Fundamentos e Métodos do Ensino da Matemática (20 Unid - Ped - SEC)

Prévia do material em texto

PEDAGOGIA
FUNDAMENTOS E MÉTODOS 
DO ENSINO DA MATEMÁTICA
Adriana Corder Molinari
Simone dos Santos Costa
unar.info/ead
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 1 - O CONHECIMENTO LÓGICO – MATEMÁTICO 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
1 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivo: Conhecer o que é e como ocorre a construção do conhecimento 
lógico-matemático, compreendendo-o como um processo dinâmico e contínuo. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
. 
Para o psicólogo e educador suíço Jean Piaget, há três tipos de 
conhecimentos mediante os quais o ensino deve se organizar: o conhecimento físico, 
o conhecimento social e o conhecimento lógico-matemático. Compreender como tais 
tipos de conhecimentos são adquiridos é uma das tarefas mais importantes do 
educador, pois a partir deles é possível formular propostas de ensino que sejam 
significativas às crianças. 
O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos, e de suas propriedades, 
na realidade externa e consiste em extraírem-se as informações ou o conhecimento 
destes objetos. 
Este tipo de conhecimento é estruturado a partir da ação do sujeito sobre o 
objeto de conhecimento pela abstração empírica das propriedades dos objetos, como 
por exemplo, a cor, a forma ou o peso. Para a construção deste tipo de conhecimento, 
é necessário que o sujeito exerça ações sobre o objeto a fim de que possa haver 
abstração empírica (abstrair determinada propriedade do objeto). 
Um exemplo deste tipo de conhecimento é quando a criança, através de 
experimentações, descobre que quando a água é submetida a uma baixa 
temperatura, ela se transforma em gelo (transformação de um estado líquido para um 
estado sólido). 
O conhecimento lógico-matemático consiste em relações mentais feitas pelo 
indivíduo e resulta da coordenação dessas relações, a partir das ações que o sujeito 
exerce sobre o objeto; este tipo de conhecimento é estruturado a partir da abstração 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 1 - O CONHECIMENTO LÓGICO – MATEMÁTICO 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
2 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
reflexiva (reflexões elaboradas em nossa mente, que depende de inferências e 
deduções lógicas). 
Através dessa abstração é possível criar e introduzir relações entre os objetos 
e, a partir da coordenação dessas relações é que se chega à manipulação simbólica 
e ao raciocínio puramente dedutivo. 
Kamii (2002) cita um exemplo desse tipo de relação: é possível ver 4 bolas, 
não se pode ver o número, mas os 4 objetos. Quando somamos 4 e 2, estamos pondo 
em relação numérica duas quantidades que formam uma construção mental por 
abstração reflexiva. O “4 + 2 igual a 6” não está nos objetos observáveis, mas na 
relação que se estabelece entre eles, ou seja, ela está na mente do individuo e não 
nos objetos. 
Esses dois tipos de conhecimento não podem ser diretamente transmitidos 
porque dependem da ação do sujeito sobre os objetos e são interdependentes, pois 
para construir uma relação entre dois objetos, temos que observar as propriedades 
diferentes de ambos e, a relação de diferença entre eles, é a nossa mente quem 
estabelece. Por exemplo: para perceber que determinado objeto é vermelho, a criança 
tem que colocá-lo em correspondência com outros (não vermelhos), azuis, por 
exemplo; a cor é uma propriedade do objeto (conhecimento físico), mas a relação 
entre vermelhos e não vermelhos, é nossa mente quem faz, colocando tais objetos 
em uma relação de classes (conhecimento lógico-matemático). 
Por outro lado, o conhecimento social é o tipo de conhecimento que foi 
construído pela humanidade, portanto, é um conhecimento convencional, que advém 
das convenções, dizendo respeito a fatos e acontecimentos; é cultural e arbitrário, 
portanto, adquirido através da transmissão social porque sua fonte é externa ao 
indivíduo. 
Um exemplo de conhecimento social é a aprendizagem do sistema numérico: 
saber que o número 1 se chama “um”, que o número 2 se chama “dois” é uma 
convenção, como um nome de batismo: foi convencionado que eles se chamassem 
assim. 
Compreender que as pessoas costumam se cumprimentar entre si dando as 
mãos, que devemos nos vestir de modos diferentes dependendo da ocasião, são 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 1 - O CONHECIMENTO LÓGICO – MATEMÁTICO 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
3 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
convenções sociais que foram construídas pelas pessoas e, o fato de ser totalmente 
arbitrário, faz com que essas convenções devam ser ensinadas às pessoas, 
necessitando, pois, da interferência de outras pessoas. Por isso, baseados na teoria 
piagetiana, dizemos que este é o único conhecimento que pode ser diretamente 
ensinado às crianças. 
As pesquisas de Jean Piaget e seus colaboradores nos mostraram que é um 
erro supormos que a criança adquira conceitos matemáticos apenas através do 
ensino; suas conclusões revelaram que, a criança por si mesma constrói esses 
conceitos, de maneira independente e espontaneamente. Concluíram ainda que, se 
os adultos tentam ensinar-lhe os conceitos matemáticos prematuramente, sua 
aprendizagem é apenas verbal; a verdadeira compreensão que têm deles só ocorre 
com o desenvolvimento intelectual. 
Porém, é necessário tomarmos cuidado em não ficarmos de braços cruzados 
esperando que as crianças aprendam por si só: é necessária a intervenção do adulto 
no sentido de promover situações e condições para que a criança tenha experiências 
ricas e possa, através destas, construir seu conhecimento. 
Para propiciar a aprendizagem da matemática, precisamos oferecer 
condições para que as crianças estabeleçam relações entre os objetos, fazendo 
comparações entre diversos objetos e quantidades, realizando operações mentais 
que lhe permitam construir suas deduções lógicas, resolvendo problemas, apreciando 
informações matemáticas tais como: números, gráficos, tabelas, mapas etc. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Do ponto de vista do desenvolvimento cognitivo, para que as crianças 
compreendam a matemática é preciso que elas tenham construído alguns princípios 
lógicos, tais como: 
1. CONSERVAÇÃO DAS QUANTIDADES: que significa compreender que a 
quantidade não se altera quando se modifica a disposição espacial dos objetos. Sem 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 1 - O CONHECIMENTO LÓGICO – MATEMÁTICO 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
4 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
conservar as quantidades, a criança não compreenderá a noção de número cardinal 
(número ou quantidade dos elementos que constituem um conjunto); 
2. INCLUSÃO DE CLASSES – noção de que o todo dividido em partes é 
sempre maior que cada uma das partes, ou seja, a compreensão de que certas 
subclasses podem ser incluídas em classes maiores, como por exemplo, a subclasse 
“cachorro” ser incluída em uma classe maior: a dos “animais domésticos”; 
3. SERIAÇÃO – noção de posição cardinal e ordinal dos números e suas inter-
relações, ou seja, a ordenação de objetos de acordo com suas diferenças, 
compreendendo as relações diferenciais entre um e outro objeto da mesma série; 
4. TRANSITIVIDADE – fazer inferências transitivas do tipo se A > B e B > C, 
então A > C é uma exigência para compreensão verdadeira do número: pois e relação 
ordinal do número é uma relação de inclusão e de transitividade, o que não significa 
compreender apenas a ordem, quais são os números vizinhos, e sim a relação entre 
eles. 
5. COMPOSIÇÃO ADITIVA DO NÚMERO – entender a relação parte-todo na 
adição, como por exemplo, entender que 4 + 3 = 3 + 4; que 2 + 5 = 7 e que 7 – 2 = 5 
A compreensão desses princípios lógicos é que dará ás crianças a 
possibilidade de operar com a aritmética. 
A construção de todas essas noçõesacontece nas inúmeras relações que os 
sujeitos estabelecem em sua leitura de mundo. Dessa forma, quanto mais 
diversificadas as experiências, melhores as possibilidades de compreensão dessas 
ideias. 
Como as relações estabelecidas surgem a partir das experiências anteriores 
e das vividas no presente e, portanto, próprias de cada sujeito, podemos dizer que 
são construções mentais, internas e individuais do sujeito. 
Assim, saber como esses conhecimentos são construídos é imprescindível 
para que, em sala de aula, o professor organize atividades adequadas a fim de 
favorecer esta construção. 
 Para saber um pouco mais acesse: 
   
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 1 - O CONHECIMENTO LÓGICO – MATEMÁTICO 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
5 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
http://www.youtube.com/watch?v=qyNGFOpRSE4 
 
https://www.google.com.br/#q=INCLUS%C3%83O+DE+CLASSES 
 
http://www.youtube.com/watch?v=q8OB0gqPZIE 
 
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/piaget/cap8.htm 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 2 - Como as crianças constroem conceitos matemáticos 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
6 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivo: Conhecer o que é e como ocorre a construção do conhecimento 
lógico-matemático, compreendendo-o como um processo dinâmico e contínuo. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
(texto escrito tomando como base o artigo de Jean Piaget, publicado na revista 
Scientific American, vol. 198, n.º 5 novembro de 1953, pp. 74-9 e reimpresso no livro 
“Leituras de Psicologia Educacional” de Morse e Wingo). 
Piaget nos alerta para o erro de supor que, apenas através do ensino, a 
criança adquira a noção de número e outros conceitos matemáticos. Suas pesquisas 
possibilitaram que ele chegasse à conclusão de que, a criança por si mesma constrói 
esses conceitos, independente e espontaneamente. E se os adultos tentam ensinar-
lhe os conceitos matemáticos prematuramente, sua aprendizagem é apenas verbal; a 
verdadeira compreensão que têm deles só ocorre com o desenvolvimento intelectual, 
que consiste no processo pelo qual as estruturas do pensamento se constroem. 
Uma das características de teoria de Jean Piaget é a de que se pode constatá-
la facilmente e um professor poderá confirmar as descobertas de Piaget fazendo 
experimentos muito simples com seus alunos. Apresentando-se uma fileira de 10 
fichas a uma criança de cinco ou seis anos, que já sabe dizer os números de 1 a 10, 
observa-se que ela poderá contá-las corretamente. No entanto, se as fichas pedras 
forem reorganizadas num desenho mais complexo, ou se forem empilhadas, já não 
pode contá-las com precisão. Isso acontece porque embora a criança conheça os 
nomes dos números, ainda não compreendeu a ideia essencial de número; isto é, ela 
ainda não compreendeu que o número de objetos num grupo continua o mesmo, é 
"conservado", independentemente da maneira que estejam organizados ou da 
configuração que tenham assumido quando foram dispersos num determinado 
espaço. 
Por outro lado, uma criança de seis e meio ou sete anos mostra, muitas vezes, 
que espontaneamente construiu o conceito de número, ainda que não tenha 
"aprendido" a contar. Isso acontece quando ao comparar um conjunto de oito fichas 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 2 - Como as crianças constroem conceitos matemáticos 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
7 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
vermelhas e oito fichas azuis ao emparelhar uma a uma, ela compreende que ambos 
têm a mesma quantidade de fichas e continua admitindo a equivalência entre os dois 
conjuntos, mesmo quando a disposição em que se encontram as fichas de um dos 
conjuntos for modificada. 
A “prova da correspondência de um-a-um” é muito útil para pesquisar a 
construção do conceito número pelas crianças. Por exemplo, faz-se uma fileira de oito 
fichas vermelhas, igualmente espaçadas, com uma distância de aproximadamente 
dois centímetros, e pede-se que as crianças retirem de uma caixa de fichas azuis, 
tantas fichas quanto as que foram colocadas sobre a mesa. Suas reações 
dependerão da idade, e podem-se distinguir três estágios de desenvolvimento. Uma 
criança de cinco anos ou menos geralmente colocará fichas azuis para fazer uma 
fileira do mesmo comprimento da fileira vermelha, mas colocará as fichas azuis 
reunidas, em vez de espaçá-las. Acredita que o número é o mesmo, desde que o 
comprimento da fileira seja igual (fig. 01). 
Com a idade de seis anos, em média, as crianças chegam ao segundo 
estágio: tais crianças colocarão uma ficha azul ao lado de cada ficha vermelha, e 
conseguirão o número correto. Mas isso não significa que adquiriram, 
necessariamente, o conceito de número. Se a distância entre as fichas vermelhas 
forem aumentadas, tornando a fileira mais comprida ou se as fichas forem juntadas, 
de modo que a fileira fique mais curta, as crianças de seis anos pensarão que a fileira 
mais longa tem mais fichas, embora o número não tenha sido mudado (fig.02). 
Com a idade de seis anos e meio a sete, em média, as crianças chegam ao terceiro 
estádio: sabem que, embora seja possível reduzir ou aumentar o espaço entre as 
fichas de uma fileira, o número é igual ao da outra (fig. 03). 
Em suma, as crianças precisam compreender o princípio de conservação da 
quantidade, antes de poderem desenvolver o conceito de número. Evidentemente, a 
conservação da quantidade não é em si mesma, uma noção numérica; ao contrário, 
é um conceito lógico. Assim, tais experimentos de psicologia da criança esclarecem 
um pouco a epistemologia do conceito de número - um assunto que tem sido 
examinado por muitos matemáticos e lógicos. 
Há quem pense que o número é um conceito puramente verbal: que a ideia 
de número cardinal deriva da noção lógica de classe (um número seria uma classe 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 2 - Como as crianças constroem conceitos matemáticos 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
8 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
constituída de classes equivalentes), enquanto que a noção de número ordinal deriva 
das relações lógicas de ordem. No entanto, esta explicação não está de acordo com 
o processo psicológico que Piaget observou em crianças pequenas. Inicialmente, as 
crianças não fazem distinção entre número cardinal e número ordinal; além disso, o 
conceito de número cardinal pressupõe uma relação de ordem. Por exemplo, uma 
criança só pode estabelecer a correspondência de um-a-um se não esquece qualquer 
um dos elementos, nem usa o mesmo elemento duas vezes. A única maneira de 
distinguir uma unidade de outra é considerá-la antes ou depois, no tempo ou no 
espaço, isto é, na ordem da enumeração. 
O estudo de como a criança compreende as relações espaciais - o que 
poderia ser denominado a geometria espontânea da criança também é bastante 
esclarecedor. Na criança, a ordem do desenvolvimento da geometria parece inverter 
a ordem da descoberta histórica. A geometria científica começou com o sistema 
euclidiano (referente a figuras, ângulos e assim por diante), desenvolveu no século 
XVII a chamada geometria projetiva (que lida com problemas de perspectiva) e, 
finalmente, chegou, no século XIX, à topologia (que descreve as relações espaciais 
de forma geral e qualitativa - por exemplo, a distinção entre estruturas abertas e 
fechadas, interioridade e exterioridade, proximidade e separação). Por meio de seus 
estudos Piaget descobriu que a criança começa com a última: as primeiras relações 
geométricas que estabelece são topológicas. Com a idade de três anos facilmente 
distingue entre figuras abertas e fechadas; se pedirmos que copie um quadrado ou 
um triângulo desenha um círculo fechado; desenha uma cruzcom duas linhas 
separadas, que não se tocam. Se lhe for apresentado um desenho de um círculo 
grande com um pequeno círculo no seu interior, é muito capaz de reproduzir essa 
relação, e pode também desenhar um pequeno círculo fora ou ligá-lo à linha do círculo 
grande. Tudo isso ela é capaz de fazer antes de ser capaz de desenhar um retângulo 
ou exprimir as características euclidianas (número de lados, ângulos etc.) de uma 
figura. Só muito tempo depois de ter dominado as relações topológicas começa a 
desenvolver suas noções de geometria euclidiana e projetiva. Depois, constrói as 
duas simultaneamente. 
Como se pode observar essa ordem psicológica está muito mais próxima da 
ordem de construção dedutiva da geometria moderna do que da ordem histórica de 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 2 - Como as crianças constroem conceitos matemáticos 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
9 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
sua descoberta. Esse é outro exemplo da relação entre a construção psicológica e a 
construção lógica da ciência. 
Piaget fez inúmeros experimentos para verificar as construções projetivas das 
crianças, como por exemplo, a construção da linha reta. A partir desses experimentos 
ele descobriu que, quando são colocadas duas casas com aproximadamente 40 
centímetros de distância, entre as quais, a criança deverá colocar postes de luz 
(palitos colocados em bases de massa para modelar), formando uma fileira bem reta, 
pode-se observar os seguintes desempenhos: 1. As crianças menores (com menos 
de quatro anos) começam a colocar um poste depois do outro, formando uma fileira 
mais ou menos ondulada. Seu procedimento é topológico: os elementos são ligados 
pela relação simples de proximidade e não pela projeção de uma linha como tal. No 
estágio seguinte, depois dos quatro anos, a criança pode formar uma fileira reta se as 
duas casas estão paralelas à beirada da mesa, ou se existe outra linha reta para 
orientá-lo. Se as casas estão colocadas diagonalmente com relação à mesa, pode 
começar a construir a linha paralela à beirada da mesa e depois mudar de direção e 
formar uma curva, a fim de chegar à segunda casa. Ocasionalmente uma criança 
menor pode fazer uma linha reta, mas faz isso apenas por ensaio e erro, e não de 
uma maneira sistemática. 3. Com a idade de sete anos, em média, uma criança pode 
construir, consistentemente, uma linha reta em qualquer direção que atravesse a 
mesa, e verificará se a linha está reta (fechando um olho para ver, com se estivesse 
mirando), tal como um plantador ao alinhar estacas de feijão. É nisso que consiste a 
essência de conceito projetivo; a linha continua a ser uma linha topológica, mas a 
criança compreendeu que a relação projetiva depende do ângulo de visão, ou ponto 
de vista. Ao mesmo tempo em que a criança forma o conceito de espaço projetivo, 
também constrói o espaço euclidiano; os dois se fundamentam mutuamente. Por 
exemplo, ao alinhar uma fileira reta de postes, a criança pode, não apenas usar o 
método de olhar, mas pode colocar as mãos em posição paralela, a fim de obter a 
direção. Vale dizer, aplica o conceito de conservação da direção, que é um princípio 
euclidiano. Piaget ressalta que este é outro exemplo do fato de as crianças formarem 
noções matemáticas a partir de base qualitativa ou lógica. 
No que se refere às noções espaciais Piaget descobriu coisas muito 
interessantes sobre o princípio de conservação. Existe, em primeiro lugar, a 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 2 - Como as crianças constroem conceitos matemáticos 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
10 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
conservação de comprimento. Quando se coloca um bloco sobre outro do mesmo 
tamanho e depois um dos blocos é empurrado de forma que sua extremidade se 
projete além do outro, uma criança de menos de seis anos suporá que os dois blocos 
já não têm o mesmo comprimento. Só a partir, aproximadamente, da idade de sete 
anos, é que a criança compreende que o que se ganha numa extremidade do bloco 
se perde na outra. É importante ressaltar que chega a esse conceito de conservação 
do comprimento por um processo de dedução lógica, sem que ninguém lhe ensine. 
Os experimentos sobre como a criança compreende a conservação de 
distância, são muito esclarecedores. Entre duas pequenas árvores de brinquedo, 
colocadas a certa distância uma da outra, numa mesa, coloca-se uma parede formada 
por um bloco ou papelão grosso, e depois se pergunta à criança (evidentemente, na 
linguagem dela) se as árvores ainda estão à mesma distância uma da outra. As 
crianças menores pensam que a distância mudou; são incapazes de somar duas 
partes de uma distância para chegar a uma distância total. As crianças de cinco ou 
seis anos de idade acreditam que a distância foi reduzida, dizendo que a grossura da 
parede não conta como distância; em outras palavras, um espaço cheio não tem o 
mesmo valor do espaço vazio. Será apenas quando adquirirem a capacidade de 
raciocinar logicamente, que as crianças chegarão a compreender que os objetos 
intermediários não mudam a distância. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para ampliar seus conhecimentos, sugerimos a leitura do artigo: Processos 
cognitivos da aprendizagem·. 
http://www.faculdadesequipe.com.br/arquivos/b0ce47e13b541e3d59adf99770
9cc4e8ecbe1b42.pdf 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
11 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: refletir sobre o ensino da matemática escolar, seus objetivos e 
práticas. 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
A educação infantil e as séries iniciais do ensino fundamental consolidam-se 
como uma importante etapa na construção e evolução do pensamento lógico pelas 
crianças. 
Essa será, certamente, a base para o desenvolvimento de competências e 
habilidades cada vez mais complexas e abstratas do pensamento e, portanto, para a 
compreensão da Matemática. 
Assim, faz-se necessário analisar os pressupostos e práticas do ensino da 
Matemática, fundamentando o futuro professor para o trabalho em sala de aula. 
Como já visto, o conhecimento matemático provém das abstrações que realizamos 
quando agimos sobre os objetos. Isso ocorre quando colocamos os objetos em 
relação entre si, como por exemplo, comparar as quantidades de dois conjuntos, ou 
incluir duas classes de objetos em uma classe maior, como no caso de incluir a classe 
dos gatos e a classe dos cães numa classe de ordem maior: a dos animais 
domésticos. 
Essa relação que fazemos entre esses objetos (quantidades ou classes) não é 
propriedade do objeto, mas foi criada por nós, em pensamento, ao colocarmos os 
objetos em relação. Portanto, o conhecimento matemático não provém dos objetos 
reais, mas da coordenação do pensamento que realizamos ao compararmos os 
objetos. 
Ao longo do processo civilizatório, o homem foi necessitando criar mecanismos para 
operar com o cálculo que, ao longo do tempo, foi se tornando cada vez mais complexo 
e, assim, a matemática surgiu, há milhares de anos, para dar conta das necessidades 
da vida cotidiana convertendo-se em “um imenso sistema de variadas e extensas 
disciplinas” (BRASIL, 1997, p. 26). 
 Trabalhar com o ensino da matemática significa oportunizar a ação e a reflexão 
do pensamento, a fim de que a criança possa organizar, antecipar e prever hipóteses, 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
12 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
explicando fatos e fenômenos da realidade, interagindo e desenvolvendo seu 
raciocínio em cada situação vivenciada.Com isso, percebemos que a criança passa a dar sentido às suas ações, 
compreendendo a realidade, elaborando imagens mentais, enfim, estruturando 
saberes. 
 De forma geral, podemos afirmar que o ensino da matemática pretende 
desenvolver o raciocínio lógico da criança e este será um objetivo perseguido durante 
toda a sua escolarização futura. 
 De acordo com Bideaud (1988, p. 21), no ensino da matemática, é preciso que 
sejam desenvolvidas as condutas lógicas elementares e estas podem ser 
compreendidas como: 
 
[...] organizações elementares que, sem qualquer dúvida, regem muitos dos 
raciocínios necessários à vida prática e sem os quais [...] a inteligência social não 
pode ser exercida. A classificação, a seriação, a ‘ordinação’ e a ‘cardinação’ 
numéricas, sejam quais forem as suas posições durante o desenvolvimento e 
relativamente à lógica e à Matemática, não se referem somente a objetos físicos, mas 
também a acontecimentos, informações, estimativas, que surgem ou são fornecidos 
no espaço e no tempo da vida quotidiana atual. Naturalmente que as diversas 
constantes, que são adquiridas no contato com a realidade física e social 
desempenham seu papel, num segundo momento, na organização de novas 
experiências. 
 
A matemática faz parte de nossa vida e a sistematização de seu ensino só faz sentido 
se a compreendermos como necessária em nossas atividades do cotidiano, em 
nossas condutas lógicas. 
Além disso, ela desenvolve a capacidade de abstração, generalização, projeção e 
criticidade, auxiliando atividades práticas que envolvam aspectos quantitativos, como: 
grandeza, contagem, medidas, cálculo, entre outros. 
Entretanto, as formas de se trabalhar o ensino da Matemática, sobretudo na educação 
infantil e séries iniciais do ensino fundamental, precisa basear-se na construção de 
conceitos realizada pelo próprio aluno, e não por meio da repetição ou memorização. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
13 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
O aluno caracteriza-se, portanto, como um ser ativo em um processo de contínua 
construção e reconstrução de saberes, estruturando e reestruturando conceitos por 
meio de sua bagagem de conhecimentos, das interações com outras crianças e com 
o professor, além das interações realizadas no convívio social mais amplo. 
Cabe destacar, ainda, que o ensino da matemática, de acordo com D’Ambrosio (2003, 
p. 59), necessita de uma organização curricular moderna, pois os alunos não “podem 
aguentar mais coisas obsoletas e inúteis, além de desinteressantes para muitos. Não 
se pode fazer todo aluno vibrar com a beleza de demonstração do Teorema de 
Pitágoras [...]”. 
Assim, faz-se primordial que sejam discutidas e reelaboradas as metodologias e os 
próprios conteúdos/objetivos do ensino da matemática nas escolas, tornando esse 
ensino significativo, voltado e relacionado à vida. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
O texto abaixo é um excerto dos PCN de Matemática e discute o papel da 
Matemática no currículo do Ensino Fundamental. 
O PCN de Matemática ressalta a sua aplicação no cotidiano e nas mais 
diversas áreas do conhecimento. Daí exigir o seu ensino integrado ao dia a dia w ao 
campo profissional, além de estabelecer uma relação interdisciplinar, como pode ser 
verificado no seguinte trecho: 
“Também é um instrumental importante para diferentes áreas do conhecimento, 
por ser utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza, como às ciências 
sociais e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte e nos 
esportes.” 
 
Outro aspecto exposto no PCN é a função social da disciplina no que tange à 
formação da cidadania, sendo capaz, por meio dela, de transformar o ambiente do 
qual o aluno provém. 
“A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais 
também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas 
vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
14 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, 
medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente etc.” 
Amplie seu conhecimento, lendo na íntegra o seguinte excerto do PCN de 
Matemática no currículo do Ensino Fundamental. 
O PAPEL DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL 
A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e 
coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, 
projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o 
desenvolvimento do raciocínio lógico, conforme apontam os Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como 
contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, 
pagamentos e consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca, a 
Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. 
Também é um instrumental importante para diferentes áreas do conhecimento, 
por ser utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza, como às ciências 
sociais e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte e nos 
esportes. 
Essa potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada, da 
forma mais ampla possível, no ensino fundamental. 
Para tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e 
indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na 
estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua 
aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho 
e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares (BRASIL, 
1997). 
MATEMÁTICA E CONSTRUÇÃO DA CIDADANIA 
O papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão 
brasileiro norteia estes Parâmetros. Falar em formação básica para a cidadania 
significa falar da inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e 
da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
15 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
A pluralidade de etnias existente no Brasil, que dá origem a diferentes modos 
de vida, valores, crenças e conhecimentos, apresenta-se para a educação matemática 
como um desafio interessante. 
Os alunos trazem para a escola conhecimentos, ideias e intuições construídas 
através das experiências que vivenciam em seu grupo sociocultural. Eles chegam à 
sala de aula com diferenciadas ferramentas básica para, por exemplo, classificar, 
ordenar, quantificar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os 
recursos, dependências e restrições de seu meio. 
Ao par desses esquemas de pensamentos e práticas, todo aluno brasileiro faz 
parte de uma sociedade em que se fala a mesma língua, utiliza o mesmo sistema de 
numeração, o mesmo sistema de medidas, o mesmo sistema monetário; além disso, 
recebe informações veiculadas por meio de mídias abrangentes, que se utilizam de 
linguagens e recursos gráficos comuns, independentemente das características 
particulares dos grupos receptores. 
Desse modo, um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado, 
para a valorização da pluralidade sociocultural, impedindo o processo de submissão 
no confronto com outras culturas; de outro, criar condições para que o aluno 
transcenda um modo de vida restrito a um determinadoespaço social e se torne ativo 
na transformação de seu ambiente (BRASIL, 1997). 
A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais 
também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas 
vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios 
de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, 
medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente etc. 
Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se 
mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade, depende cada vez mais de 
conhecimento. 
Uma característica contemporânea marcante é que na maioria dos campos 
profissionais o tempo de um determinado método de produção não vai além de cinco 
a sete anos, pois novas demandas surgem e os procedimentos tornam-se superados. 
Isso faz com que o profissional tenha que estar num contínuo processo de formação 
e, portanto, “aprender a aprender” é também fundamental. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 3 - CONSIDERAÇÕES ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESCOLAR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
16 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho 
requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão 
além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de 
assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe. 
Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que 
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a 
comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a 
criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do 
desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar 
desafios (BRASIL, 1997). 
É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um 
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua 
capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 4 - DISCUSSÕES ACERCA DO PAPEL E DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
17 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivo: analisar o percurso de sua formação tomando-a continuamente como 
objeto de reflexão para compreender e gerenciar o efeito de suas ações. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
A figura do professor torna-se primordial neste contexto de reelaborações 
curriculares e metodológicas, bem como as características de sua formação. 
Para Fiorentino et al (2003), as dimensões que precisam ser consideradas na 
discussão sobre a formação do professor de matemática são: 
O conhecimento do professor: conceituação, domínios e estrutura. Nessa 
dimensão temos a perspectiva de aprender a ensinar (conhecimento da disciplina, 
conhecimento curricular e conhecimento de conteúdo pedagógico), o trabalho 
profissional (o conhecimento do professor contextualizado em sua ação docente - o 
uso de seus conhecimentos em situações de ensino, formação prática e experiência 
profissional) e a perspectiva cognitiva (estruturas mentais dos professores e suas 
relações com o ensino – o conhecimento da matéria de ensino e o conhecimento da 
estrutura do que é proposto aos alunos); 
A aprendizagem do professor de matemática: conceituação e caracterização. 
Nessa dimensão encontram-se: a natureza construtiva do conhecimento e suas 
crenças, a natureza social da cognição, a natureza distribuída da cognição e a 
natureza situada da cognição. Em outras palavras, a aprendizagem do professor de 
matemática ocorre de forma inseparável dos contextos e atividades nos quais se 
desenvolve. Desta maneira, o conhecimento do professor precisa ser desenvolvido 
em contextos significativos e este levará em conta suas crenças e referências prévias, 
sem que isso impeça as modificações e/ou ampliações de suas concepções 
matemáticas e pedagógicas. 
Fonte:http://revistaescola.abril.com.br/img/matematica/220-elevadozero1g.jpg 
Acesso em 02/11/09. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 4 - DISCUSSÕES ACERCA DO PAPEL E DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
18 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Assim, a formação desse professor levará em conta aspectos relativos ao 
conhecimento e à aprendizagem da matemática, focando-se nas seguintes questões 
(FIORENTINO et al, 2003): 
1 – O que o professor de matemática deve conhecer? Quais são os contextos 
e situações (atividades, objetivos educacionais e práticas de ensino) em que serão 
utilizados esses conhecimentos? 
2 – Quais são os processos pelos quais o professor de matemática 
desenvolve os conhecimentos específicos desse campo? 
Na tentativa de sistematizar essas questões, Fiorentino et al (2003) destaca 
que os programas de formação do professor de matemática deveriam contemplar o 
conhecimento da matemática, o conhecimento sobre a aprendizagem das noções 
matemáticas e o conhecimento do processo instrutivo. 
Para que isso se efetive, os cursos de formação precisam basear-se nos 
trabalhos em grupo, para explorar situações problemáticas; nas discussões, para a 
identificação de conceitos; e, por fim, na aplicação e ampliação de novas ideias, as 
quais estarão pautadas em discussões, interações ou novas situações propostas 
pelos formadores dos professores. 
De forma geral, podemos considerar que esses pressupostos também 
perpassam a formação do professor de matemática da educação infantil e das séries 
iniciais do fundamental. 
Nesta perspectiva, o papel fundamental do professor nas etapas iniciais do 
ensino da matemática será o de educar para a cidadania, fomentando e contribuindo 
para que os alunos apreciem as ciências e tecnologias, desenvolvam estruturas 
cognitivas relativas a este campo do saber e contextualizem os conhecimentos 
matemáticos em sua vida. 
 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
Assim como há um consenso na literatura educacional de que a pesquisa é 
um elemento essencial na formação profissional do professor, e que a pesquisa deve 
ser parte integrante do trabalho do professor, nós também acreditamos que o 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 4 - DISCUSSÕES ACERCA DO PAPEL E DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
19 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
professor deva ser um investigador de sua prática e, para tal, o mesmo deve pesquisar 
sua prática cotidiana e incluir seus alunos na produção do conhecimento (ANDRÉ, 
2002). 
Para ser um investigador de sua prática, é preciso que o professor tenha 
disposição pessoal para a investigação, tenha desejo de questionar, possuir uma 
formação adequada para solucionar problemas, selecionar métodos e instrumentos 
de observação e de análise e atuar num ambiente institucional favorável à constituição 
de grupos de estudo (idem). 
O texto que se segue é um fragmento do original, intitulado “O projeto 
curricular de cada professor e o currículo oficial”, de Vinício de Macedo Santos, aborda 
de maneira clara o que tratamos até aqui. 
O projeto curricular de cada professor e o currículo oficial* 
Vinício de Macedo Santos 
Se prestarmos atenção ao que ocorre na nossa prática diária na sala de aula 
quando ensinamos Matemática, veremos que nossas ações são orientadas por um 
conjunto de crenças e ideias que fomos desenvolvendo e acumulando ao longo da 
nossa vida, durante o curso que nos formou professores e, mais intensamente, no 
nosso percurso profissional desde que nos tornamos professores. Essas ideias e 
crenças são os conhecimentos que dão base para o que sepode chamar de “nosso 
projeto curricular pessoal”. 
Muitos são os fatores que ajudaram a compor esse projeto: 
1 os conhecimentos adquiridos em diferentes modalidades de curso; 
2 a interação com outros colegas, em particular, com aqueles professores que 
mais cativaram nossa atenção e interesse; 
3 o contato com os meios de comunicação; 
4 as leituras de diferentes tipos: revistas, livros, livros didáticos e 
paradidáticos, currículos oficiais etc. 
5 nossa inserção cotidiana numa sala de aula onde nos relacionamos com os 
alunos e procuramos desenvolver ações envolvendo o conhecimento matemático. 
Os documentos oficiais, em geral, trazem considerações de diferentes tipos 
sobre a Matemática, sobre as finalidades do seu ensino, sobre os conteúdos a serem 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 4 - DISCUSSÕES ACERCA DO PAPEL E DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
20 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
abordados em cada ciclo, sobre a forma segundo a qual esses conteúdos devem ser 
trabalhados e avaliados. 
Por conter considerações desse tipo tais documentos podem influenciar 
diretamente a ação do professor na sala de aula na medida em que contribuam para 
acrescentar ou reformular ideias do projeto individual desse professor ou do projeto 
da escola. 
O nosso trabalho profissional requer que sistematicamente procuremos refletir 
sobre o que fazemos se alcançamos resultados satisfatórios na aprendizagem dos 
alunos e em que medida precisou validar nossos conhecimentos de professores de 
matemática e aprimorar a qualidade do projeto curricular que orienta nossa ação. 
Entre os documentos oficiais elaborados nos últimos anos e que marcaram 
presença na formação das gerações de professores que hoje atuam nas escolas 
públicas do Estado de São Paulo podem ser destacados os seguintes, com algumas 
das suas características (*Destacaremos aqui apenas o Parâmetro Curricular 
Nacional): 
Documentos Oficiais Blocos de conteúdos propostos para o Ensino 
Fundamental Principais Características 
Parâmetros Curriculares Nacionais - 1997- Números e operações 
- Espaço e forma 
- Grandezas e medidas 
- Tratamento da informação 
- Dá atenção ao uso da Matemática em situações significativas para o aluno 
- Explicita atribuições do ensino de matemática na formação do cidadão 
- Valoriza o conhecimento prévio e as estratégias individuais dos alunos 
- Destaca a relação entre Matemática e os temas transversais 
- Discute e propõe diferentes vias de abordagem da Matemática na sala de 
aula: resolução de problemas, história da Matemática, Jogos e tecnologia da 
informação. 
- Propõe o Tratamento da Informação como um dos blocos de conteúdos 
Sabemos que [...] podem ser utilizados em nossas consultas para 
confrontarmos aquilo que pensamos a respeito do que se ensina e como se ensina, 
do que se aprende e como se aprende Matemática etc. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 4 - DISCUSSÕES ACERCA DO PAPEL E DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
21 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Mas sabemos também que é possível haver uma grande distância entre as 
nossas melhores intenções e a realidade. 
Do mesmo modo, as orientações propostas nos documentos oficiais podem 
estar bem distantes do currículo praticado cotidianamente na sala de aula. 
Os documentos vêm discutindo a relevância e propondo a inclusão de certos 
temas pouco trabalhados, como a Geometria, ou ignorados, como o Tratamento da 
Informação. 
Para muitos professores, esse é um fator de insegurança, em parte porque são 
temas que não estiveram presentes na sua formação e em parte porque a forma como 
vêm sendo propostos não chega a ser compreendida. 
Disponível em: 
http://www.planejconsultoria.com.br/skin/frontend/arquivos/categorias/49/Projeto_Cur
ricular.pdf. Acesso em: 01 de outubro de 2012. 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 5 - PRINCÍPIOS E PRESSUPOSTOS NORTEADORES 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
22 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
Objetivos: partindo do conhecimento acerca do desenvolvimento infantil, 
refletir sobre as possibilidades do trabalho com a matemática com crianças no início 
de seu processo de escolarização. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
O ponto de partida para o trabalho com a matemática na Educação Infantil 
precisa levar em conta o conhecimento prévio da criança, considerando a interação e 
a construção de saberes proporcionado pelo seu contato com as pessoas e com o 
ambiente social em que vive. 
Para que isso ocorra é preciso que o professor conheça a fundo seus alunos, 
suas relações com os outros e com o meio, suas atividades dentro e fora da escola, 
bem como suas respostas frente aos desafios do dia a dia, os quais envolvam e façam 
uso de conceitos matemáticos. 
A partir disso, o professor poderá orientar e preparar caminhos que permitam 
maiores avanços aos seus alunos, no que se refere ao estabelecimento das relações 
lógicas, ao levantamento de hipóteses, às elaborações de conclusões, 
argumentações, justificativas ou generalizações. 
Além disso, a observação do ato de brincar e o próprio incentivo às 
brincadeiras infantis constituem-se em importantes fontes de direcionamento 
pedagógico. 
 Ao brincar, as crianças constroem e explicitam os conceitos matemáticos 
elaborados ou em fase de elaboração, ainda que não estejam totalmente conscientes 
deste fato. Por isso, as brincadeiras e os jogos podem e devem ser utilizados como 
estratégias de ensino. 
Desta forma, quando o professor sistematiza e torna intencional a prática 
dessas brincadeiras e jogos, com a finalidade de construir conhecimentos científicos, 
possibilita o desenvolvimento de aprendizagens significativas, lúdicas e 
contextualizadas à realidade das crianças, além de propiciar a interação social, o 
respeito, a ética e a solidariedade. 
De acordo com Centurión et al (2004, p. 16): 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 5 - PRINCÍPIOS E PRESSUPOSTOS NORTEADORES 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
23 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Brincando, jogando, cantando, ouvindo histórias, o educando estabelece 
conexões entre o seu cotidiano e a Matemática, entre a Matemática e as demais áreas 
do conhecimento e entre diferentes temas matemáticos. Diversas ações intervêm na 
construção dos conhecimentos matemáticos, como recitar a seu modo a sequência 
numérica, fazer comparações entre quantidades e entre notações numéricas e 
localizar-se espacialmente. [...] Às noções matemáticas abordadas na educação 
infantil corresponde uma variedade de brincadeiras e jogos, principalmente aqueles 
classificados como de construção e de regras. Vários tipos de brincadeiras e jogos 
que possam interessar à criança pequena constituem-se rico contexto em que ideias 
matemáticas podem ser evidenciadas pelo adulto, por meio de perguntas, 
observações e formulação de propostas. 
Como forma de exemplificar as ideias discutidas até o momento, assista ao 
vídeo “Aprender tem que ser gostoso”, o qual mostra um Projeto Educacional 
desenvolvido por meio de Jogos em uma sala de Educação Infantil da Escola Caminho 
do Sol. 
São trabalhados conceitos da Matemática de forma integrada ao ensino da 
Língua Portuguesa, mostrando que é possível e necessário integrar as áreas do 
saber, utilizar os jogos como meio de interação e aprendizagem dos conhecimentos 
científicos, e, ainda, contribuir para o desenvolvimento da cooperação,socialização e 
formação do cidadão, de forma ampla. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
Para um aprofundamento acerca do trabalho com a matemática com crianças 
pequenas, vamos observar e refletir sobre as temáticas propostas a seguir. 
 
A CRIANÇA E O ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL: SUAS 
HIPÓTESES E IMPLICAÇÕES PARA A PRÁTICA DOCENTE 
 
Se levarmos em conta a teoria piagetiana, a criança pertencente à educação 
infantil encontra-se no período pré-operacional, que compreende por volta dos 2 aos 
7 anos de idade. 
Mas, o que este fato auxilia no ensino da Matemática? 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 5 - PRINCÍPIOS E PRESSUPOSTOS NORTEADORES 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
24 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Bem, o professor pode estudar os períodos de desenvolvimento pelos quais 
a criança passa com o intuito de planejar suas ações pedagógicas, suas formas de 
interação com a criança, definindo objetivos, conteúdos e direcionando, de maneira 
eficaz, seu trabalho em sala de aula. 
 Assim, é importante que o professor saiba que, neste período inicial, a criança 
encontra-se em fase de preparação para o pensamento lógico, apresentando 
características, que segundo Lorenzato (2008), podem ser sintetizadas da seguinte 
forma: 
• Centralização em seu ponto de vista (egocentrismo); 
• Atribuição de sentimentos às coisas do meio (exemplo: “o céu está bravo, por 
isso há trovão”); 
• Não inversão do pensamento, ou seja, não desenvolveu ainda o pensamento 
reverso; 
• Simbolismo desenvolvido (representa uma coisa por outra - exemplo: “um cabo 
de vassoura pode representar um cavalo”); 
• Centralização em suas observações (apreende quase sempre apenas um 
aspecto em suas análises); 
• Generalizações abusivas; 
• Curta capacidade de concentração; 
• Linguagem verbal e aspecto motor em pleno desenvolvimento (fala e 
movimentos refinados passam a ter um salto qualitativo). 
Com base nestas informações, o professor pode planejar situações de desafio 
aos alunos, aproveitando o que eles já desenvolveram e estimulando-os a 
desenvolverem novas habilidades. 
Entretanto, é importante ressaltar que estas características pertencentes ao 
período pré-operatório baseiam-se em um sujeito epistemológico e podem variar de 
acordo com o meio, características individuais, interações e estímulos. 
Fonte: http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/ei/artigos/2008/mat_7.jpg 
Acesso em 02/11/09. 
Ainda assim, é fundamental que o professor possua uma bagagem de 
conhecimentos acerca do desenvolvimento das crianças, conhecendo as fases de 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 5 - PRINCÍPIOS E PRESSUPOSTOS NORTEADORES 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
25 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
evolução do pensamento infantil, a fim de orientar e fundamentar suas ações e 
propostas pedagógicas em sala de aula. 
No entanto, para que o professor planeje sua prática é imprescindível que ele saiba 
quais são os conteúdos que deve trabalhar com seus alunos no ensino da matemática. 
É essencial que seja feito um trabalho inicial, em forma de brincadeiras e 
jogos, com as noções: grande/pequeno; maior/menor; grosso/fino; curto/comprido; 
alto/baixo; largo/estreito; perto/longe; leve/pesado; vazio/cheio; mais/menos; 
muito/pouco; igual/diferente; dentro/fora; começo/meio/fim; antes/agora/depois; 
cedo/tarde; dia/noite; ontem/hoje/amanhã; devagar/depressa; aberto/fechado; em 
cima/embaixo; direita/esquerda; primeiro/último/entre; na frente/atrás/ao lado; para 
frente/para trás/para o lado; para a direita/para a esquerda; para cima/para baixo; 
ganhar/perder; aumentar/diminuir. 
A introdução e revisão destas noções proporcionarão o desenvolvimento e a 
construção de relações com os seguintes conceitos físico-matemáticos: tamanho, 
lugar, distância, forma, quantidade, número, capacidade, tempo, posição, medição, 
operação, direção, volume, comprimento e massa. 
Além disso, ao trabalhar as atividades em sala de aula, o professor deverá 
explorar os sete processos mentais básicos para a aprendizagem da matemática, que 
são de acordo com Lorenzato (2008): 
1) Correspondência – estabelecer relação um a um; 
2) Comparação – estabelecer diferenças ou semelhanças; 
3) Classificação – separação em categorias, de acordo com um ou mais critérios; 
4) Sequenciação – sucessão de um elemento após o outro sem considerar a ordem 
entre eles; 
5) Seriação – ordenação de uma sequência de acordo com critérios; 
6) Inclusão – abrangência de um conjunto por outro; 
7) Conservação – percepção de que a quantidade independe da arrumação, forma ou 
posição. 
Por fim, é preciso que o professor conheça e reflita sobre o que traz o 
Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil: Conhecimento de Mundo 
(RCNEI, 1998, v.3), pautando-se nos conteúdos e objetivos trazidos por esse 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 5 - PRINCÍPIOS E PRESSUPOSTOS NORTEADORES 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
26 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
documento, no intuito de planejar sua ação docente. Este será o tema de nossa 
próxima unidade. 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 6 - O ENSINO DA MATEMÁTICA: DISCUTINDO A PROPOSTA DO REFERENCIAL CURRICULAR NACIONAL 
PARA A EDUCAÇÃO INFANTIL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
27 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivo: conhecer as proposições do referencial Curricular Nacional para a 
Educação Infantil sobre o ensino da Matemática. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
No Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil: Conhecimento 
de Mundo (BRASIL, 1998, v.3) encontramos os objetivos e conteúdos para o 
desenvolvimento da educação matemática com as crianças de 0 a 6 anos. 
De acordo com esse documento: 
As noções matemáticas (contagem, relações quantitativas e espaciais etc.) 
são construídas pelas crianças a partir das experiências proporcionadas pelas 
interações com o meio, pelo intercâmbio com outras pessoas que possuem 
interesses, conhecimentos e necessidades que podem ser compartilhados. 
As crianças têm e podem ter várias experiências com o universo matemático 
e outros que lhes permitem fazer descobertas, tecer relações, organizar o 
pensamento, o raciocínio lógico, situar-se e localizar-se espacialmente. Configura-se 
desse modo um quadro inicial de referências lógico matemáticas que requerem 
outras, que podem ser ampliadas. São manifestações de competências, de 
aprendizagem, advindas de processos informais, da relação individual e cooperativa 
da criança em diversos ambientes e situações de diferentes naturezas, sobre as quais 
não se tem planejamento e controle. Entretanto, a continuidade da aprendizagem 
matemática não dispensa a intencionalidade e o planejamento. Reconhecer a 
potencialidade e a adequação de uma dada situação para a aprendizagem, tecer 
comentários, formular perguntas, suscitar desafios, incentivar a verbalização pela 
criança etc., são atitudes indispensáveis do adulto. Representam vias a partir das 
quais as crianças elaboram o conhecimento em geral e o conhecimento matemático 
em particular. Deve-se considerar o rápido e intenso processo de mudança vivido 
pelas crianças nessa faixa etária. Elas apresentam possibilidades de estabelecer 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 6 - O ENSINO DA MATEMÁTICA: DISCUTINDO A PROPOSTA DO REFERENCIAL CURRICULAR NACIONAL 
PARA A EDUCAÇÃO INFANTIL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
28 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
vários tipos de relação (comparação, expressão de quantidade), representações 
mentais, gestuais e indagações, deslocamentos no espaço. 
Diversas ações intervêm na construção dosconhecimentos matemáticos, 
como recitar a seu modo a sequência numérica, fazer comparações entre quantidades 
e entre notações numéricas e localizar-se espacialmente. Essas ações ocorrem 
fundamentalmente no convívio social e no contato das crianças com histórias, contos, 
músicas, jogos, brincadeiras etc. As respostas de crianças pequenas a perguntas de 
adultos que contenham a palavra ‘quantos?’ podem ser aleatoriamente ‘três’, ‘cinco’, 
para se referir a uma suposta quantidade. O mesmo ocorre às perguntas que 
contenham ‘quando?’. Nesse caso, respostas como ‘terça-feira’ para indicar um dia 
qualquer ou ‘amanhã’ no lugar de ‘ontem’ são frequentes. Da mesma forma, uma 
criança pequena pode perguntar ‘quanto eu custo?’ ao subir na balança, no lugar de 
‘quanto eu peso?’. Esses são exemplos de respostas e perguntas não muito precisas, 
mas que já revelam algum discernimento sobre o sentido de tempo e quantidade. São 
indicadores da permanente busca das crianças em construir significados, em aprender 
e compreender o mundo (BRASIL, 1998, v.3, p. 213). 
A MATEMÁTICA NA CRECHE 
Especificamente para as crianças de 0 a 3 anos temos estabelecido que seja 
preciso desenvolver relações com certas noções matemáticas oriundas do cotidiano 
dos alunos, como a contagem, as relações espaciais, entre outras. 
Para tanto, os conteúdos a serem trabalhados podem ser organizados da 
seguinte forma: 
a) Uso da contagem oral, de noções de quantidade, tempo e espaço em jogos, 
brincadeiras e músicas. O professor deve orientar essas práticas em contextos 
diversos, entretanto, as crianças precisam reconhecer essa utilização como 
necessária. 
b) Em situações organizadas de ensino é preciso estimular a manipulação e 
a exploração de objetos e brinquedos, de forma a existirem quantidades individuais 
suficientes para que cada criança possa descobrir as características e propriedades 
principais e suas possibilidades associativas: empilhar, rolar, transvasar, encaixar, 
entre outras. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 6 - O ENSINO DA MATEMÁTICA: DISCUTINDO A PROPOSTA DO REFERENCIAL CURRICULAR NACIONAL 
PARA A EDUCAÇÃO INFANTIL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
29 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Dessa maneira, o professor organizará o espaço escolar e aproveitará 
situações do cotidiano para trabalhar especificamente com as noções matemáticas. 
 É necessário, portanto, que, a partir dos conteúdos a serem 
desenvolvidos, o professor organize situações orientadas de ensino, como por 
exemplo: 
[...] circuitos de obstáculos com cadeiras, mesas, pneus e panos por onde as 
crianças possam engatinhar ou andar — subindo, descendo, passando por dentro, 
por cima, por baixo — permitem a construção gradativa de conceitos, dentro de um 
contexto significativo, ampliando experiências. As brincadeiras de construir torres, 
pistas para carrinhos e cidades, com blocos de madeira ou encaixe, possibilitam 
representar o espaço numa outra dimensão. O faz-de-conta das crianças pode ser 
enriquecido, organizando-se espaços próprios com objetos e brinquedos que 
contenham números, como telefone, máquina de calcular, relógio etc. As situações de 
festas de aniversário podem constituir-se em momento rico de aproximação com a 
função dos números. 
O professor pode organizar junto com as crianças um quadro de 
aniversariantes, contendo a data do aniversário e a idade de cada criança. Pode 
também acompanhar a passagem do tempo, utilizando o calendário. As crianças por 
volta dos dois anos já podem, com ajuda do professor, contar quantos dias faltam para 
seu aniversário. Pode-se organizar um painel com pesos e medidas das crianças para 
que elas observem suas diferenças. As crianças podem comparar o tamanho de seus 
pés e depois olhar os números em seus sapatos. O folclore brasileiro é fonte 
riquíssima de cantigas e rimas infantis envolvendo contagem e números, que podem 
ser utilizadas como forma de aproximação com a sequência numérica oral. São muitas 
as formas possíveis de se realizar o trabalho com a Matemática nessa faixa etária, 
mas ele sempre deve acontecer inserido e integrado no cotidiano das crianças. 
(BRASIL, 1998, v.3, p. 218). 
 
A MATEMÁTICA NA PRÉ-ESCOLA 
Já para as crianças de 4 a 6 anos temos estabelecido que é preciso 
aprofundar os conteúdos já trabalhados na creche (0 – 3 anos), intensificando a 
construção de conceitos e procedimentos matemáticos. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 6 - O ENSINO DA MATEMÁTICA: DISCUTINDO A PROPOSTA DO REFERENCIAL CURRICULAR NACIONAL 
PARA A EDUCAÇÃO INFANTIL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
30 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Como objetivos para esta etapa destaca-se a necessidade da criança 
reconhecer e valorizar os números, as operações numéricas, as contagens orais e as 
noções espaciais como ferramentas necessárias ao seu cotidiano; comunicar ideias 
matemáticas, hipóteses, processos utilizados e resultados encontrados em situações-
problema relativas a quantidades, espaço físico e medida, utilizando a linguagem oral 
e a linguagem matemática; desenvolver confiança nas estratégias e na capacidade 
da criança em lidar com situações matemáticas novas, utilizando seus conhecimentos 
prévios (BRASIL, 1998, v.3, p. 215). 
Para tanto, os conteúdos a serem trabalhados podem ser organizados em três 
blocos integrados: “Números e sistema de numeração”, “Grandezas e medidas” e 
“Espaço e forma”. 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
Para ampliar seus conhecimentos conheça acesse o link abaixo: 
Documentos Educacionais 
Disponível em: <http://www.culturatura.com.br/docsed/> Acesso em 10 de  julho de 
2014 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 7 - Conteúdos organizados em blocos integrados 
Adriana Maria Corder Molinari 
31 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos:  O desenvolvimento do conceito de número, de formas e 
tamanhos. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
Os conteúdos a serem trabalhados podem ser organizados em três blocos 
integrados: “Números e sistema de numeração”, “Grandezas e medidas” e “Espaço e 
forma”. 
Vejamos cada um dos blocos descritos anteriormente, mais atentamente. 
 
BLOCO 1: “NÚMEROS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO” – refere-se à 
contagem, notação, escritas numéricas e operações matemáticas. 
O desenvolvimento deste bloco compreende: 
• O uso da contagem oral em brincadeiras e em outras situações; 
• O uso de noções simples de cálculo mental para a resolução de problemas; a 
comunicação de quantidades pelo uso da linguagem verbal; o uso da notação 
numérica e/ou registros não convencionais; 
• A identificação da posição de um objeto ou número em uma série, explicitando 
conceitos como sucessor e antecessor; 
Percebemos, portanto, que o número está presente no cotidiano e possui 
diversas funções, as quais devem ser exploradas pelo professor em situações de 
brincadeiras e jogos. 
Sabemos, por exemplo, que o número pode ser: localizador (designa 
localidade, distância etc.), identificador (datas, telefones, páginas etc.), ordenador 
(andar, posição em competições etc.), quantificador (velocidade, altura etc.), números 
que indicam a cardinalidade e a ordinalidade (quantidade total e contagem por ordem, 
respectivamente), números que indicam cálculo ou medida (resultado de operações e 
resultado de mensuração, respectivamente). 
Além disso, Lorenzato (2008) aponta que o número pode ser constituído por 
inúmeras variáveis, tais como: 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 7 - Conteúdos organizados em blocos integrados 
Adriana Maria Corder Molinari 
32 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
• correspondência um a um; cardinalidade de um conjunto; 
ordinalidade na contagem; contagem seriada um a um; contagempor 
agrupamentos; composição e decomposição de quantidade; reconhecimento 
de símbolos numéricos; reconhecimento de símbolos operacionais; 
representação numérica; operacionalização numérica; percepção de 
semelhanças; percepção de diferenças; percepção de inclusão; percepção de 
invariância. 
Assim, o desenvolvimento do conceito de número pela criança compreende 
um longo e complexo processo, que tem início na educação infantil. 
 
BLOCO 2: “GRANDEZAS E MEDIDAS” – esse bloco compreende: 
 
• A exploração de diferentes procedimentos para comparação de 
grandezas; 
• A introdução às noções de medida de comprimento, peso, volume e 
tempo, por meio do uso de unidades convencionais e não convencionais; 
• O uso de calendários para marcar o tempo; 
• O uso de dinheiro em brincadeiras ou em outras situações. 
 
De acordo com Lorenzato (2008), o conceito de medida é amplo e pode se 
referir à distância (comprimento, altura, largura, espessura, profundidade, tamanho, 
envolvendo noções de horizontalidade, verticalidade, perpendicularidade e 
paralelismo); superfície (a medida é a área e as propriedades da superfície podem 
ser: cor, brilho, extensão, aspereza); espaço (a medida é o volume, se for oco será 
capacidade, o volume é medido em unidades cúbicas e capacidade em litros); massa 
(é matéria, já peso é força, dependendo da gravidade local e é variável); calor (é forma 
de energia que eleva a temperatura dos corpos); movimento (é o deslocamento de um 
corpo no espaço, associa-se à noção de velocidade, que é a relação entre distância 
percorrida e tempo gasto); duração (é o tempo, que pode ser medido, representado, 
é um conceito abstrato e se apoia nas regularidades, ritmos ou alternâncias). 
 
BLOCO 3: ESPAÇO E FORMA – o desenvolvimento desse bloco compreende: 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 7 - Conteúdos organizados em blocos integrados 
Adriana Maria Corder Molinari 
33 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
• A explicitação e/ou representação da posição de pessoas e objetos, 
utilizando vocabulário pertinente em jogos, brincadeiras ou outras situações; 
• A exploração e identificação de propriedades geométricas de objetos e 
figuras, tais como: formas, tipos de contornos, bidimensionalidade, 
tridimensionalidade, faces planas, lados retos etc.; 
• O uso de representações bidimensionais e tridimensionais de objetos; 
• A descrição e a representação de pequenos percursos e trajetos, tendo 
como base pontos de referência. 
Segundo a teoria piagetiana, o desenvolvimento da noção de espaço e forma 
na criança inicia-se com a percepção dos objetos, pela imagem visual; a seguir, ela 
pega o que vê e depois passa a deslocar-se por entre esses objetos e vai, 
gradativamente, ampliando suas noções. Por fim, a criança se percebe como mais um 
objeto no espaço, com formas e características próprias. 
. 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
 Para aprimorar seus conhecimentos acesse: 
 
http://revistaescola.abril.com.br/educacao-infantil/4-a-6-anos/sistema-
numeracao-pre-escola-627102.shtml 
 
http://revistaescola.abril.com.br/educacao-infantil/4-a-6-anos/cada-dia-
sempre-novo-dia-428181.shtml 
 
http://revistaescola.abril.com.br/educacao-infantil/4-a-6-anos/exploracao-
espacos-pre-escola-educacao-infantil-matematica-forma-geometria-541707.shtml 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 8 - PROPOSIÇÕES METODOLÓGICAS 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
34 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
Objetivo: conhecer as proposições dos Parâmetros Curriculares Nacionais de 
matemática para e Ensino Fundamental 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
O ensino da Matemática para as crianças das séries iniciais do ensino 
fundamental precisa levar em conta os conceitos que elas desenvolvem por meio de 
suas interações em situações cotidianas, por suas concepções prévias no que se 
refere às relações matemáticas e pelo que construíram na educação formal (para 
aquelas que frequentaram creches e/ou pré-escolas). 
Assim, os pontos centrais em que o professor baseará o ensino da matemática 
nesta etapa inicial serão: 
 A intensificação das interações entre as crianças e o meio; 
 A estimulação do pensamento operatório (fase em que se encontram as 
crianças, de acordo com a teoria piagetiana); 
 A criação de situações de desafio cognitivo (resolução de problemas); 
 O desenvolvimento de conceitos (revendo, aprofundando e ampliando os 
conceitos matemáticos); 
 O estímulo à autonomia. 
Sobre a questão da autonomia, Kamii (1996) afirma que esta significa o 
governo de si mesmo e é o oposto da heteronomia, referindo-se não apenas ao plano 
moral, mas também ao intelectual 
Portanto, o pensar autonomamente (saber o que é verdadeiro e o que é falso 
por si mesmo), precisa ser estimulado, relacionando-se aos saberes que vão sendo 
construídos pelas crianças. 
É preciso, para isso, que as crianças confiem em sua forma de pensar, 
explorando-a e integrando-a a dos outros. 
Tendo em vista este objetivo, no ensino da Matemática, o professor deve 
estimular os alunos a explicarem seus raciocínios em sala de aula, pois, de acordo 
com Kamii (1996), é necessário mobilizar a inteligência e a totalidade dos seus 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 8 - PROPOSIÇÕES METODOLÓGICAS 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
35 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
conhecimentos quando o indivíduo precisa assumir uma posição e/ou confrontá-la 
com outras. 
Complementando essa ideia, Dante (1997) destaca que a resolução de 
problemas, no ensino da matemática, desenvolve nos alunos: o pensar produtivo, o 
raciocínio lógico, o enfrentamento de situações novas, as aplicações matemáticas, 
novas estratégias de resolução e as bases matemáticas para a vida. 
Dessa forma, o processo de ensino e aprendizagem da matemática configura-
se como um processo social de construção baseado na interação, nas situações-
problema, na autonomia e na constante ação-reflexão-ação por parte do professor e 
dos alunos. 
“Uma noção de educação matemática que inclua a ideia de que a 
aprendizagem é uma parte integrante das práticas sociais e é constitutiva da 
participação das crianças e jovens em comunidades de prática, tem múltiplas 
implicações ao nível de (i) definição dos currículos no que respeita a metodologias de 
trabalho, áreas temáticas organizadoras das atividades e avaliação das 
aprendizagens, e (ii) definição de princípios base da formação de professores de 
educação matemática. Mas de mais é fundamental aprofundar a ideia de perspectivar 
a educação matemática como fenômeno emergente. Este aprofundamento obriga a 
pensar a natureza das práticas em que se pretende envolver os alunos como 
participantes na escola e a encontrar soluções para a dificuldade de antecipar as 
aprendizagens que se deseja ocorram nos alunos. Em última análise esta perspectiva 
decorre de pensar a educação matemática em duas dimensões complementares que 
constituem as práticas escolares em matemática: uma aproximação ao pensar 
matematicamente e a uma forma de organizar a experiência incluindo um ponto de 
vista matemático. Este tipo de agenda depara igualmente com dificuldades 
decorrentes do fato de pretender realizar uma educação matemática em instituições 
fundadas sobre o utilitarismo. Como pergunta Caldas (1999) ‘como ser educador 
quando o que se exige [na escola] é um professor burocrata?’”( PIRES e FARIAS 
2010) 
 
O ENSINO DA MATEMÁTICA: DISCUTINDO A PROPOSTA DOS PARÂMETROS 
CURRICULARES NACIONAIS 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 8 - PROPOSIÇÕES METODOLÓGICAS 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
36 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
De acordo com o PCN (1997, v.3), o ensino da matemática precisa se 
relacionar aocotidiano, como uma busca de respostas às questões diárias. 
O uso de jogos, a resolução de problemas, o trabalho em equipes, o uso das 
novas tecnologias e a história da matemática se constituem em ferramentas 
necessárias ao trabalho pedagógico, sobretudo nas séries iniciais do ensino 
fundamental, as quais se subdividem, neste documento, em primeiro ciclo e segundo 
ciclo. (Você verá nas unidades seguintes). 
No ensino de matemática, já existem muitas contingencias de trabalhar os 
conceitos desta disciplina, não utilizando o ensino tradicional, mas, levando em contas 
outras propostas metodológicas, como a resolução de problemas, a abordagem 
Etnomatemática, o uso de computadores, a modelagem matemática e o uso de jogos 
matemáticos, procurando fazer com que o aluno deixe de ser um simples receptor de 
conteúdos, passando a interar-se participando do próprio processo de construção do 
conhecimento. 
Em pesquisas bibliográficas, foram encontradas referências ao uso de jogos 
na educação que levam a Roma e à Grécia antigas, mas, se considerarmos a história 
mais atual, podemos concluir que é do século passado que surgem contribuições 
teóricas mais relevantes para o aparecimento de propostas de ensino incorporando o 
uso de jogos, em que os alunos passam a ser parte ativa na aprendizagem. 
O estudo de novos elementos incorporados ao ensino de matemática não 
pode deixar de conceituar o avanço das discussões a respeito da educação e dos 
fatores que contribuem para uma melhor aprendizagem. Sendo assim, o jogo aparece 
dentro de um amplo cenário que busca apresentar a educação matemática, em bases 
cada vez mais cientificas. Acredito que deve ser neste cenário que devemos trabalhar 
para não cometermos erros grosseiros como os cometidos na recente história da 
matemática. 
O jogo recebe de teóricos como Piaget, Vygotsky, Leontiev, Elkonin, entre 
outros, as contribuições para o seu aparecimento em propostas de ensino de 
matemática. O raciocínio resultante do fato de que os alunos apreendem através do 
jogo é que este possa ser utilizado em sala de aula. As primeiras ações de professores 
apoiados em teorias construtivistas foram no sentido de tornar as salas de aula 
bastante ricas em quantidade e variedade de jogos, para que os alunos pudessem 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 8 - PROPOSIÇÕES METODOLÓGICAS 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
37 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
descobrir os conceitos inerentes às estruturas dos jogos por meio de sua 
manipulação. 
A educação matemática, nos anos 60, viveu uma situação que poderíamos 
dizer à beira da loucura, pois, ao mesmo tempo em que se baseava em teorias 
psicológicas que defendiam a utilização de materiais concretos como facilitador da 
aprendizagem utilizava-se de uma linguagem matemática altamente sofisticada, 
obedecendo a suas estruturas lógicas, acreditando em outro paradigma da psicologia 
da época: a estrutura do conhecimento matemático se aproxima das estruturas 
psicológicas dos alunos (Piaget, 1973). Disso decorreu o aparecimento de propostas 
de ensino de matemática em que se destacou a ênfase na linguagem e na visão 
estruturalista. 
O surgimento de novas concepções sobre como se dá o conhecimento, tem 
possibilitado outras formas de considerar o papel do jogo no ensino. O jogo, na 
educação matemática, passa a ter o caráter de material de ensino quando 
considerado “provocador” de aprendizagem. O aluno, colocado diante de situações 
lúdicas, apreende a estrutura lógica da brincadeira e, sendo assim, apreende também 
a estrutura matemática presente. O jogo será conteúdo assumido com a finalidade de 
desenvolver habilidades de resolução de problemas, possibilitando ao aluno a 
oportunidade de criar planos de ação para alcançar determinados objetivos, executar 
jogadas de acordo com este plano e avaliar sua eficácia nos resultados obtidos. Desta 
maneira, o jogo aproxima-se da matemática via desenvolvimento de habilidades de 
resolução de problemas (Moura, 1991), e ainda, permite trabalhar os conteúdos 
culturais inerentes ao próprio jogo. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber mais acesse: 
http://portalsme.prefeitura.sp.gov.br/Documentos/BibliPed/EnsFundMedio/CicloI/Orie
ntaCurriculares_ExpectativasAprendizagem_EnsFnd_cicloI.pdf 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
38 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
Objetivos: Conhecer os objetivos do ensino da matemática no primeiro ciclo 
do ensino fundamental. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
Como objetivos da matemática no primeiro ciclo do ensino fundamental temos: 
 Construir o significado do número natural a partir de seus 
diferentes usos no contexto social, explorando situações-
problema que envolva contagens medidas e códigos 
numéricos. 
 Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando 
hipóteses sobre elas, com base na observação de 
regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros 
informais e da linguagem matemática. 
 Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os 
significados das operações fundamentais, buscando 
reconhecer que uma mesma operação está relacionada a 
problemas diferentes, e um mesmo problema pode ser 
resolvido pelo uso de diferentes operações. 
 Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, 
exato, aproximado — pela observação de regularidades e de 
propriedades das operações e pela antecipação e verificação 
de resultados. 
 Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora 
como instrumento para produzir e analisar escritas. 
 Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-
se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar 
relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e 
fornecer instruções, usando terminologia adequada. 
 Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, 
identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
39 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
situações que envolvam descrições orais, construções e 
representações. 
 Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, 
massa, capacidade e elaborar estratégias pessoais de 
medida. 
 Utilizar informações sobre tempo e temperatura. 
 Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar 
resultados e expressá-los por meio de representações não 
necessariamente convencionais. 
 Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e 
interpretação de informações e construir formas pessoais de 
registro para comunicar informações coletadas. 
 (BRASIL, 1997, v.3, p. 47) 
 
 Os conteúdos encontram-se organizados da seguinte maneira: 
 
CONTEÚDOS CONCEITUAIS E PROCEDIMENTAIS 
 
1. NÚMEROS NATURAIS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL: 
a) Reconhecimento dos números do cotidiano (cardinais, ordinais, representativos – 
Ex.: trazer revistas e jornais e analisar o contexto de uso dos números – para 
quantificar, ordenar ou representar: nº de telefone etc.); 
b) Uso da contagem, estimativa, correspondência de termos, emparelhamento; 
c) Uso de estratégias variadas para identificação de números em situações próprias 
de contagem e medidas; 
d) Comparação entre coleções de objetos e ordenação de grandezas por meio da 
medida; 
e) Percepção da grandeza de um número pela quantidade de algarismos e pelo valor 
posicional dos mesmos (Ex.: comparar número de meninos e meninas da classe- 
perceber algarismos e quantidade); 
f) Leitura, escrita, comparação e ordenação de números conhecidos; 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DOENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
40 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
g) Desenvolvimento de critérios que definam uma classificação de números (maior 
que, menor que, estar entre) e regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, 
metade); 
h) Contagem em escalas ascendentes e descendentes (um em um, dois em dois, 
cinco em cinco etc., a partir de qualquer número dado); 
i) Identificação de regularidades na série numérica para nomear, ler e escrever 
números não tão usados; 
j) Uso da calculadora para produzir e comparar escritas numéricas; 
k) Realização de agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação nas 
coleções; 
l) Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas pela compreensão 
das características do sistema de numeração decimal (base, valor posicional). 
 
2. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: 
a) Compreender o significado das operações, sobretudo da adição e subtração; 
b) Utilizar os sinais convencionais nas operações; 
c) Perceber que problemas diferentes podem ser resolvidos por uma mesma operação 
e que diferentes operações podem ser utilizadas para resolver um mesmo problema. 
Por exemplo, temos vários problemas que são solucionados pela operação da soma 
e, por outro lado, observamos que um mesmo problema pode ser solucionado pela 
soma e/ou pela multiplicação; 
d) Usar a decomposição numérica para o cálculo mental exato e aproximado (fazer os 
alunos chegarem à decomposição, por exemplo: 186= 100+80+6); 
e) Realizar estimativas de resultados a partir das operações (Ex.: mostre a operação 
e dê sugestões de resultados para os alunos escolherem e justificarem suas escolhas, 
sem que, para isso, tenham que efetuar a operação propriamente) e uso da 
calculadora para verificação; 
f) Cálculo da adição e subtração por técnicas e estratégias pessoais; 
g) Cálculo de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. 
 
 
 
3. ESPAÇO E FORMA: 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
41 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
a) Localizar e descrever pessoas/objetos no espaço com base em pontos de 
referência; 
b) Compreender movimentações de pessoas/objetos conforme indicações de direção; 
c) Dimensionar espaços, percebendo tamanho e forma; 
d) Perceber formas geométricas em objetos diversos; 
e) Construir e representar formas geométricas 
f) Comparar tamanhos e formas de objetos; 
g) Conhecer semelhanças e diferenças entre: cubos e quadrados; paralelepípedos e 
retângulos; pirâmides e triângulos, esferas e cubos; 
 
4. GRANDEZAS E MEDIDAS: 
a) Comparação de grandezas de mesma natureza por meio de estratégias pessoais 
e instrumentos de medida comuns; 
b) Reconhecimento e relação entre unidades de tempo: dia, semana, quinzena, mês, 
bimestre, semestre, ano; 
c) Uso do calendário; 
d) Reconhecer cédulas/moedas e fazer trocas entre elas, considerando seus valores; 
d) Percepção da relação entre medida e unidade. (Não é obrigatório o pleno domínio 
da medida padrão, pode-se optar pelo uso de medidas não convencionais: barbante, 
pegadas, mãos etc.); 
e) Descrição da medição utilizada; 
e) Leitura de horas, comparação entre digitais e analógicos. 
 
5. TRATAMENTO E ORGANIZAÇÃO DAS INFORMAÇÕES: 
a) Leitura/Interpretação de informações em imagens; coleta e organização de dados; 
b) Registros pessoais para informação de dados; 
c) Exploração do número como um meio de organização e representação na vida (Ex.: 
números nos ônibus, telefones, placas, RG, bibliotecas, roupas, calçados, etc.); 
d) Interpretação e construção de tabelas simples – gráficos de barras (Ex.: tabelas de 
peso, idade, altura da turma etc.); 
e) Produção de textos para interpretação de gráficos e tabelas. 
 
CONTEÚDOS ATITUDINAIS 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
42 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 De acordo com o PCN (1997, v.3, p. 52-53), os conteúdos atitudinais em 
Matemática podem ser expressos da seguinte forma: 
 
• Desenvolvimento de atitudes favoráveis para a aprendizagem 
de Matemática. 
• Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias 
pessoais diante de situações-problema. 
• Valorização da troca de experiências com seus pares como 
forma de aprendizagem. 
• Curiosidade por questionar, explorar e interpretar os diferentes 
usos dos números, reconhecendo sua utilidade na vida 
cotidiana. 
• Interesse e curiosidade por conhecer diferentes estratégias de 
cálculo. 
• Valorização da utilidade dos elementos de referência para 
localizar-se e identificar a localização de objetos no espaço. 
• Sensibilidade pela observação das formas geométricas na 
natureza, nas artes, nas edificações. 
• Valorização da importância das medidas e estimativas para 
resolver problemas cotidianos. 
• Interesse por conhecer, interpretar e produzir mensagens, que 
utilizam formas gráficas para apresentar informações. 
• Apreciação da organização na elaboração e apresentação dos 
trabalhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 9 - A MATEMÁTICA NO PRIMEIRO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
43 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Como forma de ilustrar os conteúdos desenvolvidos no primeiro ciclo, assista 
aos vídeos abaixo: “Escola on line - Matemática é D+”. 
1) Avançando na Multiplicação – 2ª série 
http://www.youtube.com/watch?v=d_QYOj7MFsw 
2) Aprendendo a explicar – 2ª série 
http://www.youtube.com/watch?v=WMoCkpPHKQA 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 10 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
44 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
Objetivo: Conhecer os objetivos do ensino da matemática no segundo ciclo 
do ensino fundamental. 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 Como objetivos da matemática no segundo ciclo do ensino fundamental 
temos: 
• Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em 
situações-problema e pelo reconhecimento de relações e 
regularidades. 
• Construir o significado do número racional e de suas 
representações (fracionária e decimal), a partir de seus 
diferentes usos no contexto social. 
• Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as 
regras do sistema de numeração decimal e estendendo-as para 
a representação dos números racionais na forma decimal. 
• Resolver problemas, consolidando alguns significados das 
operações fundamentais e construindo novos, em situações que 
envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais. 
• Ampliar os procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato, 
aproximado — pelo conhecimento de regularidades dos fatos 
fundamentais, de propriedades das operações e pela 
antecipação e verificação de resultados. 
• Refletir sobre procedimentos de cálculo que levem à ampliação 
do significado do número e das operações, utilizando a 
calculadora como estratégia de verificação de resultados. 
• Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar 
a localização e movimentação de pessoas ou objetos, utilizando 
terminologia adequada para descrever posições. 
• Identificar características das figuras geométricas, percebendo 
semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e 
decomposição, simetrias, ampliações e reduções. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 10 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
45 
 
• Recolher dados e informações, elaborar formas para organizá-
los e expressá-los, interpretar dados apresentados sob forma de 
tabelas e gráficos e valorizar essa linguagem como forma de 
comunicação. 
• Utilizar diferentesregistros gráficos — desenhos, esquemas, 
escritas numéricas — como recurso para expressar ideias, 
ajudar a descobrir formas de resolução e comunicar estratégias 
e resultados. 
• Identificar características de acontecimentos previsíveis ou 
aleatórios a partir de situações-problema, utilizando recursos 
estatísticos e probabilísticos. 
• Construir o significado das medidas, a partir de situações-
problema que expressem seu uso no contexto social e em outras 
áreas do conhecimento e possibilitem a comparação de 
grandezas de mesma natureza. 
• Utilizar procedimentos e instrumentos de medida usuais ou 
não, selecionando o mais adequado em função da situação-
problema e do grau de precisão do resultado. 
• Representar resultados de medições, utilizando a terminologia 
convencional para as unidades mais usuais dos sistemas de 
medida, comparar com estimativas prévias e estabelecer 
relações entre diferentes unidades de medida. 
• Demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em 
diferentes contextos do cotidiano e de outras áreas do 
conhecimento, os conceitos e procedimentos matemáticos 
abordados neste ciclo. 
• Vivenciar processos de resolução de problemas, percebendo 
que para resolvê-los é preciso compreender, propor e executar 
um plano de solução, verificar e comunicar a resposta. 
 
 (BRASIL, 1997, v.3, p. 47) 
 
Para tanto, os conteúdos encontram-se organizados da seguinte maneira: 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 10 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
46 
 
 
CONTEÚDOS CONCEITUAIS E PROCEDIMENTAIS 
 
1. NÚMEROS NATURAIS, SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E NÚMEROS 
RACIONAIS: 
a) Aprofundar noções de escrita, contagem, comparação de quantidades, ordenação 
e estimativas dos números naturais; 
b) Reconhecer números naturais, decimais e racionais em situações do cotidiano 
(jornais, filmes, comércio, revistas etc.); 
c) Compreensão, leitura e representação de números racionais escritos na forma 
decimal (vírgula); 
d) Comparar e ordenar números racionais na forma decimal; 
e) Localizar na reta numérica os números racionais na forma decimal; 
f) Ler, escrever, comparar e ordenar frações de uso cotidiano; 
g) Compreender que o número racional na forma fracionária possui representações 
diversas (frações equivalentes – formas decimais/centesimais) – Ex.: fazer uma tira 
de 10 cm inteira para representar uma unidade (cor laranja), dividir essa tira em dez 
partes iguais (decimais- cor azul) e depois dividir em 100 tiras (centesimal - cor 
vermelha): fazer comparações. 
h) Reconhecer o uso da porcentagem no cotidiano. 
 
2. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS E RACIONAIS: 
 
a) Desenvolvimento do cálculo mental e escrito em todas as operações com números 
naturais; 
b) Análise e resolução de problemas com os números racionais (calculadora pode ser 
usada); 
c) Adição e subtração de números racionais na forma decimal – uso de técnicas 
convencionais; 
d) Capacidade de decisão sobre o uso do cálculo mental ou da operação convencional 
de acordo com a situação e problema apresentados; 
e) Cálculo de porcentagens simples. 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 10 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO 
Adriana Maria Corder Molinari 
47 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
 Como forma de ilustrar os conteúdos desenvolvidos no segundo ciclo, assista 
aos vídeos abaixo: “Escola on line- Matemática é D+”. 
1) Divisão – 3º. Ano 
http://www.youtube.com/watch?v=d7XJUb-I9us 
 
2) Organização espacial – 3º. Ano 
 
http://www.youtube.com/watch?v=_GuAQh4QNA0 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
48 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
Objetivo: 
Conhecer os objetivos do ensino da matemática no segundo ciclo do ensino 
fundamental. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície 
fechada. 
Os objetos à nossa volta são exemplos de formas geométricas chamados sólido. 
Os sólidos ocupam algum espaço. No seu exterior pode haver uma superfície fechada; 
ou os sólidos podem ser a armação de formas feitas de arame, palhinhas de beber ou 
limpadores de cachimbos. 
Se possuírem superfícies fechadas ou são apenas formadas de arestas, ainda se 
chamam sólidos. Uma forma que circunde espaço é um sólido. Os sólidos são por vezes 
designados de formas sólidas ou figuras espaciais ou figuras geométricas. São 
designações para todas as formas que ocupam espaço. 
 
1. ESPAÇO E FORMA: 
 
a) Uso do quadriculado para representar a posição de pessoas/objetos; 
b) Descrever, interpretar e representar os movimentos de pessoas/objetos no espaço, 
construir itinerários; 
c) Fazer uso de maquetes como forma de representação; 
d) Reconhecer as formas geométricas (triângulo, quadrado, losango, retângulo, círculo 
etc.); 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
49 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
e) Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos (números de lado, ângulo e 
simetria). 
 
ATENÇÃO- RELEMBRANDO: 
 
 Os polígonos (significam muitos ângulos) são figuras geométricas formadas por 
segmentos de retas (existem polígonos convexos e não convexos). 
 
 
 
 
Número de lados Polígono 
1 Não existe 
2 Não existe 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
13 Tridecágono 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
50 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
14 Tetradecágono 
15 Pentadecágono 
16 Hexadecágono 
17 Heptadecágono
18 Octodecágono 
19 Eneadecágono 
20 Icoságono 
 
 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono. Acesso em 03/11/09. 
 
f) Reconhecer diferenças e semelhanças entre corpos (não poliedros) como: esfera, 
cilindro e cone. 
 
ATENÇÃO- RELEMBRANDO: 
 Os não poliedros possuem superfícies curvas, por isso suas faces não são 
formadas por polígonos. 
 
EXEMPLOS DE “NÃO POLIEDROS” – SUPERFÍCIES CURVAS 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
51 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 
g) Reconhecer diferenças e semelhanças entre poliedros. 
 
ATENÇÃO- RELEMBRANDO: 
 
 Os poliedros (poli=muitas hedros=faces) são sólidos geométricos que possuem 
sua superfície composta por um número finito de faces, em que cada uma das 
faces é um polígono; seus elementos mais importantes são faces, arestas e 
vértices. Os poliedros podem ser regulares ou irregulares, exemplo: 
 
POLIEDROS REGULARES CONVEXOS 
 
CONE CILINDRO ESFERA 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
52 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 
ARESTA VÉRTICE FACE NOME 
6 4 4 TETRAEDRO 
12 8 6 
HEXAEDRO/ 
CUBO 
12 6 8 OCTAEDRO 
30 20 12 DODECAEDRO
30 12 20 ICOSAEDRO 
 
POLIEDROS REGULARES NÃO CONVEXOS 
 
 
Pequeno dodecaedro estrelado 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
53 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
Grande dodecaedro estrelado 
 
 
 
Grande dodecaedro 
 
 
 
Icosaedro estrelado 
 
POLIEDROS IRREGULARES 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 11 - A MATEMÁTICANO SEGUNDO CICLO – PARTE 2 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
54 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 
 
 
 
h) Analisar as faces, identificar simetrias, desmontar e montar figuras tridimensionais; 
i) Compreender que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras 
triangulares (auxílio do Tangran, quebra-cabeças com figuras geométricas, etc.); 
j) Perceber elementos geométricos nas formas da natureza e em criações artísticas. Por 
exemplo, em pinturas, como as de Tarsila do Amaral (retratando São Paulo). 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber um pouco assista ao vídeo “Trabalhando com os sólidos geométricos” 
http://www.youtube.com/watch?v=UR-Nfr1Ac1g 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 12 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 3 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
55 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: Identificar e comparar grandezas mensuráveis, optando pela medida 
mais adequada. 
 Conhecer e fazer uso de medidas como metro, centímetro, quilômetro, grama, 
miligrama, quilograma, litro, mililitro, metro quadrado e alqueire. 
 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
GRANDEZAS E MEDIDAS 
 
 Alqueire paulista= 24.200 metros quadrados; Alqueire mineiro= 48.400 metros 
quadrados; Alqueire do norte= 27.225 metros quadrados e o Alqueire baiano= 
96.800 metros quadrados. 
 Alqueire (do árabe al kayl) designava uma das bolsas ou cestas de carga que se 
colocava no dorso dos animais usados para transporte. Assim, o conteúdo 
daquelas bolsas, mais ou menos padronizadas, foi tomado como medida de grãos 
e depois acabaram designando a área de terra necessária para o plantio de suas 
sementes. 
(Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Alqueire Acesso em 09/11/09) 
 
UNIDADES DE MEDIDA: CONVERSÃO 
KM 
Quilômetro 
HM 
Hectômetro 
DAM 
Decâmetro
M 
Metro
DM 
Decímetro
CM 
Centímetro 
MM 
Milímetro
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 12 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 3 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
56 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
KG 
Quilograma 
HG 
Hectograma 
DAG 
Decagrama
G 
Grama
DG 
Decigrama
CG 
Centigrama 
MG 
Miligrama
 
 
c) Perceber que os sistemas de medidas são decimais, portanto, as mesmas regras deste 
sistema serão utilizadas para fazer as operações; 
d) Fazer uso de instrumentos de medida; 
e) Calcular perímetro e área de figuras em malha quadriculada, comparando o perímetro 
e a área (sem uso de fórmulas). 
 
ATENÇÃO- RELEMBRANDO: 
 
 PERÍMETRO E ÁREA - De forma geral, sabemos que: 
PERÍMETRO: é a medida do contorno de uma determinada figura. 
ÁREA: é a grandeza que permite estabelecer as relações necessárias entre os quadros 
geométrico e numérico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, analisando o quadrado acima teremos: 
Perímetro: 20 cm 
Área: 25 cm2 
5 cm 
5 cm 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 12 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 3 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
57 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
DESAFIO - VOCÊ CONSEGUE ENCONTRAR O PERÍMETRO DA FIGURA ABAIXO? 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br/soexercicios/geoplana.ph. Acesso em 09/11/09. 
 
5. ANÁLISE E TRATAMENTO DE INFORMAÇÕES: 
a) Coletar, organizar e descrever dados; 
b) Ler e interpretar dados apresentados de maneira formal: tabelas, listas, diagramas, 
gráficos; 
c) Fazer previsões e estabelecer relações, atentando para a frequência de um evento, a 
fim de resolver problemas simples de probabilidade; 
d) Desenvolver formas pessoais de combinar elementos de uma coleção e contabilizá-
los. 
 
CONTEÚDOS ATITUDINAIS 
 
 De acordo com o PCN (1997, v.3, p. 62), os conteúdos atitudinais em Matemática 
podem ser expressos da seguinte forma: 
 
• Confiança em suas possibilidades para propor e resolver problemas. 
• Perseverança, esforço e disciplina na busca de resultados. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 12 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 3 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
58 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
• Segurança na defesa de seus argumentos e flexibilidade para modificá-
los. 
• Respeito pelo pensamento do outro, valorização do trabalho 
cooperativo e do intercâmbio de ideias, como fonte de aprendizagem. 
• Apreciação da limpeza, ordem, precisão e correção na elaboração e na 
apresentação dos trabalhos. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos números, de seus 
registros, de sistemas de medida utilizados por diferentes grupos 
culturais. 
• Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias pessoais de 
cálculo, interesse em conhecer e utilizar diferentes estratégias para 
calcular e os procedimentos de cálculo que permitem generalizações e 
precisão. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos procedimentos e 
instrumentos de cálculo utilizados por diferentes grupos culturais. 
• Valorização da utilidade dos sistemas de referência para localização no 
espaço. 
• Sensibilidade para observar simetrias e outras características das formas 
geométricas, na natureza, nas artes, nas edificações. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica das medidas, unidades 
de medida e instrumentos utilizados por diferentes grupos culturais e 
reconhecimento da importância do uso adequado dos instrumentos e 
unidades de medida convencionais. 
• Interesse na leitura de tabelas e gráficos como forma de obter 
informações. 
• Hábito em analisar todos os elementos significativos presentes em uma 
representação gráfica, evitando interpretações parciais e precipitadas. 
 
 BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 12 - A MATEMÁTICA NO SEGUNDO CICLO – PARTE 3 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
59 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Para saber um pouco mais trouxemos aqui uma Monografia apresentada ao curso 
de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) - 
Campus de Vitória da Conquista – BA POTENCIALIZANDO A APRENDIZAGEM DE NOÇÕES 
BÁSICAS DE MEDIDAS POR MEIO DO DIÁLOGO 
 Disponível em: 
<http://www.uesb.br/mat/download/Trabamonografia/2013/Ludimila.pdf> 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
60 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: compreender o que é e como ocorre o desenvolvimento do cálculo 
mental. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
Mas o que é cálculo? Segundo Rabioglio (2010), “cálculo mental é tudo aquilo que 
se opõe ao cálculo automático. Ou seja, é o cálculo que vai além do uso mecânico de um 
algoritmo ou de um instrumento como a calculadora.” (p.92). 
Da mesma forma que, para mantermos um corpo saudável, ágil e flexível é 
necessário que façamos exercícios regulares, para que nossa mente desenvolva uma 
capacidade de raciocinar, seja habilidosa na busca estratégias de solução de problemas, 
é preciso exercitá-la. 
Como a mente do ser humano naturalmente é curiosa na busca do conhecimento, 
se propiciarmos o desenvolvimento do cálculo mental desde os primórdios da educação 
escolarizada, um bom raciocínio poderá se refletir em todas as áreas do conhecimento. 
 “Além disso, ao exercitar o cálculo mental, os estudantes estão desenvolvendo 
recursos de controle e de análise sobre as próprias produções” (RABIOGLIO, 2010, p. 91-
92). 
O texto a seguir foi escrito por Marta Rabioglio, publicado no livro “Jogar e 
aprender matemática” em 2010 
Exercitando o cálculo mental em jogos 
Marta Rabioglio 
[...] muitos professores irão afirmar que os algoritmosnem são tão difíceis assim, 
oferecendo dicas, materiais e métodos infalíveis para as crianças entenderem as famosas 
“contas em pé”. Há ainda quem argumente que se for trabalhado bastante no “concreto”, 
antes de se introduzir o algoritmo, as dificuldades se dissiparão. Referindo-se a objetos 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
61 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
e materiais manipuláveis como o “quadro valor de lugar”, o “material dourado”, entre 
outros. 
A dificuldade, entretanto, não é de ordem visual, auditiva ou tátil. Tão pouco se 
trata de um problema de linguagem (com os termos unidade, dezena, centena) ou de 
memorização (é preciso começar a operação pela direita). O que as crianças das séries 
iniciais do EF ainda não compreendem é a lógica do sistema numérico decimal (SND). E 
para compreendê-la é preciso muito exercício mental! 
Ao montar a conta, os números devem ser alinhados à direita ou à esquerda? Por 
que começar a resolver a conta pela direita, se escrevemos a partir da esquerda e, além 
disso, a parte maior (mais importante) do número também está à esquerda? O que 
significa o “1” que carregamos ou emprestamos? 7 mais 4 dá 13, vai o 1 ou vai o 3? Se só 
cabem 9 em cada casinha, o que fazemos com o que passa disso? 
Essas e outras perguntas demonstram o grande esforço que (as crianças) fazem 
para usar adequadamente uma técnica que ainda não dominam. Podemos ir ainda mais 
longe e afirmar que, mesmo aqueles que acertam a técnica, possivelmente não sabem 
explicar o que é o “vai 1”, pois a grande dificuldade reside na compreensão do valor 
posicional dos números. 
Você sabia que o SND envolve simultaneamente adição, multiplicação e 
potenciação? O número 2.739, por exemplo, significa: (2x103) + (7 x 102) + (3 x 101) + (9 
x 100). Para compreender tudo isso, há um longo caminho de aprendizado. 
Se quisermos saber quanto é 239 + 86 calculando mentalmente, há várias formas 
de fazê-lo: 
200 + 30 + 80 + 9 + 6; 
230 + 80 + 9 + 6; 
(239 + 1) + 80 + (6 – 1); 
240 + 85. 
Se o fizermos por meio do algoritmo, no entanto, só há uma forma possível: 9 + 
6 = 15 desce o 5, vai 1 + 3 + 8 = 12, desce o 2, vai 1 + 2 = 3, dá 325. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
62 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Como vimos, ao calcular mentalmente, começamos pela esquerda, no caso, pelas 
centenas, passando depois às dezenas e finalmente às unidades, tendo a todo o 
momento uma noção da ordem de grandeza do resultado a que vamos chegar. O 
algoritmo, ao contrário, exige que se comece pela unidade à direita e trate cada coluna 
como se fosse uma nova unidade, sem necessidade de fazer estimativas ou pensar no 
número como um todo. Por isso é tão difícil para uma criança na faixa dos 7 aos 8 anos 
usar o algoritmo e raciocinar ao mesmo tempo. 
Kamii (1995, 2002 e 2005), afirma que o algoritmo a duas consequências principais. 
Ao ter que reproduzir o passo a passo da técnica sem compreendê-lo, a criança 
desaprende sobre valor posicional e desiste do seu próprio raciocínio. 
Em contrapartida, à medida que fortalecemos o trabalho mental de cálculo, no 
qual cada um raciocina sobre os problemas e as operações, buscando formas próprias 
de resolvê-los, sem perder de vista os números como um todo, facilitou a posterior 
compreensão dos algoritmos e de suas regras. 
Ao pensar sobre um problema, seja ele apresentado por escrito ou presente em 
um jogo de cartas, é preciso interpretar o que está sendo pedido, organizar os dados, 
relacionar as quantidades e estimar o resultado. Em um primeiro momento, como dito, 
é importante que cada um crie procedimentos próprios, para depois socializá-los em sala 
de aula. Ao ter que explicar ao colega como pensou para encontrar a resposta e ao ouvir 
outros pontos de vista, cada um estará ampliando o seu conhecimento acerca do cálculo. 
Um terceiro momento deve ser dedicado à sistematização, ou seja, à analise dos 
diferentes procedimentos, buscando-se as formas mais eficazes de resolução. 
No livro: Didática da Matemática (1996), organizado por Cecília Parra e Irma Saiz, 
há um interessante artigo sobre cálculo mental, no qual o seu ensino na escola primária 
(EF I) é defendido por três razões básicas. São elas: 
1. As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de 
resolver problemas. 
2. O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
63 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
3. O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do 
conhecimento que favorece uma melhor relação do aluno com a matemática. 
E, como um último ponto, é colocado que: 
4. O trabalho de cálculo mental deve ser acompanhado de um aumento 
progressivo do cálculo automático. 
 
Apresentaremos a seguir alguns excertos do capítulo: 
1. As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de 
resolver problemas. 
Segundo as autoras, “Frente a um problema, os alunos têm de construir uma 
representação das relações que há entre os dados e de como, trabalhando com estes 
dados, poderão obter novas informações que respondam a uma pergunta já formulada 
ou formulável por eles mesmos. O enriquecimento das relações numéricas através do 
cálculo mental facilita para os alunos, frente a uma situação, serem capazes de moldá-la, 
por antecipação, por reflexão.”. 
Se quisermos que os estudantes estabeleçam relações e tirem conclusões a partir 
dessas relações, é importante oferecer-lhes problemas que levem a esta reflexão. 
Vejamos um exemplo, mostrado por Parra (1996) em seu artigo: 
O quilo do peixe custa R$ 6,85. 
¾ de quilo de peixe poderá custar aproximadamente R$ 3,00 
Para resolvê-lo, não é necessário fazer o cálculo exato, e sim avaliar sua 
veracidade, “sendo a resposta uma afirmação ou uma negação, possível de ser 
determinada a partir de uma análise de dados. Concretamente, os alunos podem pensar 
que ½ quilo custa algo mais que R$ 3,00, portanto ¾ devem custar bem mais (inclusive 
podem estimar que tenha que custar mais que R$ 4,50).”. 
Como este, podemos pensar em vários outros exemplos em que o que está em 
jogo é o cálculo aproximado, estabelecido a partir da análise dos dados e de suas 
relações. Ao trabalhar dessa forma, espera-se que os estudantes “aprendam a estabelecer 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
64 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
este tipo de relação para que tenham meios de controle diante das situações em que 
utilizam algoritmos e procuram respostas exatas”. 
Outro exemplo interessante, trazido por Parra, no artigo citado, é o de “pensar um 
número a partir de diferentes decomposições (e não só 243 = 2c + 4d + 3u). 
Por exemplo, 24 pode, segundo as situações ou cálculos a resolver, ser 
considerado como: 
20 + 4, se temos que dividi-lo por 4, por 2 ou por 10; 
12 + 12, se se quer a metade; 
25 – 1, se se quer multiplicar por 4; 
21: 3, se se quer saber que dia da semana será 24 dias mais tarde; 
Próximo a 25%, se quer prever quantos pacotes de 6 sabonetes podem ser feitos; 
etc.” 
Como podemos ver, as relações numéricas que os alunos são capazes ou não de 
estabelecer em cada problema, atuam no tratamento dos dados e comprometem o 
significado das situações. Ouvimos dizer, com frequência, que os estudantes não sabem 
ler (interpretar) a consigna do problema e que tem preguiça de pensar para resolvê-lo. 
E o professor, sabe ler o que pensam seus estudantes? E mais,será que ele está 
fornecendo situações interessantes e inteligentes, que os motivem e os deixem confiantes 
em resolvê-las? 
O metaconhecimento do cálculo, ou seja, o raciocinar sobre o processo de calcular 
em si influi sobre a sua capacidade de resolver problemas, além de permitir-lhes avançar 
na direção a aprendizagens matemáticas mais complexas. 
2. O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico. 
Ainda segundo Parra (1996): “as noções matemáticas (números, operações) devem 
atuar, em princípio, como ferramentas úteis para resolver problemas. Só então elas 
poderão ser estudadas em si mesmas, tomadas como objetivo”. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
65 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Neste sentido, as atividades de cálculo mental propõem o cálculo como objeto de 
reflexão, favorecendo o surgimento e o tratamento de relações estritamente 
matemáticas. 
Por exemplo, quando em diferentes séries se propõem buscar a maneira mais 
rápida de resolver mentalmente cálculos como os seguintes, aparecem, entre outros, 
procedimentos que colocam em jogo as propriedades das operações. 
5 + 3 + 4 + 7 + 6 = 4 x 19 x 25 = 
(5 + (3 + 7) + (4 + 6)) 19 x (4 x 25) 
5 + 10 + 10 = 25 19 x 100 = 1900 
 
125 + 95 = 9 + 7 = 
(125 – 5 + 95 + 5) (9 + 1 + 7 – 1) 
120 + 100 = 220 10 + 6 = 16 
 
As ditas propriedades permanecem em princípio implícitas, e mais tarde serão 
reconhecidas e reformuladas. 
Dissemos anteriormente que os alunos podem ser convidados a “raciocinar” a 
respeito dos cálculos. Vejamos um exemplo. O enunciado é o seguinte: 
“Preencher as lacunas, sem fazer as contas, com o sinal correspondente: >, < ou 
=.” 
47 + 28... 47+31 77-31... 71-37 
24+75... 25 + 74 145-68... 145-74 
Busca-se provocar raciocínios do seguinte tipo: 
“77-31 é > que 71-37 porque de um número maior estou subtraindo um número 
menor”; 
“145-68 é > 145-74 porque do mesmo número estou subtraindo menos”. 
Com relação à 4ª série (5º ano), pode-se questionar, por exemplo, qual é a 
quantidade de algarismos do quociente de 35842: 129. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
66 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
A intenção é que as crianças produzam raciocínios do seguinte tipo: 
“Deve haver mais que dois algarismos porque 129 x 100 é igual a 12.900 (100 é a 
menor quantidade de três algarismos e este número é inferior ao dividendo; tem que ser 
menor que 1.000, já que 129 x 1.000 é 129.000, e este número supera ao dividendo). 
Portanto, a quantidade de algarismos do quociente deve ser necessariamente 3, já que 
está compreendido entre 100 e 1.000”. 
Frequentemente, ao realizar divisões, a criança esquece-se de colocar os zeros 
intermediários do quociente, e esta estimativa prévia do resultado pode ajudá-las a 
controlar autonomamente suas operações, sem necessidade de recorrer ao professor. 
Atividades como as acima, apresentadas por Parra (1996), têm por objetivo, mais 
uma vez, que os estudantes busquem formas próprias de fazer matemática, ao invés de 
simplesmente reproduzir algoritmos e produzir resultados numéricos. 
Eles precisam analisar os dados, estabelecer relações e tirar conclusões. E, ao 
debater com os colegas em classe, ser capaz de fundamentá-las e de ouvir outros pontos 
de vista, reconhecendo as situações em que não funciona e estabelecendo os limites de 
validade do que encontrou. 
3. O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do 
conhecimento que, a nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a 
matemática. 
Ainda segundo Parra (1996): “Uma vez que a perspectiva” através da qual 
propomos o cálculo mental se define principalmente pelo fato de que, frente a uma 
situação e a partir da análise dos dados, os alunos devem buscar os procedimentos que 
lhes pareçam mais úteis, discutir suas escolhas e analisar sua pertinência e sua validade, 
acreditamos que, através disso, inserimos no âmbito do cálculo o que constitui o desafio 
central de toda didática: que os alunos possam articular o que sabem com o que têm 
que aprender. 
Para que os alunos possam confiar em seus procedimentos, devem ter 
oportunidade de articulá-los com as situações de trabalho que lhes são propostas e, ao 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
67 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
mesmo tempo, para que avancem na construção de seus conhecimentos devem 
participar de seções de análise e reflexão, nas quais sejam alcançadas novas produções. 
O cálculo mental favorece, ainda que não seja o único meio usado pelos alunos, 
o estabelecimento de uma relação mais pessoal com o conhecimento, em oposição ao 
frequente sentimento de alienação que a maioria das pessoas tem em relação à 
matemática. “Para muitos alunos, ela se reduz a um conjunto de técnicas complexas que 
permanecem arbitrárias enquanto ainda não possam compreender suas condições de 
produção e uso.” 
A matemática nesta perspectiva não é vista como um conhecimento fechado e 
acabado, pois, à medida que cada um é convidado a pensar sobre diferentes problemas, 
buscando estratégias de resolução ou levantando hipóteses, fortalece a confiança em seu 
próprio raciocínio e passa a compreender porque está fazendo tal coisa. 
4. O trabalho de cálculo mental deve ser acompanhado de um aumento 
progressivo do cálculo automático. 
Parra (1996) defende a ideia de que o cálculo mental é uma via de acesso para a 
compreensão e construção de algoritmos. Assim, ao propor a operação 28 + 23, para 
estudantes de 2ª série, antes de aprenderem o algoritmo da adição, eles a resolvem 
mentalmente de diferentes maneiras, como por exemplo: 
20 + 8 + 20 + 3 = 28 + 20 + 3 = 
(20 + 20) + (8 + 3) (28 + 20) + 3 
40 + 11 = 51 48 + 3 = 51 
Podemos chamar essas formas de resolução de algoritmos intermediários, na 
medida em que trazem em seu bojo a reflexão sobre soma de dígitos e soma de dezenas 
inteiras, que facilitarão a assimilação dos algoritmos convencionais. Para tanto, esse vai e 
vem de informações é fundamental. Ou seja, ao mesmo tempo em que o cálculo mental 
é uma via de acesso ao algoritmo, é também a sua ferramenta de controle. Em outras 
palavras, o que é fim em um primeiro momento, precisa tornar-se meio para novas 
aprendizagens. Para tanto, o repertório de cálculo automático precisa crescer, e aí os 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 13 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
68 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
jogos tem papel preponderante. Isto porque, além de instigarem o cálculo, permitem 
que cada um avance no seu ritmo e dentro de suas possibilidades. Ao observá-los jogar, 
o professor poderá fazer um diagnóstico das possibilidades e limites de cada um. 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Artigo disponível em: 
http://www.apm.pt/files/_Conf01_4e7132d6a08f8.pdf 
 Veja aqui a professora Fatima falando do que é o Cálculo Mental 
Disponivel em:<http://www.youtube.com/watch?v=nSnIzpdOlms> Acesso em 02 de julho 
de 2014. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 14 - A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO FORMA DE ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
69 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: 
Compreender a solução de problemas como ponto de partida da aprendizagem 
matemática, bem como verificar os procedimentos de solução de problemas comumente 
empregados pelas crianças em situações problema. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO. 
A capacidade de resolver problemas, utilizando os sistemas convencionais, as 
técnicas e os exercícios empregando o algoritmo,1 não assegura que a criança tenha 
compreendido o verdadeiro significado da operação em questão, assim como conhecer 
os símbolos convencionais não é suficiente para que a criança se utilize dessas grafias e, 
consequentemente, do procedimento convencional de cálculo, de maneira apropriada. 
Esse conhecimento deve ser combinado com outros procedimentos que permitam a 
compreensão e a utilização dos sistemas convencionais de representação para se chegar 
à solução do problema. 
Por que se fala tanto sobre a importância de se aprender a resolver problemas na 
área de matemática? O que é solução de problemas? Como as crianças representam e 
solucionam problemas de divisão? 
A metodologia da aprendizagem por meio de solução de problemas requer que 
se proponham problemas para que os alunos aprendam matemática, e não que 
aprendam matemática para resolver problemas (MARINCEK, 2001). 
 
 
 
 
                                                            
1 Algoritmo é uma indicação precisa e delimitada sobre quais operações realizar e em qual sequência resolver qualquer problema de um determinado tipo. 
Um algoritmo é uma generalização, desde que seja aplicável a todos os problemas de um determinado tipo. Uma das características da matemática é a 
qualidade algorítmica da solução de muitos de seus problemas. (KRUTETSKII, 1976, p. 46). 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 14 - A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO FORMA DE ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
70 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Quando se fala em solução de problemas, algumas pessoas associam-na a 
problemas matemáticos. Embora esta não seja a única área em que o elemento esteja 
presente, está fortemente relacionada a ela, uma vez que envolvem abstrações e 
representações, característicos do conhecimento matemático (BRITO 2006). 
A solução de problemas é considerada um dos processos cognitivos mais 
complexos e há uma indagação frequente no campo da Psicologia, sobre a forma como 
os seres humanos desenvolvem a capacidade para solucioná-los. Esse processo inicia-se 
quando o indivíduo se depara com um novo objeto de conhecimento, desencadeando 
uma motivação que faz com que ele vá à busca de elementos que lhe permitam encontrar 
uma resposta, ou reorganizar os elementos já existentes em sua estrutura cognitiva, 
permitindo-lhe chegar ao resultado. 
Falar em solução de problemas implica falar em uma nova organização, isto é, 
uma situação que constitui um problema para o indivíduo denota que, naquele momento 
do seu processo de desenvolvimento, esse sujeito ainda não tem, disponíveis, em sua 
estrutura cognitiva, estratégias de solução. Entretanto também pode ser considerada 
como oportunidade para a ampliação de conceitos, visto que, “durante a solução de 
problemas, o indivíduo reorganiza os conceitos e princípios já existentes na estrutura 
cognitiva de forma a atingir um fim desejado” (BRITO 2006, p.19). 
Assim, o que é problema para alguns pode não ser para outros, uma vez que se 
podem encontrar em diferentes estágios de desenvolvimento cognitivo; daí a 
necessidade de os professores conhecerem seus alunos e como esse desenvolvimento 
ocorre, para que possam criar situações realmente desafiadoras para eles. 
Uma situação é, de fato, um problema para o aluno se ela apresenta um desafio 
intelectual, pede antecipação, planejamento, representação e elaboração de estratégias 
de solução. 
Echeverría e Pozo (1998) diferenciam problemas de exercícios, partindo da clássica 
definição de problema como uma situação que precisa ser resolvida e para a qual não se 
dispõe de um caminho rápido e direto, que leve à solução; já exercício nomeia aquelas 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 14 - A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO FORMA DE ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
71 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
situações em que se dispõe de mecanismos que levem, de forma rápida, à solução 
(Echeverría e Pozo, 1998). 
A diferença básica entre um e outro é que a solução de problemas requer uso de 
estratégias e tomada de decisões quanto ao procedimento a ser adotado para a solução, 
enquanto o exercício demanda a execução repetitiva de técnicas já transformadas em 
rotinas automatizadas (sobreaprendidas), memorizadas. 
Exercícios também podem ser entendidos como problemas convencionais, cujas 
soluções envolvem a aplicação de um algoritmo e que possuem uma resposta única, 
numérica, enquanto os verdadeiros problemas podem ser entendidos como problemas 
não convencionais, que apresentam várias possibilidades de solução, possuem um 
enunciado mais bem elaborado e que, portanto, exigem uma leitura mais cuidadosa para 
a elaboração da estratégia mais adequada à solução, estratégia que pode ser variada 
(STANCANELLI, 2001). 
Há, ainda, outros tipos de problemas: problemas que apresentam uma única 
solução, problemas com mais de uma solução, problemas sem dados numéricos e 
problemas de lógica, dentre outros. 
Em seu livro A arte de resolver problemas (2006), Polya apresenta quatro fases para 
a solução de problemas: 
1. Compreensão do problema, percebendo claramente o que é necessário. Para 
tal, o enunciado verbal do problema deve ficar bem entendido, assim como o aluno “deve 
também estar em condições de identificar as partes principais do problema, a incógnita, 
os dados, a condicionante” (p.5); 
2. Estabelecimento de um plano. Esse plano pode “surgir gradualmente ou após 
tentativas infrutíferas e um período de hesitação, aparecer repentinamente, num lampejo, 
como uma ideia brilhante” (p.7); 
3. Execução do plano, que requer conhecimentos anteriores e concentração no 
objetivo; 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 14 - A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO FORMA DE ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
72 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
4. Avaliação da resolução, reexaminando e reconsiderando o resultado final e o 
caminho percorrido que tenha levado ao resultado. 
Ainda a respeito dessas fases envolvidas no processo de solução de problemas, 
Polya afirma: 
 
Cada uma dessas fases tem a sua importância. Pode acontecer que, a um 
estudante, ocorra uma excepcional ideia brilhante e, saltando por sobre 
todas as preparações, ele chegue impulsivamente à solução. Essas ideias 
felizes são, evidentemente, muito desejáveis, mas alguma coisa muito 
inconveniente e desastrosa pode resultar se o estudante deixar de lado 
qualquer uma das quatro fases sem dela ter uma perfeita noção (2006, 
p.5). 
 
Para resolver problemas, é necessário possuir conhecimento linguístico, 
conhecimento semântico, conhecimento do esquema do problema (tipo de problema), 
conhecimento de estratégias (técnicas) a empregar no processo de solução e 
conhecimento procedural (como desempenhar a sequência de operações, que equivale 
ao conhecimento algorítmico). Sendo assim, solucionar problemas não é uma atividade 
de aplicação, mas uma orientação para a aprendizagem (MAYER, 1992). 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber um pouco acesse o link abaixo: “COMO ENSINAR MATEMÁTICA 
HOJE?” 1 - Beatriz S. D'Ambrosio2 
http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Arti
go_Beatriz.pdf 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 15 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA MULTIPLICATIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
73 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivo: 
Verificar os procedimentos de solução de problemas comumente empregados 
pelas crianças em situações problemas. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
. 
Inserem-se nesse campo problemasde multiplicação de divisão, pois ambos 
utilizam o mesmo tipo de estratégia de – o esquema de correspondência ou o esquema 
de distribuição, entendendo esquema como uma “representação em que aparecem 
apenas os aspectos essenciais daquilo que é representado; os detalhes não aparecem” 
[...] não importam, por exemplo, os objetos sobre os quais a ação foi executada” (NUNES 
et al, 2001, p.42). 
Enquanto, na adição e na subtração, os esquemas de ação envolvidos são o de 
juntar e o de retirar, respectivamente, na multiplicação e na divisão, empregam-se os 
esquemas de correspondência um a muitos e de distribuição. (NUNES et al, 2001). 
Vejamos o exemplo de dois problemas apresentados por esses autores: 
Um problema de multiplicação: Márcio convidou três amigos para sua festa de 
aniversário. Para cada amigo, ele quer dar 5 bolas de gude. Quantas bolas de 
gude precisa comprar? – há duas variáveis (número de amigos e número de 
bolas), numa relação constante (5 bolas para cada amigo). 
Um problema de divisão: Márcio tem 15 bolas de gude. Ele vai distribuí-las 
igualmente entre seus três amigos. Quantas bolas de gude cada um vai ganhar? 
— há duas variáveis (número de amigos e número de bolas), em uma relação 
fixa, mas essa relação fixa não é conhecida, o que impede que ele seja 
resolvido por correspondência. “De fato, a pergunta nesse problema é 
exatamente qual a relação que devemos fixar para que o número de bolas 
por amigo seja constante” ((NUNES et al, 2001, p.82). 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 15 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA MULTIPLICATIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
74 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Os problemas de divisão podem ser definidos como de dois tipos: partição e 
quotição. Em problemas de divisão partitiva, tem-se uma quantidade total que deverá 
ser distribuída por um número de partes predeterminado, devendo-se calcular o valor 
de cada parte. Em problema de divisão por quotas, tem-se a quantidade total e o valor 
de cada quota, devendo-se calcular a quantidade de quotas. Vejamos um exemplo: 
 
Problema partitivo: O time de futebol da cidade vai levar 756 torcedores para 
assistir a um jogo no estádio do Morumbi e irão alugar 18 ônibus para isso. 
Quantos torcedores caberão em cada ônibus? 
 
Problema quotitivo: O time de futebol da cidade vai levar 756 torcedores para 
assistir a um jogo no Estádio do Morumbi. Os ônibus disponíveis têm 42 
lugares cada um. Quantos ônibus deverão ser alugados? 
 
Vejamos como algumas crianças resolvem problemas do tipo divisão por quotas1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                            
1 As representações apresentadas aqui fazem parte da pesquisa realizada por Molinari (2010), que 
deu origem à sua Tese de Doutorado. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 15 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA MULTIPLICATIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
75 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 
Procedimento de solução de criança de 11 anos de idade, aluna do 5º ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Procedimento da mesma criança anterior para um problema diferente. 
 
 
No primeiro problema, essa criança utiliza uma representação icônica 
(“desenhos” dos ônibus) e emprega um procedimento aditivo, que apresenta certa 
semelhança com a divisão, pois as partes que foram divididas têm que ser somadas para 
compor o todo (relação parte-todo); esse procedimento é característico de crianças de 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 15 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA MULTIPLICATIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
76 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
séries iniciais. 
No segundo problema, a mesma criança utiliza um procedimento que envolve a 
estimativa: “escolhe” um número a será colocado no quociente que, multiplicado pelo 
divisor, se aproxime do dividendo. E assim, vai “rearranjando” o resto da divisão e, por 
fim, soma as “quotas” (quociente). Ela utilizou também um procedimento aditivo, que 
apresenta certa semelhança com a divisão e a multiplicação, pois as partes que foram 
divididas têm que ser somadas para compor o todo (relação parte-todo). 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
Para saber mais acesse: estrutura multiplicativa: um estudo comparativo entre o que a 
professora elabora e o desempenho dos estudantes: MERLINI, Vera Lucia – MAGINA, 
Sandra – SANTOS, Aparecido. 
Disponível em: 
<http://www.cibem.org/extensos/65_1370219533_vii_cibem_merlini_magina_santos.pdf> 
Acesso em 05 de julho de 2014. 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 16 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
77 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
Objetivo: 
Verificar os procedimentos de solução de problemas comumente empregados 
pelas crianças em situações problemas. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
O texto a seguir foi escrito pela profa. Dra. Sonia Bessa, em setembro de 2012 e 
publicado no Anais do XXV Encontro Nacional de Professores do Proepre. 
 
ADIÇÃO 
Sonia Bessa 
A adição é uma operação básica para tudo o que virá depois no ensino da 
matemática, mas sua importância é pouco tomada em conta nas séries iniciais. 
Muitos educadores têm ideias simplistas sobre esse conhecimento e creem que se as 
crianças já sabem contar, também já sabem adicionar; as relações implícitas nesse 
processo são quase que, totalmente, ignoradas pela maioria dos professores. 
A compreensão da adição é um processo paulatino que implica sempre na 
atividade de quem aprende, sendo um conhecimento de natureza lógico-matemática 
que vai sendo elaborado e reorganizado durante todo desenvolvimento humano. A 
adição é fácil e natural para a maioria das crianças de 5 e 6 anos, faz parte de seu 
cotidiano: se ela já tem 3 adesivos e lhe for dado mais 2, ela não terá dificuldade de 
saber que tem 5 adesivos, mesmo que isso não lhe tenha sido ensinado, pois são 
conceitos que fazem parte da sua vida e do seu cotidiano, contudo se a essa mesma 
criança for apresentado o algoritmo 3 + 2 = ______, isso ser-lhe-á completamente 
desconhecido. 
O sinal (+) é apenas uma cruz, e o “três” e o “cinco” são símbolos de números 
cuja relação ela desconhece, mas como a maioria dos pais e professores 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 16 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
78 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
desconhecem a natureza do conhecimento lógico-matemático eles creem que as 
crianças já conhecem, automaticamente, os algoritmos. 
Dolle (2011. p155) dá outro exemplo semelhante, relacionado à multiplicação. 
Ele diz que se repete às crianças que a multiplicação como outras operações 
matemáticas é comutativa. Por exemplo: 3 X 4 = a 4 X 3 = 12. Mas pegue cubos em 
uma caixa que os contenham, tantos quanto puder. Desloque, a partir dessa caixa, 
três vezes quatro cubos e os reúna em um lugar B, por ordem de chegada e de 
posicionamento (depois de deslocamento). Você obterá três vezes quatro cubos, o 
que, no total, faz com que você tenha 12. Faça a mesma coisa, mas deslocando quatro 
vezes de três cubos. E veja o resultado. Os posicionamentos diferem porque você 
tem, por um lado, três vezes quatro cubos e, por outro, quatro vezes três. O resultado 
quantitativo é o mesmo, mas o que é deslocado é totalmente diferente. “As 
transformações partem de um estado e produzem outro. Assim, o simples 
deslocamento de um objeto de um lugar para outro é uma transformação. A 
multiplicação de um número por outro lado, também corresponde a uma 
transformação” (p.154). 
A falta de relação entre os dados da realidade e os mesmos dados ensinados 
na escola provoca uma espécie de alienação,e os ensinamentos que a escola 
transmite nem sempre são aproveitados pelos alunos. 
Subtrair é outro processo altamente complexo e que não se aprende, 
automaticamente, como creem alguns. Kamii (2005) admite que embora a adição 
seja algo fácil e natural para a maioria das crianças do primeiro ano da Educação 
Básica, elas, em geral, somente conseguem com bastante lentidão assimilar as 
relações de inversão que caracterizam a adição e a subtração. Apesar disso a maioria 
dos professores e muitos autores de livros apresentam a subtração como mera 
inversão, acreditando que se a criança sabe que 2 + 2 = 4, ela, automaticamente, 
saberá que 4 - 2 = 2, o que não é verificado de fato. A adição é a ação mental de 
combinar dois totais para criar um total de ordem superior no qual os totais 
anteriores se tornam duas partes. Quando colocamos três fichas diante de uma 
criança e, depois, mais cinco, essas fichas são observáveis, mas o número (símbolo) 
três e cinco não. O três e o cinco são uma relação mental que só existe na mente da 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 16 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
79 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
pessoa; esse é um conhecimento lógico matemático. A adição não pode ser ensinada 
diretamente porque é o resultado da própria lógica da criança. Cabe ao educador 
criar condições para que o aluno possa estabelecer essa relação. 
 A criança pode ser estimulada a comparar, identificar, estabelecer semelhanças e 
diferenças, mas é importante que ela compreenda que essas diferenças e 
semelhanças foram criadas por ela e garantir que ela verbalize e tome consciência 
de sua própria atividade. 
 
Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de como crianças de 4º ano definem a 
adição1: 
 
 
 
 
 
 
Representação de TAM (9). 
TAM (9) definiu a adição como colocar mais e menos e na representação gráfica 
desenhou dois bonecos com os sinais convencionais. Não se observa, nessa 
representação, relações entre dados numéricos; a criança parece considerar a subtração 
como sendo uma adição e reduz as operações aos sinais convencionais. 
 
 
 
 
Representação de BRU (9). 
                                                            
1 Esta pesquisa foi apresentada no II Colóquio Internacional de Epistemologia Genética realizado na UNESP – 
Marília, em novembro de 2011. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 16 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
80 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
BRU (9) representou a adição com apenas dois rabiscos, cujo significado só pode 
ser compreendido por ele. 
As crianças que fizeram a representação convencional utilizaram formas 
estereotipadas e livrescas de representação como é o caso de MAT (8) que utiliza a coluna 
de unidade, dezena e centena. 
 
 
 
 
LAI (8), por sua vez, ainda necessita do material ou do suporte gráfico para 
completar o seu raciocínio e, diante dos números, coloca riscos para representar o valor. 
 
Embora as crianças consigam representar a adição convencionalmente, não 
sabem por que o fazem, o que nos permite supor que as adições realizadas pelas crianças 
na escola constituem atividades mecânicas e sem relação com o ambiente e com as suas 
experiências extraescolares2. 
 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para ampliar seus conhecimentos acesse o link abaixo: 
Problemas de estrutura aditiva: análise da resolução de alunos do 3º ano do ensino 
fundamental 1.Sheila Denize Guimarães, Doutoranda em Educação /UFMS. 
                                                            
2  Para  saber mais,  verificar:  ZAIA,  RABIOGLIO, MOLINARI  e  BESSA.  Como  as  crianças  do  4º  ano  do  Ensino 
Fundamental  compreendem  a  adição.  In:  II Colóquio  Internacional de Epistemologia Genética  realizado na 
UNESP – Marília, em novembro de 2011. Anais. 
Representação de MAT (8) 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 16 - PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
81 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
 Disponível em: 
 
<https://www.google.com.br/url?url=https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat/article/d
ownload/1981-
1322.2009v4n1p5/12150&rct=j&frm=1&q=&esrc=s&sa=U&ei=axm_U93fFKvKsQTYl4C4Dg&v
ed=0CCAQFjAC&usg=AFQjCNGVS7d5n-pFrVgcjGzDoqQSaBieUQ> Acesso em 06 julho 
de 2014 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 17 - A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO LÓGICO E PARA A 
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
82 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
Objetivo: 
Esta unidade visa levar aos alunos o conhecimento da importância do jogar e do 
brincar para o desenvolvimento e a aprendizagem da criança. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
É preciso pensar em um trabalho preventivo, para evitar que as crianças progridam 
em sua escolarização sem saber operar adequadamente com a aritmética, recuperando 
o prazer e a possibilidade de aprender. Ação e reflexão constituem a condição prioritária 
do desenvolvimento e aprendizagem. Os jogos de regras, na qualidade de instrumentos 
privilegiados para provocar a necessidade de pensar antes de agir, de refletir sobre a 
ação realizada e suas consequências, devem ser propostos com o objetivo de propiciar 
a conquista da autonomia intelectual e moral. 
 
O jogo possibilita a atualização das funções em desenvolvimento nos animais 
superiores. Desta forma, quanto mais longa a infância em uma espécie, tanto 
maior será sua possibilidade intelectual, pois aumenta o período de plasticidade, 
durante o qual o animal joga, imita, experimenta, multiplica suas possibilidades 
de ação e enriquece experiência individual. (ZAIA, 1996, p. 123). 
 
Quando as crianças jogam, elas têm a possibilidade de exercitar seu raciocínio, 
discutir as estratégias utilizadas no jogo, trocar pontos de vista; essa pode ser uma 
experiência mais significativa para que ocorra a aprendizagem, ao invés de passar boa 
parte do tempo em aulas teóricas, onde elas participem apenas como meras receptoras 
do conteúdo verbal do professor. 
Ao jogar, o desafio suscitado na criança faz com que ela permaneça ativa não 
apenas em sua jogada, mas em toda a partida; ela observa as relações entre seu peão e 
o do outro, ficam curiosas para realizar sua jogada para ver quanto poderá avançar na 
sua vez, antecipando as jogadas e elaborando planos cada vez melhores para as mesmas. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 17 - A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO LÓGICO E PARA A 
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
83 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Por ser considerada uma ação humana o jogo envolve o indivíduo e sua cultura, 
fazendo com que a criança se constitua como pertencente àquele grupo (identidade 
cultural); jogando a criança faz indagações e constrói respostas individuais que a constitui 
como sujeito. (VILLAS BOAS; MACEDO, 2011). 
Desta forma, o jogo não pode ser considerado como uma prática espontânea, que 
acontece apenas quando a criança está fora da escola e sim, como um recurso 
pedagógico de grande valia, pois ele propicia a construção de diversos conceitos 
científicos, objetivo essencial da escola. 
Um jogo que pode ser utilizado para se trabalhar problemas de estrutura 
multiplicativa (multiplicação e divisão) é o “avançando com o resto”. Este jogo é propício 
ao trabalho com o cálculo mental da divisão. 
Rabioglio (2010) nos orienta para algumas reflexões: 
É certo que algumas modificações, como as citadas anteriormente, podem ser 
interessantes, em determinados momentos. Contudo o jogo Feche a Caixa possibilita a 
criação de estratégiase a descoberta de formas diferentes de compor os números, 
enquanto o Descubra e o Cubram os dobros são mais simples, só permitindo uma jogada 
a cada vez. 
Assim, ao propormos tais variações em sala de aula, é importante considerar que nem 
sempre os limites do jogo equivalem aos limites do jogador. Se pensarmos no jogo de 
Damas, por exemplo, no qual as regras são poucas e simples, mas as possibilidades de 
jogada são muitas e complexas, é necessário um longo tempo para dominar suas 
estratégias, além de precisarmos de um “bom” adversário, que nos proponha a cada 
momento novos desafios. No caso do Feche a Caixa há também diferentes desafios, 
dependendo dos conhecimentos e possibilidades de cada jogador. 
Ao jogar os dados: A criança calcula mentalmente? Conta nos dedos? Começa a 
contar a partir do 1, no caso de tirar 5 + 3, por ex., ou é capaz de conservar um dos 
números e acrescentar o outro? Já memorizou algumas operações? Quais? 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 17 - A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO LÓGICO E PARA A 
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
84 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
O segundo passo é decompor o resultado obtido nos dados de diferentes 
maneiras, elegendo a melhor possibilidade. Quantas vezes não nos deparamos com a 
surpresa de um pequeno jogador diante de um resultado maior que nove (5+5, 5+6 ou 
6+6), ao não encontrar tais números em seu placar! Ou, quando - ao tirar 3 e 4, por 
exemplo - não encontra nem o três, nem o quatro ou o sete disponíveis! E a sua felicidade 
ao descobrir que pode fechar o dois e o cinco! 
Num terceiro momento é preciso calcular os pontos perdidos na rodada e, 
finalmente, somar os subtotais no papel. 
Em anexo apresentaremos as regras de outros jogos que auxiliam no exercício do cálculo 
mental, tanto no campo aditivo quanto no campo multiplicativo. São eles: 
Velha de adição e Velha de multiplicação lembra o jogo da Velha tradicional, na medida 
em que, para vencer, é preciso alinhar as peças em qualquer direção no tabuleiro. A 
diferença é que, cada jogada pede uma operação aritmética. 
Sempre 12 é um jogo comercializado nos EUA, também citado por Kamii, muito 
divertido e esperto. A cada jogada é preciso pensar simultaneamente em adição e 
subtração. 
 Tiguous, finalmente, é um delicioso jogo de dados, que quase funde a cuca 
dos jogadores, tal é a ampla gama de possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 17 - A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO LÓGICO E PARA A 
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
Adriana Maria Corder Molinari 
85 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber mais acesse: 
A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS PARA A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
CORDEIRO, Maria Jos.1 SILVA, Valdinéia Nogueira da2 
 
Disponível em:<http://www.eduvalesl.edu.br/site/edicao/edicao-79.pdf> 
 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 18 - Jogos para desenvolver o raciocínio matemático 
Adriana Maria Corder Molinari 
86 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: 
Apresentar alguns jogos que possam ser utilizados nas aulas de matemática para 
desenvolver as operações aritméticas. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
A palavra “jogo” etimologicamente origina-se do latim “iocus”, que significa 
brincadeira, divertimento. Em alguns dicionários da Língua Portuguesa aparece com 
definição de “passatempo, atividade mental determinada por regras que definem 
ganhadores e perdedores”. 
A seguir, apresentamos alguns jogos que foram publicados por Marta Rabioglio no livro 
“Jogar e aprender matemática” (2010). 
 
FECHE A CAIXA 
 
MATERIAL: 
 Cartões numerados de 1 a 9 (ou cartas de baralho). 
 Dois dados (cúbicos, com as faces de 1 a 6). 
 Lápis e papel para marcar os pontos. 
NÚMERO DE JOGADORES: 2 
 
OBJETIVO: 
Fechar a maior quantidade de pontos 
COMO SE JOGA: 
Os cartões numerados são dispostos lado a lado, abertos, em ordem crescente. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 18 - Jogos para desenvolver o raciocínio matemático 
Adriana Maria Corder Molinari 
87 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
O primeiro jogador lança os dois dados e soma os números neles obtidos, por 
ex.: 3 e 6. Então decide de que forma irá fechar o total 9, usando para tanto um ou dois 
cartões (nesse caso: 1 e 8, ou 2 e 7, ou 3 e 6, ou 4 e 5), que devem ser virados para baixo, 
pois não poderão mais ser usados nesta rodada, lançando novamente os dados. Em cada 
lance ele pode escolher que números quer fechar, desde que estes ainda não tenham 
sido usados e que perfaçam o total da soma dos dados. Ele continua jogando até que 
isto não seja mais possível. Neste momento, ele soma os números que sobraram abertos, 
anota-os em seu placar e passa a vez ao próximo, que deve proceder da mesma maneira 
(começando com todos os números abertos). 
Há ainda uma regra, que permite o uso de apenas um dado, quando os números 
maiores que seis já tiverem sido usados, cabendo ao jogador escolher se prefere 
continuar lançando os dois dados ou usar apenas um. 
 
PONTUAÇÃO: 
Os números que sobraram abertos são somados e contados negativamente. 
 
FINAL DA PARTIDA: 
Quem chegar ou ultrapassar os 45 pontos é eliminado, vencendo aquele que tiver menos 
pontos em seu escore. 
Como podemos ver, o jogo Feche a Caixa é um jogo com regras bastante simples, que 
possibilita aos nossos pequenos jogadores, trabalhar importantes aspectos da 
matemática, como composição e decomposição de números, registro numérico, cálculo 
mental e cálculo no papel. Além disso, o jogo exige que se tomem decisões a cada 
momento: Que números fechar? É melhor fechar só o 7 ou o 5 e o 2? Será melhor lançar 
um só dado? Decisões essas que modificarão o transcorrer da partida. 
Ao observar seus estudantes jogarem, o professor terá acesso a como cada um considera 
tais aspectos, coletando informações importantes para serem transformadas em 
situações problemas em outro momento. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 18 - Jogos para desenvolver o raciocínio matemático 
Adriana Maria Corder Molinari 
88 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
I. Adaptações para a utilização do Feche a Caixa em sala de aula. 
Ao utilizar o Feche a Caixa em sala de aula, algumas adaptações podem ser feitas, a fim 
de torná-lo mais adequado a diferentes faixas etárias. São elas: 
 Quanto ao número de jogadores: Na proposta original, é disputado apenas por 
duas pessoas, sendo que a primeira lança a própria sorte nos dados enquanto 
consegue fechar os números, passando-os depois ao seu adversário. Na escola 
pode ser jogado em dupla ou por equipes. 
 Pode ser feito também um Feche a Caixa coletivo, da seguinte maneira: 
Cada um escreve a sequência do 1 ao 9 em uma folha de papel e a professora lança 
os dois dados (que podem ser bem grandes) para a classe toda. Cada um escolhe 
como vai fechar o total obtido em seu placar. Ela lança os dados novamente e, se 
alguém não conseguir fechar, anuncia ao grupo: “Parei!”, somando seus pontos 
perdidos. Os outros continuam, até que ninguém consiga mais fechar números. 
 Quanto ao número de cartas que podem ser fechadas: Ainda na proposta original, 
apenas duas cartas podem ser fechadas, a cada jogada. No contexto escolar, 
entretanto, não há porque limitar essa quantidade. Pelo contrário, é interessante 
que o jogador aprenda sobre todas as possibilidades de compor cada número! O 
importante é que ele próprio decida o que fazer. Assim, se ele somar 9 nos dados, 
por exemplo, poderá fechar além de 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5, o 1+2+6, 1+3+5 ou 
ainda 2+3+4. 
 Quantoà pontuação: Tal qual proposta, no Anexo 1A, a criança a partir dos 7 ou 
8 anos, é capaz de jogar, calcular mentalmente e registrar seus pontos no papel. 
Kamii (2005) comenta sobre o Feche a Caixa (Shut the box) comercializado nos 
Estados Unidos, que vem com um marcador de pontos, que mostra apenas os 
múltiplos de cinco numa reta numérica que vai do 0 (zero) ao 45. Com isso, lembra 
a autora, o jogador precisa saber onde situar sua pontuação (quando entre estes 
intervalos numéricos), tendo - assim - mais uma oportunidade de refletir sobre 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 18 - Jogos para desenvolver o raciocínio matemático 
Adriana Maria Corder Molinari 
89 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
números e operações. Em nossa experiência com crianças um pouco menores (6 
anos), elas começam a contar apenas a quantidade de cartas abertas. 
II. Variantes do Feche a Caixa: 
Como vimos, este é um jogo riquíssimo a partir do 2º ano do EF, na medida em que com 
ele as crianças exercitam o cálculo mental, constroem estratégias e desenvolvem as 
operações de adição e subtração. E, quando jogado em dupla, é muito interessante 
observar os estudantes discutindo sobre o que é melhor fazer a cada jogada e com isso 
aprendendo a ouvir o outro e a negociar pontos de vista. 
Algumas adaptações podem torná-lo mais adequado para as diferentes faixas 
escolares: 
DESCUBRA 
Nessa versão as crianças jogam alternadamente, lançando dois dados com faces 
de 0 a 5 (é só cobrir a face 6 do dado convencional, que passa a valer zero). Cada uma 
utiliza um placar com os números de 1 a 10 (vide Figura 1), que no início estão cobertos 
por fichas e devem ser descobertos, um a um, conforme o total obtido nos dados. Os 
jogadores alternam-se lançando os dados. Se sair um número já aberto, passam a vez. 
Quem conseguir abrir todos os números primeiro ganha a partida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura1 
 
 
 
 
 
9
 
 
 
 
 
 DESCUBRA 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 18 - Jogos para desenvolver o raciocínio matemático 
Adriana Maria Corder Molinari 
90 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Figura 1 
Descubra é um jogo muito apropriado para a faixa dos 5 a 6 anos. A criança 
encontra nele vários desafios: primeiro precisa somar adequadamente os pontos tirados 
nos dados. Depois, sem ver os números cobertos do placar, precisa localizar o total 
correspondente, utilizando-se para isso, de seus conhecimentos sobre a sequência 
numérica oral e escrita. Ao jogar Descubra, o estudante exercita o cálculo mental, 
memoriza a grafia dos algarismos e aprende sobre vizinhança, ou seja, sobre sucessor e 
antecessor dos números de 1 a 10. 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
Há muitos outros jogos interessantes nas seguintes referências: 
- KAMII e LIVINGSTON. Desvendando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget (sobre 
a 3a série EF). Campinas, SP: Papirus, 1995. 
- KAMII e HOUSMAN: Crianças pequenas reinventam a aritmética: implicações da teoria 
de Piaget (sobre a 1a série EF). ARTMED, Porto Alegre, 2002. [Edição antiga: Kamii e 
Declark, Reinventando a aritmética. Campinas, SP: Papirus, 1986]. 
- KAMII e JOSEPH: Crianças pequenas continuam reinventando a aritmética - implicações 
da teoria de Piaget (sobre a 2a série EF). ARTMED, Porto Alegre, 2005. [Edição antiga: 
Kamii e Joseph, Aritmética: novas perspectivas. Campinas, SP: Papirus, 1992]. 
- OS MELHORES JOGOS DO MUNDO. São Paulo: Ed. Abril, Col. Todos os Jogos, 1978. 
[Esta coleção foi publicada originalmente em fascículos ilustrados com a história de cada 
jogo e foram anexados as instruções e material do jogo. Atualmente é possível de ser 
encontrada - sem regras ou material - em sebos]. 
- PARRA, Cecília e SAIZ, Parra (orgs.). Didática da matemática: reflexões 
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
91 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: 
Oferecer subsídios aos futuros professores sobre como as crianças operam com 
problemas de multiplicação e divisão. O texto apresenta algumas pesquisas que mostram 
diversas representações de crianças frente a problemas dessa natureza. 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
Estudos de Piaget acerca da gênese da aquisição de conhecimentos 
possibilitaram a compreensão de que o conhecimento diz respeito a uma construção 
individual, que supõe a organização de estruturas reguladoras, e, portanto, não pode ser 
diretamente transmitido. Por tratar-se de uma estrutura mental construída 
individualmente, a partir da capacidade natural de pensar, o conhecimento matemático 
não pode ser aprendido unicamente a partir do ambiente externo. 
A capacidade para resolver problemas, utilizando os sistemas convencionais, a 
utilização de técnicas e os exercícios empregando o algoritmo não asseguram que a 
criança tenha compreendido o verdadeiro significado da operação, assim como conhecer 
os símbolos convencionais não é suficiente para que a criança se utilize dessas grafias e, 
consequentemente, do procedimento convencional de cálculo, de maneira apropriada. 
Esse conhecimento deve ser combinado com outros procedimentos que permitam a 
compreensão e a utilização dos sistemas convencionais de representação para se chegar 
à solução do problema. 
Os trabalhos de Constance Kamii (1996, 2002, 2005) nos mostram que os 
procedimentos utilizados pelas crianças em problemas aritméticos são diferentes 
daqueles provenientes das técnicas operatórias convencionais. Um exemplo disso ocorre 
no caso da adição e subtração, nas quais elas primeiro operam com as dezenas e depois 
com as unidades, ou seja, em direção oposta a do algoritmo convencional. 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
92 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
No caso da multiplicação e da divisão, boa parte das crianças utiliza a adição 
repetida inicialmente, para somente mais tarde, passar a usar “algo” da multiplicação; a 
diferença básica entre adição e multiplicação é que esta última envolve raciocínio 
hierárquico, no qual a criança deve fazer inclusões hierárquicas simultaneamente, por 
exemplo: 4 x 5 corresponde a 4 grupos simultâneos de 5 elementos e, portanto, mais 
abstrato do que apenas uma somatória de 4, cinco vezes. Porém, não se deve dizer à 
criança quando utilizar um ou outro, mas deixar que ela chegue à resposta da sua 
maneira, pois utilizar a adição repetida pode ser uma boa forma para resolver problemas 
multiplicativos com multiplicadores pequenos (KAMII, 1996 e 2005). 
Em estudo recente, buscando verificar as representações gráficas de estudantes 
do 4º e 5º anos em problemas de divisão, Molinari (2010) encontrou nove tipos diferentes 
de procedimentos, constatando certa diversidade e variação de estratégias (combinadas 
ou não) empregadas por esses estudantes na solução dos problemas. As variações se 
configuraram da seguinte maneira: uso do desenho, cálculos multiplicativos, somas 
repetidas, subtração, chave longa, algoritmo americano, algoritmo canônico e cálculo 
mental. 
Isso nos leva a acreditar que, quando incentivamos as crianças a resolver 
problemas espontaneamente, podemos nos surpreender com as estratégias que elas 
elaboram. Se ao invés de mostrar a elas como fazer ensinando-lhes os procedimentos, 
problematizar com elas fazendo-lhes perguntas desafiadoras, tais como “como você 
pensa que pode ser resolvido este problema?” ou “há outra forma de resolvê-lo?”, 
podemosverificar que elas buscam formas próprias de resolver os problemas criando 
procedimentos que diferem, em sua grande maioria, dos procedimentos convencionais, 
os quais, muitas vezes, elas não compreendem. 
Veremos ainda neste texto, como algumas destas crianças representam problemas que 
envolvem cálculos aritméticos de estrutura multiplicativa. 
Representação gráfica da divisão 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
93 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
Compreender e interpretar os sistemas de representação constitui um assunto 
que tem interessado a diversos estudiosos do desenvolvimento humano, especialmente 
àqueles que se interessam pelo desenvolvimento cognitivo. 
Olivier, Murray e Human (1991), buscando descrever e analisar as estratégias de 
solução de problemas de divisão em crianças norte-americanas, entre 5 e 9 anos de 
idade, por meio da observação e da interação social, afirmaram que as crianças inventam 
“poderosos algoritmos” em detrimento dos algoritmos ensinados na escola; elas 
preferem usar seus próprios algoritmos, quando lhes é permitido, e a taxa de sucesso 
quando usam seus próprios algoritmos é significativamente maior do que quando usam 
algoritmos-padrão. 
As estratégias de solução encontradas pelos autores foram: representação direta 
- desenho de ações que foram necessárias à solução; representação numérica - uso de 
algarismos sem emprego da operação, com estimativa repetida (ensaio e erro) e 
estimativa por ajuste (estimando pelos restos); subtração; adição; multiplicação e 
transformação realizando vários “arranjos” com os números, por exemplo: em 4158 11 ・ ・
300 x 11 = 3300 e 78 x 11 = 858 / 3300 + 858 = 4158. 
Tais autores verificaram que, mesmo as crianças mais novas, utilizam estratégias 
sofisticadas de solução para operar com números maiores e que não encontraram 
dificuldades em operar com problemas de divisão partitiva e por quotas (envolvendo 
cálculos mais complexos e estimativas), sugerindo que o ensino da divisão deve se basear 
em problemas com enunciados (word problems). Concluíram, refutando Fischbein et al 
(1985), que as crianças mais novas podem resolver tanto problemas de partição como de 
quotição, intuitivamente, antes de qualquer instrução formal. 
Lautert e Spinillo (1999), procurando verificar, por meio de problemas verbais, 
quais elementos da operação de divisão (termos e procedimentos) são representados 
por crianças de 5 a 9 anos de idade, e como o são, encontraram algumas categorias de 
grafismos, baseadas em Hughes (1986): idiossincrática, grafismos irregulares, sem relação 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
94 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
com a operação; icônica, sinais gráficos (traços, riscos etc.), relacionados às quantidades 
envolvidas; simbólica, símbolos convencionais, e mistos. 
Com relação aos termos da divisão representados, as autoras identificaram uma 
tipologia de condutas: tipo 1 - sem relação com as quantidades; tipo 2 - relacionadas ao 
enunciado, mas sem tentativa de solução; tipo 3 - com solução por meio de outras 
operações e tipo 4 - solução através da divisão, tipificando-se as do grupo 3 e 4 como 
mais evoluídas que as do 1 e 2. 
Em seu estudo, as autoras concluíram que a relação entre os grafismos e os 
procedimentos de solução é influenciada pela instrução e que as crianças menores 
representaram o que foi dito, enquanto as mais velhas tenderam a representar os 
procedimentos de solução. 
Starepravo e Moro (2005), realizaram um estudo, com crianças de 3ª série, sobre 
os procedimentos de solução escrita de problemas de compra, envolvendo multiplicação 
e divisão, propostas oralmente e com o apoio de encartes ilustrativos e ofertas, sem que 
os estudantes fossem informados de que se tratava de uma atividade de solução de 
problemas. As autoras analisaram a antecipação da solução, a produção da notação e a 
interpretação que as crianças deram às suas notações. 
Verificaram que as antecipações se manifestaram em diferentes níveis, da 
antecipação do procedimento à antecipação do resultado por cálculo mental, sendo 
algumas delas de estimativa de conteúdo qualitativo, mais presente na multiplicação, e 
de conteúdo quantitativo, mais presente na divisão (nas últimas, em geral, as crianças 
usaram resultados de um problema anterior). 
Algumas crianças antecipam a operação, mas não o procedimento; outras 
antecipam o procedimento e outras, ainda, antecipam o resultado por cálculo mental. 
No entanto a antecipação do procedimento a utilizar não ocorreu nos problemas de 
divisão, levando as autoras a entender que esses problemas são mais difíceis do que os 
da multiplicação e atribuem isso ao fato de: 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
95 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
Na multiplicação, a relação com a adição ser bastante forte para as crianças e a 
ação de repetição ser mais facilmente representada mentalmente [...]. Já a divisão [...] 
parece trazer uma dupla dificuldade para as crianças: primeiro a operação não mantém 
a mesma relação direta com a adição; segundo, exige uma inversão no raciocínio 
multiplicativo. (STAREPRAVO e MORO, 2005, p. 120). 
Neste estudo, as notações encontradas foram, em sua maioria, “diferentes das 
ensinadas na escola”, creditando-se a isso, o fato de serem problemas apresentados 
oralmente, deixando as crianças mais livres para representá-los. As notações variaram 
entre notações de adição, de multiplicação, de subtração e combinadas, predominando 
a aditiva nos dois tipos de problemas (multiplicação e divisão). Nos problemas de divisão 
por quotas, as crianças adicionavam valores unitários até obterem o valor do dividendo. 
As autoras observaram que, em problemas de divisão, os procedimentos de 
solução eram construídos durante o processo de produção da notação; por outro lado, 
que a notação de divisão aparecia apenas como representação do problema, que era 
resolvido pela multiplicação. 
Selva (2003), procurando investigar o uso de estratégias em solução de 
problemas de divisão com material concreto (fichas ou lápis e papel), comparou o 
desempenho de crianças entre 6 e 8 anos de idade e constatou o seguinte: que os 
melhores desempenhos foram os de crianças das séries mais avançadas e que o maior 
índice de acerto ocorreu nos grupos que tinham algum material para utilizar como apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMES E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 19 - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALÉM DA TABUADA 
Adriana Maria Corder Molinari 
 
 
96 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber mais acesse o link abaixo: 
<http://www.bib.unesc.net/biblioteca/sumario/00002C/00002CCB.pdf> Acesso em 21 de 
julho de 2014 
As dificuldades encontradas por professores no Ensino de conceitos 
matemáticos nas séries iniciais (monografia apresentada à diretoria de pósgraduação da 
universidade do extremo sul catarinense- UNESC, para a obtenção do título de 
especialista em educação matemática). 
Orientador: Prof. Msc. Edison Uggioni. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
97 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
 
CONHECENDO A PROPOSTA DA UNIDADE 
 
 Objetivos: Compreender o uso das estratégias que as crianças usam para 
solucionar problemas de divisão 
 
ESTUDANDO E REFLETINDO 
 
Selva (2003), procurando investigar o uso de estratégias em solução de 
problemas de divisão com material concreto (fichas ou lápis e papel), comparouo 
desempenho de crianças entre 6 e 8 anos de idade e constatou o seguinte: que os 
melhores desempenhos foram os de crianças das séries mais avançadas e que o maior 
índice de acerto ocorreu nos grupos que tinham algum material para utilizar como apoio. 
As estratégias empregadas pelas crianças desse estudo variaram entre 
representações concretas (com as fichas), representações gráficas (com lápis e papel) e 
cálculo mental (sem material) e foram categorizadas da seguinte forma: 
1. Representação direta com distribuição de pequenas quantidades - uso da 
correspondência um-a-um, ou separação dos elementos em grupos de 2 ou 3; 
2. Representação direta com formação de grupos (característica de problemas 
de quotição) - a criança contava fichas ou desenhava marcas em um número 
correspondente ao valor do dividendo, formando grupos com a quantidade indicada 
pelo valor do divisor (circulando os grupos quando usavam lápis e papel); 
3. Ensaio e erro (mais frequente em problemas de partição e com o uso de lápis 
e papel) - a criança escolhia várias vezes determinado número de elementos para 
constituir cada grupo, contando o total até chegar ao valor do dividendo, também 
caracterizado pelo desenho de conjunto de bolinhas; 
4. Repetição aditiva, incluindo tanto a repetição aditiva como a repetição 
subtrativa. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
98 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
5. Uso imediato de fatos conhecidos, envolvendo multiplicações ou divisões, 
podendo indicar a memorização da tabuada ou uma compreensão da divisão. 
As conclusões da autora foram que a representação direta é mais frequente nas 
séries mais adiantadas e o uso de objetos de apoio é mais recorrente nas crianças 
pequenas, mas que objetos concretos que representem numericamente as quantidades 
podem inibir o emprego de estratégias mentais mais sofisticadas e, sozinhos, não têm 
quase nenhuma utilidade. 
Borba e Selva (2006) investigaram o desempenho de crianças de 3ª e 5ª séries 
em problemas de divisão com resto diferente de zero, com o objetivo de investigar o 
efeito de significados atribuídos à divisão e de representações simbólicas na solução de 
problemas. 
Os resultados da pesquisa mostraram que, das crianças de 3ª série, 69% 
apresentaram representações pictográficas, através de desenhos, enquanto 31% 
apresentaram representações algorítmicas ou heurísticas. Na 5ª série, 19% foram 
representações pictográficas ou por desenho, 69% foram representações algorítmicas e 
12% algorítmicas e heurísticas. Ou seja, o algoritmo formal foi mais utilizado pelas 
crianças da 5ª série. 
Algumas crianças utilizavam mais de uma forma de representação o que, na 
opinião das autoras, “pode auxiliar na resolução de problemas” (p.11), como, por exemplo, 
usar o algoritmo para resolver um problema de divisão e depois definir o tratamento do 
resto da divisão por meio de desenhos. Isso, segundo as autoras, pode constituir uma 
estratégia de solução eficiente. 
Observou-se que a maioria dos alunos das duas séries utilizou estratégias 
adequadas (na partição e na quotição), evidenciando que compreendem igualmente 
problemas com esses dois significados, apesar de utilizarem procedimentos variados de 
solução. Além disso, percebeu-se que as crianças dão tratamento ao resto da divisão, de 
forma independente do tipo de problema, porém, de maneira inadequada, sugerindo 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
99 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
que a escola deve trabalhar mais cuidadosamente com esse aspecto, estimulando o uso 
de estratégias variadas - algorítmicas ou não - mas sempre baseadas na compreensão. 
Assim, vemos que há uma estreita relação entre a multiplicação e divisão; ambas 
se inserem no campo das estruturas multiplicativas, pois tanto uma quanto a outra requer 
o raciocínio multiplicativo (relação divisor-quociente, no caso da divisão) e ambas 
utilizam o mesmo tipo de estratégia de solução — o esquema de correspondência ou o 
esquema de distribuição (NUNES et al, 2001, p. 42). 
Para operar com a multiplicação, além de compreender a relação de inclusão 
simultânea, a criança precisa antecipar o número de conjuntos e a compensação do 
número de elementos de cada conjunto, o que Granell (1983) denominou de operador 
multiplicativo. Esta autora desenvolveu uma forma de verificarmos se a criança construiu 
a noção de multiplicação e divisão (operador multiplicativo), por meio de situações 
envolvendo problemas desta ordem, denominadas de Prova da multiplicação e da 
divisão aritmética (GRANELL, 1983), descrita a seguir. 
Prova da multiplicação e da divisão aritmética (GRANELL, 1983): 
Consiste na simulação de uma situação de compra e venda, colocando-se nove grupos 
de objetos com seus respectivos preços diante da criança (com valores variando entre 
R$1,00 e R$9,00) e fichas simulando moedas de R$1,00. 
Essa prova é composta de duas situações: 
1ª situação - multiplicação aritmética - propõem-se situações nas quais as 
crianças são solicitadas a responder qual a quantidade de dinheiro necessária para 
comprarem determinadas quantidades de objetos. O objetivo é o de verificar se o sujeito 
apenas faz antecipações, ou se construiu a ideia do operador multiplicativo. 
Procedimento: O experimentador pede à criança que coloque o dinheiro necessário para 
comprar determinado objeto. Em seguida, põe vários desses objetos, do mesmo tipo, 
sobre a mesa e solicita que o sujeito coloque, também sobre a mesa, o dinheiro 
necessário para comprá-lo (s). Importante notar que não se enumera a quantidade de 
objetos. Repete-se o procedimento variando os objetos e sua quantidade. 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
100 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Diagnóstico - composto de quatro condutas: 
Conduta I – Corresponde às crianças que estabelecem correspondência termo a 
termo, igualando, na resposta final, o número de fichas ao de objetos que poderiam ser 
comprados: 
Conduta II – Corresponde às crianças que aumentam, em algumas unidades, o 
resultado final, devido a uma consideração intuitiva da correspondência múltipla, não se 
importando ainda com a quantificação exata; 
Conduta III – Corresponde às crianças que chegam a um resultado correto por 
procedimentos aditivos sucessivos sem nenhuma antecipação do número de ações a 
fazer. Para isso, relacionam os conjuntos de fichas (preço dos objetos) a cada objeto a 
ser comprado (correspondendo muitos para cada um, a cada elemento sucessivamente), 
chegando ao resultado final correto por meio de adições sucessivas; 
Conduta IV – Corresponde às crianças cujos procedimentos mostram a 
antecipação da quantidade de fichas necessárias, sem nenhuma verificação empírica, 
alcançando o resultado final mentalmente. 
2ª situação - divisão aritmética - coloca-se determinada quantia de fichas, 
representando moedas de 1 real, diante das crianças e pede-se a elas que digam quantos 
objetos é possível comprar com determinada quantia de dinheiro. O objetivo é o de 
verificar a construção da compensação necessária entre as variáveis. 
Procedimento: O experimentador entrega para a criança uma determinada 
quantidade de moedas e pergunta-lhe quantos objetos de um determinado tipo podem 
ser comprados com aquela quantia de dinheiro (por exemplo: quantos objetos podem 
ser comprados com 18 moedas). Se a criança chegar a uma conclusão correta, ser-Ihe-á 
proposto que pense se com as mesmas moedas, poderá comprar algum outro objeto 
dentre os existentes na loja, de maneira que não lhe sobrem, nem lhe faltem moedas.A 
criança será avisada de que todos os objetos que poderá comprar deverão ser do mesmo 
tipo. 
Diagnóstico - composto também de quatro condutas: 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
101 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
Conduta I – Corresponde às crianças que afirmam não poder comprar nenhuma 
outra coisa, ou somente objetos que custam 1 real, não admitindo a possibilidade de 
fazer diferentes composições, nem mesmo com conjuntos equivalentes; 
Conduta II – Corresponde às crianças que tentam operar com conjuntos 
equivalentes, mas ainda não percebem uma compensação exata entre o número de 
conjuntos e o de elementos de cada conjunto dentro do mesmo todo. Parece haver um 
início de tomada de consciência de que, se comprarem mais objetos, eles têm de ser 
mais baratos e vice-versa, sem que cheguem a uma quantificação exata. As crianças não 
atinam com a necessidade de coordenação entre as três variáveis: multiplicando, 
multiplicador e resultado final; 
Conduta III – Corresponde às crianças que não são capazes de realizar 
antecipações corretas, mas chegam a uma solução, por meio de tentativas, que podem 
começar desde um tateio assistemático, compreendendo algumas propriedades, até um 
tateio sistemático, com todas as possibilidades de distribuição do todo; 
Conduta IV – Corresponde às crianças que antecipam as possíveis composições 
do todo, com os respectivos conjuntos equivalentes, por meio de operações mentais, 
sem necessariamente se basearem em comprovações empíricas. 
Esta Prova foi utilizada por Molinari (2010) na pesquisa que culminou na Tese de 
Doutorado da autora. O estudo foi realizado com estudantes de 4º e 5º anos, a fim de 
verificar se havia relação entre a construção da noção do operador multiplicativo e os 
procedimentos empregados na solução de problemas de divisão por quotas. 
Através dos resultados obtidos, não se encontrou relação entre o nível de noção 
do operador multiplicativo e o uso de procedimentos mais elaborados de solução, ou 
seja, os estudantes que utilizaram o procedimento algorítmico (mais avançado do ponto 
de vista do conhecimento formal) não necessariamente estavam de posse da noção do 
operador multiplicativo. Isso confirmou a ideia de que o emprego desse mecanismo de 
solução pode estar associado a uma mera aplicação de técnica aprendida na escola. 
 
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
UNIDADE 20 - ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO 
Adriana Maria Corder Molinari 
102 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ARARAS “DR. EDMUNDO ULSON” – UNAR” 
 
BUSCANDO CONHECIMENTO 
 
Para saber mais consultem a Tese de Doutorado “Representação e solução de 
problemas aritméticos de divisão: um estudo dos procedimentos empregados por 
alunos do ensino fundamental I” de Adriana M. Corder Molinari. 
Disponível em: http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000707426 
Av. Ernani Lacerda de Oliveira, 100
Bairro: Pq. Santa Cândida
CEP: 13603-112 Araras / SP
(19) 3321-8000
ead@unar.edu.br
Rua Américo Gomes da Costa, 52 / 60
Bairro: São Miguel Paulista
CEP: 08010-112 São Paulo / SP
(11) 2031-6901
eadsp@unar.edu.br
www.unar.edu.br
0800-772-8030
POLOS EAD
http://www.unar.edu.br
unar.info/ead
http://www.unar.edu.br
http://www.unar.edu.br
	Capa
	Fundamentos e Métodos do Ensino da Matemática
	Unid 01
	Unid 02
	Unid 03
	Unid 04
	Unid 05
	Unid 06
	Unid 07
	Unid 08
	Unid 09
	Unid 10
	Unid 11
	Unid 12
	Unid 13
	Unid 14
	Unid 15
	Unid 16
	Unid 17
	Unid 18
	Unid 19
	Unid 20
	Capa