Teoremas limites p3 - Mari Cim

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LEY DEBIL DE LOS GRANDES NUMEROS 
 
 
 
 
Sea X una variable aleatoria discreta cuya distribución es Binomial con parámetros n 
y p, ( )pnBX , y 0 . Si 
n
X
p =ˆ , (frecuencia relativa de éxito), entonces 
 
2
)1(
1ˆ


n
pp
ppP
−
−− 
Demostración aplicación de la Desigualdad de Chebyshev 
 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝜎2
𝜀2
 
𝑆𝑖 �̂� = 
𝑋
𝑛
 𝑐𝑜𝑛 𝑋 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
𝐸[�̂�] = 𝐸 [ 
𝑋
𝑛
 ] = (
1
𝑛
) 𝐸(𝑋) = (
1
𝑛
) (𝑛 ∗ 𝑝) = 𝑝 
𝑉[�̂�] = 𝑉 [ 
𝑋
𝑛
 ] = (
1
𝑛
)
2
𝑉(𝑋) = (
1
𝑛2
) (𝑛)(𝑝)(1 − 𝑝) =
(𝑝)(1 − 𝑝)
𝑛
 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ lim
𝑛→∞
[1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
] 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] = 1 
 
 
2
)1(
ˆ


n
pp
ppP
−
− 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝜀] ≤
𝜎2
𝜀2
 
 
La LEY DEBIL DE LOS GRANDES NUMEROS nos permite determinar el tamaño de 
una muestra para garantizar que la frecuencia relativa 𝒇�̃� = �̂� esté muy próximo al valor de 
la probabilidad de éxito 𝑷(𝑬) = 𝒑 
 
Problema. El gerente de un supermercado desea recabar información sobre la proporción de clientes 
a los que no les agrada una nueva política respecto a la aceptación de cheques ( )P̂ . ¿Cuántos clientes 
tendría que incluir en una muestra, si desea que la fracción de la muestra se desvíe a lo más 0.15 de 
la verdadera fracción, con una probabilidad de al menos 0.98? 
 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 0.15] ≥ 0.98 
 5 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
 
1 −
𝑝(1−𝑝)
𝑛𝜀2
= 0.98 ➔ 1 − 0.98 = 
𝑝(1−𝑝)
𝑛𝜀2
 ➔ 𝑛 ≥ 
𝑝(1−𝑝)
(1−0.98)𝜀2
 
Considerando 𝑝 = 1/2 tenemos 
𝑛 ≥ 
(0.5)(0.5)
(1 − 0.98)(0.15)2
= 555.55 
El gerente debe de incluir en la muestra, al menos 556 clientes. 
 
 
Problema. Una fábrica produce determinados artículos de tal manera que el 5% resulta defectuoso. 
Si se inspecciona un gran número de tales artículos, n, y se anota la frecuencia relativa de artículos 
defectuosos ( )P̂ , ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra a fin de que la probabilidad de que, P̂
difiera de 0.05 en menos de 0.02, sea al menos 0.99? 
 
𝑃[|�̂� − 𝑝| < 0.02] ≥ 0.99 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
 
𝑛 ≥ 
(0.05)(0.95)
(1 − 0.99)(0.02)2
= 11875 
 
Se requiere una muestra de al menos 11875 artículos