E1_MATEMÁTICA FINANCEIRA

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E-book 1
Ricardo Cintra
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Neste E-Book:
INTRODUÇÃO ���������������������������������������������� 3
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E AS 
TAXAS DE JUROS ����������������������������������������4
Capitalização Simples ���������������������������������������������6
Capitalização Composta �����������������������������������������8
Taxas Nominais e Efetivas ����������������������������������� 10
Taxas Proporcionais e Equivalentes �������������������� 12
TAXA APARENTE E TAXA REAL �������������18
TAXA ACUMULADA, TAXA OVER E 
TAXA MÉDIA �����������������������������������������������24
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������34
SÍNTESE ������������������������������������������������������� 35
2
INTRODUÇÃO
Olá! É muito bom poder ajudar você a compreender a 
Matemática Financeira – na verdade, mais uma apli-
cação da boa, já idosa e cada vez mais importante 
Matemática� Sem ela não passamos um dia sequer 
de nossas vidas e eu tenho certeza de que você já 
percebeu isso�
A partir de agora, trataremos de finanças empresa-
riais, inicialmente, mas você perceberá que diversos 
conceitos, sugestões e indicações são totalmente 
aplicáveis às finanças pessoais, aumentando, assim, 
a importância dos estudos que você começa agora�
3
REGIMES DE 
CAPITALIZAÇÃO E AS 
TAXAS DE JUROS
Para que cálculos financeiros sejam realizados, por 
mais básicos que eles sejam, alguns elementos de-
verão estar presentes� Para começar, você precisará 
de um valor monetário, que será a base dos seus 
cálculos, isto é, sobre esse valor ocorrerão as ope-
rações matemáticas; uma dimensão de tempo – dia, 
mês, semestre, ano etc� – também será necessária, 
afinal presume-se que qualquer operação financeira 
ocorrerá durante período conhecido ou a conhecer; 
uma taxa de juros, que incidirá durante o prazo do 
negócio, sobre o valor monetário, completa a lista 
de elementos essenciais para que operações mate-
máticas com interesse financeiro e comercial sejam 
realizadas. Finalmente, tem-se que, para cálculos fi-
nanceiros, os elementos essenciais são: a) expressão 
da quantidade de dinheiro, b) prazo e c) taxa de juros� 
Quando alguém conta a você que acabou de obter 
um empréstimo bancário, caso ele queira oferecer-
-lhe detalhes, poderá dizer que o empréstimo foi no 
valor de R$10�000,00, a ser restituído ao banco em 
18 parcelas mensais, à taxa de 2,0% a�m� Esse é um 
exemplo simples, mas fiel ao princípio de tudo o que 
ocorre na relação da Matemática com o mundo dos 
negócios� Agora, virão os detalhes interessantes�
4
Vamos começar entendendo o que são os juros? As 
diversas definições disponíveis na literatura partem 
de pontos de vista diferentes. Um texto que se refira 
a ganhos de um investidor poderá tratar juros como 
um benefício resultante da aplicação de uma porcen-
tagem sobre valor em dinheiro, durante certo tempo� 
Se estiver sendo considerado valor a pagar por al-
guém, referente a empréstimo ou a multa por atraso 
em um compromisso, os juros serão tratados como 
sacrifício financeiro ou expressões equivalentes. E 
o valor dos juros, como calcular? Nada complicado 
e a fórmula a seguir mostra isso�
J = P×i×n
Onde:
J  Valor dos juros;
P  Valor sobre o qual a taxa deverá incidir;
i  é a taxa de juros (formato decimal)
n  número de períodos em que a taxa de juros 
produzirá seus efeitos�
Como exemplo, considere que você devesse pagar 
uma conta no valor de R$ 880,00 com vencimento 
ontem� No caso de atrasos, deveria ser aplicada a 
taxa de 2% a�m� sobre o valor devido� Você pagará a 
conta hoje, com atraso de 1 dia, portanto� Qual seria 
o valor a pagar? Vamos ver�
5
Substituindo-se os valores conhecidos, na fórmula 
de juros
0,02J = R$ 880,00 × × 1 = R$ 0,59
30
Pronto! Já seria de seu conhecimento, ter R$0,59 a 
pagar, além do valor da conta, é claro�
Quando os juros são adicionados à base de cálcu-
lo, isto é, ao capital, ocorre a capitalização, impor-
tantíssimo conceito para quem pretende estudar 
Matemática Financeira e suas utilizações� A capitali-
zação pode ocorrer de duas maneiras, denominadas 
Regimes de Capitalização: a capitalização simples 
e a capitalização composta ou, como preferem al-
guns, regime de juros simples e regime de juros 
compostos�
Capitalização Simples
Neste primeiro tipo, independentemente do período, 
a taxa de juros incidirá somente sobre o valor princi-
pal, isto é, sobre o valor original� A Tabela 1 resume 
o acúmulo dos juros sobre R$100�000,00, sob a taxa 
de 1,00 % a.m., durante 4 meses. No fim do prazo, 
R$104�000,00 seria o valor a receber ou a pagar�
6
Mês
Saldo 
credor no 
início do 
mês
Juros do mês
Saldo credor 
no final 
do mês 
antes do 
pagamento
Pagamento 
do mês
Saldo 
credor no 
final do 
mês após o 
pagamento
1 100�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 101�000,00 0,00 101�000,00
2 101�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 102�000,00 0,00 102�000,00
3 102�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 103�000,00 0,00 103�000,00
4 103�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 104�000,00 104�000,00 0,00
Tabela 1: Capitalização Simples. Fonte: Adaptado de Puccini (2017, p. 18)
O modelo de juros simples é caracterizado pela 
expressão
S = P (1+i×n)
Onde:
S  montante acumulado ao final do prazo da 
operação
P  valor do principal ou capital
i  taxa de juros incidente a cada período
n  número de períodos
Se voltarmos à Tabela 1 e utilizarmos os dados da 
operação lá resumida, colocando-os na expressão 
característica dos juros simples, teremos:
S = P (1 + in)  S = 100�000,00 (1 + 0,01x4) = 
104.000,00
De fato, lá na tabela, pudemos verificar esse mesmo 
valor acumulado no fim do prazo.
7
Capitalização Composta
O segundo tipo traz novidades, que poderão ser boas 
ou ruins, dependendo do interesse que alguém tem 
no cálculo de juros – recebê-los ou pagá-los� No mo-
delo de juros compostos, a capitalização ocorre em 
todos os períodos que compõem o prazo da opera-
ção� Em uma operação de 12 meses, com incidência 
de taxa mensal, por exemplo, os juros seriam incorpo-
rados a cada mês, fazendo com que os juros de um 
período fossem calculados sobre juros acumulados 
até o período imediatamente anterior�
A Tabela 2 resume o acúmulo mensal dos juros so-
bre os R$100�000,00 iniciais, sob a taxa de 1,00 % 
a.m. No fim do prazo, R$ 104.060,40 seria o valor a 
receber ou a pagar�
Mês
Saldo 
credor no 
início do 
mês
Juros do mês
Saldo 
credor 
no final 
do mês 
antes do 
pagamento
Pagamento 
do mês
Saldo 
credor no 
final do 
mês após o 
pagamento
1 100�000,00 1% × 100�000,00 = 1�000,00 101�000,00 0,00 101�000,00
2 101�000,00 1% × 101�000,00 = 1�010,00 102�010,00 0,00 102�010,00
3 102�010,00 1% × 102�010,00 = 1�020,10 103�030,10 0,00 103�030,00
4 103�030,10 1% × 103�030,10 = 1�030,30 104�060,40 104�060,40 0,00
Tabela 2: Capitalização Composta. Fonte: Adaptado de Puccini 
(2017) p. 36.
8
O modelo de juros compostos, tal e qual ocorreu no 
outro modelo, tem uma expressão que o representa:
S = P(1+i)n
As variáveis e seus significados são as mesmas da 
capitalização simples� Então, substituindo os valores 
mostrados, teremos:
S = P (1 + i)n  S = 100�000,00 (1 + 0,01)4 = 
104.060,40
Reflita
Compare com o valor final, obtido por aplicação 
de juros simples, mostrado na Tabela 1� Embora 
raramente seja possível escolher o regime de ju-
ros de uma operação, apenas como um exercício, 
responda:
Quais seriam as suas preferências, quanto ao 
modelo de juros a ser empregado, em uma ope-
ração de empréstimo, nos dois casos a seguir 
descritos?
(a) você emprestou o dinheiro a um parente e es-
pera recebê-lo de volta em 6 parcelas mensais;
(b) você recebeu o empréstimo de um parente e 
espera pagá-lo em 6 parcelas mensais;
9
Taxas Nominais e Efetivas
Ao lidar com taxas de juros, alguns cuidados são 
necessários e você irá conhecê-los durante seus 
estudos de Matemática Financeira� Uma primeira 
cautela recomendada é ter a certeza de que em 
seus cálculos você usará a taxa de fato incidente 
na operação avaliada�O risco da não observância 
dessa necessidade é o de levar você a cálculos 
errados e, consequentemente, a decisões ruins e 
potencialmente danosas. Você deverá certificar-se 
de estar considerando a taxa efetiva da operação e 
não a taxa nominal� Vamos conhecer as diferenças 
e como encontrá-las?
Uma taxa de juros será dita efetiva quando o período 
em que ocorrer a capitalização for o mesmo utiliza-
do como referência temporal da taxa� Observe os 
exemplos a seguir�
Exemplos I Capitalização
Referência 
temporal da 
taxa
3,0 % a�m�, com capitaliza-
ção mensal
mensal mês
5,0 % a�t�, com capitaliza-
ção trimestral
trimestral trimestre
20,0 % a�a� com capitaliza-
ção anual
anual ano
8,0 % a�s� com capitaliza-
ção semestral
semestral semestre
Tabela 3: Período de capitalização igual ao utilizado como referência 
temporal da taxa. Fonte: Elaboração própria.
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Note que, nos quatro exemplos da Tabela 3, a ca-
pitalização (mensal, trimestral, anual e semestral) 
ocorrerá em período igual ao de referência temporal 
de cada uma das taxas (mês, trimestre, ano e semes-
tre)� Por isso mesmo, as quatro taxas são efetivas, 
portanto, verdadeiramente incidentes nas respectivas 
operações� E se assim não fosse? Analise o próximo 
quadro�
Exemplos II Capitalização Referência temporal da taxa
8,0 % a�a�, com capitaliza-
ção mensal
mensal ano
10,0 % a�t�, com capitali-
zação mensal
mensal trimestre
5,0 % a�s� com capitaliza-
ção anual
anual semestre
3,0 % a�m� com capitali-
zação diária
diária semestre
Tabela 4: Período de capitalização diferente do utilizado como refe-
rência temporal da taxa. Fonte: Elaboração própria.
Certamente você percebeu que, nesse segundo 
conjunto de exemplos, não há coincidência entre 
os períodos em que se esperam as capitalizações 
e as unidades de tempo utilizadas para comunicar 
cada uma das taxas, isto é, a referência temporal 
de cada uma delas� Exatamente por isso, as quatro 
taxas são nominais e não deverão, sem os necessá-
rios ajustes, ser utilizadas nas operações a que se 
refiram. Os “ajustes” citados serão estudados mais 
à frente� Neste momento dos estudos, é importante 
você identificar taxas efetivas e taxas nominais.
11
Um alerta: durante os contatos comerciais, nem 
sempre as informações necessárias à diferenciação 
entre taxas nominais e efetivas estarão explicitadas, 
mas isso não deverá justificar qualquer tomada de 
decisão insegura� Diante da falta de clareza, peça as 
informações – que agora você já sabe quais são – 
que lhe permitam analisar a(s) taxa(s) informada(s)�
Taxas Proporcionais e Equivalentes
No modelo de juros simples, quando duas taxas ex-
pressas em diferentes unidades de tempo, aplicadas 
sobre um mesmo capital, resultarem em iguais valo-
res finais, serão consideradas proporcionais� Vamos 
a alguns exemplos disso�
No centro de uma capital brasileira, algumas insti-
tuições financeiras anunciam empréstimos de até 
R$10.000,00, em condições “especiais”, para pessoas 
físicas. A instituição “A” informa ao público que, em 
apenas duas horas, poderá liberar crédito à taxa de 
2,0% a.m. e sua concorrente, a instituição “B”, anuncia 
crédito semelhante em valor (até R$10�000,00), mas 
com juros de 24,0% a�a� Com essas informações e 
a título de exercício, calcule o montante que você 
deveria pagar por dois empréstimos de R$8�000,00, 
contratados por 30 meses, nas duas instituições 
financeiras.
A solução desse desafio deveria cumprir as seguin-
tes etapas:
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1. Instituição A
Principal = R$8�000,00
Prazo = 30 meses
Taxa de juros = 2,0% a.m.
Valor de liquidação do empréstimo = ?
 ○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) S = 8�000,00 
(1 + 0,02x30) = 12.800,00
2. Instituição B
Principal = R$8�000,00
Prazo = 30 meses
Taxa de juros = 24,0 % a.a.
Valor de liquidação do empréstimo = ?
Taxa mensal de juros de juros
 ○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) S = 8�000,00 
(1 + (0,24/12) × 30) = 12.800,00
Conclusão: embora as duas instituições estejam 
oferecendo taxas diferentes, se essas taxas forem 
aplicadas sobre um mesmo capital, por determinado 
prazo, no regime de capitalização simples, resultarão 
em montantes idênticos (R$ 12�800,00)� Por conta 
disso, pode-se afirmar que 2,0 % a.m. e 24 % a.a. são 
taxas proporcionais�
Agora, percebamos o que pode acontecer em outra 
simulação, mas dessa vez considerando uma capi-
talização composta� Acompanhe:
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Um estudante recebe proposta de aplicação financei-
ra pelo prazo de 60 dias� Quem o convidou informou 
a taxa efetiva anual de 12,683%� Na mesma data, 
o jovem recebe uma segunda proposta: a de fazer 
aplicação financeira, também por 60 dias, mas à taxa 
efetiva de 6,152% a�s� (ao semestre)� Nos 60 dias de 
aplicação, para cada um dos casos, qual o valor a 
resgatar, se a aplicação for R$5�000,00?
1º. Caso
P = 5�000,00
Taxa = 12,683% a.a. (efetiva)
Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “ano” 
o prazo da operação, fornecido em dias, deverá ser 
convertido para ano = 60/360 = 0,166667 ano]
Valor a resgatar (S) = ?
S = P (1+i)n = 5�000 × (1 + 0,12683)60/360 = 5�000 X 
1,020101 = 5.100,50
2º. Caso
P = 5�000,00
Taxa = 6,152% a.s. (efetiva)
Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “semes-
tre” o prazo da operação, fornecido em dias, deverá 
14
ser convertido para semestre = 60/180 = 0,333333 
semestre]
Valor a resgatar (S) = ?
S = P (1+i)n = 5�000 × (1 + 0,06152)60/180 = 5�000 X 
1,020100 = 5.100,50
Conclusão: em regime de capitalização composta, 
duas taxas com referências de tempo diferentes (ano 
e semestre), incidentes sobre um mesmo capital 
(R$5�000), durante mesmo prazo (60 dias), resul-
taram em montantes iguais (R$5�100,50)� Por que 
isso aconteceu? Porque as duas taxas 12,683% a�a� 
e 6,152% a�s� são equivalentes�
Você poderá determinar taxas equivalentes entre si, 
trabalhando apenas com as taxas, isto é, indepen-
dentemente de valores monetários sobre os quais 
elas, as taxas, incidam� São dois os movimentos 
possíveis aqui:
a) O interessado deseja uma taxa equivalente “à 
sua”, sendo que a desejada será referente a um pe-
ríodo maior�
Exemplo 1. Você precisa determinar a taxa anual, 
equivalente a 2,0% a�m� Primeiro passo será notar 
que em um ano há 12 meses, então teremos que 
fazer uma capitalização da taxa mensal, assim:
15
Esse procedimento levará à conclusão de que a taxa 
procurada é 26,8% a.a. Você concorda?
Exemplo 2. Você deseja preencher um contrato com 
“taxa efetiva semestral” equivalente à taxa bimestral 
de 2,3%� Qual a taxa com que você preencheria o 
contrato? Em cada semestre há 3 bimestres, não é 
assim? Então, você precisará capitalizar a taxa bi-
mestral por três vezes, seguindo o procedimento:
Deve-se chegar a 7,1% a.s. Então, você chegou a 
esse resultado?
b) O interessado deseja uma taxa equivalente “à 
sua”, sendo que a desejada será referente a um pe-
ríodo menor�
Exemplo 1. O custo efetivo de 20,0% a�a� precisa ser 
informado, mas por meio de sua taxa equivalente 
mensal, que ��?
A cada ano, são 12 meses, como sabemos� Então, 
neste caso, deveria ser feita uma descapitalização de 
ano para mês� Seria 1,53% a.m., o resultado? Confira.
Exemplo 2. Documentação de financiamento traz a 
informação de que o custo efetivo total da operação 
16
será de 280,0% a�a� Assustado com o número, você 
decide avaliar o custo efetivo semestral da mesma 
operação, para poder compará-lo com algumas de 
suas anotações� Considerando o procedimento a 
seguir e que cada ano é composto por 2 semes-
tres, 94,9% a.s. seria o resultado correto para essa 
equivalência?
17
TAXA APARENTE E 
TAXA REAL
Esses dois conceitos, taxa (de juros) aparente e taxa 
(de juros) real estão ligados ao conceito de inflação, 
cujo indicador oficial, no caso brasileiro, é o Índice 
de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), apurado e 
divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE).
Para entendermos um excelente exemplo para 
este ponto de seus estudos sobre a Matemática 
Financeira, é necessáriocompreendermos o papel 
do Comitê de Política Monetária do Banco Central do 
Brasil (COPOM), um colegiado do Banco Central do 
Brasil (BACEN). Com intervalos aproximados de 45 
dias, o comitê é reunido para definir a meta da taxa 
de juros básicos da economia brasileira – Taxa Selic 
– até a próxima reunião� A importância dessa taxa e 
de seus movimentos é enorme, porque ela serve de 
referência para o custo do crédito para a formação 
de diversas outras taxas dos mercados� Aliás, não 
é por outro motivo que ela é conhecida como “taxa 
básica da economia”, “taxa básica de juros” ou, mais 
objetivamente, “taxa básica”.
E sobre inflação e cálculos financeiros, o que dizer? 
Em definição objetiva e suficiente, inflação é o au-
mento generalizado dos preços de uma economia, 
além de ser, em termos práticos, um fenômeno cruel 
que desvaloriza uma moeda nacional, isto é, reduz 
18
o poder aquisitivo dessa moeda� Nesse contexto, 
podemos imaginar três possibilidades de ilustração:
1. Você faz uma aplicação financeira com taxa de 
juros que vem a se mostrar inferior à inflação veri-
ficada no mesmo período da operação; você perde 
dinheiro, porque a remuneração a receber seria in-
ferior à desvalorização sofrida por seu dinheiro, por 
efeito inflacionário.
2. A taxa de juros vem a se mostrar igual à inflação 
verificada no mesmo período da operação; você não 
perde tampouco ganha dinheiro, porque a remune-
ração a receber seria idêntica à desvalorização cau-
sada pela inflação.
3. A taxa de juros que vem a se mostrar superior à 
inflação verificada no mesmo período da operação; 
nesse caso, sim, você ganha dinheiro, porque a re-
muneração a receber seria superior à desvalorização 
sofrida do seu dinheiro�
Antes de concluir o estudo das possibilidades, vamos 
conhecer as definições de taxa real e taxa aparente?
Taxa real de juros, ou juros reais, é a taxa de juros 
descontada da taxa de inflação e taxa aparente de 
juros, ou juros nominais, é a taxa de juros sem que 
a inflação tenha sido descontada. Voltemos às “três 
possibilidades de ilustração”, agora conhecendo mais 
dois conceitos de taxas de juros�
A possibilidade 1 mostra a ocorrência de juros reais 
negativos, isto é, a taxa de juros contratada não teria 
sido suficiente, sequer, para anular a perda inflacio-
19
nária. Você teria perdido a batalha contra a inflação! 
A possibilidade 2 é menos desagradável – mostra 
a ocorrência de juros reais nulos; não é uma situa-
ção a comemorar, mas, ao menos, não há perda a 
lamentar� Você teria empatado a batalha contra a 
inflação. Menos mau, não é? Finalmente, a possibi-
lidade 3. Ela, sim, justificaria a alegria do investidor, 
porque mostra uma situação em que o investidor 
teria vencido a batalha contra a inflação, pois teria 
obtido juros reais positivos� Com essa explicação 
você pode entender o que são juros reais, mas ainda 
não pode calculá-los� Quanto de juros negativos e 
positivos, respectivamente, teriam as possibilidades 
“1” e “3”? Vamos resolver isso, já!
O conceito geral é: a taxa real de juros resulta da taxa 
aparente descontada da inflação e convém assina-
lar, desde já, que o termo “descontada” não remete 
à operação de subtração, como será visto� Desse 
conceito, aqui considerado “geral”, pode-se construir 
uma relação matemática entre taxa aparente (ou taxa 
nominal, lembre-se), taxa real e inflação, começando 
por nomear as variáveis� Sejam, então:
ia ou in  Taxa aparente de juros ou taxa nominal de 
juros, no período�
iinf  Taxa de inflação no período.
ir  Taxa real de juros no período�
20
A relação existente entre as variáveis é
O Exemplo
Como exemplo de aplicação, consideremos o Boletim 
Focus, publicado pelo BACEN em 23 de setembro de 
2019, referente à semana 16 a 20 do mesmo mês/
ano e reproduzido, em parte, a seguir�
Esse Boletim é uma publicação semanal em que o 
BACEN resume as expectativas de diversos técni-
cos dos mercados financeiros acerca de variáveis 
a exemplo de inflação, taxa básica de juros, câmbio 
R$/US$, atividade econômica etc�
Figura 1: Boletim Focus. Fonte: https://www.bcb.gov.br/content/
focus/focus/R20190920.pdf.
Entre muitas outras informações, os profissionais 
dos mercados financeiros, empresários, estudantes 
e jornalistas, acompanham as expectativas de taxa 
real de juros� É uma informação muito valiosa para 
o planejamento, em diversas atividades� No exemplo 
21
https://www.bcb.gov.br/content/focus/focus/R20190920.pdf
https://www.bcb.gov.br/content/focus/focus/R20190920.pdf
que se traz, vamos dirigir nossa atenção para a Meta 
Taxa Selic-fim de período (% a.a.) e IPCA (%), refe-
rentes ao ano de 2019� Qual a perspectiva brasileira 
de taxa real de juros que essa edição do Boletim 
Focus nos permite conhecer? A resposta exige que 
se aplique fórmula para determinação da taxa real 
de juros (ir) recém-apresentada�
ia ou in  Taxa aparente ou taxa nominal de juros: 
será a Meta da Taxa Selic = 5,0 % a�a�
iinf  Taxa de inflação: será a expectativa para o IPCA 
= 3,44 % a�a�
ir  Taxa real de juros: é o valor que se pretende 
conhecer, neste momento�
Com essas informações, já dá para saber qual era a 
expectativa do mercado (sim, o Boletim Focus tem o 
status de “representante do mercado”) para os juros 
reais de 2019 na semana de referência. Basta subs-
tituir os valores conhecidos de variáveis na equação 
dos juros reais� Vamos fazer?
Solução do Exemplo
𝑖𝑖" =
𝑖𝑖$
100+ 1
𝑖𝑖()*
100+ 1
− 1 ×100
⟶ {[5,00/100)+ 1]/[(3,44/100)+1]}×100~𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏𝟓	𝒂𝒂.𝒂𝒂
22
Comentários da Solução
1. 1,51% é uma taxa real de juros, expressa na unida-
de “ao ano (a.a.)”, porque resulta da relação de duas 
taxas igualmente anuais (inflação e taxa aparente).
2. O resultado significa que, além da reposição da 
perda inflacionária (3,44%), se fosse confirmada a 
Taxa Selic de 5,00% a�a�, ela proporcionaria ganho 
real (juros reais positivos) de 1,51% a�a�
3. Note que, se você efetuar a operação Taxa apa-
rente (ia) – Taxa de inflação (Iinf), não chegará ao valor 
correto de taxa real de juros (ir)� Seria bom você se 
certificar.
4. Outro cálculo que é errado (independentemen-
te de proporcionar resultado próximo do correto): 
efetuar a soma (Taxa real + Taxa de inflação), para 
obter a taxa aparente. Seria bom você se certificar 
disso também�
5. A maneira correta de você obter a taxa apa-
rente, conhecidas as taxas real e de inflação é 
� Em seu lugar, 
eu verificaria a “qualidade” da informação que eu 
acabo de oferecer-lhe�
Podcast 1 
23
https://famonline.instructure.com/files/168687/download?download_frd=1
TAXA ACUMULADA, TAXA 
OVER E TAXA MÉDIA
Em 6 de setembro de 2019, o site de notícias G1 
publicou matéria sob o título “Inflação oficial fica 
em 0,11% em agosto e em 3,43% em 12 meses” 
(ALVARENGA; SILVEIRA, 2019)�
As duas palavras iniciais da matéria – “Inflação ofi-
cial” – merecem um esclarecimento. No Brasil, exis-
tem diversos índices de preços (IGP-M, IGP-DI, INCC, 
IPA e muitos outros), mas somente um deles é con-
siderado “oficial”, como dito na citada reportagem, 
é o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), 
apurado e divulgado, mensalmente, pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Com esse 
comentário, e lendo, mais uma vez, a notícia, você 
poderá entender que o IPCA referente a agosto/2019 
foi 0,11%. A expressão “12 meses” se refere aos 11 
meses antecedentes mais agosto/19� Portanto, o 
período cuja inflação se mediu é setembro/18 a agos-
to/19� A porcentagem 3,43% se refere, então, às (12) 
taxas de cada mês, devidamente acumuladas� Como 
o repórter chegou a esse número? Genericamente, 
como determinar uma taxa acumulada?
Na tabela a seguir, você tem valores mensais do 
IPCA, a taxa acumulada dentro de cada ano (2018 e 
2019) e a taxa acumulada “nos últimos 12 meses”.
24
Mês/ano Índice do mês (%)
Índice 
acumulado 
no ano (%)
Índice acumulado 
nos últimos 12 
meses (%)
Ago/2019 0,11 2,5354 3,4288
Jul/2019 0,19 2,4228 3,2222
Jun/2019 0,01 2,2285 3,3664Mai/2019 0,13 2,2183 4,6584
Abr/2019 0,57 2,0856 4,9406
Mar/2019 0,75 1,5070 4,5754
Fev/2019 0,43 0,7514 3,8903
Jan/2019 0,32 0,3200 3,7765
Dez/2018 0,15 3,7455 3,7455
Nov/2018 -0,21 3,5901 4,0459
Out/2018 0,45 3,8081 4,5568
Set/2018 0,48 3,3431 4,5256
Ago/2018 -0,09 2,8494 4,1927
Jul/2018 0,33 2,9420 4,4847
Jun/2018 1,26 2,6034 4,3910
Mai/2018 0,40 1,3267 2,8549
Abr/2018 0,22 0,9230 2,7627
Mar/2018 0,09 0,7015 2,6807
Fev/2018 0,32 0,6109 2,8448
Jan/2018 0,29 0,2900 2,8550
Tabela 5: Valores IPCA. Fonte: Adaptado de Portal Brasil. Acesso 
em 27 set. 2019.
Antes de fazermos os cálculos necessários, é impor-
tante entendermos o processo de acumulação de 
taxas. Se as “n” taxas a serem acumuladas forem re-
presentadas por i1, i2, i3����in, a taxa acumulada iac % será:
25
https://www.portalbrasil.net/ipca.htm
𝒊𝒊𝒂𝒂𝒂𝒂 = %& 1 +
𝑖𝑖*
100 × 1+
𝑖𝑖-
100 ÷ 1 +
𝑖𝑖/
100 ×⋯⋯×
1 +
i$
100
&− 1(×100
Nesse ponto é necessário considerarmos uma par-
ticularidade que aparece no exemplo – e ainda bem 
que aparece, pois você terá uma experiência a mais� 
Algumas dessas taxas podem ser negativas, indi-
cando deflação, o fenômeno inverso da inflação. Em 
novembro de 2018 isso aconteceu! A taxa de inflação 
(i3) foi negativa (- 0,21 %), caracterizando deflação 
de 0,21%� Mais claramente: os preços foram reduzi-
dos ao invés de elevados� E qual o impacto disso no 
cálculo de iac? O fator que contiver o índice negativo 
deverá ser dividido pelo até então acumulado, não 
multiplicado� Nesse exemplo, em particular, a equa-
ção de iac deveria ser escrita assim:
𝑖𝑖"# = %& 1+
𝑖𝑖)
100 × 1 +
𝑖𝑖,
100 ÷ 1 +
𝑖𝑖.
100 ×⋯⋯×
1 +
𝑖𝑖$
100 − 1
'×100
No exemplo considerado, n = 12, i1 = 0,48% (setem-
bro/18), i2=045% (outubro/18) e seguintes, até i12 = 
0,11 (agosto/2019)� Substitua esses valores na fór-
mula para cálculo de taxa acumulada (iac) e confira 
se a informação prestada pelo repórter está correta� 
Cuidado nunca é demais, não é mesmo?
26
Ainda se tratando do conceito de taxa acumulada, 
vamos explorar outra de suas aplicações mais fre-
quentes: a “taxa acumulada no ano” ou o “acumulado-
-ano”, ainda utilizando o quadro com valores de IPCA 
já visto� Esse conceito inclui, necessariamente, o 
índice referente ao mês de janeiro do ano a que se 
fizer referência e meses subsequentes, até o último 
valor conhecido. Um exemplo parece ser suficiente 
para pleno entendimento:
Exemplo. Imagine-se em maio de 2019, em situação 
tal que precisa conhecer o IPCA acumulado “no ano”. 
Algumas considerações: a) se ainda corre o mês 
de maio e, de acordo com calendário de divulgação 
estabelecido pelo IBGE, você não conhece o IPCA 
daquele mês; b) conhecidos, portanto, somente os 
valores de IPCA referentes ao período janeiro/19 a 
abril/19� Agora, basta aplicar o conceito de taxa acu-
mulada, considerando os valores de IPCA, Janeiro-
Abril/2019� A partir da tabela com valores de IPCA, 
já seria possível estabelecer que:
IPCA acum Jan-Abr19 = {[(1+0,0032)(1+0,0043)
(1+0,0075)(1+0,0057)] – 1} x 100 = 2,0856 %
Em conclusão, compare o valor que acaba de calcular 
com aquele informado no quadro inicial de IPCA, na 
coluna “Índice acumulado no ano (%)”, apresentada 
na linha referente ao mês abril/19� Conferência feita 
e resultado satisfatório? Então, fica um desafio: no 
início de dezembro/2018, qual seria a inflação oficial 
acumulada-ano?
27
É tempo de conhecer e entender mais uma forma 
de apresentação de taxas de juros: a taxa over� 
Preparado(a)?
Todos os mercados têm suas particularidades e com 
os financeiros não é diferente. Em ambiente técnico, 
particularmente em que se trate de operações com 
títulos públicos e mercado interbancário (DI) é bas-
tante conhecido o conceito de taxa over� A palavra 
“over” é uma forma reduzida de overnight, palavra 
inglesa que significa pernoite ou “durante a noite”, 
em português. A expressão “taxa over” traz, portanto, 
uma mensagem de “operação de um dia”, ou simples-
mente “um dia” e considerará, exclusivamente, dias 
úteis� De fato, a taxa over é uma taxa efetiva diária, 
multiplicada por 30 para ser apresentada como men-
sal� Nos cálculos deverão ser usados 252 dias úteis 
para o ano e 21 dias úteis para cada mês� Perceba 
alguns exemplos:
Exemplo 1: Para 5,0% a�a� efetivos, qual a taxa over 
correspondente?
Primeira providência deverá ser determinar a taxa 
equivalente diária (para ano de 252 dias úteis, lem-
bre-se!): o procedimento a seguir trará o resultado 
parcial 0,0194 % a.d.
Em seguida, e para concluir, a taxa diária deverá ser 
multiplicada por 30, para expressá-la em unidade 
28
mês� Então, concluo que a taxa over para essa ope-
ração é 0,58% a.m.o. (a�m�o� = ao mês over)�
Exemplo 2: Qual deverá ser a taxa anual efetiva cor-
respondente a 2,07% a.m.o. Bem, se é uma “a.m.o.” 
já devo saber que não se trata de uma taxa efetiva, 
porque não há taxa over efetiva� Existem, isso sim, 
as taxas efetivas correspondentes a taxas over� A 
solução passará por duas etapas� 1) determinar a 
taxa diária efetiva e 2) calcular a anual equivalente 
à taxa efetiva diária� Assim:
(1) Taxa diária efetiva = Taxa "a�m�o�"/30 = 2,07/30 
= 0,069 % a�d� (lembre-se aqui se trata apenas de 
"dia útil")
(2) 𝑖𝑖"#$"%	'(')*+" =
𝑖𝑖-*á/*"	'(')*+"
100 + 1
343
− 1 ×100
=
0,069
100 + 1
343
−1 ×100= 18,98%	𝑎𝑎.𝑎𝑎.
Passa-se, a partir deste ponto, a se fazer considera-
ções sobre taxa média, um conceito muito aberto, 
isto é, com muitas possibilidades de interpretação, 
que, por isso mesmo, não é muito fácil de resumir� 
Acredita-se, entretanto, que boa parte das principais 
aplicações do conceito venham a ficar a seu alcance 
nas próximas linhas�
O mais importante, inicialmente, é definir-se o que 
se pretende ao buscar “a taxa média”. Que situação 
se apresenta? O que significaria essa taxa média? 
29
Somente então seriam feitos os cálculos adequados 
a cada situação� Dois dos mais frequentes interes-
ses, entretanto, são: a) diante de uma série de taxas 
aplicadas durante um período, conhecer a taxa média 
do mesmo período; b) conhecidas taxas de juros e 
valores monetários a elas relacionados, conhecer 
a taxa média aplicada ou a aplicar� Como se disse, 
há diversas possibilidades a considerar, mas esses 
dois pontos se destacam pela frequência claramente 
diferenciada� Notemos cada um dos casos�
Uma situação fictícia, mas bastante comum: inves-
tidor em ações avalia desempenho de uma de suas 
carteiras durante 4 meses, a partir dos seguintes 
dados:
Mês/ano de referência
Valorização ou 
(desvalorização)
Em %
Novembro/18 0,45
Dezembro/18 0,30
Janeiro/19 (0,15)
Fevereiro/19 (0,12)
Tabela 6: Desempenho da carteira. Fonte: Elaboração própria.
O processo de solução deve ter 2 etapas� Na primei-
ra, deve ser calculada a taxa acumulada no período, 
para, na etapa seguinte, ser calculada a taxa para um 
dos “n” meses, considerado o modelo de capitaliza-
ção composta� O resultado será considerado taxa 
média no período� Vamos aos números?
30
Taxa acumulada no período (note que nos meses de 
janeiro e fevereiro/19 teria havido desvalorizações) 
= {[(1+0,0045)(1+0,0030)(1+0,0015)(1+0,0012)]-1} x 
100  {[(1+0,0045)(1+0,0030) (1/1,0015) (1/1,0012)]-
1} x 100  0,480 %
Taxa média no período avaliado = {[(1 + 0,0048)1/3] 
-1} × 100 = 0,16 % a.m.
O resultado significa que, se a cada mês o desempe-
nho fosse a valorização de 0,16%, o resultado final 
seria idêntico ao que “de fato” se constatou, após as 
valorizações e desvalorizações ocorridas� Vamos a 
mais um exemplo de muita ocorrência nos mercados 
financeiros.
Uma empresa desejando avaliar o custo médio do 
capital de terceiros, empregado em seu negócio, du-
rante o ano anterior, reúne em lista todas os emprésti-
mos contratados, relacionando valores e respectivas 
taxas efetivas� Consideremos o quadro seguinte:
Número da 
operação de 
crédito
Valor do contrato 
(R$)
Taxa efetiva 
anual (%)
1 500�000,00 30,00 
2 280�000,00 32,00
3 600�000�00 28,00
4 150�000�00 33,00
Tabela7: Empréstimos e suas taxas efetivas. Fonte: Elaboração própria.
31
Como há valores diferentes para cada custo anual, é 
importante que cada um desses valores seja relacio-
nado ao respectivo custo anual; parece mais justo, 
já que a taxa média a apurar significará o custo mé-
dio dos empréstimos contraídos no período� Nesse 
caso, a taxa média seria representada pela média 
aritmética ponderada dos custos de empréstimos� 
Assim, para taxas efetivas anuais i1, i2, i3 e i4 e res-
pectivos valores contratados VC1, VC2, VC3 e VC4, a 
taxa média, assim considerada a média aritmética 
ponderada das taxas praticadas, seria:
Substituindo os números para o problema que se 
pretende resolver e considerando-se o quadro a se-
guir, o resultado seria obtido pela divisão do total D 
pelo total C, isto é 29,9% a.a.
32
Número da 
operação 
de crédito
Valor do 
contrato (R$)
(A)
Taxa efetiva 
anual (%)
(B)
A x B
1 500�000,00 30,00 15�000�000,00
2 280�000,00 32,00 8�960000,00
3 600�000�00 28,00 16�800�000,00
4 150�000�00 33,00 4�950�000,00
∑  1�530�000,00 (C) 45�710�000,00 (D)
Tabela 8: Empréstimos e suas taxas efetivas e a taxa média. Fonte: 
Elaboração própria.
Viram-se, como prometido, apenas duas possibili-
dades para o conceito de taxa média, mas, também 
como já dito, são possibilidades muito relevantes�
Podcast 2 
REFLITA
Em 1996, a taxa básica de juros chegou a 58,78% 
e a inflação brasileira, medida pelo IPCA, atingiu 
9,56%� A taxa real de juros naquele ano poderia 
ser considerada estímulo ao empreendedorismo?
33
https://famonline.instructure.com/files/168688/download?download_frd=1
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
A Matemática Financeira é um poderoso instrumento 
à disposição da sociedade, seja em ambiente cor-
porativo ou individual-familiar� Necessariamente, o 
início do seu estudo deve ocorrer, como aqui se faz, 
pelo conhecimento de regimes de capitalização e 
uma boa conversa sobre taxas� Importante é que o 
exercício dos conhecimentos que já chegaram a você 
e os que estão por chegar seja ininterrupto e isso não 
é difícil� Todos os dias, se essa for sua vontade, você 
poderá analisar pautas para aplicar e desenvolver 
seus conhecimentos deste componente curricular� 
Nunca se falou tanto de educação financeira como 
agora e a Matemática aplicada aos negócios é item 
imprescindível para que a pretendida educação finan-
ceira seja vitoriosa� Você já está no melhor caminho!
34
SÍNTESE
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Regimes de Capitalização e as 
Taxas de Juros
• O Regime de Capitalização simples, de 
aplicação limitada, mas necessário ao 
conhecimento;
• Capitalização composta, essa, sim, de 
ampla utilização em todas as esferas 
comerciais;
• Os conceitos e aplicações de taxas 
nominais e efetivas, além de 
orientações para reconhecê-las;
• Taxas proporcionais e equivalentes, 
em seus respectivos regimes de 
utilização – simples e composto;
• Taxa aparente e taxa real e seus 
importantíssimos significados, para a 
gestão de qualquer negócio, além de 
aplicáveis às finanças pessoais;
• Conceitos e aplicações de taxa 
acumulada, taxa over e taxa média.
Referências 
Bibliográficas 
& Consultadas
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em 0,11% em agosto e em 3,43% em 12 meses� 
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VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira� 8� 
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	_Hlk21087396
	Introdução
	Regimes de Capitalização e as Taxas de Juros
	Capitalização Simples
	Capitalização Composta
	Taxas Nominais e Efetivas
	Taxas Proporcionais e Equivalentes
	Taxa aparente e taxa real
	Taxa acumulada, taxa over e taxa média
	Considerações finais
	Síntese