aula03 Introdução à teoria dos limites

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3ºAula
Introdução à teoria dos limites
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• conhecer os limites de uma função;
• encontrar os limites de uma função;
• estudar as propriedades dos limites.
É possível calcular o limite de uma função, pois nem toda função 
é definida em cada valor de x. As funções racionais, por exemplo, são 
indefinidas se o denominador da função for 0. Esse é, na verdade, um 
exemplo perfeito de como você pode usar um limite para observar uma 
função e ver o que ela faria se pudesse. Observe o comportamento de 
uma função próxima ao(s) valor(es) indefinido(s). Literalmente, você estará 
observando a função quando ela se aproxima. Se uma função for indefinida 
em x = 3, você pode observar x = 2, x = 2,9, x = 2,99, x = 2,999, e assim 
por diante. Agora, faça isso de novo do outro lado: x = 4, x = 3,1, x = 3,01, 
e assim por diante. Todos esses valores são definidos, exceto x = 3. 
Bons estudos!
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Seções de estudo
1. Noção de limite
2. Encontrando o limite da função
3. Propriedades do limite
4. Limites laterais
5. Limites infinitos
1 - Noção de limite
Dada uma função f, você quer saber o que ocorre com 
os valores f(x), quando a variável x se aproxima de um 
ponto a. Para você entender melhor, considere a função f 
definida pela expressão a seguir.
A função f está definida para todo x real, exceto x = 1. 
Assim, se x 1, o numerador e o denominador de f podem 
ser divididos por (x – 1) e você obtém 
, para x 1.
Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez 
mais próximo de 1, com x < 1 e observamos o que está 
acontecendo com f(x), conforme a tabela a seguir:
0
2
Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-
se cada vez mais de 1, com x >1 e observar o que está 
acontecendo com f(x):
2
8
Observamos, em ambas as tabelas, que quando x se 
aproxima cada vez mais de 1, a função f(x) se aproxima 
cada vez mais de 5. Em outras palavras, é possível obter o 
valor de f(x) tão próximo de 5 quando desejarmos, desde 
que tomemos x suficientemente próximo de 1. Examine o 
gráfico de f(x) a seguir.
(COSTA & GUERRA, 2009).
Para x cada vez mais próximo de 1, f(x) 
aproxima-se de 5 e escreve-se a seguinte expressão: 
.
Observe o gráfico da função .
(COSTA & GUERRA, 2009).
Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela direita, 
ou seja, para valores de x > 0 , a função f cresce cada vez 
mais com valores positivos, ou seja, pode-se dizer que a 
função f tende para + . Quando x tende a 0 pela direita, x 
 0+, f(x) + e escreve-se:
Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela 
esquerda, ou seja, com valores de x < 0 , os valores absolutos 
da função f crescem cada vez mais e são negativos, ou seja, 
pode-se dizer que a função f tende para . Quando x 
tende a 0 pela esquerda, x 0-, f(x) e escreve-se:
2 - Encontrando o limite da função
É possível procurar o limite de uma função de três 
maneiras para um determinado valor de x: graficamente, 
analiticamente e algebricamente. Se for solicitado que você 
encontre o limite de uma função, insira diretamente o valor 
de x para obter um resultado sem nenhuma indeterminação, 
você terá encontrado o limite desta função para x tendendo 
ao valor especificado. É literalmente fácil assim!
Considere a função . Quando nós 
dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 é 
7, escrito como , nós queremos dizer 
que a medida que x se aproxima de 2 pela esquerda ou pela 
direita, f(x) se aproxima de uma altura igual a 7.
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(MARK RYAN, 2009).
Valores de entrada e saída de à 
medida que x se aproxima de 2.
A partir da tabela, você pode ver que y está cada vez 
mais perto de 7 em ambos os lados. Aliás, se todas as funções 
fossem contínuas (sem descontinuidade, sem “quebras”), 
como a da figura, você poderia apenas colocar o número x 
para ter a resposta, e não haveria necessidade desse tipo de 
problema sobre o limite. Precisamos de limites em cálculo por 
causa das importantes funções que têm buracos. A função da 
próxima figura é idêntica à função da figura anterior, exceto 
pelo buraco no ponto (2,7) e o ponto em (2,5).
(MARK RYAN, 2009).
As funções importantes são as funções como as da 
figura, que aparecem com frequência no estudo das derivadas. 
A terceira função h(x) é idêntica f(x), exceto pelo fato de o 
ponto (2,7) ter sido arrancado, deixando um buraco em (2,7) e 
nenhum outro ponto onde x seja igual a 2. 
(MARK RYAN, 2009).
Para todas as três funções, o limite à medida que x se 
aproxima de 2 é 7. Isso nos leva a um ponto crítico: quando 
determinamos o limite de uma função, à medida que x se 
aproxima, digamos que de 2, o valor de f(2) é totalmente 
irrelevante. 
(MARK RYAN, 2009).
Em um problema sobre limite, a variável se aproxima 
cada vez mais do número x, mas nunca é igual a ele. O que 
acontece com a função quando a variável é exatamente igual ao 
número x não tem efeito na resposta do problema sobre limite.
Recomendamos usar o método de gráfico somente 
quando o gráfico for dado e for solicitado que você encontre 
um limite. O método analítico sempre funciona para qualquer 
função, mas ele é lento. Se puder usar o método algébrico, você 
economizará tempo.
3 - Propriedades do limite
Propriedades básicas dos limites. Consideremos sempre 
que f e g são funções em um intervalo aberto contendo o ponto 
x = a, exceto possivelmente no ponto x = a.
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4 - Limites Laterais
Calcular os limites laterais significa calcular o limite em 
um determinado ponto a aproximando-se por ambos os lados, 
ou seja, pela direita (valores maiores do que a) e pela esquerda 
(valores menores que do a).
Simbolicamente é expresso da seguinte forma:
Pela direita: 
Pela esquerda: 
Limite à direita
Se f(x) tende L1 quando x a por meio de valores 
maiores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende 
para a pela direita e indica-se por:
Limite à esquerda
Se f(x) tende L2 quando x a por meio de valores 
menores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende 
para a pela esquerda e indica-se por:
Existência do Limite
O limite de f(x) quando x a existe, se e somente se, os 
limites laterais forem iguais, ou seja: 
Se:
 Então:
Onde C é uma constante.
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Em símbolos, escreve-se , que se 
lê como “o limite conforme x se aproxima de f(x) é L”. L é 
o limite que você vai procurar. Para que o limite de uma 
função exista, o limite esquerdo e o limite direito devem 
existir e ser equivalentes.
Um limite esquerdo começa em um valor menor do que aquele que 
Um limite direito é o oposto exato; ele começa maior do que o 
Se, e somente se, o limite esquerdo for igual ao limite 
direito, você poderá dizer que a função possui um limite para 
aquele valor específico de x.
Tente obter suas soluções sem olhar as soluções dadas 
levando, cuidadosamente, em consideração as formas “ ” e “
 - ” durante seus cálculos. Inicialmente, alguns estudantes 
incorretamente concluem que “ ” é igual a 1, ou que o limite 
não existe, ou é + ou - . Muitos concluem que “ - ” 
é igual a 0. De fato, as formas “ ” e “ - ” são exemplos 
de formas indeterminadas. Isto significa que você ainda não 
determinou uma resposta. 
Retomando a aula
que estudamos?
1 – Noção de limite
Você analisou o limite de uma função quando ela 
apresenta alguma indeterminação. Dessa forma, quanto 
mais próximos os valores da variável da indefinição, os 
valores da função tendem a um número específico.
2 – Encontrando o limite da função
Há três maneiras possíveis de obter o limite de uma 
função: graficamente, analiticamente e algebricamente. 
Graficamente, o limite é obtido analisando o comportamento 
no gráfico. Analiticamente, o limite é obtido atribuindo 
valores para a variável cada vez mais próximos ao ponto 
em que se esteja analisando, pela esquerda e pela direita, 
observando o comportamento da função para estes dois 
casos. E por fim, algebricamente, o limite pode ser obtido 
por meio de manipulaçõesmatemáticas utilizando álgebra 
e teoremas.
3 – Propriedades do limite
Você aprendeu que, dadas duas funções, f(x) e g(x), 
sendo a um ponto aberto de um intervalo do domínio das 
duas funções, tem-se que:
1. 
2. 
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3. 
4. 
5. .
4 – Limites laterais
Você viu que calcular os limites laterais consiste em 
calcular o limite em um determinado ponto a aproximando-
se por ambos os lados, ou seja, pela direita e pela esquerda. 
É utilizada a notação para o limite pela direita, e 
 pela esquerda.
É importante lembrar que o limite de uma função só 
existe se os dois limites laterais forem iguais.
5 – Limites infinitos
Você deve ficar atento a indeterminações do tipo “ / ”, 
“ + ”, ou ainda “ - ”, que, erroneamente, pode levar a 
conclusões como “1” ou “ ”. No entanto, indeterminações 
como essas não geram nenhuma conclusão, indicando que 
você ainda não determinou uma resposta válida.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 
Vol.1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1985.
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