Cengel página 355

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Exercício
Considere uma placa de espessura de 4 cm e condutividade térmica de 28 [W/mºC], e
difusividade térmica de 12,5.10‐6 [m2/s], que está incialmente a 200ºC. Calor é gerado
uniformemente a uma taxa constante de 2.105 [W/m3]. No tempo t=0 s a face esquerda
da placa fica sujeita a um fluxo de calor de 3 kW/m2, mantendo‐se assim, enquanto o
outro lado é submetido a convecção em um ambiente a 30ºC com coeficiente de
transferência de calor de 45 [W/m2ºC]. Considerando o regime transiente,
unidimensional, e usando o método de diferenças finitas, determine o campo de
temperaturas. Use malha uniforme, com 4 pontos internos e aproximações de 2ª ordem
no espaço para todo o domínio, e 1ª ordem no tempo. Obtenha a distribuição de
temperaturas no tempo 10 s, usando formulação explícita.
2
2
1 T T q
t x k
 
 
 

Aproximações
   xx
TT
x
T PE
P






 
 x
x
TTT
x
T EPEE
P






22
2 2
 t
t
TT
t
T PP
P





 0
   
2
2
x
x
TT
x
T WE
P






 
 222
2 2
x
x
TTT
x
T WPE
P






  01 iii TTT  
Equações
1 2
˙ ∆
Válido para os pontos P=2 a P=5 
Válido para os pontos P=1
Válido para os pontos P=6
2 1 2
2 ∆ ˙ ∆ 2 ∆
Critério de estabilidade:
P=1 a P=5 ∆ 2,56
P=6
Solução para t=10 s
Assumindo Δt=2,5s
Tempo 1 2 3 4 5 6
0 200 200 200 200 200 200
2.5 199.39 200.22 200.22 200.22 200.22 198.09
5 199.59 200.04 200.45 200.45 199.40 198.29
7.5 199.41 200.24 200.47 200.16 199.59 197.49
10 199.61 200.17 200.43 200.26 199.07 197.66
Exercício
Considere uma placa de espessura de 4 cm e condutividade térmica de 28 [W/mºC], e
difusividade térmica de 12,5.10‐6 [m2/s], que está incialmente a 200ºC. Calor é gerado
uniformemente a uma taxa constante de 2.105 [W/m3]. No tempo t=0 s a face esquerda
da placa fica sujeita a um fluxo de calor de 3 kW/m2, mantendo‐se assim, enquanto o
outro lado é submetido a convecção em um ambiente a 30ºC com coeficiente de
transferência de calor de 45 [W/m2ºC]. Considerando o regime transiente,
unidimensional, e usando o método de volumes finitos, determine o campo de
temperaturas. Use malha uniforme, de faces centradas, com 4 nós internos e
aproximações de 2ª ordem no espaço para todo o domínio, e 1ª ordem no tempo. Trate a
fronteira com meios volumes nas faces. Obtenha a distribuição de temperaturas no
tempo 10 s, usando formulação explícita.
Solução para t=10 s
Assumindo Δt=2,5s
Tempo 1 2 3 4 5 6
0 200 200 200 200 200 200
2.5 199.39 200.22 200.22 200.22 200.22 198.09
5 199.59 200.04 200.45 200.45 199.40 198.29
7.5 199.41 200.24 200.47 200.16 199.59 197.49
10 199.61 200.17 200.43 200.26 199.07 197.66
Exercício
Determine numericamente as temperaturas
nos pontos 1, 2, 3 e 4. Use o método dos
volumes finitos (balanço), considere que k=20
W/mC e não há geração interna de calor. O
tamanho Δx e Δy dos elementos é de 1 cm. Use
aproximações de 2ª ordem. (R. T1=185º C e
T2=T3=T4=190ºC).
Exercício
Determine as equações discretizadas para os
pontos 0, 1 e 2. Não há geração interna de
calor, as propriedades são constantes e o
regime é permanente.
Gases de combustão passam por uma chaminé
de concreto com condutividade térmica de 1,4
[W/mºC]. A chaminé tem seção de
escoamento de 20 cm x 20 cm e espessura de
parede de 20 cm. A temperatura dos gases é de
300ºC e h=70 [W/m2ºC]. O ar externo está a
20º C com h=21 [W/m2ºC]. Considerando o
regime permanente e usando o método de
volumes finitos, determine o campo de
temperaturas. Use malha uniforme e
aproximações de 2ª ordem no espaço para todo
o domínio. Trate a fronteira com meios
volumes nas faces. Obtenha a distribuição de
temperaturas usando Gauss‐Seidel e calcule a
perda de calor considerando que a chaminé
tem 1 m de comprimento.
Adaptado do exemplo 5.4 (Çengel, pg. 318)
Acessar o livro pelo portal minha biblioteca da UTFPR. Livro: Transferência de calor e massa: uma abordagem prática (autor: Çengel)
Exercício 5.29 (Çengel, pg. 354)
Considere a placa da base de um ferro de passar roupas de 800 W, com
espessura de L = 0,6 cm, superfície de base de A = 160 cm2 e condutividade
térmica de k= 20 W/mK. A superfície interna da placa da base é submetida a
um fluxo uniforme de calor gerado pela resistência aquecedora interna.
Quando as condições operacionais permanentes são atingidas, a temperatura
da superfície externa da placa  é 85 °C. Ignorando qualquer perda de calor
através da parte superior do ferro e sendo o espaçamento nodal de 0,2 cm,
pede‐se: a) obtenha a formulação de diferenças finitas para os nós; b)
determine a temperatura da superífice interna da placa (R: 100
o
C).
Acessar o livro pelo portal minha biblioteca da UTFPR. Livro: Transferência de calor e massa: uma abordagem prática (autor: Çengel)
Exercício 5.35 (Çengel, pg. 355)
Uma  superfície quente a 100 °C deve ser
resfriada fixando‐se aletas de pino de alumínio
(k = 237 W/mK) de 3 cm de comprimento, 0,25
cm de diâmetro e com distância de centro a
centro de  0,6 cm. A temperatura do meio
circundante  é 30 °C, e o coeficiente de
transferência de calor nas superfícies é 35 W/
m2K. Pressupondo uma transferência de calor
em regime permanente, unidimensional, ao
longo da aleta, e um espaçamento nodal de 0,5
cm, determine (a) as equações discretizadas
para uma aleta, (b) as temperaturas nodais ao
longo da aleta, resolvendo as  equações, (c) a
taxa de transferência de calor a partir de
apenas uma aleta e (d) a taxa de transferência
de calor a partir da seção da placa de 1 m x 1 m.
Resp. b) 129,2
o
C; 128,7
o
C; 128,3
o
C; 128,2
o
C; c) 363W; d) 114 kW
Exemplo 5.2 (Çengel, pg. 309)
Considere uma aleta de liga de alumínio (k = 180 W/mK) de seção transversal triangular,
comprimento L =  5 cm, espessura da base b =  1 cm e largura w muito grande, como
mostrado na figura abaixo. A base da aleta é mantida a uma temperatura de T0 = 200 °C. A
aleta perde calor para o meio envolvente a T∞ = 25 °C, com coeficiente de transferência de
calor h = 15 W/m2K. Usando o método das diferenças finitas com seis pontos igualmente
espaçados ao longo da aleta na direção x, determine (a) as temperaturas nos nós, (b) a
taxa de transferência de calor a partir da aleta para w = 1 m e (c) a eficiência da aleta.
Acessar o livro pelo portal minha biblioteca da UTFPR. Livro: Transferência de calor e massa: uma abordagem prática (autor: Çengel)
Exemplo 5.3 (Çengel, pg. 315)
Considere a transferência de calor permanente em um corpo sólido em forma de L cuja 
seção transversal é dada na figura abaixo. A transferência de calor na direção normal ao
plano do papel  é insignificante, portanto a transferência de calor no corpo  é
bidimensional. A condutividade térmica do corpo é k = 15 W/mK, e o calor é gerado no
corpo a taxa de 2 x 106 W/m3. A superfície esquerda é isolada, e a inferior é mantida a uma
temperatura uniforme de 90 °C. A totalidade da  superfície superior  é submetida  à 
convecção para o ar ambiente a T∞ = 25 °C, com coeficiente de transferência de calor por 
convecção h = 80 W/m2K. A superfície da direita é submetida ao fluxo de calor com taxa
uniforme de 5.000 W/m2. A malha do problema consiste de 15 nós igualmente espaçados
com Δx = Δy =  1,2 cm, como mostrado na figura. Cinco dos  nós  estão na  superfície
inferior, portanto suas temperaturas são conhecidas. Obtenha as equações em diferenças
finitas para os nove  nós restantes e determine as temperaturas nodais por meio da 
resolução usando Jacobi, Gauss Seidel e TDMA.
Acessar o livro pelo portal minha biblioteca da UTFPR. Livro: Transferência de calor e massa: uma abordagem prática (autor: Çengel)
Acessar o livro pelo portal minha biblioteca da UTFPR. Livro: Transferência de calor e massa: uma abordagem prática (autor: Çengel)
Outros exercícios sugeridos do livro do Çengel, capítulo 5:
5.39, 5.52, 5.83, 5.84.