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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
DIFERENCIAL E LIMITES
RAFAEL DE MOURA MOREIRA
Sumário
INTRODUÇÃO ������������������������������������������������� 3
CÁLCULO DIFERENCIAL �������������������������������� 4
LIMITE E CONTINUIDADE ������������������������������ 5
Conceito de limite ����������������������������������������������������������������� 6
Limites no infinito e assíntotas �������������������������������������������� 9
Continuidade ����������������������������������������������������������������������� 15
Propriedades de limites ������������������������������������������������������ 16
Limites indeterminados ������������������������������������������������������ 20
LIMITES LATERAIS ��������������������������������������24
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ��������������������������������������������29
2
INTRODUÇÃO
O cálculo diferencial é uma área importantíssima na 
Matemática, muito útil para se resolver problemas 
de taxa de variação.
Antes de iniciarmos os estudos nessa área, precisa-
mos formalizar alguns conceitos muito importantes, 
sendo o principal deles o limite, uma ferramenta 
para se estudar o comportamento de uma função 
nos arredores de um ponto.
Além da base formal, que será importante para 
aprendermos outros conceitos no futuro, iremos 
também aprender a aplicar diretamente limites 
para extrair informações úteis sobre uma função, 
como sua continuidade, possíveis convergências, 
possíveis tendências de crescimento ao infinito, 
entre outras coisas.
Neste e-book apresentaremos os conceitos breve-
mente e iremos ilustrá-los com diversas funções e 
gráficos para os exemplificar, mas para realmente 
dominar o conteúdo não deixe de resolver exercícios 
envolvendo cálculos de limites. Você irá encontrar 
farta quantidade de exercícios nos livros indicados 
nas referências bibliográficas.
3
CÁLCULO DIFERENCIAL
O cálculo diferencial é uma área da Matemática 
que lida com taxas de variação: quando uma certa 
quantidade varia em uma unidade, em quantas uni-
dades uma outra quantidade relacionada irá variar?
Pensadores de diferentes povos estudam noções 
relacionadas desde a Antiguidade, mas a forma 
moderna de se lidar com esses problemas foi 
desenvolvida de maneira independente por Isaac 
Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no século 17.
Essa maneira moderna utiliza conceitos como 
derivadas e diferenciais. Noções semelhantes 
eram, no passado, construídas em cima da ideia de 
infinitesimais: grandezas infinitamente pequenas.
A ideia de infinitesimal é descrita no cálculo dife-
rencial moderno utilizando o conceito de limite e, 
por conta disso, focaremos nesse conceito antes 
de avançarmos para derivadas.
4
LIMITE E CONTINUIDADE
Até o momento, em nossos estudos sobre funções, 
sempre consideramos a ideia de um ponto da 
função: dado um valor para sua variável indepen-
dente, era possível obter o valor da sua variável 
dependente. Ou, pensando graficamente, sempre 
pensávamos em mapear um valor no eixo x a um 
correspondente no eixo y.
Há casos, porém, onde um ponto não está definido 
em uma função. Considere, por exemplo, a função 
abaixo:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)
𝑥𝑥
Sabemos que não é possível dividir por zero. Por-
tanto, sabemos que não pode existir um valor para 
. Mas pode ser útil estudar o comportamento 
da função na vizinhança do ponto ausente.
5
Figura 1: gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)
𝑥𝑥 �
3.0
2.5
1.5
-1.5 1.5
0.5
0.0
0.0 0.5
-0.5
-0.5
2.0
=2.0 2.0
1�0
1�0
-1�0
-1�0
Fonte: elaborado pelo autor.
CONCEITO DE LIMITE
Noção intuitiva de limite e notação
Informalmente, o limite de uma função em um certo 
ponto é o valor ao qual ela se aproxima quando x 
tende àquele ponto.
Note no gráfico da figura 1 que a função não está 
definida no ponto (0,1), pois este valor provocaria 
uma divisão por zero. Porém, note que na vizinhança 
desse ponto temos diversos valores. Sendo assim, 
6
apesar de não existir f(0), podemos estudar como a 
função se comporta conforme x se aproxima de 0.
Sendo assim, apesar de não existir um valor para 
f(0), podemos afirmar que existe um limite para 
f(x) conforme x tende a zero. Note que quanto 
mais x se aproxima de 0, mais y se aproxima de 
1. Podemos quase afirmar que se o ponto x = 0 
existisse, seu valor seria 1. Portanto, dizemos que 
o limite de f(x) quando x tende a 0 vale 1.
Este limite é representado da seguinte maneira:
lim
	𝑥𝑥→0
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)
𝑥𝑥 = 1
Geralmente estudaremos o limite de uma função em 
pontos onde ela não está definida. Fazemos isso jus-
tamente porque, na ausência do ponto, o máximo que 
podemos estudar é o seu comportamento na região 
desse ponto ausente.
Porém, limites não se referem apenas a pontos que não 
existem. Considere funções mais simples, como f(x) = 
2x, por exemplo. Sabemos que f(2) = 4. Mas também 
podemos calcular o limite de f conforme x tende a 2, e 
o resultado também será 4.
FIQUE ATENTO
7
Definição de limites
O foco aqui não é no formalismo matemático, 
mas nas aplicações práticas. Portanto, vamos 
apresentar de maneira breve a definição formal 
e em seguida voltaremos para casos concretos e 
estratégias para se calcular certos limites.
Seja f(x) uma função definida em um intervalo 
aberto que contém um número real r (exceto, 
possivelmente, no próprio ponto r), e seja L um 
número real. Dizemos que:
lim
𝑥𝑥→𝑟𝑟
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 
quando, para qualquer número ε > 0 existir um 
número correspondente 𝛿𝛿		 > 	0 tal que:
𝑟𝑟 − δnúmero alto. Porém, quanto maior o valor de x, 
menor esse valor. Lembre-se sempre de que quanto 
maior o denominador, menor o resultado da fração. 
Sendo assim, quando x possui um valor muito alto, 
o valor da fração é quase zero, mas nunca exata-
mente zero. Sendo assim, a função começará com 
um valor alto e irá decrescer se aproximando cada 
vez mais de 5, mas sempre valendo pelo menos 
um pouquinho mais do que 5. Ou seja:
lim
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥 	+ 5 = 5 
Observe o gráfico da função:
11
Figura 3: gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	
1
𝑥𝑥
+ 5.
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Fonte: elaborado pelo autor.
A linha pontilhada em 𝑦𝑦 = 5 representa justamente 
o fato de que aquele é um valor que a função irá 
aproximar indefinidamente sem nunca atingir de 
fato. Chamamos essa linha de assíntota horizontal.
Limites tendendo ao infinito
Algumas funções não são definidas em certos 
pontos, geralmente quando aparece uma divisão 
por zero. Nesses casos, é comum que na vizi-
nhança desse ponto, conforme o denominador se 
aproxima de zero, a função adquira valores cada 
vez maiores, tendendo ao infinito.
12
Isso provoca o surgimento de uma assíntota ver-
tical no ponto onde a função não está definida e a 
função cresce rumo ao infinito (ou decresce rumo a 
menos infinito) conforme se aproxima desse ponto.
Figura 4: gráfico de 
𝑓𝑓 x = 	
1
𝑥𝑥 − 5 
�
2
2
4
6
8
-2 4 6 80
0
Fonte: elaborado pelo autor.
Observe como na figura 4 a função cresce para 
o infinito conforme nos aproximamos de 𝑥𝑥 = 5 , 
não existindo nesse ponto (por conta da divisão 
por zero). A linha vertical é a assíntota, ou seja, o 
ponto inexistente para onde há um comportamento 
de convergência.
13
Uma mesma função pode ter múltiplas assíntotas. 
Considere a função:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	
1
𝑥𝑥2 − 1 + 1 
Primeiro, vamos calcular seus limites com x ten-
dendo ao infinito e verificar se há algum tipo de 
convergência. Lembre-se que dividir por infinito é 
equivalente a dividir por um número muito grande, 
o que significa que o resultado da divisão se torna 
bem pequeno, tendendo a zero.
lim
$→&
1
𝑥𝑥2−1
+ 1 = 1
∞
+ 1 = 	 0 + 1 = 1
lim
$→&'
1
𝑥𝑥2−1
+ 1 = 1
&∞
+ 1 = 	 0 + 1 = 1
Note que em ambas as direções a função con-
verge para 1. Isso indica assíntota horizontal em 
𝑦𝑦 = 1. Agora vamos verificar os pontos onde o 
valor da função pode ir para infinito. Esses são 
os valores onde o denominador daria 0. Como 
nosso denominador é 𝑥𝑥" − 1, os valores -1 e +1 
resultariam em 0:
lim
$→&'
1
𝑥𝑥2−1
+ 1 = 1
'&'
+ 1 = ∞
Esses são os valores de assíntota vertical no 
nosso gráfico. Para obter o restante do gráfico, 
experimente testar alguns valores diferentes de 
x na função.
14
Figura 5: gráfico de 
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	
1
𝑥𝑥2 − 1 + 1 .
-2
-1
-2
2
0
1
2
3
4
5
0 4-4
Fonte: elaborado pelo autor.
CONTINUIDADE
De maneira informal, intuitiva, podemos afirmar 
que uma função é contínua quando podemos 
desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel. 
Caso a função não esteja definida em um ponto 
ou haja um “salto” brusco de valor de um ponto 
para o outro, isso não é mais possível, e dizemos 
que a função não é contínua.
15
Formalmente, podemos definir uma função como 
contínua em um ponto desde que ela cumpra dois 
critérios:
 y 𝑓𝑓 𝑥𝑥 está definida no ponto p.
 y
lim
$→&
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝)
Diversas funções ilustradas até o momento apre-
sentam descontinuidades. Elas são frequentes 
quando há um denominador que possa assumir 
o valor 0, mas elas podem existir por motivos di-
versos, inclusive por uma definição arbitrária de 
uma função.
PROPRIEDADES DE LIMITES
Os limites possuem algumas propriedades que 
podem ser úteis para auxiliar no cálculo de limites 
mais difíceis, além de um teorema bastante útil. 
Iremos listá-las:
 y
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 	𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔 𝑥𝑥 
 y
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 	 = lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔 𝑥𝑥 
 y
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 	 = lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⋅ lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔 𝑥𝑥 
 y
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) =
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔(𝑥𝑥) , desde que lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0. 
É possível deduzir outras duas propriedades a 
partir dessas. Considere a propriedade do limite 
do produto. Considere que uma das funções seja 
16
uma função constante. Por exemplo, 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0. Ao 
aplicar a propriedade do produto, verificamos o 
limite do produto entre uma constante e a função:
 y lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑐𝑐 ⋅ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 	 = 𝑐𝑐 ⋅ lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 
Também pela propriedade do produto, é possível 
deduzir a propriedade da potência:
 y lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 	
𝑛𝑛
= lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 
Como raízes são equivalentes a uma potência 
fracionária, também podemos deduzir a seguinte 
propriedade:
 y lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑛𝑛 	= lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑛𝑛 
Por fim, há também o teorema do confronto, tam-
bém conhecido como teorema do sanduíche� De 
maneira simplificada, o teorema afirma o seguinte: 
se uma função está entre outras duas funções que 
possuem o mesmo limite em um ponto, então ela 
também possui esse mesmo limite.
Formalmente, listamos as seguintes condições:
1) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 	≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ(𝑥𝑥) 
2) lim 𝑥𝑥 → 𝑝𝑝 𝑓𝑓
𝑥𝑥 		
= 	 lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 
Se ambas as condições forem cumpridas, então 
podemos afirmar que lim
𝑥𝑥→𝑝𝑝
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 . 
17
Observemos um exemplo em que o teorema do 
confronto pode nos auxiliar a obter um limite que, 
a princípio, poderia ser complicado de calcular 
devido a possíveis indeterminações:
lim
𝑥𝑥→∞
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥)
𝑥𝑥2
 
Antes de tentarmos calcular esse limite, podemos 
fazer algumas análises sobre as funções envolvi-
das. Primeiro, sabemos que a função seno sempre 
varia entre -1 e 1, ou seja:
−	1	 ≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ 1 
Como na função original havia x² no denominador, 
vamos dividir todos os termos da inequação pelo 
mesmo valor:
−
1	
𝑥𝑥2 ≤
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 ≤
1
𝑥𝑥2 
Ambas as funções que surgiram nos extremos da 
inequação são funções mais fáceis de se obter o 
limite no infinito. Como já verificamos em exem-
plos anteriores, o infinito no denominador fará o 
resultado convergir (aproximar-se indefinidamente) 
para zero:
lim
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥2 = 	∞
18
lim
	𝑥𝑥→∞
−
1
𝑥𝑥2 = 	∞ 
Por meio da inequação que elaboramos, um dos 
critérios para a aplicação do teorema do confronto 
está dada: nós temos um “sanduíche” de funções 
com a função desejada no meio, sendo sempre 
menor ou igual a uma das outras funções e sempre 
maior ou igual à outra.
Agora que sabemos que os limites de ambas as 
funções que cercam a função desejada são iguais, 
podemos concluir que:
lim
𝑥𝑥→∞
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)
𝑥𝑥2
= 0 
Ou seja, um problema potencialmente difícil de se 
calcular, envolvendo comportamentos indetermina-
dos e uma função oscilatória pode ser convertido 
para um problema mais simples, envolvendo apenas 
funções que já sabemos trabalhar, e o teorema 
garante que os limites serão equivalentes.
O gráfico com as funções envolvidas facilita bastante 
a visualização de como o teorema funciona, pois 
é possível ver as funções externas “espremendo” 
a função interna em direção ao zero.
19
Figura 6: Teorema do Confronto.
0.100
-0.100
0.075
-0.075
0.050
-0.050
0.025
0.000
0 10 20 30 40 50
-0.025
Fonte: elaborado pelo autor.
LIMITES INDETERMINADOS
Limites nos ajudam a realizar certos cálculos que 
envolvem valores com os quais tipicamente não 
conseguimos trabalhar em outras situações, como 
divisões por zero e infinito.
20
Mas não podemos nos esquecer de que infinito 
não é número e divisão por zero não existe, o que 
normalmente fazemos é trabalhar com tendên-
cias na vizinhança dessas situações em funções. 
Infinito é comportamento de função crescendo 
indefinidamente e nas divisões por zero estamos 
investigando a divisão por números progressiva-
mente próximos de zero.Sendo assim, mesmo utilizando limites, certas 
situações não têm como ser estudadas. São os 
limites indeterminados. Um limite será considerado 
indeterminado – ou seja, não temos como calcular 
um número de verdade ou extrair informação útil 
dele – quando surgir uma das seguintes situações:
0
0	
, ∞
	∞
, 00,∞0, 1∞, 0 ⋅ ∞,∞ −∞
Note que várias dessas indeterminações podem 
levar a contradições. Por exemplo, sabemos que 
zero dividido por qualquer número é zero. Porém, 
qualquer número dividido por um número tendendo 
a zero deveria tender para infinito. Portanto, quan-
do temos numerador e denominador tendendo a 
zero, qual deles prevaleceria, a ida para infinito ou 
a ida para zero?
A mesma lógica se aplica para a divisão dos infini-
tos: infinito dividido por qualquer número ainda é 
infinito. Porém, qualquer número dividido por infinito 
21
tenderia a zero. Subtração de infinitos: temos um 
número muito grande sendo subtraído de outro 
número muito grande. Como podemos chegar em 
um número determinado a partir desses valores 
genericamente grandes e vagos? Qual dos infinitos 
é “maior” e quão maior ele é para que possamos 
subtrair o outro?
Não temos respostas para o questionamento acima. 
Esses valores são, de fato, indeterminados, pois 
não temos como calculá-los, nem mesmo apro-
ximá-los utilizando qualquer técnica matemática 
conhecida até hoje.
Quando encontrarmos um limite indeterminado, 
devemos utilizar manipulações algébricas, subs-
tituições ou outras técnicas, como a regra de 
L’Hôspital (que estudaremos futuramente) para 
calcular corretamente o limite.
Diversos limites importantes a princípio irão resultar 
em indeterminações matemáticas. A própria derivada, 
que estudaremos futuramente, vem de um limite com 
grandes chances de chegar a zero no numerador e 
denominador simultaneamente.
Por conta disso, o cálculo de limites frequentemente 
envolve manipular a função, realizar substituições (por 
exemplo, entre diferentes funções trigonométricas), 
SAIBA MAIS
22
aplicar teoremas, utilizar técnicas de fatoração, dentre 
várias outras estratégias para chegarmos a uma expres-
são que seja equivalente à função original, mas que nos 
permita obter um valor válido para o limite.
23
LIMITES LATERAIS
Quando estudamos um limite, normalmente es-
tamos estudando o que ocorre com uma função 
conforme nos aproximamos de um certo valor a 
partir de sua vizinhança. Geralmente pensamos 
nessa aproximação como sendo de qualquer um 
dos lados: pode ser a partir de um valor um pouco 
acima ou um pouco abaixo do alvo.
Os limites laterais são uma forma de estudar apenas 
um dos lados: podemos nos aproximar do ponto 
desejado a partir apenas de valores menores do 
que o valor desejado (uma aproximação pela es-
querda, ou limite lateral esquerdo), ou por valores 
um pouco maiores (limite lateral direito).
Podemos acrescentar um pequeno sinal de mais 
ou de menos na notação de limite para indicar a 
direção de um limite lateral:
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
	𝒙𝒙→𝒑𝒑−
𝒇𝒇 𝒙𝒙
Limite lateral esquerdo
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒑𝒑+
𝒇𝒇 𝒙𝒙
Limite lateral direito
Considere a função 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 	 𝟏𝟏 𝒙𝒙⁄ . Sabemos 
que ela deve apresentar uma descontinuidade 
em 𝒙𝒙		 = 	𝟎𝟎 , por conta da divisão por zero. Mas 
24
como a função se comporta de cada lado da 
descontinuidade?
Vamos calcular seu limite pela direita:
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟎𝟎+
𝟏𝟏
𝒙𝒙
	= 	 𝟏𝟏
𝟎𝟎+
= 	+∞
Note que ao substituir o x não estamos trabalhando 
exatamente com o número 0, mas com um número 
necessariamente um pouquinho maior do que zero, 
portanto, um número positivo. Isso faz com que 
o resultado da divisão seja positivo, e conforme 
esse número diminui, a função cresce rumo ao 
infinito positivo.
Vamos agora calcular o seu limite pela esquerda:
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝟎𝟎−
𝟏𝟏
𝒙𝒙
= 		 𝟏𝟏
𝟎𝟎−
= 	−∞
Assim como no caso anterior, não estamos divi-
dindo por zero, mas estamos nos aproximando o 
máximo possível de zero. Porém, dessa vez es-
tamos fazendo pela esquerda, ou seja, utilizando 
valores tão próximos quanto possível de zero, mas 
necessariamente menores do que ele. Qualquer 
valor abaixo de zero é necessariamente negati-
vo. Sendo assim, o resultado da divisão deve ser 
negativo. Portanto, conforme o valor se aproxima 
de zero, a função decresce rumo a menos infinito. 
Observe o gráfico dessa função.
25
Figura 7: gráfico de 
𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 	 	𝟏𝟏 𝒙𝒙⁄ �
10.0
5.0
-5.0
-10.0
0.0
0 2-2-4-6 4 6
7.5
-7.5
2.5
-2.5
Fonte: elaborado pelo autor.
Apesar de, a princípio, o comportamento para 
ambos os lados ser muito parecido, ao realizar os 
cálculos notamos que o limite varia drasticamente 
de um lado do ponto e do outro. Nesse caso, di-
zemos que o limite não existe. Para que um limite 
de fato exista, os limites laterais no ponto devem 
ser iguais.
Porém, note como a ideia foi útil: apesar do limite 
em si não existir, uma análise dos limites laterais já 
nos trouxe informações úteis sobre como a função 
se comporta nos arredores do ponto.
26
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao fim de nossos estudos sobre limites. 
Limites são o primeiro passo para estudarmos uma 
área importantíssima da Matemática chamada de 
Cálculo Diferencial, que irá nos ajudar a trabalhar 
com problemas de taxas de variação.
Aprendemos que limites servem para estudarmos 
o comportamento de funções na vizinhança de um 
ponto e isso permite o estudo da função conforme 
ela se aproxima de um certo valor, mesmo que 
esse valor em particular não exista ou não esteja 
definido.
Com os limites, podemos estudar o comportamento 
de funções cujas operações poderiam ser proble-
máticas, como o surgimento do número zero no 
denominador de uma fração. Vimos também como 
utilizar limites para compreender o comportamento 
de funções conforme o x cresce indefinidamente 
e aprendemos a realizar operações envolvendo o 
“infinito” – que não é um número, mas um com-
portamento de crescimento.
Vimos que limites também podem ser muito úteis 
para esboçar o gráfico de funções, pois graças a 
eles podemos estudar como a função se comporta 
em grandes escalas, se há algum tipo de conver-
gência (assíntotas horizontais em um gráfico) ou 
27
momentos que a função “explode” para o infinito 
(assíntotas verticais).
Aprendemos também a utilizar limites para de-
terminar se uma função é contínua em uma certa 
região. Essa é uma propriedade importantíssima 
que irá influenciar como podemos trabalhar com 
a função.
Também estudamos algumas propriedades impor-
tantes dos limites que podem auxiliar no cálculo 
dos limites de funções mais difíceis, além de alguns 
resultados indeterminados que irão definitivamen-
te exigir algum tipo de manipulação algébrica ou 
simplificação para remover a indeterminação.
Por fim, estudamos que, mesmo quando um limite 
não é definido, podemos estudar o comportamen-
to da função por cada um dos lados do ponto: 
o chamado limite lateral, onde consideraremos 
apenas valores “à esquerda” do ponto (valores 
infinitesimalmente menores do que o desejado) 
ou valores “à direita” (valores infinitesimalmente 
maiores do que o desejado).
Não se esqueça de que a matemática exige bas-
tante prática, portanto, faça diversos exercícios 
de cálculo de limites e aplicações como esboçar 
gráficos para fixar bem os conceitos e técnicas 
estudados.
28
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para 
o cálculo com manual de soluções para o 
estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: GEN/LTC, 2016. 
[Minha Biblioteca].
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos 
para a Ciência da Computação: Matemática 
Discreta e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: 
GEN/LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo, Vol. 1� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, Vol. 2� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. 
Introdução ao Cálculo para Administração, 
Economiae Contabilidade. 2. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2018. [Minha Biblioteca].
RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. [Biblioteca Virtual Pearson].
ROGAWSKI, J.; COLIN, A. Cálculo� 3� ed� Porto 
Alegre: Bookman, 2018. [Minha Biblioteca].
SILVA, P. S. D. Cálculo Diferencial e Integral� 1� 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
	Introdução
	Cálculo diferencial
	Limite e continuidade
	Conceito de limite
	Limites no infinito e assíntotas
	Continuidade
	Propriedades de limites
	Limites indeterminados
	Limites laterais
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas