Exercícios_Propostos_Parte I

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Se 

u//

v e 

u e 

v têm sentidos contrários, então θ = π. É o caso de u e −3

u 
(Figura 1.28(b)).
u
−3u
u
2u
(a) (b)
Figura 1.28
Problemas propostos
1. A Figura 1.29 apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o 
ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa 
cada uma das seguintes afirmações:
E
D C
G
BA
H
F
O
Figura 1.29
a) EO
� ���
 = OG
� ���
b) AF
� ���
 = CH
� ���
c) DO
� ���
 = HG
� ���
 
d) |C − O| = |O − B|
e) |H − O| = |H − D|
f) H − E = O − C
g) |AC
� ���
| = |BD
� ���
|
h) |OA
� ���
| = 
1
2
|DB
� ���
|
i) AF
� ���
 // CD
� ���
j) GF
� ���
 // HG
� ���
k) AO
� ���
 // OC
� ���
l) AB
� ���
 ⊥ OH
� ���
m) EO
� ���
 ⊥ CB
� ���
n) AO
� ���
 ⊥ HF
� ���
o) OB
� ���
 = −FE
� ��
2. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se 

u = 

v, então |

u| = |

v|. g) Se AB
� ���
 = DC
� ���
, então ABCD (vértices
b) Se |

u| = |

v|, então 

u = 

v. nesta ordem) é paralelogramo.
c) Se 

u // 

v, então 

u = 

v. h) |5

v| = |−5

v| = 5|

v|.
d) Se 

u = 

v, então 

u // 

v. i) Os vetores 3

v e −4

v são paralelos
e) Se 

w = u + 

v, então |

w| = | u| + |

v|. e de mesmo sentido. 
f) |

w | = | u| + |

v|, então 

u, 

v e 

w j) Se 

u // 

v, |

u| = 2 e |

v| = 4, então
 são paralelos. 

v = 2 u ou 

v = −2 u.
 k) Se |

v| = 3, o versor de −10

v é −
v
.

3
C
ap
ítu
lo
 1 
V
eto
res
13
ERJ_Livro VGA.indb 13 28/3/2014 14:05:29
3. Com base na Figura 1.29, determinar os vetores a seguir, expressando-os com 
origem no ponto A:
a) OC
� ���
 + CH
� ���
b) EH
� ���
 + FG
� ���
c) 2AE
� ���
 + 2AF
� ���
d) EH
� ���
 + EF
� ��
e) EO
� ���
 + BG
� ���
f) 2OE
� ���
 + 2OC
� ���
g) 
1
2
BC
� ���
 + BC
� ���
h) FE
� ��
 + FG
� ���
i) OG
� ���
 − HO
� ���
j) AF
� ���
 + FO
� ���
 + AO
� ���
4. O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) é determinado pelos vetores AB
� ���
 e AD
� ���
, 
sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
A N B
D M C
Figura 1.30
a) AD
� ���
 + AB
� ���
 d) AN
� ���
 + BC
� ���
b) BA
� ���
 + DA
� ���
 e) MD
� ����
 + MB
� ���
c) AC
� ���
 − BC
� ���
 f) BM
� ���
 − 1
2
DC
� ���
5. Apresentar, graficamente, um representante do vetor 

u − 

v nos casos:
u v v
u
u
v
v
u
(a) (b) (c) (d)
6. Determinar o vetor 

x nas figuras:
(a) (b) (c) (d)
v
ux
v
xu
v
x
u
x
v
u
7. Dados três pontos A, B e C não colineares, como na Figura 1.31, representar o 
vetor 

x nos casos:
A
B
C
Figura 1.3114
V
eto
res e g
eo
m
etria an
alítica
ERJ_Livro VGA.indb 14 28/3/2014 14:05:32
a) 

x = BA
� ���
 + 2BC
� ���
b) 

x = 2CA
� ���
 + 2BA
� ���
c) 

x = 3AB
� ���
 − 2BC
� ���
d) 

x = 1
2
AB
� ���
 − 2CB
� ���
8. Dados os vetores 

u e 

v da Figura 1.32, mostrar, em um gráfico, um representan-
te do vetor
a) 

u − v
b) 

v − 

u
c) −

v − 2 u
d) 2

u − 3

v
9. No triângulo ABC (Figura 1.33), seja AB
� ���
 = a e AC
� ���
 = 

b. Construir um representante 
de cada um dos vetores
a) 


a b+
2
 d) 


a b+ 1
2
b) 


a b−
2
 e) 2
1
2


a b−
c) 
b a

−
2
 f) 
1
3
2


a b−
b
a
A B
C
Figura 1.33
10. Dados os vetores 

a, 

b e 

c (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante 
do vetor 

x tal que
a) 

x = 4

a − 2

b − 

c
b) (

a + 

b + 

c) + x = 

0
c) 

a + 

c + 

x = 2

b
11. Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares 

u, 

v e 

w . Indicar, na 
própria figura, os vetores
a) a

v e b

w tal que 

u = a

v + b

w
b) α u e β

w tal que 

v = α u + β

w
 Seria possível realizar este exercício no caso 
de os vetores 

u, 

v e 

w serem não coplanares?
u
v
Figura 1.32
c
b
a
Figura 1.34
u
v
w
Figura 1.35
C
ap
ítu
lo
 1 
V
eto
res
15
ERJ_Livro VGA.indb 15 28/3/2014 14:05:34
12. Sabendo que o ângulo entre os vetores 

u e 

v é de 60°, determinar o ângulo for-
mado pelos vetores
a) 

u e −

v b) − u e 2

v c) − u e −

v d) 3

u e 5

v
13. Dados os vetores coplanares 

u, 

v e 

w representados na 
Figura 1.36, determinar
a) um representante do vetor 

x + y, sendo 

x = u + 2

v e 

y = 

v − 2 u;
b) o ângulo entre os vetores −3

v e 

w;
c) o ângulo entre os vetores −2 u e −

w.
14. Demonstrar que os pontos médios dos lados de um qua-
drilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
15. Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não pa-
ralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semissoma.
16. No triângulo ABC (Figura 1.37), tem-se 
BM
� ���
 = 
1
2
BC
� ���
 e BN
� ���
 = 
1
3
BC
� ���
.
 Expressar os vetores AM
� ����
 e AN
� ���
 em função de 
AB
� ���
 e AC
� ���
.
 Respostas de problemas propostos
1. a) V
 b) F
 c) V
d) V
e) F
f) F
g) V
h) V
i) V
j) F
k) V
l) V
m) V
n) F
o) V
2. a) V
 b) F
c) F 
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
i) F
j) V
k) V
3. a) AE
� ���
 b) AE
� ���
c) AE
� ���
d) AB
� ���
e) AE
� ���
f) AE
� ���
g) AH
� ���
h) AE
� ���
i) AE
� ���
j) AC
� ���
4. a) AE
� ���
 b) AE
� ���
c) AE
� ���
d) AE
� ���
e) AE
� ���
f) AE
� ���
6. a) 

u − 

v b) − u − 

v c) 

v − u d) 

u + 

v
v
u
w
45º
60º
Figura 1.36
MN
A
CB
Figura 1.37
16
V
eto
res e g
eo
m
etria an
alítica
ERJ_Livro VGA.indb 16 28/3/2014 14:05:36
11. Não
12. a) 120° b) 120° c) 60° d) 60°
13. b) 75° c) 60°
16. AM
� ����
 = 
1
2
(AB
� ���
 + AC
� ���
) e AN AB AC
� ��� � ��� � ���
= +2
3
1
3
 O TRATAmEnTO ALGéBRICO
Vetores no plano
Consideremos dois vetores 

v1 e 

v2 não paralelos, representados com a origem 
no mesmo ponto O, sendo r1 e r2 retas contendo esses representantes, respectivamente, 
(Figura 1.38).
−2 1v
2r
4 2v
v
y
3
2
v
2
v
u
1r
5 1v
3 1
1
v
v
w
x
t
2−v
−2 2v
O−4 1v
Figura 1.38
C
ap
ítu
lo
 1 
V
eto
res
17
ERJ_Livro VGA.indb 17 28/3/2014 14:05:37
	1 VETORES
	O tratamento geométrico
	Problemas propostos
	1 VETORES
	O tratamento algébrico
	Vetores no plano