−c a
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
MÉTODO PP-SS: Inverte a PRINCIPAL e muda o sinal da SECUNDÁRIA
195
116
Exemplo: 
15. Determine a inversa da matriz A = 1 2
0 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
16. Determine o valor de x que garante que a matriz −2 x
−3 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é invertível.
17. Caso exista, encontre a inversa da matriz B= 2 1
1 3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
18. Sejam as matrizes,
A = 1 2
2 6
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e M=
x −1
−1 y
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 
3
2
b) 2
3
c) 1
2
d) 3
4
e) 
1
4
196
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
117
19. Multiplicando-se a matriz A =
1 −1
−1 3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
pela matriz B= 3 2
2 x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , obtém-se a matriz 
I= 1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ . Então o valor de x é:
a) – 1 
b) 0 
c) 1
d) 2 
e) 3
Gabarito: 15. 
1 −
2
3
0
1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 16. x ≠ 4
3
 17.B−1 =
3
5
−1
5
−1
5
2
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
  18. A 19. D
197
198
MÓDULO 13
119
DETERMINANTES
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, 
é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
 • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
 • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as 
coordenadas dos seus vértices;
DETERMINANTE DE 1ª ORDEM
O determinante da matriz A de ordem 1 é o próprio número que origina a matriz. 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real a11 
A = [a11] ⇒ det A = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que 
não têm o significado de módulo.
Exemplo:
• M= [5] → det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [ – 3] → det M= – 3 ou I – 3 I = – 3
DETERMINANTE DE 2ª ORDEM 
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da 
diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, 
respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
 
199
120
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto 
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o 
exemplo a seguir.
Sendo M= 2 3
4 5
, temos:
DETERMINANTE DE 3ª ORDEM 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, 
denominado regra de Sarrus.
Exemplo:
20. Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
a) 1 2
3 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
−2 1
0 −3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ c) 
1 2 3
3 2 1
1 2 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
200
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
121
21. Calcule 
1 0 5
2 3 4
1 −1 −2
22. Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
A =
1 2 1
4 9 4
6 x x−7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Propriedades dos Determinantes
 • Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa 
matriz é nulo.
Exemplos:
 • Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
201
122
 • Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos 
correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
 • O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplos:
 • Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplo:
 • Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante 
passa a ser multiplicado por kn.
Exemplo:
Sendo K = 3, A = 2 1
4 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e K. A = 6 3
12 15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , temos:
det(K.A)
54
!"# $# =K
n
32
!.detA
6
!
202
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
123
 • Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda 
de sinal.
Exemplos:
 • Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos 
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
 • Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que det (A.B) = detA.detB.
Exemplo:
Se A = 2 1
3 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e B=
1 0
2 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Assim det (AB) = detA . det B = 5 . 2 = 10
Repare que se tivessemos feito a multiplicação matricial A.B = 4 2
11 8
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , teríamos 
Det(AB) = 32 – 22 = 10. 
 • Para calcular o determinante da inversa , temos detA−1 = 1
detA
.
Se A = 1 2
3 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ logo detA
−1 = 1
detA
= 1
4−6
= −1
2
CUIDADO!!!!
203
124
23. Calcule os determinantes abaixo usando as propriedades estudadas.
a) 
2 3 5
1 5 8
4 6 10
 b) 
1 3 2
1 2 1
5 12 7
 c) 
1 0 0
5 2 0
2 1 3
 d) 
1 2 3
3 1 −1
5 5 5
24. Se A =
−1 2 −2
2 3 1
5 0 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
calcular o det AT ,det A-1 e det 2A.
25. Se A =
k 1 5
a y 0
2 4 −1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e det A =10, então det 
1 k 5
y a 0
8 4 −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
vale.
204
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
125
26. Considerando as matrizes:
 A =
a b c
d e f
g h i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 , B=
a d g
b e h
c f i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 , C =
2a 2b 2c
2d 2e 2f
2g 2h 2i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 e D=
−a b c
−g h i
−d e f
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, se 
det(A) = k ≠ 0, então det(B) + det(C) + det(D) é:
a) 10k.
b) 2k.
c) 4k.
d) 8k.
e) 11k.
27. Se o determinante da matriz 
p 2 2
p 4 4
p 4 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
é igual a – 18, então o determinante da matriz 
p −1 2
p −2 4
p −2 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 é igual a:
a) – 9.
b) – 6.
c) 3.
d) 6.
e) 9.
28. Considere a matriz quadrada A=(aij)3x3|aij=mmc(i,j). O determinante dessa matriz vale:
a) 0.
b) 1.
c) 6.
d) 12.
e) 18.
Gabarito: 20. 24 21. - 27 22. + 13 23. a = 0 / b = 0 / c = 6 / d = - 65 24. detAt = 26 25. - 20 26. A 27. E 28. D
205
206
MÓDULO 14
127
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
Método da Adição
Definição: Consiste em somar as equações, que podem ser previamente multiplicadas por uma 
constante, com o objetivo de eliminar uma das variáveis apresentadas.
Atividades: Esse método consiste em multiplicar as equações de maneira que se criem valores 
“opostos” da mesma variável que será eliminada quando somarmos as equações.
Vale ressaltar que nem sempre é necessária tal multiplicação.
 x + 2y = 16
Exemplo: �
 3x – y = 13
Assim, multiplicaremos a segunda equação por 2, logo: x+2y =16
6x−2y = 26
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 assim criamos os 
valores opostos 2y e – 2y.
Agora somaremos as 2 equações, logo: 
x+2y =16
6x−2y = 26
7x+0y = 42
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Logo x = 42
7
 → x = 6 e, para achar o valor de y, basta trocar o valor de x obtido em qualquer uma 
das equações dadas:
Assim se x + 2 y = 16, então 6 + 2y = 16 → 2y = 10 e portanto y = 10/2 → y = 5
207
128
1. Resolva usando o método da adição:
 3x + y = 9
a) �
 2x + 3y = 13
 3x – 2y = 7
b) �
 x + y = – 1
Método da Substituição
Definição: Esse método consiste em isolar uma das variáveis numa equação e substituí-la na 
outra.
Vale ressaltar que preferencialmente se deve isolar a variável que possuir “coeficiente” 1; assim 
evitamos um trabalho com o M.M.C.
 x + 2y = 16
Exemplo: �
 3x – y = 13
Assim, isolando o “x” na primeira equação, temos: x = 16 – 2y e substituindo-o na segunda 
equação: 3(16 – 2y) – y = 13 → 48 – 6y – y = 13 → – 7y = 13 – 48 → – 7y = – 35 logo x = − 35
7
 = 5
Daí basta trocar o valor de x obtido na equação isolada:
Se x = 16 – 2y, logo x = 16 – 2 x 5 → x = 16 – 10 → x = 6
208
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO | PROFESSOR DUDAN
129
 2. Resolva usando o método da substituição.
 3x + y = 9
a) �
 2x + 3y = 13
 3x – 2y = 7
b) �
 x + y = – 1
CASO ESPECIAL
Sempre que nos depararmos com um sistema de duas equações no qual uma delas seja uma 
“proporção”, podemos resolve-la de maneira eficaz e segura aplicando os conceitos de Divisão 
Proporcional. 
3. O razão entre contas de Pessoa Física e Pessoa Jurídica numa agência do BRB é de 7/4. Sabe-se 
que há 90 contas “Pessoa Física” a mais do que “Jurídica”, logo o número de contas de Pessoa 
Física é de:
a) 120
b) 150
c) 180
d) 210
e) 240
4. Na garagem de uma agência do BRB, há carros e motos, num total de 13 veículos e 34 pneus. O 
número de motos nesse estacionamento é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
209
130
5. Um cliente do BRB ganha 5 pontos no plano de Fidelidade por cada conta paga em dia e perde 
3 pontos por cada conta atrasada. Com um total de 50 contas, ele tinha 10 pontos. Quantas 
contas ele deixou passarem do vencimento?
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
6. Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um funcionário do BRB percorre 550 km por mês. 
Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando 
que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a 
motocicleta, calcule quantos quilômetros o funcionário deve andar em cada um dos veículos, 
para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
a) 300 km de carro e 250 km de motocicleta.
b) 350 km de carro e 200 km de motocicleta.
c) 330 km de carro e 220 km de motocicleta.
d) 250 km de carro e 300 km de motocicleta.
e) 225 km de carro e 325 km de motocicleta.
7. Certo dia os professores Edgar e Zambeli estavam discutindo a relação e decidiram fazer uma 
lista dos pagamentos das contas da casa onde moravam.
O professor Zambeli argumentava que havia pago exatamente R$ 1.000,00 em contas de 
internet e gás.
As contas de gás todas tiveram o mesmo valor entre si, assim como as da internet.
Sabendo que o total de contas pagas de internet ou de gás foi de40 e que o valor mensal destas 
contas era de R$ 30,00 e R$ 20,00, respectivamente, podemos afirmar que o valor total das 
contas de gás pagas pelo professor Zambeli foi de:
a) R$ 200,00.
b) R$ 300,00.
c) R$ 400,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 600,00.
Gabarito: 1. * 2. * 3. D 4. E 5. D 6. E 7. C
210
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
211
212
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3
1. INTRODUÇÃO
O primeiro pilar das finanças é o valor do dinheiro no tempo. As decisões financeiras envolvem 
custos e benefícios que estão espalhados sobre o tempo. Tomadores de decisão financeira, na 
família e nas empresas, têm todos que avaliarem se investir o dinheiro hoje é justificado pelos 
benefícios esperados no futuro
Eles devem, então, comparar os valores das somas de dinheiro em diferentes datas. Para fazer 
isto é requerido um entendimento dos conceitos de valor do dinheiro no tempo e das técnicas 
de fluxo de caixa.
O valor do dinheiro no tempo (VDT) se refere ao fato que dinheiro na mão hoje vale mais do que 
a esperança dessa mesma quantia ser recebida no futuro. Existem no mínimo três razões do 
porquê isto é verdadeiro. Primeiro, dinheiro na mão hoje pode ser investido, rendendo juros, de 
modo que você terminará com mais dinheiro no futuro. Em segundo lugar, o poder de compra 
do dinheiro pode mudar no tempo devido a inflação. Finalmente, a receita de dinheiro esperada 
no futuro é, em geral, incerta.
O que precisa entender é que a matemática financeira é uma previsão do que acontecerá 
com o dinheiro num futuro determinado com uma certo grau de certeza, certo grau porque 
tudo depende das variações das taxas de juros ou descontos no mesmo período e é isto que 
determina a variação do dinheiro no tempo.
O objetivo então é o estudo destas referidas taxas e o seu comportamento durante o tempo, 
através de modelos matemáticos.
1.1. MATEMÁTICA FINANCEIRA x ANÁLISE CONTÁBIL
213
4
1.2. Linha do Tempo
A linha de tempo pode ser uma ferramenta muito valiosa na análise VDT, ajuda a visualizar o 
que está acontecendo dentro de um problema específico. Esta representação é dada de forma 
analítica ou gráfica.
EXEMPLO:
Imagine investir, no instante inicial zero, R$ 5.000,00; no instante 1 e 2 receber, respectivamente, 
R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00; no instante 3 investir R$ 1.000,00 e, no instante 4, receber R$ 
9.000,00. 
Fluxo de Caixa analítico representativo das constituições monetárias poderia ser assim: 
Ou se convencionássemos que as entradas de dinheiro são positivas e as saídas negativas, 
poderíamos representar analiticamente o mesmo Fluxo de Caixa da seguinte maneira: 
Ou Fluxo de Caixa em diagrama
214
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
5
1.3. Relações mais importantes do Dinheiro x Tempo.
INFLAÇÃO (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o 
investimento produza retorno maior que o capital investido. 
UTILIDADE – investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é 
atraente quando o capital recebe remuneração adequada, isto é, havendo preferência temporal 
para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência do consumo. O prêmio 
para que não haja consumo é o juro. 
RISCO – existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas. Isso 
se deve ao fato de o devedor não poder pagar o débito, o tempo de empréstimo (as operações 
de curto prazo são menos arriscadas) e o volume do capital emprestado. Pode-se associar ao 
acréscimo na taxa pelo maior risco, como sendo um seguro que aquele que oferta os fundos 
cobra por assumi-los. 
OPORTUNIDADE – os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se 
aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o 
primeiro ofereça retorno satisfatório. 
2. PORCENTAGEM
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do 
tipo:
 • A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
 • Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
 • O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das 
razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 
chama-se porcentagem.
Exemplos:
1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas 
com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para 
significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por 
cento é o mesmo que 30/100.
2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 
a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40/100 = X/300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação 
cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
215
6
3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45/100 = X/200 
o que implica que 100X=9000, logo X=90. 
Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, 
são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo “%”.
O símbolo “%” é lido como “por cento”. “5%” lê-se “5 por cento”. “25%” lê-se “25 por cento”.
O símbolo “%” significa centésimos, assim “5%” é uma outra forma de se escrever 0,05, ou
 por exemplo.
Veja as seguintes razões:
Podemos representá-las na sua forma decimal por:
0,01; 0,17; 0,41; 0,70
E também na sua forma de porcentagens por:
1%, 17%, 41%, 70%
Como calcular um valor percentual de um número?
Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200?
Multiplique 25 por 200 e divida por 100:
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 
0,25 por 200:
0,25 x 200 = 50
216
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
7
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo 
valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo 
for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
2.1 – CÁLCULO DE PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas 
relacionadas com porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem (dividido por cem). 
Toda razão da forma p/q na qual o denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Em geral, para indicar um índice de a por cento, escrevemos a % e para calcular a % de um 
número b, realizamos o produto:
a % de b é o mesmo que: a%b
a%b é o mesmo que : 
217
8
ACRESCIMO PERCENTUAL
Acrescentar a% de b, em b.
b + a%b
DECRESCIMO PERCENTUAL
Decrescer a% de b, em b.
b – a%b
RESUMO
TABELA DAS PORCENTAGENS COMUNS:
FRAÇÃO PORCENTAGEM % NÚMERO RACIONAL (Q) FATOR:
JUROS (1 + Q)
DESCONTO (1 – Q)
1 100% 1
2
0
8/9 OU 9/10 90% 0,9
1,9
0,1
 7/8 87,5% 0,875
1,875
0,125
 4/5 80% 0,8
1,8
0,2
 3/4 75% 0,75
1,75
0,25
7/10. 70% 0,7
1,7
0,3
 2/3 66,67% 0,6667
1,6667
0,3333
218
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
9
 3/5 60% 0,6
1,6
0,4
 1/2 50% 0,5
1,5
0,5
 2/5 40% 0,4
1,4
0,6
 1/3 33,33% 0,3333
1,3333
0,6667
2/7 OU 3/10 30% 0,3
1,3
0,7
 1/4 25% 0,251,25
0,75
 1/5 20% 0,2
1,2
0,8
 1/8 12,5% 0,125
1,125
0,875
1/10. 10% 0,1
1,1
0,9
1/100. 1% 0,01
1,01
0,99
Exemplos:
1. Um produto custa R$ 250,00 e se pago à vista, possui 12 % de desconto. Qual o preço para 
pagamento à vista?
250 X 12/100 = 3000/100 = 30
250 – 30 = R$220,00
2. O dono de uma loja deu um desconto de 20% sobre o preço de venda (preço original) de um 
de seus produtos e, ainda assim, obteve um lucro de 4% sobre o preço de custo desse produto.
Se vendesse pelo preço original, qual seria o lucro obtido sobre o preço de custo? 
a) 40%
b) 30%
c) 10%
d) 20% 
e) 25% 
1º – 100% – 20% = 80%
2º – 0,8X = 1,04P
X = 1,04P/0,8
X = 1,3P = 130%P = lucro de 30%
219
10
3. JUROS.
3.1. Definição
É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como remuneração do capital empregado 
em atividades produtivas. 
3.2. Observações gerais:
A taxa de juros ou desconto (i) e o tempo ou prazo (n) devem necessariamente estar sempre na 
mesma unidade de tempo;
A taxa (i) deve sem sempre utilizada na forma racional ( Ex.: 2% a.m (ao mês) = 0,02 a.m. (forma 
racional))
O tempo ou prazo (n) será sempre contado em calendário comercial, ou seja, 1 ano = 12 meses, 
1 mês = 30 dias, 1 ano = 360 dias, salvo uma única exceção de juros simples exatos;
Dar preferência para prazos mensais, salvo expresso no texto da questão uma prazo diferente 
estipulado.
4. JUROS SIMPLES:
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor 
principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou 
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.
O exemplo clássico é aquele em que a pessoa abre uma conta de poupança no banco, 
depositando uma quantia em dinheiro. Obviamente que essa quantia é conhecida no dia de 
hoje (claro! O dinheiro está na sua mão!). Mas a pergunta é: quanto irei resgatar daqui a alguns 
meses? Em outras palavras: em quanto se transformará aquele valor (que foi aplicado) numa 
data posterior? Essa operação, de projetar um valor conhecido para uma data futura, é a que 
chamaremos de Juros! 
São cinco os elementos de uma operação de Juros: 
Capital (C): é o valor monetário conhecido no dia de hoje. É o elemento que inicia a operação de 
Juros, também conhecido como Principal (P) e Valor Presente (VP);
Tempo (n): obviamente que o Capital terá que ser aplicado durante um intervalo de tempo 
qualquer, para se transformar em um valor maior. Logo o tempo é sempre elemento de qualquer 
operação de matemática financeira, também conhecido como (t);
Montante (M): é o valor do resgate, é aquela quantia em que se transformará o Capital. O 
elemento que encerra a operação de Juros.
220
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
11
Taxa (i): é um valor percentual, seguido sempre de uma unidade de tempo. Exemplos: 5% ao 
mês; 10% ao bimestre; 15% ao trimestre; 20% ao quadrimestre; 30% ao semestre; 60% ao ano.
Juros (J): são a diferença entre o Montante e o Capital. Falando mais simplesmente: se eu 
depositei hoje na poupança uma quantia de R$1.000, e, daqui a três meses, aquele Capital 
transformou-se em um Montante de R$1.200,00, assim recebemos uns juros de R$ 200,00.
Com isso, possuímos as seguintes equações para juros simples:
J = C . i . n (equação dos juros simples)
M = C . ( 1 + ( i . n ) ) (equação do montante simples)
M = C + J (equação geral do montante)
4.1. Juros Simples – Modalidades
1. Juros Simples Comerciais ou Ordinários. 
São os juros simples onde se usam o calendário comercial, onde segundo a regra, todos os 
meses do ano têm 30 dias, e o ano inteiro, portanto, 360 dias.
2. Juros Exatos.
Juros Exatos consistem na modalidade da exceção. E como tal, terá que ser expresso no 
enunciado que onde será utilizado e é exclusivo dos juros simples.
Outra informação imprescindível: resolvendo uma questão de Juros Exatos, trabalhar sempre 
com a unidade diária, uma vez que taxa e tempo têm que estar na mesma unidade, esta unidade 
será o dia. 
Neste tipo de juros utilizar o calendário convencional, ou seja, contaremos janeiro com 31 dias, 
fevereiro com 28, março com 31, abril com 30, maio com 31, junho com 30, julho com 31, agosto 
com 31, setembro com 30, outubro com 31, novembro com 30 e dezembro com 31 dias, logo 1 
ano de 365 dias. 
EXEMPLO:
O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor 
(assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de
a) 34.
b) 200. )
c) 333. 
d) 400. 
e) 500. 
n = ? C = C. M = 3C i = 0,06% aa (0,06/12 = 0,005 am)
M = C x (1 + i.n)
3C = C x (1 + 0,005n)
3 = 1 + 0,005n, logo n = 400 meses
221
12
5. JUROS COMPOSTOS:
Os juros compostos, possui as mesmas variáveis dos juros simples, J, C, M, i e n, porém o regime 
adotado é o juros sobre juros, assim o período n, não irá multiplicar a taxa, mas sim será uma 
expoente.
Assim as equações são:
M = C . ( 1 + i)n (equação do montante composto)
M = C + J (equação geral do montante)
J = C . ((1 + i)n – 1) (equação dos juros compostos)
n = (Log (M/C)) / (Log (1 + i)) (equação do cálculo do prazo composto) (logaritmo de base 10)
EXEMPLO:
1. O capital C deve ser aplicado por dois períodos de tempo à taxa percentual de juros compostos 
i por período. Para que o montante da aplicação ao final desses dois períodos fique 21% maior 
que o capital C, então a taxa de juros compostos i por período deve ser de 
a) 1% 
b) 5%
c) 9%
d) 10% 
e) 12% 
M = C x (1 + i)n
1,21C = C x (1 + i)2
1,21 = 1 + 2i + i2
i2 + 2i – 0,21 = 0 (resolvendo Bháskara)
i’= 0,1. E. i”= – 2,1 (o que não pode, pois não existe taxa negativa)
222
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
13
M = 1,21C
Assim: i = 0,1 = 10%
C = C
n = 2
i = ?
2. Mauro aplicou um capital de R$ 12.000,00 a juros compostos, a uma taxa de 21% a.a, se essa 
aplicação produziu R$ 58.080,00 de rendimento; nessas condições, o prazo da aplicação foi de 
aproximadamente:
Dados: log11=1,04 e log584=2,77
a) 7,5 anos
b) 8,5 anos
c) 9,7 anos
d) 10,7 anos
e) 11,3 anos 
6. DESCONTO SIMPLES:
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao 
credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo 
antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. 
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. 
6.1. Desconto Simples – Modalidades:
1. Desconto Comercial ou por fora.
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido 
pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada. 
2. Desconto Racional ou por dentro.
Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual 
do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
Equações:
223
14
Desconto Comercial ou por fora Simples:
Desconto Racional ou por dentro Simples:
Onde:
N = Valor Nominal, ou Valor do Título, ou Valor de face, ou Valor do Boleto, ou Valor a pagar sem 
desconto
V = Valor Líquido, Valor pago com desconto
i = taxa de desconto
n = prazo da antecipação do pagamento
D = N – V ( equação geral do desconto)
Obs1: Vcomercial < Vracional
Obs2: Dcomercial > Dracional
Obs3: Ncomercial = Nracional 
EXEMPLO:
Um título cujo valor nominal era de R$ 18.200,00 com vencimento para daqui a 6 meses, foi 
pago na data de hoje à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o título foi 
pago pelo valor de 
a) R$ 14.000,00. 
b) R$ 12.740,00. 
c) R$ 17.333,33.
d) R$ 17.290,00.
e) R$ 15.470,00.
N = V x (1 + i.n)
18200 = V x (1 + 0,05 . 6)
18200 = 1,3V
V = 14.000,00
N = 18200
V = ?
i = 5% am = 0,05 am
n = 6 meses
224
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
15
7. DESCONTO COMPOSTO:
O mesmo do desconto simples, porém o prazo é um expoente.
Nas transações financeiras reais, descontos de títulos com prazos até 1 ano, utiliza-seo desconto 
simples, acima disso o descontos composto.
Também possuem as mesmas modalidades do desconto simples.
7.1. Equações:
Desconto Comercial ou por fora Composto:
Desconto Racional ou por dentro Composto:
Onde:
N = Valor Nominal, ou Valor do Título, ou Valor de face, ou Valor do Boleto, ou Valor a pagar sem 
desconto
V = Valor Líquido, Valor pago com desconto
i = taxa de desconto
n = prazo da antecipação do pagamento
D = N – V ( equação geral do desconto)
Obs1: Vcomercial < Vracional
Obs2: Dcomercial > Dracional
Obs3: Ncomercial = Nracional 
EXEMPLO:
Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma 
taxa de desconto de 5% ao trimestre para qualquer operação de desconto e um valor nominal 
de R$ 12.000,00.
Caso a opção seja pela utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, 
então, 
a) R$ 1.170,00.
b) R$ 1.200,00.
c) R$ 10.800,00.
d) R$ 12.000,00.
e) R$ 1.000,00. 
225
16
N = 12000. V = ? i = 0,05 at. n = 2 trim.
V = 12000 x (1 – 0,05)2
V = 12000 x 0,9025 = 10803
D = N – V = 12000 – 10803 = R$ 1.170,00
8. TAXAS NOMINAL, EFETIVA PROPORCIONAL 
E EFETIVA EQUIVALENTE:
Taxa Nominal: Exclusiva do regime composto, fornecida num período acima do período de 
capitalização, por exemplo, uma taxa de 24% a.a, com capitalização mensal, assim 24% a.a é 
uma taxa nominal, pois o rendimento desta capitalização é mensal.
Taxa Efetiva Proporcional: É a transformação da taxa nominal para o período de capitalização, 
como o exemplo acima, temos 24% a.a, com capitalização mensal, assim a taxa efetiva 
proporcional é de 2% a.m (24 / 12).
Taxa Efetiva Equivalente: são taxas que produzem um montante igual, quando aplicadas a um 
mesmo capital, em um período de tempo de mesma duração, ainda conforme os exemplos 
acima, temos que uma taxa nominal de 24% a.a nos dá uma taxa efetiva proporcional de 2% 
a.m., que é equivalente à taxa efetiva equivalente de 26,82418% a.a.
Ou seja, veja o exemplo de um capital de 100.000,00 reais, com taxa nominal de 24% a.a, com 
capitalização mensal:
ipe = 24% / 12 = 2 % a.m.  M = 100.000,00 x ( 1 + 0,02)12 = 100.000,00 x 1,0212 = 100.000,00 
x 1,2682418 = 126.824,18
Ou
iee = 26,82418% a.a.  M = 100.000,00 x ( 1 + 0,2682418)1 = 100.000,00 X 1,2682418 = 
126.824,18
8.1. Fluxograma Para Transformação de Taxas
226
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17
A: Transformação normal do tempo
B: iee = ( 1 + iep)n – 1
C: iep= 
D: Transformação normal do tempo
EXEMPLO:
1. A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados 
mensalmente, é igual a 
a) 21,78% 
b) 30,00%
c) 33,10%
d) 46,41%
e) 50,00%
Iee = ? at in = 1,2 aa. Cap mensal  n = 3 (1 trim = 3 m)
1º – iep = 1,2/12 = 0,1
2º – iee = ( 1 + iep)n – 1 
iee = ( 1 + 0,1)3 – 1 = 0,331 = 33,10%
8.3. Taxa Real (Cálculo Exato):
É o cálculo de taxas em ambiente de inflação.
Taxa real: ir
Taxa inflação: ii
Taxa nominal: in
Taxa Real (Cálculo Aproximado – Formula de Fischer):
ir = in – ii
227
18
EXEMPLO:
2. Suponha que a taxa de inflação apresentada em um determinado período foi de 5% Se uma 
pessoa investiu R$ 25.000,00 no início deste período e resgatou no respectivo final todo o 
correspondente montante no valor de R$ 26.827,50, significa que a taxa real de juros obtida por 
esta pessoa no período foi de
a) 2,00%
b) 2,20%
c) 2,31%
d) 2,57%
e) 2,75% 
Ii = 0,05       1º – M = C x (1 + i)
n
C = 25.000     26827,50 = 25000 x (1 + i)1
M = 26827,50     26827,50 = 25000 + 25000 i 
n = 1período     25000i = 1827,50
in = ?        in = 0,0731
ir = ?
9. RENDAS ANTECIPADAS E POSTECIPADAS:
No cálculo de rendas nós temos a possibilidade de determinar, através do fator de capitalização, 
o valor futuro (Montante) ou valor atual (Capital) correspondente as prestações de um produto, 
por exemplo. 
Pode-se calcular o correspondente valor à vista da mercadoria.
Também aplicar este tipo de cálculo na análise de fluxo de caixa, sabendo que, tanto para valor 
atual ou futuro, deve resultar em zero a soma do investimento com os lucros obtidos.
9.1. Equivalente Valor à Vista (VaV)
228
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
19
EXEMPLO:
1. O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário 
para adquirir esse imóvel pagando o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 
ano e a terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados 
juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas 
condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por 
Jorge, em reais, deverá ser igual a 
a) 120.000,00
b) 90.000,00
c) 100.000,00
d) 70.000,00
e) 130.000,00
Vav = 210000
i = 1
n = 0, 1 e 2
2. Analise o seguinte fluxo de caixa e determine o valor de “X”, tendo uma taxa de retroatividade 
de 10%
229
20
n ENTRADA SAÍDA SALDO (ENT – SAÍDA) RETROATIVIDADE (SALDO X 1,1)
0 90.000 0 90.000 99.000
1 99.000 33.000 66.000 72.600
2 72.600 60.500 12.100 13.310
3 13.310 X 0
13.310 – X = 0 , LOGO X = 13.310
10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO:
A grosso modo, poderemos dizer que a operação de amortização é uma compra, a prazo, e sem 
entrada, seguindo as seguintes características:
1ª) Parcelas (prestações) de mesmo valor, ou decrescentes;
2ª) Parcelas em intervalos de tempo iguais;
3ª) Taxa no Regime Composto (taxa de juros compostos). 
Existem no mercado financeiro várias formas de amortização, como o sistema SAC (Sistema de 
Amortização Constante), SAF ( Sistema de Amortização Francês), PRICE, que é uma variação do 
SAF, SAM ( Sistema de Amortização Misto, entre outros, porém nada impede que com uma boa 
negociação não se pode propor o prórpio próprio sistema de amortização.
Para efeito deste curso, serão estudados os sistemas mais comuns no mercado brasileiro: SAC, 
SAF, PRICE e SAM
10.1. Metodologia de Resolução:
Todos os 4 sistemas de amortização que serão estudados, fazem necessário a montagem de 
uma tabela, com apenas 5 colunas, na seguinte ordem, veja abaixo:
A primeira linha, ou seja n = 0 ( prestação 0) como é sem entrada, a prestação, os juros, a 
amortização são iguais a zero, apenas o saldo devedor é preenchido, com o valor do empréstimo, 
ou bem adquirido.
Assim, basta seguir os cálculos em cada célula, linha por linha e ir completando a tabela, para o 
determinado número de parcelas.
Na última prestação, a célula do saldo devedor deve necessariamente ser igual a zero
230
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
21
10.2. Tipos de Sistemas de Amortização
1. Sistema de Amortização Constante ( SAC )
O SAC, conforme o próprio nome já menciona, é uma sistema onde a amortização é sempre a 
mesma, assim quem está variado é a prestação, de forma decrescente e constante.
No SAC, o cálculo da amortização é: Amortização = Empréstimo / número de parcelas
Assim a tabela fica:
2. Sistema de Amortização Francês ( SAF )
O SAF, possui prestação constante em todas as parcelas, já a amortização varia.
No SAF, o cálculo da prestação é: 
Prestação = Emp / An¬i ou 
Prestação = Emp. X 1/ An¬i
Assim a tabela fica:
Onde, An¬i ( Lê – se: A n cantoneira i ) é uma fator de valor atual de uma série de pagamentos, 
calculado pela seguinte equação: 
231
22
Sendo i a taxa e n o número de prestações, porém para este cálculo em geral as provas inserem 
a seguinte tabela para uma série de taxas e prestações desta equação, que veremos a seguir.
3. PRICE
É o SAF, porém utilizando taxa efetiva proporcional, pois o SAF utiliza a taxa nominal, daí a única 
diferença entre.
4. Sistema de Amortização Misto
É a média aritmética simples das prestações do SAC e do SAF ou PRICE, logo deve-se fazer a 
tabela SAC, a tabela SAF ou PRICE e retirar a média de cada prestação. 
232
MATEMÁTICA FINANCEIRA | FABRICIO BIAZOTTO
23
EXEMPLO:
Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição de um terreno junto a uma 
instituição financeira, no valor de dois milhõesde reais, a uma taxa de 10% a.a., para ser pago 
em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsão de receitas, o diretor 
financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida:
Ano 1 – Amortização de 10% do valor do empréstimo;
Ano 2 – Amortização de 20% do valor do empréstimo;
Ano 3 – Amortização de 30% do valor do empréstimo;
Ano 4 – Amortização de 40% do valor do empréstimo.
Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestações 
anuais, do primeiro ao quarto ano, são, respectivamente,
a) 700, 650, 600 e 500
b) 700, 600, 500 e 400
c) 200, 400, 600 e 800
d) 400, 560, 720 e 860
e) 400, 580, 740 e 880
n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 2.000.000
1 400.000 200.000 200.000 1.800.000
2 580.000 180.000 400.000 1.400.000
3 740.000 140.000 600.000 800.000
4 880.000 80.000 800.000 0
233
234
PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
235
236
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
3
PROBABILIDADE
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a área da Matemática responsável pela análise das possibilidades e 
das combinações. É um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos, 
formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Os três principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações. 
Assim, em qualquer exercício de combinatória, é necessário seguir e três passos importantes:
1º – A ordem faz ou não faz diferença:
A. A ORDEM FAZ DIFERENÇA: PERMUTAÇÃO OU ARRANJO.
B. A ORDEM NÃO FAZ DIFERENÇA: COMBINAÇÃO.
2º – E = X. OU = +.
3º – Quais são as regras.
Fatorial de um número
O fatorial de um número natural n, representado por n!, é a multiplicação de todos os seus 
números escritos em forma decrescente até 1.
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 1
assim o fatorial é como uma tabuada da análise combinatória e é importante que saiba os 
valores de 0! (zero) a 10!.
0! = 1 (por convenção)
1! = 1 (por definição)
2! = 2.1 = 2
3! = 3 . 2! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
8! = 8 . 7! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
9! = 9 . 8! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880
10! = 10 . 9! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
237
4
Arranjo
Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n >= 1 e p é um número natural, é qualquer 
ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos 
se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos.
Exemplo: Quantas placas de automóveis com 3 letras podem ser formadas começando por P e 
letras distintas?
Permutação simples 
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos 
os elementos, ou seja, é o número de elementos fatorial:
Exemplo: Quantos anagramas existem na palavra COISA?
Permutação com repetição
É quando o agrupamento ordenado possui trocas onde não há diferença, veja: 
A sigla LoL, por exemplo, possui 6 permutações no total, mas...
LoL LoL
LLo LLo
oLL. oLL
perceba que apesar das 6 permutações apenas 3 são diferentes, pois a letra L mesmo que troque 
de lugar, não muda a permuta e por isso estas repetições devem ser desconsideradas, assim:
Exemplo: Quantos anagramas distintos existem na palavra MATEMÁTICA?
238
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
5
Combinação simples
É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos 
componentes, ou seja, a ordem da escolha não interfere na combinação.
PROBABILIDADE
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade 
de ocorrer um evento A é:
Por exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes 
dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6 = 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares 
têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é 
sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A’ ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade de evento 
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo) n0≤P ≤1 .
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o 
evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua 
probabilidade de ocorrência alterada.
239
6
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1) . P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En – 1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En – 1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 
e E2...En – 1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma 
de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda 
ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S = 30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A) . (B/A) = 10/30 . 20/29 = 20/87
Eventos Independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer 
um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En – 1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e 
repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda 
ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e 
azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e 
B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul 
na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 
10/30 . 20/30 = 2/9.
240
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
7
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. 
Assim, P(B/A) = P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a 
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Casos de Eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo 
de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 
3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade 
de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere 
os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode 
ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorredizemos que os eventos A e B são mutuamente 
exclusivos.
O Teorema de Bayes
Para chegar ao teorema de Bayes, partimos de princípios básicos. Assim, a probabilidade de que 
observemos simultaneamente um evento A e um evento B é dada por:
P(AᴖB) = P(A/B) . P(B) (1) 
241
8
Por outro lado, a probabilidade de que observemos simultaneamente um evento A e um evento 
B também pode ser dada por: 
P(BᴖA) = P(AᴖB) = P(B/A) . P(A) (2) 
Combinando (1) e (2), temos: 
P(A/B) . P(B) = P(B/A) . P(A) (3) 
Rearranjando, chegamos ao teorema de Bayes: 
P(A/B) = (P(B/A) . P(A)) / P(B) (4) 
Como geralmente não conhecemos P(B), precisamos usar uma formulação alternativa, que é 
baseada em:
P(B) = P(BᴖA) + P(BᴖAc ) (5)
Onde Ac é o evento complementar de A, também chamado de não A. Usando nosso 
conhecimento básico (equação 1 acima) e substituindo, obtemos:
P(B) = [P(B/A) . P(A)] + [P(B/Ac ) . P(Ac )] (6) 
Substituindo 6 em 4 obtemos a formulação alternativa:
242
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
9
ESTATÍSTICA
1 – CONCEITOS INICIAIS
Estatística – é um conjunto de métodos e processos matemáticos desenvolvidos para a coleta, 
classificação, apresentação, analise e interpretação de dados acerca de um fenômeno observa-
do, possibilitando a tomada de decisões face às incertezas.
1.1 – Ramos da Estatística
Estatística Descritiva (ou dedutiva) – voltada à coleta, organização, apresentação, analise e 
interpretação dos dados observados através de gráficos e tabelas, além da análise e desses 
dados. 
Estatística Indutiva (ou Inferência Estatística) – processo de generalização que permite tirar 
conclusões a respeito do comportamento do fenômeno estudo.
População (ou Universo Estatístico) – é um conjunto de dados, obtidos na observação de um 
fenômeno, que apresentam pelo menos uma característica em comum. Pode ser finita ou 
infinita.
Censo – é o levantamento envolvendo todos os elementos da população.
Amostra – é qualquer subconjunto finito e não vazio de uma população, excetuando-se a 
própria população. O processo de retirada da amostra requer cuidados especiais na tentativa de 
resguardar a fidelidade e a representatividade da população.
Experimento aleatório – é aquele que, mesmo repetido em idênticas condições, produz 
resultados imprevisíveis.
1.2 – Aspectos de um dado
Qualitativo – característica do elemento em estudo, denominado atributo.
Quantitativo – determina a intensidade com que o atributo ocorre no fenômeno estudado, e é 
representado por uma variável.
Série estatística – é uma sucessão de dados estatísticos referidos a caracteres qualitativos. Se a 
sucessão for quantitativa, configurará uma seriação.
1.3 – Tipos de séries estatísticas
 • Temporal (cronológica, histórica ou evolutiva) – a variável é o fator tempo.
 • Geográfica (territorial, espacial ou de localização) – a variável é o fator geográfico.
 • Específica (especificativa ou categórica) – a variável é o fenômeno.
 • Mista – ocorre a variação de pelo menos dois dos fatores: tempo, local ou fenômeno.
243
10
Distribuição de frequência (seriação) – neste caso, todos os elementos (época, local ou 
fenômeno) são fixos, variando apenas a intensidade de ocorrência do fenômeno.
1.4 – Organização dos Dados Estatísticos 
Normas para apresentação tabular de dados Elementos essenciais:
Título – indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato observa-
do, com a especificação de local e época referentes ao fato;
Cabeçalho – parte da tabela que apresenta a natureza do conteúdo de cada coluna;
Coluna indicadora – indica o conteúdo das linhas;
Célula (casa ou cela) – é o espaço resultante do cruzamento de uma linha com uma coluna, 
onde se registra a frequência ou o valor da variável ou atributo.
Corpo – é a parte da tabela onde se encontram o cabeçalho, a coluna indicadora e as linhas e 
colunas que contem a serie estatística;
Elementos complementares:
Fonte – designação da entidade que forneceu os dados estatísticos;
Notas – esclarecimentos de natureza geral; 
Chamadas – esclarecimentos de natureza específica.
Exemplo:
Frota de veículos (em mil unidades) – 1996
PARANÁ BRASIL
Automóveis 1.224 18.727
Picapes 193 2.980
Caminhões 158 1.630
Ônibus 19 317
Motocicletas 218 2.919
Total 1.812 26.573
Fonte: Denatran
As Tabelas podem ser:
Simples – formadas por uma coluna indicadora (coluna matriz), onde são inscritos os valores ou 
modalidades classificadas, e por uma coluna onde se inserem as ocorrências ou as intensidades 
do fenômeno analisado.
Dupla entrada – apresenta séries conjugadas.
244
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
11
Tabela Simples:
População economicamente ativa por setor de atividade – Brasil/1940
Setor População (1.000 hab.)
Primário 8.968
Secundário 1.414
Terciário 3.620
Fonte: IPEA
2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS (SERIAÇÃO)
Dados brutos – são os dados coletados, ainda não organizados.
Rol – lista em que os valores são dispostos em uma determinada ordem (crescente ou decres-
cente.
Tabela de frequência – representação na qual os valores se apresentam com sua incidência de 
repetição, evitando que eles apareçam mais de uma vez.
Distribuição de frequências de Dados Não-Agrupados em Classes – tabela onde os valores 
aparecem individualmente, utilizado para variáveis discretas.
2.1 – Elementos
Amplitude total (At) – é a diferença entre o maior e o menor valor da série.
Frequência absoluta simples (fi) – é o número de repetições de cada valor.
Frequência total (fi ou Σn) – é a soma das frequências absolutas simples.
Frequência relativa simples (fri) – é o quociente entre a frequência absoluta simples e a 
frequência total da série. Pode ser representada sob a forma unitária ou percentual (fri%)
Frequência absoluta acumulada (Fi ou fac) – é a soma das frequências absolutas simples de 
um determinado valor da tabela com as frequências absolutas simples de todos os valores 
anteriores. É também denominada de frequência absoluta “abaixo de”.
Frequência absoluta acumulada “acima de” (Fi+) – é a soma das frequências absolutas simples 
de um determinado valor da tabela com as frequências absolutas simples de todos os valores 
posteriores.
Obs.: Σ ... somatório
245
12
Exemplo:
Nº de aparelhos defeituosos da Empresa X
xi fi fri fri% Fi Fi+ Fri Fri% Fri+ Fri%+
0 5
1 10
2 18
3 12
4 5
Distribuição de frequências de Dados Agrupados em Classes – os dados são apresentados de 
forma resumida, de forma agrupada. É recomendado, principalmente, para variáveis contínuas.
2.3 – Elementos
Classe – é cada um dos grupos ou intervalos de valores obtidos a partir de um agrupamento de 
dados. Representação de uma classe:
a I––– b ... inclusive a, e exclusive b
a –––I b ... exclusive a, e inclusive b 
a I–––I b ... inclusive a, e inclusive b 
a ––– b ... exclusive a, e exclusive b
Limites de classe – são os valores extremos de uma classe.
a I––– b – a ... limite inferior (Li) b ... limite superior (Ls) 
Ponto médio de uma classe (PMi ou Xi) – é a média aritmética dos limites superior e inferior de 
uma classe. 
Amplitude do intervalo de classe (h) – é a diferença entre os limites superior e inferior de uma 
classe.
Exemplo:
Notas de uma prova de Estatística
xi fi PMi fri fri% Fi Fi+ Fri Fri%
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
246
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
13
3 – GRÁFICOS
a) de Linha – representado em um plano cartesiano, através de pontos ligados por segmentos 
de reta, mostrando a evolução do fenômeno estudado.
b) em Barras (horizontais) – têm por finalidade comparar grandezas por meio de retângulos 
horizontais de larguras iguais e alturas proporcionais às respectivas grandezas.
c) em Colunas (ou em barras verticais) – representados por retângulos verticais, prestam-se à 
mesma finalidade que os gráficos em barras sendo, entretanto, preferíveis a esses últimos, 
quando as legendas a se inscreverem sob os retângulos forem breves
d) emSetores (pizza) – são representados por círculos divididos proporcionalmente em seg-
mentos circulares de acordo com os dados do fenômeno ou do processo a ser representa-
do. Os valores são expressos em números ou em porcentagens.
Exemplos:
Locações de DVD – Locadora Barão – Ano 2008
MÊS LOCAÇÕES
Janeiro 300
Fevereiro 220
Março 100
Abril 150
Maio 250
Junho 110
Dados fictícios
 
Importação Brasileira 
de Vinho – 1972 (100 Dólares)
PAÍS VALOR
Argentina 48
Chile 83
Espanha 105
Itália 168
Portugal 236
França 242
Dados fictícios
 
247
14
Produção média mensal de 
Carvão Betuminoso Brasil – 1972
Ano Q (1.000 ton)
1 45
2 50
3 70
4 80
5 130
6 160
Dados fictícios
 
Venda no Almoço 
Lanchonete do Jiraya |Outubro de 20X4
Alimento %
sanduíche 40
salada 21
sopa 15
bebida 9
sobremesa 15
Dados fictícios
 
3.1 – Gráficos representativos de uma Distribuição de Frequências
Histograma – formado por um conjunto de retângulos justapostos de larguras homogêneas, de 
forma que a altura de cada retângulo seja proporcional à frequência da classe que representa.
Polígono de frequências – representação gráfica obtida a partir da união, através de segmentos, 
dos pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma.
Exemplo:
Notas de uma prova de Estatística
xi fi fri%
0 I––– 20 20
20 I––– 40 60
40 I––– 60 80
60 I––– 80 30
80 I––– 100 10
248
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
15
 
OBS.: Os gráficos representativos de distribuições de frequências acumuladas são denomina-
dos Ogivas (Ogiva de Galton).
Exemplo: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte:
Classes Frequência ( f )
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com 
valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.
a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900.
LETRA C
4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
Pela dificuldade de se trabalhar com uma distribuição de frequências completa, costuma-se 
lançar mão de determinadas medidas que sumarizam certas características importantes da 
distribuição. 
Dentre as diversas medidas quem possibilitam condensar as informações dentro na fase analíti-
ca da Estatística Descritiva, dois tipos são os mais importantes: as medidas de posição (especial-
mente as de tendência central) e as medidas de dispersão (ou de heterogeneidade).
249
16
As medidas de posição podem se apresentar de várias formas, dependendo daquilo que se 
pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos.
4.1 – Medidas de tendência central (ou promédios)
São medidas de posição em torno das quais os dados tendem a se agrupar. Os três promédios 
mais utilizados para resumir o conjunto de valores representativos de fenômeno que se deseja 
estudar são: a média aritmética, a moda e a mediana. Outros promédios menos usados são as 
médias: geométrica, harmônica, etc.
a) Médias
Média Aritmética Simples (x ou µ) – a média aritmética simples de um conjunto de números é 
igual ao quociente entre a soma de valores do conjunto e o número total de valores.
Média Aritmética Ponderada (P) – utilizada quando os valores do conjunto tiverem pesos 
diferentes. É obtida através do quociente entre a soma dos produtos dos pesos pelos respectivos 
valores e a soma dos pesos.
Esta equação é para dados não agrupados, caso sejam agrupados em classes, o Xi é o mesmo 
que o PMi.
Desvio (di) – é o afastamento de cada valor do conjunto em relação a um valor fixo x0: 
di = xi – x0
Propriedades da média aritmética:
1ª) a soma algébrica dos desvios dos valores em relação à média aritmética é igual a zero.
2ª) a soma algébrica dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média aritmética é um 
mínimo.
3ª) sendo n o número de incidência de cada média aritmética x, de cada conjunto k de valores, 
então a média aritmética de todos os valores dos k conjuntos é a média ponderada das médias 
aritméticas dos respectivos conjuntos. Essa média é denominada média global.
4ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, a média 
aritmética desta série fica somada (ou subtraída) dessa constante.
5ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, a média 
aritmética desta série fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
250
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
17
Processo breve para o cálculo da média aritmética (para dados tabulados em classes)
A partir das duas últimas propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a média 
aritmética utilizando uma variável transformada (di), denominada variável reduzida:
OBS: Recomenda-se utilizar para o valor de A o ponto médio da classe de maior frequência 
se o número de classes k for par, ou o ponto médio da classe intermediária se o número de 
classes for ímpar.
Exemplo: calcular a média aritmética na tabela a seguir.
Notas de uma prova de Estatística
xi fi PMi di fi.di
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
Média Geométrica ( G ) – á média geométrica de um conjunto de n valores é a raiz n–ésima do 
produto de todos os valores do conjunto dado.
Média Harmônica ( H ) – á média harmônica de um conjunto de n valores é o inverso da média 
aritmética dos inversos de todos os valores do conjunto dado.
Obs.: H ≤ G ≤ X
Exemplo: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais 
e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
251
18
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10
b) 115,50 
c) 120,00 
d) 140,00 
e) 138,00.
LETRA E
b) Moda (Mo)
O valor de maior frequência da série, também chamado norma, valor dominante ou valor típico.
Exemplos:
1) Rol (dados não tabulados)
Determinar a moda nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5,5,5,5,5,5,6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Mo =
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5,5,5,5, 5, 5,5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9} Mo =
C = {2, 3, 5, 7, 8, 9} Mo =
Dados Tabulados Não-Agrupados em classes 
Exemplo: determinar o valor da moda na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
252
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
19
Dados Tabulados Agrupados em Classes 
Classe modal: é classe de maior frequência.
Determinação da Moda:
 • Moda Bruta: é o método mais rudimentar de cálculo da moda, que consiste em considerá-
lo como sendo o ponto médio da classe modal.
 • Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à classe 
modal.
Li – limite inferior da classe modal
h (ou c) – amplitude do intervalo de classe
fpos – frequência da classe posterior à classe modal 
fant – frequência da classe anterior à classe modal
 • Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes.
c) Mediana ( Md )
O valor central de uma série ordenada.
A mediana é considerada uma separatriz, por ser um promédio que divide a série em partes 
iguais; e, pelo fato de ocupar uma determinada posição na série ordenada, o número que indica 
a sua posição é denominado elemento mediano (Em).
Determinação da mediana para dados não tabulados
Uma vez ordenados os valores da série (Rol), a mediana será:
 • O valor central da série, se o número de valores (n) for ímpar,
 • A média aritmética dos dois valores centrais da série, se o número de valores for par.
Exemplos:
1) Rol (dados não tabulados)
Determinara mediana nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Md =
253
20
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md=
C = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md = 
2) Dados Tabulados Não-Agrupados em classes
O procedimento a ser adotado é praticamente idêntico ao anterior.
Exemplo: calcular a mediana na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
3) Dados Tabulados Agrupados em classes
n – frequência total
Fant – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
fmd – frequência da classe mediana
h – Amplitude da classe mediana
Li – Limite inferior da classe mediana
OBS: classe mediana ... é a classe onde se encontra o elemento de posição n/2.
Exemplo: Determinar a moda e a mediana na tabela a seguir.
Notas de uma prova de Estatística
xi fi Fi
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
254
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
21
d) Outras separatrizes
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
Exemplo 1: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências 
seguinte:
Classes Frequência ( f )
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.
a) 69,50 
b) 73,79 
c) 71,20 
d) 74,53 
e) 80,10
LETRA B
255
22
Exemplo 2: Considerando a distribuição de frequência relativa ao salário, em milhares de reais, 
de professores de uma faculdade, os valores salariais do terceiro quartil e do nonagésimo 
percentil são respectivamente:
i Salários R$ fi
1 0 |-- 2 8
2 2 |-- 4 12
3 4 |-- 6 22
4 6 |-- 8 25
5 8 |-- 10 18
6 10 |-- 12 15
a) R$ 8.880 e R$ 10.660
b) R$ 6.650 e R$ 4.480
c) R$ 2.920 e R$ 6.560
d) R$ 6.650 e R$ 10.660
e) R$ 6.560 e R$ 8.880.
LETRA A
5. OUTLIER
“Um outlier é uma observação que se diferencia tanto das demais observações que levanta 
suspeitas de que aquela observação foi gerada por um mecanismo distinto” (Hawkins, 1980).
Pode-se dizer que é aquela observação que se diferencia tanto das demais que levanta suspeitas, 
ou seja, o famoso ponto fora da curva.
256
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23
6 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão permitem avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores de 
um conjunto de números, proporcionando um conhecimento mais completo do fenômeno a ser 
analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mos-
trando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central.
6.1 – Medidas de Dispersão Absoluta
Amplitude Total ou Intervalo Total (AT) – é a diferença entre os valores extremos do conjunto.
Desvio Médio ou Média dos Desvios (Dm)
Desvio Quartil ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq ou Q)
No intervalo (Md ± Q) encontram-se aproximadamente 50% da distribuição. Essa porcentagem 
será exata se a distribuição for simétrica.
Desvio Padrão (S ou σ)
Obs.: quando o desvio padrão representar uma descrição da amostra e não da população, 
caso mais frequente em estatística, o denominador das expressões será n – 1, ao invés de 
n, pois assim se obtém uma estimativa melhor do parâmetro de população. Para valores 
grandes de n (n > 30), não há grande diferença; entretanto, a utilização de n – 1 proporciona 
uma estimativa mais justa do desvio-padrão da população.
Ou também pode ser com frequências:
257
24
Forma simplificada:
E também pelos desvios (di) como na média:
Onde:
h = amplitude do intervalo de classe e recomenda-se utilizar para o valor de x0 o ponto médio 
da classe de maior frequência se o número de classes for par, ou o ponto médio da classe 
intermediária se o número de classes for ímpar.
Propriedades do desvio-padrão:
1ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, o desvio-
padrão desta série não se altera.
2ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, o desvio-
padrão desta série fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
3ª) o desvio-padrão é maior que o desvio médio.
Processo breve para o cálculo do desvio-padrão (para dados tabulados em classes)
A partir das duas primeiras propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a média 
aritmética utilizando uma variável transformada (di), como no cálculo da média aritmética pelo 
processo breve:
Exemplo: calcular o desvio padrão na tabela a seguir.
Notas de uma prova de Estatística
xi fi PMi di di2 fi.di fi.di2
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
258
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25
xi fi PMi di di2 fi.di fi.di2
80 I––– 100 5
∑
Resposta: S 19,95
e) Variância (S2 ou σ2) – é o quadrado do desvio-padrão.
Propriedades da variância:
1ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, a variância 
desta série não se altera.
2ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, a 
variância desta série fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado desta constante.
6.2 – Medidas de Dispersão Relativa
Resultam, em geral, de comparação entre uma medida de dispersão absoluta e um promédio, 
sendo expresso em termos percentuais. Proporcionam uma avaliação mais apropriada do grau 
de dispersão da variável e ainda, comparar duas ou mais distribuições, mesmo de fenômenos 
diferentes expressas em unidades de medidas distintas.
a) Desvio Quartil Reduzido (Qr)
b) Coeficiente de Variação
Exemplo: Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu 
principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar 
sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para 
consumidores com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto 
da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição:
259
26
Idade (X) Frequência Porcentagem
18 25 -| 20 40
25 30 -| 15 30
30 35 -| 10 20
35 40 -| 5 10
Total 50 100
Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério 
de decisão: se for maior que o valor então a campanha de divulgação surtiu efeito, 
isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não alcançou o 
resultado desejado.
a) A campanha surtiu efeito, pois = 2,1 é maior que = 1,53.
b) A campanha não surtiu efeito, pois = 0 é menor que = 1,64.
c) A campanha surtiu efeito, pois = 2,1 é maior que = 1,41.
d) A campanha não surtiu efeito, pois = 0 é menor que = 1,53.
e) A campanha surtiu efeito, pois = 2,5 é maior que = 1,41. 
LETRA A
7 – CORRELAÇÃO
7.1 – Conceitos iniciais
Correlação é um valor que indica o grau de inter-relação de influência – algum tipo de associação 
– entre duas ou mais variáveis (por exemplo: grau de escolaridade e número de livros que uma 
pessoa possui).
Para se determinar a Correlação são necessárias as seguintes medidas estatísticas: Desvio 
Padrão (S), Variância (S2) e Covariância (Cov).
O Desvio Padrão e a Variância, já estudados anteriormente, são Medidas de Dispersão utilizadas 
quando desejamos saber o quão próximos ou quão afastados estão os elementos de um 
conjunto, em relação a um determinado referencial (a média aritmética do conjunto)
7.2 – Propriedades da Variância:
1ª) a Variância não é influenciada por operações de soma e subtração: S2X + ou – K = S
2
X, onde K 
é uma constante.
2ª) a Variância é influenciada por operações de produto e divisão: S2K+ ou – X = K
2 S2X, onde K é 
uma constante.
260PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
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3ª) Propriedade da Variância de Duas Variáveis (Xi e Yi):
1 – S2X+Y = S
2
X + S
2
Y + 2.Cov(X,Y)
2 – S2X-Y = S
2
X + S
2
Y – 2.Cov(X,Y)
No entanto, em algumas situações, é necessário o conhecimento de uma informação adicional 
para uma análise mais apurada (por exemplo: peso e altura para uma análise do aspecto físico 
de um grupo de pessoas).
Para a análise da dispersão conjunta de duas variáveis temos a medida estatística denominada 
Covariância:
7.3 – Propriedades da Covariância:
1ª) a covariância não é influenciada por operações de soma e subtração: Cov(X A,Y B) = Cov(X,Y), 
onde A e B são constantes.
2ª) a covariância é influenciada por operações de produto e divisão: Cov(A X,B Y) = A.B. Cov(X,Y), 
onde A e B são constantes.
7.4 – Cálculo da Correlação (r)
Fator de Correlação Linear de Pearson
O valor da correlação varia de – 1 a 1
 • Se r = – 1, Correlação negativa perfeita (linear decrescente)
 • Se – 1 < r < 0, Correlação negativa
 • Se r = 0, Correlação linear inexistente
 • Se 0 < r < 1, Correlação positiva
 • Se r = 1, Correlação positiva perfeita (linear crescente)
A correlação é positiva quando aumentando o valor de uma variável aumentará também o da 
outra, ou quando diminuindo o valor da primeira, a segunda também diminui; ou seja, teremos 
correlação positiva quando as duas variáveis oscilarem sempre no mesmo sentido.
A correlação é negativa quando as duas variáveis oscilarem em sentido inverso; ou seja, 
aumentando uma, diminuirá a outra, e vice-versa.
261
28
7.5 – Propriedade: “A Correlação não é influenciada 
pelas operações algébricas”.
EXEMPLO: Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às variáveis x e y, 
porventura relacionadas:
Valores das variáveis x e y relacionadas
x y x2 y2 x y
1 5 1 25 5
2 7 4 49 14
3 12 9 144 36
4 13 16 169 52
5 18 25 324 90
6 20 36 400 120
21 75 91 1.111 317
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y.
a) 0,903 
b) 0,926 
c) 0,947 
d) 0,962 
e) 0,989 
LETRA E
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AMOSTRAGEM
Amostragem – é o ato de obter amostra de uma população. O levantamento por amostragem 
objetiva a redução do custo e tempo do processo estatístico. O tamanho da amostra deve ser no 
mínimo 10% da população, para que haja uma maior fidedignidade dos fatos.
1 – CONCEITOS EM AMOSTRAGEM
Inferência Estatística – é o processo de obter informações sobre uma população a partir de 
resultados observados na amostra.
Amostragem – É o processo de retirada de informações dos “n” elementos amostrais, na qual 
deve seguir um método adequado (tipos de amostragem).
2 – PLANO DE AMOSTRAGEM
1º) Definir os Objetivos da Pesquisa
2º) População a ser amostrada
Parâmetros a ser estimados (Objetivos)
3º) Definição da Unidade Amostral
Seleção dos Elementos que farão parte da amostra
4º) Forma de seleção dos elementos da população
Tipo de Amostragem: 
263
30
5º) Tamanho da Amostra
Exemplo: Moradores de uma Cidade (população alvo)
Objetivo: Tipo de Residência 
Unidade Amostral: Domicílios (residências)
Elementos da População: Família por domicílio
3 – TIPOS DE AMOSTRAGEM
A) Probabilísticos:
Amostragem Simples ou Ocasional
É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. Todos os elementos da população 
têm igual probabilidade de serem escolhidos. Para uma população finita o processo deve ser 
sem reposição. Todos os elementos da população devem ser numerados. Para realizar o sorteio 
dos elementos da população pode-se usar a Tabela de Números Aleatórios ou gerar números 
aleatórios por meio de um software;
Amostragem Sistemática
Trata-se de uma variação da Amostragem Aleatória Ocasional, conveniente quando a população 
está naturalmente ordenada, como fichas em um fichário, lista telefônica, etc.
Ex.: N = 500 (População)
 n = 50 (Amostra)
 então r = N/n = 500/50 = 10, (teremos uma Progressão Aritmética (PA) de razão 10)
Sorteia-se usando a Tabela de Números Aleatórios um número entre 1 e 10, (x = 3), o número 
sorteado refere-se ao 1o elemento da amostra, logo os elementos da amostra serão:
3 13 23 33 43 ......
Para determinar qualquer elemento da amostra podemos usar a fórmula do termo geral de uma 
P.A.
Amostragem Estratificada
É um processo de amostragem usado quando nos depararmos com populações heterogêneas, 
na qual pode-se distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, denominados estratos.
264
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
31
Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada uma subpopu-
lação (estrato).
As diversas subamostras retiradas das subpopulações devem ser proporcionais aos respetivos 
números de elementos dos estratos, e guardarem a proporcionalidade em relação a variabilidade 
de cada estrato, obtendo-se uma estratificação ótima.
Tipos de variáveis que podem ser usadas em estratificação: idade, classes sociais, sexo, profissão, 
salário, procedência, etc.
Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos)
Algumas populações não permitem, ou tornam-se extremamente difícil que se identifiquem 
seus elementos, mas podemos identificar subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra 
aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) podem ser escolhidas, e uma contagem 
completa deve ser feita no conglomerado sorteado.
Agregados típicos são: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc.
B) Não Probabilísticos: 
Por julgamento – os elementos são escolhidos de modo intencional.
Por quotas – também baseado em um julgamento (escolha intencional). Os grupos (quotas) 
extraídos têm número proporcional àquele em que se encontram na população.
4 – TAMANHO DA AMOSTRA
Os pesquisadores de todo o mundo, na realização de pesquisas científicas, em qualquer setor 
da atividade humana, utilizam as técnicas de amostragem no panejamento de seus trabalhos, 
não só pela impraticabilidade de poderem observar, numericamente, em sua totalidade 
determinada população em estudo, como devido ao aspecto econômico dessas investigações, 
conduzidos com um menor custo operacional, dentro de um menor tempo, além de possibilitar 
maior precisão nos respectivos resultados, ao contrário, do que ocorre com os trabalhos 
realizados pelo processo censitário.
A técnica da amostragem, a despeito de sua larga utilização, ainda necessita de alguma didática 
mais adequada aos pesquisadores iniciantes.
Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões:
1ª) Dimensionamento da Amostra;
2ª) Composição da Amostra.
Variáveis Aleatórias
Variável representa a intensidade com que o atributo ocorre no fenômeno estudado.
265
32
a) Uma variável pode ser:
Discreta (ou descontinua) – quando a menor diferença não-nula entre dois valores possíveis 
dessa variável é finita. Normalmente resulta de contagem.
Continua – pode assumir o valor de qualquer número real. Normalmente resulta de mensuração.
Distribuições De Probabilidade
Em Estatística, uma Distribuição de Probabilidade descreve a chance que uma variável pode 
assumir ao longo de um espaço de valores.
Principais Distribuições de Probabilidade
1 – Variáveis Aleatórias Discretas 
a) Distribuição de Bernoulli
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou 
fracasso nessa tentativa.
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1, ou seja, q = 
1 − p.
Seja X o número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o valor 0 que 
corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com 
probabilidade p.
P(X = 0) = q e P(X = 1) = p
Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de BERNOULLI, e sua função de 
probabilidade é dada por:
P(X = x) = p(x) · q(1-x)
A esperança da distribuição de Bernoulli é 
E(X) = p 
Variância é V (X) = p . q.
b) Distribuição Binomial
A probabilidade de um evento A ocorrerexatamente k vezes em um determinado experimento 
aleatório é dada por:
266
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
33
Onde: n = número de eventos e k = é o número de favoráveis dentro dos eventos
Vale observar que se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade 
de não realização desse evento (insucesso) é 1 – p = q.
A esperança da distribuição Binomial é 
E(X) = n . p
Variância é V (X) = n.p.q
c) Distribuição de Poisson
Na distribuição binomial, se n for muito grande, enquanto a probabilidade p da ocorrência de 
um evento for próxima de zero, o evento será denominado raro. Na prática, considera-se um 
evento como raro quando o número de tentativas é, pelo menos, igual a 50 (n ≥ 50), ao passo 
que n.p é menor que 7. Nesses casos, a distribuição binomial é muito aproximada da de Poisson, 
com λ = n.p.
A distribuição de Poisson 
Esta é uma distribuição associada a “eventos raros”. As razões para isso se tornarão mais claras a 
medida que a aplicação desse modelo for descrita. Os eventos podem ser:
 • acidentes automotivos
 • erros de digitação
 • chegada de um cliente em um banco
 • entre outros eventos…
A distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é 
muito maior do que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo 
ou espaço. O número de possíveis ocorrências, muitas vezes não se sabe exatamente. Os 
resultados devem ocorrer de forma aleatória, ou seja, totalmente por acaso e da probabilidade 
de ocorrência não deve ser afetado por se ou não os resultados ocorrido anteriormente, 
de modo que as ocorrências são independentes. Em muitos casos, embora possamos 
contar as ocorrências, como a de uma tempestade, não podemos contar as não ocorrências 
correspondentes. (Nós não podemos contar “não-tempestades”!).
De modo geral, dizemos que a variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson com 
parâmetro λ > 0, se:
Onde k = 0, 1, 2, ... (número de ocorrências em determinado intervalo de tempo), e representa 
o número médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado.
e = 2,71828... (número neperiano).
A esperança da distribuição Poisson é 
E(X) = n . p = λ = V(x) 
Onde: p = λ / n
267
34
d) A Distribuição Exponencial (ou exponencial negativa)
A distribuição exponencial pode ser associada com a distribuição geométrica. Porém antes 
de tratarmos das similaridades da propriedade dessas duas distribuições avaliaremos as 
características da variável aleatória.
De uma forma bastante resumida imagine uma variável aleatória Poisson, onde temos 
a contagem do número de ocorrências em um intervalo. Suponha agora que estejamos 
interessados em verificar a probabilidade do tempo transcorrido entre duas ocorrências 
consecutivas. Essa última é considerada uma variável aleatória exponencial.
Essa distribuição contínua que pode ser utilizada para descrever as probabilidades envolvidas 
no tempo que decorre para que um determinado evento aconteça. Existe uma conexão muito 
próxima entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Ou seja, é Utilizada para descrever o 
tempo entre as ocorrências de sucessivos eventos de uma distribuição de Poisson. As relações 
entre as distribuições podem ser associadas a um processo estocástico, chamado de processo 
de Poisson.
Para simplificar a abordagem imagine um processo de chegada sendo monitorando ao longo do 
tempo (sendo o tempo uma variável contínua).
a) Função de Distribuição Cumulativa:
 ou 
b) Esperança e Variância:
EXEMPLO: Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem 
dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as 
probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 80 % e 20 % 
b) 30 % e 70 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 20 % e 80 % 
e) 25 % e 75 %. 
LETRA D
EXEMPLO: O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma 
distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de 
a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
a) 32/73 e^-4
b) 71/3 e^4
c) 71/3 e^-4
d) 71/3 e^-2
e) 32/3 eˆ-2. 
LETRA C
268
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
35
2 – Variável Aleatória Contínua (VAC)
A probabilidade de uma VAC X assumir um determinado valor dentro de um intervalo [a,b] de 
valores é dada por:
A função f(x) é chamada Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) da variável X.
Teoricamente, qualquer função f, que não seja negativa e cuja área total sob a curva seja igual à 
unidade, caracterizará uma VAC; ou seja:
a) Esperança de uma Variável Aleatória Contínua
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição contínua com f.d.p. f(x), então a esperança 
E(X) é definida por:
b) Variância de uma Variável Aleatória Contínua
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f(x). Então:
c) O Desvio Padrão (DP) será dado por
E(x) = µ(x); Var(x) = σ(x)2 e DP = S = σ(x)
Principais Modelos de Distribuições de Probabilidade 
a) O Modelo Uniforme
É o modelo mais simples para v.a. contínua.
Uma v.a. X tem Distribuição Uniforme no intervalo [α, β ] se sua f.d.p. é dada por
269
36
A Esperança e a Variância são dadas por
EXEMPLO: A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua x é dada 
por:
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e denotada por E(x) é 
igual a:
a) 4/3.
b) 3/4.
c) – 3/4.
d) – (3/4) x.
e) – (4/3) x.
LETRA C
Distribuição Normal
A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística, considerando a questão 
prática e teórica. Esse tipo de distribuição apresenta-se em formato de sino, unimodal, simétrica 
em relação a sua média. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva 
soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois 
pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.
Na figura, as barras verticais representam os desvios padrões. Quanto mais afastado do centro 
da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. O traço horizontal menor 
indica que 68,26% das observações estão contidas no intervalo entre um desvio padrão para 
a direita e um desvio padrão para a esquerda da média (centro da distribuição). O segundo 
traço indica que a dois desvios padrões em torno da média possuímos 95,44% dos dados e, 
finalmente a três desvios temos 99,73% (traço horizontal maior). Podemos concluir que quanto 
maior a variabilidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o 
valor que buscamos embaixo da normal.
270
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
37
Características:
1 – É uma curva com a forma de um “sino”, com um eixo de simetria;
2 – Muitas populações reais seguem a distribuição normal; 
3 – Numa população com média µ e desvio-padrão σ:
 • aproximadamente 68% se encontram dentro do intervalo µ ± σ
 • aproximadamente 95% se encontram dentro do intervalo µ ± 2σ;
 • aproximadamente 99,7% se encontram dentro do intervalo µ ± 3σ.
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos, a média e o 
desvio padrão.
Para cada valor de e/ou temos uma curva de distribuição de probabilidade. Porém, para se 
calcular áreas específicas, faz-se uso de uma distribuição particular: a “distribuição normal 
padronizada”, o qual é a distribuição normal com µ = 0 e σ = 1. Para obter tal distribuição, isto 
é, quando se tem uma variável X com distribuição normal com média diferente de 0 (zero) e/
ou desvio padrão diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma variável Z, efetuando o seguinte 
cálculo:
Assim, a distribuição passa a ter média µ = 0 e desvio padrão = 1. Pelo fato de a distribuição ser 
simétrica em relação à média µ = 0, a área à direita é igual a área à esquerda de σ. Por ser uma 
distribuição muito usada, existem tabelas a qual encontramos a resolução de suas integrais.Assim, a tabela fornece áreas acima de que vão desde – 3,99 até 3,99. Veja o gráfico da curva 
Normal padronizada na Figura abaixo.
A probabilidade de ocorrência de valores menores ou iguais a um valor genérico z dessa 
distribuição é dada por:
Isso representa a área (entre −∞ e z) sob a curva da função de densidade.
A Tabela III (em anexo) dá os valores de área sob a curva entre 0 e z conforme indicado na Figura 
(a). Portanto, é a fórmula anterior modificada para:
271
38
Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área entre −∞ e z basta somar 0,5 
aos valores da tabela.
272
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
39
EXEMPLO: O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo 
acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O 
restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do 
restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio-padrão igual 
a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média 
R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da 
estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem 
média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no 
intervalo entre 0 < Z < 2 ─ ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão ─ é, aproximadamente, 
igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu 
pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do 
que R$ 520,00 e o faturamento ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns 
minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos 
percentuais, iguais a
273
40
a) 2,28; 95,44. 
b) 52,28; 95,44. 
c) 2,28; 98,69. 
d) 98,69; 95,44. 
e) 98,65; 2,28. 
LETRA A
Teorema de Chebychev (A Desigualdade De Tchebycheff)
A proposta do pesquisador russo Pafnuty Lvovich Tchebycheff fornece meios para compreender 
como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado.
Se conhecermos a distribuição de probabilidade, podemos calcular E(x) e V(x). No entanto, 
se conhecermos E(x) e V(x), não é possível reconstruir a distribuição de probabilidade. Dessa 
forma, sabendo apenas a variância e a esperança não podemos calcular P(|x – E(x)| ≤ c), onde c 
é um valor pequeno qualquer.
Apesar da impossibilidade de calcular P(|x – E(x)| ≤ c) é possível estabelecer limites superiores 
e inferiores para a variabilidade ao redor do valor esperado.
A Equação:
ANTES É PRECISO LEMBRAR OS INTERVALOS BÁSICOS DAS DISTRIBUIÇÕES QUE SÃO: 
intervalo µ ± σ; intervalo µ ± 2σ; intervalo µ ± 3σ.
(I) COMPLEMENTAR: 
(II) PARA 
(III) PARA 
Unindo as três equações acima, para cálculo entre intervalos, chega-se a equação:
Onde K é o número de desvios padrões do intervalo que se deseja.
Vale atentar para os seguintes valores:
Quando K = 2 (intervalo µ ± 2σ): Ao menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no intervalo;
Quando K = 3 (intervalo µ ± 3σ): Ao menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no intervalo;
274
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
41
Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal
Aumentando-se o tamanho da amostra a distribuição de probabilidade binomial se aproxima 
da normal, passando a mesma variável do tipo discreto a ter o mesmo tratamento que uma 
variável do tipo contínuo, com E(x) = n . p e V(x) = n . p . q.
Distribuição “t” de Student
Esta distribuição “t” ou Student foi estudada por Gosset em 1908 e se refere a pequenas 
amostras, isto é, quando n < 30. Sua curva representativa é bem semelhante à curva normal, 
sendo também simétrica em relação a ordenada máxima, mas apresentando as extremidades 
com maior comprimento e mais elevadas, fato este que determina uma variância maior do que 
a distribuição normal.
É MUITO IMPORTANTE ATENTAR PARA OS SÍMBOLOS:
 = MÉDIA DA AMOSTRA;
µ = MÉDIA DA POPULAÇÃO;
S = DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA;
σ = DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO;
δ = GRAU DE LIBERDADE.
Na distribuição normal verificamos que ela depende dos parâmetros µ e σ. Mas na maioria 
das vezes, a variância populacional não é conhecida e as investigações ou análises são feitas 
a partir de amostras retiradas dessa população. Nessas condições o desvio padrão amostral S 
corresponderá a uma estimativa de σ, logo:
onde n – 1 corresponderá ao número de graus de liberdade δ, ou seja, o número de variáveis 
independentes, fixada uma condição.
Para cada amostra da população teremos:
Onde: = média da amostra
µ = média da população
275
42
A medida que o grau de liberdade aumenta t → Z, observando que ao ultrapassar 30 graus 
de liberdade já é possível usar a distribuição normal, pois a diferença entre os resultados será 
bastante pequena.
Genericamente, existe uma família de distribuições “t”, cuja forma tende à distribuição normal 
reduzida, à medida que n cresce (pois S tende a σ e, portanto, t tende a Z).
Distribuição Qui-quadrado (x2)
A distribuição Qui-quadrado possui numerosas aplicações em inferência estatística, tais 
como os testes não paramétricos. Sejam X1, X2, ..., Xn, variáveis aleatórias independentes, 
normalmente distribuídas com média zero e variância σ2. Define-se a variável aleatória x2, com 
δ graus de liberdade como sendo a soma do quadrado de δ variáveis normais padronizadas e 
independentes, isto é:
A distribuição x2 assume diversas formas gráficas dependendo do número de graus de liberdade
276
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43
Parâmetros da Distribuição:
E(x) = δ e V(x) = 2δ
Distribuição F de Snedecor
A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequentemente 
utilizada na inferência estatística para análise da variância
A distribuição F é uma distribuição de amostragem contínua da razão de duas variáveis aleatórias 
independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida por seus graus de liberdade. 
O distribuição F é assimétrica à direita e descrito pelos graus de liberdade de seu numerador 
(ν1) e denominador (ν2). Os gráficos a seguir mostram o efeito de diferentes valores de graus de 
liberdade na forma da distribuição, como por exemplo a curva abaixo:
Onde V1 = 1 e V2 = 9
Utiliza-se a distribuição F, quando uma estatística de teste é a razão entre duas variáveis que 
tenham, cada uma delas, uma distribuição do qui-quadrado. Por exemplo, use a distribuição F na 
análise de variância e em testes de hipóteses para determinar se duas variâncias de população 
são iguais. 
A) Principais Características:
 • Cada par de graus de liberdade da origem a uma distribuição F diferente;
 • A distribuição F depende de dois parâmetros. O primeiro (ν1) é o grau de liberdade do 
numerador e o segundo (ν2) do denominador;
 • A variável aleatória Fé não-negativa, e a distribuição é assimétrica à direita;
 • A distribuição F se parece com a distribuição qui-quadrado, no entanto, os parâmetros ν1 e 
ν2 fornecem flexibilidade extra em relação à forma;
277
44
B) Teorema: 
Sejam Q1 e Q2 variáveis aleatórias independentes, com distribuição qui-quadrado com ν1 e ν2 
graus de liberdade, respectivamente. Então, a variável aleatória 
tem distribuição F de Snedecor com ν1 graus de liberdade no numerador e ν2 graus de liberdade 
no denominador.
C) Relações Importantes: 
Observação:
Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais com 
variâncias iguais a σ2. Considere Y11, ...,Y1n uma amostra aleatória da primeira população com 
n observações e Y21, ...,Y2m uma amostra aleatória da segunda população com m observações. 
Então, a estatística 
tem distribuição F de Snedecor com (n − 1) graus de liberdade no numerador e (m − 1) graus 
de liberdade no denominador, onde S1 e S2 são os desvios padrão amostrais da primeira e da 
segunda amostra,respectivamente.
EXEMPLO: Em uma distribuição de probabilidade, a esperança matemática é 75, com uma 
variância de 25 e deseja-se calcular a probabilidade de uma variável aleatória X estar entre os 
limites de 67 a 83:
a) 75% de probabilidade.
b) 25% de probabilidade.
c) 60,9% de probabilidade.
d) 39,1% de probabilidade.
e) 89% de probabilidade. 
LETRA C
278
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45
Teste de Hipótese
Quando não temos certeza a respeito de uma afirmação sobre um parâmetro estatístico (média, 
desvio-padrão), dizemos que essa afirmação é uma hipótese
Um teste de hipótese é um processo estatístico que tem como finalidade verificar se uma 
determinada afirmação é verdadeira.
Erros em um teste de Hipótese:
Podemos cometer um erro ao analisar uma afirmação.
H0
verdadeira falsa
Aceitar H0 atitude certa erro II (β )
Rejeitar H0 erro I (α ) atitude certa
A probabilidade de se cometer um erro do tipo I é denominada de nível de significância
P(erro I) = α
Tipos de Testes:
a) Bilateral: H0: µ = P e H1: µ ≠ P (Rejeitar se Zcalc < – Zα ou Zcalc > Zα)
b) Unilateral à esquerda: H0: µ ≥ P e H1: µ < P (Rejeitar se Zcalc < – Zα)
c) Unilateral à direita: H0: µ ≤ P e H1: µ > P (Rejeitar se Zcalc > Zα)
 
279
46
Estrutura de um teste de hipótese:
a) formular as hipóteses H0 e H1.
b) escolher uma distribuição adequada (comumente a distribuição normal) para testar a média.
c) escolher um nível significância (valor crítico).
d) calcular a estatística teste.
Onde: 
µ = média afirmada em H0.
µ0 = média da amostra testada.
σ = desvio-padrão da população (ou amostra com n ≥ 30).
n = número de elementos da amostra.
e) comparar a estatística teste com a estatística tabelada (Zteste e Ztab).
f) rejeitar H0 se o valor de Zteste estiver na zona de rejeição, ou aceitar H0 se Zteste na área 
de aceitação.
Determinação Do Tamanho De Uma Amostra Com Base Na Estimativa Da Média 
Populacional
Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que concluíram um 
curso superior, no primeiro ano após a formatura. QUANTAS rendas devemos incluir em nossa 
amostra? A determinação do tamanho de uma amostra é problema de grande importância, 
porque:
 • amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de dinheiro;
 • e amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis.
Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar um 
parâmetro estatístico, como por exemplo, a média populacional (µ) .
A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da média 
populacional é dada por: 
Onde:
n = Número de indivíduos na amostra
Zα/2 = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado.
σ = Desvio-padrão populacional da variável estudada.
E = Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA (Identifica a diferença máxima entre a 
média amostral (X) e a verdadeira média populacional (µ), ou seja: ).
280
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
47
EXEMPLO: Suponhamos que uma indústria compre de certo fabricante parafusos cuja carga 
média de ruptura por tração é especificada em 50 Kg, o desvio-padrão das cargas de ruptura é 
suposto ser igual a 4 Kg.
O comprador deseja verificar se um grande lote de parafusos recebidos deve ser considerado 
satisfatório, no entanto existe alguma razão para se temer que a carga média de ruptura seja 
eventualmente inferior à 50 Kg. Se for superior não preocupa o comprador pois neste caso os 
parafusos seriam de melhor qualidade que a especificada.
A hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é inferior a 50 Kg. O comprador 
pode ter o seguinte critério para decidir se compra ou não o lote: resolve tomar uma amostra 
aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao ensaio de ruptura. Se a carga média de 
ruptura observada nesta amostra for maior que 48 Kg, com nível de significância de 5%, ele 
comprará o lote, caso contrário se recusará a comprar.
Resposta: 
EXEMPLO: Em um teste de hipóteses bilateral, com nível de significância α, cujas estatísticas de 
teste calculadas e tabeladas são designadas por Tc e T α/2, respectivamente, pode-se afirmar 
que:
a) Se – Tα/2 ≤ Tc ≤ Tα/2, rejeita-se H0
b) Se – Tα/2 ≤ Tc ≤ T/2, não se pode rejeitar H0
c) a probabilidade de se rejeitar H0, sendo H0 verdadeira, é igual a α/2
d) ocorre erro tipo I quando se aceita H) e H0 é falsa
e) se α for igual a 5%, então a probabilidade de ocorrer erro tipo II é 95% 
LETRA B
Análise de Variância – ANOVA
Técnica utilizada para comparação entre dois ou mais níveis de tratamento, de uma ou mais 
variáveis de teste (fatores de controle).
Para o cálculo da ANOVA é de fundamental importância primeiro calcular a Média e o Desvio 
Padrão de cada uma das varáveis a serem testadas.
Na ANOVA, a hipótese nula H0 determina que:
 • Não exista diferença significativa entre as variáveis testadas;
 • Amostras de uma mesma população de resultados.
H0: µA = µB ... = µn
Isto contra uma hipótese alternativa H1, que determina que:
 • Existe diferença significativa entre as variáveis testadas
Assim, tem-se que:
Caso Ho seja verdadeiro, existem duas para ter a análise:
281
48
 • Média das variâncias de cada amostra: (Dentro do Tratamento = Erro).
 • A partir da variância das médias amostrais, veja que para cada variável existe uma média, 
assim fazer a variância destas médias (Entre Tratamentos).
(onde n = tamanho das amostras de tratamento)
Assim a relação entre estes dois métodos, que uma distribuição de probabilidades (Z) já 
tabelado, gerando assim a estatística F:
Desta forma existem as seguintes relações:
 • F >> 1 = Rejeitar Ho ( o que quer dizer que as populações são muito diferentes)
 • F ≅ 1 = Aceitar Ho, logo confirma-se a teoria inicial, de aceitar Ho e com isso as populações 
são muito parecidas)
Quadro de ANOVA:
FONTE DE 
VARIABILIDADE
SOMA DOS 
QUADRADOS
GRAU DE 
LIBERDADE
QUADRADO 
MÉDIO RAZÃO F
Entre 
Tratamentos St = nt xt − x( )∑
2
vt =k−1 St
2 = St
vt
F= St
2
Sr
2
Dentro dos 
Tratamentos Sr = xt − x( )
2∑ vr =N−K Sr2 =
sr
vr
282
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49
Onde:
K = número de tratamentos ( variáveis)
nt = tamanho da amostra
N = Total de dados (soma dos dados de todas as amostras de cada variável N = n1 + n2 + ... + 
nn)
EXEMPLO: Um metalúrgica deseja fazer o teste de vida útil de brocas de corte. Foram escolhidos 
três fabricantes diferentes e foram obtidos os seguintes dados:
FATOR DE CONTROLE
A B C
245 257 281
259 227 276
255 252 257
247 237 261
241 238 254
251 220 260
271 216 254
256 229 258
Sabendo que: 
Xa = 253,23;
Sa = 9,6; 
Xb = 234,5; 
Sb = 14,5; 
Xc = 262,63; 
Sc = 10,2.
Pela análise da variância, a hipótese nula deve:
a) Ser rejeitada
b) Ser aceita
c) Não existem informações suficiente para análise
d) Está dentro do nível de significância F
e) É melhor rejeitar a hipótese alternativa H1. 
LETRA A
283
50
ANÁLISE DE REGRESSÃO
A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação 
existente entre duas variáveis.
1 – REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Dado um conjunto de valores observados de X e Y, construir um modelo de regressão linear de 
Y sobre X consiste em obter, a partir desses valores, uma reta que melhor represente a relação 
entre essas variáveis. A determinação dos parâmetros dessa reta é denominada ajustamento.
O processo de ajustamento deve partir da escolha da função através do qual os valores de X 
explicarão os de Y; para isso recorre-se a um gráfico conhecido como diagrama de dispersão. A 
função escolhida será aquela que for sugerida pelo conjunto dos pontos dispostos no diagrama.
No exemplo a seguir, tem -se um conjunto de pontos sugerindo uma função linear.
A reta é ajustada por:
2 – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
O primeiro passo na análise de regressão é obter as estimativas dos parâmetros do 
modelo. Os valores dessas estimativas serão obtidos a partir de uma amostra de n paresde 
valores(Xi, Yi), i = 1,...,n que correspondem a n pontos em um gráfico, como na Figura 1.2.1. No 
método de Mínimos Quadrados, não é necessário conhecer a forma da distribuição dos erros.
Suponha que é traçada uma reta arbitrária passando por esses pontos. No valor Xi da 
variável explicativa, o valor predito por esta reta é , enquanto o valor observado é Yi. 
Os desvios (erros) entre estes dois valores é , que corresponde a distância 
vertical do ponto à reta arbitrária.
284
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
51
O objetivo é estimar os parâmetros de modo que os desvios ( ) entre os valores 
observados e estimados sejam mínimos. Isso equivale a minimizar o comprimento do vetor de 
erros, 
Uma forma de obter essas estimativas é o Método de Mínimos Quadrados. Este método consiste 
em minimizar a soma dos quadrados dos desvios L, como na expressão abaixo:
Obviamente, que poderíamos calcular a distância entre a reta e os valores observados de 
diferentes formas. Por exemplo, poderíamos utilizar o módulo ao invés do quadrado, ou 
qualquer função de distância apropriada. A escolha do quadrado está na simplicidade dos 
cálculos envolvidos 
3 – REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
A equação de regressão estimada pode ser vista como uma tentativa para explicar as variações 
na vaiável dependente Y, que resultam das alterações das variáveis independentes X1, X2,...,Xk. 
Seja a média dos valores observados para a varável dependente.
Uma medida útil associada ao modelo de regressão é o grau em que as predições baseadas na 
equação, , superam as predições baseadas em . 
Se a dispersão (erro) associada equação é muito menor que a dispersão (erro) associada a , as 
predições baseadas no modelos serão melhores que as baseadas em . 
Dispersão em torno de ou Variação Total (SST):
 (Soma dos Quadrados Totais) (n – 1 grau de liberdade)
Dispersão em torno da regressão = Variação não Explicada (SSE)
(Soma dos Quadrados dos Resíduos) (1 grau de liberdade)
OBS: O ajustamento será tanto melhor quanto menor for SSE relativamente a SST
Dispersão em torno de e = Variação Explicada (SSR)
 (Soma dos Quadrados da Regressão) ((n – 2 grau de liberdade)
Assim: SST = SSE + SSR
285
52
E o quociente entre SSR e SST é o coeficiente de determinação (r2)
Note que: 0 ≤ r2 ≤ 1;
r2 ≅ 1 (próximo de 1) significa que grande parte da variação de Y é explicada linearmente pelas 
variáveis independentes;
r2 ≅ 0 (próximo de 0) significa que grande parte da variação de Y não é explicada linearmente 
pelas variáveis independentes.
Ou também este coeficiente pode ser utilizado como uma medida da qualidade do ajustamento, 
ou como medida da confiança depositada na equação de regressão como instrumento de 
previsão:
r2 ≅ 0 → modelo linear muito pouco adequado;
r2 ≅ 1 → modelo linear bastante adequado.
EXEMPLO: Os dados a seguir referem-se ao volume de precipitação pluviométrica (em mm) e ao 
volume de produção de leite tipo C (em milhões de litros), em determinada região do país.
ANO Produção de Leite C Índice Pluviométrico (mm)
1970 26 23
1971 25 21
1972 31 28
1973 29 27
1974 27 23
1975 31 28
1976 32 27
1977 28 22
1978 30 26
1979 30 25
A partir dos dados fornecidos, pede-se:
a) ajustar os dados através de um modelo linear. 
b) admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24 mm, qual deverá ser o volume 
esperado de produção do leite tipo C? 28,1
EXEMPLO: Um modelo de regressão linear múltipla foi estimado pelo método de Mínimos 
Quadrados, obtendo-se, com um nível de confiança de 95%, os seguintes resultados:
286
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53
Desse modo, pode-se afirmar que:
a) se a variável x1 for acrescida de uma unidade, então Y terá um acréscimo de 2,5 %.
b) 0,003 é o mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada.
c) x3 explica 95,32% das variações de Y em torno de sua média.
d) as probabilidades de se cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II são, respectivamente, iguais a 
5% e 95%.
e) se no teste de hipóteses individual para β2 se rejeitar a hipótese nula (H0), então tem-se 
fortes razões para acreditar que x2 não explica Y. 
LETRA B
287
54
TESTE DO QUI-QUADRADO
Este teste objetiva verificar se a frequência absoluta observada de uma variável é significativa-
mente diferente da distribuição de frequência absoluta esperada.
1 – TESTE DO QUI-QUADRADO PARA UMA AMOSTRA
Aplica-se quando se quer estudar a dependência entre duas variáveis, através de uma tabela de 
dupla entrada ou também conhecida como tabela de contingência.
Condições para a execução do teste:
1 – Exclusivamente para variáveis nominais e ordinais; 
2 – Observações independentes; 
3 – Não se aplica se 20% das observações forem inferiores a 5;
4 – Não pode haver frequências inferiores a 1. 
Nos dois últimos casos, se houver incidências desta ordem, aconselha-se agrupar os dados 
segundo um critério em específico.
Procedimento para a execução do teste:
1 – Determinar H0. Será a negativa da existência de diferenças entre a distribuição de frequência 
observada e a esperada;
2 – Estabelecer o nível de significância (µ );
3 – Determinar a região de rejeição de H0. Determinar o valor dos graus de liberdade (φ), sendo 
K – 1 (K = número de categorias). Encontrar, portanto, o valor do Qui-quadrado tabelado;
4 – Calcular o Qui Quadrado, através da fórmula.
d2 = (o – e)2
onde, 
o = frequência observada para cada classe; 
e = frequência esperada para aquela classe
ATENÇÃO: O CÁLCULO DO VALOR ESPERADO É: (NÃO ESQUEÇER QUE A 
TABELA É UMA MATRIZ (aij)).
A média dos desvios é nula, porem a elevação ao quadrado transforma todos os desvios em 
valores positivos, tornando possível a soma dos desvios sem haver cancelamento.
288
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
55
O teste x2 é, essencialmente, um mecanismo pelo qual os desvios de uma proporção hipotética 
são reduzidos a um único valor, que permite determinar uma probabilidade a respeito da 
casualidade ou não dos desvios entre as proporções observadas e esperadas, assim:
Assim, quando as frequências observadas são muito próximas às esperadas, o valor de x2 é 
pequeno, e quando as divergências são grandes, consequentemente assume valores altos. 
2 – DISTRIBUIÇÃO DO QUI-QUADRADO
Valores de x2 menores que 3,841têm 95% de probabilidade de ocorrência.
Valores de x2 menores que 6,635 têm 99% de probabilidade de ocorrência.
3 – TESTE DE HIPÓTESES
 • Hipótese nula (H0) – frequências observadas = frequências esperadas. Não há associação 
entre os grupos (casualidade).
 • Hipótese alternativa (H1) – as frequências observadas ≠ frequências esperadas. Os grupos 
estão associados.
 • Nível de significância (α): significa o risco de se rejeitar uma hipótese verdadeira. Deverá 
ser estabelecido antes da analise de dados e é usualmente fixado em 5% (P = 0,05).
 • O valor de x2 ao nível de significância α é denominado qui-quadrado crítico ou tabelado 
(x2c).
289
56
 • Graus de Liberdade (G.L.): é a diferença entre o numero de classes de resultados e o núme-
ro de informações da amostra que são necessários ao cálculo dos valores esperados nessas 
classes.
Regras de Decisão:
 • É necessário obter duas estatísticas: X² calculado: obtido diretamente dos dados das 
amostras e X² tabelado: depende do número de graus de liberdade e do nível de significância 
adotado.
 • Se X² calculado ≥ X² tabelado: Rejeita-se Ho. Se X² calculado < X² tabelado: Aceita-se Ho.
 • Quando se consulta a tabela de X² observa-se que é determinada uma probabilidade (P) de 
ocorrência de um determinado acontecimento.
 • Rejeita-se uma hipótese quando a máxima probabilidade de erro ao rejeitar aquela hipótese 
for baixa OU quando a probabilidade dos desvios terem ocorrido pelo simples acaso é baixa.
4 – TESTE DO QUI-QUADRADO PARA 
INDEPENDÊNCIA (DUAS AMOSTRAS)
A utilização do presente teste em pesquisa visa verificar se as distribuições de duas ou mais 
amostras não relacionadas diferem significativamenteem relação à determinada variável.
 • Ao aplicar o teste do X², supõe-se que o tamanho amostral será relativamente grande;
 • Quando a amostra é pequena e/ou que a frequência esperada em uma das classes é 
pequena(tipicamente, quando for menor que 5) a fórmula de obtenção de X² poderá 
produzir um valor significativo (> do que o X² crítico), e, portanto, maior do que o valor real;
290
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
57
 • Nos casos de tabelas 2 x 2, caso necessário, Fisher recomenda o uso de um fator de correção 
de continuidade de YATES para cada classe, a fim de evitar eventuais conclusões erradas.
 • De modo geral, usa-se a correção de Yates quando:
1) o valor de Qui-Quadrado obtido é maior que o crítico e o valor de N é menor que 40 ou;
2) o valor de Qui-Quadrado obtido é maior que o crítico e há pelo menos uma classe com 
frequência esperada menor que 5.
5 – COEFICIENTE DE CONTIGENCIA (CC)
O CC é um indicador do grau de associação entre duas variáveis analisadas pelo Qui-quadrado.
Quanto mais próximo de 1, melhor o coeficiente de contingência, que varia de 0 a 1, ou seja:
ENTRE 0 E 0,5: DE FRACO A MODERADO
ENTRE 0,5 E 1: DE MODERADO A FORTE
Onde: 
n = somatório total das linhas e colunas
K = o menor número possível de linhas ou colunas da tabela
EXEMPLO: Em um certo hospital, foi feita uma pesquisa entre vacinas e resfriados de seus 
pacientes, gerando a seguinte tabela:
VACINAÇÃO
FICAR RESFRIADO
RESFRIADO NÃO RESFRIADO
VACINADO 15 20
NÃO VACINADO 25 40
291
58
Foi feito então um estudo para se saber através destes dados, as relações entre resfriado e 
vacinação. Após o tratamento estatístico dos dados, através dos qui-quadrados, chegou-se a 
seguinte conclusão:
a) X2 = 0,183; CC = 0,6; Associação Forte 
b) X2 = 0,0183; CC = 0,06: Associação Fraca
c) X2 = 0,183; CC = 0,06: Associação Fraca
d) X2 = 0,183; CC = 0,6; Associação Fraca 
e) X2 = 0,0183; CC = 0,06: Associação Forte 
LETRA C
292
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CORRELAÇÃO
1 – CONCEITOS INICIAIS
Correlação é um valor que indica o grau de inter-relação de influência – algum tipo de associação 
– entre duas ou mais variáveis (por exemplo: grau de escolaridade e número de livros que uma 
pessoa possui).
Para se determinar a Correlação são necessárias as seguintes medidas estatísticas: Desvio 
Padrão (S), Variância (S2) e Covariância (Cov).
O Desvio Padrão e a Variância, já estudados anteriormente, são Medidas de Dispersão utilizadas 
quando desejamos saber o quão próximos ou quão afastados estão os elementos de um 
conjunto, em relação a um determinado referencial (a média aritmética do conjunto)
Propriedades da Variância
1ª) a Variância não é influenciada por operações de soma e subtração: S2X + ou -K = S
2
X, onde K é 
uma constante.
2ª) a Variância é influenciada por operações de produto e divisão: S2K+ ou – X = K
2 S2X, onde K é 
uma constante.
3ª) Propriedade da Variância de Duas Variáveis (Xi e Yi):
1 – S2X+Y = S
2
X + S
2
Y + 2.Cov(X,Y)
2 – S2X-Y = S
2
X + S
2
Y – 2.Cov(X,Y)
No entanto, em algumas situações, é necessário o conhecimento de uma informação adicional 
para uma análise mais apurada (por exemplo: peso e altura para uma análise do aspecto físico 
de um grupo de pessoas).
Para a análise da dispersão conjunta de duas variáveis temos a medida estatística denominada 
Covariância:
Propriedades da Covariância
1ª) a covariância não é influenciada por operações de soma e subtração: Cov(X A,Y B) = Cov(X,Y), 
onde A e B são constantes.
2ª) a covariância é influenciada por operações de produto e divisão: Cov(A X,B Y) = A.B. Cov(X,Y), 
onde A e B são constantes.
293
60
2 – CÁLCULO DA CORRELAÇÃO (R)
Fator de Correlação Linear de Pearson
O valor da correlação varia de – 1 a 1
 • Se r = – 1, Correlação negativa perfeita (linear decrescente)
 • Se – 1 < r < 0, Correlação negativa
 • Se r = 0, Correlação linear inexistente
 • Se 0 < r < 1, Correlação positiva
 • Se r = 1, Correlação positiva perfeita (linear crescente)
A correlação é positiva quando aumentando o valor de uma variável aumentará também o da 
outra, ou quando diminuindo o valor da primeira, a segunda também diminui; ou seja, teremos 
correlação positiva quando as duas variáveis oscilarem sempre no mesmo sentido.
A correlação é negativa quando as duas variáveis oscilarem em sentido inverso; ou seja, 
aumentando uma, diminuirá a outra, e vice-versa.
Propriedade: “A Correlação não é influenciada pelas operações algébricas”.
EXEMPLO: Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às variáveis x e y, 
porventura relacionadas:
Valores das variáveis x e y relacionadas
x y x2 y2 x y
1 5 1 25 5
2 7 4 49 14
3 12 9 144 36
4 13 16 169 52
5 18 25 324 90
6 20 36 400 120
21 75 91 1.111 317
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y.
a) 0,903 
b) 0,926 
c) 0,947 
d) 0,962 
e) 0,989 
LETRA E
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61
Números Índices Simples:
Os números índices simples podem ser chamados (como também os compostos) de relativos de 
base fixa ou relativos de ligação.
Números Índices Simples -Relativos de base fixa:
Neste caso um período é escolhido como referência, ou base, e todos os índices são computados 
em relação aos registros deste período específico. Usualmente no período base o índice recebe 
o valor 100. Os números índices simples podem ser de preço (quando calcula-se a razão entre o 
preço observado de um artigo em um período qualquer e o preço do mesmo artigo no período 
base), de quantidade (quando calcula-se a razão entre a quantidade observada de um artigo em 
um período qualquer e a quantidade no período base), e de valor (quando a razão é calculada 
pelo produto de preço e quantidade do artigo em um período qualquer e o produto de preço e 
quantidade do mesmo artigo no período base). Vejamos as equações:
Preço Quantidade Valor
po,t =
pt
p0
×100 qo,t =
qt
q0
×100 vo,t =
pt ×qt
p0 ×q0
×100
Onde p0 é o preço do artigo no período base, pt é o preço do artigo em um período qualquer, q0 
é quantidade do artigo no período base e qt é a quantidade do artigo em um período qualquer. 
Números Índices Relativos de Ligação:
Provavelmente devido à cultura inflacionária existente no Brasil não costumamos encontrar 
índices em valores absolutos. É bastante comum nos depararmos com os Números Índices 
Relativos de Ligação, que sintetizam as variações econômicas entre dois períodos consecutivos. 
Quando o IBGE divulga o IPC -A de determinado mês é apresentada apenas a variação percentual 
em relação ao mês imediatamente anterior. Para obter os números índices relativos de ligação 
de um período basta dividir o índice do período de interesse pelo do período imediatamente 
anterior.
Preço Quantidade Valor
pt−1,t =
pt
pt−1
×100 qt−1,t =
qt
qt−1
×100 vt−1,t =
pt ×qt
pt−1 ×qt−1
×100
Números Índices Compostos:
Os números índices compostos expressam variações no preço, quantidade ou valor de um 
grupo de itens. São chamados de agregados simples quando atribuem a mesma ponderação 
para todos os itens, desconsiderando a importância relativa de cada um. Já os índices agregados 
ponderados atribuem ponderações diferentes para os itens, o que pode permitir dar maior 
ênfase às variações em determinado item, sendo a forma mais utilizada. Os índices compostos 
mais utilizados são:
295
62
 • Índice de Laspeyres (época básica): ponderação é feita em função dos preços ou 
quantidades do período base. Podem ser calculados índices de preço e quantidade.
 • Índice de Paasche (época atual): ponderação é feita em função dos preços ou quantidades 
do período “atual”. Podem ser calculados índices de preço e quantidade.
 • Outros índices: Fischer, Marshall – Edgeworth, Drobish, Divisia, e os índices de preços 
normalmente utilizados no Brasil(IGP-M, INPC, IPC-A, ICV do DIEESE, IPC da FIPE).
Índice de Laspeyres
No índice de Laspeyres a ponderação é feita em função dospreços e quantidades do período 
base. Por causa disso ele tende a exagerar a alta, por considerar as quantidades (ou preços) 
iguais aos do período base. As equações:
Índice de preços LO,tp =
i=1
n∑ pt,i ×q0,i( )
i=1
n∑ p0,i ×q0,i( )
×100
Índice de quantidades LO,tq =
i=1
n∑ qt,i ×p0,i( )
i=1
n∑ q0,i ×p0,i( )
×100
Onde n é o número de itens, pt,i é o preço de um item qualquer no período “atual”, p0,i é 
o preço de um item qualquer no período base, qt,i é a quantidade de um item qualquer no 
período atual, e q0,i é a quantidade de um item qualquer no período base.
Índice de Paasche
No índice de Paasche a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do período atual. 
Por causa disso ele tende a exagerar a baixa, por considerar as quantidades (ou preços) iguais 
aos do período atual. A mudança constante da época “atual” pode encarecer a pesquisa para 
identificar os pesos. Por essa razão os índices de preços, que costumam fazer as ponderações 
dos diversos itens com base em pesquisas de orçamentos familiares, geralmente utilizam a 
fórmula de Laspeyres (ou alguma modificação dela). 
Índice de preços PO,tp =
i=1
n∑ pt,i ×qt,i( )
i=1
n∑ p0,i ×qt,i( )
×100
Índice de quantidades PO,tq =
i=1
n∑ qt,i ×pt,i( )
i=1
n∑ q0,i ×pt,i( )
×100
296
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA | PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
63
Onde n é o número de itens, pt,i é o preço de um item qualquer no período “atual”, p0,ié o preço 
de um item qualquer no período base, qt,i é a quantidade de um item qualquer no período 
atual, e q0, i é a quantidade de um item qualquer no período base.
Mudança de base de um número índice.
A escolha da base de um número índice é muitas vezes uma tarefa difícil. É preciso escolher 
um período relativamente estável, o mais “típico” possível, quando a atividade econômica não 
estiver sendo afetada por variações estruturais ocasionais. No Brasil, onde a economia parece 
estar sendo sempre sacudida, em maior ou menor grau, por flutuações e crises de todo tipo a 
escolha da base torna-se ainda mais controvertida: talvez por isso haja tanta predileção pelos 
índices relativos de ligação. De qualquer forma, independente do índice, pode ser interessante, 
ou necessário, mudar a base de um número índice por duas razões:
 • para atualizar a base, tornando-a mais próxima da realidade atual (por este motivo, 
periodicamente o IBGE realiza pesquisas de orçamento familiar, com a finalidade de incluir 
as mudanças nos hábitos de consumo nas ponderações dos seus índices).
 • para permitir a comparação de duas séries de índices que tenham bases diferentes. 
O procedimento é extremamente simples: basta dividir toda a série de números índices originais 
pelo número índice do período escolhido como nova base. Isso preservará as diferenças relativas 
entre eles.
Série temporal
“As variações de preço, causadas por inflação ou deflação, podem obscurecer as variações de 
quantidade”. Isso significa que às vezes o que parece ser um crescimento de vendas, ou aumento 
na participação no mercado (por apresentar maior faturamento) deve-se mais a flutuações de 
preços, ou desvalorizações cambiais, do que realmente a acréscimos nas quantidades vendidas. 
Este problema torna-se mais grave se examinamos longas séries temporais, incluindo vários 
anos (considerando, no caso do Brasil, as grandes mudanças estruturais que a economia sofreu, 
o problema torna-se ainda mais sério). 
É preciso fazer a deflação da série temporal. Em outras palavras, remover o efeito da inflação 
nos valores da série temporal. Devemos procurar um número índice apropriado para isso:
 • se for uma empresa que vende diretamente ao consumidor final, no varejo, utilizar como 
deflator um índice de preços ao consumidor (como o IPC-A do IBGE, o IPC da FIPE, etc.);
 • se a empresa vender bens de capital, ou realizar vendas no atacado, devemos utilizar um 
índice que retrate as flutuações de tal mercado (como o IGP-M da Fundação Getúlio Vargas, 
do qual 60% deve-se ao Índice de Preços por Atacado, calculado pela mesma instituição);
 • se a empresa exporta, seria interessante incluir também a flutuação da taxa de câmbio do 
país (ou países de destino).
É importante ressaltar que é preciso ter os números índices de base fixa. Se apenas os relativos 
de ligação forem disponíveis é necessário aplicar o procedimento visto no número índice 
relativo de ligação para obter os números índices de base fixa. Independente do deflator (índice) 
escolhido o procedimento é similar:
297
64
Valor deflacionado = (valor original/índice) x 100
EXEMPLO: usando 2016 como base, obtenha os índices de Paasche de preços e quantidades e 
de Laspeyres de preço e quantidade.
Artigos
2016 2017 2018
Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade
1 2 4 2 5 3 6
2 3 3 4 2 6 3
3 5 2 6 5 8 6
298
CONHECIMENTOS 
BANCÁRIOS
PROF. JUCA SIADE
299
300
CONTEÚDO
1 ESTRUTURA DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL ....................................................... 05
1.1. CONSELHO MONETÁRIO NACIONAL – CMN ............................................................ 06
1.2. BANCO CENTRAL DO BRASIL (BC OU BACEN) .......................................................... 08
1.2.1. COMITÊ DE POLÍTICA MONETÁRIA – COPOM ................................................ 11
1.3. COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS – CVM......................................................... 12
EXERCÍCIOS – ESTRUTURA DO SFN ................................................................................. 14
2. PRODUTOS BANCÁRIOS .............................................................................................. 24
2.1. NOÇÕES DE CARTÕES DE CRÉDITO E DÉBITO .......................................................... 24
2.2. CRÉDITO DIRETO AO CONSUMIDOR – CDC .............................................................. 28
2.3. CRÉDITO RURAL ....................................................................................................... 28
2.4. CADERNETA DE POUPANÇA ..................................................................................... 32
2.5. CAPITALIZAÇÃO ....................................................................................................... 34
2.6. PREVIDÊNCIA PRIVADA ............................................................................................ 36
2.7. INVESTIMENTOS ...................................................................................................... 40
2.8. PLANOS DE SEGUROS .............................................................................................. 42
EXERCÍCIOS – PRODUTOS E SERVIÇOS FINANCEIROS ..................................................... 45
3. NOÇÕES DO MERCADO DE CAPITAIS ........................................................................... 53
3.1. TIPOS DE COMPANHIAS ........................................................................................... 55
3.2. AÇÕES – CARACTERÍSTICAS GERAIS ......................................................................... 56
3.3. MERCADOS PRIMÁRIO E SECUNDÁRIO ................................................................... 58
3.4. OPERAÇÕES DE UNDERWRITING ............................................................................. 59
3.5. FUNCIONAMENTO DO MERCADO À VISTA DE AÇÕES ............................................. 60
3.6. DEBÊNTURES ........................................................................................................... 60
3.7. COMMERCIAL PAPERS ............................................................................................. 61
4. NOÇÕES DO MERCADO DE CÂMBIO ............................................................................ 63
4.1. TAXAS DE CÂMBIO ................................................................................................... 64
4.2. OPERAÇÕES DO MERCADO DE CÂMBIO .................................................................. 64
4.3. INSTITUIÇÕES AUTORIZADAS A OPERAR .................................................................65
4.4. CONTRATO DE CÂMBIO ........................................................................................... 66
4.5. VALOR EFETIVO TOTAL (VET) ................................................................................... 66
4.6. POSIÇÃO DE CÂMBIO .............................................................................................. 67
SUMÁRIO
301
4
4.7. SWAP CAMBIAL ....................................................................................................... 67
EXERCÍCIOS – MERCADO DE CAPITAIS E DE CÂMBIO ..................................................... 69
5. GARANTIAS DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL ....................................................... 77
5.1. AVAL E FIANÇA ......................................................................................................... 77
5.2. HIPOTECA, PENHOR E ALIENAÇÃO FIDUCIÁRIA ....................................................... 79
5.3. FIANÇA BANCÁRIA ................................................................................................... 82
5.4. FUNDO GARANTIDOR DE CRÉDITO – FGC ................................................................ 83
6. CRIME DE LAVAGEM DE DINHEIRO .............................................................................. 86
6.1. ETAPAS DA LAVAGEM DE DINHEIRO ........................................................................ 86
6.2. PREVENÇÃO E COMBATE À LAVAGEM DE DINHEIRO ............................................... 88
7. AUTORREGULAÇÃO BANCÁRIA ................................................................................... 113
EXERCÍCIOS – GARANTIAS, LAVAGEM DE DINHEIRO E AUTORREGULAÇÃO ................... 118
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................... 128
302
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS
5
MÓDULO 1
1. ESTRUTURA DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
Conceito
Compreende-se o Sistema Financeiro Nacional – SFN, como sendo o conjunto de instituições que 
se dedicam, direta ou indiretamente, para oferecer condições satisfatórias à manutenção de um 
fluxo de recursos entre poupadores (agentes superavitários) e tomadores (agentes deficitários).
Estrutura do SFN
O SFN é organizado por agentes normativos, supervisores e operadores. Os órgãos normativos 
determinam regras gerais para o bom funcionamento do sistema. As entidades supervisoras 
trabalham para que os integrantes do sistema financeiro sigam as regras definidas pelos órgãos 
normativos. Os operadores são as instituições que ofertam serviços financeiros, no papel de 
intermediários.
303
6
O principal ramo do SFN lida diretamente com quatro tipos de mercado: 
 • MERCADO MONETÁRIO: é o mercado que fornece à economia papel-moeda e moeda escri-
tural, aquela depositada em conta-corrente; 
 • MERCADO DE CRÉDITO: é o mercado que fornece recursos para o consumo das pessoas em 
geral e para o funcionamento das empresas; 
 • MERCADO DE CAPITAIS: é o mercado que permite às empresas em geral captar recursos de 
terceiros e, portanto, compartilhar os ganhos e os riscos; 
 • MERCADO DE CÂMBIO: é o mercado de compra e venda de moeda estrangeira.
1.1. Conselho Monetário Nacional – CMN
O Conselho Monetário Nacional (CMN) é o órgão superior do Sistema Financeiro Nacional (SFN) 
e tem a responsabilidade de formular a política da moeda e do crédito. Seu objetivo é a estabili-
dade da moeda e o desenvolvimento econômico e social do país.
Composição do CMN
 • Ministro da Economia (presidente do Conselho)
 • Presidente do Banco Central
 • Secretário Especial de Fazenda do Ministério da Economia
O CMN reúne-se ordinária (uma vez ao mês) e/ou extraordinariamente para discutir assuntos 
de interesse do SFN. As matérias aprovadas são regulamentadas por meio de Resoluções divul-
gadas no Diário Oficial da União (DOU) e na página de normas do Conselho e do Banco Central 
(BC).
São objetivos do CMN:
 • adaptar o volume dos meios de pagamento às reais necessidades da economia nacional e 
seu processo de desenvolvimento;
 • regular o valor interno da moeda, prevenindo ou corrigindo os surtos inflacionários ou de-
flacionários de origem interna ou externa;
 • regular o valor externo da moeda e o equilíbrio no balanço de pagamento do país;
 • orientar a aplicação dos recursos das instituições financeiras públicas ou privadas de forma 
a garantir condições favoráveis ao desenvolvimento equilibrado da economia nacional;
 • zelar pela liquidez e pela solvência das instituições financeiras;
 • propiciar o aperfeiçoamento das instituições e dos instrumentos financeiros, de forma a 
tornar mais eficiente o sistema de pagamento e mobilização de recursos;
 • coordenar as políticas monetária, creditícia, orçamentária, fiscal e da dívida pública, interna 
e externa. 
304
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
7
São atribuições do CMN:
 • autorizar as emissões de papel-moeda;
 • aprovar os orçamentos monetários preparados pelo BC;
 • fixar as diretrizes e normas da política cambial, inclusive quanto a compra e venda de ouro e 
quaisquer operações em direitos especiais de saque e em moeda estrangeira; 
 • disciplinar o crédito em suas modalidades e as formas das operações creditícias;
 • limitar, sempre que necessário, as taxas de juros, descontos comissões e qualquer outra for-
ma de remuneração de operações e serviços bancários ou financeiros;
 • estabelecer a meta para inflação;
 • determinar a percentagem máxima dos recursos que as instituições financeiras poderão 
emprestar a um mesmo cliente ou grupo de empresas; 
 • regulamentar as operações de redesconto; 
 • expedir normas gerais de contabilidade e estatística a serem observadas pelas instituições 
financeiras;
 • outorgar ao BC o monopólio de operações de câmbio quando o balanço de pagamento o 
exigir;
 • estabelecer normas a serem seguidas pelo BC nas transações com títulos públicos; 
 • regular a constituição, o funcionamento e a fiscalização de todas as instituições financeiras 
que operam no país.
Junto ao CMN funciona a Comissão Técnica da Moeda e do Crédito (Comoc) como órgão de 
assessoramento técnico na formulação da política da moeda e do crédito do País. A Comoc ma-
nifesta-se previamente sobre os assuntos de competência do CMN. Além da Comoc, a legislação 
prevê o funcionamento de mais sete comissões consultivas.
305
8
Membros da COMOC
 • Presidente do Banco Central – coordenador
 • Presidente da Comissão de Valores Mobiliários 
 • Secretário-Executivo do Ministério da Economia 
 • Secretário de Política Econômica do Ministério da Economia
 • Secretário do Tesouro Nacional do Ministério da Economia
 • Diretores do Banco Central do Brasil*
* Segundo o regimento interno da Comoc, são "quatro diretores do Banco Central do Bra-
sil, indicados pelo seu Presidente". Como esta indicação é alterada de acordo com a pauta 
das reuniões, todos os diretores do BC tornam-se membros potenciais da Comoc.
SAIBA MAIS...
 • A Secretaria-Executiva do CMN é exercida pelo Banco Central do Brasil;
 • Participam das reuniões do CMN: os Conselheiros, os membros da Co-
moc, os Diretores de Administração e Fiscalização do Banco Central do 
Brasil e representantes das Comissões Consultivas, quando convocados 
pelo Presidente do CMN;
 • Poderão assistir às reuniões do CMN: assessores credenciados indivi-
dualmente pelos conselheiros, convidados do presidente do conselho 
e funcionários da secretaria-executiva do conselho, credenciados pelo 
Presidente do Banco Central do Brasil;
 • Somente aos conselheiros do CMN é dado o direito de voto.
 
1.2. Banco Central do Brasil (BC ou Bacen)
O Banco Central é uma autarquia federal ligada ao Ministério da Economia, que tem como mis-
são garantir a estabilidade do poder de compra da moeda do país, o Real, e assegurar a eficiên-
cia e o bom funcionamento do mercado financeiro local. A instituição é responsável por execu-
tar a estratégia estabelecida pelo Conselho Monetário Nacional (CMN) para manter a inflaçãosob controle e atua como secretaria executiva desse órgão.
A Diretoria Colegiada do Bacen é composta por até nove membros, um dos quais o Presidente, 
todos nomeados pelo Presidente da República, entre brasileiros de ilibada reputação e notória 
capacidade em assuntos econômico-financeiros, após aprovação pelo Senado Federal. A Direto-
ria é assim composta:
 • Presidência;
 • Diretoria de Administração;
 • Diretoria de Assuntos Internacionais e Gestão de Riscos Corporativos;
 • Diretoria de Fiscalização;
306
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
9
 • Diretoria de Organização do Sistema Financeiro e de Resolução;
 • Diretoria de Política Econômica;
 • Diretoria de Política Monetária;
 • Diretoria de Regulação; e
 • Diretoria de Relacionamento Institucional e Cidadania.
A Diretoria Colegiada reúne-se, ordinariamente, uma vez por semana e, extraordinariamente, 
na forma prevista no Regimento do Bacen, presentes, no mínimo, o Presidente, ou seu substitu-
to, e metade do número de Diretores.
O Bacen tem sede em Brasília, capital do País, e representações nas capitais dos Estados do Rio 
Grande do Sul, Paraná, São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Ceará e 
Pará. Essas últimas auxiliam no fornecimento de dinheiro em cédulas e moedas, estudam a con-
juntura regional, fiscalizam instituições financeiras e prestam atendimento direto aos cidadãos 
que não podem comparecer à sede em Brasília.
 
São atribuições do Bacen:
 • emitir papel-moeda e moeda metálica nas condições e limites autorizados pelo CMN;
 • executar os serviços do meio circulante;
 • receber os recolhimentos compulsórios dos bancos comerciais e os depósitos voluntários 
das instituições financeiras e bancárias que operam no país;
 • realizar operações de redesconto e empréstimo às instituições financeiras dentro de um 
enfoque de política econômica do governo ou como socorro a problemas de liquidez;
 • regular a execução dos serviços de compensação de cheques e outros papéis;
 • efetuar, como instrumento de política monetária, operações de compra e venda de títulos 
públicos federais;
 • exercer o controle de crédito sob todas as suas formas;
Edifício Sede do Bacen em Brasília
307
10
 • exercer a fiscalização das instituições financeiras, punindo-as quando necessário;
 • autorizar o funcionamento, estabelecendo a dinâmica operacional, de todas as instituições 
financeiras;
 • estabelecer as condições para o exercício de quaisquer cargos de direção nas instituições 
financeiras privadas;
 • vigiar a interferência de outras empresas nos mercados financeiros e de capitais;
 • controlar o fluxo de capitais estrangeiros, garantindo o correto funcionamento do mercado 
cambial, operando, inclusive, via ouro, moeda ou operações de crédito no exterior.
Múltiplas Atividades 
Em resumo, é por meio do BC que o Estado intervém diretamente no sistema financeiro e, indi-
retamente, na economia.
ATENÇÃO!
É muito comum o Bacen ter um número de diretores inferior ao número de 
diretorias. Salienta-se que a autarquia sempre terá 9 (nove) diretorias, mas 
nem sempre terá 9 (nove) diretores. Por isso temos que ratificar que “a Dire-
toria Colegiada do Bacen é composta por ATÉ nove membros”.
 
308
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
11
1.2.1. Comitê De Política Monetária – COPOM
O Comitê de Política Monetária (Copom) foi instituído em 20 de junho de 1996, com o objetivo 
de estabelecer as diretrizes da política monetária e de definir a taxa de juros.
A reunião do Copom segue um processo que procura embasar da melhor forma possível a sua 
decisão. Os membros do Copom assistem a apresentações técnicas do corpo funcional do BC, que 
tratam da evolução e perspectivas das economias brasileira e mundial, das condições de liquidez 
e do comportamento dos mercados. Assim, o Comitê utiliza um amplo conjunto de informações 
para embasar sua decisão. De-
pois, a reunião é reservada para 
a discussão da decisão entre os 
membros. A decisão é tomada 
com base na avaliação do cená-
rio macroeconômico e os prin-
cipais riscos a ele associados. 
Todos os membros do Copom 
presentes na reunião votam e 
seus votos são divulgados, ca-
bendo ao Presidente voto de 
qualidade. As decisões do Co-
pom são tomadas visando com 
que a inflação medida pelo IPCA 
situe-se em linha com a meta 
definida pelo CMN.
A decisão do Copom é divulgada no mesmo dia da decisão por meio de Comunicado na internet. 
O período de vigência da meta para a Taxa Selic terá início no dia útil seguinte a cada reunião 
do Copom. As Atas das reuniões do Copom são publicadas no prazo de até seis dias úteis após 
a data da realização das reuniões. Normalmente, as reuniões do Copom ocorrem em terças e 
quartas-feiras e a ata é divulgada na terça-feira da semana seguinte, às 8h.
309
12
O calendário anual das reuniões ordinárias será divulgado mediante Comunicado do Diretor de 
Política Monetária até o fim do mês de junho do ano anterior, admitindo-se ajustes até o último 
dia do ano de sua divulgação.
Uma vez definida a taxa Selic, o Banco Central atua diariamente por meio de operações de mer-
cado aberto – comprando e vendendo títulos públicos federais – para manter a taxa de juros 
próxima ao valor definido na reunião.
A taxa de juros Selic é a referência para os demais juros da economia. Trata-se da taxa média 
cobrada em negociações com títulos emitidos pelo Tesouro Nacional, registradas diariamente 
no Sistema Especial de Liquidação e de Custódia (Selic). 
Para que a política monetária atinja seus objetivos de maneira eficiente, o Banco Central precisa 
se comunicar de forma clara e transparente. Além do comunicado e da ata da reunião, o Banco 
Central publica, a cada trimestre, o Relatório de Inflação, que analisa a evolução recente e as 
perspectivas da economia, com ênfase nas perspectivas para a inflação.
1.3. Comissão de Valores Mobiliários – CVM
A Comissão de Valores Mobiliários – CVM é 
uma autarquia vinculada ao Ministério da Eco-
nomia, com personalidade jurídica e patrimô-
nio próprios, dotada de autoridade administra-
tiva independente, ausência de subordinação 
hierárquica, mandato fixo e estabilidade de 
seus dirigentes, e autonomia financeira e orça-
mentária.
A CVM é administrada por um Presidente e quatro Diretores, nomeados pelo Presidente da 
República, depois de aprovados pelo Senado Federal, dentre pessoas de ilibada reputação e 
reconhecida competência em matéria de mercado de capitais. O mandato dos dirigentes será 
de cinco anos, vedada a recondução, devendo ser renovado a cada ano um quinto dos membros 
do Colegiado.
 • REUNIÕES DO COLEGIADO: O Colegiado da CVM se reúne semanalmente, em sessão reser-
vada, para analisar as matérias de competência da Autarquia, inclusive sobre as questões 
decididas pelas suas diversas áreas executivas, atuando como órgão máximo de delibera-
ção.
 • INFORMATIVOS DO COLEGIADO: Os Informativos do Colegiado, contendo somente as deci-
sões proferidas, são disponibilizados até o dia seguinte ao encontro na página da CVM. 
São objetivos da CVM:
 • assegurar o funcionamento eficiente e regular dos mercados de bolsa e de balcão; 
 • proteger os titulares de valores mobiliários contra emissões irregulares e atos ilegais de ad-
ministradores e acionistas controladores de companhias ou de administradores de carteira 
de valores mobiliários; 
 • evitar ou coibir modalidades de fraude ou manipulação destinadas a criar condições artifi-
ciais de demanda, oferta ou preço de valores mobiliários negociados no mercado;
310
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
13
 • assegurar o acesso do público a informações sobre valores mobiliários negociados e as com-
panhias que os tenham emitido; 
 • assegurar a observância de práticas comerciais equitativas no mercado de valores mobiliá-
rios; 
 • estimular a formação de poupança e sua aplicação em valores mobiliários; 
 • promover a expansão e o funcionamento eficiente e regular do mercado de ações e estimu-
lar as aplicações permanentesem ações do capital social das companhias abertas.
São atribuições da CVM:
 • registro de companhias abertas;
 • registro de distribuições de valores mobiliários;
 • credenciamento de auditores independentes e administradores de carteiras de valores mo-
biliários;
 • organização, funcionamento e operações das bolsas de valores;
 • negociação e intermediação no mercado de valores mobiliários;
 • administração de carteiras e a custódia de valores mobiliários;
 • suspensão ou cancelamento de registros, credenciamentos ou autorizações;
 • suspensão de emissão, distribuição ou negociação de determinado valor mobiliário ou de-
cretar recesso de bolsa de valores. 
311
14
QUESTÕES
EXERCÍCIOS – ESTRUTURA DO SFN
1. (FGV – 2014 – BNB) 
O Banco Central do Brasil (BC ou BACEN) foi criado pela lei nº 4595, de 31/12/1964, para atuar 
como órgão executivo central do sistema financeiro, tendo como funções cumprir e fazer cum-
prir as disposições que regulam o funcionamento do sistema e as normas expedidas pelo CMN 
(Conselho Monetário Nacional). Entre as atribuições do Banco Central estão:
a) emitir papel-moeda, exercer o controle do crédito e exercer a fiscalização das instituições 
financeiras, punindo-as quando necessário.
b) determinar as taxas de recolhimento compulsório, autorizar as emissões de papel-moeda e 
estabelecer metas de inflação.
c) regulamentar as operações de redesconto de liquidez, coordenar as políticas monetárias 
creditícia e cambial e estabelecer metas de inflação.
d) regular o valor interno da moeda, regular o valor externo da moeda e zelar pela liquidez e 
solvência das instituições financeiras.
e) determinar as taxas de recolhimento compulsório, regular o valor interno e externo da mo-
eda e autorizar as emissões de papel-moeda.
2. (FGV – 2014 – BNB) 
O Conselho Monetário Nacional (CMN) é o órgão responsável pela fixação das diretrizes das po-
líticas monetária, creditícia e cambial do país. Não cabem ao CMN funções executivas. 
O número de membros do CMN foi variável desde a sua criação (31/12/1964), de acordo com 
as exigências políticas e econômicas de cada Governo. Em razão da Lei nº 9.069/95, em vigor, o 
CMN passou a ser integrado por:
a) 11 (onze) membros.
b) 10 (dez) membros.
c) 8 (oito) membros.
d) 4 (quatro) membros.
e) 3 (três) membros.
3. (FGV – 2014 – BNB) 
O Sistema normativo é composto pelas entidades que regulam e fiscalizam o funcionamento do 
Sistema Financeiro Nacional. Por esse motivo estão no topo do organograma, ou seja, as outras 
instituições têm que, obrigatoriamente, acatar as decisões do sistema normativo. Entre as enti-
dades que compõem o Sistema Normativo, encontram-se:
a) sociedades corretivas e distribuidoras.
b) bancos múltiplos e de investimento.
312
15
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
c) Banco do Brasil e Caixa Econômica Federal.
d) Conselho Monetário Nacional e Banco Central do Brasil.
e) Bolsa de Valores e Comissão de Valores Mobiliários (CVM).
4. (FGV – 2014 – BNB) 
O Conselho Monetário Nacional (CMN) é o órgão superior do Sistema Financeiro. A política do 
CMN objetiva:
a) regular o valor interno e externo da moeda.
b) controlar exclusivamente o fluxo de capitais estrangeiros.
c) realizar operações de redesconto e empréstimos, como instrumento de política monetária 
como auxílio a problemas de liquidez.
d) fiscalizar a interferência de outras sociedades nos mercados financeiros e de capitais.
e) emitir papel moeda e moeda metálica.
5. (PAC – 2014 – BANPARÁ) 
Compete a ele fixar as metas de inflação e os respectivos intervalos de tolerância de acordo com 
a estratégia governamental:
a) CMN.
b) BACEN.
c) COPOM.
d) SFN.
e) CETIP.
6. (PAC – 2014 – BANPARÁ) 
É um órgão deliberativo máximo do Sistema Financeiro Nacional.
a) Banco Central do Brasil.
b) Conselho Monetário Nacional.
c) Comissão de Valores mobiliários.
d) Conselho Nacional de Seguros Privados.
e) Banco do Brasil.
7. (PAC – 2014 – BANPARÁ) 
A Comissão de Valores Mobiliários – CVM é responsável por regulamentar, desenvolver, contro-
lar e fiscalizar o mercado de valores, portanto, tem a função de:
a) Assegurar o funcionamento eficiente das bolsas de valores, do mercado de balcão e das bol-
sas de mercadorias e futuros.
b) Zelar pela liquidez e solvência das instituições financeiras nacionais.
c) Controlar o nível de preços(Inflação).
d) Fiscalizar o funcionamento das instituições financeiras.
e) Todas as alternativas estão certas.
313
16
8. (CESGRANRIO – 2014 – Banco da Amazônia) 
Atualmente, o Sistema Financeiro Nacional é composto por órgãos normativos, entidades su-
pervisoras e por operadores.
Um dos órgãos normativos que compõe o Sistema Financeiro Nacional é o(a):
a) Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social – BNDES.
b) Banco Comercial.
c) Conselho Monetário Nacional.
d) Bolsa de Valores.
e) Superintendência de Seguros Privados – SUSEP.
9. (CESGRANRIO – 2014 – Banco da Amazônia – Adaptada) 
A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) é uma entidade que compõe o sistema financeiro na-
cional, além de ser uma autarquia vinculada ao Ministério da Economia. 
A CVM é responsável por:
a) realizar transações de compra e venda de títulos e valores mobiliários, em mercado livre e 
aberto.
b) regulamentar, desenvolver, controlar e fiscalizar o mercado de valores mobiliários do país
c) controlar e fiscalizar o mercado de seguro, a previdência privada aberta e a capitalização. 
d) negociar contratos de títulos de capitalização.
e) garantir o poder de compra da moeda nacional.
10. (CESPE – 2014 – Caixa Econômica Federal) 
Com referência às funções do BCB, julgue os itens subsequentes.
1. O CMN, órgão normativo que estabelece as regras de funcionamento e fiscalização dos en-
tes participantes do SFN, é hierarquicamente subordinado ao BCB.
( ) Certo   ( ) Errado
2. O Brasil segue o regime de metas de inflação. Caso a meta não seja cumprida, o presidente 
do BCB divulgará publicamente as razões do descumprimento, por meio de carta aberta ao mi-
nistro de estado da Fazenda.
( ) Certo   ( ) Errado
11. (CESPE – 2014 – Caixa Econômica Federal) 
A respeito das funções da CVM, julgue os próximos itens.
1. A CVM é uma entidade privada sem fins lucrativos, com personalidade jurídica e patrimônio 
próprios, dotada de autoridade administrativa independente.
( ) Certo   ( ) Errado
2. Compete à CVM manter o registro de companhias para negociação em bolsa e em mercado 
de balcão.
( ) Certo   ( ) Errado
314
17
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
12. (FCC – 2014 – METRÔ-SP) 
Alguns dos principais objetivos da Comissão de Valores Mobiliários são: 
I. Estimular a aplicação de poupança no mercado acionário. 
II. Assegurar o funcionamento eficiente e regular das bolsas de valores e instituições auxiliares. 
III. Fiscalizar a emissão, o registro, a distribuição e a negociação de títulos emitidos pelas socie-
dades anônimas de capital aberto. 
IV. Fiscalizar o mercado interbancário de câmbio e das operações com certificados de depósito 
interfinanceiro. 
É correto o que consta APENAS em
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II, III e IV.
e) I, II e III.
13. (CESGRANRIO – 2014 – Banco do Brasil) 
No Brasil, a condução e a operação diárias da política monetária, com o objetivo de estabilizar a 
economia, atingindo a meta de inflação e mantendo o sistema financeiro funcionando adequa-
damente, são uma responsabilidade do(a).
a) Caixa Econômica Federal.
b) Comissão de Valores Mobiliários.
c) Banco do Brasil.
d) Banco Central do Brasil.
e) Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social.
14. (CESGRANRIO – 2014 – Banco do Brasil) 
O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central do Brasil estabelece as ações que 
definem a política monetária do governo.
O Copom:
a) administra as reservas em divisas internacionais do Brasil.
b) determina periodicamente a taxa de juros interbancários de referência, a taxa Selic.
c) é presidido pelo Ministro da Fazenda.
d) impõe limites mínimos de capitalização aos bancoscomerciais.
e) impede a entrada de capitais financeiros especulativos no país.
15. (INAZ do Pará – 2014 – BANPARÁ) 
Compete a ele fixar as metas de inflação e os respectivos intervalos de tolerância de acordo com 
a estratégia governamental:
a) CMN.
b) BACEN.
c) COPOM.
d) SFN.
e) CETIP.
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16. (FUNDATEC – 2015 – BRDE – Adaptada em 2019) 
O Conselho Monetário Nacional (CMN) foi instituído pela Lei nº 4.595/1964. São integrantes do 
Conselho Monetário Nacional:
I. Presidente do Banco Central do Brasil.
II. Secretário Especial de Fazenda do Ministério da Economia
III. Ministro da Economia
IV. Secretário da Receita Federal.
V. Ministro-chefe da Casa Civil.
VI. Secretário-geral da Presidência da República.
Quais estão corretos? 
a) Apenas I, II e III.
b) Apenas IV, V e VI. 
c) Apenas I, II, III e IV.
d) Apenas II, III, VI e V.
e) I, II, III, IV, V e VI.
17. (FUNDATEC – 2015 – BRDE) 
São entidades normativas do Sistema Financeiro Nacional:
a) Conselho Monetário Nacional, Banco Central do Brasil, Superintendência de Seguros Priva-
dos e Superintendência Nacional de Previdência Complementar.
b) Conselho Monetário Nacional, Banco Central do Brasil e Comissão de Valores Mobiliários.
c) Conselho Monetário Nacional, Conselho Nacional de Seguros Privados e Conselho Nacional 
de Previdência Complementar.
d) Conselho Monetário Nacional, Banco Central do Brasil, BNDES, Banco do Brasil e Caixa Eco-
nômica Federal.
e) Conselho Monetário Nacional, Banco Central e Casa da Moeda.
18. (FUNDATEC – 2015 – BRDE) 
O Banco Central do Brasil possui natureza de:
a) Entidade privada sem fins lucrativos, integrante do Sistema Financeiro Nacional.
b) Fundação pública integrante do Sistema Financeiro Nacional.
c) Autarquia federal, integrante do Sistema Financeiro Nacional.
d) Empresa pública federal, integrante do Conselho Monetário Nacional.
e) Empresa pública federal, dotada de autonomia patrimonial e integrante da Administração 
Direta.
19. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil – Adaptada) 
A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) é um órgão que regula e fiscaliza o mercado de capi-
tais no Brasil, sendo
a) subordinada ao Banco Central do Brasil.
b) subordinada ao Banco do Brasil.
c) subordinada à Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA).
316
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CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
d) independente do poder público.
e) vinculada ao poder executivo (Ministério da Economia).
20. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil) 
O Banco Central do Brasil é um órgão do Subsistema Normativo do Sistema Financeiro Nacional.
Ele determina, periodicamente, a taxa de juros de referência para as operações de um dia com 
títulos públicos, via atuação de seu(sua)
a) Comitê de Estabilidade Financeira (COMEF).
b) Comitê de Política Monetária (COPOM).
c) Conselho Monetário Nacional (CMN).
d) Conselho de Administração.
e) Câmara de Compensação de cheques e outros papéis.
21. (MAKIYAMA – 2015 – Banestes) 
Assinale a alternativa CORRETA quanto a uma das competências do Banco Central do Brasil:
a) Assegurar e fiscalizar o funcionamento eficiente das bolsas de valores, do mercado de bal-
cão e das bolsas de mercadorias e futuros.
b) Executar a política monetária mediante utilização de títulos do Tesouro Nacional.
c) Proteger os titulares de valores mobiliários e os investidores do mercado contra emissões 
irregulares de valores mobiliários, e contra atos ilegais de administradores de companhias 
abertas ou de carteira de valores mobiliários.
d) Apurar, mediante inquérito administrativo, atos ilegais e práticas não-equitativas de admi-
nistradores de companhias abertas, e de quaisquer participantes do mercado de valores 
mobiliários, aplicando as penalidades previstas em lei.
e) Evitar ou coibir modalidades de fraude ou de manipulação que criem condições artificiais 
de demanda, oferta ou preço dos valores mobiliários negociados no mercado.
22. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil – Adaptada) 
Dentre alguns dos órgãos normativos integrantes do Sistema Financeiro Nacional (SFN), pode-
-se considerar o(a): 
a) Comissão de Valores Mobiliários – CVM e a Superintendência de Seguros Privados – SUSEP. 
b) Banco Central do Brasil – BCB e a Superintendência Nacional de Previdência Complementar 
– PREVIC.
c) Superintendência de Seguros Privados – SUSEP e o Conselho Nacional de Previdência Com-
plementar – CNPC.
d) Ministério da Economia e a Comissão de Valores Mobiliários – CVM.
e) Conselho Monetário Nacional – CMN e o Conselho Nacional de Seguros Privados – CNSP.
23. (FUNRIO – 2016 – IF-PA) 
A taxa de referência do mercado, que regula as operações diárias com títulos públicos federais 
no Sistema Especial de Liquidação e Custódia do Banco Central do Brasil, denomina-se taxa
a) básica do Banco Central.
b) de assistência do Banco Central.
317
20
c) de juros de longo prazo. 
d) referencial. 
e) selic.
24. (FCC – 2016 – PGE-MT) 
Ao Conselho Monetário Nacional compete uma série de atribuições, EXCETO
a) delimitar o capital mínimo das instituições financeiras privadas. 
b) emitir moeda-papel e moeda metálica. 
c) fixar as diretrizes e normas da política cambial. 
d) disciplinar o crédito e as operações creditícias. 
e) regulamentar, fixando limites, prazos e outras condições, as operações de redesconto.
25. (Cespe – 2016 – FUNPRESP – EXE) 
Julgue o item a seguir, relativo ao Sistema Financeiro Nacional (SFN) e ao mercado de valores 
mobiliários.
O Banco Central do Brasil e a Comissão de Valores Mobiliários supervisionam as corretoras e as 
distribuidoras de títulos e valores mobiliários, as quais prestam, entre outros serviços, consulto-
ria financeira e custódia de títulos e valores mobiliários dos clientes. 
( ) Certo   ( ) Errado
26. (CESPE – 2016 – FUNPRESP – JUD) 
A respeito de política monetária, julgue o próximo item. 
As atribuições do Comitê de Política Monetária (COPOM) incluem a definição da meta para a 
inflação.
( ) Certo   ( ) Errado
27. (FCC – 2017 – DPE-RS) 
Compete ao Conselho Monetário Nacional
a) receber os recolhimentos compulsórios das instituições financeiras. 
b) realizar operações de redesconto e empréstimos à instituições financeiras bancárias. 
c) exercer o controle do crédito sob todas as suas formas. 
d) regular a constituição, o funcionamento e a fiscalização de instituições financeiras. 
e) exercer a fiscalização das instituições financeiras e aplicar as penalidades previstas.
28. (Cespe – 2018 – BNB) 
A respeito do Banco Central do Brasil e das instituições públicas federais, julgue os itens subse-
cutivos.
1. É competência privativa do Banco Central do Brasil autorizar as instituições financeiras a alie-
nar ou, de alguma outra forma, transferir o seu controle acionário.
( ) Certo   ( ) Errado
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CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
29. (Cesgranrio – 2018 – BB – Adaptada) 
No Brasil, a fixação das diretrizes e normas concernentes às políticas monetária, creditícia e 
cambial, é da competência do
a) Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão.
b) Ministério da Economia.
c) Conselho Monetário Nacional.
d) Banco Central do Brasil.
e) Banco do Brasil.
30. (IADES – 2018 – IGEPREV-PA) 
Segundo a Resolução BCB no 4.582/2017, o Conselho Monetário Nacional (CMN) definiu a meta 
de inflação de 4,25% para o ano de 2019, com intervalo de tolerância de 1,5% para mais e para 
menos. A esse respeito, quanto ao principal instrumento utilizado pelo Banco Central para ga-
rantir o atingimento da meta de inflação, assinale a alternativa correta.
a) A compra de títulos públicos federais no mercado primário.
b) As operações de mercado aberto realizados com títulos públicos emitidos pelo Banco Cen-
tral.
c) O controle de preços exercido mediante a redução da carga tributária.
d) A regulação da taxa de juros por meio de operações compromissadas com títulos do Tesou-
ro Nacional.
e) O controle da concessão de crédito para evitar o sobre-endividamento da população.
31. (FGV – 2018 – Banestes – Adaptada) 
O Sistema Financeiro Nacional (SFN) possui órgãos normativos,supervisores e executores, com 
papéis bem definidos.
A supervisão do mercado de capitais é responsabilidade:
a) do Conselho Monetário Nacional (CMN).
b) do Banco Central do Brasil.
c) da Bolsa de Valores.
d) do Ministério da Economia.
e) da Comissão de Valores Mobiliários (CVM).
32. (FGV – 2018 – Banestes) 
Uma das entidades do Sistema Financeiro Nacional (SFN) é responsável pelo controle da infla-
ção no país e também atua para garantir a estabilidade financeira do sistema e das instituições.
Essa entidade é o Banco Central, também responsável por:
a) autorizar as ofertas públicas iniciais de empresas.
b) autorizar as emissões de debêntures.
c) controlar o fluxo de capitais estrangeiros no Brasil.
d) definir a meta de inflação no país.
e) definir o superávit primário.
319
22
33. (FADESP – 2018 – BANPARÁ) 
De acordo com a subdivisão do Sistema Financeiro Nacional (SFN) em entidades normativas, 
supervisoras e operacionais, pode-se afirmar que:
a) funcionam como entidades normativas: o Banco Central do Brasil (BCB), a Comissão de Va-
lores Mobiliários (CVM), a Superintendência de Seguros Privados (SUSEP) e a Superinten-
dência Nacional de Previdência Complementar (PREVIC).
b) funcionam como entidades supervisoras: o Conselho Monetário Nacional (CMN), o Conse-
lho Nacional de Seguros Privados (CNSP) e o Conselho Nacional de Previdência Complemen-
tar (CNPC).
c) funcionam como entidades operacionais: Agências de Fomento, Associações de Poupança 
e Empréstimo, Bancos de Câmbio, Bancos de Desenvolvimento, Bancos de Investimento, 
Companhias Hipotecárias, Cooperativas Centrais de Crédito, Sociedades de Crédito, Finan-
ciamento e Investimento, Sociedades de Crédito Imobiliário e Sociedades de Crédito ao Mi-
croempreendedor.
d) funcionam como entidades supervisoras: entidades operadoras auxiliares, administradores 
de mercados organizados de valores mobiliários, como os de Bolsa, de Mercadorias e Futu-
ros e de Balcão Organizado, as companhias seguradoras, as sociedades de capitalização, as 
entidades abertas de previdência complementar e os fundos de pensão.
e) funcionam como entidades operacionais o Banco Central do Brasil (BCB), a Comissão de 
Valores Mobiliários (CVM), a Superintendência de Seguros Privados (SUSEP) e a Superinten-
dência Nacional de Previdência Complementar – PREVIC.
34. (FGV – 2018 – Banestes) 
É competência do Comitê de Política Monetária – Copom a fixação:
a) da taxa do CDI.
b) da taxa Selic diária.
c) da meta para a taxa Selic.
d) da Taxa de Juros de Longo Prazo.
e) do superávit primário.
35. (FCC – 2019 – Banrisul – Adaptada) 
No âmbito do Sistema Financeiro Nacional, a atribuição da coordenação da Dívida Pública Fede-
ral externa e interna é 
a) do Banco Central do Brasil.
b) do Ministério da Economia.
c) da Secretaria do Tesouro Nacional.
d) do Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão.
e) do Conselho Monetário Nacional.
36. (FCC – 2019 – Banrisul) 
Como parte da missão de assegurar que o sistema financeiro seja sólido e eficiente, a autoriza-
ção para funcionamento de instituições financeiras controladas por capitais nacionais é conce-
dida
a) pelo Conselho Monetário Nacional.
320
23
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
b) pela Comissão de Valores Mobiliários.
c) pela Presidência da República.
d) pelo Banco Central do Brasil.
e) pelo Senado Federal.
37. (FCC – 2019 – Banrisul) 
O gerenciamento do meio circulante para garantir, à população, o fornecimento adequado de 
dinheiro em espécie é competência
a) da Casa da Moeda do Brasil.
b) do Sistema de Pagamentos Brasileiro.
c) do Banco Central do Brasil.
d) da Federação Brasileira de Bancos (Febraban).
e) da Secretaria do Tesouro Nacional.
38. (FCC – 2019 – Banrisul – Adaptada) 
A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) é uma entidade autárquica em regime especial, vincu-
lada ao Ministério da Economia, que tem o objetivo de fiscalizar, normatizar, disciplinar e desen-
volver o mercado de valores mobiliários no Brasil. Para tanto, o seu mandato legal contempla
a) proteger as instituições financeiras intermediárias.
b) assegurar o sigilo das informações sobre os valores mobiliários negociados e as companhias 
que os tenham emitido.
c) estimular a formação de poupança e a sua aplicação em títulos do Tesouro Nacional.
d) estimular as aplicações permanentes em ações do capital social de companhias abertas sob 
controle público.
e) evitar modalidades de manipulação destinadas a criar condições artificiais de negociação 
no mercado de valores mobiliários.
39. (IADES – 2019 – BRB) 
A atividade principal de uma sociedade administradora de cartão de crédito, pessoa jurídica não 
financeira, é a prestação de serviços remunerados, e não a intermediação financeira. Suponha 
que o titular de um cartão de crédito não efetuou o pagamento integral do saldo devedor na 
data do vencimento da fatura. Nesse caso, o cliente entra automaticamente no crédito rotativo 
do cartão, que é
a) financiado pela própria administradora de cartão de crédito.
b) financiado por uma operação de crédito realizada por instituição financeira distinta da ad-
ministradora de cartão de crédito.
c) parcelado com melhores condições de financiamento desde que o cliente tenha efetuado o 
pagamento mínimo obrigatório de 15% do valor da fatura.
d) parcelado, independentemente das condições do financiamento.
e) renovado, a cada mês, até que o cliente efetue o pagamento integral da fatura.
Gabarito: 1. A 2. E 3. D 4. A 5. A 6. B 7. A 8. C 9. B 10. E / C 11. E / C 12. E 13. D 14. B 15. A 16. A 
17. C 18. C 19. E 20. B 21. B 22. E 23. E 24. B 25. Certo 26. Errado 27. D 28. Certo 29. C 30. D 31. E 32. C 
33. C 34. C 35. E 36. D 37. C 38. E 39. B
321
24
MÓDULO 2
2. PRODUTOS BANCÁRIOS
2.1. Noções de Cartões de Crédito e Débito
Os cartões de crédito e débito, também conhecidos como dinheiro de plástico, se tornaram nos 
últimos anos um dos meios de pagamento mais utilizados nas transações comerciais. Práticos, 
fáceis de usar e aceitos em inúmeros estabelecimentos, esses instrumentos vêm ao longo do 
tempo fazendo com que as pessoas utilizem cada vez menos o cheque e até mesmo as moedas 
em espécie.
Antes de adentrarmos para as particularidades desses dois tipos de cartões, vamos conhecer 
alguns termos relacionados ao mercado dos mesmos.
Bandeiras
São instituições que autorizam o uso de sua marca e de sua tecnologia por emissores e cre-
denciadoras de estabelecimentos. Essas marcas aparecem nos cartões e nos estabelecimentos 
credenciados.
Cartão de Crédito
É um meio de pagamento eletrônico que possibilita o portador adquirir bens e/ou serviços, pelo 
preço à vista, nos estabelecimentos credenciados e realizar saques de dinheiro em equipamen-
tos eletrônicos habilitados. O cartão pode ser emitido para pessoas físicas ou para pessoas ju-
rídicas. No caso de pessoa jurídica, os cartões serão emitidos em nome dos sócios e/ou funcio-
nários, podendo constar o nome da empresa que assume a responsabilidade perante o emissor.
O cartão contém, geralmente, as seguintes características:
 • nome do portador;
 • número do cartão;
 • data de validade;
 • espaço para assinatura;
 • itens de segurança (hologramas e outros sinais específicos);
 • tarja magnética e/ou "chip";
 • identificação do emissor e da bandeira.
322
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
25
Cartão de Débito
É um meio de pagamento vinculado a uma conta bancária que, entre outras funções, é utilizado 
para aquisição de bens e/ou serviços. O valor da transação é debitado na conta bancária, no ato 
da compra, mediante disponibilidade de saldo.
Cartão Múltiplo
É um meio de pagamento que contém as funções de débito e crédito, habilitando o portador a 
ter acesso aos serviços disponibilizados e pela rede de estabelecimentos credenciados. 
Credenciadoras
São empresas que habilitam estabelecimentos fornecedores de bens e/ou prestadores de servi-
ços para aceitarem cartões.
Emissores
Os cartões podem ser emitidos por:
 • Instituições Financeiras: emiteme administram cartões (crédito e débito) próprios ou de 
terceiros e concedem financiamento direto aos portadores.
 • Administradoras: são empresas não financeiras que emitem e administram cartões pró-
prios ou de terceiros, mas não financiam diretamente os seus clientes. As administradoras 
de cartões representam portadores perante as Instituições Financeiras para obtenção de 
financiamento, cujos encargos são cobrados dos mesmos.
Validade do Cartão
O cartão somente poderá ser utilizado até a data de validade nele inscrita. Em caso de renova-
ção pelo emissor, o portador receberá um novo cartão. É responsabilidade de portador titular 
destruir o(s) cartão(ões) vencido(s), inutilizando-o(s) completamente.
Tipos de Cartões
 • Básico: nacional e/ou internacional, não pode ser associado a programas de benefícios e/
ou recompensas. 
323
26
 • Diferenciado: além de permitir o pagamento de compras, está associado a programas de 
benefícios e recompensas.
Tarifas que podem ser cobradas pela emissora do cartão:
 • anuidade;
 • para emissão de 2ª via do cartão;
 • para retirada em espécie na função saque;
 • no uso do cartão para pagamento de contas; e
 • no caso de pedido de avaliação emergencial do limite de crédito.
SAIBA MAIS...
Podem ser cobradas ainda tarifas pela contratação de serviços de envio 
de mensagem automática relativa à movimentação ou lançamento na 
conta de pagamento vinculado ao cartão de crédito, pelo fornecimento 
de plástico de cartão de crédito em formato personalizado, e ainda pelo 
fornecimento emergencial de segunda via de cartão de crédito. Esses ser-
viços são considerados “diferenciados” pela regulamentação.
 
O que deve constar na fatura do cartão de crédito:
 • limite de crédito total e limites individuais para cada tipo de operação de crédito passível de 
contratação;
 • gastos realizados com o cartão, por evento, inclusive quando parcelados;
 • identificação das operações de crédito contratadas e respectivos valores;
 • valores relativos aos encargos cobrados, informados de forma separada;
 • valor dos encargos a serem cobrados no mês seguinte, no caso de o cliente optar pelo paga-
mento mínimo da fatura; e
 • Custo Efetivo Total (CET) para o próximo período.
ATENÇÃO!
O percentual de pagamento mínimo da fatura poderá ser livremente pac-
tuado entre a instituição e o cliente. Caso haja alteração desse percentual 
pela instituição emissora do cartão o cliente deverá ser comunicado, com, 
no mínimo, 30 dias de antecedência.
 
324
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
27
Quando o usuário do cartão não paga integralmente a fatura, a Administradora do Cartão busca 
o financiamento do saldo devedor junto a uma instituição financeira, por delegação do usuário 
(cláusula-mandato). Neste caso são cobrados encargos financeiros sobre o saldo não liquidado. 
Opções de pagamento: 
 • Pagamento do valor integral até o vencimento: neste caso não há cobrança de encargos 
financeiros, como os juros e IOF;
 • Pagamento parcial da fatura (mínimo ou outro valor distinto do total):
a) Parcelamento da fatura – o total de parcelas pode já estar definido em contrato ou ser 
discutido caso a caso; no parcelamento há cobrança de encargos financeiros, juros e IOF no 
valor da fatura seguinte;
b) Pagamento do valor mínimo sem parcelamento do restante – o cliente adere ao crédi-
to rotativo, sujeitando-se ao pagamento dos juros e dos encargos financeiros previstos em 
contrato;
c) Pagamento de valor inferior ao mínimo sem parcelamento – cliente fica inadimplente, 
podendo ser aplicados os procedimentos previstos no contrato para situações de inadim-
plemento, tais como juros do crédito rotativo, multa de 2% sobre o principal e juros de 
mora.
Observações Importantes: 
 • As taxas de juros são livremente pactuadas entre o cliente e a emissora do cartão;
 • A regulamentação proíbe a remessa do cartão de crédito sem prévia solicitação;
 • A instituição pode debitar em conta os valores relativos à fatura do cartão de crédito, desde 
que previamente solicitado ou autorizado pelo usuário, por escrito ou por meio eletrônico, 
a realização do débito. A referida autorização pode ser ou ter sido concedida no próprio ins-
trumento contratual de abertura de conta;
 • O contrato de cartão de crédito pode ser cancelado a qualquer momento. No entanto, é 
importante salientar que o cancelamento do contrato não quita ou extingue dívidas pen-
dentes;
 • O Banco Central regula e fiscaliza os serviços de pagamentos vinculados a cartão de crédito;
 • Toda instituição emissora de cartão de crédito deve possuir oferta de cartão de crédito bá-
sico. O valor da anuidade do cartão básico deve ser menor do que o valor da anuidade do 
cartão diferenciado;
 • O prazo máximo de utilização de crédito rotativo é de 30 dias, até o vencimento da fatura 
subsequente (Resolução 4.549).
325
28
2.2. Crédito Direto ao Consumidor – CDC
 • Conceito: Operação de crédito concedida a pessoas físicas ou jurídicas para a aquisição de 
bens e serviços.
 • Onde contratar: Em bancos ou financeiras, ou por intermédio de lojas.
 • Prazo: Até 60 meses
 • Juros e encargos: As taxas de juros variam em função da instituição financeira, do prazo de 
pagamento e do valor do empréstimo. Há também a cobrança do Imposto sobre Operações 
Financeiras (IOF).
 • Garantia da operação: Na maioria das vezes o bem financiado constitui a garantia da opera-
ção. Pode-se exigir a garantia de um avalista pessoa física ou jurídica. 
Vantagens do CDC
 • As prestações podem ser antecipadas e o plano quitado a qualquer momento;
 • O cliente escolhe quanto vai dar de entrada e quanto vai financiar;
 • Nos contratos prefixados, que já têm os juros embutidos na prestação, é possível saber 
quanto vai se pagar ao longo do período;
 • Na opção prefixada, as prestações são fixas em reais e não sofrem correção.
Desvantagens do CDC 
 • As taxas de juros são mais baixas nos prazos de financiamentos curtos e mais elevadas no 
caso de financiamentos mais longos.
 • Em períodos longos, o consumidor acaba pagando uma pesada parcela de juros. 
2.3. Crédito Rural
É o suprimento de recursos financeiros para aplicação exclusiva nas atividades agropecuárias.
Modalidades: 
a) crédito rural corrente: suprimento de recursos sem a concomitante prestação de assistên-
cia técnica à nível de empresa.
b) crédito rural educativo: suprimento de recursos conjugado com a prestação de assistência 
técnica, compreendendo a elaboração de projeto ou plano e a orientação ao produtor.
c) crédito rural especial: destinado a cooperativas de produtores rurais, para aplicações pró-
prias ou dos associados e; programas de colonização ou reforma agrária.
326
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
29
Favorecidos:
 • produtor rural (pessoa física ou jurídica); 
 • cooperativa de produtores rurais.; 
 • pessoa física ou jurídica que, mesmo não sendo produtor rural, se dedique às seguintes 
atividades:
a) pesquisa ou produção de mudas ou sementes fiscalizadas ou certificadas;
b) pesquisa ou produção de sêmen para inseminação artificial e embriões;
c) prestação de serviços mecanizados, de natureza agropecuária, em imóveis rurais, inclu-
sive para proteção do solo;
d) prestação de serviços de inseminação artificial, em imóveis rurais;
e) medição de lavouras; 
f) atividades florestais. 
 • serviços de escoamento da produção (comercialização);
 • o silvícola, desde que, não estando emancipado, seja assistido pela Fundação Nacional do 
Índio (Funai).
Origem dos Recursos:
 • Fontes Fiscais: BNDES e fundos constitucionais;
 • Poupança Rural: 60%
 • Letras de Crédito do Agronegócio (LCA): 35%
 • Depósitos à Vista: 30%
Finalidades: 
a) Custeio (agrícola ou pecuário): destina-se a cobrir despesas normais dos ciclos produtivos.
b) Investimento: destina-se a aplicações em bens ou serviços cujo desfrute se estenda por vá-
rios períodos de produção.
c) Comercialização: destina-se a cobrir despesas próprias da fase posterior à coletada produ-
ção ou a converter em espécie os títulos oriundos de sua venda ou entrega pelos produto-
res ou suas cooperativas;
d) Industrialização: destina-se à industrialização de produtos agropecuários, quando efetuada 
por cooperativas ou pelo produtor na sua propriedade rural.
327
30
Sistema Nacional de Crédito Rural (SNCR)
O crédito rural foi criado no País em 1935. Durante 30 anos, sua gestão coube ao Banco do Bra-
sil, por meio da Carteira de Crédito Agrícola e Industrial.
Em 1965, o assunto passou à responsabilidade do Banco Central, com a implementação do Sis-
tema Nacional de Crédito Rural (SNCR), que objetiva conduzir os financiamentos, sob as diretri-
zes da política creditícia formulada pelo Conselho Monetário Nacional, em consonância com a 
política de desenvolvimento agropecuário.
ÓRGÃOS BÁSICOS ÓRGÃOS VINCULADOS ÓRGÃOS ARTICULADOS
Banco Central do Brasil (gestor)
Banco do Brasil S.A
Banco da Amazônia S.A
Banco do Nordeste do Brasil S.A
Banco Nacional do Desenvolvimen-
to Econômico e Social (BNDES).
→ auxiliares: agências de fomen-
to, bancos estaduais, inclusive de 
desenvolvimento, bancos privados, 
Caixa Econômica Federal (CEF), co-
operativas autorizadas a operar em 
crédito rural e sociedades de crédi-
to, financiamento e investimento.
→ incorporados: instituições in-
tegrantes do Sistema Brasileiro de 
Poupança e Empréstimo (SBPE).
Órgão oficiais de valorização 
regional.
Entidades de prestação de 
assistência técnica, cujos 
serviços as instituições fi-
nanceiras venham a utilizar 
em conjugação com o crédi-
to, mediante convênio.
Garantias: 
a) penhor agrícola, pecuário, mercantil, florestal e cedular;
b) alienação fiduciária;
c) hipoteca comum ou cedular; 
d) aval ou fiança; 
e) seguro rural ou do amparo do Programa de Garantia da Atividade Agropecuária (Proagro); 
f) proteção de preço futuro da commodity agropecuária, inclusive por meio de penhor de di-
reitos, contratual ou cedular; 
g) outras que o Conselho Monetário Nacional admitir. 
Formalização: 
a) Com garantia real
 • Cédula Rural Pignoratícia (CRP);
 • Cédula Rural Hipotecária (CRH);
 • Cédula Rural Pignoratícia e Hipotecária (CRPH);
b) Sem garantia real 
 • Nota de Crédito Rural (NCR);
328
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
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c) Com ou sem garantia real ou fidejussória
 • Cédula de Crédito Bancário (CCB) e contrato.
Despesas: 
a) remuneração financeira;
b) Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguro, e sobre Operações relativas a Títu-
los e Valores Mobiliários (IOF);
c) custo de prestação de serviços;
d) as previstas no Programa de Garantia da Atividade Agropecuária (Proagro);
e) prêmio de seguro rural, observadas as normas divulgadas pelo Conselho Nacional de Segu-
ros Privados;
f) sanções pecuniárias;
g) prêmios em contratos de opção de venda, do mesmo produto agropecuário objeto do fi-
nanciamento de custeio ou comercialização, em bolsas de mercadorias e futuros nacionais, 
e taxas e emolumentos referentes a essas operações de contratos de opção. 
ATENÇÃO!
Ressalvados os casos expressamente previstos, a instituição financeira é 
obrigada a fiscalizar a aplicação do valor financiado.
 
Utilização: 
O crédito rural deve ser liberado diretamente ao mutuário de uma só vez ou em parcelas, por 
caixa ou em conta de depósitos, de acordo com as necessidades do empreendimento, devendo 
as utilizações obedecer a cronograma de aquisições e serviços.
Reembolso: 
O crédito rural deve ser pago de uma só vez ou em parcelas, segundo os ciclos das Explorações 
financiadas.
Deve-se estabelecer o prazo e o cronograma de reembolso em função da capacidade de paga-
mento do beneficiário, de maneira que os vencimentos coincidam com as épocas normais de 
obtenção dos rendimentos da atividade assistida.
Fiscalização: 
É atribuição do BC verificar se as instituições financeiras e /ou cooperativas que concederam o 
recurso estão fiscalizando de maneira adequada aqueles que tiveram acesso ao crédito, além de 
verificar se o benefício está sendo repassado como deveria. 
329
32
As instituições financeiras, por sua vez, podem utilizar equipamentos como drones ou fotos feitas 
a partir de satélites (sensoriamento remoto) para fiscalizar a aplicação do crédito. Checagens in-
dividuais são obrigatórias para aqueles que tiveram acesso a um montante a partir de R$ 800 mil. 
Programa Nacional De Fortalecimento Da Agricultura Familiar (PRONAF) : 
O empreendedor familiar rural é aquele que pratica atividades no meio rural, em área não 
maior do que quatro módulos fiscais, que utilize predominantemente mão de obra da própria 
família nas atividades econômicas do seu estabelecimento ou empreendimento, dentre outros 
quesitos. 
Pescadores artesanais que explorem a atividade como autônomos, silvicultores que promovam 
o manejo sustentável de florestas nativas ou exóticas, quilombolas e indígenas também podem 
ser tomadores de crédito.
Os recursos do Pronaf podem ser disponibilizados de forma individual ou coletiva. As taxas efe-
tivas de juros variam entre 2,5% ao ano (para o cultivo de arroz, feijão, mandioca, tomate, cebo-
la, batata inglesa e trigo, entre outros) a 5,5% ao ano (para a aquisição de animais destinados a 
recria e engorda e outras culturas e criações). 
Plano Safra : 
O Plano Safra ajuda agricultores a custear a safra e a investir. O plano é lançado anualmente (sua 
vigência coincide com o período da safra agrícola) e reúne um conjunto de políticas nas áreas 
de assistência técnica e extensão rural, crédito, seguro da produção, preço, comercialização e 
organização econômica. 
Nos últimos anos, os juros do Plano Safra variaram entre 6,5% e 8,5% ao ano. 
Programa De Garantia Da Atividade Agropecuária (PROAGRO) : 
O Programa de Garantia da Atividade Agropecuária (Proagro) é um programa do governo fe-
deral que garante o pagamento de financiamentos rurais de custeio agrícola quando a lavoura 
amparada tiver sua receita reduzida por causa de eventos climáticos ou pragas e doenças sem 
controle.
O Proagro tem como foco principalmente os pequenos e os médios produtores, embora esteja 
aberto a todos dentro do limite de cobertura estabelecido na regulamentação. É administrado 
pelo Banco Central, regulamentado pelo CMN e os agentes são as Instituições Financeiras (ban-
cos e cooperativas).
2.4. Caderneta de Poupança
A Caderneta de Poupança é o investimento mais popular do país. Sua forma de aplicação finan-
ceira é muito simples, mas o retorno do investimento é atualmente bastante baixo. 
A Caderneta de Poupança é produto exclusivo das sociedades de crédito imobiliário, das cartei-
ras imobiliárias de bancos múltiplos, das associações de poupança e empréstimo e das caixas 
econômicas – entidades integrantes do Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo – SBPE. 
330
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
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A Poupança tem um papel social. Por lei, 65% dos depósitos em cadernetas de poupança devem 
ser destinados ao financiamento habitacional.
Como todo investimento, a Poupança pode apresentar desvantagens e vantagens, a saber:
Remuneração da Caderneta de Poupança
São dois os cenários possíveis de rentabilidade na Caderneta de Poupança:
1) Se a Taxa Selic for superior a 8,5% ao ano, então, a remuneração da poupança será de 0,5% 
ao mês mais a TR1 (Taxa Referencial);
2) Caso a Selic seja igual ou menor do 8,5% ao ano, o rendimento da poupança será de 70% da 
Selic mais a TR.
A remuneração da Poupança é subdividida nas seguintes partes:
 • Remuneração básica: TR
 • Remuneração adicional – Juros: 0,5% am ou 70% da Selic
1 Atualmente a TR é utilizada no cálculo do rendimento de vários investimentos, tais como títulos públicos, caderneta 
de poupança e outras operações, tais como empréstimos do Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pagamentos a 
prazo e seguros em geral. É calculada pelo Banco Central do Brasil, com base na taxa média mensal ponderada ajusta-
da dos CDBs prefixados das trinta maiores instituições financeiras do país, eliminando-seas duas menores e as duas 
maiores taxas médias.
331
34
Outras características
 • São garantidas pelo FGC;
 • Contas abertas nos dias 29, 30 e 31 contam rendimento a partir do dia 1º do mês seguinte;
 • Rendimento mensal: PF e PJ s/ fins lucrativos ;
 • Rendimento trimestral: PJ (empresas) ;
 • Quando se faz um depósito em cheque, desde que o mesmo não seja devolvido, a remu-
neração passa a ser feita a partir da data do depósito, independentemente do prazo de 
liberação.
Serviços Essenciais Vinculados à Caderneta de Poupança
 • Um cartão para movimentar a conta e o fornecimento de uma 2ª via (a 2ª via poderá ser co-
brada quando a solicitação for por motivo de perda, roubo, furto, dano ao cartão ou outros 
motivos que não sejam de responsabilidade da instituição);
 • Dois saques por mês, inclusive por meio de cheque avulso;
 • Duas transferências, por mês, para conta corrente do mesmo titular, na mesma instituição 
financeira;
 • Dois extratos por mês, com a movimentação dos últimos 30 dias;
 • Consultas pela internet;
 • Um extrato com informações discriminadas, mês a mês, dos valores das tarifas e encargos 
de operações de crédito cobradas no ano anterior, fornecido até o dia 28 de fevereiro; e
 • Qualquer serviço realizado por meio eletrônico, no caso de conta que só pode ser movi-
mentada por meio eletrônico (terminais de autoatendimento, internet, atendimento telefô-
nico automatizado, etc).
2.5. Capitalização
Título de Capitalização (TC) é uma aplicação pela qual o Subscritor constitui um capital, segundo 
cláusulas e regras aprovadas e mencionadas no próprio título (Condições Gerais do Título) e 
que será pago em moeda corrente num prazo máximo estabelecido. O título de capitalização só 
pode ser comercializado pelas Sociedades de Capitalização devidamente autorizadas a funcio-
nar. 
As Condições Gerais, além de determinarem os direitos e as obrigações do Subscritor/Titular e 
da Sociedade de Capitalização, estabelecem também todas as normas referentes ao título de 
capitalização.
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CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
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Tipos de Títulos de Capitalização (quanto à forma de pagamento)
Componentes
Modalidades de Títulos de Capitalização
 • TRADICIONAL: Objetiva restituir ao titular, ao final do prazo de vigência, no mínimo, o valor 
total dos pagamentos efetuados pelo subscritor, desde que todos os pagamentos previstos 
tenham sido realizados nas datas programadas;
 • INSTRUMENTO DE GARANTIA: Permite que o saldo credor (tecnicamente chamado de 
“provisão matemática”) do título de capitalização seja utilizado como uma garantia ou cau-
ção de obrigação assumida pelo titular perante terceiro, por exemplo, no caso de aluguel 
de imóveis, como alternativa ao fiador ou ao seguro fiança locatícia. Durante a vigência do 
contrato principal que dispuser sobre a obrigação garantida, o resgate pelo titular somente 
poderá ocorrer com a anuência do terceiro garantido;
 • POPULAR: Tem por objetivo propiciar a participação do titular em sorteios, sem que haja 
devolução integral dos valores pagos. Normalmente, esta modalidade é a utilizada quando 
há cessão de resgate a alguma instituição;
333
36
 • INCENTIVO: Está vinculado a um evento promocional de caráter comercial instituído pelo 
Subscritor. O subscritor neste caso é a empresa que compra o título e o cede total ou par-
cialmente (somente o direito ao sorteio) aos clientes consumidores do produto utilizado no 
evento promocional;
 • FILANTROPIA PREMIÁVEL: É destinada aos interessados em contribuir com entidades be-
neficentes de assistência sociais. Nessa modalidade, por acordo expresso do participante 
que compra o título de capitalização, o direito de resgate é cedido à entidade beneficente, 
permanecendo com o comprador apenas o direito de participar de sorteios. Várias insti-
tuições mantidas por doações no Brasil utilizam deste mecanismo e, muitas vezes, o valor 
arrecadado através dos produtos lastreados por títulos de capitalização são sua principal 
fonte de renda;
 • COMPRA-PROGRAMADA: A sociedade de capitalização garante ao titular, ao final da vigên-
cia, o recebimento do valor de resgate em moeda corrente nacional, sendo disponibilizada 
ao titular a faculdade de optar, se este assim desejar e sem qualquer outro custo, pelo re-
cebimento do bem ou serviço referenciado na ficha de cadastro, subsidiado por acordos 
comerciais celebrados com indústrias, atacadistas ou empresas comerciais.
Observações Importantes
 • Nos títulos com vigência igual a 12 meses, os pagamentos são obrigatoriamente fixos. Já 
nos títulos com vigência superior, é facultada a atualização dos pagamentos, a cada período 
de 12 meses, por aplicação de um índice oficial estabelecido no próprio título;
 • Os títulos não podem ser resgatados a qualquer momento. Alguns prevêem prazo de carên-
cia, isto é, um período inicial em que o capital fica indisponível ao titular. Se o titular solici-
tar o resgate durante o período de carência ou se o título for cancelado, o resgate só poderá 
acontecer efetivamente (receber o dinheiro) após o encerramento do período de carência;
 • O capital de resgate de um TC será sempre inferior ao capital constituído por aplicações 
idênticas na caderneta de poupança, já que, dos pagamentos efetuados num título, descon-
ta-se uma parte para custear as despesas administrativas das Sociedades de Capitalização e, 
quando há sorteios, uma parcela para custear as premiações;
 • Um TC pode ser adquirido para outra pessoa. Nesse caso o subscritor, que é a pessoa que 
adquire o título e assume o dever de efetuar os pagamentos, pode, desde que comunique 
por escrito à Sociedade, a qualquer momento, e não somente no ato da contratação, definir 
quem será o titular, isto é, quem assumirá os direitos relativos ao título, tais como o resgate 
e o sorteio.
2.6. Previdência Privada
Tipos de Planos / Benefícios
Os planos previdenciários podem ser contratados de forma individual ou coletiva e podem ofe-
recer, juntos ou separadamente, os seguintes tipos básicos de benefício:
 • RENDA POR SOBREVIVÊNCIA: geralmente denominada de aposentadoria.
334
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
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 • RENDA POR INVALIDEZ: renda a ser paga ao participante em decorrência de sua invalidez 
total e permanente;
 • PENSÃO POR MORTE: renda a ser paga ao(s) beneficiário(s) indicado(s) na proposta de ins-
crição em decorrência da morte do participante;
 • PECÚLIO POR MORTE: importância em dinheiro, pagável de uma só vez ao(s) beneficiário(s) 
indicado(s) na proposta de inscrição, em decorrência da morte do participante;
 • PECÚLIO POR INVALIDEZ: importância em dinheiro, pagável de uma só vez ao próprio parti-
cipante, em decorrência de sua invalidez total e permanente.
Taxas Cobradas
 • TAXA DE ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA: cobrada pela tarefa de administrar o dinheiro do 
fundo de investimento.
 • TAXA DE CARREGAMENTO: incide sobre cada depósito que é feito no plano. Ela serve para 
cobrir despesas de corretagem e administração. 
Fases de Um Plano
Período de Acumulação
335
38
Tabela Regressiva
É vinculada ao tempo da aplicação. Quanto maior for o prazo de acumulação ou quanto mais 
tempo você permanecer no plano, menor será a alíquota de imposto de renda na hora do resga-
te ou recebimento da renda. Veja abaixo:
Tabela Progressiva
É a mesma que determina a alíquota do Imposto de Renda sobre o seu salário. Na prática, o que 
determina a alíquota sobre o plano de previdência é o valor a ser resgatado ou transformado 
em renda.
Base de cálculo (R$ ) Alíquota (%) Parcela a deduzir do IRPF (R$ )
Até 1.903,98 - -
De 1.903,98 até 2.826,65 7,5 142,80
De 2.826,66 até 3.751,05 15 354,80
De 3.751,06 até 4.664,68 22,5 636,13
Acima de 4.664,68 27,5 869,36
Período de utilização
336
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PGBL X VGBL
MODALIDADE PERFIL BENEFÍCIO FISCAL
TRIBUTAÇÃO
RENTABILIDADE RESGATE APOSENTADORIA
PGBL
PLANO 
GERADOR DE 
BENEFÍCIO 
LIVRE
Indicado para 
quem:
1) Faz a decla-ração comple-
ta do Imposto 
de Renda;
2) Contribui 
para a Previ-
dência Social 
(ou Regime 
Próprio) ou é 
aposentado;
3) Pretende 
contribuir 
com até 12% 
de sua renda 
bruta anual em 
previdência 
complementar.
Os valores 
deposita-
dos podem 
ser deduzi-
dos da base 
de cálculo 
do IR, em 
até 12% da 
renda bruta 
anual.
Diferentemen-
te de outros 
investimentos, 
as contribuições 
em previdên-
cia não sofrem 
incidência de 
Imposto de Ren-
da enquanto o 
dinheiro estiver 
investido. Assim, 
a reserva rende 
ainda mais ao 
longo do tempo.
No mo-
mento do 
resgate, 
todo o valor 
resgatado 
está sujeito 
a incidência 
de Imposto 
de Renda.
No momento do 
recebimento da 
renda, todo o valor 
recebido está sujei-
to à incidência de 
Imposto de Renda.
VGBL
VIDA GERADOR 
DE BENEFÍCIO 
LIVRE
Indicado para 
quem:
1) Faz a 
declaração 
simplificada 
do Imposto de 
Renda ou são 
isentos de IR;
2) Contribui 
ou não para 
a Previdência 
Social (INSS) 
ou Regime 
Próprio;
3) Pretende 
contribuir com 
mais de 12%* 
de sua renda 
bruta anual 
em previdên-
cia comple-
mentar.
Os valores 
deposita-
dos não 
podem ser 
deduzidos 
do Imposto 
de Renda.
Diferentemen-
te de outros 
investimentos, 
as contribuições 
em previdên-
cia não sofrem 
incidência de 
Imposto de Ren-
da enquanto o 
dinheiro estiver 
investido. Assim, 
a reserva rende 
ainda mais ao 
longo do tempo.
No momen-
to do resga-
te, apenas o 
rendimento 
(ganho de 
capital) 
alcançado 
no plano 
está sujeito 
a incidência 
do Imposto 
de Renda.
No momento do 
recebimento da 
renda, apenas o 
rendimento (ganho 
de capital) alcan-
çado no plano está 
sujeito à incidên-
cia do Imposto de 
Renda.
337
40
2.7. Investimentos
Depósitos à Prazo
Os Certificados de Depósito Bancário (CDB) e os Recibos de Depósito Bancário (RDB) são títulos 
privados representativos de depósitos a prazo feitos por pessoas físicas ou jurídicas.
Letra De Câmbio
Enquanto uma modalidade de investimento, a Letra de Câmbio se assemelha muito a um Certi-
ficado de Depósito Bancário (CDB), mas com um detalhe: as LC’s são emitidas pelas Sociedades 
de Crédito, Financiamento e Investimento – SCFI (Financeiras).
As Letras de Câmbio podem ter a sua rentabilidade classificada em:
 • Pós-fixada: a rentabilidade é atrelada a um indicador, geralmente o CDI. O retorno só será 
calculado na data de vencimento;
 • Prefixada: a rentabilidade é definida no momento da aplicação. O retorno geralmente é ex-
presso através de uma porcentagem;
 • Híbrida: a rentabilidade possui um componente pós-fixado e outro prefixado. O retorno 
geralmente é corrigido pelo IPCA (pós-fixado) e uma taxa fixa (prefixado).
Outras Características das LC’S:
 • Estão sujeitas à tributação do IR;
 • Tem incidência do IOF (30 primeiros dias);
 • Podem apresentar um prazo de carência, geralmente de 1 a 5 anos;
338
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
41
 • Possuem um prazo de vencimento, que na maioria dos casos é o mesmo período de carên-
cia;
 • Algumas possuem liquidez diária, podendo ser rapidamente resgatadas pelo investidor;
 • São cobertas pelo Fundo Garantidor de Crédito – FGC.
Fundos de Investimento
 • São instituições com personalidade jurídica própria, constituídas na forma de condomínio 
– aplicação em conjunto – com objetivo de reunir poupança para propiciar acesso a rentabi-
lidades maiores a custos mais baixos.
 • Os recursos aplicados por clientes em Fundos de Investimento não podem ser utilizados 
pela instituição financeira administradora para empréstimos e financiamentos a outros.
Taxas e Custos
 • Taxa de Administração: praticamente todos os fundos;
 • Taxa de Performance: pode ser cobrada quando o resultado do fundo supera uma certa 
meta previamente estabelecida;
 • Taxa de Entrada: devida quando se faz o investimento;
 • Taxa de Saída: devida quando se realiza o resgate.
Todos os custos do fundo devem ser obrigatoriamente descontados do valor da cota e, portan-
to, da rentabilidade divulgada.
Tributação
 • Imposto de Renda (IR): recolhido no último dia útil dos meses de maio e novembro,
 • Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): incide sobre o rendimento nos resgates feitos 
num período inferior a 30 dias.
Alguns tipos de Fundos de Investimentos
 • Fundo de Renda Fixa: devem possuir, no mínimo 80% da carteira em ativos relacionados 
diretamente ao fator de risco que lhe dá o nome;
 • Fundo de Ações: devem investir, no mínimo, 67% de seu patrimônio em ações e em outros 
valores mobiliários relacionados a ações;
 • Fundo Cambial: devem manter, no mínimo, 80% de seu patrimônio investido em ativos que 
sejam relacionados à variação de uma moeda estrangeira;
 • Fundo Multimercado: devem possuir políticas de investimento que envolvam vários fatores 
de risco, sem compromisso de concentração em qualquer fator em especial.
339
42
2.8. Planos de Seguros
Contrato mediante o qual uma pessoa denominada Segurador, se obriga, mediante o recebi-
mento de um prêmio, a indenizar outra pessoa, denominada Segurado, do prejuízo resultante 
de riscos futuros, previstos no contrato.
Terminologias
 • Proponente: Pessoa que pretende fazer um seguro e que já firmou, para esse fim, a proposta;
 • Estipulante: Pessoa física ou jurídica que contrata apólice coletiva de seguros, ficando in-
vestido dos poderes de representação dos segurados perante a Seguradora;
 • Corretor: Pessoa física ou jurídica devidamente habilitada e registrada na SUSEP para inter-
mediar e promover a comercialização de contratos de seguro, representando o Segurado 
junto às Seguradoras;
 • Seguradora: Empresa autorizada pela SUSEP a funcionar no Brasil e que, recebendo o prê-
mio, assume os riscos descritos no contrato de seguro; 
 • Risco: Evento incerto ou de data incerta que independe da vontade das partes contratantes 
e contra o qual é feito o seguro. O risco é a expectativa de sinistro. Sem risco não pode ha-
ver contrato de seguro;
 • Prêmio: Importância paga pelo Segurado ou estipulante/proponente à Seguradora para que 
esta assuma o risco a que o Segurado está exposto;
 • Segurado: Pessoa física ou jurídica que, tendo interesse segurável, contrata o seguro em 
seu benefício pessoal ou de terceiros;
 • Endosso: Aditivo ao contrato pelo qual a Seguradora e o Segurado acordam quanto a altera-
ção de dados, modificam condições ou objeto da apólice ou a transferem a terceiros;
 • Sinistro: Ocorrência de acontecimento previsto no contrato de seguro, de natureza súbita, 
involuntária e imprevista;
 • Franquia: Valor ou percentual definido na apólice que representa a participação do Segura-
do nos prejuízos indenizáveis consequentes de cada sinistro;
 • Indenização: quantia que, em caso de sinistro, o segurado recebe de forma a permitir a re-
posição integral do bem.
Modalidades de Seguros
 • Seguros de Acumulação: são aqueles em que o segurado, ao pagar os prêmios do seguro, 
forma uma reserva que, depois de determinado período, retorna para ele, corrigida por um 
indexador e juros. Exemplos: Previdência Complementar Aberta (Tradicional, PGBL e VGBL), 
Títulos de Capitalização.
340
CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
43
 • Seguros de Risco: são todos os outros em que os prêmios só têm retorno para o segurado 
na forma de cobertura de eventual sinistro. Exemplos: Auto e Responsabilidade Civil, Aci-
dentes Pessoais, Saúde etc. 
Pulverização de Responsabilidades
 • Cosseguro: é quando duas ou mais seguradoras assumem a responsabilidade pelo mes-
mo risco, o que possibilita reduzir um perigo de grandes dimensões em responsabilidades 
menores, fazendo com que cada seguradora assuma a responsabilidade por uma parte do 
montante;
 • Resseguro: É quando uma operação em que uma seguradora está envolvida ultrapassa o 
limite de sua capacidade econômica de indenizar, então ela transfere à resseguradora o ex-
cesso de responsabilidade;
 • Retrocessão: O ressegurador repassa parte das responsabilidades que assumiu para outro 
resseguradorou seguradoras, com o objetivo de proteger seu patrimônio. Nessa operação, 
são cedidos riscos, informações e parte do prêmio de seguro. 
Tipos de Resseguradores
 • Local: ressegurador sediado no país, constituído sob a forma de sociedade anônima, que 
tenha por objeto exclusivo a realização de operações de resseguro e retrocessão.
 • Admitido: ressegurador sediado no exterior, com escritório de representação no país e ca-
dastrado na Susep.
 • Eventual: empresa resseguradora estrangeira sediada no exterior, sem escritório de repre-
sentação no país, cadastrada na Susep para realizar operações de resseguro e retrocessão.
Tipos de Seguros
 • Seguro Rural: é um dos mais importantes instrumentos de política agrícola, por permitir ao 
produtor proteger-se contra perdas decorrentes principalmente de fenômenos climáticos 
adversos; cobre também a atividade pecuária, o patrimônio do produtor rural, seus produ-
tos, o crédito para comercialização desses produtos, além do seguro de vida dos produto-
res;
 • Seguro Compreensivo: garante, em geral, três riscos: incêndio, queda de raio e explosão; 
conjugam diversas coberturas adicionais, tais como: vendaval, queda de aeronaves, perda 
de aluguel, entre diversas outras;
 • Seguro de Danos: objetiva garantir ao segurado, até o limite máximo de garantia e de acor-
do com as condições do contrato, o pagamento de indenização por prejuízos, devidamente 
comprovados, diretamente decorrentes de perdas e/ou danos causados aos bens segura-
dos, ocorridos no local segurado, em consequência de risco coberto; 
 • Seguro de Pessoas: tem por objetivo garantir o pagamento de uma indenização ao segura-
do e aos seus beneficiários, observadas as condições contratuais e as garantias contratadas. 
Como exemplos de seguros de pessoas, temos: seguro de vida, seguro funeral, seguro de 
acidentes pessoais, seguro educacional, seguro viagem, dentre outros;
341
44
 • Seguro de Transportes: garante ao segurado uma indenização pelos prejuízos causados aos 
bens segurados durante o seu transporte em viagens aquaviárias, terrestres e aéreas, em 
percursos nacionais e internacionais;
 • Seguro de Crédito: tem por objetivo ressarcir o SEGURADO (credor), nas operações de cré-
dito realizadas com clientes domiciliados no país, das perdas causadas por devedor insol-
vente;
 • Seguro de Veículos: para cobrir danos acidentais causados ao veículo, roubo ou furto do 
mesmo (ou suas partes), ressarcimento de danos (materiais ou pessoais) causados pelo veí-
culo a terceiros, indenização aos passageiros acidentados do veículo (ou seus beneficiários) 
e assistência ao veículo e seus ocupantes, em caso de acidente ou pane;
 • Seguro de Garantia Estendida: tem como objetivo fornecer ao segurado, facultativamente 
e mediante o pagamento de prêmio, a extensão temporal da garantia do fornecedor de um 
bem adquirido e, quando prevista, sua complementação;
 • DPVAT (Danos Pessoais Causados por Veículos Automotores de Vias Terrestres): visa pagar 
indenizações a pessoas vitimadas por morte, invalidez permanente e despesas de assistên-
cia médica e suplementares;
 • DPEM (Danos Pessoais Causados por Embarcações): tem por finalidade dar cobertura aos 
danos pessoais causados por embarcações ou por sua carga às pessoas embarcadas, trans-
portadas ou não transportadas, inclusive aos proprietários, tripulantes e condutores das 
embarcações, independentemente da embarcação estar ou não em operação;
 • Seguro Popular de automóvel: modalidade recentemente regulamentada pela Superinten-
dência de Seguros Privados – SUSEP, prevê a utilização de peças usadas oriundas de empre-
sas de desmontagem para a recuperação de veículos sinistrados com cobertura securitária. 
Não podem ser usadas, no entanto, peças de segunda mão para reparos de itens de segu-
rança, como airbag, freios e suspenção, por exemplo. A medida visa reduzir os preços pagos 
pelos consumidores do ramo, visto que a apólice pode ficar até 30% mais barata que a de 
um seguro tradicional;
 • Seguro Desemprego: é um benefício que oferece auxílio em dinheiro por um período deter-
minado. Ele é pago de três a cinco parcelas de forma contínua ou alternada, de acordo com 
o tempo trabalhado.
Observações Importantes
 • É proibida a realização de mais de um seguro cobrindo o mesmo objeto ou interesse, salvo 
nos casos de seguros de pessoas.
 • As operações de Seguro Rural gozam de isenção tributária irrestrita, de quaisquer impostos 
ou tributos federais.
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QUESTÕES
EXERCÍCIOS – PRODUTOS E SERVIÇOS FINANCEIROS
1. (CESGRANRIO – 2013 – Banco da Amazônia) 
Os planos de seguro têm o objetivo de gerar proteção patrimonial às pessoas físicas ou jurídicas. 
Em um seguro de veículo, se o segurado trocar de carro ou incluir algum item em sua apólice, 
ele deverá solicitar a seguradora um
a) endosso na apólice.
b) reembolso de prêmio.
c) estorno de pagamento.
d) cancelamento de apólice.
e) pedido de prêmio.
2. (CESGRANRIO – 2014 – Banco da Amazônia) 
A caderneta de poupança é um dos investimentos mais populares do Brasil, principalmente por 
ser um investimento de baixo risco. 
A poupança é regulada pelo Banco Central, e, atualmente, com a meta da taxa Selic superior a 
8,5%, sua remuneração é de:
a) 0,3% ao mês, mais a variação do CDB.
b) IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado), mais TR (Taxa Referencial).
c) TR (Taxa Referencial), mais 0,5% ao mês.
d) 0,5% ao mês.
e) 6% ao ano.
3. (CESGRANRIO – 2014 – Banco do Brasil) 
Os planos de previdência PGBL (Plano Gerador de Benefício Livre) e VGBL (Vida Gerador de Be-
nefício Livre) são produtos de Previdência Complementar que visam à acumulação de recursos 
e à transformação de tais recursos em uma renda futura.
Na modalidade PGBL, o imposto de renda incide sobre o:
a) ganho das aplicações financeiras.
b) valor futuro calculado para a data do resgate.
c) total resgatado ou recebido como renda.
d) total de rendimentos bruto na data da aplicação.
e) valor da aplicação inicial.
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4. (CESGRANRIO – 2014 – Banco do Brasil) 
Os títulos de capitalização são emitidos pelas sociedades de capitalização e têm por objeto o 
depósito periódico de prestações pecuniárias pelo contratante, o qual terá, depois de cumprido 
o prazo contratado, os direitos de concorrer a sorteio de prêmios em dinheiro e o de.
a) resgatar o valor do título mediante lance em leilões periódicos.
b) resgatar parte dos valores depositados corrigidos por uma taxa de juros.
c) aplicar parte dos recursos em ações das bolsas de valores.
d) concorrer a imóveis nos feirões da casa própria.
e) concorrer a prêmios em barras de ouro.
5. (FGV – 2014 – BNB) 
O Plano Gerador de Benefício Livre (PGBL) se difere do Vida Gerador de Benefício Livre (VGBL) 
no que tange ao tratamento fiscal. No caso do PGBL:
a) o imposto de renda é pago no resgate e incide sobre o total do valor resgatado.
b) o imposto de renda é pago no resgate e incide sobre os ganhos de capital.
c) o imposto de renda é pago semestralmente e incide sobre os ganhos de capital.
d) ambas as aplicações são isentas de cobrança de imposto de renda.
e) ambas as aplicações estão sujeitas a alíquota fixa de 6% de imposto de renda.
6. (CESPE – 2014 – Câmara dos Deputados) 
Acerca dos seguros privados e resseguros, julgue o item subsequente. 
1. O seguro de garantia estendida procura complementar a garantia original de fábrica, mas não 
é aplicável aos contratos de compra e venda de bens de consumo duráveis.
( ) Certo   ( ) Errado
2. Os seguros de pessoas garantem o pagamento de indenização ao segurado e seus beneficiá-
rios de acordo com as condições contratuais. Nessa categoria tem-se, como exemplo, o seguro 
funeral, o seguro educacional e o seguro desemprego.
( ) Certo   ( ) Errado
3. O contrato de seguro assume que existem direitos e obrigações de ambas as partes. Deve o 
segurado pagar o prêmio e o segurador arcar com as despesas.
( ) Certo   ( ) Errado
4. Resseguro é a operação pela qual uma seguradora se alivia de forma integral do risco de um 
segurojá feito, adquirindo novo seguro em outra seguradora.
( ) Certo   ( ) Errado
7. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil) 
Tradicionalmente, o rendimento da Caderneta de Poupança sempre foi determinado pela varia-
ção da TR (Taxa Referencial) mais juros de 0,5% ao mês. Entretanto, os depósitos realizados a 
partir de 04/05/2012 têm rendimento vinculado à meta da taxa Selic. 
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CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
Desde então, se esta meta for igual ou menor que 8,5% ao ano, os juros da Caderneta de Pou-
pança são
a) aumentados para 130% da Selic.
b) aumentados para 130% da Selic mais a TR.
c) aumentados para 100% da Selic.
d) reduzidos para 70% da Selic.
e) reduzidos para 70% da Selic mais a TR.
8. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil) 
Os cartões de crédito são, às vezes, chamados de “dinheiro de plástico”. Seu uso crescente como 
meio de pagamento implica vários aspectos, EXCETO o(a)
a) ganho sobre a inflação para os possuidores de cartão, sendo os valores das compras pagos 
apenas no vencimento do cartão.
b) crédito automático até certo limite para os possuidores de cartão.
c) aumento da demanda de papel moeda pelos possuidores de cartão, para pagamento de 
suas transações.
d) aumento da segurança da transação, tanto para o comprador quanto para o vendedor.
e) indução ao crescimento de vendas para os estabelecimentos credenciados.
9. (CESGRANRIO – 2015 – Banco do Brasil) 
O Plano Gerador de Benefícios Livres (PGBL) é uma aplicação que tem como objetivo a comple-
mentação da aposentadoria do seu investidor. Pode-se dizer que o PGBL é bom para o empre-
gado que possui renda tributável e declara o imposto de renda no modelo completo, pois ao 
investir num PGBL, tem-se restituído o Imposto de Renda (IR) retido na fonte pelo empregador 
sobre o valor da aplicação. 
Como a tributação do PGBL ocorre no resgate sobre o(s) seu(s)
a) rendimentos, o IR é postergado, mas não há a sua isenção.
b) rendimentos, o IR é diferido, mas não há a sua isenção.
c) rendimentos, há isenção do IR.
d) valor integral, o IR é adiado, mas não há a sua isenção.
e) valor integral, há isenção do IR.
10. (EXATUS – 2015 – BANPARÁ) 
O Crédito Direto ao Consumidor – CDC – é uma operação de crédito concedida a pessoas físicas 
ou jurídicas para a aquisição de bens e serviços. 
Com base nessa afirmação, assinale a alternativa correta sobre o CDC:
a) O consumidor que contrata o CDC passa a desfrutar imediatamente de um bem que será 
pago com sua renda futura.
b) O consumidor que contrata o CDC passa a desfrutar de um bem noventa dias após quitação 
da primeira parcela de pagamento.
c) O consumidor que contrata o CDC passa a desfrutar do bem adquirido após trinta dias da 
quitação da primeira parcela de pagamento.
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d) O consumidor que contrata o CDC passa a desfrutar do bem adquirido após sessenta dias da 
quitação da terceira parcela de pagamento.
e) O consumidor que contrata o CDC passa a desfrutar imediatamente de um bem adquirido 
após o vencimento da segunda parcela.
11. (Cespe – 2018 – BNB) 
Carlos pretende adquirir um plano de previdência privada para complementar os benefícios que 
obtiver no regime geral de previdência social. Seu projeto é investir por mais de dez anos e de-
seja que os recursos investidos no plano de previdência privada sejam deduzidos do imposto de 
renda.
Com referência a essa situação hipotética, julgue o próximo item.
Caso Carlos deseje adquirir um seguro de vida associado ao plano de previdência, o produto 
mais adequado é um plano gerador de benefícios livres (PGBL), que permite deduzir o prêmio 
do seguro do imposto de renda.
( ) Certo   ( ) Errado
12. (CESPE – 2018 – BNB) 
Acerca de depósitos bancários, julgue o item subsequente.
As diferenças entre recibo de depósito bancário e certificado de depósito bancário incluem o 
fato de o certificado poder ser transferido por meio de endosso, sendo, portanto, negociável em 
mercado secundário.
( ) Certo   ( ) Errado
13. (CESPE – 2018 – CEF) 
A respeito dos meios de pagamento eletrônico conhecidos como cartões de crédito e cartões de 
débito, julgue os itens subsecutivos.
A cobrança do uso de cartões de crédito emitidos por instituições financeiras está limitada a 
três tarifas específicas: anuidade, segunda via do cartão magnético e uso da função saque.
( ) Certo   ( ) Errado
14. (CESPE – 2018 – BNB) 
Com relação às operações de crédito realizadas pelas instituições financeiras, julgue o item sub-
sequente.
O crédito direto ao consumidor (CDC) é uma modalidade de financiamento destinada à aquisi-
ção de bens e serviços cujo beneficiário é o consumidor ou usuário final.
( ) Certo   ( ) Errado
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CONHECIMENTOS BANCÁRIOS | PROF. JUCA SIADE
15. (CESPE – 2018 – BNB) 
Com relação às operações de crédito realizadas pelas instituições financeiras, julgue o item sub-
sequente.
A operação de crédito rural destinada à aquisição de bens ou serviços que serão usufruídos em 
vários períodos de produção é classificada como uma operação de custeio.
( ) Certo   ( ) Errado
16. (CESGRANRIO – 2018 – Banco da Amazônia) 
O crédito rural abrange diversas modalidades de financiamento aos empresários do setor, des-
de a fase de produção até o abastecimento dos mercados consumidores. A modalidade que 
assegura aos produtores e cooperativas rurais recursos destinados a financiar o abastecimento 
doméstico e o armazenamento dos estoques excedentes em períodos de queda dos preços é 
denominada crédito
a) geral.
b) especial.
c) de investimento.
d) de custeio.
e) de comercialização.
17. (FGV – 2018 – Banestes) 
A remuneração atual da caderneta de poupança possui um componente básico, baseado na 
taxa referencial (TR), e um adicional, dependente da política monetária corrente.
O parâmetro de política monetária utilizado no cálculo é a:
a) taxa do CDI – Certificado de Depósito Interbancário.
b) meta da taxa Selic.
c) meta de inflação.
d) taxa Selic diária.
e) rentabilidade média das NTN-B’s.
18. (FADESP – 2018 – BANPARÁ) 
A conta poupança é um tipo de conta bancária considerada de baixo risco. Em relação à cader-
neta de poupança, é correto afirmar que
a) a remuneração da aplicação é mensal e não há incidência de imposto de renda (IR) sobre 
ganhos de capital para pessoas físicas e jurídicas sem fins lucrativos.
b) a remuneração é mensal e há incidência do imposto de renda (IR) para pessoas jurídicas 
com fins lucrativos.
c) a remuneração da aplicação é mensal e há incidência de imposto de renda (IR) sobre ga-
nhos de capital para pessoas físicas e jurídicas sem fins lucrativos.
d) a caderneta recebe depósitos tanto de pessoas físicas quanto de pessoas jurídicas, sendo 
que sua abertura deve ser feita somente no quinto dia útil de cada mês.
e) a remuneração da aplicação é diária e não há incidência de imposto de renda (IR) sobre ga-
nhos de capital para pessoas físicas e jurídicas sem fins lucrativos.
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19. (CESGRANRIO – 2018 – Banco da Amazônia) 
As sucessivas reduções na taxa básica de juros, a Selic, impactam a decisão dos investidores com 
relação à poupança.
Sobre as cadernetas de poupança tem-se que
a) têm a remuneração composta pela Taxa Referencial e por uma remuneração adicional de 
0,5% ao mês, se a Selic for maior que 8,5%.
b) têm a remuneração creditada no último dia útil de cada mês.
c) têm incidência do Imposto de Renda.
d) são passíveis de cobrança de taxas administrativas.
e) não são garantidas pelo FGC.
20. (FADESP – 2018 – BANPARÁ) 
Em relação ao Recibo de Depósito Bancário (RDB) e ao Certificado de Depósito Bancário (CDB), 
é correto afirmar que
a) o RDB é considerado um depósito à vista enquanto o CDB é considerado um depósito a prazo.
b) o RDB é considerado um depósito a prazo enquanto o CDB é considerado um depósito à 
vista.
c) o RDB e o CDB são considerados depósitos à vista.
d) o RDB e o CDB são considerados depósitos a prazo.
e) o RDB e o CDB podem ser tanto depósitos à vista quanto depósitos a prazo.
21. (FADESP – 2018 – BANPARÁ) 
Ainda em relação ao Recibo