Escoamento Viscoso, Interno e Incompressível

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Agenda Semanal 01
Escoamento Viscoso, Interno e Incompressível 
(Capítulo 8, Fox)
Disciplina
Mecânica dos Fluidos II
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Campina Grande - PB
Junho de 2021
Sumário
1.	INTRODUÇÃO 	 	 	 	 3
2. 	ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO 5
	2.1 Placas paralelas infinitas 	 	 	 5
	2.1.1 Placa superior em MRU 5
	2.1.2 Ambas estacionárias 6
	2.2 Tubo 8
3.	ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS 9
	3.1 Distribuição da tensão de cisalhamento 10
	3.2 Perfis de velocidade em escoamento turbulento	 11
4.	CONSIDERAÇÕES ENERGÉTICAS 	 12
5.	CÁLCULO DA PERDA DE CARGA	 	 13
	5.1 Perdas maiores 13
	5.1.1 Escoamento laminar 14
	5.1.2 Escoamento turbulento 14
	5.2 Perdas menores 15
	2.2.1 Entradas e saídas 15
	2.2.2 Dutos circulares e não-circulares 16
	2.2.3 Curvas em tubos, e Válvulas e acessórios 17
Organização semanal (AS 01) 18
ANEXO I – RESOLUÇÃO DE QUESTÕES	 				 19
1. INTRODUÇÃO
Para entender o que será estudado nesse capítulo, deve-se, primeiramente, partir dos conceitos básicos que são necessários para entender o escopo do estudo aqui presente, sendo eles: escoamento interno, regimes de escoamento e incompressibilidade. Em primeiro lugar, escoamento interno é definido como aquele que se dá de forma completamente limitada por superfícies com geometrias internas variáveis a priori como, por exemplo, a água escoando pelos canos da sua residência. Daí, tem-se que o escoamento interno pode estar num regime laminar ou turbulento e saber disso é essencial, tanto para entender de que forma os dados serão obtidos futuramente para determinar algumas propriedades do escoamento, quanto para se ter uma noção prévia do comportamento do fluido (experimento mental). Sabe-se que o regime de escoamento é determinado pelo número de Reynolds (Re), que representa a razão entre forças de inércia e viscosas, e que, para um tubo em condições normais, utiliza-se como referência de transição para o regime turbulento.
Figura 1 – Encanamento residencial de banheiro.
Fonte: https://blog.telhanorte.com.br/como-fazer-hidraulica-banheiro/
Além disso, visualmente, escoamento laminar é, como o próprio nome indica, quando o fluido se movimenta em lâminas (camadas) e há o mínimo de agitação entre elas. Por outro lado, o escoamento turbulento é caracterizado pelo movimento misturado entre as partículas das camadas cujo comportamento médio é acrescido de parcelas aleatórias (flutuações) de velocidade, e ele ocorre quando as forças viscosas do fluido não conseguem sobrepor essas flutuações. Ademais, nesse estudo em específico, considera-se apenas escoamentos incompressíveis que são aqueles para os quais o número de Mach , então, serão estudados líquidos e gases em condições especiais.
Até o momento, já se percebe que tanto a viscosidade quanto a pressão terão influência dominante nesse estudo e isso fica mais claro quando se analisa a região de entrada de um escoamento interno. A partir da Fig. 2, situada logo abaixo, consegue-se visualizar que existe uma velocidade uniforme na seção de entrada (1) do tubo e, tendo em vista a condição de não deslizamento e de incompressibilidade do escoamento, tem-se que a superfície do tubo exerce uma força de cisalhamento sobre o fluido, desacelerando-o na sua proximidade (camada-limite) e, ao mesmo tempo, observa-se a velocidade na linha central do tubo sendo incrementada. Após um determinado comprimento do tubo a partir da sua entrada, chamado de comprimento de entrada (L), a camada-limite alcança a linha de centro e, assim, o escoamento se torna completamente viscoso. A partir disso, nota-se que o perfil de velocidade não varia e, para esse fenômeno, diz-se que o escoamento está completamente desenvolvido. 
Figura 2 – Região de entrada de um escoamento interno laminar.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3355555/mod_resource/content/2/2.4-escoamentos_internos-parte_i.pdf
	Daí, para escoamentos laminares, tem-se que , usando o referencial de Re já explicado anteriormente como sendo o máximo para o qual se tem escoamentos laminares em condições normais. Em escoamento turbulentos, tal relação não existe, de fato, mas supõe-se que o valor da constante seria menor uma vez que a turbulência aumenta a taxa de crescimento da camada-limite e, além disso, alguns experimentos mostraram perfis turbulentos completamente desenvolvidos para.
2. ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO 
A partir de escoamentos laminares completamente desenvolvidos de geometrias simples, como as abordadas a seguir, será possível obter não apenas detalhes do campo de velocidade, mas, a partir dele, pode-se determinar a distribuição da tensão de cisalhamento, da vazão e da queda de pressão.
2.1 Placas paralelas infinitas
Trata-se de placas paralelas infinitas por ser um arranjo bastante simples e é notório que o escoamento pode se dar das seguintes formas: através de um gradiente de pressão aplicado paralelamente às placas, movimento relativo de uma placa à outra, ou pela combinação dos dois mecanismos anteriores. Diferentemente do livro-referência, decidi abordar primeiramente o “segundo” caso uma vez que, a partir dele, as inferências para se chegar às conclusões teóricas e matemáticas do primeiro caso são apenas uma questão de simplificação analítica, logo, o aprendizado se torna um pouco mais linear, partindo do generalizado para o específico.
Para as análises a seguir, tem-se que as placas planas horizontas distam de uma da outra e são infinitas na direção z (perpendicular ao plano do texto) e, assim, não há variação de propriedades nessa direção. Ademais, como já mencionado anteriormente, o escoamento é considerado permanente e incompressível.
2.1.1 Placa superior em MRU (Movimento Retilíneo Uniforme)
Para efeitos de análise, para este caso, considera-se que a placa superior está se deslocando com uma velocidade constante U e esse movimento pode ser com, ou sem, um gradiente de pressão associado. É aquele que associa a cada ponto no espaço, e a cada instante, uma magnitude, seguida de uma unidade de medida, sem denotação de direção e/ou sentido. A pressão, a temperatura e a massa específica do fluido são exemplos de grandezas escalares de interesse na visualização de escoamentos. As condições de contorno, tendo em vista a condição de não deslizamento das placas e o movimento da placa superior é: .
Após realizar o somatório das forças atribuídas ao volume de controle, visualizadona Fig. 3, integrar duas vezes consecutivas a expressão simplificada e resultante para encontrar o perfil de velocidade, e avaliar o valor das constantes de integração através das condições de contorno, tem-se que o campo velocidade é dado por:
Figura 3 – Volume de controle para análise de um escoamento laminar entre placas paralelas com movimento relativo, a uma velocidade constante U.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3355555/mod_resource/content/2/2.4-escoamentos_internos-parte_i.pdf
	Utilizando a expressão que relaciona tensão e deformação para fluidos Newtonianos, encontra-se a distribuição de tensão de cisalhamento:
	Sendo a vazão volumétrica a integral sobre a área do produto vetorial do campo velocidade com o diferencial de área, e sendo a profundidade no eixo z denominada de , temos que:
	E, finalmente, o módulo da velocidade média é dado por:
2.1.2 Ambas estacionárias
Agora, considerando o caso no qual ambas as placas estão estáticas, pode-se aplicar a mesma metodologia, incluindo a análise de forças atuantes sobre o volume de controle, visto na Fig. 4, e considerações iniciais usadas no caso anterior contudo, por conta da condição de não deslizamento das placas, a velocidade será nula em ambas as superfícies, substancialmente modificando as condições de contorno com relação ao caso anterior, sendo:. Além disso, como já descrito anteriormente, o perfil de velocidade de um escoamento laminar completamente desenvolvido infere que a velocidade seja apenas função de .
Figura 4 – Volume de controle para análise de um escoamento laminar entre placas paralelas estacionárias.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3355555/mod_resource/content/2/2.4-escoamentos_internos-parte_i.pdf
	Daí, percebe-se que todos os detalhes referentes ao escoamento descritos no caso anterior possuem destaque nos termos em azul que, de fato, contém a variável . Então, para o presente caso, basta considerar e todos esses termos serão nulos, sobrando apenas os termos nas equações referentes a este caso. Para além disso, tem-se mais outros dois aspectos que não foram abordados no primeiro caso pois, para ele, não são obtidas relações simples ou apenas não se aplica. Em todo caso, a vazão volumétrica como função da queda de pressão, considerando que o gradiente de pressão em x é constante, é dada pela seguinte relação:
	Ademais, nesse caso, o ponto de velocidade máxima pode ser encontrado, fazendo a derivada do campo velocidade em y ser zero e, ao se encontrar o valor de y para solucionar essa equação, substitui-se ele na expressão do perfil e velocidade, tendo
	Não se tem uma relação similar de ponto de velocidade máxima para o caso da placa superior se movendo com velocidade U já que, segundo a equação de perfil de velocidade desse caso, trata-se da combinação de perfis linear e parabólico.
2.2 Tubo
A grande chave que difere a análise em placas paralelas para um tubo nas mesmas condições aplicadas é que, neste caso, a geometria do problema infere que o escoamento seja axissimétrico e isso, matematicamente, favorece o emprego de coordenadas cilíndricas no desenvolvimento analítico, o que pode aumentar um pouco a complexidade associada à aplicação das coordenadas cilíndricas em comparação aos demais demonstrados anteriormente. Para além disso, a mesma metodologia para os casos anteriores é empregada: aplicação do princípio da quantidade de movimento na direção x; avaliação das componentes nessa direção presentes no volume de controle – que, neste caso, é um espaço anular diferencial, como observado na Fig. 5 -; integrações consecutivas para obter o perfil de velocidade; avaliação dos coeficientes de integração a partir das condições de contorno.
Até mesmo antes de iniciar o último passo, já é observado que em um tubo de diâmetro constante, a pressão cai a uma taxa constante ao longo do tubo, considerando o escoamento completamente desenvolvido. Diferentemente dos casos anteriores, a priori, só existe uma única condição de contorno (). Por considerações físicas e pelo formato prévio das equações do perfil de velocidade, consegue-se extrair também que . 
Figura 5 – Volume de controle para análise de um escoamento laminar em um tubo.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3355555/mod_resource/content/2/2.4-escoamentos_internos-parte_i.pdf
Assim, obtemos o seguinte perfil de velocidade para este caso:
Da mesma forma, a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:
Além disso, a vazão volumétrica pode ser calculada através de:
Também é possível determinar a vazão volumétrica em termos da queda de pressão, através das relações logo abaixo:
Em seguida, o módulo da velocidade média é tal que:
Daí, para consegui uma relação para obtenção do ponto de velocidade máxima, utiliza-se o mesmo procedimento utilizado anteriormente e já explicado. Então, tem-se
E, inclusive, é possível escrever a equação do perfil de velocidade em termos da velocidade máxima, da seguinte forma,
3. ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
Anteriormente, estudou-se escoamentos internos e laminares em fluidos incompressíveis e, por não considerar o atrito viscoso, era possível modelar os problemas através da famosa equação de Bernoulli e, a partir dela, sabia-se da existência de uma tendência à relação inversamente proporcional entre a pressão e a velocidade em um ponto do escoamento. Entretanto, na maioria dos casos reais desse tipo de escoamento, o atrito deve ser levando em consideração, o que constitui o escoamento como sendo viscoso e turbulento, de forma a não se aplicar mais a equação de Bernoulli, pelas considerações já dadas e também porque as principais consequências delas é a não conservação da energia mecânica, tendo em vista que o atrito faz com que parte dela seja sempre revertida em energia térmica dissipada. 
Matematicamente falando, isso leva a redução da constante de Bernoulli, logo haverá queda de pressão mesmo para um tubo horizontal e será considerado o comportamento médio da velocidade numa seção transversal do escoamento já que, de fato, ela não é constante ao longo dessa seção. Além disso, diferente dos escoamentos laminares, cujas equações foram deduzidas analiticamente nos tópicos anteriores, para conseguir estabelecer relações análogas, só será possível determina-las através de métodos semiempíricos e aproximações teóricas.
3.1 Distribuição Da Tensão De Cisalhamento
A tensão de cisalhamento encontrada no tópico referente ao caso de escoamento laminar completamente desenvolvido em tubos, na verdade, abrange ambos os regimes de escoamento e infere que essa tensão varia de forma constante através do tubo, sendo nula na linha de centro do tubo e assumindo valor máximo na parede do tubo. Para o escoamento laminar, a tensão de cisalhamento na parede é oposta ao seu valor referente ao esforço do fluido na parede. Por outro lado, o mesmo não pode ser dito para o escoamento turbulento. 
Para este caso, utiliza-se um volume de controle, como o indicado na Fig. 6, que é representado por uma velocidade média temporal , acrescido das componentes e que representam às flutuações de velocidade através das quais uma partícula do fluido se move através de uma área incremental , entre as camadas (lâminas) adjacentes do escoamento. O efeito dessas componentes é denominado de tensão de cisalhamento turbulenta aparente ou tensão de Reynolds.
Figura 6 – Volume de controle para análise de um escoamento turbulento em um tubo.
Fonte: http://www2.eesc.usp.br/netef/Oscar/Aula10p.pdf
Logo, para a tensão cisalhante total agindo sobre o volume de controle devido à viscosidade, já considerada no caso do regime laminar, acrescida da troca de quantidade de movimento tendo em vista a movimentação característica das partículas em um regime turbulento, encontra-se que
3.2 Perfis De Velocidade Em Escoamento Turbulento
Como já anteriormente relatado acerca da impossibilidade de ser obter uma relação equivalente de forma analítica para o caso de um escoamento totalmente desenvolvido turbulentoem tubos em face da mesma situação para o regime laminar, o mesmo ocorre aqui, já que não existe relação universal entre o campo de tensões e o de velocidade média. Ainda assim, um estudo para determinação empírica ou semiempírica desses parâmetros é de extrema importância, aja visto que a maioria dos escoamentos internos em tubo são turbulentos. 
Dividindo a equação anterior, referente a tensão cisalhante total, pela massa específica, a raiz quadrada do termo a esquerda da equação se torna a velocidade de atrito (), e será constante para um escoamento. A partir da análise da Fig. 7, situada logo abaixo, é possível observar que na região próxima à parede (sub-camada viscosa), existe a influência dominante da viscosidade e, por isso, o perfil de velocidade é linear de acordo com a relação de tensão-deslocamento para fluidos Newtonianos. Já para valores de , o perfil segue uma equação semilogarítmica dada por:
Figura 7 – Perfil de velocidade para escoamento turbulento completamente desenvolvido em um tubo liso.
Fonte: http://www2.eesc.usp.br/netef/Oscar/Aula10p.pdf
	Nesta região, as influências de ambas as tensões de cisalhamento são importantes e, ademais, existe uma região de transição entre as duas regiões, na qual existe uma dispersão relativamente razoável dos dados e é compreendida entre e .
Ademais, uma forma alternativa para descreves adequadamente a distribuição da velocidade do escoamento turbulento em um tubo liso é a equação empírica da lei de potência, dada por:
Na qual o expoente varia com o número de Reynolds . As limitações quanto à aplicação da lei de potência são a falha ao prever a tensão de cisalhamento próxima à parede e a falha ao não fornecer inclinação zero próximo à linha de centro.
4. CONSIDERAÇÕES ENERGÉTICAS 
Utilizando um método alternativo à aplicação das convencionais equação da continuidade e da conservação da quantidade de movimento, pode-se utilizar a 1ª lei da termodinâmica para avaliar os efeitos viscosos para escoamento interno em tubos. A partir da equação geral da 1ª lei e utilizado as considerações de taxas de trabalho causado por forças de campo e cisalhamento nulas, escoamento permanente e incompressível, além da energia interna e pressão serem uniformes na entrada e saída do turbo, temos que:
 Nota-se, a partir da equação acima, que o emprego da velocidade média, para eliminar a integração que seria feita uma vez que a velocidade não é uniforme ao longo das seções tendo em vista o efeito da viscosidade, foi possível por conta da introdução do chamado coeficiente de energia cinética (). Na faixa realista para escoamento turbulento, varia entre 1,03 e 1,08.
Além disso, dividindo a equação acima pela vazão mássica, teremos que: 
Entende-se que os dois últimos termos à direita da equação representam a perda da energia mecânica total por unidade de massa entre a entrada e saída do VC associado ao tubo por energia térmica () e por transferência de calor (). A essa perda atribuímos o símbolo e, através da equação abaixo, é possível calcular a perda de energia mecânica por atrito entre duas seções de um tubo.
 
5. CÁLCULO DA PERDA DE CARGA
A perda total de energia mecânica (), também conhecida como perda de carga, é o somatório da contribuição da perda maior (), ou contínua, e da menor (), ou localizada. Enquanto as perdas maiores são causadas pelo efeito viscoso no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção constante, as perdas menores se devem aos detalhes de entrada, emprego de válvulas, acessórios e outras causalidades. 
5.1 Perdas maiores: Fator de atrito
Considerando o balanço de energia, obtido no tópico 4, faz-se as considerações de escoamento completamente desenvolvido em tubo de área constante (=0) e sendo o tubo horizontal, ficamos com:
Assim, a perda de carga maior é expressa pela perda de pressão para o tipo de escoamento dado. Dessa forma, a perda de carga para escoamento completamente desenvolvido em tubo de área constante depende apenas dos detalhes do escoamento no duto, independentemente de sua orientação.
5.1.1 Escoamento laminar
A partir da equação de perda de carga para um escoamento interno completamente desenvolvido laminar em tubo, no tópico 2.2, obtém-se a queda de pressão analiticamente, assim
5.1.2 Escoamento turbulento
Já no caso do escoamento turbulento, novamente, não há como obter a mesma relação para perda de carga maior de forma analítica. Para tanto, utiliza-se resultados experimentais e análise dimensional para analisá-los. Sabendo que, a partir de experimentos, a queda de pressão (), causada pelo atrito viscoso em um tubo de área constante horizontal, depende do diâmetro (), do comprimento (), e da rugosidade superficial () do tubo, além da velocidade média do escoamento (), e da massa específica () e viscosidade () do fluido. Ao realizar a análise dimensional, chega-se a uma função indefinida, chamada de fator de atrito , e então, tem-se:
O fator de atrito é determinado experimentalmente através de alguns métodos, sendo o principal deles o diagrama de Moody, através do qual se encontra o fator de atrito por meio do número de Reynolds e da rugosidade, com grau de precisão aceitável para muitas análises de engenharia. Outras relações semiempíricas que podem ser utilizadas para a determinação do fator de atrito são a correlação de Blasius, para tubos lisos e escoamentos com , e de Colebrook, para . Ambas as correlações estão situadas, respectivamente, abaixo.
5.2 Perdas menores
É necessário perceber que, quando o escoamento passa por outras formações tubulares, com mudanças abruptas de seção, incremento de acessórios, curvas, haverá perdas de carga adicionais como consequência da separação do escoamento. Essas perdas locais são, geralmente, calculadas através de duas expressões, localizadas logo abaixo.
	Onde é o coeficiente de perda, determinado experimentalmente pois depende do diâmetro do tubo, e é o comprimento equivalente de tubo reto, cuja razão tende a uma constante para diferentes diâmetros de cada tipo de acessório.
5.2.1 Entradas e saídas
As perdas mecânicas das entradas e saídas estão relacionadas à presença de cantos vivos entre mudanças de seção (expansão ou contração) ao longo do comprimento do tubo, uma vez que o surgimento da vena contracta como fruto das recirculações nas quinas faz com que a corrente fluida acelere localmente para escoar através de uma área menor do que a real e, após isso, desacelere para ocupar novamente o espaço do tubo. Na Tab. 1 abaixo, mostra-se alguns valores para o coeficiente de carga que depende, especificamente, do tipo de acessório e geometria da tubulação.
Figura 8 – Coeficientes de perda nominais para escoamento turbulento.
Fonte: http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM461/pdf/energia_tubo2.pdf
5.2.2 Dutos circulares e não-circulares
Pela Fig. 9, nota-se que as perdas em dutos circulares por mudança abrupta de seção se baseiam em . Neste caso, para reduzir essas perdas, é recomendado a instalação de bocais ou difusores. As perdas em difusores são, em geral, expressa em função de um coeficiente de recuperação de pressão , definido como a razão entre o aumento da pressão estática e a pressão dinâmica de entrada, que é expresso através da seguinte relação. 
Figura 9 – Coeficientes de perda para contrações e expansões abruptas.
Fonte: http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM461/pdf/energia_tubo2.pdf
Em tubos não circulares, as correlações empíricas são introduzidas a partir do chamado diâmetro hidráulico, definido como, 
Onde é a área da seção transversal e é o perímetro molhado, que é o comprimento de parede em contato com o escoamento do fluido em qualquer seção transversal.
5.2.3 Curvas em tubos, e Válvulas e acessórios
A perda de carga em turbos curvados é maior do que aquela para tubos retos, para o mesmo comprimento. Essa perda adicional é consequência do escoamento secundário cuja representação é dada em função do arredondamento da curva tubular. Esse mesmo mecanismo se aplica aos acessórioscomo válvulas, presença de conexões rosqueadas, soldadas ou flangeadas.
Tabela 1 – Coeficientes de perda de carga para cotovelo e curvas em tubos.
Fonte: http://wiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.php?media=perda-de-carga-localizada.pdf
 
Tabela 2 – Coeficientes de perda para válvulas abertas, cotovelos e tês.
Fonte: http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM461/pdf/energia_tubo2.pdf
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