Apostila Teoria II - CALDERON

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EDSON TEJERINA CALDERÓN 
MARCELO DE REZENDE CARVALHO 
TEORIA DAS 
ESTRUTURAS II 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
PUC Pontifícia Universidade Católica de Goiás 
Goiânia 
2010 
 
EDSON TEJERINA CALDERÓN 
MARCELO DE REZENDE CARVALHO 
TEORIA DAS 
ESTRUTURAS II 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
118 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 Prefácio ................................................................................................................................iii 
1. Deslocabilidade ...................................................................................................................1 
1.1 Deslocabilidade Interna .............................................................................................1 
1.2 Deslocabilidade Externa ............................................................................................2 
1.3 Estrutura Indeslocável ...............................................................................................4 
1.4 Estrutura Deslocável ..................................................................................................5 
1.5 Estrutura Isogeométrica ............................................................................................5 
1.6 Estrutura Hipergeométrica .......................................................................................5 
1.7 Grau de Hipergeometria ...........................................................................................6 
1.8 Grau de Hipergeometria Reduzido .........................................................................6 
 
2. Fatores de 2ª Espécie ..........................................................................................................9 
2.1 Fatores de Forma .........................................................................................................10 
2.1.1 Rotação .............................................................................................................10 
2.1.2 Translação ........................................................................................................12 
2.2 Fatores de Carga ..........................................................................................................13 
2.3 Fatores de 2ª Espécie Derivados ................................................................................15 
2.4 Fatores de Forma Derivados ......................................................................................16 
2.4.1 Rotação .............................................................................................................16 
2.4.2 Translação ........................................................................................................17 
2.5 Fatores de Carga Derivados .......................................................................................18 
 
3. Método dos Deslocamentos ............................................................................................21 
3.1 Formulação do Método ...............................................................................................21 
3.2 Convenção de sinais ....................................................................................................26 
3.3 Roteiro de Cálculo .......................................................................................................26 
3.4 Aplicação às Estruturas Indeslocáveis .....................................................................27 
3.4.1 Carregamento Externo ...................................................................................27 
3.4.2 Apoio Elástico Angular .................................................................................44 
3.4.3 Recalques nos Apoios ....................................................................................49 
3.4.4 Variação de Temperatura ..............................................................................56 
3.5 Aplicação às Estruturas Deslocáveis ........................................................................68 
3.5.1 Carregamento Externo ...................................................................................68 
3.5.2 Variação de Temperatura ..............................................................................73 
3.5.3 Recalques nos Apoios ....................................................................................80 
3.5.4 Apoio Elástico Linear .....................................................................................84 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
 
4. Estruturas com Barras de Inércia Variável ...................................................................89 
4.1 Inércia da Barra Variando “em saltos” .....................................................................89 
4.2 Inércia da Barra Variando “em mísula” ...................................................................89 
4.2.1 Parâmetros de Entrada ..................................................................................90 
4.2.2 Fatores de Forma ............................................................................................90 
4.2.3 Fatores de Carga .............................................................................................94 
4.3 Aplicação ......................................................................................................................96 
 
5. Processo de Cross ............................................................................................................103 
5.1 Introdução ..................................................................................................................103 
5.2 Equações Fundamentais ...........................................................................................103 
5.3 Estruturas Indeslocáveis ...........................................................................................105 
 
Tabelas .....................................................................................................................................117 
Bibliografia .............................................................................................................................119 
 
 
 
 
 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
1 
 
DESLOCABILIDADE 
 
Na maioria dos casos as estruturas são resolvidas considerando-se apenas os 
deslocamentos provenientes da flexão. Nestas estruturas, as barras se curvam à flexão 
sem sofrer variações nos seus comprimentos. 
 
 barra rígida 
 
 
 
 
 
 nós rígidos 
 
 
1.1 DESLOCABILIDADE INTERNA 
 
É dada pelo número de nós rígidos internos da estrutura. 
 
di = N 
N – número de nós rígidos internos da estrutura. 
Obs: não são incluídas as rótulas. 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
2 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
di = 2 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 di = 2 
 
 
 
 
1.2 DESLOCABILIDADE EXTERNA 
É dada pelo número de apoios móveis ideais necessários para impedir os 
deslocamentos lineares (translações) dos nós rígidos da estrutura. 
 
de = 3B – Am – 2Af – 2(Br – 1)R 
B – número de nós rígidos internos da estrutura. 
Am – número de apoios móveis. 
Af – número de apoios fixos. 
Br – número de barras ligadas a uma rótula. 
R – número de rótulas ligando Br barras. 
 
Obs: Para aplicar a fórmula anterior é necessário introduzir, previamente, rótulas em 
todos os nós da estrutura. 
 
Exemplos:1) 
 
 
 
 
 
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3 Cap. 1 - Deslocabilidade 
 apoio móvel fictício 
 
 
 B = 2 
 di = 1 Am = 1 
 Af = 1 
 Br = 2 
 R = 1 
 
de = 3· 2 – 1 – 2· 1 – 2· (2 – 1)· 1 
de = 1 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
di = 3 
 
B = 5 
 Am = 1 
 Af = 2 
 Br = 2 Br = 3 
 R = 2 R = 1 
 
de = 3· 5 – 1 – 2· 2 – 2· (2 – 1)· 2 – 2· (3 – 1)· 1 
de = 2 
 
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4 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
3) 
 
 
 
 
 
 
 Estrutura original 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução de rótulas em todos os nós 
da estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Travando deslocabilidades 
 
 
 
 B = 15 
 Am = 0 
 di = 9 Af = 3 
 Br = 2 Br = 3 Br = 4 
 R = 2 R = 5 R = 2 
 
de = 3· 15 – 0 – 2· 3 – 2· (2 – 1)· 2 – 2· (3 – 1)· 5 – 2 – 2· (4 – 1)· 2 
de = 3 
 
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5 Cap. 1 - Deslocabilidade 
1.3 ESTRUTURA INDESLOCÁVEL 
É quando nenhum dos nós da estrutura apresenta deslocamentos lineares 
(translações). 
de = 0 
Exemplo: 
 
 
 
 
 di = 1 
 de = 0 
 
 
 
1.4 ESTRUTURA DESLOCÁVEL 
É quando pelo menos um dos nós da estrutura apresenta deslocamento linear. 
de ≠ 0 
Exemplo: 
 
 
 
 
 di = 1 
 de = 1 
 
 
 
1.5 ESTRUTURA ISOGEOMÉTRICA 
É quando podem ser determinados, geometricamente, os deslocamentos dos nós da 
estrutura. 
 
Exemplo: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
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6 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
1.6 ESTRUTURA HIPERGEOMÉTRICA 
É quando não podem ser determinados, geometricamente, os deslocamentos dos 
nós da estrutura. 
 
Exemplo: 
 
1) 
 
 
 
 
1.7 GRAU DE HIPERGEOMETRIA 
É dado pelo número de deslocamentos dos nós da estrutura. 
 
d = di + de + ar 
 
ar – número de apoios rotulados (articulados) externos. 
 , Apoios rotulados 
 
Exemplo: 
 
1) 
 
 
 
 di = 1 
 de = 0 d = 3 
 ar = 2 
 
 
1.8 GRAU DE HIPERGEOMETRIA REDUZIDO 
 
d = di + de 
Exemplo: 
 
1) 
 
 di = 1 
 de = 0 dr = 1 
 ar = 2 
 
 
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7 Cap. 1 - Deslocabilidade 
2) 
 
 
 di = 2 
 de = 2 d = 5 
 ar = 1 dr = 4 
 
 
 
3) 
 
 
 di = 1 
 de = 1 d = 3 
 ar = 1 dr = 2 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 A B C D 
 d = 3 
 
 
 di = 1 
 de = 1 d = 3 
 ar = 1 dr = 2 
 
 
 
 
dr = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
FATORES DE 2ª ESPÉCIE 
 
 
 
 
 B C 
 
 
 A B’ 
 
 A’ 
 
 di = 3 
 de = 2 d = 5 
 ar = 0 dr = 5 
 
 
 
 ρ 
 
 
 φ B’ 
 φ 
 
 δ 
 ρ 
 
 
 ρ = deslocamento ortogonal recíproco do nó B em relação ao nó A 
 
 
 
 
 
 
 A’ 
 φ 
 
 φ 
 
 B’ 
 
 
B 
A’ 
ρ 
A 
C’ 
 
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10 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
 φ 
 
 
 ROTAÇÕES 
 
 φ 
 
 
 
 
 
 
 
 ρ TRANSLAÇÃO 
 
 
 
 
 
ROTAÇÕES FATORES DE FORMA 
TRANSLAÇÃO DE 2ª ESPÉCIE 
 
 
 
 
 
 FATORES DE CARGA 
 DE 2ª ESPÉCIE 
 
 
 
2.1 FATORES DE FORMA 
2.1.1 Rotação 
 
 
1 2 
 φ 
 
 L 
 
EI = const. 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 X2 
 
 X3 
 
 
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11 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 
 Sendo: 
 
 
L = IcI ∙ L 
 
 
 1 M1 M2 
 
 
 
 
 
 1 
 Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = −EIc(φ ∙ 1) = −EIcφ EIcδ = 0 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = EIcφ (x2) − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = 0 
 
 23 − 16 ∙ L X = 2EIcφ → X = 4EIcL′ φ 
 − 16 + 23 ∙ L X = EIcφ → X = 2EIcL′ φ 
 
 
 φ 
 M 
 
 φ 
Para φ = 1 
X → a = 4EIcL′ X → b = 2EIcL′ 
 
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12 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
2.1.2 Translação 
 
 
1 2 
 
 ρ ρ 
 L 
 
EI = const. 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 X2 
 
 X3 
 
 
 1 M1 M2 
 
 
 
 
 
 1/L 1/L 1/L 1/L 
 
 1 Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = EIcL ρ − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = EIcL ρ 
 
 23 − 16 ∙ L X = 3EIcL ρ → X = 6EIcLL′ ρ − 16 + 23 ∙ L X = 3EIcL ρ → X = 6EIcLL′ ρ 
 
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13 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 
 ρ 
 M 
 
 
 ρ 
Para ρ = 1 
X → c = 6EIcLL′ X → c = 6EIcLL′ 
 
2.2 FATORES DE CARGA 
 
1 q 2 
 
 
 
 
 L 
 
EI = const. 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 X2 
 
 X3 
 
 
 1 M1 M2 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
M0 
 
 ² 
 
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14 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = − 13 L′ ∙ 1 ∙ ql²8 EIcδ = 13 L′ ∙ 1 ∙ ql²8 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = ql24 L′ (x2) 
− 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = − ql24 L′ 
 
 23 − 16 ∙ L X = ql24 L′ → X = ql12 
 − 16 + 23 ∙ L X = − ql24 L′ → X = − ql12 
 
 
 
M 
 
 
 
 
 
 
 X → m = ql12 
X → m = − ql12 
 
 
 
Fatores de carga para outros tipos de carregamento são encontrados na 
TABELA 1. 
 
 
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15 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 
2.3 FATORES DE 2ª ESPÉCIE DERIVADOS 
 
 
 
 B C D 
 D’ 
 B’ C’ 
 
 
 di = 2 
 de = 2 d = 6 
 A A’ ar = 2 dr = 4B’ 
 A 
 
 δ 
 
 
 
 
 ρ = deslocamento ortogonal recíproco do nó B em relação ao nó A 
 
 
 
 A’ 
 
 
 
 
 B’ 
 
 
 
 
 
 
 
A’ 
B 
ρ 
φ 
ρ 
φ 
 
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16 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
 ROTAÇÃO 
 
 
 FATORES DE 
 + FORMA 
 DERIVADOS 
 
 
 
 
 TRANSLAÇÃO 
 
 
 + 
 
 
 FATORES DE CARGA 
 DERIVADOS 
 
 
 
 
2.4 FATORES DE FORMA DERIVADOS 
2.4.1 Rotação 
 
 
1 2 
 
 
 L 
 
EI = const. 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 
 
 X2 
 
 
M1 
 1 
 
 
 
 
 
ρ 
φ 
φ 
 
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17 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 
Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = −EIc(1 ∙ φ ) δ X = −δ 13 ∙ L X = EIcφ 
 X = 3EIcL′ φ 
 φ 
 M 
 
 
Para φ = 1 
X → a′ = 3EIcL′ 
 
 
 
2.4.2 Translação 
 
 
1 2 
 
 
 L 
 
EI = const. 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 
 
 X2 
 
 
 1 M1 
 
 
 
 
 
 1/L 1/L 
ρ 
 
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18 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ δ X = −δ 13 ∙ L X = EIc ρL X = 3EIcLL′ ρ 
 ρ 
 M 
 
 
 
Para ρ = 1 
X → c′ = 3EIcLL′ 
 
2.5 FATORES DE CARGA DERIVADOS 
 
1 q 2 
 
 
 
 
 L 
 
EI = const. 
 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 
 
 X2 
 
 
 
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19 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 
 
 
M1 
 1 
 
 
 
 
 
 
 M0 
 
 ² 
 
 Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L 
EIcδ = − 13 ∙ L ∙ 1 ∙ ql²8 δ X = −δ 13 ∙ L X = ql24 L′ 
 X = ql²8 
 ² 
 ² M 
 
 
 
 
 X → m′ = ql²8 
 
 
Fatores de carga derivados para outros tipos de carregamento são encontrados 
na TABELA 2. 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
3.1 FORMULAÇÃO DO MÉTODO 
 
 
 
 C D 
 
di = 2 
de = 1 d = 4 
ar = 1 dr = 3 
 
 A B 
 
 
 X1 X2 
 
 X3 
 
 
 SISTEMA PRINCIPAL 
 
 
 
 
 
 
 
 C D 
 
 
 = 
 
 
 A B 
 
 
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22 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 β11 β21 
 X1 = 1 
 β31 
+ X1· 
 
Rotação 
 
 
 
 
 β12 β22 
 
 X2 = 1 β32 
 
+ X2· 
 
Rotação 
 
 
 
 
 X3 = 1 X3 = 1 
 β13 β23 
 
 
 β33 
+ X3· 
 
Translação 
 
 
 
 
 β10 β20 
 
 
 β30 
 
+ 
 
Carga Externa 
 
 
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23 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
β i j Procedência 
 Direção 
 
 
 a b 
 
 
 
 
 a v v 
 
 
 
 b 
 h 
 
 β = a + a 
 β = b β = h 
 
 b a 
 
 
 
 h 
 v v a′ 
 
 
 
 
 h 
 
 β = b β = a + a′ β = h 
 
h 
 
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24 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
 
 
 c c′DB 
 
 
 
 c 
 
 h h 
 
 
 β = c β = c′ β = h + h 
 
 
 
 
 m m 
 
 h h 
 
 m v v m′ 
 
 
 
 m 
 h h 
 
 
 β = m − m β = −m − m′ β = −h − h 
 
 
 
 
 
h h 
 
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25 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
Por analogia ao Teorema de Maxwell: 
 δ = δ β = β b = b 2EIcL′CD = 2EIcL′CD β = β h = c c = 6EIcL′ ∙ L ∑M = 0 → h ∙ L − a − b = 0 hCA1 = aCA + bACLCA 
 hCA1 = 4EIcL′CA + 2EIcL′CALCA h = 6EIcL′ ∙ L ⟷ c = 6EIcL′ ∙ L 
 
Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos obtém-se o sistema de 
equações de compatibilidade estática: β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 
 
 Escrevendo na forma matricial, tem-se: β β ββ β ββ β β XXX = − βββ 
 
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26 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
[β] – matriz de rigidez X – vetor das incógnitas (deslocamentos) β0 – vetor dos termos de cargas (ações) 
[δ] – matriz de flexibilidade X – vetor das incógnitas (esforços) δ0 – vetor dos termos de cargas (ações) 
 
 Método dos deslocamentos Método dos esforços 
 [β] X = − β0 [δ] X = − δ0 
 
 
 
 
 
 Para calcular os esforços nos nós da estrutura, aplicamos o Princípio da 
Superposição de Efeitos: 
E = E + E ∙ X 
β = esforço na direção do deslocamento Xi devido ao deslocamento Xj = 1 β 0 = esforço na direção do deslocamento Xi devido ao carregamento 
 
No caso de outro tipo de ações como variação de temperatura, recalques nos 
apoios e modificações impostas, deve-se substituir β 0 por β , β e β , 
respectivamente. 
 
3.2 CONVENÇÃO DE SINAIS 
Será adotado o sentido anti-horário como positivo, para os momentos e as rotações. 
 
+ 
 
3.3 ROTEIRO DE CÁLCULO 
1) Determinar o grau de hipergeometria 
2) Adotar um sistema principal 
3) Calcular os esforçosdevido aos deslocamentos unitários (a, b, a’, c, c’) e ao 
carregamento (m, m’) 
4) Calcular os β e β 0 (β , β , β ) 
5) Montar e resolver do sistema de equações (X1, X2, X3...) 
6) Calcular os esforços finais nos nós da estrutura e traçar os diagramas dos 
esforços solicitantes 
 
 
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27 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
2m 6m 2m 4m 3m 2m
3.4 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 
3.4.1 Carregamento Externo 
Exemplo 3.1 
 1,5 tf/m 3tf 
 
 10 tf· m 
 
 A B 1,5I C 2I D I E 
 
 
 
 3tf 1,5 tf/m 3tf 
 
 3tf· m 10 tf· m 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 4 
ar = 2 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 
 
X1 X2 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I → L′ = 4m; L′ = 3m; L′ = 5m 
L = IcI ∙ L 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 a′ a b E1 
 
 
 B C D E 
 
 
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28 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
a = 4EIc3 = 43 ∙ EIc 
 b = 2EIc3 = 23 ∙ EIc 
 a′ = 3EIc4 = 34 ∙ EIc 
 
 3/4 4/3 2/3 
 
 V = V = V = V = 0 
 M = 0 → V ∙ 6 − 34 EIc = 0 ∴ V = 18 ∙ EIc (↑) 
 M = 0 → V ∙ 5 = 0 ∴ V = 0 
 M = 0 → V ∙ 6 + 43 + 23 EIc = 0 ∴ V = − 13 ∙ EIc (↓) 
 ∑F = 0 → V + 18 − 13 EIc = 0 ∴ V = 524 ∙ EIc (↑) 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 b a a′ E2 
 
 
 B C D E 
 
a = 4EIc3 = 43 ∙ EIc 
b = 2EIc3 = 23 ∙ EIc 
a′ = 3EIc5 = 35 ∙ EIc 
 
 
EIc 
 
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29 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
 2/3 4/3 3/5 
 
 
 V = 0 V = V = V = 
 
c.3) Carregamento externo 
 3tf 1,5 tf/m 3tf 
 
 3 tf· m m m m′ 10 tf· m 
 
 m′ 
 B C D E 
 m = 3 ∙ 2 ∙ 46² = 2,67 tf ∙ m ⟶ TABELA 1 
 m = − 3 ∙ 2 ∙ 46² = −1,33 tf ∙ m 
 m′ = − 102 3 ∙ 25 − 1 = 2,60 tf ∙ m ⟶ TABELA 2 
 
 m′ ⇒ 
Espelhando: 1,5 tf/m 1 q 2 
 
 
 m′ m′ 
 B C 
 
Girando: 
 C B m′CB q 
1,5 tf/m m′ = − ql8 
 m′ = − 1,5 ∙ 68 = −6,75 tf ∙ m 
 
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30 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
m′ ⇒ 
 Espelhando: 
 m′ m′ 
 3 tf· m M2 
 
 B C 
 m′ = − 12 (2 ∙ 0 − 3) = 1,5 tf ∙ m 
Girando: 
 C B 
 
 m′ 3 tf· m 
m′ = 12 (2 ∙ 0 + 3) = 1,5 tf ∙ m m′ = m′ + m′ m′ = −6,75 + 1,5 m′ = −5,25 tf ∙ m 
 E0 
 -5,25 2,67 -1,33 2,60 
 
 
 V = 7,13 V = 7,09 V = 3,30 V = 2,52 
M = 0 → V ∙ 6 + 7,13 ∙ 12 − 1,5 ∙ 8 ∙ 10 − 3 ∙ 4 + 5,25 − 2,67 + 1,33 = 0 
 V = 7,09 tf ∑F = 0 → V + 7,13 + 7,09 − 2,52 − 1,5 ∙ 8 − 3 = 0 V = 3,30 tf 
 
 
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31 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
d) Cálculo dos β e β 0 β = a′ + a β = 34 + 43 EIc = 2512 EIc 
 β = a + a′ β = 43 + 35 EIc = 2915 EIc 
 β = β = b = b = 23 EIc 
 β = m′ + m β = −5,25 + 2,67 = −2,58 tf ∙ m 
 β = m + m′ β = −1,33 + 2,60 = 1,27 tf ∙ m 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
2512 EIc ∙ X + 23 EIc ∙ X = 2,58 23 EIc ∙ X + 2915 EIc ∙ X = −1,27 
 EIc ∙ X = 1,628 EIc ∙ X = −1,218 
f) Esforços Finais 
E = E + E ∙ X 
 
 
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32 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
6,75 4
4,03
1,87
5,26
4,74
 3
0,75
M = m′ + a ∙ X 
M = −5,25 + 34 EIc ∙ 1,628EIc = −4,03 tf ∙ m 
 M = m + a ∙ X + b ∙ X 
M = 2,67 + 43 EIc ∙ 1,628EIc + 23 EIc ∙ (−1,218)EIc = 4,03 tf ∙ m 
 M = m + b ∙ X + a ∙ X 
M = −1,33 + 23 EIc ∙ 1,628EIc + 43 EIc ∙ (−1,218)EIc = −1,87 tf ∙ m 
 M = m′ + a′ ∙ X 
M = 2,60 + + 35 EIc ∙ (−1,218)EIc = 1,87 tf ∙ m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 ql8 = 1,5 ∙ 28 = 0,75 ql8 = 1,5 ∙ 68 = 6,75 PabL = 3 ∙ 2 ∙ 46 = 4,00 
 
 
 
 
 
 
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33 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
+ +
-
4,33
2,35
4,67
3,00
2,37
0,65
+
-
-
5m 2m 4m
1,
5m
2,
5m
V = 7,13 + 18 ∙ (1,628) = 7,33 tf (↑) V = 7,09 + 524 ∙ (1,628) + 13 ∙ (−1,218) = 7,02 tf (↑) V = 3,30 − 13 ∙ (1,628) − 1675 ∙ (−1,218) = 3,02 tf (↑) V = −2,52 − 325 ∙ (−1,218) = −2,37 tf (↓) 
 
 
 
 
 
 
Q 
(tf) 
 
 
Exemplo 3.2 
 2 tf/m 4tf 
 
 A D E 
 8 tf· m 6tf 
 
 B C 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 4 
ar = 2 dr = 2 
 
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34 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
b) Sistema Principal 
 
 
 X1 X2 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I → L = L 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 2/5 4/5 2/3 1/3 E1 
 3/4 
 
 
 0 
 
 M = 0 → h ∙ 4 = 0 ∴ h = 0 
M = 0 → h ∙ 4 + 34 = 0 ∴ h = − 316 (←) 
∑F = 0 → h ∙ − 316 + 0 = 0 ∴ h = 316 (→) 
M = 0 → V ∙ 6 + 13 + 23 = 0 ∴ V = − 16 (↓) 
M = 0 → V ∙ 5 − 25 − 45 = 0 ∴ V = 625 (↑) 
∑F = 0 → V + 625 + − 16 = 0 ∴ V = − 11150 (↓) 
 
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35 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 1/3 2/3 E2 
 3/4 
 0 
 
 0 
 
 
c.3) Carregamento externo 
 
 4,17 -4,17 3,56 -1,78 E0 
 6,72 -0,69 4,57 
 5,00 
 
 1,83 1,11 
 7,96 1,04 
 m = 2 ∙ 515 = 256 = 4,17 tf ∙ m 
m = − 2 ∙ 515 = − 256 = −4,17 tf ∙ m 
m = 4 ∙ 2 ∙ 46 = 4 ∙ 2 ∙ 1636 = 329 = 3,56 tf ∙ m 
m = − 4 ∙ 2 ∙ 46 = −1,78 tf ∙ m 
m′ = − 6 ∙ 1,5 ∙ 2,52 ∙ 4 (2,5 + 4) = 4,57 tf ∙ m 
m′ = − 82 3 ∙ 2,54 − 1 = −0,69 tf ∙ m 
 
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36 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
M = 0 → h ∙ 4 − 6 ∙ 1,5 + 4,57 = 0 ∴ h = 1,11 tf 
M = 0 → h ∙ 4 + 8 ∙ (−0,69) = 0 ∴ h = 1,83 tf 
∑F = 0 → h − 1,83 + 1,11 − 6 = 0 ∴ h = 6,72 tf 
M = 0 → V ∙ 5 − 2 ∙ 5 ∙ 2,5 = 0 ∴ V = 5,00 tf 
M = 0 → V ∙ 6 + 1,11 ∙ 4 − 6 ∙ 1,5 + 4,57 − 1,78 + 3,56 − 4 ∙ 2 = 0 ∴ V = 1,04 tf 
∑F = 0 → V + 5 + 1,04 − 2 ∙ 5 − 4 = 0 ∴ V = 7,96 tf 
d) Cálculo dos β e β 0 β = 45 + 23 + 34 EIc = 13360 EIc β = 23 + 34 EIc = 1712 EIc β = β = 13 EIc β = 4,17 + 3,56 − 0,69 = −1,30 tf∙ m β = −1,78 + 4,57 = 2,79 tf ∙ m 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
13360 EIc ∙ X + 13 EIc ∙ X = 1,30 13 EIc ∙ X + 1712 EIc ∙ X = −2,79 
 EIc ∙ X = 0,915 EIc ∙ X = −2,185 
 
 
 
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37 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
f) Esforços Finais 
E = E + E ∙ X 
M = 4,17 + 25 ∙ (0,915) = 4,54 tf ∙ m 
M = −4,17 + 45 ∙ (0,915) = −3,44 tf ∙ m 
M = 3,56 + 23 ∙ (0,915) + 13 ∙ (−2,185) = 3,44 tf ∙ m 
M = −1,78 + 13 ∙ (0,915) + 23 ∙ (−2,185) = −2,93 tf ∙ m 
M = −0,69 + 34 ∙ (0,915) = 0,00 tf ∙ m 
M = 4,57 + 34 ∙ (−2,185) = 2,93 tf ∙ m 
 
“A soma dos momentos em um nó é igual a zero” 
V = 5,00 + 625 ∙ (0,915) = 5,22 tf (↑) V = 7,96 − 11150 ∙ (0,915) + 16 ∙ (−2,185) = 7,53 tf (↑) V = 1,04 − 16 ∙ (0,915) − 16 ∙ (−2,185) = 1,25 tf (↑) H = 6,72 + 316 ∙ (0,915) + 316 ∙ (−2,185) = 6,48 tf (→) H = −1,83 − 316 ∙ (0,915) = −2,00 tf (←) H = 1,11 − 316 ∙ (−2,185) = 1,52 tf (→) 
 
 
 
 
 
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38 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
+
-
+ +
+
-
-
5,22
4,78 2,
00
1,25
1,
52
2,75
4,
48
- 1,
25
6,48
4,48
7,
53
-
-
-
4,54
3,44 2,93
2,93
3 5 5,63
6,25 5,33
 
 
 
 
 
 M 
 (tfm) 
 
 = ∙ = 6,25 = ∙ ∙ = 5,33 = ∙ , ∙ , = 5,63 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
 N 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
6m 6m6m6m6m
7,
2m
4,
8m
24m
Exemplo 3.3 
 
 20tf 20tf 20tf 20tf 
 5 tf/m 
 
 
 F E 2,5I D 2,5I C 
 I 
 I 
 A 
 
 B 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 
 
 X1 X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I L = IcI ∙ L 
L′ = I2,5I ∙ 24 = 9,6m L′ = 7,2m 
L′ = I2,5I ∙ 24 = 9,6m L′ = 12m 
 
 
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40 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 5/12 5/24 
 5/12 
 0 
 
 25432 
 
 0 E1 
 5192 
 
 
 
 c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 5/24 5/12 5/12 5/24 
 4/12 5192 
 
 0 
 2/12 E2 
 
 0 
 
 c.3) Carregamento externo 
 
 -120 150 -150 240 -240 0 
 60 
 
 0 
 50 0 E0 
 
 90 
 m = 5 ∙ 2412 = 240 tf ∙ m 
m = − 5 ∙ 2412 = −240 tf ∙ m 
 
 
 
 
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41 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
m ( ) = 20 ∙ 18 ∙ 624 = 22,5 tf ∙ m 
m ( ) = − 20 ∙ 18 ∙ 624 = −67,5 tf ∙ m 
m ( ) = 20 ∙ 12 ∙ 1224 = 60,0 tf ∙ m 
m ( ) = − 20 ∙ 12 ∙ 1224 = −60,0 tf ∙ m 
m ( ) = 20 ∙ 6 ∙ 1824 = 67,5 tf ∙ m 
m ( ) = − 20 ∙ 6 ∙ 1824 = −22,5 tf ∙ m 
m = 22,5 + 60,0 + 67,5 = 150 tf ∙ m 
m = −67,5 − 60,0 − 22,5 = −150 tf ∙ m 
M = 20 ∙ 6 + m = 0 ∴ m = −120 tf ∙ m 
M = 0 → 24 ∙ V + 120 − 150 + 150 − 20(18 + 12 + 6 − 30) = 0 ∴ V = 50 tf (↑) 
M = 0 → 24 ∙ V − 5 ∙ 24 ∙ 12 = 0 ∴ V = 60 tf (↑) 
∑F = 0 → 4 ∙ 20 + 5 ∙ 24 − 50 − 60 − V = 0 ∴ V = 90 tf (↑) 
d) Cálculo dos β e β 0 β = 37,2 + 49,6 EIc = 0,833 ∙ EIc β = 49,6 + 49,6 + 412 EIc = 1,167 ∙ EIc β = β = 29,6 EIc = 0,208 ∙ EIc β = −120 + 150 = 30 tf ∙ m β = −150 + 240 = 90 tf ∙ m 
 
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42 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
0,833 EIc ∙ X + 0,208 EIc ∙ X = −30 0,208 EIc ∙ X + 1,167 EIc ∙ X = −90 
 EIc ∙ X = −17,495 EIc ∙ X = −74,019 
f) Esforços Finais 
M = 150 + 512 ∙ (−17,495) + 524 ∙ (−74,019) = −127,29 tf ∙ m M − 120 tf ∙ m M = 0 + 512 ∙ (−17,495) = −7,29 tf ∙ m M = −150 + 524 ∙ (−17,495) + 512 ∙ (−74,019) = −184,49 tf ∙ m M = 240 + 0 + 512 ∙ (−74,019) = −209,16 tf ∙ m M = −240 + 0 + 524 ∙ (−74,019) = −255,42 tf ∙ m M = 0 + 0 + 412 ∙ (−74,019) = −24,67 tf ∙ m M = 0 + 0 + 212 ∙ (−74,019) = −12,34 tf ∙ m 
 V = 50 + 5192 ∙ (−17,495) + 5192 ∙ (−74,019) = 47,62 tf (↑) V = 90 − 5192 ∙ (−17,495) = 90,46 tf (↑) V = 60 − 5192 ∙ (−74,019) = 61,93 tf (↑) H = 0 + 25432 ∙ (−17,495) = 1,01 tf (→) H = 0 − 124 ∙ (−74,019) = 3,08 tf (→) H = 0 + 25432 ∙ (−17,495) + 124 ∙ (−74,019) = −4,10 tf (←) 
 
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43 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
20,00
27,62
58,07
-
-
--
7,62
12,38
32,38
61,93
+ +
-1
,0
1
3,
08-
6m 18m
90 P2 P3
12m 12m
P1 120 P3
18m 6m
90P2P1
120
127,29
184,49
209,16
255,42
180
180
240
360
12,34
24,677,29
-1,01
-
-
47
,6
2
90
,4
6
-
4,10
 M 
 (tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
 = ∙ = 360 
 
1 = ∙ ∙ = 90 P = ∙ = 60 
 P = ∙ = 30 
 
2 = ∙ ∙ = 120 P = ∙ = 60 
 P = ∙ = 60 
 
3 = ∙ ∙ = 90 P = ∙ = 30 
 P = ∙ = 60 M = 90 + 60 + 30 = 180 M = 120 + 60 + 60 = 240 M = 90 + 30 + 60 = 180 
 
 
 
 
 
 Q 
 
 
 
 
 N 
 
 
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44 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
6m 1,5m
1,
5m
2,
5m
3.4.2 Apoio Elástico Angular 
Exemplo 3.4 
 2 tf/m 2tf 
 
 
 C 1,5I B6tf EI = 0,6 ∙ 10 tfm 
 I K = 10 tfm/rad 
 
 
 A 
 
 
 2 tf/m 2tf 
 
 3 tf· m 
 
 
 
 6tf 
 
 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
 
mola tem que ser travada 
di = 1 + 1 = 2 
de = 0 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 
X1 
 
 
 
 
 
X2 
 
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45 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
 P = Kx 
 ↓ 
 M = K φ 
 ↓ 
 X2 
P
x
P
x
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 4m L′ = 4 m 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 3/4 E1 
 
 1 
 
 
 
 1/2 
 
 
 
 
 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 E2 
 
 1/2 0 
 
 
 
 1 
 
 
 
 0 
 a = K ∙ XEIc ∙ EIc 
a = 10 ∙ 10,6 ∙ 10 ∙ EIc 
a = 53 EIc 
 
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46 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
c.3) Carregamento externo 
 
 7,50 E0 
 
 -3,52 1,90 
 
 7,25 
 
 2,11 
 
 4,10 
 
 6,75 
 m′ = 2 ∙ 68 + 12 (2 ∙ 0 − 3) = 7,50 tf ∙ m 
m = 6 ∙ 2,5 ∙ 1,54 = 2,11 tf ∙ m 
m = − 6 ∙ 2,5 ∙ 1,54 = −3,52 tf ∙ m 
d) Cálculo dos β e β 0 
β = 1 + 34 EIc = 74 EIc β = 1 + EIc = 83 EIc β = β = 12 EIc β = 7,5 − 3,52 = 3,98 tf ∙ m β = 2,11 tf ∙ m 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
74 EIc ∙ X + 12 EIc ∙ X = −3,98 12 EIc ∙ X + 83 EIc ∙ X = −2,11 
 
 
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47 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
EIc ∙ X = −2,164 EIc ∙ X = −0,385 
f) Esforços Finais 
E = E + E ∙ X 
M = 2,11 + 12 ∙ (−2,164) + 1 ∙ (−0,385) = 0,64 tf ∙ m 
M = −3,52 + 1 ∙ (−2,164) + 12 ∙ (−0,385) = −5,88 tf ∙ m 
M = 7,50 + 34 ∙ (−2,164) = 5,88 tf ∙ m 
 ou M = −K ∙ X₂ 
M = −10 ∙ (−0,385)0,6 ∙ 10 = 0,64 tf ∙ m 
 
V = 6,75 + 18 ∙ (−2,164) = 6,48 tf (↑) 
V = 7,25 − 18 ∙ (−2,164) = 7,52 tf (↑) 
H = −4,10 − 38 ∙ (−2,164) − 38 ∙ (−0,385) = −3,14 tf (←) 
H = −1,90 + 38 ∙ (−2,164) + 38 ∙ (−0,385) = −2,86 tf (←) 
 
 
 
 
 
 
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48 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
-
+
+
+
-
6,48
5,52
2,00
3,
14
2,
86
-
6,
48
2,86
-
 3
5,88
9
5,63
5,88
0,64
 
 
 
 
 
 
 M 
 (tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 N 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
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49 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
4m 5m
3m
3.4.3 Recalques nos apoios 
Exemplo 3.5 
 D E 
 
 
 EI = 10 tfm 
 
 
 
 A B C 
 
 
 
 Recalques: ρ = 2 cm (↓); ρ = 1 cm (→); ρ = 10 rad (↻) 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 X₁ X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 4/5 2/5 
 4/5 
 4/3 
 
 E1 
 
 2/5 2/3 
 
 
 
 
 
0 
 
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50 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
2
3
4
1
1 cm Escala
O,a,c e
d
b
1 cm
2 cm
 c.2) Deslocamento X2 = 1 
 2/5 4/5 
 
 1 
 
 E2 
 
 
 
 
 
 
 c.3) Recalques nos apoios 
• RECALQUES LINEARES 
 D E 
 
 
 
 
 
 
 A B C 
 
 
 
Diagrama de Williot 
 
 
 
 ⊥ 1a ⊥ 3d 
 ⊥ 4c 
 
 
 
 
 
 
 ⊥ 2b 
 
 
 
 O, a, c = origem; pontos fixos; não sofrem deslocamentos ⊥ 1a = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto A ⊥ 2b = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto B 
 0 
 
 
 
 
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51 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
O e
d
O
d
ed
Oe
O
d
Od
bd
Ob
b
Barra 3 (DE) 
 ρ = Od − Oe = ed = 2 cm (↓) 
 
 
 E 
 
 ρ m 
 
 
 D m 
 
 
 m = m = − 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 10 = −4,80 tfm 
 
Barra 2 (BD) 
 ρ = Od − Ob = bd = 0,5 cm (→) 
 ρ 
 D 
 
 
 m 
 
 
 
 
 
 m 
 
 
 B m = m = + 6 ∙ 103 ∙ 3 ∙ 0,5 ∙ 10 = 3,33 tfm 
 
Barra 1 (AD) 
 ρ = ad = 2,5 cm (↘) 
 
 ρ 
 
 D 
 
 m 
 
 A m 
 
 
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52 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
-4,80 -4,80
5,00
3,33
3,33
6,00
6,00
m = m = 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,5 ∙ 10 = 6,00 tfm 
 
Barra 4 (EC) 
 ρ = ce = 1,5 cm (→) 
 
 
 ρ 
 E 
 
 
 
 m′EC 
 
 m′EC = 3 ∙ 1033 ∙ 3 ∙ 1,5 ∙ 10−2 = 5,00 tfm 
 
 
 
 
 
 
 C 
 
 
 
 
 
 
 ρL 
 
 
 
 
• RECALQUES ANGULARES 
Barra 2 (DB) 
 
 D ρ = 10 rad (↻) 
 m mBD = − 4 ∙ 1033 ∙ 10−3 = −1,33 tfm mDB = − 2 ∙ 1033 ∙ 10−3 = −1,67 tfm 
 ρBθ 
 
 B m 
 
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53 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
-1,33
-0,67
-4,80 -4,80
5,00
2,00
2,66
6,00
6,00
 
 
 
 
 
 ρθ 
 
 
 
 
 ρL + ρθ = Er 
 
 
 
 
 
 Er 
 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo dos β e β 
β = 45 + 45 + 43 EIc = 4415 EIc β = 45 + 1 EIc = 95 EIc β = β = 25 EIc β = 6,00 − 4,80 + 2,66 = 3,86 tfm β = −4,80 + 5,00 = 0,20 tfm 
 
 
3,22 1,55 5,42 7,34 1,92 1,67 
 
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54 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
4415 EIc ∙ X + 25 EIc ∙ X = −3,86 25 EIc ∙ X + 95 EIc ∙ X = −0,20 
 EIc ∙ X = −1,341 EIc ∙ X = 0,187 
f) Esforços Finais 
M = 6,00+ 25 ∙ (−1,341) = 5,46 tfm M = 6,00 + 45 ∙ (−1,341) = 4,93 tfm M = −4,80 + 45 ∙ (−1,341) + 25 ∙ (0,187) = −5,80 tfm M = −4,80 + 25 ∙ (−1,341) + 45 ∙ (0,187) = −5,19 tfm M = 2,66 + 43 ∙ (−1,341) = 0,87 tfm M = 2,00 + 23 ∙ (−1,341) = 1,11 tfm M = 5,00 + 1 ∙ (0,187) = 5,19 tfm 
V = 5,42 + 45 ∙ (−1,341) + 14 ∙ (0,187) = 4,39 tf (↑) V = −7,34 − 1425 ∙ (−1,341) − 1100 ∙ (0,187) = −6,59 tf (↓) V = 1,92 − 625 ∙ (−1,341) − 625 ∙ (0,187) = 2,20 tf (↑) H = 3,22 + 23 ∙ (−1,341) + 13 ∙ (0,187) = 2,39 tf (→) H = −1,55 − 23 ∙ (−1,341) = −0,66 tf (←) H = −1,67 − 13 ∙ (0,187) = −1,73 tf (←) 
 
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55 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
5,46
1,11
0,87
5,80
4,93
5,19
5,19
2,0
8
2,20
0,
66
1,
73
+
-
++
4,5
5
1,73
6,
59
2,
20
-
-
-+
5
4
3
4,39 tf
2,39 tf
 
 
 
 
 
 M 
 (tfm) 
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 N 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 ∑F = 0 → N = −2,39 ∙ 0,8 − 4,39 ∙ 0,6 = −4,55 tf ∑F = 0 → Q = −2,39 ∙ 0,6 + 4,39 ∙ 0,8 = 2,08 tf 
sin α = 35 = 0,6 cos α = 45 = 0,8 
 
α α
 N 
 
 Q 
 
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56 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
h/
2
h/
2
te - tg
ti - tg
 tg
 tg
 te
 ti
B
L
BC
h
A
LA
C
C
ti
te - tg
ti - tg
 tg
 tg
3.4.4 Variação de Temperatura 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 ∆t = ti − te ∆t = 0 tg = 0 tg = ti + te2 
 
Supondo: ti > te > 0 
a) b) 
 
 = + 
 
 
 
 
te – temperatura externa 
ti – temperatura interna 
h – distancia entre as fibras internas e externas 
tg – temperatura constante no centro de gravidade da seção transversal ∆t – gradiente térmico do interior em relação ao exterior α - coeficiente de dilatação térmica 
 
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57 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
h
L
 te
 ti
EI = const.
A
C
B
Grau de hipergeometria SP 
 X1 
di = 1 
de = 0 d = 2 
ar = 1 dr = 1 
 
 
 
 
a) Efeitos do ∆t (com tg = 0) 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
ti > te > 0 
 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 X2 
 
 X3 
 
 
 
 1 M1 M2 
 
 
 
 
 
 1 
 Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L 
 
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58 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
h
L
 te
 ti
EI = const.
EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th − 1 ∙ L2 EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th + 1 ∙ L2 
 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = − α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h 
 
 23 − 16 ∙ L X = α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h → X = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 
 − 16 + 23 ∙ L X = − α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h → X = − EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 
 
 
 
M 
 
 
 ∙ ∙∆ ∙ ∙ ∙∆ ∙ 
 
 
 
 
 
 
X → m = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL X → m = − EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 
 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
ti > te > 0 
 
 
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59 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
Pelo método dos esforços: 
 
 X1 
 
 X2 
 
 
 
 1 
 
 M1 
 
 
 
 Ic = I 
EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th − 1 ∙ L2 δ ∙ X = −δ 13 L ∙ X = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ L2h → X = 32 EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 
 
 
 
M ∙ ∙∆ ∙ 
 
 
 
 
 
 X → m′ = 32 EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 
 
 
 
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60 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
A
C
B
21
c
2
1
O,a,b
LL2
1
b) Efeitos do tg (com ∆t = 0) 
 
 
 ∆L = α ∙ tg ∙ L 
 ∆L = α ∙ tg ∙ L 
 
 
 
 
 
Diagrama de Williot 
 
 
 
 ⊥ 22 
 
 
 
 
 ⊥ 11 
 
 
 
 
 
 
 O, a, b = origem; pontos fixos; não sofrem deslocamentos ⊥ 11 = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto 1 ⊥ 22 = perpendicular à barra 2 passando pelo ponto 2 
 
Barra 1 (AC) 
 ρ = 1c (↖) 
 C 
 
 
 
 mAC = mCA = − 6 ∙ EIcLL′ ∙ ρCA 
 
 
 A 
ρ m 
m 
 
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61 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
40ºC
15ºC
3,
5m
8m
30ºC 15ºC40ºC 40ºC
DC
A
B
Barra 2 (BC) 
 ρ = 2c (↗) 
 C 
 ρ 
 m′ 
 
 m′CB = + 3 ∙ EIcLL′ ∙ ρCB 
 
 
 
 B 
 
 
 
 
Exemplo 3.6 
 
 
 1,6I 
 
 
 
 I I 
 
 
 
 
 
 
 
Barra h [cm] 
AC e BD 30 
 CD 40 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
EI = 10 tfm α = 10 /°C
15ºC
30ºC I 40ºC 15ºC 
 
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62 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
4/5 2/5
8/7
4/7
2/5 4/5
6/7
b) Sistema Principal 
 X1 X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I L = IcI ∙ L 
L = 72 m; L = 72 m; L = 5m 
 
 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 
 
 
 
 E1 
 
 
 
 
 
 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 
 
 E2 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
0 
 
 
 
 
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63 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
10 -10
12,5-10/3
10/3
DC
A
B
2
1 3
c.3) Variação de temperatura 
 Efeitos do Δt (com tg = 0) 
 
Barra AC ∆t = ti − te = 40 − 30 = 10°C 
m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 3,50,30 ∙ 3,5 = 103 tfm 
Barra CD ∆t = ti − te = 40 − 15 = 25°C 
m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ 25 ∙ 80,40 ∙ 5 = 10 tfm 
Barra BD ∆t = ti − te = 40 − 15 = 25°C 
m′ = 32 10 ∙ 10 ∙ 25 ∙ 3,50,30 ∙ 3,5 = 12,5 tfm 
 
 
 
 
 Δt 
 
 
 
 Efeitos do tg (com Δt = 0) 
 
 
 
 
 
 
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64 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
O,a,b
L1
L3
L21,c
3
2
d
Escala
Barra 1 (AC) 
tg = 40 + 302 = 35°C ∆L = 10 ∙ 35 ∙ 3,5 = 1,225 ∙ 10 m 
Barra 2 (CD) 
tg = 40 + 152 = 27,5°C ∆L = 10 ∙ 27,5 ∙ 8 = 2,200 ∙ 10 m 
Barra 3 (BD) 
tg = 40 + 152 = 27,5°C ∆L = 10 ∙ 27,5 ∙ 3,5 = 0,962 ∙ 10 m 
 
 
Diagrama de Williot 
 
 ⊥ 22 
 ⊥ 33 
 
 1 ∙ 10 mBarra 1 (AC) ρ = 0 
Barra 2 (CD) ρ = 2d (↓) = ∆L − ∆L = 0,263 ∙ 10 m (↓) 
m = m = 6EIcLL ∙ ρ = 6 ∙ 108 ∙ 5 ∙ 0,263 ∙ 10 = 0,39 tfm 
Barra 3 (BD) ρ = 3d (→) = ∆L = 2,200 ∙ 10 m (→) 
 
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65 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
0,39 0,39
5,39
10,39 -9,61
-3,33
3,33
17,89
m′ = 3 ∙ 103,5 ∙ 3,5 ∙ 2,200 ∙ 10 = 5,39 tfm 
 
 
 
 
 
 
 tg 
 
 
 
 
 ∆t + tg = Et 
 
 
 
 
 
 Et 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo dos β e β 
β = 87 + 45 EIc = 6835 EIc β = 45 + 67 EIc = 5835 EIc β = β = 25 EIc β = 10,39 − 3,33 = 7,06 tfm β = −9,61 + 17,89 = 8,28 tfm 
0 
0,10 5,11 0,10 
5,11 
 
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66 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
6835 EIc ∙ X + 25 EIc ∙ X = −7,06 25 EIc ∙ X + 5835 EIc ∙ X = −8,28 
 EIc ∙ X = −2,741 EIc ∙ X = −4,335 
f) Esforços Finais 
M = 3,33 + 47 ∙ (−2,741) = 1,76 tfm 
M = −3,33 + 87 ∙ (−2,741) = −6,46 tfm 
M = 10,39 + 45 ∙ (−2,741) + 25 ∙ (−4,335) = 6,46 tfm 
M = −9,61 + 25 ∙ (−2,741) + 45 ∙ (−4,335) = −14,17 tfm 
M = 17,89 + 67 ∙ (−4,335) = 14,17 tfm 
V = 0,10 + 320 ∙ (−2,741) + 320 ∙ (−4,335) = −0,96 tf (↓) V = −0,10 − 320 ∙ (−2,741) − 320 ∙ (−4,335) = 0,96 tf (↑) H = − 2449 ∙ (−2,741) = 1,34 tf (→) H = −5,11 − 1249 ∙ (−4,335) = −4,05 tf (←) H = 5,11 + 2449 ∙ (−2,741) + 1249 ∙ (−4,335) = 2,71 tf (→) 
 
 
 
 
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67 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
6,46
14,17
6,46 14,17
1,76
1,
34
0,96
4,
05
-
+-
0,
96
4,05
0,
96
-
+ -
 
 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
(tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
(tf) 
 
 
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68 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
6m
2m
3m
DC
A B
3.5 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS DESLOCÁVEIS 
3.5.1 Carregamento Externo 
Exemplo 3.7 
 
 2 tf/m 
 
 
 
 4tf 
 
 
 3 tf/m 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 1 
de = 1 d = 2 
ar = 0 dr = 2 
 
b) Sistema Principal 
 
 
 X1 
X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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69 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
9
-2,5
3,75 -3,36
1/2
4/5
2/5
6/25
6/25 3/25
c) Cálculo dos esforços 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 
 
 
 E1 
 
 
 
 
 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 
 
 
 E2 
 
 
 
 
 
 
c.3) Carregamento externo 
 
 
 
 
 E0 
 
 
 
 
0 
 
 
0 0 
 
0,52 
5,25 
12,5 4,5 
2,27 
 
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70 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
m = 3 ∙ 520 = 3,75 tf ∙ m 
m = −3 ∙ 530 = −2,5 tf ∙ m 
m′ = 2 ∙ 68 = 9,0 tf ∙ m 
m′ = −4 ∙ 3 ∙ 22 ∙ 5 ∙ (2 + 5) = −3,36 tf ∙ m 
d) Cálculo dos β e β 0 β = 12 + 45 EIc = 1310 EIc β = 325 EIc β = β = 625 EIc β = 9 − 2,5 = 6,5 tf ∙ m β = −0,52 tf 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
1310 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = −6,5 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = 0,52 
 EIc ∙ X = −9,195 EIc ∙ X = 22,724 
f) Esforços Finais 
M = 3,75 + 25 ∙ (−9,195) + 625 ∙ (22,724) = 5,53 tfm 
M = −2,50 + 45 ∙ (−9,195) + 625 ∙ (22,724) = −4,40 tfm 
 
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71 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
2,27
--
-
6,
73
5,
27
0,63
4,8
9,00
4,40
4,40
5,53
0,29
M = 9,00 + 12 ∙ (−9,195) = 4,40 tfm 
M = −3,36 + 325 ∙ (22,724) = −0,63 tfm 
V = 7,50 + 112 ∙ (−9,195) = 6,73 tf (↑) V = 4,50 − 112 ∙ (−9,195) = 5,27 tf (↑) H == −5,25 − 625 ∙ (−9,195) − 1225 ∙ (22,724) = −5,23 tf (←) H = 2,27 − 3125 ∙ (22,724) = 1,73 tf (→) 
 
 
 
 
 
 
 M 
 (tfm) 
 
 
 = ∙ = 9,0 = ∙ ∙ = 4,8 
 
 
 
 
 N 
 (tf) 
 
 
 
 
 
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72 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
5,27
4,40
5,23
0,39
2,
27
1,
73
2,27
+
-
+
+-
-
x
5m
A
S
3
y
x
C
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 35 = yx y = 3x5 
 
 
 
∑M = 0 → hC ∙ 5 − 4,40 + 5,53 − 5,32 ∙ 13 ∙ 5 = 0 h = 2,27 tf 
∑F = 0 → Q + x ∙ 3x52 − 2,27 = 0 Q = 2,27 − 310 x2 
∑M = 0 → M + x ∙ 3x52 + 13 x + 4,40 − 2,27x = 0 M = 2,27x − 4,40 − 110 x M(x = 2,5) = −0,29 tfm 
3 tf/m 
4,40 tfm 
5,53 tfm
hC 
hA 
 
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73 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
40ºC
40ºC
5m
6m
20ºC 10ºC40ºC 40ºC
DC
A B
dMdx = 0 → 2,27 − 310 x = 0 
x = ± 322,73 = ±2,75 m x = 2,75 m 
 M á = M(x = x ) = −0,24 tfm Q(x = 2,5) = 0,39 tf 
 
3.5.2 Variação de Temperatura 
Exemplo 3.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra h [cm] 
AC e BD 40 
 CD 50 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 1 
de = 1 d = 2 
ar = 0 dr = 2 
 
EI = 10 tfm α = 10 /°C
40ºC 
40ºC
10ºC20ºC 
1,5I 
II 
 
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74 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
3/4
4/5
2/5
b) Sistema Principal 
 
 
 X1 
 X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 5m; L′ = 5m; L′ = 4m 
 
 
 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 
 
 
 
 
 E1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
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75 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
-5,00
5,00 -11,25
6/25
6/25 3/25
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 
 
 
 
 E2 
 
 
 
 
c.3) Variação de temperatura 
 Efeitos do Δt (com tg = 0) 
 
Barra AC ∆t = ti − te = 40 − 20 = 20°C 
m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ (20) ∙ 50,40 ∙ 5 = 5,00 tfm 
Barra CD ∆t = ti − te = 40 − 40 = 0 
Barra BD ∆t = ti − te = 10 − 40 = −30°C 
m′ = 32 10 ∙ 10 ∙ (−30) ∙ 50,40 ∙ 5 = −11,25 tfm 
 
 
 
 
 
 Δt 
 
 
 
0 0 
 
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76 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
2
1
DC
A B
3
O,a,b
L1
L3
L21,c
3
2
d
Escala
 Efeitos do tg (com Δt = 0) 
 
 
 
 
 
 
Barra 1 (AC) 
tg = ti + te2 = 40 + 202 = 30°C ∆L = α ∙ tg ∙ L ∆L = 10 ∙ 30 ∙ 5 = 1,5 ∙ 10 m 
Barra 2 (CD) 
tg = 40 + 402 = 40°C ∆L = 10 ∙ 40 ∙ 6 = 2,4 ∙ 10 m 
Barra 3 (BD) 
tg = 40 + 102 = 25°C ∆L = 10 ∙ 25 ∙ 5 = 1,25 ∙ 10 m 
 
 
Diagrama de Williot 
 
 ⊥ 22 
 ⊥ 33 
 
 1 ∙ 10 m 
 
 
 
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77 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
2,88
0,31
5,00 -8,37
0,31
-5,00
Barra 1 (AC) ρ = 0 
Barra 2 (CD) ρ = 2d (↓) = ∆L − ∆L = 0,25 ∙ 10 m (↓) 
m′ = 3EIcLL ∙ ρ = 3 ∙ 106 ∙ 4 ∙ 0,25 ∙ 10 = 0,31 tfm 
Barra 3 (BD) ρ = 3d (→) = ∆L = 2,4 ∙ 10 m (→) 
m′ = 3 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,4 ∙ 10 = 2,88 tfm 
 
 
 
 
 tg 
 
 
 
 ∆t + tg = Et 
 
 
 
 
 
 Et 
 
 
 
 
 
1,67 
0 
0,05 1,67 0,05 
 
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78Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
d) Cálculo dos β e β 
β = 34 + 45 EIc = 3120 EIc β = 325 EIc β = β = 625 EIc β = −5,00 + 0,31 = −4,69 tfm β = −1,67 tfm 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
3120 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = 4,69 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = 1,67 
 EIc ∙ X = 1,262 EIc ∙ X = 11,393 
f) Esforços Finais 
M = 5 + 25 ∙ (1,262) + 625 ∙ (11,393) = 8,24 tfm 
M = −5 + 45 ∙ (1,262) + 625 ∙ (11,393) = −1,26 tfm 
M = 0,31 + 34 ∙ (1,262) = 1,26 tfm 
M = −8,37 + 325 ∙ (11,393) = −7,00 tfm 
V = 0,05 + 18 ∙ (1,262) = 0,21 tf (↑) V = −0,05 − 18 ∙ (1,262) = −0,21 tf (↓) 
 
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79 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
1,40
0,
21
0,
21
+
- +
1,21
1,
40
1,
40
+
-+
1,26
1,26
7,008,24
H = − 625 ∙ (1,262) − 12125 ∙ (11,393) = −1,40 tf (←) H = 1,67 − 3125 ∙ (11,393) = 1,40 tf (→) 
 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
(tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
(tf) 
 
 
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80 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
5m
6m
DC
A B
2
1
DC
A B
3
d
O,b
a c
1 cm
2,5 cm
1,5 cm Escala
3.5.3 Recalques nos apoios 
Exemplo 3.9 
Para a mesma estrutura anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 EI = 10 tfm 
 
 
 
 
 
 
 
 Recalques: ρ = 2,5 cm (↓); ρ = 1,5 cm (←); ρ = 3 ∙ 10 rad (↻) 
 
 c.3) Recalques nos apoios 
• RECALQUES LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Williot 
 
 
 
 ⊥ 3b 
 
 
 
 
 
 ⊥ 2c 
 
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81 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
-31,25
36,00
36,00
Barra 1 (AC) ρ = 0c − 0a = ac = 1,5 cm (→) 
m = m = 6EIcLL ∙ ρCA = 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 1,5 ∙ 10 = 36,00 tfm 
Barra 2 (CD) ρ = 0c − 0d = dc = 2,5 cm (↓) 
m′ = − 3 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,5 ∙ 10 = −31,25 tfm 
Barra 3 (BD) ρ = 0 
 
 
 
 
 
 
 ρL 
 
 
 
 
 
 
 
• RECALQUES ANGULARES 
Barra 1 (AC) 
 
 C ρ = 3 ∙ 10 rad (↻) 
 m mAC = 4 ∙ 1045 ∙ 3 ∙ 10−3 = 24,00 tfm mCA = 2 ∙ 1045 ∙ 3 ∙ 10−3 = 12,00 tfm 
 ρAθ 
 
 A m 
 
 
 
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82 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
12,00
24,00
60,00
-31,25
48,00
 
 
 
 
 
 ρθ 
 
 
 
 
 ρL + ρθ = Er 
 
 
 
 
 Er 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo dos β β = 48,00 − 31,25 = 16,75 tfm β = 21,60 tf 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
3120 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = −16,75 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = −21,60 
 EIc ∙ X = 24,720 EIc ∙ X = −229,439 
0 
 5,21 5,21 
21,60 
21,60 
 
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83 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
12,71
12,71
27,5314,82
2,12
5,
51 + 5,
51
f) Esforços Finais 
M = 60 + 25 ∙ (24,720) + 625 ∙ (−229,439) = 14,82 tfm 
M = 48 + 45 ∙ (24,720) + 625 ∙ (−229,439) = 12,71 tfm 
M = −31,25 + 34 ∙ (24,720) = −12,71 tfm 
M = 325 ∙ (−229,439) = −27,53 tfm 
V = −5,21 + 18 ∙ (24,720) = −2,12 tf (↓) V = 5,21 − 18 ∙ (24,720) = 2,12 tf (↑) H = −21,60 − 625 ∙ (24,720) − 12125 ∙ (−229,439) = −5,51 tf (←) H = − 3125 ∙ (−229,439) = 5,51 tf (→) 
 
 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
(tf) 
 
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84 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
5,51
2,
12 + 2,
12
+
6m 1,5m4m2m
A B DC
 
 
 
 
 
 
 
N 
(tf) 
 
 
 
 
 
3.5.4 Apoio Elástico Linear 
Exemplo 3.10 
 
 1,5 tf/m 2tf 
 
 
 1,5I I 
 
 
 
 EI = 10 tfm ; K = 0,5 ∙ 10 tf/m 
 
 
 
1,5 tf/m 2tf 
 
 3 tf· m 
 
 
 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
 
mola tem que ser travada 
di = 1 
de = 0 + 1 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
1,2 tf/m 
3tf 
1,2 tf/m 
3tf 
 
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85 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
1/2 1 1/2
b) Sistema Principal 
 
 
 X2 
 
 X1 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 4m; L′ = 6m 
 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 
 
 
 E1 
 
 
 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X2 = 1 
c′ c c 
 
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86 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
-1/4 1/12-1/4
7,17 3,90-5,83
c = c = − 6EIcLL = − 6 ∙ EIc6 ∙ 4 = − 14 EIc 
c′ = 3EIcLL = 3 ∙ EIc6 ∙ 6 = 112 EIc 
V = K ∙ X₂EIc ∙ EIc = 0,5 ∙ 10 ∙ 110 ∙ EIc = 0,5 EIc = 12 EIc 
 
 
 
 
 
 E2 
 
 
 
 
c.3) Carregamento externo 
 
 
 
 
 
 E0 
 
 
 m = 1,5 ∙ 612 + 3 ∙ 2 ∙ 46 = 7,17 tfm 
m = −1,5 ∙ 612 − 3 ∙ 2 ∙ 46 = −5,83 tfm 
m′ = 1,2 ∙ 68 + 12 (2 ∙ 0 − 3) = 3,90 tfm 
 
 
 
 
 
 
6,72 5,45 
 
9,03 
 
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87 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 
d) Cálculo dos β e β 0 β = 1 + 12 EIc = 32 EIc β = 772 + EIc = 4372 EIc β = β = − 16 EIc = − 14 + 112 EIc = − 16 EIc β = −5,83 + 3,90 = −1,93 tf ∙ m β = 9,03 tf 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
32 EIc ∙ X − 16 EIc ∙ X = 1,93 
− 16 EIc ∙ X + 4372 EIc ∙ X = −9,03 
 EIc ∙ X = −0,406 EIc ∙ X = −15,233 
f) Esforços Finais 
M = 7,17 + 12 ∙ (−0,406) − 14 ∙ (−15,233) = 10,78 tfm 
M = −5,83 + 1 ∙ (−0,406) − 14 ∙ (−15,233) = −2,43 tfm 
M = 3,90 + 12 ∙ (−0,406) + 112 ∙ (−15,233) = 2,43 tfm 
V = 6,72 + 14 ∙ (−0,406) − 112 ∙ (−15,233) = 7,89 tf (↑) V = 9,03 − 16 ∙ (−0,406) + 772 ∙ (−15,233) = 7,62 tf (↑) V = 5,45 − 112 ∙ (−0,406) − 172 ∙ (−15,233) = 5,70 tf (↑) 
 
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88 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
7,89
3,51
4,89
1,89
3,69
2,01
4,11
+
++ +
10,78
2,43 3,005,40
3,00
0,75
10,00
 
 
 
 
 
 
 
 M 
 (tfm) 
 
 = , ∙ = 0,75 tfm + = , ∙ ∙ + ∙ ∙ = 10,00 tfm = , ∙ = 3,00 tfm = , ∙ = 5,40 tfm 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
Outra maneira de calcular V : V = −K ∙ X 
V = −0,5 ∙ 10 ∙ (−15,233)10 = 7,62 tf 
 
 
 
 
 
 
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D
C E B
A
4 
 
ESTRUTURAS COM BARRAS DE INÉRCIA VARIÁVEL 
 
4.1 INÉRCIA DA BARRA VARIANDO “EM SALTOS” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X1 X2 
 
 
 
 
 X4 X3 
 X5 
 
 
 
4.2 INÉRCIA DA BARRA VARIANDO “EM MÍSULA” 
 
Uso de tabelas coeficientes, , , , , , 
 
 
 fatores de forma e de carga 
I4 
I1 
I2 
I3 
 
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90 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
b
0 1 N2 3 4 5 1211
a
L
 
L12 = bN 
N = 12bL 
a
L
a a
L
a
a
L
a
L
 Mísula Reta Mísula Parabólica 
SIMÉTRICA 
ASSIMÉTRICA 
 
 
 
4.2.1 Parâmetros de Entrada 
λ = aL ; n = I íI á 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 Fatores de Forma 
1) Rotação 
 
 1 2 
 
 Tabelas: IV à VII 
 
 
 
 a = L ∙ EIc ; b = L′ ∙ EIc L = IcI í ∙ L 
1 2 
1 Imín 2
Imáx Imáx Imáx Imáx 
1 Imín 2
Imáx Imín Imáx Imín 
a 
 b₂₁ 
 
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91 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
a′ 
 1 2 
 
 
 
 
 
 a = L ∙ EIc ; b = L′ ∙ EIc 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 a ∙ t = b 
t = ba = L′ ∙ EIcL ∙ EIc = t = 
Derivado 
 
 
 1 2 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a′ = a − a ∙ t ∙ t 
a′ = L ∙ EIc ∙ 1 − ∙ ⟹ a′ = − ∙ L EIc 
 
 
 
b 
 a₂₁ 
 t 
a 
a ∙ t = b 
 t 
= t 
+ t₂₁ 
a 
a ∙ t 
a ∙ t ∙ t a ∙ t 
 
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92 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
L
 1 2 
 
 
 
 
 
 
2) Translação 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c = a ∙ ρ + b ∙ ρ ρ = ρ = ρL = 1L 
c = a + bL = L ∙ EIc + L′ ∙ EIcL 
c = ( + ) ∙ EIcLL ⇒ c = ( ₂ + ) ∙ EIcLL 
 
a′ ⟹ a′ = − ∙ L EIc 
c c 
ρ = 1 
c 
c 
ρ = 1 ρ ρ 
+ 
a ∙ ρ 
b ∙ ρ 
b ∙ ρ 
a ∙ ρ 
= 
⇕ 
 
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93 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
L
L
Derivado 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
c′ = a′L c′ = − LL ∙ EIc 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c′ = a′ ∙ ρ₁ ρ = ρL = 1L 
c′ = a′L c′ = − LL ∙ EIc 
 
c′ ρ = 1 
c′ 
ρ = 1 
⇕ 
ρ = 1 
= 
c′ 
a′ ∙ ρ 
 
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94 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
L
L
L
4.2.3 Fatores de Carga 
1) Carga distribuída 
 
Tabelas: VIII à XI 
 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 m = qL12 ; m = − qL12 
 
Derivado 
 
 
 1 2 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 m′ = m − m ∙ t 
m′ = qL12 + 
 
 1 2 
 
 m′ = −(m − m ∙ t ) 
 m′ = − qL12 + 
 
q 
m 
m 
m′ = 
 q 
+ t₂₁ 
m m 
m ∙ t 
m 
 q 
 m′ 
 q 
 ⇒ 
 
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95 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
L
L
L
 
2) Carga concentrada 
 
Tabelas: XII à XV 
 
 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 m = ∙ PL ; m = − ∙ PL 
 
 
Derivado 
 
 
 1 2 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 m′ = m − m ∙ t 
m′ = PL + 
 
 
 1 2 
 m′ = −(m − m ∙ t ) 
 m′ = −PL + 
P m 
m 
m′ = 
 P 
+ t 
m m 
m ∙ t 
m 
 P 
 m′ 
 P 
 ⇒ 
 
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96 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
A
D
B C
6m3m3m3m
2m
2m
1,5m 1,8m 1,8m
4.3 APLICAÇÃO 
Exemplo 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 2 
ar = 0 dr = 2 
 
b) Sistema Principal 
 
 X1 X2 
 
 
 
 
 
4I 
2I 
3I 3I 
6I 6I 
2 tf/m 
2 tf/m 
3tf 
3tf 
4tf 
4tf 
8tf 
8tf 
 
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97 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
a′ 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic= I L = IcI í ∙ L 
Barra AD (Mísula reta assimétrica) a = 4m L = 4m 
 I í = 2I I á = 4I 
 b = 2m ⟶ N = 12 ∙ 24 ⟶ N = 6 L′ = I2I ∙ 4 ⟶ L′ = 2m 
 
 Fatores de forma 
 
Tabela IV = 6,74 
 = 4,77 
 = 2,83 
 
 Fatores de carga 
• Carga concentrada 
 
Tabela XII = 0,153 
 = 0,101 
 
 1 2 
 
 
 
 
 
a′ = − ∙ L EIc 
a′ = 6,74 ∙ 4,77 − (2,83) 4,77 ∙ 2 EIc ⇒ a′ = 2,530 EIc 
λ = 44 ⟶ λ = 1,00 
n = 2I4I ⟶ n = 0,50 
 
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98 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
L
 
 1 2 
 
 
 
 
 
 
 m′ = PL + 
 
 1 2 
 
 
 
m′ = −3 ∙ 4 0,153 + 0,101 ∙ 2,834,77 m′ = −2,56 tfm 
 
Barra DB (Mísula reta assimétrica) a = 1,5m L = 6m 
 I í = 3I I á = 6I 
 b = 3m ⟶ N = 12 ∙ 36 ⟶ N = 6 L′ = I3I ∙ 6 ⟶ L′ = 2m 
 
 Fatores de forma 
 
Tabela IV = 5,12 
 = 4,21 
 = 2,48 
 
m′ 
 P 
m′ m′ 
3tf P 
λ = 1,56 ⟶ λ = 0,25 
n = 3I2I ⟶ n = 0,50 
 
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99 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
 Fatores de carga 
• Carga distribuída 
 
Tabela VIII = 1,180 
 = 0,919 
 
• Carga concentrada 
 
Tabela XII = 0,152 
 = 0,113 
 a = L′ ∙ EIc = 5,122 ∙ EIc = 2,560 EIc 
b = b = L′ ∙ EIc = 2,482 ∙ EIc = 1,240 EIc 
a = L′ ∙ EIc = 4,212 ∙ EIc = 2,105 EIc 
m = −0,152 ∙ 4 ∙ 6 − 1,180 ∙ 2 ∙ 612 = −10,73 tfm 
m = 0,113 ∙ 4 ∙ 6 + 0,919 ∙ 2 ∙ 612 = 8,23 tfm 
Barra BC (Mísula reta simétrica) a = 1,8m L = 9m 
 I í = 3I I á = 6I 
 b = 3m ⟶ N = 12 ∙ 39 ⟶ N = 4 L′ = I3I ∙ 9 ⟶ L′ = 3m 
 
 Fatores de forma 
 
Tabela VI = 5,17 
 = 2,91 
λ = 1,89 ⟶ λ = 0,20 
n = 3I2I ⟶ n = 0,50 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
100 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
1,240 2,560 1,723 0,970
2,105 1,240
2,530
 Fatores de carga 
• Carga concentrada 
 
Tabela XIV = 0,166 
 = 0,075 
 a = L′ ∙ EIc = 5,173 ∙ EIc = 1,723 EIc 
b = L′ ∙ EIc = 2,913 ∙ EIc = 0,970 EIc m = 0,166 ∙ 8 ∙ 9 = 11,95 tfm m = −0,075 ∙ 8 ∙ 9 = −5,40 tfm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E2 
 
 
 
 
 
 0,6325 
 0,5575 
 0,5575
 0,6325 
 0 
 0,6333 
 0,3341 0,2992 
 0 
 0 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
101 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável 
8,23 -10,73
-2,56
11,95 -5,40
 
 
 
 
 
E0 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo dos β e β 0 β = (2,530 + 2,105)EIc = 4,635 EIc β = (2,560 + 1,723)EIc = 4,283 EIc β = β = 1,240 EIc β = −2,56 + 8,23 = 5,67 tfm β = −10,23 + 11,95 = 1,22 tfm 
e) Montagem e resolução do sistema de equações 
4,635 EIc ∙ X + 1,240 EIc ∙ X = −5,67 1,240 EIc ∙ X + 4,283 EIc ∙ X = −1,22 
 EIc ∙ X = −1,243 EIc ∙ X = 0,075 
f) Esforços Finais 
M = −2,56 + 2,530 ∙ (−1,243) = −5,70 tfm M = 8,23 + 2,105 ∙ (−1,243) + 1,240 ∙ (0,075) = 5,71 tfm M = −10,73 + 1,240 ∙ (−1,243) + 2,560 ∙ (0,075) = −12,08 tfm M = 11,95 + 1,723 ∙ (0,075) = 12,08 tfm M = −5,40 + 0,970 ∙ (0,075) = −5,33 tfm 
 14,4778 1, 9389 
 2, 1400 
 0, 8600 
 7,5833 
 
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102 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
5,71
5,70
12,08
5,33
15,00
2,25
2,25
16,00
3,00
6,
94
2,93
6,94
2,
93
6,14
0,
07
0,94
3,06
9,06
1,91
+ +
V = 7,5833 + 0,5575 ∙ (−1,243) + 0,6333 ∙ (0,075) = 6,94 tf (↑) V = 14,4778 − 0,5575 ∙ (−1,243) − 0,3341 ∙ (0,075) = 15,15 tf (↑) V = 1,9389 − 0,2992 ∙ (0,075) = 1,92 tf (↑) H = −0,8600 − 0,6325 ∙ (−1,243) = 0,07 tf (←) H = −2,1400 + 0,6325 ∙ (−1,243) = 2,93 tf (←) 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 = ∙ ∙ = 3,00 tfm + = ∙ ∙ + ∙ ∙ = 15,00 tfm 
 = ∙ ∙ = 16,00 tfm = ∙ = 2,25 tfm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 N 
 (tf) 
 
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L
5 
 
PROCESSO DE CROSS 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
É um processo numérico para resolução de estruturas, decorrente do Método 
dos Deslocamentos, com o qual se realizam iterações de convergência bastante rápida e 
com a aproximação que se desejar. 
 
• Hardy-Cross (1930) 
• Kani 
• Takabeya 
 
5.2 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
j k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j k 
 
 
 
 
 
 
 
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104 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
M 
θ 
θ 
ρ 
a ∙ θ 
b ∙ θ 
b ∙ θ 
θ 
θ a ∙ θ 
c ∙ ρ 
c ∙ ρ 
ρ 
m m 
+ 
 
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105 Cap. 5 - Processo de Cross 
No nó j, tem-se: 
 M = m + a ∙ θ + b ∙ θ + c ∙ ρ (1) 
 b = b = a ∙ t 
M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ + c ∙ ρ 
 t = ba 
 
 
5.3 ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 
 
Neste caso: ρ = 0 
 M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ (2) 
Aplicando a equação (2) no nó j, tem-se: M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ M = m + a ∙ θ + a ∙ t ∙ θ 
A condição de equilíbrio do nó j, é dada por: M + M + M + M = 0 (3) 
Logo: ∑ m + θ ∙ ∑ a + ∑ a ∙ t ∙ θ = 0 (4) 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de transmissão do nó j para o nó k 
3 
4 
1 
M 
M 
M 
M j 
 
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106 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
 
 
 
(5) 
Na 1ª aproximação admite-se que as rotações dos nós “k” são consideradas nulas, 
isto é: 
 
 θ = θ = θ = θ = 0 
Então a equação (4) fica: 
m + a ∙ θ = 0 
θ = − ∑ m∑ a ∙ θ 
 
Fazendo: m = ∑ m 
 m − Momento de fixação do nó j 
M = m − a ∙ m∑ a 
M = m − a ∙ m∑ a 
M = m − a ∙ m∑ a 
M = m − a ∙ m∑ a 
 
Fazendo: d = ∑ 
 d − Coeficiente de distribuição do nó j na barra jk 
 
 
Sendo: 
 
 M = m − d ∙ m M = m − d ∙ m M = m − d ∙ m M = m − d ∙ m 
d = 1 
 
 
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107 Cap. 5 - Processo de Cross 
 O mesmo procedimento será repetido para os demais nós da estrutura, 
obtendo-se assim, uma solução inicial para os momentos fletores nas extremidades de 
todas as barras. 
 Voltando ao nó j, os momentos iniciais das extremidades k, isto é, M , M , M e M serão transmitidos para o nó j através dos coeficientes de transmissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o momento resultante no nó j, será a soma: m = M ∙ t + M ∙ t + M ∙ t + M ∙ t 
Sendo m o momento de fixação da primeira aproximação. 
A situação anterior se repetee por um raciocínio idêntico ao que foi feito, 
haverá uma distribuição deste momento m para as extremidades das barras que 
concorrem no nó j, através dos coeficientes de distribuição já calculados. 
Procedendo-se a superposição de efeitos, obtemos uma segunda aproximação 
dos momentos no nó j, os quais ficam da seguinte forma: M = M +M ∙ t − m ∙ d M = M +M ∙ t − m ∙ d M = M +M ∙ t − m ∙ d M = M +M ∙ t − m ∙ d 
Fazendo o mesmo para os outros nós, serão obtidos os momentos M , M , M e M , os quais serão novamente transmitidos para o nó j. Continuando com o 
procedimento, serão obtidos novos valores para M , M , M e M , de forma iterativa, 
até que ser consiga a aproximação desejada. 
M ∙ t t M ∙ t M ∙ t M ∙ t 
t 
t 
t 
M 
M 
M 
M 
j
3 k=1 
2
4
M 3 M M 
2 
4 
k=1 
j 
M 
 
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108 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
L = IcI ∙ L 
2m 6m 2m 4m 3m 2m
Exemplo 5.1 
 1,5 tf/m 3tf 
 
 10 tf· m 
 
 A B 1,5I C 2I D I E 
 
 
 
 3tf 1,5 tf/m 3tf 
 
 3tf· m 10 tf· m 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 4 
ar = 2 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 
 
X₁ X₂ 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
 Ic = I → L = 4m; L = 3m; L = 5m 
 
 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 E1 
 3/4 4/3 2/3 
 
 
 
 
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109 Cap. 5 - Processo de Cross 
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 E2 
 2/3 4/3 3/5 
 
 
 
c.3) Carregamento externo 
 E0 
 -5,25 2,67 -1,33 2,60 
 
 m = 3 ∙ 2 ∙ 46 = 2,67 tfm 
m = − 3 ∙ 2 ∙ 46 = −1,33 tfm 
m′ = − 102 3 ∙ 25 − 1 = 2,60 tfm 
m′ = − 1,5 ∙ 68 − 12 (2 ∙ 0 − 3) = −5,25 tfm 
 
 
 
d) Cálculo dos e 
t = ba ; d = a∑ a ; d = 1 
 
Nó C 
t = ba′ = 03/4 = 0 
t = ba = 2/34/3 = 12 
 
 
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110 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
C0,360B
D E0,640 0,690 0,310
0 0,500 0,500 0
Nó D 
t = 2/34/3 = 03/4 = 12 
t = 03/5 = 0 
Nó C 
d = a′a′ + a = 3/43/4 + 4/3 = 925 = 0,360 
d = aa′ + a = 4/33/4 + 4/3 = 1625 = 0,640 
Nó D 
d = 4/34/3 + 3/5 = 2029 = 0,690 
d = 3/54/3 + 3/5 = 929 = 0,310 
e) Compensação dos momentos 
 
Momento de fixação: m = ∑ m 
 m = −525 + 267 = −258 tf ∙ cm ; m = −133 + 260 = 127 tf ∙ cm 
 
 
 
Nó mj -525 +267 -133 +260 
C -258 +93 +165 +83 
D +210 -73 -145 -65 
C -73 +26 +47 +24 
D +24 -9 -17 -7 
C -9 +3 +6 +3 
D +3 -403 +403 -2 -1 
 -187 +187 
 
 
 m = −133 + 260 + 83 = 210 tf ∙ cm 
 
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111 Cap. 5 - Processo de Cross 
6,75 4
4,03
1,87
5,25
4,75
 3
0,75
2m 6m 2m 4m 3m 2m
B
C D E
 
 
 
 
 
 
 
M 
(tfm) 
 ql8 = 1,5 ∙ 28 = 0,75 ql8 = 1,5 ∙ 68 = 6,75 PabL = 3 ∙ 2 ∙ 46 = 4,00 
 
 
 
1,5 tf/m 3tf 
 
 10 tf· m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7,33 4,67 2,36 0,64 2,37 2,37 
 
V = 7,33 tf V = 7,03 tf V = 3,01 tf V = 2,37 tf
7,33 4,67 + 2,36 0,64 + 2,37 2,37 
 
4,03 tfm 1,87 tfm 
 
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112 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
5m 6m
1m
2m
2m
A D E
B
C
2/34/52/5 1/3
3/4
Exemplo 5.2 
 3 tf/m 
 
 
 
 
 
 
 
a) Grau de hipergeometria 
di = 2 
de = 0 d = 3 
ar = 1 dr = 2 
b) Sistema Principal 
 
 
 X1 X2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos esforços 
c.1) Deslocamento X1 = 1 
 
 
 
 
 
 E1 
 
 
 
 
2 tf/m 
 4tf 
 
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113 Cap. 5 - Processo de Cross 
1/3 2/3
4/5
2/5
9,00 -9,00
2,88
-1,92
-4,174,17
c.2) Deslocamento X2 = 1 
 
 
 
 
 
 E2 
 
 
 
 
 
c.3) Carregamento externo 
 
 
 
 
 
 E0 
 
 
 
 
 m = −m = 2 ∙ 512 = 4,17 tfm 
m = −m = 3 ∙ 612 = 9,00 tfm 
m = 4 ∙ 2 ∙ 35 = 2,88 tfm 
m = − 4 ∙ 2 ∙ 35 = −1,92 tfm 
 
 
d) Cálculo dos e 
Nó D t = 0,500 t = 0,500 t = 0 
Nó E t = 0,500 t = 0,500 
 
 
 
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114 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
C0,361 0,301
0,500
0,455
0,500
0,500 0,500
0,5450,338
A E
Nó D 
d = 4/54/5 + 2/3 + 3/4 = 48133 = 0,361 
d = 2/34/5 + 2/3 + 3/4 = 40133 = 0,301 
d = 1 − (0,361 + 0,301) = 0,338 
Nó E 
d = 2/32/3 + 4/5 = 0,455 
d = 1 − 0,455 = 0,545 
e) Compensação dos momentos 
 
Momento de fixação: m = ∑ m 
 m = −417 + 900 = 483 tf ∙ cm 
 m = −900 + 288 = −612 tf ∙ cm *(maior valor absoluto) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó mj 
E -612 
D +622 
E -94 
D +22 
E -4 
 
 m = −417 + 900 + 139 = 622 tf ∙ cm 
 
 
 
+417 -417 +900 -900 
-113 -225 +139 +278 
-4 -8 0,00 -187 -94 +288
 0 0 -210 +22 +43 +334
+300 -650 -7 -7 -4 +51 
 0 +1 +2 +2 
 -217 0 -675 +675 
 +868 
 -192 
 +167 
 +26 
 +1 
 +2 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
115 Cap. 5 - Processo de Cross 
13,50
6,75
8,68
3,00
2,17
6,25
6,50
6,75
0,02
4,80
5m 6m
A D D E
2m
3m
E
C
B
D
4m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
 (tfm) 
 
 
 
 
 ql8 = 2 ∙ 58 = 6,25 ql8 = 3 ∙ 68 = 13,50 PabL = 4 ∙ 2 ∙ 35 = 4,80 
 
 
 
 
 6,75 tfm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4,30 5,70 9,32 8,68 
 
 V = 4,30 tf V = 15,02 tf V = 8,68 tf 
 4,30 5,70 + 9,32 8, 68 
 
6,50 tfm 
8,68 tfm 
3 tf/m 
 2 tf/m 
 3,00 tfm 
3,75 − 0,54 H = 3,21 tf 
0,54 3,75 
 
 
 0,54 
 0,25 H = 0,54 tf H = 0,25 tf 
4tf 
 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
116 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 
3,21
15
,0
2
8,
68
3,75
9,32
4,30
-5,70
-8,68
-0
,5
4
-0
,2
5
3,
75
+ +
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
 (tf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 1 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
FATORES DE CARGA DE 2ª ESPÉCIE (MOMENTOS DE ENGASTAMENTO NOS 
EXTREMOS) PARA HASTES RETAS COM MOMENTO DE INÉRCIA CONSTANTE 
 
 
m = + Pabl m = − Pabl 
 
m = + qs12 l ∙ [12ab + s (l − 3b)] m = − qs12 l ∙ [12a b + s (l − 3a)] 
 
m = + qs12 l ∙ [2l (3l − 4s) + 3s ] m = − qs12 l ∙ (4l − 3s) 
 
m = + ql12 m = − ql12 
 
m = + qs20 l ∙ [2c + 5(l − 3b)c + 10ab ] m = − qs20 l ∙ [3c − 5(l − 3)c − 10a b] 
 
m = + qs30 l ∙ 10s + s (5s + s) m = − qs20 l ∙ (5s + s) 
 
m = + qs60 l ∙ (10s′ ∙ l + 3s ) m = − qs60 l ∙ (5s+ 2s) 
 
m = + ql20 m = − ql30 
 
m = + qs48 l ∙ [24ab + s (a − 2b)] m = − qs48 l ∙ [24a b + s (b − 2a)] 
 
m = + qs60 l ∙ (2l + 2s l + 2s l − 3s ) m = − qs60 l ∙ (3s − 2s l − 2s l − 2l ) 
 
m = + 5ql96 m = − 5ql96 
 
m = + ql15 m = − ql15 
 
m = −M bl ∙ 2 − 3bl m = −M al ∙ 2 − 3al 
 
 
 
a b
P
L
a b
s/2s/2
s
2c
s
c
ba
s s'
s s'
b
s/2s/2
a
ss1 2
L/2L/2
M
a b
L
TABELA 2 
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
(MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PARA BARRAS COM UM APOIO E UM 
ENGASTE (FATORES DE CARGA DERIVADOS DE 2ª ESPÉCIE) 
 
 m′ = Pab2 l ∙ (b + l) 
 m′ = qbs8 l ∙ [4a (b + l) − s ] 
 m′ = qs8 l ∙ (2l − s) 
 m′ = qs8 l ∙ (2l − s ) 
 m′ = ql8 
 m′ = 3qc40 l ∙ [10ab (l + a) − (15a − 2c)c ] 
 m′ = 3qc40 l ∙ [10ab (l + b) − (15a + 2c)c ] 
 m = qs120 l ∙ (40 l − 45sl + 12s ) 
 m = qs30 l ∙ (5 l − 3s ) 
 m = qs120 l ∙ (20 l − 15sl + 3s ) 
 m = qs120 l ∙ (10 l − 3s ) 
 m = ql15 m = 7ql120 
 m′ = qsb32 l ∙ [8a (l + b) − s ] 
 m′ = q120 l ∙ (l + s )(7 l − 3s ) 
 m = 15ql192 m = ql10 m = M2 3bl − 1 
 m = 12 (2M − M ) 
a b
P
L
a b
s/2s/2
s
L
s
L
L
2cc
ba
2c c
a b
s
L
s
L
s b
L
sb
L
L
L
b
s/2s/2
a
ss1 2
L
L/2L/2
L/2L/2
M
a b
L
M
L
M1 2
Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise de Estruturas, v.3, Editora Científica, Rio de 
Janeiro, 1983. 
 
 
SORIANO, H. L. e LIMA, S. S. Análise de Estruturas, Editora Ciência Moderna, Rio 
de Janeiro, 2004. 
 
 
KALMUS, S. S. & LUNARDI JR., E. Estabilidade das Construções, v.2, Editora Nobel, 
São Paulo, 1979. 
 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática, Editora Científica, Rio de Janeiro, 1982. 
 
 
MARTHA, L. F. Métodos Básicos da Análise de Estruturas, PUC-Rio, Rio de Janeiro.