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Cláudio Dallanese
Luciane Martinelli
CÁLCULO
UNIVERSIDADE MUNICIPAL DE SÃO CAETANO DO SUL
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Tel.: (11) 4239-3200
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permissão por escrito da Universidade Municipal de São Caetano do Sul.
EQUIPE TÉCNICA EDITORIAL
Gestão da EAD: Prof. Dr. Elias Estevão Goulart
Professor conteudista: Cláudio Dallanese e Luciane Martinelli
Revisão: Karen Francis Pellomo Ringis
Projeto gráfico e capa: Renata Kuba, Luana Santos do Nascimento, 
Juliana Pereira Alves e Wallace Campos de Siqueira
Diagramação: Juliana Pereira Alves
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CÁLCULO
Cláudio Dallanese
Luciane Martinelli
SU
M
Á
R
IO
SU
M
Á
R
IO
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE 
FUNÇÕES 
FUNÇÃO ............................................................10
Noção intuitiva de Função ................................................ 10
Definição de Função ......................................................... 15
GRÁFICOS DE FUNÇÃO ....................................23
FUNÇÃO DO 1° GRAU ......................................30
Função Constante ............................................................ 30
Função linear ................................................................... 31
Função Afim ..................................................................... 32
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU ..................35
APLICAÇÕES ....................................................39
Depreciação Linear ........................................................... 39
Receita Total, Custo Total e Lucro Total ............................ 43
Oferta e Demanda Linear .................................................. 48
Juros Simples .................................................................. 52
FUNÇÃO DO 2° GRAU ......................................53
Interseção com Oy ............................................................ 54
Interseção com Ox ............................................................ 54
Vértice .............................................................................. 55
Eixo de Simetria ............................................................... 55
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O GRAU .................58
Problemas envolvendo a função do 2° grau ..................... 61
UNIDADE 2 - EXPONENCIAL E LOGARITMO
POTÊNCIAS ......................................................66
Propriedades das Potências ............................................. 66
EQUAÇÃO EXPONENCIAL ................................68
FUNÇÃO EXPONENCIAL ...................................71
APLICAÇÕES DE MODELOS DE CRESCIMENTO E 
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL ....................73
LOGARITMO ....................................................77
Definição .......................................................................... 77
Propriedades dos Logaritmos .......................................... 79
Mudança de base .......................................................... 79
Equações Logarítmicas .................................................... 80
FUNÇÃO LOGARÍTMICA ...................................83
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ...........................85
SU
M
Á
R
IO
UNIDADE 3 - LIMITES E DERIVADAS
NOÇÃO INTUITIVA ...........................................90
FUNÇÃO CONTÍNUA .........................................93
Propriedade dos Limites .................................................. 96
INDETERMINAÇÃO 00 ...................................................98
LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS .101
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO – TMV ...............106
FUNÇÃO DERIVADA .......................................107
Interpretação geométrica da função derivada ................. 108
REGRAS DE DERIVAÇÃO ...............................108
Propriedades Operatórias ............................................... 109
Regras de Derivação.................................................... 111
APLICAÇÕES DE DERIVADA ..........................115
Crescimento e Decrescimento de funções ...................... 115
Concavidade e ponto de inflexão .................................... 118
Exercícios de aplicação de derivadas: Análise marginal . 120
Exercícios de aplicação de pontos de máximo e/ou 
mínimo ........................................................................... 123
UNIDADE 4 - INTEGRAIS
INTEGRAL INDEFINIDA ..................................130
Tabela de integrais ou primitivas imediatas .................... 131
PROPRIEDADES DA INTEGRAÇÃO ................132
INTEGRAL DEFINIDA E CÁLCULO DE ÁREAS 134
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .........................138
BIBLIOGRAFIA ................................................141
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
SUMÁRIO............................................................4
FUNÇÃO ............................................................10
Noção intuitiva de Função ................................................ 10
Definição de Função ......................................................... 15
GRÁFICOS DE FUNÇÃO ....................................23
FUNÇÃO DO 1° GRAU ......................................30
Função Constante ............................................................ 30
Função linear ................................................................... 31
Função Afim ..................................................................... 32
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU ..................35
APLICAÇÕES ....................................................39
Depreciação Linear ........................................................... 39
Receita Total, Custo Total e Lucro Total ............................ 43
Oferta e Demanda Linear .................................................. 48
Juros Simples .................................................................. 52
FUNÇÃO DO 2° GRAU ......................................53
Interseção com Oy ............................................................ 54
Interseção com Ox ............................................................ 54
Vértice .............................................................................. 55
Eixo de Simetria ............................................................... 55
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O GRAU .................58
Problemas envolvendo a função do 2° grau ..................... 61
Unidade 1
FUNÇÃO
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 
Em muitas situações do nosso cotidiano verificamos a relação 
de dependência entre duas ou mais quantidades ou grandezas, 
por exemplo: 
 � O preço pago pela gasolina colocada no tanque do automóvel 
depende da quantidade de litros abastecidos;
 � O preço pago por uma corrida de táxi depende do número de 
quilômetros percorridos;
 � A área de uma circunferência depende de seu raio.
Essa relação de dependência é o que nos dá a noção intuitiva do 
conceito de Função.
Exemplo:
Uma corrida de táxi é cobrada por uma quantia fixa de R$ 4,10 
acrescentada de R$ 2,50 para cada quilômetro rodado (dados 
para corrida de bandeira 1 no táxi comum em São Paulo). Saben-
do que a distância entre a minha residência e o meu trabalho é de 
10 km, quanto terei de pagar numa corrida para o trabalho em dia 
de rodízio?
Podemos representar a situação matematicamente:
Valor a ser pago: P
Quilômetros rodados: k.
Valor pago = valor fixo + valor cobrado por quilômetro rodado:
P = 4,10 + 2,50.k
P = 4,10 + 2,50.10
P = 4,10 + 25,00
P = 29,10
Terei de pagar R$ 29,10 numa corrida da minha casa ao trabalho.
O valor P aser pago depende do número de quilômetros rodados 
k, ou seja, existe uma relação de dependência entre as duas vari-
áveis. Assim, denominamos P de variável dependente e k, variável 
independente. Ou seja, o preço P a ser pago é função dos quilôme-
tros k rodados.
Matemática
10
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Utilizando o mesmo contexto, podemos abordar outra situação: 
sabendo que Sandra pagou R$ 49,10 por uma corrida, qual a dis-
tância entre a sua residência e o trabalho? 
Lembrando a sentença matemática que representa a situação:
P = 4,10 + 2,50. K
Para essa nova situação, temos:
P = 49,10
K é a variável que estamos procurando. Isso resulta a seguinte 
equação do 1º grau:
49,10 = 4,10 + 2,50. K
49,10 – 4,10 = 2,50k
45,00 = 2,50k
K = 45,00 ÷ 2,50
K = 18
Ou seja, a distância entre a residência e o trabalho da Sandra é 
de 18 Km.
Exercícios Resolvidos:
1. Escreva as situações descritas abaixo pela função que as repre-
sentam:
a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade variável 
q de mercadorias ao preço unitário de $ 50,00; 
 R = 50q.
b) Juros simples J ganhos por um investidor que emprega 
$ 50.000,00, à taxa de 8% ao mês, durante um tempo indeter-
minado de n meses.
 J = 50.000 . 0,08 . n
 J = 4.000n
c) Salário mensal y de um operário que ganha $ 330,00 fi xos mais 
$ 1,50 por hora extra, sabendo que o número x de horas extras 
varia todo mês.
 y = 330 + 1,50x
Função entre duas grandezas
 Duas grandezas x e y estão 
relacionadas de tal forma que, 
se, para cada valor atribuído 
à grandeza x, existir um único 
valor associado da grandeza 
y, então podemos dizer que y 
é uma função da grandeza x.
 Você sabia ? Você sabia ?
Introdução ao estudo de funções
11
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
2. Um operário que ganha salário variável de acordo com as horas 
extras que trabalha, paga $ 100,00 de prestação de casa própria, 
gasta 60% do seu salário em manutenção e poupa o restante. 
Determine uma expressão matemática para cada uma das 
funções consumo e poupança, isto é, expresse seu consumo C e 
sua Poupança S em função de sua renda variável y.
C=100 + 0,6y
S = y – 0,6y –100
S = 0,4y – 100
3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de 
$150,00 e vende cada unidade à $250,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.
 C = 150q
b) Expresse sua receita diária em função da quantidade vendida 
q, igual à quantidade comprada.
 R = 250q 
c) Expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.
 Lucro = Receita – Custo
 L = 250q – 150q
 L = 100q
d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitário, 
Lu, ou lucro médio, Lme)?
 Se q = 1, então L = 100 . 1
 L = 100.
 O lucro unitário é de R$ 100,00.
4. Suponha que o mesmo vendedor ambulante do exercício 3 resol-
veu agora incluir entre seus gastos o custo de sua condução diá-
ria de R$ 1.200,00. Como ficarão agora as funções: custo, receita 
e lucro do vendedor?
Matemática
12
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
A condução diária do ambulante é um custo fixo, ou seja, não de-
pende da quantidade q de objetos comprados. Sendo assim, temos:
C = 1200 + 150q
A receita permanece a mesma:
R = 250q
O lucro do vendedor é dado por:
L = 250q – (1200 + 150q)
L = 250q – 1200 – 150q
L = 100q – 1200
5. Um funcionário presta serviço de entrega para uma empresa. A 
empresa propôs as seguintes formas de pagamento pelo ser-
viço prestado:
A: R$ 10,50 fixos e R$ 1,20 por quilômetro rodado.
B: R$ 8,25 fixos e R$ 1,45 por quilômetro rodado.
Nessas condições, responda:
a) Escreva uma sentença matemática que represente o valor V 
que esse funcionário receberá em função da quantidade de 
quilômetros rodados q.
 V: valor que esse funcionário receberá
 q: quantidade de quilômetros rodados.
 A: V = 10,50 + 1,20. q
 B: V = 8,25 + 1,45. q
Introdução ao estudo de funções
13
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
b) Se o funcionário rodar 20 km, qual será a forma mais vantajosa 
para ele?
A B
V = 10,50 + 1,20. q 
 
V = 10,50 + 1,20. 20 
 
V = 34,50
V = 8,25 + 1,45. q 
V = 8,25 + 1,45. 20 
V = 37,25
Se o funcionário rodar 20 km, a forma de pagamento B será mais 
vantajosa.
C) Para quantos quilômetros rodados os valores recebidos pelo 
funcionário serão os mesmos?
 Para resolver o problema, devemos igualar valor que o fun-
cionário receberá na forma A (VA) ao valor que receberá na 
forma B (VB). Dessa igualdade temos:
 VA = VB
 10,50 + 1,20. q = 8,25 + 1,45. q
 1,20q – 1,45q = 8,25 – 10,50
 – 0,25q = 2,25
 q = 9
Ao rodar 9 Km, o valor a ser recebido pelo funcionário será o 
mesmo nas duas formas de pagamento.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
Considere dois conjuntos, A e B, não vazios e uma relação binária 
de A em B. Dizemos que essa relação é função de A em B se, e so-
mente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único 
elemento y do conjunto B.
Matemática
14
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
f: A→ B (lê-se: f é função de A em B)
Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de correspondência 
através de uma expressão matemática.
y = f(x) (lê-se: y é função de x) na qual f representa uma lei de 
correspondência entre os valores de x e y.
D(f) ⇒ A : lê-se: Domínio da função f é igual ao conjunto A.
CD(f) ⇒ B: lê-se: Contradomínio da função f é igual ao conjunto B.
Im(f) ⇒ C : lê-se: Imagem da função f está contida no contradomínio.
A cada elemento x ∈ D de uma função y = f(x) corresponde um 
único valor de y do contradomínio dessa função, denominada ima-
gem de x pela função f.
É importante observar que:
 � todo elemento de A deve ser associado a algum elemento em B;
 � para um dado elemento de A associamos um único elemento em B.
Assim, para que uma função fique caracterizada, é necessário 
conhecermos seu domínio (A), o contradomínio(B) e uma regra 
(ou lei) que associe a todo elemento x de A, um único elemento y 
de B. Logo, o domínio de uma função f de A em B, f: A→B, será 
sempre o conjunto A e seu conjunto imagem será um subconjunto 
de B (contradomínio).
Introdução ao estudo de funções
15
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Exemplos:
1. Todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
Essa relação é única.
É FUNÇÃO
2. Todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
Essa relação NÃO é única (o 2 está associado a dois valores 
diferentes).
NÃO É FUNÇÃO
7
9
3. Todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
Essa relação é única.
É FUNÇÃO
6
7
4. Todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
Essa relação é única.
É FUNÇÃO
Matemática
16
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
5. Nem todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
NÃO É FUNÇÃO
Quando, na expressão da função (lei de correspondência), 
substituímos a letra x por um número e efetuamos as operações 
indicadas, estamos calculando o valor numérico da função, ou seja, 
determinando o valor da imagem de x.
Exemplos:
A lei de correspondência que associa cada valor real x ao número 
y, sendo y o dobro de x é uma função definida por y = 2x ou f(x) = 
2x. O domínio e o conjunto imagem dessa função são R. A notação 
da função é, portanto, f: R → R tal que f(x) = 2x.
 � Para x = 4 , dizemos que y = 2.(4) = 8, ou então que f(4) = 8
 � A imagem de –2 é f(–2) = 2(–2) = – 4
 � x = 2,5 corresponde a y = 2.(2,5) = 5
 � y = 10 é a imagem de x = 5.
Considerando f(x) = 2x2 + 1, temos:
 � f(1) = 2 (1)2 + 1 ⇒ f(1) = 2 + 1 ⇒ f(1) = 3
 � f(2) = 2(2)2 + 1 ⇒ f(2) = 8 + 1 ⇒ f(2) = 9
 � f(3) = 2(3)2+ 1 ⇒ f(3) = 18 + 1 ⇒ f(3) = 19
Exercícios resolvidos:
1. Dada a função f(x) = mx + 8, determine m sabendo-se que f(2) = 14.
f(x) = mx + 8
14 = m.2 + 8
2m = 14 – 8
2m = 6
m = 3
Introdução ao estudo de funções
17
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
2. Dada a função f(x) = x2, sendo D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Qual a 
imagem da função?
f(–3) = (–3)2 = 9
f(–2) = (–2)2 = 4
f(–1) = (–1)2 = 1
f(0) = (0)2 = 0
f(1)= (1)2 = 1
f(2) = (2)2 = 4
f(3) = (3)2 = 9
Im = {0, 1, 4, 9}
3. Dada a função f(x) = x2 – 7x + 13, obtenha os valores de x cuja 
imagem seja 3.
f(x) = x2 – 7x + 13
3 = x2 – 7x + 13
x2 – 7x + 10 = 0
x1 = 2
x2 = 5
Os valores de x cuja imagem é 3 são os números 2 e 5.
4. Custo médio de fabricação de um produto é igual ao custo total 
de fabricação C(x) dividido pelo número elementos x produzidos. 
Ou seja C (𝛞) = , o custo de fabricação de x unidades 
de um produto é dado pela função C(x) = 700 + 3x. Qual o custo 
médio, em reais, de 20 unidades?
Se C (𝛞) = , para 20 unidades, temos C(20) = 700 + 3.20 
⇒ C(20) = 760.
C (𝛞) = ⇒ C = 38
O custo médio de 20 unidades é de R$ 38,00.
O gráfico de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os pontos 
(x, y), com x pertencente ao domínio de f. Os valores do domínio são 
Matemática
18
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
representados no eixo x e os da imagem no eixo y. Podemos verificar 
se um gráfico representa uma função traçando linhas verticais sobre 
o gráfico. Se essas linhas cruzarem o gráfico em apenas um ponto, 
o gráfico representa uma função.
Exemplos:
É FUNÇÃO 
Introdução ao estudo de funções
19
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
NÃO É FUNÇÃO
Exercício resolvido:
1. Dadas as relações representadas graficamente abaixo, quais po-
dem ser gráficos de funções?
a) D = [–3, 3]
Matemática
20
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
b) D = R
c) D = R
Introdução ao estudo de funções
21
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
d) D = R+
e) D = {1}
Matemática
22
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
f) D = R
a) Não é função. Passando uma reta paralela a y pelo x = 2, por 
exemplo, a reta cruza a função em dois pontos.
b) É função.
c) Não é função. Para x=2 há infinitos valores de y.
d) Não é função. Passando uma reta paralela a y pelo x = 2, por 
exemplo, a reta cruza a função em dois pontos.
e) É função. Passando uma reta paralela a y pelo x = 1, essa reta 
é coincidente com a função, ou seja, cruza infinitas vezes.
f) É função.
Os gráficos b, e, f podem representar uma função.
GRÁFICOS DE FUNÇÃO 
A representação gráfica de uma função real f com domínio D, 
conhecendo-se sua lei de correspondência y = f(x) e seu domínio D, é 
o conjunto dos pontos (x, y) do plano. Obtém-se essa representação 
seguindo três passos.
Introdução ao estudo de funções
23
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
1° passo: Construímos uma tabela onde aparecem os valores de x e os valores cor-
respondentes de y, calculados através da lei y = f(x). Os valores atribuídos a x devem 
pertencer ao domínio da função.
2° passo: Cada par ordenado (x,y) da tabela deverá ser plotado no plano cartesiano.
3° passo: No caso da função real, ligamos os pontos construídos no passo anterior 
por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função y = f(x).
Exemplo:
1. Representar graficamente as seguintes funções:
a) y = 2 + x, x ∈ [0,2]
Sendo x um valor do intervalo [0,2], podemos atribuir para x os 
valores 0, 1 e 2.
x f(x) = 2 + x y = f(x) Pontos
0 f(0) = 2 + 0 2 (0,2)
1 f(1) = 2 + 1 3 (1,3)
 2 f(2) = 2 + 2 4 (2,4)
Observe que a curva é finita pois x ∈ [0,2].
Matemática
24
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
b) y = 4 – x, x ∈ R
Sendo x ∈ R, podemos atribuir qualquer número real ao x. Vamos 
atribuir a x os valores –2, –1, 0 e 1.
x f(x) = 4 – x y = f(x) Pontos
–2 f(–2) = 4 – (–2) 6 (–2,6)
–1 f(–1) = 4 – (–1) 5 (–1,5)
0 f(0) = 4 – 0 4 (0,4)
1 f(x) = 4 – 1 3 (1,3)
Observe que a reta é infinita, pois x ∈ R.
c) y = x2, x ∈ [0,3]
Sendo um valor do intervalo [0,3], podemos atribuir para x os va-
lores 0, 1, 2 e 3
Introdução ao estudo de funções
25
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
x f(x) = x² y = f(x) Pontos
0 f(0) = 0² 0 (0,0)
1 f(1) = 1² 1 (1,1)
2 f(2) = 2² 4 (2,4)
3 f(3) = 3² 9 (3,9)
Observe que a curva é finita pois x ∈ [0,3].
Exercícios resolvidos
1. Vamos construir o gráfico da função y = 3, para todo x real.
x y = 3 Pontos
–3 3 (–3,3)
–2 3 (–2,3)
–1 3 (–1,3)
0 3 (0,3)
1 3 (1,3)
2 3 (2,3)
3 3 (3,3)
Matemática
26
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Esse é um exemplo de função constante, pois se trata de uma 
função, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
2. Vamos construir o gráfico da função y = 2x com domínio D = R.
x y = 2x Pontos
–3 –6 (–3,–6)
–2 –4 (–2,–4)
–1 –2 (–1,–2)
0 0 (0,0)
1 2 (1,2)
2 4 (2,4)
3 6 (3,6)
Essa curva é chamada de reta. Esse é um exemplo de função li-
near, pois se trata de uma função, cujo gráfico é uma reta que passa 
pela origem do plano cartesiano.
3. Vamos construir o gráfico da função y = |x| com domínio D = R.
Lembrando que: 
x, se x > 0
–x, se x < 0
x y = |x| Pontos
–3 3 (–3,3)
–2 2 (–2,2)
–1 1 (–1,1)
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
2 2 (2,2)
3 3 (3,3)
Introdução ao estudo de funções
27
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
4. Vamos construir o gráfico da função y = x² – 4 com D = R.
x y = x² – 4 Pontos
–3 5 (–3,5)
–2 0 (–2,0)
–1 –3 (–1,3)
0 –4 (0,–4)
1 –3 (1,–3)
2 0 (2,0)
3 5 (3,5)
Essa curva é chamada de parábola. Esse é um exemplo de função 
do 2° grau.
5. Vamos construir o gráfico da função y = 2 com D = R.
x y = 2 Pontos
–3 2 ³ = = (–3, )
–2 2² = = (–2, )
–1 2¹ = = (–1, )
0 2 = 1 (0,1)
1 2¹ = 2 (1,2)
2 2² = 4 (2,4)
3 2³ = 8 (3,8)
Matemática
28
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Essa curva é chamada de exponencial .
6. Vamos construir o gráfico da função y = log x, com D = R* .
x y = log x Pontos
Sabendo que = = 2 ³ então y = log₂ 2 ³ = –3 ( , –3)
Sabendo que = = 2 ² então y = log₂ 2 ² = –2 ( , –2)
Sabendo que = = 2 ¹ então y = log₂ 2 ¹ = –1 ( , –1)
1 Sabendo que 1 = 20 então y = log₂ 20 = 0 (1,0)
2 Sabendo que 2 = 2¹ então y = log₂ 2¹ = 1 (2,1)
4 Sabendo que 2 = 2² então y = log₂ 2² = 2 (4,2)
8 Sabendo que 8 = 2³ então y = log₂ 2³ = 3 (8,3)
 Atenção
log bn= n, com b > 0 e b ≠ 1
Introdução ao estudo de funções
29
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
FUNÇÃO DO 1° GRAU 
Na unidade anterior, estudamos algumas situações que envolviam 
uma relação entre duas grandezas. Nesta unidade, iniciaremos o 
estudo da função polinomial do 1º grau.
 A função do 1° grau é toda função f: R → R definida por 
f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0.
A representação gráfica de toda função do 1° grau é uma reta.
FUNÇÃO CONSTANTE 
Se a = 0, ou seja, f(x) = b em que b ∈ R, dizemos que a função é 
constante. A representação gráfica dessa função é uma reta hori-
zontal, paralela ao eixo x, passando pelo ponto de ordenada b.
Exemplos:
1. f(x) = 3
𝛞
2. f(x) = –1
𝛞
Matemática
30
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
FUNÇÃO LINEAR 
Se b = 0, ou seja, f(x) = ax em que a ∈ R*, dizemos que a função 
é linear. A representação gráfica dessa função é uma reta que passa 
pela origem do plano cartesiano.
Exemplos:
1. f(x) = 2x
𝛞
2. f(x) = – 3x
𝛞
Introdução ao estudo de funções
31
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
FUNÇÃO AFIM 
Se a ≠ 0 e b ≠ 0 temos para f(x) = ax + b onde a e b são números 
reais diferentes de zero. Dizemos que a função é afim. 
O valor de a é o coeficiente angular da reta e é responsável pela 
inclinação crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0).
a < 0: Decrescentea > 0: Crescente
O valor b é conhecido por coeficiente linear da reta.
Podemos destacar algumas características importantes da função 
polinomial do 1º grau, tais como:
Para a função: y = 1,2x + 500 → y = ax + b
 � Coeficiente angular a é o número 1,2;
 � Coeficiente linear b é o número 500;
 � Como o coeficiente angular a é positivo, isto é, a > 0, a função é 
crescente.
Exemplo:
1. Sejam as funções f: R →R abaixo. Classifique-as em crescente ou 
decrescente:
a) f(x) = 2x + 4
Coeficiente angular: a= 2 → função crescente
Coeficiente linear: b = 4
b) f(x) = – 3x + 2
Coeficiente angular: a = – 3 → função decrescente
Coeficiente linear: b = 2
c) f(x) = 4 – 5x
Note que para a denominação 
deuma função podemos utili-
zar a notação f(x) = ax + b ou 
y = ax + b.
 Atenção
Matemática
32
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Coeficiente angular: a = – 5 → função decrescente
Coeficiente linear: b = 4
d) f(x) = x – 1
Coeficiente angular: a = → função crescente
Coeficiente linear: b = – 1
e) f(x) = √3x – 3
Coeficiente angular: a = √3 → função crescente
Coeficiente linear: b = – 3
Exercícios:
1. Dadas as funções abaixo, determine:
 � Os coeficientes angular e linear;
 � Se a função é crescente ou decrescente.
 a) f(x) = – x+ .
O coeficiente angular é o número – ; 
O coeficiente linear é o número ; 
Como a < 0 (a é negativo): a função é decrescente.
b) f(x) = 2x + 5 
O coeficiente angular é o número 2; 
O coeficiente linear é o número 5;
Como a > 0 (a é positivo): a função é crescente.
2. Seja f: R → R, dada por f(x) = 3x + 1. Determine:
a) Os coeficientes angular e linear.
b) Se a função é crescente ou decrescente.
c) f(2) e f(–3)
d) x tal que f(x) = – 3
Introdução ao estudo de funções
33
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
a) Coeficiente angular: a = 3;
Coeficiente linear: b = 1.
b) A função f(x) = 3x + 1 é crescente, pois o coeficiente angular é 
positivo, ou seja, a > 0.
c) A notação f(2) significa que devemos substituir x pelo número 2. 
Assim, temos:
f(x) = 3x + 1
f(2) = 3.2 + 1
f(2) = 6 + 1
f(2) = 7
d) A notação f(–3) significa que devemos substituir x pelo número – 3. 
Assim, temos:
f(x) = 3x + 1
f(–3) = 3. (–3) + 1
f(–3) = –9 + 1
f(–3) = –8
e) A notação f(x) = – 3, significa que devemos substituir f(x) pelo 
número – 3. Assim, temos:
f(x) = 3x + 1
–3 = 3x + 1
3x + 1 = –3
3x = –4
x= –
3. Determinar a lei da função que é do tipo f(x) = ax + b , sabendo 
que f(1) = 2 e f(3) = 8.
Para determinar a função f, vamos considerar que:
 � Se f(1) = 2 e f(x) = ax + b, temos que substituir f(x) por 2 e x por 1. 
Assim, temos:
Matemática
34
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
a.(1) + b = 2 → a + b = 2 (equação I).
 � Se f(3) = 8 e f(x) = ax + b, temos que substituir f(x) por 8 e x por 3. 
Assim, temos:
a.(3) + b = 8 → 3a + b = 8 (equação II).
Da equação I e II temos um sistema de equações para ser resolvido.
 a + b = 2
 3a + b = 8
Da equação (I), temos b = 2 – a. Como b = 2 – a, então b deverá 
ser substituído por 2 – a.
Substituindo na equação (II), temos:
3a + b = 8
3a + 2 – a = 8
2a = 8 – 2
2a = 6
a = 6 ÷ 2
a = 3
Substituindo a = 3 na equação b = 2 – a, temos:
b = 2 – 3
b = –1
Logo, a função f, representada por f(x) = ax + b é f(x) = 3x – 1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU
O valor que cruza o eixo x, também conhecido por raiz ou zero da 
função é o ponto onde y = 0. Sendo assim, temos:
y = f(x) = ax + b
ax + b = 0
ax = –b
x = 
Introdução ao estudo de funções
35
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Então é o ponto em que a reta corta o eixo dos x. O valor 
onde a reta cruza o eixo y, o valor de b da função, é o coeficiente 
linear dessa reta. A representação gráfica dessa função é uma reta 
que cruza o eixo x na raiz ou zero da função (–b/a) e o eixo y em b.
Exemplos:
Represente graficamente as funções abaixo:
1. y = 2x – 4
a = 2 → a função é crescente
b = – 4 → a reta cruza o eixo y no – 4
Raiz ou zero da função: y = 0
2x – 4 =0
2x = 4
x= 4 ÷ 2
x = 2 → a reta cruza o eixo x no 2
𝛞
Matemática
36
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
2. y = – 2x + 4 
a = – 2 → a função é decrescente
b = 4 → a reta cruza o eixo y no 4
Raiz ou zero da função: y = 0
– 2x + 4 =0
– 2x = – 4
2x = 4
x= 4 ÷ 2
x = 2 → a reta cruza o eixo x no 2
𝛞
Exercício:
Represente graficamente as funções abaixo:
1. y = x – 3
a = 1 → a função é crescente
b = – 3 → a reta cruza o eixo y no – 3
Raiz ou zero da função: y = 0
x – 3 = 0
x = 3 → a reta cruza o eixo x no 3
2
2
Introdução ao estudo de funções
37
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
 
𝛞
2. y = 2 – 4x
a = – 4→ a função é decrescente
b = 2 → a reta cruza o eixo y no 2
Raiz ou zero da função: y = 0
2 – 4x =0
– 4x = – 2
4x = 2
x= 2 ÷ 4
x = → a reta cruza o eixo x no 
𝛞
𝛄
Matemática
38
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
APLICAÇÕES 
DEPRECIAÇÃO LINEAR 
O desgaste, envelhecimento, avanço tecnológico, entre outros, 
são alguns fatores responsáveis pela desvalorização dos bens. A 
diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca 
(valor residual) é o que chamamos depreciação.
O método de depreciação linear é o método mais simples e mais 
utilizado pelas empresas para lançamento contábil.
V(t) = V₀ + ad.t
Onde:
V(t): valor residual
V₀: valor inicial do bem
t: tempo
ad: coefi ciente de depreciação (ad < 0)
Exemplo: 
1. A taxa de inscrição num clube de natação é R$ 150,00 para o 
curso de 12 semanas. Se a pessoa se inscreve após o início das 
aulas, a taxa é reduzida linearmente. 
a) Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas 
transcorridas desde o início do curso e construa o gráfi co. 
b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas 
após o início do curso.
V(t) = V₀ + ad.t onde 
V(t) = 150 + ad.12
V(t) = 150 + 12ad
Se V(t) = 0
0 = 150 + 12ad
12 ad = – 150 
ad = – 150 ÷ 12
ad = – 12,5
v(t) é uma função do 1° grau, 
temos que o valor residual “de-
pende” do tempo, ou seja, é 
uma função do tempo, pode-
mos escrever v(t).
 Você sabia ? Você sabia ?
Introdução ao estudo de funções
39
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Podemos escrever a função:
V(t) = 150 – 12,5t
Graficamente 
A reta cruza o eixo v(t) no 150
Raiz ou zero da função:
150 – 12,5t = 0
– 12,5t = –150
12,5t = 150
t = 12 → a reta cruza o eixo t no 12
Se V(t) = 150 – 12,5t. Para t = 5, temos:
 V(t) = 150 – 12,5 . 5
 V(t) = 150 – 62,5
 V(t) = 87,5
A pessoa que se inscreveu 5 semanas após o início do curso pa-
gou R$ 87,50. 
Exercícios
1. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo devido 
ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dólares e daqui 
a 5 anos valerá 1.000 dólares, qual será seu valor daqui a 3 anos?
Matemática
40
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
V(t) = V₀ + ad.t onde 
1.000 = 10 000 + ad.5
5ad = 10 000 – 1 000
ad = -9 000 ÷ 5
ad = -1 800
Ou seja, a função é V(t) = 10 000 – 1 800t
Para t = 3, temos:
V(t) = 10 000 – 1 800.3
V(t) = 10 000 – 5 400
V(t) = 4 600
Daqui a 3 anos o valor da máquina será 4 600 dólares.
 
2. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tem-
po, devido ao desgaste. Sabe-se que o preço de fábrica é R$ 9 
500,00 e que, depois de 5 anos de uso, é R$ 3 200,00.
a) Expresse o valor do carro em função do tempo; 
b) Qual o valor do carro após 3 anos de uso? 
c) Quanto foi a depreciação em 3 anos?
a) V(t) = V₀ + ad.t onde 
3200 = 9500 + ad.5
5ad = 3200 – 9500
5ad = – 6300
ad = – 6300 ÷ 5
ad = – 1260
v(t) = 9500-1260t
b) V(t) = 9500 – 1260t
V(t) = 9500 – 1260.3
V(t) = 9500 – 3780
V(t) = 5720
V = 1000
V₀ = 10000
t = 5
V = 3200
V₀ = 9500
t = 5
Introdução ao estudo de funções
41
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
O valor do carro após 3 anos de uso será de R$ 5 720,00.
c) D = 9 500 – 5720
 D = 3780
A depreciação em 3 anos foi de R$ 3 780,00.
3. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, 
devido ao desgaste. Sabe-se que depois de 2 anos de uso seu va-
lor é US$ 6 980,00 e que, depois de 5 anos de uso, é US$ 3 200,00. 
a) Expresse o valor do carro em função do tempo de uso; 
b) Qual o preço de fábrica do carro? 
c) Quanto foi a depreciação em 5 anos?
V(t) = Vo + ad.t onde 
V = 6980
t = 2
 
(I) 6980 = V₀ + ad.2
(II) 3200 = V₀ + ad.5
Temos o sistema: 
Isolando V₀ na equação (I), temos: V₀ = 6980 – 2ad
Substituindo em (II): 6980 – 2ad + 5ad = 3200
– 2ad + 5ad = 3200 – 6980
3ad = – 3780
ad = – 1260
Voltando em (I) V₀ = 6980 – 2.(– 1260)
V₀ = 9500
a) Portanto: V(t) = 9500 – 1260t
b) O preço de fábrica do carro é US$ 9500,00.
c) D = 9500 – 3200
 D = 6300
 A depreciação em 5 anos é de US$ 6300,00.
Matemática42
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
RECEITA TOTAL, CUSTO TOTAL E LUCRO TOTAL 
Uma importante aplicação de função está presente no estudo das 
Funções Custo, Receita e Lucro.
Função Custo (custo total) é a função relacionada aos gastos 
efetuados por uma empresa, indústria, loja, na produção ou aquisição 
de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma fixa e 
outra variável. Podemos representar uma função custo usando a 
seguinte expressão: 
CT = Cf + Cv onde Cv = Cu.q
Onde:
Cf: custo fixo
Cv: custo variável
Cu: custo unitário
q: quantidade.
A Função Receita está ligada ao faturamento bruto de uma enti-
dade, dependendo do número de vendas de determinado produto.
RT = p.q 
Onde:
p: preço de mercado 
q: quantidade vendida
A Função Lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro 
resultante da subtração entre a função receita e a função custo.
LT = RT – CT ou LT = pq – ( Cf + Cv)
LT = pq – (Cf + q.Cu)
LT = (p – Cu).q – Cf
 
Introdução ao estudo de funções
43
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Exemplo:
1. Um professor preparou apostilas para seus alunos, gastou 
R$ 2.000,00 na digitação, calculou o preço de custo de cada 
apostila em R$ 40,00 e vendeu cada uma por R$ 50,00. Pede-se:
a) A função custo total.
b) A função receita total.
c) A função lucro total.
Dados: 
a. CT = Cf + Cv
CT = 2000 + 40q
b. RT = 50q
c. LT = RT – CT
LT = 50q – (2000 + 40q)
LT = 10q – 2000
Exercícios:
1. O custo variável por unidade de produção de um bem é $ 5,00, e 
o custo fixo associado à produção é $ 30,00. Se o preço de venda 
do referido bem é $ 6,50, determinar:
a) A função custo total.
b) A função receita total.
c) A função lucro total.
d) Break even point (ponto onde a receita é igual ao custo total, 
ou seja, o lucro é zero).
e) A produção necessária para um lucro de $ 120,00.
Dados: Cf = 30
 Cu = 5
 Pv = 6,5
Matemática
44
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
a. CT = Cf + Cv
CT = 30 + 5q
b. RT = p.q
RT = 6,5q
c. LT = RT – CT
LT = 6,5q – (30 + 5q)
LT = 1,5q – 30
d. RT = CT
6,5q = 30 + 5q
6,5q – 5q = 30
1,5q = 30
q = 20
e. LT = 1,5q – 30
Para LT = 120, temos
120 = 1,5q – 30
1,5q = 150
q = 100
Para um lucro de $ 120,00 é necessária uma produção de 100 
unidades.
2. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$ 110,00. 
O custo total consiste de uma taxa fixa de R$ 7.500,00 somadas 
ao custo de produção de R$ 60,00 por unidade. 
a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o 
ponto de equilíbrio? 
b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou o preju-
ízo do fabricante? 
c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um 
lucro de R$ 1250,00?
Introdução ao estudo de funções
45
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Dados: pv = 110
 Cf = 7500
 Cu = 60
a. No ponto de equilíbrio: RT = CT
Se RT = p.q = 110q e CT = Cf + Cv, temos:
 110q = 7500 + 60q
 110q – 60q = 7500
 50q = 7500
 q = 150
Para atingir o ponto de equilíbrio o fabricante precisa vender 
150 unidades.
b. LT = RT – CT
LT = 110.100 – (7500 + 60.100)
LT = 11000 – 7500 – 6000
LT = – 2500
Se forem vendidas 100 unidades, o fabricante terá prejuízo de 
R$ 2500,00.
c. LT = RT – CT
1250 = 110q – (7500 + 60q)
1250 = 110q – 7500 – 60q
50q = 8750
q = 175
Para obter um lucro de R$ 1250,00, o fabricante necessita ven-
der 175 unidades.
3. O preço de venda de um bem de consumo é US$ 8,00. A indústria 
está produzindo 1200 unidades, e o lucro bruto pela venda da 
produção é de US$ 2600,00. Se o custo fixo de produção é de 
US$ 1960,00, calcular: 
Matemática
46
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
a) O custo variável por unidade. 
b) O break even point. 
c) Qual a produção necessária para um lucro de US$ 10 000,00?
Dados: pv = 8
 q = 1200
 LT = 2600
 Cf = 1960
a. LT = RT – (Cf + Cv)
2600 = 8.1200 – (1960 + Cv)
2600 = 9600 – 1960 – Cv
Cv = 9600 – 1960 – 2600
Cv = 5040
O Custo variável, para 1200 unidades, é 5040. Por unidade será 
de US$ 4,20.
b. RT = CT
8q = 1960 + 4,2q
8q – 4,2q = 1960
3,8q = 1960
q 516 e RT = 8.(516) = 4128
O break even será de US$ 4128,00, para aproximadamente 516 
unidades.
c. LT = RT – (Cf + Cv)
10000 = 8q – (1960 + 4,2q)
10000 = 8q – 1960 – 4,2q
3,8q = 11960
q 3148
Para um lucro de US$10 000,00 é necessária uma produção de 
aproximadamente 3148 unidades.
Introdução ao estudo de funções
47
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
OFERTA E DEMANDA LINEAR 
Lei da Oferta e da Demanda, mais conhecida por Lei da Oferta e 
da Procura, é a lei que estabelece a relação entre a demanda (pro-
cura) de um produto e a quantidade que é oferecida (oferta). Pode-
mos com essa lei descrever, em função de quantidades e preços, o 
comportamento preponderante dos consumidores. 
Quando a oferta de um determinado produto ou serviço excede a 
procura, seu preço tende a cair. Entretanto, quando a demanda passa 
a ser superior à oferta, a tendência é o aumento do preço.
A função que a todo preço P associa demanda é denominada fun-
ção demanda, no período considerado.
A função que a todo preço P associa oferta é denominada função 
oferta de mercado, no período considerado.
Exemplo:
1. Uma doceira produz um tipo de torta de tal forma que sua equa-
ção de oferta diária é p = 10 + 0,2q, onde p é o preço e q a quan-
tidade ofertada.
a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 tortas diárias?
b) Se o preço for R$ 15,00, qual a quantidade ofertada?
c) Se a curva de demanda diária por essas tortas for p = 30 – 1,8q, 
qual o preço de equilíbrio?
a. Para q = 20, temos:
p = 10 + 0,2 . 20
p = 10 + 4
p = 14
O preço para que a oferta seja de 20 bolos diários é R$ 14,00.
Quando a oferta de um determinado produto ou serviço excede a 
procura, seu preço tende a cair. Entretanto, quando a demanda passa 
a ser superior à oferta, a tendência é o aumento do preço.
Matemática
48
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
b. Para p = 15, temos:
15 = 10 + 0,2q
0,2q = 15 – 10
0,2q = 5
q = 25
A quantidade ofertada será de 25 unidades para o preço de 
R$ 15,00.
c. No equilíbrio, a demanda é igual à oferta, ou seja:
10 + 0,2q = 30 – 1,8q
0,2q + 1,8q = 30 – 10
2q = 20
q= 10 
Para q = 10, temos: p = 10 + 0,2 . 10 → p = 12
O preço de equilíbrio é R$ 12,00.
Exercícios:
1. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado nas 
seguintes situações:
a) Oferta: p = 10 + q e Demanda: p = 20 – q;
b) Oferta: p = q + 20 e Demanda: p = 50 – q;
a. No equilíbrio: Oferta = Demanda
10 + q = 20 – q
q + q = 20 – 10
2q = 10
q = 5
Para q = 5, temos: p = 10 + 5 p = 15
No equilíbrio, temos 5 unidades a $ 15,00.
b. No equilíbrio, Oferta = Demanda
q + 20 = 50 – q
portanto V(t) = 9500 – 1260t
Introdução ao estudo de funções
49
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
q + q = 50 – 20
2q = 30
q = 15
Para q = 15, temos: p = 15 + 20 p = 35
No equilíbrio, temos 15 unidades a $ 35,00.
2. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por q = – 20 + 
4p, com p ≤ 60 (reais).
a) Represente graficamente a função oferta de mercado.
b) A partir de que preço haverá oferta?
c) A que preço a oferta será de 60 unidades?
a. Dada a função q = – 20 + 4p, temos:
a = 4 função crescente
b = – 20 a reta cruza o eixo y no – 20
Raiz ou zero da função: – 20 + 4p = 0
 4p = 20
 p = 5 a reta cruza o eixo x no 5
-5
-20
0
20
40
60
5 10 15 20 25 30 35
𝛞
b. Observando o gráfico, haverá oferta a partir de R$ 5,00.
Matemática
50
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
c. Para q = 60, temos 60 = – 20 + 4p
 4p = 60 + 20
 4p = 80
 p = 20
A oferta será de 60 unidades para o preço de R$ 20,00.
3. Representar no mesmo gráfico as funções demanda de mercado, 
dada por q = 40 – 2p e oferta de mercado, representada por q = 
10 + p (p ≤ 20).
 Função Demanda: q = 40 – 2p
 a = – 2 função decrescente
 b = 40 a reta cruza o eixo y no 40
 Raiz ou zero da função: 40 – 2p = 0
 2p = 40
 p = 20 a reta cruza o eixo x no 20
 Função Oferta:q = 10 + p
 a = 1 função crescente
 b = 10 a reta cruza o eixo y no 10
 Raiz ou zero da função: 10 + p = 0
 p = – 10 a reta cruza o eixo x no – 10
-5-10-15
-20
0
20
40
60
5 10 15 20 25
𝛞
Ponto de
equilíbrio
Graficamente, determina-
mos o preço de equilíbrio 
(R$ 10,00) e a quantidade 
de equilíbrio (20 unidades) 
no ponto de intersecção das 
duas funções.
Introdução ao estudo de funções
51
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
JUROS SIMPLES 
Num sistema de capitalização simples, a taxa de juros incide ape-
nas sobre o capital inicial. Chamamos:
 � J os juros
 � C o capital aplicado
 � i a taxa de juros
 � n o período de aplicação
 � M o montante composto do capital inicial mais os juros.
 M = C(1 + in)
 M = C + J
Exemplo:
1. Um capital de R$ 2 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses 
à taxa de juros simples de 10,5% ao ano. No final desse tempo, 
quanto receberei de juros e qual foi o capital acumulado?
Dados: n = 1 ano e 4 meses = 16 meses
 i = 10,5% ao ano = 0,105 ao ano = 0,00875 ao mês
 C = 2000
 M = C(1 + in)
 M = 2000.(1 + 16 . 0,00875)
 M = 2000.(1 + 0,14)
 M = 2280
Exercícios:
1. Uma pessoa aplica certa quantidade durante 2 anos e meio, à 
taxa de juros simples de 150% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de 
juros. Qual foi a quantia aplicada?
Dados: n = 2,5 anos
 i = 150% ao ano = 1,5 ao ano
 J = 21000
 Se J = M – C M = J + C, em M = C(1 + in)
 J + C = C(1 + 1,5 . 2,5)
 21000 + C = C + 3,75C
Matemática
52
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
 3,75C = 21000
 C = 5600
 A quantia aplicada foi de R$ 5600,00.
2. Uma pessoa colocou um capital de R$ 1 500,00, à taxa de juros 
simples de 3,5% ao mês. Achar a função M (montante) em função 
do tempo n e fazer o gráfico.
Dados: i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês
 C = 1500
 M = C(1 + in)
 M = 1500 . (1 + 0,035n)
 M = 1500 + 52,5n
 Para construir o gráfico, vamos atribuir dois valores para n:
 n = 1 mês M = 1500 + 52,5 . 1 M = 1552,5
 n = 2 meses M = 1500 + 52,5 . 2 M = 1605
0,5 1-0,5
0
500
1000
1500
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
FUNÇÃO DO 2° GRAU 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, a 
função f: R → R que associa a cada número real x, o número real ax² 
+ bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0
f: R → R onde f (x) = ax² + bx + c, com a, b, c ∈ R e a  ≠ 0
Introdução ao estudo de funções
53
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Representação gráfica: parábola
a > 0: concavidade voltada para cima
a < 0: concavidade voltada para baixo
a > 0
V
V
a < 0
INTERSEÇÃO COM Oy 
Fazendo x = 0 , temos y = a . (0)² + b . (0) + c = c; então (0, c) é o 
ponto em que a parábola corta o eixo y.
INTERSEÇÃO COM Ox 
Fazendo y = 0 ou ax² + bx + c = 0, determinamos as raízes ou 
zeros da função, ou seja, os pontos em que a parábola intercepta 
o eixo dos x. Neste caso, os pontos de interseção com o eixo x de-
pendem do valor do discriminante (∆) como mostra a figura abaixo.
∆ > 0
a > 0
∆ > 0
a < 0
∆ = 0
a > 0
∆ = 0
a < 0
∆ < 0
a > 0
∆ < 0
a < 0
Matemática
54
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Para resolver a equação ax² + bx + c = 0, utilizamos a fórmula:
∆ = b2 – 4ac
x’ = -b - ∆ 
2a
 e x” = -b + ∆ 
2a
VÉRTICE 
O vértice V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou 
máximo (se a < 0) da função do 2º grau.
EIXO DE SIMETRIA 
A reta que passa por V e é perpendicular ao eixo dos x é o eixo de 
simetria da parábola e sua equação é dada por x = – b 2a .
Exemplo:
Seja a função y = x2 – 5x + 6. Determinar:
a) As raízes da função.
b) O vértice da parábola.
c) Se a parábola possui Máximo ou Mínimo.
a. Raízes ou zeros da função: y = 0
 x2 – 5x + 6 = 0
 Resolvendo a equação: 
a = 1
b = -5
c = 6
 ∆ = b2 – 4ac
 ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1
 x = -b ± ∆ 
2a
 = -(-5) ± 1 2.1 = 
 x1 =
5 + 1
2 = 3 x2 = 
5 - 1
2 = 2
Assim, x1 = 3 e x2 = 2 são as raízes (ou zeros) da função po-
linomial do 2o grau.
5 - 1
2
Introdução ao estudo de funções
55
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
b. O Vértice da parábola é dado por V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) .
 Xv = - (-5)
2.1
 = 5 
2
 Yv = 
- 1 
4.1 = –
 1 
4
 
V = (
 5 
2 , –
 1 
4 )
c. a > 0, portanto a parábola tem concavidade para cima, a fun-
ção possui Ponto de Mínimo.
Exercícios:
1. Seja a função y = x2 – 6x + 9. Determinar:
a) As raízes da função.
b) O vértice da parábola.
c) Se a parábola possui Máximo ou Mínimo.
a. Raízes ou zeros da função: y = 0
 x2 – 6x + 9 = 0
 Resolvendo a equação: 
a = 1
b = -6
c = 9
 
 ∆ = b2 – 4ac
 ∆ = (–6)2 – 4.1.9 = 36 – 36 = 0
 x = -b ± ∆ 
2a
 = -(-6) ± 0 2.1 = 
6 + 0
2 = 3
Assim, x1 = x2 = 3 é s raiz (ou zero) da função polinomial do 
2o grau.
Matemática
56
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
b. O Vértice da parábola é dado por V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) .
 Xv = - (-6)
2.1
 = 6 
2
 = 3
 Yv = 
 0 
4.1 = 0
 V = (3,0)
c. a > 0, portanto a parábola tem concavidade para cima, a fun-
ção possui Ponto de Mínimo.
2. Seja a função y = x2 – 6x + 10. Determinar:
a) As raízes da função.
b) O vértice da parábola.
c) Se a parábola possui Máximo ou Mínimo.
a. Raízes ou zeros da função: y = 0
 x2 – 6x + 10 = 0
 Resolvendo a equação: 
a = 1
b = -6
c = 10
 
 ∆ = b2 – 4ac
 ∆ = (–6)2 – 4.1.10 = 36 – 40 = –4
 Não existem raízes reais, ou seja, a parábola não cruza o eixo x.
b. O Vértice da parábola é dado por V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) .
 Xv = - (-6)
2.1
 = 6 
2
 = 3
 Yv = 
-(-4) 
4.1 = 1
 V = (3,1)
c. a > 0, portanto a parábola tem concavidade para cima, a fun-
ção possui Ponto de Mínimo.
Introdução ao estudo de funções
57
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O GRAU 
Uma primeira maneira de representar graficamente uma função 
do 2o grau é atribuir valores para x e calcular os respectivos valores 
de y, assim como fizemos na Unidade 1.
Exemplo:
Represente graficamente a função f(x) = x² – 2x – 3. 
Vamos esboçar o gráfico, assim como na função de 1o grau, atri-
buindo valores para x e substituindo em f(x) = x² – 2x – 3.
x f(x) = x² – 2x – 3 y = f(x) Pontos
– 3 f(-3) = (-3)2 – 2(-3) – 3 12 (-3,12)
- 2 f(-2) = (-2)2 – 2(-2) – 3 5 (-2,5)
- 1 f(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 3 0 (-1, 0)
0 f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 -3 (0,-3)
1 f(1) = 12 – 2.1 – 3 -4 (1,-4)
2 f(2) = 22 – 2.2 – 3 -3 (2,-3)
 3 f(3) = 32 – 2.3 – 3 0 (3,0)
-2-4
0
5
-5
10
-3 1 2 4
𝛞
-1 3
Para representar a parábola são necessários 3 pontos. Uma su-
gestão seria encontrar as duas raízes da função (2 pontos) e o vér-
tice V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) .
Matemática
58
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Exemplo:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x2 – 3x + 1
 f(x) = 2x2 – 3x + 1 
a = 2 → concavidade para cima
b = -3
c = 1
 
 
Para determinar as raízes ou zeros da função, temos:
 2x2 – 3x + 1 = 0
 ∆ = (–3)2 – 4.2.1 = 1
 x = 
-(-3) ± 1 
2.2 = 
 3 ± 1 
4 
Calculando as coordenadas do vértice, temos:
V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) = ( –
- (-3)
2.2 , –
 1 
4.2 ) = (
 3 
 4 , -
 1 
 8 )
-1,5-2,5
0
0,5
-0,5
-1
1
-2 2,52
𝛞
-1 -0,5 1,5
1,5
0,5 1
Exercício:
Esboçar o gráfico das funções abaixo:
1. f(x) = –x2 + 4x + 5
 f(x) = x2 + 4x + 5 
a = –1 → concavidade para baixo
b = 4
c = 5
x’ = 
 3 – 1 
4 = 
 2 
 4 = 
 1 
 2
x” = 
 3 – 1 
4 = 1
→ a parábola cruza 
o eixo x no ½ e no 1
Introdução ao estudo de funções
59
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
Para determinar as raízes ou zeros da função, temos:
 –x2 + 4x + 5= 0
 ∆ = 42 – 4.(–1).5 = 36 → ∆ > 0
 a parábola cruza o eixo x em dois pontos (x’ e x’’)
 x = 
-4 ± 36 
2.(-1) = 
 -4 ± 6 
-2 
Calculando as coordenadas do vértice, temos:
V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) = ( –
 4 
2.(-1), –
 36 
4.(-1)) = (2,9)
-2
0
2
6
8
𝛞
1 432
4
5-1
2. f(x) = x2 – 6x + 9
 f(x) = x2 – 6x + 9 
a = 1 → concavidade para cima
b = –6
c = 9
 Para determinar as raízes ou zeros da função, temos:
 x2 – 6x + 9 = 0
 ∆ = (–6)2 – 4.1.9 = 0 → ∆ = 0 →
 x = -(-6) ± 02.1 = 
6 + 0
2 = 3
x’ = 
 -4 -6 
-2 = 
 -10 
 -2 = 5
x” = 
 -4 +6 
-2 = 
 2 
 -2 = –1
→ a parábola cruza 
o eixo x no –1 e no 5
→
 a parábola cruza o eixo x no , 
que é o vértice da parábola
a parábola cruza o eixo x 
em um ponto (x’ = x”)
Matemática
60
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
Calculando as coordenadas do vértice, temos:
V = (– b 2a , –
 ∆ 
4a ) = ( –
 (-6) 
 2.1 , –
 0 
4.1 ) = (3,0)
Precisamos de mais dois pontos. Atribuindo dois valores para x, 
temos:
x f(x) = x2 6x + 9 y = f(x) Pontos
0 f(0) = 02 6.0 + 9 9 (0,9)
3 Vértice 0 (3,0)
6 f(6) = (6)2 – 6.6 + 9 9 (6, 9)
-2
0
2
6
8
𝛞
1 432
4
5-1
PROBLEMAS ENVOLVENDO A FUNÇÃO DO 2° GRAU 
1. Uma espécie animal, cuja família era de 200 elementos, foi tes-
tada num laboratório sob a ação de certa droga, e constatou–se 
que a lei de sobrevivência entre essa família obedecia à relação 
n(t) = at² + b, onde n(t) é igual ao número de elementos vivos no 
tempo t (dado em horas) e a e b, parâmetros que dependiam da 
droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu o 
último elemento) após 10 horas do início da experiência. 
a) Determine os parâmetros a e b.
b) Determine quantos elementos havia nessa família após 8 horas 
do início da experiência.
 
Sugestão: observando o vérti-
ce, escolha valores equidistantes. 
No exercício, escolhemos valores 
para x: 3 unidades a menos e 3 
unidades a mais do vértice.
Introdução ao estudo de funções
61
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
Unidade 1
a. Para t = 0 temos n(t) = 200.
Substituindo em n(t) = at2 + b
 200 = a.02 + b b = 200
Para n(t) = 0 temos t = 10
Substituindo em n(t) = at2 + b
 0 = a.102 + 200
 100a = – 200
 a = – 2
b. Temos n(t) = – 2t2 + 200
Para t = 8 temos n(8) = – 2.82 + 200
 n(8) = 72
Após 8 horas do início da experiência havia 72 elementos nessa 
família.
2. Estima-se que, daqui a t anos, o número de pessoas que visitam 
um determinado museu será dado por N(t) = 30t2 – 120t + 3000. 
a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu? 
b) Em que ano será registrado o menor número de visitantes?
a. “Atualmente” indica t = 0
 N(0) = 30.02 – 120.0 + 3000
 N(0) = 3000
 Atualmente 3000 pessoas visitam o museu.
b. a > 0, portanto a parábola possui ponto de mínimo, que é o 
vértice da parábola. Portanto, o ano (t) que será registrado o menor 
número de visitantes é o Xv = – b 2a = – 
(-120)
2.30 = 2.
Daqui a 2 anos será registrado o menor número de visitantes.
Matemática
62
CÁLCULO
Unidade 1
Unidade 1
3. Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 
horas. Supondo que nesse dia a temperatura F(t) em graus era 
uma função do tempo t medido em horas, dada por F(t) = – t2 + 
bt – 156 quando 8 < t < 20, obtenha:
a) o valor de b; 
b) a temperatura máxima atingida nesse dia.
a. a < 0, ou seja, a parábola tem concavidade para baixo. O valor 
máximo que a temperatura atinge é o vértice da função do 2o grau.
Xv = – b 2a → 14 = –
 b 
 2.(-1) = 28 → b = 28
b. F(14) = – 142 + 28.14 – 156
F(14) = 40
A temperatura máxima atingida nesse dia foi de 40o.
4. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado 
produto é dado pela função:
L(p) = 400(15 – p)(p – 2), onde p é o preço de venda de cada uni-
dade. Calcule o preço ótimo de venda.
L(p) = 400(15 – p)(p – 2)
L(p) = 400(– p2 + 17p – 30)
L(p) = – 400p2 + 6800p – 12000
O preço ótimo de venda é o vértice da parábola, dado por: 
Xv = – b 2a = –
 6800 
 2.(-400) = 8,5
O preço ótimo de venda de cada unidade é $ 8,50.
Introdução ao estudo de funções
63
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Unidade 1
EXPONENCIAL E LOGARITMO
POTÊNCIAS ......................................................66
Propriedades das Potências ............................................. 66
EQUAÇÃO EXPONENCIAL ................................68
FUNÇÃO EXPONENCIAL ...................................71
APLICAÇÕES DE MODELOS DE CRESCIMENTO E 
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL ....................73
LOGARITMO ....................................................77
Definição .......................................................................... 77
Propriedades dos Logaritmos .......................................... 79
Mudança de base .......................................................... 79
Equações Logarítmicas .................................................... 80
FUNÇÃO LOGARÍTMICA ...................................83
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ...........................85
Unidade 2
POTÊNCIAS 
A potenciação é uma operação para indicar a multiplicação de 
uma dada base por ela mesma o número de vezes que o expoente 
indicar. 
an = a.a.a.a..a
onde:
 a = base n = expoente
n = vezes
n = 0 → a0 = 1
n = 1 → a1 = a
Exemplos:
50 = 1
π0 = 1
53 = 5 . 5 . 5 = 125
(–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
–52 = – [ ( 5 ). ( 5 ) ] = –25
012 = 0
00 = indeterminado
1231 = 123
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
Sendo a ≠ 0 e b ≠ 0, temos:
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n
3. (a.b )n = an.bn
4. ( a 
 b
)n = 
5. (am)n = am.n
6. m an = a
 n 
 m
7. a-n = 1 
 
 an 
an 
bn 
66
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
Exemplos:
1. 25 . 23 = 25 + 3 = 28 = 256
2. 25 : 23 = 25 – 3 = 22 = 4
3. (2.5)3 = 23 . 53 = 8 . 125 = 1000
4. ( 2 
 5
)3 = 2
3 
 53
 = 8 
 125
5. (25)3 = 25 .3 = 215
6. 3 52 = 5
 2 
 3
7. 2-3 = 1 
 23
 = 1 
 8
8. ( 2 
 3
)-1 = 3 
 2
 
Exercícios:
1. Resolva:
a) 23 = 2 • 2 • 2 = 8
b) (– 7)2 = (– 7) • (– 7) = 49
c) (– 2)6 = (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) = + 64
d) (+ 2)6 = (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) = + 64
e) (– 3)4 = (– 3) • (– 3) • (– 3) • (– 3) = + 81
f) (+ 3)4 = (+ 3) • (+ 3) • (+ 3) • (+ 3) = + 81
g) (– 5)3 = (– 5) • (– 5) • (– 5) = – 125
h) (+ 5)3 = (+ 5) • (+ 5) • (+ 5) = + 125
i) (– 2)5 = (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) = – 32
j) (+ 2)5 = (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) • (+ 2) = + 32
Se o expoente for par, a potência sempre será positiva,  e, se o 
expoente for ímpar, a potência sempre terá o mesmo sinal da base.
2. Aplique a propriedade de potência de potência: 
a) [(– 4)2]3 = (– 4)6 = 4096
b) [(+5)3]4 = 512
Se o expoente for par, a potência sempre será positiva,  e, se o 
expoente for ímpar, a potência sempre terá o mesmo sinal da base.
67
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
Fatorando o 729
 729 3
 243 3
 81 3
 27 3
 9 3
 3 3
 1 36 
Fatorando o 125
 125 5
 25 5
 5 5
 1 53
c) [(– 3)³]² = (– 3)6 = 729
d) [(– 7)³]³ = (– 7)9 = – 79
e) [(+2)4]5 = 220
f) [(– 7)5]³ = (– 7)15
g) [(– 1)²]² = (– 1)4 = 1
h) [(– 5)0]³ = (– 5)0 = 1
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Equação exponencial é toda equação que apresenta incógnita no 
expoente. 
Exemplos:
 � 2x = 32
 � (
 1 
 3 )
x = 729
 � 5x + 3 = 125
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois mem-
bros podem ser reduzidos à mesma base.
 � 2x = 32
2x = 25
x = 5
 � (
 1 
 3 )
x = 729
(
 1 
 3 )
x = 36
3-x = 36
– x = 6
x = – 6
 � 5x + 3 = 125
5x + 3 = 53
x + 3 = 3
x = 3 – 3
x = 0Fatorando o 32
 32 2
 16 2
 8 2
 4 2
 2 2
 1 25
68
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
Algumas equações exponenciais não podem ser reduzidas a ba-
ses iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição.
Exemplos:
1. 5x + 1 + 5x + 2 = 30
5x . 51 + 5x . 52 = 30
Se 5x = y, temos:
y . 51 + y . 52 = 30
5y + 25y = 30
30y = 30
y = 1
Substituindo y = 1, obtemos o valor de x
5x = y
5x = 1
5x = 50
x = 0
 S = {0}
2. 22x – 3. 2x + 2 = 0
(2x )2 – 3. (2x) + 2 = 0
Se 2x = y, temos:
y2 – 3y + 2 = 0
∆ = 32 – 4.1.2 = 1
y = -(-3) ± 1 2.1 = 
3 ± 1
2
Temos 2x = y
Se y = 1 → 2x = 1
 2x = 20
 x = 0
Se y = 2 → 2x = 2
 x = 1
 S = {0, 1}
y’ = 
 3 – 1 
2 = 1
y” = 
 3 + 1 
2 = 2
É bom lembrar que
a m + n = a m . an
 Atenção
69
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
Exercícios:
1. 5x = 125
5x = 53 
x = 3
S = {3}
2. 121(x - 2) = 1
(112)(x - 2) = 1112x - 4 = 110
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 2
S = {2}
3. 2x - 1 + 2x + 2 = 36
2x . 2-1 + 2x . 22 = 36
Se 2x = y, temos:
 y . 2-1 + y . 22 = 36
 y 
 2
 + 4y = 36
 
 y + 8y
 2 = 
 72 
 2
 9y = 72
 y = 8
Substituindo y = 8, obtemos o valor de x
2x = y
2x = 8
2x = 23
x = 3
 S = {3}
4. 25x – 6. 5x = – 5
(5x)2 – 6 . 5x + 5 = 0
70
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
Se 5x = y, temos:
 y2 – 6y + 5 = 0
 ∆ = (– 6)2 - 4.1.5 = 16
 y = -(-6) ± 16 2.1 = 
6 ± 4
2
Se y = 1 → 5x = 1
 5x = 50
 x = 0
 Se y = 5 → 5x = 5
 x = 1
 S = {0, 1}
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Chamamos de função exponencial toda função do tipo f(x) = ax 
definida para todo x real com a > 0 e a ≠ 1.
Sendo:
1. D = R, ou seja todo x R existe a imagem ax.
2. Os interceptos da função:
 − Interseção com eixo y :
 Fazendo x = 0 temos que y = a0 = 1
 Portanto o ponto é (0, 1)
 − Interseção com eixo x :
 Fazendo y = 0 temos que 0 = a0 (não existe)
 Portanto a função exponencial não intercepta o eixo x.
3. Gráfico da função:
Vamos construir os gráficos das funções y = 2x e y = (
 1 
 2 )
x e obser-
var algumas propriedades:
y’ = 
 6 – 4 
2 = 1
y” = 
 6 + 4 
2 = 5
71
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
 − 1º caso : y = 2x
x y = 2x Pontos
–3 2-3 = 
 1 
 23 = 
 1 
 8 (–3,
 1 
 8 )
–2 2-2 = 
 1 
 22 = 
 1 
 4 (–2,
 1 
 4 )
–1 2-1 = 
 1 
 21 = 
 1 
 2 (–1,
 1 
 2 )
0 20 = 1 (0,1)
1 21 = 2 (1,2)
2 22 = 4 (2,4)
3 23 = 8 (3,8)
 − 2º caso : y = (
 1 
 2 )
x
x y = (
 1 
 2 )
x Pontos
–3 (
 1 
 2 )
-3= (2)3 = 8 (–3,8)
–2 (
 1 
 2 )
-2= (2)2 = 4 (–2,4)
–1 (
 1 
 2 )
-1= (2)1 = 2 (–1,2)
0 (
 1 
 2 )
0= 1 (0,1)
1 (
 1 
 2 )
1= 
 1 
 2 (1,
 1 
 2 )
2 (
 1 
 2 )
2= 
 1 
 4 (2,
 1 
 4 )
3 (
 1 
 2 )
3= 
 1 
 8 (3,
 1 
 8 )
Observando os gráficos podemos dizer que:
 � Ambas as funções possuem o mesmo ponto de interseção com o 
eixo y: (0,1);
 � Se a > 1 , então a função exponencial é crescente;
Exemplos: y = 2x, y = 1,5x , y = ( 5 2 )
x
–3 –2 –1 0 1 2 3
5
4
3
2
1
y
x
–3 –2 –1 0 1 2 3
5
4
3
2
1
y
x
72
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
 � Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente;
Exemplos: y = y = ( 1 2 )
x , y = 0,25x , y = y = ( 5 2 )
x
 � Para todo valor de a > 0 e todo x ∈ R gráfico da função exponen-
cial y = ax estará sempre situada acima do eixo x, portanto o con-
junto imagem desta função é Im = R*+.
APLICAÇÕES DE MODELOS DE CRESCIMENTO E 
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL 
V(t) = V0 . (1 + i)
t Modelo de crescimento exponencial
V(t) = V0 . (1 – i)
t Modelo de decrescimento exponencial
Onde:
 V(f): valor final
 V0: valor inicial
 i: taxa de juros
 t: tempo
Uma importante aplicação de crescimento exponencial é o Juro 
Composto, que segue o modelo apresentado. Nesse tipo de siste-
ma financeiro os juros gerados a cada período são incorporados ao 
valor principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
 M(n) = C . (1 + i)n
Onde:
 M(n): montante
 C: capital inicial
 i: taxa de juros
 n: tempo
73
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
Exemplo:
1. O produto nacional bruto (PNB) de certo país era de 200 bilhões 
de unidades monetárias em 1975 e de 360 bilhões de unidades 
monetárias em 1985. Admitindo que o PNB cresça exponencial-
mente, de quanto foi o PNB de 1995?
V0 = 200 bilhões
V = 360 bilhões
t = 1985 – 1975 = 10 anos
 V(t) = V0 . (1 + i)
t
 360 = 200.(1 + i)10
 (1 + i)10 = 360 200
 (1 + i)10 = 1,8
Para 1995, temos t = 1995 – 1975
 t = 20 anos
 V(t) = V0 . (1 + i)
t
 V(t) = 200 . (1 + i)20
 V(t) = 200 . [(1 + i]10]2
 V(t) = 200 . (1,8)2
 V(t) = 648
O PNB de 1995 foi de 648 bilhões.
2. A densidade demográfica a x quilômetros do centro de certa ci-
dade é de D(x) = 12e–0,07.x milhares de pessoas por quilômetro 
quadrado. 
a) Qual é a densidade da população no centro da cidade?
b) Qual é a densidade da população a 10 km do centro da cidade?
a. No centro da cidade, x = 0.
D(0) = 12e–0,07.0
D(0) = 12 e0
D(0) = 12
A densidade da população no centro da cidade é de 12 milhares 
de pessoas por quilômetro quadrado.
74
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
b. Para x = 10, temos:
D(10)= 12e– 0,07.10 → D(10) = 12 e– 0,7 → D(10) = 6,0
A densidade da população a 10 km do centro da cidade é de 6,0 
milhares de pessoas por quilômetro quadrado.
Exercícios:
1. Avalia-se que a população de certo país cresça exponencialmen-
te. Se a população era de 60 milhões de habitantes em 1980 e 90 
milhões de habitantes em 1985, qual era a população em 1995?
V0 = 60 milhões
V = 90 milhões
t = 1985 – 1980 = 5 anos
 V(t) = V0 . (1 + i)
t
 90 = 60.(1 + i)5
 (1 + i)5 = 90 60
 (1 + i)5 = 1,5
Para 1995, temos t = 1995 – 1980 = 15 anos
 V(t) = V0 . (1 + i)
t
 V(t) = 60 . (1 + i)15
 V(t) = 60 . [(1 + i]5]3
 V(t) = 60 . (1,5)3
 V(t) = 202,5
A população em 1995 era de 202,5 milhões de habitantes.
2. Para duplicar um capital qualquer em 10 meses e 15 dias, aplica-
do a juros compostos, que taxa deve ser usada?
 C = x M = 2x n = 10 meses e 15 dias = 10,5 mês
 M(n) = C . (1 + i)n
 2x = x . (1 + i)10,5
 (1 + i)10,5 = 2
 i = 0,0683 = 6,83%
A taxa que deve ser usada para duplicar um capital qualquer em 
10 meses e 15 dias é 6,83%.
75
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
3. Em 1985, na porta de um grande banco, encontrava-se um car-
taz onde se lia: “Aplique hoje R$ 1.788,80 e receba R$ 3.000,00 
daqui a 6 meses”. Qual era a taxa mensal de juros que o banco 
estava aplicando sobre o dinheiro investido?
 M = 3000
 C = 1778,8
 n = 6 meses
 M(n) = C . (1 + i)n
 3000 = 1788,8 (1 + i)6
 (1 + i)6 = 3000 1788,8
 1 + i = 1,0900
 i= 0,0900 = 9%
A taxa de juros que o banco estava aplicando sobre o dinheiro 
investido era de 9% ao mês.
4. Uma pessoa colocou um capital de $1.000,00, à taxa de juros 
compostos de 5% ao mês. Achar a função M (montante) em fun-
ção do tempo n e fazer o gráfico.
 C = 1000
 i = 5% = 0,05 ao mês
 M = 1000 (1 + 0,05)n
1
600
800
1400
1600
1800
1200
43 765
1000
8 9 102
 M = 1000 . 1,05n 
76
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
5. Aplicando R$ 100.000,00 a juros compostos, depois de 3 anos 
recebi R$ 270.000,00. Qual foi a taxa anual usada?
 M = 270000
 C = 100000
 n = 3 anos
 270000 = 10000 . (1 + i)3
 (1 + i)3 = 2,7 
 i = 1,3925 – 1
 i = 0,3925 = 39,25% 
 A taxa anual usada foi de 39,25%.
LOGARITMO 
DEFINIÇÃO 
logba = c ⇔ b
c = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1
Exemplos:
1. Calcule os seguintes logaritmos:
O número a recebe o 
nome de logaritmando , 
b é a base e c é o loga-
ritmo de a na base b
 Atenção
77
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
Exercícios:
1. log2 16 = x
2x = 16
2x = 24
x = 4
∴log2 16 = 4
2. log3 243 = x
3x = 243
3x = 35
x = 5
∴ log3 243 = 5
3. log7
 1 
 49  = x
7x =  1 49  
7x =  1 72  
7x = 7– 2
x = – 2
∴ log7 
 1 
 49  = – 2
78
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
4. log 1000 = x
10x = 1000
10x = 103
x = 3
∴ log 1000 = 3
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
 � (P1) Logaritmo de um produto: logc(a.b) = logca + logcb
 � (P2) Logaritmo de um quociente: logc
 a 
 b = logca – logcb
 � (P3) Logaritmo da potência: logca
n = n.logca
Exemplo:
Considerando loga 2 = 0,69 e loga 3 = 1,10. Calcular loga 
4√12
loga 
4√12 = loga (2
2.3)¼
Aplicando (P3):
 1 
 4   loga (2
2.3)
Aplicando (P1):
 1 
 4  loga 2
2 + loga 3)
Aplicando (P3):
 1 
 4  2.loga 2 + loga 3)
Temos:
 1 
 4  2 . 0,69 + 1,10) =
 1 
 4  (1,38 + 1,1) =
 1 
 4  (2,48) = 0,62
Mudança de base
As calculadoras científicas calculam os logaritmos nas bases 10 (log = 
log10) e e (ln = loge), Sendo assim, podemos utilizar a fórmula abaixo para 
determinar qualquer logaritmo com o auxílio da calculadora. 
logba = 
 logca 
 logcb
Exemplo: log2 3 = 
 log3 
 log2 = 
 0,477 
 0,301 = 1,585
79
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
EQUAÇÕESLOGARÍTMICAS 
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na 
base do logaritmo.
Lembrando que logba = c ⇔ b
c = a, com a > o, b > o e b ≠ 1, 
ao resolver uma equação logarítmica, devemos ficar atentos à 
condição de existência, ou seja, verificar se logaritmando e base 
atendem à condição de a > 0, b > 0 e b ≠ 1. 
 � exemplos;
log5 x + log5 2 = 2
log2 (x
2 + 2x - 7) – log2 (x - 1) = 2
log4 x = log2 3
80
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
Exercício:
1. Determinar o conjunto solução das seguintes equações.
a) log5 (log2 x) = 0                                     CE: x > 0
 50 = log2 x
 log2 x = 1 
 21 = x 
 x = 2
 S = {2}
81
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
b) logx (x + 6) = 2
 x2 = x + 6                                             CE: x + 6 > 0
 x2 – x – 6 = 0                                          x > 0 e x ≠ 1
 ∆ = 1 – 4.1.(–6) = 25
 x = -(-1) ± 25 2.1 = 
1 ± 5
2
 S = {3}
c) log3 (x + 7) + log3 (x – 1) = 2
 Aplicando (P1):
 log3 (x + 7)(x – 1) = 2 CE 
x + 7 > 0
x – 1 > 0 → x > 1
Aplicando a definição temos:
(x + 7) . (x – 1) = 32
x2 + 6x - 16 = 0                                                  
∆ = 36 + 64 = 100
x = -6 ± 100 2.1 = 
-6 ± 10
2
 S = {2} 
d) 3. log x = 2. log 8. 
3. log x = 2 log 8
log x3 = log 82
x3 = 64
x = 3√64
x = 4
S = {4}
x’ = 
 1 – 5 
2 = –2 não convém a CE x > o
x” = 
 1 + 5 
2 = 3
x’ = 
 -6 - 10 
2 = –8 não convém a CE x > 1
x” = 
-6 + 10 
2 = 2
82
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função logarítmica é toda função de R*+ em R, que pode ser ex-
pressa pela forma y = logb x ou f(x) = logb x, com b > 0 e b ≠ 1. Logo:
1. D = R*+, ou seja todo x ∈ R*+existe a imagem logbx.
2. Os interceptos da função:
 − Interseção com eixo y :
Fazendo x = 0 temos que y = logβ 0 (não existe), 
pois x = 0 ∉ D = R*+
 − Interseção com eixo x:
Fazendo y = 0 temos que 0 = logb x ⇔ b
0 = x ⇔ 1 = x= x
Portanto, o ponto de interseção com o eixo x é (1,0).
3. Gráfi co da função:
Iremos construir os gráfi cos das funções y = log2 x e y = log½ x e 
observar algumas propriedades:
 − 1º caso: y = log2 x, com D = R*+.
x y = log2 x Pontos
 1 
 8
Sabendo que 
 1 
 8 = 
 1 
 23 = 2
-3 então y = log2 2
-3 = –3 (
 1 
 8 , –3)
 1 
 4
Sabendo que 
 1 
 22 = 
 1 
 4 = 2
-2 então y = log2 2
-2 = –2 (
 1 
 4 , –2)
 1 
 2
Sabendo que 
 1 
 22 = 
 1 
 4 = 2
-1 então y = log2 2
-1 = –1 (
 1 
 2 , –1)
1 Sabendo que 1 = 20 então y = log2 2
0 = 0 (1,0)
2 Sabendo que 2 = 21 então y = log2 2
1 = 1 (2,1)
4 Sabendo que 4 = 22 então y = log2 2
2 = 2 (4,2)
8 Sabendo que 8 = 23 então y = log2 2
3 = 3 (8,3)
83
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
 − 2º caso: y = log½ x, com D = R*+.
x y = log2 x Pontos
 1 
 8
Sabendo que 
 1 
 8 = 
 1 
 23 = (
 1 
 2 )
3 então y = log½(
 1 
 2 )
3 = 3 (
 1 
 8 , 3)
 1 
 4
Sabendo que 
 1 
 22 = 
 1 
 4 = (
 1 
 2 )
2 então y = log½(
 1 
 2 )
2 = 2 (
 1 
 4 , 2)
 1 
 2
Sabendo que 
 1 
 22 = 
 1 
 4 = (
 1 
 2 )
1 então y = log½(
 1 
 2 )
1 = 1 (
 1 
 2 , 1)
1 Sabendo que 1 = (
 1 
 2 )
0 então y = log½(
 1 
 2 )
0 = 0 (1,0)
2 Sabendo que 2 = (
 1 
 2 )
-1 então y = log½(
 1 
 2 )
-1 = –1 (2,–1)
4 Sabendo que 4 = (
 1 
 2 )
-2 então y = log½(
 1 
 2 )
-2 = –2 (4,–2)
8 Sabendo que 8 = (
 1 
 2 )
-3 então y = log½(
 1 
 2 )
-3 = –3 (8,–3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
84
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
Observando os gráficos podemos dizer que:
 � Ambas as funções possuem o mesmo ponto de interseção com o 
eixo x, (1,0).
 � Se b > 1, então a função logarítmica é crescente;
Exemplos: y = log2 x, y = log1,5 x, y = log5/2 x
 � Se 0 < b < 1, então a função logarítmica é decrescente;
Exemplos: y = log½ x, y = log0,3 x, y = log2/5 x
 � Para todo valor de b > 0 e b 1 e todo x ∈ R, o gráfico da função 
logarítmica (y = logb x), estará sempre situado à direita do eixo y.
 � O conjunto imagem da função logarítmica é Im = R.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Durante quanto tempo se deve aplicar R$ 5.000,00 à taxa de 7% 
a.m., para produzir o montante de R$ 12.000,00?
 M = 12000
 C = 5000
 I = 7% = 0,07 ao mês
 M(n) = C . (1 + i)n
 12000 = 5000 (1 + 0,07)n
 1,07n = 12000 5000 
 1,07n = 2,4
 log 1,07n = log 2,4
 n.log 1,07 = log 2,4
 n = log 2,4 log 1,07 
 n = 13
Para uma aplicação de R$ 5000,00, à taxa de 7% a.m., produzir 
um montante de R$ 12000,00, o tempo de aplicação é de 13 meses.
85
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
Unidade 2
2. Um certo aplicador colocou um capital de R$ 15.000,00 a juros 
compostos de 7% a.m., durante 3 meses e 10 dias. Em seguida, 
reaplicou o montante ainda a juros compostos de 10% a.m. No 
final da operação, recebeu R$ 62.000,00. Qual o período total em 
que o capital esteve aplicado?
Aplicação 1 
C = 15000
i = 7% = 0,07 ao mês
n = 3 meses e 10 dias = 3,33 meses 
M = 15000 (1 + 0,07)3,33
M = 18790
Aplicação 2 
C = 15000
i = 10% = 0,1 ao mês
M = 18790 
62000 = 18790 (1 + 0,1)n
 1,1n = 
 62000 
 18790
 log 1,1n = log
 62000 
 18790
 n.log 1,1 = log
 62000 
 18790
 n = 12,53
Período total em que o capital esteve aplicado: 3,33 + 12,53 = 
15,86, ou seja, 15 meses e 26 dias.
 
86
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 2
Unidade 2
87
Exponencial e logaritmoEXPONENCIAL E LOGARITIMO
Unidade 2
LIMITES E DERIVADAS
NOÇÃO INTUITIVA ...........................................90
FUNÇÃO CONTÍNUA .........................................93
Propriedade dos Limites .................................................. 96
INDETERMINAÇÃO 00 ...................................................98
LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS .101
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO – TMV ...............106
FUNÇÃO DERIVADA .......................................107
Interpretação geométrica da função derivada ................. 108
REGRAS DE DERIVAÇÃO ...............................108
Propriedades Operatórias ............................................... 109
Regras de Derivação.................................................... 111
APLICAÇÕES DE DERIVADA ..........................115
Crescimento e Decrescimento de funções ...................... 115
Concavidade e ponto de inflexão .................................... 118
Exercícios de aplicação de derivadas: Análise marginal . 120
Exercícios de aplicação de pontos de máximo e/ou 
mínimo ........................................................................... 123
Unidade 3
NOÇÃO INTUITIVA 
O nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita 
descrever o comportamento dos valores de uma função nas proxi-
midades de um ponto.
Seja a função f(x) = 2x – 1, vamos dar valores para x que se apro-
ximem de 3, pela direita (valores maiores que 3) e pela sua es-
querda (valores menores que 3), e calcular y.
PELA DIREITA PELA ESQUERDA
x y = 2x – 1 x y = 2x – 1
3,50 6,00 2,50 4,00
3,30 5,60 2,70 4,40
3,10 5,20 2,90 4,80
3,05 5,10 2,95 4,90
3,02 5,04 2,98 4,96
3,01 5,02 2,99 4,98
Graficamente, temos:
90
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
À medida que x se aproxima de 3, f(x) ou y se aproxima de 5, ou 
seja, quando x tende a 3 ( x → 3 ), y tende a 5 ( y → 5 ), então, te-
mos a notação:
limx→3(2x – 1) = 5
Dada a função y = f(x), conforme ilustrado no gráfico abaixo, e 
seja “a” a abscissa do ponto. Verifique o que acontece quando o 
valor de x se aproxima de a.
Quando x se aproxima de a pela direita (representamos por: x → a+) verificamos 
que a função se aproxima do valor L1. Então podemos dizer que:
limx→a+f(x) = L1, L1 é o limite lateral direito da função no ponto de abcissa x = a.
Quando x se aproxima de a pela esquerda (representamos por: x → a–) verificamos 
que a função se aproxima do valor L2. Então podemos dizer que:
limx→a–f(x) = L2, L2 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de abcissax = a.
Observamos no gráfico, que quando “x” assume valores que se 
aproximam de “a” pela direita (x > a), os correspondentes valores 
da função se aproximam do valor “L1”. Para descrever esse compor-
tamento dizemos que o limite lateral direito da função no ponto de 
abscissa “a” é “L1”.
91
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Analogamente, quando “x” assume valores que se aproximam de 
“a” pela esquerda (x < a), os correspondentes valores da função se 
aproximam do valor “L2” e este é chamado de limite lateral esquerdo 
da função no ponto de abscissa “a”.
Exemplos:
Calcular os limites laterais da função y = 
no ponto de abscissa x = 1.
limx→1+f(x) = limx→1+(2x + 1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3
3 é o limite lateral direito da função no ponto de abscissa x = 1
limx→1–f(x) = limx→1–(–x
2) = –(1)2 = –1
–1 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de abscissa x = 1
Exercício:
Calcular os limites laterais da função y = 
no ponto de abscissa x = 2.
limx→2+f(x) = limx→2+x
2 = (2)2 = 4
4 é o limite lateral direito da função no ponto de abscissa x = 2
limx→2–f(x) = limx→2–(5 – 2x) = 5 – 2.2 = 1
1 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de abscissa x = 2
x2, se x > 2
5 – 2x, se x < 2
92
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
FUNÇÃO CONTÍNUA 
Vejamos agora a função y = f(x), conforme ilustrado no gráfico 
abaixo, e seja “a” a abscissa do ponto.
Quando x se aproxima de a pela direita (representamos por: x → a+) verificamos 
que a função se aproxima do valor L1. Então podemos dizer que:
limx→a+f(x) = L1, L1 é o limite lateral direito da função no ponto de abcissa x = a.
Quando x se aproxima de a pela esquerda (representamos por: x → a–) verificamos 
que a função se aproxima do valor L2. Então podemos dizer que:
limx→a–f(x) = L2, L2 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de abcissa x = a.
Como neste caso os limites laterais, à direita e à esquerda, convergiam para o 
mesmo resultado L, podemos então dizer que o limite da função quando x se apro-
xima de a, existe, é único, e igual a L (Teorema da unicidade do Limite).
Se limx→a+f(x) = limx→a–f(x) ⇔ ∃limx→af(x) = L
Se a pertencer ao domínio desta função, então podemos afirmar que a função é 
contínua neste ponto, então:
limx→af(x) = f(a) = L
93
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Dizemos que f(x) é contínua em um ponto com x = a do seu domí-
nio se:
 � ∃f(a)
 � ∃limx→af(x)
 � limx→af(x) = f(a)
Para determinar o valor do limite de uma função num dado ponto, 
basta substituir o valor de x da função pelo número ao qual se tende. 
Se o resultado dessa operação for um número determinado e finito, 
então a função é contínua neste ponto e o valor obtido será o valor 
limite da função.
Exemplos:
Verificar, usando limites, se a função é contínua no ponto em cada 
caso:
Logo a função é contínua em x = 2.
 
Logo a função é contínua em x = 2.
94
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exemplo de uma função não contínua
0
3
2
1
0
-1
1 2 3
x
y
f(a) = 2
limx→2–f(x) = 1 e limx→2+f(x) = 2
Existe f(a), existe limx→a–f(x) e limx→a+f(x), mas limx→a–f(x) ≠ f(a), por-
tanto a função não é contínua.
95
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Neste caso embora os limites laterais sejam iguais a quatro, a fun-
ção não está definida para x = 2, logo ela não é contínua no ponto.
IMPORTANTE:
É importante lembrar que no cálculo do limx→af(x), o que inte-
ressa é o comportamento da função f(x) quando x se aproxima 
de a e não o que acontece com a função em x = a.
Exercício:
Observando os gráficos, determinar se existe o limx→af(x)
PROPRIEDADE DOS LIMITES 
 
96
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
97
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Exercício:
1. Calcule os seguintes limites:
a) limx→ –1(x
3 – 2x2 – 4x + 3) = (–1)3 – 2(–1)2 – 4(–1) + 3 = – 1 – 2 + 
4 + 3 = 4
b) limx→ –1
3x2 – 5x + 4 
2x + 1 = 
3(–1)2 – 5(–1) + 4
2(–1) + 1 = 
3 + 5 + 4
– 2 + 1 = – 12
c) limx→4 (
x3 – 3x2 – 2x – 5 
2x2 – 9x + 2 )
2 = (
43 – 3.42 – 2.4 – 5
2.42 – 9.4 + 2 )
2 = (
64 – 48 – 8 – 5
32 – 36 + 2 )
2 
= (
 3
– 2 )
2 = 
9
4
d) limx→ –1 
2x2 + 3x – 4 
5x – 4 = 
2(–1)2 + 3(–1) – 4 
5(–1) – 4 = 
2 – 3 – 4
– 5 – 4 = 
5
9 = 
5
3
e) limx→ –2 
3x3 + 5x2 – x + 2 
4x + 3 = 
3(–2)3 - 5(–2)2 – (–2) + 2 
4(–2) + 3 = 
 
– 24 – 20 + 2 + 2 
– 8 + 3 = 0
f) limx→ –2 
2x2 + 3x + 2 
6 – 4x = 
2(–2)2 + 3(–2) + 2 
6 – 4(–2) = 
8 – 6 + 2
6 + 8 = 
4
14 = 
2
14 = 
1
7
INDETERMINAÇÃO 00
Exemplo 1:
0
0 é uma indeterminação, como os polimônios x
2 – 4 e x2 – 2x 
anulam-se para x = 2, portanto pelo Teorema de D´Alembert, são 
divisíveis por x – 2, logo:
98
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x 
tende a a, interessa o comportamento da função quando x se apro-
xima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, concluí-
mos que:
Exercícios:
a)
b)
c)
d)
e)
Exemplo 2:
Multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo "con-
jugado" do numerador, temos:
99
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Exercícios:
100
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS
Limites dos tipos limx→ +∞ f(x) e limx→ –∞ f(x) são denominados limi-
tes no infinito. A notação simbólica x→ +∞, que se lê: x tendendo a 
mais infinito, é usada para traduzir a ideia de que x vai se tornando 
cada vez maior e tão grande quanto se possa imaginar. Por outro 
lado, a notação x→ –∞, que se lê: x tendendo a menos infinito sig-
nifica que x vai se tornando cada vez menor que qualquer número 
negativo que se possa imaginar.
Por um limite infinito, entendemos um limite da forma limx→ p f(x) 
= +∞ (ou –∞), onde x→ p, pode ser substituído por x→ p+, x→ p–, 
x→+∞, x→–∞. De forma intuitiva, a notação simbólica limx→ p f(x) = +∞ 
traduz a seguinte ideia: para x tendendo a p, o valor de f(x) vai se 
tornando cada vez maior e ultrapassando o valor de qualquer núme-
ro positivo, por maior que seja tal número.
Exemplos:
 Seja a função 
f(x) = 
1
x' , com x ≠ 0.
Observando o gráfico, temos:
 � limx→ +∞
1
x = 0, ou seja, à medida que “x” aumenta, “y” tende a 
zero e o limite é zero.
 � limx→ –∞
1
x = 0, ou seja, à medida que “x” diminui, “y” tende para 
zero e o limite é zero.
 � limx→ 0+
1
x = +∞, ou seja, à medida que “x” se aproxima de zero 
pela direita (x→0+), “y” tende para mais infinito (postitivo), que é 
o limite.
y
x
101
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
 � limx→ 0–
1
x = –∞, ou seja, à medida que “x” se aproxima de zero pela 
esquerda (x→0–), “y”  tende  para menos infinito (negativo), que é 
o limite.
Ou podemos calcular, com o auxílio de tabelas, conforme exem-
plos abaixo:
a) limx→ +∞
1
x
x 10 100 1000 100.000 1.000.000 x → +∞
1/x 0,1 0,01 0,001 0,00001 0,000001 1/x → 0
À medida que atribuímos valores maiores para x, o valor da fração 
1
x vai se aproximando cada vez mais do zero. Ou seja, limx→ +∞
1
x = 0.
a) limx→ 0+
1
x
x 1 0,1=1/10 0,01=1/100 0,001=1/1000 0,000001=1/1.00.000 x → 0
1/x 1 10 100 1000 1.000.000 1/x → +∞
À medida que atribuímos valores positivos, mais próximos ao zero 
para x, o valor da fração 1/x vai aumentando cada vez mais, se apro-
ximando do infinito. Ou seja, limx→ 0+
1
x = +∞.
102
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
 
 
103
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Limite de uma função polinomial para x → ± ∞ 
 � Seja a função polinomial, f(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + .. + a1x + a0. Temos:
limx→ ±∞f(X) = limx→ ±∞anx
n
 � Analogamente, para g(x) = bnx
n + bn – 1x
n – 1 + .. + b1x + b0, temos:
limx→ ±∞g(X) = limx→ ±∞bnx
n
Então, podemos concluir que
limx→ ±∞
f(x)
g(x) = limx→ ±∞
anx
n
bnx
n
 
Exemplos:
104
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exercício:
Calcular os limites:
a)
b)
c)
d)
b)
e)
f)
105
Limites e DerivadasLIMITESE DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO – TMV 
Seja a função y = f(x), conforme representada abaixo, e seja P um 
de seus pontos de abscissa x0. Vamos atribuir um acréscimo qual-
quer ao valor x0 (chamaremos esse acréscimo de ∆x). A análise do 
gráfico nos mostra que consequentemente o valor da função passa 
do ponto de f(x0) para f(x0 + ∆x).
Disso podemos concluir que um acréscimo, atribuído a x0, pro-
voca também uma variação no valor da função, variação esta que 
chamaremos de ∆y.
Por definição chamaremos a taxa média de variação da função 
dada o quociente , quando a abscissa x passa do valor x0 para o 
valor x0 + ∆x e esta expressa a variação média sofrida pelos valores 
da função entre estes dois pontos, geometricamente é o coeficiente 
angular, ou declividade, da reta que passa pelos pontos P e Q.
106
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
FUNÇÃO DERIVADA 
Seja f uma função derivável no intervalo aberto Ι. Para cada x0 
pertencente a Ι existe e é único o limite:
 
Portanto, podemos defi nir uma função f' Ι → R que associa a cada 
x ∈ Ι derivada de f no ponto x0. Esta função é chamada função de-
rivada de f ou , simplesmente, derivada de f.
Habitualmente, a derivada de f é representada por:
 
A lei f’(x) pode ser determinada a partir da lei f(x), aplicando-se a 
derivada de uma função, num ponto genérico x ∈ Ι:
 
Exemplo:
Determine a função derivada de f(x) = x² + x.
Sabendo que 
Onde:
107
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO DERIVADA 
Geometricamente, a derivada da função no ponto de abscissa 
representa o coefi ciente angular da reta t que tangencia a função no 
ponto P.
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Tabela de Derivadas
108
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exemplos:
Calcule a f’(x):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
Sejam u = f(x) e v = g(x), duas funções deriváveis em Ι, então:
1. A derivada da soma é a soma das derivadas.
(u + v)’ = u’ + v’
Exemplos:
a) f(x) = 5x² + 2x + 4 → f’(x) = (5x²)’+ (2x)’ + (4)’ = 10x + 2
b) f(x) = 5 + lnx → f’(x) = (5)’ + (lnx)’= 1/x
c)
109
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
2. Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira 
função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada 
da segunda.
(u.v)’ = u’.v + u. v’
Exemplos:
a) f(x) = x . lnx
 Sendo u = x → u’= 1 e v = lnx → v’= 1/x
 Então, 
b) f(x) = x3.ex
 Sendo 
 Então, 
3. Derivada de uma constante vezes uma função é a constante mul-
tiplicada pela derivada da função.
(c . v)’ = c. v’
Exemplos:
4. Derivada do quociente
 
110
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exemplos:
Regras de Derivação
 
Exercício:
1. Calcular a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – 3x2 + 6x – 9
 f’(x) = 2.5x5-1 – 3.4x4-1 + 2.3x3-1 – 3.2x2-1+ 6x1-1 – 0
 f’(x) = 10x4 – 12x3 + 6x2 - 6x + 6
111
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
100.(-3)X -3-1
112
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
 113
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
 
2. Calcular as três primeiras derivadas das funções:
a) y = 5x3 – 4x2 + 9x – 8
y’= 15x2 – 8x + 9
y’’ = 30x – 8
y’’’ = 30
b) y = lnx
y’ = 
1
x = x
–1 
y’’ = – x–2 = – 
1
x2 = – x
-2
y’’’ = 2x–3 = 
2
x3
114
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
c) y = e3x
y’ = 3e3x
y’’ = 9e3x
y’’’ = 27 e3x
 
 
APLICAÇÕES DE DERIVADA 
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 
Se , para todo x ∈ ]a,b[, f’(x) > 0, então f é estritamente crescente 
(EC) em ]a,b[.
Se , para todo x ∈ ]a,b[, f’(x) < 0, então f é estritamente decrescen-
te (ED) em ]a,b[.
Usamos a simbologia:
 Função crescente Função decrescente
1. Primeiro critério para localização de pontos de Máximo e Mínimo
1. Se
(a) f’(x) > 0, para todo x ∈ ]a,c[
(b) f’(x) < 0, para todo x ∈ ]c,b[
(c) f é continua em c,
Então em x = c é Ponto de Máximo
O esquema abaixo ilustra a situação.
 
115
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
2. Se
(a) f’(x) < 0, para todo x ∈ ]a,c[
(b) f’(x) > 0, para todo x ∈ ]c,b[
(c) f é continua em c,
Então em x = c é Ponto de Mínimo
O esquema abaixo ilustra a situação.
 
2. Segundo critério para localização de pontos de máximo e mínimo
1° Passo: f´(x) = 0 e determinar as raízes da equação, xi.
2° Passo: Obter a f”(x)
3° Passo: Substituir oxi, encontrado anteriormente, na segunda 
derivada da função. Se f”(xi) > 0, significa que para o valor xi temos 
ponto de mínimo, mas se f”(xi) < 0 ,então que para o valor xi temos 
ponto de máximo.
Exemplo:
Estudar o crescimento e decrescimento das função abaixo, apon-
tando os possíveis pontos de máximo ou mínimo.
1° passo: Cálculo da derivada.
y’ = x² – 3x – 4
2° passo: Estudo do sinal da primeira derivada.
116
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
3° passo: Conclusão:
y” = 2x – 3
Para x = – 1, temos y’’ = 2.(–1) – 3 = – 5 < 0 Máximo
Para x = 4, temos y’’ = 2.(4) – 3 = 5 > 0 Mínimo
Resposta: f(x) é estritamente crescente (EC) para x < –1 ou x > 4, 
f(x) é estritamente decrescente (ED) para –1 < x < 4, em x = –1 é 
Ponto de Máximo e em x = 4 é Ponto de Mínimo.
Exercício:
Estudar o crescimento e decrescimento da função, y = – x² + 4x 
apontando os possíveis pontos de máximo ou mínimo.
 
1° passo: Cálculo da derivada.
y = – x² + 4x
y’ = – 2x + 4
2° passo: Estudo do sinal da primeira derivada.
y’ = 0 → – 2x + 4 = 0
 – 2x = – 4
 x = 2
3° passo: Conclusão:
2
117
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
y” = – 2
Para x = 2 temos y’’ = – 2 < 0 Máximo
Resposta: f(x) é estritamente crescente (EC) para x < 2, f(x) é estri-
tamente decrescente (ED) para x > 2, em x = 2 é Ponto de Máximo.
CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO 
 � Se , para todo x ]a,b[, f’’(x) > 0, então o gráfico de f tem conca-
vidade voltada para cima (CVC) em ]a,b[.
 � Se , para todo x ]a,b[, f’’(x) < 0, então o gráfico de f tem conca-
vidade voltada para baixo (CVB) em ]a,b[.
 � Se f tem concavidade de nomes distintos nos intervalos ]a,c[ e ]c,b[ 
e é contínua em c, dizemos que em x = c é ponto de inflexão (PI).
Exemplo:
Estudar, no que se refere à concavidade e a pontos de inflexão, a 
seguinte função: y = x³ – 6x² + 4x – 10.
1° passo: Calcular a segunda derivada da função
y’ = 3x² – 12x + 4
y’’ = 6x – 12
2° passo: Estudo do sinal da segunda derivada
y’’ = 0
6x – 12 = 0
x = 2
3° passo: Conclusão
Resposta: A f(x) tem côncava voltada para baixo (CVB) para x < 2 , 
f(x) tem côncava voltada para cima (CVC) para x > 2 e em x = 2 é 
ponto de inflexão.
118
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exercício:
1. Estudar, no que se refere à concavidade e a pontos de inflexão, 
as seguintes funções:
a) y = 1 – x²
1° passo: Calcular a segunda derivada da função
 y’ = – 2x
 y’’ = – 2
2° passo: Estudo do sinal da segunda derivada
 y’’ = 0 – 2 = 0 (Falso)
Resposta: Não possui ponto de inflexão.
b) y = 
x3
3 – 
5
2 x
2 – 3x + 4
1° passo: Calcular a segunda derivada da função
 y’ = 
3x2
3 – 
5.2x
2 – 3 = x
2 – 5x – 3
 y’’ = 2x – 5
2° passo: Estudo do sinal da segunda derivada
 y’’ = 0
 2x – 5 = 0
 x = 
5
2
3° passo: Conclusão
Resposta: A f(x) tem côncava voltada para baixo (CVB) para x < 
5/2 , f(x) tem côncava voltada para cima (CVC) para x > 5/2 e em x 
= 5/2 é ponto de inflexão.
119
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE DERIVADAS: ANÁLISE 
MARGINAL 
A Análise Marginal representa o valor estimado da função provo-
cada por um aumento unitário em x.
Por exemplo, o Custo Marginal representa o acréscimo de custo 
total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzi-
da em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução em 
uma  unidade na quantidade produzida).
Função marginal: y´= f´(x)
Matematicamente, a função de custo marginal é expressa como 
a derivada da função de custo total, sobre a quantidade total pro-duzida.
Exemplo:
1. Suponha que o custo total de fabricação de x unidades de certo 
produto seja de C(x) = 3x² + x + 500.
a) Use a análise marginal para estimar o custo de fabricação da 
41ª unidade;
b) b) Calcule a variação real de fabricação da 41ª unidade.
a. C(x) = 3x² + x + 500
C’(x) = 6x + 1
Para x = 41, temos C’(41) = 6.41 + 1 = 247
O custo de fabricação da 41a unidade será de 247 u.m. (unidades 
monetárias).
b. C(x) = 3x² + x + 500
Para x = 40, temos C(40) = 3.(40)2 + 40 + 500 = 5340
Para x = 41, temos C(41) = 3.(41)2 + 41 + 500 = 5584
A variação real de fabricação da 41ª unidade = 5584 – 5340 = 244 
u.m.
120
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Exercícios:
1. Numa certa fábrica, a produção diária de determinado produto é 
de Q(x) = 600. x½ unidades, onde x representa o capital investido 
pela firma, medido em unidades de $ 1.000,00. O capital atual-
mente investido é de $ 900.000,00. Use a análise marginal para 
avaliar o efeito na produção diária do produto, ao se investir um 
capital adicional de $ 1.000,00.
 Q(x) = 600.x½
 Q(x) = 600.
1
2 x
1 - ½ = 300x- ½ = 
300
√x
 Para x = 901, temos Q’(10000) = 
300
√901 ≅ 10
O efeito na produção diária do produto ao se investir um capital 
adicional de $ 1.000,00 será de 10.000 unidades.
 
2. Se c(x) é o custo total de x pesos para papéis e:
C(x) = 200 + 50
x + 
x2
5
.
a) custo marginal de fabricação do 11° peso;
b) custo real de fabricação do 11° peso.
a. c(x) = 200 + 50
x + 
x2
5
 c(x) = 200 + 50x–1 + x
2
5
 c(x) = – 50x–2 + 
2x
5 = – 
50
x2 + 
2x
5
Para x = 11, temos c(11) = – 
50
112 + 
2.11
5 = 3,99
O custo marginal do 11o peso será de 3,99 u.m.
 
121
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
b. c(x) = 200 + 50
x + 
x2
5
 Para x = 10, temos c(10) = 200 + 
50
10 + 
102
5 = 225
 Para x = 11, temos c(11) = 200 + 
50
11 + 
112
5 = 228,75
O custo real do 11o peso é de 228,75 – 225 = 3,75 u.m.
3. O ganho mensal proveniente da fabricação de determinado pro-
duto é de R(x) = 240x + 0,05x² reais, onde x representa o número 
de unidades produzidas no mês. Atualmente, o fabricante produz 
80 unidades por mês e pretende elevar este número, aumentando 
de uma unidade a produção mensal. 
a) Use a análise marginal do ganho adicional produzido pela pro-
dução e venda da 81ª unidade;
b) Use a função ganho para calcular o ganho adicional real decor-
rente da fabricação e venda da 81ª unidade.
a. R(x) = 240x + 0,05x²
R’(x) = 240 + 0,10x
Para x = 81, temos R’(81) = 240 + 0,10.81 = 248,10
O custo marginal da 81o unidade será de 248,10 u.m.
b. R(x) = 240x + 0,05x²
Para x = 80, temos R(80) = 240.80 + 0,05.802 = 19520
Para x = 81, temos R(81) = 240.81 + 0,05.812 = 19678,50
O ganho adicional real decorrente da fabricação e venda da 81a 
unidade será de 19678,50 -19520 = 158,20 u.m.
4. A produção diária de uma fábrica é de Q(x) = 960x1/3 unidades, 
onde x representa o tamanho da força de trabalho medido em 
operários-hora. Atualmente, emprega 512 operários-hora por dia. 
Use a análise marginal para avaliar o efeito que um operário-hora 
adicional acarreta na produção.
122
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
Q(x) = 960x1/3
Q'(x) = 960.
1
3 x
– 2
3 = 
320
3√5132 ≅ 5
Um operário-hora acarreta na produção aproximadamente 5 uni-
dades.
5. Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja 
Q(x) = – x³ + 60x² + 1200x, onde x representa o número de 
operários da fábrica. Atualmente, há 30 operários trabalhando. 
Usando o cálculo, avalie a variação que ocorrerá na produção 
semanal da fábrica caso se acrescente um operário à força de 
trabalho existente.
Q(x) = – x³ + 60x² + 1200x
Q’(x) = – 3x2 + 120x + 1200
Para x = 31, temos Q’(31) = – 3.312 + 120.31 + 1200 = 2037
Caso se acrescente um operário à força de trabalho existente, 
ocorrerá uma variação de 2037 unidades.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE PONTOS DE MÁXIMO E/OU 
MÍNIMO 
1. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado pro-
duto é dado pela função L(p) = 400(15 – p)(p – 2), onde p é o preço 
de venda de cada unidade. Calcule o preço ótimo de venda.
L(p) = 400(15 – p)(p – 2)
L(p) = 400(– p2 + 17p – 30)
O preço ótimo de venda ocorre no ponto máximo da função, ou 
seja, L’(p) = 0.
L’(p) = 400(– 2p + 17)
L’(p) = 0 400(– 2p + 17) = 0
 – 2p = – 17
 p = 8,50
O preço ótimo de venda é de 8,50 u.m.
123
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
2. Há algumas semanas o Departamento de Estradas vem registran-
do a velocidade do trânsito em certa saída de uma autoestrada. 
Os dados indicam que, em um dia normal, entre 13h e 18h, a 
velocidade do trânsito é de, aproximadamente, V(t) = t³ – 10,5t² + 
30t + 20 km/h, onde t representa o número de horas transcorridas 
após o meio-dia. 
a) a que horas (entre 13h e 18h) o trânsito flui mais rapidamente? 
b) mais vagarosamente?
V(t) = t³ – 10,5t² + 30t + 20
O trânsito flui mais rapidamente no ponto máximo da função, ou 
seja, V’(t) = 0.
V’(t) = 3t2 – 21t + 30
V’(t) = 0 → 3t2 – 21t + 30 = 0 
2 5
 máximo mínimo
V’(t) = 3t2 – 21t + 30 
V’’(t) = 6t – 21
Para t = 2, temos V’’(t) = 6.2 – 21 = – 9 < 0: Máximo.
Para t = 5, temos V’’(t) = 6.5 – 21 = 9 > 0: Mínimo.
a. O trânsito flui mais rapidamente às 14 horas.
b. O trânsito flui mais vagarosamente às 17 horas.
3. Certa associação nacional de consumidores foi fundada em 1980. 
Suponhamos que, x anos depois, o número de membros desta 
associação seja dado por f(x) = 100(2x³ – 45x² + 264x). 
a) Em que ano (entre 1980 e 1994) a associação teve mais mem-
bros? 
b) Quantos eram eles? 
t' = 2, ou seja, 14 horas
t'' = 5, ou seja, 17 horas
124
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
c) Em que ano (entre 1980 e 1994) a associação teve menos 
membros? 
d) Quantos eram eles?
f(x) = 100(2x³ – 45x² + 264x) 
A associação teve mais membros no ponto máximo da função, ou 
seja, f’(x) = 0.
f’(x) = 100(6x2 – 90x + 264)
f’(x) = 0 → 6x2 – 90x + 264 = 0 
4 11
máximo mínimo
f’(x) = 100(6x2 – 90x + 264)
f’’(x) = 100(12x – 90)
Para x = 4, temos f’’(x) = 100(12.4 – 90) = – 4200 < 0: Máximo.
Para x = 11, temos f’’(x) = 100(12.11 – 90) = 4200 > 0: Mínimo.
a. O ano em que teve maior número de sócios foi 1984.
b. Para x = 4, temos em f(x) = 100(2x³ – 45x² + 264x)
 f(4) = 100(2.4³ – 45.4² + 264.4) = 46400
 O maior número de sócios foi 46400.
c. Ano em que teve menos número de sócios foi 1991.
d. Para x = 11, temos em f(x) = 100(2x³ – 45x² + 264x)
 f(4) = 100(2.11³ – 45.11² + 264.11) = 12100
 O menor número de sócios foi 12100.
4. Calcula-se que o custo de construção de um edifício de n anda-
res seja de C(n) = 2n² + 500n + 600 milhões de dólares. Quantos 
andares deverão ter o edifício para minimizar o custo médio por 
andar? (Lembre-se que a resposta tem que ser um número inteiro)
x' = 4, ou seja, 1984
x'' = 11, ou seja, 1991
125
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
Unidade 3
Lembrando que Custo Médio = 
C(n)
n , temos CM(n) = 2n + 500 + 
600
n . Para determinar o número de andares para que o custo seja 
mínimo, vamos procurar o ponto mínimo da função: CM’(n) = 0
 CM(n) = 2n + 500 + 600 n–1
 CM’(n) = 2 – 600n– 2 → 2 – 
600
n2 = 0
 
600
n2 = 2
 2n2 = 600
 n ≅ 17
O edifício deverá ter 17 andares para que o custo médio por an-
dar seja mínimo.
126
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 3
Unidade 3
127
Limites e DerivadasLIMITES E DERIVADAS
Unidade 3
INTEGRAIS
INTEGRAL INDEFINIDA ..................................130
Tabela de integrais ou primitivas imediatas .................... 131
PROPRIEDADES DA INTEGRAÇÃO ................132
INTEGRAL DEFINIDA E CÁLCULO DE ÁREAS 134
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .........................138
BIBLIOGRAFIA ................................................141
129
Unidade 4
INTEGRAL INDEFINIDA 
Dada a função f(x) = 3x², ao derivarmos f(x), obtemos f’(x) = 6x.
Digamos que temos f’(x) = 6x, então, podemos afi rmar que f(x) = 
3x², pois 
d
dx (3x
2) = 6x. 
Chamamos esse processode antiderivação, ou seja, o processo 
que determina a função original (primitiva) a partir de sua derivada.
Vamos utilizar a notação F(x) como antiderivada de f(x).
F(x) = x3, G(x) = x3 + 2, H(x) = x3 – 4 são antiderivadas de f(x) = 3x2, 
pois a derivada de cada uma delas é 6x. Logo, todas as antideriva-
das de 6x são da forma x3 + C, onde C é uma constante real.
O processo de antiderivação nos dá uma família de funções que se 
diferenciam pela constante. Se F(x) é  uma antiderivada de  f(x), 
então  F(x) + C  também o é, onde  C  é uma constante de 
integração.
Notações
O processo de antiderivação é a operação inversa da derivação. 
É também chamada de integração e indicamos pelo símbolo ∫ f(x)
dx (integral indefi nida).
∫ f(x)dx = F(x) + C
 F(x): integral, ou antiderivada
 C: constante arbitrária
Lembrando ∫: símbolo de integral
 dx: notação de diferencial
 f(x) integrando ou função que está sendo integrada
Chamamos esse processo de antiderivação, ou seja, o processo 
que determina a função original (primitiva) a partir de sua derivada.
O processo de antiderivação nos dá uma família de funções que se 
diferenciam pela constante. Se F(x) é  uma antiderivada de  f(x), 
então  F(x) + C  também o é, onde  C  é uma constante de 
integração.
∫ f(x)dx = F(x) + C
130
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
Exemplos:
∫ 4 dx = 4x + C
∫ 2x dx = x2 + C
TABELA DE INTEGRAIS OU PRIMITIVAS IMEDIATAS 
Exemplos:
Calcule:
131
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4
Unidade 4
Para verifi carmos se o resultado [ F(x) ] de uma integração 
indefi nida está correto, basta derivá-lo e tentar obter o 
“Integrando” [ f(x) ], pois f(x) = F’(x).
PROPRIEDADES DA INTEGRAÇÃO 
Exemplos:
Para verifi carmos se o resultado [ F(x) ] de uma integração 
indefi nida está correto, basta derivá-lo e tentar obter o 
“Integrando” [ f(x) ], pois f(x) = F’(x).
132
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
Exercício:
Calcule as integrais abaixo:
133
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4
Unidade 4
INTEGRAL DEFINIDA E CÁLCULO DE ÁREAS 
Seja f(x) uma função contínua e não negativa defi nida num interva-
lo [a, b]. A integral defi nida representa a área da região delimitada 
pelo gráfi co de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b.
Grafi camente, temos:
134
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
Exemplos:
1. Calcule as integrais defi nidas:
 
2. Calcule a área sob a curva f(x) = 3x, no intervalo [0, 2].
3. 
4.
5.
135
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4
Unidade 4
6. Calcule a área sob a curva y = x2, no intervalo [3, 5].
Exercícios:
1. Calcule as integrais defi nidas:
136
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
2. Obtenha as áreas destacadas (hachuradas):
∫
2
0
 x dx = [ x22 ] 20 = 2
2
2 = 2 u.a. (unidade de área)
 ∫
2
-1
 x2 dx = [ x33 ]
2
-1
 = [ 233 ] – [(-1)
3
3 ] = 83 + 13 = 3 u.a.
 ∫
3
0
 (–x2 + 3x)dx = [– x33 + 3 x
2
2 ]
3
0
 = [– 333 +3 3
2
2 ] = – 273 + 272 = 
27
6 = 
9
2 u.a.
 ∫
2
0
 (8 – x3)dx = [8x – x44 ]
2
0
 = [8.2 – 244 ] = 16 – 4 = 12 u.a.
137
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4
Unidade 4
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. O lucro obtido com a venda de x unidades de um produto tem 
como modelo a equação 
dL
dx = 30 – 0,08x. Porém, em razão de 
problemas de estocagem, o lucro obtido com a venda da primeira 
unidade foi de R$ 60,00. Ache o lucro total obtido com a venda de 
300 unidades do produto.
Neste exercício, devemos lembrar que a integração é a opera-
ção inversa da derivação, portanto, se o problema nos dá a deri-
vada de uma função, para encontrarmos a função original basta 
integrar a derivada:
Note que a fórmula do lucro possui duas incógnitas: “x” e “C”. 
Devemos, portanto, descobrir o valor da constante “C”. Pelo pro-
blema, temos que o lucro obtido com a venda da primeira unida-
de foi de R$ 60,00, ou seja, quando x = 1 o lucro será L(1) = 60. 
Dessa forma, aplicando os dados na fórmula do lucro temos:
Aplicando agora o valor de “C” na fórmula do lucro obtemos:
L(x)=-0,04x² + 30x + 30,04 (Fórmula geral do lucro obtido com 
a venda de x unidades de produto).
Então, para calcularmos o lucro obtido com a venda de 300 
unidades basta considerar o valor de x = 300.
L(300) = – 0,04.(300)² + 30.(300) + 30,04 ⇒ L(300) = R$ 5.430,04.
138
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
2. Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção 
de x unidades é de $ 3x² - 60x + 400 / unidade. O custo de pro-
dução das duas primeiras unidades foi de $ 900,00. Qual será o 
custo total de produção das dez primeiras unidades?
 CT(x) = ∫(3x
2 – 60x + 400)dx = 3
x3
3 – 60
x2
2 + 400x = x
3 – 30x2 
+ 400x + C
 Para x = 2, temos CT = 900 → 2
3 – 30.22 + 400.2 + C = 900
 8 – 120 + 800 + C = 900
 C = 212
 CT(x) = x
3 – 30x2 + 400x + 212
 Para x = 10, temos CT(10) = 10
3 – 30.102 + 400.10 + 212 = 2212
 O custo total de produção das 10 primeiras unidades será de 
$ 2 212,00.
3. O lucro marginal de uma fábrica ao produzir x unidades é de 100 
– 2x reais/unidade. Se o lucro obtido com a produção de 10 uni-
dades é de $ 700,00, qual será o lucro máximo da fábrica?
 L(x) = ∫(100 – 20)dx = 100x – x2 + C
 Para x = 10, temos L = 700 → 100.10 – 102 + C = 700
 1000 – 100 + C = 700
 C = – 200 
 Portanto L(x) = – x2 + 100x – 200
 Lucro máximo: 100 – 2x = 0
 – 2x = – 100
 x = 50 
 L(50) = – 502 + 100.50 – 200 = – 2500 + 5000 – 200 = 2300
 O lucro máximo será de $ 2300,00.
4. Uma empresa determinou que a função custo marginal para a 
produção de um determinado artigo é dada por C'(x) = 125 + 
10x + 
1
6 x
2, onde C(x) é o custo total de produção de x unidades 
do produto. Se o custo fixo é $ 250, qual o custo de produção 
de 15 unidades?
139
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4
Unidade 4
 C(x) = ∫(125 + 10x + 
24
4 x
-2)dx = 125x + 10
x2
2 + 
1
6 .
x3
3 = 
125x + 5x2 + 
x3
18 + C
 Se C(x) = Cv + Cf, observando C(x), temos que o termo inde-
pendente de x é C, ou seja, o custo fixo é C. Portanto C = 250.
 Para x = 15, temos C(15) = 125.15 + 5(15)2 + 
153
18 + 250 = 3437,5
 O custo de produção de 15 unidades é $ 3 437,50.
5. A função custo marginal para um produto é dada por C’(x) = 6x 
– 17. Se o custo de produção de 2 unidades é R$ 25,00 ache a 
função custo total.
 C(x) = ∫(6x – 17)dx = 6
x2
2 – 17x = 3x
2 – 17x + C
 Para x = 2, temos (x) = 25 → 3.(2)2 – 17.2 + C = 25
 12 – 34 + C = 25
 C = 47
 A função custo total é dada por C(x) = 3x2 – 17x + 3.
140
MatemáticaCÁLCULO
Unidade 4
Unidade 4
BIBLIOGRAFIA
MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W.O. Cálculo: funções de 
uma e várias variáveis. São Paulo: Saravia, 2005
TAN, S. T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001
GUIDORIZZI, H. L. Matemática para Administração. Rio de Janeiro: 
LTC, 2002
HOFFMANN, L. D. & BRADLEY, G. L. Cálculo: um Curso Moderno e 
Suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2001
OLIVEIRA Jr., Nivaldo Cândido de. Matemática aplicada. 1ª Edição. 
São Paulo: Atlas, 1990
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática aplicada à Economia e 
Administração e Ciências Contábeis. 5ª Edição. São Paulo: Atlas, 
1999
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos da Matemática Elementar. São 
Paulo: Atual, 2003.
MEDEIROS et al. Matemática Aplicada aos cursos de Administração, 
Economia e Ciências Contábeis. v. 1. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
MARTINI, Elaine. Notas de Aula da Disciplina Matemática. São Paulo: 
USCS.
141
Integrais INTEGRAIS
Unidade 4