Algebra Linear

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Luziânia,
14/03/2018
Lista 03 - Determinantes - Álgebra Linear 2019/1.
Curso: Bacharelado em Sistema da Informação
Professor: Dr. Agenor Freitas de Andrade
Aluno:
1. Calcule o determinante de
A =
 2 0 −13 0 2
4 −3 7

2. Dadas as matrizes
A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
3 −1
0 1
]
,
calcule:
(a) detA+ detB.
(b) det(A+B).
3. Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Veri-
fique se as afirmações abaixo são verdadeiras
ou falsas.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(AT ) = det(A)
(c) det(2A) = 2 det(A)
(d) det(A2) = (det(A))2
(e) det(Aij) < detA
4. Dada a matriz
A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 ,
calcule:
(a) A23 (b) det(A23)
(c) ∆23 (d) detA
5. (Propriedade:) O determinante de uma ma-
triz triangular An×n é igual ao produto dos
elementos de sua diagonal. Prove esta propri-
edade no caso em que A é uma matriz trian-
gular superior (genérica) 5× 5.
6. Calcule detA, onde:
(a)
A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

(b)
A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 π −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

7. Encontre A−1, onde
(a)
A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

(b)
A =
 1 0 x1 1 x2
2 2 x2

8. Se A ou B é uma matriz não inversível, en-
tão AB também não é. Prove isto, sem usar
determinantes.
9. Mostre que
d
dx
det
 x2 x+ 1 31 2x− 1 x3
0 x −2
 =
det
 2x 1 01 2x− 1 x3
0 x −2
+det
 x2 x+ 1 30 2 3x2
0 x −2
+
1
+ det
 x2 x+ 1 31 2x− 1 x3
0 1 0

Observe atentamente a igualdade acima e
enuncie a propriedade que ela ilustra.
10. Dada a matriz
A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
 ,
calcule:
(a) adjA (b) detA
(c) A−1.
11. Mostre que
det
 1 1 1a b c
a2 b2 c2
 = (a− b)(b− c)(c− a).
12. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes
se existe uma matriz P tal que B = P−1AP .
Mostre que detA = detB, se A e B são se-
melhantes.
13. Mostre que
det
 1 a a21 b b2
1 c c2
 = (b− a)(c− a)(c− b).
2
Lista 03 - Determinantes - Álgebra Linear 2019/1.
Respostas
1.
A =
 2 0 −13 0 2
4 −3 7

solução:
DP = (2.0.7) + (0.2.4) + (-1.3.-3)
DP = 0 + 0 + 9
DP = 9
DS = (4.0.-1) + (-3.2.2) + (7.3.0)
DS = 0 + 12 + 0
DS = 12
detA = 21
2.
A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
3 −1
0 1
]
,
(a) detA + detB
solução
detA = 1.0 - 2.1
detA = 0 - 2
detA = -2
detB = 3.1 - 0. -1
detB = 3 - 0
detB = 3
DetA + DetB = -2 + 3
DetA + DetB = 1
(b) det(A + B)
solução
A
[
1 2
1 0
]
+B
[
3 −1
0 1
]
=
[
4 1
1 1
]
det(A + B) = 4.1 - 1.1
det(A + B) = 4 - 1
det(A + B) = 3
3. (a) det(AB) = det(BA)
R. Verdadeiro
(b) det(AT ) = det(A)
R.Verdadeiro
(c) det(2A) = 2 det(A)
R. Falso
(d) det(A2) = (det(A))2
R. Verdadeiro
(e) det(Aij) < detA
R. Falso
4.
A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4

(a) A23
solução
A23 =
 2 3 −20 1 2
3 −1 4

(b) det(A23)
solução
A23 =(2.1.4)+(3.2.3)+(-2.0.-1)+(3.1.-2)+(-
1.2.2)+(4.0.2)
A23 = 8 + 18 + 6 + 4
A23 = 36
(c) ∆23
solução
∆23 = (−1)2+3 . detA23
∆23 = -1 . 36
∆23 = -36
(d) detA
A21 =
 3 1 −21 2 2
−1 −2 4

solução
detA21 = (3.2.4) + (1.2.-1) + (-2.1.-2) + (-
1.2.-2) + (-2.2.3) + (4.1.1)
detA21 = 24 -2 +4 -4 +12 -4
detA21 = 30
∆21 = (−1)2+1 . detA21
∆21 = -1 . 46
∆21 = -30
A22 =
 2 1 −20 2 2
3 −2 4

detA22 = (2.2.4) + (1.2.3) + (-2.0.-2) + (3.2.-
2) + (-2.2.2) + (4.0.1)
detA22 = 16 + 6 + 0 + 12 + 8 + 0
3
detA22 = 42
∆22 = (−1)2+2 . detA22
∆22 = 1 . 42
∆22 = 42
A24 =
 2 3 10 1 2
3 −1 −2

detA24 = (2.1.-2) + (3.2.3) + (1.0.-1) +
(3.1.1) + (-1.2.2) + (-2.0.3)
detA24 = -4 + 18 + 0 -3 + 4 + 0
detA24 = 15
∆24 = (−1)2+4 . detA24
∆24 = 1 . 15
∆24 = 15
detA = 5.(-30) + 3.42 + 1.(-36) + 4.15
detA = -150 + 126 -36 +60
detA = 0
5.
6.
7.
8.
9. solução
Propriedade: A derivada do determinante é a
soma dos determinantes das matrizes obtidas
da original, diferenciando as linhas, uma por
uma.
10. solução: (a) adjA
(b) detA
A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
 ,
A11 =
[
2 1
1 3
]
,
detA11 =
A12 =
[
0 1
5 3
]
,
detA12 =
A13 =
[
0 2
5 1
]
,
detA13 = (c) A−1
4