Vamos analisar o problema passo a passo. Dada a função: \[ f(x) = 3^{2x+1} + m \cdot 3^{x+1} \] Queremos determinar os valores reais de \( m \) para os quais a equação: \[ f(x) = m + 1 \] não tem solução real em \( x \). --- Passo 1: Escrever a equação a ser resolvida \[ 3^{2x+1} + m \cdot 3^{x+1} = m + 1 \] --- Passo 2: Simplificar a expressão Note que: \[ 3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2 \] e \[ m \cdot 3^{x+1} = m \cdot 3 \cdot 3^x \] Definindo: \[ t = 3^x > 0 \] A equação fica: \[ 3 t^2 + 3 m t = m + 1 \] --- Passo 3: Reescrever a equação em função de \( t \) \[ 3 t^2 + 3 m t - (m + 1) = 0 \] Dividindo tudo por 3 para simplificar: \[ t^2 + m t - \frac{m + 1}{3} = 0 \] --- Passo 4: Analisar a equação quadrática em \( t \) Queremos que a equação não tenha solução real em \( x \), ou seja, não tenha solução real em \( t = 3^x > 0 \). Para isso, a equação quadrática em \( t \) deve: - Ou não ter raízes reais (discriminante negativo), ou - Ter raízes reais, mas nenhuma delas positiva (pois \( t = 3^x > 0 \)). --- Passo 5: Calcular o discriminante \[ \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{m+1}{3}\right) = m^2 + \frac{4(m+1)}{3} = m^2 + \frac{4m}{3} + \frac{4}{3} \] Multiplicando por 3 para facilitar: \[ 3 \Delta = 3 m^2 + 4 m + 4 \] --- Passo 6: Condições para não ter solução real \( x \) - Se \(\Delta < 0\), não há solução real em \( t \), logo não há solução real em \( x \). - Se \(\Delta \geq 0\), as raízes são reais. Precisamos verificar se alguma raiz é positiva. --- Passo 7: Analisar o sinal das raízes As raízes da equação são: \[ t = \frac{-m \pm \sqrt{\Delta}}{2} \] Queremos que nenhuma raiz seja positiva, ou seja: \[ \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2} \leq 0 \quad \text{e} \quad \frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2} \leq 0 \] Mas note que \(\frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2} < \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2}\), então se a maior raiz for menor ou igual a zero, ambas são \(\leq 0\). Portanto, a condição é: \[ \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2} \leq 0 \implies -m + \sqrt{\Delta} \leq 0 \implies \sqrt{\Delta} \leq m \] Como \(\sqrt{\Delta} \geq 0\), para essa desigualdade fazer sentido, \(m\) deve ser \(\geq 0\). --- Passo 8: Resumo das condições - Se \(\Delta < 0\), não há solução real em \( t \), logo não há solução real em \( x \). - Se \(\Delta \geq 0\) e \(\sqrt{\Delta} \leq m\) com \(m \geq 0\), as raízes são reais e não positivas, logo não há \( t > 0 \) solução, e portanto não há solução real em \( x \). - Caso contrário, existe pelo menos uma raiz positiva, e a equação tem solução real em \( x \). --- Passo 9: Determinar os valores de \( m \) que satisfazem essas condições 1. \(\Delta < 0\): \[ 3 m^2 + 4 m + 4 < 0 \] O discriminante dessa inequação é: \[ \Delta' = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 < 0 \] Como \(\Delta' < 0\), o polinômio \(3 m^2 + 4 m + 4\) é sempre positivo para todo \( m \in \mathbb{R} \). Logo, \(\Delta = m^2 + \frac{4m}{3} + \frac{4}{3} > 0\) para todo \( m \). Portanto, \(\Delta < 0\) nunca ocorre. --- Passo 10: Condição \(\sqrt{\Delta} \leq m\) com \(m \geq 0\) \[ \sqrt{m^2 + \frac{4m}{3} + \frac{4}{3}} \leq m, \quad m \geq 0 \] Elevando ao quadrado: \[ m^2 + \frac{4m}{3} + \frac{4}{3} \leq m^2 \] Simplificando: \[ \frac{4m}{3} + \frac{4}{3} \leq 0 \implies 4m + 4 \leq 0 \implies m + 1 \leq 0 \implies m \leq -1 \] Mas isso contradiz \(m \geq 0\). --- Conclusão: Não existe \( m \geq 0 \) que satisfaça \(\sqrt{\Delta} \leq m\). Como \(\Delta > 0\) para todo \( m \), e a condição para não ter solução real em \( x \) não é satisfeita para \( m \geq 0 \), resta analisar as raízes para \( m < 0 \). --- Passo 11: Analisar raízes para \( m < 0 \) Para \( m < 0 \), a maior raiz é: \[ t_1 = \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2} > 0 \] Porque \(-m > 0\) e \(\sqrt{\Delta} > 0\), logo \(t_1 > 0\). Portanto, existe solução real em \( t > 0 \), e consequentemente em \( x \). --- Resposta final: A equação \( f(x) = m + 1 \) não tem solução real em \( x \) para nenhum valor real de \( m \). Ou seja, para todo \( m \in \mathbb{R} \), a equação tem pelo menos uma solução real. --- Se precisar, posso ajudar a revisar algum passo!