Geometria Espacial - NÍVEL DIFÍCIL

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Matemática – Geometria Espacial – Difícil [25 Questões] 
 
01 - (MACK SP) 
Se a área da bse de um prisma diminui de 20% e altura aumenta de 20%, então o seu 
volume: 
a) aumenta de 4% 
b) diminui de 9,6% 
c) diminui de 4% 
d) não se altera. 
e) aumenta de 9,6% 
 
02 - (MACK SP) 
Bolas de tênis, normalmente, são vendidas em embalagens cilíndricas contendo três 
unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se 
o volume não ocupado pelas bolas é 2, o volume da embalagem é: 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 4 
 
03 - (MACK SP) 
Uma piscina com 5 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de profundidade tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo. Se o nível de água está 20 cm abaixo da borda, o volume 
de água existente na piscina é igual a: 
a) 27 000 cm³ 
b) 27 000 m³ 
c) 27 000 litros 
d) 3 000 litros 
e) 30 m³ 
 
 
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04 - (PUCCampinas SP) 
Considere as sentenças 
 
I. Se um plano intercepta uma superfície esférica a intersecção é um ponto ou uma 
circunferência. 
II. Se 
AB
 e 
CD
 são dois diâmetros de uma esfera, então o quadrilátero ABCD é um 
retângulo. 
III. Todo plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio que contém o 
ponto de tangência. 
 
É correto afirmar que 
a) somente I e III são verdadeiras 
b) somente III é verdadeira 
c) somente II é verdadeira 
d) somente I é verdadeira 
e) I, II e III são verdadeiras 
 
05 - (PUC MG) 
Na figura, os triângulos retângulos, ABC e CDE, são isósceles; AC = 3 e CD = 1. A medida 
do volume do sólido gerado pela rotação do trapézio ABED, em torno do lado BC, é: 
A
D
CB
E 
a) 
3
26
 
b) 
5
24
 
c) 
3
22
 
d) 
5
21
 
 
06 - (UFPE) 
Um tetraedro ABCD tem arestas medindo 5, 6, 10, 15, 19, 24. Se AB = 5, quanto mede CD? 
a) 6 
b) 10 
 
 
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c) 15 
d) 19 
e) 24 
 
07 - (CEFET PR) 
Uma peça de decoração tem formato esférico de 12cm de diâmetro. Nela serão pintados 3 
fusos esféricos de 45º. Se x for o valor, em cm2, da área não pintada, pode-se afirmar que: 
(use =3,14). 
a) 150 cm2  x  200 cm2 
b) 280 cm2  x  300 cm2 
c) 670 cm2  x  680 cm2 
d) 680 cm2  x  700 cm2 
e) 330 cm2  x  350 cm2 
 
08 - (CEFET PR) 
Uma pirâmide hexagonal regular, com a aresta da base 9 cm e aresta lateral 15 cm, foi 
seccionada por dois planos paralelos à sua base que dividiram sua altura em três partes 
iguais. A parte da pirâmide, compreendida entre esses planos, tem volume, em cm3, igual a: 
a) 
3106
. 
b) 
3110
. 
c) 
3116
. 
d) 
3120
. 
e) 
3126
 
 
09 - (FUVEST SP) 
Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares 
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta 
perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, 
finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a 
CG
. A formiga chegou ao 
vértice 
G
ED
A B
C
 
 
 
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a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
10 - (ITA SP) 
A altura e o raio da bse de um cone de revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por 
um ponto do eixo do cone situado a d cm de distância do vértice, traçamos um plano 
paralelo à base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a media geométrica 
entre os volumes do cone dado e do cone nemor formado. Então d é igual a: 
a) 
3
3
32
 
b) 
3
2
53
 
c) 
3
2
53
 
d) 
2
23
 
e) 
3
32
 
 
11 - (ITA SP) 
Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular 
cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As 
arestas das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. 
A altura (em cm) do tronco mede: 
a) 
5
3a
 
b) 
10
35a
 
c) 
52
35a
 
d) 
10
35a
 
e) 
5
7a
 
 
 
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12 - (ITA SP) 
Considere a região ao plano cartesiano xy definido pela desigualdade: x2 + y2 – 2x + 4y + 4  
0. Quando esta região rodar um ângulo de 
3
π
 radianos em torno da reta y + x + 1 = 0, ela irá 
gerar um sólido cujo volume é igual a: 
a) 
3
4π
 
b) 
3
2π
 
c) 
3
π
 
d) 
9
4π
 
e) n.d.a. 
 
13 - (ITA SP) 
As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem L cm e as faces laterais são 
triângulos retângulos. O volume desta pirâmide é: 
a) 
cm³ L
6
3 3
 
b) 
cm³ L
12
3 3
 
c) 
cm³ L
24
3 3
 
d) 
cm³ L
12
2 3
 
e) n.d.a. 
 
14 - (ITA SP) 
Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de 
comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, 
são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a: 
a) 
222
6
1

 
b) 
2-2
6
1
 
c) 
2-2
3
1
 
 
 
 
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d) 
122
6
1

 
e) n.d.a. 
 
15 - (ITA SP) 
Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desiguladades x – y  1, x + y  1 e 
(x – 1)2 + y2  2. 
O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a: 
a) 
π
3
4
 
b) 
π
3
8
 
c) 
 π2-2
3
4
 
d) 
 π12
3
8

 
e) n.d.a. 
 
16 - (UERJ) 
ABCD é um tetraedro no qual ABC é um triângulo equilátero de lado a e a aresta AD é 
perpendicular ao plano ABC. Sabendo-se que o ângulo diedro das faces ABC e DBC é 45º, o 
volume do tetraedro é 
a) 
.
12
a3
 
b) 
.
8
a 3
 
c) 
.
6
a 3
 
d) 
.
4
a 3
 
e) 
.
2
a 3
 
 
17 - (UERJ) 
Um empregado de obra montou uma estrutura metálica para a cobertura de um galpão 
retangular de 5 metros por 8 metros, usando tubos de um metro de comprimento, da 
seguinte forma: 
 
I. contou e armou todos os quadrados necessários, com uni metro de lado, para cobrir a 
 
 
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área desejada; 
 
II. armou uma pirâmide para cada base quadrada; 
 
III. juntou todas as pirâmides pelas bases e usou os tubos que sobraram para unir os seus 
vértices. 
Observe as figuras: 
 
O tubo que sobrou em CD foi usado para unir os vértices A e B. 
 
A quantidade de tubos necessária para cobrir o galpão é: 
a) 240 
b) 280 
c) 300 
d) 320 
 
 
18 - (UERJ) 
Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas 
laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de comprimento. A base de cada 
 
 
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pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número 
inteiro, diferente das anteriores. Veja o modelo abaixo: 
8 10
12
 
A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é: 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
19 - (ITA SP) 
Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x² + 4x + y² – 4y – 8  
0. 
Quando esta região rodar um ângulo de 
6

 radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar 
um sólido de superfície externa total com área igual a 
a) 
3
128
 
b) 
4
128
 
c) 
5
128
 
d) 
6
128e) 
7
128
 
20 - (UFCG PB) 
Uma determinada indústria confecciona um lote de 10 peças P1, P2, …, P10 em formato de 
cones eqüiláteros, de modo que o custo Cj (em reais) da peça Pj é dado por 


27
3V
C
j
j
, onde 
Vj é o volume (em cm
3) de 
10 ..., ,2 ,1jPj 
. 
Denotando por rj o raio da base de Pj, sabe-se que a seqüência r1, r2, …, r10 é uma 
progressão geométrica. Dado que r1 e r4 medem, respectivamente, 3cm e 6cm, o custo total 
do lote é 
a) R$ 1.116,00 
b) R$ 1.063,00 
c) R$ 1.106,00 
d) R$ 1.023,00 
e) R$ 1.123,00 
 
 
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21 - (UFMG) 
Observe a figura , a base da pirâmide VBCEF é um quadrado inscrito no círculo da base do 
cone de vértice V. 
A
B C
D
EF
V
 
A razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide , nesta ordem, é: 
a) 

/4 
b) 

/2 
c) 

 
d) 2

 
e) 2

/3 
 
22 - (INTEGRADO RJ) 
O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a seguir, em torno do eixo e, é, 
em cm3: 
2 cm
3 cm
3 cm
e
6 cm
 
a) 38 
b) 54  
c) 92  
d) 112  
e) 128  
 
23 - (ITA SP) 
Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede 
cm 3
. 
Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume 
igual a 1cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 
2/1
, 
a altura do tronco, em centímetros, é igual a 
 
 
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a) 
4/)26( 
 
b) 
3/)36( 
 
c) 
21/)633( 
 
d) 
6/)3223( 
 
e) 
22/)262( 
 
 
24 - (ITA SP) 
Se S é a área total de um cilindro reto de altura h, e se m é a razão direta entre a área lateral 
e a soma das áreas das bases, então: 
a) 
)1m(2
Smh


 
b) 
)2m(4
S.mh


 
c) 
)2m(2
Smh


 
d) 
)1m(4
Smh


 
e) n.d.a 
 
25 - (UFSCar SP) 
É dada uma semi-esfera de raio r, e um plano, paralelo ao círculo base, que corta a semi-
esfera em duas partes de igual área. Qual a distância desse plano ao da base da semi-esfera. 
a) 
2
r
 
b) 
r
3
2
 
c) 
2
r
 
d) 
r
3
2
 
e) nenhuma das precedentes respostas é certa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO: 
 
1) Gab: C 
 
2) Gab: A 
 
3) Gab: C 
 
4) Gab: E 
 
5) Gab: A 
 
6) Gab: E 
 
7) Gab: B 
 
8) Gab: E 
 
9) Gab: E 
 
10) Gab: B 
 
11) Gab: B 
 
12) Gab: D 
 
13) Gab: C 
 
14) Gab: A 
 
15) Gab: B 
 
16) Gab: B 
 
17) Gab: D 
 
18) Gab: A 
 
19) Gab: A 
 
20) Gab: D 
 
21) Gab: B 
 
22) Gab: E 
 
23) Gab: C 
 
24) Gab: A 
 
25) Gab: C