Física 1-154-156

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Capítulo 8152
(4) (5)
y
x0–2 2
2
4
4
20. (Cefet-PR) A seguir, em um sistema de coordena-
das cartesianas estão representados três vetores. 
O vetor resultante desses vetores tem módulo 
igual a:
x
y
90¡
x
y
x
120°
y
x
y
60¡
x
y
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
21. (PUC-BA) Nas figuras seguintes estão representados 
pares de vetores (x e y), nos quais cada segmento 
orientado está subdividido em segmentos unitários.
(1) 
(2) 
(3) 
Quais destes pares têm a mesma resultante?
a) 1 e 5 d) 2 e 3
b) 2 e 4 e) 2 e 5
c) 3 e 5
22. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador cir-
cular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos 
tem comprimento igual ao raio do mostrador. 
Considere esse ponteiro como um vetor de origem 
no centro do relógio e direção variável. O módulo 
da soma dos três vetores determinados pela posi-
ção desse ponteiro quando o relógio marca exata-
mente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 
12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a:
a) 30 c) 20
b) 10(1 + 3 ) d) zero
23. (UE-CE) A soma de dois vetores cujos módulos 
são 12 e 18 tem certamente o módulo compre-
endido entre:
a) 29 e 31 d) 6 e 30
b) 12 e 18 e) 12 e 30
c) 6 e 18
8. Subtração de vetores
Para definir a subtração de vetores, precisamos antes definir o conceito de 
oposto de um vetor.
Consideremos um vetor a não nulo. O oposto de a é um vetor que tem o mes-
mo módulo e a mesma direção de a, mas sentido oposto ao de a. Indica-se o oposto 
de a por –a (fig. 24).
O oposto do vetor nulo é o próprio vetor nulo:
– 0 = 0
a
–a
Figura 24.
Vetores 153
x
d
y–y
A
B
Figura 26.
x d
y
A
B
Figura 27.
x d'
y
A
B
Figura 28.
24. Considere os vetores a e b da figura a e deter-
mine o vetor d tal que d = a – b, sabendo que 
|a | = 4 e |b| = 6.
x
y
A
B
Figura 25.
Exercícios de Aplicação
Resolu•‹o:
Representemos os dois vetores por segmentos 
orientados de mesma origem, como na figura b.
O vetor d é obtido ligando-se as extremidades de a 
e b, no sentido de C para B. Para obtermos |d| pode-
mos aplicar a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC. 
d2 = a2 + b2 – 2ab · cos 60° =
= 42 + 62 – 2(4) · (6) · 1
2
 = 28
a
b
60¡
Figura a.
Consideremos agora dois vetores quaisquer, x e y . A diferença en-
tre x e y é um vetor d representado por:
d = x – y
e definido por: 
d = x – y = x + (–y )
Observe que, para se subtrair y de x , adiciona-se x com o vetor 
oposto de y . 
A operação que obtém a diferença de dois vetores é chamada sub-
tração de vetores. 
É importante observar a ordem em que é feita a subtração, pois, 
para x ≠ y , teremos sempre x – y ≠ y – x .
Consideremos, por exemplo, o caso da figura 25 e determinemos o 
vetor d tal que d = x – y . Temos então:
d = x – y = x + (–y )
Na figura 26 foi obtida a diferença d fazendo-se a adição de x com 
–y . No entanto, é fácil observar que o vetor d poderia ser obtido ligan-
do-se as extremidades de x e y , como na figura 27, no sentido de B 
para A.
Considerando ainda a figura 25, determinemos o vetor d' tal que:
d' = y – x
Podemos ligar os extremos de x e y , no sentido de A para B, como 
mostra a figura 28.
A adição e a subtração de vetores foram definidas de tal modo que 
podemos trabalhar com as equações vetoriais, de modo semelhante ao 
desenvolvido nas equações que envolvem números e variáveis numé-
ricas. Assim, podemos passar um termo de um lado para o outro da 
equação, desde que “troquemos” o seu sinal. Por exemplo, a equação:
d = x – y é equivalente à equação d + y = x
Figura b.
a
A C
B
d
b
60¡
Capítulo 8154
y
x
y d
x
y x
d
27. Considere os vetores w e k representados na figu-
ra, com |w| = 8 e |k| = 6. Determine o vetor x 
tal que x = k – w.
28. Dados os vetores a e b da figura, resolva a equa-
ção: a = b – x, com |a| = 8 e |b| = 6.
x
y
72¡
x y
120¡
x
y
x
y
w k
60¡
Portanto, d = 28 = 4(7) = 2 7
d = 2 7
Repare que de d = a – b obtemos d + b = a .
25. Nos dois casos a seguir, temos |x| = 5 e |y| = 2. 
Em cada um deles, determine o vetor d tal que 
d = x – y.
a) 
b) 
Resolução:
a)
 d = x – y
 |d| = |x| – |y| = 5 – 2 = 3
b)
 d = x – y
 |d| = |x| + |y| = 5 + 2 = 7
26. Nos casos a seguir, considere |x| = 6 e |y| = 4. 
Determine o módulo do vetor d, tal que d = x – y, 
em cada caso.
a) 
b) 
c)
d)
b
a
y
x
Resolução:
x
b
a
Podemos passar um termo de um lado da equação 
para o outro, desde que troquemos o seu sinal:
a = b – x ⇔ x = b – a
x2 = b2 + a2 = 62 + 82 = 100
|x| = 10
29. Considerando os vetores representados na figura, 
resolva a equação: a – b = c – x
c
b
a
1
1