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Aula 02: Vetores Parte II Professor: Vinícius Gomes de Paula Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Instituto de Física – UFRRJ Disciplina: IC151 - FÍSICA BÁSICA I Email: vgomesp@ufrrj.br 2 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - |⃗a|=10m |⃗b|=10m 3 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores a⃗ θ1 y |⃗a|=10m |⃗b|=10m 4 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores a⃗ θ1 ax î a y ĵ y |⃗a|=10m |⃗b|=10m 5 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores a⃗ θ1 x y a⃗ θ1 ax î a y ĵ ax î a y ĵ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 6 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores a⃗ θ1 x y a⃗ θ1 cosθ1= ax |a⃗| ax=|a⃗|cosθ1 ax=10× √3 2 =8,66m ax î a y ĵ ax î a y ĵ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 7 ax=10× 1 2 =5,0m Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores a⃗ θ1 x y a⃗ θ1 cosθ1= ax |a⃗| ax=|a⃗|cosθ1 ax=10× √3 2 =8,66m sin θ1= a y |⃗a| a y=|a⃗|sin θ1 ax î a y ĵ ax î a y ĵ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 8 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m 9 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m 10 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m 11 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=? 12 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m Precisamos achar quanto vale o ângulo θ3 13 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=? Precisamos achar quanto vale o ângulo θ3 θ1+θ2 14 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=? Precisamos achar quanto vale o ângulo θ3 θ1+θ2 θ1+θ2=30 °+105 °=135 ° 15 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=? Precisamos achar quanto vale o ângulo θ3 θ1+θ2 θ1+θ2=30 °+105 °=135 ° θ1+θ2+θ3=180° 16 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - θ3=? bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=? Precisamos achar quanto vale o ângulo θ3 θ1+θ2 θ3=180°−135 ° θ3=45 ° θ1+θ2=30 °+105 °=135 ° θ1+θ2+θ3=180° 17 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores b⃗ θ1 bx î b y ĵ x y θ2 θ1+θ2=30 °+105 °=135 ° |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=45 ° 18 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - cosθ3= bx |⃗b| bx=|b⃗|cosθ3 bx=10×(−0,707) bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores bx=−0,707m bx î b⃗ θ1 b y ĵ x y θ2 θ1+θ2=30 °+105 °=135 ° |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=45 ° 19 b y=10×0,707 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - cosθ3= bx |⃗b| bx=|b⃗|cosθ3 bx=10×(−0,707) sin θ3= b y |b⃗| b y=|⃗b|sin θ3 bx b y b⃗ 1° passo: decompor os vetores bx=−7,07m b y=7,07m bx î b⃗ θ1 b y ĵ x y θ2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m θ3=45 ° 20 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: |⃗a|=10m |⃗b|=10m 21 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 22 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 23 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes |⃗a|=10m |⃗b|=10m 24 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes Portanto, o vetor é escrito como: r⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 25 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes r⃗=(ax+bx) î+(ay+b y) ĵ Portanto, o vetor é escrito como: r⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 26 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes r⃗=(ax+bx) î+(ay+b y) ĵ Portanto, o vetor é escrito como: r⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 27 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes r⃗=(ax+bx) î+(ay+b y) ĵ r⃗=(8,66m−7,07m ) î+(5,0+7,07) ĵ r⃗=(1,59m) î+(12,1m ) ĵ Portanto, o vetor é escrito como: r⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m 28 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - 2° passo: soma algébrica da componentes, eixo a eixo: R.: r⃗= a⃗+ b⃗ r⃗=r x î+r y ĵ é a soma vetorial de e r⃗ a⃗ b⃗ e em termos das suas componentes r⃗ a⃗=ax î+a y ĵ b⃗=bx î+by ĵ a⃗ b⃗ em termos das suas componentes r⃗=(ax+bx) î+(ay+b y) ĵ r⃗=(8,66m−7,07m ) î+(5,0+7,07) ĵ r⃗=(1,59m) î+(12,1m ) ĵ Portanto, o vetor é escrito como: r⃗ |⃗a|=10m |⃗b|=10m r⃗ r x r y θ 29 Exercício: soma algébrica de vetores 5 - R.: 3° passo: cálculo do módulo e da orientação |⃗r|2=(1,59m)2+(12,1m )2 |⃗r|=√2,53m+146,4 m=12,2m tanθ= r y r y tanθ= 12,1 1,59 =7,61 θ3=arc tan (7,61) θ3=82,5 ° |⃗r|2=(r x ) 2 +(r y) 2 |⃗a|=10m |⃗b|=10m r⃗ r x r y θ 30 ✔1 – Produto escalar ✔2 – Propriedades ✔3 – Representação em vetores unitários Seções de estudo 31 Produto escalar Considere dois vetores em duas dimensões, e , fazendo um ângulo entre si:ϕa⃗ b⃗ a⃗ a⃗ ϕ b⃗ 32 Produto escalar Considere dois vetores em duas dimensões, e , fazendo um ângulo entre si:ϕ O produto escalar entre e é dado pela seguinte expressão:a⃗ b⃗ a⃗⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos ϕ a⃗ a⃗ b⃗ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗ a⃗ ϕ b⃗ ou 33 Produto escalar Considere dois vetores em duas dimensões, e , fazendo um ângulo entre si:ϕ O produto escalar entre e é dado pela seguinte expressão:a⃗ b⃗ a⃗⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos ϕ Ou seja, o produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) dado pelo produto entre o modulo de , módulo de e o cosseno do ângulo entre ambos. a⃗ a⃗ b⃗ ϕ a⃗ b⃗ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗ a⃗ ϕ b⃗ ou 34 Produto escalar Propriedades do produto escalar : (a) Propriedade comutativa: a ordem em que o produto escalar é feito não altera o resultado. a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a 35 Produto escalar Propriedades do produto escalar : (a) Propriedade comutativa: a ordem em que o produto escalar é feito não altera o resultado. (b) Elemento neutro: se um dos vetores é nulo, (têm módulo 0), o resultado é zero. a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗aa⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a=0 Se a =0 ou b = 0, então 36 Produto escalar Propriedades do produto escalar : (a) Propriedade comutativa: a ordem em que o produto escalar é feito não altera o resultado. (b) Elemento neutro: se um dos vetores é nulo, (têm módulo 0), o resultado é zero. a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a=0 Se a =0 ou b = 0, então (c) O produto escalar entre vetores iguais dá o quadrado do seu módulo. a⃗⋅⃗a=|⃗a|2 37 Produto escalar Propriedades do produto escalar : (a) Propriedade comutativa: a ordem em que o produto escalar é feito não altera o resultado. (b) Elemento neutro: se um dos vetores é nulo, (têm módulo 0), o resultado é zero. a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a=0 Se a =0 ou b = 0, então (c) O produto escalar entre vetores iguais dá o quadrado do seu módulo. a⃗⋅⃗a=|⃗a|2 (d) Se os vetores estão multiplicado por números reais (m e n), estes não interferem na operação do produto escalar, apenas multiplica-se o resultado final. m a⃗⋅n b⃗=(m .n) a⃗⋅⃗b 38 Produto escalar Propriedades do produto escalar : (a) Propriedade comutativa: a ordem em que o produto escalar é feito não altera o resultado. (b) Elemento neutro: se um dos vetores é nulo, (têm módulo 0), o resultado é zero. a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a a⃗⋅⃗b=b⃗⋅⃗a=0 Se a =0 ou b = 0, então (c) O produto escalar entre vetores iguais dá o quadrado do seu módulo. a⃗⋅⃗a=|⃗a|2 (d) Se cada um dos vetores está multiplicado por um número real, estes não interferem na operação do produto escalar, apenas multiplica-se o resultado final. m a⃗⋅n b⃗=(m .n) b⃗⋅⃗a (e) Propriedade distributiva: produto escalar entre um e um outro vetor que é uma soma de vetores multiplica-se o primeiro vetor por ambos, somando-se os resultados no final. (a⃗+b⃗ )⋅⃗c= a⃗⋅⃗c +b⃗⋅⃗c 39 Produto escalar Também podemos usar representação de vetores unitários pra fazer o produto escalar. a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ definição de produto escalar x y z î ĵ k̂ 40 Produto escalar Também podemos usar representação de vetores unitários pra fazer o produto escalar. î⋅ĵ=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ definição de produto escalar é nulo se as componentes são perpendiculares x y z î ĵ k̂ 41 Produto escalar Também podemos usar representação de vetores unitários pra fazer o produto escalar. î⋅̂i=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ definição de produto escalar é igual a 1 se as componentes são paralelas x y z î ĵ k̂ î⋅ĵ=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 é nulo se as componentes são perpendiculares 42 Produto escalar Também podemos usar representação de vetores unitários pra fazer o produto escalar. Com esses resultados em mente, podemos agora fazer o produto escalar entre vetores usando a representação de vetores unitários. a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ definição de produto escalar x y z î ĵ k̂ î⋅ĵ=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 0 =0 é nulo se as componentes são perpendiculares î⋅̂i=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 1 =1 é igual a 1 se as componentes são paralelas 43 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ 44 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) 45 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b Usando a propriedade distributiva, temos: ax bx î⋅î+ax by î⋅ ĵ+ax bz î⋅k̂ a ybx ĵ⋅î+ay b y ĵ⋅ĵ+ay b z ĵ⋅k̂ a zbx k̂⋅î+az b y k̂⋅ ĵ+az bz k̂⋅k̂ = a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) ++ + 46 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b Usando a propriedade distributiva, temos: ax bx î⋅î+ax by î⋅ ĵ+ax bz î⋅k̂ a ybx ĵ⋅î+ay b y ĵ⋅ĵ+ay b z ĵ⋅k̂ a zbx k̂⋅î+az b y k̂⋅ ĵ+az bz k̂⋅k̂ = î⋅ĵ=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅̂i=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos 90°⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 x y z î ĵ k̂ + + a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) 47 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b Usando a propriedade distributiva, temos: ax bx î⋅î⏟ 1 +ax b y î⋅ĵ+axb z î⋅k̂ a ybx ĵ⋅î+ay b y ĵ⋅ĵ⏟ 1 +a yb z ĵ⋅k̂ a zbx k̂⋅î+az b y k̂⋅ ĵ+az bz k̂⋅k̂⏟ 1 = î⋅ĵ=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅̂i=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos 90°⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 x y z î ĵ k̂ + + a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) 48 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b Usando a propriedade distributiva, temos: ax bx a yb y a zb z = = = = î⋅ĵ=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅̂i=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos 90°⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 x y z î ĵ k̂ ax bx î⋅î⏟ 1 +ax b y î⋅ĵ+axb z î⋅k̂ a ybx ĵ⋅î+ay b y ĵ⋅ĵ⏟ 1 +a yb z ĵ⋅k̂ a zbx k̂⋅î+az b y k̂⋅ ĵ+az bz k̂⋅k̂⏟ 1 a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) 49 Exercício resolvido 1 Calcule o produto escalar entre os vetores e .a⃗=ax î+a y ĵ+az k̂ b⃗=bx î+by ĵ+b z k̂ a⃗⋅⃗b Usando a propriedade distributiva, temos: ax bx a yb y a zb z = = = = Finalmente, temos que: a⃗⋅⃗b=ax bx+ay b y+a z b z î⋅ĵ=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 ĵ⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅k̂=1×1×cos0 °⏞ 0 =0 î⋅̂i=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 ĵ⋅ ĵ=1×1×cos 90°⏞ 1 =1 k̂⋅k̂=1×1×cos90 °⏞ 1 =1 x y z î ĵ k̂ ax bx î⋅î⏟ 1 +ax b y î⋅ĵ+axb z î⋅k̂ a ybx ĵ⋅î+ay b y ĵ⋅ĵ⏟ 1 +a yb z ĵ⋅k̂ a zbx k̂⋅î+az b y k̂⋅ ĵ+az bz k̂⋅k̂⏟ 1 a⃗⋅⃗b=(ax î+a y ĵ+a z k̂ )⋅(bx î+b y ĵ+b z k̂ ) 50 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 a⃗=3,0 î−4,0 ĵ b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 51 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ Pela definição de produto escalar, temos: b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 52 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 53 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î+[3,0×3,0] î⋅k̂+(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i+(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂ b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 54 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ )Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î+[3,0×3,0] î⋅k̂+(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i+(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂ x y z î ĵ k̂ î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 55 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î⏟ 1 +[3,0×3,0] î⋅k̂⏟ 0 +(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i⏟ 0 +(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂⏟ 0 x y z î ĵ k̂ î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 56 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=−6,0 x y z î ĵ k̂ a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î⏟ 1 +[3,0×3,0] î⋅k̂⏟ 0 +(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i⏟ 0 +(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂⏟ 0 î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 57 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ Agora, calculamos os módulos de e , que aparecem no lado esquerdo da definição: a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=−6,0 a⃗ b⃗ x y z î ĵ k̂ a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î⏟ 1 +[3,0×3,0] î⋅k̂⏟ 0 +(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i⏟ 0 +(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂⏟ 0 î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 58 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ Agora, calculamos os módulos de e , que aparecem no lado esquerdo da definição: a=√(3,0)2+(−4,0)2=√9,0+16,0 a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=−6,0 a⃗ b⃗ a=√25,0=5 x y z î ĵ k̂ a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î⏟ 1 +[3,0×3,0] î⋅k̂⏟ 0 +(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i⏟ 0 +(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂⏟ 0 a=√ax 2 +a y 2 î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 59 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e Exercício resolvido 2 Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: a⃗=3,0 î−4,0 ĵ a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ Agora, calculamos os módulos de e , que aparecem no lado esquerdo da definição: a=√(3,0)2+(−4,0)2=√9,0+16,0 a⃗⋅⃗b=(3,0 î−4,0 ĵ )⋅(−2,0 î+3,0 k̂ ) Pela definição de produto escalar, temos: a⃗⋅⃗b=−6,0 a⃗ b⃗ a=√25,0=5 b=√(−2,0)2+(3,02)=√4,0+9,0 b=√13,0=3,61 x y z î ĵ k̂ a⃗⋅⃗b=[3,0×(−2.0)] î⋅î⏟ 1 +[3,0×3,0] î⋅k̂⏟ 0 +(−4,0)×(−2,0) ĵ⋅̂i⏟ 0 +(−4,0)×(3,0) ĵ⋅k̂⏟ 0 a=√ax 2 +a y 2 b=√bx 2 +by 2 î⋅̂i= ĵ⋅ĵ=k̂⋅k̂=1 î⋅ĵ= ĵ⋅k̂= k̂⋅î=0 b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 60 Use a definição de produto escalar para encontrar o ângulo entre os seguintes vetores: e . Exercício resolvido 2 a⃗⋅⃗b=ab cos ϕ Substituindo na definição de produto escalar, temos: −6,0=5,0×3,61×cosϕ cosϕ= −6,0 18,05 =−0,33 ϕ=arc cos(−0,33) ϕ≈110° a⃗=3,0 î−4,0 ĵ b⃗=−2,0 î+3,0 k̂ 61 Alguns valores tabelados... Fonte: Google images Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33 Slide 34 Slide 35 Slide 36 Slide 37 Slide 38 Slide 39 Slide 40 Slide 41 Slide 42 Slide 43 Slide 44 Slide 45 Slide 46 Slide 47 Slide 48 Slide 49 Slide 50 Slide 51 Slide 52 Slide 53 Slide 54 Slide 55 Slide 56 Slide 57 Slide 58 Slide 59 Slide 60 Slide 61
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a) −1
b) 0
c) 3
d) 5
e) 15