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Sumário
6 Interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.1 Os efeitos das interações 3
6.2 Energia potencial 5
6.3 Dissipação de energia 7
6.4 Fontes de energia 10
6.5 Tipos de interações 10
6.6 Alcance da interação 12
6.7 Interações fundamentais 14
6.7.1 Interação gravitacional 15
6.7.2 Interação eletromagnética 16
6.7.3 Interação fraca 16
6.7.4 Interação forte 16
6.8 Interações e acelerações 18
6.9 Interações não-dissipativas 18
6.10 Interações dissipativas 19
6.11 Um exemplo de interação não-dissipativa: queda livre 20
6.12 Outras questões de revisão 22
6.13 Problemas 22
1
6. Interações
Duas semanas atrás vimos como as interações podem alterar a energia cinética de objetos bem
como suas energias internas. Todo evento que ocorre neste universo é o resultado de alguma
interação entre objetos. As interações determinam a estrutura do universo, desde a escala
subatômica até a escala cosmológica. Neste capı́tulo vamos estudar como as interações con-
vertem energia de uma forma para outra. No processo vamos aprender mais sobre o conceito
de energia interna introduzido na semana anterior.
Referências para leitura: Mazur (cap. 7), Halliday (cap. 8) e Bauer (cap. 6).
Referências para leitura avançada sobre interações fundamentais: Kerson Huang, ”Funda-
mental Forces of Nature: The Story of Gauge Fields”(acessı́vel na medida que progride nos
cursos de fı́sica bácisa); Gerhard Ecker, ”Particles, Fields, Quanta: From Quantum Mecha-
nics to the Standard Model of Particle Physics”(escrito para ser acessı́vel matematicamente
para um estudante que concluiu o ensino médio).
2
6.1. OS EFEITOS DAS INTERAÇÕES 3
CONCEITOS
6.1 Os efeitos das interações
Figura 6.1: Uma interação entre dois carros pre-
sos por uma mola.
No sentido mais amplo, interações são in-
fluências mútuas entre dois objetos que
produzem mudança (tanto mudança fı́sica
quanto no movimento). Como exemplo,
considere um carro parado numa pista ho-
rizontal. A única forma de fazer o carro se
mover é fazer ele interagir com alguma ou-
tra coisa. Poderı́amos, por exemplo, dar um
empurrão ou fazer o carro colidir com outro
carro, ou colar um imã no carro e puxa-lo ou
empurra-lo com outro imã.
Uma interação que acelera um objeto
pode ser tanto repulsiva quanto atrativa.
Uma interação repulsiva é tal que os corpos
que interagem aceleram na direção de se afastarem um do outro; numa interação atrativa
os corpos aceleram um em direção a outro. Algumas interações são repulsivas sob certas
condições, e atrativas sob outras condições. Um exemplo está na Figura 6.1, que mostra
a interação entre dois carrinhos ligados por uma mola. Quando a mola está esticada, a
interação é atrativa; quando a mola está comprimida, a interação é repulsiva.
A Figura 6.2 representa as componentes x das velocidades, os momentos, as acelerações e
as energias cinéticas de dois carrinhos antes e depois de uma interação. O carro 1, de inércia
0,12 kg e inicialmente no repouso, é batido pelo carro 2, de inércia 0,24 kg e inicialmente
com velocidade de 0,55 m/s.
Note que a interação que causa as mudanças na velocidade e no momento não é ins-
tantânea; ela acontece num certo intervalo de tempo (representado pela região em cinza nos
gráficos). A componente x da aceleração média de cada carro durante a interação é igual a
variação da componente x da velocidade de cada carro dividida pela duração da interação.
Como a variação da velocidade do carro 1 é o dobro da variação do carro 2, o módulo da
aceleração média do carro 1 é o dobro do carro 2. Este resultado é uma consequência di-
reta da conservação de momento, e esta relação também vale para acelerações instantâneas.
Desta forma, quando dois objetos interagem, a razão das componentes x de suas acelerações
é igual a menos o inverso da razão de suas inércias:
a1
a2
= −m2
m1
.
A equação acima é válida para todas as interações num sistema de dois objetos isolado, in-
dependente do que acontece com a energia durante a interação.
Questão 6.1 (a) Use a Figura 6.2 para calcular o momento dos dois carros em t = 30,60
e 90 ms. (b) O momento é o mesmo em cada um destes instantes? (c) Use a Figura 6.2
para calcular as energias cinéticas dos dois carros em t = 30,60 e 90 ms. (d) A energia
cinética do sistema se mantém constante?
4 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Figura 6.2: Conservação de momento e energia cinética numa colisão elástica entre dois
carrinhos num trilho de ar.
A Figura 6.2(d) mostra a energia cinética dos dois carros. Assim como o momento, a ener-
gia cinética de cada carro muda, mas como a colisão é elástica, a energia cinética do sistema
é a mesma antes e depois da interação. Note, no entanto, que a energia cinética do sistema
não se mantém constante durante a colisão! Ao contrário do momento, a energia cinética de
um sistema de objetos colidindo muda durante a colisão - mesmo quando a colisão é elástica.
O desaparecimento da energia cinética não está em contradição com a conservação de
energia. A energia cinética faltante durante a interação foi temporariamente convertida em
energia interna. Após a interação, a energia cinética convertida em energia interna durante a
interação reaparece como energia cinética. Porque o sistema é fechado, a energia do sistema
se mantém constante durante a colisão.
Em colisões inelásticas, nem toda a energia cinética do sistema antes da colisão conver-
tida em energia interna durante a colisão reaparece como energia cinética depois da colisão.
Parte da energia cinética inicial é convertida em energia interna de forma irreversı́vel.
6.2. ENERGIA POTENCIAL 5
Questão 6.2 Considere uma bola que é atirada contra a parede numa trajetória ho-
rizontal com velocidade v0. (a) Qual é o momento da bola durante a colisão? (b) O
momento da bola é constante antes, durante e após a colisão? Se sim, por que? Se não,
por que não, e para qual sistema o momento é constante?
Podemos resumir as caracterı́sticas de uma interação:
1. dois objetos são necessários;
2. o momento de um sistema de objetos que interagem é o mesmo antes, durante e após a
colisão (desde que o sistema esteja isolado).
Além disto, para as interações que afetam o movimento dos objetos:
1. a razão das acelerações dos objetos é inversamente proporcional à razão de suas inércias;
2. a energia cinética do sistema muda durante a interação. Parte desta energia é con-
vertida para alguma forma de energia interna durante a colisão. Numa colisão elástica
toda a energia convertida reaparece como energia cinética após a colisão. Numa colisão
inelástica apenas parte da energia convertida é convertida como energia cinética após
a colisão; numa colisão totalmente inelástica nenhuma energia convertida reaparece
como energia cinética após a colisão.
6.2 Energia potencial
Numa interação, a parte da energia cinética que é temporariamente armazenada em mudanças
reversı́veis no estado do sistema é chamada de energia potencial, representada por U . Ener-
gia potencial é uma forma de energia interna; o termo potencial se refere ao fato que a energia
tem potencial para ser convertida de volta em energia cinética.
6 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Figura 6.3: Conversão de energia durante a interação entre um carro e uma mola.
Na Figura 6.3, o carro comprime a mola, e toda a energia cinética do carro antes da
interação é temporariamente convertida em energia potencial armazenada na mola. Con-
forme a mola retorna ao seu estado inicial (isto é, à sua forma original), essa energia poten-
cial é convertida de volta a energia cinética do carro. Durante a interação entre o carro e a
mola, a soma das energias cinética e potencial é constante, uma vez que o sistemacarro-mola
é fechado.
Definição 6.1 (Energia Potencial) De forma geral, energia potencial é a forma de ener-
gia interna associada com mudanças reversı́veis na configuração do estado de um ob-
jeto ou sistema. Energia potencial pode ser totalmente convertida em energia cinética.
Há várias formas de energia potencial, todas relacionadas com a forma na qual os obje-
tos interagentes se arranjam espacialmente. Se você joga um bloco para cima, você muda a
configuração espacial do sistema bloco-Terra. Conforme o bloco sobe, a forma de energia po-
tencial chamada de energia potencial gravitacional é armazenada no sistema bloco-Terra.
Se olharmos ao nı́vel atômico, quando você pressiona uma bola ou uma mola, você troca
6.3. DISSIPAÇÃO DE ENERGIA 7
a configuração do arranjo dos átomos que constituem a bola ou a mola. Deformações re-
versı́veis correspondem à mudanças na energia potencial elástica.
Questão 6.3 Na Figura 6.3, a velocidade inicial do carro é vi . Assumindo que não há
nenhuma energia potencial armazenada na mola inicialmente, quanta energia poten-
cial é armazenada na mola (a) na terceira situação da figura e (b) na última situação da
figura? Dê suas respostas em termos de m, vi e v.
Questão 6.4 Relembre o experimento do video ”Elastic Collisions and Stored
Energy”(PSSC) (veja figura abaixo). Descreva as energias envolvidas no experimento e
faça um gráfico das mesmas em função do tempo.
Figura 6.4: Estado inicial do experimento com os dois magnetos sendo contidos por
um elástico. Evolução do movimento dos magnetos após liberação do elástico.
6.3 Dissipação de energia
A parte da energia cinética convertida que não reaparece depois numa colisão inelástica é
dita ter sido dissipada (em outras palavras, convertida de forma irreversı́vel). Para entender
o que ocorre com a energia que é dissipada, pense num experimento simples com uma folha.
Se você dobrar (sem marcar) uma folha com um dos extremos em direção ao outro, uma
vez que você tirar a mão a folha volta ao seu estado original. Mas se você amassar a folha e
depois tirar sua mão, a folha pode se expandir um pouco mas não volta à sua forma original.
Há uma diferença crucial nestas duas situações: na primeira a deformação ocorre de uma
maneira coerente, o que significa que no nı́vel atômico há um padrão no deslocamento dos
átomos; eles se movem de forma ordenada em linhas, cada linha sucessiva experimentando
um pequeno deslocamento na mesma direção. Conforme você dobra a folha, você armazena
energia potencial na folha; quando você solta a folha, a energia potencial aparece como
energia cinética.
Na segunda situação, a mudança na forma é incoerente porque os átomos são deslocados
em direções aleatórias. A folha não pode voltar à forma original porque o deslocamento
aleatório deixou os átomos uns no caminho dos outros.
Além da energia dissipada em deformação incoerente, temos também dissipação devido
a movimento incoerente. Considere os dois exemplos da figura ??. Na figura (a) o carro
colide com uma barra rı́gida e retorna com a mesma velocidade escalar. Na figura (b) o carro
8 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Figura 6.5: Colisão (a) elástica e (b) inelástica. Na colisão inelástica a energia cinética é
inteiramente convertida em energia de movimento incoerente.
para na barra rı́gida e sua energia cinética é convertida em movimento caótico das esferas
que estão penduradas no mesmo. Esse movimento é incoerente.
Podemos então dar uma classificação completa da energia. Toda energia pode ser divi-
dida em duas classes fundamentais: energia associada ao movimento e energia associada
com a configuração dos objetos interagentes. Cada classe de energia vem em duas formas:
coerente e incoerente (Figura 6.6).
Quando todos os átomos num objeto se movem de forma coerente na mesma direção -
o que significa que o objeto se move nesta direção - a energia de movimento é chamada de
energia cinética. Energia armazenada em mudanças coerentes numa configuração é chamada
de energia potencial. A soma das energias potencial e cinética de um sistema é chamada de
energia mecânica ou energia coerente do sistema.
Além da energia coerente, um sistema pode ter energia incoerente associada ao movi-
mento incoerente e à configuração de seus objetos. Uma parte importante da energia inco-
erente de um sistema é sua energia térmica. Quanto maior a energia térmica de um objeto
maior sua temperatura. A soma da energia incoerente e da energia potencial de um sistema
é a energia interna do sistema.
A dissipação corresponde a transformação de energia coerente em energia incoerente.
Esse processo é irreversı́vel e não podemos transformar energia incoerente por ela mesma
em energia coerente.
A figura 6.5 (b) emula, de certa forma, o movimento dos átomos no sólido. A absorção
de energia de movimento incoerente pelo sólido ocorre por meio de movimento dos átomos
do sólido. Na prática, isso ocorre por um movimento oscilatório dos átomos em torno de
sua posição de equilı́brio e que pode ser representado como uma onda elástica devido ao
movimento oscilatório coletivo dos átomos. O aspecto incoerente nesse caso se manifesta
pela formação incoerente dessas ondulações coletivas dos átomos. Essas ondas elásticas se
propagam para a superfı́cie do sólido onde elas interagem com os átomos do meio ambiente
6.3. DISSIPAÇÃO DE ENERGIA 9
(ar?) fazendo vibrar seus átomos. Em linguagem quotidiana: o sólido aquece, transfere
sua energia para a superfı́cie esfriando na medida que aquece o ar (como o ar é um meio
muito maior, em geral, seu aquecimento não é perceptı́vel). Esse é o processo de dissipação
completo que ocorre nesses casos, de forma geral.
Figura 6.6: Classificação da energia.
10 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
6.4 Fontes de energia
Por causa da inevitável dissipação de energia mecânica, precisamos de uma fonte de energia
- combustı́vel, alimento, etc. - para gerar ou manter a energia mecânica de um sistema. Por
exemplo, a energia da gasolina é necessária para manter um carro em movimento. Sem for-
necimento de energia o carro desacelera conforme sua energia cinética se dissipa por causa
do atrito.
De forma geral, há quatro tipos de fontes de energia: energia quı́mica (energia associada
com a configuração dos átomos dentro das moléculas) liberada em reações quı́micas como
a queima de óleo, carvão, gás, madeira e a metabolização de comida; energia nuclear (as-
sociada com a configuração do núcleo dos átomos) liberada em reações nucleares; energia
solar entregue via radiação pelo sol; e energia solar armazenada na forma de vento e energia
hidroelétrica.
Para facilitar a nomenclatura, vamos dividir a energia em quatro categorias:
1. energia cinética, K ;
2. energia potencial, U ;
3. fontes de energia Es, e;
4. energia térmica Eth.
As interações convertem energia de uma categoria para outra, mas a conservação de energia
requer que, para um sistema fechado, a energia E do sistema se mantenha constante. Logo,
para um sistema fechado,
∆E = ∆K +∆U +∆Es +∆Eth = 0 (6.1)
6.5 Tipos de interações
A Figura 6.7 ilustra os vários tipos de conversão de energia que podem ocorrer. Interações
que convertem energia para energia mecânica ou térmica e interações que convertem energia
mecânica em energia térmica são irreversı́veis. Interações irreversı́veis mudam a energia
térmica do sistema e são chamadas de interações dissipativas; interações reversı́veis não
mudam a energia térmica do sistema e são chamadas de interações não-dissipativas.
A figura 6.8 mostra a transformação de energia no processo de combustão do metano.
Nesse caso, parte da energia quı́mica é convertida em energia cinética, na forma de movi-
mento das moléculas. A maior parte dessa energia, no entanto, torna-se energia térmica indo
para a atmosfera ou para o solo e dificilmentepode ser convertida em outra forma. Esse caso
exemplifica o consumo de energia, onde a energia armazenada (fontes de energia) na Terra
diminui.
6.5. TIPOS DE INTERAÇÕES 11
Figura 6.7: Processos de conversão de energia.
12 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Figura 6.8: Combustão do metano, onde cada molécula de metano (CH4) reage com duas
moléculas de oxigênio (O2). A reação rearranja os átomos formando duas moléculas de água
(H2O) e uma molécula de dióxido de carbono (CO2). Nessa reação, aparte da energia quı́mica
inicial nas moléculas reagentes é convertida em energia cinética dos produtos da reação.
6.6 Alcance da interação
Quais são os mecanismos responsáveis pelas interações? A forma como lidamos com essa
questão é identificar o tipo de matéria com o tipo de interações que elas realizam associando
a elas uma propriedade designadas de forma genérica por ”carga”(ex.: massa, carga elétrica,
cor,...).
Como essas interações ocorrem? Mecanicamente, estamos acostumados ao que chama-
mos de interação de contato. Duas superfı́cies entram em contato uma com a outra. Se olhar-
mos a nı́vel atômico, observamos que os átomos se atraem ou se repelem mesmo a distâncias
maiores do que seu próprio tamanho. Na prática, nesse nı́vel, não há contato real. Um exem-
plo claro disso, que estamos acostumados no nosso dia-à-dia, são os magnetos, que exercem
uma força de atração (ou repulsão) mesmo estando a certa distância. A figura 6.9 exemplifica
essess casos, com a interação magnética tendo um alcance longo enquanto que a interação
entre duas esferas sendo o que chamamos de interação de contato, isto é, curto alcance.
6.6. ALCANCE DA INTERAÇÃO 13
Figura 6.9: Interações de longo alcance podem ser percebidas a distâncias macroscópicas.
Interações de curto alcance, no entanto, só podem ser percebidas a distâncias atômicas.
Como podemos descrever as interações de longo alcance? A descrição que utilizamos é
por meio do conceito de campo. A figura ?? apresenta uma visualização do campo. O que
podemos imaginar é que o campo é uma propriedade que permeia o espaço. Do ponto de
vista clássico, podemos dizer que o campo foi gerado pelo objeto esférico, que possui uma
carga. Nesse caso, o campo é mais intenso quanto mais próximo do objeto, mas tem simetria
esférica. E decresce a medida que se distancia. Se movermos o objeto, o campo apresenta
vibrações. Você pode visualizar isso como uma pedra jogada na água em repouso causando
vibrações na água. A diferença é que não precisamos de um meio para a existência do campo
e suas vibrações (ondas). O exemplo, pela simetria e comportamento com a distância, pode-
ria estar representando um campo gravitacional ou eletromagnético.
Figura 6.10: Representação do campo em torno de um objeto esférico com uma certa carga.
(a) A intensidade da cor representa a intensidade do campo, que decai com a distância. (b)
Onda criada pelo movimento do objeto.
Vamos retornar a força de contato. Se a nı́vel atômico a interação é por meio de campo,
e esse campo necessariamente é o campo eletromagnético, a questão que surge é porque ele
não é de longo alcance (como veremos na próxima seção). A razão é que os objetos, em geral,
14 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
tem um equilı́brio de cargas positivas e negativas (são neutros) e a interação que observa-
mos é a interação residual destas interações eletromagnéticas. No entanto, há um fator a
mais a ser considerado para a rigidez do objeto que, macroscopicamente, nos dá o sentido
de interação de contato. O princı́pio de exclusão de Pauli, combinado com as interações ele-
tromagnéticas, é responsável pela estrutura da matéria e sua rigidez. Devido a neutralidade
das cargas, essa interação só se vai fazer sentir a distâncias muito pequenas, traduzindo ma-
croscopicamente no que chamamos de interação de contato.
6.7 Interações fundamentais
As interações fundamentais são aquelas que não podemos explicar por meio de outras interações.
Elas fazem parte fundamental do nosso universo. Todas as outras interações originam-se
dessas. Conhecemos quatro interações fundamentais que estão resumidas na tabela ??. Na
teoria quântica de campos, as interações são explicadas pela troca de partı́culas fundamen-
tais, as partı́culas de calibre. A figura ?? exemplifica a interação entre próton e neutron por
meio da troca de uma partı́cula chamada pion. O resultado é que prótons e neutrons con-
tinuamente trocam de lugar, resultando em uma interação atrativa entre eles. A figura ??
mostra as três interações fundamentais representadas por meio de troca de partı́culas de
calibre. Observe que a quarta interação fundamental, a gravitação, ainda não possui uma
teoria equivalente.
Tabela 6.1: Interações fundamentais. A intensidade relativa é a medida da ordem de gran-
deza dos efeitos dessas interações em dois prótons separados por 10−15m. A interrogação
refere-se a não existência de uma evidência experimental. O sı́mbolo c representa a veloci-
dade da luz no vácuo.
6.7. INTERAÇÕES FUNDAMENTAIS 15
Figura 6.11: Prótons e neutrons trocam uma partı́cula chamada pion, transformando-se um
no outro. Como resultado, prótons e neutrons continuamente trocam de lugar, resultando
em uma interação efetiva atrativa entre prótons e neutrons.
Figura 6.12: Três interações fundamentais da natureza descritas pela troca de partı́culas:
na interação eletromagnética partı́culas com carga elétrica trocam fótons, na interação forte
partı́culas com carga de cor trocam gluons e na interação fraca partı́culas com carga fraca
trocam W + (mostrado na figura) ou W − ou Z0.
A seguir faremos uma breve descrição dessas interações.
6.7.1 Interação gravitacional
A interação gravitacional é de longo alcance e a carga é a massa. Objetos com massa atraem
uns aos outros. A interação é muito fraca, a mais fraca de todas. Somente objetos com
16 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
grande massa apresentam uma manifestação significativa. Esse é o caso dos objetos como
estrelas, planetas. No nosso caso, a Terra é uma fonte de interação gravitacional significativa
atuando na matéria. A interação tem simetria esférica, razão pela qual a agregação da massa
na formação dos planetas tende a forma esférica. Ela é a interação fundamental na formação
da estrutura do universo, atuando em grandes distâncias. Não há uma teoria quântica para
ela. Com o experimento LIGO foi possı́vel observar ondas gravitacionais. Não temos, até
o momento, a observação do graviton , que seria a partı́cula fundamental em uma eventual
quantização do campo gravitacional, tema sob investigação e não resolvido até o presente
momento.
6.7.2 Interação eletromagnética
Ela é a interação responsável por quase todas as manifestações de interações - exceto a gra-
vitacional - que observamos no nosso quotidiano, desde a formação dos átomos e moléculas,
até o desenvolvimento do que chamamos de quı́mica e biologia. Sua carga é a carga elétrica e
tem duas formas: positiva e negativa. A quantização do campo eletromagnético é uma teoria
bem estabelecida (e, podemos dizer, a mais desenvolvida). A partı́cula fundamental quando
quantizado é o fóton. O fóton tem massa zero e a interação eletromagnética é de longo al-
cance. Sua interação é da ordem de 1036 vezes mais forte que a gravitacional. Isso faz com
que a interação gravitacional só se manifeste quando os objetos são eletricamente neutros.
Como discutimos anteriormente, manifestações residuais da interação eletromagnética entre
objetos neutros (a origem dessas manifestações residuais está na dinâmica das partı́culas ele-
tricamente carregadas nos objetos e na eventual quebra de simetria esférica na distribuição
dessas cargas elétricas) é responsável por vários dos fenômenos de interação mecânica que
observamosno nosso quotidiano.
6.7.3 Interação fraca
Essa interação é responsável pelos processos de decaimento radioativo das partı́culas e de-
sempenha papel importante na conversão de hidrogênio em helio nas estrelas (processo de
fusão nuclear). A sua carga é a carga fraca e atua nas partı́culas sub-atômicas, dentro do
núcleo, fazendo com que elas fiquem instáveis. As partı́culas fundamentais da interação são
os bósons vetoriais. A interação fraca e a interação eletromagnética possuem uma conexão e
são uma manifestação de uma única interação conhecida como interação eletro-fraca.
6.7.4 Interação forte
A interação forte atua mantendo quarks unidos formando nucleons, prótons e neutrons.
Interação residual mantém os prótons e neutrons unidos formando o núcleo. Ela é a interação
mais forte e sua carga é a cor. A partı́cula fundamental que transmite a interação é o textit-
gluon. Embora ele não possua massa, essa interação é de curto alcance, devido a interação
entre os gluons.
A figura 6.13 exemplifica as escalas nas quais as interações dominam, lembrando que a
neutralidade das cargas é o que permite que as interações mais fracas se manifestem.
6.7. INTERAÇÕES FUNDAMENTAIS 17
Figura 6.13: Exemplo de atuação das diversas interações fundamentais.
18 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
FERRAMENTAS QUANTITATIVAS
6.8 Interações e acelerações
Na nossa discussão incial fizemos a afirmação que para interações que afetam o movimento
de objetos, a razão entre as componentes-x das acelerações desses objetos é igual ao inverso
negativo de suas inércias. Vamos demosntrá-la agora.
Sempre que dois objetos interagem, eles trocam energia e momento. Consideremos os
dois objetos como estando isolados durante a interação. Nesse caso, o momento se conserva
e a variação de momento de um objeto tem que ser compensada pela variação do outro:
∆~p1 = −∆~p2 (6.2)
O intervalo de duração no qual ocorre a interação e, portanto, a variação de momento, é
o mesmo para os dois objetos. Logo, poemos escrever
∆~p1
∆t
=
∆~p2
∆t
(6.3)
No caso em que as inércias não são alteradas pela interação, podemos escrever
m1∆~v1
∆t
=
m2∆~v2
∆t
(6.4)
Finalmente, utilizando a definição de aceleração instantânea,
lim
∆t→
∆vx
∆t
≡ ax (6.5)
Tomando o limite da equação anterior, temos finalmente
m1a1x =m2a2x⇒
a1x
a2x
= −m2
m1
(6.6)
6.9 Interações não-dissipativas
A equacão de conservação de energia pode ser escrita (de uma forma razoavelmente geral)
como
∆E = ∆K +∆U +∆Es +∆Eth = 0 (sistemaf echado) (6.7)
Para interações não-dissipativas, não há mudança na fonte de energia, ∆Es = 0, ou na
energia térmica do sistema, ∆Eth = 0. As únicas conversões de energia permitida neste caso
são transformações reversı́veis entre a energia cinética e a energia potencial. Para estes tipos
de interações,
∆E = ∆K +∆U = 0. (6.8)
Se introduzirmos a energia mecânica, Em = K +U ,
∆Em = 0.
Como exemplo, vamos considerar novamente a interação de um carro, andando para a
direita, com uma mola, como na Figura ??. O carro interage com a mola, que está presa na
6.10. INTERAÇÕES DISSIPATIVAS 19
Terra. O sistema contendo o carro, o trilho de ar, a mola e a Terra é fechado. Porque KT erra
não muda, a equação 6.8 nos diz que
∆Kcarro = −∆Umola,
onde ∆Umola é a energia potencial elástica associada com a forma da mola. Conforme a mola
vai sendo comprimida (ou alongada), a energia potencial deve mudar. Portanto, Umola deve
ser função da posição, isto é, Umola deve ter um valor definido em cada posição x. De forma
geral, a energia potencial de qualquer sistema pode ser escrita na forma
U =U (x), (6.9)
ondeU (x) é função da posição x que quantifica a configuração do sistema. Uma consequência
direta desta dependência da energia potencial com a posição é que a mudança na energia
cinética de um objeto que se move de uma posição x1 para uma posição x2 durante uma
interação não-dissipativa depende somente das posições x1 e x2, e não do caminho percorrido
pelo objeto. Observe que se invertermos a direção do tempo, nada se altera no problema. Na
verdade, é impossı́vel distinguirmos em que direção o tempo flui.
Figura 6.14: Aceleração num sistema
fechado que não tem dissipação de ener-
gia.
Também podemos deduzir um ponto muito im-
portante do fato da energia potencial depender da
posição. Considere um sistema fechado com uma
função de energia potencial como a da Figura 6.14. Se
não há dissipação, então a energia mecânica deste sis-
tema fechado se conserva. Porque a energia potencial
aumenta com x, a energia cinética deve diminuir com
x. Isto significa que o objeto tende a ser acelerado
na direção de menor energia potencial, independente
da sua direção original de movimento. Isso pode ser
verificado nas figures 6.14 (a) e (b). Em (a), o objeto
move-se na direção que aumenta x. Quando atinge
x2, sua velociade diminuiu (menor energia cinética).
Portanto sua aceleração foi na direção negativa de x.
Já em (c), o objeto move-se a partir de x2 na direção
de menor x e aumenta sua velocidade. Novamente, a
aceleração é na direção negativa de x. Em ambos os
casos, a aceleração é na direção que diminui a energia
potencial.
6.10 Interações dissipativas
Uma interação dissipativa é aquela na qual há
variações na energia térmica. Estas interações são irreversı́veis. Um exemplo simples é um
bloco andando sobre uma superfı́cie de madeira e perdendo velocidade até parar. O atrito
entre a superfı́cie e o bloco é dissipativo: se tentarmos reverter o movimento, irı́amos obter
uma situação impossı́vel. O atrito agindo sobre o bloco converte sua energia cinética em
energia térmica. O sistema contendo o bloco, a superfı́cie e a Terra (que mantém a superfı́cie
no lugar) é fechado, de forma que
∆E = ∆K +∆U +∆Es +∆Eth = 0.
20 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Mas ∆U = 0 porque não há mudança na posição do bloco em relação à Terra e não há molas
envolvidas; ∆Es também é zero neste caso, de forma que
∆Kbloco = −∆Eth.
Embora a expressão acima seja muito similar à equação do sistema bloco-mola, o lado direito
é conceitualmente muito diferente. Em particular, a energia térmica não é uma função da
posição.
Se tentarmos inverter o sentido do tempo, fica óbvio que a interação não é reversı́vel. O
bloco não vai iniciar seu movimento sem que haja alguma interação.
Vamos retomar a nossa equação inicial de conservação de energia. Como no nosso exem-
plo, a variação de energia potencial é zero, e não há fontes de energia, podemos escrever,
para colisões elásticas e inelásticas,
∆K = −∆Eth (6.10)
No caso de colisões elásticas, ∆Eth = 0, e
∆K = 0 colisões elásticas (6.11)
Para colisões inelásticas, temos a expressão obtida no capı́tulo 4,
∆K =
1
2
µv212i(e
2 − 1) (6.12)
de onde podemos escrever
∆Eth = −∆K = −
1
2
µv212i(1− e
2) (6.13)
que nos dá a quantidade de energia coerente dissipada na forma de energia incoerente.
6.11 Um exemplo de interação não-dissipativa: queda livre
Figura 6.15: Queda livre de uma
bola, considerando o sistema fe-
chado bola-Terra.
Vamos considerar uma interação bastante familiar: a
integração gravitacional próxima à superfı́cie da Terra.
Sabemos que, se desprezarmos a resistência do ar, to-
dos os objetos próximos à superfı́cie da Terra caem com
aceleração constante g = 9,8 m/s2. Se ignorarmos o atrito,
esta interação é não-dissipativa.
Se liberarmos uma bola de uma certa altura acima do
chão, a bola ganha energia cinética. Quando a bola cai,
a distância entre a bola e o chão diminui, de forma que
a configuração (gravitacional) do sistema bola-Terra (e,
consequentemente, a energia potencial associada a esta
configuração) muda. Porque a bola e a Terra constituem
um sistema fechado,
∆Ug +∆Kb = 0,
onde ∆Ug é a variação na energia potencial gravitacio-
naldo sistema Terra-bola e ∆Kb é a variação na energia
6.11. UM EXEMPLO DE INTERAÇÃO NÃO-DISSIPATIVA: QUEDA LIVRE 21
cinética da bola. Como a aceleração é constante, temos
que
ax =
∆vx
∆t
= −g = d
2x
dt2
(6.14)
Observação: tradicionalmente, nos livros de Fı́sica,
utiliza-se a variável y para designar direções perpendicu-
lares a superfı́cie da Terra. Aqui, seguiremos a nomencla-
tura do Mazur, a qual fixa-se com a variável x por estar
consideranto, até agora, movimentos apenas em uma dimensão.
Tecnicamente, a solução dessa equação é:
∫ tf
ti
dt′
∫ t′
ti
dt′′
d2x
dt′′2
=
∫ tf
ti
dt′
∫ t′
ti
dt′′g (6.15)
⇒
∫ tf
ti
dt′
[
dx
dt′
− dx
dt′
∣∣∣∣∣
t′′=ti
]
=
∫ tf
ti
dt′
[
dx
dt′
− vxi
]
=
∫ tf
ti
dt′g[t′ − ti] (6.16)
⇒ x(tf )− x(ti) = vxi (tf − ti) +
1
2
g
[
t′2
2
− tit′
]tf
ti
(6.17)
⇒ x(tf ) = x(ti) + vxi (tf − ti) +
1
2
g(tf − ti)2 (6.18)
Escrevendo ∆t = tf − ti e ∆t = −∆vx/g, podemos escrever
∆x = −vxi
∆vx
g
− 1
2
g
(
∆vx
−g
)2
(6.19)
Expandindo a equação e suprimindo o sub-ı́ndice x por simplicidade, temos
xf − xi = −
−2vi(v − f − vi) + v2x − 2v − ivf + v2i
2g
= −
v2f − v
2
i
2g
(6.20)
⇒ mbg(xf − xi) +
1
2
mb(v
2
f − v
2
i ) = 0 (6.21)
O segundo termo do lado esquerdo da equação é a variação da energia cinética. Logo,
∆UG =mg∆x (6.22)
onde x é a coordenada vertical do objeto (com o eixo x apontando para cima).
que nos dá a expressão para a variação de energia potencial para os objetos próximos da
superfı́cie da Terra (onde eles sentem a mesma aceleração g). Observe que o que interessa
é a variação da energia, não havendo nenhuma importância em tentar determinar o valor
absoluto da energia. Podemos escolher a superfı́cie da Terra como o ponto x = 0 e escolher
um zero de energia nesse ponto, escrevendo então
UG(x) =mgx (válido para posições próximas da superfı́cie da Terra) (6.23)
onde x é a coordenada vertical do objeto (com o eixo x apontando para cima).
O fato que podemos acrescentar um valor constante qualquer ao valor absoluto da ener-
gia é um tipo de invariância de calibre.
22 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
6.12 Outras questões de revisão
Questão 6.5 (a) Você está segurando uma bola a uma certa altura do chão. Se você
solta a bola, ela acelera para baixo. A interação que causa a aceleração da bola é devido
a que outro objeto? (b) Esta interação é atrativa ou repulsiva? (c) Quando a bola bate
no chão, a direção do seu movimento é revertida. Esta reversão é resultado de uma
interação atrativa ou repulsiva?
Questão 6.6 Por causa do atrito, um bloco de 100 g inicialmente deslizando sobre o
gelo a 8,0 m/s diminui sua velocidade a uma taxa de 1,0 m/s2 até parar. (a) Em gráficos
separados, esboce a velocidade do bloco e sua energia cinética como função do tempo.
(b) A energia cinética do bloco é convertida em que forma de energia?
Questão 6.7 Para cada um dos processos seguintes, determine qual conversão de ener-
gia ocorre e classifique a interação como dissipativa ou não-dissipativa: (a) lançamento
de uma bola pela expansão de uma mola comprimida, (b) queda de uma bola liberada
a partir de uma certa altura acima do solo, (c) o freamento de uma bicicleta até parar,
(d) a aceleração de um carro.
6.13 Problemas
Atividade 6.1 Duas crianças estão empurrando uma a outra numa pista de gelo, ambas
segurando um corrimão no canto da pista. As inércias das crianças são 30 kg e 25 kg.
(a) Se num instante a criança de 30 kg está acelerando a 1,0 m/s2 para a esquerda, qual
é a aceleração da outra criança nesse instante? (b) O que acontece com as acelerações
se a criança de 25 kg para de empurrar?
Atividade 6.2 A energia potencial de uma interação é dada por U (x) = ax2, onde
a = +6,4 J/m2. (a) Se a velocidade inicial de um objeto de 0,82 kg nesse sistema é de
2,23 m/s em x = 0, quão longe o objeto viaja até parar? (b) A sua resposta no item (a)
depende se o objeto está viajando na direção positiva ou negativa do eixo x?
Atividade 6.3 Você joga uma bola de uma janela 12 m acima do chão, a partir do
repouso, e pouco antes da bola atingir o chão sua velocidade é medida a 14,6 m/s.
Qual a fração da energia cinética da bola é dissipada devido à resistência do ar?
Exercı́cio 6.1 Dois carros de brinquedo (m1 = 0,200 kg e m2 = 0,250 kg) são mantidos
juntos um ao outro por uma mola comprimida entre eles. Quando o sistema é liberado,
os carros estão livres para se mover. Se você medir a aceleração do carro de 0,200 kg
como 2,25 m/s2 para a direita, qual é a aceleração do outro carro?
6.13. PROBLEMAS 23
Exercı́cio 6.2 Quando um carro compacto de 800 kg acelera do repouso até 27 m/s,
consome 0,0606 l de gasolina, e 1 l de gasolina contém aproximadamente 3,2 × 107 J
de energia. Qual é a eficiência do carro?
Exercı́cio 6.3 Um tı́pico avião comercial carregado tem uma inércia de 2,1 × 105 kg.
(a) Quanta energia é necessária para levar o avião até a velocidade de vôo de 270 m/s?
(Ignore a resistência e o arraste do ar.) (b) Quanta energia é necessária para levar o
avião até a altitude de 10.400 m de altura se o avião viaja a esta altitude com velocidade
de vôo (constante)?
Exercı́cio 6.4 Em uma brincadeira no gelo, um jogador de 90 kg arremessa uma bola
de 1,0 kg a uma velocidade de 15 m/s. A bola é apanhada por um segundo jogador
de 80 kg. Qual a velocidade final dos atletas? Qual a energia total dissipada quando o
segundo atleta pega a bola?
Exercı́cio 6.5 Uma bola de basquete de 700 g cai no piso de uma quadra e retorna a
65% da sua altura original. (a) Se a bola cai de uma altura de 1,5 m, quanta energia é
dissipada na primeira batida no chão? (b) Quanta energia é dissipada na quarta batida
no chão? (c) A energia dissipada é convertida em que tipo de energia incoerente?
Exercı́cio 6.6 Uma corda uniforme de inércia m e comprimento l está esticada sobre
uma mesa escorregadia. Quando sua ponta é colocada para fora da mesa, ela começa
a escorregar. Calcule a velocidade de queda da corda quando ela abandona de vez a
mesa.
Problema 6.1 Num trilho de ar, um carrinho de 0,36 kg inicialmente se movendo para
a direita a 2,05 m/s colide elasticamente com um carrinho de 0,12 kg inicialmente se
movendo para a esquerda a 0,13 m/s. O carro de 0,12 kg bate no carro de 0,36 kg e
comprime uma mola que está à direita dos carros no final do trilho. (a) No instante
de máxima compressão da mola, quanta energia potencial elástica é armazenada na
mola? (b) Se a mola devolve toda essa energia para o carrinho, e os dois carrinhos
colidem novamente, qual é a velocidade final de cada carrinho?
Problema 6.2 Um instrumento de 2.2 kg está em um balão atmosférico. No ponto de
maior altura, o instrumento é solto do balão e cai livremente por grande parte da altura
antes que seu paraquedas se abra. Você sabe que a aceleração do instrumento é dada
por a = ge−t/τ , onde g é a aceleração da gravidade e τ é uma constante que depende da
forma do instrumento, e que neste caso vale 5.68 s. Você se preocupa com o quanto o
instrumento pode aquecer durante a queda por causa da resistência do ar. Qual a taxa,
em joules por segundo, que a energia é dissipada?
24 CAPÍTULO 6. INTERAÇÕES
Problema 6.3 Um carro de 1,00 kg tem anexado a sua frente um dispositivo explo-
sivo que, quando colide em algo, explode liberando uma quantidade de energia E.
Este carro está se movendo para a direita com velocidade v quando colide com outro
carro de massa 2,00 kg que viaja para a esquerda com a mesma velocidade. A ex-
plosão acontece quando os carros colidem, causando uma separação dos carros. Se um
quarto da energia da explosão se dissipa em uma mistura incoerente de energia sonora
e deformação dos carros, qual é a velocidade final de cada carro?
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Exercı́cio 6.1, Exercı́cio 6.4, Exercı́cio 6.6, Problema 6.1, Problema 6.2
6.13. PROBLEMAS 25