Aula_10

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Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO (TABELA SAA E SACRE) 
 
4. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE): 
O Sistema de Amortizações Crescentes (Sacre) foi adotado recentemente pelo Sistema Financeiro de 
Habitação (SFH) na liquidação de financiamento de casa própria. O Sacre se baseia no SAC e no Sitema 
Price, já que a prestação é igual a média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas 
mesmas condições de juros e prazos. 
 Aproximadamente até a metade do período do financiamento, as amortizações são maiores que a do 
Sistema Price. Como decorrência, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances do 
resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas 
prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário 
sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações. 
 No Sistema Sacre, também conhecido como Sistema Misto, as prestações decrescem de acordo com 
determinada progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as seguintes expressões. 
 
Valor da Primeira Prestação 
𝑷𝑴𝑻𝟏 =
𝑷𝑽(𝟏 − 𝒒)
[
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏. 𝒊
]
+ 𝒒 (
𝟏
𝒏
+ 𝒊) 𝑷𝑽 
 
Valor da razão da progressão aritmética (correspondente ao decréscimo das prestações) 
 
𝒓 = 𝒒
𝒊. 𝑷𝑽
𝒏
 
 
Sendo: 
𝑃𝑉 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 
𝑃𝑀𝑇1 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 
𝑞 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 (𝑞 = 0,5 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝑆𝐴𝐶𝑅𝐸) 
𝑛 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 
𝑖 → 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝑟 → 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
 
Dependendo do valor de 𝑞, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para 𝑞 = 0) ou no 
Sistema SAC (no caso de 𝑞 = 1). O denominado Sistema Sacre é um caso particular em que 𝑞 = 0,5, o valor 
das prestações, amortizações, juros e saldos devedores corresponde à média aritmética dos valores do Sistema 
Price e SAC. 
 
Por exemplo 1: Calcular as prestações de um empréstimo de R$ 200.000,00 a ser pago em quatro 
prestações mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a variável 𝑞 assumir os valores zero 
(Sistema Price), 0,5, Sistema Sacre e 1 (Sistema SAC). Apresentar também a planilha completa do Sistema 
Sacre. 
 
 
 
 
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• Para 𝑞 = 0 (Sistema Price) 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
𝑃𝑉(1 − 𝑞)
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖
]
+ 𝑞 (
1
𝑛
+ 𝑖) 𝑃𝑉 
 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
200.000(1 − 0)
[
(1 + 0,1)4 − 1
(1 + 0,1)4. 0,1
]
+ 0 (
1
4
+ 𝑖) 200.000 
 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
200.000
3,16987
→ 𝑃𝑀𝑇1 = 63.094,00 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒 
 
𝑟 = 𝑞
𝑖. 𝑃
𝑛
→ 𝑟 = 0
0,1 × 200.000
4
→ 𝑟 = 0 (𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
 
• Para 𝑞 = 0,5 (Sistema Sacre) 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
𝑃𝑉(1 − 𝑞)
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖
]
+ 𝑞 (
1
𝑛
+ 𝑖) 𝑃𝑉 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
200.000(1 − 0,5)
[
(1 + 0,1)4 − 1
(1 + 0,1)4. 0,1
]
+ 0,5 (
1
4
+ 0,1) 200.000 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
100.000
3,16987
+ 35.000 → 𝑃𝑀𝑇1 = 66.547,00 
𝑟 = 𝑞
𝑖. 𝑃
𝑛
 
 
𝑟 = 0,5
0,1 × 200.000
4
→ 𝑟 = 2.500,00 
 
As prestações diminuem em R$ 2.500,00 ao mês. 
 
• Para 𝑞 = 1 (Sistema SAC) 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
𝑃𝑉(1 − 𝑞)
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖
]
+ 𝑞 (
1
𝑛
+ 𝑖) 𝑃𝑉 
 
 
 
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𝑃𝑀𝑇1 =
200.000(1 − 1)
[
(1 + 0,1)4 − 1
(1 + 0,1)4. 0,1
]
+ 1 (
1
4
+ 0,1) 200.000 
 
𝑃𝑀𝑇1 =
0
3,16987
+ 70.000 → 𝑃𝑀𝑇1 = 70.000,00 
𝑟 = 𝑞
𝑖. 𝑃
𝑛
 
 
𝑟 = 1
0,1 × 200.000
4
→ 𝑟 = 5.000,00 
 
As prestações diminuem em R$ 5.000,00 ao mês. 
 
Tabela Comparativa entre os Sistemas de Amortização 
 
Relembrando: 
• Pela Sistema Price o Valor da Primeira Parcela é 𝑅$ 63.094,00 e como 𝑟 resultou em 𝑟 = 0 , as 
parcelas não se modificam ao longo dos períodos, permanecendo constantes todo mês, ou seja, 
sempre 𝑅$ 63.094,00. 
• Pelo Sistema Sacre o Valor da Primeira Parcela é de 𝑅$ 66.547,00 e como 𝑟 resultou em 𝑟 =
2.500,00, as parcelas descrescem 𝑅$ 2.500,00 a cada período. 
• Pelo Sistema SAC o Valor da Primeira Parcela é de 𝑅$ 70.000,00 e como 𝑟 resultou em 𝑟 =
5.000,00, as parcelas descrescem 𝑅$ 5.000,00 a cada período. 
 
Vejamos a tabela 
 
Período Tabela Price 
𝑞 = 0 e 𝑟 = 0 
Tabela Sacre 
𝑞 = 0,5 e 𝑟 = 2.500,00 
Tabela SAC 
𝑞 = 1 e 𝑟 = 5.000,00 
1 R$ 63.094,00 R$ 66.547,00 R$ 70.000,00 
2 R$ 63.094,00 R$ 64.047,00 R$ 65.000,00 
3 R$ 63.094,00 R$ 61.547,00 R$ 60.000,00 
4 R$ 63.094,00 R$ 59.047,00 R$ 55.000,00 
 
Observe agora porque no Sistema Sacre se usa 𝑞 = 0,5, porque o valor da Parcela na Tabela do Sistema 
Sacre nada mais é do que a media entre o valor da Parcela no Sistema Price com a Parcela do Sistema 
SAC. 
 
• Período 1: 
63.094+70.000
2
=
133.094
2
= 66.547,00 
• Período 2: 
63.094+65.000
2
=
128.094
2
= 64.047,00 
• Período 3: 
63.094+60.000
2
=
123.094
2
= 61.547,00 
• Período 4: 
63.094+55.000
2
=
118.094
2
= 59.047,00 
 
 
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Observe os exemplos feitos no Sistema Price e no Sistema SAC com estes mesmos dados e verifique 
que o valor das parcelas conferem com as parcelas calculadas com os coeficientes da fórmula do Sistema 
Price. 
 
Planilha completa do Sacre: 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Valor 𝑃𝑀𝑇1 = 66.547,00 
𝑃𝑀𝑇2 = 𝑃𝑀𝑇1 − 𝑟 (2500) 
𝑃𝑀𝑇3 = 𝑃𝑀𝑇2 − 𝑟 (2500) 
𝑃𝑀𝑇4 = 𝑃𝑀𝑇3 − 𝑟 (2500) 
Saldo Dev. × Taxa 
Juros 
Prest. − Juros Saldo Dev.− Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
OBS.: Muitas vezes ao final das planilhas de amortização pode ocorrer um residual, ou seja, não zerar 
exatamente o débito. Isso ocorre devido aos arredondamentos utilizados nos cálculos, então 
considera-se quitado o débito mesmo havendo este residual. Mas lembre-se, este residual deve ser 
insignificante perante o saldo devedor inicial, caso contrário pode haver erro de cálculo ao longo da 
planilha de amortização. 
 
 
 
 
 
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5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA 
No sistema americano, o que permanece constante no tempo são os juros. Se os juros permanecem 
constantes, então, não há variação do saldo devedor. Neste sistema, o pagamento do principal só ocorre no 
final da operação, não havendo amortizações nas parcelas intermediárias. 
 
Vamos constituir uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela 
do Sistema Americano, utilizando como exemplo uma operação de 𝑅$1.000,00 a ser paga em 4 parcelas 
postecipadas, a uma taxa de 5% ao período. 
 
Primeiramente precisamos saber o valor do desembolso mensal do valor do juro: 
 
𝑷𝑴𝑻 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟓 → 𝑷𝑴𝑻 = 𝟓𝟎, 𝟎𝟎 
 
Partir deste valor passaremos a construção da planilha: 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Valor dos Juros Saldo Devedor × Taxa Juros 
0 1.000,00 
1 50,00 50,00 0,00 1.000,00 
2 50,00 50,00 0,00 1.000,00 
3 50,00 50,00 0,00 1.000,00 
4 1.050,00 50,00 0,00 0,00 
 
 A última prestação é o valor dos juros mais o saldo devedor. 
 
Por exemplo 2: Um financiamento de R$ 200.000,00 será contratado a uma taxa de 10% a.m para 
pagamento em 3 meses pelo Sistema Americano. 
a. Juros pagos periódicamente. 
b. Juros capitalizados e pagos no fim da operação. 
 
Com juros pagos Periódicamente, temos a seguinte Tabela: 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 
1 
2 
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Agora como ficaria a tabela se os juros fossem pagos somente no fim da operação. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 
1 
2 
3 
 
Neste exemplo como os juros são incorporados ao saldo devedor pois só há pagamento ao final do 
período a prestação é a soma dos juros, que não se mantém contém constantes ao longo do período, somados 
ao saldo devedor. 
 
Sistema Amerciano com Formação de Fundo de Amortização do Empréstimo 
 
Em muitos casos, quando é contraída uma dívida pelo sistema americano é feito um fundo de 
amortização do empréstimo (sinking fund) com o intuito de que ao final da operação o valor 
acumulado no fundo seja igual ao valor devido do empréstimo, de modo que possa ser liquidado. 
Então, o passo é calcular o valor da quota do fundo de amortização que precisa ser aplicada. 
Lembremos do Montante a ser gerado a partir das séries uniformes. 
𝑀 = 𝑃𝑀𝑇 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
O montante, neste caso será o Valor da operação, e a quota do fundo de amortização é o valor 
da percela. Então a fórmula será: 
𝑄𝐹𝐴 =
𝑆
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 ]
 
 
Por exemplo 3: Trabalhando com o exemplo anterior, se um financiamento de R$ 200.000,00 
contratado a uma taxa de 10% a.m para pagamento em 3 meses pelo Sistema Americano (juros pagos 
mensalmente) onde seria aberto um fundo de amortização a uma taxa de 8% a.m. Qual é o valor 
mensal a ser depositado neste fundo para que ao final do período se tenha acumulado 𝑅$ 200.000,00 
 
Vamos calcular inicialmente qual é o valor da parcela que precisa ser aplicada mensalmente para que 
consigamos juntar todo o valor necessário para quitar a dívida ao final do período, assim não há 
necessidade de desembolsar todo o dinheiro em uma única vez, vamos pagando mensalmente, porém 
num fundo de aplicação. 
𝑄𝐹𝐴 =
𝑆
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 ]
 
 
 
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𝑄𝐹𝐴 =
200.000
[
(1 + 0,08)3 − 1
0,08 ]
 
𝑄𝐹𝐴 =
200.000
3,2464
 
𝑄𝐹𝐴 = 61.606,70 
 
Mês Depósito Juros Saldo do Fundo 
 Valor QFA Saldo Fundo × Taxa Juros Aplicação Saldo Ant. Fundo + Depósito + Juros 
0 
1 
2 
3 
 
Obs.: Os depósitos são feitos de acordo com a capitalização dos juros do empréstimo, então se o Sistema 
Americano prevê juros mensais, significa que no empréstimo serão pagos os juros somente no final de cada 
mês, logo o primeiro depósito será feito somente no final de cada período. Sendo assim, o primeiro depósito 
será no final do primeiro período, rendendo juros como os demais depósito, somente o último depósito não 
renderá juros, apenas complementará o restante do valor para quitar a dívida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1. Uma industria tomou emprestados R$ 200.000,00, concordando em saldar o débito em 8 pagamentos 
anuais postecipados a juros efetivos de 36% a.a. pela Tabela Price. Calcular: 
a. A prestação anual; 
b. O saldo devedor logo após o sexto pagamento; 
c. A amortização do quarto ano. 
 
2. Um financiamento de R$ 100.000,00 será pago pela tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
nominais de 120% a.a, capitalizados mensalmente. Calcular: 
a. A amortização do quarto mês; 
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
3. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a. A amortização do quarto mês; 
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
4. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema SAC em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a. A amortização do quarto mês; 
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
5. Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema Misto (Sacre) em cinco parcelas mensais 
a juros efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a. A amortização do quarto mês; 
b. A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c. O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação; 
d. O valor da prestação do quarto mês; 
e. A soma de todas as prestações pagas; 
f. A soma de todos os juros pagos. 
 
6. Um empréstimo de R$ 400.000,00, será pago de acordo com o sistema Americano, em 15 meses, a 
juros efetivos de 8% a.t.. Os juros serão pagos periodicamente. Qual o total de juros pagos? 
 
7. Um financiamento de 𝑅$ 80.000,00 é solicitado pelo Sistema Americano a taxa de 13% 𝑎. 𝑚. com 
pagamento em 4 meses. Admitindo que a taxa de captação da poupança de 2% 𝑎. 𝑚. no período do 
financiamento, calcular: 
 
a. Planilha de Amortização do Sistema Americano sem Formação de Fundo de Amortização; 
b. Planilha de Amortização do Sistema Americano com Formação de Fundo de Amortização; 
 
8. Uma geladeira de R$1000,00 pode ser paga em 10x com juros de 5% a.m. Monte as tabelas de 
amortização constante (SAC) e crescente (PRICE). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1. a. R$ 787.268,48 b. R$ 1.004.516,44 
2. a. R$ 2.180,14 b. R$ 1.492,23 c. R$ 4.578,30 
3. a. R$ 103.840,20 b. R$ 28.774,67 c. R$ 211.833,99 
4. a. R$ 100.000,00 b. R$ 28.000,00 c. R$ 200.000,00 
5. a. R$ 101.920,10 b. R$ 28.387,34 c. R$ 205.917,00 
 d. R$ 110.156,78 e. R$ 560.783,90 f. R$ 60.783,89 
6. a. R$ 70.958,56 b. R$ 160.000,00 c. R$ 102.958,56 
 d. R$ 310.416,45 e. 9,0456% a.t. 
 
7. 
 
 Sem Formação de Fundo 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 R$ 80.000,00 
1 R$ 10.400,00 R$ 10.400,00 R$ 80.000,00 
2 R$ 10.400,00 R$ 10.400,00 R$ 80.000,00 
3 R$ 10.400,00 R$ 10.400,00 R$ 80.000,00 
4 R$ 10.400,00 R$ 90.400,00 R$ 80.000,00 R$ 0,00 
 
 Formação de Fundo 
𝑄𝐹𝐴 = 19.409,90 
 
Período Depósito Juros Saldo do Fundo 
0 
1 R$ 19.409,90 R$ 19.409,90 
2 R$ 19.409,90 R$ 388,20 R$ 39.208,00 
3 R$ 19.409,90 R$ 784,16 R$ 59.402,06 
4 R$ 19.409,90 R$ 1.188,04 R$ 80.000,00 
 
8. 
Tabela SAC 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 150,00 R$ 50,00 R$ 100,00 R$ 900,00 
2 R$ 145,00 R$ 45,00 R$ 100,00 R$ 800,00 
3 R$ 140,00 R$ 40,00 R$ 100,00 R$ 700,00 
4 R$ 135,00 R$ 35,00 R$ 100,00 R$ 600,00 
5 R$ 130,00 R$ 30,00 R$ 100,00 R$ 500,00 
6 R$ 125,00 R$ 25,00 R$ 100,00 R$ 400,00 
7 R$ 120,00 R$ 20,00 R$ 100,00 R$ 300,00 
8 R$ 115,00 R$ 15,00 R$ 100,00 R$ 200,00 
9 R$ 110,00 R$ 10,00 R$ 100,00 R$ 100,00 
10 R$ 105,00 R$ 5,00 R$ 100,00 R$ - 
 
Tabela Price 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 129,50 R$ 50,00 R$ 79,50 R$ 920,50 
2 R$ 129,50 R$ 46,03 R$ 83,48 R$ 837,03 
 
 
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3 R$ 129,50 R$ 41,85 R$ 87,65 R$ 749,38 
4 R$ 129,50 R$ 37,47 R$ 92,03 R$ 657,35 
5 R$ 129,50 R$ 32,87 R$ 96,63 R$ 560,71 
6 R$ 129,50 R$ 28,04 R$ 101,46 R$ 459,25 
7 R$ 129,50 R$ 22,96 R$ 106,54 R$ 352,71 
8 R$ 129,50 R$ 17,64 R$ 111,86R$ 240,85 
9 R$ 129,50 R$ 12,04 R$ 117,46 R$ 123,39 
10 R$ 129,50 R$ 6,17 R$ 123,33 R$ 0,06