Vamos analisar o problema passo a passo. Dados: - Resistência do fio A: \( R_A = 2 R_B \) - Comprimento do fio A: \( L_A = 2 L_B \) - Raio do fio A: \( r_A = \frac{1}{2} r_B \) Queremos encontrar a relação entre as resistividades: \( \rho_A \) e \( \rho_B \). Sabemos que a resistência elétrica é dada por: \[ R = \rho \frac{L}{A} \] onde \( A \) é a área da seção transversal. A área da seção transversal de um fio circular é: \[ A = \pi r^2 \] Então: \[ R_A = \rho_A \frac{L_A}{A_A} = \rho_A \frac{L_A}{\pi r_A^2} \] \[ R_B = \rho_B \frac{L_B}{A_B} = \rho_B \frac{L_B}{\pi r_B^2} \] Dado que \( R_A = 2 R_B \), substituímos: \[ \rho_A \frac{L_A}{\pi r_A^2} = 2 \times \rho_B \frac{L_B}{\pi r_B^2} \] Cancelando \( \pi \): \[ \rho_A \frac{L_A}{r_A^2} = 2 \rho_B \frac{L_B}{r_B^2} \] Substituindo \( L_A = 2 L_B \) e \( r_A = \frac{1}{2} r_B \): \[ \rho_A \frac{2 L_B}{\left(\frac{1}{2} r_B\right)^2} = 2 \rho_B \frac{L_B}{r_B^2} \] Calculando o denominador: \[ \left(\frac{1}{2} r_B\right)^2 = \frac{1}{4} r_B^2 \] Então: \[ \rho_A \frac{2 L_B}{\frac{1}{4} r_B^2} = 2 \rho_B \frac{L_B}{r_B^2} \] \[ \rho_A \times 2 L_B \times \frac{4}{r_B^2} = 2 \rho_B \frac{L_B}{r_B^2} \] \[ \rho_A \times \frac{8 L_B}{r_B^2} = 2 \rho_B \frac{L_B}{r_B^2} \] Cancelando \( L_B / r_B^2 \) dos dois lados: \[ 8 \rho_A = 2 \rho_B \] \[ \rho_A = \frac{2}{8} \rho_B = \frac{1}{4} \rho_B \] Resposta: A resistividade do material do fio A é um quarto da resistividade do material do fio B. Ou seja: \[ \boxed{\rho_A = \frac{1}{4} \rho_B} \]