Aula 11 - MatFinan

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Faculdade Lusófona da Bahia
CURSOS: CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina:
Matemática Financeira
Plano:
✓Sistema de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
Sistema de Amortização
Os sistemas de amortização são desenvolvidos para operações de empréstimos e
financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e
encargos financeiros.
A principal característica dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do
critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo
devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.
Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual
relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e
recebimentos.
Trataremos dos seguintes sistemas de amortização:
i. Sistema de Amortização Constante - SAC; 
ii. Sistema de Prestação Constante (SPC) também conhecido por Sistema de 
Amortização Francês (SAF) – Tabela Price;
iii. Sistema de Amortização Americano - SAA;
Definições básicas
Os principais termos usados nas operações de empréstimos e financiamentos:
Encargos (Despesas) Financeiros - Representam os juros da operação, caracterizando-se como custo
para o devedor e retorno para o credor.
Amortização - Refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é
efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas (mensais, trimestrais etc.). Alguns poucos tipos de
empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único pagamento ao
final do período. Essa situação é descrita no denominado Sistema de Amortização Americano.
Saldo Devedor - Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução
do valor já pago ao credor a título de amortização.
Prestação- É composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado
período de tempo. Assim:
Prestação =Amortização +Encargos Financeiros
Sistema de amortização constante
O Sistema de Amortização Constante (SAC) tem como característica básica ter as
amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em todo o prazo da operação.
O valor da amortização é obtido através da divisão do capital emprestado pelo número de
prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento
de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.
➢Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações
periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
Exemplo:
Admita um empréstimo de $ 100.000,00 que deve ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Desconsiderando inicialmente a existência de um
prazo de carência, pode-se elaborar a seguinte planilha financeira para a operação de empréstimo:
➢ O SAC determina que a restituição do principal (capital
emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o
valor de cada amortização constante devida
semestralmente é calculado pela simples divisão entre o
principal ($ 100.000,00) e o número fixado de
prestações (10 semestres), ou seja:
E o cálculo do juros?
Para o cálculo dos juros trabalhou-se, como é mais comum
em operações de crédito de médio e longo prazos, com a
taxa equivalente composta.
Para a taxa nominal de 30% a.a, a taxa equivalente
semestral é:
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor
imediatamente anterior, apresentam valores decrescentes:
• Para o final do 1º semestre, os encargos financeiros
somam: 14,0175% x 100.000,00 = $14.017,50;
• 2º semestre: 14,0175% x 90.000,00 = $12.615,80;
• 3º semestre: 14,0175% x 80.000,00 = $11.214,00; e
assim por diante.
Somando-se, para cada período, o valor da amortização do
principal com os respectivos encargos financeiros, tem-se
o valor da prestação semestral do financiamento.
• 1º semestre a prestação é: $ 10.000,00 + $ 14.017,50 = $
24.017,50;
• 2º semestre: $ 10.000,00 + $ 12.615,80 = $ 22.615,80; e assim
sucessivamente.
➢ A diminuição de$ 1.401,70 no valor dos juros em cada período
é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem o
saldo devedor da dívida semestralmente em $ 10.000,00. Esta
diminuição provoca, em consequência, uma redução nos juros
equivalente: 14,017% x $ 10.000,00 =$ 1.401,70.
Cálculo do SAC
Amortização (AMORT): os valores são sempre iguais e obtidos por:
Saldo Devedor (SD): é decrescente em progressão aritmética pelo valor constante da amortização. Logo, a redução periódica
do SD é: PV/n.
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se
como uma PA decrescente.
As expressões de cálculo dos juros para cada um período qualquer t:
Exemplo:
Admita um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s). Calcular o valor dos juros para o 
período t = 7:
Prestação (PMT): é a soma da amortização com os juros, isto é:
Exemplo:
Admita um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s). Calcular o valor da prestação no
5º semestre.
Sistema de Prestação Constante
O Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Prestação Constante (SPC) ou Tabela Price estipula que
as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas (modelo-padrão de fluxos de caixa).
No SPC os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas
parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.
Exemplo:
Admita um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s).
Resposta:
A planilha financeira do Sistema de Prestação Constante é:
Dica: A elaboração da planilha fica melhor
começando da última coluna para a primeira
(ou seja, calculam-se inicialmente as
prestações e, depois, para cada período, os
juros e, por diferença, as parcelas de
amortização e o respectivo saldo devedor).
Cálculo do SPC
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente do modelo-
padrão:
PV = PMT x FPV (i,n)
PV = valor presente
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva
FPV = fator de valor presente, sendo:
Exemplo:
Admita um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s).
𝑭𝑷𝑽 =
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. 
➢Para o 1º semestre, tem-se:
• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x $100.000,00 = $14.017,50
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos juros acumulados para o período): 
$19.184,40 - $14.017,50 = $5.166,90
• Saldo Devedor (Saldo Anterior no Momento Zero - Parcela de Amortização do Semestre):
$ 100.000,00 - $5.166,90 = $94.833,10
Para o 2º semestre, os cálculos são os seguintes:
Juros: 
Amortização:
Saldo Devedor:
Amortização (AMORT): é obtida pela diferença entre o valor da prestação (PMT) e o dos juros (J), ou
seja:
Amort = PMT- J
Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer é
calculado:
Exemplo
Um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações
semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s). Calcular o valor da amortização no quarto
semestre (t = 4)
Prestação (PMT): conforme foi demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação
da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de caixa, isto é:
Saldo Devedor (SD): calculado, para cada período, pela diferença entre o valor devido no início do
intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor
de qualquer período t é apurado da forma seguinte:Exemplo:
Um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações
semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s). Calcular o saldo devedor no 6º semestre do
financiamento.
Juros (J): incide sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada
período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros para um momento t qualquer:
Exemplo:
Um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações
semestrais e taxa de juros de 30% a.a. (14,0175% a.s). Determinar os juros devidos no terceiro
semestre:
Sistema de Amortização Americano
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado é
efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez.
Não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante
o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Exemplo
Um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações
semestrais e taxa de juros de 30% a.a. No entanto, os $ 100.000,00 captados devem ser
amortizados pelo SAA mediante uma única parcela ao final do 3º ano. Os juros são pagos
semestralmente à taxa efetiva de 14,0175%.
Planilha financeira desta operação:
Fundo de amortização
Junto com o SAA, costuma ser constituído pelo mutuário um Fundo de Amortização
no qual vão sendo acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do
empréstimo.
O objetivo deste fundo é que o seu montante, ao final do prazo n, seja igual ao
valor da dívida. Estes depósitos são remunerados por meio de uma taxa periódica
de juros.
Exemplo
Um empréstimo de $ 100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações
semestrais. No entanto, os $ 100.000,00 captados devem ser amortizados pelo SAA mediante uma única
parcela ao final do 3º ano. Admita que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização no
qual deve depositar certa quantia semestralmente durante todo o prazo do empréstimo. Os depósitos
periódicos são remunerados pela instituição financeira à taxa de 4% ao semestre.
Resposta
O valor de cada depósito deve produzir um montante ao final dos 3 anos igual ao valor devido da dívida, 
ou seja:
sabe-se que:
Dessa forma, $15.076,19 é o valor de
cada depósito semestral que irá
produzir um montante, ao final dos 3
anos, igual a amortização da divida de
$100.000,00
Exercício
Um empréstimo no valor de$ 420.000,00 foi concedido a uma empresa
nas seguintes condições:
Taxa de juros: 5% a.t.;
Amortização: pagamentos trimestrais;
Prazo de amortização: 3 anos.
Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas 
SAC e SPC, admitindo que não haja carência;
Referências Bibliográficas
• Bibliografia Básica:
FRANCISCO, Walter de. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1994.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 6 ed. São Paulo: Atlas, 2012.
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 
2000.
• Bibliografia Complementar:
BRUNI, A. L. & FAMÁ. R. Matemática Financeira com HP 12C e EXCEL. São 
Paulo. Atlas, 2008
LUCAS FILHO, Olívio. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012.