Fatorial exercícios resolvidos

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Fatoria�
Definição: seja um número maior que 1 o𝑛
fatorial de é o produto de todos os naturais de𝑛 𝑛
até 1. Isto é:
● 𝑛! = 𝑛 . (𝑛 − 1) . (𝑛 − 2) ... 1,
para 𝑛 > 1
Por definição temos:
● se , então𝑛 = 1 1! = 1
● se , então𝑛 = 0 0! = 1
Exemplos:
● 2! = 2.1 = 2
● 3! = 3.2.1 = 6
● 4! = 4.3.2.1 = 24
Observe que, à medida que 𝑛
aumenta, cresce rapidamente. Por esse𝑛!
motivo, no cálculo de expressões que
envolvem fatoriais, é muito útil empregar
igualdade do tipo: 𝑛! = 𝑛 . (𝑛 − 1)!
Atenção:
● 2! + 4! ≠ (2+4)!
● 2! + 3! ≠ 5!
● 7! - 5! ≠ 2!
● 2! 4! ≠ 8!·
● 4! : 2! ≠ 2!
Operações com fatoriais
● Adição:
2! + 4! =
= (2.1) + (4.3.2.1)
= 2 + 120
= 122
● Subtração
4! - 3! =
= 4.3.2.1 - 3.2.1
= 24 - 6
= 18
● Multiplicação
3! 1! =·
= 3.2.1 1·
= 6 1·
= 6
● Divisão
=
12!
10!
=
12.11.10!
10!
= 12 11·
= 132
Exercícios resolvidos:
1. Simplifique as expressões:
a)
7! + 6!
5!
7.6.5! + 6.5!
5!
5! ·(42+6)!
5!
48
b)
12!
10!
12!
10!
12.11.10!
10!
12 11·
132
c)
(𝑛+1)! · (𝑛−1)
𝑛!
(𝑛+1)! · (𝑛−1)
𝑛!
(𝑛+1) · 𝑛! · (𝑛−1)
𝑛!
(𝑛 + 1) · (𝑛 − 1)
𝑛2 − 1
2. Determine o valor de que satisfaz a igualdade:𝑛 𝑛! + (𝑛 + 1) = 144 · 𝑛!
 𝑛! + (𝑛 + 1) = 144 · 𝑛!
 𝑛! + (𝑛+1)!
𝑛! = 144
1 + 𝑛 + 1 = 144
𝑛 + 2 = 144
𝑛 = 144 − 2
𝑛 = 142
3. Determine o conjunto solução da equação: (𝑥 + 3)! = 1
→ Para poder ser igual a 1, tem que ser 0! ou 1!(𝑥 + 3)! = 1
→ → ou → →𝑥 + 3 = 0 𝑥 = − 3 𝑥 + 3 = 1 𝑥 = − 2
S = {-3, -2}
4. Resolva a equação:
(𝑥+1)!
(𝑥−1)! = 56
(𝑥+1) · 𝑥 · (𝑥−1)!
(𝑥−1)! = 56
(𝑥 + 1) · 𝑥 = 56
𝑥2 + 𝑥 − 56 = 0
∆ = 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐
∆ = 1 − 4 · 1 · (− 56)
∆ = 225
𝑥 = −𝑏 ± ∆2·𝑎
𝑥 = −1 ± 2252
→ → *resposta𝑥
𝑙
= −1+152 7
→ *não𝑥
𝑙𝑙
= −1−152 − 15
convém